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8/16/2019 100411 62 Trabajo Colaborativo 1
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAEscuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería
Cálculo Inegral!""#!!$%&
Calculo inegral
Tra'a(o cola'orai)o *ase !
+resenado or-
Daner. Eliana /)ila 0ar12n
C2digo- !"3!4%4&54
Aura 6argaria Villa
C2digo- !"7%58774"
Asdr9'al Roa Ordo:e1
C2digo- !"4&!&3&"4
Alison Caroline Nieo ;ende(as
C2digo
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAEscuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería
Cálculo Inegral!""#!!$%&
Introducción
El cálculo es una ra@a de las @ae@áicas en el roceso de inegraci2n o ani deri)aci2n es@u. co@9n en la ingeniería . en la @ae@áica general se uili1a rincial@ene ara elcálculo de áreas . )ol9@enes de regiones . s2lidos de re)oluci2n<
ue usado or ri@era )e1 or ciení*icos co@o Aruí@edes, Ren Descares, Isaac Neon, 0o*ried Lei'ni1 e Isaac Barro< Los ra'a(os de ese 9li@o . los aores de Neon generaron el eore@a *unda@enal del cálculo inegral, ue roone ue laderi)aci2n . la inegraci2n son rocesos in)ersos<
En el desarrollo de ese e(ercicio se reende ue los esudianes aduieran conoci@ienosacerca de la inerreaci2n de los daos de cada uno de los e(ercicio ue se resenan en la
guía, reconocer el conenido de la inegral co@o la deri)ada esas son erra@ienasi@oranes ue a.udan a resol)er ro'le@as en la *ísica, la esadísica, la ro'a'ilidad, laidráulica . oros ca@os de la ciencias, es or eso ue los e@as a'ordados en esa unidadson i@oranes<
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Cálculo Inegral!""#!!$%&
Objetivo general
Logra@os desre1as . a'ilidades roios . esecí*icos ue se reuieren ara ener un@e(or do@inio del e@a, . oder así reararnos ara dar soluciones a las di*erenesano@alías ue se resenen en nuesro @edio ersonal, la'oral . ro*esional@ene<
Se logran enendi@ienos claros . re*or1a@os nuesros conoci@ienos desarrollando cadauno de los ro'le@as laneados guiándonos aso a aso a nuesro arendi1a(e<
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Cálculo Inegral!""#!!$%&
Ejerció numero 1: ∫ x
3+ x−2 x
2 dx
+ri@ero ue odo se searan los r@inos de la inegral de al *or@a ue no ueden su@as oresas en el nu@erador<
¿∫ x3
x2 dx+∫ x
x2 dx−∫ 2
x2 dx
Luego se rocede a reali1ar la inegral de cada una or aare<
∫ x3
x2dx=
x2
2
∫ x x
2 dx=
−2 x
∫ 2 x
2 dx=
−1 x
+or ende la resuesa seria-
¿ x
2
2 −
1
x=−2 x +c
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Cálculo Inegral!""#!!$%&
Ejerció 2: ∫Sec
2 ( x )
√ tan ( x )dx
a< Usa@os eFonenes *raccionarios . negai)os-
∫ tan−12 x sec3 x dx
'< Seara@os el *acor con eFonene i@ar-
∫ tan−12 x sec2 x secx dx
c .Usamos tan2 x+sec2 x=1∴ sec2 x=1−tan2 x ; sustituimos ymultiplicamos -
∫ tan−12 x (1−tan2 x )Secx dx
∫ (tan−12 x Secx− tan
−32 x secx )dx
∫ tan−12 x secx dx−∫ tan
−32 x secx dx
∫ tan1
2 xd (tanx )−∫ tan3
2 xd ( tanx )
d .Usamos∫U n du=U n+1
n+1 +C y reemplazamos.
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Cálculo Inegral!""#!!$%&
tan1
2 x
1
2
−sec
5
2 x
5
2
+C
2tan1
2 x−2
5 tan
2
5 x+C
2√ tanx−2√ tanx √ tan
4 x
5 +C
2√ tanx(1−√ tan
4
x5 )+C
2√ tanx(1− tan2 x
5 )+C
Ejerció Numero 3.
