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計算力学講演会2018
10節点四面体要素を用いた平滑化有限要素法の
汎用有限要素ソフトへの実装
東京工業大学工学院システム制御系
大西有希
P. 1
計算力学講演会2018
研究背景実現したい内容:
◼ 「超」大変形問題を高精度かつ
ロバストに解きたい．
◼複雑形状を四面体で解きたい．
◼微圧縮性が現れる材料も解きたい．
◼自動リメッシングも実現したい．
◼接触も扱いたい．
P. 2
ゴム
プラスチック／ガラス金属
計算力学講演会2018
既存手法の問題点四面体解析例）材料: neo-Hookean超弾性体, 𝜈ini = 0.49
P. 3
四面体1次ハイブリッド要素(C3D4H)
✓ 体積ロッキングなし．✗圧力振動（チェッカーボード）あり．✗せん断／コーナーロッキングあり．
四面体2次修正ハイブリッド要素(C3D10MH)
✓せん断／体積ロッキングなし．✗内挿の精度低下あり．✗大変形で早期の収束困難あり．
節点数はほぼ同じ
圧力 圧力
計算力学講演会2018
我々の従来手法（S-FEM-T4）四面体解析例）材料: neo-Hookean超弾性体, 𝜈ini = 0.49
P. 4
メッシュは先程のC3D4H
と同じ．
【問題点】四面体ES-FEM
は高精度ではあるものの，汎用FEMコードに実装できない．
F-barES-FEM-T4（S-FEM-T4の一種）✓ せん断・体積ロッキングなし．✓ 圧力振動は充分小さい．✓ コーナーロッキングも充分小さい．
※注※「S-FEM-T4」は４節点四面体平滑化有限要素法の意（詳細は後述）．
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研究目的
P. 5
10節点四面体（T10）要素を用いた高精度かつ安定なS-FEMを提案し汎用FEMコードに実装する．
発表目次：• S-FEMのおさらい• 提案手法の定式化概要• 解析例（内製コードを使用）• ABAQUSへの実装• まとめ
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S-FEMのおさらい
P. 6
計算力学講演会2018
Smoothed Finite Element Method (S-FEM)とは?
◼G. R. Liuらが2007年に提案した新しいFEMの定式化．
◼ひずみ平滑化(Strain Smoothing)手法の一種．
◼基本的なS-FEM定式化には次の４タイプがある．
1. ノード(節点)で平滑化するタイプ (NS-FEM)
2. エッジ(要素辺)で平滑化するタイプ (ES-FEM)
3. フェイス(要素面)で平滑化するタイプ (FS-FEM)
4. セル(要素内)で平滑化する (CS-FEM)
◼上記をSelective法やF-bar法などで組み合わせれば無数に定式化のバリエーションが存在する．
P. 7
時間の都合，２次元三角形要素を用いた「ES-FEM」のみ解説します．
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ES-FEMの定式化概要◼ 要素の[𝐵]を通常のFEMと同様に計算する．
◼ 要素の[𝐵]を周囲のエッジに要素体積を重みとして配り，エッジで平均化して[ Edge𝐵]を作る．
◼ エッジの平滑化領域の量として歪み，応力，節点内力を計算する．
P. 8
積分点が各エッジ中心にあるイメージ
体積ロッキングや圧力振動を抑えることは出来ないが，四面体要素で
せん断ロッキングを回避できる．
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一般的なS-FEMの課題
∵ ノード，エッジ，フェイスでひずみ平滑化を行うと，要素の境界をまたいだ（複数の要素を使った）計算が必要となり，要素として完結しないから．
加えて，４節点四面体(T4)要素はひずみが要素内一定なので，これ以上要素内でひずみを平滑化できない．
【本研究の提案】
P. 9
セル(要素内)でひずみ平滑化を行うCS-FEMを除き，
汎用FEMコードに実装できない．
１０節点四面体(T10)要素ならCS-FEMを適用できるので，汎用FEMコードにも実装できる．
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提案手法の定式化概要
P. 10
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提案手法の定式化の流れ（簡単のため，６節点三角形要素で説明）
P. 11
(1) ダミー節点を用いたサブ要素分割
(2) エッジとサブ要素を用いたせん断歪み平滑
(3) 要素内均一で体積歪み平滑
ES-FEM-1
節点内力
