אאא

لطلبة كلية العلوم االقتصادية

بوعبد اهللا صاحل

٢٠٠٦-٢٠٠٥

- 1 -

المحتوياتفهرس

- ١ -..........................................................................................................................فهرس المحتويات

- ١ -...................................................................................دمةمق - ٢ -..................................................................................................نبذة تاريخية عن تطور علم االحصاء

- ٤ -......................................................................................................................تعريف علم اإلحصاء

- ١ -.....................................تذكري باملفاهيم األساسية لالحتماالت .Iالفصل - ١ -...........................................................................................................مفاهيم أساسية .١المبحث

- ١ -........................Epreuve, événement, probabilitéمفهوم التجربة، الحدث واالحتمال ١ - ٢ -..............................................................................................خصائص اإلحتمال ٢ - ٢ -......................................................................األرآان الخمسة في حساب االحتماالت 3 - ٢ -....................................القاعدة السادسة أو حساب االحتمال حسب تعريف باسكال لالحتمال ٤ - ٣ -............................................................................................................خالصة ٥

- ٤ -......................................................................ترميز أو التعبير الرياضي عن االحتماالتال .٢المبحث - ٤ -..............................................استخدام نظرية المجموعات للتعبير عن األحداث العشوائية ١ - ٥ -.............................................................واعد حساب االحتماالتالتعبير الرياضي عن ق ٢ - ٨ -.....................Théorème ou règle de BAYESنظرية االحتمال السببي أو نظرية بايز ٣ - ٩ -............................................................................................................خالصة ٤ - ٩ -...............................................................................................................ملحق ٥

- ١ -......................................................املتغرية العشوائية .IIالفصل

- ١ -........................................................ئية المتقطعة وتوزيعها االحتماليمفهوم المتغيرة العشوا .١املبحث - ١ -.......................................................................................مفهوم المتغيرة العشوائية ١ - ٢ -....................................................................................المتغيرة العشوائية المتقطعة 2 - ٢ -.........................................................................التوزيع االحتمالي للمتغيرة المتقطعة 3 - ٢ -.........................................................................شروط دالة الكثافة للمتغيرة المتقطعة 4 - ٢ -.....................................................التمثيل البياني لدالة الكثافة االحتمالية ل م ع المتقطعة 5 - ٣ -............................................................ للمتغيرة العشوائية المتقطعةF(x)دالة التوزيع 6

- ٤ -........................................................مفهوم المتغيرة العشوائية المستمرة وتوزيعها االحتمالي .٢المبحث - ٤ -..........................................................................تعريف المتغيرة العشوائية المستمرة 1 - ٤ -.....................................................................................تمرالتوزيع االحتمالي المس 2 - ٤ -............................................خصائص دالة الكثافة االحتمالية للمتغيرة العشوائية المستمرة 3 - ٥ -............................................................ للمتغيرة العشوائية المستمرةF(x)دالة التوزيع 4 - ٦ -....................................................................Règle de LEIBNITZقاعدة اليبنيز 5 - ٦ -................................................................................خالصة المبحث األول و الثاني ٦

- ١ -................................................التوقع الرياضي والتباين .IIIالفصل - ١ -...............................................................Espérance mathématiqueالتوقع الرياضي .١المبحث

- ١ -.....................................................................................................تعريف التوقع 1 - ٢ -...........................................................................................................توقع دالة 2 - ٣ -......................................................................................خصائص التوقع الرياضي ٣

- ٣ -.....................................................Variance et écart typeاين واالنحراف المعياري التب .٢المبحث - ٣ -.....................................................................................................تعريف التباين 1 - ٤ -.................................................................................................خصائص التباين 2 - ٤ -........................................................Variable centrée réduiteالمتغيرة المعيارية ٣ - ٥ -............................................................................................................خالصة 4

- ٦ -.....................................................................................جددة للعزومالعزوم و الدالة المت .٣المبحث

- 2 -

- ٦ -.......................................................................................Les momentsالعزوم 1 - ٧ -.....................La fonction génératrice des moments Mx(t)الدالة المتجددة للعزوم 2 - ٨ -............................................................................................................خالصة ٣

- ٨ -..........................................................................نظرية شيبيشيف ونظرية األعداد الكبيرة .٤المبحث - ٨ -................................Inégalité de Bienaymé CHEBYCHEVحة شيبيشيف متراج 1 - ١٠ -.......................................Théorème des grands nombresنظرية األعداد الكبيرة 2 - ١٠ -..........................................................................................................خالصة ٣

- ١ -..................................التوزيعات االحتمالية األكثر استخداما .IV الفصل - ١ -...................................................................التوزيعات الحتمالية المتقطعة األآثر استخداما .١المبحث

- ١ -......................................Distribution hyper géométrique:التوزيع الهندسي الزائد 1 - ٢ -....................Distribution Multi-hypergéométrique:التوزيع الهندسي الزائد المتعدد 2 - ٢ -..........................................................Distribution de Bernoulliتوزيع برنولي ٣ - ٣ -...............................................................Distribution binomialeالتوزيع الثنائي ٤ - ٤ -..........................Distribution binomiale négative) باسكال(التوزيع الثنائي السالب 5 - ٥ -.......................................................Distribution géométriqueالتوزيع الهندسي ٦ - ٦ -.........................................................Distribution multinomiale التوزيع المتعدد ٧ - ٧ -.............................................................Distribution de Poissonتوزيع بواسون 8 - ١٠ -..........................................................................................................خالصة ٩

- ١٢ -...........................................................................التوزيعات االحتمالية الشائعة المستمرة .٢المبحث - ١٢ -.....D. Normale ou D. de Laplace -Gausseالتوزيع الطبيعي أو توزيع البالس قوس ١ - ١٥ -......................................................Distribution exponentielleالتوزيع األسي ٢ - ١٧ -.....................................................................Distribution gammaتوزيع قاما 3 - ١٨ -............................................................................Distribution bêtaتوزيع بيتا 4 - ٢٠ -..........................................................................................................خالصة ٥

- ١ -.......................................اداملتغريات العشوائية متعددة األبع .Vالفصل - ١ -.........................................................................................................المتغيرة الثنائية .١المبحث

- ١ -................Fonction marginale) الحدية(التوزيعات المشترآة المتقطعة والدالة الهامشية ١ - ٣ -..................................................................................التوزيعات المشترآة المتصلة ٢ - ٤ -.....................................................Distribution conditionnelleالتوزيع الشرطي 3 - ٥ -............................................................................................................خالصة ٤

- ٥ -...........................................................................................االستقالل التباين واالرتباط .٢المبحث - ٥ -.......................................................................................تعريف استقالل متغيرتين ١ - ٦ -...............................................................توقع وتباين المتغيرة العشوائية متعددة األبعاد ٢ - ٧ -...............................................................................Covarianceالتباين المشترك ٣ - ٨ -...................................................................................................معامل االرتباط ٤ - ٨ -............................................................................................................خالصة 5

- ١ -......................................دوال املتغريات العشوائية والتقارب .VIالفصل - ١ -...................................................................... ، فيشر وستيودنت٢ك : الدوال غير الخطية .١المبحث

- ١ -.....................................Distribution en Khi-carré (ou Khi-deux) ٢توزيع ك ١ - ٢ -.............................................................Distribution de Studentتوزيع ستيودنت ٢ - ٤ -..........................................F( Distribution F de Fisher-Snédecor(توزيع فيشر 3 - ٥ -............................................................................................................خالصة ٤

- ٥ -.....................................................................السلوك التقاربي لبعض التوزيعات االحتمالية .٢المبحث - ٦ -..............................................................التقارب بين التوزيع الثنائي والتوزيع الطبيعي ١ - ٧ -..............................................................االنتقال من متغيرة متقطعة إلى متغيرة متصلة ٢ - ٨ -................................................................التقارب بين التوزيع الثنائي وتوزيع بواسون ٣ - ٨ -.........................................................................................نظرية النهاية المرآزية ٤

- 3 -

- ٩ -............................................................................................................خالصة 5

- ١ -.................................................نظرية توزيع املعاينة .VIIالفصل - ١ -........................................................................................................مفاهيم إحصائية .١المبحث

- ١ -.........................................................Population et échantillon المجتمع والعينة ١ - ٢ -..............Echantillon exhaustif et non exhaustifالعينة النفادية والعينة غير النفادية 2 - ٢ -.................................................................Echantillon aléatoireالعينة العشوائية 3 - ٢ -.......................................................Paramètre d’une populationمعالم المجتمع 4 - ٢ -..............................................Statistique de l’échantillonnageإحصائية المعاينة 5

- ٢ -...........................................................................................معابنة للمتوسطاتتوزيع ال .٢المبحث - ٢ -...........................................................................متوسط توزيع المعاينة للمتوسطات ١ - ٣ -..............................................................................تباين توزيع المعاينة للمتوسطات ٢ - ٥ -..................................................................................................mطبيعة توزيع 3 - ٥ -............................................................................................................خالصة ٤

- ٦ -..................................................................................................توزيع المعاينة للنسبة .٣المبحث - ٧ -...................................................................................توزيع المعاينة للفروق والمجاميع .٤المبحث

- ٧ -.................................................................................................المتوسط والتباين 1 - ٧ -..................................................................توزيع المعاينة للفرق بين متوسطينطبيعة ٢

- ٨ -.....................................................توزيع المعاينة للتباين وتوزيع المعاينة لنسبة تبايني عينتين .٥المبحث - ٨ -............................................................................................نة للتباينتوزيع المعاي ١ - ٩ -....................................................................................توزيع المعاينة لنسبة تباينين 2 - ١٠ -.............................................................................................................ملحق 3 - ١٠ -..........................................................................................................خالصة ٤

- ١ -.......................................................نظرية التقدير .VIIIالفصل - ١ -...........................................................................................................مفاهيم أساسية .١المبحث

- ١ -..........................................................................................بعض خصائص المقدر ١ - ٢ -.................................................................................التقدير النقطي والتقدير بمجال ٢

- ٣ -...........................................................................................................التقدير بمجال .٢المبحث - ٣ -..............................................................................................مجال الثقة للمتوسط 1 - ٤ -.................................................................................................مجال الثقة للنسبة ٢ - ٤ -................................................................................................مجال الثقة للتباين ٣ - ٥ -......................................................................................مجاالت الثقة لنسبة تباينين ٤ - ٦ -............................................................................................................خالصة ٥ - ٧ -......................................................................الثقة للفروق والمجاميعمجاالت . ملحق ٦

- ٧ -...................................................................................................طرق تأسيس المقدر .٣املبحث - ٧ -.....................................................................................................طريقة العزوم 1 - ٨ -........................................................)طريقة االحتمال األآبر(طريقة المعقولية العظمى 2

- ١ -....................................مفاهيم اختبارات الفروض وتطبيقاهتا .IX الفصل - ١ -.........................................................................................................اختبار المتوسط .١بحث الم - ١ -..................................................................................اختبار ثنائي االتجاه للمتوسط ١ - ٤ -...............................................................................االختبار أحادي االتجاه للمتوسط ٢ - ٥ -.................................................................. في اختبار المتوسطσ آمقدر ل Sاستخدام ٣ - ٥ -....................................................................... في اختبار المتوسطtاستخدام التوزيع ٤ - ٦ -............................................................................................................خالصة ٥

- ٦ -.........................................................................................اختبار النسبة واختبار التباين .٢المبحث - ٦ -......................................................................................................اختبار النسبة ١ - ٧ -.....................................................................................................اختبار التباين 2

- ٩ -........................................................................................اختبار المقارنة بين مجتمعين .٣المبحث - ٩ -.............................................................................اختبار تساوي متوسطي مجتمعين 1

- 4 -

- ١٠ -...............................................................................اختبار تساوي تبايني مجتمعين 2 - ١١ -.........................................................................................اختبار االستقالل والتجانس .٤المبحث

- ١١ -.................................................................................................اختبار التجانس 1 - ١١ -...................................................................................................اختبار التعديل 2

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- ١ -

قدمةم هذه املطبوعة

للسنة الثانية علوم "٢ إحصاء" حسب الربنامج الوزاري ملقياس هذه املطبوعة هي عبارة عن حماضرات اإلحصاءبرمج هذا املقياس لطلبة السنة الثانية، لكي يستفيد الطلبة من القاعدة اليت اكتسبوها عند دراسة اإلحصاء .تسيريال

هدف هذا . الوصفي يف السنة األوىل، لكن هدفه األساسي هو التمهيد لدراسة اإلحصاء التطبيقي يف السنة الثالثة . أي األساس الرياضي لإلحصاء التطبيقي ،حصاء الرياضياملقياس هو تقدمي علم اإل

باعتبارها فرعا من الرياضيات، تدرس مادة هذا املقياس يف كليات العلوم و اهلندسة، لكن تقدمي هذه املادة لطلبة العلوم لوم بكلية العاإلحصاء تدريس ة يفجتربة سنوات عديهي مثرة املطبوعة هذه . اإلنسانية يتضمن صعوبة خاصة

بطريقة تالئم مستوى طلبة املقياس حمتوى نستفيد من هذه التجربة لصياغة حاولنا أن ، ولقد االقتصادية جلامعة املسيلة ؛حرصنا على ربط املفاهيم والقواعد النظرية باستخداماهتا التطبيقيةلتحقيق هذا الغرض . هذه الكلية و طبيعة التخصص

ألن فهم القواعد الرياضية يكون أسهل إذا كان للمتلقي و. مفهوم جديدعلى إعطاء أمثلة حملولة عن كلفعملنا أو لبعض الدروس التقدمي عملنا يف كثري من األحيان إىل خلفية عن املشكلة اليت حيتاج حلها إىل استخدام هذه القواعد،

تنا األعزاء طلبننبه هذا و .النظريةتوصل إىل لنننطلق منها التمهيد، وأحيانا مبثابة مشكلة تكون مبثابة مبسألة اتالنظرياستيعاب املفاهيم الرياضية بعموميتها و ال على هبم عند دراسة اإلحصاء الرياضي أن يكونوا قادرين يفترض إىل أنه

يبقوا خياهلم حبيس األمثلة واملسائل املعطاة، فاإلحصاء الرياضي غري اإلحصاء التطبيقي الذي يعىن بتطبيقات هذه . ما بعداملفاهيم في

جل املوازنة بني أمن . "املتغريات العشوائية" املعنون يتضمن الربنامج املقرر على مثانية فصول، أطوهلا الفصل الثاين فصول نظرا حلجمه، ومجعنا ٣حمتويات الفصل الثاين إىل م يقسفأعدنا ت. نعيد جتزئة حمتويات الربنامجالفصول رأينا أن

، حبيث مباحثولقد قسمنا الفصول إىل . ن يف فصل واحد لتعلقهما مبوضوع واحدحمتويات الفصل السابع و الثامباملنهج املقرر، لكن سوف جيد القارئ أننا يف الغالب األعم التزمنا ، وواحدة يف أغلب األحيان حماضرة املبحثيوافق

ه قد متكن من فهم النقاط توسعنا يف بعض اجلوانب من خالل امللحقات، فله أن يلم هبذه االستطرادات إن رأى أنغين عن الذكر أن حمتوى هذه املطبوعة من نظريات و. الرئيسية املقررة، و إال فإننا ننصحه بأن مير عليها مرور الكرام

رأينا أنه األنسب وقواعد ليس من إبداع مؤلفها، و إمنا هي قواعد مبسوطة يف املراجع مجعناها وعرضناها بأسلوب إذ نقدم لطلبتنا و زمالئنا هذا العمل املتواضع، هنيب هبم أن ال يبخلوا علينا و. علوم االقتصاديةستوى طالب كلية المل

.حىت نستفيد منها لطبعات مقبلة حبول اهللامبالحظاهتم وتعليقاهتم متطلبات املقياس

فالفصل . الفصول األخرىوبقية، من املهم التمييز بني الفصل األول هذا املقياسوفهم متابعة ه حتتاجفيما يتعلق مبا باقي أما الحتماالت ال حيتاج استيعابه إىل مستوى عايل يف الرياضيات، املفاهيم األساسية لعلم ايتضمن األول الذي

تطلب فهمها أن يقوم الطالب مبراجعة عدد من املفاهيم الرياضية أغلبها متضمنة يف برنامج الرياضيات للسنة فيالفصول كما . والدوال األسية) خاصة التكامل بالتجزئة(املفاهيم أساسا يف الدوال، االشتقاق، التكامل تتمثل هذه . األوىل

. حيتاج الطالب إىل قاعدة بسيطة يف مفاهيم اللوغاريتم، التكامل الثنائي والسالسل الشهرية

- 2 -

كلمة إىل الطلبةذج أو شبه قوانني يف حد ذاهتا حياولون كثريا ما نالحظ أن الطلبة يستخدمون التمارين املقدمة يف السالسل كنما

حماولة يائسة ملواجهة يف هذا التشبث بالشكل دون املضمون . حفظها بينما هي يف احلقيقة جمرد وسيلة لفهم الدرس دون فهم حقيق ملضمون املادة هو نتيجة حتمية بالنسبة ملن ال يتابع احملاضرات والتطبيقات باملراجعة املستمرة االمتحان

وحسب رأينا فإن الصعوبة اليت يواجهها الطلبة يف هذا املقياس سببها أنه مقياس يعتمد أساسا على الفهم . فوريةو الوهذا الفهم ال يتأتى عن طريق التلقي من األستاذ، مهما بذل هذا األخري ومهما كانت . أكثر مما يعتمد على التذكر

لفهم هذه " الوصفة السحرية" .من التركيز و املثابرةمع قدر فرده مهارته، وإمنا حيتاج إىل جهد مستقل يبذله الطالب مبمع شيء من التركيز على القواعد ) !١بعد كل حماضرة قبل النوم( املراجعة جبرعات منتظمة و فورية يه، املادة

يتخذها من خالل متارين السالسل و لكن المل الطالب على تعميق فهمه وليع.واملفاهيم حىت يتم فهمها فهما جيداهدف األستاذ واجلامعة ككل هو إعداد الطالب ملواجهة املشكالت املعقدة إن. أو قواعد إضافيةجامدة" مناذج"

إن اجلائزة احلقيقية اليت جيب أن . بعدد من التقنيات املساعدةدتزوالوالذكاء بتنمية إال اهلدف ال يتحقق وهذا ، للتسيريهي تكوين قدرة على التعلم الذايت أكثر من جتميع كم من املعارف اليت قد ال يتوقعها الطالب من دراسة باجلامعة

ذهنية مستقلة قادرة على حتليل املشكالت والوضعيات املعقدة وصياغتها تكوين ، و هي من جهة أخرى، حيتاجها أبداإذا عود الطالب نفسه هذه القدرة ال تتأتى . يف شكل واضح ودقيق ومن مث إبداع حلول هلا من خالل تفكريه اخلاص

التحليل والتركيب واالستنباط القدرة على مما يعطي الطالب يف املسائل اليت تطرحها التمارينمطوال على إعمال فكره إن الوصول إىل هذه القدرة على مواجهة مشكالت وحلها هي غاية . واالستدالل كأسس التفكري املنتج واملبدع

. رأمسال جيمعه الطالب ليستثمره حياته العامة واخلاصة معاأساسية للتعليم اجلامعي وهي أحسن

٢نبذة تاريخية عن تطور علم االحصاء

ذات و. وهكذا فإن البحث يتقدم عرب مراحل منفصلة و مستمرة من احلدس، التعصب، اإلثارة و احلمى" ٣ أينشتاينلربت أ[…]. عاش تلك اللحظات الفريدةتذوق طعمها من و يأخريا الفرحة يوم تتحقق

التطور التارخيي عن بنظرة يستحسن أن حييط الطالب لإلحصاء الرياضي الطرائق املختلفة الشروع يف دراسةقبل . من كتبوا يف هذا العلمأبرز طلع على جمموعة من ي، وأن إلحصاء كممارسة وكعلمل

أماكن متعددة على استخدام اإلحصاء من تدل احلفريات اليت وجدت يف : ١٨ما قبل امليالد إىل غاية القرن الفترة أداة و،اإلحصاء كوسيلة للرقابةواألمراء منذ القدم استخدم احلكام . احلضارات القدمية عرب املعمورةعدد من قبل

احلضارة يف . تعداد السكان وجرد السلع واملوارد املختلفة، واستخدموا يف ذلك إلدارة اململكة أو املدينة أو املقاطعة بشكل واليت ازدهرت فيها التجارة،بل امليالدق آالف إىل ألفي سنة ٥نهرين اليت سادت يف بالد ما بني ال،مريةالسووجدت حفريات مشاهبة تثبت ، وقد ، كانت قوائم من السلع واألشخاص تدون على ألواح من الصلصالكبري

اليت قامت على التسيري املصرية احلضارة . مليالد آالف سنة قبل ا٣اليت سادت احلضارة املصرية يف عهد استخدام اجلرد

!فأنقذ معلوماتك يف الساعات األوىل قبل أن تتبخر. ها ننساها يف التسع ساعات األوىل باملئة من املعلومات اليت نتعلم٦٠يعلمنا علم نفس التربية أن أكثر من 1 .٢، ص ١٩٩٦، (Ellips)، دار (SMA)جون جاك دروزبيك، أساسيات يف اإلحصاء، سلسلة : أخذت معظم املعلومات التارخيية عن 2 : عن.١٩٧٩رجيي هونريو، باريس، فالماريون، ترمجه إىل الفرنسية. كيف أرى العامل :همن كتاب 3

Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation.

