LEZIONE 10

10.1. Sfere nello spazio.In questa lezione studieremo alcuni oggetti geometrici “non lineari”, circonfe-

renze e sfere nello spazio A3. Poiché le proprietà delle circonferenze nel piano sonodel tutto analoghe alle proprietà delle sfere nello spazio ci limiteremo ad esaminarequest’ultimo caso.

Definizione 10.1.1. Sia C ∈ A3, % ∈ R, % > 0. Definiamo sfera S(C, %) di centroC e raggio % il luogo dei punti P ∈ A3 tali che d(P,C) = %.

O y

z

S(C,ρ)

x

C ρ

Figura 10.1

Poiché entrambe le quantità ai due membri dell’equazione d(P,C) = % sonopositive, questo è equivalente alla condizione d(P,C)2 = %2. Esprimiamo talecondizione in coordinate: se C = (xC , yC , zC) ∈ A3, si ottiene l’equazione carte-siana della sfera nello spazio

(x− xC)2 + (y − yC)2 + (z − zC)2 = %2.

Svolgendo i conti otteniamo la cosiddetta equazione della sfera di centro C =(xC , yC , zC) e raggio %

(10.1.2) x2 + y2 + z2 − 2xCx− 2yCy − 2zCz + x2C + y2C + z2C − %2 = 0 :

ciò significa che

S(C, %) = { (x, y, z) | x2 +y2 +z2−2xCx−2yCy−2zCz+x2C +y2C +z2C−%2 = 0 }.

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2 10.1. SFERE NELLO SPAZIO

Esempio 10.1.3. La sfera di centro C = (0,−2, 1) e raggio % = 1 ha equazione(x− 0)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 − 1 = x2 + y2 + z2 + 4y − 2z + 4 = 0.

Si noti che, essendo noi interessati al luogo dei punti che annullano l’Equazione(10.1.2) e non all’equazione stessa, possiamo ad essa sostituire un qualsiasi suomultiplo non nullo: quindi, per ogni λ ∈ R non nullo, abbiamo ancheS(C, %) = { (x, y, z) | λ(x2+y2+z2−2xCx−2yCy−2zCz+x2C +y2C +z2C−%2) = 0 }.Esempio 10.1.4. Ricordando l’Esempio 10.1.3, osserviamo che anche equazione

−2x2 − 2y2 − 2z2 − 8y + 4z − 8 = 0è un’equazione cartesiana della sfera di centro C = (0,−2, 1) e raggio % = 1.

Si ha, dunque, un’equazione di grado 2 nelle coordinate del punto generico. Taleequazione ha due caratteristiche principali. La prima è che manca dei monomi“misti” (cioè in xy, xz, yz). La seconda è che i coefficienti dei termini quadraticisono non nulli ed uguali fra loro.

Viceversa supponiamo di avere un’equazione di grado 2 con tali proprietà.A patto di dividere per il coefficiente comune dei termini quadratici, abbiamoun’equazione della forma(10.1.5) x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = 0 :ci domandiamo se l’Equazione (10.1.5) rappresenta una sfera e, in caso affermativo,come calcolare il suo centro ed il suo raggio.

Confrontando le Equazioni (10.1.2) e (10.1.5) deduciamo che dovrebbero esisterexC , yC , zC ∈ R e % ∈ R positivo per cui valgano le relazioni

α = −2xC , β = −2yC , γ = −2zC , δ = x2C + y2C + z2C − %2,quindi

xC = −α

2, yC = −

β

2, zC = −

γ

2, 4%2 = α2 + β2 + γ2 − 4δ.

