Embed Size (px)
Citation preview
210
11 MESURES. TEOREMA DE PITÀGORES
E X E R C I C I S P R O P O S A T S
Indica un instrument adequat per a obtenir les quantitats següents.
a) La massa de la teua motxilla plena de llibres.
b) La teua estatura.
c) La quantitat de xarop per a una dosi.
a) Bàscula.
b) Metre enrotllable.
c) Cullereta graduada.
En competicions esportives, quin instrument s’utilitza per a mesurar el temps?
El cronòmetre.
Explica si és adequat utilitzar un regle graduat en centímetres per a mesurar quant fa l’alt i l’ampled’una porta.
No és adequat, perquè les dimensions de la porta són massa grans. S’ha d’utilitzar un metre enrotllable.
Estima la mesura d’un llapis.
Una possible estimació és 10 cm per al llapis xicotet, i 15 cm per al gran.
Sabent que la superfície d’un full d’un llibre de grandària DIN A4 és de 6,24 decímetres quadrats, calculaaproximadament la superfície que ocupa el llibre quan està obert.
El llibre ocupa aproximadament 2 � 6,24 � 12,48 dm2.
Si es fita la llargària de la barra anterior entre 3 i 3,5 centímetres, què es pot afirmar de l’error ab-solut?
Es pot afirmar que l’error comés és E � 3,5 � 3 � 0,5 cm.
Quina és l’aproximació per excés d’un objecte que pesa més de 120 grams si la fita d’error és de 15grams?
Si la fita d’error és de 15 grams, a � 120 � 15 g ⇒ a � 120 � 15 � 135 g. Per tant, l’aproximació per defecte en gramsha de ser a � 134 g.
Calcula quants dies equivalen a 3 anys no bixestos.
1 any equival a 365 dies. Per tant, 3 anys equivalen a 3 � 365 � 1095 dies.
Quants anys són 96 mesos?
96 � 12 � 8; per tant, 96 mesos equivalen a 8 anys.
Expressa en forma incomplexa.
a) 1 h 30 min c) 2 h 40 min 15 s
b) 4 min 25 s d) 1 h 35 min 26 s
a) 1 h 30 min � 60 min � 30 min � 90 min
b) 4 min 25 s � 4 � 60 � 25 � 240 � 25 � 265 s
c) 2 h 40 min 15 s � 2 � 3600 � 40 � 60 � 15 � 7200 � 2400 � 15 � 9615 s
d) 1 h 35 min 26 s � 1 � 3600 � 35 � 60 � 26 � 3600 � 2100 � 26 � 5726 s
11.10
11.9
11.8
11.7
11.6
11.5
11.4
11.3
11.2
11.1
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 210
Expressa en forma complexa.a) 95 s c) 839 sb) 104 min d) 547 s
a) 95 s � 1 min 35 s c) 839 s � 13 min 59 s
b) 104 min � 1 h 44 min d) 547 s � 9 min 7 s
Escriu 104 dies en mesos i setmanes i indica quina és la forma complexa i quina la forma incomplexa.
104 dies � 3 mesos i 2 setmanes . 104 días es forma incompleja. 3 meses y 2 semanas es forma compleja.
Fes les operacions següents.a) 2 h 50 min 33 s � 5 h 40 min 19 sb) 3 h 28 min 42 s � 1 h 36 min 23 s
a) 2 h 50 min 33 s � 5 h 40 min 19 s � 7 h 90 min 52 s � 7 h 1 h 30 min 52 s � 8 h 30 min 52 s
b) 3 h 28 min 42 s � 1 h 36 min 23 s � 2 h 88 min 42 s � 1 h 36 min 23 s � 1 h 52 min 19 s
Calcula.a) El triple de 1 h 50 min 18 sb) La meitat de 7 h 53 min 20 s
a) 3 � (1 h 50 min 18 s) � 3 h 150 min 54 s � 3 h 2 h 30 min 54 s � 5 h 30 min 54 s
b) (7 h 53 min 20 s) � 2 � 3 h 56 min 40 s
1 h � 60 min → 60 � 53 � 113 min 1 min � 60 s → 60 � 20 � 80 s
Expressa en forma incomplexa.a) 3� 40�
b) 24� 33�
c) 8� 5� 31�
d) 16� 20� 54�
a) 3� 40� � 3 � 60 � 40 � 180 � 40 � 220�
b) 24� 33� � 24 � 60 � 33 � 1440 � 33 � 1473�
c) 8� 5� 31� � 8 � 3600 � 5 � 60 � 31 � 29 131�
d) 16� 20� 54� � 16 � 3600 � 20 � 60 � 54 � 58 854�
11.15
11.14
11.13
11.12
11.11
211
95 60
35 1
839 60
239 13
547 60
007 9
104 30
014 3
104 60
044 1
113 2
001 56
80 2
00 40
7 2
1 3
14 7
00 2
59
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 211
Expressa en forma complexa.a) 168� c) 6427�
b) 492� d) 17 983�
a) 168� � 2� 48� c) 6427� � 1� 47� 7�
b) 492� = 8� 12� d) 17 983� = 4� 59� 43�
Calcula.a) 43� 29� 54� � 76� 15� 40�
b) 6� 49� 10� � 4� 7� 32�
a) 43� 29� 54� � 76� 15� 40� � 119�44�94� � 119� 44� 1� 34� � 119� 45� 34�
b) 6� 49� 10� � 4� 7� 32� � 2� 41� 38�
Fes les operacions següents.a) (18� 43� 15�) � 5b) (97� 38� 12�) � 6
a) (18� 43� 15�) � 5 � 90� 215� 75� � 90� 3� 35� 1� 15� � 93� 36� 15�
b) (97� 38� 12�) � 6 � 16� 16� 22�
1� � 60� → 60 � 38 � 98� 2� � 120� → 120 � 12 � 132”
Calcula la hipotenusa d’un triangle rectangle si sabem que els catets mesuren 1 i 12 decímetres, res-pectivament.
a2 � b2 � c 2 ⇒ a2 � 122 � 12 � 144 � 1 � 145 dm2
a2 � 145 ⇒ a � �145� � 12,04 dm
Si la hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 9 centímetres, i un catet, 3 centímetres, calcula la me-sura de l’altre catet.