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- ٣ -

فقد ، كوسيلة للمراقبةللتدوينوالتقسيم الدقيق ملياه النيل اتسمت إدارهتا باملركزية الشديدة وهذا الذي أعطى األمهية علمه املوظف أن لقوانني املعمول هبا، وكان مما يتواكان للمصريني القدامى مدارس يتعلم فيها املوظفون القراءة والكتابة

واستخدم اجلرد لدى مجيع احلضارات القدمية تقريبا كاحلضارة الصينية. ال اعتبار ألمر أو عقد ما مل يكن مكتوبا ١٢ابتداءا من القرن (مريكا اجلنوبيةالساحل الغريب أليف اليونانية والرومانية، وكذا حضارة اإلنكا واليابانية واهلنديةو

ملواد واألفراد وأحيانا جند نظاما لتصنيف املعلومات ااإلحصاء عبارة عن جرد كان ذا العهد يف ه. ) ١٥٧٢إىل غاية . لكن مل يوجد دليل على عمليات معاجلة هلذه املعطيات

أول من أمر بالتدوين إلحصاء املستفيدين من عطايا بيت املال، أما يف أوربا ) ر(يف العهد اإلسالمي كان اخلليفة عثمان أما يف فرنسا فإن عمليات . فقط وبالتحديد يف بريطانيا١٠٨٦ول اآلثار عن عمليات التعداد ترجع إىل فنجد أن أ

الذي شهد ميالد أول تسجيالت عقود احلالة املدنية وإجبارية تسجيل عقود االزدياد يف ١٤التعداد ترجع إىل القرن – أب اإلدارة الفرنسية - ″كولبريت″ حني أراد ١٧لقرنيف فرنسا دائما جتدر اإلشارة إىل أنه يف ا. عهد فرنسوا األول

وكان من ... أن يدفع ببالده إىل املستوى الصناعي الذي بلغته بريطانيا يف ذلك الوقت، أسس إدارة مركزية قويةوشهدت أملانيا وبريطانيا تطورا . عددا من عمليات التحقيق الكربى) ١٦٦٠-١٦٣٠(منجزاته أن شهدت وزارته

١٦٦٢يف أول من استعمل ) : GRANT ١٦٧٤ -١٦٢٠ ("قرانت" وقد كان. باإلضافة إىل دول أخرىمشاهبا وقد طور . مصطلحات علم السكان مثل اخلصوبة وطول مدة احلياة؛ كما قارن بني معدالت والدة اإلناث والذكور

عن عدد املساكن، (الثانوية طريقة لتعداد السكان من خالل املعطيات (PETTY)هذا العامل مع عامل آخر هو بييت عرفت بعد ذلك حتسينات متتالية على أيدي علماء (Multiplicateur)" طريقة املضاعف"تدعى ...) عدد الوفيات

.١٧٨٥يف (LAPLACE) "البالس"آخرين منهم خاصة ليت كانت سائدة تارخييا ارتبط ظهور نظرية االحتماالت بألعاب احلظ ا:١٨ و١٧ظهور نظرية االحتماالت يف قرن

لكن قلة انتشار طباعة الكتب واألجواء الدينية . بكثرة يف أوربا يف القرن السابع عشر وتنظمها البنوك بشكل خاصالبعض أول الكتابات يف علم نسب وي. الكتابات يف هذا الشأنالسائدة اليت ال تبارك هذه األلعاب منعت انتشار

La)" هندسة احلظ" الذي كتب عما أمساه آنذاك PASCAL) ١٦٦٢- ١٦٢٣" (باسكال"االحتماالت إىل العامل

géométrie du hasard) . ١٦٠١( "فرمات"رسائل له مع زميله املعروف هو اآلخر وكان ذلك من خالل – ١٦٦٥FERMAT : . ( وتذكر يف هذا الصدد بشكل خاص املسألة اليت طرحها على باسكال أحد هواة األلعابمث جاء علماء آخرون ". ؟ ١٢ ملكعيب نرد حىت ميكن املراهنة بتفاؤل على احلصول على جمموعكم ينبغي من رمية"

JACQUES)، جاك برنويل (HUYGEN : 1629 – 1695)كانت هلم إضافات بارزة يف هذه الفترة مثل هاجيان

BERNOULLI) ،موافر (MOIVRE) ١٧١٦ – ١٦٤٦ (اليبنيتز وكذا LEIBNIZ : .(ذه كما ساهم يف هعرفت نظرية االحتماالت ,LAPLACE (GAUSSE, BAYES( علماء كبار أمثال ١٩الفترة اليت سبقت القرن .على أيديهم إجنازات كبرية

وذلك لقياس نسبة " التوزيع الطبيعي"يف هذا القرن برزت إحدى أهم عناصر نظرية االحتماالت وهي : ١٩القرن يف . LAPLACE) و(GAUSSE هذا من مثرة عمل العاملني البالس وقوسكان . اخلطأ يف جمال احلسابات الفلكية

(QUETLET) كما برزت أمساء مثل كتلت (GALTOU) هذا القرن أيضا ظهرت حسابات االرتباط لقالتو

. وآخرون

- 4 -

ربهن عليها م نظرية االحتماالت كما نراها اآلن، أي بصياغة رياضية ناضجة يف شكل قوانني :نوالقرن العشر – ١٩٨٠(من األمساء اليت برزت يف الفترة األوىل و.ا، إمنا تبلورت يف القرن العشرين وبالضبط يف بدايتهرياضي (MARKOV) من روسيا ماركوف و(KARLE PEARSON)من هذا القرن جند من بريطانيا بريسون ) ١٩٢٠

، حيث كان درست مسائل التوقع) ١٩٣٢ – ١٩٢١(يف الفترة الثانية . (BOREL)من فرنسا بوريل و . دورا بارزا (FISHER)لفيشر

(NEYMAN) إىل هناية احلرب العاملية الثانية برزت اختبارات الفروض على يد ناميان١٩٣٣يف الفترة املمتدة من باإلضافة إىل خطط (NEYMAN) وبداية النظرية احلديثة للمعاينة لناميان(EGON PEARSON)وإيقون بريسون من اخلمسينات تكاثرت الكتابات يف جمال اإلحصاء حيث عرفت نظرية التقدير وحتليل بداية . التجارب لفيشر

.وبالتدريج انتشر استخدام اإلحصاء يف امليادين املختلفة والعلوم التجريبية واإلنسانية. البياناتدراسة السكان ود تارخييا إذا كانت أوىل استعماالت اإلحصاء ارتبطت حباجة الدولة لتنظيم اجلباية والتجني:لخصم

ارتبطت أول األمر مبسائل ألعاب الصدفة واحلظ ) أصل اإلحصاء الرياضي(فإن أوىل الدراسات يف حساب االحتماالت التطور السريع لعلم االحتماالت . ١٧كمجال جديد أثار فضول عدد من العلماء الذين أسسوا هذا العلم يف القرن

لكن أهم عناصر اإلحصاء الرياضي كما هو معروف اآلن تبلورت يف ٢٠كفرع من الرياضيات كان يف بدابة القرن .النصف األخري منه

إلحصاء علم اتعريف

:يقصد بعلم اإلحصاء، الطريقة اإلحصائية، وهي تلك الطريقة اليت متكن من : "١ مصطفى اخلواجةتعريف مجع احلقائق عن الظواهر املختلفة يف شكل قياسي، • قائق يف جداول تلخيصية،تسجيل بيانات تلك احل •عرض بيانات تلك اجلداول بيانيا وحتليلها هبدف معرفة اجتاهات هذه الظواهر والعالقات فيما •

.بينهاأي أن علم اإلحصاء خيتص بالطريقة العملية جلمع وتنظيم وتلخيص وعرض وحتليل البيانات هبدف الوصول إىل نتائج

علم استنباط احلقائق من األرقام بأسلوب " ميكن القول بإجياز شديد أنهأي . مقبولة وقرارات على ضوء هذا التحليل ." علمي وبطريقة علمية

وفرع اإلحصاء الذي يهدف ، وميكن تقسيم علم اإلحصاء إىل قسمني ومها اإلحصاء الوصفي واإلحصاء التحليلي... " باجملموعات األكرب أو األخرى فإنه فقط إىل وصف وحتليل جمموعة معينة دون الوصول إىل نتائج أو استدالل خاص

أما اإلحصاء التحليلي فيهتم بعمليات التنبؤ والتقدير عن طريق استخدام جزء من اجملموعة ،يسمى باإلحصاء الوصفيللوصول إىل قرار أو حكم عام ميكن تطبيقه على اجملموعة كلها، ولذلك يعتمد يف جزء كبري منه على نظرية

."االحتماالتاإلحصاء هو علم مجع وترتيب معلومات خاصة بظاهرة معينة وقياس الوقائع كأساس : "٢طو جياليلجالتعريف

".لالستقراء

. ٢ ، ص٢٠٠٢مقدمة يف اإلحصاء، الدار اجلامعية، اإلسكندرية، : مصطفى اخلواجة 1 .٣ص ، ، ديوان املطبوعات اجلامعية٢٠٠٢ جالطو جياليل، اإلحصاء مع متارين ومسائل حملولة، 2

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- ٥ -

جمموعة الطرق اليت هتدف " يعرف هذا العامل اإلحصاء بأنه ذلك العلم الذي يشمل : ١جون جاك دراوزبيكتعريف علق األمر مبعرفة كيفية احلصول على تلك البيانات، يت: "ويقول عن موضوع علم اإلحصاء..." إىل معاجلة املعطيات

."معـرفة من أين يتم جتميعها وبأي شكل يكون ذلك التجميعاإلحصاء هو جمموع الطرق الرياضية املتعلقة جبمع، وعرض، وحتليل، واستخدام : " ٢دومنيك سلفاتورتعريف

اختاذ قرارات إزاء حالة عدم التأكد اليت نواجهها يف هذه العمليات متكن من استخالص استنتاجات و. املعطيات الرقمية ."فيزيائية أخرى وجمال االقتصاد وجمال األعمال أو يف علوم اجتماعية

األول يلخص، (Statistique Inductive) منيز بني اإلحصاء الوصفي واإلحصاء االستداليل« ويواصل الكاتب سقط على الكل من خالل دراسة اجلزء، الكل يسمى يف هذه احلالة من املعطيات، أما الثاين فيكما من حيوصل وحيلل

صحة اإلسقاط تتطلب إذا أن تكون العينة ممثلة وأن تكون احتمال . واجلزء يسمى العينة) Universأو العامل(اجملتمع ".اخلطأ حمسوبا من يسمي هذا ك وهنا،اء االستداليلاإلحصاملتمثل يف هتم هذا املقياس بدراسة الفرع الثاين من اإلحصاء ، يفيما خيصنا

من املهم ذكر هذه التسميات حىت يعلم الطالب أن بإمكامنه البحث عن مادة ".تطبيقيالحصاء اإل"الفرع من اإلحصاء اإلحصاء االقتصادي، االحتماالت، االحتماالت املقياس يف مراجع حتت هذه العناوين وغريها مثل االقتصاد القياسي،

. عشوائية أو ببساطة اإلحصاءواملتغريات ال التطبيقياالحصاء

نريد دراسة عدد من : يلي املسألة األساسية لإلحصاء التطبيقي تتمثل نظريا كما" : ٣"رجيينالد الفوا"تعريف جملتمع ما، لكن ألسباب خمتلفة ال ميكن أن نشمل بالدراسة كل أفراد ...) كالعمر، الوزن، التوجه السياسي(اخلصائص

لدراسة هذه اخلصائص، وعند إمتام دراسة العينة نعمل على تعميم ) عينة(هلذا نلجأ إىل دراسة جزء من اجملتمع . تمعاجمل ". على اجملتمع ككل احلقائق املشاهدة مع التقييم، لفرض عدم اخلطأ يف هذا التعميم

ترتيب وحصاء يهتم بكيفية مجع بصفة عامة ومن خالل مجيع التعريفات السابقة ميكن القول أن علم اإل:حوصلة .كذا كيفية حتليلها للخروج خبالصة مفهومة وعرض البياناتو

.مرجع سابقدروزبيك، 1

.١، ص ١٩٨٥دومينيك سالفاتور، االقتصاد القياسي واإلحصاء التطبيقي، سلسلة شوم، دار ماك قراو هيل، 2 ١,١، ص ١٩٨١، رجيينالد الفوا، اإلحصاء التطبيقي، الكيبيك 3

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

I- ١ -

الحتماالتاألساسية لمفاهيم بالتذآير .I الفصل

الترميز مفاهيم أساسية

غـري ، واحلقيقة !! "األكثر علوا "من بني علوم الرياضيات العليا يعترب البعض االحتماالت على أهنا األكثر تعقيدا و وال يـضاهي . بديهيةقواعد لعبة مسلية تتلخص يف بضعة ا فهمحقا بالنسبة ملن يريد كون تإهنا ال تعدو أن . ذلك

بساطة االحتماالت إال تعدد استخداماهتا وتواجدها يف مجيع امليادين، ما يفسر حتمية دراستها على مجيع الـشعب ملعاجلة املشاكل املطروحة واختاذ يومية ب االحتماالت هو أداة بالنسبة لعامل االقتصاد والتسيري فإن فهم حسا . تقريبا .غري مؤكدةمعلومات من احلاالت على % ٩٩فقرارات املسري، بل وحىت رب البيت، تبىن يف . القرار

مفاهيم أساسية .١ المبحث

مفهـوم التجربة، الحدث واالحتمال خصائص االحتمال

القواعد األساسية في حساب االحتمال لالحتمالتعريف باسكال

Epreuve, événement, probabilitéربة، احلدث واالحتمال مفهوم التج ١

Evénement et probabilité و احلدثاالحتمال )أ (

االحتمـال ، أما واقعة أو نتيجة ما فاحلدث العشوائي هو . الرتباطهما ببعض كثريا ما خيلط الطلبة بني هذين املفهومني هو املـستقبل، وقوع احلدث ليس شرطا أن يكون زمن ( عن حظوظ وقوع احلدث يعرب بني الصفر والواحد هو عدد ف

ما هو احتمال اهنـزامكم يف - قبل حرب اخلليج األوىل -سئل الرئيس العراقي السابق ). فقد يكون املاضي أو احلاضر وقوع حدث معني عندما نرغب يف التعبري بشكل دقيق على مدى إمكانية ". واحد إىل مليون : "هذه احلرب ؟ فأجاب

مثال للحدث املستبعد، إذن ‰ ١للحدث احملتمل و % ٥٠للحدث املؤكد أو % ١٠٠: فإننا عادة نستعمل عبارات مثل . للتأكد١ لالستحالة و٠، حبيث يرمز ١ إىل٠نستخدم الكسور يف سلم تصاعدي من حنن

حجر عند رمي " ٦"صول على الوجه ، و احتمال احل ١/٢ احتمال احلصول على صورة عند رمي قطعة نقدية هو . مثال . ١/٦نرد هو

فهي عمليات على .. ميكن مجع األعداد أو طرحها و ميكن أن ختضع للجداء و القسمة أما عمليات التقاطع و االحتاد، متثـل هـذه . احتمال) أو احتاد (من أجل ذلك ال يصح أن نكتب احتمال تقاطع . اجملموعات و ليست على األعداد

.لذهبية األوىل يف االحتماالت ويف هذا املقياس ككلالقاعدة ا

هو عدد يقـيس حظـوظ يف مفهوم العلم فاالحتمال . )اإلمكانية هي حدث (وجيب التمييز بني االحتمال واإلمكانية أما اإلمكانية فهي حدث أو نتيجة ما من بني أحـداث أو نتـائج . أو إمكانية وقوع شيء ما نسميه نتيجة أو حدث

، كثريا ما تطلق كلمة االحتمال و يقصد هبا إمكانية ف. تلف عن هذا املفهوم العلمي تعريف الناس لالحتمال خي .أخرى

المفاهيم األساسية لالحتمال الفصل األول

- 2 -

٦إذا رمينـا حجـر نـرد هنـاك "أو يقال " و الصحيح إن هذه إمكانية واردة " إن هذا احتمال ممكن "مثال فيقال ... ، " نتائج حمتملة٦ إمكانيات أو ٦هناك " و الصحيح " إحتماالت

Epreuveالتجربة )ب (

ألن التجربـة . النتيجةأم أو التجربة هي أم احلدث ميكن القول أن لشرح املفهوم اجملرد للتجربة و متييزها عن احلدث التجربة و.للحربممكنة اهلزمية هي نتيجة بينما ، التجربة هي احلرب املقولة السابقة ففي . تتفرع بالضرورة إىل أحداث

.رتقبل نتيجتني أو أكثقد

عنـد رمـي ٦ فإذا كنا ندرس احتمال احلصول على الوجه ،ومفهوم التجربة يف علم االحتماالت مفهوم عام و مرن قطعة نرد تكون التجربة هي الرمي، و إذا كنا ندرس احتمال عدد معني من الوحدات التالفة آللة ما ميكن اعتبار كـل

... ن الطلبة الراسبني يف مقياس ما نعترب كل طالب كتجربة وحدة منتجة كتجربة، وإذا كنا ندرس احتمال عدد معني م .نقول احتمال حدث أو احتمال نتيجة وال نقول إحتمال جتربة

خصائص اإلحتمال ٢ : عادة ما نعرب عن هذه اخلصائص بالطريقة التالية

.)ال يكون سالبا (االحتمال هو عدد موجب متاما أو معدوم • .ساوي الواحدجمموع احتماالت أحداث جتربة ما ي •

هي أن االحتمال يكون حمصورا بني ووميكن إضافة خاصية ثالثة تستنتج بديهيا من اخلاصيتني السالفتني .ال أن يكون أكرب من الواحد وأي أنه ال ميكن أن يكون سالبا. ١ و٠

االحتماالتحساب يف األركان اخلمسة ٣

ما بعد قتضاب إلبراز أمهيتها ونعود لشرحها ف قواعد أساسية يف حساب االحتمال نذكرها اآلن بامخسهناك . وسنحتاج إىل استخدام هذه القواعد يف مجيع فصول املقياس

جمموع احتمال احلدث واحتمال . مطروحا منه احتمال احلدث املعاكس١احتمال وقوع حدث يساوي .١ .١احلدث املعاكس يساوي

ضروبا يف احتمال وقوع الثاين ملا يكون يساوي احتمال وقوع األول م" ب"و " أ"احتمال وقوع حدثان .٢ .األول قد وقع فعال

وقوع حدثان مستقالن يساوي جداء االحتمالني أي احتمال احلدث األول مضروبا يف احتمال احتمال .٣ .احلدث الثاين

.احتمال وقوع احلدث وعكسه يساوي الصفر، ونقول أن احلدثان متنافيان .٤ .ع احتمايل احلدثني مطروحا منه احتمال حتققهما معايساوي مج" ب"أو " ا"احتمال وقوع حدث .٥

تعريف باسكال لالحتمال حساب االحتمال حسب أو سادسة القاعدة ال ٤ :بالشكل التايلاالحتمال (Blaise Pascal : 1623)بليز باسكال عرف

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

I- ٣ -

احتمال حدث هو عدد احلاالت املالئمة لوقوع احلدث مقسوما على عدد احلاالت املمكنة، " ١ ."ا اقترضنا أن كل احلاالت هلا نفس االحتمال يف الوقوعإذ

بني كل من التجربة، احلدث واالحتمال يف هذا هو احتمال احلصول على عدد زوجي عند رمي قطعة نرد ؟ ما:مثال .املثال

فهو أما العدد الكلي للحاالت املمكنة). ٦ و٤، ٢(هناك ثالث حاالت مالئمة للحصول على عدد زوجي : اجلواب فإن احتمال احلصول على عدد وبافتراض أن كل احلاالت املمكنة هلا نفس االحتمال). ٦ ،٥، ٤، ٣، ٢، ١: (٦

زوجي هو 63=

21.

.ال ميكن استخدام هذه العالقة إذا مل تكن احتماالت احلاالت متساوية،: تنبيه؟ بني كل ل أن تكون كلها محراءما هو احتما. كريات معا٣نسحب . محراء٥ كريات منها ٧صندوق به . ٢مثال

.احلدث يف هذا املثال ومن التجربة

3 عدد احلاالت املالئمة 5C3 : وعدد احلاالت املمكنة

7C . إذا االحتمال هو3510

37

35 =

CC . التجربة هي السحب من

...الصندوق، احلدث أو النتيجة هي احلصول على بني كل احتمال أن يكون الطالب أمحد؟ما هو . من العشرةاسمنسحب بالقرعة . طلبة١٠فوج مكون من . ٣مثال

.احلدث ومن التجربة ما هو احتمال أن يكون منهم الطالب أمحد؟ . أمساء من العشرة٣عينة من ) بدون إعادة(نسحب احلدث األول أو النتيجة األوىل هيحتمال ا) ١: اجلواب

101،

3: عدد الطرق املمكنة للعينة) ٢10Cأمحد يف العينة، عدد احلاالت املالئمة لكي يكون :

36!)!(

! 29

29

13110 =⇒

−==−

− Cxxn

nCCC xn

20:االحتمال هو إذا

324036

3/)8)(9(1036

310

29 ===

CC

...التجربة هي السحب، النتيجة أو احلدث هي أن يكون الطالب أمحد، إذا كانت حظوظ الطلبة . زمالئه على أعلى نقطة يف كل من االمتحانات الستة للسداسي٣يتنافس أمحد مع . ٤مثال

أيا ( يف كل من االمتحانات الستة؟ أن يفوز أحد الطلبة أن يفوز أمحد بأعلى نقطة: األربعة متساوية، ما هو احتمال بأعلى نقطة يف االمتحانات الستة؟ ) كان

: اجلواب .1/4096 حالة ممكنة لنتائج املنافسة، منها حالة فوز أمحد جبميع املقاييس؛ إذا االحتمال هو 4096 = 64هناك ) ١ .4/4096ع املقاييس، إذا االحتمال هو حاالت لفوز أحد الطلبة جبمي٤ طلبة إذا هناك ٤هناك ) 2

خالصة ٥ .٠ و ال يقل عن ١االحتمال هو عدد ال يزيد عن

.٣و ٢، ص ١٩٨١رجيينالد الفوا 1

المفاهيم األساسية لالحتمال الفصل األول

- 4 -

. خمتلفة) نتائج أو حاالت(التجربة يتولد عنها أحداث . التجربة واحلدث واالحتمال هي مفاهيم ال جيب اخللط بينها هذه املهارة يف حتديد ما هي التجربة أو من املهم اكتساب. وخيالذكية التجربة مفهوم مرن يتطلب أحيانا نظرة

.التجارب يف مسألة ما ألن ذلك هو املفتاح لفهم و حل املسألة :بهذه القواعد متعلقة . هي األركان األساسية لعلم االحتماالتهناك مخس قواعد يف حساب االحتمال

، املعاكسحلدث حتمال اا باحتمال حتقق حدثني معا، عا إذا كانا مستقالن، باحتمال حتقق حدثني م باحتمال حتقق أحد حدثني، .و متعلقة باحتمال حتقق احلدث و عكسه معا

الترميز أو التعبير الرياضي عن االحتماالت .٢ المبحث

)١٦٤٢-١٥٦٤ (جاليلي" الرياضياتلغته الطبيعة هي كتاب " استخدام نضرية المجموعات ضرب االحتماالت وجمعالتعبير الرياضي عن قواعد

ة بايزنظري

نستخدم الترميز من أجل التوصل إىل تعبري دقيق و واضح لقواعد احلساب االحتمايل وهي ذاهتـا القواعـد األربعـة .املذكورة يف اجلزء األول

P(A)نعرب عن احتمال حدث ما بطريقة رياضية فنكتب . P(x) أو P(X = x): كما يليX = x: ونعرب عن احتمال وقوع احلدث

: ، أو باختصارP(X = 5) = 1/6: عند إلقاء حجر نرد يكتب" ٥احلصول على الوجه : "تمال احلدثاح: مثال1/6) = P(5

.P = 1/6: و أحيانا خنتصر أكثر فنكتب

رية اجملموعات للتعبري عن األحداث العشوائية ظاستخدام ن ١ :عشوائيةمن خالل البنود التالية تستخدم نظرية اجملموعات للتعبري عن األحداث ال

. تسمى اجملموعة الكلية أو فضاء العينة و،Ωنعرب عن النتائج املمكنة لتجربة ما ب .١ . هي جمموعة من النتائج املمكنة للتجربةAمن فضاء العينة، حيث A نعرب عن احلدث مبجوعة جزئية .٢ . قد حتققA نقول أن احلدثAإذا انتهت التجربة بنتيجة متثل عنصرا من .٣ . يسمى عادة حدث بسيط Ωوي على نقطة أو عنصر واحد مناحلدث الذي حيت .٤

:أكتب جمموعة فضاء العينة مث عرب عمليا عن األحداث التالية. لتكن جلينا جتربة هي إلقاء مكعب نرد. مثال

1, 2, 3, 4, 5, 6 =Ω =A , ٦ ) حدث بسيط (٦احلصول على العدد : Aاحلدث

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

I- ٥ -

B= 6 ,4 ,2لى عدد زوجي احلصول ع: Bاحلدث C= 5 ,3 ,2 احلصول على عدد أويل : Cاحلدث D= 5 ,3 ,1 احلصول على عدد فردي : Dاحلدث

:وعة فضاء العينة مث عرب عنأكتب جمم: لتكن لدينا جتربة هي رمي قطعتني نقديتني على التوايل: ٢مثال PP , A = PP, PF, FP, FF =Ω) حدث بسيط(احلصول على مرتني كتابة : A احلدث

= FP, PF Bاحلصول على كتابة مرة واحدة : Bاحلدث PF, PP = C احلصول على كتابة يف الرمية األوىل : Cاحلدث

ميثل احلدث املستحيل ألنه ال ميكن أن يتحقق Φ من بني األحداث املمكنة يف جتربة ما أيا كانت، احلدث .٥

.P(Φ) = 0 .عنصر منها نفسها، وهو احلدث األكيد Ωمن بني األحداث املمكنة يف جتربة ما أيا كانت، حدث اجملموعة األساسية .٦

P(Ω) = 1 .ألنه البد أن يتحقق أحد عناصرها على األقلعلى اجملموعات حنصل على جمموعات جديدة .... بتطبيق عمليات مثل اإلحتاد والتقاطع، الطرح، اجلمع .٧

: من ذلك . Ω ومن مث أحداث جديدة يفΩجزئية من AUBإما: هو احلدثA أو Bأو كالمها . A∩B هو احلدث :Aو Bيف وقت معا .

CA هو احلدث املعاكس لA. B – Aثهو احلد :Aلكن ليس B.

أي ال ميكن وقوعهما معا ) أو غري متالئمان( متنافيان B وA نقول أنΦ = A∩B إذا كان .٨)mutuellement exclusifs.(

."صورة على األقل" B و"مرتني كتابة" هو احلدث Aإذ كان : نرمي قطعة نقدية مرتني: مثال A = PP. B = PF, FP, FF A∩B = Φ

االحتماالتحساب قواعد التعبري الرياضي عن ٢

Evénement contraire .١ أو التعبري الرياضي عن القاعدة رقم احلدث املعاكس )أ ( :ونكتب ، A احتماله هو احتمال عدم حتقق احلدثو 'Aأو Ā ب Aنعرب عن احلدث املعاكس ل

P(Ā) + P(A) = 1 <=> P(Ā) = 1– P(A)

:نالحظ أن). الوجه( للصورة F و للكتابةPنرمز ب وطعة نقديةنرمي ق: مثالP(P) = P(F') = 1– P(F) <=> P(P) + P(F) = 1

A ĀΩ

المفاهيم األساسية لالحتمال الفصل األول

- 6 -

، فما هو احلدث املعاكس يف هذه P(5) = 1/6: هو٥عند رمي حجر نرد فإن احتمال احلصول على العدد : ٢مثال احلالة وما احتماله؟

.P(5') = 1 – P(5) = 1 – (1/6) = 5/6: احتماله هو و،٥احلدث املعاكس هو احلصول على عدد غري

ما هو احتماله؟ ونرمي حجر نرد، ما هو احتمال احلصول على عدد زوجي، ماهو احلدث املعاكس: ٣مثال P(nombre pair) = P(2 ou 4 ou 6) = 3/6

:احتماله واحلدث املعاكس هو احلصول على عدد غري زوجي،P(impair) = 1– P(pair) = 1– (3/6) = 3/6.