Abbiamo perciò la seguente

Proposizione 10.1.6. L’insiemeS = { (x, y, z) | x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = 0 }

è una sfera in A3 se e solo se α2 + β2 + γ2 − 4δ > 0.Se ciò accade, risulta S = S(C, %) ove

C =(−α

2,−β

2,−γ

2

), % =

√α2 + β2 + γ2 − 4δ

2. �

Per semplicità, qualora valga la condizione α2+β2+γ2−4δ < 0 per l’Equazione(10.1.5), si dice che essa rappresenta una sfera immaginaria (o, anche, una sferadi raggio immaginario o a punti immaginari) o che l’insieme

S = { (x, y, z) | x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = 0 }che con tale condizione sui coefficienti è l’insieme vuoto, è una sfera immaginaria(o, anche, una sfera di raggio immaginario o a punti immaginari).

LEZIONE 10 3

Esempio 10.1.7. Si consideri l’equazione

x2 + y2 + z2 + 3x− 2y + 1 = 0.

Poiché 32 + (−2)2 − 4 · 1 = 3 > 0 tale equazione è l’equazione di una sfera S inA3. Il suo centro è C = (−3/2, 1, 0), il suo raggio % =

√3/2.

Invece l’equazione

x2 + y2 + z2 + 3x− 2y + 2 = 0

non rappresenta una sfera nel senso della Definizione 10.1.1 poiché 32 + (−2)2 −4 · 2 = −1 < 0: rappresenta, invece, una sfera immaginaria.

10.2. Circonferenze nello spazio.

Definizione 10.2.1. Sia π ⊆ A3 un piano, C ∈ π, % ∈ R, % > 0. Definiamocirconferenza C(π,C, %) del piano π, di centro C e raggio % il luogo dei punti P ∈ πtali che d(P,C) = %.

O y

z

C

x

SρC

Figura 10.2

Per rappresentare la circonferenza C(π,C, %) ci possono essere vari modi. Il piùcomodo è quello di pensarla come intersezione del piano π con S(C, %). Cioè se πha equazione

ax+ by + cz = d

e C = (xC , yC , zC), si ottengono le seguenti cartesiane per C(π,C, %)

(10.2.2){ax+ by + cz = d(x− xC)2 + (y − yC)2 + (z − zC)2 = %2.

4 10.2. CIRCONFERENZE NELLO SPAZIO

Esempio 10.2.3. Nel piano π di equazione x + y + z = 3 si consideri il puntoC = (1, 1, 1). Allora la circonferenza del piano π di centro C e raggio % = 1 haequazioni cartesiane

{x+ y + z = 3x2 + y2 + z2 − 2x− 2y − 2z + 2 = 0.

Come nel caso della sfera ci poniamo ora il problema inverso a quello dellarappresentazione. Cioè dato il sistema della forma

(10.2.4){ax+ by + cz = dx2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = 0,

ci domandiamo se esso rappresenta una circonferenza e, in caso affermativo, comecalcolare il suo centro ed il suo raggio (il piano d’appartenenza è, evidentemente,quello d’equazione ax+ by + cz = d).

Chiaramente, affinché il Sistema (10.2.4) rappresenti una circonferenza è, innan-zi tutto, necessario che l’equazione x2 +y2 + z2 +αx+βy+γz+ δ = 0 rappresentiuna sfera S(C, %) di centro C e raggio %. Se ciò accade, allora occorre e basta cheil piano π di equazione ax+by+cz = d e la sfera S(C, %) abbiano punti in comune:ciò accade se e solo se C ha distanza d(C, π) da α minore di %.

C' ρ'

α

S(C,ρ)

d(C,α)

C ρ

Figura 10.3

Sia ora C = π ∩ S(C, %). In tale caso il centro della circonferenza CalC è laproiezione ortogonale C ′ sul piano π: invece è il raggio %′ di C soddisfa la relazione%2 = %′2 + d(π,C)2, da cui si deduce

(10.2.5) %′ =√%2 − d(π,C)2.

Se, invece, d(C, π) > %, il Sistema (10.2.4) non ha soluzioni, cioè π∩S(C, %) = ∅.

LEZIONE 10 5

C'

α

S(C,ρ)

d(C,α)

Cρ

Figura 10.4

Esempio 10.2.6. Si consideri il piano πh d’equazione x+ y + z = 1 + h, h ∈ R.Sia poi S la sfera di equazione

x2 + y2 + z2 − 2x− 2y − 2z − 1 = 0.

