1

1.1 SISTEMAS Y COORDENADAS

INTRODUCCIÓN

GEOMETRÍA ANALÍTICA (DEFINICIÓN). Es un puente entre el álgebra y la geometría que hace posible resolver algebraicamente (o analíticamente) problemas geométricos. También nos permite resolver geométricamente problemas algebraicos.

La relación entre álgebra y geometría se forma asignando números o puntos. Vincula la geometría (gráfica) con el álgebra.

RENE DESCARTES, matemático y filósofo francés, presentó en su libro La Geométrie, un recurso para unificar el estudio del álgebra y de la geometría “geometría analítica” y que se fundamenta en el uso de sistemas de coordenadas rectangulares.

COORDENADAS CARTESIANAS DE UN PUNTO

CUADRANTES. Si se trazan dos rectas dirigidas x’ x, y’ y perpendiculares entre sí, dividen el plano en cuatro regiones, llamados cuadrantes ( Figura 1.1).

y’

y

xx’

(+,+)I

(+,-)IV

(-,+)II

(-,-)III

0

Fig.1.1

EJES Y ORIGEN. La recta horizontal es el eje de las abscisas o eje de las equis (x); la recta vertical es el eje de las ordenadas o eje de las yes (y) y el

punto de intersección origen o cero.

COORDENADAS. La posición de un punto en un plano esta determinado por medio de sus distancias a cada uno de los ejes ( Figura 1.2).

x o y Primer cuadrante. x' o y Segundo cuadrante. x´ o y' Tercer cuadrante.

x o y´ Cuarto cuadrante.

2

Fig.1.2

REPRESENTACIÓN DE COORDENADAS. La abscisa y la ordenada de un punto se les llaman coordenadas del punto y se escriben como un par de números dentro de un paréntesis.

(x,y)

DESIGNACIÓN DE UN PUNTO.

Para designar un punto R de abscisa 3 y ordenada 4, se escribe R (3,4); para un punto E de abscisa 5 y ordenada –8, se escribe E(5,-8).

LOCALIZACIÓN DE UN PUNTO. Para localizar un punto dado por sus coordenadas, por ejemplo P (-3,5) se llevan 3 unidades negativas en el eje x’x a partir del origen y al final de ese punto se levanta una perpendicular, sobre la cual se cuentan 5 unidades positivamente ( Figura 1.3).

y

y’

x’ x

P

0

Fig. 1.3 Localización de un punto

0xx’

y’

y

N P

M

Abscisa de P, distancia NP al eje vertical. Ordenada de P, distancia MP al eje horizontal.

3

Ejercicio a) Graficar los puntos A (2,5), B(-3, -4), C(0,2) y D(-2,0) (Figura 1.4).

Fig.1.4

Ejercicio b) Ubicar en un sistema de coordenadas rectangulares los puntos P (-3,-5/2), Q (-5/2, 9/3) y T (1.75, 0.5) (Figura 1.5).

y’

y

xx’

Q

T

P

0

Fig.1.5

y

y’

xx’

A

B

D

C

A (2,5) B (-3, -4) C (0,2) D (-2,0)

4

Ejercicio c) Representar gráficamente el triángulo formado por los vértices A (2,3) B (-3,4) y C (-4,-6) (Figura 1.6).

Fig.1.6 Ejercicio d) Graficar el polígono cuyos vértices son: A (4,1), B (2,-3), C (-3,-1), D (-2, 4), E (2, 5) (Figura 1.7).

y’

y

xx’

DE

A

B

C

Fig 1.7 Ejercicio e) Si los vértices de un rectángulo tiene las coordenadas: A (3, 1), B (-5, 1), C (-5,-3), D (3,-3). Hallar su área y su perímetro (Figura 1.8).

y’

y

xx’

B A

DC

4

8

Fig.1.8

A= 32 u2

P= 24 u

5

LUGAR GEOMÉTRICO DEFINICIÓN: Un lugar geométrico es el punto o conjunto de puntos que satisfacen una ecuación; cualquier punto que satisface a la ecuación pertenece a la grafica de la ecuación. El procedimiento para encontrar la ecuación de un lugar geométrico es directo, ya que cada punto (x,y) del lugar geométrico debe cumplir las condiciones establecidas. De otro modo consiste en trazar un cierto número de puntos y dibujar una línea continua. En la mayoría de los casos, el conjunto de puntos que satisface una ecuación polinomial describe una curva o una unión de curvas. El objeto de la Geometría Analítica es estudiar ciertos lugares geométricos utilizando las ecuaciones que los representan y recíprocamente, representar geométricamente las soluciones de ecuaciones para obtener propiedades de ellas a partir de su representación geométrica. LA CIRCUNFERENCIA Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto interior llamado centro. y

x´ c x

y

LA PARÁBOLA Como lugar geométrico, es el lugar de los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija llamada directriz. D y V F x´ x

y´ LA ELIPSE. Es el lugar de los puntos tales que la suma de las distancias de cada uno a dos puntos fijos llamados focos, es constante.

c

6

y

L L . v1 fff v2 x´ x R R y

SIMETRÍA. Dos puntos son simétricos cuando se encuentran a la misma distancia de un punto o de una recta. Una curva es simétrica respecto al eje x, si al sustituir en la ecuación (y) por (–y) la ecuación no cambia. INTERCEPCIONES CON LOS EJES. Llamaremos intercepción de una curva con el eje x a la abscisa del punto de intersección de la curva con el eje. Análogamente, la intercepción con el eje y es la ordenada del punto de intersección de la curva con dicho eje. CONCEPTOS BASICOS SOBRE RECTAS, SEGMENTOS Y POLIGONOS PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Abscisa del PM de un segmento conocidas las abscisas de los extremos del segmento.- Es igual a la semisuma de las abscisas de los extremos del segmento.

2

BAm

xxx

EC. (1)

La fórmula (1) se utiliza para determinar la abscisa del PM de un segmento

Ejemplo 1. Calcular la abscisa del PM del segmento A (+4) y B (+10) (Figura 1.9).

72

104

mx

Fig.1.9

PM

XA Xm XB

3 4 5 6 7 8 9 10

mx

F F

7

Ejemplo 2. Calcular la distancia del PM del segmento C(-2) D(-6) (Figura 2.10).

42

8

2

62

2

62

mx

Fig 1.10

Distancia entre dos puntos de un sistema de coordenadas lineales

Ejemplo 3. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

a) (-8) y (12) d = | -8 – 12 | = | -20 | = 20 ụ

b) b) (4) y (14) d = | 4 – 14 | = | -10 | = 10 ụ

c) (-25) y (-143)

d = | -143 – (-25) | = | -143+25 | =| -118 | = 118ụ

COORDENADAS (xm , ym ) DEL PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO Las coordenadas del PM de un segmento son iguales a la semisuma de las coordenadas de los extremos del segmento. Teniendo un segmento de coordenadas A(x1, y1), B(x2, y2)

EC. (2)

La fórmula (2) determina las coordenadas del Punto Medio de un segmento

Ejemplo 4. Hallar las coordenadas del PM del segmento A (4,2), B (10,4) (figura 1.11).

d = | x2 – x1 |

d = | x1 – x2 |

6 5 4 3 2 1 0

mx

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

2

21 xxxm

2

21 yyym

72

104

mx 3

2

42

mx

8

PM

A

B

y

y’

xx’0

Fig 1.11

Ejemplo 5. Encontrar las coordenadas del PM del segmento de recta que une los puntos A (3, -4) y B (7,2)

52

73

2

21

xx

xm 12

24

2

21

yy

ym

Ejemplo 6. Un extremo de un segmento de recta es A (6,4) y el PM (-2,9)¿Encontrar las coordenadas del otro extremo? (Figura 1.12).

10

64

64

2

62

2

2

2

2

2

21

x

x

x

x

xxxm

14

418

418

2

49

2

2

2

2

2

21

y

y

y

y

yyym

Fig 1.12

Pm

y

y’

xx’0

A

9

Ejemplo 7. Un segmento de recta tiene por extremo el punto (-2,0) y como Punto Medio (3/2, -5/2). Determina las coordenadas del otro extremo. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas: I) P1 (x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos pertenecientes a una misma recta horizontal. La distancia dirigida de P1 a P2 es:

d =│ x2 – x1 │ EC. (3)

II) Si los puntos se encuentran en una misma recta vertical.

