10. évfolyam, harmadik epochafüzetMÁSODIK EPOCHAFÜZET 2 TARTALOM I. Sorozatok 4 I.1. Sorozatok megadása, definíciója ...suranyisz.hu/acdc/matematika/harmadik_epocha/harmadik... ·

10. vfolyam, harmadik epochafzet

(Sorozatok, statisztika, valsznsg)

Tulajdonos:

MSODIK EPOCHAFZET

2

TARTALOM

I. Sorozatok ........................................................................................... 4

I.1. Sorozatok megadsa, defincija ................................................... 4

I.2. A szmtani sorozat ..................................................................... 10

I.2.1. A szmtani sorozat els n elemnek sszege ....................................... 12

I.2.2. A szmtani sorozat kzptulajdonsga ................................................... 13

I.2.3. Gyakorl feladatok szmtani sorozatra ................................................... 14

I.3. A mrtani sorozat ....................................................................... 16

I.3.1. Gyakorl feladatok mrtani sorozatra ...................................................... 20

I.3.2. Vegyes feladatok sorozatokra ..................................................................... 20

II. Statisztika ......................................................................................... 22

II.1. Kzprtkek.............................................................................. 22

II.2. A szrds mutati ..................................................................... 24

III. Valsznsg-szmts ...................................................................... 27

IV. Feladatgyjtemny ............................................................................. 31

SOROZATOK, STATISZTIKA, VALSZNSG

3

Amit az epocha vgre tudni kell:

Fogalmak: sorozat, szmtani sorozat, differencia, mrtani sorozat, hnyados,

monoton s szigoran monoton sorozatok, korltossg, statisztika, gyakorisg,

relatv gyakorisg, diagramok, mdusz, medin, tlag, terjedelem, tlagos abszolt

eltrs, szrs, esemny, elemi esemny, sszetett esemny, klasszikus valsznsgi

mez, biztos esemny, lehetetlen esemny, komplementer esemny

sszefggsek: sorozatokhoz kapcsold jellsek, szmtani sorozat n-edik eleme

s els n elemnek sszege, szmtani kzp, mrtani sorozat n-edik eleme s els n

elemnek sszege, mrtani kzp, statisztikai mutatk, kzprtkek szmtsa, a

valsznsg kombinatorikus szmtsa

Eljrsok: sorozat elemeinek meghatrozsa kplettel s rekurzvan megadott

sorozat esetn, elemek s sszegek szmtsa szmtani s mrtani sorozat esetn,

szveges feladatok, kamatos kamattal kapcsolatos feladatok megoldsa,

adathalmazbl tblzat s grafikon ksztse, statisztikai mutatk, kzprtkek

rtelmezse, szveges feladatokban trtn alkalmazsa, sszetett esemnyek

valsznsgnek kiszmtsa kombinatorikus modell alapjn

Az epocha rtkelse: 70% az epochazr A msik 30%-ot az epocha sorn feldolgozsra kerl anyagrszekbl rt

rsztesztek fogjk adni. (15%-15%). Tovbbi 10 pontot r az rai aktivits illetve a hzi feladatok elksztse.

A szzalkos eredmnyek tvltsa jegyre: 0%-39% nulls (0) 40%-54% elgsges (2) 55%-69% kzepes (3) 70%-84% j (4) 85%-100% jeles (5)

MSODIK EPOCHAFZET

4

I. Sorozatok

I.1. Sorozatok megadsa, defincija

Ezt az neket a kottban zenei hangok sorozatval brzoltk:

A dallam szempontjbl meghatroz, hogy melyik hang ll az els, a msodik, a harmadik, ... a tzedik, s az utols helyen. A matematikusok a knnyebb lers kedvrt nhny egyszer jellst vezettek be.

A sorozatokhoz kapcsold jellsek:

a1-gyel jellik az a sorozat els elemt

a2-vel jellik az a sorozat msodik elemt

ltalnostva: an-nel jellik az a sorozat n-edik elemt.

ltalnosan elterjedt jellsek egy sorozat tagjaira:

a1; a2; a3; an-1; an; an+1 ; vagy b1; b2; b3; bn-1; bn; bn+1

1. Nevezd meg a fenti hangsorozat kvetkez elemeit! a2 = ; a5 = ; a11 = ; a30 = ;

2. Megadtunk nhny szmsorozatot, s mellettk nhny szmot. Dntsd el, hogy a szmok kzl melyik szerepel az adott sorozatban s melyik nem! Amelyik elfordul, annl add meg azt is, hogy hnyadik elem! a ) 2, 4, 6, 8, 10, 2058; 23104 ; 15106,2 ; 9108 ;

b ) 1, 4, 7, 10, 13, 364; 928; 347 629;

c ) 1, -1, 1, -1, 1, -1, 0; 2; -2;

d ) * 2, 4, 8, 16, 32, 1056; 296 344; 105 346 464;

e ) * 1, 4, 9, 16, 25, 36, 625; 12109 ; 13106 ; 41049 ;

3. Add meg a fenti sorozatok megfelel elemeit! a ) a10 = ; a15 = ; a18 = ; a23 = ;

b ) a10 = ; a15 = ; a18 = ; a23 = ;

c ) a10 = ; a15 = ; a18 = ; a23 = ;

d ) a10 = ; a15 = ; a18 = ; a23 = ;

e ) a10 = ; a15 = ; a18 = ; a23 = ;


5

4. Folytasd az albbi sorozatokat. Mi lehet a kpzsi szably? Mi lehet ez alapjn a sorozatok 20. tagja? rd ezt le a tanult jells hasznlatval! ( =20a ?) (Tbbfle megolds is lehet.)

a ) 10, 11, 13, 17, 25,

b ) 2, 4, 16, 37, 58,

c ) 1, 2, 4, 8, 7, 5,

5. Az albbi fggvnyek rtelmezsi tartomnya az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmaz. Kszts rtktblzatot, s brzold a fggvnyeket!

a ) a: 5ax b ) b: 3+xxa c ) c: 12 +xxa d ) d: 13 xxa e ) e: 1282 + xxxa f ) f: xx 2a

6. Most kplettel adjuk meg a sorozat kpzsi szablyt. rd fel a sorozat els 10 elemt!

a ) 3n2a n += b ) 1nb2

n =

A sorozat fogalmnak defincija:

Sorozatnak nevezzk az olyan fggvnyt, amelynek rtelmezsi tartomnya a pozitv egsz szmok halmaza. Az n szmhoz hozzrendelt elemet a sorozat n-edik tagjnak mondjuk. A defincibl kvetkezik, hogy sorozaton ltalban vgtelen sok tagot tartalmaz sorozatot rtnk.

Termszetesen a vges sorozat fogalmra is adhat hasonl jelleg definci: A vges sorozat olyan fggvny, amelynek rtelmezsi tartomnya az els valahny pozitv egsz szm.

Megllapodunk abban, hogy ha az ellenkezjt nem mondjuk, a sorozaton vgtelen szmsorozatot rtnk.

MSODIK EPOCHAFZET

6

Olvasd el, s gondold vgig Psa Lajosnak a sorozat defincijval kapcsolatos gondolatait!

Az 1, 6, 11, 16, 21, 26, sorozat idig valami olyasflt jelentett a szmunkra, hogy az 1, a 6, a 11 stb. szmokat elhelyeztk szpen egyms mell egy vgtelen hossz, kpzeletbeli vonal mentn. Pontosabban nem tudtuk volna elmagyarzni, hogy mirl is van sz itt tulajdonkppen. A matematikban j nhny fogalmat hasznlunk, amelyet csak szemlltetni tudunk, de pontosan elmagyarzni, azaz egyszerbb fogalmakra visszavezetni nem. A matematikusok egy rsze arra trekszik, hogy az ilyen fogalmak szmt legalbb cskkentse, mgpedig gy, hogy ezek egyikt-msikt akr kiss erltetetten is, de visszavezesse a tbbi el nem magyarzott fogalomra. Egy ilyen visszavezetssel tallkozunk most. Eszerint a fent emltett 1, 6, 11, 16, sorozatban ezentl fggvnyt kellene ltnunk, mgpedig azt a hozzrendelst, amely 1-hez 1-et, 2-hz 6-ot, 3-hoz 11-et stb. rendel:

Ez a fggvny persze kplettel is megadhat:

4x5x a , Nx vagy ( ) 4x5xf = (x pozitv egsz szm) Ez a visszavezets nem felel meg egszen az eredeti kpnknek, hiszen a sorozatot nem hozzrendelsknt kpzeljk el, mgis ltnunk kell, hogy az j fogalom tkletesen helyettesti a rgit.

Vgl is mindegy, hogy azt mondjuk: elemek egyms utn, minden n-re van egy n-edik elem, vagy azt, hogy egy hozzrendelsrl van sz, amely minden n pozitv egszhez ad egy valamilyen n-hez hozzrendelt elemet.

(Persze az ilyen visszavezets igen viszonylagos rtk, hiszen a hozzrendels sz jelentst mr nem magyarztuk meg. Nem trtnne semmi tragdia, ha a sorozatot sem magyarzgatnnk, hanem hasznlnnk a termszetes elkpezsnket.)

7. Egy sorozatnak megadtuk az els elemt s az n+1-edik elemnek a kpzsi szablyt az n-edik elem ismeretben. Add meg a sorozatok krdses elemeit! Vigyzz, az an kifejezsben csak az n szerepelhet paramterknt!

a ) a1 = 4 s an+1 = 2an a5 = ; an = ;

b ) a1 = 5 s an+1 = an+2 a6 = ; an = ;

c ) a1 = 6 s an+1 = an+n a8 = ; an = ;

d ) a1 = 1 s an+1 = nan a9 = ; an = ;


7

A fenti feladatban a sorozatok rekurzv megadsval tallkoztl.

A rekurzv megads azt jelenti, hogy adott a sorozat els eleme, s az a mvelet, amellyel az n-edik elembl az (n+1)-edik elemet ki lehet szmolni. Az gy megadott sorozat 10. elemt a 9. elem segtsgvel lehet kiszmolni, amit viszont csak a 8. elem segtsgvel lehet megkapni

Vagyis az els elembl, a megadott szably alkalmazsval, lpsenknt lehet eljutni a sorozat brmely elemhez. A rekurzvan megadott sorozatok nmelyikt meg lehet adni olyan zrt kplet segtsgvel is, ahol az an-ben csak az n szerepel paramterknt.

8. Adj meg hrom tetszleges sorozatot zrt kplettel s rekurzvan is!

9. Hny pr nylra szaporodik egy v alatt a kezdeti egy pr, ha a nyulak kt hnap alatt vlnak ivarrett, s ezutn minden pr minden hnapban egy j prnak ad letet? (Segtsg: rd fel az egymst kvet hnapokban a nylprok szmt!)

Az elz feladatban az egymst kvet hnapokban a nylprok szma rekurzvan megadott sorozatot adhat:

a1 = 1; a2 = 1; an+2 = an + an+1

Ez az gynevezett Fibonacci-sorozat. Ennek els kt tagja 1, majd a harmadiktl kezdve gy kapjuk az elemeit, hogy az elz kettt sszeadjuk. Fibonacci (Leonardo Pisano, 1170-1240) olasz matematikus volt.

