11 nciones olinmicas racionales 11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y ...€¦ · 11 nciones olinmicas racionales 444 Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas

11 Funciones polinómicas y racionales

444Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO

FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES11

El objetivo de esta unidad es ampliar los conocimientos sobre funciones que tiene el alumnado.

La unidad comienza tratando las funciones polinómicas, ya conocidas por ellos, para, a continuación, profundizar en el estudio de funciones de proporcionalidad inversa y racionales e introducir, por primera vez, el cálculo de las asíntotas.

Las actividades iniciales ayudarán a recordar cómo se relaccionan entre si magnitudes proporcionales, cómo se resuelven ecuaciones, operaciones con polinomios y a reconocer características de funciones como la monotonía y la curvatura.

Como los alumnos ya han trabajado el concepto de límite, en un punto y cuando la variable independiente tiende a valores muy grandes o muy pequeños, será el momento de ver una de sus aplicaciones y hacerles ver cómo el cálculo de la rectas asíntotas nos permiten dibujar con facilidad una determinada función.

El último epígrafe de la unidad trata de funciones definidas a trozos, será el momento de repasar todos los conceptos que se han trabajado a lo largo de la unidad.

Para resolver las posibles dificultades que presenten los alumnos será útil recurrir a gráficos y problemas de la vida cotidiana.

La metodología se ha diseñado para permitir al alumnado el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Se desarrolla a lo largo de la unidad siendo la protagonista de la sección Matemáticas vivas, Funciones en los medios de comunica-ción y problemas en contextos cercanos a los alumnos.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para comprender determinados contenidos y para exponer gráficamente resultados.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en ejercicios y problemas donde se tratan funciones que nos informan de situaciones reales.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico y el pensamiento creativo. Valoraremos la disposición de modelizar situaciones que se presentan en diferentes problemas. La puesta en común de los distintos trabajos cons-tituye una ocasión para la integración de los conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencias sociales y cívicas (CSC)Está presente en varias actividades y especialmente en el Desafío de los epígrafes 3 y 5, y en la sección de Matemáticas vivas. Les per-mitirá desarrollar un juicio moral y razonar sobre la realidad social contribuyendo así a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío). La unidad contiene un gran número de problemas cuya resolución contribuirá a fomentar la autonomía e iniciativa personal así como la toma de decisiones.

445

11Funciones polinómicas y racionales

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO

Competencia conciencia y expresion cultural (CCEC)Está presente en la sección Funciones en los medios de comunicación.

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de dos semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Reconocer funciones polinómicas expresadas en sus diferentes contextos.

❚❚ Identificar funciones de proporcionalidad inversa.

❚❚ Reconocer funciones racionales y sus características.

❚❚ Calcular las asíntotas de una función.

❚❚ Dibujar, modelizar e interpretar funciones definidas a trozos.

❚❚ Estudiar elementos fundamentales como dominio y recorrido, continuidad, curvatura y monotonía de funciones polinómicas, racionales y funciones definidas a trozos.

❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el manejo de funciones polinómicas, de proporcionalidad inversa, racionales y funciones definidas a trozos.

❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando funciones.

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de am-pliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la re-solución de problemas relacionadas con el estudio de funciones polinómicas y racionales.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre funciones polinómicas y racionales y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con las funciones polinómicas y racionales pueden acceder a la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Funciones polinómicasCaracterísticas de las funciones polinómicas

1. Reconocer y representar funciones polinómicas.

1.1. Identifica y representa funciones polinómicas conociendo sus expresiones algebraicas o puntos por los que pasan.

1.2. Modeliza y resuelve problemas de la vida cotidiana mediante funciones polinómicas.

1-6843, 45-51

742, 4452-55Matemáticas vivas 1, 2Trabajo cooperativoF1, F2

CMCTCLCAACSCCCSIEECCEC

Funciones de proporcionalidad inversaCaracterísticas de la función de proporcionalidad inversa

2. Identificar y representar funciones de proporcionalidad inversa.

2.1. Elabora gráficas a partir de la expresión algebraica y reconoce propiedades y gráficas de funciones de proporcionalidad inversa.

2.2. Identifica y discrimina relaciones de proporcionalidad inversa y las emplea para resolver problemas en situaciones cotidianas.

9-11, 13, 14, 1756, 61

12, 15, 1657-60

CMCTCDCLCSCCCAA CSIEE



Funciones racionalesCaracterísticas de las funciones racionales

3. Reconocer, representar y analizar funciones racionales.

3.1. Reconoce, indica las características y representa una función racional a partir de la expresión algebraica.

3.2. Conoce, maneja, modeliza e interpreta funciones racionales en diferentes contextos.

19, 21-2361

18, 2024-2662

CMCTCLCSCCCAA CSIEE

Asíntotas y límites 4. Identificar funciones que presentan asíntotas y hallar sus expresiones.

4.1. Escribe la ecuación de las asíntotas de una función dada por su gráfica.

4.2. Determina la ecuación de las asíntotas de una función dada por su expresión algebraica reconociendo la tendencia de la función según x tienda hacia valores finitos e infinitos.

4.3. Aplica el conocimiento del cálculo de asíntotas para resolver problemas.

2762

28-3264, 65

3363


Funciones definidas a trozos

5. Reconocer, representar e interpretar funciones a trozos.

5.1. Estudia propiedades y representa funciones a trozos de las que se conoce su expresión algebraica.

5.2. Modeliza y estudia las características de funciones a trozos dadas mediante un gráfico o dadas por enunciados presentes en la vida cotidiana.

34, 3538, 40, 4166, 69, 7173, 74

36, 37, 3967, 68, 70, 7275, 76Matemáticas vivas 3, 4


P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave



MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

¿Qué tienes que saber? • Funciones polinómicas • Funciones racionales. Asíntotas • Funciones definidas a trozos

AvanzaTransformaciones de funciones

Funciones en los medios de comunicación

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB.❚Sir Isaac Newton

1. Funciones polinómicas • Características de las funciones

polinómicas

GeoGebra. Funciones de proporcionalidad inversa

2. Funciones de proporcionalidad inversa

• Características de la función de proporcionalidad inversa

3. Funciones racionales • Características de las funciones

racionales

Vídeo. Asíntota oblicua4. Asíntotas y límites

GeoGebra. Función a trozos5. Funciones definidas a trozos

Actividades finales Actividades interactivas

MisMates.es

Comprende y resuelve problemas

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Matemáticas vivasFactura de la luz: • Estudio del detalle de la facturación y

consumo

Trabajo cooperativo Tarea cuya estrategia cooperativa es Cabezas juntas numeradas, de Spencer Kagan

Practica+



Sugerencias didácticasLa unidad comienza presentando a los alumnos ejemplos de situaciones en las que aparecen funciones racionales.

Se puede trabajar con esta idea y que los alumnos propongan situaciones cotidianas en las que aparezcan magnitudes inver-samente proporcionales.

Contenido WEB. SIR ISAAC NEWTON

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recur-so TIC para complementar la página de inicio con información relativa a la unidad. En este caso se trata de una breve biografía del científico Sir Isaac Newton junto con una introducción a los fractales. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de co-menzar a trabajar la unidad, relacionando conceptos de distintas áreas, o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades1. Decide si son directa o inversamente proporcionales:

a) La superficie que se quiere solar y la cantidad, en kilogra-mos, de cemento necesaria.

b) El número de amigos que limpian un local y las horas que emplearán.

REPASA LO QUE SABES1. Decide si son directa o inversamente proporcionales:

a) La superficie que se quiere solar y la cantidad, en kilogramos, de cemento necesaria.

b) El número de amigos que limpian un local y las horas que emplearán.

2. Resuelve las ecuaciones propuestas.

a) x3 + 4x2 + 3x = 0 b) x2 − 4

x + 3= 0 c)

4

x+

x

x −1=

7

3

3. Calcula P(x) : Q(x), si P(x) = x2 − x + 2 y Q(x) = x + 1.

4. Determina la monotonía y la curvatura de la función.

239

11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

La relación entre dos magnitudes inversamente proporcionales, por ejemplo el número de trabajadores y el tiempo que tardan en realizar un trabajo, se puede representar gráficamente mediante una función de proporcionalidad inversa.

En la vida cotidiana nos encontramos también con magnitudes cuya relación podemos plasmar mediante una función racional, por ejemplo la intensidad de la luz y la distancia al foco emisor, y en su gráfica observamos que la luz pierde intensidad a medida que nos alejamos del foco, puesto que se reparte en una superficie mucho mayor: la intensidad de la luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco.

La relación entre dos magnitudes inversamente proporcionales, por ejemplo el número de trabajadores y el tiempo que tardan en realizar un trabajo, se puede representar gráficamente mediante una función de proporcionalidad inversa.

En la vida cotidiana nos encontramos también con magnitudes cuya relación podemos plasmar mediante una función racional, por ejemplo la intensidad de la luz y la distancia al foco emisor, y en su gráfica observamos que la luz pierde intensidad a medida que nos alejamos del foco, puesto que se reparte en una superficie mucho mayor: la intensidad de la luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco.

IDEAS PREVIAS

❚ Magnitudes proporcionales.

❚ Resolución de ecuaciones

de grado superior a dos

y ecuaciones racionales.

❚ División de polinomios.

❚ Monotonía y curvatura

de funciones.

mac4e42

El método desarrollado por Sir Isaac Newton (1642-1727) para encontrar soluciones de ecuaciones polinómicas mediante el estudio de funciones es el origen del estudio actual de los fractales y sus vistosas representaciones gráficas.

Matemáticas en el día a día ][O 1

1

X

Y

a) Cuanto mayor sea la superficie a solar, mayor será la cantidad de cemento que se necesitará, por tanto, son magnitudes direc-tamente proporcionales.

b) Si el número de amigos aumenta, el tiempo necesario será menor, por tanto son magnitudes inversamente proporcionales.

2. Resuelve las ecuaciones propuestas. a) x 3 + 4x 2 + 3x = 0 b) x2 − 4

x + 3= 0 c)

4

x+

x

x −1=

7

3

a) x 3 + 4 x 2 + 3x = 0 → x x 2 + 4 x + 3( ) = 0 → Una solución es x1 = 0 y las otras dos son las soluciones de la ecuación:

x2 + 4 x + 3 = 0 → x =−4 ± 16−12

2=−4 ± 2

2→ x2 = −1, x3 = −3

b) x2 − 4

x + 3= 0 → x2 − 4 = 0 → x2 = 4 → x1 = −2, x2 = 2

c) 4

x+

x

x −1=

7

3→

4( x −1) + x2

x ( x −1)=

7

3→ 12x −12 + 3x2 = 7 x2 −7 x → 4 x2 −19 x + 12 = 0

x =19 ± 361−192

8=

19 ± 13

8→ x1 = 4, x2 =

3

4

3. Calcula P (x) : Q (x), si P (x) = x2 − x + 2 y Q (x) = x + 1.

1 −1 2−1 −1 2

1 −2 4 El polinomio cociente es C (x) = x − 2 y el resto R = 4.

4. Determina la monotonía y la curvatura de la función.

O 1

1

X

Y La función es creciente en ( −∞; −0,5 ) y ( 3, +∞ ), y es decreciente en (−0,5; 3).

El punto máximo lo alcanza en (−0,5; 3,5) y el mímino en (3, −1).

Es convexa en ( −∞; 1,3 ) y es cóncava en ( 1,3; +∞ ).

449



Soluciones de las actividades

1 Escribe la expresión de la función constante que pasa por (3, −1) y (−2, −1).

Es la recta de ecuación: y = −1

2 Halla y representa, en los mismos ejes, las funciones lineales que pasan por el origen de coordenadas y, además, por el punto:

a) A (1, 1) c) C (−1, −3)

b) B (1, −1) d) D (1, −3)

¿Qué otro nombre recibe este tipo de funciones?

a) y = x c) y = 3x

b) y = −x d) y = −3x Se llaman funciones de proporcionalidad directa.

3 Determina cuáles de las siguientes funciones son polinómicas, indica su grado y el nombre que reciben en cada caso.

a) f ( x ) = 2x c) f ( x ) = 2x − 3 e) f ( x ) =2

x g) f ( x ) = 2x2 − 3

b) f ( x ) = 2 d) f ( x ) =x

2 f) f ( x ) =

x2

2 h) f ( x ) =

2

x2 − 3Son polinómicas las de los apartados a), b), c), d), f) y g).

cd

O 1

1

X

Y ab

1. Funciones polinómicas

Sugerencias didácticasEn este primer epígrafe se analizan y clasifican las funciones polinómicas. Es muy importante que los alumnos cuiden desde el principio de la unidad las destrezas para la representación de funciones.

Será necesario explicar que en muchos ejercicios la escala no es 1:1, sino que hay que elegirla de forma adecuada a cada contexto.

241

11Actividades11 Funciones polinómicas y racionales

240

1. FUNCIONES POLINÓMICASFíjate en la expresión algebraica de estas funciones. ¿Qué tienen en común?

Aprenderás a… ● Reconocer y representar funciones polinómicas.

Podemos escribir las funciones con la expresión f(x) o usando la letra y.

Recuerda

Una función cuadrática presenta:

❚ Un mínimo si a > 0.

❚ Un máximo si a < 0.

Máximo

Mínimo

O X

Y

•

•

Recuerda

Presta atención

Una función lineal cuya expresión algebraica es y = ax + b es:

❚ Constante si a = 0.

❚ Creciente si a > 0.

❚ Decreciente si a < 0.

Y

O X

1

1

f(x) = 3Y

O X

1

1

g(x) = 2x + 3

O 1

1

X

Y

h(x) = x² − 4x + 3

O 1

1

X

Y

i(x) = x³ − 4x² + 3x + 1O 1

1

X

Y

j(x) = x4 − 4x³ + 3x² + x + 1

❚ f(x) = 3 está definida por un monomio de grado 0.

❚ g(x) = 2x + 3 está definida por un polinomio de grado 1.

❚ h(x) = x2 − 4x + 3 está definida por un polinomio de segundo grado.

❚ i(x) = x3 − 4x2 + 3x + 1 y j(x) = x4 − 4x3 + 3x2 + x + 1 están definidas por polinomios de grado 3 y 4, respectivamente.

Todas están definidas por polinomios, decimos que son funciones polinómicas.

Una función polinómica es la que tiene por expresión algebraica un polinomio de cualquier grado, esto es, y = P(x).

Características de las funciones polinómicasSu dominio es : Dom f = y son continuas en todo su dominio.

Algunas reciben un nombre especial según el grado del polinomio que las define.

Nombre Expresión algebraica Grado del polinomio

Función constante y = a 0

Función lineal y = ax + b 1

Función cuadrática y = ax2 + bx + c 2

Función cúbica y = ax3 + bx2 + cx + d 3

❚ Una función lineal es una función polinómica de grado 1 o 0: y = ax + b

Su gráfica es una recta cuya pendiente es a y cuya ordenada en el origen es b.

Si el grado es 0, resulta la función constante que asigna a todos los valores de la variable independiente el mismo valor, a, de la variable dependiente: y = a

❚ Una función cuadrática es una función polinómica de grado 2 cuya expresión algebraica es de la forma: y = ax2 + bx + c, donde a ≠ 0.

Su gráfica es una parábola, esto es, una curva con un extremo relativo en el vértice, formada por dos ramas simétricas respecto al eje de simetría.

◗ Si a > 0, es cóncava.

◗ Si a < 0, es convexa.

•

•O X

Y

Puntosde cortecon eje X

(x, 0)

Puntode cortecon eje Y

(0, y)

Vértice = (– —, f (– — ))b2a

b2a

x = —–b2a

Eje

de s

imet

ría

Escribe la expresión de la función constante que pasa por (3, −1) y (−2, −1).

Halla y representa, en los mismos ejes, las funciones lineales que pasan por el origen de coordenadas y, además, por el punto:

a) A(1, 1) b) B(1, −1) c) C(−1, −3) d) D(1, −3)

¿Qué otro nombre recibe este tipo de funciones?

Determina cuáles de las siguientes funciones son polinómicas, indica su grado y el nombre que reciben en cada caso.

a) f ( x ) = 2x c) f ( x ) = 2x − 3 e) f ( x ) =2

x g) f ( x ) = 2x2 − 3

b) f ( x ) = 2 d) f ( x ) =x

2 f) f ( x ) =

x2

2 h) f ( x ) =

2

x2 − 3Escribe la expresión de las funciones lineales que cumplen estas condiciones.

a) Su pendiente es 3 y pasa por el punto (0, 5).

b) Pasa por los puntos A(3, −1) y B(4, 1).

1

2

3

4

Halla los elementos característicos de estas funciones y represéntalas.

a) f(x) = x2 + 2 c) f(x) = x2 − 4x e) f(x) = x2 − 5x + 6

b) f(x) = −x2 + 2 d) f(x) = −x2 + 4x f) f(x) = −x2 − 4x − 3

Escribe la expresión de la función cuadrática que corte a los ejes en los puntos A(−2, 0), B(2, 0) y C(0, −4).