La distancia dirigida de P1 a P2 es:

d = │y2 – y1│ EC. (4)

III) Si los puntos no se hallan sobre una recta horizontal o vertical. .

y’

y

xx’0

P x y2 2 2( , )P x y1 1 1( , )

P2

y’

y

xx’0

P1

5

23

22

32

2

2

2

3

2

2

2

2

x

x

x

x

5

5

2

52

2

0

2

5

2

2

2

2

y

y

y

y

P x y ( , )1 11

P x y ( , )2 22

10

2

12

2

12 )()( yyxxd

* Se trazan dos rectas paralelas a los ejes cortándose en punto como lo muestra la figura, formando un triángulo rectángulo; posteriormente se usa el teorema de Pitágoras para la distancia entre dos puntos.

De ahí que la distancia de: P1P2 = (x2 – x1)

2 + (y2 – y1)2, EC. (5)

Haciendo P1P2 = d Las fórmulas (3), (4) y (5) se utilizan para calcular la distancia entre dos puntos P1 (x1,y1) y P2(x2,y2), dados

en un plano coordenado, o la longitud del segmento rectilíneo cuyos extremos sean los puntos P1 y P2

Ejemplo 1. Calcular la distancia entre los puntos A(2,-5) y B(-2,-3) (Figura 1.13).

47.420416)2()4()53()22()()( 22222

12

2

12 yyxxd

Fig 1.13

Ejemplo 2. En un sistema de ejes rectangulares, situar los pares de puntos y calcular sus distancias respectivas (Figura 1.14). A) (0,-9) y (9,0) , B) (-2,2) y (-11,7) y C) (-4,-6) y (-2,-1)

Fig 1.14

y

y’

xx’0

A

B

y

x’

y’

x

A

C

B

11

Solucion: a) b)

72.12

162

8181

)9()9(

)09()90(

22

22

d

d

d

d

d

29.10

106

2581

)5()9(

)72()112(

22

22

d

d

d

d

d

c)

29

254

)5()9(

)16()24(

22

22

d

d

d

d

*Muchas veces conviene dejar el resultado en raíz; así la comprobación de los problemas será exacta

Ejemplo 3. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 5 es el punto (7,1); si la abscisa del otro extremo es 3. Hallar su ordenada (Figura 1.15).

P1 (7,1) P2 (3, ?) d = 5

yy

yy

y

y

y

y

yyxxd

21725

121625

)1(1625

))1(16(5

)1(165

)1()73(5

)()(

2

2

2

222

2

22

2

12

2

12

0251722 yy

0822 yy

0)2)(4( yy factorizando Fig. 1.15

2

4

y

y Valores de solución

y’

y

xx’

12

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA.

Coordenadas de los puntos. P1: (x1, y1) Q1: (x1, 0) R1: (0, y1) P: (x, y) Q: (x, 0) R: (0, y) P2: (x2, y2) Q2: (x2, 0) R2: (0, y2)

TEOREMA.- Las coordenadas de un punto P que dividen a un segmento cuyos

extremos son P1: (x1, y1) y P2: (x2, y2) en la razón rP1P son:

PP2

r

rxxx

1

21 r

ryyy

1

21

Mediante la fórmula (6) se determina la abscisa y la ordenada del punto que divide a un segmento rectilíneo en una razón dada r.

Ejemplo. 1.- Hallar las coordenadas del punto P que dividen al segmento determinado por los puntos (8, 2) y (-5, 7) en la razón r = 3/4.

42.2

47

417

4

74

17

4

74

1532

4

74

158

4

7

)4

15(8

4

31

)5)(4

3(8

x

xx

14.4

4

29

47

429

4

74

29

4

74

21

4

8

4

7

)4

21(2

4

31

)7)(4

3(2

x

xy

Ejemplo. 2.- hallar las coordenadas del punto P que dividen al segmento determinado por los puntos (2, 1) y (-3, -4) en la razón r = -5/3.

5.102

21

23

321

3

23

21

3

23

156

3

5

3

3

)3

15(2

)3

5(1

)3)(3

5(2

x

xx

5.112

23

23

323

3

23

23

3

23

203

3

5

3

33

201

)3

5(1

)4)(3

5(1

x

xy

0xx’

y’

y

R2

R

R3 P1

P

P2

Q1 Q Q2

EC. (6)

13

3.- Obtén los puntos medios de los lados del triángulo con vértices A(8,12), B(-2,-2) y C(0,10). Prueba que la distancia entre dos puntos medios es la mitad de la distancia entre los vértices del lado restante.

Punto medio

𝑋 =𝑋1+𝑋2

2 𝑌 =

𝑌1+𝑌2

2

𝑋𝐴𝐵 =(8)+(−2)

2=

8−2

2=

6

2= 3 𝑌𝐴𝐵 =

12 +(−2)

2=

10

2= 5

Punto medio de AB= (3,5)

𝑋𝐵𝐶 = −2 +(0)

2=

−2

2= −1 𝑌𝐵𝐶 =

−2 +(10)

2=

8

2= 4

Punto medio de BC= (-1,4)

𝑋𝐶𝐴 =8+0

2= 4 𝑌𝐶𝐴 =

12+10

2=

22

2= 11

Punto medio de CA= (4,11)

PROB .- El último mensaje emitido por un avión de reconocimiento con quién se perdió

todo contacto indicaba que se hallaba a 250 km del punto de partida y a 350 km del

punto donde debía llegar. ¿Cuáles son las coordenadas del sitio desde donde envió su

señal, si el avión se desplaza en línea recta y los lugares de partida y llegada se ubican

en A(-2,4) y B(8,5)?

𝐴𝑃

𝑃𝐵=

250

350=

125

175=

25

35=

5

7 Razón

14

𝑋1 + 𝑋2(𝑟)

1 + 𝑟=

−2 + (8)(57

1 + (57)

= −2 + (

407

)

127

=

40 − 147

1.7=

267

1.7=

3.7

1.7= 2.1

𝑌1 + 𝑌2 𝑟

1 + 𝑟=

4 + 5 57

1 + 57

= 4 +

257

1.7=

28 + 257

1.7=

537

1.7=

7.5

1.7= 4.4

P=(2.1,4.4)

problema.- Determinar la distancia entre los puntos de coordenadas A(-4,3) y B(6,-2)

Problema- Hallar las coordenadas de un punto p(x,y) que divida al segmento A(5,3) y B(-3,-3) en la razón r=1/3

𝑑

= (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

dAB=

(6 − −4 )2 + (−2 − 3)2

= (6 + 4)2 + (−5)2

= (10)2 + 25

= 100 + 25

= 125

= 25 ∗ 5

=5. 5

15

POLÍGONOS (AREAS) CASO I- ÁREA DE UN TRIÁNGULO CON BASE EN EL EJE x O PARALELO A DICHO EJE Si se conocen las coordenadas de los vértices de un triángulo, se puede calcular su área en función de dichas coordenadas; siendo la base paralela al eje x. Ejemplo 1: Calcular el área del triángulo ABC, dado los vértices A(3, 0) B(0,

4) y C(-2, 0) Área de ABC CA x OB

2102

45u

Ejemplo 2: Calcular el área el triángulo DEF dado los vértices respectivamente (1, 0), (6, 0) y (3, 6) Área DEF DE x CF

B

C A

0

F

0

D

E

2

1

2

1

2152

65u

16

Ejemplo 3 Sí los vértices de un triángulo tienen las coordenadas A (4 1/2, -2) B (-2 1/2 -2) y C (1, 5). Calcular su área. b = 7, h = 7

2

2

124

772

1

.2

1

u

hbA

CASO II- AREA DE UN TRIANGULO CON UN VERTICE EN EL ORIGEN. x1 y1

2

1A ))(())((

2

11221 yxyx

x2 y2 Ejemplo 1: Obtener el área del triángulo OAB, dado A (4, 2), B (7, 9)