Vogliamo individuare i valori di h ∈ R tali che S ∩πh sia una circonferenza. A talescopo osseriamo che S ha centro nel punto C = (1, 1, 1) e raggio % = 2. Poiché

d(C, πh) =|2− h|

3

segue che S ∩ πh è una circonferenza se e solo se |2 − h| < 6: svolgendo i calcoliciò significa che S ∩ πh è una circonferenza se e solo se h ∈]− 4, 8[.

Siano Ch e %h rispettivamente il centro ed il raggio di tale circonferenza, cioèC(πh, Ch, %h) = S ∩ πh. Per determinare %h utilizziamo la Formula (10.2.5):otteniamo

%h =

√22 −

(2− h

3

)2=√

32 + 4h− h23

.

Per quanto riguarda il calcolo delle coordinate del centro Ch si noti che la retta uper C e perpendicolare a πh ha equazioni parametriche

x = 1 + ty = 1 + tz = 1 + t.

Dunque

Ch = u ∩ πh =(

1 + h3

,1 + h

3,

1 + h3

).

6 10.2. CIRCONFERENZE NELLO SPAZIO

Più interessante è il caso in cui d(C, π) = %. In questo caso si ha che l’interse-zione π∩S(C, %) = P0 si riduce ad un solo punto. In questo caso π è l’unico pianopassante per P0 e perpendicolare a P0 − C.

P

α

S(C,ρ)

Cρ

0

Figura 10.5

Introduciamo allora la seguente

Definizione 10.2.7. Sia data la sfera S(C, %) ⊆ A3 e sia P0 ∈ S(C, %). Definiamopiano tangente a S(C, %) nel punto P0, l’unico piano per P0 perpendicolare a P0−C.

Una retta tangente a S(C, %) in P0 è una qualsiasi retta passante per P0 econtenuta nel piano tangente a S(C, %) nel punto P0.

Si noti che il piano tangente è lo stesso per tutte le sfere passanti per P0 edaventi centro sulla retta per P0 e C: infatti il centro di tali sfere ha coordinate(x0 + t(xC − x0), y0 + t(yC − y0), z0 + t(zC − z0)) per un opportuno t ∈ R nonnullo, dunque il piano tangente in P0 ha in tal caso equazione

t(x0 − xC)(x− x0) + t(y0 − yC)(y − y0) + t(z0 − zC)(z − z0) = 0

cioè, semplificando t,

(x0 − xC)(x− x0) + (y0 − yC)(y − y0) + (z0 − zC)(z − z0) = 0.

Sia ora C una circonferenza intersezione del piano π. È solo questione di faciliconti verificare che i piani tangenti in P0 alle sfere S contenenti C passano tuttiper una stessa retta r ⊆ π. Tale retta interseca C solo in P0 ed ha la proprietà diessere perpendicolare al vettore P0 − C ′ ove C ′ ∈ π è il centro di C.

Esempio 10.2.8. Siano C = (1, 1, 1), % =√

3. Allora S(C, %) ⊆ A3 ha equazione

x2 + y2 + z2 − 2x− 2y − 2z = 0

e contiene P0 = (2, 2, 2). Il piano tangente a S(C, %) in P0 ha dunque equazione

(2− 1)(x− 2) + (2− 1)(y − 2) + (2− 1)(z − 2) = 0,

LEZIONE 10 7

cioè x+ y + z = 6.La retta

x = 2 + ty = 2− 2tz = 2 + `t

è tangente a S(C, %) in P0 se e solo se ` = 1.Osservazione 10.2.9. Un caso interessante di circonferenze sono quelle contenutenel piano xy, cioè quelle le cui equazioni cartesiane sono della forma

(10.2.9.1){z = 0x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = 0,

(si veda il Sistema (10.2.4)). Il Sistema (10.2.9.1) è equivalente a

(10.2.9.2){z = 0x2 + y2 + αx+ βy + δ = 0,

che rappresenta la circonferenza data come intersezione del piano xy con uncilindro circolare avente asse perpendicolare a tale piano. Spesso si parla alloradella circonferenza nel piano di equazione

x2 + y2 + αx+ βy + δ = 0.