1+3 x¿2
¿¿ 3√ x¿¿∫ ¿
1+3 x¿2
¿¿ 3√ x¿¿∫ ¿
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Cálculo Inegral!""#!!$%&
¿∫ 9 x2
+6 x+13√ xdx
Alica@os la regla de la su@a- Inegral de la su@a
Seara@os las *unciones es decirG los r@inos de la inegral
∫ f ( x )±g ( x )dx=∫ f ( x ) dx±∫g ( x )dx
∫ 9 x2
3√ x
dx+∫ 6 x3√ x
dx+∫ 13√ x
dx
Se resuel)e cada inegral or searado-
+ri@era Inegral-
∫ 9 x2
3√ x
dx
Se eFrae la Consane-
∫a∗f ( x ) dx=a∗∫ f ( x ) dx
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¿9∫ x2
3√ x
d=9∫ x5
3 dx
Alicar la regla de la +oencia-
∫ xa dx= xa+1
a+1a≠−1
∫ 9 x2
3√ x
dx=9 x
5
3+15
3+1
Segunda Inegral-
∫ 6 x3√ x
dx
Se eFrae la Consane-
∫a∗f ( x ) dx=a∗∫ f ( x ) dx
¿6∫ x3√ x
d=6∫ x2
3 dx
Alicar la regla de la +oencia-
∫ xa dx= xa+1
a+1a≠−1
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6 x
2
3+12
3+1
Si@li*icar-
6 x
2
3+12
3+1
=18 x
5
3
5
∫ 6 x3√ x
dx=18 x
5
3
5
Tercera Inegral-
∫ 13√ x
dx
Usar la +roiedad de los EFonenes-
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1
an=a−n
13√ x
= x−13 =∫ x
−13 dx
Alicar la regla de la +oencia-
∫ xa dx= xa+1
a+1a≠−1
¿ x
−13 +1
−13 +1
Si@li*icar-
∫ 13√ x
dx=3 x
2
3
2
Se unen los resulados de las res inegrales< Agregar una consane a las soluci2n-
Si dF ( x )
dx =f ( x ) entonces∫ f ( x ) dx= F ( x)+C
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1+3 x¿
2
¿¿ 3√ x¿¿∫ ¿
Ejercicio número 4:
∫tan
3
( x ) dx
Descomponemos tan3 ( x ) en:
∫ tan ( x )∗tan2 ( x )dx ; Donde la idenidad rigono@rica de tan2 ( x )=Sec2 ( x )−1
∫ tan ( x ) [Sec2 ( x )−1 ] dx , donde @ulilica@os . o'ene@os
∫ tan ( x )∗Sec2 ( x )−tan ( x )dx ; Luego
∫ tan ( x )∗Sec2 ( x ) dx−∫ tan ( x ) dx ,
Reali1a@os la ri@era inegral or susiuci2n or susiuci2n ara o'ener su resulado
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DondeU =tan ( x ) y du=Sec2 ( x ) dx ; Susiui@os e inegra@os ∫udu=u
2
2 +c
ree@la1a@os . o'ene@os1
2 tan
2( x )
Reali1a@os la segunda inegral in@ediaa ∫ tan ( x ) dx=−log (cos ( x ) ) . organi1a@os la
resuesa1
2 tan
2 ( x )−[−log (cos ( x ) ) ]=12 tan
2 ( x )+log (cos ( x ))
Resuesa1
2 tan
2 ( x )+ log (cos ( x ) )+c
El con(uno de odas las anideri)adas de *HF se lla@a inegral inde*inida de * reseco a F,. se denoa or el sí@'olo ∫ f ( ) dx= F ( )+C < Resol)er las siguienes inegrales<
Ejercicio Numero 5
∫ √ 2+93√ x
3√ x
dx
Soluci2n-
2+9 x1
3¿1
2
¿
¿ x2
3
¿¿
¿∫ ¿
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Jalle@os x=2+9 x1
3=9.1
3 x
−23 dx
dx=3 x−23 dx
dx=3dx
x2
3
dx=dx
3 =
dx
x
2
3
2+9 x1
3 ¿3
2+c
¿1
3∫ x
1
2 dx=1
2.2
3 x
3
2+c=2
9¿
2+9 3√ x¿3
2+c2
9
¿
Ejercicio número 6.