4 2

Área OAB= 2

1 )7)(2()9)(4(

2

1

7 9

11)22(2

11436

2

1 u2

Ejemplo 2: Obtener el área del triángulo OAB dado A (2, 3) y B (7, 11) 2 3

A2

1

2

1)1(

2

1)2122(

2

1 u2

7 11

C

A

B

0

y

0

y’

xx’

A

B

A

y

y’

xx’0

B

17

CASO III- AREA DE UN TRIANGULO CUANDO NO TIENE NINGUN VERTICE EN EL ORIGEN (Método por determinantes). Dados A(x1, x2), B(x2, y2) y C(x3, y3) los vértices de un triángulo, el área se puede determinar por la formula:

2

1A )(

2

1122331133221 yxyxyxyxyxyx

Ejemplo 3. Calcular el área del triangulo cuyos vértices son: A(1,2), B(3,5) y C(2,7)

1 2

3 5

2 7

1 2 Ejemplo 4. Para que valor de ordenada y tendrá el siguiente triangulo de vértices: A (4, y), B(-2,4) y C(8,-2); teniendo un área de 28 u² 4 y

-2 4

8 -2

4 y

2

1A 5.361074215

2

1

2

128

6

530

5228

5228

1042

128

2248202

128

2248202

1

232884162

1

y

y

y

y

y

yy

yy

yy

x1 y1

x2 y2

x3 y3

x1 y1

18

2.2 LA RECTA

DEFINICIÓN. Geométricamente se define como la distancia mas corta entre dos puntos analíticamente es una ecuación de primer grado con dos variables y gráficamente se define como el lugar geométrico de la sucesión de puntos.

2.3.1 PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN

y’

y

xx’0

La pendiente se define matemáticamente por el siguiente teorema:

21

21

12

12

xx

yy

xx

yym

La fórmula (7) permite encontrar la pendiente de una linea recta que pasa por dos puntos

CRITERIOS DE APLICACIÓN SOBRE LA PENDIENTE El ángulo de inclinación puede tomar cualquier valor entre 0º 180 ,

siguiendo los siguientes criterios. a) m es un número positivo, si º90º0

b) m es un número negativo, si º180º90

c) m = o, si º0

d) m = si º90

VALOR DEL ANGULO DE INCLINACIÓN

=arc tg m La fórmula (8) servirá para obtener el ángulo de inclinación de una línea recta de pendiente m

INCLINACIÓN. La inclinación de una recta que intercepta al eje “x” es el angulo que la recta hace con dicho eje. NOTAS :

La inclinación de una recta horizontal es cero.

Las rectas verticales no tienen pendiente

Considerar x

y

Avance

Elevacionm

Pendiente: Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación la notación de pendiente es por la letra “m” y de acuerdo con la definición se

expresa m=tg

EC. (7)

EC. (8)

19

Ejemplo 1. Trácese una recta que pase por el punto (2,2), con una inclinación de 35º

y’

y

xx’0

X(2,2)

350

Ejemplo 2 . Trazar una recta que pasa por el punto (-4,0), con una inclinación de 120º

y’

y

xx’0

(-4,0)

1200

Ejemplo 3. Cuál es la recta que pasa por el punto (-2,1) y tiene una pendiente de -2/3.

xx’0

(-5,3)

2

y

y’

(-2,1)

-3

20

3

2

6

4

24

13

12

12

xx

yym

Ejercicio 4. Elaborar la grafica de la recta con pendiente 3/2 y que pasa por el punto (-2,-2) Ejercicio 5. Calcular la pendiente de la línea que pasa por los puntos (-2, -1) y (4,3) Ejercicio 6. Cual es la pendiente de la línea cuya ecuación es 3y – 4x = 15

3

4

53

4

3

1543

4153

1543

m

xy

xy

xy

xy

Ejercicio 7. Encuentra la pendiente de la siguiente ecuación 2y = 6 x –4 m =3 Ejercicio 8. Encuentra la pendiente de la recta l, determinada por los puntos (-3,4) y (1,-6)

Y = mx + b

m: pendiente

2

5

4

10

31

46

m

2

5

4

10

13

64

m

21

Ejercicio 9. Encontrar las pendientes de las rectas determinadas por los pares de puntos. a). (1, 5) (4, 6) m = 1/3 c). (-2, -3) (-1, 1) m = 4 b). (3, -5) (-3, 3) m = -4/3 d). (-1, 0) (0, 1) m = 1 Trazar la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente dada. e). (0 , 0); m = 2 f). (-3, 4); m = -3/2 INCLINACIÓN Y PENDIENTE. Ejercicio 10. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A (-6, -4) y B (8, 3)

; = arc tan-1(1/2)

= 26° 33’ Ejercicio 11. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se une a los puntos A (12, -5) y B (2, 1)

; = arc tan-1 (-3/5) = arc tan(-0.6) = -30° 57’ * Como m es (-); es > 90° pero < 180°,

por lo que el ángulo encontrado es:

= 180 – 30° 57’ 49” = 149° 2’ 11”

2

1

14

7

86

34

m

5310

6

212

15

m

22

y

0

6m

Ejercicio 12. Hallar la pendiente m y el ángulo de inclinación, de las rectas que unen los pares de puntos siguientes: a) (-8, -4) (5, 9)

= tg –1 (1) = 45°

b) (10, -3) (14, -7)

= 180 – 45° = 135°

c) (-11, 4) (-11,10) las rectas verticales no tienen pendiente

= 90°

d) (8, 6) (14, 6)

m = 06

0 = tg-1 (0)=0

La inclinación de una recta horizontal es cero

y

y

185

49

m

14

4

1014

37

m

23

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 1 2 3 4 5 6 7

2

1

1

mm

3

2

03

202

m

CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD I. Dos rectas que son paralelas, sus pendientes son iguales. m1 = m2

1 = 2 II. Dos rectas son perpendiculares entre si, si la pendiente de una de las rectas es reciproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta.

Tg 1 = m1 y tg 2 = m2 ó m2.m1 = -1 Ejercicio 1. Determina si la recta que pasa por los puntos (6, 0), (0, 4) y la que pasa por (0, 2), (3, 0) son paralelas.

3

2

6

4

60

041

m

Por igualdad de las pendientes, las rectas son paralelas.

2

1 1

2

2

2 1

1

24

Ejercicio 2. Demuestra que la recta que pasa por los puntos (2, 5), (-3, -2) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (3, -2) y (-4, 3)

5

7

5

7

23

521

m

7

5

7

5

34

232

m

Son perpendiculares porque sus pendientes cumplen con la condición m1 m2 = -1

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

25

2.2.1 ECUACION DE LA RECTA DEFINICIÓN. Geométricamente se define como la distancia mas corta entre dos puntos. Analíticamente es una ecuación de primer grado con dos variables y gráficamente se define como el lugar geométrico de la sucesión de puntos. Sean P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) y m como una pendiente, se tienen las:

FORMAS DE ECUACIONES DE LA RECTA. Ax + By + C = 0 FORMA GENERAL.

y - y 1 = m 1xx FORMA PUNTO – PENDIENTE.

y - y 1 = 1

12

12 xxxx

yy

FORMA DE DOS PUNTOS.

y = mx + b FORMA PENDIENTE – ORDENADA EN EL

ORIGEN.