Los ingresos obtenidos, en €, por una tienda al vender x artículos vienen dados por la función I(x) = 50x − 0,01x2. Averigua el número de artículos que deben vender en un mes a fin de que los ingresos sean máximos. ¿Cuál será el ingreso máximo?

5

6

7

} Indica las características de f(x) = −x2 + 6x − 8 y represéntala.

Solución

Observamos que a = −1 < 0, luego f(x) es una función convexa.

❚ Vértice:

x = −b

2a= −

6

2(−1)= 3

f (3) = −32 + 6 ⋅3− 8 = 1

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→ V (3, 1) → Es el punto máximo de la función.

❚ Eje de simetría: x = 3

❚ Puntos de corte con el eje X:

Si y = 0 → −x2 + 6x − 8 = 0 →x1 = 2

x2 = 4

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

La parábola corta en (2, 0) y (4, 0).

❚ Punto de corte con el eje Y:

Si x = 0 → f(0) = −8, corta en (0, −8).

O 1

f(x) = –x² + 6x – 81

X

Y

EJERCICIO RESUELTO

Una función de proporcionalidad directa es una función lineal que relaciona dos magnitudes directamente proporcionales.

Es de la forma: y = ax

Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Recuerda

Considera la siguiente ecuación:

ax2 + bx + c = 0

❚ Si tiene dos soluciones, la función cuadrática corta al eje X en dos puntos.

❚ Si tiene una sola solución, el punto de corte es precisamente el vértice.

❚ Si no tiene soluciones, la función no corta al eje X.

Recuerda

Y

XO

DESAFÍO

Una función corta a los ejes de coordenadas en los puntos A(−2, 0), B(1, 0), C(3, 0) y D (0, 6).

¿Puede ser una función cuadrática? Realiza el boceto de cuatro funciones diferentes que pasen por los cuatro puntos, determina la expresión de una de ellas y represéntala utilizando medios tecnológicos.

8



a) Tiene grado 1 y se llama función de proporcionalidad directa.

b) Tiene grado 0 y se llama función constante.

c) y d) Tienen grado 1 y se llaman funciones de proporcionalidad directa.

f) y g) Tienen grado 2 y se llaman funciones cuadráticas.

4 Escribe la expresión de las funciones lineales que cumplen estas condiciones.

a) Su pendiente es 3 y pasa por el punto (0, 5). b) Pasa por los puntos A (3, −1) y B (4, 1).

a) Por tener pendiente 3: y = 3x + n; como pasa por (0, 5) : n = 5, así la expresión de la recta es y = 3x + 5.

b) x − 3

4− 3=

y + 1

1− (−1)→ y + 1 = 2( x − 3) , y en forma explícita: y = 2x −7

5 Halla los elementos característicos de estas funciones y represéntalas.

a) f (x) = x2 + 2 c) f (x) = x2 − 4x e) f (x) = x2 − 5x + 6

b) f (x) = −x2 + 2 d) f (x) = −x2 + 4x f) f (x) = −x2 − 4x − 3

a) a = 1, luego f (x) es cóncava.

Vértice: (0, 2)

Eje de simetría: x = 0

No corta al eje X y corta al eje Y en (0, 2).

b) a = −1, luego f (x) es convexa.

Vértice: (0, 2)


Corta al eje X cuando −x2 + 2 = 0, esto es en − 2, 0( ) y 2, 0( ) .Y corta al eje Y en (0, 2).

c) a = 1, luego f (x) es cóncava.

Vértice: x = −

b

2a= −−4

2 ⋅1= 2

f (2) = 22 − 4 ⋅2 = −4

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→ V (2,−4) , es el punto mínimo de la función.


Puntos de corte con el eje X: x2 − 4x = 0 → x (x − 4) = 0 → x1 = 0

x2 = 4

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ → (0, 0) y (4, 0)

Punto de corte con el eje Y: (0, 0)

d) a = −1, luego f (x) es convexa.

Vértice: x = −

b

2a= −

4

2 ⋅ (−1)= 2

f (2) = −22 + 4 ⋅2 = 4

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→ V (2, 4 ) es el punto máximo de la función.


Puntos de corte con el eje X: −x2 + 4x = 0 → x (−x + 4) = 0 → x1 = 0

x2 = 4

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ → (0, 0) y (4, 0)


e) a = 1, luego f (x) es cóncava.

Vértice:

x = −b

2a= −

(−5)

2=

5

2

f5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−5 ⋅5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + 6 = −

1

4

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→ V5

2,−

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, es el punto mínimo de la función.


2Puntos de corte con el eje X: Si x2 − 5x + 6 = 0

→ x =5 ± 25− 24

2=

5 ± 1

2→

x1 = 3

x2 = 2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ → (2, 0) y (3, 0)


O 1

1

X

Ya

b

c

451



f) a = −1, luego f (x) es convexa.

Vértice:

x = −b

2a= −

(−4)

2(−1)= −2

f (−2) = −(−2)2 − 4(−2)− 3 = 1

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→ V (−2, 1) , es el punto máximo de la función.

Puntos de corte con el eje X: Si − x2 − 4x − 3 = 0

→ x =4 ± 16−12

−2=

4 ± 2

−2→

x1 = −3

x2 = −1

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ → (−3, 0) y (−1, 0)

Punto de corte con el eje Y: (0, −3)

6 Escribe la expresión de la función cuadrática que corte a los ejes en los puntos A (−2, 0), B (2, 0) y C (0, −4).

Por pasar por C ( 0, −4 ), la función será: f (x) = ax2 + bx − 4

Por pasar por A (−2, 0 ) y B ( 2, 0 ): a(−2)2 + b(−2)− 4 = 0

a(2)2 + b(2)− 4 = 0

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪→ 4a− 2b = 4

4a + 2b = 4

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ a = 1 y b = 0

Así, la función es: f (x) = x2 − 4

7 Los ingresos obtenidos, en €, por una tienda al vender x artículos vienen dados por la función I (x) = 50x − 0,01x2. Averigua el número de artículos que deben vender en un mes a fin de que los ingresos sean máximos. ¿Cuál será el ingreso máximo?

La función es cuadrática y a = −0,01 por lo que el el vértice es un máximo de la función.

Vértice: x = −

b

2a= −

50

2 ⋅ (−0,01)= 2500

f (2500) = 50 ⋅2500− 0,01⋅ (2500)2 = 62500

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→ V (2500, 62500)

El número de artículos que deben vender para que los ingresos sean máximos es de 2 500.

El ingreso máximo será de 62 500 €.

Desafío

8 Una función corta a los ejes de coordenadas en los puntos A (−2, 0), B (1, 0), C (3, 0) y D (0, 6).

¿Puede ser una función cuadrática? Realiza el boceto de cuatro funciones diferentes que pasen por los cuatro puntos, determi-na la expresión de una de ellas y represéntala utilizando medios tecnológicos.

No puede ser una función cuadrática por cortar al eje X en tres puntos.

Los bocetos de las funciones es respuesta abierta.

Una de las posibles funciones es:

f (x) = ( x − 1)( x − 3)( x + 2) = x 3 − 2x 2 − 5x + 6

O 1

1

X

Y e

f d

O 1

1

X

Y




9 Dibuja las funciones e indica sus características.

a) y =2

x b) y = −

2

x c) y =

3

x d) y = −

3

xa) El dominio es − { 0 }, no corta a los ejes, tiene simetría impar y es decreciente en todo su

dominio.

La recta x = 0 es una asíntota vertical y la recta y = 0 es una asíntota horizontal.

b) El dominio es − { 0 }, no corta a los ejes, tiene simetría impar y es creciente en todo su dominio.


c) El dominio es − { 0 }, no corta a los ejes, tiene simetría impar y es decreciente en todo su dominio.


d) El dominio es − { 0 }, no corta a los ejes, tiene simetría impar y es creciente en todo su dominio.


2. Funciones de proporcionalidad inversa

Sugerencias didácticasEs importante que comprendan las características de la fun-ción de proporcionalidad inversa.

Debemos prestar atención cuando el alumnado, a partir de la expresión algebraica, construye la tabla de valores corres-pondiente. Pueden tener dificultades a la hora de dividir un número real entre un número comprendido entre 0 y 1 o entre 0 y −1. Recordaremos lo que ocurre en la división por 0 y el significado del símbolo ∞.

GeoGebra. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Este recurso completa la explicación del libro. El deslizador que aparece en la ventana de GeoGebra permite cambiar el valor de la constante de proporcionalidad obteniendo así la representación gráfica de la función correspondiente en cada caso. Puede utili-zarse para estudiar las características de este tipo de funciones, en concreto puede usarse para comprobar los ejercicios de la página siguiente.

243


242

2. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSAAlberto está organizando la fiesta de fin de curso. Los propietarios de un local le piden 420 € por el alquiler. ¿Cuánto tendrá que pagar cada persona en función del número total de asistentes a la fiesta?

Observa la tabla.

Número de personas 20 25 30 35 42 50

Precio por persona (€) 21 16,80 14 12 10 8,40

El precio y el número de asistentes son magnitudes inversamente proporcionales. ¿Cuántas personas tendrían que ir a la fiesta para que cada una de ellas pagase 6 € por el alquiler del local?

La función que relaciona ambas magnitudes es: y =420

x

Para que cada uno pague 6 € deberían asistir: 6 =420

x→ x =

420

6= 70 personas

Una función de proporcionalidad inversa es una función cuya expresión es:

y =k

x, donde k ≠ 0

Su gráfica es una hipérbola formada por dos curvas.

Características de la función de proporcionalidad inversa ❚ Su dominio y su recorrido son: − {0}

❚ Presenta un punto de discontinuidad en x = 0.

❚ La gráfica no corta a los ejes de coordenadas.

❚ Es una función impar.

❚ Si k > 0, es decreciente, y si k < 0, es creciente.

❚ Para valores muy próximos a x = 0, la variable dependiente, y, toma valores muy grandes o muy pequeños, y el eje Y es una recta a la que se aproxima la función; decimos que x = 0 es una asíntota vertical.

❚ Cuando x toma valores muy grandes o muy pequeños, la función se acerca al eje X; decimos que y = 0 es una asíntota horizontal.

Aprenderás a… ● Identificar y representar funciones de proporcionalidad inversa.

Presta atención

Al representar la función que relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales, como la del ejemplo, solo dibujamos la rama de la hipérbola que está en el primer cuadrante, ya que los valores de ambas magnitudes son positivos.

O 20

20

X

Y

X

Y

O

x = 0

y = 0

mac4e43

Dibuja las funciones e indica sus características.

a) y =2

x b) y = −

2

x c) y =

3

x d) y = −

3

x

¿Cuál de estas funciones es de proporcionalidad inversa? ¿Por qué?

a) y = 3x c) y = 3x − 3 e) y =3

x

b) y =4

x d) y = x +

2

3 f) y =

2

3x

Indica qué funciones no son de proporcionalidad inversa.

a) y =1

4 x c) y =

x

2 e) y =

2

−x

b) y = 3 d) y =x

3 f) y = −3x

El producto de dos números es −20, crea una tabla de valores, escribe la función y dibuja la gráfica.

9

10

11

12

Asocia cada función con su gráfica.

a) y =2

x

b) y =6

x

c) y =−6

x

d) y =8

x

e) y = −10

x

Indica, sin dibujarlas, si las funciones son crecientes o decrecientes.

a) y = −8

x c) y =

4

x

b) y =10

x d) y =

−7

x

Esta tabla relaciona los días que se tarda en realizar la instalación de la red de un edificio según el número de electricistas contratados.

N.º de electricistas 1 2 8 16

N.º de días 16 8 2 1

Comprueba si estas magnitudes son inversamente proporcionales. Encuentra y representa la función.

La tabla muestra los trabajadores que se precisan para tapizar los asientos de un cine.

N.º de empleados 1 2 O 10 20

N.º de días O 40 20 O O

a) Copia y completa la tabla.

b) Encuentra la fórmula que exprese los días necesarios en función del número de tapiceros.

13

14

15

16

} Dibuja y =1

x e indica todas sus características.

Solución

Creamos una tabla para valores positivos de x y otra para valores negativos:

x 0,01 0,1 0,5 1 2 4

y 100 10 2 1 0,5 0,25

x −4 −2 −1 −0,5 −0,1 −0,01

y −0,25 −0,5 −1 −2 −10 −100

❚ El dominio es: − {0}

❚ No corta a los ejes.

❚ Tiene simetría impar.

❚ Es decreciente en todo su dominio.

❚ La recta x = 0 es una asíntota vertical.

❚ La recta y = 0 es una asíntota horizontal.

EJERCICIO RESUELTO

O 1

1x

y = —1

X

Y

f (x)

j (x)

g (x)

h (x)

i (x)

O 1

1

X

Y

Decide si son de proporcionalidad inversa las siguientes funciones.

a) y =1

x + 2 b) y =

1

x − 2 c) y =

1

x2 d) y = −

1

x2

Represéntalas creando tablas de valores y describe sus características.

17

Investiga

O 1

1

X

Y

ac

d

b

453



10 ¿Cuál de estas funciones es de proporcionalidad inversa? ¿Por qué?

a) y = 3x b) y =4

x c) y = 3x − 3 d) y = x +

2

3 e) y =

3

x f) y =

2

3x

Son de proporcionalidad inversa las funciones de los apartados b), e) y f) porque son de la forma: y =k

x

El valor de k en las funciones y =4

x, y =

3

x e y =

2

3x es k = 4, k = 3 y k =

2

3, respectivamente.

11 Indica qué funciones no son de proporcionalidad inversa.

a) y =1

4 x b) y = 3 c) y =

x

2 d) y =

x

3 e) y =

2

−x f) y = −3x

No son de proporcionalidad inversa las funciones de los apartados b), c), d) y f).

12 El producto de dos números es −20, crea una tabla de valores, escribe la función y dibuja la gráfica.

x −20 −10 −1 −0,5 0,5 1 10 20

y 1 2 20 40 −40 −20 −2 −1

Su gráfica es:

La función es: y = −20

x

13 Asocia cada función con su gráfica.

a) y =2

x c) y =

−6

x e) y = −

10

x

b) y =6

x d) y =

8

x

a) i (x) =2

x b) h(x) =

6

x c) f (x) =

−6

x d) g (x) =

8

x e) j (x) = −

10

x

14 Indica, sin dibujarlas, si las funciones son crecientes o decrecientes.

a) y = −8

x b) y =

10

x c) y =

4

x d) y =

−7

xLa funciones de los apartados a) y d) son funciones crecientes.

Las funciones de los apartados b) y c) son funciones decrecientes.

15 Esta tabla relaciona los días que se tarda en realizar la instalación de la red de un edificio según el número de electricistas contratados.

Comprueba si estas magnitudes son inversamente proporcionales.

Encuentra y representa la función.

Son magnitudes inversamente proporcionales porque:

1 ∙ 16 = 2 ∙18 = 8 ∙ 2 = 16 ∙ 1

La función que las relaciona es: f (x) =16

x Su gráfica es:

O 5

5

X

Y

f (x)

j (x)

g (x)

h (x)

i (x)

O 1

1

X

Y

N.º de electricistas 1 2 8 16

N.º de días 16 8 2 1

O 5

5

X

Y



16 La tabla muestra los trabajadores que se precisan para tapizar los asientos de un cine.

N.º de empleados 1 2 O 10 20

N.º de días O 40 20 O O

a) Copia y completa la tabla.

b) Encuentra la fórmula que exprese los días necesarios en función del número de tapiceros.

a) N.º de empleados 1 2 4 10 20

N.º de días 80 40 20 8 4

b) La fórmula que expresa los días necesarios en función del número de tapiceros es: f (x) =80

x

Investiga

17 Decide si son de proporcionalidad inversa las siguientes funciones.

a) y =1

x + 2 b) y =

1

x − 2 c) y =

1

x2 d) y = −

1

x2

Represéntalas creando tablas de valores y describe sus características.

Ninguna de las funciones es de proporcionalidad inversa.

a) x −4 −3 −2,1 −1,9 −1 0

y −0,5 −1 −10 10 1 0,5

El dominio es − { − 2 }, corta al eje Y en 0, 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ y es decreciente en todo su dominio.

La recta x = −2 es una asíntota vertical y la recta y = 0 es una asíntota horizontal.

b) x 0 1 1,9 2,1 3 4

y −0,5 −1 −10 10 1 0,5

El dominio es − { 2 }, corta al eje Y en 0,−1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ y es decreciente en todo su dominio.


c) x −2 −1 −0,5 0,5 1 2

y 0,25 1 4 4 1 0,25

El dominio es − { 0 }, no corta a los ejes y tiene simetría par.

Es creciente en (−∞, 0 ) y es decreciente en ( 0, +∞ ).


d) x −2 −1 −0,5 0,5 1 2

y −0,25 −1 −4 −4 −1 −0,25

El dominio es − { 0 }, no corta a los ejes y tiene simetría par.