).٢رقم قاعدة (أيا كانت " B"و " A"احتمال وقوع احلدث )ب ( P(A∩B) = P(A)* P(B/A)

P(A∩B∩C) = P(A)* P(B/A)* P(C/(A∩B)) A, B, Cمستقلة أو ال، متنافية أو ال ( أحداث ما( ، )A/B(P سمى االحتمال الشرطي ليB علما أن Aقق حم.

: ومن املعادلة األوىل حنصل على A (P) A(P) / A∩B(P) = A/B(P( < ٠ ملا

. حمققA تصبح فضاء املعاينة مبا أن Aحيث

).Bحدث (٤أحسب عند إلقاء حجر نرد احتمال احلصول على قيم أقل من ) ١ :مثال .A)حدث( إذا علمت أن الوجه احملصل ملكعب النرد عدد فردي ٤حتمال احلصول على نتيجة أقل من أحسب ا) ٢ . إذا علمت أن النتيجة عدد فردي٤أحسب احتمال احلصول على قيمة أكرب أو يساوي ) ٣

P(B) = P(1ou 2 ou 3) = P(1) + P(2) + P(3) = 3/6 P(B/A) = P(B∩A)/P(A) P(B∩A) = P (impaire et ≤ ٤) = P(1 ou 3) = P(1) + P(3) = 1/6 + 1/6 = 2/6 P(B/A) = P(B∩A)/P(A) = 2/6 / 3/6 = 2/3

).٣رقم قاعدة (مستقالن " B"و " A"ملا " B"و " A"احتمال وقوع احلدث )ج (P(A∩B) = P(A) * P(B) (P(B/A) = P(B))

مستقالن،B وA أو عدم وقوعه نقول أن A يتأثر بوقوع الBأي أن وقوع ، وهو تعريف استقالل حدثني P(A∩B∩C) = P(A) * P(B) * P(C) P(C/(A∩B)) = P(C)

نتيجة مكعب النرد مستقلة ( ؟ ٦العدد وما هو احتمال احلصول على الصورة. نرمي حجر نرد وقطعة نقدية معا:مثال ).عن نتيجة القطعة النقدية

P(A∩B) = P(A).P(B) = 0.5 * 1/6 = 1/12.

A\B A∩B B\A

A B

Ω

B\A غير الحدث B/A الحدث 1 رسم

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

I- ٧ -

.يف الرمية الثانية وأحسب احتمال احلصول على صورة يف الرمية األوىل. نلقي قطعة نقدية مرتني. ٢مثال P(FF) = P(A∩B) = P(A) P(B) = 0.5 * 0.5 = 0.25

٣نكرر العملية ودوقنسحب كرية نسجل لوهنا مث نعيدها للصن. بيضاء٣ و محراء٢ كريات ٥صندوق به . ٣مثال .مراتo أحداث مستقلة( كريات محراء ٣ كريات محراء، ٢أحسب احتمال احلصول على.( o ؟)أحداث غري مستقلة(كيف يكون االحتمال يف حالة كون السحب بدون إرجاع الكرية

P(RR) = P(R1 ∩ R2) = P(R1) P(R2) = 2/5 * 2/5 = 8/25 P(RRR) = P(R1 ∩ R2 ∩ R3) = P(R1) P(R2) P(R3) = 2/5 * 2/5 * 2/5 = 8/125 P(RR) = P(R1 ∩ R2) = P(R1) P(R2/R1) = 2/5 * 1/4 = 2/20 P(RRR) = P(R1 ∩ R2 ∩ R3) = P(R1) P(R2/R1) P(R3/(R1∩R2)) = 2/5 * 1/4 * 0 = 0

).٤القاعدة رقم " (B"أو " A"احتمال وقوع حدث )د (P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

).٥القاعدة رقم (متنافيان " ب"و " أ" ملا "ب"أو " أ"ع حدث احتمال وقو )ه (

A, B تنافيةلتكن األحداث امل

P(AUB) = P(A) + P(B) (P(A∩B) = 0) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) (P(A∩B∩C) = 0)

قواعد إضافية مهمة )و ( P(A2 – A1) = P(A2) – P(A1) و P(A1) ≤ P(A2) :فإن A1 ⊂ A2من أجل

P(A∩B) + P(A∩B’) = P(A) : أحداث أيا كانتB وAمن أجل

A∩B A B

Ω

A Ā Ω

A1 A2

Ω

A∩B’ A∩B B∩B’

A B

Ω

المفاهيم األساسية لالحتمال الفصل األول

- 8 -

A1, A2 , A3 , A4 , …… An : هو نتيجة أحد أو بعض األحداث املتنافيةAإذا كان

P(A) = P(A∩ A1) + P(A∩A2 ) + P(A∩A3 ) + ……. + P(A∩An )

Théorème ou règle de BAYESحتمال السبيب أو نظرية بايز نظرية اال ٣

أحداث متنافية فيما بينها حيث احتادها يشكل اجملموعة الكلية ٣A، . . . Ak، . .. ، An ،٢A ،١Aلتكن

حتقق، حنسب A، إذا علمنا أن Ak حدث ما يتحقق عن طريق واحد أو أكثر من األحداثA، وΩ) األساسية( : كما يليAkاحتمال حتققه عن طريق احلدث

)()(

)/()(

)/()()/(

1AP

AAP

AAPAP

AAPAPAAP k

n

k kk

kkk

∩==

∑ = تسمى هذه النظرية نظرية االحتمال السبيب ألهنا متكن من

هو املسبب لوقوع (Ak)حساب احتمال أن يكون حدث ما ).A(حدث آخر

يشغل املكتب عاملتني . فواتري من ال% ٢٠ طبعمبكتب للمحاسبة حيث تولت ) A1(مكتب فت أمينة ظو: مثال

من %٥ترتكب املوظفة اجلديدة أخطاء يف . %٥٠) A3(األخرى و من الفواتري%٣٠تطبع ) A2(أخريني إحدامها .%١) A3(لدى الثالثة و%٢) A2(الفواتري، بينما نسبة اخلطأ لدى الثانية

تكون هي من أجنزت الفاتورة حبجة أهنا ال استبعدت األوىل أن . أخذت فاتورة بشكل عشوائي فتبني أن هبا أخطاء ).%٥(ردت عليها العامالت األخريات بأن نسبة األخطاء لديها هي األكرب و من الفواتري،%٢٠تنجز إال

قارن مع احتمال أن يكون وهي اليت حررت الفاتورة) A1(أحسب احتمال أن تكون املوظفة اجلديدة . ١ .A3 أو A2مصدر اخلطأ هو

. جمموع االحتماالت الثالثأحسب. ٢ .أحسب احتمال أن تكون فاتورة خمتارة عشوائبا من جمموع املراسالت، أن تكون هبا أخطاء. ٣

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 476.001.0*5.002.0*3.005.0*2.0

01.0*5.0)/()(

)/()()/(

2857.001.0*5.002.0*3.005.0*2.0

02.0*3.0)/()(

)/()()/(

238.001.0*5.002.0*3.005.0*2.0

05.0*2.0)/()(

)/()()/(

3

1

333

3

1

222

3

1

111

=++

==

=++

==

=++

==

∑

∑

∑

=

=

=

k kk

k kk

k kk

AAPAPAAPAP

AAP

AAPAPAAPAPAAP

AAPAPAAPAP

AAP

. هي اليت حررت الفاتورةA3يظهر من احلساب أن االحتمال األكرب هو أن تكون

A1 A2 Ak . . . An A

Ω رسم يوضح نظرية بايز2 رسم

A1 A2 Ak . . . An

A Ω

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

I- ٩ -

حداث املتنافية ألهنا متثل احتماالت األ P(A1/A) + P(A2/A) + P(A3/A) = 1جمموع االحتماالت .٢ . الثالث

:احتمال وجود خطأ يف مراسلة ما. ٣( ) ( ) ( )∑ =++== 012.001.0*5.002.0*3.0005.0*2.0)/()()( kk AAPAPAP

خالصة ٤باستخدام نظرية اجملموعات كأساس للترميز يف جمال االحتماالت ميكن احلصول على صياغة أكثر دقة للمفاهيم

: هبذه الطريقة نستخدم. املختلفة "5"( = P(2) * P(5): يف رمييت نرد" ٥ و٢الوجه "احتمال : مثال) et" (و" بدال عن عبارة ∩ رمز التقاطع

∩ P("2" + P("5"U"2") = P(5) يف رمية نرد ٥ أو ٢ احتمال الوجه: مثال" ou" "أو" بدال عن عبارةUرمز اإلحتاد

P(2) P(Ā) = 1 – P(A) ؛ "Aعكس " بدال عن عبارة Ā أو CAرمز املتمم

.ن القواعد اخلمسة األساسية حلساب االحتماالتمن خالل هذا الترميز ميكن أن نعرب بسهولة ع- P(A∩B) = P(A)* P(B/A)

A (P () A(P) / A∩B(P) = A/B(=> P(< 0 بشرط( P(A∩B) = P(A)* P(B) -عندما يكون احلدثان مستقالن

- P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(AUB) = P(A) + P(B) (P(A∩B) = 0) -:دما يكون احلدثان متنافيان أي عن

:، عرب عن احلدث"كتابة يف املرة األوىل "B و"مرتني كتابة"A نرمي قطعة نقدية مرتني، نسمي.مسألة A ، B، Ā، A∩B ، AUB ، B– A ،B – A

A = PP, B = PP, FP, Ā = PF, FP, FF, A∩B = PP, AUB = PP, FP, A – B = Φ, B – A= FP

ملحق ٥

التعبري اهلندسي عن االحتماالت )أ (

توضح عناصر املسألة استعمال أشكال هندسية سألة مركبة لالحتماالت يستحسن حتليلها بم حلالشروع يف قبل بني شجرة االحتمال ت. وخمطط فني) أنظر امللحق(االحتمال يستخدم هلذا الغرض شجرة . والعالقات بينها) األحداث(

األحداث املتنافية اليت تنتج عن التجربة الواحدة أو املكررة وذلك من خالل أغصان تتفرع من أصل، أما خمطط فني .فيستخدم لتمثيل األحداث الفرعية دوائر داخل مستطيل ميثل التجربة

A

مخطط فين1 رسم

المفاهيم األساسية لالحتمال الفصل األول

- 10 -

التفريعة هي مبثابة شجرة فرعية حتتوي . موع احتماالت كل تفريعة يساوي الواحديراعى يف رسم الشجرة أن يكون جم

.أحداث متنافية، لكوهنا متثل النتائج احملتملة لتجربة جزئية .أحسب احتمال احلصول على مرتني صورة. نرمي قطعة نقدية مرتني. مثال

P(face ∩ face) = P(face) * P(face/face) = 0.5 * 0.5 = 0.25.

مفهوم احلدث العشوائييف )ب (

ال عشوائي ال تعين أن احلدث ال خيضع ألي قانون، بل املقصود أننا نتحدث عن حدث حدث جيب املالحظة أن كلمة ض اهلزمية اليت وقعت يف احلرب وأي هزمية كانت هلا أسباهبا وليست حم. يقعنعلم مسبقا ما إذا كان سيقع أو ال

. فال معىن لكلمة مصادفة إال أننا مل نقصد وقوع الشيء. واحلقيقة أن ال شيء يف الطبيعة يقع باملصادفة. مصادفة عمياءلكن هناك أسباب أدت إىل هذه املالقاة . فعندما أقول التقيت بفالن صدفة، فهذا يعين أنين مل أقصد ومل أخطط ملقابلته

نحصل على مرة واحدة فإننا ال نعلم إذا كنا س مرات ٦إذا رمينا مكعب نرد ك كذل ...منها أنين سلكت طريقا معينا إذا رمينا مكعب عدد كبري جدا من املرات ، لكن هي قيمة نظرية) P)٥( =1/6 مثال ( P(X) لذلك قيمة). ٥(الوجه

موضوع .1000/6سيكون قريبا جدا من العدد ) ٥(فنتوقع أن عدد مرات احلصول على الوجه ) مرة مثال١٠٠٠( ".هندسة احلظ"علم االحتماالت هو البحث يف قوانني األحداث العشوائية، ولذلك أطلق عليه اسم

حساب عدد احلاالت املمكنة أو املالئمةيف )ج (

حنتاج أحيانا حلساب عدد الطرق املمكنة أو املالئمة إىل مفهوم ، باإلضافة إىل التوفيقات والترتيبات واألسsurjection.

surj (n, k) = k [surj (n-1, k) + surj (n-1, k-1)] , (n, k > 0), Surj (n, 1) = 1 , Surj (1, 1) = 1, surj (1, k >1) = 0

: احتمال أن يفوز كل طالب على األقل مبقياس واحدأحسب ) ٤(يف املثال : مثال :عدد احلاالت املالئمة هو

Surj (6, 4) = 4[surj (5, 4) + surj (5, 3)]

صورةP(face/face) = 0.5

صورةP(face) = 0.5

آتابةP(pile) = 0.5

آتابةP(pile/face) = 0.5

صورةP(face/pile) = 0.5

آتابةP(pile/pile) = 0.5

P(FF) = P(F) P(F/F) P(FP) = P(F) P(P/F) P(PF) = P(P) P(F/p) P(PP) = P(P) P(P/P)

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

I- ١١ -

:حلساب ذلك حنتاج إىل حساب سلسلة من القيمSurj (5, 3) = 3[surj (4, 4) + surj (4, 2)], mais: Surj (4, 2) = 2[surj (3, 2) + surj (3, 1)] , mais: Surj (3, 2) = 2[surj (2, 2) + surj (2, 1)], mais : Surj (2, 2) = 2[surj (1, 2) + surj (1, 1)] = 2(0+1) = 2 => Surj (3, 2) = 2(2+1) = 6, …

6 5 4 3 2 n k

0 0 0 0 2 2 0 0 0 6 6 3 0 0 24 36 14 4 0 120 240 150 30 5

720 1800 1560 540 62 6 .1560/4096االحتمال هو إذا

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 1 - II

العشوائيةة المتغير .II الفصل

المتقطعةمفهوم المتغيرة العشوائية مرة و توزيعها االحتماليالمستمفهوم المتغيرة العشوائية

١توزيعها االحتمالي ومفهوم المتغيرة العشوائية المتقطعة .١ املبحث مفهوم المتغيرة العشوائية

مفهوم المتغيرة العشوائية المتقطعة تغيرة العشوائية المتقطعةالتوزيع االحتمالي للم تغيرة العشوائية المتقطعةشروط دالة الكثافة للم تغيرة العشوائية المتقطعةثافة للمالتمثيل البياني لدالة الك

تغيرة العشوائية المتقطعةدالة التوزيع للم

مبـرض من عمره طفل أصيب خالل السنوات الثالث األوىل ١٠٠٠ دراسة على ت أجري :مسألة : من خالل دالة الكثافة التالية) السنة: X(بينت الدراسة أن احتمال اإلصابة مرتبط بالزمن . ما

<<

=sinon0

30²,)(

xcxxf

.السنة األوىليف أن تكون إصابة طفل خمتار عشوائيا من العينة املدروسة أحسب احتمال

: أشهر حسب اجلدول التايل٣نصف، أو ويعاجل املرض ملدة شهر، شهرX٣ ١,٥ ١ األشهر

٠,٢ ٠,٣ ٠,٥ االحتمال

.نصف على األكثر وأحسب احتمال أن تكون مدة عالج طفل من العينة شهر

ية مفهوم املتغرية العشوائ ١ ومنيز بني م ع املتقطعة. يرمز للمتغرية ع حبرف التيين كبري.كل قيمةمتغرية يلحق بقيمها احتماالت حتقق قيمة هي .م العشوائبة املتصلة أو املستمرةو

القيم املمكنة . X يف جتربة إلقاء مكعب نرد ميكن أن نسمي الوجه الذي يستقر عليه الكعب متغرية عشوائية :مثال :ونكتب مثال . 1/6بكل قيمة ميكن أن نلحق احتمال حتققها، وهو هنا . ٦، ٥، ٤، ٣، ٢، ١: هيXل

,… P(X = 1) = f(1) = 1/6, P(X = 2) = f(2) = 1/6 . ١ يساوي لذلك فإن جمموع احتماالهتا وهي متنافية، ) ٦، ٥، ٤، ٣، ٢، ١( Xالحظ أن القيم املمكنة ل

∑ ===

6

11)(

xxXP

اليت متثل عدد مرات احلصول على Xقدية مرتني ميكن أن نعني املتغرية العشوائية يف جتربة إلقاء قطعة ن.٢مثال ال حظ أنه ميكن تعيني متغريات عشوائية أخرى انطالقا منن . ٢، ١، ٠ هي Xيف هذه احلالة القيم املمكنة ل . كتابة

. اخترنا هذا التقسيم لكي يتناسب كل جزء مع الزمن املخصص للمحاضرة. مفهوم املتغرية العشوائية-١: يف الربنامج األصلي 1

المتغيرة العشوائية الفصل الثاني

- 2 -II

= Z حبث Z مث املتغرية ،٢، ١، ٠ عدد مرات احلصول على صورة، وهي متغرية تأخد القيم Yنفس التجربة، مثال

X - Y... : االحتماالت امللحقة بقيمها ميكن حساهبا كما يلي. ٢-، ٢، ٠ هي Xالقيم املمكنة ل

P(Z = 0) = P(X – Y = 0) = P(X = 0 et Y = 0 ou X = 1 et Y = 1 ou X = 2 et Y = 2) => P(Z = 0) = 0 + P(X = 1 et Y = 1) + 0 = 2 * 0.5² = 0.5

ة العشوائية املتقطعة املتغري ٢

.و تسمى أيضا م ع منفصلة، وهي اليت تأخذ عددا منتهيا من القيم املمكنة يف جمال مغلق . قيم ممكنة٤ املعرفة يف املثال األول تأخذ X املتغرية [5 ,2]داخل اجملال املغلق : مثال

التوزيع االحتمايل للمتغرية املتقطعة ٣

للقيم اليت تأخذها املتغرية ونرمز للمتغرية حبرف كبري. الحتماالت املرتبطة بقيم املتغريةهي جمموعة القيم املمكنة مع ا دالة f(x)وتسمى الدالة . f(x): نكتب أيضا و P(X = x)نعرب عن احتمال قيمة معينة كما يلي . حبرف صغري

.الكثافة االحتمالية :يكتب كما يلي) ب نردإلقاء مكع( التوزيع االحتمايل مل ع للمثال األول :مثال

X 1 2 3 4 5 6 P(X = x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1

:، عدد مرات الصورة يف رميتني لقطعة نقديةX التوزيع االحتمايل ل .٢مثال X 0 1 2 P(X = x) 1/4 2/4 1/4 1

شروط دالة الكثافة للمتغرية املتقطعة ٤

. دالة الكثافة االحتماليةf(x)وتسمى الدالة f(x): نكتب أيضا و P(X = x) نعرب عن احتمال قيمة معينة كما يلي : دالة كثافة احتمالية جيب أن يتحقق شرطان اثنان، أيا كانت،لكي ميكن اعتبار دالة ما

∑ =

≥

x

xfxf

1)()20)()1

, f(1) = f(2) = f(3) = … f(6) = 1/6 ≥ 0: نتيجة إللقاء حجر نردXنأخذ دالة الكثافة ل : مثال

Σf(x) = 1/6 + 1/6 + … + 1/6 = 6(1/6) = 1: الشرط الثاين أيضا ألن و، الشرط األول حمقق

التمثيل البياين لدالة الكثافة االحتمالية ل م ع املتقطعة ٥

. Xاملتقطعة ليس من خالل منحىن ولكن من خالل أعمدة متوازية على حمور املتغرية العشوائية ثل مت

. املعرفة على إلقاء قطعة نقدية مرتنيZ وX ل منثل بيانيا منحنيات دوال الكثافة: مثال

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 3 - II

التمثيل البياين لدالة الكثافة للمتغرية العشوائية املتقطعة 3 رسم

للمتغرية العشوائية املتقطعةF(x)دالة التوزيع ٦

: كما يلي–" عيةالدالة التجمي"تسمى أيضا و-تعرف دالة التوزيع F(x) = P(X ≤ x)

: كما يليf(x)وميكن استنتاج دالة التوزيع من دالة الكثافة االحتمالية ∑

≤

=≤=xu

ufxXPxF )()()(

: ميكن تعريفها كما يلي F(x) تأخذ عددا منتهيا من القيم فإن Xإذا كانت

لألمثلـة F(z) و F(x)أوجد قـيم : مثال .مثلهما بيانيا والسابقة

2 1 0 X 1/4 1/2 1/4 f(x)

1 3/4 1/4 F(x)=P(X≤x) 2 0 -2 Z

1/4 1/2 1/4 f(x) 1 3/4 1/4 F(x)=P(X≤x)

تأخذ دالة التوزيع للم ع املتقطعة شكال سلميا، وهي ال تكون متناقصة يف أي جمال، وأكرب قيمة ممكنة هلـا . مالحظة

.١هي

-2 0 2 z

f(z)

1 1/2 1/4

f(x)

0 ٢ ١ x

1 1/2 1/4

عشوائية المتقطعة التمثيل البياني لدالة التوزيع للمتغيرة ال 4 رسم

+∞<≤+++⋅⋅⋅

<≤+<≤<<−∞

=

xxxfxfxf

xxxxfxfxxxxfxx

xF

nn ),(...)()(

,)()(,)(,0

)(

21

3221

211

1

0 ٢ ١

1 3/4 1/2 1/4

x

F(x)

-2 0 2 z

1 3/4 1/2 1/4

F(z)

المتغيرة العشوائية الفصل الثاني

- 4 -II

∫∞+

∞−=

≥

1)()2

0)()1

dxxf

xf

توزيعها االحتمالي والمستمرةمفهوم المتغيرة العشوائية .٢ المبحث

تعريف المتغيرة العشوائية المستمرة تغيرة العشوائية المستمرةالتوزيع االحتمالي للم

تغيرة العشوائية المستمرةخصائص دالة الكثافة االحتمالية للم تغيرة العشوائية المستمرة للمدالة التوزيع قاعدة اليبنيتز

ة تعريف املتغرية العشوائية املستمر ١

من أجل هذا . هي متغرية ع تأخذ عددا ال متناهيا من القيم يف جمال حمدود، أو هي تأخذ أي قيمة داخل هذا اجملال ...فأن وحدات قياس املتغرية امليتمرة تكون مستمرة مثل الزمن، الوزن، املسافة، احلجم،

التوزيع االحتمايل املستمر ٢

نسمي توزيعا كهذا دالة الكثافة . االحتماالت امللحقة هبا وغرية ع املستمرةهو جمموعة القيم اليت ميكن أن تأخذها املت .االحتمالية أو دالة االحتمال، وهي ممثلة مبنحىن متصل

تأخذ عددا ال متناهيا من القيم داخل أي جمال، فإن احتمال قيمة بعينها هو احتمال يؤول إىل Xالحظ أنه مبا أن لة الكثافة تستعمل حلساب لذلك فإن داP(X=x) 0.الصفر

f(x)ويكون ذلك حبساب املساحة حتت منحىن . احتمال جمال . بني حدود اجملال

الحظ أن إشارة التكامل هنا تقابل إشارة اجملموع يف .حالة املتغرية ع املتقطعة

خصائص دالة الكثافـة االحتماليـة للمـتغرية ٣ العشوائية املستمرة

بإشارة اجملموع جند أن شروط دالة باستبدال إشارة التكامل :الكثافة االحتمالية للم ع املستمرة تكتب كما يلي

احملور ومن البديهي إذا أن منحىن دالة الكثافة ال ميكن أن يرتل أسفل حمور امل ع، كما أن املساحة اإلمجالية بني املنحىن

.األفقي تساوي الواحد . بعض اجملاالت من خالل احتماالت جماالت أخرىهذه اخلصائص تفيدنا يف حساب احتماالت

:الثاين لدالة الكثافة االحتمالية يف الدالة التالية و اليت حتقق الشرطني األولC أوجد قيمة الثابت :مثال . ٢ إىل ١ تنتمي للمجال من Xأحسب احتمال أن تكون

1

a b x

f(x)

∫=<<b

adxxfbxaP )()(

التمثيل البياني لدالة الكثافة للمتغيرة 5 رسم العشوائية المستمرة

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 5 - II

∫ ∞−=≤=

xduufxXPxF )()()(

)()()()()( aFbFaXPbXPbxaP −=≤−≤=≤<

. ٢ إىل ١ ال تنتمي للمجال من Xأحسب احتمال أن تكون

<<

=sinon0

30²)(

xcxxf

9/1193

10²01)(3

0

30 3

0 3==>==

=>=++=>= ∫ ∫ ∫∫ ∞−

∞+∞+

∞−CCxCdxdxCxdxdxxf

.C = 1/9 دالة كثافة جيب أن يكون x لكي تكون

( )277

318

91

391²9/1)()21(

2

1

32

1

2

1=

−

=

===≤< ∫∫

xdxxdxxfxP

2720

2771)21(1)21( =−=<<−=>> xPxP

للمتغرية العشوائية املستمرةF(x)دالة التوزيع ٤

: تعرف دالة التوزيع للمتغرية املستمرة كما يليالسبب يف ذلك . لدالة التوزيع أمهية أكرب بالنسبة للمتغرية املستمرة