1b

y

a

x FORMA SIMETRICA

x = a 1 FORMA DE RECTA HORIZONTAL.

y = b 1 FORMA DE RECTA VERTICAL.

x cos w + y sen w=p FORMA NORMAL

26

y’

y

xx’

P

ECUACIÓN DE LA RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL Ejemplo 1.- Cual es la ecuación de la recta horizontal que pasa por (4,9). x = 4 Ejemplo 2.- Cual es la ecuación de la recta vertical que pasa por (-1,-2).

y = -2

FORMA DE ECUACIÓN DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE

y - y 1 = m (x - x 1 ) EC. (9)

La formula (9) es la ecuación de una recta dado un punto y su pendiente Ejemplo 3.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,3), cuya pendiente es -1/2

y – 3 = 12

1 x

y – 3 = 12

1 x

y – 3 = 2

1

2

x

2y – 6 = -x – 1

x + 2y – 6 +1 = 0

x + 2y – 5 = 0

Gráficamente:

Ejemplo 4.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2,-4) y tiene una pendiente de -1/3.

y - y 1 = m (x - x 1 )

y + 4 = 3

1 (x -2)

3 (y + 4) = -1 (x – 2)

3y + 12 = -x + 2

x + 3y +12 – 2 = 0

x + 3y +10 = 0

27

y’

y

xx’

P

Gráficamente: Ejemplo 5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-5,2) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. m= tg (135

0)=-1 y – y = -1 (x + 5)

y – 2 = -x + 5

x + y – 2 + 5 = 0

x + y + 3 = 0

Gráficamente:

Ejemplo 6.- Dado el Punto (3,-1) y la pendiente m = 5/2 ; determina su ecuación.

y + 1 = 2

5 (x – 3)

2 (y + 1) = 5 (x – 3)

2y + 2 = 5x – 15

5x – 2y – 15 – 2 = 0

5x – 2y – 17 = 0

Ejemplo 7.- Con el punto (5,3) y el ángulo de inclinación de 45º. Hallar la

ecuación de la recta.

m = tg θ

m = 1 y – 3 = 1 (x – 5)

y – 3 = x – 5

x – y – 5 +3 = 0

x – y – 2 = 0

28

Gráficamente:

Ejemplo 8.-Teniendo el punto (-5,2) y un ángulo de inclinación de 4

3

4

3 = 135º

m = tg 1 (135º) y – 2 = -1 (x + 5) m=-1 y – 2 = -x – 5 x + y – 2 + 5 = 0

x + y + 3 = 0

ECUACIÓN PENDIENTE- ORDENADA EN EL ORIGEN

y= mx + b EC. (10)

La ecuación cuya recta tiene una pendiente m y su ordenada en el origen (b), es:

Ejemplo 9.- Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente 7

2 y su

intersección con el eje y es 3.

y = 37

2 x

y = 7

212

x

7y = 212 x

2x + 7y – 21 = 0

7 y = 737

2 x

7y = 212 x

2x +7y –21= 0

xx’

0

y

y’

P

29

Gráficamente: Ejemplo 10.- Determina la ecuación de la recta con pendiente 3 y ordenada al origen -2.

y = 3x + (-2)

y = 3x – 2

3x – y – 2 = 0

Ejemplo 11.- Encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y que corta el eje y en el punto -5.

y = 3x – 5

Ejemplo 12.- Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente 2 y su

intersección con el eje y es2

5 .

y = (2x - 2

5) (2)

2y = 4x – 5

4x – 2y -5 = 0

Gráficamente:

xx’0

y

y’

2

1

-5

2

3

xx’0

y

y’

7

32

30

ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS. En Geometría (Postulado). Una recta se determina cuando pasa por dos puntos cualesquiera; analíticamente se puede determinar su ecuación mediante el Teorema:

y – y 1 = 1

12

12 xxxx

yy

La formula (11) es la ecuación de la línea recta que pasa por dos puntos

Ejemplo 13.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-3,-1) y B (5,2).

y + 1 = 335

12

x

y + 1 = 38

3x

8 (y + 1) = 3x + 9

8y + 8 = 3x + 9

3x – 8y + 9 – 8 = 0

3x – 8y + 1 = 0

Gráficamente:

Ejemplo 14. Determina la ecuación de la recta dado los puntos (3,-2) y (-1,4)

y + 2 = 331

24

x

y + 2 = 34

6

x

y + 2 = 32

3

2

3

x

2 (y + 2) = -3 (x – 3)

2y + 4 = -3x + 9

3x + 2y + 4 – 9 = 0

3x + 2y – 5 = 0

y’

y

xx’

A

B

EC. (11)

31

Ejemplo15 -Demuestre si la ecuación y = x -5 es para los puntos (4,-1) y (8,3).

y + 1 = 448

13

x

y + 1 = 1(x – 4)

y + 1 = x – 4

y = x – 4 – 1

y = x – 5

REPRESENTACIONES CON LA FORMA SIMETRICA.

Ecuación de la recta que intercepta a los ejes coordenados (x,y) en los puntos (a,0) y (0,b), respectivamente:

1b

y

a

x EC. (12)

La fórmula (12) es la ecuación en forma simétrica o canónica de una línea recta

Ejemplo 16.- Dada la ecuación simétrica 142

xy, convertirla en forma

general.

142

xy

14

2

xy

-2y + x = 4

x – 2y – 4 = 0

Ejemplo 17.-Pasar la ecuación general 2x – 4y – 6 = 0 a la forma simétrica. Haciendo y = 0, Haciendo x = 0 2x – 4 (0) – 6 = 0 2(0)-4y-6= 0

2x – 6 = 0 -4y-6= 0

2x = 6 y = 4

6

x = 3 y = 2

3

Sustituyendo los valores de (x, y) en la fórmula (12) se tiene la ecuación simétrica

13

2

3

yx

32

Ejemplo 18.-Represente en forma simétrica, la siguiente ecuación x + 2y – 6 = 0. Haciendo x = 0 Haciendo y = 0 5y – 6 = 0 x-6 = 0

2y = 6 x = 6

y = 3

136

yx

Ejemplo.19-Las intersecciones que una recta determina sobre los ejes “x” y “y” son (4,0) y (0, -7), respectivamente, mostrar la forma general

1b

y

a

x

174

yx

7x – 4y – 28 = 0 Gráficamente:

y

y’

x’ x

0

Ejemplo 20.- Encontrar los puntos de intersección de la recta 5x + 8y – 6 = 0 con los ejes “x” y “y”

5x + 8y = 6

16

8

6

5

yx

1

43

56

yx

La recta corta a los ejes en

0,

5

6 y

4

3,0

33

Gráficamente:

Ejemplo 21.-Que ángulo forma la recta 3x – 2y = 6 con el eje horizontal

-2y = -3x + 6

y = 32

3x

2

3m

α = tan

2

31 56º, 02

Ejemplo 22. Hallar el ángulo que hace la recta 3x – 3y – 5=0, con el eje “x” 3x – 3y = 5

-3y = -3x + 5

y = x 3

5 m = 1 1tan 1 45º

Ejemplo 23.- Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto (4,3); teniendo un ángulo 135º con el eje x. m = tg 135º = -1

y – 3 = -1 (x – 4)

y – 3 = -x + 4

x + y – 7 = 0

Ejemplo 24.- Determina la ecuación de la recta cuyas intersecciones son (2,0) con el eje x, (0,5) con el eje y.

1b

y

a

x

152

yx

5x + 2y = 10

x + 2y – 10 = 0

0xx’

y’

y

34

FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA. La ecuación general de la recta se obtiene pasando todos los términos de la ecuación a un miembro de manera que este quede igualando a cero.

Ax + By + C = 0 La fórmula (13) es la forma general de la ecuación de una línea recta.

Dos ecuaciones que son equivalentes representan el mismo lugar geométrico, en el caso de las ecuaciones lineales con dos variables, representan la misma recta. Ejemplo de ecuaciones equivalentes, todas en la forma general

3x – 6y + 12 = 0

x – 2y + 4 = 0

-x + 2y – 4 = 0

y representan a la recta cuya ecuación pendiente – ordenada al origen es:

y = 22

1x

Ejemplo 25.- Escribir la ecuación y = 5x + 3 a la forma general. 5x – y + 3 = 0

Ejemplo 26.- Pasar la ecuación 3x + 2y + 6 = 0 a la forma común. 2y = -3x – 6

y = 32

3

x

Ejemplo 27.- Pasar la ecuación 2x – 4y – 6 = 0 a la forma simétrica Haciendo y = 0 haciendo x = 0 2x – 4 (0) – 6 = 0 2(0) – 4 y – 6 = 0

2x – 6 = 0 - 4 y – 6= 0

x = 3 y = - 6

4

y = - 3

2 Sustituyendo valores de (x,y), tenemos:

13

2

3

yx

EC. (13)

35

Ejemplo 28.-Hallar la ecuación de una recta en su forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes “x” y “y”, es decir, sus intercepciones son (-8) y (5) respectivamente; transformarla a la forma común.