Es decreciente en (−∞, 0 ) y es creciente en ( 0, +∞ ).


O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

O 1 X

Y

O 1

1

X

Y

455




18 En una población de 30 000 personas se está transmitiendo una infección que sigue la función I (t ) =30000t

t + 199, donde I (t) es el

número de personas afectadas, y t, los días transcurridos desde el comienzo de la epidemia.

a) ¿A cuántas personas se habrá extendido la infección el primer día? ¿Y al cabo de una semana?

b) Explica por qué es importante modelizar funciones que representen situaciones de la vida real.

a) El primer día: I (1) =30000 ⋅1

1+ 199= 150 personas

Al cabo de 7 días: I (7) =30000 ⋅7

7 + 199= 1019,41 → 1 020 personas

b) Es importante modelizar funciones porque permitirán predecir lo que ocurrirá con un hecho, por ejemplo, con el paso del tiempo. De esta forma estaremos informados de cómo evolucionará y podremos tomar decisiones oportunas.

19 Indica qué funciones de las propuestas no son racionales.

a) y =1

x + 4 b) y =

x + 4

2 c) y =

x2 + 2

x + 2 d) y =

x2 + 2

2

3. Funciones racionales

Sugerencias didácticasLa presentación de una función racional es recomendable que se haga mediante un enunciado atractivo y proponiendo que los alumnos piensen y modelicen otros ejemplos.

Analizaremos cuidadosamente las características de diferentes funciones racionales dadas mediante sus gráficas.

Será necesario que aprendan a crear tablas de valores, selec-cionando los valores adecuados para la variable independien-te, a partir de la expresión algebraica de la función.

Deberán ser capaces de obtener información a la vista de una gráfica o una expresión para entender el comportamiento de un fenómeno.

245


244

En una población de 30 000 personas se está transmitiendo una infección que

sigue la función I (t ) =30000t

t + 199, donde I(t) es el número de personas afectadas, y

t, los días transcurridos desde el comienzo de la epidemia.

a) ¿A cuántas personas se habrá extendido la infección el primer día? ¿Y al cabo de una semana?

b) Explica por qué es importante modelizar funciones que representen situaciones de la vida real.

Indica qué funciones de las propuestas no son racionales.

a) y =1

x + 4 b) y =

x + 4

2 c) y =

x2 + 2

x + 2 d) y =

x2 + 2

2

Piensa un problema de la vida cotidiana que pueda ser modelizado por una por una función racional y escribe su expresión algebraica.

Determina el dominio de estas funciones racionales.

a) =x

x + 2f ( x ) c) =

1

x2 1f ( x ) e) =

2x

x2 4f ( x )

b) =x 1

x 3f ( x ) d) =

1

( x 3)2f ( x ) f) f ( x ) =

x2 − 4 x + 5

x − 2

Considera la función racional cuya expresión es f ( x ) =x2 − 9

x − 3 y la función lineal

g ( x ) = x + 3.

a) Determina sus respectivos dominios.

b) Representa ambas funciones construyendo una tabla de valores. ¿Qué diferencias hay entre ellas?

Indica el dominio, crea una tabla de valores, representa y, a la vista de la gráfica, determina la monotonía y la curvatura de estas funciones.

a) y =x

x + 1 b) y =

x

x − 4 c) y =

x + 1

x d) y =

x − 4

x

Investiga si puede haber una función racional cuyo dominio sean todos números reales. En caso afirmativo, escribe un ejemplo.

Escribe la expresión algebraica de una función racional que tenga por dominio − {−2, 2} . ¿Puedes obtener más de una?

18

19

20

21

22

23

24

25

3. FUNCIONES RACIONALESLos alumnos de 4.º de ESO van a colaborar en la repoblación forestal de un monte. Cayetana y Álvaro han sido los encargados de ponerse en contacto con la empresa de autobuses para contratar el viaje de ida y vuelta. La empresa les ha confirmado que cobrarán 10 € por persona y que harán un descuento de 8 € del total.

¿Cuánto tendrá que pagar cada alumno?

El precio se calcula dividiendo el importe total

entre el número de alumnos: f ( x ) =10 x − 8

x

Dos alumnos no pueden pagar el autobús, y sus compañeros deciden costear el precio total entre todos, pagando un poco más, ¿qué función reflejará el importe que han de pagar?

Cada uno tendrá que pagar el precio total dividido por x − 2; la función será, pues:

f ( x ) =10 x − 8

x − 2

Ambas funciones son el cociente de dos funciones polinómicas.

Fíjate ahora en estas gráficas. ¿Qué tienen en común?

Aprenderás a… ● Reconocer funciones racionales que modelan situaciones de la vida cotidiana.

● Determinar las características y representar funciones racionales.

Presta atención

Las funciones de proporcionalidad

inversa y =k

x son funciones

racionales.

X

Y

O

f(x) = ——–Q(x) P(x)

O 5

5

X

Y

O 5

5

X

Y

Todas tienen en común que su expresión algebraica es el cociente de dos polinomios. A este tipo de funciones las llamamos funciones racionales.

Una función racional es aquella cuya expresión algebraica viene dada por el

cociente de dos polinomios, f ( x ) =P ( x )

Q ( x ), donde Q(x) es un polinomio de grado

mayor que cero.

Características de las funciones racionales

❚ Su dominio está formado por todos los números reales excepto los valores que anulan al denominador.

❚ Presenta puntos de discontinuidad en los valores x tales que Q(x) = 0.

❚ En muchos casos, sus gráficas se aproximan a rectas horizontales, verticales u oblicuas cuando los valores de x o de f(x) toman valores muy grandes o muy pequeños. Estas rectas se denominan asíntotas de la función.

O 1

1

X

Y

f(x) = ——xx + 2

O 1

1

X

Y

f(x) = ——x – 1x – 3

O 1

1

X

Y

f(x) = ——1x² – 1

O 1

1

X

Yf(x) = ———1

(x – 3)²

O 1

1

X

Y

f(x) = ———– 2xx² – 4

O 2

2

X

Y

f(x) = ————–—x² – 4x + 5x – 2 DESAFÍO

Todos los medicamentos incluyen en su prospecto la dosis que se debe administrar según la edad del paciente.

En muchos casos, para niños menores de 12 años no aparece la dosis adecuada, por lo que los farmacéuticos acuden a una fórmula de conversión llamada la regla de Young:

Dosis del niño =Edad del niño

Edad del niño + 12×Dosis del adulto

La expresión algebraica, en la que x es la edad del niño y 100 mg la dosis del

adulto, se corresponde con esta función racional: f (x) =100 x

x + 12

a) Representa la función utilizando medios tecnológicos.

b) Fíjate en el intervalo de 4 a 12 años. ¿Qué dosis se debe administrar según la edad?

26

es la edad del niño y 100 mg la dosis del 00 x

+ 12

Posología:Adultos y niños mayores de12 años de edad: 1 cápsulacada 8 horas.Niños menores de12 años de edad:Consulte a su médico.No está indicado paramenores de 2 añosde edad.



No son racionales las funciones de los apartados b) y d).

La función y =x + 4

2 es lineal, y la función y =

x2 + 2

2 es cuadrática.

20 Piensa un problema de la vida cotidiana que pueda ser modelizado por una función racional y escribe su expresión algebraica.

Respuesta abierta. Por ejemplo:

El precio de las entradas para asistir a la representación de una obra de teatro es de 30 €. La empresa que gestiona la venta de entradas tiene la siguiente oferta para grupos: Para un grupo de 20 personas como mínimo y 30 como máximo, el precio por

persona vendrá dado por la función: f (x) =25x −50

x + 25

21 Determina el dominio de estas funciones racionales.

a) =x

x + 2f ( x ) c) =

1

x2 1f ( x ) e) =

2x

x2 4f ( x )

b) =x 1

x 3f ( x ) d) =

1

( x 3)2f ( x ) f) f ( x ) =

x2 − 4 x + 5

x − 2

a) Dom f = − { −2 }

b) Dom f = − { 3 }

c) x2 −1 = 0 →x1 = −1

x2 = 1

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ → Dom f = − { −1, 1 }

d) ( x − 3)2 = 0 → x = 3 → Dom f = − { 3 }

e) x2 − 4 = 0 →x1 = −2

x2 = 2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ → Dom f = − { −2, 2 }

f) Dom f = − { 2 }

22 Considera la función racional cuya expresión es f ( x ) =x2 − 9

x − 3 y la función lineal g ( x ) = x + 3.

a) Determina sus respectivos dominios.

b) Representa ambas funciones construyendo una tabla de valores. ¿Qué diferencias hay entre ellas?

a) Dom f = − { 3 } y Dom g =

b) f (x) =x 2 − 9

x − 3 g (x) = x + 3

x 0 1 2 2,9 3,1 4

y 3 4 5 5,9 6,1 7

x 0 1 2 3 4

y 3 4 5 6 7

O 1

1

X

Y•

O 1

1

X

Y

La función g (x) = x + 3 está definida para todos los números reales mientras que la función f (x) =x 2 − 9

x − 3 presenta un

punto de discontinuidad en x = 3.

23 Indica el dominio, crea una tabla de valores, representa y, a la vista de la gráfica, determina la monotonía y la curvatura de estas funciones.

a) y =x

x + 1 b) y =

x

x − 4 c) y =

x + 1

x d) y =

x − 4

x

457



a) Dom f = − { −1 }

x −3 −2 −1,1 −0,9 0 1

y 1,5 2 11 −9 0 0,5

Es creciente en su dominio.

Es cóncava en (−∞, −1 ).

Es convexa en (−1, +∞ ).

b) Dom f = − { 4 }

x 0 2 3,9 4,1 5 6

y 0 −1 −39 41 5 3

Es decreciente en su dominio.

Es convexa en (−∞, 4 ).

Es cóncava en ( 4, +∞ ).

c) Dom f = − { 0 }

x −2 −1 −0,1 0,1 1 2

y 0,5 0 5 9 2 1,5

Es decreciente en su dominio.

Es convexa en (−∞, 0 ).

Es cóncava en ( 0, +∞).

d) Dom f = − { 0 }

x −2 −1 −0,1 0,1 1 2

y 3 5 41 −39 −3 −1

Es creciente en su dominio.

Es cóncava en (−∞, 0 ).

Es convexa en ( 0, +∞ ).

24 Investiga si puede haber una función racional cuyo dominio sean todos números reales. En caso afirmativo, escribe un ejemplo.

Sí, existen funciones racionales cuyo dominio son todos los números reales.

Por ejemplo: f (x) =x

x 2 + 1, está formada por el cociente de dos polinomios de grado mayor que cero y el denominador nunca

se anula.

25 Escribe la expresión algebraica de una función racional que tenga por dominio − {−2, 2} . ¿Puedes obtener más de una?

Un ejemplo es: f (x) =x + 1

x 2 − 4 , podríamos obtener muchísimas más con la condición de que el denominador se anule en x = 2

y en x = −2, así por ejemplo, f (x) =x + 1

2x 2 − 8 o f (x) =

x 2 + 1

x 2 − 4 cumplen la condición.

O 1

1

X

Y

O 2

2

X

Y

O 1

1

X

Y

O 2

2

X

Y



Desafío

26 Todos los medicamentos incluyen en su prospecto la dosis que se debe administrar según la edad del paciente.

En muchos casos, para niños menores de 12 años no aparece la dosis adecuada, por lo que los farmacéuticos acuden a una fórmula de con-versión llamada la regla de Young:

Dosis del niño =Edad del niño

Edad del niño + 12×Dosis del adulto

La expresión algebraica, en la que x es la edad del niño y 100 mg la dosis

del adulto, se corresponde con esta función racional: f(x) =100 x

x + 12a) Representa la función utilizando medios tecnológicos.

b) Fíjate en el intervalo de 4 a 12 años. ¿Qué dosis se debe administrar según la edad?

a)

O 2

200

X

Y

b) La gráfica muestra la dosis adecuada en el intervalo [4, 12].

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

20

40

Edad

Dosis (mg)

Posología:Adultos y niños mayores de 12 años de edad: 1 cápsula cada 8 horas.Niños menores de 12 años de edad: Consulte a su médico.No está indicado para menores de 2 años de edad.

459




27 Escribe la ecuación de las asíntotas de las funciones representadas.

a)

O 1

1

X

Y

f(x) = ——–x – 1x – 3

b)

O 1

1

X

Yf(x) = ——–– 2x

x² – 4

a) Asíntota horizontal: y = 1 b) Asíntota horizontal: y = 0 Asíntota vertical: x = 3 Asíntotas verticales: x = −2 y x = 2

4. Asíntotas y límites

Sugerencias didácticasEs el momento de centrarnos en el cálculo de las ecuaciones de las asíntotas de una función.

Debemos hacerlo presentando una gráfica y explicando cómo se comporta la función para valores próximos a uno dado y cuando x toma valores muy grandes o muy pequeños.

Puede que surjan dificultades en procedimiento para el cálcu-lo de la asíntota oblicua. Es importante repasar la división de polinomios y hacer ver al alumnado el significado ya que lo aprendieron el curso pasado de forma mecánica.

Vídeo. ASÍNTOTA OBLICUA

En el vídeo se resuelve, paso a paso, el ejercicio sobre el cálculo de la asíntota oblicua de una función racional. Además, se in-cluye la representación de la función y de su asíntota oblicua en GeoGebra para comprobar que la función se aproxima a la recta cuando los valores de x son muy grandes o muy pequeños. Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación o como recurso para que los alumnos repasen el procedimiento para resolver este tipo de ejercicio.

247


246

4. ASÍNTOTAS Y LÍMITESAl estudiar las funciones racionales, hemos comprobado que en muchos casos presentan asíntotas. Ahora vamos a analizar su comportamiento relacionándolas con el estudio de límites.

Para representar la función f ( x ) =1

x − 2, Míriam ha construido una tabla de valores.

x f(x)

−10 −0,083

−2 −0,25

0 −0,5

1 −1

1,5 −2

1,9 −10

2,1 10

2,5 2

3 1

4 0,5

10 0,125

El dominio es − {2} .

¿Cómo se comporta la función para valores muy próximos a x = 2?

Al aproximarnos por la derecha, tomamos por ejemplo el valor x = 2,0001, y al hallar f(2,0001), comprobamos que la función toma valores muy grandes.

f (2,0001) =1

2,0001− 2=

1

0,0001= 10000 → +∞

Al aproximarnos por la izquierda, por ejemplo para x = 1,9999, observamos que la función toma valores muy pequeños.

f (1,9999) =1

1,9999− 2=

1

−0,0001= −10000 → −∞

Una parte de la función se aproxima por la derecha a la recta x = 2 y otra parte se aproxima por la izquierda a la misma recta. Por esto decimos que x = 2 es una asíntota vertical de la función.

La recta x = a es una asíntota vertical de una función, f(x), si se verifica que: limx→a+

f ( x ) = ±∞ o limx→a−

f ( x ) = ±∞

¿Qué ocurre cuando x toma valores muy grandes o muy pequeños?

Calculamos el valor de la función, por ejemplo si x = 10 000 y si x = −10 000:

f (10000) =1

10000− 2≈ 0,0001→ 0

f (−10000) =1

−10000− 2≈ −0,0001→ 0

Para valores muy grandes y muy pequeños de la variable x, la función se acerca al eje X, esto es, a la recta y = 0. Decimos que es una asíntota horizontal de la función.

La recta y = a es una asíntota horizontal de una función, f(x), si se cumple que:lim

x→+∞f ( x ) = a o lim

x→−∞f ( x ) = a

Aprenderás a… ● Reconocer funciones que presentan asíntotas.

● Hallar la ecuación de las rectas asíntotas de una función.

Presta atención

❚ Una asíntota vertical tiene por expresión x = a.

❚ Una asíntota horizontal es de la forma y = a.

❚ Hay funciones racionales que tienen asíntotas oblicuas, esto es, funciones cuya gráfica se aproxima a rectas de la forma y = mx + n.

O 1

1

X

Y

f(x) = ——1x – 2

En casos como el del ejemplo:

❚ Si x = 2 es una asíntota vertical escribimos:

limx→2+

f ( x ) = +∞

ylimx→2−

f ( x ) = −∞

❚ Si y = 0 es una asíntota horizontal escribimos:

limx→−∞

f ( x ) = 0

ylimx→+∞

f ( x ) = 0

Lenguaje matemático

Escribe la ecuación de las asíntotas de las funciones representadas.

a)

O 1

1

X

Y

f(x) = ——–x – 1x – 3

b)

O 1

1

X

Yf(x) = ——–– 2x

x² – 4

Determina la ecuación de las asíntotas de:

a) f ( x ) =x

x − 2 b) f ( x ) =

x −1

x − 2

Halla las asíntotas y representa estas funciones.

a) f ( x ) =2x + 3

x + 1 b) f ( x ) =

1

( x − 3)2

27

28

29

Halla la ecuación de la asíntota oblicua de las funciones.

a) f ( x ) =x2

x −1 b) f ( x ) =

x2 −5 x + 6

x −1

Encuentra las asíntotas y representa las funciones.

a) f ( x ) =2x + 1

x + 1 b) f ( x ) =

x2 + x − 2

x + 1

Determina la ecuación de las asíntotas y representa las funciones.

a) f ( x ) =x3

x2 −1 b) f ( x ) =

x3 + 1

x2

30

31

32

} Encuentra las asíntotas de esta función: f (x) =−x

x + 2Solución

El dominio de la función es: Dom f = − {−2}

Asíntota vertical

Comprobamos qué ocurre para valores muy próximos a x = −2.