10. A kvetkez feladatokban felsorolssal, zrt kplettel, illetve fggvny hozzrendelsi utasts segtsgvel adtuk meg a sorozatokat. Minden esetben a hrom kzl az egyikkel. Ptold a hinyz megadsi mdokat!

a ) 1; 3; 5; 7; an = f(x) = s Nx

b ) an = n3 ax felsorols:

c ) 1x5x +a felsorols: an =

11. Keresd meg azokat a fggvnyeket, amelyek az albbi sorozatokat hatrozzk meg!

a ) 1; 2

1;

3

1;

4

1; . b ) *** 1;

2

3;

4

7;

8

15; . c ) -1; 2; -3; 4; -5; 6;

d ) 2

1 ; 4

1;

8

1 ; 16

1; . e ) 2;

2

3;

3

4;

4

5; . f ) *** -2; 1; 6; 13;

12. Vlogasd ki az elz feladat sorozatai kzl azokat, amelyek a ) szigoran monoton nvekvk

MSODIK EPOCHAFZET

8

b ) szigoran monoton cskkenk c ) minden eleme a [0; 1] intervallumba esik d ) minden eleme az [1; 2] intervallumba esik

Figyelj! Defincik kvetkeznek.

I. Az a1; a2; a3; sorozatot monoton nvekvnek mondjuk, ha a1 a2 a3 an an+1

II. Az a1; a2; a3; sorozatot szigoran monoton nvekvnek mondjuk, ha a1 < a2 < a3 < < an < an+1

III. Egy sorozat fellrl korltos, ha megadhat egy A szm, amelynl nagyobb eleme nincs a sorozatnak.

Egy sorozat alulrl korltos, ha megadhat egy B szm, amelynl kisebb eleme nincs a sorozatnak.

Egy sorozat korltos, ha alulrl is, fellrl is korltos.

13. rd fel a fggvnyknt megadott sorozatok els t elemt! (Vigyzz, a helyettestsi rtk nem lehet akrmilyen szm!)

a ) ( ) x23xf = b ) ( ) 1x3xf 2 += c ) ( ) 1xx2xxf 23 +++=

d ) ( ) 1xxf += e ) ( ) 2x2xf = f ) ( )x

1xf =

14. brzold az elz feladat elemeit egy-egy derkszg koordinta-rendszerben! Melyik lesz szigoran monoton nvekv, s melyik lesz szigoran monoton cskken sorozat?

15. * Jellemezd a kvetkez sorozatokat korltossg szempontjbl!

a ) an = 2n-1 b ) an = n21

c ) an = ( ) 1n23 d ) an = n

2

13

+

e ) an = n1 f ) an = ( )n1 g ) an = ( ) n234 + h ) an = ( ) 1n234

16. *** Keresd meg az elz sorozatok kzl a ) az alulrl korltos sorozatok legnagyobb als korltjt! b ) a fellrl korltos sorozatok legkisebb fels korltjt!

17. *** Keress olyan sorozatot, amely szigoran monoton nvekv, s a ) alulrl korltos b) fellrl korltos

18. *** A 3; 7; 10 szmokbl hny a ) 3 tag sorozat b ) 5 tag sorozat c ) 10 tag sorozat kszthet, ha egy szm tbbszr is felhasznlhat, s nem kell mindegyik szmnak szerepelnie?


9

19. *** Jellemezd a kvetkez sorozatokat monotonits szempontjbl!

a ) an = n2

1 b ) ( )

1x

xxf

+= s + Nx

c ) x

1xx

2 a s + Nx d )

2

2

n n2

2n3na

+=

e ) ( ) ( )nnn 22a += f ) ( ) 1xxf 2 += s + Nx 20. Kszts a fzetedbe sszefoglalt a sorozatokrl gondolattrkp formjban! (A

definci, megadsi mdok s a tulajdonsgok, valamint pldk szerepeljenek rajta.)

MSODIK EPOCHAFZET

10

I.2. A szmtani sorozat

21. A Kerek csald kicserli rgi btorait. j ruhsszekrnyt szeretnnek, de attl flnek, hogy a szobt a szekrny ltvnya ltszlag mg kisebb teszi. A lakberendez azt ajnlja, hogy olyan szekrnyt csinltassanak, amelynek tolajtaja van, s ezt az ajtt kvl egybevg ngyzet alak tkrkkel fedjk be gy, hogy a kis tkrlapokat lcek hatroljk.

A mintbl jl lthat, hogy az els sorban az els ngyzethez 4 db lc, s minden kvetkezhz 3 db lc szksges, s minden tovbbi sorban az elshz hrom, a kvetkezkhz 2 db lc kell. A szksges lcek szmt kell meghatrozni. Rajzoljtok le, s szmtstok ki, hogy hny lc kell a) az els sorba, ha egy ngyzetbl, ha kt ngyzetbl, ha hrom, illetve ha n

ngyzetbl ll! b) a msodik sorba, ha egy ngyzetbl, ha kt ngyzetbl, ha hrom, illetve ha n

ngyzetbl ll! c) a harmadik sorba, ha egy ngyzetbl, ha kt ngyzetbl, ha hrom, illetve ha n

ngyzetbl ll! rjtok le a kapott adatokat a jellsek hasznlatval!

Els sor: =1a =2a =3a =na Msodik sor =1a =2a =3a =na Harmadik sor =1a =2a =3a =na

d) Soronknt hny darab tkrlap lesz, ha a lcek 20 cm hosszak, s a szekrny szlessge 2,2 mter?

e) Hny sor fr el, ha a szekrny magassga 2,6 mter? f) Soronknt hny lcre van szksg az els sorban? A tovbbiakban? g) sszesen hny lcre van szksg?


11

Szmtani sorozatnak nevezzk az olyan sorozatot, amelyben a msodik tagtl kezdve minden tagot gy kapunk meg, hogy a sorozat elz tagjhoz egy a sorozatra jellemz szmot hozzadunk.

A msodik tagtl kezdve brmelyik tagbl az elz tagot kivonva a klnbsg lland.

Egy szmtani sorozatot leggyakrabban az els elemvel (a1) s a szomszdos elemek klnbsgvel adunk meg. Ezt a klnbsget d-vel jelljk, s differencinak mondjuk ez a sz latinul klnbsget jelent.

22. Egy szmtani sorozat els eleme 5, differencija 3. a) Hatrozd meg a negyedik elemt! b) Hatrozd meg a 10. elemt! Milyen mdszerrel szmoltl? c) rd fel a sorozat els 8 elemt! d) Keress olyan elemprokat, melyek klnbsge azonos! (Ne csak 3 legyen!) Mit

tapasztalsz? e) Keress minl tbb olyan elemprt, melyeknek az sszege 31! Mit tapasztalsz? f) Hogyan lehetne kiszmolni a 8 szm sszegt a legegyszerbben? g) Keress olyan elemprokat, melyek sszege megegyezik az tdik elem

ktszeresvel! Mit tapasztalsz?

23. Andris azt lltja, hogy a szmtani sorozat brmely tagja a tle szimmetrikusan elhelyezked tagok szmtani kzepe. Igaz-e az llts, nem szksges-e valamilyen kiegszts?

24. Egy szmtani sorozat tdik tagja 17, hetedik tagja 10. Mennyi az els tag, a differencia, az els nyolc tag sszege?

25. * Egy derkszg hromszg oldalai egy szmtani sorozat egymst kvet tagjai. A hromszg terlete 150 cm2. Mekkork a hromszg oldalai?

26. *** Tekintsk a hromjegy pros szmok sszegt s a hromjegy pratlan szmok sszegt! Melyik nagyobb s mennyivel?

27. *** Egy szmtani sorozatban az els tag n, a differencia 4 s az els n tag sszege 96. Mekkora az n?

28. Talld ki, s rd le a szmtani sorozat n-edik elemnek kplett! (Az els elem, a differencia s az n rtke szerepelhet a kpletben.)

29. Szmtsd ki a sorozat valamely elemt a megadott alapadatokbl! a) a1=3, d=-1,5 esetn mennyi a7? b) a1=-2, d=0,5 esetn mennyi a5?

30. Szmtsd ki a sorozat els elemt! a) a4=15, d=2 esetn mennyi a1? b) a10=-3, d=1/2 esetn mennyi a1?

MSODIK EPOCHAFZET

12

31. Szmtsd ki a sorozat differencijt! a) a4=15, a1=12 esetn mennyi a d? b) a7=9, a13=7 esetn mennyi a d?

32. Hny egsz szmot rok le, ha a) az els 10, az utols 20? b) s ha az els 24, az utols 35?

I.2.1. A szmtani sorozat els n elemnek sszege

Gaussrl, a matematika egyik legnagyobb alakjrl meslik a kvetkez legendt. A falusi iskolban, ahova Gauss jrt, a tant egyszer hogy kis nyugtot nyerjen a dikjaitl azt a feladatot adta fel a dikoknak, hogy adjk ssze 1-tl 100-ig a szmokat.

1 + 2 + 3 + + 100

A kis Gauss egy percen bell jelentkezett, hogy a vgeredmny 5050. A tant nagyon elcsodlkozott, mert valban ez a helyes vgeredmny, de ennyire gyors mg Gauss se lehet. Megkrdezte hogyan jutott az eredmnyre, mire Gauss a kvetkezt mondta el. szrevette, hogy

ha az els s az utols szmot adja ssze, az 1 + 100 = 101. Ha a msodikat, s az utols elttit, akkor az 2 + 99 = 101, vagyis ugyanannyi. Ha a harmadikat, meg htulrl a harmadikat, akkor az 3 + 98 = 101. Vilgos, hogy ha gy halad elrl egyenknt illetve htulrl egyenknt, akkor minden ilyen pros sszeg 101 lesz. Mr csak azt kell kitallni, hny ilyen 101-gyel egyenl sszeg-pr van 1 s 100 kztt. Knny ltni, hogy pont 50. Fele annyi, ahny szmot sszeadunk. Lthat is, hogy az sszeg-prok az 50 + 51 = 101 sszegnl rnek ssze.

1 + 2 + 3 + + 50 + 51 + + 98 + 99 + 100

gy a feladat krdsre a vlasz: 50101 = 5050. A fenti mdszert ezutn prosts-nak fogjuk nevezni.

33. Szmtsd ki az sszeget prosts mdszerrel! a) 5+15+25+35+45+55= b) 2+3+4+.11= c) a1=8, d=3, a12=? S12= ? (az els 12 elem sszegt jelljk gy)

A prosts mdszer csak akkor alkalmazhat, ha az n pros, klnben a kzps elem pr nlkl marad. Ennek a problmnak az thidalsra alkalmazhatjuk a duplzs mdszert. Itt kpzeletben az sszeadandkat ktszer lerjuk egyms al, de fordtott sorrendben. A fenti plda esetn:

1 + 2 + 3 + + 50 + 51 + + 98 + 99 + 100

100 + 99 + 98 + + 51 + 50 + + 3 + 2 + 1


13

Az egyms al kerl szmok sszege itt is azonos lesz. Teht a dupla sszegnk 101 100 = 101 000. Az eredeti sszeg ennek a fele, vagyis az elbb mr kiszmolt 5050 lesz.