∫ x√ 3− x
4dx
Alicar Inegraci2n or Susiuci2n-
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g ( x )∗g ( x ) dx=∫ f (u )du ,f ¿
∫¿
u=g ( x )u= x2 du=2 xdx
Susiuir-
u= x2
du
dx=2 x
d
dx=( x2)
Alicar la regla de la +oencia-
d
dx ( xa )=a∗ xa−1
d
dx=( x2 )=2 x2−1
Si@li*icar-
¿2 x2−1=2 x
Dese(ar du-
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du
dx=2 x=du=2 xdx
Dese(ar dF-
dx= 1
2 x du
Se une la inegral inde*inida con dF
∫ x√ 3− x
4
1
2 x du
∫ 12√ 3− x
4du
Alicar Inegraci2n or Susiuci2n-
u= x2
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∫ 12√ 3−u
2du
Sacar la Consane-
∫a∗f ( x ) dx=a∗∫ f ( x ) dx
1
2∫ 1
√ 3−u2du
Alicar Inegraci2n or Susiuci2n-
g ( x )∗g ( x ) dx=∫ f (u )du ,f ¿
∫¿
u=g ( x )u=√ 3 sen (! )du=√ 3cos (! )d!
Susiuir-
u=√ 3 sen(!)
√ 3 sen (! ) ¿2
¿¿
3−¿√ ¿1¿
∫ 1√ 3−u
2 du=∫¿
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√ 3 sen ( ! )¿2
¿¿
3−¿√ ¿1¿∫ ¿
¿1
2∫ √ 3cos (! )
√ 3−3 sen2 ( ! ) d!
Sacar la Consane-
∫a∗f ( x ) dx=a∗∫ f ( x ) dx
¿1
2 √ 3∫ cos ( ! )
√ 3−3 se n2 (! )
d!
Alicar la +roiedad Alge'raica
1+"
a(a+")=a ¿
3−3 sen2 ( ! )=3(1−3 sen2 (! )
3 )
¿1
2 √ 3∫ cos ( ! )
√3 (1−3 se n
2 ( ! )3 )
d!
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Si@li*icar-
¿1
2 √ 3∫ cos ( ! )
√ 3√ 1−sen2 ( ! )
d!
Usar la siguiene Idenidad rigono@rica-
1−sen2 ( x )=co s2 ( x )
¿1
2 √ 3∫ cos (! )
√ co s2 ( ! )√ 3
d!
!cos (¿)¿
√ cos2 (! )=¿
¿1
2 √ 3∫ cos (! )
cos (! ) √ 3 d!
Si@li*icar-
¿1
2 √ 3∫ 1
√ 3d!
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Inegral de una consane-
∫f (a
)dx= x∗f (a
)
¿1
2 √ 3
1
√ 3!
Susiuir en la ecuaci2n
!=arcsen( 1√ 3 u) ,u= x2
¿1
2 √ 3
1
√ 3arcsen( 1√ 3 x
2)
Si@li*icar
¿1
2 arcsen( x
2
√ 3 )
Agregar una consane a las soluci2n-
Si dF ( x )
dx =f ( x ) entonces∫ f ( x ) dx= F ( x)+C
∫ x√ 3− x
4dx=
1
2 arcsen( x
2
√ 3 )+C
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El con(uno de odas las ani deri)adas de *HF se lla@a inegral inde*inida de * reseco a F,
. se denoa or el sí@'olo ∫ f ( )dx= F ( )+C < Resol)er las siguienes inegrales<
Ejercicio
∫ Sen (4 x ) .cos (3 x ) dx
!< Si@li*icar @ediane idenidad rigono@rica<
Senx .Cosy=
1
2 [Sen ( x− y )+Sen ( x+ y ) ]
&< Se susiu.e . se desglosa en dos inegrales-
∫ Sen4 x .cos 3 x=dx=∫ 12
[ Sen (4 x−3 x )+Sen (4 x+3 x ) ] dx
1
2 [Sen (4 x−3 x )+Sen (4 x+3 x ) ]
1
2∫ Sen1 x dx+∫Sen7 x dx
A B
7< Se resuel)e cada inegral or searado-
+ri@era Inegral-
#=1
2∫ Sen1 x dx=1
2∫ Sen1 x dx
u
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u=1 x du=1dx
Se co@lea la inegral . se reali1a el ca@'io de )aria'le-
#=1
2 (11 )∫ Sen1 x1dx=12∫ Senudu=−12 cosu+C
Senu du
#=−12 cos1 x+C
Segunda Inegral-
$=1
2∫ Sen7 x dx=1
2∫ Sen7 x dx
u
u=7 x du=7dx
La inegral se co@lea . se reali1a el ca@'io de )aria'le-
$=1
2 ( 17 )∫ Sen7 x 7dx= 114∫ Senudu=−114 cosu+C
Senu du
$=−114
cos7 x+C
#< Al *inal se unen los resulados de las dos inegrales-
∫ Sen (4 x ) cos (3 x ) dx=−12 cos1 x+C −
1