❚ Por la derecha, para x = −1,999:

f (−1,999) =1,999

−1,999 + 2→ +∞

❚ Por la izquierda, para x = −2,001:

f (−2,001) =2,001

−2,001+ 2→ −∞

Así, la recta x = −2 es una asíntota vertical.

Asíntota horizontal

En este caso, analizamos qué sucede para valores de la variable x muy grandes o muy pequeños.

f (10000) =−10000

10000 + 2→ −1

f (−10000) =−(−10000)

−10000 + 2→ −1

f(x) se acerca a y = −1, que es la asíntota horizontal.

EJERCICIO RESUELTO

} Averigua la ecuación de la asíntota oblicua de esta función:

f ( x ) =x2 −5x + 7

x − 2

Solución

EJERCICIO RESUELTO

mac4e44

No todas las funciones racionales tienen asíntota oblicua. ¿Cómo debe ser la expresión de una función racional para poder asegurar que tiene dicha asíntota?

33

Investiga



28 Determina la ecuación de las asíntotas de:

a) f ( x ) =x

x − 2 b) f ( x ) =

x −1

x − 2a) Dom f = − { 2 }

Para hallar la asíntota vertical, analizamos el comportamiento de la función para puntos próximos a x = 2.

f (1,999) =1,999

1,999− 2tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞ f (2,001) =2,001

2,001− 2tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞

limx→2−

f (x) = −∞ y limx→2+

f (x) = +∞ Así la recta x = 2 es la asíntota vertical.

Asíntota horizontal: estudiamos qué ocurre para valores de la variable x muy grandes positivos o negativos.

Tomamos por ejemplo, x = 10 000 y x = −10 000.

f (10000) =10000

10000− 2tiende⎯ →⎯⎯ 1 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 f (−10000) =−10000

−10000− 2tiende⎯ →⎯⎯ 1 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ 1

limx→+∞

f (x) = 1 y limx→−∞

f (x) = 1 La función se acerca a la recta y = 1 que es la asíntota horizontal.

b) Dom f = − { 2 }

Para hallar la asíntota vertical, analizamos el comportamiento de la función para puntos próximos a x = 2.

f (1,999) =1,999−1

1,999− 2tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞ f (2,001) =2,001−1

2,001− 2tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞

limx→2−

f (x) = −∞ y limx→2+

f (x) = +∞ Así la recta x = 2 es la asíntota vertical.

Asíntota horizontal: estudiamos qué ocurre para valores de la variable x muy grandes positivos o negativos.

Tomamos por ejemplo, x = 10 000 y x = −10 000.

f (10000) =10000−1

10000− 2tiende⎯ →⎯⎯ 1 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 f (−10000) =−10000−1

−10000− 2tiende⎯ →⎯⎯ 1 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ 1

limx→+∞

f (x) = 1 y limx→−∞

f (x) = 1 La función se acerca a la recta y = 1 que es la asíntota horizontal.

29 Halla las asíntotas y representa estas funciones.

a) f ( x ) =2x + 3

x + 1 b) f ( x ) =

1

( x − 3)2

a) Dom f = − {−1 }

Para hallar la asíntota vertical, analizamos la función para puntos próximos a x = −1.

f (−1,1) =2 ⋅ (−1,1) + 3

−1,1+ 1tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞ f (−0, 9) =2 ⋅ (−0,9) + 3

−0,9 + 1tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞

limx→−1−

f (x) = −∞ y limx→−1+

f (x) = +∞ , así la recta x = −1 es la asíntota vertical.

Y para hallar la asíntota horizontal, tomamos por ejemplo, x = 10 000 y x = −10 000

f (10000) =2 ⋅ (10000) + 3

10000 + 1tiende⎯ →⎯⎯ 2 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 f (−10000) =2 ⋅ (−10000) + 3

−10000 + 1tiende⎯ →⎯⎯ 2 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ 2

limx→+∞

f (x) = 2 y limx→−∞

f (x) = 2 La asíntota horizontal es la recta y = 2.

Una vez halladas y dibujadas las asíntotas de la función podemos construir una tabla de valores que nos facilite dibujar la función.

b) Dom f = − {3 }

Asíntota vertical: analizamos la función para puntos próximos a x = 3.

f (2,9) =1

(2,9− 3)2→ +∞ tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞ f (3,1) =

1

(3,1− 3)2→ +∞ tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞

limx→3−

f (x) = +∞ y limx→3+

f (x) = +∞ , así la recta x = 3 es la asíntota vertical.

Asíntota horizontal: tomamos por ejemplo, x = 10 000 y x = −10 000.

f (10000) =1

(10000− 3)2→ 0 tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ 0 y f (−10000) =

1

(−10000− 3)2→ 0 tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ 0

limx→+∞

f (x) = 0 y limx→−∞

f (x) = 0 La asíntota horizontal es la recta y = 0.

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

461




30 Halla la ecuación de la asíntota oblicua de las funciones.

a) f ( x ) =x2

x −1 b) f ( x ) =

x2 −5 x + 6

x −1

a) Realizamos la división de polinomios y obtenemos: f (x) =x 2

x −1= x + 1+

1

x −1

Cuando x → +∞ y x → −∞, 1

x −1 se aproxima a 0 por lo que f (x) = x + 1+

1

x −1 tiende a x + 1. Por tanto, la recta asín-

tota oblicua es: y = x + 1

b) Realizamos la división de polinomios y obtenemos: f (x) =x 2 −5x + 6

x −1= x − 4 +

2

x −1

Cuando x → +∞ y x → −∞, 2

x −1 se aproxima a 0 y f (x) = x − 4 +

2

x −1 tiende a x − 4. Así, la recta asíntota oblicua

es: y = x − 4

31 Encuentra las asíntotas y representa las funciones.

a) f ( x ) =2x + 1

x + 1 b) f ( x ) =

x2 + x − 2

x + 1a) Dom f = − {−1 }


f (−1, 1) =2 ⋅ (−1, 1) + 1

−1, 1+ 1tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞ f (−0, 9) =2 ⋅ (−0, 9) + 1

−0, 9 + 1tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞

limx→−1−

f (x) = +∞ y limx→−1+

f (x) = −∞ , así la recta x = −1 es asíntota vertical.

Y para hallar la asíntota horizontal, tomamos por ejemplo, x = 10 000 y x = −10 000.

f (10000) =2 ⋅ (10000) + 1

10000 + 1→ 2 tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 f (−10000) =

2 ⋅ (−10000) + 1

−10000 + 1→ 2 tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ 2

limx→+∞

f (x) = 2 y limx→−∞

f (x) = 2

La asíntota horizontal es la recta y = 2.

No tiene asíntotas oblicuas.


b) Dom f = − {−1 }


f (−1,1) =(−1,1)2 + (−1,1)− 2

−1,1+ 1tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞ f (−0,9) =(−0,9)2 + (−0,9)− 2

−0,9 + 1tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞

limx→−1−

f (x) = −∞ y limx→ −1+

f (x) = +∞ , así la recta x = −1 es la asíntota vertical.

Y para determinar la asíntota horizontal, tomamos por ejemplo, x = 10 000 y x = −10 000.

f (10000) =(10000)2 + 10000− 2

10000 + 1→ +∞ tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞ f (−10000) =

(−10000)2 −10000− 2

−10 000 + 1→ −∞ tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞

limx→+∞

f (x) = +∞ y limx→−∞

f (x) = −∞

Cuando x toma valores muy grandes positivos o negativos los valores de la función también son muy grandes positivos o negativos, no tiene asíntota horizontal.

Para hallar la asíntota oblicua: f (x) =x 2 + x − 2

x + 1 = x +

−2

x + 1

Cuando x → +∞ y x → −∞, −2

x + 1 se aproxima a 0 y f (x) tiende a x .

La recta asíntota oblicua es: y = x

Una vez halladas y dibujadas las asíntotas de la función podemos crear una tabla de valores que nos ayude a representar la función.

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y



32 Determina la ecuación de las asíntotas y representa las funciones.

a) f ( x ) =x3

x2 −1 b) f ( x ) =

x3 + 1

x2

a) Dom f = − {−1, 1 }

Para hallar las asíntotas verticales, analizamos la función para puntos próximos a x = −1 y a x = 1.

f (−1,1) =(−1,1)3

(−1,1)2 −1tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞ f (−0,9) =(−0,9)3

(−0,9)2 −1tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞

f (0,9) =(0,9)3

(0,9)2 −1tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞ f (1,1) =(1,1)3

(1,1)2 −1tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞

Como limx→ −1−

f (x) = −∞ y limx→−1+

f (x) = +∞ , la recta x = −1 es una asíntota vertical.

Al ser limx→1−

f (x) = −∞ y limx→1+

f (x) = +∞ , la recta x = 1 es una asíntota vertical.


f (10000) =(10000)3

(10000)2 −1→ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞ f (−10000) =(−10000)3

(−10000)2 −1→ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞

limx→+∞

f (x) = +∞ y limx→−∞

f (x) = −∞

Cuando x toma valores muy grandes positivos o negativos los valores de la función también son muy grandes positivos o negativos, no tiene asíntota horizontal.

Para hallar la asíntota oblicua: f (x) =x 3

x 2 −1 = x +

x

x 2 −1

Cuando x → −∞ y x → +∞, x

x2 −1 se aproxima a 0 y f (x) tiende a x.

La asíntota oblicua es: y = x

Una vez halladas y dibujadas las asíntotas de la función podemos construir una tabla de valores que nos ayude a representar la función.

b) Dom f = − { 0 }

Para hallar la asíntota vertical, analizamos la función para puntos próximos a x = 0.

f (−0,1) =(−0,1)3 + 1

(−0,1)2tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞ f (0,1) =(0,1)3 + 1

(0,1)2tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞

Como limx→0−

f (x) = limx→0+

f (x) = +∞ , la recta x = 0 es la asíntota vertical.


f (10000) =(10000)3 + 1

(10000)2→ +∞ tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞ f (−10000) =

(−10000)3 + 1

(−10000)2→ −∞ tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞

limx→+∞

f (x) = +∞ y limx→−∞

f (x) = −∞

Cuando x toma valores muy grandes positivos o negativos los valores de la función también son muy grandes o muy peque-ños, por tanto, no tiene asíntota horizontal.

Para hallar la asíntota oblicua: f (x) =x 3 + 1

x 2 = x +

1

x 2

Cuando x → +∞ y x → −∞, 1

x2 se aproxima a 0 y la función tiende a x y la asíntota oblicua es: y = x

Halladas y dibujadas las asíntotas de la función podemos construir una tabla de valores que nos ayude a representar la función.

Investiga

33 No todas las funciones racionales tienen asíntota oblicua. ¿Cómo debe ser la expresión de una función racional para poder asegurar que tiene dicha asíntota?

Las funciones racionales cuyo polinomio del denominador tenga por grado una unidad más que el grado del polinomio del denominador tienen asíntotas oblicuas.

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

463




34 Halla el dominio y representa esta función: f ( x ) = −2 si − 3≤ x <1

x si −1≤ x ≤ 3

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

f ( x ) = −2 si − 3≤ x <1

x si −1≤ x ≤ 3

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪Dom f = [−3, 3]

35 Determina el dominio, haz el dibujo y estudia la continuidad de las siguientes funciones.

a) f ( x ) = x + 1 si x <1

2x − 3 si x ≥1

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) f ( x ) = x − 2 si x ≤ 4

4− x si x > 4

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) f ( x ) =x + 6 si − 6 ≤ x ≤−2

−2 si −2< x ≤ 3

x − 3 si 3< x ≤ 7

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

•

O 1

1

X

Y

5. Funciones definidas a trozos

Sugerencias didácticasEl ejercicio de presentación del epígrafe muestra de forma sen-cilla qué es y cómo se reprepresenta una función a trozos.

Es imprescindible que los alumnos sean capaces de dibujar con rigor funciones sencillas, así podremos aprovechar para afianzar los conceptos de toda la unidad realizando ejercicios más complejos donde intervengan funciones cuadráticas y ra-cionales.

GeoGebra. FUNCIÓN A TROZOS

En el recurso puede verse la representación de la función defe-nida a trozos propuesta en el ejercicio resuelto. Puede utilizarse pulsando sobre la barra de navegación para ver paso a paso el procedimiento a seguir o activando el botón Reproduce de modo que la representación se realizará automáticamente sin necesidad de interacción. También se puede proponer a los alumnos que resuelvan alguno de los ejercicios de la página siguiente utilizando GeoGebra para representar las funciones gráficamente.

249


248

5. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOSEl franqueo postal nacional se rige por la siguiente tabla para el envío de cartas:

Aprenderás a… ● Reconocer e interpretar funciones a trozos.

● Modelizar y representar funciones a trozos.

Un ejemplo interesante de función definida a trozos es la función valor absoluto, que asigna a cada número su valor absoluto. Su expresión algebraica es:

f ( x ) = x = x si x ≥ 0

−x si x < 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Lenguaje matemático

Carlos ha escrito varias cartas: la que envía a Ana pesa 15 g, la de Paloma, 80 g; la de Pablo, 90 g, y la de Esteban, por último, 500 g.

¿Qué franqueo tendrá que poner a cada carta? ¿Es posible que a dos cartas con distinto peso les corresponda el mismo precio? ¿Estamos ante una función?

La carta que envía a Ana le costará 0,42 €; la de Paloma y la de Pablo, aunque no pesan lo mismo, tienen el mismo precio, 0,92 €; finalmente, por la de Esteban tendrá que pagar 2,03 €.

Se trata de una función que tiene por expresión:

f ( x ) =

0,42 si x ≤ 20

0,55 si 20 < x ≤ 50

0,92 si 50 < x ≤100

2,03 si 100 < x ≤ 500

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

Observa que su representación gráfica nos ayudará a relacionar con precisión el peso de la carta con el franqueo en euros.

Una función a trozos es una función que tiene expresiones algebraicas diferentes para cada intervalo de su dominio.

• • •• •

• •

•

O

1

100 X

Y

} Representa esta función definida a trozos: f ( x ) =−x si− 4 ≤ x ≤−2

2 si− 2 < x ≤ 3

x −1 si 3 < x ≤ 6

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

Solución

Su dominio es el intervalo [−4, 6].

Calculamos algunos puntos para representar la función.

❚ En el intervalo [−4, −2]: x −4 −2

f(x) 4 2

❚ En el intervalo (−2, 3]: x 1 3

f(x) 2 2

❚ En el intervalo (3, 6] : x 4 6

f(x) 3 5

EJERCICIO RESUELTO

mac4e45

Halla el dominio y representa esta función.

f ( x ) = −2 si − 3≤ x <1

x si −1≤ x ≤ 3

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

f ( x ) = −2 si − 3≤ x <1

x si −1≤ x ≤ 3

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Determina el dominio, haz el dibujo y estudia la continuidad de las siguientes funciones.

a) f ( x ) = x + 1 si x <1

2x − 3 si x ≥1

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) f ( x ) = x − 2 si x ≤ 4

4− x si x > 4

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) f ( x ) =x + 6 si − 6 ≤ x ≤−2

−2 si −2< x ≤ 3

x − 3 si 3< x ≤ 7

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

Halla la expresión de la función definida a trozos que se corresponde con cada gráfica.

a)

•

•

•

•

••

O 1

1

X

Y b)

•

• •

• •

O 1

1

X

Y

Fíjate en el cartel que se muestra en la entrada de un parking.

Modeliza y representa la función que relaciona el tiempo y el precio de la estancia.

34

35

36

37

Dibuja las siguientes funciones.

a) f ( x ) = x2 + 1 si x ≤1

2x − 3 si x >1

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b) f ( x ) = −x2 + 1 si x ≤ 0

−x si x > 0

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Halla la expresión de la función a trozos que se corresponde con cada una de estas gráficas.

a)

••

••

O 1

1

X

Y b)

••

••

•

O 1

1

X

Y

38

39

} Representa la función valor absoluto de x.

Solución

Construimos una tabla de valores a partir de su

expresión algebraica: f ( x ) = x = x x ≥ 0

−x x < 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

x −2 −1 0 1 2

f(x) 2 1 0 1 2

O 1

1

X

Y

EJERCICIO RESUELTO

Escribe en forma de función definida a trozos y representa estas funciones.

a) f ( x ) = x + 2 b) f ( x ) = x − 3

40

Peso (g) Franqueo (€)

Hasta 20 g 0,42

Más de 20 g y hasta 50 g 0,55



La primera hora se paga una cantidad fi ja de 2,50 €. Además, por cada media hora completa que transcurra, 0,50 €.