34. Szmtsd ki az sszeget duplzs mdszerrel! a) 5+15+25+35+45+55+65=?

b) a1=3, d=2, S13=

c) a1=2007, a27=3333 , S27=?

d) a1=77, d=1, S44=?

35. Gaussnak azt a feladatot adta a tanra, hogy ssze kell adnia a szmokat 1-tl 1000-ig. Mennyit kap eredmnyl?

36. Egy szmtani sorozatban a7 s a9 sszege 16. Mennyi lehet a8 rtke s mirt? Prblkozz, indokolj!

37. *** Add meg ltalnosan egy szmtani sorozat els n elemnek sszegt (Sn), az els elem (a1), az n-edik elem (an) s n segtsgvel!

38. *** Most rd be az elzleg kapott kpletbe a sorozat n-edik elemre vonatkoz sszefggst! Hozd a legegyszerbb alakra a formult!

39. *** Egy szmtani sorozat differencija 2, els 20 elemnek sszege meg 480. Mennyi lehet az els elem? Hasznlhatsz brmilyen mdszert, de n a kpletbehelyettestst ajnlom!

40. Szmtsd ki a sorozatok adatait! a) 6a1 = , d= 3, ?a 8 =

b) 4

3a1 = , 5,0d = , ?a10 = , mennyi az els 10 elem sszege?

c) 7a 2 = , 4d = , ?a1 = , mennyi az els 12 elem sszege?

I.2.2. A szmtani sorozat kzptulajdonsga

41. rd fl magadnak egy tetszleges szmtani sorozat els ht elemt! a ) Mennyi az els s a hetedik elem tlaga (szmtani kzepe)? b ) Mennyi a harmadik s az tdik elem tlaga? c ) Mennyi a msodik s a hatodik elem tlaga? Mit veszel szre? Tudnl valamilyen indoklst mondani erre? Prbld megfogalmazni szavakkal, vagy a sorozatos jellsek hasznlatval!

42. Egy szmtani sorozat els eleme 2, differencija 5. Sorold fel az els ht elemt! a ) Mennyi az els s harmadik elem tlaga? b ) Mennyi az els s tdik elem tlaga? c ) Mennyi az els s hetedik elem tlaga? Figyeld meg a kapott rtkeket, s fogalmazd meg a tapasztalatod!

43. Egy szmtani sorozat harmadik tagja 10. Mennyi az els 5 tag sszege? rj pldt ilyen sorozatra!

MSODIK EPOCHAFZET

14

A szmtani sorozatok sszefggsei Alapadatok:

a szmtani sorozat els eleme: a1 n-edik eleme: an az egymst kvet elemek kztti klnbsg (differencia): d

A sorozat n-edik elemt kiszmolhatjuk az els elem s a differencia segtsgvel. Mivel az elsbl az n-edikbe (n-1) lpssel jutunk el, ezrt ennyi alkalommal adtuk hozz a differencit. Ebbl kvetkezik:

( ) d1naa 1n += A fent lert duplzs mdszer miatt az els n elem sszege:

( )2

naaS n1n

+= Berva az n-edik elemre vonatkoz sszefggst, addik az sszegkplet msik formja:

( )[ ]2

nd1na2S 1n

+=

Egy szmtani sorozatban a msodik elemtl kezdve brmely elem kiszmolhat a tle szimmetrikusan elhelyezked kt elem szmtani kzepeknt.

...2

aa

2

aaa 2n2n1n1nn

++ +=+

=

I.2.3. Gyakorl feladatok szmtani sorozatra

1. Egsztsd ki a sorozatokrl ksztett gondolattrkpet, a szmtani sorozattal, s sszefggseivel!

2. Melyik szmtani sorozat? (Minden esetben + Zn ) a) 83 = nan b) ( )123 += nbn c) ( )7,122,53,2 ++= ncn d)

612 += ndn e) 1

32++=

n

nen

f) ( )nnf 1=

A szmtani sorozatoknl add meg az els elemet s a differencit!

3. Melyik az a hat szm, amit a 7 s a 35 kz kne iktatni, hogy ez az sszesen nyolc szm egy szmtani sorozat nyolc szomszdos eleme legyen?

4. Egy szmtani sorozat els kt tagjnak sszege 8-cal kisebb, mint a kvetkez kt tag sszege. Az els ngy tagot sszeadva 38-at kapunk. Szmtsd ki a differencit s az els elemet! (Segtsg: Hnyszor kell a differencit hozzadni az els kt tag sszeghez, hogy megkapjuk a harmadik s negyedik tag sszegt?)

5. Egy szmtani sorozat els hrom tagjnak sszege 30-cal kisebb, mint a kvetkez hrom tag sszege. Az els hat tag sszege 60. Melyik ez a sorozat?


15

6. Egy szmtani sorozatban a1 + a7=16 s a3 + a4=11. Mekkora ennek a sorozatnak a differencija meg az els eleme?

7. Szmtsd ki a ktjegy pros szmok sszegt!

8. Egy szmtani sorozat els tagja 100, a hatodik tagja pedig egyenl a differencival. Hatrozd meg a msodik tagot!

9. Egy vllalat kezdetben 300 termket gyrt, majd minden hten 5 darabbal tbbet az elz hetinl.

a ) Ezt az temet tartva, mennyi id mlva ktszerezdik meg a termels? b ) sszesen mennyi termket gyrtanak egy v alatt? (Szmolj 52 httel!)

10. A szomszd templomban mindig annyiszor kongatnak, ahny ra van pp. Hny kongatst hallhatok egy nap alatt?

11. ***Az egyiptomi Rhind-papiruszon (Kr. e. 2000 krl) olvashat a kvetkez feladat: t ember kztt 100 cipt gy kell elosztanunk, hogy a msodik ugyanannyival kapjon tbbet az elsnl, mint a harmadik a msodiknl, a negyedik a harmadiknl s az tdik a negyediknl; tovbb a kt kisebbik rsz sszege a hrom nagyobb rsz sszegnek a hetede legyen. (Ez a legrgebbi rsos emlk, amelyik sorozat megoldsra vezet feladatot tartalmaz.) Hogyan vgezzk el az elosztst?

12. *** Kt egymstl 119 km tvolsgra lev vrosbl egy-egy kerkpros indul egymssal szembe. Az els kerkpros az els rban 20 km utat tesz meg, s minden tovbbi rban 2 km-rel kevesebbet, mint az elzben. A msodik kerkpros, aki kt rval ksbb indul, mint az els az els rban 10 km utat tesz meg, s minden tovbbi rban 3 km-rel tbbet, mint az elzben. Mikor tallkozik a kt kerkpros? Milyen messze van a tallkozs helye a kt vrostl?

13. Egy szmtani sorozat ht egymst kvet tagjnak az sszege 700. Meg lehet-e ebbl llaptani, hogy a 100 szerepel-e a sorozat tagjai kztt? (Indokolj!)

14. Egy szmtani sorozat negyedik tagja 15. Mennyi az els ht tag sszege? rj kt konkrt pldt is ilyen sorozatra, melybl az egyik cskken a msik pedig nvekv!

15. Mekkora a 2005-nl kisebb, hrommal osztva 2 maradkot ad pozitv egsz szmok sszege?

16. Egy knyvszekrnyben ht polc van. A legals polcon 51 knyv van, s minden tovbbi polcon 3-mal kevesebb, mint az alatta levn. Hny knyv van ebben a knyvszekrnyben?

17. Egy vetlkedn 15 000 Ft jutalmat osztottak ki. Az els helyezett 3000 Ft-ot kapott, a tovbbiak sorra 200 Ft-tal kevesebbet, mint az elttk lv. Hny versenyzt jutalmaztak?

MSODIK EPOCHAFZET

16

18. Egy sznhzi nztren, amely fellrl nzve egy krgyrcikk, 24 sor van. Az els sorban 18 hely van, utna minden sorban 3-mal tbb. Minden sor 20 cm-rel magasabban van az elznl. a ) Hny frhelyes a sznhz? b ) Mennyivel van magasabban az utols sor, mint az els?

19. *** Berci s Andris egy kis zsebpnzre tehetnek szert, ha vllaljk a kirlt befttes vegek ki- s lemosst (cmktl val megszabadtst). A dlutni elfoglaltsguktl fggen az els nap 40 veget hoznak rendbe, a tovbbi napokon 10-zel tbbet, mint az elzn. Hnyadik napon kerl sorra az 500. veg?

20. Egyforma golykat helyeznk el az asztalon hromszg alakban: az els sorban 1, alatta, hozzillesztve 2, majd a kvetkez sorban 3 stb. a ) Hnyadik sorba kerl a 30. goly? b ) Hny golyra van szksg ahhoz, hogy a hatrol hromszg oldala 10

golybl lljon?

I.3. A mrtani sorozat

Emlkeztet: A kvetkez feladatokban szzalkot kell szmolnod. Trekedj a legegyszerbb szmtsi mdra: Ha valaminek a 27%-t kell kiszmolni, akkor egy lpsben szorozzuk 0,27-dal. Ha valaminek a 27%-kal megnvelt rtkt kell kiszmolni, akkor ez sszesen

127%-ot jelent, teht szorozunk 1,27-dal. Ha valaminek a 27%-kal cskkentett rtkt kell kiszmolni, az 73%-ot jelent,

vagyis szorozni kell 0,73-dal.

1. Melyik a nagyobb? a ) 25 000-nek a 20%-kal megnvelt rtke vagy 24 000-nek a 30%-kal megnvelt

rtke? b ) 120 000-nek a 15%-kal cskkentett rtke vagy 80 000-nek 30%-kal megnvelt

rtke? c ) A htgpek rtke az vszakoktl fggen vltozik. Nyron bizonyos

szzalkkal emelkedik, tlen cskken az ra. Az Eszkim htgp 78 000 Ft volt sszel. Tlen ezt 15%-kal cskkentettk, majd tavasz vgn a tli rat 22%-kal megemeltk. Szmtsd ki, hogy mennyibe kerlt tlen, illetve nyron a htgp! Hny szzalkkal vltozott az r sszessgben?

2. Bizsuk betesznek a bankba 100 000 Ft-ot vi 10%-os kamatra. a ) Egy v elteltvel mennyi pnzk lenne, ha v kzben nem vennnek ki belle?

=1a b ) Ezt az sszeget mg egy tovbbi vre a bankban hagyjk ugyanolyan kamatra.

Mennyi lesz a pnzk a msodik v vgn? =2a c ) s a harmadik v elteltvel? =3a d ) s ngy v utn? =4a


17

3. A Holnap Zrt. 5 000 000 Ft-rt autt vsrolt. A cg knyvelje minden v vgn kiszmolja a gpkocsi rtkt, mert az a hasznlat miatt vente 20%-kal cskken. a ) Egy v elteltvel mennyi lesz az rtke? =1b b ) Mennyi lesz az rtke kt v elteltvel? =2b c ) s a harmadik v vgn? =3b d ) s ngy v utn? =4b

4. rd a tblzatba, hogy az elz kt feladatban az egyes lpseknl milyen mveletet vgeztl el, s milyen eredmnyhez jutottl!