a2 � b2 � c 2 ⇒ 92 � b2 � 32 ⇒
⇒ b2 � 72 ⇒ b � �72� � 8,49 cm
11.20
11.19
11.18
11.17
11.16
212
a
1 dm
12 dm
b
3 cm
9 cm
168 60
048 2
492 60
012 8
6427 60
0427 107 60
007 47 1
17983 60
1598 107 60
15583 159 64
15543
97 6
37 16
01
98 6
38 16
02
132 6
012 22
000
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 212
Calcula el costat desconegut en cada triangle:a) b)
a) Apliquem el teorema de Pitàgores: a2 � 42 � 32 � 16 � 9 � 25 ⇒ a � �25� � 5 cmb) En primer lloc, expresssem totes les dimensions en la mateixa unitat, i a continuació apliquem el teorema de Pitàgores:
10 dm � 100 cm; b2 � 92 � 1002 ⇒ b2 � 1002 � 92 � 10 000 � 81 � 9919 ⇒ b � �9919� � 99,59 cm
Estudia, sense fer-ne el dibuix, si són rectangles els triangles els costats dels quals tenen les mesuressegüents:a) 6, 10 i 8 decímetres.b) 50, 120 centímetres i 130 mil·límetres.c) 11, 9 i 2 centímetres.
a) Sí que és rectangle, perquè verifica el teorema de Pitàgores: 62 � 82 � 36 � 64 � 100 � 102
b) No és rectangle, perquè no verifica el teorema de Pitàgores: 130 mm � 13 cm;132 � 502 � 2669 1202 � 14 400
c) No és rectangle, perquè no verifica el teorema de Pitàgores:22 � 92 � 4 � 81 � 85 112 � 121
Els costats d’un triangle mesuren 3, 4 i 6 centímetres.a) Dibuixa el triangle i mesura els seus angles. És rectangle?b) Comprova que no compleix el teorema de Pitàgores.
a) No és rectangle:
b) No compleix el teorema de Pitàgores: 32 � 42 � 25 36 � 62
Calcula l’apotema d’un hexàgon regular el costat del qual fa 16 centímetres.
a2 � 82 � 162 ⇒ a2 � 64 � 256 ⇒
⇒ a2 � 256 � 64 � 192 ⇒ a � �192� � 13,86 cm
Quant mesura el costat d’un quadrat inscrit en una circumferència de 7 centímetres de radi?
Apliquem el teorema de Pitàgores:
l 2 � l 2 � 142 ⇒ 2 l 2 � 196 ⇒ l 2 � 98 ⇒ l � 9,9 cm
11.25
11.24
11.23
11.22
11.21
213
3 cm 4 cm
a
9 cm
10 dm
b
3 cm
4 cm
6 cm
16 cm
a 16 cm 16 cm 8 cma
14 cm
l
l
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 213
Calcula la mesura dels segments següents.a) L’altura d’un triangle equilàter de 8 centímetres de costat.b) L’altura d’un trapezi isòsceles de bases 4 i 6 centímetres, i costats iguals de 5 centímetres.
a) Apliquem el teorema de Pitàgores:
h 2 � 42 � 82 ⇒ h 2 � 16 � 64 ⇒ h 2 � 48 ⇒ h � �48� � 6,93 cm
b) Apliquem el teorema de Pitàgores:
h 2 � 12 � 52 ⇒ h 2 � 1 � 25 ⇒ h 2 � 24 ⇒ h � �24� � 4,9 cm
És possible guardar un regle de fusta de 35 centímetres en una caixa amb forma cúbica de 20 centí-metres de costat?
No és possible. Per a resoldre el problema hem d’aplicar dues vegades el teorema de Pitàgores:
1. Calculem la mesura de la diagonal de la base:
h 2 � 202 � 202 � 400 � 400 � 800 ⇒ h � �800� � 28,28 cm
2. Calculem la mesura de la diagonal del cub:
d 2 � 28,282 � 202 � 800 � 400 � 1200 ⇒ d � �1200�� 34,64 cm
La diagonal del cub és més curta que el regle, per tant no cap enla caixa.
En un forat amb forma de triangle equilàter de 10 cm de costat volem introduir un tub cilíndric. Quinés el diàmetre del tub més gros que podem usar?
De primer, tracem les altures del triangle inicial.
Els dos triangles pintats són rectangles, per tant podem aplicar el teorema de Pitàgores.
Triangle 1: h 2 � 52 � 102 ⇒ h � �100 �� 25� � �75� � 8,66 cm
Triangle 2: r 2 � 52 � (h � r)2 ⇒ r 2 � 25 � ��75� � r�2
⇒ r 2 � 25 � 75 � r 2 � 2�75� r ⇒
⇒ 100 � 2 r �75� ⇒ r � 2
1
�0
7
0
5� � 5,77 cm
El diàmetre del tub més gros és 5,77 � 2 � 11,55 cm
C À L C U L M E N T A L
Calcula una fita d’error en les mesures següents.a) La capacitat d’un got està compresa entre 200 i 250 centilitres.b) La llargària d’un retolador es troba entre 16 i 16,5 centímetres.c) Una pilota de tenis pesa entre 175 i 200 grams.
a) E � 250 � 200 � 50 centilitres.b) E � 16,5 � 16 � 0,5 centímetres.c) E � 200 � 175 � 25 grams.
11.29
11.28
11.27
11.26
214
h
8 cm
8 cm
h
6 cm
5 c
m
4 cm
4 cm
1 cm
5 c
m
10
10 c
m 10 cm
10 cm
r
10 c
m
5 cm
h
r
5 cm
h _ r
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 214
Expressa en forma complexa.a) 65 s e) 100 sb) 82 min f) 138 sc) 124 s g) 270 sd) 92 min h) 375 min
a) 65 s � 1 min 5 s e) 100 s � 1 min 40 s
b) 82 min � 1 h 22 min f) 138 s � 2 min 18 s
c) 124 s � 2 min 4 s g) 270 s � 4 min 30 s
d) 92 min � 1 h 32 min h) 375 min � 6 h 15 min
Expressa en forma incomplexa.
a) 1 min 20 s d) 30 min 17 sb) 2 h 10 min e) 1 h 20 min 5 sc) 5 h 40 min f) 3 h 10 min 6 s
a) 1 min 20 s � 1 � 60 � 20 � 80 s d) 30 min 17 s � 30 � 60 � 17 � 1817 sb) 2 h 10 min � 2 � 60 � 10 � 130 min e) 1 h 20 min 5 s � 1 � 3600 � 20 � 60 � 5 � 4805 sc) 5 h 40 min � 5 � 60 � 40 � 340 min f) 3 h 10 min 6 s � 3 � 3600 � 10 � 60 � 6 � 11 406 s
Calcula.