Ante la preocupación de miles de personas por la alta contaminación del aire en su ciudad, la Consejería de Medio Ambiente creó, para el seguimiento de los niveles de inmisión, una red de control de la calidad del aire que consta de un conjunto de estaciones automáticas fijas. A partir de los datos facilitados por las estaciones, y con el fin de informar sobre los niveles en las distintas horas del día, han publicado este comunicado, de modo que si t es el tiempo en horas, t = 0 se corresponde con las 6 h y t = 17 con las 23 h.

a) Averigua el porcentaje de contaminación a las 7 h, a las 12 h y a las 22 h y representa la función.

b) La contaminación se mantuvo muy alta durante varias horas. ¿Cuál fue el período de tiempo de máxima contaminación atmosférica?

41

consta de un conjunto de estaciones automáticas fijas. A partir de los datos facilitados por las estaciones, y con el fin de informar sobre los niveles en las distintas horas del día, han

es el tiempo en = 17 con las 23 h.

Averigua el porcentaje de contaminación a las 7 h, a las 12 h

La contaminación se mantuvo muy alta durante varias horas.

DESAFÍO



a) Dom f = , la función no es continua, presenta una discontinuidad de salto finito, en x = 1.

b) Dom f = , la función no es continua, presenta una discontinuidad de salto finito, en x = 4.

c) Dom f = [−6, 7], presenta discontinuidades de salto finito en los puntos x = −2 y x = 3.

36 Halla la expresión de la función definida a trozos que se corresponde con cada gráfica.

a)

•

•

•

•

••

O 1

1

X

Y b)

•

• •

• •

O 1

1

X

Y

a) f(x) =−

1

2x + 1 si − 4 ≤ x <−2

x + 1 si − 2≤ x < 2

1 si 2≤ x ≤ 4

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

b) f(x) =x si 0 ≤ x < 2

x − 2 si 2≤ x < 4

2 si 4 < x ≤ 7

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

37 Fíjate en el cartel que se muestra en la entrada de un parking.

Modeliza y representa la función que relaciona el tiempo y el precio de la estancia.

La expresión de la función para las tres primeras horas es:

f(x) =

2,50 si 0 < x ≤1

3 si 1< x ≤1,5

3,50 si 1,5 < x ≤ 2

4 si 2< x ≤ 2,5

4,50 si 2,5 < x ≤ 3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

Representamos en el eje X el tiempo, en horas, y en el eje Y, el precio, en euros.

O 2

1

X

Y

•

O 1

1

X

Y

•

O 2

2

X

Y

La primera hora se paga una cantidad fija de 2,50 €. Además, por cada media hora completa que transcurra, 0,50 €.

••

O 1

1

X

Y

••

•

•• •

••

465



38 Dibuja las siguientes funciones.

a) f ( x ) = x2 + 1 si x ≤1

2x − 3 si x >1

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ b) f ( x ) = −x

2 + 1 si x ≤ 0

−x si x > 0

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

•

•O 1

1

X

Y

••O 1

1

X

Y

39 Halla la expresión de la función a trozos que se corresponde con cada una de estas gráficas.

a)

••

••

O 1

1

X

Y b)

••

••

•

O 1

1

X

Y

a) La función cuadrática que pasa por los puntos A (−1, 1), B (0, 0) y C (1, 1) tiene por ecuación: y = x2

El segmento pertenece a la recta que pasa por los puntos D (1, 2) y E (2, 1), que tiene por ecuación: y = − x + 3

La función definida a trozos es: f(x) =

x2 si x <1

−x + 3 si 1≤ x < 2

0 si x = 2

1 si x > 2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪b) La función cuadrática que pasa por A (−2, 0) y B (0, 0), y cuyo vértice es V (−1, 1), tiene por ecuación: y = −x2 − 2x

La ecuación de la recta que contiene al primer segmento pasa por C (0, −1) y D (2, −2), así su ecuación es: y = −1

2x −1

La recta que contiene al segundo segmento pasa por E (2, −1) y F (3, 1), por lo que su ecuación es: y = 2x −5

La función definida a trozos es: f(x) =

−x2 − 2x si x ≤ 0

−1

2x −1 si 0 < x ≤ 2

2x −5 si 2< x ≤ 3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

40 Escribe en forma de función definida a trozos y representa estas funciones.

a) f ( x ) = x + 2 b) f ( x ) = x − 3

a) f(x) =−x − 2 si x <−2

0 si x = −2

x + 2 si x >−2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

b) f(x) =−x + 3 si x < 3

0 si x = 3

x − 3 si x ≥ 3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y



Desafío

41 Ante la preocupación de miles de personas por la alta contaminación del aire en su ciudad, la Consejería de Medio Ambiente creó, para el seguimiento de los niveles de inmisión, una red de control de la calidad del aire que consta de un conjunto de estaciones automáticas fijas. A partir de los datos facilitados por las estaciones, y con el fin de informar sobre los niveles en las distintas horas del día, han publicado este comunicado, de modo que si t es el tiempo en horas, t = 0 se corresponde con las 6 h y t = 17 con las 23 h.

a) Averigua el porcentaje de contaminación a las 7 h, a las 12 h y a las 22 h y representa la función.

b) La contaminación se mantuvo muy alta durante varias horas. ¿Cuál fue el período de tiempo de máxima contaminación atmosférica?

a) Tendremos en cuenta que t = 0 se corresponde con las 6 h y t = 17 con las 23 h.

Para calcular el porcentaje de contaminación a las 7 h nos fijamos en la fun-ción C (t) = 15 + 5t para t = 1:

C (1) = 15 + 5 ∙ 1 = 20 → 20 %

A las 12 h le corresponde la función C (t) = 40 para t = 6, así C (6) = 40 → 40 %.

A las 22 h, C (t) = 88 − 4t, que para t = 16 el porcentaje fue:

C (16) = 88 − 4 ∙ 16 = 24 → 24 %

b) El período de tiempo en el que se mantuvo máxima contaminación fue entre las 11 h y las 18 h.

O 2

10

Tiempo (h)

Índice

467



Sugerencias didácticasEn esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚ Representar gráficamente funciones polinómicas e indicar sus características.

❚ Representar gráficamente funciones racionales e indicar sus características.

❚ Reconocer, identificar y calcular asíntotas de funciones.

❚ Representar gráficamente funciones definidas a trozos.

Actividades finalesSoluciones de las actividades

42 Expresa en forma de función los siguientes enunciados.

a) A un número le corresponde su cuádruple más su cuadrado.

b) A un número le corresponde el cuadrado de su triple.

c) A un número le corresponde el opuesto de su doble.

a) f (x) = 4 x + x 2 b) f (x) = (3x )2 c) f (x) = −2x

43 Clasifica las siguientes funciones polinómicas según sean lineales, de proporcionalidad directa y constantes.

a) y = −10x c) y = 1 − 2x e) y = −0,5x g) y = 3

b) y = −0,2x d) y =7

2 f) y = −5x − 1 h) y =

1

2x − 3

Lineales: c), f) y h) De proporcionalidad directa: a), b) y e) Constantes: d) y g)

¿Qué tienes que saber?

250 251

¿QUÉ11 tienes que saber? Actividades Finales 11

Relaciona cada expresión con su gráfica e indica sus características.

a) g(x) = −x − 3

b) f(x) = x2 − 4x + 3

c) h(x) = 1

4( x + 4 )( x + 2)( x −1)

a) g(x) = −x − 3, es una función lineal, cuya pendiente es −1 y cuya ordenada en el origen es −3.

b) f(x) = x2 − 4x + 3 es una función cuadrática con a = 1 > 0 → Es una función cóncava.

Vértice: x = −b

2a= −−4

2= 2, f −

b

2a

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = f(2) = −1 → V(2, −1)

Eje de simetría: x = 2. Corte con el eje X: si y = 0 → x2 − 4x + 3 = 0; corta en (1, 0) y (3, 0). Corte con el eje Y: si x = 0 → f(0) = 3; corta en (0, 3).

c) h(x) = 1

4( x + 4)( x + 2)( x −1) es una función cúbica que corta a los ejes de coordenadas

en los puntos (−4, 0), (−2, 0), (1, 0) y (0, −2).

Funciones polinómicasTen en cuentaFunción lineal

y = ax + b

Su gráfica es una recta.

Función cuadrática

y = ax2 + bx + c

Su gráfica es una parábola.

Función cúbica

y = ax3 + bx2 + cx + d

O 1

1

X

Yf(x) = x² – 4x + 3

g(x) = –x – 3

h(x) = — (x + 4) (x + 2) (x – 1)14

Indica las características de estas funciones.

a) y =5

x

❚ Su dominio y su recorrido es − {0}.

❚ Presenta un punto de discontinuidad en x = 0.

❚ La gráfica no corta a los ejes de coordenadas.

❚ Es una función impar y como k = 5 > 0 es decreciente.

❚ x = 0 es una asíntota vertical e y = 0 es una asíntota horizontal.

b) y =x + 1

x − 4

❚ Su dominio es − { 4 }.

❚ Es decreciente.

❚ En x = 4 presenta un punto de discontinuidad.

❚ x = 4 es una asíntota vertical.

❚ y = 1 es una asíntota horizontal.

Funciones racionales. AsíntotasTen en cuentaFunción de proporcionalidad inversa

y =k

x

Su gráfica es una hipérbola.

Función racional

f ( x ) =P ( x )

Q( x )

siendo Q(x) un polinomio de grado mayor que cero.

❚ Asíntota vertical: x = a

Cuando la gráfica se aproxima a x = a, la función toma valores muy grandes o muy pequeños.

❚ Asíntota horizontal: y = a

Cuando x toma valores muy grandes o muy pequeños, la función se aproxima a la recta y = a.

O 5

5

X

Y

y = —5x

O 5

5

X

Y y = ——–x + 1x – 4

Dibuja esta función: f ( x ) = 3 si − 2 ≤ x < 2

x − 4 si 2 ≤ x ≤ 5

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Funciones definidas a trozosTen en cuentaUna función definida a trozos tiene expresiones algebraicas diferentes para cada intervalo de su dominio.

••

•

•

O 1

1

X

Y

Determina los coeficientes desconocidos de la función f(x) = x3 + §x2 + §x + § si se sabe que corta a los ejes de coordenadas en estos puntos:

A(−1, 0) B(2, 0) C(3, 0) D(0, 6)

En la construcción de un túnel, los ingenieros han utilizado la forma que sigue la función:

f ( x ) = −1

4x2 + 2x

Averigua la altura máxima del túnel.

El efecto, en porcentaje, de un fármaco que produce anestesia en la zona bucal en un paciente después de t minutos viene dado por la función:

E (t ) = −25

16t2 + 25t

a) Determina en qué momento se produce el máximo adormecimiento.

b) ¿Después de cuánto tiempo desaparecerá el efecto de la anestesia?

Una persona que camina a una velocidad de x km/h tiene un consumo de oxígeno, en mililitros por

minuto, que sigue la función f ( x ) =3

2x2 +

3

2x + 4,

mientras que el consumo de oxígeno de una persona que corre a x km/h viene dado por g(x) = 11x + 4. ¿A qué velocidad es equivalente el consumo de oxígeno de una persona que camina y el de una que corre?

Con un cuadrado de cartón plastificado de 20 cm de lado vamos a confeccionar una caja. Para ello, se dibujan en cada esquina cuadraditos cuyo lado mide x unidades, se cortan y se doblan hacia arriba las solapas para formar una caja abierta.

x x

x x

xx

xx

Averigua el volumen de la caja en función del valor de x y halla el dominio de la función.

51

52

53

54

55

Funciones polinómicas

Expresa en forma de función los siguientes enunciados.

a) A un número le corresponde su cuádruple más su cuadrado.

b) A un número le corresponde el cuadrado de su triple.

c) A un número le corresponde el opuesto de su doble.

Clasifica las siguientes funciones polinómicas según sean lineales, de proporcionalidad directa y constantes.

a) y = −10x e) y = −0,5x

b) y = −0,2x f) y = −5x − 1

c) y = 1 − 2x g) y = 3

d) y =7

2 h) y =

1

2x − 3

Piensa y modeliza la expresión algebraica de una función que exprese alguna situación de tu vida cotidiana y que sea:

a) Constante.

b) De proporcionalidad directa.

c) Lineal.

Indica el grado de estas funciones polinómicas.

a) y = 2x2 + 5 x + 1 d) y = 2x3 + 5 x2 + 1

b) y = −x2 + 2x e) y = x −x2 + 2x( )

c) y = 5 x + 1 f) y = x 5 x + 1( )

Determina el vértice, el eje de simetría, los puntos de corte con los ejes y representa las funciones cuadráticas propuestas.

a) f(x) = −x2 + 7x c) f(x) = 4x2 + 5

b) f(x) = −5x2 d) f(x) = x2 − 4x + 2

Representa las siguientes funciones, determinando primero sus características.

a) f(x) = (x + 2)2

b) f(x) = (x − 2)2

c) f(x) = x(x − 3)

d) f(x) = 2(x + 1)(x − 4)

Indica qué condiciones deben verificar los coeficientes de una parábola para que:

a) No corte al eje de abscisas.

b) Corte al eje de abscisas en un solo punto.

Representa una función cuadrática que cumpla que:

❚ Es creciente en el intervalo (2, +∞).

❚ Corta a los ejes de coordenadas en los puntos A(0, 0) y B(4, 0).

Escribe la expresión y representa las funciones cuadráticas que cumplen estas condiciones.

a) Corta a los ejes de coordenadas en los puntos A(−3, 0), B(1, 0) y C(0, −3).

b) Pasa por A(−2, 0), B(2, 0) y C(0, −8).

42

43

44

45

46

47

48

49

50



44 Piensa y modeliza la expresión algebraica de una función que exprese alguna situación de tu vida cotidiana y que sea:

a) Constante. b) De proporcionalidad directa. c) Lineal.

Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) La temperatura que marca un termómetro de un frigorífico es de 8 ºC. Si en cualquier momento del día esa misma tempe-ratura no varía, la función que indica la temperatura de los alimentos es y = 8.

b) Si cada fotocopia cuesta 5 cent y x es el número de fotocopias que hacemos, el importe a pagar es y = 0,05x.

c) La entrada de una discoteca cuesta 10 € y cada refresco 3 €. El precio final vendrá modelizado por la función y = 3x + 10.

45 Indica el grado de estas funciones polinómicas.

a) y = 2x2 + 5x + 1 c) y = 5x + 1 e) y = x (−x2 + 2x )

b) y = −x2 + 2x d) y = 2x3 + 5x2 + 1 f) y = x ( 5x + 1)

a) Grado 2 b) Grado 2 c) Grado1 d) Grado 3 e) Grado 3 f) Grado 2

46 Determina el vértice, el eje de simetría, los puntos de corte con los ejes y representa las funciones cuadráticas propuestas.

a) f (x) = −x2 + 7x b) f (x) = −5x2 c) f (x) = 4x2 + 5 d) f (x) = x2 − 4x + 2

a) a = −1, luego f (x) es convexa.

Vértice:

x = −b

2a= −

7

2 ⋅ (−1)=

7

2

f7

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

7

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 7 ⋅7

2=

49

4

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→ V7

2,

49

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ , es el punto máximo.


2Puntos de corte con el eje X: −x2 + 7x = 0 → x (−x + 7) = 0 →

x1 = 0

x2 = 7

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ → Corta en (0, 0) y en (7, 0).

Punto de corte con el eje Y: La parábola corta en (0, 0).

b) a = −5, por lo que f (x) es convexa.

Vértice: V (0, 0)


Corta a los ejes en el origen de coordenadas: O (0, 0)

c) a = 4, luego f (x) es cóncava.

Vértice: (0, 5)


No corta al eje X y corta al eje Y en (0, 5).

d) a = 1, por lo que f (x) es cóncava.

Vértice: x = −

b

2a= −

(−4)

2= 2

f (2) = (2)2 − 4 ⋅2 + 2 = −2

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→ V (2,− 2) , es el punto mínimo.


Puntos de corte con el eje X:

Si x2 − 4x + 2 = 0 → x =4 ± 16− 8

2=

4 ± 8

2→

x1 = 2 + 2

x2 = 2− 2

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→ Corta en los puntos 2 + 2, 0( ) y 2− 2, 0( ) .Punto de corte con el eje Y: Si x = 0 → f (0) = 2 , la parábola corta en (0, 2).

47 Representa las siguientes funciones, determinando primero sus características.

a) f (x) = (x + 2)2 b) f (x) = (x − 2)2 c) f (x) = x (x − 3) d) f (x) = 2 (x + 1)(x − 4)

a) a = 1, por lo que f (x) es cóncava.

Corte con el eje X: Si (x + 2)2 = 0 → x = −2 → Corta en (−2, 0).

Vértice: V (−2, 0), por cortar al eje X solo en ese punto.

Eje de simetría: x = −2

Corte con eje Y: Si x = 0 → f (0) = 4, la parábola corta en (0, 4).

ab

dc

O 1

1

X

Y

469



b) a = 1, por lo que f (x) es cóncava.