2. feladat: a vagyon 3. feladat: az aut rtke 1. lps 2. lps 3. lps 4. lps

Mi volt a kt feladatban a hasonlsg?

Mrtani sorozatnak nevezzk az olyan szmsorozatot, amelyben a msodik tagtl kezdve minden tagot gy kapunk meg, hogy a sorozat elz tagjt egy a sorozatra jellemz szmmal szorozzuk.

gy a szomszdos tagok hnyadosa ugyanaz a szm. Jells: 1a a sorozat els eleme, q (kvciens vagy quotiens) a sorozatra jellemz lland.(A quotiens sz latinul hnyadost jelent. )

Pldul: A bankos pldnl 110000a1 = , 1,1q = Az auts feladatnl 4000000a1 = , 8,0q =

5. Lillnak van egy titka. Mivel nem szeretn, hogy mindenki megtudja, ezrt hosszas gondolkods utn csak kt j bartnjnek, Dodnak s Janknak rulja el. A lnyok tudnak titkot tartani, ezrt msnap csak kt-kt embernek ruljk el, s soha tbb senkinek. Ez utbbi ngy ember azonban kvetkez nap ismt 2-2 j trsnak rulja el a titkot. a) Szmtsd ki, hogy a 5. napon hny ember ismerkedik meg a titokkal, ha

felttelezzk, hogy mindig olyanoknak adjk tovbb, akik mg nem hallottak rla! (Els napnak azt tekintjk, amikor Dod s Janka tudomst szerzett a titokrl.)

b) Lehet-e, hogy ezen a napon mr az vfolyamon mindenki rteslt a titokrl, feltve, hogy az informcit mindig hzon bell adtk tovbb?

MSODIK EPOCHAFZET

18

6. Vlogasd szt az albbi sorozatokat aszerint, hogy szmtani, mrtani vagy egyik sem! A szmtani sorozatoknl add meg a differencit s a mrtani sorozatoknl a hnyadost! a) -2, 5, 12, 19 b) 3, 12, 48, 192 c) -1, 1, -1, 1

d) -2, 4, -8, 16 e) 2

3,

4

3,

8

3,

16

3 f)

2

1,

3

1,

4

1,

5

1

g) 3; 4,5; 6; 7,5 h) 1, 3, 7, 11

7. Adott egy szmsorozat els kt eleme: 2 s 6. Folytasd a sorozatot a megadott szably szerint tovbbi hrom elemmel gy, hogy a) legyen szmtani sorozat! b) legyen mrtani sorozat! c) egyik se legyen! d) brzold mindhrom sorozatot kln koordintarendszerben!

8. Adott a mrtani sorozat els eleme s hnyadosa. Szmold ki a megadott elemet!

a) 41 =a , 3=q , ?5 =a b) 31 =a , 21=q , ?6 =a

9. Egy mrtani sorozat els eleme 5 s a hnyadosa 2. rd fel a kvetkez elemeket az els elem, a hnyados s mveletek segtsgvel! a1= a2= a3= a8= an= Prblj ltalnostani, vagyis keresd meg a mrtani sorozat n-edik elemre vonatkoz kpletet! Ebben csak az els elem (a1) s a hnyados (q) szerepeljen!

an=

10. *** Marcinak nagyon megtetszett egy vicc (Hogyan kell nyulat fogni? Utnozni kell a rpa hangjt!), ezrt szeretn npszersteni. SMS-ben tovbbkldi a viccet kt ismersnek, s az zenetben arra is felkri ket, hogy k is kldjk tovbb kt embernek az zenetet. A msodik lpsben gy mr 4 zenet megy tovbb. Ha mindenki, aki megkapja az zenetet, s tovbbkldi kt ismersnek, akkor 3. lpsben 8 zenet indul tnak. rd a tglalapokba a tovbbi lpsekben elkldtt zenetek szmt!

Szorozd ssze a vonallal sszekttt elemeket, s rd a szorzatot a vonal fl? Mit veszel szre? Most itt is szorozz, s gondolkodj!

Prblj ltalnostani! Fogalmazd meg a szablyszersget! Mi lehet az oka a felfedezett szablynak? Bizonytsd be!


19

A mrtani sorozatok sszefggsei Alapadatok:

a mrtani sorozat els eleme: a1 n-edik eleme: an az egymst kvet elemek hnyadosa (quotiens): q

A sorozat n-edik elemt kiszmolhatjuk az els elem s a hnyados segtsgvel. Mivel az elsbl az n-edikbe (n-1) lpssel jutunk el, ezrt ennyi alkalommal szoroztuk meg q-val. Ebbl kvetkezik:

1n1n qaa

= A mrtani sorozatban az els n elem sszege:

1q

1qaS

n

1n =

Egy mrtani sorozatban a msodik elemtl kezdve brmely elem ngyzete kiszmolhat a tle szimmetrikusan elhelyezked kt elem szorzataknt.

( ) ...aaaaa 2n2n1n1n2n === ++ Ezt az sszefggst pozitv tag sorozatoknl trhatjuk gy, hogy az n-edik elem a kt szimmetrikusan elhelyezked elem mrtani kzepe:

...aaaaa 2n2n1n1nn === ++

11. *** Olvasd el, s kvesd a logikjt a kvetkez bizonytsnak, ami a mrtani sorozat sszegkpletre vonatkozik! Egy mrtani sorozat els eleme a1, hnyadosa q. Bizonytsuk be, hogy

1

11

=q

qaS

n

n (q 1) !

Jelljk a mrtani sorozat els n tagjnak sszegt Sn-nel!

nn aaaaS ++++= ...321 A fenti egyenlsgben a sorozat elemeit fejezzk ki az 11

= nn qaa kplettel: 1

12

111 ...++++= nn qaqaqaaS Szorozzuk be mindkt oldalt q -val:

nn qaqaqaqaqS ++++= 1

31

211 ... A msodik egyenlsgbl kivonva az elst:

11 aqaSqSn

nn = (A kztes tagok kiestek!) Emeljnk ki a bal oldalbl Sn-et, a jobb oldalbl pedig a1-et!

( ) ( )11 1 = nn qaqS Mivel a felttel szerint q 1 ezrt oszthatunk (q - 1) - gyel:

1

11

=q

qaS

n

n Ezzel a mrtani sorozat sszegkplett bizonytottuk.

MSODIK EPOCHAFZET

20

I.3.1. Gyakorl feladatok mrtani sorozatra

12. Egy mrtani sorozat els eleme 3, a kvciens 2. Szmold ki a sorozat 5. elemt, s az els 5 elem sszegt!

13. Egy mrtani sorozat els eleme 6, harmadik eleme 24, mennyi a hnyadosa? (Hny megolds van?)

14. Egy mrtani sorozat tdik tagja 2, kilencedik tagja 32. Mekkora a hnyadosa?

15. Egy mrtani sorozat tdik eleme 48, kvciense 2. Mennyi az els eleme? Mennyi az els 11 elem sszege?

16. Mivel egyenlk az an mrtani sorozatban az albbi kifejezsek? a) 97 aa b) 53 aa c) 42 aa (Vigyzz, az eljelekre is gondolj!)

17. Egy mrtani sorozat tdik tagja 10. Mennyi az els kilenc tag szorzata?

18. Egy mrtani sorozat harmadik tagja 12, hetedik tagja 192. Hatrozd meg a sorozat kezdtagjt s hnyadost! (Vigyzz, tbb megolds van!) *** Add meg kplettel is a sorozatot!

19. Tthk eladjk hasznlt autjukat, s a kapott pnzt - 1 200 000 Ft-ot - beteszik a bankba kt vre lektve, vi 9%-os kamatra. Mennyi pnzt vehetnek ki kt v mlva? s ngy v mlva?

20. Mekkora lehetet az ves kamat, ha 1 000 000 Ft-ot tettek be, s kt v mlva 1 102 500 Ft-ot vettek ki?

21. A legenda szerint mintegy 2000 vvel azeltt Perzsia uralkodjt rendkvl elbvlte a sakkjtk szpsge. Maga el idzte a jtk feltalljt, hogy szemlyesen jutalmazza meg tallmnyrt. A szerny blcs azt krte, hogy helyezzenek a tbla els ngyzetre egy szem bzt, a msodikra kt szemet, a harmadikra ngyet, a negyedikre nyolcat s gy tovbb, s ezen bzaszemek sszege legyen a jutalma. Hny bzaszemet jelent ez? (Valban szerny volt?) Mennyi a slya ekkora mennyisg bznak kg-ban, ha 1000 szem bza tlagos tmege 40 gramm.

I.3.2. Vegyes feladatok sorozatokra

22. Egy kezd mrnk az els munkahelyn a kvetkez fizetsi ajnlatokat kapja: a) A kezd fizetse havi 120 000 Ft, s ha elgedettek a munkjval, akkor ezt az

sszeget negyedvente 6 000 Ft-tal megemelik. b) A kezd fizetse havi 120 000 Ft, s ha elgedettek a munkjval, akkor ezt az

sszeget negyedvente 5%-kal megemelik. A munkaszerzdst 1 ves idtartamra ktik. Melyik ajnlatot vlassza?

23. Pisti CD-llvnya trapz alak. A legals sorban 20 db CD fr el. Minden tovbbi sorba 2-vel kevesebbet lehet rakni, mint amennyi az alatta levben van. A CD-tart hatsoros. Hny CD van a legfels sorban? Hny CD van sszesen?

24. A tejtermkek rt az elmlt kt vben ktszer is emeltk. Elszr 17%msodszor 8%-kal. tlagosan hny szzalkkal emeltk vente az rat?

25. A Napsugr bevsrlkzpont mlygarzsa 5 szintes. A msodik szinten 210 parkolhely van, s felfel haladva minden tovbbi szinten 30fr el a legals s a legfels szinten? sszesen hny aut kaphat helyet?

26. *** Szmold ki 23%-os kamatlb a) a hrom v mlva esedkes 100diszkontlt rtkt!

27. Melyik a szzadik pozitv pros szm?

28. Mennyi az els szz darab pozitv pros szm sszege?

29. Donna Rosa hrom piforgalomrl a kvetkez adatokat tudja Donna Rosa:forgalmazott, ami a tavalyi forgalmnak 104%kal visszaesett a fogalma, gy 165%-os nvekedst jelent a tavalyhoz kpest. Most azon gondolkodik Donna Rosa, hogy ntt vagy cskkent a forgalma, s hny szzalkkal? Szmold ki!

30. Egytl kezdve egyms utn lerjuk azokat a szmokat, amelyek 3maradkot adnak. c) Melyik szm ll a szzadik helyen a sorban?d) Hnyadik helyen ll a 137?e) Hnyadik helyen ll a 163?f) Mennyi lesz a 100 s 200 kztti ilyen szmok sszege?