1b

y

a

x

158

yx

140

85

yx

-5x + 8y = 40 (-1)

5x – 8y + 40 = 0

8y = 5x + 40

y = 8

405 x

y = 58

5x

Ejemplo 29.- Cuales son la pendiente y la intersección con el eje y de la recta cuya ecuación es 3x – 7y – 21 = 0 Ax + By + C = 0

3 A

B = -7

C = -21

Para m = 7

3

7

3

B

A

Intersección con el eje y = b = 37

21

77

21

B

C

Intersección con el eje x = 73

21

3

21

A

C

36

DISTANCIA DE UNA RECTA Ax+By+C=0 AUN PUNTO DADO(x1,y1) Considerando a d=AB como una distancia dirigida de un punto dado P1(x1,y1), hacia la recta Ax+By+C=0, se determina por la ecuación:

22

11

BA

CByAxd

La fórmula (14) se usa para calcular la distancia de un punto a una linea recta

El signo que precede al radical se selecciona de acuerdo a las siguientes condiciones:

1) Si el coeficiente de C≠0, el radical es de signo contrario a C 2) Si el coeficiente de C=0 y el coeficiente B≠0, el radical y A tienen el

mismo signo. 3) Si los coeficientes C y B son 0 y el coeficiente A≠0, el radical y A tienen el

mismo signo

Ejemplo 30.- Hallar la distancia del punto (4,5) a la recta 4x+3y=26 4x+3y-26=0

15

5

25

2631

916

261516

34

26)5(3)4(4

22

d

Gráficamente: Ejemplo 31.- Hallar la distancia de la recta 3x-4y+12=0 al punto (4,-1)

6.55

28

25

28

169

12412

)4(3

12)1(4)4(3

22

d

P

y

y’

xx’0

EC. (14)

37

Gráficamente: FORMA NORMAL DE LA RECTA Teorema.- La ecuación de la recta en la forma normal es:

x cos w + y sen w – p = 0

La formula (15), permite encontrar la forma normal de la recta dado w y p

Donde p es un numero positivo, numéricamente igual a la longitud de la recta ”normal” trazada del origen a la recta, con la que es perpendicular, y tiene un ángulo positivo (w) y se mide en la parte positiva del eje x hacia la recta “normal”; dicho ángulo puede tener valores entre 0o≤w≤360º.Si la recta pasa por el origen, el valor de p es cero en la forma normal de la ecuación. Entonces, la recta normal se dirige arriba del origen, por lo que el valor del ángulo w esta dado entre 0o y 180º.

xx’

0

y

y’

P sen W

P cos W

P

P (X ,Y )1 1 1

W

Ejemplo 32.-: Hallar la ecuación de una recta en la forma normal, siendo w=60o y p=6. x cos 60º + y sen 60 – 6 = 0 x( 1 ) + y (√3) –6 =0

2 2

1 x + √ 3 y – 6 =0

2 2

y’

y

xx’0

P

EC. (15)

38

Ejemplo 33: Reducir la ecuación 12x –5y –52 = 0 a la forma normal A=12 B=-5 C=-52

1316925144)5()12( 2222 BA

12 x – 5 y – 52 = 0

13 13 13

12 x – 5 y – 4 = 0

13 13

PROBLEMAS.-

1.-Si el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo como en la siguiente figura.

Hallar el valor de a si 𝐶𝐷 = 4𝑎 + 1 y las coordenadas son: A(-2,4) , B(3,-8) , C(-5,-14).

𝑑 𝐴𝐵 = 𝑋2 − 𝑋1 2 𝑌2 − 𝑌1 2 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 𝐶𝐷 = 4𝑎 + 1

𝑑 𝐴𝐵 = 3 + 2 2 −8 − 4 2 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 13 = 4𝑎 + 1

𝑑 𝐴𝐵 = 5 2 −12 2 𝑪𝑫 = 𝟏𝟑 4𝑎 + 1 = 13

𝑑 𝐴𝐵 = 25 + 144 4𝑎 = 13 − 1

𝑑 𝐴𝐵 = 169 4𝑎 = 12

𝒅 𝑨𝑩 = 𝟏𝟑 𝑎 =12

4

𝑎 = 3

PUNTOS COORDENADA

A (-2,4)

B (3,-8)

C (-5,-14

D (-10,-2)

39

2.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,1), y es paralela a la recta determinada por los puntos (0,-2) y (5,2).

𝑌 − 𝑌1 =𝑌2−𝑌1

𝑋2−𝑋1 𝑋 − 𝑋1 d =

AX1+BY1+C

A2+B2

𝑋1 = 0 𝑋2 = 5 𝑌1 = −2 𝑌2 = 2 A=4 B= -5 C= -10 𝑋1 = −3 𝑌1 = 1

𝑌 + 2 =2+2

5−0 𝑋 − 0 d =

4 −3 + −5 1 +(−10)

(4)2+(−5)2

𝑌 + 2 =4

5 𝑋 d =

−12−5−10

16+25

𝑌 + 2 =4

5 𝑋 5 𝐝 =

−𝟐𝟕

𝟒𝟏

5𝑌 + 10 = 4𝑋 𝟒𝑿 − 𝟓𝒀 − 𝟏𝟎 = 𝟎

d = AX1 + BY1 + C

A2 + B2

𝑑 =−27

41 A=4 B=-5 C=-10

−27

41=

4𝑥−5𝑦−10

(4)2+(−5)2

−27

41=

4𝑥 − 5𝑦 − 10

16 + 25

−27

41=

4𝑥 − 5𝑦 − 10

41

−27 = 4𝑥 − 5𝑦 − 10

4𝑥 − 5𝑦 − 10 + 27 = 0

4𝑥 − 5𝑦 + 17 = 0 Con x = 7

4 7 − 5𝑌 + 17 = 0

−5𝑌 = −17 − 28 −5𝑌 = −45

𝑌 =−45

−5

𝒀 = 𝟗

PUNTOS COORDENADAS

A (0,-2)

B (5,2)

C (-3,1)

D (7,9)

Con x=3

4(-3) – 5y 17 =0

-5y = -17 + 12

-5y = -5

y = −5

−5 = 1

40

3.-Demostrar que 10𝑋 − 12𝑌 − 29 = 0 es la ecuación de la mediatriz del segmento −2,1 y 3,−5 .

Mediatriz: Es una línea recta que divide en dos partes iguales a un segmento de recta y además es perpendicular.

PM= 𝑋𝑀 =𝑋1+𝑋2

2

𝑌𝑀 =𝑌1 + 𝑌2

2

𝑋1 = −2 𝑌1=1 𝑋2 = 3 𝑌2 = −5

𝑋𝑀 =−2 + 3

2=

1

2= 0.5

𝑌𝑀 =1 − 5

2=

4

2= 2

𝑷𝑴 = 𝟎.𝟓,𝟐

12𝑌 = 10 1 − 29 12𝑌 = 10 0 − 29 12𝑌 = 10 −1 − 29 12𝑌 = 10 − 29 12𝑌 = −29 12𝑌 = −10 − 29

𝑌 =−19

12 𝑌 =

−29

12 𝑌 =

−39

12

𝒀 = −𝟏.𝟓𝟖 𝒀 = −𝟐.𝟒𝟏 𝒀 = −𝟑.𝟐𝟓

X Y

1 -1.58

0 -2.41

-1 -3.25

PUNTOS COORDENADAS

A (-2,1)

B (3-5)

C (1,-1.58)

D (0,-2.41)

E (-1,-3.25)

F (0.5,2)