باحتمال نقطة، وحلساب احتمال جمال من األيسر التعويض يف ليس و باحتمال جمال، يف حالة املتغرية املستمرة،أننا هنتم نقطتان من جمال a, bبفرض : يتضح ذلك من القاعدة التالية. دالة التوزيع بدال من حساب التكامل يف كل مرة

: [a, b[ تنتمي إىل اجملال Xحلساب احتمال أن تكون . b > a، حبيث Xتعريف

:مثال .للمتغرية املذكورة يف املثال السابق أوجد دالة التوزيع

.P(1< x <2) : استخدم دالة التوزيع حلساب االحتمال

00)()(:0*0

===< ∫∫ ∞−∞−duduufxFx

x

27391²

910)()(:30*

3

0

3

0

0 xuduududuufxFxx

xx=

=+==<≤ ∫∫∫ ∞−∞−

1

27270

39100²

910)()(:3*

3

0

3

3

3

0

0==+

+=++==≥ ∫∫∫∫ ∞−∞−

ududuududuufxFxxx

≥<≤

<

=31

3027/00

)( 3

xxx

xxF

1

a b x

f(x)

277

271

272)1()2()21(

33

=−=−=≤< FFxP

حساب االحتمال من خالل دالة التوزيع 6 رسم

المتغيرة العشوائية الفصل الثاني

- 6 -II

( ) xxx eexfexFx

xFxfx222 21)(1)(:0*

0)'0()(')(:0*−−− =

′−=⇒−=≥

===<

Règle de LEIBNITZقاعدة اليبنيز ٥

:تفيد هذه القاعدة الرياضية العامة يف استنتاج أن مشتقة دالة التوزيع هي دالة الكثافة

)()()()(

xfdx

xdFxfdx

duufdx

=⇒=∫ ∞−

: كانت دالة التوزيع كما يلي إذا Xأوجد دالة الكثافة للمتغرية : مثال

≥−

=−

sinon001

)(2 xe

xFx

>

=−

sinon002

)(2 xe

xfx

األول و الثايناملبحث خالصة ٦حتديد القـيم املمكنـة للمـتغرية و عشوائية من خالل ملتغرية ) أو القانون االحتمايل (التوزيع االحتمايل تعريف يتم

.االحتماالت املقابلة هلا .أو دالة، تسمى دالة كثافة االحتمالية ) جدول التوزيع االحتمايل(يتم هذا التحديد إما من خالل جدول

لكي نقول عن دالة ما أهنا دالة كثافة احتمالية جيب أن تكون موجبة دوما و أن يكون جمموع االحتماالت مـساويا .للواحد

: متثل احتمال جمال من أصغر قيمة للمتغرية إىل نقطة ما) أو دالة التوزيع(الدالة التجميعية ∑

≤

=≤=xu

ufxXPxF ∫ة و يف حالة م متقطع )()()( ∞−=≤=

xduufxXPxF يف حالـة م )()()(

.مستمرةتربز أمهية الدالة التجميعية أكثر عنـدما ). أو ثابتا على أجزاء من اجملال (نظرا لتعريفها تأخذ دالة التوزيع مسارا متزايدا

.ميكن استنتاج دالة الكثافة من خالل اشتقاق دالة التوزيع. تكون املتغرية مستمرة ألننا هنتم حينها باحتماالت جماالت

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 1 -III

التباین والتوقع الریاضي .III الفصل

التوقع الرياضي االنحراف المعياري والتباين العزوم

الدالة المتجددة للعزوم نظرية شيبيشيف، نظرية األعداد الكبيرة

، من ٠,٢احتمال تلقي طلبية من العميل األول هي . عمالء٤أرسلت مؤسسة عروضا إىل : مسألةيف انتظار ردود العمالء ما هو . من العميل الرابع٠,٤ و٠,٣٥، من العميل الثالث ٠,٣العميل الثاين

العدد املتوقع من الطلبيات؟

يف العديد من احلاالت ال يكفي حساب احتمال حتقق حدث أو أحداث معينة بل حنتاج للخروج بتوقع معني يلخـص مببالغ معينة بسبب ارتباط كل من جهة أخرى قد يصعب املفاضلة بني خيارات متاحة مقيمة . الوضعية املطروحة أمامنا

مبلغ مبخاطرة خمتلفة؛ من املعروف أن االستثمارات األكثر مردودية هي تلك اليت تتضمن أكرب خماطرة، فكيف ميكـن موضوعية؛ إن طريقة التوقع وبقية املفاهيم األخرى الـواردة و املبلغ املتوقع وبطريقة دقيقة و أخذ يف احلسبان املخاطرة

.ساعدنا يف ذلكأعاله ميكن أن ت

Espérance mathématiqueالتوقع الرياضي .١ المبحث

تعريف التوقع توقع دالة

تعريف التوقع ١

:يعرف التوقع الرياضي ملتغرية عشوائية متقطعة كما يلي

∑∑ =====

n

i iin

i ii xfxxXPxXE11

)()()( :يعرف التوقع الرياضي ملتغرية عشوائية مستمرة كما يليو

∫+∞

∞−= dxxxfXE )()(

.µx أو µنرمز للتوقع أحيانا ب . أحسب العدد املتوقع من املرات اليت حنصل فيها على وجه. رات م٤ نلقي قطعة نقدية :مثال

عدد مرات وجه X 0 1 2 3 4 اجملموع16/16 = 1(1/2)4 4 (1/2)4 6 (1/2)4 4 (1/2)4 (1/2)4 P(X) 32/16 = 24 (1/2)4 12 (1/2)4 12 (1/2)4 4 (1/2)4 0 XP(X)

216/32)()(1

==== ∑ =

n

i ii xXPxXE

. رميات٤العدد املتوقع هو مرتني من بني

و التباينالتوقع الرياضي الفصل الثالث

- 2 -III

<<

=sinon0

2021

)(xx

xf

دج إذا حصل على ٤٠، ويربح ٢ دج إذا حصل على الرقم ٢٠يربح الالعب . نلقي قطعة نقدية مرة واحدة . ٢مثال ،٣ دج إذا حصل على الرقم ٣٠، ١ دج إذا حصل على الرقم ١٠، وخيسر ٦ دج إذا حصل على الرقم ٦٠ و ،٤الرقم ). الربح يساوي توقع اخلسارةهل توقع(حتقق مما إذا كانت العبة متوازنة . ٥ دج إذا حصل على الرقم ٥٠و

E(x) = 30/6 = 5 > 0اجلواب هو أن اللعبة غري متوازنة ألن توقع الربح أكرب من توقع اخلسارة نتيجة الرمي 1 2 3 4 5 6 اجملموع

X نتيجة املراهنة 10- 20 30- 40 50- 60 -6/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 P(X=x)

(120-90)/6>0 60/6 -50/6 40/6 -30/6 20/6 -10/6 X*P(X=x) : أوجد التوقع الرياضي للمتغرية ذات دالة الكثافة التالية. ٣مثال

∫ ∫ ∫∫ ∞−

∞∞

∞−++==

0 2

0 2.0.)

21(.0.)()( dxxdxxxdxxdxxxfxE

340

3210)(

2

0

3

=+

+=

xxE

توقع دالة ٢

.العزوم املرتبطة باألصل ويستخدم توقع دالة عند حساب عدد من املقاييس مثل التباين، العزوم املركزية

.ا م ع تابعة هلy = g(x) و،f(x) م ع هلا دالة كثافة Xلتكن ∑==

xxfxgxgEYE )()())(()(

∫ : م متصلةXيف حالة +∞

∞−== dxxfxgxgEYE )()())(()(

.E(Y) و E(X)أحسب . Y=X² و عدد مرات احلصول على صورة،Xنسمي . نلقي قطعة نقدية مرتني. ١مثال

X 0 1 2 المجموع1 1/4 1/2 1/4 P(X = x)

E(X) =1 1/2 1/2 0 X*P(X)

4 1 0 X²

E(X²) = 3/2 1 1/2 0 X²*P(X)

.E(Y)أحسب . Y = g(x) = 3x² - 2x وة الكثافة التالية، م ع ذات دالXلتكن : ٢مثال

<<

=sinon0

2021

)(xx

xf

∫∫∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−−+−+−=== dxxxdxxxxdxxxdxxfxgxgEYE )0)(2²3()2/)(2²3()0)(2²3()()())(()(

310

620

31612

21

32

43

210)2/)(2²3(0)(

2

0

342

0==

−=

−=+−+= ∫

xxdxxxxYE

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 3 -III

<<

=sinon0

2021

)(xx

xf

خصائص التوقع الرياضي ٣E (C) = C E(CX) = CE(X) E(X+Y) = E(X) + E(Y)

E(XY) = E(X)E(Y) .املتغريتان مستقلتانإذا كانت . B من ٤ وA طلبيات من العميل ٣ تتوقع مؤسسة أن تتلقى كل شهر :مثال

. يف السنةA من الطلبيات املتلقاة من أحسب العدد املتوقع .أحسب العدد اإلمجايل املتوقع من الطلبيات املتلقاة يف شهر

Aكم تتوقع أن يلزم من مقابلة لتعريف مندويب العميل . يعني كل عميل من طرفه مندوبا عن كل طلبية ملتابعة إمتامها .Bمبندويب

E(12A) = 12E(A) = 12(3) = 36 E(A*B) = E(A)*E(B) = 4*3 = 12. E(A + B) = E(A) + E(B) = 3 + 4 = 7

Variance et écart typeاالنحراف المعياري والتباين .٢ المبحث

تعريف التباين خصائص التباين

المتغيرة المعيارية

تعريف التباين ١

:يعرف التباين ملتغرية عشوائية كما يلي

( )[ ]²)(² µσ −== XEXVarX .σ = √V(X) = √σ² .االحنراف املعياري هو جذر التباينو

) :يف حالة املتغرية العشوائية املتقطعة ) )(²)( xfxXVx∑ −= µ

:يف حالة املتغرية العشوائية مستمرة ( )∫

+∞

∞−−= dxxfxXV )(²)( µ

.V(X) عدد مرات احلصول على صورة، أحسب Xنسمي . نلقي قطعة نقدية مرتني .مثال X 0 1 2 المجموع١ 1/41/2 1/4 P(X = x)

E(X) = µ =1 1/21/20 X*P(X) 1 0 1 (X-µ)²

V(X) = 1/2 1/40 1/4(X-µ)² * P(X) . X م ع ذات دالة الكثافة التالية؛ أحسب تباين Xلتكن . ٢مثال

( ) 3/4.)(²² =−= ∫+∞

∞−µµσ dxxfx

و التباينالتوقع الرياضي الفصل الثالث

- 4 -III

09

163

82100

34

2340*

34²

2

0

22

0 2

220

2

+

+−+=

−+

−+

−= ∫ ∫∫

∞+

∞−

xxxdxxdxxxdxxσ

94

932

3328

21

916

3²8

21²

2

0

3 =

+−=

+−=

xxxσ

خصائص التباين ٢V(X) = E(X²) - E(X)² V(CX) = C²V(X) , V (C) = 0

يف حالة استقالل املتغريتان عن بعضهما V(X + Y) = V(X) + V(Y) , V(X - Y) = V(X) + V(Y)

باستخدام الصيغةV(X) عدد مرات احلصول على صورة، أحسب Xنسمي . لقي قطعة نقدية مرتنين: مثال V(X) = E(X²) - E(X)².

Wأحسب تباين املتغرية . النتيجة احملصل عيهاZنسمي و ، نلقي حجر نردV(Y)أحسب . Y = 2Xلتكن املتغرية W = Z - Y :حيث

X 0 1 2 المجموع 1 1/4 1/2 1/4 P(X = x)

E(X) = µ =1 1/2 1/2 0 X P(X)

4 1 0 (X)²

E(X)² = 3/21 1/2 0 (X)² * P(X)

V(X) = E(X²) - E(X)² = (3/2) - 1 = 1/2 V(Y) = V(2X) = 2²V(X) = 4 (1/2) = 2. V(W) = V(Z-2X) = V(Z) +V(2X) = V(Z) + 2²V(X). V(Z) = E(Z²) – E(Z)² = (1/6)[1²+2²+3²+4²+5²+6²]-(1/6)[1+2+3+4+5+6] = 70/6 V(W) = (70/6) + 4 (1/2) = 82/6 = 13.67

Variable centrée réduiteاملتغرية املعيارية ٣تلحق املتغرية . *Xيرمز هلا و)تسمى أيضا املتغرية املركزية( متغرية معيارية Xميكن أن نلحق بأي متغرية عشوائية وإمنا هي تعرب عن ... قارنة ألن املتغرية املعيارية ليس هلا وحدة كاملتر أو الساعة املعيارية باملتغرية احلقيقية من أجل امل

.إمنا باالحنرافات املعيارية و حمسوبة لس بالوحدة األصليةµالتوقع وx من خالل املسافة بني X ل xكل قيمة

σµ−

=XX*

.التباين للمتغرية املعيارية والتباين نستخرج التوقع ومن خالل خصائص التوقع

[ ] 0)()(1)(1*)( =−=−=

−

= µσ

µσσ

µ EXEXEXEXE

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 1²²²

²1

²²²)*(²0*²*)(**)( ==−=

−

==−=−=σσµ

σσµ XEXEXEXEXEXEXV

.٧٠، ٨٠، ٧٥، ٥٠، ٦٠، ٥٥ : يساويX و،٥، احنراف معياري ٧٠من أجل متوسط *X أحسب : مثال

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 5 -III

.٠، ٢، ١، ٤-، ٢-، ٣-: القيم هي: اجلوابيشترط يوم املسابقة أن يكون . ماي ١يتدرب عامالن أمحد وعلي من أجل املشاركة يف ماراتون عيد العمال . ٢مثال

. µ ± 1.5σال وزن املترشح ال يتجاوز اجملعلي إذا كـان وهل سيقبل العامالن أمحد. كغ٥االحنراف املعياري هو و µ = 70إذا كان الوزن املتوسط بالكغ هو

كغ؟٨٠ و كغ،٧٧: وزهنما . يقبل أمحد و كغ، لذلك فسريفض علي٧٧,٥ كغ إىل ٦٢,٥جمال القبول هو من : اجلواب

خالصة ٤

، حسب كـون املـتغرية ؤشرات املعربة عن خصائص املتغرية و حيسبان كما يلي التوقع الرياضي و التباين هي أهم امل :متقطعة أو مستمرة

∑∑ =====

n

i iin

i ii xfxxXPxXE11

)()()( ∫

+∞

∞−= dxxxfXE )()(

:تتمثل فيما يلي خصائص أساسية ٤لتوقع و التباين لكل من اV(C) = 0 توقع عدد ثابت E (C) = C V(CX) = C²V(X)E(CX) = CE(X)

عن بعضهمايف حالة استقالل املتغريتان V(X + Y) = V(X) + V(Y)

, V(X - Y) = V(X) + V(Y)E(X+Y) = E(X) + E(Y)

V(X) = E(X²) - E(X)² يف حالة استقالل املتغريتان عن بعضهما .E(XY) = E(X)E(Y)

خالل وحداهتا األصلية ليس منxمن أجل املقارنة بني املتغريات تستخدم املتغرية املعيارية اليت تسمح بالتعبري عن قيمة

. والتوقع الرياضيxوإمنا بعدد االحنرافات املعيارية اليت تفصل بني القيمة ...) كغ، متر، زمن، (التوقع الرياضي والتباين للمتغرية املعيارية

σµ−

=XX* ١ و ٠مها على التوايل .

:Xيف االحتماالت املقابلة لنضرب قيم الدالة ) X²مثال التباين، أو (Xحلساب التوقع الرياضي لدالة ما يف

∑==x

xfxgxgEYE )()())(()(

∫+∞

∞−== dxxfxgxgEYE )()())(()(

و التباينالتوقع الرياضي الفصل الثالث

- 6 -III

الدالة المتجددة للعزوم و موالعز .٣ المبحث

العزوم لدالة المتجددة للعزوما

Les momentsالعزوم ١

. العزم املرتبط باألصل والعزم املركزي: منيز بني نوعني من العزوم. ما التباين يعترب العزم من تطبيقات توقع دالةك ومعامل التفلطح α3 (coefficient d'asymétrie)ن املقاييس مثل معامل التماثل تستخدم العزوم يف حساب عدد م

(Kurtosis ou coefficient d'aplatissement) α4.

.µr Le moment central العزم املركزي )أ (

: كما يليX للم ع rيعرف العزم املركزي من الدرجة

( )( ) ...,2,1,0, =−= rXE rr µµ

( )[ ]( )[ ]( )[ ] ²)(

00)()(

11)1(

22

2

11

1

00

0

σµµµ

µµµµ

µµµ

==−=

==−=−=

===−=

XVXE

EXEXE

EXE

:عة املتغرية متقطعة أو مستمرة كما يليحيسب العزم املركزي حسب طبي

( )∫+∞

∞−−= dxxfx r

r )(µµ ( ) )(xfx r

i ir ∑ −= µµ : للمتغرية ع ذات دالة الكثافة٣ و٢، ١، ٠ أحسب العزوم املركزية من الدرجة .مثال

<<

=sinon0

20,2/)(

xxxf

( ) 1)(1)(0

0 ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−==−= dxxfdxxfx µµ

( ) ∫ ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−=−=−=−= 0)1()()()(1 µµµµµ dxxfdxxxfdxxfx

( )94²)(2

2 ==−= ∫+∞

∞−σµµ dxxfx

( ) ∫ ∫ ∫∫ ∞−

∞+∞+

∞−=

−+

−+

−=−=

0 2

0 2

3333

3 )5(27)67(16)0(

34

234)0(

34)( dxxdxxxdxxdxxfx µµ

ة للمتغرية ع املتقطعة اليت متثل عدد مرات احلصول على صور ٣ و ٢، ١، ٠أحسب العزوم املركزية من الدرجة : مثال

.يف رميتني لقطعة نقدية

Moment autour de la moyenne µ'rالعزم املرتبط باألصل )ب (

'),(2,1,0,... :يعرف العزم املرتبط باألصل كما يلي == rXE rrµ

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 7 -III

<<

=sinon0

2021

)(xx

xf

2'22

'2

'1

1'1

'0

0'0

²²²²)()(

11)1()(

µµµµµσµµ

µµµµ

µµ

−=−=−=

====

====

XEXE

EXE

: للمتغرية ع املتصلة ذات دالة الكثافة٤ و٣، ٢، ١، ٠أحسب العزوم املرتبطة باألصل من الدرجة : مثال

316

621)

2(',

516

521)

2('

,9

1294

34²',3/4',1'

2

0

62

0

44

2

0

52

0

33

2

2210

=

===

==

=−

=−====

∫∫xdxxxxdxxx µµ

µµµµµµ

للمتغرية ع املتقطعة اليت متثـل عـدد مـرات ٤ و ٣، ٢، ١، ٠ من الدرجة أحسب العزوم املرتبطة باألصل .٢مثال

.احلصول على صورة يف رميتني لقطعة نقدية

العزم املرتبط باألصل والعالقة بني العزم املركزي )ج (rri

irir

irrrr CC µµµµµµµµ ⋅⋅−++⋅⋅−++⋅⋅−= −− 0

11

1 ')1(...')1(...'' . مرةr من خالل اشتقاق الدالة املتجددة للعزوم rميكن أيضا احلصول على العزوم املرتبطة باألصل من الدرجة

La fonction génératrice des moments Mx(t) دالة املتجددة للعزومال ٢

:د م ع كما يلي و،X باإلضافة إىل ارتباطها ب t) معلمة(الدالة املتجددة للعزوم هي دالة مرتبطة مبتغرية )()( tx

x eEtM = =∑ :يف حالة م ع متقطعة

xtx

x xfetM :و يف حالة م ع مستمرة )()(

∫+∞

∞−= dxxfetM tx

x )()( :للم ع املعرفة يف كما يليt ≠ 0 ددة للعزرم من أجل أكتب الدالة املتج :مثال

<<

=sinon0

2021

)(xx

xf

0

210)0()()0()(

2

02

2

0

0++=++= ∫∫∫∫

+∞

∞−dxxedxedxxfedxetM txtxtxtx

x

teVdxedVdxdUxUVdUUVUdVtM

txtx

x =⇒==⇒=

−== ∫∫ ,.][

21

21)(

2

0

20

2

0

²212

21

21)(

22222

0

2

0 te

te

te

ttedx

te

textM

tttttxtx

x −=

−

=

−

= ∫

:rتستخدم الدالة املتجددة للعزوم حلساب العزم املركزي من درجة

0 )(

==′ tavecdt

tMdrx

r

rµ

و التباينالتوقع الرياضي الفصل الثالث

- 8 -III

حنتاج ذلك خاصـة عنـد و كما تستخدم الد م ع إلثبات تساوي توزيعني احتماليني، مثال عند حتقق شروط معينة، :النظرية اليت نستعملها يف ذلك هي كاآليت. يةدراسة التقارب بني التوزيعات االحتمال

: هلما نفس التوزيع االحتمايل إذااY وX؛ نقول أن م ع My(t) و Mx(t) هلما الد م ع Y وX لتكن م ع

Mx(t) = My(t) :النظرية اليت نستعملها يف ذلك هي كاآليت. كما تستخدم الد م ع إلثبات إستقالل توزيعني احتماليني

Mx+y(t) = Mx(t) . My(t) : ؛ فإن My(t) و Mx(t) م ع مستقلتان، هلما الد م ع Y وXإذا

خالصة ٣يدخل العزم يف حـساب بعـض ). السابق املبحثأنظر (ات دوال بارة عن توقع و الدالة املتجدد للعزوم هي ع العزم

. املؤشرات مثل التباين و التوقع الرياضي، معامل التفلطح و معامل التماثل): كما يليX للم ع rيعرف العزم املركزي من الدرجة )( ) ...,2,1,0, =−= rXE r

r µµ

),(2,1,0,... :يعرف العزم املرتبط باألصل كما يلي ==′ rXE rrµ

)()( :تعرف الدالة املتجددة للعزوم كما يلي tx

x eEtM =

.ذلك من خالل نظريتني أساسيتنيتستخدم الدالة املتجددة للعزوم إلثبات التقارب بني توزيعات احتمالية و

Mx(t) = My(t) : هلما نفس التوزيع االحتمايل إذااY وXنقول أن م ع Mx + y (t) = Mx(t) . My(t) : م ع مستقلتان فإنY وXإذا

نظرية شيبيشيف ونظرية األعداد الكبيرة .٤ المبحث

متراجحة شيبيشيف نظرية األعداد الكبيرة

Inégalité de Bienaymé CHEBYCHEV متراجحة شيبيشيف ١

تستخدم هذه النظريـة يف . تباين حمدود و املستمرة على السواء، اليت يكون هلا متوسط و هي نظرية ختص م ع املتقطعة تزيد عن µبني و بينها) الفرق(املفردات اليت املسافة ) أو نسبة (ذلك عن طريق احتمال و ،µقياس التشتت حول التوقع

حسب نظرية شيبيشيف فإن هـذه . P(|x - µ| ≥ ε) : أو بعبارة أكثر اختصاراP(-ε ≥ (x - µ) ≥ ε) : مقدار ما : ونعرب عن هذه النظرية كما يلي. وذلك مهما كانت طبيعة التوزيع، σ²/ε²النسبة ال تزيد عن

: متاما عدد موجبε، فإنه مهما يكن σ² وتباين حمدودµ م ع متصلة أو متقطعة، هلا متوسط Xإذا كانت

²²)(

εσεµ ≤≥−xP

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 9 -III

: فنجد ε = k σ : و من أجل صياغة أكثر داللة، نضع²

1)(k

kxP ≤≥− σµ : الحظ أنه، انطالقا من نفس النتيجة، لدينا أيضا

( ) ( )

²²1)(

εσεµεµε −><−=<−<− xPxP

من الفائزين يف امتحان الباكالوريا حيـصلون علـى % ١٠إذا كان أقل من : هل هذه العبارة صحيحة :سؤال

من الفائزين يف الباكالوريا حيصلون على تقدير أقـل مـن %٩٠تقدير أكثر من حسن، فهذا يعين أن أكثر من .اجلواب نعم. حسن

عدد موجب متاما؛ε و،σ² وتباين حمدودµ م ع تتبع توزيعا أيا كان؛ هلا متوسط Xلتكن : مثال .ε = 2 σ ،ε = 3 σ ،ε = 4 σ من أجل P(-ε ≥ (x - µ) ≥ ε)أحسب احلد األقصى لالحتمال .١ .ε = 2 σ ،ε = 3 σ ،ε = 4 σ من أجل P(-ε < (x - µ) < ε)تمال أحسب احلد األدىن لالح .٢

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,1614)(4

,9133,

412)(2

²²)(

≤≥−=≥−≥−⇒=

≤≥−⇒=≤≥−=≥−≥−⇒=

≤≥−=≥−≥−

σµεµεσε

σµσεσµεµεσε

εσεµεµε

xPxP

xPxPxP

xPxP

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,16/1516114)(4

,9/891133,4/3

4112)(2

²²1)(

=−><−=<−<−⇒=

=−><−⇒==−><−=<−<−⇒=

−><−=<−<−

σµεµεσε

σµσεσµεµεσε

εσεµεµε

xPxP

xPxPxP

xPxP

. ماي١يتم أخذ أوزان عمال مركب احلجار من أجل ترشيحهم للمشاركة يف ماراتون عيد العمال . ٢مثال %٢٥ من العمال، رفض ترشيح أقل من %٧٥كيف ميكن حتديد جمال القبول حبيث يتم ترشيح على األقل .١

من العمال؟ .كغ٥االحنراف املعياري و كغ،٧٠د قيم اجملال إذا كان الوزن املتوسط االفتراضي هو حد .٢

( ) ( )

( ) ( ) %754112)(.2

²²1)(

=−><−=<−<−=

−><−=<−<−

σµεµεσε

εσεµεµε

xPxquePdéjàsavonsnousLorsque

xPxP

( ) ( )

( ) %25412.2

²²)(

=≤≥−=

≤≥−=≥−≥

σµσε

εσεµεµε

xPquedéjàsavonsnousLorsque

xPxP

عن املتوسط، وهذا ميكن التعبري عنه بطريقـة ٢ σ العمال هلم أوزان ال تبتعد بأكثر من% ٧٥إن أكثر من .١

املتوسط بـأكثر مـن باملئة من العمال هلم أوزان أبعد من الوزن ٢٥إن أقل أو يساوي من : أخرى بالقول σإذا ميكن اختاذ جمال قبول . ٢µ±2σلتحقيق اهلدف املسطر .