31. Mekkora a terlete a rajzon lthat legnagyobb ngyzetnek, ha a legkisebb ngyzet terlete 1 e

32. Mekkora sszeget helyezzen el a 2 ves futamidej, vi 12%-os fix kamatos kamatozs takarklevlbe az, aki a msodik v vgn 500 000 Ft

33. Mennyit kell fizetni a kertsznek a kert felssrt,4 000 Ft, s minden tovbbi 200 Ft

34. Egy 10 soros mozi nzternek els sorban 10 szk van. Minden tovbbi sorban kettvel tbb hely van. Hnyan lhetnek le a 10. sorba, s mekkora a mozi befogadkpessge?

35. Hny v alatt duplzdik meg 8%

36. Egy zletet 5 nap mlva felszmolnak. A tulajdonos felmri az rukszlet rtkt, mely 800 000 Ft. Annak rdekben, hogy megszabaduljon az sszes rutl, naponta 20%-kal cskkenti az sszes termk rtMivel egyltaln nem volt vevje az t nap alatt, az j tulajdonos felajnlja, hogy az rukszletet a cskkentett ron megvsrolja. Mennyit kell fizetnie?

SOROZATOK, STATISZTIKA

A tejtermkek rt az elmlt kt vben ktszer is emeltk. Elszr 17%kal. tlagosan hny szzalkkal emeltk vente az rat?

psugr bevsrlkzpont mlygarzsa 5 szintes. A msodik szinten 210 parkolhely van, s felfel haladva minden tovbbi szinten 30-cal tbb. Hny aut fr el a legals s a legfels szinten? sszesen hny aut kaphat helyet?

os kamatlb mellett a hrom v mlva esedkes 100 000 Ft, b) t v mlva esedkes 350

Melyik a szzadik pozitv pros szm?

Mennyi az els szz darab pozitv pros szm sszege?

hrom pizzrijt a fiai vezetik, Alberto, Gianni s Pietro. A forgalomrl a kvetkez adatokat tudja Donna Rosa: Albert 18forgalmazott, ami a tavalyi forgalmnak 104%-a. Gianni ve nem sikerlt jl, 2%

l visszaesett a fogalma, gy 16 660 eur volt, mg Pietro 21 525 eurs fos nvekedst jelent a tavalyhoz kpest. Most azon gondolkodik Donna Rosa,

hogy ntt vagy cskkent a forgalma, s hny szzalkkal? Szmold ki!

Egytl kezdve egyms utn lerjuk azokat a szmokat, amelyek 3

Melyik szm ll a szzadik helyen a sorban? Hnyadik helyen ll a 137? Hnyadik helyen ll a 163? Mennyi lesz a 100 s 200 kztti ilyen szmok sszege?

Mekkora a terlete a rajzon lthat legnagyobb ngyzetnek, ngyzet terlete 1 e2?

Mekkora sszeget helyezzen el a 2 ves futamidej, vi os fix kamatos kamatozs takarklevlbe az, aki a

000 Ft-ot akar kapni?

Mennyit kell fizetni a kertsznek a kert felssrt, ha az els ra munkadja Ft, s minden tovbbi 200 Ft-tal kevesebb. A munka 10 rn t tart.

Egy 10 soros mozi nzternek els sorban 10 szk van. Minden tovbbi sorban kettvel tbb hely van. Hnyan lhetnek le a 10. sorba, s mekkora a mozi

tt duplzdik meg 8%-os kamatlb mellett 2 500 000 Ft?

Egy zletet 5 nap mlva felszmolnak. A tulajdonos felmri az rukszlet rtkt, 000 Ft. Annak rdekben, hogy megszabaduljon az sszes rutl,

kal cskkenti az sszes termk rt az elz napi rhoz kpest. Mivel egyltaln nem volt vevje az t nap alatt, az j tulajdonos felajnlja, hogy az rukszletet a cskkentett ron megvsrolja. Mennyit kell fizetnie?

STATISZTIKA, VALSZNSG

21

A tejtermkek rt az elmlt kt vben ktszer is emeltk. Elszr 17%-kal, kal. tlagosan hny szzalkkal emeltk vente az rat?

psugr bevsrlkzpont mlygarzsa 5 szintes. A msodik szinten 210 cal tbb. Hny aut

fr el a legals s a legfels szinten? sszesen hny aut kaphat helyet?

t v mlva esedkes 350 000 Ft

zrijt a fiai vezetik, Alberto, Gianni s Pietro. A Albert 18 720 eurt

a. Gianni ve nem sikerlt jl, 2%-525 eurs forgalma

os nvekedst jelent a tavalyhoz kpest. Most azon gondolkodik Donna Rosa, hogy ntt vagy cskkent a forgalma, s hny szzalkkal? Szmold ki!

Egytl kezdve egyms utn lerjuk azokat a szmokat, amelyek 3-mal osztva egy

ha az els ra munkadja tal kevesebb. A munka 10 rn t tart.

Egy 10 soros mozi nzternek els sorban 10 szk van. Minden tovbbi sorban kettvel tbb hely van. Hnyan lhetnek le a 10. sorba, s mekkora a mozi

000 Ft?

Egy zletet 5 nap mlva felszmolnak. A tulajdonos felmri az rukszlet rtkt, 000 Ft. Annak rdekben, hogy megszabaduljon az sszes rutl,

az elz napi rhoz kpest. Mivel egyltaln nem volt vevje az t nap alatt, az j tulajdonos felajnlja, hogy az rukszletet a cskkentett ron megvsrolja. Mennyit kell fizetnie?

MSODIK EPOCHAFZET

22

II. Statisztika

Emlkeztet: A matematikai statisztika adatok gyjtsvel, rendszerezsvel s elemzsvel foglalkozik. A npszmlls pldul egy ilyen statisztikai adatgyjts. A felmrs sorn kapott egy-egy adat elfordulsnak szmt gyakorisgnak nevezzk. (Pldul az AKG-ba jr 10.-es lnyok szma, vagyis gyakorisga: 40) Ha a gyakorisgot elosztjuk az sszes adat szmval, akkor megkapjuk a relatv gyakorisgot. (Pldul a lnyok relatv gyakorisga az vfolyamon: 40/85=0,47)

Az adatok szemlletes megjelentsre diagramot szoktak kszteni. A rajzos szemlltets (grafikus brzols) arra j, hogy rnzsre eldnthessk az egyes adatfajtkhoz tartoz gyakorisgok arnyt. Leolvashatjuk pldul, hogy mibl van a legtbb vagy a legkevesebb. Az leggyakrabban hasznlt diagramfajtk: oszlopdiagram, krdiagram, trttvonal-diagram, svdiagram.

Az sszegyjttt adatokat szoktk gynevezett statisztikai mutatkkal jellemezni. Ezen bell vannak a kzprtkek s a szrds mutati.

Kzprtkek: az tlag, a mdusz s a medin.

Definci: Az adathalmaz legtbbszr elfordul elemt mdusznak nevezzk. (Ha tbb olyan elem van, aminek gyakorisga megegyezik, s a legnagyobb, akkor az adathalmaz tbbmdusz, ha minden adat azonos szmban fordul el, akkor nincs mdusza.)

Definci: Az adathalmaz medinja a nagysg szerint rendezett elemek kzl a kzps. (Ha pros elemszm a minta, akkor a kt kzps tlagt kell venni.)

Definci: Az adatok tlagt szmtani kzept gy kapjuk meg, hogy sszegket elosztjuk a darabszmukkal.

II.1. Kzprtkek

21. Artr kistestvre 3900 grammal szletett tavaly. Egyves korig majdnem minden hnapban ugyanazon a napon feljegyeztk a tmegt, az adatokat a kvetkez tblzat tartalmazza:

Hnap 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Tmeg(g) 4510 5100 5620 6000 6710 7250 8040 8320 8990 9240

a) brzold az adatokat grafikonon! b) A grafikon alapjn becsljk meg a hinyz jniusi s szeptemberi rtkeket! c) Mikor volt ppen 6 kg a csecsem? d) Becsljk meg, mikor lpte t az 5 kg-ot, a 7 kg-ot? e) Jsoljuk meg, mikorra lesz 10 kg?


23

f) Mikorra duplzta meg a szletsi tmegt? g) Ha vente ugyanennyit gyarapodna, mekkora lenne a tmege 13 ves korra?

22. Lili iskola utn elfizetses ment eszik ebdre, ami 450 Ft naponta. Eszti minden nap msutt eszik, ezen a hten htfn rntott sajtot evett rizzsel 520 Ft-rt, kedden rakott krumplit 410 Ft-rt, szerdn slt csirkt zldborsval 630 Ft-rt, cstrtkn pirtott mjat tkfzelkkel 430 Ft-rt, pnteken tejbegrzt a tejivban 260 Ft-rt. Ki klttt tbbet a hten az ebdjre? tlagosan mennyit klttt Lili egy ebdre?

23. Gazsi v vgn sszeszmolta, hogy hny knyvet olvasott abban az vben, s megllaptotta, hogy havonta tlagosan 3 knyvet olvasott el.

a ) Hny knyvet olvasott sszesen abban az vben?

b ) Volt-e olyan hnap, amikor egy knyvet sem olvasott?

c ) Mennyivel kellett volna tbb knyvet olvasnia abban az vben, hogy a havi tlaga felmenjen 4-re?

d ) Mennyi lehetett a legtbb knyv, amit egy hnapban olvasott, ha minden hnapban elolvasott legalbb egy knyvet? (Tegyk fel, hogy hnap vgre mindig elolvasta azokat a knyveket, amelyekbe abban a hnapban belekezdett.)

24. Egy ttag csald tlagletkora most 20 v.

a ) Hny vesek az ikrek, ha az apa 38, az anya 36 ves, a legkisebb gyerek pedig 4 ves?

b ) Mennyi lesz a csald tlagletkora 5 v mlva?

c ) Mennyi volt a csald tlagletkora 5 vvel ezeltt?

25. Az iskolai kosrlabda bajnoksgban dm csapata 7 meccset jtszik. Az els hat meccsen dm 2; 10; 16; 12; 18; 14 pontot rt el. Hny pontot kell dobnia az utols meccsen, hogy elrje a tavalyi 14 pontos meccsenknti tlagt?

26. Tomi hinyzott a matematika dolgozat rsakor, gy nlkle az osztlytlag 68 pont volt. Tomi 92 pontos dolgozatval az osztlytlag felmegy 69-re. Hnyan vannak az osztlyban Tomival egytt?

27. Alex rendezte a knyvespolct, ezrt megmrte a knyvei vastagsgt. Az egyik polcon lev knyvekre a kvetkez eredmnyeket kapta millimterben: 24; 21; 14; 19; 17; 18; 16; 14; 22; 23; 16; 62; 59. Az utols kt szm az angol sztrainak vastagsga. Szmold ki a knyvek vastagsgnak tlagt! rd fel a knyvek vastagsgt nagysg szerint nvekv sorba, s keresd meg a kzpst!

28. Az egy lakosra jut zldterlet nagysga m2-ben magyarorszgi megyeszkhelyeken: Budapest: 11; Bkscsaba: 33; Debrecen: 18; Eger: 35; Gyr: 63; Kaposvr: 24; Kecskemt: 15; Miskolc: 41; Nyregyhza: 51; Pcs: 78; Salgtarjn: 22; Szeged: 25;

MSODIK EPOCHAFZET

24

Szkesfehrvr: 44; Szekszrd: 21; Szolnok: 118; Szombathely: 19; Tatabnya: 43; Veszprm: 14; Zalaegerszeg: 73.