14 cos7 x+C
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Ejercicio Número !:
% cos
3 (t )+1
cos2 (t )
dt
+ara e@e1ar, de'e@os uili1ar la regla de la su@a, esa regla dice ue-
% f ( x ) ± g ( x ) dx= % f ( x ) dx± % g ( x )dx
+or ano, ene@os ue-
% cos
3 (t )+1
cos2 (t )
dt + % 1
cos2 ( t )
dt
Aora, resol)e@os cada ele@eno de la ecuaci2n-
% cos
3 (t )+1
cos2 (t )
dt
Si@li*ica@os-
% cos (t )dt
Y, alica@os la regla de la inegraci2n-
% cos (t )dt =sen (t )
Aora-
% 1
cos2 (t )
dt
I@le@ena@os nue)a@ene la regla de la inegraci2n-
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% 1
cos2 (t )
dt =tan (t )
Así, ene@os aora-
sen(t )+ tan (t )
+or 9li@o, agrega@os una consane a la ecuaci2n-
sen (t )+ta n (t )+C
Ejercicio Numero 12
Alicar el segundo Teore@a *unda@enal del cálculo ara resol)er
∫0
&
4
sen3(2 x)cos (2 x)dx
∫0
& 4
sen3(2 x)cos (2 x)dx
∫ sen3(2 x)cos (2 x)dx
Alicar Inegraci2n or Susiuci2n-
g ( x )∗g ( x ) dx=∫ f (u )du ,f ¿
∫¿
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u=g ( x )u=2 x du=2dx
¿∫ se n3(u)cos (u) 12
du
Sacar la consane-
∫a∗f ( x ) dx=a∗∫ f ( x ) dx
¿1
2∫ se n3
(u)cos (u)du
Alicar Inegraci2n or Susiuci2n-
g ( x )∗g ( x ) dx=∫ f (u )du ,f ¿
∫¿
u=g ( x ) !=sen(u)d!=cos(u)du
¿1
2∫ !3du
Alicar la Regla de la +oencia-
∫ xa dx= xa+1
a+1, ≠ a−1
¿1
2
!3+1
3+1
Susiuir en la ecuaci2n
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u=2 x!=sen (u ) ,¿
¿1
2
sen3+1(2 x )3+1
Si@li*icar-
¿1
8 se n
4 (2 x )
Agregar una consane a la soluci2n
Si dFx
dx =f x entonces∫ fxdx= Fx+C
¿1
8 se n4 (2 x )+C
Calcular los Li@ies-
∫0
& 4
se n3 (2 x ) cos (2 x )dx :∫
0
& 4
se n3 (2 x ) cos (2 x ) dx
1
8
−0
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x' a+¿ ( F ( x ) ) '"−¿ ( F ( x ) )−lim
¿¿
∫0
& 4
f ( x ) dx= F (" )− F ( a )=lim¿¿
x '0+¿( 18 se n4 (2 x ))=0lim¿¿
x'0+¿(1
8 se n4
(2 x ))lim¿¿
Susiuir la Varia'le
¿1
8 se n
4 (2∗0 )
Si@li*icar
¿0
x ' &
4−¿( 18 se n4 (2 x ))
lim¿¿
Susiuir la Varia'le
¿1
8 se n
4 (2 & 4 )
Si@li*icar-
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¿1
8
¿1
8−0
∫0
&
4
sen3 (2 x ) co s (2 x )dx=
1
8
"onclu#ione#
• Aduiri@os conoci@ienos . rinciios en ese ra'a(o reali1ado se arendi2 los
conceos 'ásicos so're el cálculo inegral . sus alicaciones< Se arendi2 ue dadauna *unci2n no negai)a *HF, . un iner)alo Ka, ' en el cual la *unci2n es de*inida,lla@are@os inegral de*inida de *HF en Ka, ' al área encerrado or la cur)a * enre a. b, . el e(e OM<
• Desarrolla@os conoci@ienos claros ue son de gran a.uda ara en el e@a
laneado re*or1ando nuesro ni)el inelecual alicado a nuesro @edio
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Cálculo Inegral!""#!!$%&
$ibliogra%&a
To@ado de @aerial didácico Calculo Inegral<
'niver#idad nacional abierta ( a di#tancia ) unad escuela de ciencias 'ásicas, ecnologíae ingeniería<
RONDON DURAN, =orge Eliecer, 6odulo de cálculo di*erencial, Uni)ersidad NacionalA'iera . a Disancia< UNADG Bogoá D