Corte con el eje X: Si (x − 2)2 = 0 → x = 2 → (2, 0)

Vértice: como solo corta en (2, 0) → V (2, 0) y es el punto mínimo.


Corte con eje Y: Si x = 0 → f (0) = 4 , la parábola corta en (0, 4).

c) f (x) = x (x − 3) = x2 − 3x, como a = 1 es una función cóncava.

Vértice: x = −

b

2a= −

(−3)

2=

3

2

f3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

− 3 ⋅3

2= −

9

4

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→ V3

2, −

9

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ , es el punto mínimo.


2Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X: x (x − 3)= 0 → x1 = 0

x2 = 3

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪→ Corta en (0, 0) y en (3, 0).

Corte con el eje Y: Si x = 0 → f (0) = 0 , la parábola corta en (0, 0).

d) f (x) = 2 (x + 1)(x − 4) = 2x2 − 6x − 8, como a = 2 es una función cóncava.

Vértice: x = −

b

2a= −

(−6)

2 ⋅2=

3

2

f3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 2 ⋅

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

− 6 ⋅3

2− 8 = −

25

2

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→ V3

2,−

25

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ , es el punto mínimo.


2Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X: 2 (x + 1)(x − 4) = 0 → x1 = −1

x2 = 4

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ → Corta en (−1, 0) y en (4, 0).

Corte con el eje Y: Si x = 0 → f (0) = −8, la parábola corta en (0, −8).

48 Indica qué condiciones deben verificar los coeficientes de una parábola para que:

a) No corte al eje de abscisas.

b) Corte al eje de abscisas en un solo punto.

a) No cortan al eje de abscisas aquellas parábolas cuyos coeficientes cumplan: b2 − 4ac < 0 porque es el único caso en el que la ecuación ax2 + bx + c = 0 no tiene soluciones reales.

b) Para que una parábola corte al eje de abscisas en un solo punto debe ser: b2 − 4ac = 0, así la ecuación tendrá solo una so-lución que es precisamente la abscisa del vértice de la parábola.

49 Representa una función cuadrática que cumpla que:

❚❚ Es creciente en el intervalo ( 2, +∞ ).❚❚ Corta a los ejes de coordenadas en los puntos A (0, 0) y B (4, 0).

Por cortar a los ejes en A (0, 0) y B (4, 0), la función puede ser:

f (x) = x (x − 4) = x2 − 4x, que es creciente en el intervalo ( 2, +∞ ).

50 Escribe la expresión y representa las funciones cuadráticas que cumplen estas condiciones.

a) Corta a los ejes de coordenadas en los puntos A (−3, 0), B (1, 0) y C (0, −3).

b) Pasa por A (−2, 0), B (2, 0) y C (0, −8).

a

b

d

c

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y



a) Por cortar al eje X en A (−3, 0) y B (1, 0) debe ser tener la expresión:

f (x) = a (x + 3)(x − 1)

Como corta al eje Y en el punto C (0, −3), el valor de a debe ser 1.

Así la función que cumple las condiciones es: f (x) = (x + 3)(x − 1) = x2 + 2x − 3

Vértice: x = −

b

2a= −

2

2= −1

f (−1) = (−1)2 + 2 ⋅ (−1)− 3 = −4

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→ V (−1, − 4) , es el punto mínimo.

Eje de simetría: x = −1

b) Por cortar al eje X en A( −2, 0) y B (2, 0) debe ser tener la expresión:

f (x) = a (x + 2)(x − 2)

Como corta al eje Y en el punto C (0, −8), el valor de a debe ser 2.

Así, la función que cumple las condiciones es: f (x) = 2 (x + 2)(x − 2) = 2x2 − 8

Vértice: C (0, −8), es el punto mínimo.


51 Determina los coeficientes desconocidos de la función f (x) = x3 + § x2 + § x + § si se sabe que corta a los ejes de coordenadas en estos puntos:

A (−1, 0) B (2, 0) C (3, 0) D (0, 6)

Si llamamos a, b y c a los coeficientes desconocidos: f(x) = x3 + ax2 + bx + c

Por pasar por el punto D ( 0, 6 ) → f ( 0 ) = 03 + a 02 + b 0 + c = 6 → c = 6

Como ha de pasar por los puntos A( −1, 0), B (2, 0) y C (3, 0) deben cumplirse las siguientes condiciones:

(−1)3 + a(−1)2 + b(−1) + 6 = 0

23 + a ⋅22 + b ⋅2 + 6 = 0

33 + a ⋅32 + b ⋅3 + 6 = 0

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→−1+ a− b + 6 = 0

8 + 4a + 2b + 6 = 0

27 + 9a + 3b + 6 = 0

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→a− b = −5

4a + 2b = −14

9a + 3b = −33

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→a− b = −5

2a + b = −7

3a + b = −11

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

Al sumar las dos primeras ecuaciones tenemos: 3a = −12 → a = −4

Si sustituimos a = −4 en la primera ecuación resulta:−4− b = −5 → b = 1

Así, la función es: f(x) = x3 − 4 x2 + x + 6

52 En la construcción de un túnel, los ingenieros han utilizado la forma que sigue la función:

f ( x ) = −1

4x2 + 2x

Averigua la altura máxima del túnel.

La altura máxima del túnel es la ordenada del vértice.

Calculamos el vértice:

x = −b

2a= −

2

2 −1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= 4

f (4 ) = −1

4⋅ 42 + 2 ⋅ 4 = 4

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→ V (4, 4 ) , por tanto, la altura máxima es de 4 m.

53 El efecto, en porcentaje, de un fármaco que produce anestesia en la zona bucal en un paciente después de t minutos viene dado por la función:

E (t ) = −25

16t2 + 25t

a) Determina en qué momento se produce el máximo adormecimiento.

b) ¿Después de cuánto tiempo desaparecerá el efecto de la anestesia?

a b

O 1

1

X

Y

471



a) E (t) es una función cuadrática convexa, calculamos las coordenadas de su punto máximo:

x = −b

2a= −

25

2 −25

16

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= 8

f (8) = −25

16⋅82 + 25 ⋅8 = 100

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→V (8, 100)

A los 8 minutos el adormecimiento es del 100 %.

b) Desaparecerá el efecto de la anestesia cuando E (t) sea cero.

E (t ) = −25

16t2 + 25t = 0 → t −

25

16t + 25

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 0 →

t1 = 0

t2 = 16

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪El efecto desaparece totalmente a los 16 min.

54 Una persona que camina a una velocidad de x km/h tiene un consumo de oxígeno, en mililitros por minuto, que sigue la función

f ( x ) =3

2x2 +

3

2x + 4, mientras que el consumo de oxígeno de una persona que corre a x km/h viene dado por g (x) = 11x + 4.

¿A qué velocidad es equivalente el consumo de oxígeno de una persona que camina y el de una que corre?

Será la velocidad en la que f (x) sea igual a g (x).

3

2x2 +

3

2x + 4 = 11x + 4 →

3

2x2 −

19

2x = 0 → x

3

2x −

19

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 0 →

x1 = 0

x2 =19

3= 6,⌢3

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

Cuando la velocidad de la persona que camina y la que corre es de 6,3 km/h el consumo de oxígeno de ambas es el mismo.

55 Con un cuadrado de cartón plastificado de 20 cm de lado vamos a confeccionar una caja. Para ello, se dibujan en cada esquina cuadraditos cuyo lado mide x unidades, se cortan y se doblan hacia arriba las solapas para formar una caja abierta.

Averigua el volumen de la caja en función del valor de x y halla el dominio de la función.

El área de la base de la caja es: Abase = (20 − 2x)(20 − 2x) = 400 − 80x + 4x2

Su volumen será: Vcaja = Abase ∙ x = 400x − 80x2 + 4x3

El dominio es: ( 0, 10 )

x x

x x

xx

xx



56 Dibuja en los mismos ejes estas funciones, determina su monotonía y curvatura y sus asíntotas.

a) y =5

x b) y = −

5

x c) y =

9

x d) y = −

9

xa) Es decreciente en su dominio, convexa en ( −∞, 0 ) y cóncava en ( 0, +∞ ).

limx→0−

f (x) = −∞ y limx→0+

f (x) = +∞→ x = 0 es la asíntota vertical.

limx→+∞

f (x) = 0 y limx→−∞

f (x) = 0 → y = 0 es la asíntota horizontal.

b) Es creciente en su dominio, cóncava en ( −∞, 0 ) y convexa en ( 0, +∞ ).lim

x→0−f (x) = ∞ y lim

x→ 0+f (x) = −∞→ x = 0 es la asíntota vertical.

limx→+∞

f (x) = 0 y limx→−∞


c) Es decreciente en su dominio, convexa en ( −∞, 0 ) y cóncava en ( 0, +∞ ).lim

x→0−f (x) = −∞ y lim

x→0+f (x) = +∞→ x = 0 es la asíntota vertical.

limx→ +∞

f (x) = 0 y limx→−∞


d) Es creciente en su dominio, cóncava en ( −∞, 0 ) y convexa en ( 0, +∞ ).lim

x→0−f (x) = ∞ y lim

x→0+f (x) = −∞→ x = 0 es la asíntota vertical.

limx→+∞

f (x) = 0 y limx→−∞


57 Copia y completa la tabla y escribe la función que relaciona las magnitudes.

a) El número de grifos abiertos y las horas que tarda en llenarse un depósito.

N.º de grifos 2 3 O 5 6

N.º de horas O 8 6 O 4

b) El número de pintores y los días que tardan en pintar la fachada de un edificio.

N.º de pintores 1 2 4 5 O

N.º de días O 10 O 4 2

O 1

1

X

Y a cd b

252 253

11 Actividades Finales 11Funciones polinómicas y racionales

Escribe la expresión algebraica de la función a trozos que se corresponde con la gráfica.

a)

O 1

1

X

Y b)

•

••

O 1

1

X

Y

Dibuja las siguientes funciones.

a) f ( x ) =1

xsi 0 < x < 2

x + 2 si x ≥ 2

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

b) f ( x ) =1

xsi x < 0

x2 −1 si x ≥ 0

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

Halla la expresión de la función definida a trozos que se corresponde con la gráfica.

•

•••

•O 1

1

X

Y

Se ha borrado un coeficiente de las siguientes funciones continuas. Averigua el valor desconocido.

a) f ( x ) = x si x <1

§x − 3 si x ≥1

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) f ( x ) =x + 3 si − 4 ≤ x ≤−2

§x2 si − 2< x ≤ 3

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Escribe en forma de función definida a trozos y representa:

a) f ( x ) = 2− x

b) f ( x ) = x − 4

La función f(x) = sgn(x) asigna a cada número real negativo el valor −1 y a cada número real positivo el 1, mientras que al 0 le corresponde el 0. Escribe la expresión de esta función definida a trozos y represéntala.

La función f(x) = ent(x) es una función definida a trozos que hace corresponder a cada número real su parte entera. Representa la función.

70

71

72

73

74

75

76

Funciones definidas a trozos

Representa las funciones, indica su dominio y estudia la continuidad.

a) f ( x ) = x si x <1

x − 3 si x ≥1

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) f ( x ) =x + 2 si − 4 ≤ x ≤−2

−1 si − 2< x ≤ 3

x − 2 si − 3< x ≤ 4

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

c) f ( x ) =−x + 2 si x <−1

2 si −1≤ x < 2

x si x ≥ 2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

Carmen salió de su casa y fue a buscar a su amiga Paula; tardó 3 min en recorrer los 200 m que las separan. Allí esperó 5 min hasta que Paula estuvo preparada. Las dos juntas partieron rumbo a casa de Andrea, situada a 100 m de la de Paula, en lo que tardaron 2 min. Después de esperar 4 min a que saliera Andrea las tres amigas se apresuraron para llegar a la casa de Carmen, lo que les llevó 2 min.

Modeliza y representa la función que representa la distancia que separa a Carmen de su casa.

Halla la expresión algebraica de la función a trozos que se corresponde con la gráfica.

a)

• •

••

O 1

1

X

Y c)

• ••• •O 1

1

X

Y

b)

•

•• ••

•

O 1

1

X

Y d)

•

•

•

• ••

O 1

1

X

Y

Dibuja las funciones y estudia su continuidad.

a) f ( x ) =x −1 si x <−1

x2 − 3 si −1≤ x ≤ 2

3x −5 si x > 2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

b) f ( x ) =2x si −x <−1

2x2 + 3 si −1≤ x ≤ 4

3x − 2 si −x > 4

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

c) f ( x ) =x si − x <−3

x2 − 2x − 2 si − 3≤ x ≤ 3

1 si − x > 3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

66

67

68

69

Entre las gráficas representadas hay cuatro que son racionales. Averigua cuáles son, indica sus puntos de discontinuidad y halla sus asíntotas, si existen.

a)

O 1

1

X

Y d)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y e)

O 1

1

X

Y

c)

O 1

1

X

Y f)

O 1

1

X

Y

La función que relaciona el número de pulsaciones por minuto de un estudiante que está aprendiendo a escribir en ordenador en función de las horas, x,

es: f ( x ) =500 x + 300

x + 15a) ¿Cuántas pulsaciones

por minuto será capaz de obtener después de 2 h de práctica? ¿Y después de 20 h?

b) En algunas oposiciones, 300 pulsaciones por minuto es el mínimo exigido. ¿Cuántas horas de práctica serán necesarias para alcanzar ese nivel?

c) Determina el máximo de pulsaciones que puede dar una persona si sigue aumentando indefinidamente el número de horas de práctica.

Halla la ecuación de las asíntotas y representa las funciones propuestas.

a) f ( x ) =−x + 2

x c) f ( x ) =

x2 + 1

x2 −1

b) f ( x ) =x + 2

x + 1 d) f ( x ) =

x

x2 − 4

Encuentra las ecuaciones de las asíntotas de:

a) f ( x ) =2x3 + 1

x2 + 1

b) f ( x ) =3x3 + 4 x −1

x2 − 3x + 2

62

63

64

65

Funciones racionales. Asíntotas

Dibuja en los mismos ejes estas funciones, determina su monotonía y curvatura y sus asíntotas.

a) y =5

x c) y =

9

x

b) y = −5

x d) y = −

9

x

Copia y completa la tabla y escribe la función que relaciona las magnitudes.

a) El número de grifos abiertos y las horas que tarda en llenarse un depósito.

N.º de grifos 2 3 O 5 6

N.º de horas O 8 6 O 4

b) El número de pintores y los días que tardan en pintar la fachada de un edificio.

N.º de pintores 1 2 4 5 O

N.º de días O 10 O 4 2

¿Qué condición deben cumplir dos números reales para que su producto valga 10? Escribe y representa la función que modeliza esta condición.

Un coche circula a una velocidad constante de 110 km/h durante un tramo de 50 km.

a) ¿Cómo es la relación entre las magnitudes velocidad y tiempo si el espacio recorrido es constante? ¿Cuánto tarda?

b) ¿Cuánto tiempo emplearía para realizar el mismo tramo si circulase a 90 km/h, a 100 km/h, a 120 km/h o a 130 km/h? Copia y completa la tabla.

Distancia (km) 50 50 50 50

Velocidad (km/h) 90 100 120 130

Tiempo (h) O O O O

c) Determina la expresión de la función que relaciona la velocidad del coche con el tiempo empleado en recorrer los 50 km.

Un ciclista ha tardado 60 min en recorrer una distancia a 40 km/h. Para recorrer la misma distancia en 150 min, ¿a qué velocidad deberá circular?

Escribe la función que relaciona el tiempo empleado con la velocidad del ciclista.

Dibuja en los mismos ejes estas funciones:

y =1

x y =

1

x+ 1 y =

1

x −1¿Qué tienen en común y en qué se diferencian?

56

57

58

59

60

61

473



a)

N.º de grifos 2 3 4 5 6

N.º de horas 12 8 6 4,8 4 y =

24

x

b)

N.º de pintores 1 2 4 5 10

N.º de días 20 10 5 4 2 y =

20

x

58 ¿Qué condición deben cumplir dos números reales para que su producto valga 10? Escribe y repre-senta la función que modeliza esta condición.

La condición es: x ⋅ y = 10

Por tanto, la función es: y =10

x

59 Un coche circula a una velocidad constante de 110 km/h durante un tramo de 50 km.

a) ¿Cómo es la relación entre las magnitudes velocidad y tiempo si el espacio recorrido es constante? ¿Cuánto tarda?

b) ¿Cuánto tiempo emplearía para realizar el mismo tramo si circulase a 90 km/h, a 100 km/h, a 120 km/h o a 130 km/h? Copia y completa la tabla.

Distancia (km) 50 50 50 50

Velocidad (km/h) 90 100 120 130

Tiempo (h) O O O O

c) Determina la expresión de la función que relaciona la velocidad del coche con el tiempo empleado en recorrer los 50 km.

a) A mayor velocidad menos tiempo se tarda en recorrer una distancia, son magnitudes inversamente proporcionales.