a) 5� 30� + 4� 30� e) 72� 58� - 11� 5�
b) 10� 45� + 50� 15� f) 2 � (15� 40�)c) 3� 24� 10� + 17� 36� 51� g) (8� 10�) � 5d) 25� 40� 5� - 5� 39� 2� h) (42� 30�) � 3
a) 5� 30� � 4� 30� � 9� 60� � 10� e) 72� 58� � 11� 5� � 61� 53�
b) 10� 45� � 50� 15� � 60� 60� � 1� 1� f) 2 � (15� 40�) � 30 � 80� � 31� 20�
c) 3� 24� 10� � 17� 36� 51� � 20� 60� 61� � 21� 1� 1� g) (8� 10�) � 5 � 40� 50�
d) 25� 40� 5� � 5� 39� 2� � 20� 1� 3� h) (42� 30�) � 3 � 14� 10�
Comprova quins dels triangles següents són rectangles.
a) 3 cm, 4 cm, 5 cm c) 12 cm, 13 cm, 5 cmb) 2 cm, 8 cm, 6 cm d) 7 cm, 1 cm, 9 cm
a) Sí que és rectangle: 32 � 42 � 52 c) Sí que és rectangle: 52 � 122 � 132
b) No és rectangle: 22 � 62 82 d) No és rectangle: 12 � 72 92
Calcula la mesura de la diagonal d’un rectangle de costats 4 i 6 decímetres.
Pel teorema de Pitàgores:
d 2 � 62 � 42 � 36 � 16 � 52 ⇒ d � �52� � 7,21 dm
11.34
11.33
11.32
11.31
11.30
215
4 d
m
6 dm
d
100 60
040 1
65 60
05 1
138 60
018 2
124 60
004 2
270 60
030 4
82 60
22 1
375 60
015 6
92 60
32 1
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 215
Calcula la diagonal d’un quadrat de 10 centímetres de costat i dóna un valor aproximat de la diagonal.
Pel teorema de Pitàgores:
d 2 � 102 � 102 � 100 � 100 � 200 ⇒ d � �200� � 14,14 cm
En un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa té 200 centímetres quadrats, i el d’un catet, 196centímetres quadrats. Quant mesura l’altre?
A la vista del dibuix: a2 � 200, i b2 � 196
Pel teorema de Pitàgores:
a2 � b2 � c 2 ⇒ 200 � 196 � c 2 ⇒ 200 � 196 � c 2 ⇒ c 2 � 4 cm2
El quadrat de l’altre catet mesura 4 cm2. El catet mesura, per tant, 2 cm.
E X E R C I C I S P E R A E N T R E N A R - S E
Estimació
Estima el gruix d’aquest diccionari si cada dit té aproximadament 1 centímetre.
Aparentment, el gruix és d’uns quatre dits, per tant estimem que mesura 4 cm.
Fes una estimació de les dimensions d’aquesta safata.
Aparentment, la safata mesura un pam i mig d’ample i tres pams de llarg, per tant estimem que les dimensions són 30 � 60 cm.
Explica com es podria calcular de manera aproximada la quantitat d’aigua que cap en un got.
Podem comprovar quants gots poden omplir-se amb el contingut d’un envàs de capacitat coneguda d’aigua, llet o suc, perexemple.
Errors i fitació
Observa el dibuix i digues dos valors entre els quals es pot aproximar el sucre que es pesa.
La mesura pot aproximar-se entre 225 i 250 grams.
11.40
11.39
11.38
11.37
11.36
11.35
216
10 c
m
10 cm
d
?
196 cm2
200 cm2
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 216
Un rellotge digital marca les 13.25. Indica entre quins dos valors pròxims es pot fitar l’hora exacta. Tro-ba un valor de la fita d’error.
L’hora exacta ve donada en hores, minuts i segons. Si el rellotge marca les 13.25, açò indica que l’hora exacta es troba entreles 13:25:00 i les 13:25:59. Per tant, una fita d’error és 59 � 0 � 59 segons.
S’ha mesurat amb una gerra graduada de 50 en 50 centilitres una quantitat inferior a 200 decilitres.Dóna una aproximació de la mesura per defecte.
200 dl � 2000 cl. La mesura de la quantitat ha sigut de tres gerres i ha sobrat una quantitat inferior a una quarta gerra. Unaaproximació per defecte serà, per tant, 150 dl.
Quina és la fita de l’error més gran que es pot cometre en mesurar una vareta amb un regle graduaten mil·límetres?
La fita de l’error més gran és d’1 mm.
Mesura del temps. Operacions
Expressa en forma incomplexa.
a) 3 h 20 min
b) 18 min 35 s
c) 5 h 9 min 16 s
d) 4 h 27 min 43 s
a) 3 h 20 min � 3 � 60 � 20 � 200 min
b) 18 min 35 s � 18 � 60 � 35 � 1115 s
c) 5 h 9 min 16 s � 5 � 3600 � 9 � 60 � 16 � 18 556 s
d) 4 h 27 min 43 s � 4 � 3600 � 27 � 60 � 43 � 16 063 s
Expressa en forma complexa.