Mennyi az adatok medinja?

29. Blanki virghagymkat ltetett a kertjbe. Hvirgot 55-t, krkuszt 18-at, jcintot 11-et, tulipnt 18-at, nrciszt 17-et, gyngyikt 13-at. Rhel ugyanilyen hagymkat ltetett. Kiderlt, hogy a kt lny ltal ltetett virghagymk szmnak mdusza, medinja s szmtani kzepe is ugyanannyi. Klnbzhetnek-e Rhel virghagyminak szmai Blanki virghagyminak szmtl? Keressnk pldkat!

30. Nyolc szm tlaga 10, medinja 12, mdusza pedig 6 s 12. A legkisebb szm 2, a legnagyobb 15. Mi lehet a nyolc szm?

II.2. A szrds mutati

31. A megadott osztlyzatok alapjn szmtsuk ki az albbi hrom tanul jegyeinek tlagt, mduszt s medinjt:

1. tanul 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2. tanul 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4

3. tanul 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5

Mindegyik esetben mindhrom kzprtk 3, pedig az adatsokasgok eltrtek egymstl. A sokasgok jellemzsre nem elegend kzprtkeket hasznlni, ezrt bevezetjk a szrdst mr szmokat.

A legegyszerbb mrszm, amivel a minta szrtsgt jellemezhetjk a terjedelem.

Definci: A szmsokasg legnagyobb s legkisebb szmnak klnbsgt terjedelemnek nevezzk.

A terjedelmet egyszeren meg tudjuk hatrozni, ezrt gyakran hasznljuk. Htrnya, hogy egyetlen szlssges adat mr nagyon befolysolja ezt a mrszmot. (Az ilyen szlssges adatokat pldul egyes pontozsos sportgakban gy kszblik ki, hogy nem szmtjk a legkisebb s a legnagyobb pontszmot.) Az 5. plda esetn az adatsorokhoz a kvetkez terjedelmek tartoznak: az 1. tanulhoz 0, a 2. tanulhoz 2, a 3. tanulhoz 4.


25

A statisztikban hasznlatos szrds mrszm lehet az tlagos abszolt eltrs.

Definci: Az x1;x2;...;xn szmsokasg egy tetszleges x szmtl vett tlagos abszolt eltrsnek nevezzk a kvetkezt:

( )n

xxxxxxxS n21n

+++=

...

(Legtbbszr az tlagtl val abszolt eltrst szoktk szmolni ilyen mdon. Ez azt jelenti, hogy megadjuk az egyes adatok tlagtl val eltrst (pozitv eljellel), s ezeknek az eltrseknek kiszmtjuk az tlagt.)

32. A mintapldban szerepl hrom tanul osztlyzatainak hatrozzuk meg az tlagtl s a medintl vett tlagos abszolt eltrst!

Lttuk, hogy a kzprtkek megegyeztek a hrom sokasg esetn, de az tlagos abszolt eltrsek (0; 0,55; 1,09) mr mutatjk az adatsorok kztti klnbzsget.

Az tlagos abszolt eltrshez hasonlan szmolhatjuk az tlagos ngyzetes eltrst. Ennek lnyege, hogy nem az eltrsket, hanem azoknak a ngyzett tlagoljuk.

Definci: Az x1;x2;...;xn szmsokasg egy tetszleges x szmtl vett tlagos ngyzetes eltrsnek nevezzk a kvetkezt:

( ) ( ) ( ) ( )n

xxxxxxxD

2n

22

212

n

+++= ...

Ha x pontosan a sokasg tlaga, akkor ezt a szmot a sokasg szrsngyzetnek nevezzk, a belle vont ngyzetgykt pedig szrsnak.

Megmutathat, hogy D2n(x) akkor minimlis, ha x a sokasg tlaga. Ezeket a mrszmokat mr nhny szm esetn is hosszadalmas kiszmtani. A zsebszmolgpek ltalban rendelkeznek a statisztikai funkcikkal, ezek a lehetsgek gyorstjk a munknkat.

33. Hatrozzuk meg a mintapldban szerepl hrom tanul osztlyzatainak a szrst! (Az 1. tanulnl 0, a 2. tanulnl 0,74, a 3. tanulnl pedig 1,35.)

34. Az elz hten hrom tanul jegyeit figyeltk meg. Andrs: 3, 5, 4; Blint: 3, 5, 3, 4, 4; Csab: 2, 1, 3, 5, 4. Szmtsuk ki a szrst mind a hrom adatsor esetn.

MSODIK EPOCHAFZET

26

35. Az albbi tblzat magyarorszgi vrosokban mrt csapadk mennyismutatja havi bontsban.

a ) Add meg az egyes vrosokban mrt csapadkrtkek terjedelmt!

b ) Szmtsd ki a havi csapadkmennyisgek tlagt, s az tlagtl val abszolt eltrst Kecskemten, s rtelmezd az eredmnyt!

c ) Szmtsd ki a csapadkmennyisg

36. Egy profi golfjtkosnak kt tkszlete van, s nem tudja eldnteni, hogy melyikkel r el jobb eredmnyeket. A Mizuno kszletet hasznlva az utols hat jtk eredmnye: 68, 71, 72, 68, 67, 74. A Lynx70, 65, 74, 72, 75, 64. A szmtani kzp s a szrs segtsgvel dntsd el, hogy melyik kszlet hozza az egyenletesebb teljestmnyeket!

37. Egy autakkumultorokat gyrt vezet mrnknek kt gyrtsi eljrs kzl kell vlasztania. Egy-egy 8 elem mintt akkumultorokbl, s megvizsglja lettartamukat. Az lettartamokat (hnapban megadva) a tblzat tartalmazza. Mi az egyes mintk szmtani kzepe s szrsa? Melyik eljrst ajnland a mrnknek? A vlaszod indokold!

38. Egy autgyrt cg az j manyagvizsglta. Klnbz autplykon vgzett mrsek sorn azt mrtk, hogy egy gallon benzinnel hny mrfldet tett meg az aut. (Nzz utna, hogy egy gallon hny liter, s egy mrfltblzat tartalmazza. Hny mrfldet tett meg tlagosan az aut egy gallon benzinnel? Mekkora a szrs?

42 37 40 38

35 38 37 21

Az albbi tblzat magyarorszgi vrosokban mrt csapadk mennyismutatja havi bontsban.

Add meg az egyes vrosokban mrt csapadkrtkek terjedelmt!

Szmtsd ki a havi csapadkmennyisgek tlagt, s az tlagtl val abszolt eltrst Kecskemten, s rtelmezd az eredmnyt!

Szmtsd ki a csapadkmennyisg tlagt s szrst Pcsett!

Egy profi golfjtkosnak kt tkszlete van, s nem tudja eldnteni, hogy melyikkel r el jobb eredmnyeket. A Mizuno kszletet hasznlva az utols hat jtk eredmnye: 68, 71, 72, 68, 67, 74. A Lynx-szel jtszva az eredmnyei

64. A szmtani kzp s a szrs segtsgvel dntsd el, hogy melyik kszlet hozza az egyenletesebb teljestmnyeket!

Egy autakkumultorokat gyrt vezet mrnknek kt gyrtsi eljrs kzl kell egy 8 elem mintt vesz a klnbz eljrssal gyrtott

akkumultorokbl, s megvizsglja lettartamukat. Az lettartamokat (hnapban megadva) a tblzat tartalmazza. Mi az egyes mintk szmtani kzepe s szrsa? Melyik eljrst ajnland a mrnknek? A vlaszod indokold!

Egy autgyrt cg az j manyag-alumnium alap modelljnek fogyasztst vizsglta. Klnbz autplykon vgzett mrsek sorn azt mrtk, hogy egy gallon benzinnel hny mrfldet tett meg az aut. (Nzz utna, hogy egy gallon hny liter, s egy mrfld hny kilomter!) A mrsi eredmnyeket a kvetkez tblzat tartalmazza. Hny mrfldet tett meg tlagosan az aut egy gallon benzinnel? Mekkora a szrs?

39 42 37 36 37 39 38

38 40 40 20 27 22 22

Az albbi tblzat magyarorszgi vrosokban mrt csapadk mennyisgt

Add meg az egyes vrosokban mrt csapadkrtkek terjedelmt!

Szmtsd ki a havi csapadkmennyisgek tlagt, s az tlagtl val abszolt

tlagt s szrst Pcsett!

Egy profi golfjtkosnak kt tkszlete van, s nem tudja eldnteni, hogy melyikkel r el jobb eredmnyeket. A Mizuno kszletet hasznlva az utols hat

szel jtszva az eredmnyei: 64. A szmtani kzp s a szrs segtsgvel dntsd el, hogy

Egy autakkumultorokat gyrt vezet mrnknek kt gyrtsi eljrs kzl kell vesz a klnbz eljrssal gyrtott

akkumultorokbl, s megvizsglja lettartamukat. Az lettartamokat (hnapban megadva) a tblzat tartalmazza. Mi az egyes mintk szmtani kzepe s szrsa?

alumnium alap modelljnek fogyasztst vizsglta. Klnbz autplykon vgzett mrsek sorn azt mrtk, hogy egy gallon benzinnel hny mrfldet tett meg az aut. (Nzz utna, hogy egy gallon

d hny kilomter!) A mrsi eredmnyeket a kvetkez tblzat tartalmazza. Hny mrfldet tett meg tlagosan az aut egy gallon

38 40

22


27

III. Valsznsg-szmts

A valsznsg sz egy esemny bekvetkezsi hajlandsgt jelenti.

Az emberisg trtnete sorn a hazrdjtkok nyersi eslynek, a fogdsok kimenetelnek tallgatsa sok embert foglalkoztatott. Ma ez kln tudomny s zlet. Gondolj csak a szmtalan fogadsi lehetsgre, amit a lott, Tipp-mix, lverseny s ms szerencsejtkok jelentenek! A kockajtkot mr az kori rmai birodalomban is ismertk. Claudius, Augustus, Nero s Caligula is szenvedlyes kockajtkos volt.

Ksbb, az 1600-as vekben Chevaliar de Mr lovag a kvetkez krdssel fordult Pascalhoz, a hres matematikushoz: ha egy kockval ngyszer dobunk, annak nagyobb-e az eslye, hogy egyszer sem dobunk hatost, vagy annak, hogy legalbb egyszer 6-ost dobunk? Pascal pontosan kiszmtotta a krdezett valsznsget, s matematikus bartjval, Fermat-val mg szmos valsznsg-szmtsi trvnyt lltott fel.

A valsznsg szmts megszletst Pascalnak a prizsi Akadmia szmra 1654-ben rt leveltl szmtjuk.

A korbbi matekepochkon szmos valsznsgi ksrletet vgeztnk. Most emlkezznk az egyik legegyszerbbre: egy rmt sokszor feldobunk, s feljegyezzk, hogy hny fejet s hny rst kaptunk. Tapasztaltuk, hogy ha elg sok ksrletet vgznk, akkor a fejek s az rsok relatv gyakorisga is 0,5 krl mozog.