41

INTRODUCCION A LAS CONICAS

El estudio de las cónicas se inicia con Apolonio de Pergamo, quien en sus investigaciones, relaciono las intersecciones de un cono con un plano, descubriendo ciertas curvas a las que identifico con el nombre de: circunferencia, parábola elipse e hipérbola. SECCION CONICA: Es el conjunto de puntos que se forman de la intersección de un cono con su proyección con un plano. LA CIRCUNFERENCIA Geométricamente la circunferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan de otro punto fijo llamado centro. Analíticamente se representa por una ecuación de segundo grado con dos variables. Una circunferencia queda perfectamente determinada, si se conocen:

a) su centro y su radio b) dados los extremos de un diámetro c) dado el centro y una recta tangente d) dados 3 puntos de la circunferencia

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA TEOREMA 1. Si el centro de la circunferencia es el origen de las coordenadas, la ecuación es:

x2 + y2 =r

2 La formula (16) se conoce como la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el origen y radio r

TEOREMA 2. La circunferencia cuyo centro es el punto (h,k) y radio r, tiene por ecuación:

(x-h)2 + (y-k)2 = r2 La fórmula (17) se conoce como la ecuación ordinaria de una circunferencia con centro fuera del origen del sistema de coordenadas y radio r Toda circunferencia se puede expresar por medio de la ecuación de tipo general

x

2 + y

2 + Dx + Ey + F = 0

EC. (16)

EC. (17)

42

Ejemplo 1. Determinar la ecuación de la circunferencia del centro en el origen cartesiano y de radio 4; construyendo la grafica correspondiente:

Ecuación: x2 + y

2=16

x2

+ y2

= r2

y2=16-x

2

x2

+ y2

= (4)2

216 xy

x2

+ y2

= 16

Tabla de valores de x para obtener y.

Gráficamente

Ejemplo 2. Determinar la ecuación general de la circunferencia de centro (5,-3)

y radio 19

(x-h)2 + (y-k)

2 = r

2

(x-5)2

+ (y-3)2=( 19 )

2

(x-5)2 + (y+3)

2= 19 Ec. Particular

Desarrollando ambos binomios al cuadrado

x2

- 10x + 25 + y2

+ 6y + 9=19

x2

+ y2 - 10x + 6y + 34-19=0

x2

+ y2

- 10x + 6y +15=0 Ec. general

x 0 + 1 + 2 + 3 + 4

y + 4 + 3.87 + 3.46 + 2.64 0

y’

y

xx’

43

Ejemplo 3. Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (-1,4) y que pasa por el punto A (2,3) Fórmula de la d entre dos puntos Sustituyendo datos:

10

19

)1()3(

)43()12(

)()(

22

22

2

12

2

12

r

r

r

r

yyxxr

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia de centro (-1,-1) y radio 5 u; construyendo la grafica correspondiente (x-h)

2 + (y-k)

2 = r

2

(x+1)2

+ (y+1)2 = (5)

2

(x+1)2

+ (y+1)2 = 25

2)1(251 xy

Elaboración de la tabla de valores dado a x, obteniendo y Gráficamente:

x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y - 1 + 2 - 4

+ 3 - 5

+ 3.5 - 5.5

+ 3.8 - 5.5

+ 4 - 6

+ 3.8 - 5.8

+3.5 - 5.5

+ 3 - 5

+ 2 - 4

- 1

y’

y

xx’

C

(x-h)2+(y-k)

2=r

2

(x+1)2+(y-4)

2=(10)

2

(x+1)2+(y-4)

2=10

x2+2x+1+y

2-8y+16=10

x2+2x+y

2-8y+17-10=0

x2+2x+y

2-8y+7=0

44

OBTENCIÓN DEL CENTRO Y EL RADIO DADA LA ECUACIÓN GENERAL Ejemplo 4. Dada la ecuación de la circunferencia, obtener las coordenadas del Centro y el radio r. x

2+y

2+2x-4y-4=0

1er paso: x2

+2x+y2-4y=4 ordenamos y cambiamos termino

independiente

2º. Paso: (x2

+2x) + (y2-4y)=4 agrupamos términos

3er. Paso: (x2

+2x+1)+(y2-4y+4)=4+1+4 aplicamos T.C.P

4º. Paso: (x+1)

2 + (y-2)

2=9 simplificación

5º. Paso: x+1=0 se obtienen las coordenadas del centro x=-1

y-2=0

y=2

6º. Paso: r2

=9 obtención del radio

r=9 r=3

Solución: C ( -1, 2 ) y r = 3. Ejemplo 5. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:

18x

2 +18y

2+ 18x -18y -23=0

(18x2+18x) + (18y

2-18y)= 23

18(x2+x) +18(y

2-y)= 23

(x2+x) + (y

2-y)

18

23

(x2+x+

4

1 ) + (y2-y+

4

1 ) 4

1

4

1

18

23

(x + 2

1 )2 + (y -

2

1 )2

9

16

Igualando con cero r2

= 16/9 Centro (-1/2, 1/2) r= 4/3 * (TCP) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

45

PROB 1. Dada la ecuación general 4𝑥2 + 4𝑦2 − 12𝑥 + 40𝑦 + 77 = 0 ; hallar su centro y su radio.

4𝑥2 − 12𝑥 + 4𝑦2 + 40𝑦 = −77

4 𝑥2 − 3𝑥 + 4(𝑦2+10y)=-77

𝑥2 − 3𝑥 + 𝑦2 + 10𝑦 = −77

4

Aplicando T:C:P: 𝑥2 − 3𝑥 +9

4 + 𝑦2 + 10𝑦 + 25 = −

77

4+

9

4+ 25

Simplificando (𝑥 −3

2)2 + (𝑦 + 5)2 =

32

4

Centro (3

2,− 5) , para el radio 𝑟2 = 8

𝑟 = 8 = 4 ∗ 2 = 2. 2

PROB 2.Obtener el centro y radio de la circunferencia, dada la ecuación:

𝑥2 − 3. 𝑥 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = 0

𝑥2 − 3. 𝑥 + 𝑦2 + 4𝑦 = −4

Aplicando T:C:P. 𝑥2 − 3. 𝑥 +3

4 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = −4 +

3

4+ 4

Simplificando (𝑥 − 3

2)2 + (𝑦 + 2)2 =

3

4

Centro: ( 3

2,−2) ; radio 𝑟 =

3

4 =

3

4=

3

2

PROB 3. Obtener la ecuación general de la circunferencia con Centro (-1, √2 ) y radio r= 3√2.

(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 = (2 2)2

𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 2 𝑦 2 + ( 2)2 = 8

𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 2 2.𝑦 + 2 = 8

𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 − 2 2.𝑦 + 3 = 8

𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 − 2 2.𝑦 + 3 − 8 = 0

𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 − 2 2.𝑦 = 5

46

CIRCUNFERENCIA OUE PASA POR TRES PUNTOS. Ejemplo 6. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos A(-1,1), B(3,5) y C(5,-3). Considerando que se busca la ecuación general x2

+y2+Dx+Ey+F=0 y que los

tres puntos están sobre la circunferencia, tenemos las tres ecuaciones correspondientes: ( -1 , 1) 1 + 1 – D + E + F = 0 ( 3 , 5 ) 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0 ( 5 , -3 ) 25 + 9 + 5D +-3E + F = 0 Expresadas abreviadamente: D – E – F = 0

3D + 5E + F = -34

5D – 3E + F = -34

Dando solución al sistema: D = -32/5, E = -8/5, F = -34/5

Sustituyendo estos valores en la ecuación general, se tiene x2

+ y2 – 32 x – 8 y –34 = 0

5 5

5x2 + 5y

2 –32 x –8 y –34 = 0

y’

y

xx’

B

A

C

47

Ejemplo 7. Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos (0,0), (3,6) y (7,0). (0,0) F = 0

(3,6) 9 +36+ 3D + 6E + F = 0

(7,0) 49 + 7D + F = 0

Solución del sistema: F=0

3D+6E=-45

7D=-49

D=-7, E=-4 F=0

Ecuación general x2

+y2-7x-4y=0

Reduciendo a la forma ordinaria: (x2

-7x) + (y2-4y)=0

(x²-7x + 4

49) + (y

2-4y+4)= 4

4

49

(x-7)2 + (y-2)

2=65

2 4

Igualando con cero, Centro (7,2) y r2

=65 2 4

4

65r

r 652

1

y

xx’

y’

0

48

LA PARÁBOLA DEFINICIÓN: La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. Elementos de la Parábola

y

x

y´

x´

D

A

pV

L´

Fp

R

P

D: directriz F: foco AF: eje focal V: vértice LR: ancho focal p: distancia del v al f P: un punto cualquiera

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN.