a) 872 s
b) 238 min
c) 5103 s
d) 13 820 s
a) 872 s � 14 min 32 s c) 5103 s � 1 h 25 min 3 s
b) 238 min � 3 h 58 min d) 13 820 s � 3 h 50 min 20 s
11.45
11.44
11.43
11.42
11.41
217
5103 60
0303 85 60
0303 25 61155
13820 60
1803 230 60
1020 50 6 3155
872 60
272 14
032
238 60
058 3
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 217
Fes les operacions següents.a) 8 h 45 min 37 s � 6 h 10 min 28 sb) 3 h 5 min 42 s � 1 h 20 min 18 sc) 4 h 36 min 53 s � 2 h 19 min 15 sd) 5 h 40 min 16 s � 3 h 34vmin 9 se) 7 h 20 min � 4 h 53 minf) 9 h 29 min 18 s � 8 h 48 min 52 sg) 3 � (5 h 40 min)h) 2 � (6 h 18 min 24 s)i) 4 � (2 h 35 min 19 s)j) (20 h 42 min) � 2
k) (15 h 27 min) � 5l) (8 h 15 min 42 s) � 3
a) 8 h 45 min 37 s � 6 h 10 min 28 s � 14 h 55 min 65 s � 14 h 55 min 1 min 5 s � 14 h 56 min 1 sb) 3 h 5 min 42 s � 1 h 20 min 18 s � 4 h 25 min 60 s � 4 h 25 min 1 min � 4 h 26 minc) 4 h 36 min 53 s � 2 h 19 min 15 s � 6 h 55 min 68 s � 6 h 55 min 1 min 8 s � 6 h 56 min 8 sd) 5 h 40 min 16 s � 3 h 34 min 9 s � 2 h 6 min 7 se) 7 h 20 min - 4 h 53 min � 6 h 80 min � 4 h 53 min � 2 h 27 minf) 9 h 29 min 18 s � 8 h 48 min 52 s � 8 h 89 min 18 s � 8 h 48 min 52 s � 8 h 88 min 78 s � 8 h 48 min 52 s � 40 min 26 sg) 3 � (5 h 40 min) � 15 h 120 min � 15 h 2 h � 17 hh) 2 � (6 h 18 min 24 s) � 12 h 36 min 48 si) 4 � (2 h 35 min 19 s) � 8 h 140 min 76 s � 8 h 2 h 20 min 1 min 16 s � 10 h 21 min 16 sj) (20 h 42 min) � 2 � 10 h 21 min
k) (15 h 27 min) � 5 � 3 h 5 min 24 s
l) (8h 15min 42s) � 3 � 2 h 45 min 14 s
2 min � 120 s 2 h � 120 min → 120 � 15 � 135 min
Mesures d’angles. Operacions
Expressa en forma incomplexa.a) 8� 46� 52�
b) 17� 43� 25�
c) 45� 36� 20�
d) 90� 45� 30�
a) 8� 46� 52� � 8 � 3600 � 46 � 60 � 52 � 31 612�
b) 17� 43� 25� � 17 � 3600 � 43 � 60 � 25 � 63 805�
c) 45� 36� 20� � 45 � 3600 � 36 � 60 � 20 � 164 180�
d) 90� 45� 30� � 90 � 3600 � 45 � 60 � 30 � 326 730�
11.47
11.46
218
20 h 2
00 h 10 h
42 min 2
00 min 21 min
15 h 5
00 h 3 h
27 min 5
02 min 5 min
120 min 5
00 m1in 24 s
8 h 3
2 h 2 h
135 h 3
015 h 45
000
42 s 3
12 s 14
00 s
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 218
Expressa en forma complexa:a) 44 469� c) 21 342�
b) 83 775� d) 117 952�
a) 44 469� � 12� 21� 9� c) 21 342� � 5� 55� 42�
b) 83 775� � 23� 16� 15� d) 117 952� � 32� 45� 52�
Fes les operacions següents.a) 39� 17� 43� � 52� 48� 30�
b) 46� 53� 8� � 20� 6� 53�
c) 70� 18� 33� � 49� 20� 15�
d) 65� 34� 28� � 5� 17� 38�
e) 2 � (44� 30� 12�)
f) 5 · (10� 24� 8�)
g) (64� 29�) � 3
h) (43� 7� 5�) � 7
a) 39� 17� 43� � 52� 48� 30� � 91� 65� 73� � 91� 1� 5� 1� 13� � 92� 6� 13�
b) 46� 53� 8� � 20� 6� 53� � 66� 59� 61� � 66� 59� 1� 1� � 66� 60� 1� � 67� 1�
c) 70� 18� 33� � 49� 20� 15� � 69� 78� 33� � 49� 20� 15� � 20� 58� 18�
d) 65� 34� 28� � 5� 17� 38� � 65� 33� 88� � 5� 17� 38� � 60� 16� 50�
e) 2 � (44� 30� 12�) � 88� 60� 24� � 88� 1� 24� � 89� 24�
f) 5 � (10� 24� 8�) � 50� 120� 40� � 50� 2� 40� � 52� 40 �
g) (64� 29�) � 3 � 21� 29� 40�
h) (43� 7� 5�) � 7 � 6� 9� 35�
11.49
11.48
219
64� 3
04� 21�
01
89� 3
29� 29�
02
120� 3
000� 40�
000
44469 60
02469 741 60
0 069 141 12
02 49 721
21342 60
23342 355 60
21342 355 5
21342
83775 60
23742 1396 60
25775 3196 23
25375 1316
25715
117952 60
157952 1965 60
113952 9165 32
117352 1945
117952
1� � 60 min → 60 � 29 � 89� 2� � 120�
43� 7
01� 6�
67� 7
24� 9�
245� 7
035� 35�
000
1� � 60� → 60 � 7 � 67� 4� � 4 � 60� � 240 → 240� � 5 � 245�
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 219
Mesures indirectes. Teorema de Pitàgores
Estudia, sense dibuixar-los, si els triangles següents són rectangles.a) Els costats tenen 5, 7 i 8 centímetres.
b) Isòsceles de costats iguals de 9 centímetres, i desigual de 15 centímetres.
a) No és rectangle, ja que no es verifica el teorema de Pitàgores.
En efecte, 52 � 72 � 74 82 � 64
b) No és rectangle, ja que no es verifica el teorema de Pitàgores.
En efecte, 92� 92 � 162 225 � 152
La hipotenusa d’un triangle rectangle té 20 centímetres, i un dels catets, 10 centímetres. Quant mesu-ra l’altre?
Apliquem el teorema de Pitàgores:
202 � 102 � b2 ⇒ 400 � 100 � b2 ⇒ b � �300� � 17,32. L’altre catet mesura 17,32 cm.
Càlcul de distàncies
Calcula la diagonal d’un rectangle els costats de la qual tenen les mesures següents.a) 5 i 4 decímetres b) 8 i 6 centímetres
En els dos casos apliquem el teorema de Pitàgores:
a) a2 � 42 � 52 � 16 � 25 � 41 ⇒ a � �41� � 6,40 dm
b) b2 � 82 � 62 � 64 � 36 � 100 ⇒ a � �100� � 10 cm
Calcula la diagonal d’un quadrat el costat del qual té la mesura en centímetres següent.a) 4 b) 7 c) 13
En tots els casos apliquem el teorema de Pitàgores:
a) a2 � 42 � 42 � 16 � 16 � 32 ⇒ a � �32� � 5,66 cm
b) b2 � 72 � 72 � 49 � 49 � 98 ⇒ a � �98� � 9,9 cm
c) c 2 � 132 � 132 � 169 � 169 � 338 ⇒ a � �338� � 18,38 cm
Calcula la mesura del costat d’un quadrat la diagonal del qual és de 14 centímetres.
Apliquem el teorema de Pitàgores: 142 � l 2 � l 2 ⇒
⇒ 196 � 2 l 2 ⇒ l 2 � 98 ⇒ l � �98� � 9,90 cm
11.54
11.53
11.52
11.51
11.50
220
a) b)
5 dm 8 cm
4 dma b
6 cm
13 cm
c
7 cm
b
4 cm
a
14 cml
l
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 220
Calcula el radi de la circumferència en què està inscrit un quadrat el costat del qual mesura en decí-metres.a) 3 b) 9 c) 4
El diàmetre de la circumferència es correspon amb la diagonal del quadrat inscrit.
a) d 2 � 32 � 32 � 9 � 9 � 18 ⇒ d � �18� � 4,24 dm ⇒ El diàmetre de la circumferència mesura 4,24 dm.
