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Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
1 Funes e Modelos
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1.1 Quatro Maneiras de
Representar uma Funo
3 3
Quatro Maneiras de Representar
uma Funo As funes surgem quando uma quantidade depende de
outra. Consideremos as seguintes situaes:
A. A rea A do crculo depende do raio r do
crculo. A regra que conecta r e A dada
pela equao A = R 2. A cada nmero r positivo est associado um nico valor de A e dizemos que A uma
funo de r.
4 4
Quatro Maneiras de Representar
uma Funo B. A populao humana do mundo P depende do tempo t.
A tabela mostra as estimativas da populao mundial P
(t) no momento t em certos anos. Por exemplo,
P(1950) 2,560,000,000
Porm, para cada valor do momento t
h um valor correspondente
de P, e dizemos que P uma funo de t.
5 5
Quatro Maneiras de Representar
uma Funo C. O custo C de enviar um envelope grande depende do
peso w do envelope. Embora no haja uma frmula
simples relacionando w e C, o correio tem uma frmula
que permite calcular C quando w dado.
D. A acelerao vertical a do solo medida por um
sismgrafo durante um terremoto uma funo do
tempo decorrido t. A Figura 1 demonstra um grfico
gerado por atividade ssmica durante o terremoto de
Northridge t que chocou Los Angeles em 1994. Para um
dado valor de t, o grfico fornece um valor correspondente
de a.
6 6
Quatro Maneiras de Representar
uma Funo
Acelerao vertical do solo durante o
terremoto de Northridge
Figura 1
7 7
Quatro Maneiras de Representar
uma Funo
Em geral consideramos as funes para as quais D e E
so conjuntos de nmeros reais. O conjunto D chamado
de domnio da funo. O nmero f (x) o valor de f em x
e lido f de x. O intervalo de f o conjunto de todos os valores possveis de f (x) conforme x varia por todo o
domnio. O smbolo que representa um nmero arbitrrio
no domnio de uma funo f denominado uma varivel
independente.
8 8
Quatro Maneiras de Representar
uma Funo Um smbolo que representa um nmero na imagem de f
denominado uma varivel dependente. No Exemplo A, a
varivel r independente, enquanto A dependente.
til considerar uma funo como uma mquina (veja a
Figura 2).
Diagrama de mquina para uma funo f
Figura 2
9 9
Quatro Maneiras de Representar
uma Funo Se x estiver no domnio da funo f, quando x entrar na
mquina, ele ser aceito como entrada, e a mquina produzir
uma sada f (x) de acordo com a lei que define a funo.
Assim, podemos pensar o domnio como o conjunto de todas as
entradas, enquanto a imagem o conjunto de todas as sadas
possveis.
10 10
Quatro Maneiras de Representar
uma Funo Outra forma de ver a funo como um diagrama de
flechas, como na Figura 3.
Cada flecha conecta um elemento de D com um elemento
de E. A seta indica que f (x) est associado a x, f (a) est
associado a a e, assim por diante.
Diagrama de flechas para f
Figura 3
11 11
Quatro Maneiras de Representar
uma Funo O mtodo mais comum de visualizar uma funo consiste
em fazer seu grfico. Se f for uma funo com Domnio D,
ento seu grfico ser o conjunto de pares ordenados
{(x, f (x)) | x D}
(Note que esses so os pares entrada-sada). Em outras
palavras, o grfico de f consiste de todos os pontos (x, y)
no plano de coordenadas tal que y = f (x) e x est no
domnio de f.
O grfico de uma funo f nos proporciona uma figura til
do comportamento ou "histrico" da funo.
12 12
Quatro Maneiras de Representar
uma Funo Uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y)
sobre o grfico y = f (x), podemos ler o valor de f (x) como
a altura do ponto no grfico acima de x
(veja a Figura 4).
Figura 4
13 13
Quatro Maneiras de Representar
uma Funo O grfico de f tambm nos permite visualizar o domnio
de f sobre o eixo x e a imagem sobre o eixo y, como na
Figura 5.
Figura 5
14 14
Exemplo 1
O grfico de uma funo f est mostrado na Figura 6.
(a) Encontre os valores de f (1) e f (5).
(b) Quais so o domnio e a imagem de f?
Figura 6
A notao para intervalos dada no Apndice A.
15 15
Exemplo 1 Soluo
(a) Vemos na Figura 6 que o ponto (1, 3) encontra-se no
grfico de f, ento, o valor de f em 1 f (1) = 3. (Em outras
palavras, o ponto no grfico que se encontra acima de x =
1 est 3 unidades acima do eixo x.)
