10 НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИsites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/10.pdf · 10 НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ Н.М.Д’яченко 293 Якщо границя

10 НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ

Н.М. Д’яченко 292

10 НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ В визначеному інтегралі Рімана розглядається: по-перше,

скінченний відрізок інтегрування ([a, b]) і, по-друге, функція f(x) – об-межена (необхідна умова інтегрування функції за Ріманом).

Невласні інтеграли I роду розглядаються на нескінченних проміжках, а невласні інтеграли II роду — від необмежених функцій.

10.1 Невласні інтеграли I роду Нескінчені проміжки:

І. [a, +∞); ІІ. (-∞, b]; ІІІ. (-∞, +∞). І. Нехай функція f(x):

• задана на [a, +∞);

• інтегровна на [a, A] A a∀ > , тобто ( )A

a

f x dx∃∫ A a∀ > .

Тоді співставляється єдине значення A a∀ > ( )A

a

f x dx∫ , в результаті

утворюється функція

( ) ( )A

a

F A f x dx= ∫ ,

задана на [А, +∞). Таким чином, коректним буде запитання: чи існує границя

..lim ( ) lim ( )A

A Aa

F A f x dx→+∞ →+∞

= ∫ ? (*)

Не завжди! Означення. Якщо функція f(x) задовольняє зазначеним

вище обмеженням і існує границя (*), то 1)значення границі називається невласним інтегралом I роду

на [a, +∞), позначення: ( ) lim ( )A

Aa a

f x dx f x dx+∞

→+∞=∫ ∫ ,

2) інтеграл ( )a

f x dx+∞

∫ називається збіжним.



Якщо границя (*) не існує, то кажуть, що невласний інтеграл розбіга-ється, використовуючи для його позначення той самий символ:

( )a

f x dx+∞

∫ .

ІІ. Означення. Якщо функція f(x) задана на (-∞, b] і

.. .. .. ( )b

B

B b f x d∀ < ∃ ∫ x , то у випадку, коли lim ( )b

BB

f x dx→−∞

∃ ∫ ,

1) значення границі називається невласним інтегралом І роду на

(-∞, b], позначення: ( ) lim ( )b b

BB

f x dx f x dx→−∞

−∞

=∫ ∫

2) інтеграл ( )b

f x dx−∞∫ називається збіжним.

ІІІ. Означення. Якщо функція f(x) задана на (-∞,+∞) і

( )A B∀ ∈ ∧ ∈ ( )A

B

f x dx∃∫ , тоді, якщо ∃ lim ( )A

ABB

f x dx→+∞→−∞∫ при неза-

лежному прагненні А→+∞ і В→-∞., то значення інтегралу називається невласним інтегралом І роду на (-∞,+∞), позначення:

( ) lim ( )A

ABB

f x dx f x dx+∞

→+∞−∞ →−∞

=∫ ∫ , при цьому, інтеграл ( )f x dx+∞

−∞∫ називаєть-

ся збіжним на (-∞, +∞).

Зауваження до пункту 3. Якщо ∀ а – фікс. ( )a

f x dx−∞

∃ ∫ і

( )a

f x dx+∞

∃ ∫ ⇒ ∃ ( )f x dx+∞

−∞∫ .

► lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )A a A a B

A A B AB B a B aB B

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx→+∞ →+∞ →−∞ →+∞→−∞ →−∞

∃ ∃⇐ ∧∃

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫

||

( )f x dx+∞

−∞∫ =

|| ||

( ) ( )a

a

f x dx f x dx+∞

−∞

+∫ ∫ .◄



Якщо для якогось фікс. а один із інтегралів ( )a

f x dx+∞

∫ чи

( )a

f x dx−∞∫ розбігається, то ( )f x dx

+∞

−∞∫ є розбіжним.

Зауваження.

1) ∃ ( )a

f x dx+∞

∫ 10 ∃ ( )b

f x dx+∞

∫ ;

2) b>a

⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭

20 = + . ( )

a

f x dx+∞

∫ ( )b

a

f x dx∫ ( )b

f x dx+∞

∫

► Оскільки lim ( ) ( )A

Aa a

f x dx f x dx+∞

→+∞∃ =∫ ∫ , то при маємо b a>

lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( )A b A b A

A A Aa a b a b

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx→+∞ →+∞ →+∞

∃ ⇒ ∃

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫

||

( )a

f x dx+∞

∫ = ||

( ) ( )b

a b

f x dx f x dx+∞

+∫ ∫ . ◄

Приклади.