. كغ٨٠ إىل ٦٠االحنراف املعياري هو من واجملال الذي حيقق اهلدف حسب القيم املعطاة للمتوسط .٢

و التباينالتوقع الرياضي الفصل الثالث

- 10 -III

. σ = 1 سنوات، واالحنراف املعياري ٨متوسط مدة التمدرس يف جمتمع معني هي . ٣مثال . سنوات لفرد خمتار عشوائيا من هذا اجملتمع١٠ و٦ ملدة متدرس بني أحسب أدىن احتمال .١ . سنوات١٠ سنوات أو ال تقل عن ٦أحسب أقصى احتمال ملدة متدرس ال تزيد عن .٢

4/3²2

11)2()610(

:2.26,2101,8.²

11)(

=−><−=>>

=−=+=⇒==−><−

σµ

σµσµσµσµ

xPxP

kPourk

kxP

.٠,٧٥ هي سنوات لفرد خمتار عشوائيا من هذا اجملتمع١٠ و٦أدىن احتمال ملدة متدرس بني

4/1²2

1)2(

:2.26.²

1)(

=≤≥−

=−=≤≥−

σµ

σµσµ

xP

ksoitk

kxP

.٠,٢٥ هو ١٠نوات أو ال تقل عن س٦أدىن احتمال ملدة متدرس ال تزيد عن

Théorème des grands nombresنظرية األعداد الكبرية ٢

تصاغ هذه النظرية . تعترب نظرية األعداد الكبرية من نتائج نظرية شيبيشيف ويستفاد منها بشكل خاص يف نظرية املعاينةولكل منها ة هلا نفس التوزيع االحتمايل متغريات عشوائية مستقل. . . . ، X1 ،X2لتكن املتغريات : بالشكل اآليت إذا كانت σ² التباين وµنفس املتوسط

Sn = X1 + X2 + . . . +Xn (n = 1, 2, . . .),

0lim =

≥−

∞→εµ

nS

P nn

εر من عن قيمتها املتوقعة بأكثSn/n فإن مضمون هذه النظرية هو أن احتمال أن تبتعد املتغرية E(Sn/n) = µمبا أن

حيث أن قانون األعداد الكبرية . تسمى هذه الصياغة أيضا بقانون األعداد الكبرية الضعيف .∞→ n عندما٠هو :القوي هو

Sn/n = µ] = 1 P[lim n→∞

خالصة ٣ :من تطبيقات توقع دالةمن النظريات اليت تقيس تشتت املتغرية و هي نظرية شيبيشاف ونظرية األعداد الكبرية

عـدد ε، فإنه مهما يكن σ² وتباين حمدود µ م ع متصلة أو متقطعة، هلا متوسط Xت إذا كان :موجب متاما

²²)(

εσεµ ≤≥−xP

ولكـل متغريات عشوائية مستقلة هلا نفس التوزيع االحتمايل . . . . ، X1 ،X2لتكن املتغريات

إذا كانتσ² والتباينµمنها نفس املتوسط Sn = X1 + X2 + . . . +Xn (n = 1, 2, . . .),

0lim =

≥−

∞→εµ

nS

P nn

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 1 -IV

األآثر استخدامااالحتمالية التوزیعات .IV الفصل

التوزيعات االحتمالية المتقطعة التوزيعات االحتمالية المستمرة

التوزيعات الحتمالية المتقطعة األآثر استخداما .١ المبحث

ئي، التوزيع الثنائي السالب التوزيع الهندسي الزائد، التوزيع الهندسي الزائد المتعدد، توزيع برنولي، التوزيع الثنا .، التوزيع الهندسي، التوزيع المتعدد، توزيع بواسون)باسكال(

. التوزيع االحتمايل ميكننا اآلن أن ندرس عدد من التوزيعات االحتمالية الشهرية و بعد أن عرفنا مفهوم املتغرية العشوائية

ومن أكثر هـذه . يف اإلدارة و التجاري و سيري الصناعي تستخدم هذه التوزيعات يف حل العديد من املسائل يف جمال الت يف هناية احملاضرة يفترض أن يكون الطالب قادرا علـى اسـتذكار . التوزيع الثنائي وتوزيع بواسون : التوزيعات شيوعا

القوانني املدروسة وخصائصها األساسية، ومن خالل التطبيقات يفترض أن يتمكن من معرفة مـىت وكيـف ميكـن .ل قانوناستخدام ك

Distribution hyper géométrique:التوزيع اهلندسي الزائد ١

: استنتاج صيغة قانون التوزيع اهلندسي الزائد )أ (احسب احتمال احلـصول . كريات٣نسحب بدون إرجاع . محراء ٢ و بيضاء ٤ كريات منها ٦صندوق به . 1مثال

.ال كرية بيضاءكريات بيضاء، كرية واحدة بيضاء، و٣على كرتني بيضاوين، b كرية منـها N، إذا كان الصندوق حيتوي على n عددها بدون إرجاع نفترض أننا نسحب من صندوق كريات

من الكريات البيضاء ميكن أن حنصل x ≤ b فإن احتمال احلصول على عدد معني (N = b + r) محراء r وبيضاءذلـك باسـتخدام و )ع احلـاالت املمكنـة /ملالئمة ع احلاالت ا (عليه من خالل القانون الكالسيكي لالحتماالت

:التوفيقات

nN

xnr

xb

CCC

xXP−⋅

== )(

:حيث ,b, p) X ~ H(N نكتب وقانون التوزيع اهلندسي الزائد: تسمى هذه الصيغةp = b/N 1= و-p q = r/N

:ميكن اآلن اإلجابة على أسئلة املثال كما يليP(X=2) = C4

2 . C2٣ / C١

6 = 12/20 , P(x = 3) = C4

3 . C20 / C6

3 = 1/5 , …

التوزيعات االحتمالية األآثر استخداما الفصل الرابع

- 2 -IV

خصائص التوزيع اهلندسي الزائد )ب (

−−

==1

²,N

nNnpqnp σµ

.للتوزيع اهلندسي الزائد عالقة بالتوزيع الثنائي سنذكرها عندما نتطرق هلذا األخري: مالحظة

Distribution Multi-hypergéométrique:التوزيع اهلندسي الزائد املتعدد ٢

عدداستنتاج صيغة قانون التوزيع اهلندسي الزائد املت )أ (

Ni، حيث من كل صنف لدينا ) صنفk(ميكن بسهولة تعميم القانون السابق على حالة وجود أكثر من صنفني كرية،

) ΣNi = N ( كريات بيضاء ٢، وحلساب احتمال نتيجة معينة؛ مثال )X1 = 2 ( ،ميكن . . . زرقاء، ١محراء، ٥ :ما يليحساب عدد احلاالت املالئمة واملمكنة من خالل التوفيقات ك

nxNNC

CCCxXxXxXP k

ik

inN

kx

kNxN

xN

kk ====== ∑∑ 11

22

11

2211 ,...

)..,.,(

خصائص التوزيع اهلندسي الزائد املتعدد )ب (

ii

i npNN

nXE ==)(

. للتوزيع اهلندسي الزائد عالقة بالتوزيع الثنائي سنذكرها عندما نتطرق هلذا األخري:مالحظة

Distribution de Bernoulli ١توزيع برنويل ٣

استنتاج صيغة قانون برنويل )أ (

. فشل’A و جناحAنسمي .’A وAمتنافيتني ) حدثني(ني إذا كانت حتتمل نتيجت" برنولية"نقول عن جتربة أهنا

. يف احلالة املعاكسة٠ وA عند حتقق احلدث ١القيمة X ، تأخذ عدد مرات النجاح اليت متثل Xنعترب املتغرية ع يعـني ). الفشل( احتمال احلدث املعاكس q = 1 - p وAالحتمال حتقق احلدث " احتمال النجاح "pنرمز عادة ب

:نويل كما يلي توزيع بر .1,0,)0(,)1( ===== XqXPpXP

X ~ B(1, p)ونكتب

خصائص توزيع برنويل )ب (= 1.p + 0.q = p => E(X) = p. E(X) = Σxipi

V(X) = E(X²) – E(X)² = (1².p + 0².q) – p² = p – p² = p(1- p) = pq => V(X) = qp. .M(t) = E(ext) = e0tq + e1t p => M(t) = q + pet جددة للعزومالدالة املت

. ١٧ الذي درس هذا التوزيع يف أواخر القرن Jacques Bernoulli بإسم 1

( ) ²)²()1()0()( 333333 pqqpqppqppqpxpx −=−=−+−=−= ∑ µµ

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 3 -IV

معامل التماثل

qppq

qpqppqqp ²²²)²(

33

3−

=−

==σµ

α

Distribution binomiale التوزيع الثنائي ٤

:استنتاج صيغة قانون التوزيع الثنائي )أ (

X = 0, 1, 2, 3, . . . n : تأخذ القيم) عدد مرات النجاح (X مرة فإن n إذا كررنا جتربة برنويل ):F( عدد مرات احلصول على صورة X و من املرات،nعدد مكررة لنفترض التجربة الربنولية رمي قطعة نقدية

.n = 2 X = 0, 1, 2 : حالة P(X = 0) = q*q = q², P(X=1) = P(FP) + P(PF) = p*q + q*p = 2p1q1

.n = 3 X = 0, 1, 2, 3 : حالة P(X=3) = P(FFF) = p*p*p = p3, P(X=2) = P(FFP ou PFF ou FPF) = 3p2q1

.٤n = X = 0, 1, 2, 3, 4 : حالة P(X=3) = P(FFFP ou PFFF ou FPFF ou FFPF) = 4 p3q1

هو عدد الطرق املالئمة للحـصول علـى ٤العدد و ، n-x هو ١ ، العدد x هو ٣يف النتيجة األخرية نالحظ العدد : جتارب، وميكن حسابه كما يلي(n=4)من بني ث جناحات ثال

)!(!!

xnxnC x

n −=

:جتربة برنولية حيسب كما يلي n من النجاحات من بنيxوبالتايل فاحتمال عدد ما

....,3,2,1,,....,3,2,1,0,)( ==== − nnxqpCxXP xnxx

n q = 1-p، )يبقى ثابت عند تكرار التجربـة (يف التجربة الواحدة احتمال النجاح p عدد مرات النجاح، xحيث

ويكتب قانون التوزيع االحتمايل أيضا كمـا "قانون التوزيع الثنائي" و هو تعريف .رب عدد التجا n و احتمال الفشل :يلي

xnxxn ppCxXP −−== )1()(

.X ~ B(n, p) وأ

شروط استخدام التوزيع الثنائي )ب (o جتربة برنولية مكررة عدد حمدد من املرات o التجارب مستقلة (احتمال النجاح يف التجربة ثابت( : مرات احتمال احلصول على٤متوازنة رمي قطعة نقديةأحسب عند : مثال

. مرات٤ مرات، ٣ وال مرة صورة، مرة واحدة، مرتني، P(X = x) = Cx

n px qn-x => P(X = 0) = C04 0.50 0.54 = 1/16

P(X = 1) = C14 0.51 0.53 P(X = 2) = C2

4 0.52 0.52 . محراء٣ كريات منها ٥حيتوي صندوق يات من كر٣باإلرجاع نسحب : ٢مثال

التوزيعات االحتمالية األآثر استخداما الفصل الرابع

- 4 -IV

npqpq6134

−+=α

.محراء تنيكريأحسب احتمال احلصول على P(X=2) = C2

3 (3/5)2 (2/5)1

خصائص التوزيع الثنائي )ج (هلا نفـس X = X1 + X2 + … X i+ … + Xn جمموع متغريات مستقلة برنوليةXميكن اعتبار : التباين والتوقع :التباين جند وإذا باستخدام خصائص التوقع. أيضا (E(Xi) = p)وقع وبالتايل نفس الت pاملعلم

E(X) = E(X1 + X2 + … Xi + … + Xn) = ΣE(Xi) = Σpi = n p => E(X) = np V(X) = V(X1 + X2 + … Xi + … + Xn),

Xiمستقلة إذن V(X) = ΣV(Xi) = Σpq =>V(X) = npq

:سابق التباين للمثال ال وأحسب التوقع: مثال

هلا نفس X = X1 + X2 + …Xi + … + Xn جمموع متغريات برنولية مستقلة Xباعتبار : الدالة املتجددة للعزوم : وباستخدام النظرية السابقة خبصوص الدالة م للعزومMX(t) = [q + pet] : نفس الدالة املتجددة للعزوم و pاملعلم

؛ " Mx1 + x2 (t) = Mx1(t). Mx2(t) :فإن Mx2(t) وMx1(t) للعزومدالة م ال م ع مستقلة هلا X2 وX 1من أجل" :نستنتج

MX(t) = Mx=x1+x2+…xn(t) = Mx1(t) . Mx2(t) … Mxn(t)

MX(t)= E(ex1t) . E(ex2t) … E(exnt) => MX(t) = [q + pet]n معامل التماثل

( ) ( )∑∑ −==−=−== )(...)()(. 3333

33 pqnpqxpnpxxpx µµ

σµ

α

[ ]σ

α pnpqnpq

ppnpq 21)1(3

−=

−−=⇒

npqpqencoreou −

=3: α

½ = α3 = 0 => 2 p = 1 => p ثال عندمايكون منحىن التوزيع الثنائي متما معامل التفلطح

α4 = 3 => qp = 1/6 يكون منحىن التوزيع معتدال عندما

التوزيع الثنائي والعالقة بني التوزيع اهلندسي الزائد: قاعدة تقارب )د (ن جهة أخرى يعطي التوزيع م و). حمدودn (١ تؤول إىل (N-1) / (N-n) فإن) ∞يؤول إىل ( كبري جدا Nيف حالة

.الثنائي نتائج قريبة من التوزيع اهلندسي الزائد ويصبح السحب بدون إرجاع مطابقا تقريبا للسحب باإلرجاع

Distribution binomiale négative) باسكال(التوزيع الثنائي السالب ٥

:استنتاج صيغة قانون التوزيع الثنائي السالب )أ (أحسب احتمال أن حنصل على ذلـك ). متتالية أو ال ( مرات صورة ٣غاية احلصول على نرمي قطعة نقود إىل :مثال .أحسب التباين و رميات، توقع عدد الرميات الالزمة٣ رميات، ٤ رميات، ٥بعد

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 5 -IV

إىل غاية احلصول على عدد معـني مكررة، لكن هذه املرة ) نتيجتني جناح وفشل (من جديد ليكن لدينا جتربة برنولية )r (لنجاحاتمن ا.X إىل غاية احلصول على عدد مرات تكرار التجربة يف هذه احلالة هي rجناح .

إذا . qx-r مـرة يـساوي x-r واحتمال الفـشل pr مرة احتماله rكيف حيسب االحتمال ؟ نعلم أن حتقق النجاح جناح مـن rة لتحقيق ئماللكن هناك عددا من الطرق امل . pr qx-rاالحتمال املطلوب يتضمن جداء هذين االحتمالني

-x جناح من بني r-1هذا العدد يساوي إذا عدد الطرق املالئمة الختيار . جتربة مع العلم أن آخر جتربة هي جناح Xبني

Cr-1 جتربة 1x-1 ) التجربة األخرية معلومة النتيجة .(

∞+=∞+++=== −−− ,...,3,2,1,...,2,1,,)( 1

1 rrrrXqpCxXP rxrrx

X~B (N, r, p) :يسمى هذا التوزيع توزيع باسكال أو الثنائي السالب ونكتب :كن إذا اإلجابة على أسئلة املثال السابق مبا يليمي

P (X = 5) = C3-15-1 p3 q5-3 = C2

4 (½)3 (½)2 = 6 (1/8) (1/4) = 9/32 µ = r/p = 3/(1/2) = 6 , σ² = rq/p² = 3 (1/2) / (1/2)² = 12/2 = 6

خصائص التوزيع الثنائي السالب )ب (

( )rt

t

qeeptM

prq

pr

−===

1)(,

²², σµ

nqnqq

qq )1(3)²2(3,1

43−++

+=+

= αα

Distribution géométrique التوزيع اهلندسي ٦

استنتاج صيغة قانون التوزيع اهلندسي )أ ( P(X= 4) = P(PPPF): رميات هو4احتمال أن يتطلب ذلك . نرمي قطعة نقدية إىل أن حنصل على صورة

جناح (نعود من جديد إىل التجربة الربنولية وهذه املرة نكرر التجربة إىل غاية احلصول على النتيجة أو احلدث املطلوب تتبـع ) مبا فيها املرة اليت حصل فيها النجـاح ( اليت متثل عدد مرات تكرار التجربة X املتغرية العشوائية ).مرة واحدة

.التوزيع اهلندسي P(X= 4) = q3p: فإن االحتمال ميكن كتابته كما يليq والحتمال الفشل ب pإذا رمزنا الحتمال النجاح ب

:كما يلي يعرب عنه X وبصفة عامة فإن احتمال أي قيمة ل...,3,2,1,)( 1 === − XpqxXP x

خصائص التوزيع اهلندسي )ب (

( )t

t

qeeptM

pq

p −===

1)(,

²²,1 σµ q

pq

q ²12,143 +=

+= αα

r = 1التوزيع اهلندسي ما هو إال حالة خاصة من توزيع باسكال حيث : مالحظة

التوزيعات االحتمالية األآثر استخداما الفصل الرابع

- 6 -IV

Distribution multinomiale التوزيع املتعدد ٧

استنتاج صيغة قانون التوزيع الثنائي املتعدد )أ ( .١مرتني الرقم و٦ الرقم أوجد احتمال احلصول على مرتني. مرات ٤نرمي قطعة نرد . مثال

التوزيع املتعدد هو تعميم للتوزيع الثنائي، فبينما األول يستعمل يف حالة جتربة تقبل نتيجتني فقط، يـستعمل التوزيـع نرمـز هلـذه . مع استقاللية التجارب عن بعضها . من النتائج املمكنة kاملتعدد للحالة العامة حيث يكون للتجربة عدد

:متنافية فإنAi ) النتائج(مبا إن األحداث . p1, p2, p3, . . . pkالحتماالهتا ب وA1, A2, . . . Akالنتائج ب = 1 p1+ p2 + p3 + . . . + pk

متغرية عشوائية متثل عـدد ) نتيجة( من املرات فسيكون لدينا لكل حدث n النتائج عدد متعددةإذا كررنا هذه التجربة .X1 + X2 + . . . + Xk = n حيث X1, X2, . . . Xk ات ب نرمز هلذه املتغري .مرات وقوعه

: كما يلي X1 = x1, X2 = x2, . . ., Xk = xk: حيسب احتمال احلدث املركبkx

kxx

kkk ppp

xxxnxXxXxXP ...

!...!!!),...,,( 21

2121

2211 ====

خصائص التوزيع املتعدد )ب (E(X1) = np1, E(X2) = np2, . . . , E(Xk) = npk V(X1) = np1q1, V(X2) = np2q2, . . . V(Xk) = npkqk

العالقة مع التوزيع اهلندسي الزائد املتعدد )ج (

Nيف التوزيع اهلندسي الزائد املتعدد، عندما ∞, Ni ∞, Ni/N pi ؛ يستخدم التوزيع املتعدد حلساب .االحتماالت

١الرقم (سب مع الرقم ذاته مرة، أحسب احتمال أن يظهر كل رقم عدد من املرات يتنا٤٢ إذا رمينا قطعة نرد: مثال ).هكذا و مرات٦ يظهر ٣ مرات، الرقم ٤ يظهر ٢يظهر مرتني، الرقم

( ) 124621 )6/1(...)6/1²(6/1

!12...!6!4!2!42)12...,4,2( ==== XXXP

سبع مرات على التوايل كرية مث نرجعهـا إىل ٥ إىل ١ كريات مرقمة من ٥نسحب من صندوق به . ٣مثال

.٤كريتني ذات رقم و٢، كريتني ذات رقم ١ كريات ذات رقم ٣: أوجد احتمال. الصندوق

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 7 -IV

Distribution de Poisson ١توزيع بواسون ٨

زيع بواسنتواستنتاج صيغة قانون )أ (

اليت متثل عدد النجاحات تتبع Xمبدئيا املتغرية . لتكن لدينا جتربة برنولية مكررة عدد كبري جدا أو الهنائي من املراتمثال إحتمال . كبريةnما تكون التوزيع الثنائي، لكن قد يصعب حساب االحتمال باستعمال صيغة هذا التوزيع عند

802020 : هوn = 100 جناح إذا كانت ٢٠100 999.0001.0)20( ⋅⋅= CP.

يكون احتمال حتقق احلدث يف حلظة وعندما تتكرر التجربة باستمرار؛ يصبح عدد مرات تكرار التجربة مقاسا بالزمن، .∞ؤول إىل يnحنتاج يف هذه احلالة إىل إجياد صيغة عامة تعادل صيغة التوزيع الثنائي عندما . زمن صغريا جدا

: p = λ/n ثابت حبيثλنضع

( )

xnxxnxx

n nnxxnnqpCxp

−−

−⋅

⋅

−=⋅⋅=

λλ 1!!

!)( xnx

nnxxnnnnxp −−

+−−−= )1()(

!)1).....(2)(1()( λλ

xn

nxnxn

nn

nn

nn

xpx −

−

+−−−

= )1(!

)1(.....)2()1(

)( λλ

xnx

nxn

xnn −

−

−−−−

= )1(!

)11).....(21)(11(1 λλ

xn

xxnx

nnxnxxp

nnn −− −−=−=⇒===⇒∞→ )1()1(

!)1(

!1)(0...21 λλλλλ

λλ :لكن −∞→ =

− e

n

n

n 1lim

) ومبا أن ) 1011lim =−=

− −

−

∞→x

x

n nλ فإن :

...,2,1,0!

)( ==−

xxexp

x λλ

X~P(λ) ونكتب. λ > 0 جناح يف وحدة زمن واحدة حسب توزيع بواسون حيث xو هو احتمال

71828.211lim... :مالحظة ==

+∞→ e

n

n

n

خصائص توزيع بواسون )ب (

[ ]λ

αλ

αλλ 13,1,)1(exp)(,)()( 43 +==−=== tetMXVXE

يف ١٨٣٧ الفيزيائي و الرياضي الفرنسي الذي استخدم هذا لقانون سنة Siméon-Denis Poisson (1781-1840)ونباسم سيميون دونيز بواس 1

Recherche sur la probabilité des jugements en matière)كتابه حبث يف احتمال األحكام يف جمال اجلرمية و يف اجملال املدين criminelle et en matière civile) إال أن أول استعمال له للقانون الذي حيمل امسه يعود إىل . دخل كنهاية لقانون باسكال والقانون الثنائي حيث أ

. [1997]أنظر ج ج دراوزبيك . جتدر اإلشارة إىل أن بواسون صاحب الفضل يف نظرية مهمة أخرى هي نظرية األعداد الكبرية اليت تنسب لشيبيشيف. ١٨٣٠

التوزيعات االحتمالية األآثر استخداما الفصل الرابع

- 8 -IV

. وحدة زمنt يف حساب احتمال عدد من األحداث )ج ( : فنجدλt ب λ من وحدات الزمن نعوض tمن أجل عدد أو مقدار

( ) ...,3,2,1,0,!