Quando x = 5, o ponto no grfico que corresponde a esse
valor est 0,7 unidade abaixo do eixo x e estimamos que
f(5) 0,7.
(b) Vemos que f (x) est definida quando 0 x 7, logo, o
domnio de f o intervalo fechado [0,7]. Observe que os
valores de f variam de 2 at 4; assim, a imagem de f
{y | 2 y 4} = [2,4]
16 16
Representaes de Funes
17 17
Representaes de Funes
possvel representar uma funo de quatro maneiras:
verbalmente (descrevendo-a com palavras)
numericamente (por meio de uma tabela de valores)
visualmente (atravs de um grfico)
algebricamente (utilizando-se uma frmula explcita)
18 18
Exemplo 4
Quando voc abre uma torneira de gua quente, a
temperatura T da gua depende do tempo no qual a gua
est correndo. Esboce um grfico de T como uma funo
do tempo t decorrido desde a abertura da torneira.
Soluo:
A temperatura inicial da gua corrente est prxima da
temperatura ambiente, pois ela estava em repouso nos
canos.
Quando a gua do tanque de gua quente comea a
escoar da torneira, T aumenta rapidamente. Na prxima
fase, T fica constante, na temperatura da gua aquecida
no tanque.
19 19
Exemplo 4 Soluo
Quando o tanque fica vazio, T decresce para a
temperatura da fonte de gua.
T como uma funo de t na Figura 11.
Figura 11
continuao
20 20
Exemplo 6 - Encontre o domnio de cada funo
O grfico de uma funo uma curva no plano xy. Mas surge
a questo: quais curvas no plano xy so grficos de funes?
Essa pergunta ser respondida por meio do teste a seguir.
A razo para a verdade do Teste da Reta Vertical pode ser
vista na Figura 13.
Figura 13
21 21
Se cada linha vertical x = a cruzar uma curva
somente uma vez, em (a, b), ento exatamente
um valor funcional definido por f (a) = b. Mas se
a reta x = a interceptar a curva em dois pontos,
em (a,b) e (a, c), nesse caso, a curva no pode
representar uma funo, pois uma funo no
pode associar dois valores diferentes a a.
22 22
Por exemplo, a parbola x = y2 2 na Figura 14(a) no o grfico de uma funo de x, pois, como podemos ver,
existem retas verticais que interceptam a parbola duas
vezes. A parbola, no entanto, contm os grficos de duas
funes de x.
x = y2 2
Figura 14(a)
23 23
Note que a equao x = y2 2 implica y2 = x + 2, de modo que . . Assim, a metade superior e a inferior da
parbola so os grficos de [do Exemplo 6
(a)] e [Veja as Figuras 14(b) e (c).]
Figura 14(c) Figura 14(b)
24 24
Representaes de Funes
Observe que se invertermos os papis de x e y, ento a
equao x = h (y) = y2 2 define x como uma funo de y (com y como uma varivel independente e x como varivel
dependente), e a parbola agora o grfico da funo h.
25 25
Funes Definidas por Partes
26 26
Exemplo 7
Uma funo f definida por
1 x se x 1
x2 se x > 1
Avalie f (2), f (1), e f (0) e esboce o grfico.
Soluo: Lembre-se de que toda funo uma regra. Para
esta funo em particular a regra a seguinte:
Primeiro, observe o valor de entrada x. Se acontecer de x
1, ento o valor de f (x) 1 x.
f (x) =
27 27
Exemplo 7 Soluo
Por outro lado, se x > 1, ento o valor de f (x) x2.
Uma vez que (2 1, temos f (2) = 1 (2) = 3.
Uma vez que 1 1, temos f (1) = 1 (1) = 2.
Uma vez que 0 > 1, temos f (0) = 02 = 0.
Como fazer o grfico de f ? Observamos que x 1, ento f (x) = 1 x, assim, a parte do grfico de f esquerda da reta vertical x = 1 deve coincidir com a reta y = 1 x, essa ltima com inclinao 1 e interseco com o eixo y =1.
continuao
28 28
Exemplo 7 Soluo
Se x > 1, ento f (x) = x2, e dessa forma a parte do grfico de f direita da reta x = 1 deve coincidir com o grfico de y = x2, que uma parbola. Isso nos permite esboar o
grfico na Figura 15.