1) 2 2 00 0

lim lim ( ) lim ( 0)21 1

AA

A A A

dx dx arctg x arctgA arctgx x

+∞

→+∞ →+∞ →+∞= = = −

+ +∫ ∫ =π .

2) a

dxx

+∞

∫ λ , а>0. З’ясувати при яких значеннях ∈λ збігається і при

яких розбігається інтеграл. 1 1

lim lim1 1

A

A Aa a

dx x A ax

+∞ − + − −

→+∞ →+∞

−= =

− + −∫1λ λ λ

λ λ λ, якщо 1≠λ ,

lim ln lim lnA

aA Aa

dx Axx a

+∞

→+∞ →+∞= =∫ λ , якщо 1=λ .

1

1a −

−

λ

λ, 1>λ

∞ , 1<λ a

dxx

+∞

∫ λ

⎧⎪⎪= ⎨⎪⎪⎩

∞ , 1=λ



Висновок: a

dxx

+∞

∫ λ , а>0

зб. 1>λ розб. 1≤λ

Нехай функція f(x) задана на [a, +∞) і ..( )A

a

f x dx A a∃ ∀ >∫ .

Відповідь на питання збігається чи розбігається інтеграл залежить від

того, чи . Пригадаємо критерій Коші іс-

нування границі функції в точці:

lim ( ) lim ( )A

A Aa

F A f x dx→+∞ →+∞

∃ = ∫lim ( )

AF A

→+∞∃ ⇔

( )1 20 0 : A a A a⇔∀ > ∃∆ > ∀ > ∧ >ε ( )1 2 1 2( ) ( )A A F A F A> ∆∧ > ∆ ⇒ − <ε .

Оскільки 2

1

1 2( ) ( ) ( )A

A

F A F A f x dx− = ∫ , то, об’єднавши все разом,

отримаємо Теорема (критерій Коші збіжності невласного інтегралу I

роду). В обмеженнях на функцію f(x), що надані вище невласний

( )a

f x dx+∞

∫ збігається тоді і лише тоді, коли

( )1 20 0 : A a A a∀ > ∃∆ > ∀ > ∧ >ε ( )1 2A A> ∆∧ > ∆ ⇒ 2

1

( )A

A

f x dx <∫ ε .

10.2 Достатні ознаки збіжності невласного інтегралу I ро-

ду Теорема 1 (загальна ознака порівняння). Якщо f(x) задана на

[a, +∞) і ..( )A

a

f x dx A a∃ ∀∫ > , тоді

І g(x): 1) ∃ ( ) ( ),f x g x x a≤ ∀ ≥

2) ( )a

g x dx+∞

∫ збігається

⎫⎪⇒⎬⎪⎭

( )a

f x dx+∞




ІІ g(x): 1) ∃ 0 ( ) ( )g x f x x a≤ ≤ ∀ ≥

2) ( )a

g x dx+∞

∫ розбігається

⎫⎪⇒⎬⎪⎭

( )a

f x dx+∞

∫ розбіга-

ється

Зокрема, якщо , то має місце схематичне зображення щодо дослідження на збіжність невласних інтегралів І роду

( ) 0f x ≥

( ) ( )f x g x≤ зб. ⇐ зб. розб. ⇒ розб.

Доведення. І Із властивостей визначених інтегралів отримаємо:

2 2 2

1 1 1

( ) ( ) ( )A A A

A A A

f x dx f x dx g x dx≤ ≤∫ ∫ ∫ . (*)

Для виконується критерій Коші ( )a

g x dx+∞

∫2

1

1 20 : ( )A

A

B a A B A B g x dx∀ > ∃ > ∀ ≥ ∧∀ ≥ <∫ε ε . (**)

Із ((*) і (**) випливає, що ( )a

f x dx+∞

∫ за критерієм Коші збігається.