I) Cuando la parábola abre hacia la derecha y p es positiva y2= 4px EC.

(18)

II) Cuando la parábola abre hacia la izquierda y p es negativa y2= -4px EC.

(19)

III) Cuando la parábola abre hacia arriba y p es positiva x2= 4py EC.

(20)

IV) Cuando la parábola abre hacia abajo y p es negativa x2= -4py EC.

(21) Las igualdades (18) y (19) corresponden a la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen del sistema de coordenadas y cuyo eje focal es el eje x. Por el signo (+) abre hacia la derecha; (-) abre hacia

la izquierda. Las igualdades (20) y (21) corresponden a la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen del sistema de coordenadas y cuyo eje focal es el eje y. Por el signo (+) abre hacia arriba; (-) abre hacia

abajo.

NOTAS:

El termino x2 o y

2 nos indica si la parábola es horizontal o vertical: x

2 vertical; y

2

horizontal

p señala hacia donde esta abierta la parábola: (+) arriba o a la derecha, (-) abajo o a

la izquierda

LR es la cuerda focal equivalente a cuatro veces el valor de p.

49

y´

x´ x

y

R

L

pp

F

D

Ejemplo 1. Una parábola cuyo vértice esta en el origen y cuyo eje coincide con el eje x, y pasa por el punto (-1,3). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. y2=-4px

Sustituyendo (-1,3) (3)

2=-4p(-1) 9= 4p

p= 2.25 Directriz es x= p x= 2.25

Ecuación buscada

y2 = -9x foco es igual a (-p,0)

(-2.25,0)

Lado recto 9)25.2(44 p

Ejemplo 2. Una parábola cuyo vértice esta en el origen y cuyo eje coincide con el eje x, y pasa por el punto (1,4); hallar la ecuación de la parábola, sus coordenadas del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. y2=4px Sustituyendo (1,4) (4)

2=4p(1) 16= 4p

p= 4

Directriz es x= -p x= -4

Ecuación buscada

y2 = 16x

Foco es igual a (p,0)

(4,0) Lado recto 4p = 4 ( 4 ) = 16

y

x

y´

x´

L

R

F p p

D

50

Ejemplo 3. Una parábola cuyo vértice esta en el origen y cuyo eje coincide con el eje y y pasa por el punto (4,-2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto x2

=-4py

Sustituyendo (4,-2) (4)

2=-4p(-2)

16= 8p

p = 2 Directriz es y = p y = 2

Ecuación buscada x2

= -8y

Foco es igual a (0,-p)

(0,-2) Lado recto 4p = 4 ( 2 ) = 8 Ejemplo 4. Una parábola cuyo vértice esta en el origen y cuyo eje coincide con el eje y y pasa por el punto (6,3). Determinar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto x2

=4py

Sustituyendo (6,3) (6)

2=4p(3)

36= 12p

p= 3 Directriz es y = -p y = -3

Ecuación buscada x2

= 12y foco es igual a (0,p)

(0,3) Lado recto 4p = 4 ( 3 ) = 12

y´

y

xx´

D

L RF

p

-p

y´

x´ x

y

RL

p

-p

F

D

51

Ejemplo 5. Obtener la ecuación de la parábola, dado los siguientes datos: Foco (0,-4) y directriz y=4. Señalando los datos Ejemplo 6. Encontrar el foco y la directriz de la parábola que tiene por ecuación y2

+ 6x = 0.

y2=-6x

Ecuación de tipo y2

= - 4px luego 4p=-6 p= -3

2 coordenadas del foco (-3/2,0)

directriz p =3/2 Longitud del lado recto LR =│4(-3/2)│=6

De la figura p = 4 Como p, coordenada del foco es negativa la parábola abre hacia abajo. x2=-4py

x2= -16y LR = 4p =16

x´

y

x

y´

F

D

(0,-4)

y

x

y´

x´F

D

52

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE (h,k) Y EJE PARALELO A UN EJE COORDENADO.

(y-k)2 = +4p(x-h) EC. (22) (x-h)

2 = + 4p(y-k)

La ecuación (22), es la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen y eje focal paralelo al eje x. El signo (+) abre hacia la derecha; el signo (-) abre hacia la izquierda. La ecuación (23), es la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen y eje focal paralelo al eje y. El signo (+) abre hacia la arriba; el signo (-) abre hacia abajo. Ejemplo 7. Obtener la ecuación de la parábola, cuyo vértice esta en el punto (2,5) el foco (2,3); además encontrar la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. Señalando los puntos

Ejemplo 8. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (-1,2), foco (-1,4); así como la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.

Ecuación de forma (x-h)2 = -4p (y-k)

p=│5-3│=2 sustituyendo V (2,5) y p=2 Forma reducida (x-2)

2=-8 (y-5)

Directriz y=7 Lado Recto 4(2)=8 Desarrollando x2

-4x+4= -8y+40 x2

-4x+8y+4-40=0

x2

-4x+8y=36 Forma General

Ecuación (x-h)2= 4p(y-k)

(x+1)

2= 4p(y-2)

p=│4-2│=2

(x+1)2 =8(y-2)

Directriz y=k-p

y=2-2=0

Lado recto 4p=4(2)=8

y

0

V (2,5)

F (2,3)

x

y´

x´

y´

x´ x

y

RL

F

D

EC. (23)

53

Ejemplo 9. Encontrar la ecuación general de la parábola con V (5,-2) y F (5,-4)

Ejemplo 10. Encontrar los elementos de la parábola cuya ecuación es y2

-12x-10y + 61 = 0 Desarrollo

y2-10y =12x-61 ubicar términos

y2

-10y +25 = 12x –61+25 completar con T.C.P.

y2

-10y +25 =12x-36 reducir

(y-5)

2 =12(x-3) simplificar y factorizar

y=5, x=3 igualar con cero

V = (3,5) coordenadas del Vértice

LR= 4p=12 longitud del Lado Recto

p = 3 distancia del Vértice al foco

Grafica

Por la grafica la parábola abre hacia abajo y p=2 (x-h)

2 = -4p(y-k)

(x-5)2

= 8(y+2)

x2-10x +25 = -8y-16

x2-10x+ 8y +41=0

y´

x´ x

y

F

54

LA ELIPSE

DEFINICIÓN. Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos llamados focos siempre es constante.

: Eje focal V1, V2: Vértices

0: Centro B1,B2: Eje menor

a: Semieje mayor, distancia del centro a uno de los vértices b: Semieje menor

LR: Lado recto P: Un punto cualquiera con coordenadas (x,y) c: Distancia del centro a uno de los focos F1(-c,0): Coordenadas de los focos F2 (c,0)

V1(-a,0): Coordenadas de los vértices V2(a,0)

La ecuación (24) sirve para determinar la ecuación ordinaria de la elipse horizontal con centro en el origen cartesiano y eje focal en el eje x.

NOTAS:

- a2 y b2 son valores positivos

- Al valor mayor lo igualamos con a2 y al

menor con b2

- Siempre a2>b

2 - Cuando se desconozca a,b ó c se

determina por el teorema de Pitágoras o diferencia de valor mayor menos valor menor.

- Si nos dan V tenemos a - Si nos dan F tenemos c - Si nos dan P tenemos (x,y)

- Lado Recto a

b

a

b 22 22

Ec. (25) La ecuación (25) sirve para determinar la ecuación ordinaria de la elipse vertical con centro en el origen y eje focal coincidiendo en la ordenada.