Azt a szmot nevezzk a matematikban egy esemny valsznsgnek, amely krl a bekvetkezsnek a relatv gyakorisga ingadozik.

A valsznsget P-vel jelljk, s zrjelbe rjuk mell az esemnyt, aminek a valsznsgrl sz van. Fenti pldnkban P(rst dobunk) = 0,5.

Taln emlkeztek a gyufs skatulya ksrletre is. Az asztal szlre helyezve alulrl pckltk a gyufsdobozt, s azt jegyeztk fel, hogy melyik lapjra esik. Ennl a ksrletnl azt tapasztaltuk, hogy a klnbz oldalakra val landols valsznsge nem egyenl. Most kpzeletben rjunk szmokat a gyufsdoboz oldalaira 1-tl 6-ig gy, hogy a kt legkisebb lapra kerljn az 1 s a 2, a kzepes mretre a 3 s a 4, a legnagyobb lapokra pedig az 5-6 szmok!

Nhny fogalom kvetkezik:

Egy ksret lehetsges kimeneteleit esemnyeknek nevezzk. Az elbb emltett gyufsdobozos ksrlet lehetsges kimenetelei: az 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6-tal jellt lapjra esik. Egy esemny pldul, hogy a doboz a legkisebb lapjra esik. Ezt az esemnyt tudjuk mg kt tovbbi esemnyre bontani (1-es vagy 2-es lapjra esik).

Az elemi esemnyek olyan kimenetelek, amelyek tovbb mr nem bonthatk.

MSODIK EPOCHAFZET

28

A pckls sorn az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-s, 6-os dobst elemi esemnyeknek hvjuk.

Pnzrme feldobsnl elemi esemnyek: a fej vagy az rs bekvetkezse. Az, hogy dobsok egy sorozatban egyms utn tszr fejet dobunk, sszetett esemny.

Most vizsgljunk olyan valsznsgi ksrleteket, ahol az elemi esemnyek bekvetkezsnek a valsznsge azonos! Ilyen pldul a kockadobs. Itt hat elemi esemny kvezhet be, egyenknt egyhatod valsznsggel. Ezek az esemnyek: 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-s s 6-os dobs. Ez a hat esemny egytt teljes esemnyteret alkot. Ez az jelenti, hogy a ksrlet elvgzsekor ezek kzl pontosan egy kvetkezik be. Ugyanennl a ksrletnl teljes esemnyteret alkot a kvetkez hrom (nem elemi) esemny is: A: a dobott szm 5-tel oszthat, B: a dobott szm pros, C: a dobott szm 1 vagy 3. Ez a hrom esemny is rendelkezik azzal a tulajdonsggal, hogy kzlk pontosan egy kvetkezik be a ksrlet sorn. Itt azonban az egyes esemnyek valsznsge eltr egymstl.

Az olyan teljes esemnyteret, melyben az egyes esemnyek valsznsge egyenl klasszikus valsznsgi meznek nevezzk.

Ebben az esetben egy esemny valsznsgt a kvetkez kplettel szmoljuk:

szmaeset lehetsges sszes

szmaesetelek kedvez aP =

1. Egyszerre dobunk fel hrom rmt. Mi annak a valsznsge, hogy mindegyiknek ugyanaz az oldala kerl fellre?

2. Kt teljesen egyforma, klsre megklnbztethetetlen kockt feldobunk, a dobott szmok sszegt tekintjk. Mekkora annak a valsznsge, hogy a dobott szmok sszege 7?

3. Kt dobkockval dobunk, a dobott szmok sszegt tekintjk. Melyik esemny valsznbb?

A esemny: a dobott szmok sszege legalbb 10; B esemny: a dobott szmok sszege legfeljebb 4.

4. Melyiket vllalnd inkbb?

Kihzok egy szt a 32 lapos magyarkrtya csomagbl Dobok egyms utn 2 hatost a dobkockval Dobok egyms utn 3 rst egy pnzrmvel Kitallom egy illet telefonszmnak utols szmjegyt


29

5. Egy piros s egy fekete dobkockval dobva tudjuk, hogy a dobott szmok sszege 5. Bontsd ezt fl elemi esemnyekre!

6. Egy piros s egy fekete dobkockval dobva tudjuk, hogy a dobott szmok sszege 4. Bontsd fl az sszetett esemnyt azonos valsznsg elemi esemnyekre! Mekkora lesz gy az egyes esemnyek valsznsge?

7. Egy dobkockval dobunk. A ksrlet lehetsges kimeneteleit a kvetkezesemnyekre bontottuk fel:

A1: Ngyest vagy hatost dobunk. A2: Prmszmot dobunk. A3:

a ) Add meg a harmadik esemnyt gy, hogy a hrom esemny egytt teljes esemnyteret alkosson!

b ) Melyik esemnynek mekkora lesz a valsznsge?

8. Mi a valsznsge annak, hogy magyar krtybl egy lapot hzva az a ) a tk als; b ) valamelyik sz; c ) valamelyik rmai szmmal jelzett krtya lesz?

9. A ksrlet az, hogy a magyar krtybl egy lapot hzunk. Adj meg olyan esemnyt, amelynek a valsznsge

a ) 4

1; b )

81

; c ) 21

; d ) 43

10. Kt szablyos dobkockt egymstl fggetlenl feldobva mi a valsznsge annak, hogy a dobott szmok mindegyike prmszm lesz?

11. Hrom dobkockval dobva a dobott szmokat sszeadjuk. Mennyi a valsznsge annak, hogy legalbb 17 lesz az sszeg?

12. Van hrom szmkrtynk a 0; 2; 8 szmjegyekkel. Keverjk ssze, majd helyezzk le mind a hrmat egyms mell. a ) Mi a valsznsge annak, hogy az gy keletkezett szm pros lesz? b ) Mi a valsznsge annak, hogy pratlan szmot rakunk ki? c ) Mi a valsznsge annak, hogy ktjegy szmot raktunk ki? d ) Mi a valsznsge annak, hogy a keletkezett szm hromjegy lesz?

A biztos esemny valsznsge 1. A lehetetlen esemny valsznsge 0. Ha kt esemny bekvetkezse kizrja egymst, de a kt esemny kzl az egyik mindig bekvetkezik, akkor ez a kt esemny egyms komplementere. Komplementer esemnyek valsznsgnek sszege 1.

MSODIK EPOCHAFZET

30

13. Vlaszd ki az albbi esemnyek kzl azokat, amelyek lehetetlen esemnyek, s azokat, amelyek biztos esemnyek!

A: Idn jliusban valamelyik nap Magyarorszgon esni fog az es.

B: Egy pnzrmvel 10-szer egyms utn fejet dobunk.

C: Egy szablyos dobkockval 7-tel oszthat szmot dobunk.

D: Ha 30-szor feldobunk egy rmt, legalbb 1 fej is lesz a dobsok kztt.

E: Ha kt egsz szmot sszeszorzunk, az eredmny egsz szm lesz.

F: Ha kt egsz szmot elosztunk egymssal, az eredmny racionlis lesz.

14. Egy kockval dobunk, hatrozzuk meg az albbi esemnyek komplementer esemnyt!

C: A dobott szm pros.

D: A dobott szm legalbb 5.

E: A dobott szm kisebb, mint 3.

F: A dobott szm prmszm.

15. Kt kockval dobunk egy alkalommal. Add meg a lehetsges kimenetelekhez a komplementer esemnyt! a ) Mindkt kockval egyest dobunk. b ) Legalbb az egyik kockval egyest dobunk. c ) A dobott szmok sszege 10. d ) A dobott szmok sszege legalbb 10. e ) A dobott szmok sszege legfeljebb 11.

16. Van 5 szmkrtynk: 1; 2; 5; 6; 8. Letesszk ezeket egyms mell. A keletkez szmra vonatkoznak a krdsek. Fogalmazd meg az esemnyek komplementer esemnyt! Szmtsd ki mindkt esemny valsznsgt! a ) A: 5-tel oszthat szmot kapunk. b ) B: 3-mal oszthat szmot kapunk. c ) C: A keletkezett tjegy szmban a szmjegyek nem nvekv sorrendben

kvetik egymst.

17. Zrs eltt egy cukrszdban mr csak hromfle rtes maradt: meggyes, trs, alms. Bemegy egy vev, aki ngy szelet rtest szeretne vsrolni. Az eladra bzza, hogy milyen rtest ad neki. a ) Milyen kimenetelek lehetsgesek? b ) Mely esemnyek lehetsgesek az albbiak kzl, melyik biztos s melyik

lehetetlen? A: Mindegyik fajtbl kapott. B: Valamelyik fajtbl legalbb kt szeletet kapott. C: Mindegyik rtes, amit kapott, klnbzfle. D: Kt szelet meggyes rtest kapott.


31

IV. Feladatgyjtemny

Sorozatok

f1. Most kplettel adjuk meg a sorozat kpzsi szablyt. rd fel a sorozat els 10 elemt!

a ) 4na n += b ) n54

1b n =

f2. Igaz-e, hogy az

a ) ( )

2

1nna n

+= sorozat hetedik tagja 29a 7 = ?

b ) n

n2nb

2

n

+= sorozat minden tagja egsz szm?

c ) 1n

10ncn +

= sorozat minden tagja trtszm?

d ) 2n

n3d n +

= sorozat minden tagja pozitv szm?

e ) 3n

18n2e

2

n += sorozatnak tagja az 1 908 781?

f3. Egy sorozat kpzsi szablya: ( )2n 2na = . a ) Add meg a sorozat els t elemt, valamint a szzadik elemt is! b ) Ksztsd el a sorozathoz tartoz grafikont is! c ) Hnyadik eleme a sorozatnak a 400? d ) Tagja-e a sorozatnak az 1948?