Per tant, el radi de la circumferència és r � 4,
224 � 2,12 dm.
b) d 2 � 92 � 92 � 81 � 81 � 162 ⇒ d � �162� � 12,73 dm ⇒ El diàmetre de la circumferència mesura 12,73 dm.
Per tant, el radi és: r � 12
2,73 � 6,37 dm
c) d 2 � 42 � 42 � 16 � 16 � 32 ⇒ d � �32� � 5,66 dm ⇒ El diàmetre de la circumferència mesura 5,66 dm.
Per tant, el radi és: r � 5,
266 � 2,83 dm
Calcula l’altura d’aquests triangles.a) Un triangle equilàter de 6 centímetres b) Un triangle isòsceles els costats iguals del qual
de costat. tenen 7 centímetres, i el desigual, 8 centímetres.
En els dos casos, l’altura divideix el triangle inicial en dos triangles rectangles. Per tant, apliquem el teorema de Pitàgores:
a) h 2 � 32 � 62 ⇒ h 2 � 62 � 32 � 36 � 9 � 27 ⇒ h � �27� � 5,19 cm
b) h 2 � 42 � 72 ⇒ h 2 � 72 � 42 � 49 � 16 � 33 ⇒ h � �33� � 5,75 cm
Calcula el costat d’un rombe sabent que les seues diagonals mesuren:a) 12 i 16 centímetres b) 6 i 8 decímetres
a) l 2 � 82 � 62 ⇒ l 2 � 64 � 36 � 100 ⇒ l � �100� � 10 cm
b) l 2 � 42 � 32 ⇒ l 2 � 16 � 9 � 25 ⇒ l � �25� � 5 dm
11.57
11.56
11.55
221
3 dm
3 d
m d
9 dm
9 d
m d
4 dm
d
6 cm3 cm
h6 cm
8 cm4 cm
7 cm
h
12 cm
l
16 cm8 c
m
6 cm
6 dm
l
8 dm4 d
m
3 dm
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 221
Quant mesura l’apotema d’un hexàgon regular inscrit en una circumferència de 9 decímetres de radi?
(4,5)2 � ap2 � 92 ⇒ 20,25 � ap2 � 81 ⇒
⇒ ap2 � 81 � 20,25 � 60,75 ⇒ ap � �60,75� � 7,79 dm
L’altura d’un triangle equilàter és de 8 centímetres. Calcula la mesura del costat.
L’altura divideix el triangle inicial en dos triangles rectangles iguals.
Apliquem el teorema de Pitàgores:
l 2 � 82 � �2l�
2
⇒ l 2 � �2l�
2
� 82 ⇒
⇒ 34
l 2 � 64 ⇒ l 2 � 4 �
364 � 85,33 ⇒ l � �85,33� � 9,24 cm
Calcula els costats desconeguts d’aquests trapezis.
a) b)
a) De primer, apliquem el teorema de Pitàgores al triangle:
52 � 32 � a2 ⇒ a2 � 25 � 9 � 16 ⇒ a � �16� � 4 cm
A la vista del dibuix, la base del trapezi mesura x � a � 4 � 4 � 8 cm
b) En primer lloc, apliquem el teorema de Pitàgores al triangle:
a2 � 82 � 102 ⇒ a2 � 64 � 100 ⇒ a2 � 100 � 64 � 36 ⇒ a � �36� � 6 cm
A la vista del dibuix, la base més xicoteta del trapezi mesura 24 � 2a � 24 � 12 � 12 cm
P R O B L E M E S P E R A A P L I C A R
Martí ha mesurat la capacitat d’un got amb una gerra graduada cada 20 centilitres. El got conté entre200 i 220 centilitres i es pren 3 gots de llet cada dia. Entre quines mesures es pot fitar la llet que Martíbeu diàriament?
La quantitat de llet que Martí beu està fitada entre 200 � 3 � 600 cl i 220 � 3 � 660 cl.
Si c és aquesta quantitat, s’escriu 600 cl � c � 660 cl
11.61
11.60
11.59
11.58
222
9 dm
ap 9 dm
9 dm4,5 dm
ap
8 c
m ll
l__2l
3 cm
x
5 cm
4 cm x
8 cm
10 cm
24 cm
3 cm
x
5 cm
4 cm
x
8 cm
10 cm
24 cm
← a →
← a →
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 222
Iria ha plantat un arbre i vol saber quant mesura, però només ha trobat un metre de sastre com el dela figura.
a) Entre quines mesures està fitada l’alçària de l’arbre?b) Indica’n una fita d’error.
a) L’alçària de l’arbre està fitada entre 60 i 70 cm. Si h és aquesta altura, escriurem 60 cm � h � 70 cmb) L’error comés ha de ser sempre més xicotet que 70 � 60 � 10 cm, és a dir: e � 10 cm
En una competició ciclista, els tres millors temps han sigut els següents:Ciclista A: 1h 25min 32sCiclista B: 84min 50sCiclista C: 5130sEn quin ordre han arribat a la meta?
Primerament, expressem tots els temps en segons. A continuació els ordenem:Ciclista A: 1h 25min 32s � 1 � 3600 � 25 � 60 � 32 � 5132sCiclista B: 84min 50s � 84 � 60 � 50 � 5090sCiclista C: 5130sCom que 5090s � 5130s � 5132s, l’ordre d’arribada ha sigut: primer lloc, ciclista B; segon lloc, ciclista C, i últim lloc, ciclis-ta A.
Un angle recte es divideix en 4 angles iguals. Expressa en forma complexa la mesura de cadascun.
Dividim 90� entre 4:
La mesura de l’angle desigual d’un triangle isòsceles és de 50� 25�.Calcula la mesura dels dos angles iguals.
Els tres angles d’un triangle sumen 180�.180� � 50� 25� � 179� 60� � 50� 25� � 129� 35� mesura la suma dels dos angles iguals. Per a conéixer la mesura de ca-dascun, dividim entre 2 aquesta quantitat:
Cadascun mesura 64� 47� 30�
11.65
11.64
11.63
11.62
223
120� 4
000� 30�
000
90� 4
10� 22�
92
2� � 120�
60� 2
00� 30�
95� 2
15� 47�
01
129� 2
099� 64�
01
1� � 60�1� � 60� → 60 � 35 � 95
←10 c
m→
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 223
Quan un gimnasta executa un exercici de terra, quina longitud recorre en cada diagonal si el recinteon es troba és un quadrat de 12 metres de longitud?
Apliquem el teorema de Pitàgores:
d 2 � 122 � 122 � 144 � 144 � 288 ⇒ d � �288� � 16,97 m
El gimnasta recorre 16,97 m en cada diagonal.