O crculo cheio indica que o ponto (1, 2) est incluso no grfico; o crculo vazio indica que o ponto (1, 1) est excludo do grfico.
continuao
Figura 15
29 29
Funes Definidas por Partes
O prximo exemplo de funo definida por partes a
funo valor absoluto. Lembre-se de que o valor absoluto
de um nmero a, denotado por | a |, a distncia de a at 0
sobre a reta real. Como distncias so sempre positivas ou
nulas, temos
| a | 0 para todo nmero a
Por exemplo,
| 3 | = 3| 3 | = 3 | 0 | = 0| 1 | = 1
| 3 | = 3
30 30
Funes Definidas por Partes
Em geral, temos
(Lembre-se de que se a for negativo, ento a ser positivo.)
31 31
Exemplo 8
Esboce o grfico da funo valor absoluto f (x) = |x|.
Soluo: Da discusso precedente sabemos que
x se x 0
|x| = x se x < 0
32 32
Exemplo 8 Soluo
Usando o mesmo mtodo empregado no Exemplo 7,
vemos que o grfico de f coincide com a reta y = x direita
do eixo y e com a reta y = -x esquerda do eixo y (veja a
Figura 16).
Figura 16
continuao
33 33
Exemplo 10
No Exemplo C, no incio desta seo, consideramos o
custo C (w) do envio de uma carta de primeira classe em
Hong Kong com o peso w. De fato, esta uma funo
definida por partes, pois a partir da tabela de valores na
pgina 13, temos
34 34
Exemplo 10
O grfico na Figura 18.
Voc pode entender ento por que funes similares a
essa so chamadas funes escada - elas pulam de um
valor para o prximo.
Figura 18
continuao
35 35
Simetria
36 36
Simetria
Se uma funo f satisfaz f (x) = f (x) para todo nmero x em seu domnio, ento f chamada funo par. Por
exemplo, a funo f (x) = x2 par, pois
f (x) = (x)2 = x2 = f (x)
O significado geomtrico de uma
funo ser par que seu grfico
simtrico em relao ao eixo y
(veja a Figura 19).
Figura 19
Uma funo par
37 37
Simetria
Isso significa que se fizermos o grfico de f para x 0,
ento, para obter o grfico inteiro, basta refletir esta parte
em torno do eixo y.
Se f satisfaz f (x) = f (x) para cada nmero x em seu domnio, uma f funo mpar. Por exemplo, a funo f
(x) = x3 mpar, pois
f (x) = (x)3 = x3 = f (x)
38 38
Simetria
O grfico de uma funo mpar simtrico em relao
origem (veja a Figura 20).
Se j tivermos o grfico de f para x 0, poderemos obter o
restante do grfico girando esta parte 180 em torno da
origem.
Figura 20
Uma funo mpar
39 39
Exemplo 11
Determine se a funo par, mpar ou nenhum dos dois.
Soluo:
(a) f (x) = (x)5 + (x) = (1)5x5 + (x)
= x5 x = (x5 + x)
= f (x)
Portanto, f uma funo mpar.
40 40
Exemplo 11 Soluo
(b) g (x) = 1 (x)4 = 1 x4 = g (x)
Assim, g par.
(c) h(x) = 2(x) (x)2 = 2x x2
Como h(x) h (x) e h(x) h (x), conclumos que h no par ou mpar.
continuao
41 41
Simetria
Os grficos das funes no Exemplo 11 na Figura 21.
Observe que o grfico de h no simtrico em relao ao
eixo y nem em relao origem.
Figura 21
(b) (c) (a)
42 42
Funes crescentes e
decrescentes
43 43
Funes crescentes e decrescentes
O grfico da Figura 22 cresce de A para B, decresce de B
para C, e cresce novamente de C para D. Dizemos que a
funo f crescente em um intervalo [a, b], decrescente
em [b, c], e crescente novamente em [c, d].
Figura 22
44 44
Funes crescentes e decrescentes
Note que se x1 e x2 so dois nmeros quaisquer entre A e
B com x1 < x2, ento f (x1) < f (x2). Utilizamos isso para
definir as propriedades de uma funo crescente.
45 45
Funes crescentes e decrescentes
Na definio de uma funo crescente, importante
perceber que a desigualdade f (x1) < f (x2) deve responder a
cada par de nmeros x1 e x2 em I com x1 < x2.
Voc pode ver que na Figura 23
a funo f (x) = x2
decrescente no intervalo ( ,0] e crescente no intervalo
[0, ).
Figura 23