Szmtani sorozatok

f4. Kt kalz osztozkodik a zskmnyon. gy egyeztek meg, hogy felvltva vlasztanak. Az els 3 trgyat vehet el, sz ezt kveten mindig 2-vel tbbet lehet kivenni, mint elzleg. A tzedik elvtel utn a zskmny ppen elfogyott.

a ) Hny darabbl llt a zskmny? b ) Melyik kalznak lett tbb kincse?

f5. Add meg a sorozatok els t elemt, s a szzadikat is! brzold az els nhny elemet grafikonon! Melyik kplet ad szmtani sorozatot?

a ) n32a n += b ) 1nb2

n = c ) 2n n1

c =

d ) ( )nn 1d = e ) nnn

e2

n

+= f ) n10f n =

f6. Kpezd a pozitv egsz szmok 5-tel val osztsi maradkt! a ) Hny klnbz eleme van ennek a sorozatnak? b ) Ksztsd el a sorozathoz tartoz grafikont! c ) Hatrozd meg a kvetkez rtkeket: a7; a1526; an+5-an

MSODIK EPOCHAFZET

32

f7. brzold grafikonon az 3na n = sorozat els hat elemt! Hnyadik eleme ennek a sorozatnak a 122? Jellemezd korltossg szempontjbl a sorozatot!

f8. Egy vendgl tulajdonosnak ngyzet, illetve tglalap alak asztalai vannak. Nagyobb rendezvnyekhez az asztalokat s a szkeket az brkon lthat mdon szokta elrendezni:

a ) Az egyes elrendezseknl hny vendget tud leltetni 8 asztal mell? b ) Az egyes elrendezseknl hny vendget tud leltetni 20 asztal mell? c ) Keress kpletet arra, hogy n asztal mell hny vendget tud leltetni? d ) A c)-ben megalkotott kpletet ellenrizd n = 8-ra s n = 20-ra!

f9. Egy nagyapnak 3 gyereke van, s minden gyereknl 3 3 unokja. Az unokk kztt a legfiatalabb 1 ves, s 2 2 v korklnbsg van az unokk kztt.

a ) Hny szl gyertya kerl a legidsebbik unoka szletsnapi tortjra? b ) Hny szl gyertyt fjtak el egy v alatt sszesen az unokk a szletsnapi

tortkon? c ) Hnyat fognak jvre elfjni?

f10. rd fel a szmtan sorozat els t tagjt, s ksztsd el a hozzjuk tartoz grafikonokat!

a ) az els elem 2, s a klnbsg 1,5 b ) 3

1a1 = s 2

1d =

c ) az els elem 3, s a msodik elem 4,5 d ) 7,0a1 = s 4,1a 2 = e ) 8,4a3 = s 5a 4 = f ) 2,9a3 = s 4,8a 4 =

f11. Egy szmtani sorozat harmadik eleme 31

, hatodik eleme 61

. Mennyi a sorozat

differencija, s az els eleme?

f12. Egy szmtani sorozat msodik elme 22, negyedik eleme 12. a ) Mi a sorozat tzedik eleme? b ) Mennyi az els s az tdik elem szmtani kzepe? c ) Hny pozitv eleme van a sorozatnak? d ) Mennyi az els tz elem sszege?

f13. Az bra szerint ptkeznk, szablyos hromszgekbl a ) Hny kis hromszg lenne az bra tzedik sorban? b ) Hny kis hromszg lenne az els tz sorban sszesen? c ) Add meg a kpletet ltalnosan az n-edik sor

hromszgeinek a szmra, s az els n sor sszes hromszgnek szmra!

1.

2.

3.


33

f14. Mekkork a hromszg szgei, ha azok szmtani sorozatot alkotnak, s a ) a legkisebb szg 45-os? b ) a legnagyobb szg 82-os? c ) a legnagyobb s a legkisebb szg klnbsge 120? d ) a legnagyobb s a legkisebb szg sszege 120? e ) a legnagyobb s a legkisebb szg sszege 100?

f15. Egy szmtani sorozatban az els elem 8, az els hrom elem szmtani kzepe 12.

a ) Mennyi a sorozat differencija? b ) Mennyi az els nyolc elem sszege? c ) Hny sorozatbeli elem van 100 s 200 kztt?

f16. Egy ngyszg szgei 12 differencij szmtani sorozatot alkotnak. Mekkork az egyes szgek?

f17. Egy tszg bels szgei szmtani sorozatot alkotnak. A legkisebb szg 42-os. Mekkork az tszg bels s kls szgei?

Mrtani sorozatok

f18. Egy tavirzsa minden nap ktszeresre n, gy 50 nap alatt nvi be az egsz tavat. Hnyadik napon fedi be a t felt? Hny nap alatt fedi be a tavat 4 ilyen tavirzsa?

f19. rd fel a mrtani sorozat els t elemt, s add meg az sszegket is! a ) Els elem 3, a hnyados 4.

b ) Els elem 2, a hnyados 3

2.

f20. Egy mrtani sorozat els eleme 5, harmadik eleme 125. Mi a sorozat msodik eleme?

f21. Hatrozd meg a mrtani sorozat els elemt, ha a ) a msodik eleme 3, a harmadik eleme 1,5. b ) az tdik s a hetedik eleme is 7. c ) a negyedik s a hatodik eleme is 7 d ) a nyolcadik eleme 256, a hnyadosa 2.

f22. Egy 10 m mly kt kisshoz melyik kts ajnlatt fogadnd el?

A: A kiszllsi dj 10 000 Ft, utna minden mterrt 3000 Ft-ot kell fizetni.

B: Az els mter 500 Ft, utna minden mterrt 1000 Ft-tal kell tbbet fizetni az elznl.

C: Az els mter 2 Ft, utna minden mter ra 3-szorosa az elznek.

f23. Egy leejtett teniszlabda minden fldet rskor visszapattan az ejtsi magassg 0,9 rszig. Mekkora magassgban fogja ez az gyetlen teniszez az 1 m-rl

MSODIK EPOCHAFZET

34

leejtett labdt, ha az 4-szer pattant a fldn? sszesen mekkora utat tett meg a labda?

f24. Egy 100 kg-os ember 2 hnapos szigor ditba kezd. Hetente tmegnek 2%-t sikerl leadnia. Hny kg lesz a fogykra elteltvel?

f25. A hztartsi gpek ves amortizcija 25%. Mennyit r 3 v mlva a ) a 345 eurs mosgp? b ) az 1250 eurs plazmatv? c ) a 112 eurs mikro?

f26. vi 20%-os kamat hitel felvtele esetn hny v alatt nvekszik tartozsunk a dupljra?

f27. Egy mrtani sorozat els eleme 2, hnyadosa 3. rd fel a sorozat els t elemt, s add meg az sszegket is!

f28. Egy mrtani sorozat els eleme -2, hnyadosa 1/3. rd fel a sorozat els t elemt, s add meg az sszegket is!

f29. Egy mrtani sorozat els eleme -2, hnyadosa 3. Hnyadik eleme a sorozatnak a -54; -162 s a -1458?

f30. Egy laboratriumban 600 mg radioaktv anyag van, melynek mennyisge rnknt megfelezdik. Mennyi lesz a radioaktv anyag mennyisge 6 ra mlva?

f31. Mennyit r 5 v mlva az 1,4 M Ft-os mezgazdasgi kisgp, ha az ves amortizcija 15%?

f32. Egy erd fallomnya 8000 m3. Mekkorra n az erd fallomnya 5 v alatt, ha az vi gyarapods tlagosan 3%?

f33. Megvegyk-e azt a lovat, amelynl csak a patkszgekrt kell fizetni? Az els patkszg 1 Ft, a kvetkez 2 Ft, majd 4 Ft Egy patkban 6 szg van.

f34. Kinek lesz tbb pnze a harmadik v vgn? Pisti 30 000 Ft-ot tesz be a bankba. Az ves kamatlb 10%. Jzsi minden v elejn 10 000 Ft-ot tesz be a bankba, de olyan bankot tallt, ahol az egyenletes megtakartst 12%-os kamattal jutalmazza a bank.

f35. Egy mrtani sorozatban 33 =a , 249 =a . Mennyi az 12S ?

f36. * Egy mrtani sorozat msodik tagja 3, hatodik tagja 12. Mennyi az 10S ?

f37. *** Egy mrtani sorozat ht tagja kzl az els hrom tag sszege 21, az utols hrom sszege 336. Add meg a sorozat 7 tagjt!

f38. *** Egy mrtani sorozat els hrom tagjnak sszege 39, szorzata 729. Melyik ez a hrom tag?


35

f39. * Egy egyenlszr hromszg szra 4 cm hossz. A hromszg szra, alapja s az alaphoz tartoz magassga, ebben a sorrendben, egy mrtani sorozat egymst kvet hrom tagja. Mekkora a hromszg alapja?

f40. * Hrom knyvrt sszesen 7280 Ft-ot fizettnk. A legdrgbb knyv 1520 Ft-tal volt olcsbb, mint a msik kett egyttvve. Mennyibe kerltek a knyvek, ha ruk egy mrtani sorozat 3 egymst kvet tagja?

Statisztika

f41. Szeptember harmadik hetben a kvetkez hmrskleteket mutatta a hmr reggel 630-kor, htftl pntekig: 13,1C; 14,4C; 16,8C; 20,7C; 20,7C. Szmtsd ki a hmrskletek tlagt!

f42. Egy mrssorozat alkalmval leend fizikusok a kvetkez eltrseket talltk a megadott rtkektl: 2; 1; 2; 0; 3. Mennyi a hibk tlaga s terjedelme?

f43. Lehetsges-e egy 30 fs osztlyban 3,15-os osztlytlag? Indokold vlaszod!

f44. Egy jgkorong csapat 6 fbl ll, tlagletkoruk 20 v. Mennyivel vltozik a plyn maradk tlagletkora, ha a meccsen killtanak egy

a) 20 ves jtkost? b) egy 25 ves jtkost? c) egy 15 ves jtkost?

f45. Egy taxis ma 2; 1; 3; 1; 1; 2; 1; 3; 4; 4; 3; 3; 1 utast szlltott egy-egy fuvarral. Add meg az egyszerre utazk tlagt, mduszt s medinjt!

f46. Kati tribl eddig a kvetkez jegyeket kapta: 3; 4; 3; 5. Mg egy dolgozatot fog rni. Legalbb hnyast kell szereznie, ha v vgn 4-est szeretne, s a tanr csak 6 tized felett adja meg a jobb jegyet?

f47. Budapesten a napstses rk szma 1997-ben 2075 ra, 1998-ban 2038 ra, 1999-ben 1981 ra s 2000-ben 2209 ra volt.

a ) Hatrozd meg a fenti adatokbl az tlagot s a szrst!

b ) Hasonltsd ssze a kapott adatokat az 1946-1950-ig mrt napstses rk szmnak 2196-os tlagval!

Valsznsg-szmts

f48. Egy elvetemlt matematikus a ruletten egyszerre fogadott az sszes prmszmra. Mekkora a valsznsge, hogy nyert? (A rulettkerken 0-tl 36-ig szerepelnek a szmok.)

f49. Egy dobkockval hromszor dobunk egyms utn, a kapott szmokat feljegyezzk. Mekkora valsznsggel lesz az gy keletkez hromjegy szm

a) pros b) nagyobb, mint 450 c) csupa klnbz jegy

f50. Hrom rmt feldobva mekkora a valsznsge, hogy lesz legalbb egy fej?

MSODIK EPOCHAFZET

36

f51. A 32 lapos magyar krtybl hzunk 5 lapot, s feljegyezzk ket sorban egyms utn. Mekkora a valsznsggel kapunk vgl 3 pirosat s 2 tkt, ha a lapokat

a) nem tesszk vissza ? b) minden hzs utn visszatesszk?

f52. A kockapkerben 5 kockval dobunk egyszerre. Ha az t dobott szm megegyezik, akkor nagy pkerrl, ha csak ngy szm egyezik meg, kis pkerrl beszlnk. a ) Mekkora a valsznsge a nagypkernek ebben a jtkban? b ) Mennyi a valsznsge a kispkernek?

Documents

10. évfolyam, harmadik epochafüzetMÁSODIK EPOCHAFÜZET 2 TARTALOM I. Sorozatok 4 I.1. Sorozatok megadása, definíciója ...suranyisz.hu/acdc/matematika/harmadik_epocha/harmadik... ·