El senyal de la fotografia és un triangle equilàter de 85 centímetres de costat. La línia que delimita lazona pintada de negre és l’altura sobre un dels costats. Quant mesura?
L’altura és la mediatriu del costat del triangle, per tant, dividim el triangle inicial en dos triangles rectangles iguals. Apliquemel teorema de Pitàgores:
85 � 2 = 42,5 cm; h 2 � (42,5)2 � 852 ⇒ h 2 � 1806,25 � 7225 ⇒
⇒ h 2 � 7225 � 1806,25 � 5418,75 ⇒ h � �5418,7�5� � 73,61 cm
L’altura del triangle és de 73,61 cm
En un bloc d’habitatges en construcció, les finestres s’han assenyalat amb una creu de cinta adhesivacom les de la figura.Quants metres de cinta s’han utilitzat en un pis que té 4 finestres com aquesta?
Cada diagonal de la finestra divideix aquesta en dos triangles rectangles iguals. De primer, expressem totes les dimensions enla mateixa unitat. A continuació apliquem el teorema de Pitàgores per a calcular la longitud d’una diagonal.
80 cm � 0,8 m
d 2 � 0,82 � 12 � 0,64 � 1 � 1, 64 ⇒ d � �1,64� � 1,28 m
Per a cada diagonal són necessaris 1,28 m de cinta. En quatre finestres hi ha huit diagonals. Per això, en total són necessaris 1,28 � 8 � 10,25 m de cinta.
11.68
11.67
11.66
224
12 m
12 m
d
1 m
80 cm
85 c
m
85 cm
h
42,5
cm
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 224
Calcula les longituds a i b dels tirants del pont de 180 metres representat en la figura.
En la figura es veuen dos triangles rectangles d’hipotenu-ses a i b, respectivament.Els catets del triangle gran mesuren 120 m cadascun. Pelteorema de Pitàgores:a2 � 1202 � 1202 � 28 800 ⇒ a � 28 800 ⇒⇒ a � �28 800� � 169,71 mEl triangle xicotet és semblant al gran. Siga x la mesuradel catet desconegut. Pel teorema de Tales:
16800
� 12
x0
⇒ x � 60
1�80
120 � 40
Apliquem finalment el teorema de Pitàgores:
b2 � 602 � 602 � 7200 ⇒ b � �7200� � 84,85 m
Un fuster vol construir un escaire amb dos costats iguals. L’altura sobre el costat desigual ha de tenir3 decímetres. Disposa d’un llistó de fusta d’1,75 metres. En té prou o ha de comprar-ne un altre mésgran?
L’altura sobre el costat desigual divideix l’escaire en dos triangles rectangles iguals. Els triangles xicotets i el gran són semblants, ja que comparteixen la mesura dels seus angles. Per tant, els trian-gles xicotets han de ser isòsceles com l’escaire. Per tant, a � 3 dm, i la hipotenusa de l’escaire és a � a � 3 � 3 � 6 dm.
Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle gran, l 2 � l 2 � 62 ⇒ 2l 2 � 36 ⇒ l 2 � 18 ⇒
⇒ l � �18� � 4,24 cm
El perímetre de l’escaire és de 4,24 � 4,24 � 6 � 14,48 dm � 1,45 m, per tant el fuster en té prou amb el llistó de fusta.
R E F O R Ç
Estimació
D’un full de paper mil·limetrat es retalla un rectangle de 10 centímetres quadrats per a mesurar la su-perfície d’un full d’aquesta agenda. Quina és la seua mesura aproximada?
En un full de l’agenda caben 10 rectangles com el de la figura. Per tant, la superfície és de 10 � 10 � 100 cm2.
Mesura del temps. Operacions
Expressa en forma incomplexa.a) 3h 45s
b) 45min 32s
c) 1h 35min 26s
a) 3h 45s � 3 � 3600 � 45 � 10845s
b) 45min 32s � 45 � 60 � 32 � 2732s
c) 1h 35min 26s � 1 � 3600 � 35 � 60 � 26 � 5726s
11.72
11.71
11.70
11.69
225
3 dm
ll
aa
10 cm2
112200 mm b
a
180 m6600 mm
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 225
En una carrera popular, el temps del primer a arribar a la meta ha sigut de 56 min 12 s, i el de l’últim,d’1 h 18 min 34 s. Quina diferència de temps hi ha entre els dos corredors?
La diferència de temps és:1h 18min 34s � 56min 12s � 78min 34s � 56min 12s � 22min 22s
Mesura d’angles. Operacions
Cadascun dels angles iguals d’un triangle isòsceles mesura 42� 30�.Calcula la mesura de l’angle desigual.
La suma dels angles d’un triangle és 180�.
La suma dels dos angles iguals és 2 � (42� 30�) � 84� 60� � 85�.
Per tant, la mesura de l’angle desigual és 180� � 85� � 95�.
Quant mesura cadascun dels angles en què queda dividit per la seua bisectriu un altre de 47� 39�?
La bisectriu d’un angle divideix aquest en dos angles iguals.
Cadascun dels angles iguals mesura 23� 49� 30�
Mesures indirectes. Teorema de Pitàgores
Calcula la longitud del costat desconegut.a) b)
a) Apliquem el teorema de Pitàgores:
a2 � 62 � 92 � 36 � 81 � 117 ⇒ a � �117� � 10,82 cm
b) Apliquem el teorema de Pitàgores:
42 � b2 � 102 ⇒ b2 � 102 � 42 � 100 � 16 � 84 ⇒ b � �84� � 9,17 cm
Estudia si són rectangles els triangles els costats dels quals mesuren:a) 7, 11 i 9 cm.b) 8, 6 i 10 cm.
a) No és rectangle, ja que no verifica el teorema de Pitàgores. En efecte:
72 � 92 � 49 � 81 � 130 112 � 121
b) És rectangle, ja que verifica el teorema de Pitàgores. En efecte:
62 � 82 � 36 � 64 � 100 � 102
Càlcul de distàncies
La diagonal d’un rectangle mesura 15 centímetres, i la d’un dels costats, 12 centímetres. Calcula la me-sura de l’altre costat.
Apliquem el teorema de Pitàgores:
a2 � 122 � 152 ⇒ a2 � 144 � 225 ⇒ a2 � 225 � 144 � 81 ⇒
⇒ a � �81� � 9 cm
L’altre costat mesura 9 cm.
11.78
11.77
11.76
11.75
11.74
11.73
226
a6 cm
9 cm
b
4 cm
10 cm
a15 cm
12 cm
60� 2
00� 30�
00
99� 2
19� 49�
01
47� 2
07� 23�
01
1� � 60�1� � 60� → 60 � 39 � 99�
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 226
El costat desigual d’un triangle isòsceles fa 14 centímetres, i els costats iguals, 8 centímetres. Calculal’altura sobre el costat desigual.