Para recorrer 50 km a una velocidad de 110 km/h el coche tarda: t =e

v=

50 km

110 km/h= 0,45! h = 27 min 16 s

b) Distancia (km) 50 50 50 50

Velocidad (km/h) 90 100 120 130

Tiempo (h) 0,555 0,5 0,416 0,385

c) La función que relaciona la velocidad, x, del coche con el tiempo empleado, f (x), es: f (x) =50

x60 Un ciclista ha tardado 60 min en recorrer una distancia a 40 km/h. Para recorrer la misma distancia en 150 min, ¿a qué velocidad

deberá circular?

Escribe la función que relaciona el tiempo empleado con la velocidad del ciclista.

Como 60 min = 1 h, ha recorrido 40 km en 1h.

Teniendo en cuenta que 150 min = 2,5 h, construimos la siguiente tabla:

Distancia (km) 40 40

Velocidad (km/h) 40 v

Tiempo (h) 1 2,5

Por ser magnitudes inversamente proporcionales: 40 ∙1 = v ∙ 2,5 → v = 16, así la velocidad a la que debe circular es de 16 km/h.

La función que relaciona el tiempo empleado, x, con la velocidad del ciclista, f (x), es: f (x) =40

x61 Dibuja en los mismos ejes estas funciones:

y =1

x y =

1

x+ 1 y =

1

x −1¿Qué tienen en común y en qué se diferencian?

Las tres funciones son racionales y sus gráficas son hipérbolas. Todas tienen una asíntota vertical y otra horizontal.

La función y =1

x es de proporcionalidad inversa.

La función y =1

x+ 1 se ha obtenido desplazando y =

1

x una unidad hacia arriba.

La función y =1

x −1 se ha obtenido desplazando y =

1

x una unidad hacia la de-

recha.

O 1

1

X

Y

ab

c

O 1

1

X

Y



62 Entre las gráficas representadas hay cuatro que son racionales. Averigua cuáles son, indica sus puntos de discontinuidad y halla sus asíntotas, si existen.

a)

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y e)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y d)

O 1

1

X

Y f)

O 1

1

X

Y

Son racionales las funciones de los apartados a), c), d) y f).

a) No es continua en x = −1 y x = 1. Las rectas x = −1 y x = 1 son sus asíntotas verticales y la recta y = −1 es la asíntota hori-zontal.

c) No es continua en x = 1. La recta x = 1 es la asíntota vertical y la recta y = −x + 1,5 es su asíntota oblicua.

d) No es continua en x = 0. La recta x = 0 es la asíntota vertical y la recta y = −x es su asíntota oblicua.

f) No es continua en x = 3. La recta x = 3 es la asíntota vertical y la recta y = 0 es la asíntota horizontal.

63 La función que relaciona el número de pulsaciones por minuto de un estudiante que está aprendiendo a escribir en ordenador

en función de las horas, x, es: f ( x ) =500 x + 300

x + 15a) ¿Cuántas pulsaciones por minuto será capaz de obtener después de 2 h de práctica? ¿Y después de 20 h?

b) En algunas oposiciones, 300 pulsaciones por minuto es el mínimo exigido. ¿Cuántas horas de práctica serán necesarias para alcanzar ese nivel?

c) Determina el máximo de pulsaciones que puede dar una persona si sigue aumentando indefinidamente el número de horas de práctica.

a) Despues de 2 horas: f (2) =500 ⋅2 + 300

2 + 15= 76,47 → 76 pulsaciones/min

Despues de 20 horas: f (2) =500 ⋅20 + 300

20 + 15= 294,28 → 294 pulsaciones/min

b) Resolvemos 300 =500 x + 300

x + 15→ 300 x + 4500 = 500 x + 300 → 200 x = 4 200 → 21h

c) Supongamos que x = 1 000 h → f (1000) =500 ⋅1000 + 300

1000 + 15= 492,9

Si x = 10 000 h → f (10000) =500 ⋅10000 + 300

10000 + 15= 499,2

Si x = 100 000 h → f (100000) =500 ⋅100000 + 300

100000 + 15= 499,92

Cuando las horas x aumentan indefinidamente el número de pulsaciones no pasa de 500, así el máximo de pulsaciones que puede dar una persona se estima que es de 500 por minuto.

64 Halla la ecuación de las asíntotas y representa las funciones propuestas.

a) f ( x ) =−x + 2

x b) f ( x ) =

x + 2

x + 1 c) f ( x ) =

x2 + 1

x2 −1 d) f ( x ) =

x

x2 − 4

475



a) Dom f = − { 0 }

Para hallar la asíntota vertical, analizamos el comportamiento de la función en puntos próximos a x = 0.

f (−0,1) =0,1+ 2

−0,1tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞ f (0,1) =−0,1+ 2

0,1tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞

Como limx→0−

f (x) = −∞ y limx→0+

f (x) = +∞ → x = 0 es la asíntota vertical.

Y para hallar la asíntota horizontal, estudiamos qué ocurre para valores de x muy grandes positivos o negativos.

f (10000) =−10000 + 2

10000tiende⎯ →⎯⎯ −1 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −1 f (−10000) =10000 + 2

−10000tiende⎯ →⎯⎯ −1 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −1

Como limx→+∞

f (x) = −1 y limx→−∞

f (x) = −1 → y = −1 es la asíntota horizontal.

b) Dom f = − { −1 }

Para hallar la asíntota vertical, analizamos el comportamiento de la función para puntos próximos a x = −1.

f (−1,1) =−1,1+ 2

−1,1+ 1tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞ f (−0,9) =−0,9 + 2

−0,9 + 1tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞

Como limx→−1−

f (x) = −∞ y limx→−1+

f (x) = +∞ → x = −1 es la asíntota vertical.

Y para hallar la asíntota horizontal, estudiamos qué ocurre para valores de x muy grandes positivos o negativos.

f (10000) =10000 + 2

10000 + 1tiende⎯ →⎯⎯ 1 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 f (−10000) =−10000 + 2

−10000 + 1tiende⎯ →⎯⎯ 1 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ 1

Como limx→+∞

f (x) = 1 y limx→−∞


c) Dom f = − { −1, 1 }

Para hallar las asíntotas verticales, analizamos puntos próximos a x = −1 y a x = 1.

f (−1,1) =(−1,1)2 + 1

(−1,1)2 −1tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞ f (−0,9) =(−0,9)2 + 1

(−0,9)2 −1tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞

Como limx→−1−

f (x) = +∞ y limx→−1+

f (x) = −∞ → x = −1 es una asíntota vertical.

f (0,9) =(0,9)2+ 1

(0,9)2−1tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞ f (1,1) =(1,1)2+ 1

(1,1)2−1tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞

Como limx→1+

f (x) = +∞ y limx 1

f (x) = → x = 1 es una asíntota vertical.

Y para hallar la asíntota horizontal, estudiamos qué ocurre para valores de la variable x muy grandes positivos o negativos.

f (10000) =(10000)2 + 1

(10000)2 −1tiende⎯ →⎯⎯ 1 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 f (−10000) =(−10000)2 + 1

(−10000)2 −1tiende⎯ →⎯⎯ 1 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ 1

Como limx→+∞

f (x) = 1 y limx→−∞

f (x) = 1→ x = 1 es una asíntota horizontal.

d) Dom f = − { −2, 2 }

Para hallar las asíntotas verticales, analizamos puntos próximos a x = −2 y a x = 2.

f (−2,1) =−2,1

(−2,1)2 − 4tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞ f (−1,9) =−1,9

(−1,9)2− 4tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞

Como limx→−2−

f (x) = −∞ y limx→−2+

f (x) = +∞ → x = −2 es una asíntota vertical.

f (1,9) =1,9

(1,9)2 − 4tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞ f (2,1) =2,1

(2,1)2 − 4tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞

Como limx→2−

f (x) = −∞ y limx→2+

f (x) = +∞ → x = 2 es una asíntota vertical.

Para hallar la asíntota horizontal, estudiamos qué ocurre para valores de x muy grandes positivos o negativos.

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y



f (10000) =10000

(10000)2 − 4tiende⎯ →⎯⎯ 0 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ 0 f (−10000) =−10000

(−10000)2 − 4tiende⎯ →⎯⎯ 0 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ 0

Como limx→+∞

f (x) = 0 y limx→−∞

f (x) = 0 → y = 0 que es la asíntota horizontal.

65 Encuentra las ecuaciones de las asíntotas de:

a) f ( x ) =2x3 + 1

x2 + 1 b) f ( x ) =

3x3 + 4 x −1

x2 − 3x + 2a) Dom f = → No tiene asíntotas verticales.

Asíntota horizontal:

f (10000) =2(10000)3+ 1

(10000)2+ 1→ +∞ tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞ f (−10000) =

2(−10000)3+ 1

(−10000)2+ 1→−∞ tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞

Como limx→+∞

f (x) = +∞ y limx→−∞

f (x) = −∞ , cuando x toma valores muy grandes positivos o negativos los valores de la fun-

ción también son muy grandes positivos o negativos, por tanto, no tiene asíntota horizontal.

Asíntota oblicua: 2x3 +1 x2 + 1

−2x3 − 2x 2x

− 2x + 1

Así, f (x) =2x 3 + 1

x 2 + 1 = 2x +

−2x + 1

x 2 + 1 y cuando x → +∞ y x → −∞, el cociente

−2x + 1

x2 + 1 se aproxima a 0 y la expresión

2x +−2x + 1

x2 + 1 tiende a 2x. La recta asíntota oblicua tiene por ecuación: y = 2x

b) Hallamos el dominio de la función: x2 − 3x + 2 = 0 → ( x −1)( x − 2) = 0 →x1 = 1

x2 = 2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪, así Dom f = − { 1, 2 }

Para hallar las asíntotas verticales, analizamos puntos próximos a x = 1 y x = 2.

f (0,9) =3(0,9)3+ 4(0,9)−1

(0,9)2− 3(0,9) + 2tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞ f (1,1) =3(1,1)3 + 4(1,1)−1

(1,1)2 − 3(1,1) + 2tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞

Como limx→1−

f (x) = +∞ y limx→1+

f (x) = −∞ → x = 1 es una asíntota vertical.

f (1,9) =3(1,9)3+ 4(1,9)−1

(1,9)2 − 3(1,9) + 2tiende⎯ →⎯⎯ −∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞ f (2,1) =3(2,1)3+ 4(2,1)−1

(2,1)2− 3(2,1) + 2tiende⎯ →⎯⎯ +∞ tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞

Como limx→ 2−

f (x) = −∞ y limx→2+

f (x) = +∞ → x = 2 es una asíntota vertical.

Asíntota horizontal:

f (10000) =3(10000)3 + 4(10000)−1

(10000)2 − 3(10000) + 2→ +∞ tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ +∞ f (−10000) =

3(−10000)3+ 4(−10000)−1

(−10000)2− 3(−10000) + 2→ −∞ tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ −∞

Como limx→+∞

f (x) = +∞ y limx→−∞

f (x) = −∞ → No tiene asíntota horizontal.

Asíntota oblicua: 3x3 + 4x−1 x2 − 3x + 2

−3x3 + 9 x2 − 6 x 3x + 9

9x2 − 2x −1

−9 x2 + 27 x −18

25 x −19

f (x) =3x 3 + 4 x −1

x 2 − 3x + 2= 3x + 9 +

25x −19

x 2 − 3x + 2

Cuando x → +∞ y x → −∞, la función f (x) tiende a 3x + 9.

La recta asíntota oblicua tiene por ecuación: y = 3x + 9

477



66 Representa las funciones, indica su dominio y estudia la continuidad.

a) f ( x ) = x si x <1

x − 3 si x ≥1

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) f ( x ) =x + 2 si − 4 ≤ x ≤−2

−1 si − 2< x ≤ 3

x − 2 si − 3< x ≤ 4

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

c) f ( x ) =−x + 2 si x <−1

2 si −1≤ x < 2

x si x ≥ 2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

a)

O 1

1

X

Y

•

Dom f = Continuidad:

limx→ 1−

f (x) = 1

limx→ 1+

f (x) = −2

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→ x = 1 es un punto de discontinuidad de salto finito.

b)

O 1

1

X

Y

•

•

Dom f = [−4, 4] Continuidad:

limx→ −2−

f (x) = 0

limx→ −2+

f (x) = −1

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→ x = −2 es un punto de discontinuidad de salto finito.

limx→3−

f (x) = −1

limx→3+

f (x) = 1

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪


c)

O 1

1

X

Y

•

Dom f = Continuidad:

limx→−1−

f (x) = 3

limx→−1+

f (x) = 2

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪


67 Carmen salió de su casa y fue a buscar a su amiga Paula; tardó 3 min en recorrer los 200 m que las separan. Allí esperó 5 min hasta que Paula estuvo preparada. Las dos juntas partieron rumbo a casa de Andrea, situada a 100 m de la de Paula, en lo que tardaron 2 min. Después de esperar 4 min a que saliera Andrea las tres amigas se apresuraron para llegar a la casa de Carmen, lo que les llevó 2 min. Modeliza y representa la función que representa la distancia que separa a Carmen de su casa.

Determinamos las ecuaciones de las rectas que representan cada recorrido.

❚ Recta que pasa por los puntos (0, 0) y (3, 200): y =200

3x

❚ Recta que pasa por los puntos (3, 200) y (8, 200): y = 200

❚ Recta que pasa por los puntos (8, 200) y (10, 300): x − 8

10− 8=

y − 200

300− 200→ y = 50 x − 200

❚ Recta que pasa por los puntos (10, 300) y (14, 300): y = 300

❚ Recta que pasa por los puntos (14, 300) y (16, 0): x −14

16−14=

y − 300

0− 300→ y = −150x + 2400

f(x) =

200

3x si 0 ≤ x < 3

200 si 3≤ x < 8

50 x − 200 si 8 ≤ x <10

300 si 10 ≤ x <14

−150 x + 2400 si 14 ≤ x ≤16

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

O 2

100

Tiempo (min)

Distancia (m)



68 Halla la expresión algebraica de la función a trozos que se corresponde con la gráfica.

a)

• •

••

O 1

1

X

Y b)

•

•• ••

•

O 1

1

X

Y c)

• ••• •O 1

1

X

Y d)

•

•

•

• ••

O 1

1

X

Y

a) Recta que pasa por (−3, 0) y (−1, 3): x + 3

−1− (−3)=

y − 0

3− 0→ y =

3

2x +

9

2

Recta por (−1, 3) y (3, 0): x + 1

3− (−1)=

y − 3

0− 3→ y = −

3

4x +

9

4

La expresión de la función es: f(x) =

3

2x +

9

2 si − 3≤ x <−1

4 si x = −1

−3

4x +

9

4 si −1< x ≤ 3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

b) Recta que pasa por (−3, −1) y (−2, 1): x + 3

−2− (−3)=

y + 1

1− (−1)→ y = 2x + 5

Recta por (−2, 2) y (1, 3): x + 2

1− (−2)=

y − 2

3− 2→ y =

1

3x +

8

3

Recta por (1, 2) y (3, 2): y = 2


2x + 5 si − 3≤ x <−2

1

3x +

8

3 si − 2≤ x <1

2 si 1< x ≤ 3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

c) Recta que pasa por (−3, 2) y (−1, 0) : x + 3

−1− (−3)=

y − 2

0− 2→ y = −x −1

Recta por (−1, 1) y (2, 2) : x + 1

2− (−1)=

y −1

2−1→ y =

1

3x +

4

3

Recta por (2, 2) y (3, 0): x − 2

3− 2=

y − 2

0− 2→ y = −2x + 6


−x −1 si − 3≤ x <−1

1

3x +

4

3 si −1≤ x < 2

−2x + 6 si 2≤ x ≤ 3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

d) Recta que pasa por (0, −3) y (1, −1) : x − 0

1− 0=

y + 3

−1− (−3) → y = 2x − 3

Recta por (1, 2) y (2, −1) es: x −1

2−1=

y − 2

−1− 2→ y = −3x + 5

Recta por (2, 0) y (5, 1) es: x − 2

5− 2=

y − 0

1− 0→ y =

1

3x −

2

3


2x − 3 si 0 ≤ x <1

−3x + 5 si 1≤ x < 2

1

3x −

2

3 si 2≤ x ≤ 5

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

479



69 Dibuja las funciones y estudia su continuidad.

a) f ( x ) =x −1 si x <−1

x2 − 3 si −1≤ x ≤ 2

3x −5 si x > 2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

b) f ( x ) =2x si −x <−1

2x2 + 3 si −1≤ x ≤ 4

3x − 2 si −x > 4

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

c) f ( x ) =x si − x <−3

x2 − 2x − 2 si − 3≤ x ≤ 3

1 si − x > 3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

a)

O 1

1

X

Y

Es continua en su dominio.

b) •

•

•

•

O 1

5

X

Y

No es continua en los puntos x = −1 y x = 4.

limx→−1−

f (x) = −2

limx→−1+

f (x) = 5

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪


limx→4−

f (x) = 35

limx→4+

f (x) = 10

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪


c) •

•O 1

2

X

Y

No es continua en x = −1.

limx→−3−

f (x) = −3

limx→−3+

f (x) = 13

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪




70 Escribe la expresión algebraica de la función a trozos que se corresponde con la gráfica.

a)

O 1

1

X

Y b)

•

••

O 1

1

X

Y

a) f(x) =−x2 si x <1

2x − 3 si 1≤ x < 2

−x + 3 si x ≥ 2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪b) La parábola dibujada para x < 0 corta a los ejes en (−2, 0) y (0, 0), es convexa y su vértice es (−1, 1).