ІІ За умовою ( )a

g x dx+∞

∫ розбігається. Це означає що для функції

не існує границя ( ) ( )A

a

G A g x dx= ∫ lim ( )A

G A→+∞

∃ . Що це означає в да-

ному випадку? За умовою , тому ( ) 0g x ≥1) ; ( ) 0G A A a≥ ∀ >

2) , якщо ( ) ( )A B

a a

g x dx g x dx≤∫ ∫ a A B< ≤ , тобто функція . ( )G A

Звідки отримаємо lim ( )A

G A→+∞

= +∞ , тобто lim ( )A

Aa

g x dx→+∞

= +∞∫ .



)→+∞

Тепер застосуємо до умови власти-вість визначеного інтегралу, отримаємо:

0 ( ) ( )g x f x x a≤ ≤ ∀ ≥

( ) ( )

(

A A

a a

f x dx g x dx

A

≥

⇓+∞

∫ ∫

Отже, lim ( ) ( )A

Aa a

f x dx f x dx+∞

→+∞= +∞⇒ −∫ ∫ розбігається. ■

Пригадаємо, що dxx

+∞

∞∫ λ зб., якщо 1>λ і розбігається, якщо

1≤λ . Тому, як наслідок загальної ознаки порівняння, одержимо на-ступну теорему.

Теорема 2 (часткова ознака порівнянь). Якщо f(x) задана на

[a,+∞) і ..( )A

a

f x dx A a∃ ∀∫ >

І 1) 0 : ( ) cc f x xx

∃ > ≤ ∀ ≥λ a

2) 1>λ

⎫⎪⇒⎬⎪⎭

( )a

f x dx+∞


ІІ 1) 0 : ( ) cc f x xx

∃ > ≥ ∀ ≥λ a

2) 1≤λ

⎫⎪⇒⎬⎪⎭

( )a

f x dx+∞

∫ розбіга-

ється

Доведення. Покладемо ( ) cg xx

= λ , тоді

І ( ) ( )f x g x≤ ІІ ( ) ( )f x g x≥ зб. ⇐ зб. розб. ⇐ розб. ■ Наслідок(часткова ознака порівняння в граничній формі): f(x)

задана на [a, +∞) І 1) lim ( )

xf x x c

→+∞∃ =λ

2) 1>λ

⎫⎪⇒⎬⎪⎭

( )a

f x dx+∞




ІІ 1) lim ( ) 0x

f x x c→+∞

∃ = >λ

2) 1≤λ ( )

a

f x dx+∞

∫ розбігається ⎫⎪⇒⎬⎪⎭

Доведення. I Із умови 1) ⇒ . ..0.. :. B a A B∀ > ∃ > ≥ ⇒ε ( )f x x c− <λ ε ⇒

⇒ ( )c f x x c− < < +λε ε ⇒

⇒ ( )f x x c< +λ ε ⇒

⇒ ( ) ( 1)cf xx+

< >λ

ε λ

зб. ⇐ зб .

ІІ 0 : 0c∃ > − >ε ε , наприклад, 2c

=ε .

lim ( ) 0x

f x x c→+∞

∃ = > ⇒λ

для цього : (.. .. .. . . )B a A B f x x c∃ > ≥ ⇒ − <λε ε

( )c f x x c− < < +λε ε

( ) ( 1)cf xx−

> ≤λ

ε λ

розб. ⇐ розб. ■

Приклад. 1. Дослідити на збіжність інтеграл 21

1sin dxx

+∞

∫ .

0

sint

t t→

∼

2 2

1 1sinx

x x

→∞

∼ 22

1limsin 1x

xx→∞

=

0 1 0c = > зб. ⇐ зб .

Відповідь: збігається.

2. Дослідити на збіжність інтеграл 31

cos x dxx

+∞

∫ .



3

cos 1x3x x

≤ 3 1= >λ

зб. ⇐ зб. Відповідь: збігається.

10.3 Абсолютна і умовна збіжність невласних інтегралів I

роду

Означення. - абсолютно збіжний ( )a

f x dx+∞

∫def

⇔ ( )a

f x dx+∞

∫

- збіжний. Усі попередні ознаки порівняння дають можливість відпове-

сти на питання про абсолютну збіжність інтегралів. Теорема. Якщо інтеграл збігається абсолютно, тоді він збіга-

ється. Доведення. Покладемо ( ) ( )g x f x= , тоді

( ) ( )f x g x≤

( ) ( )a a

g x dx f x dx+∞ +∞

=∫ ∫ зб.