)( ===−

Xx

etxXPtx

t

λλ

يف λ=5 بفرض أن عدد املكاملات اهلاتفية اليت تصل إىل مركز هاتفي معني تتبع توزيع بواسـون مبعـدل . مثال .نصف و مكاملات يف ثانية٧احتمال وصول أحسب . الثانية

( )!7

)5(5.1)7()5(5.1)7(5.17 −

===eXPtλ

. من األحداث من فئة معينةتمال عددحساب اح )د (

.aλ هو اآلخر يتبع توزيع بواسون مبعدل Y= aX، فإن λ يتبع توزيع بواسون مبعدل Xإذا كان يف ثانية، λ=5 بفرض أن عدد املكاملات اهلاتفية اليت تصل إىل مركز هاتفي معني تتبع توزيع بواسون مبعدل. مثال . مكاملات دولية يف ثانية٩أحسب احتمال أن تصل . ات دولية من هذه املكاملات هي مكامل%٦وأن

!9))5(05.0()9(

)5(05.09 −

==eXP

التمثيل البياين لتوزيع بواسون )ه (

لكونه توزيعا متقطعا، يرسم توزيع ، )λوهي أقوى من قوة ( سالبة eدالة توزيع بواسون هي دالة متناقصة لكون قوة حظة سلوك التوزيع إال هذا قد يصعب مال. (Diagramme en bâtons)بواسون من خالل مدرج أعمدة

λ ملا باستخدام عدة أمثلة مبعامل متصاعدة بالتدريج، حيث يظهر أن التوزيع يقترب شيئا فشيئا من التوزيع الطبيعي . التالية تبني ذلكالرسوم البيانية . كبري مبا فيه الكفاية

)من اليسار إىل اليمني (٥ إىل ٢ إىل ١وزيع بواسون عند زيادة املعلمة من سلوك ت 7 رسم

. استخدام توزيع بواسون بدال من التوزيع الثنائي )و (

nعندما عمليا يعطي توزيع بواسون نتائج قريبة من . املتوسط ثابت يؤول التوزيع الثنائي إىل التوزيع بواسون و∞ :التوزيع الثنائي ملا

30 ≥ n 5 و < np 5 أو < nq

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 9 -IV

: ١يستخدم بعض من اإلحصائيني أيضا كشرط الستعمال قانون بواسون بدال من القانون الثنائي القاعدة التالية وn ≥ 25 و p ≤ 0,1

أحسب احتمـال أن يكـون هنـاك . % ١٠ وحدات من انتاج آلة نسبة إنتاجها التالف ١٠نأخذ عشوائيا : مثال . تالفتانوحدتان

P(X = 2) = C210 (0,1²) (0.98) = 0.1937

):معلمة قانون بواسون (λ حنسب أوال قيمة املعلمة : باستعمال توزيع بواسون. ٢طλ = µ = np = 10 * 0,1 = 1

P(2) = λx * e-λ/x! = (12 * e -1) / 2 ! = 1/(2e) = 1,1839

االستخدام العملي لتوزيع بواسون )ز (فمـن . ل توزيع بواسون لفترة طويلة يستعمل فقط لتمثيل األحداث النادرة، لكنه اليوم يستعمل يف جماالت متعددة ظ

عن حوادث إصابات اجلنود بصكات اجلياد يف اجليـوش أصـبح (Ladislaus Bortkiewics)الدراسة الشهرية لعـدد ( إحصائيا، تسيري ظواهر االنتظار، االتصاالت اليوم توزيع بواسون يستعمل يف شىت اجملاالت؛ منها مراقبة اجلودة

النووية لدراسة عدد اجلزيئات املنبعثة من مادة مشعة ويف البيولوجيا يف الفيزياءكما يستخدم ،)املكاملات يف وحدة زمنيف البيولوجيا وحىت يف علم األحوال كما يستخدم ، ملراقبة تكاثر البكترييا يف حقل جتارب (microbiologie) الدقيقة . اجلوي

؛ ففي هذا النوع "بظواهر االنتظار "يف جمال التسيري، يستخدم توزيع بواسون بشكل خاص عند دراسة مسائل متعلقة عدد الطـائرات : من أمثلة ذلك . كثريا ما يفترض أن وصول الزبائن إىل مكان اخلدمة يتبع توزيع بواسون من املسائل،

تصل إىل املطار يف وحدة زمن، عدد البواخر اليت تصل إىل ميناء يف وحدة زمن، عدد الزبائن الـذين يـصلون إىل اليت مكتب بريدي يف وحدة زمن، عدد املكاملات اهلاتفية اليت تصل إىل مركز هاتفي، عدد احلاالت االستعجالية اليت تصل

". بظواهر الوصول"تظار تسمى هذه الظواهر يف نظرية صفوف االن... إىل مستشفى، . بينت دراسة أن عدد حوادث العمل يف معمل معني يتبع توزيع بواسون مبعدل حادثتني يوميا. ١مثال

:أوجد احتمال حادث على األقل يف يوم. أوجد احتمال أن ال يسجل أي حادث يف يوم معني

P(X = 0) = λx * e-λ/x! = λ0 * e-λ/0! => P(X = 0) = e-λ = e-2 P(X ≥ 1) = 1- P(0) = 1– [λ0 * e-λ/0!] => P(X ≥ 1) = 1 - e-λ = 1 – e-2

١٢:٠٥ و ١٢:٠٠بينت دراسة إحصائية سابقة أن عدد السيارات اليت تصل إىل حمطة برتين معينة بني الساعة . ٢مثالأوجـد . احملطة يتبع توزيع بواسـون سيارات، كما بينت الدراسة أن عدد السيارات اليت تصل إىل 3هو يف املتوسط

.12:05 و١٢:٠٠ سيارات بني 4احتمال أن تصل : ومنه6 = 3 * ٢= متوسط عدد السيارات يف الساعة

= 1296 * e-6/24 = 54 * e-6 P(X=4) = 64 * e-6/4 ! خصائص مهمة ال يتسع املقام لذكرها يف إطار يف األخري، ينبغي اإلشارة إىل أن لتوزيع بواسون وأيضا للتوزيع الثنائي

هذا الدرس، ولكن سنتعرض لبعضها يف التطبيقات، لذلك حنيل الطالب إىل مطالعتها يف املراجع املتخصـصة؛ كمـا

. ٢٦٢، ص ١٩٩٧أنظر دروزبيك 1

التوزيعات االحتمالية األآثر استخداما الفصل الرابع

- 10 -IV

، مل نتطـرق (distribution uniforme)توجد توزيعات أخرى مهمة نظرا لتعدد استخداماهتا مثل التوزيع املتماثل .رس، ندعو الطالب الستكماهلا من خالل حبثه اخلاصهلا يف هذا الد

خالصة ٩ .قاط حول التوزيعات املتقطعة الشهريةاجلدول امللحق يلخص أهم الن

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 11 -IV

)!(!!

xnxnC x

n −=

التباين والتوقع االحتمال القيم املمكنة للمتغرية مىت يستخدم التوزيع

اهلندسي الزائدb,p) X~ H(N,

.سحب بدون إرجاع .كريات من صنفني

X =0,1,2,…,b ,

b ≤ b + r = N

nN

xnr

xb

CCC

xXP−⋅

== )(

= ,npµ

−−

=1

²N

nNnpqσ

p = b/N و q = r/N n عدد الكريات املسحوبة N لكريات الكلي لعدد ال b عدد الكريات البيضاء r ع الكريات احلمراء

اهلندسي الزائـد املتعدد

ــروط ت ــس ش نفاهلندسي الزائـد مـع وجود أكثر من صنفني

.من الكريات

Xi =0,1,2,…,Ni ,

Σxi = n, ΣNi = N

P(X1=x1,X2=x2,…Xk=xk)=

nN

xkNk

xN

xN

xN

CCCCC ⋅⋅⋅

=33

22

11

E[Xi] = n (Ni/N) = npi

ــويل برنــX~B(1, p)

غـري (جتربة واحـدة ,X = 0, 1P(X = 1) = p .تقبل نتيجتني) مكررة

P(X = 0) = 1 - p = qµ = p, σ²= pq

الثنائيX~B(n, p)

جتارب ثنائية النتيجة، p (مستقلة ومكررة ).ثابت

X = 0,1,2…,n

P(X = x) = Cxn px qn-x

µ= np, σ² = npq

الثنائي (باسكال )السالب

X هي عدد التجارب الالزمة للحصول على

من النجاحات rعدد ــة يف جتــارب برنولي

.مكررة

X = r, r +1, r +2, …, +∞ P(X = x) = Cr-1

x-1 pr qx-r µ = r/p ,

σ² = rq/p²

اهلندسي

X هي عدد التجارب للحصول على الالزمة

ــاح األول يف النجـ .جتارب برنولية مكررة

X = 1,2,…,+∞P(X = x) = qx-1p

µ = 1/p,

σ² = q/p²

التوزيع املتعددهو تعمـيم للتوزيـع الثنائي علـى جتربـة ∑ . مكررة متعددة النتائج

∑=

=

≤≤∀

=

=

NNi

nxiNixii

ki

ki

1

1 ,,0,

==== ),...,,( 2211 kk xXxXxXP

kxk

xx

k

pppxxx

n ...!...!!

! 2121

21

E(Xk) = npk

V(Xk) = npkqk

ــون بواســـX~P(λ) λ > 0

X عدد النجاحاتبري جدا من يف عدد ك

ــة التجــارب الربنوليعدد الوحدات التالفة (

أو أيـضا ). يف شحنة عدد من األحداث يف

.فترة زمن

X = 0,1,2,…,+∞

!)(

xexXP

x λλ −

== P(X = 0) = e-λ

P(X ≥ 1) = 1 - e-λ

E(x) = V(x) = λ

التوزيعات االحتمالية األآثر استخداما الفصل الرابع

- 12 -IV

التوزيعات االحتمالية الشائعة المستمرة .٢ المبحث

التوزيع الطبيعي التوزيع األسي

توزيع قاما ايع بيت توز

D. Normale ou D. de Laplace -Gausse ١التوزيع الطبيعي أو توزيع البالس قوس ١التوزيع الطبيعي من أهم التوزيعات االحتمالية شائعة االستخدام ملا له من خصائص تنطبق على نسبة كبرية من يعد

فا من املارين يف شار ع ما وقسنا أطواهلم فلو اخترنا بالصدفة مئة أو أل. الظواهر الطبيعية واالجتماعية واالقتصاديةومثل . نسبة مقاربة هلا من قصار القامة ولوجدنا نسبة كبرية منها قريبة من متوسط ما، ونسبة قليلة من طوال القامة

ن ولو مثلنا هذه البيانات يف معلم متعامد متجانس لكان املنحىن الذي ميثل النسبة، أو ما ميكن أ. هذا بالنسبة لألوزان :) 9الشكل( ذا شكل جرسي متماثل حول املتوسط وهي صفات التوزيع الطبيعينسميه االحتمال،

صيغة القانون )أ (

: للتوزيع الطبيعي كما يليملنحىن تكتب دالة الكثافة

∞<<−∞

−−

=

x

x

exf

2

2/1

21)( σ

µ

πσ

X ~ N(µ, σ) ونكتب . االحنراف املعياري و مها على التوايل التوقعσ وµحيث

:تكتب كما يلي للتوزيع الطبيعي) ةالدالة التجميعي(دالة التوزيع

∫ ∞−

−−

=≤=x v

dvexXPxF

2

2/1

21)()( σ

µ

πσ

: لتكوين اجلداول اإلحصائية لالحتماالتZ = (X-µ)/σتستخدم املتغرية املعيارية : المتغيرة المرآزية أو المعيارية P(0 ≤ Z ≤ z) أوF(z) = P(Z ≤ z)،

: كما يليوذلك σ وµ وxاهيل جم٣ بدال من Zهول واحد بداللة جمF وfحيث تسمح بكتابة الدالة

∞<<∞−= − zzf e z 2/²

21)(π

- Carl Freidrich Gaussاألملاين وPière Simon de Laplace (1749-1827)العاملان الرياضيان الفيزيائيان و الفلكيان الفرنسي باسم 1

أنظر. ١٨٩٣ يف Pearsonأما من أعطاه تسمية التوزيع الطبيعي فهو . الذين كانا من أوائل من اكتشف هذا القانون(1855-1777) ، -الصورة هلذا األخري(1997) J. J. Droesbeke 329 ، ص.

f(x)

x µ

الشكل العام للتوزيع الطبيعي8 رسم

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 13 -IV

033

3 ==σµ

α

∫ ∞−

−

=≤=z u

duezZPzF 2²

21)()(π

:علم أنن و. أي التوزيع الطبيعيX تتبع نفس توزيع Zفإن ، Z و X بني املتغريتنياخلطية بالنظر إىل العالقة E(Z) = 0 V(Z) = 1

خصائص التوزيع الطبيعي )ب ( :الدالة املتجددة للعزوم

للتوزيع 3٤α = معامل التفلطح يعترب ا، حيث وال مفلطحامدببمعتدال ال من خصائص التوزيع الطبيعي أنه يعترب

.ياتمعيارا العتدال املنحنالطبيعي القيمة املتوقعةمتماثل حول أنه أيضا من خصائص التوزيع الطبيعي

، مما يعين أنه من أجل أي قيمة للمتغرية ٠ حول Zيعين متاثل ملنحىن ) ٣أنظر الشكل (حول املتوسط X متاثل منحىن املعيارية

z > 0: P(0 ≤ Z ≤ z) = P(-z ≤ Z ≤ 0) = P(-z ≤ Z ≤ z) / 2

P(Z ≤ -z) = 1- P(Z ≤ z) = P(Z ≥ z)

: حتت املنحىن ومنها خاصة) املساحات( حساب االحتماالت Zو لقد مت باستخدام املتغرية املعيارية

P(-σ ≤ X ≤ σ) = P(-σ ≤ Z ≤ σ) = 0.6837,

P(-2 σ ≤ X ≤ 2 σ) = P(-2 ≤ Z ≤ 2) = 0.9544, P(-3 σ ≤ X ≤ 3 σ) = P(-3 ≤ Z ≤ 3) = 0.9973.

ـ با ا كما ميكـن حـساهب ،هذه القيم وغريها متوفرة يف اجلداول اإلحصائية اليت جندها يف الكثري من املراجع تخدام س .احلاسوب

استخدام تماثل الوزيع الطبيعي 9 رسم في حساب االحتماالت

+=

2²²

exp)(µ

µt

ttM x

Z

P(Z ≥ z) P(Z ≤ -z) P(-z ≤ Z ≤ z)

-z 0 z

µ X

التوزيعات االحتمالية األآثر استخداما الفصل الرابع

- 14 -IV

µ - 3σ µ - 2σ µ -1σ µ µ +1σ µ + 2σ µ + 3σ

2σ = 68.26%

4σ = 95.44%

6σ = 99.73%

8σ = 99.9937%

z =1, 2, 3 حيث P(0 ≤ Z ≤ z): أحسب ) ١ال اجلداول االحصائية باستعم: مثال

.z من أجل نفس القيم ل P(-z ≤ Z ≤ z) أحسب ) ٢٠,٤٩٨٦٥ ، ٠,٤٧٧٢٥ ، ٠,٣٤١٣ )١ ٠,٩٩٧٣، ٠,٩٥٤٥، ٠,٦٨٢٧) ٢

التوزيع الثنائي والعالقة بني التوزيع الطبيعي )ج (يعطي التوزيعان و.كن اعتبار التوزيع الثنائي كتقريب جيد للتوزيع الطبيعي مي٠ غري قريب من p و كبرية nيف حالة

:ونكتب. كبرية أكثرnنتائج أكثر تقاربا كلما كانت

npqnpxzdzebzaP

b

a

zn

−==≤≤ ∫ −

∞→ ,21)(lim 2/²

π

.٠,٥ قريب من pويسرع تقارب التوزيع الثنائي من التوزيع الطبيعي كون : قاعدة التقريب

.٥ كالمها أكرب من nq و npا عموما نعترب التقريب إىل التوزيع الثنائي مالئما عندم : يعتمد قاعدة أخرى هي أن يكون أحد الشرطني التاليني متوفرين١عدد من االحصائيني

10,10,209 ≥≥≥≥ nqnpnounpq

. ٢٦٢ص . ١٩٩٧ دراوزبيك أنظر 1

منحنى التوزيع الطبيعيالمساحات األساسية تحت 10 رسم

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 15 -IV

توزيع بواسون والعالقة بني التوزيع الطبيعي )د ( :ونكتب. بواسون يعطيان نتائج متطابقة وفإن التوزيعني الطبيعي ∞ →λ عندما

∫−

∞→=

≤

−≤

b

a

zdzebxaP 2

²

21limπλ

λλ

) من اليسار إىل اليمني (٥ إىل ٢ إىل ١سلوك توزيع بواسون عند زيادة املعلمة من 11 م رس

:قاعدة التقريبo عندما من التوزيع بواسون إىل التوزيع الطبيعي عموما نعترب أن التقريب مالئمλ ≥10

o كشرط للتقريب ١فيما يعتمد عدد من اإلحصائيني λ≥15 أنظر حل (الطبيعي حسب الشروط املذكورة و الثنائي، بواسون: معاوميكن أن تتقارب نتائج التوزيعات الثالث

.) أدناهالتطبيق

Distribution exponentielle التوزيع األسي ٢ة هاتفية، من ذلك مدة خدمة شباك الربيد، مدة مكامل. عادة ما يستخدم التوزيع األسي يف مسائل متعلقة بقياس الزمن

يف العلوم الدقيقة يستخدم ...انتظار زبون قبل احلصول على اخلدمةتفريغ باخرة شحن، مدة تصليح آلة، مدة مدة قبل أن تتفكك، حيث يعرب الوسيط عن (atomes radioactives)لتمثيل مدة حياة الذرات املشعة التوزيع األسي

.٢اللحظة اليت يبقى فيها نصف اجملتمع األصلي ثابت متوسطهلا كقاعدة عامة يستخدم التوزيع األسي لتمثيل مدة حياة ظاهرة ما إذا كان : الضروري فهم اآليتمن

1/λ وكانت هذه الظاهرة ال ختضع للتقادم (vieillissement) أي أن مدة حياة الظاهرة بعد حلظة ماT ال تتبع ستبعد استخدام التوزيع األسي لتمثيل مدة حياة آلة قد نمثال . ل؛ أي ال تتأثر باملدة اليت دامتها الظاهرة من قبTاللحظة

عاملة قبل تعطلها ألن احتمال تعطلها يف حلظة ليس مستقال عن املدة اليت عملتها اآللة من قبل، كذلك األمر بالنسبة .ملدة حياة اإلنسان

، اختبارات الفروضتقنيات ن خالل لظاهرة ما م_ أو أي توزيع آخر_عمليا، نتحقق من دقة متثيل التوزيع األسي .وبالتحديد اختبار التجانس و التعديل

نشري أخريا إىل أن للتوزيع األسي عالقة بالتوزيع بواسون، فإذا كان وقوع أحداث ما يتبع هذا التوزيع، فإن املدة بني ة ما يتبع التوزيع بواسون ؛ كمثال على ذلك، إذا كان وصول الزبائن إىل مركز خدموقوع حدثني تتبع التوزيع األسي

. املرجع نفسه 1 .Wikipédia راجع موقع موسوعة 2

التوزيعات االحتمالية األآثر استخداما الفصل الرابع

- 16 -IV

استنتاج صيغة القانون تتبني هذه العالقة عند . والزبون املوايل تتبع التوزيع األسي" أ"فإن املدة الزمنية بني وصول زبون .األسي

.أو دالة الكثافة و الدالة التجميعية للتوزيع األسيصيغة القانون )أ (

.حادث يوميا λبع توزيع بواسون مبعدل تتبينت دراسة أن عدد حوادث العمل يف معمل معني

.يوم tمدة يف ) حادث أو أكثر(أوجد احتمال أن يسجل حادث على األقل P(X ≥ 1) = 1-e-λt P(X ≥ 1) =1- P(0) =1-[λ0t * e-λt/0!] =>

F(t) = P(T ≤ t) ودالة الكثافة للزمن بني حادثني، f(t) إذن سيكون لدينا بني حادثني) باليوم( للزمن Tلنرمز ب . Tدالة التوزيع ل

:أو أقليوم يكون الزمن بني حادثني أن Pاحتمال لنحسب : إذن P = P(T ≤ t = 1)لدينا

)١ ............ (P = F(t = 1) : هو معادل الحتمال أن يسجل على األقل حادث يف يوم معنيPن أمن ناحية أخرى الحظ

)٢..........( P = P(X ≥ 1) = 1-e-λt t(F( = tλ-e - 1 )............3 ( نستنتج أن ) ٢( و)١(من

’f(t) = F(t)’ = (1 - e-λt) و منه = λ e-λt f(t)إذن

: إذا كان حدث عشوائي ما يتكرر يف الزمن وفق توزيع بواسون:قاعدة

( )!

)(x

xp ex λτ

τλτ −

=

: بني حادثني يتبع التوزيع التايلTفإن الزمن

≤>

=−

0,00,

)(ττλ

τλτe

f

. عدد حقيقي موجبλحيث .و يسمى هذا التوزيع التوزيع األسي ويسمى أيضا التوزيع األسي السالب لعالقته بتوزيع بواسون

التمثيل البياين للتوزيع األسي )ب (

دالة الكثافة للتوزيع األسي 12 رسم

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 17 -IV

( ) 00

1 >=Γ ∫∞

−− αα α dtet t

خصائص التوزيع األسي )ج (

ttMMed x −

=<===λ

λµµλσλµ )(,)2ln(,²/1²,/1

Distribution gammaتوزيع قاما ٣

توزيعي قاما و بيتا ميثالن جمموعة واسعة من التوزيعات ذات معلمتني تتميز مبرونة وقدرة على توليد توزيعات متعددة يستخدم توزيع قاما لتمثيل . ٢ك، و F ،tندرس هذين التوزيعني أيضا لعالقتهما بالتوزيعات . حسب قيم املعلمتني

. ١بعض الظواهر مثل توزيع الدخل واالدخار حتت شروط معينة

.صيغة القانون )أ (

:نقول عن متغرية عشوائية أهنا تتبع توزيع قاما إذا كانت دالة كثافتها كما يلي

0,0,0,0

0,)()(

/1

>>

≤

>Γ=

−−

βααβ α

βα

x

xexxf

x

: هي الدالة قاماΓ(α)حيث

~ Γ(α, β) X ونكتب

اصائص توزيع قامخ )ب ( µ = α β , σ² = α β², M(t) = (1 - βt)-α

Pour α>1: Γ(α) = (α-1)Γ(α-1) et si α ∈ N : Γ(α) = (α-1) ! , Γ(1/2) = √π . كما سنرى يف السلسلةمن خصائص توزيع قاما عالقته بالتوزيع األسي

: أحسب ما يلي. مثال

( ) ( ) ( ).5.2,5.4,7,,,0 2/10

6

0

4 ΓΓΓ∫∫∫∞ −∞ −∞ − dx

xedxexdtet

xxt

( ) ( ) π=Γ====Γ===Γ= ∫∫∫∫

∞ −−∞ −∞ −∞ − 2/1,720!67,24!4)5(0

2/1

0 2/10

6

0

4 dxexdxxedxexdtet x

xxt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) π

π

5.1)5.0(5.1)5.2(,720!67

)5.0)(5.1)(5.2(5.35.0)5.0)(5.1)(5.2(5.35.2)5.2(5.35.35.315.35.4

=Γ=Γ==Γ

=Γ=Γ=Γ=+Γ=Γ

: املعرفة كما يليZ و Yو X ة العشوائيالتباين للمتغرياتأحسب املتوسط و. ٢مثال

، ترمجه من١٩٨٣، موسكو، Mathématiques ،Editions Mir: آيفازيان و آخرون، مبادئ النمذجة و املعاجلة األولية للبيانات، سلسلة : أنظر 1

.١٥٨ص. ١٩٨٦الروسية إىل الفرنسية جياليل مبارك،

التوزيعات االحتمالية األآثر استخداما الفصل الرابع

- 18 -IV

( )

≤

>=

≤

>=

≤

>Γ=

−−−

0,0

0,6)(,

0,0

0,)6(4)(,

0,0

0,52)(

2

4

4/3

5

2/4

z

zezzf

y

yeyyf

x

xexxf

zyx

3²,3)1(3,64²)4(4²,16)4(4,20²)2(5²²,10)2(5 ============= zzyyxx σµσµαβσαβµ

Distribution bêtaتوزيع بيتا ٤

، التوزيع t² ،Fيستخدم حلساب توزيع حيث ) ١٤أنظر الرسم (تبعا لقيم معلمتيه يتميز توزيع بيتا مبرونته الكبرية ة ما كنسبة التالف ، مثل نسب١ و ٠وتستخدم لتمثيل بعض املتغريات اليت تتراوح بني ، ١الثنائي، الثنائي السالب وغريها

. أو املبيعات، إخل

.صيغة القانون )أ (

:نقول عن متغرية عشوائية أهنا تتبع توزيع بيتا إذا كانت دالة كثافتها كما يلي

( )( ) )0,(

0

10,

1)(

11

>

<<

−=

−−

βαβαβ

βα

ailleurs

xxxxf

),()1(,,0 : هي الدالة بيتاB(α, β)حيث 1

0

11 >−= ∫ −− βαβα βα duuuB ~ B(α, β) X و نكتب

α = 4, β = 2

التمثيل البياين لدالة الكثافة للتوزيع بيتا من أجل قيم خمتلفة للمعامل 13 رسم

.املرجع السابق 1

0 0,5 1,0 x

f(x)

α = 2, β = 4 α = 4, β = 2

α = 1/2, β = 1/2

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 19 -IV

خصائص توزيع بيتا )ب (

( ) ( )1²²,

+++=

+=

βαβααβσ

βααα

:بيتا والعالقة بني الدالتني قاما )ج (

)()()(),(

βαβαβα

+ΓΓΓ

=B

: أحسب ما يلي. مثال)()1,(),,1(),2,(),2/1,2/1(),4,3( NnnBnBnBBB ∈

( )( )BB ,)2/1()2/1(

)2/1,2/1(,601

1202

)!17()!14()!13()4,3( =

+===

−−−

= πππ

nnnnB

nnnn

nnnB

nnnnB 1

!1)!1()1,(,1

)!1()!1(

!)!1(1),1(,

)!1(1

)!12(!1)!1()2,( =

−==

−−

=−

=+

=+−

=

∫∫ :أحسب ما يلي. ٢مثال −−1

0

1

0

34 )1(,)1( dxxxdxxx,)2,3(B

12/1)]4(3/[1)]1(/[1)2,3( ==+= nnB ( ) 6/1

!3!1!1)2,2()1(,

2801

!8!3!4

)45()4(5)4,5()1(

1

0

1

0

34 ===−==+ΓΓΓ

==− ∫∫ BdxxxBdxxx

)(وباستعمال العالقة )()(),(

βαβαβα

+ΓΓΓ

=B

:أن دالة الكثافة للتوزيع بيتا تكتب أيضاجند ( ) ( )

<<−

ΓΓ+Γ

=−−

ailleurs

xxxxf

,0

10,1)()()(

11 βα

βαβα

التوزيع أن مثال، من ذلك يعني قاما وبيتا عالقة بعدد من التوزيعات املهمة كالتوزيع األسي وتوزيع كاي تربيعللتوز

. α = 1 , β = 1/λاألسي هو حالة خاصة من توزيع قاما عندما : التايل، إذا كانت نسبة اإلنتاج التالف تتبع التوزيعتباينالو تالفلإلنتاج الأحسب النسبة املتوقعة . ٣مثال

<<−

=sinon,0

10,)1(6)(

5 xxxf

)1,(16/1/)6,1.(: من املثال السابق لدينا BnnB =⇒=

~ B(1, 6) X ، جند أن على التوايل٦ و 1 يساويان β و αبوضع

): ومنه ) .20/1)5(16

4)1²(

²,2/1 ==+++

==+

=βαβα

αβσβα

αµ

أكثر من أحسب النسبة املتوقعة، واحتمال أن تبلغ النسبة . نسبة اإلنتاج املباع يف مؤسسة تتبع التوزيع التايل. ٤مثال٣٥% .