L’altura del triangle divideix aquest en dos triangles rectangles iguals.
Apliquem el teorema de Pitàgores:
72 � h 2 � 82 ⇒ h 2 � 82 � 72 � 64 � 49 � 15 ⇒ h 2 � 15 ⇒ h � �15� � 3,87 cm
Calcula el costat desigual d’un triangle isòsceles els costats iguals del qual tenen 13 centímetres, i l’al-tura, 5 centímetres.
Es traça l’altura del triangle isòsceles. D’aquesta manera, el triangle queda dividit en dos triangles rec-tangles iguals. Apliquem el teorema de Pitàgores en un d’aquests triangles:
a2 � 52 � 132 ⇒ a2 � 25 � 169 ⇒ a2 � 169 � 25 � 144 ⇒ a2 � 144 ⇒ a � �144� � 12 cm
El costat desigual mesura, per tant, 12 � 2 � 24 cm.
Calcula el costat d’un quadrat sabent que la seua diagonal és de 7 centímetres.
La diagonal d’un quadrat divideix aquest en dos triangles rectangles iguals. Apliquem el teoremade Pitàgores:
l 2 � l 2 � 72 ⇒ 2 � l 2 � 49 ⇒ l 2 � 429 � 24,5 cm ⇒ l � �24,5� � 4,95 cm
El costat del quadrat té 4,95 cm.
A M P L I A C I Ó
Expressa 2357 hores en mesos, dies i hores.
Les equivalències són 1 mes � 30 dies, i 1 dia � 24 hores.Dividim 2357 entre 24, tenim que 2357 � 98 � 24 � 5.Dividim 98 dies entre 30, tenim que 98 � 3 � 30 � 8.Per tant, 2357 � 3 mesos 8 dies i 5 hores.
En un triangle rectangle isòsceles, la superfície del quadrat construït sobre la hipotenusa té 121 centí-metres quadrats.Calcula la mesura de cada catet.
Apliquem el teorema de Pitàgores:
l 2 � l 2 � 121 ⇒ 2 � l 2 � 121 ⇒ l 2 � 1221
� 60,5 cm ⇒ l � �60,5� � 7,78 cm
El costat del quadrat mesura 7,78 cm.
Calcula el costat d’un hexàgon inscrit en una circumferència sabent que l’apotema mesura 7 centí-metres.
Un hexàgon regular està composat per sis triangles equilàters iguals. Les apotemes de l’hexàgon escorresponen amb l’altura d’aquests triangles. Aquesta altura divideix cada triangle en dos trianglesrectangles iguals. Apliquem el teorema de Pitàgores en un d’aquests triangles:
72 � �2l�
2
� l 2 ⇒ 49 � l 2 � �2l�
2
� 34
l 2 ⇒ l 2 � 4 �
349 � 65,34 ⇒ l � �65,34� � 8,08 cm
11.84
11.83
11.82
11.81
11.80
11.79
227
h8 cm
8 cm
7 cm14 cm
5 cm
aa
13 cm 13 cm
7 cml
l
l 2 l 2
121 cm2
7 cm
l__2
l
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 227
Calcula el radi d’aquesta circumferència si coneixes la mesura de la diagonal del quadrat.
El costat del quadrat circumscrit es correspon amb el diàmetre de la circumferència. Apliquem elteorema de Pitàgores a un dels triangles rectangles del dibuix:
l 2 � l 2 � 152 � 225 ⇒ 2 � l 2 � 225 ⇒ l 2 � 2225
� 112,5 cm ⇒ l � �112,5� � 10,61 cm
El radi de la circumferència té r � 10
2,61 � 5,30 cm
Calcula a en la figura següent, tenint en compte que ABDE és un quadrat.
De primer, calculem el costat ABCD del quadrat, apliquem el teorema de Pitàgores a undels triangles rectangles en què la diagonal divideix el quadrat:
l 2 � l 2 � 82 ⇒ 2 � l 2 � 64 ⇒ l 2 � 624 � 32 cm ⇒ l � �32� � 5,66 cm
El costat del quadrat mesura 5,66 cm.
a és la hipotenusa d’un triangle rectangle. Un dels catets mesura la meitat del costat del quadrat, és a dir, 5,
266 � 2,83 cm.
L’altre catet mesura 14 � 5,66 � 8,34 cm.
Pel teorema de Pitàgores: a2 � 2,832 � 8,342 ⇒ a2 � 8 � 69,56 � 77,56 cm.
El valor de a és, per tant, a � �77,56� � 8,81 cm.
Calcula les diagonals del trapezi isòsceles de la figura.
En primer lloc tracem l’altura del trapezi des d’un dels vèrtexs superiors.
D’aquesta manera obtenim dos triangles rectangles amb els quals podem aplicar el teorema de Pitàgores.
Altura del trapezi: h 2 � 22 � 62 ⇒ h 2 � 36 � 4 � 32 ⇒ h � �32� � 5,66 cm
Diagonal del trapezi: d 2 � (5,66)2 � 82 � 32 � 64 � 96 ⇒ d � �96� � 9,8 cm
11.87
11.86
11.85
228
15 cm
l
H C
A B
DE
a
a8
cm14 _ l
l__2
6 cm
10 cm
6 cm 6 cmdh
←2cm→
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 228
P E R A I N T E R P R E T A R I R E S O L D R E
Quatre parcel·lesElvira vol comprar una parcel·la en una urbanització. Té la possibilitat de triar-ne una de les quatre queapareixen en la figura. Quina triarà si vol la de més superfície?
Totes les parcel·les mesuren el mateix. En efecte:
El cercle central no forma part de les parcel·les i lleva a cadascuna la mateixa superfície, ja que està centrat en el dibuix. Pertant, calculem les àrees de les parcel·les com si no existira el cercle. D’aquesta manera:
Àrea de A: Es tracta d’un rectangle, per tant l’àrea és b � h � 35 � 40 � 1400 m2.
Àrea de B: Es tracta d’un trapezi isòsceles que podem descompondre en un rectangle i un triangle rectangle.
Àrea del rectangle: b � h � 20 � 40 � 800 m2.
Per a saber l’àrea del triangle calculem, de primer, la mesura dels catets.
Pel teorema de Pitàgores, 402 � b2 � 502 ⇒ b2 � 502 � 402 � 900 ⇒ b � �900� � 30 m.
Per tant, l’àrea del triangle és b
2� h �
302� 40 � 600 m2.
L’àrea total de la parcel·la és: 800 � 600 � 1400 m2.