⎫⎪⇒⎬⎪⎭

( )a

f x dx+∞

∫ збігається. ■

Означення. Якщо інтеграл збігається, але не абсолютно, то він називається умовно збіжним.

Теорема (ознака Діріхле-Абеля). ! 1) f(x) має обмежену первісну на [a,+∞),

тобто ( ) ( )a

F x f t+∞

= ∫ dt - обм., тобто

0 :. . ). . (..k x a F x∃ > ∀ ≥ ≤ ; k! 2) lim ( ) 0

xg x

→+∞=

! 3) g(x) неп. і (не зростає) на [a,+∞); ± 4) ).. (g x′∃ - неперервна на [a,+∞),

⎫⎪⎪⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎪⎪⎭

( ) ( )a

f x g x dx+∞

∫

збігається.

Доведення. Завдяки умовам 1) і 4) можна застосувати фор-мулу інтегрування частинами на відрізку [ ,1 2 ]A A :

2

1..

( ) ( )( ) ( )

( .) ( )

A

A

u g x du g x dxf x g x dx

dv f x dx v F x′= =

= == =∫



22

1

1

( ) ( ) ( ) ( )A

A

AA

F x g x F x g x dx′= − =∫ 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )F A g A F A g A− −

2 2

1 1

2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (*)A A

A A

F x g x dx F A g A F A g A F x g x dx′ ′− ≤ + +∫ ∫ ≤

Оскільки g(x) (незростаюча) на [a,+∞) і lim ( ) 0x

g x→+∞

= , то

а) , ( ) 0g x ≥б) . ( ) 0g x′ ≤

Звідси ( ) ( )g x g′ ′= − x і 2

1

2 1(*) ( ) ( ) (.. ( ))A

A

K g A K g A K g x dx′≤ ⋅ + ⋅ + ⋅ − =∫

2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )1K g A K g A K g A K g A K g A= ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ . Отже,

2

1

1( ) ( ) 2 ( )A

A

f x g x dx Kg A≤∫

Оскільки lim ( ) 0x

g x→+∞

= , то

1 10 :.. .. .. . ( ) /(2 ). . .B a A B g A K∀ > ∃ > ≥ ⇒ <ε ε . Таким чином,

1.. .. ..0 : ( .B a A B∀ > ∃ > ≥ε2

1

2 ) (. (. ) )A

A

A B f x g x dx∧ ≥ ⇒ <∫ ε (крітерій Ко-

ші) збігається. ■

⇒

( ) ( )a

f x g x dx+∞

∫Зауваження: якщо для доведення використати не формулу

інтегрування частинами, а другу теорему про середнє, то умова 4) ста-не не обов’язковою.

Приклади. 1) Дослідити на збіжність невласний інтеграл

1

sinp

xdxx

+∞

∫ ( p>0 ).

Покладемо ( ) sinf x x= , 1( ) pg xx

= . Маємо

1) 1

1

( ) sin( ) cosx

xF x t dt t= = − ⇒∫ ( ) cos1 cos 2F x x≤ + ≤ ;



2) 1lim 0px x→+∞= ( p>0 );

3) ( )g x - , Відповідь: інтеграл збігається за ознакою Діріхле-Абеля.

Самостійно дослідити на абсолютну збіжність і зробити ви-сновки щодо умовної збіжності!

1) Дослідити інтеграл Френеля 2

0

sin x dx+∞

∫ на збіжність.

Представимо наданий інтеграл сумою 2

0

sin x dx+∞

∫ =1

2

0

sin x dx∫ + 2

1

sin x dx+∞

∫ .

Тут 1

2

0

sin x dx∫ -визнач. інт. Рімана, він існує (підінтегральна ф-ія не-

пер.) і скінченний. Розглянемо другий інтеграл суми: 2

1

sin x dx+∞

∫ = 2

( )1( )

1si ..nf x

g x

x x dx

+∞

==

⋅∫ x .