Quanto detto sopra per le sfere continua a valere, con le dovute modifiche,per le circonferenze nel piano xy (calcolo del centro e del raggio, circonferenzeimmaginarie, calcolo della retta tangente, etc.).

10.3. Intersezione di due sfere.Si considerino ora due sfere in A3, diciamo S(C1, %1) e S(C2, %2). La struttura

dell’intersezione S(C1, %1)∩S(C2, %2) è legata strettamente alla distanza d(C1, C2).Si possono verificare tre casi principali.

Nel primo caso d(C1, C2) > %1 + %2 oppure d(C1, C2) < |%1 − %2|: le due sferenon possono avere punti in comune e sono, rispettivamente, esterne o interne l’unaall’altra.

S(C,ρ)

S(C',ρ')

C

C'

C

C'S(C',ρ')

S(C,ρ)

Figura 10.6

8 10.3. INTERSEZIONE DI DUE SFERE

Nel secondo caso d(C1, C2) = %1 + %2 oppure d(C1, C2) = |%1 − %2|: le duesfere hanno esattamente un punto in comune. Si dicono tangenti, rispettivamente,esternamente o internamente.

S(C,ρ)

S(C',ρ')

C

C'

C

C'S(C',ρ')

S(C,ρ)

P

P

0

0

Figura 10.7

Nel terzo caso |%1−%2| < d(C1, C2) < %1 +%2: in questo caso le due sfere hannopunti in comune

S(C,ρ)

S(C',ρ')

C

C'

Figura 10.8

Tali punti descrivono una circonferenza C avente centro sulla retta che unisce ipunti C1 e C2. Vogliamo determinarne le equazioni cartesiane.

Si osservi preliminarmente che C1 6= C2, cioè le due sfere non sono concentriche.Se le equazioni delle due sfere sono rispettivamente

(10.3.1)x2 + y2 + z2 + α1x+ β1y + γ1z + δ1 = 0

x2 + y2 + z2 + α2x+ β2y + γ2z + δ2 = 0

allora tale condizione si traduce nella disuguaglianza (α1, β1, γ1) 6= (α2, β2, γ2).Le coordinate dei punti di C soddisfano le due equazioni di S(C1, %1) e S(C2, %2),

dunque soddisfano anche l’equazione ottenuta sottraendo membro a membro le dueEquazioni (10.3.1): in particolare le coordinate dei punti di C soddisfano anchel’equazione di primo grado

(α1 − α2)x+ (β1 − β2)y + (γ1 − γ2)z + (δ1 − δ2) = 0 :

LEZIONE 10 9

poiché (α1, β1, γ1) 6= (α2, β2, γ2) tale equazione rappresenta, nello spazio A3, unpiano π che contiene C. Dunque possiamo scrivere C = π ∩ S(Ci, %i). Si noti cheil piano π è perpendicolare a

C1 − C2 = (α1 − α2)~ı + (β1 − β2)~ + (γ1 − γ2)~k 6= ~0.

Definizione 10.3.2. Date le due sfere S1 e S2 non concentriche, rispettivamentedi equazione

x2 + y2 + z2 + α1x+ β1y + γ1z + δ1 = 0,

x2 + y2 + z2 + α2x+ β2y + γ2z + δ2 = 0.

Il piano π di equazione

(α1 − α2)x+ (β1 − β2)y + (γ1 − γ2)z + (δ1 − δ2) = 0

viene detto piano radicale della coppia di sfere S1 e S2.

Esempio 10.3.3. Si considerino le due sfere S1 e S2 rispettivamente di equazione

x2 + y2 + z2 − 2x− 2y + 4z + 5 = 0,x2 + y2 + z2 + 2x+ 2y − 4z + 1 = 0.