Àrea de C: Es tracta d’un triangle rectangle, i l’àrea és b
2� h �
802� 35 � 1400 m2.
Àrea de D: Es tracta d’un rectangle la base del qual mesura 20 � 30 � 50 m, i mesura 28 m d’alt. L’àrea del rectangle és, per tant, 50 � 28 � 1400 m2.
HipotenusesEls triangles OAB, OBC, OCD i ODE són tots isòsceles i rectangles.Calcula la longitud de la hipotenusa OE.
Com que els triangles són isòsceles,
OA � AB, OB � BC, OC � CD i OD � DE
Apliquem el teorema de Pitàgores a cadascun, tenim que:
OB 2 � AO 2 � AB 2 � 42 � 42 � 32
OC 2 � OB 2 � BC 2 � 32 � 32 � 64
OD 2 � OC 2 � CD 2 � 64 � 64 � 128
OE 2 � DE 2 � OD 2 � 128 � 128 � 256 ⇒
⇒ Longitud de la hipotenusa OE � �256� � 16 cm
11.89
11.88
229
E
D
C
BA
0
4 cm
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 229
A U T O A V A L U A C I Ó
Observa aquest dibuix.
a) Entre quins valors es troba la mesura exacta del segment?b) Digues una fita d’error.
a) Entre 5,5 i 6 b) Una fita d’error és 6 � 5,5 � 0,5 ⇒ E � 0,5
Calcula.a) 5h 43min 13s � 3h 28min 54s b) 9h 17min 40s � 4h 2min 59s
a) 5h 43min 13s � 3h 28min 54s � 8h 71min 67s � 8h 1h 11min 1min 7s � 9h 12min 7sb) 9h 17min 40s � 4h 2min 59s � 9h 16min 100s � 4h 2min 59s � 5h 14min 41s
Fes les operacions següents.a) (8� 15� 20�) � 4 b) (19� 36�) � 5
a) (8� 15� 20�) � 4 � 32� 60� 80� � 32� 1� 1� 20� � 33� 1� 20�
b) (19� 36�) � 5 � 3� 55� 12�
És rectangle el triangle de costats 6, 9 i 14 centímetres?
No és rectangle, ja que no verifica el teorema de Pitàgores. En efecte: 62 � 92 � 36 � 81 � 117 142 � 196
La hipotenusa d’un triangle rectangle té 8 centímetres, i un dels seus catets, 4 centímetres. Quant me-sura l’altre?
Pel teorema de Pitàgores, a2 � 42 � 82 ⇒ a2 � 82 � 42 � 64 � 16 � 48 ⇒ a � �48� � 6,93. L’altre catet mesura 6,93 cm.
Calcula la diagonal d’un rectangle els costats del qual tenen les mesures següents:a) 15 i 8 decímetres b) 10 i 2 centímetres
En els dos casos apliquem el teorema de Pitàgores:a) 152 � 82 � d 2 ⇒ d 2 � 225 � 64 � 289 ⇒ d � �289� � 17. La diagonal té 17 dm.
b) 102 � 22 � d 2 ⇒ d 2 � 100 � 4 � 104 ⇒ d � �104� � 10,2. La diagonal té 10,2 dm.
Calcula la diagonal d’un quadrat els costats del qual tenen les mesures següents, en centímetres.a) 14 b) 2 c) 17
a) 142 � 142 � d 2 ⇒ d 2 � 196 � 196 � 392 ⇒ d � �392� � 19,8. La diagonal té 19,8 cm.
b) 22 � 22 � d 2 ⇒ d 2 � 4 � 4 � 8 ⇒ d � �8� � 2,83. La diagonal té 2,83 cm.
c) 172 � 172 � d 2 ⇒ d 2 � 289 � 289 � 578 ⇒ d � �578� � 24,04. La diagonal té 24,04 cm.
11.A7
11.A6
11.A5
11.A4
11.A3
11.A2
11.A1
230
10 32 540,5 1,5 2,5 3,5 4,5 65,5 6,5
d
15 dm
a)
8 dm
d
10 cm
2 cm
2 c
m
2 cm
d
14 c
m
14 cm
d
a) b) c)
17 c
m d
17 cm
60� 5
00� 12�
00
276� 5
026� 55�
001
19� 5
04� 3� 1� � 60�4� � 240� → 240 � 36 � 276�
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 230
Els costats iguals d’un triangle isòsceles són de 7 centímetres i el costat desigual, de 12.Calcula l’altura sobre el costat desigual.
Primerament, tracem l’altura del triangle, obtenim d’aquesta manera dos triangles rectangles iguals. Apli-quem el teorema de Pitàgores a un d’aquests triangles i tenim que
h 2 � 62 � 72 ⇒ h 2 � 36 � 49 ⇒ h 2 � 49 � 36 � 13 ⇒ h � �13� � 3,61
L’altura mesura 3,61 cm.
Calcula el costat d’un quadrat inscrit en una circumferència de 16 centímetres de radi.
Tracem la diagonal del quadrat que queda dividit en dos triangles rectangles iguals.
La hipotenusa del triangle coincideix amb el diàmetre de la circumferència.
Mesura, per tant, 16 � 2 � 32 cm.
Apliquem el teorema de Pitàgores:
l 2 � l 2 � 322 ⇒ 2 � l 2 � 1024 ⇒ l 2 � 512 ⇒ l � �512� � 22,63 cm
El costat del quadrat és de 24,04 cm.
J U G A N T A M B L E S M A T E M À T I Q U E S
Com omplir un recipient
La mare de Pau li ha manat que duga tres litres d’aigua de la font i li ha donat dos recipients: un de nou li-tres i un altre de cinc litres. Com s’ho ha de fer Pau per a portar exactament tres litres d’aigua a sa mare?
Pau ha de seguir els passos següents:
11.A9
11.A8
231
Pas Acció Resultat
1 Omplir el depòsit gran. Recipient gran ple.Recipient xicotet buit.
2 Tirar 5 L del depòsit gran dins del xicotet. Recipient gran amb 4 L.Buidar el xicotet. Recipient xicotet buit.
3 Tirar els 4 L d’aigua que conté el depòsit Recipient gran buit.gran dins del xicotet. Recipient xicotet amb 4 L.
4 Omplir el depòsit gran amb 9 L. Passar 1 L Recipient gran amb 8 L.al xicotet. Buidar el xicotet. Recipient xicotet buit.
5 Tirar 5 dels 8 litres del depòsit gran dins Recipient gran amb 3 L.del xicotet. Buidar el xicotet. Recipient xicotet buit.
l32 cm
l
h7 cm7 cm
6 cm12 cm
116248_U11_VAL 7/8/08 09:59 Página 231