Застосуємо ознаку Діріхле-Абеля: 1( )g xx

= - , 1lim 0x x→+∞

= 2) і 3) виконано ⇒

1) 22

2 2 2

1 1 12

1 1( ) sin sin ( ) 1 sin2 2

1

x x xu tF x t t dt t d t t x udu

u x

== = = =∫ ∫ ∫ =

2

21

1 1cos cos cos12 2

xu x⎡ ⎤= − = − −⎣ ⎦ ( ) 1F x⇒ ≤ .

Відповідь: збігається. Самостійно дослідити на абсолютну збіжність і зробити ви-

сновки щодо умовної збіжності! 10.4 Заміна змінних під знаком невласного інтегралу. Фо-

рмула інтегрування частинами Пригадаємо теорему про заміну змінної під знаком визначе-

ного інтеграла.



1) f(x) – неп. на [a, A]; 2) x=φ(t) – неперервно диферен-ційовна на [ ],α β ([ , ])β α ; 3) φ(α)=a, φ(β)=A; 4) Е(φ)= [a, A] ,

⎫⎪⎪⇒⎬

⎪⎪⎭

( ) ( ( )) ( )A

a

f x dx f t t dt′=∫ ∫β

α

ϕ ϕ

Теорема (заміна змінної під знаком невласного інтегралу І роду).

( )a

f x dx+∞

∫ ( ( ) ( ))f t t d±∞

′= ∫α

ϕ ϕ t .

зб. ⇒ зб.

1) f(x) – неп. на [a, +∞); 2) x=φ(t) – неперервно дифере-нційовна на [α,+∞) ((-∞,α]); 3) φ(α)=a; 4) φ(t) – строго монотонна; 5) Е(φ)= [a, +∞] ,

⎫⎪⎪⇒⎬

⎪⎪⎭

Доведення. Під знаком визначеного інтегралу зро-

бимо заміну, застосувавши пригадану теорему, а потім здійснимо гра-ничний перехід. Але спочатку зауважимо, що

( )A

a

f x dx∫

φ(t) – монотонна Е(φ)= [a, +∞) φ(t) задана на [α,+∞) ((-∞,α])

⎫⎪⇒⎬⎪⎭

β→ ±∞

Маємо

( ) ( ( ) ( ))A

a

f x dx f t t dtβ

α

′= ϕ ϕ∫ ∫A →∞ β→ ±∞

( ) ( ( ) ( ))a

f x dx f t t dt+∞ ±∞

α

′= ϕ ϕ∫ ∫ . ■

Пригадаємо теорему про інтегрування частинами в означе-ному інтегралі

Якщо u, v неперервно диференційовна на [a,A], то A A

A

aa a

udv uv vdu= −∫ ∫ . (*)

Теорема (інтегрування по частинах в a

+∞

∫ ).



u, v неп., диф. на [a, +∞) lim ( ) ( )x

u x v x L→+∞

∃ = ⎫⎪⇒⎬⎪⎭

( ) ( )a a

udv L u a v a vdu+∞ +∞

= − −∫ ∫ .

зб. ⇔ зб. ► Потрібно лише зробити граничний перехід в формулі (*).

Ті границі (дві), що будуть стояти перед знаком інтеграла будуть існу-вати чи не існувати одночасно. ◄

10.4 Невласні інтеграли ІІ роду

Ці інтеграли є узагальненням означеного інтегралу Рімана

для необмеженої функції. Нехай f(x) задана і неп. на [a, b).

Означення. Точка називається особливою точкою функції f(x), якщо функція обмежена на будь-якому інтервалі [a, b-α)

(0, )b a∀ ∈ −α , а на [a, b) ця функція не обм.

( ) ( )b

a

F f x dx−

= ∫α

α - функція змінної (0, )b a∈ −α .

Чи існує границя0

lim ( )F→+

∃α

α ? Не завжди!

Означення. Якщо т. b – особлива точка функції f(x), а f(x)

– задовольняє наведеним вище обмеженням, то якщо ,

то значення цієї границі називається невласним інтегралом ІІ роду.

Позначення: , крім того, в цьому випадку інтеграл називаєть-

ся збіжним.