Allora il centro di S1 è C1 = (1, 1,−2), mentre il centro di S2 è C2 = (−1,−1, 2),quindi d(C1, C2) = 5.

Poiché e %1 = %2 = 1 si deduce che S1 ∩ S2 = ∅: di più le sfere sono esternel’una all’altra.

Esempio 10.3.4. Si considerino le due sfere S1 e S2 rispettivamente di equazione

x2 + y2 + z2 − 2x− 4z + 4 = 0,x2 + y2 + z2 − 2x− 2y − 2z + 2 = 0.

Allora il centro di S1 è C1 = (1, 0, 2), mentre il centro di S2 è C2 = (1, 1, 1), quindid(C1, C2) =

√2. Per quanto riguarda i raggi abbiamo %1 = %2 = 1. Concludiamo

che C = S1 ∩ S2 è una circonferenza: calcoliamone centro e raggio. A tale scopoosserviamo prima che il piano radicale π, che contiene C, ha equazione

y − z + 1 = 0.

La retta passante per C1 e C2 ha equazionix = 1y = 1 + tz = 1− t.

10 10.3. INTERSEZIONE DI DUE SFERE

Concludiamo che il centro di C è C = (1, 1/2, 3/2). Per quanto riguarda il raggio%, poiché d(C1, π) = 1/

√2, segue che

% =√%21 − d(C1, π)2 = 1/

√2.

Quanto visto sopra circa l’intersezione di due sfere può essere utile per ladeterminazione di sfere che soddisfano certe proprietà come, per esempio, con-tenere una circonferenza data o essere tangenti ad un piano dato.

Esempio 10.3.5. Si consideri la circonferenza C di equazioni{x2 + y2 + z2 − 7 = 0x+ y + z − 3 = 0.

Una sfera contenente C è perciò S1 di equazione

x2 + y2 + z2 − 7 = 0.

Per quanto osservato sopra, ogni altra sfera S contenente C deve avere un’equazionedella forma

x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = 0

tale che

(x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ)− (x2 + y2 + z2 − 7) = λ(x+ y + z − 3),

cioè

x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = x2 + y2 + z2 − 7 + λ(x+ y + z − 3)

per un’opportuno λ ∈ R.Se, per esempio, vogliamo determinare la sfera contenente C e passante per

P0 = (1, 0, 0) dobbiamo scegliere λ tale che

12 + 02 + 02 − 7 + λ(1 + 0 + 0− 3) = 0,

ovvero λ = −3. Pertanto la sfera cercata ha equazione

x2 + y2 + z2 − 3x− 3y − 3z + 2 = 0.

LEZIONE 10 11

Esempio 10.3.6. Si consideri il piano π di equazione

x+ y + z − 3 = 0

e sia P0 = (1, 1, 1): si noti che P0 ∈ π. Vogliamo determinare le sfere tangentia π in P0. ogni sfera di questo tipo ha centro in un punto della retta per P0perpendicolare a π, cioè in un punto Ct avente coordinate (1 + t, 1 + t, 1 + t),quindi ha equazione della forma

x2 + y2 + z2 − 2(1 + t)x− 2(1 + t)y − 2(1 + t)z + 3 + 6t+ t2 − %2 = 0

Poiché P0 appartiene a tale sfera si ha necessariamente t2 = %2. A questo puntosi osserva facilmente che tale equazione si può anche scrivere come

(x− 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 + λ(x+ y + z − 3) = 0

con λ = −2t.Se, per esempio, vogliamo determinare la sfera tangente a π e passante per

P0 = (1, 0, 0) dobbiamo scegliere λ tale che

02 + (−1)2 + (−1)2 − 2λ(1 + 0 + 0− 3) = 0,

ovvero λ = 1. Pertanto la sfera cercata ha equazione

x2 + y2 + z2 − x− y − z = 0.