التوزيعات االحتمالية األآثر استخداما الفصل الرابع

- 20 -IV

( ) 00

1 >=Γ ∫∞

−− αα α dtet t

3125.0²3

)1(12)35.0(1²:

.)1²(12)35.0(

%605/323

3)2,3(~)2,3(/1124*312

sinon,010),1²(12

)(

1

35,0

1

35,0

3

1

35,0

=

+

−=>⇒−==

−=>

==+

=+

=⇒⇒=⇒=

<<−

=

∫

∫

dxxxxXPxuetdxxvsoit

dxxxXP

BXB

xxxxf

βααµ

خالصة ٥ .صائص التوزيعات االحتمالية املستمرة األكثر استخدامااجلدول التايل يلخص خ

خصائص التوزيع التباين والتوقع، دالة الكثافة التوزيع

التوزيع الطبيعي املعياري

X~N(0, 1)

E(Z) = 0, V(Z) = 1

P(Z ≤ -z) = 1- P(Z ≤ z) = P(Z ≥ z)

P(-σ ≤ X ≤ σ) =

P(-1 ≤ Z ≤ 1) = 0.6837,

P(-2 σ ≤ X ≤ 2 σ) =

P(-2 ≤ Z ≤ 2) = 0.9544,

P(-3 σ ≤ X ≤ 3 σ) =

P(-3 ≤ Z ≤ 3) = 0.9973.

التوزيع األسي

µ = 1/λ, σ² = 1/ λ²F(x) = 1- e-λx

P(X ≤ µ) = 0.63

توزيع قاما

X~Γ(α,β)

µ = α β, σ² = α β²

توزيع بيتا B(α, β) X~

( )( ) )0,(

0

10,

1)(

11

>

<<

−=

−−

βαβαβ

βα

ailleurs

xxxxf

( ) ( )1²²,

+++=

+=

βαβααβσ

βααα

0,,)1(),(1

0

11 >−=∫ −− βαβα βα duuuB

)()()(),(

βαβαβα

+ΓΓΓ

=B

∞<<∞−= − zzf e z 2/²

21)(π

≤>

=−

0,00,

)(ττλ

τλτe

f

0,0,0,0

0,)()(

/1

>>

≤

>Γ=

−−

βααβ α

βα

x

xexxf

x

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 1 -V

األبعادةلمتغيرات العشوائية متعددا .V الفصل

االرتباط و االستقالل التباين ثنائيةالالمتغيرة

تعدداالحتمال امل والقواعد األساسية يف نظرية االحتماالت كاالحتمال البسيط ويف الفصل األول املفاهيمدرسنا املسري على التقدير وعلى اختاذ القرار املناسب جتاه مسائل هذه املفاهيم تساعد . قاعدة مجع وضرب االحتماالتو

أو القانون (درسنا مفهوم املتغرية العشوائية والتوزيع االحتمايل يف الفصل الثاين .متشعبة وغري مؤكدة النتائجتمثيل الظواهر املختلفة من لتستخدم املتغرية العشوائية . حتمالية الشهريةوتطرقنا إىل عدد من التوزيعات اال) االحتمايل

العشوائية ات يف هذا الفصل سنتناول نوعا من املتغريات العشوائية وتوزيعاهتا وهي املتغري. أجل دراستها والتوقع بشأهنا ذلك أن العديد من الظواهر .رياتمتعلقة باالرتباط بني املتغمهمة ، باإلضافة إىل مفاهيم أخرى ذات أكثر من بعد

من أكثر من متغرية واحدة، فنتيجة نشاط مؤسسة هي حمصلة العائد والتكاليف، ملسائل اليت تطرح أمام املسري تتضواسوف نقتصر يف دراستنا . وحمصول موسم زراعي يتأثر مبتغريات عدة مثل كمية األمطار واألمسدة واملساحة املزروعة

. عدين اثنني وهو ما يطلق عليه املتغرية الثنائيةعلى املتغرية ذات ب

المتغيرة الثنائية .١ المبحث

)الهامشية(الدوال الحدية والتوزيعات المشترآة المتقطعة التوزيعات المشترآة المتصلة

التوزيع الشرطي

Fonction marginale) احلدية( الدالة اهلامشية والتوزيعات املشتركة املتقطعة ١

تعريف )أ (

ثال م. مثال و إمنا تتوقف على قيمة متغريتني اثنتني Xة الثنائية هي متغرية تتوقف ليس على قيمة واحدة هي قيمة املتغري معدل الطالب يتوقف على نقطة الرقابة املستمرة و نقطة التطبيق أو نقطة السداسي األول ونقطـة الـسداسي ،ذلكالتعريف الدقيق للمتغرية الثنائيـة . التكاليف و اإليرادات، وهكذا كذلك نتيجة السنة املالية تتوقف على متغرييت . الثاين

:باستخدام الترميز كما يلييتأتى

:f(x,y) ب P(X = x,Y = y): لنرمز لالحتمال، Y و Xمتغريتان عشوائيتان متقطعتان لدينا لتكن

f(x,y) = P(X = x,Y = y) f(x,y) ≥ 0

∑x∑y f(x,y) = 1

ة االحتمالية هلا ونقول أيضا دالة الكثافة املشتركة كثافال دالة f(x,y) وغرية ذات بعدين مت(X,Y)تسمى الثنائية ).جدول التوزيع املشترك(عن طريق جدول لالحتماالت املشتركة ها ميكن التعبري عن وY و Xللمتغريتني

البعدالمتغيرة العشوائية ثنائية الفصل الخامس

- 2 -VI

f1(x) ym . . . y2 y1 Y

X

f1(x1) f(x1,ym) . . . f(x1,y2) f(x1,y1) x1 f1(x2) f(x2,ym) . . . f(x2,y2) f(x2,y1) x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f1(xn) f(xn,ym) . . . f(xn,y2) f(xn,y1) xn 1 f2(yn) . . . f2(y2) f2(y1) f2(y)

P (X = x) = f1(x) = ∑k=1 يكتب كما يلي و حيسبX = xاحتمال m

f(x,yk)

P (Y = y) = f2(y) = ∑i=1 يكتب كما يلي و حيسبY = yاحتمال n f(xi,y)

f2(y) =1 ∑ و f1(x) = 1 ∑ :حيث ) نااحلديت(ن ان اهلامشيتا تسميان الدالتf2(y) و f1(x)الدالتني

الدالة التجميعية )ب (

:ما يليكتكتب (X,Y)الثنائية للمتغرية الدالة التجميعيةF (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) = ∑ u≤x

∑ v≤yf (u, v)

. للرقم الذي يظهر من مكعب النردY و لعدد مرات ظهور الصورة،Xب نرمي قطعة نقدية وحجر نرد، نرمز :مثالo أكتب التوزيع االحتمايل املشترك للمتغريتني، o احلصول على الصورة، احلصول على ٦ على صورة مع الرقم احلصول :أحسب احتماالت األحداث التالية ،

. ٦الرقم o أحسب االحتمالP(X ≤ 1, Y ≤ 3) ، P(X ≤ 2, Y ≤ 6).

f1(x) ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ X\Y

/2 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 ٠ 1/2 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 ١ 1 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 f2(y)

P (X = 1 et Y = 6) = f(1, 6) = 1/12: ٦لى صورة مع الرقم احتمال احلصول ع

P (X = 1) = f1(1) = ∑k=1 1/2 = . . . + 1/12 + 1/12 =احتمال احلصول على الصورةn f(1, yk)

P (Y = 6) = f2(6) = ∑i=1= 1/6 = 1/12 + 1/12 ٦ احتمال احلصول على الرقمm

f(xi,6)

P(X ≤ 1, Y ≤ 3) = F(1, 3) = ∑ u≤1 ∑ v≤3 f(u,v) = 6(1/12) = 1/2 , P(X ≤ 2, Y ≤ 6) = 1

التوزيع : اجلواب ( من بني التوزيعات االحتمالية الشهرية اليت رأينا يف الفصل الثاين أيها يعترب توزيعا مشتركا؟.سؤال ).املتعدد

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 3 -V

التوزيعات املشتركة املتصلة ٢

تعريف )أ ( : كما يلي١ا متصلتان، نعرف دالة الكثافة االحتمالية املشتركة هلممتغريتان عY و Xلتكن لدينا

P(X = x, Y = y) = f(x, y) f(x, y) ≥ 0

∫-∞+∞∫-∞

+∞f(x, y) dx dy = 1

الدالة التجميعية )ب ( : كما يلي) الدالة التجميعية(كتب دالة التوزيع ن

F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = ∫ u=-∞x∫ v=-∞

yf(u, v) du dv

f(x, y) = ∂²F / (∂x ∂y): كن استنتاج دالة الكثافة املشتركة من الدالة التراكمية باالشتقاق كما يليو مي

∞-=u∫ ىمن جهة أخرx∫v=-∞

∞f(u, v) du dv F1(x) = P(X ≤ x) =

∫u=-∞∞∫v=-∞

yf(u, v) du dv F2(y) = P(Y ≤ y) =

).نااحلديت(ن ااهلامشيت) ناالتجميعيت(ن ان التراكميتا الدالتF2(y) وF1(x)ن اونسمي الدالت

: ن يف جمالني ما نكتبا حمصورتY وXولتحديد احتمال

P(a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d) = ∫x=ab∫y=c

df(x, y) dx dy

الدوال اهلامشية )ج ( : فيعرب عنها كما يلي (X, Y)للكثافة االحتمالية للثنائية ) احلديتان(الدالتان اهلامشيتان

f1(x) = ∫v=-∞+∞

f(x, v) dv , f2(y) = ∫u=-∞+∞

f(u, y) du

: املعرفة كما يليY وX لدينا دالة الكثافة االحتمالية املشتركة للمتغريتني :مثال

<<<<

=sinon0

51,40,96),(

yxxyyxf

.y < 3 > 1 ، أحسب احتمالx < 2 > 0أحسب احتمال أكتب دالة التوزيع اهلامشية لكل من املتغريتني

F1(x) = P(X ≤ x) = ∫u=-∞x∫v=-∞

∞f(u, v) du dv

* x < 0 : F1(x) = 0,

.(X,Y)ونقول أيضا دالة الكثافة االحتمالية للثنائية 1

البعدالمتغيرة العشوائية ثنائية الفصل الخامس

- 4 -VI

* 0 ≤ x < 4 :

F1(x) = ∫u=-∞x∫v=-∞

∞ uv/96 du dv = 0 + ∫u=0

x∫v=1

5uv/96 du dv

=1/96 ∫u=0x[ ∫v=1

5uv dv] du = 1/96∫u=0

x[12u] du = x²/2 (12/96) = x²/16.

* x ≥ 4: F1(x) = 1

≥<≤

<=

414016/²

00)(1

xxx

xxF

F2(y) = P(Y ≤ y) = ∫u=-∞

∞∫v=-∞

yf(u, v) du dv

Pour y < 1 : F2(y) = 0, * 1 ≤ y < 5 :

F2(y) = 0 + ∫u=04∫v=1

y uv/96 dudv = 1/96 ∫u=0

4[ ∫v=1

yuv dv] du = 1/96 ∫u=0

4[u (y² - 1) / 2] du

= (1/2 * 1/96) (y² - 1) (u²/2)04 = (1/(2*96)) (y² - 1) (16/2) = (y² - 1) / 24

* y ≥ 5 : F2(y) = 1

≥<≤−

<=

515124/)1²(

10)(2

yyy

yyF

P(0 < x < 2) = F1(2) – F1(0) = 4/16 = ¼ ,

P(1 < y < 3) = 8 / 24 = 1/3

Distribution conditionnelleالتوزيع الشرطي ٣

يلي امتكتب ك (X|Y = y) متغريتان عشوائيتان متقطعتان، فإن دالة الكثافة االحتمالية الشرطية لX ، Yيف حالةf(x/y)وحتسب كما يلي :

)(),(

)(),()/(

1 xXPyYxXP

xfyxfyxf

===

==

: حتماالت الشرطيةو هذا استنادا إىل القانون التقليدي لال)(

)()/(AP

BAPABP ∩=

. املقابلة هلاf(x/y) االحتماالت وY عند تثبيت X هو جمموعة قيم املتغرية y Y = حيثXلتوزيع االحتمايل ل ا الفرق بالقيمة املطلقة بني عدد مرات Y وورة عند رمي قطعة نقدية مرتنيعدد مرات احلصول على ص Xلتكن . مثال

. الصورة وعدد مرات الكتابة .X|Y = 2 وX|Y = 0ن ل ان االحتمالياأكتب التوزيع، Y|X = 1أكتب التوزيع االحتمايل ل

P(c ≤ Y ≤ d / x ≤ X ≤ x + dx) = ∫c: متغريتان ع متصلتان نكتبY و Xيف حالةdf(y/x) dy

X ٢ ١ ٠ Y ٠ ١ P(X/Y=0) ٠ ١ ٠ P(y/x=1) ١ ٠ P(X/Y=2) 1/2 ٠ 1/2

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 5 -V

خالصة ٤ f(x,y) = P(X = x,Y = y): عشوائية و حيسب كما يلياحتمال ثنائية

. و تسمى دالة الكثافة اهلامشية P (X = x) = f1(x): لتعبري عن احتمال قيمة ما إلحدى املتغريتني نكتبل F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) :عي ملتغريتني فيعرب عنه من خالل دالة التوزيع املشتركةاالحتمال التجمي

.تنطبق هذه التعاريف على كل من املتغريات املتقطعة و املستمرة :فنكتب) ، مثال٠(للتعبري عن التوزيع االحتمايل إلحدى املتغريتني بشرط أن تأخذ املتغرية الثانية قيمة ما

P(X/Y = 0)

: تستخدم القاعدةXحلساب االحتماالت الشرطية ل )(

),()(),()/(

1 xXPyYxXP

xfyxfyYXP

===

===

االرتباط واالستقالل التباين .٢ المبحث

تعريف استقالل متغيرتين تباين المتغيرة العشوائية متعددة األبعاد وتوقع

التباين المشترك معامل االرتباط

تعريف استقالل متغريتني ١ : يكونان مستقالن إذا كانB وAأن حدثني عشوائيني رأينا يف الفصل األول

P(A et B) = P(A) P(B) :فقط إذا كان و إذا مستقلتانY و Xطعتان القاعدة، تكون املتغريتان العشوائيتان املتقهذه انطالقا من

P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y) f(x, y) = f1(x) f2(y)

P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x) P(Y ≤ y): متصلتني نكتبيف حالة كون املتغريتني

F(x, y) = F1 (x) F2 (y) يف شكل جداء ) أو دالة الكثافة املشتركة(لتان ميكن كتابة دالة التوزيع املشتركة هلما ل ااأي أن املتغريتان املستقلتان مه

).أو دالتني هامشيتني للكثافة(دالتني هامشيتني تراكميتني : حيث دالة الكثافة املشتركة هلما معرفة كما يليع مستمرين مY وXيكن ل. مثال

<<<<

=sinon0

51,40,),(

yxcxyyxf

. مستقلتنيY وXبني أن املتغريتني

Soit c = c1*c2 => f(x, y) = c1 c2 xy = c1x * c2y => f(x, y) = f1(x) * f2(y) cqfd

البعدالمتغيرة العشوائية ثنائية الفصل الخامس

- 6 -VI

عدد مرات Yرة يف رمية لقطعة نقدية و عدد مرات احلصول على صوXمتثل . ع متقطعةم Z وY وXليكن . ٢مثال اللذان ميثالن على التوايل عدد مرات ’Y و’X الفرق بالقيمة املطلقة بني Zو. احلصول على صورة يف رمية موالية

.الكتابة يف جمموع رميتني لقطعة نقدية/احلصول على الصورة

.Y وX عند كل قيم P(X = x,Y = y) = P(X = x) P(Y = y) ألن مستقلتان Y وXمن الواضح أن : فمثال’X ليست مستقلة عنZ جند أن على العكس من ذلك،

P(X’= 0, Z = 2) = 1/2 ≠ P(X’ = 0) P(Z = 2) = (1/4 . 1/2) = 1/8

تباين املتغرية العشوائية متعددة األبعاد وعتوق ٢ينطبق كل من تعريف التوقع الرياضي والتباين الذين تناولنامها فيما سبق على املتغرية العشوائية متعددة

. دالة كثافة مشتركة هلماf(x, y) و،قطعتانمتغريتان عشوائيتان متY و Xلتكن. األبعادµx = E(X) = ∑x∑y x f(x, y) , µy = E(Y) = ∑x∑yy f(x, y)

σ²x = E[(x – µx)²] = ∑x∑y (x – µx)² f(x, y) , σ²y = E[(y – µy)²] = ∑x∑y (y – µy)² f(x, y)

: ستمرتان متغريتان م Y وXحالة يف

µx = E(X) = ∫-∞+∞∫-∞

+∞x f(x, y) dx dy , µy = ∫-∞

+∞∫-∞

+∞y f(x,y) dx dy .

σ²x = E[(x – µx)²] = ∫-∞+∞∫-∞

+∞(x – µx)² f(x, y) dx dy ,

σ²y = E[(y – µy)²] = ∫-∞+∞∫-∞

+∞(y – µy)² f(x, y) dx dy

: املعرف كما يليالتوزيع املشتركليكن لدينا . مثال :املطلوب حساب E(y), E(x) ،σ²x, σ²y

E(x) = ∑x∑y x f(x, y) = 1(1/8 + ¼ + 1/8) – 5(1/4 + 1/8 + 1/8) = 1/2 – 5/2 = -4/2 = -2 E(Y) = ∑x∑y y f(x, y) = -4 (1/8 + ¼) – 2 (1/4 + 1/8) + 7 (1/8 + 1/8) = -1/2 σ²x = E[(x – µx)²] = ∑x∑y (x - µx)² f(x, y) = (1 + 2)² (1/8 + ¼ + 1/8) + (-5 + 2)² (1/4 + 1/8 + 1/8) = 9 (1/2) + 9 (1/2) = 9 σ²y = E[(y – µy)²] = ∑x∑y (y - µy)² f (x, y) = (-4 + 1/2)² (1/8 + 1/4) + (-2 + 1/2)² (1/4 + 1/8) + (7 + 1/2)² (1/8 + 1/8) = 49/4 (3/8) + 9/2 (3/8) + (15/2)² (2/8) = 651 / 32 = 20,34

.f2(y) و f1(x) دوال اهلاشيةكما ميكن حساب كل من القيم السابقة باستخدام ال

X Y 0 1 Z

X’ 0 ٢ ١ X’ 0 1 2 Z 0 2

0 ¼ ¼ ٠ ١ ٠ ٠ px ¼ ½ ¼ pz ½ ½

1 ½ ½ ٠ ½ ٢ ½

7 -2 -4 y X

1/8 1/4 1/8 1 1/8 1/8 1/4 -5

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 7 -V

E(x) = ∑x x f1(x) = 1(4/8) – 5(4/8) = -2 V(x) = E(x²) – E²(x) = [1²(4/8) + (– 5)²(4/8)] – (–2)² = 9

Covariance التباين املشترك ٣ : التباين املشترك كمايلييعرف

Cov (X, Y) = σxy = E[(X – µx)(Y – µy)] :متغريتان متقطعتان Y و Xيف حالة

σxy = ∑x∑y(x – µx)(y – µy)f(x, y) : مستمرتانمتغريتان Y و Xيف حالة

σxy= ∫-∞+∞∫-∞

+∞(x – µx) (y – µy) f(x, y) dx dy

التباين املشتركخصائص )أ ( :نستنتجكن أن ميمن تعريف التباين .١

Cov(X, Y) = E[(X – µx)(Y – µy)] = E[XY – Xµy – µxY + µxµy]

= E(XY) – E(X)E(Y) – E(X)E(Y) + µxµy = E(XY) – E(X) E(Y)

Cov(X, Y) = E(XY) – E(X) E(Y) E(XY) = E(X) الرياضي أن نعلم من خصائص التوقع ١متغريتان مستقلتان Y و Xيف حالة .٢

E(Y) منهو: Cov(X, Y) = E(XY) – E(X) E(Y) = E(XY) – E(XY)

Cov (X, Y) = 0

:متغريتان مستقلتان أو غري مستقلتني Y و Xيف حالة .٣2 Cov (X, Y) ± Var (X ± Y) = V(X) + V(Y)

σxy| ≤ σxσy| : ملعيارينيالقيمة املطلقة للتباين املشرك ال تكون أكرب من جداء االحنرافني ا .٤

Cov(X, Y) = V(X) V(Y) : فإنY = Xمتغريتان مرتبطتان متاما مثال Y و Xيف حالة .٥

متثل شرطا ولكنه املعادلة هي يف احلقيقة . العكس ليس بالضرورة دوما صحيح، فقد يكون التباين املشترك مساويا للصفر من غري أن يكون املتغريتان مستقلتان فعال 1

الشرط االزم والكايف الستقالل . املتغريتنيباملقابل ميكن استعمال نتيجة معدومية التباين املشترك للداللة على ضعف االرتباط، إذا كان موجودا، بني. ليس شرطا كافيا .متغريتني هو املذكور سابقا يف تعريف االستقالل

f1(x) 7 -2 -4 Y X

4/8 1/8 1/4 1/8 1 4/8 1/8 1/8 1/4 -5 1 2/83/83/8 f2(y)

البعدالمتغيرة العشوائية ثنائية الفصل الخامس

- 8 -VI

معامل االرتباط ٤

نستنتج أن الكسر) ٢(ة من اخلاصيyx

xy

σσσ

يف نستنتج أنه ) ٥( من اخلاصية و مستقلتانY و X يف حالة ٠يساوي

.١فإن الكسر يساوي متغريتان مرتبطتان متاما Y و Xحالة

11 :)١( و )١-(تتراوح قيمته بني نسبة نستنتج أن ال ٤من جهة أخرى من اخلاصية ≤≤−yx

xy

σσσ

من أجل هـذا .