0lim ( )

b

a

f x dx−

→+∃ ∫

α

α

( )b

a

f x dx∫

Таке ж позначення зберігається і тоді, коли відповідна грани-

ця не існує, а інтеграл називається розбіжним. 0

lim ( )b

a

f x dx−

→+ ∫α

α

Зауваження. У випадку, коли функція f(x) має скінченну кі-лькість особливих точок на проміжку інтегрування, то інтеграл розби-вають на суму інтегралів, в кожному з яких присутня лише одна особ-лива точка на одному з кінців інтегрування.

Приклади.

10 НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ 1)

32 1 22

30 12

2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)(x x x x x x− − − − − −0 ( 1)( 2)dx dx dx dx

x x= + + =

− −∫ ∫ ∫ ∫

31

1 2 32

3 21 2

0 0 030 1

2

lim lim lim(x x− −1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)

dx dx dxx x x x

−−

→+ →+ →++

= + +− − − −∫ ∫ ∫

εε

ε ε εε

Усі виписані границі існують. Доведіть це!

2) 1

1

1 2 12 2

1 0 1 1

10 0 01 1 0 1 0

lim lim lim (lndx dx dx dx dx xx x x x x −→+ →+ →+

− − − →+

= + = + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ε

+ε ε ε

ε ε

ε

2 1 12 2

1 11 20

m (ln ...+ 0

20 0

ln ) li ln ) lim .. .l ..n .x→ →+→+ →+

+ = − = ∃ε ε ε

ε ε

εε ε

ε,

оскільки ( ) ( )1 2

1n n

n= =ε ε ,

( )1( )2

ln ln1 0n

n = =εε

;

( ) ( )1 2

1 2,n n

n n= =ε ε ,

( )1( )2

1ln ln2

n

n =εε

.

1

0 0

( ) , 11lim lim

( ) ( )ln , 1

b

b b

aa a b

a

b xdx dx

b x b xb x

−−

−

→+ →+−

⎧ −⎪− ≠⎪ −= = =⎨

− − ⎪− =⎪⎩

∫ ∫

αλα

λ λα αα

λλ

λ

3)

1 1( )b a− − −⎧− + −λ λα

0

, 1lim 1→+

⎪= −⎨α

λλ

ln , 1b a

≠

⎪− + − =⎩ α λ

ln

1 0− >λ - інтеграл збігається, ⇒ 1<λ - збігається; 0


1− ≤λ - і зб ,нтеграл ро ігається ⇒ 1≥λ - розбігається.

Висновок: ( )a

dxb x−∫

b

λ ,

зб. 1<λ розб. 1≥λ

10.5 Зв’язок між невласними інтегралами І та ІІ родів Маємо,

11 1

1bt x b

b x t dt−= = −

− ⎛ ⎞α α

⎫⎪⎪


Н.

21

1 ( )b

ab a

dtf b f x dxt t

+∞

−

⎛ ⎞⇒ − =⎟⎠∫ ∫ .

Отже,

⎜⎝

якщо інтеграл ∫b

a

f ( є невласним інтегралом дру-

гого род b , то п

dxx)

у з особливою точкою ісля заміни xb

t−

= він пере-

творюється на невласний інтеграл

1

dttt

bf 21∫ ⎟

⎠⎜⎝

− першого у.

ab

11+∞

−

⎞⎛ род

Висновок: можна деякі вла сних інтегралів Іду узагальнити на невласні інтеграли .

стивості невла ро- ІІ роду і навпаки

Теорема (критерій Коші інтегралів ІI b

( )

збіжності невласноих

роду). 1 2( ) зб. 0 >0: , (0, ) a

f x dx b⇔ ∀ > ∃ ∀ ∈∫ ε δ α α

2b−

1

1 2 ( )b

f x dx−

< ∧ < ⇒ <∫α

α

α δ α δ ε .

► Потрібно до функції ( ) ( )b

a

F f x dx= ∫α заст

−α

осувати критерій

Коші lim ( )F∃

М. Д’яченко 305

0→+αα .

івняння залиша -анні, що у.

◄

Загальна ознака пор ється майже в такому формулюв і для невласного інтегралу І род

( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x зб.