Excentricidad de la elipse.- Es la razón que existe entre c y a, expresado en un cociente. Se define como el coeficiente de la distancia focal entre el eje focal

a

ce

x2 y

2 = 1

a2 b

2

x2 y2 = 1 b2 a2

EC. (24)

55

32 2 = 32 = 16

5 1 10 5

LR =2b2 = 2(16) = 32

a 5 5

Ejemplo 1. De la ecuación de la elipse Calcular en ancho focal y

graficar. a2

= 25, a= 5

b2= 16, b= 4

c2= 9, c=3

Ejemplo 2. Encontrar la ecuación de la elipse cuyos vértices son (0,10) y (0,-10)

y sus focos (0, + 2). a= 10, a

2= 100

c = 2, c2= 4

b2 = 96

Ejemplo 3. Transformar la ecuación general 3x2 + 4y2 –48 = 0, a la forma particular. (1/48)

V1 V2

B1

B2

F1 F2

11625

22

yx

110096

1

22

2

2

2

2

yx

a

y

b

x

11216

148

4

48

3

4843

22

22

22

yx

yx

yx

56

a) a = 8, c = 7, b = 15 ; 8

7e

b) a = 8, c = 4, b = 48 ; 2

1e

c) a = 8, c = 1, b = 63 ; 8

1e

Ejemplo 4. Dibújese la elipse de ecuación , mostrando todas las características importantes. Sol: el denominador mayor esta en el termino y

a= 3, b= 2 549 c

Ejemplo 5. Pasar la ecuación 25x2 + 16y2 = 400 a la forma canónica y graficar )

400

1(

a

2 = 25 , a= 5 b

2= 16 , b=4 c

2= 9 , c=3 Ejemplo 6. Escríbanse las ecuaciones de las tres elipse con vértices en (0, +8) y focos en a) (0, +7); b) (0, +4); c) (0, +1). Determínese en cada caso la excentricidad e. Dibújense las graficas.

Sol: En cada caso la elipse es vertical

x2 + y2 = 1

16 25

b= a2 - c2 y e= c

a

a) x2 + y

2 = 1 ; x

2 + y

2 = 1

b2 a

2 15 64

b) x2 + y

2 = 1 ; x

2 + y

2 = 1

b2 a

2 48 64

c) x2 + y

2 = 1 ; x

2 + y

2 = 1

b2 a

2 63 64

194

22

yx

57

Ejemplo 7. Obtener el ancho focal y la ecuación de la elipse cuyos vértices son (+5,0) y focos (+4,0)

Ejemplo 8. Dada la elipse de ecuación 4x

2 + 5y

2 = 8, obtener el valor del

semieje mayor (a) y del semieje menor (b).

ecuación 12

2

2

2

b

y

a

x

a=5 c=4

a 2 =25 c 2 =16

b 2 =a 2 - c 2

b 2 = 9

1925

22

yx

ancho focal

5

18

5

922 2

a

b

4x2 + 5y

2 = 8

4x2 + 5y

2 = 8

8 8 8

x2 + 5y

2 = 1

2 8

x2 + 5/5y

2 = 1

2 8/5

x2 + y

2 = 1

2 8/5

a2 = 2

5

82 b

a = 2

5

22

5

8

5

8b

y

xV (-a, 0) V (a, 0)

F (-c, 0) F (c, 0)

y´

x´

58

Ejemplo 9. Obtener la ecuación de la elipse con vértice en (0,+4) que pasa por el punto (1,2)

(3)

(1/4)

Ecuación General

Ecuación x2 + y

2 = 1

b2 a

2

Teniendo (x,y) = (1,2), Sustituimos

3

4

4

31

16

41

1

116

41

14

21

2

2

2

2

2

2

2

2

b

b

b

b

b

Sustituyendo en la Ecuación

11634

22

yx

Desarrollando

1612

64448

643

4163

3

64

3

416

1364

34416

22

22

22

22

22

yx

yx

yx

yx

yx

V (0,-4)

P(x,y)

V (0,4)

xx´

y

y´

59

20 9

Ejemplo 10. Dada la elipse de ecuación 9x2 + 16y

2 – 144 = 0; obtener el valor del

eje mayor, eje menor, el ancho focal, la excentricidad, las coordenadas de los focos y de los vértices. Ejemplo 11. Sabiendo que a= 3 y que pasa por el punto de la elipse.

x2 + y

2 = 1

a2 b

2

x2 + y

2 = 1

9 b2

22 + = = 1

9 b2

4 + = 1

9 b2

4 + 20/9 = 1

9 b2

9x2 + 16y

2 = 144 (1/144)

9x2 + 16y

2 = 1

144 144

x2 + y

2 = 1

16 9

a2 = 16 , a = 4

b2 = 9 , b = 3

c2 = 7 , c = 7

Long. eje mayor = 2a = 8 Long. eje menor = 2b = 6

LR = 2b2 = 2(9) = 18 = 9

a 4 4 2

e = c = 7

a 4

Centro (0 , 0 ) Focos ( +7, 0 ) Vértice (+ 4, 0 )

( 2, 2 5 ) . Hallar la ecuación

3

( 2 5 )2

3

( 4 5 ) 9

20/9 = 1 – 4

b2 9 x

2 + y

2 = 1

9 4

20/9 = 5

b2 9

b2

= 20/9

5/9

b2 = 20 5

5 9

b2 = 4

60

ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO (h,k) Y EJES PARALELOS A LOS COORDENADOS.

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx EC. (26) 1

)()(2

2

2

2

a

ky

b

hx EC. (27)

La fórmula (26) es la ecuación de la elipse horizontal de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje

x.

La fórmula (27) es la ecuación de la elipse vertical de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje y.

Ejemplo 1. Obtener la ecuación de la elipse; cuando el centro es el punto (-3,2), los vértices (-3,7) (-3,-3) y focos en (-3,5) (-3,-1). Ejemplo 2. Sea la ecuación 5x

2+9y

2-40x-36y+71=0, obténgase los elementos de

la elipse y grafiqué. (5x

2-40x) + (9y

2-36y) = -71

5(x2-8x) + 9 (y

2-4y) = -71

Aplicando TCP

5(x2-8x+16) + 9(y

2-4y+4)= -71+80+36

Simplificando

5(x-4)2 + 9 (y-2)

2 =45

5(x-4)2 + 9(y-2)

2 = 1

45 45

(x-4)2 + (y-2)

2 = 1

9 5 Como 9>5 la elipse es horizontal e igualando con cero, determinamos el centro es

C(4,2)

Señalando los puntos

Ecuación

(x-h)2 + (y-k)

2 = 1

b2 a

2

Sustituyendo el punto (-3,2):

(x+3)2 + (y-2)

2 = 1

16 25

a=5 a2=25

c=3 c2= 9

b=4 b2=16

y’

y

xx’0

V1

F1

C

F2

V2

61

Ejemplo 3. Los vértices de una elipse tiene por coordenadas (-3,7) y (-3,-1); y la longitud de cada lado recto es 2. Hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes mayor y menor, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.

Sustituyendo: (x+3)2 + (y-3)

2 = 1 c

2=12, c=√12=2√3

4 16 Focos

F1(-3, 3+2√3) F2(-3, 3-2√3) Excentricidad

e=2√3 = √3

4 2

a2=9, a=3

b2=5, b=√5

c2=4, c=2

Coordenadas de los focos

F1(2,2), F2(6,2)

Coordenadas de los vértices

V1 (1,2), V2 (7,2) Lado recto

LR= 2(5) = 10

3 3 Excentricidad

e = 2

3

Por la ubicación de los puntos, deducimos que la

ecuación es:

(x-h)

2 + (y-k)

2 = 1

b2 a

2

a=4, a2=16, 2a=8 Eje mayor

2b2 = 2

a

2b2 =2

4

b=2, b2=4

xx’0

y

y’

V1 V2

F1 F2

RR

c

LL

y’

y

xx’0

V1

a

C (-3,3)

V2

62

Tarea (nov 2017)

PROB.- Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el punto C(3, -4), eje focal

paralelo al eje x, cuya longitud del eje mayor es 10 y de excentricidad 4/5.

PROB.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el punto C(-2, 1), eje focal

paralelo al eje y, cuya longitud del eje menor es 16 y de longitud de cada lado recto es

igual a 32/3.