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(1) T10要素のT4サブ要素への分割
◼ダミー節点(10)を６個の中間節点の平均位置に置く．
◼ T10要素を12個のT4サブ要素に分割し，歪みを求める．
P. 12
大変形では形状関数が線形の方が良いので，要素を分割したい．
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(2) 要素内歪み平滑（せん断成分）
◼ ３０本のエッジを用い， ES-FEMによる（サブ要素→エッジの方向で）歪み平滑を実施．続けて・・・
P. 13
サブ要素そのままだとロッキングが発生するので平滑化が必要．
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(2) 要素内歪み平滑（せん断成分）
◼ ３０本のエッジを用い， ES-FEMによる（サブ要素→エッジの方向で）歪み平滑を実施．続けて・・・
◼逆手順で（エッジ→サブ要素の方向で）歪み平滑を実施．
P. 14
サブ要素そのままだとロッキングが発生するので平滑化が必要．
ES-FEMだけだと輪郭のエッジが平滑化されないのでもう１回平滑化が必要．
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(3) 要素内歪み平滑（体積歪み成分）
◼全サブ要素の体積歪みの平均を要素全体の体積歪みとする（８節点六面体Selective要素と同じ発想）．
P. 15
体積歪みの空間次数はせん断より落とさないと体積ロッキングが生じる．
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解析例（内製コードを使用）
P. 16
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超弾性1/8円柱のバレリング解析概要
◼上面に軸方向の強制変位を与えて圧縮．
◼ Neo-Hookean超弾性体，初期ポアソン比𝜈ini = 𝟎. 𝟒𝟗．
◼同一メッシュでABAQUSの10節点四面体ハイブリッド要素(C3D10H, C3D10MH, C3D10HS)と比較．
P. 17
静的陰解法
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超弾性1/8円柱のバレリング解析提案手法の解析結果(Mises
応力分布)
P. 18
公称ひずみ約47%圧縮で収束困難
縁近傍を除きほぼ滑らかな
Mises応力分布が得られている．
静的陰解法
計算力学講演会2018
超弾性1/8円柱のバレリング解析ｖABAQUS
C3D10MH
の解析結果(Mises
応力分布)
P. 19
公称ひずみ約24%圧縮で収束困難
縁近傍の変形が奇妙に振動していることが早期収束困難の原因？
静的陰解法
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超弾性1/8円柱のバレリング解析Mises応力分布 (24%圧縮)
P. 20
提案手法 ABAQUS
C3D10MH
ABAQUS
C3D10HS
ABAQUS
C3D10H
応力特異性のある縁の部分を除き，Mises応力分布はおよそ一致している．
静的陰解法
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超弾性1/8円柱のバレリング解析圧力分布 (24%圧縮)
P. 21
提案手法 ABAQUS
C3D10MH
ABAQUS
C3D10HS
ABAQUS
C3D10H
応力特異性のある縁の部分を除き，圧力分布もおよそ一致している．
静的陰解法
計算力学講演会2018
超弾性1/8円柱のバレリング解析節点反力分布 (24%圧縮)
P. 22
提案手法 ABAQUS
C3D10MH
ABAQUS
C3D10HS
ABAQUS
C3D10H
ABAQUSは修正要素(C3D10MH)のみ正常で，提案手法とおよそ一致している．
静的陰解法
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超弾性1/8円柱のバレリング解析応力分布 (47%圧縮)
P. 23
提案手法 ABAQUS C3D8
提案手法は六面体Selective要素(C3D8)とほとんど同等の精度と安定性を示している．
50%
圧縮で収束困難
節点数はほぼ同じ60k個
静的陰解法
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片持ち梁の動的曲げ解析
◼動的陽解法．Δ𝑡 = 0.0001 s（一定）で50 sまでの50万時間ステップ．
◼ Neo-Hooke超弾性体．初期ヤング率：6 MPa，初期ポアソン比：0.49，質量密度：920 kg/m3.