≥ ≥ 0≤⇐ зб. розб. ⇐ розб.

асткова ознака поЧ рівняння.

1) 1 0 : ( ( ) ( )

cf f x dxb x

≤ ⇒− ∫λ збігається;

b

)c x∃ < ∧∃ >λa

2) 1 ( )( ) a

c f x f x dxb x

∃ ≥ ∧∃ > ≥ ⇒− ∫λλ

10.6 Головне значення за Коші невласних інтегралів

0 : ( )bc розбігається.



Приклад. Інтеграл 1

1

dxx−

∫ , як невласний інтеграл ІІ роду не іс-

нує (див ного значення Коші.

інтеграл виз

. у попередніх темах). Однак, він існує в розумінні голов за

Означення 2 (головного значення за Коші для невласних ів І роду). Нехай f(x) н. на (-∞, +∞) і інтегровна на будь-

якому сегменті [ , ]A A− , тоді кажуть, що f(x) інтегрована за Коші, якщо

limA

( )A

A

f x dx→+∞

−∫ . Ця границя називається головним значенням за

Коші і позначаєт . . ( )v p f x dx+∞

−∞∫ .

∃

ься

. 2

2

A+∞

Приклад . . lim 0A

A

xv p xdx→+∞

−∞ −

= =∫ .

Якщо f(x) – непарна на (-∞, +∞) і інтегрована на

будь-яко ]

Теорема: 1)

[ ,A A− , то+∞

−∞

. . ( ) 0v p f x dxму сегменті ∃ =∫ .

сегменті2) Якщо f(x) – парна на (-∞, +∞) і інтегрована на будь-якому [ , ]A A− , тоді

( )f x dx+∞

∫ з+∞

( )f x dx. ⇔б зб. 0−∞∫ .

овед кщо f(x) – непарна на ] [ ,A A− , тодіA

( )A

Д ення. Я f x dx−∫ =0

∃ =∫ . ⇒ . . ( ) 0v p f x dx+∞

−∞

- +



Рис. 10.1 випадок непарної і парної функцій відповідно.

кщо f(x) –парна на ] ( ) 2 ( )A A

Я [ ,A A− , то0A

f x dx f x dx=∫ ∫ , тоді −

( )f x dx+∞

−∞∫ зб зб ( ). ⇔ .

0

f x dx∫ . ■

Розглянемо відрізок [a, b], і нехай a<c<b, а точка с – особли-ва.

2. Якщо кція така, що для будь-якого

іс

значенн ть ч⎡

∫ε+

ε− bcbdxxf )(

ал ІІ роду з тією ж особливою точкою визначається, як

( ) lim ( ) lim ( )cb b

+∞

Означення фун )(xf

0>ε нують інтеграли Рімана ∫ dxxf )( і ∫ dxxf )( , то під головним ε−c

a ε+

b

c

ям в розумінні Коші (v.p.) розумію исло

⎢⎢⎣

+= ∫∫ +→ε caa

dxxfdxxfpv )(lim)(..0

.

Нагадаємо, що звичайний невласний інтегр⎥⎥⎦

⎤

1

1 22

0 0a a c

f x dx f x dx f x dx−

= +∫ ∫ ∫ε

ці. Якщо існує невласний інтеграл ІІ роду з особливою точкою в

середині відрізка, то існує і інтеграл в розумінні головного значення за Коші. Зворотне твердження – невірне.

аглядний приклад. Інтеграл

→+ →++

ε εε

У випадку існування виписаної грани

Приклад. Розглянемо один н

∫−

1

із складо

1 xdx , як невласний інтеграл, є розбіжним, оскільки розбіжним є кожен

вих його інтегралів ∫∫−

цьомлю, а саме:

1

0

0

1 xdxi

xdx (степінь знаменника 1). При

у у розумінні головного значення Коші він існує і дорівнює ну-

01

1lnlimlimlim..00

1

10

1

1

=ε+−ε−

==+→ε+→ε

ε−

ε+−+→ε

− xdx

xdxpv . ||ln 1

1 =ε−ε+−∫∫ x

Documents

10 НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИsites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/10.pdf · 10 НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ Н.М.Д’яченко 293 Якщо границя