Su ecuación es: y = −x (x + 2) = −x2 − 2x

La parábola dibujada para x > 1 corta al eje X en (2, 0) y (4, 0), es cóncava y su vértice es (3, −1).

Su ecuación es: y = (x − 2)(x − 4) = x2 − 6x + 8

f(x) =

−x2 − 2x si x ≤ 0

3 si 0 < x ≤1

x2 − 6 x + 8 si x >1

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

71 Dibuja las siguientes funciones.

a) f ( x ) =1

xsi 0 < x < 2

x + 2 si x ≥ 2

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

b) f ( x ) =1

xsi x < 0

x2 −1 si x ≥ 0

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

a)

•

•O 1

1

X

Y b)

•O 1

1

X

Y

72 Halla la expresión de la función definida a trozos que se corresponde con la gráfica.

f(x) =

1

x si x < 3

2 si 3≤ x < 5

1 si x = 5

−x + 7 si 5 < x ≤ 7

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

•

•••

•O 1

1

X

Y

481



73 Se ha borrado un coeficiente de las siguientes funciones continuas. Averigua el valor desconocido.

a) f ( x ) = x si x <1

§x − 3 si x ≥1

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) f ( x ) =x + 3 si − 4 ≤ x ≤−2

§x2 si − 2< x ≤ 3

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

a) Por ser continua debe cumplir que en x = 1: limx→1−

f (x) = limx→1+

f (x) = f (1)

Como limx→1−

f (x) = 1 → limx→1+

f (x) = a ⋅1− 3 = 1→ a = 4 y f (1) = 4 ⋅1− 3 = 1

b) Por ser continua debe cumplir que en x = −2: limx→−2−

f(x) = limx→−2+

f(x) = f (−2)

Como limx→−2−

f (x) = −2 + 3 = 1 y f (−2) = −2 + 1 = 1 → limx→−2+

f (x) = a ⋅ (−2)2 = 1→ a =1

4

74 Escribe en forma de función definida a trozos y representa:

a) f ( x ) = 2− x b) f ( x ) = x − 4

a) f(x) =

2− x si x < 2

0 si x = 2

−2 + x si x > 2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

b) f(x) =

−x + 4 si x < 4

0 si x = 4

x − 4 si x > 4

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

75 La función f (x) = sgn (x) asigna a cada número real negativo el valor −1 y a cada número real positivo el 1, mientras que al 0 le corresponde el 0. Escribe la expresión de esta función definida a trozos y represéntala.

f(x) =−1 si x < 0

0 si x = 0

1 si x > 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

O 1

1

X

Y

•

•

76 La función f (x) = ent (x) es una función definida a trozos que hace corresponder a cada número real su parte entera. Representa la función.

••

•

••

•

O 1

1

X

Y

••

••

••

•



Sugerencias didácticasEn esta sección trabajamos de un modo más concreto la competencia matemática, la competencia lingüística y la competencia aprender a aprender. Se presenta una situación cotidiana, la factura de la luz que es muy probable que los alumnos nunca hayan visto. En los ejercicios que se proponen, el alumnado reconocerá funciones de proporcionalidad directa, funciones lineales y funcio-nes a trozos.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competen-cias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Utiliza el lenguaje matemático, Piensa y razona, Utiliza las TIC, Modeliza o Resuelve.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Cabezas juntas numeradas, de Spencer Kagan.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos elaborarán las funciones que representan el precio por el consumo de electricidad de ciertos aparatos electrónicos dependiendo de la potencia de esos aparatos y del tiempo que estén funcionando.

¿Cómo se realizará la tarea? Los alumnos se agruparán de 4 en 4, y se numerarán del 1 al 4. Pensarán la respuesta individualmente y realizarán una puesta común en su grupo “juntando cabezas”. Finalmente, el profesor eligirá un número del 1 al 4, y el alumno con ese número explicará la respuesta de su equipo.

Soluciones de las actividadesEn todos los hogares se recibe periódicamente el detalle de facturación y consumo de energía eléctrica.

Matemáticas vivas. Factura de la luz

11 MATEMÁTICAS VIVAS 11Factura de la luz

254 255

En todos los hogares se recibe periódicamente el detalle de facturación y consumo de energía eléctrica.

COMPRENDE

Observa la factura.

La potencia facturada es una cantidad fija diaria en función de la potencia contratada que puede ser de 3 300 W, 4 400 W, 5 500 W u 8 000 W.

La energía facturada es el precio que resulta de multiplicar los kilovatios hora consumidos por el precio determinado por el Estado en función del precio del petróleo.

a. ¿Qué tipo de función es la que relaciona el consumo con la energía facturada? ¿Y la que relaciona los días con la cantidad que aparece en alquiler de equipos de medida?

PIENSA Y RAZONA UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

b. ¿Por qué las compañías eléctricas ofrecen diferentes opciones de potencia en los contratos?

1

RELACIONA

Representa gráficamente la función energía facturada utilizando el precio redondeado a las centenas. utilizando el precio redondeado a las centenas.

UTILIZA LAS TIC

Determina y representa la función que permite calcular el total importe factura en función del importe total. Determina y representa la función que permite calcular el total importe factura en función del importe total.

MODELIZA

2

TRABAJO

COOPERATIVOTAREA

La energía que consume un aparato eléctrico depende de la potencia del aparato y el tiempo que está funcionando. Por ejemplo, un secador que tiene una potencia de 2 000 W, funcionando durante media hora, consume una energía de: 2 kW x 0,5 h = 1 kWh

Determinad la función que representa el precio por el consumo de electricidad de un frigorífico de 0,1 kW y de un microondas de 900 W dependiendo del tiempo que estén funcionando, si el precio que aplica la compañía eléctrica es de 0,15 €/kWh.

REFLEXIONA

Con el fin de promover el ahorro de energía, una compañía eléctrica establece los siguientes precios de consumo.

• • •

100 kWh

0,12 €/kWh

100 kWh

0,15 €/kWh

200 kWh

0,20 €/kWh

Más de 300 kWh

300 kWh

Los primeros 100 kWh se facturarán a 0,12 €/kWh. Para los siguientes 200 kWh, el precio que se aplicará será de 0,15 €/kWh. A partir de esta franja de consumo, a cada kilovatio hora consumido se le aplicará un precio de 0,20 €.

Averigua el importe que figurará en el concepto energía facturada en un hogar cuyo consumo de electricidad haya ascendido a 90 kWh. ¿Y si el consumo ha sido de 250 kWh?

RESUELVE

Imagínate que trabajas en la compañía eléctrica y tienes que escribir la expresión de la función a trozos que exprese la energía facturada según el consumo de cada usuario.

a. Determina los intervalos de la variable independiente kilovatio hora de consumo.

MODELIZA

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

b. Obtén la función.

c. Representa la función utilizando medios tecnológicos.

d. Determina el importe que aparecerá este mes si la lectura actual del contador es de 00004726 kWh y la lectura anterior, por la que ya pasaron el recibo, fue de 00004406 kWh.anterior, por la que ya pasaron el recibo, fue de 00004406 kWh.

RESUELVE

3

4

UTILIZA LAS TIC

483



Comprende

1 Observa la factura.

La potencia facturada es una cantidad fija diaria en función de la potencia contratada que puede ser de 3 300 W, 4 400 W, 5 500 W u 8 000 W. La energía facturada es el precio que resulta de multiplicar los kilovatios hora consumidos por el precio determinado por el Estado en función del precio del petróleo.

a) ¿Qué tipo de función es la que relaciona el consumo con la energía facturada? ¿Y la que relaciona los días con la cantidad que aparece en alquiler de equipos de medida?

b) ¿Por qué las compañías eléctricas ofrecen diferentes opciones de potencia en los contratos?

a) Ambas funciones son de proporcionalidad directa.

b) La potencia contratada es la parte fija de la factura y el mínimo a cobrar por la compañía de electricidad. Las compañías eléctricas ofrecen contratar diferentes potencias para que cada domicilio contrate la poten-cia adecuada, en función de sus necesidades. La potencia contratada media en los hogares es de 3,3 kilowa-tios, este factor es importante ya que condiciona la capacidad para poner en marcha simultáneamente más equipos. La contratación de mayor potencia supone mayor precio y permite la utilización simultanea de muchos equipos.

Relaciona

2 Representa gráficamente la función energía facturada utilizando el precio redondeado a las centenas. Determina y representa la función que permite calcular el total importe factura en función del importe total.

Representamos en el eje X, el consumo (en kWh) y en el eje Y, el precio (en euros).

El precio redondeado a las centenas es 0,16 €/kWh, así la función energía facturada para cada con-sumo (x) tiene la expresión:

E (x) = 0,16x

Representamos en el eje X, el importe total (en euros) y en el eje Y, el total importe factura (en euros).

El total importe factura se calcula añadiendo el 21 % de IVA al importe total (x), la función es:

T (x) = x +21

100x = 1,21x

Reflexiona

3 Con el fin de promover el ahorro de energía, una compañía eléctrica establece los siguientes precios de consumo.

• • •

100 kWh

0,12 €/kWh

100 kWh

0,15 €/kWh

200 kWh

0,20 €/kWh

Más de 300 kWh

300 kWh

Los primeros 100 kWh se facturarán a 0,12 €/kWh. Para los siguientes 200 kWh, el precio que se aplicará será de 0,15 €/kWh. A partir de esta franja de consumo, a cada kilovatio hora consumido se le aplicará un precio de 0,20 €.

Averigua el importe que figurará en el concepto energía facturada en un hogar cuyo consumo de electricidad haya ascendido a 90 kWh. ¿Y si el consumo ha sido de 250 kWh?

O 20

5

X

Y

O 5

5

X

Y



Para un consumo de 90 kWh: E( x ) = 0,12x → E( 90 ) = 0,12 ⋅ 90 = 10,80 €

Para un consumo de 250 kWh:

Los primeros 100 kWh se facturan a 0,12 €/kWh y los 150 restantes se facturan a 0,15 €/kWh, así:

E = 0,12 ⋅ 100 + 0,15 ⋅ 150 = 34,50 €

4 Imagínate que trabajas en la compañía eléctrica y tienes que escribir la expresión de la función a trozos que exprese la energía facturada según el consumo de cada usuario.

a) Determina los intervalos de la variable independiente kilovatio hora de consumo.

b) Obtén la función.

c) Representa la función utilizando medios tecnológicos.

d) Determina el importe que aparecerá este mes si la lectura actual del contador es de 00004726 kWh y la lectura anterior, por la que ya pasaron el recibo, fue de 00004406 kWh.

a) Los intervalos son: 0 ≤ x ≤ 100, 100 < x ≤ 300, y x > 300

b) E (x) =0,12x 0 ≤ x ≤100

12 + 0,15(x −100) 100 < x ≤ 300

12 + 0,15 ⋅200 + 0,20(x − 300) x > 300

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

→ E (x) =0,12x 0 ≤ x ≤100

0,15x − 3 100 < x ≤ 300

0,20x −18 x > 300

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪c)

O 100

10

X

Y

d) El consumo ha sido: 4 726 − 4 406 = 320 kWh, por lo que el importe será: 0,20 . 320 − 18 = 46 €

Trabajo cooperativo

TAREALa energía que consume un aparato eléctrico depende de la potencia del aparato y el tiempo que está funcionando. Por ejemplo, un secador que tiene una potencia de 2 000 W, funcionando durante media hora, consume una energía de: 2 kW x 0,5 h = 1 kWh

Determinad la función que representa el precio por el consumo de electricidad de un frigorífico de 0,1 kW y de un microondas de 900 W dependiendo del tiempo que estén funcionando, si el precio que aplica la compañía eléctrica es de 0,15 €/kWh.

Si llamamos x al tiempo en horas que está funcionando el frigorífico o el microondas tenemos que:

❚ El consumo de electricidad de frigorífico viene dado por la función: F (x) = (0,1) ⋅ (0,15) ⋅ x = 0,015x

❚ El consumo de electricidad del microondas viene dado por: M (x) = (0,9) ⋅ (0,15) ⋅ x = 0,135x

Representamos en el eje X, el tiempo (en horas) y en el eje Y, el precio (en euros).

Sus gráficas son:

O 2

1

X

Y

485



A2. Representa la función f (x) = x2 − 2x y a partir de ella dibuja en los mismos ejes de coor-denadas las funciones propuestas.

a) f (x) + 3

b) f (x + 3)

Funciones en los medios de comunicaciónSugerencias didácticasPara finalizar la unidad se presenta una superficie reglada que seguro reconocerán los alumnos. Se propone la búsqueda en Internet de edificios que tengan esta forma. Será un buen momento para realizar un mural en clase con las fotografías que presenten, o preparar una presentación audio visual tratando así el trabajo cooperativo.


F1. Investiga en Internet otros edificios singulares que sean paraboloides hiperbólicos.

Respuesta abierta.

F2. Representa y averigua el nombre de la curva del plano cuyos puntos (x, y) están relacionados mediante la expresión x = y2. ¿Es una función?

No es función porque para cada valor de la variable x le corresponden dos valores y.

x 0 1 4 9

y 0 +1 y −1 +2 y −2 +3 y −3

Se trata de una función cuadrática cuya gráfica es una parábola.

O 1

1

X

Y

Sugerencias didácticasEn la sección Avanza de esta unidad se introducen transforma-ciones de funciones, tanto desplazamientos verticales como horizontales.

Su aplicación y utilidad en la vida cotidiana se trabajará con mayor profundidad en cursos superiores.


A1. Si f (x) = 2x, representa en los mismos ejes las funciones:

a) f (x) + 2 c) f (x + 2)

b) f (x) − 3 d) f (x − 3)

a b

c d

O 1

1

X

Y

Avanza. Transformaciones de funciones


256

AVANZA Transformaciones de funciones

A1. Si f(x) = 2x, representa en los mismos ejes las funciones:

a) f(x) + 2 c) f(x + 2)

b) f(x) − 3 d) f(x − 3)

A2. Representa la función f(x) = x2 − 2x y a partir de ella dibuja en los mismos ejes de coordenadas las funciones propuestas.

a) f(x) + 3 b) f(x + 3)

A partir de una función, f(x), podemos construir nuevas funciones cuyas representaciones sean transformaciones de la primera. En efecto, una función podemos desplazarla, dilatarla, contraerla o invertirla. Veamos cómo es posible desplazar vertical y horizontalmente una función f(x).

Desplazamiento vertical

Observa la gráfi ca de la función f(x) + 2. Se trata de la función f(x) desplazada verticalmente 2 unidades.

Por su parte, la gráfi ca de la función f(x) − 3 se ha obtenido desplazando f(x) verticalmente −3 unidades.

La función g(x) = f(x) + a es una trasformación de f(x).

❚ Si a > 0, el desplazamiento es hacia arriba.

❚ Si a < 0, el desplazamiento es hacia abajo.

Desplazamiento horizontal

Fíjate ahora en la gráfi ca de la función f(x + 2). Se trata de la función f(x) desplazada horizontalmente −2 unidades. En cambio, la gráfi ca de f(x − 3) se ha obtenido desplazando f(x) horizontalmente 3 unidades.

f (x) f (x – 3)f (x + 2)

O 1

1

X

Y

La función g(x) = f(x + a) es una trasformación de f(x).

❚ Si a > 0, el desplazamiento es hacia la izquierda.

❚ Si a < 0, el desplazamiento es hacia la derecha.

El paraboloide hiperbólico es una superficie que en una dirección tiene las secciones en forma de parábola con los lados hacia arriba, mientras que, en el corte perpendicular, las secciones tienen forma de parábola con los lados hacia abajo. Las secciones según planos perpendiculares presentan forma de hipérbola.

Se trata de una superficie curvada que puede construirse con líneas rectas, por lo que también se dice que es una superficie reglada. Dados 4 puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por esos 4 puntos.

Este hecho inspiró a Gaudí la construcción de un paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia, iniciada en 1883. También el arquitecto Félix Candela lo tuvo en mente a la hora de construir el restaurante submarino del Oceanográfico, de Valencia.

FUNCIONES EN LOS MEDIOS DE COMUNICACIÓN

F1. Investiga en Internet otros edifi cios singulares que sean paraboloides hiperbólicos.

F2. Representa y averigua el nombre de la curva del plano cuyos puntos (x, y) están relacionados mediante la expresión x = y2. ¿Es una función?

f (x)

f (x) – 3

f (x) + 2

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

a

b

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