◼同一T10メッシュでABAQUS/Explicit C3D10Mと提案手法とで結果を比較．
◼参照解としてABAQUS/Explicit C3D8の解を用意．
P. 24
動的陽解法
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片持ち梁の動的曲げ解析
数十万時間ステップ経過すると流石に差が現れ始めるが，
動解析での大変形ロバスト性は未検証．
P. 25
動的陽解法
ABAQUS/Explicit C3D8
（参照解）ABAQUS/Explicit C3D10M
（既存手法）SelectiveCS-FEM-T10
（提案手法）
動解析でも既存手法と同等の精度が得られている．
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ABAQUSへの実装
P. 26
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ABAQUS UELについて◼ABAQUSにはユーザー定義要素「UEL」というユーザーサブルーチンを組み込む機能がある．
◼マニュアルにはFortran77のコード例が載っているが，実はFortran90でも書ける．
◼「UEL」という名のサブルーチンを書き，コンパイルし，オブジェクトファイルをABAQUSに渡す．実行例：
➢abaqus job=test user=my_uel.o
◼とりあえず静的陰解法のみを組み込み．
P. 27
計算力学講演会2018
ABAQUS UELの例題解析結果Mises
応力分布(24%圧縮)
P. 28
内製コード ABAQUS UEL
表示計算式の違いの範囲で一致．
静的陰解法
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ABAQUS UELの例題解析結果圧力分布(24%圧縮)
P. 29
表示計算式の違いの範囲で一致．ABAQUS UEL
静的陰解法
内製コード
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ABAQUS UELの問題点
重複要素とは？
➢ 各UEL要素と同じ節点を参照した（同じ位置の）別の要素．
➢ 剛性はゼロ（つまり，力学的にはダミー要素）．
➢ 要素タイプはネイティブ要素．
重複要素が必要な理由は？
◆要素面に対する境界条件（圧力荷重など）を使用したい．
◆要素面に対する相互作用（接触など）を定義したい．
◆純正のポストプロセッサ（ABAQUS Viewer）で可視化したい．
P. 30
重複要素を定義しなければならない．
計算力学講演会2018
入力(inp)ファイルの例(節点の定義)
******** UEL *********user element, type=U5001, nodes=10, coordinates=3, properties=2, variables=11, 2, 3
******** user-defined elements *********element, type=U5001, elset=user_elset1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
（中略）
*uel property, elset=user_elset1e9, 2.01342e-11
******** overlap elements *********element, type=C3D10MH, elset=overlap_elset500000001, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
（中略）
*solid section, elset=overlap_elset, material=overlap_material
*material, name=overlap_material*elastic1e-33, 0
*user output variables2
（以下省略）
P. 31
ネイティブ要素であれば何でも良い．
要素番号は違うが，節点番号は同じ．
ヤング率が数値的にゼロ．
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ABAQUS UELの欠点1. 大変形による収束限界が重複要素の収束限界で決まってしまう．先の例題の場合，重複要素が25%圧縮で収束限界を迎えるため，計算がそれ以上進まない．
2. 重複要素の歪・応力・内力・剛性等の計算に無駄な時間が費やされてしまう．有限要素方程式のサイズと解く計算時間は同じだが，作る時間は倍増する（応力・内力・剛性は全てゼロなのに…）．
上記問題は他の汎用ソフトでも起きる問題であり，１ユーザーには残念ながら解決できない．
P. 32
結局，ネイティブ要素として実装してもらわないとS-FEMの力は発揮できない…
計算力学講演会2018
まとめ
P. 33
計算力学講演会2018
まとめ◼ 10節点四面体を用いた新たなS-FEMを提案した．
◼提案手法は，微圧縮材料の大変形解析において六面体要素に迫る精度と安定性を持つことを示した．
◼提案手法をABAQUSのユーザー定義要素として実装し，自作コードと同等の解が得られることを確認した．
◼ 10節点四面体２次要素が実装されているIn-houseコードであれば，提案手法を簡単に組み込むことが出来る．
◼計算時間は10節点四面体２次要素とほぼ同じ．
◼静的・動的両方でロッキングや圧力振動を起こさない．
皆様の内製コードへの実装を是非ご検討ください．
P. 34
ご清聴ありがとう御座いました．