:تستعمل النسبةyx

xyrσσ

σ . لقياس االرتباط بني املتغريتني، وتسمى معامل االرتباط =

.نا، من غري أن جنزم أهنما مستقلتنيغري مرتبطتان املتغريتنقول أن معدوم rيف حالة .أوجد التباين املشترك واالرتباط للتوزيع املشترك املذكور يف املثال السابق. مثال

Cov(X, Y) = E(XY) – E(X) E(Y) E(XY) = 1(-4)(1/8) + (1)(-2)(2/8) + (1)(7)(1/8) + (-5)(-4)(2/8) + (-5)(-2)(1/8) + (-

5)(7)(1/8) = 1.75 E(X) = 1(4/8) + (-5)(4/8) = -2, E(Y) = -4(3/8) – 2(3/8) + 7(2/8) = -1/2. Cov(X, Y) = 1.75 – (-2)(-1/2) = 0.74 V(X) = E(X²) – E²(X) = 1(4/8) + (-5)²(4/8) – (-2)² = 9 => σx = 3,

05.0)5.4(3

75.0===

yx

xyrσσ

σ V(Y) = E(Y²) – E²(Y) = 20.34 => σy = 4.5.

خالصة ٥

يف شكل جداء ) أو دالة الكثافة املشتركة( كتابة دالة التوزيع املشتركة هلما نقول عن متغريتان أهنما مستقلتان إذا أمكن : أي أنf(x, y) = f1(x) f2(y)): أو دالتني هامشيتني للكثافة(دالتني هامشيتني تراكميتني

P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y)

، من جهة أخرى نقيس االرتباط بني متغريتني من خالل معامل االرتباط Cov(X, Y) = E(XY) – E(X) E(Y) ويف هذه احلالة يكون التباين املشترك

E(XY) = E(X) E(Y) معدوما ألنه تبعا خلصائص التوقع الرياضي يف حالة االستقالل فإن .لكن العكس ليس بالضرورة صحيح

يستخدم معامل االرتباط yx

xyrσσ

σب أن يكون متنبها إىل كمؤشر على االرتباط بني املتغريتني، لكن اإلحصائي جي =

.حمدودية هذا املؤشر

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 1 -VI

دوال المتغيرات العشوائية والتقارب .VI الفصل

، فيشر وستيودنت٢ك : الدوال غير الخطية التقاربي، نظرية النهاية المرآزية السلوك والتقارب

والتطبيقي ستداليل االاإلحصاء الواسع يف خدامهذا الفصل عدد من التوزيعات ذات االست األول من املبحثنتناول يف

هذه التوزيعات يف عمله من أجل الوصول إىل اإلحصائي يستخدم حيث، "اختبار الفروض" و"التقدير"خاصة يف جمايل الثاين سنتطرق للتقارب بني املبحث يف .انطالقا من بيانات يتحصل عليها من عينةاملدروس "اجملتمع"بشأن " قرار"

.ليت درسناها من قبل االتوزيعات االحتمالية املختلفة

، فيشر وستيودنت٢ك : الدوال غير الخطية .١ المبحث

توزيع فيشر توزيع ستيودنت ٢توزيع ك

Distribution en Khi-carré (ou Khi-deux) ٢١توزيع ك ١ : هو من أكثر التوزيعات استخداما يف جمال اختبار الفروض بأنواعها، وميكن تعريفه كما يلي٢توزيع ك

). µ = 0, σ =1( ، متغريات عشوائية مستقلة كل منها تتبع التوزيع الطبيعي املعياري X1, X2, . . . Xνلتكن املتغرية

X = X1² + X2

² + . . . + Xν²

: هلا دالة الكثافة التالية

( )

( )

≤

>Γ=

−−

00

02/2)( 2/

2/12/

x

xexxf

x

νν

ν

: هي الدالة قاماΓ(α)حيث ( ) 0

01 >=Γ ∫

∞−− αα α dtet t

X ~ χ² درجة حرية ونكتبν ب٢تتبع التوزيع ك Xو نقول أن ν

. : تكتب كما يلي)χ²) Fالدالة التجميعية

.(Karl Pearson, 1900)و كارل بريسون (F. Helmert, 1876) ف هلمرت يرجع الفضل يف اكتشاف هذا التوزيع إىل 1

x

ν = 15

ν = 10

ν = 6

ν = 3

ν = 1

ν = 2

0 6 12 18 24

0.25

f(x)

حسب درجة الحرية٢ تدرج منحنى ك 14 رسم

دوال المتغيرة العشوائية و التقارب الفصل السادس

- 2 -VI

<

≥Γ=≤Χ ∫ −−

00

0)2/(2

1)²( 0

2/1)2/(2/

x

xdueuxP

x uνν ν

٢ خصائص توزيع ك )أ (E(X) = ν, V(X) = 2ν, M(t) = (1-2t)-ν/2

. α = ν/2, β = 2هي حالة خاصة من توزيع قاما بوضع هي ٢دالة التوزيع كحىن يبتعد شيئا فشيئا عن احملور ونالحظ من الرسم أن املنν شكله حسب قيمة الثابت f(x)ويأخذ منحىن

12²2 فإن (ν ≥ 30) كبريνونربهن أنه عند . νالعمودي ويأخذ شكال جرسيا كلما زادت قيمة −− νχ .تتبع التوزيع الطبيعي املعياري

من خالل ) أنظر الرسم املقابل( على احملور األفقي ٢ك) قيمة املتغرية(تعني نقطة يف اجلداول االحصائية، νملساحة اباإلضافة إىلp حتت املنحىن ٢على يسار ك (p = P(X ≤ χ²ν;p) .بداللة ٢وأحيانا حتدد النقطة ك

χ²α,ν و χ²p,ν: جند يف كتب االحصاء كل من الكتابتنيلذلك ) α = 1- p(املساحة على ميينها

pور من خالل قيمة على احمل٢تعيني نقطة ك 15 رسم

جمموع هذه X1 ~ χ²ν1 , . . . , Xn ~ χ²νn حيثnم ع مستقلة عددها لتكن :نظرية

املتغريات

~ χ²νT∑=

=n

iiT XX

1

νT = ∑νi

١Distribution de Studentتوزيع ستيودنت ٢

ν/Z املتغرية ؛~ χν² Z وY~ N(0, 1) حيث Z وYلتكن املتغريتان العشوائيتان املستقلتان YT =

تتبع

هلا دالة الكثافة التالية يعتوز

الذي نشر مقاالته كلها باسم ستيودنت، ونشر (1876-1937) (William Sealy Gosset)يرجع الفضل يف إجياد هذا القانون إىل ويليام سيلي قوسي 1 .٢٦٢، ص ١٩٩٧دراوزبيك : أنظر « The probable error of a mean » بعنوان ١٩٠٨مقالته حول هذا القانون عام

x

0

f(x)

p=1- α α

χ²p,ν

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 3 -VI

∞<<∞−

+

Γ

+

Γ=

+

−

tttf2

1

²1

2

21

)(ν

νννπ

ν

( ) 0

01 >=Γ ∫

∞−− αα α dtet t

T ~ tν : نكتب ودرجة حريةνستيودنت ب تتبع توزيع Xو نقول أن املتغرية

خصائص توزيع ستيودنت )أ ( E(T) = 0, V(T) = ν/(ν-2) si (ν > 2)

ب درجة احلرية ستيودنت حسمنحىنج تدر 16 رسم

نقطة مناظرة هلا سالبة t مما يعين أن لكل نقطة موجبة ٠متماثل حول املتوسط t نالحظ أن منحىن - = t1-pنكتب و،(t–) تساوي املساحة حتت املنحىن علي يسار tحيث املساحة حتت املنحىن على ميني

tp.

وعموما، . νي املعياري كلما زادت قيمة يقترب من املنحىن الطبيعf(t)باإلضافة إىل ذلك فإن منحىن . ν ≥30يعترب اإلحصائيون أن املنحنيان يتطابقان تقريبا عند

حتت املنحىن tعلى يسار pواملساحة ν من خالل t) قيمة املتغرية(تعني نقطة يف اجلداول االحصائية، ) (p = P(T ≤ tν;p) .وأحيانا حتدد النقطة t ها بداللة املساحة على ميين)α = 1 - p ( ونكتب :tp,ν

.tα,νأو

طبيعي

ν = 4

ν = 1

0.4

f(t)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 t

دوال المتغيرة العشوائية و التقارب الفصل السادس

- 4 -VI

Distribution F de Fisher-Snédecor ١)F(توزيع فيشر ٣

x

(10, 50)

(10, ? )

(10, 10)

1.0

(10, 4)

f(x)

0,5

0 1 2 34

تدرج منحىن فيشر حسب درجة احلرية 17 رسم

: املتغرية . ~ χν2² X2 وX1 ~ χν1² ليكن لدينا املتغريتان العشوائيتان املستقلتان 22

11

//νν

XX

X هلا دالة =

:لكثافةا

( )

≤

>+

Γ

Γ

+

Γ

=

+−−

00

0

22

2)(

212

1)2

(2221

21

21

21121

x

xxxxf

ννννννννν

νν

νν

X ~ Fν1, ν2 :نكتب و درجة حرية٢ν و١νتتبع توزيع فيشر ب Xو نقول أن املتغرية

: خصائص توزيع فيشر )أ (

( )( ))4(

24)2(2

²,)2(2 22

221

2122

22

2 >−−−+

=>−

= ννννννν

σνν

νµ

من خالل ثالثة Fلذلك حتدد أي نقطة وν2 و ν1 إىل كل منx باإلضافة ل f(x)ويظهر من املعادلة تبعية منحىن

Fp, ν1 , ν2، ونكتب ) Fيسار النقطة املساحة حتت املنحىن على (p وν2 و ν1: معامل

.p = 0.99 و p = 0.95 عند Fيف الغالب تعطي اجلداول اإلحصائية قيم و

P و ν1, ,ν2 يتم في الجدول يتم من خالل F تعيين قيمة 18 رسم

George) يعترب مؤسس نظرية التقدير و جورج وادل سنيديكور ) إجنلترا ((1890-1962) (Ronald Aylmer Fisher) رونالد آيلمر فيشر 1

Waddel Snédecor) (1881-1974)) ٢٥٨أنظر املرجع السابق، ص ) أمريكي.

x

0

f(x)

p=1- α α

Fp,ν1, ,ν2

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 5 -VI

. ١نظرية 1221 ,,,,1 /1 νννν pp FF =−

. ٢نظرية 2

),2/(1,1,1 νν pp tF −− = . ٣نظرية

νχ ν

ν

2,

,,p

pF =∞

خالصة ٤ : يف اجلدول التايلاملبحثميكن تلخيص أهم ما تضمنه هذا

أهم ما جيب معرفته عن دالة الكثافة املتغرية العشوائية التوزيع

٢توزيع كX ~ χ²ν

متغريات عشوائية مستقلة كل Xiإذا كانت منها تتبع التوزيع الطبيعي املعياري، و

X = X1² + X2

² + . . . + Xν²

X ~ χ²ν: إذن

f(x) = 0 si x ≤ 0

E(X) = ν, V(X) = 2ν

توزيـــــع ستيودنت

T ~ tν

Z وY لتكن املتغريتان العشوائيتان املستقلتان : إذن ؛~ χν² Z و Y~ N(0, 1)حيث

~ tν ν/ZYT =

E(T) = 0, V(T) = ν/(ν-2) si (ν > 2)

توزيع فيشر

X ~ Fν1, ν2

ئيتان إذا كانــت لــدينا متغريتــان عــشوا :مستقلتان حيث X1 ~ χν1² و χν2² X2 ~،

Fν1, ν2 ~ فإن 22

11

//νν

XX

X =

f(x) = 0 si x ≤ 0

νχ ν

ν

2,

,,p

pF =∞ ,2

),2/(1,1,1 νν pp tF −− = ;

1221 ,,,,1 /1 νννν pp FF =−

السلوك التقاربي لبعض التوزيعات االحتمالية .٢ المبحث

التوزيع الطبيعي والتقارب بين التوزيع الثنائي االنتقال من متغيرة متقطعة إلى متغيرة مستمرة

ئي وتوزيع بواسونالتقارب بين التوزيع الثنا نظرية النهاية المرآزية

ونقـصد . بعض حاالت التقارب الذي حيصل بني عدد من التوزيعات االحتماليـة الـشهرية املبحثنتناول يف هذا

أن يعطي التوزيعان نتائج متقاربة خبصوص احتمال معني، ممـا يعـين ) الثنائي وبواسون مثال (بالتقارب بني توزيعني

دوال المتغيرة العشوائية و التقارب الفصل السادس

- 6 -VI

علما أننا قد تطرقنا من قبل بإجياز إىل هذا . حلساب احتمال معني ) وأحيانا أكثر ( توزيعني احتماليني إمكانية استخدام .املفهوم عند دراستنا هلذه التوزيعات

التوزيع الطبيعي والتقارب بني التوزيع الثنائي ١ . ة جدا إلىأعداد كبريn عندما تؤول X~B(n,p)لندرس السلوك التقاريب ملتغرية التوزيع الثنائي

. مرات١٦ مرات، ٨ مرات، ٤مرتني، : ميثل عدد مرات احلصول على صورة عند رمي قطعة نقدية Xليكن

.Xالسلوك التقاريب للمتغرية يظهرn = 2 ، n = 4 ، n = 8 ، n =16 للحاالت Piمنحنيات برسم

n = 2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1 2 3 4X

p(x

)

n = 4

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 2 4 6X

P(x

)

n = 8

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 2 4 6 8 10X

P(x

)

n = 16

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 5 10 15 20

X

P(x)

p = 0.5 السلوك التقاريب للتوزيع الثنائي ملا 19رسم

متماثل حول و ذا شكل جرسي تؤدي إىل احلصول على منحىنnيظهر من مقارنة املنحنيات األربعة أن زيادة قيمة .µالتوقع

. لكن التحول يكون أكثر بطأp ≠ 0.5هذه املالحظة تصدق أيضا يف حالة إن السلوك . X امللحقة بذات املتغرية ذات التوزيع الثنائي z = (x - µ)/σمن أجل التعميم نعترب املتغرية املعيارية

: ه النظرية التالية املالجظ يف الشكل أسفله هو ما تثبتZالتقاريب ل).1,0(:),(~ N

npqnpXYpnXsoit n →

−= ∞→B

2 1 0 Xi ¼ 1/2 1/4 Pi

4 3 2 1 0 Xi 1/16 4/16 6/4 4/16 1/16 Pi

876543210Xi0,0040,0310,1090,2190,2730,2190,1090,0310,004Pi

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 7 -VI

.≈ N(0,1) Yونكتب

n=2

0

0,4

-4 -2 0 2 4z

n=4

0

0,4

-4 -2 0 2 4z

n=8

0

0,2

0,4

-4 -2 0 2 4z

n=16

0

0,1

0,2

0,3

-4 -2 0 2 4z

املعيارية من خالل املتغرية املعياريةالسلوك التقاريب للتوزيع الثنائي 20رسم

: قاعدةي التوزيعان يعط و. ميكن اعتبار التوزيع الثنائي كتقريب جيد للتوزيع الطبيعي٠ غري قريب من p و كبرية nيف حالة

:ونكتب. كبرية أكثرnنتائج أكثر تقاربا كلما كانت

∫−

∞→=≤

−≤

b

a

u

ndueb

npqnpxaP 2

²

21)(limπ

: وكقاعدة ٠,٥ قريب من pو مما يسرع تقارب التوزيع الثنائي من التوزيع الطبيعي كون .٥ كالمها أكرب من nq و npعموما نعترب أن التقريب مالئم عندما : حد الشرطني التاليني متوفرين يعتمد قاعدة أخرى هي أن يكون أ١عدد من االحصائيني

o npq ≥ 9 o n ≥ 20 , np ≥ 10, nq ≥ 10

. n = 20 الثاين عند وn = 36يتحقق عند ) ١( ، الشرط p = 0.5يف حالة .n = 100 ، الشرطني يتحققان عند p = 0.10يف حالة

. االنتقال من متغرية متقطعة إىل متغرية متصلة ٢يعين حساب االحتمال عن طريق توزيع مستمر بينما املتغرية التوزيع الثنائي من ال ستخدام التوزيع الطبيعي بدال

.يتم اعتبار كل قيمة يف املتغرية األصلية جماالمن أجل ذلك . متقطعة

.٢٦٢ املرجع السابق، ص 1

Pi Pi

Pi Pi

دوال المتغيرة العشوائية و التقارب الفصل السادس

- 8 -VI

. P(3.5 ≤ X ≤ 4.5) : جتربة يصاغ كما يليn جناحات خالل ٤احتمال . لمثا مث أدرس إمكانية P(X = 8)أحسب . ت احلصول على صورة عدد مراXليكن . مرة٢٠نرمي قطعة نقدية : ٢مثال

. البالس حلساب نفس االحتمال-استخدام نظرية موافر X ~ B(20, 0.5) , P(X = 8) = F(8) – F(7) = 0.2517 – 0.1316 = 0.1201.

n =10 ،np :إذا شئنا استخدام القاعدة الثانية فإننا جند أيضا أن و ،nq = 10 >5 وكذلك np = 10 >5لدينا

=10 ،nq=10 ميكن إذا اعتبار ،Y = (X-10)/√5 ~ N(0 ,1) . نستخدم املتغرية املستمرةX* بدال من X [8.5 ,7.5] هو و٨حلساب احتمال اجملال املعرب عن القيمة

12.0)67.612.1(24.2

105.824.2

105.7)5.8*5.7( =−≤≤−=

−

≤≤−

=≤≤ ZPZPXP

توزيع بواسون والتقارب بني التوزيع الثنائي ٣ nq < 5 أو np < 5 و n ≥ 30يعطي توزيع بواسون نتائج قريبة من التوزيع الثنائي ملا

:١و يستخدم بعض اإلحصائيني كشرط الستعمال قانون بواسون بدال من القانون الثنائي القاعدة التالية n ≥ 25 و p ≤ 0,1

. من انتاج هذه اآللة عشوائياة وحد٣٠من إنتاج آلة ما يعد تالفا، نأخذ % ١٠ :مثال .ون هناك وحدتان تالفتان أحسب احتمال أن يك

P(X = 2) = C230 (0,1²) (0.928) = 0.22

)معلمة قانون بواسون(الستعمال توزيع بواسون حنسب أوال قيمة املعلمة : n ≥ 25 ،p ≤ 0.1لدينا λ = µ = np =30 * 0,1 = 3

P(2) = λx * e - λ/x! = (32 * e -3) / 2! = 0.22

ركزيةنظرية النهاية امل ٤إذا . متغريات عشوائية مستقلة هلا نفس التوزيع االحتمايل بتباين ومتوسط حمددين. . . . ، X1 ،X2لتكن املتغريات

كانت

Sn = X1 + X2 + . . . + Xn (n = 1, 2, . . .),

: فإننا تكتب σSn = σ√n و E(Sn) = nµمبا أن و .∞→ n تتبع التوزيع الطبيعي عندما Snفإن

∫−

∞→=

≤

−≤

b

a

zn

ndzeb

n

nSaP 2

²

21limπσ

µ

هلا نفس املتوسط والتباين حىت ولو مل يكن هلا Xiيف احلقيقة فإن النظرية حمققة عندما تكون املتغريات املستقلة

بالضرورة نفس التوزيع، مع العلم أنه توجد صيغ أخرى هلذه النظرية حيث ال يشترط أن يكون للمتغريات نفس .قلةالتوزيع االحتمايل وال حىت أن تكون مست

البالس اليت تطرقنا إليها سابقا هي حالة خاصة من نظرية النهاية املركزية، ذلك أن -جتدر اإلشارة إىل أن نظرية موافر . B(1, p) ميكن اعتبارها جمموعا لعدد من املتغريات املستقلة ذات التوزيع الربنويل B(n, p)متغرية تتبع القانون

املرجع السابق 1

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 9 -VI

خالصة ٥

يعين حساب االحتمال عن طريق توزيع مستمر بينما املتغرية التوزيع الثنائي ال من ي بدستخدام التوزيع الطبيعال .يتم اعتبار كل قيمة يف املتغرية األصلية جماالمن أجل ذلك . متقطعة

متغريات عشوائية مستقلة هلا نفس التوزيع االحتمايل بتباين ومتوسط حمددين ( Snتنص على أن نظرية النهاية املركزية : ونكتبσSn = σ√n و E(Sn) = nµ مبتوسط ∞→ nتبع التوزيع الطبيعي عندما ت)

∫−

∞→=

≤

−≤

b

a

zn

ndzeb

n

nSaP 2

²

21limπσ

µ

يف املبحث املذكورة آنفا قواعد املستخدمة كشروط للتقريب بني التوزيعات االحتماليةالالرسم البياين التايل يبني

).ة معيارية يعين متغريcrالرمز(اليت درست يف الفصول السابقة التوزيعات األخرى باإلضافة إىل

[N(0, 1)]²tν²

Χν2 / νFν1, ν2

ν→ ∞

ν = 1 ν1 = 1 ν2 = ν

ν1 = 1 ν2→ ∞

ν1= ν ν2→ ∞

رسم يبين قواعد التقريب بين القوانين االحتمالية األآثر

B (n, p)

Bcr(n, p)

H(N, n, p) P (λ)

Pcr(λ)

N(0, 1) tν

n < N/10 n ≥ 25 ; p ≤ 0,10

np = λ n ≥ 20 np ≥10 nq ≥10

λ≥15

ν→ ∞

ص. ب يمحاضرات اإلحصاء الرياض

- 1 -VII

نظریة توزیع المعاینة .VII الفصل

إحصائيةمفاهيم للمتوسطات المعاينةاتتوزيع

توزيع المعينة للنسبة توزيع المعاينة للفروق و المجاميع

توزيع المعاينة لنسبة تباينين و توزيع المعاينة للتباين

تمعاتنا املعاصرة عمليات االستقصاء، ففي عامل األعمال تقوم املؤسسات عن طريـق مـصاحل التـسويق يف جم تنتشرويف وسائل اإلعالم ال مير يـوم ، ومصاحل البحوث والتطوير بإجراء استقصاءات لإلطالع على توجهات املستهلكني

أو اجتماعيـة متعـددة، منـها مواضـيع سياسـية ولحجامعة أو دون أن يعلن عن نتائج استقصاء أجرته جملة فما هـي األسـس النظريـة . حلمالت االنتخابيةاالستقصاءات املثرية للجدل حول األراء السياسية للمواطنني أثناء ا

الرياضية اليت تستند عليها االستقصاءات املختلفة ؟ أو كيف ميكن االستدالل من خالل بيانات عينة على خـصائص العالقات الرياضية بني اخلصائص املختلفـة تتطلب فهم على هذه األسئلة و غريها ابة اإلجاجملتمع الذي أخذت منه؟

يف الفصول . ما سنتناوله يف هذا الفصل وهو رة هلا يف العينة ظاخلصائص املنا ومثل املتوسط، التباين وغريها، للمجتمع .املقبلة سندرس عددا من التطبيقات هلذه العالقات الرياضية

مفاهيم إحصائية .١ المبحث

المجتمع والعينة العينة غير النفادية والعينة النفادية

العينة العشوائية معالم مجتمع

إحصائية المعاينة

Population et échantillon العينة واجملتمع ١ :نشرح هذين املصطلحني من خالل األمثلة التالية

جندي من ١٠٠زان عينة من قد ترغب اإلدارة العسكرية يف تقدير الوزن املتوسط للجندي، فتقوم أخذ أو • ).اجملتمع(بني جمموع اجلنود

الواليات، فتقوم ١٠ ترغب هيأة معينة بالبحوث السياسية يف تقدير نسبة الناخبني املساندين ملرشح معني يف • ناخب ١٠٠٠الناخبون يف الواليات العشر ميثلون اجملتمع بينما ال . ناخب من كل والية١٠٠باستجواب .ثلون العينةاملستجوبون مي

حنسب عدد مرات احلصول على الصورة و مرة١٠٠من أجل معرفة مدى دقة صنع قطعة نقدية ترمى القطعة • .١٠٠الكتابة، حجم العينة هنا هو و

نقوم عدد من املرات بسحب كرة نسجل لوهنا مث ، اليت من لون معني،لتقدير نسبة الكرات داخل صندوق • .ثل حجم العينةعدد الكرات املسحوبة مي. نعيدها

نظرية توزيع المعاينة الفصل السابع

- 2 -VII

جمتمع األوزان، (ليس األفراد أو األشياء اليت مت قياسها ونالحظ أن مصطلح اجملتمع يقصد به القياسات أو القيم، أما العينة فهي )نتائج رميات قطعة النقد(، كما أن اجملتمع قد يكون حمدودا أو غري حمدود ..)جمتمع آراء الناخبني

.n، وحلجم العينة ب Nحلجم اجملتمع ب عادة تكون حمدودة، ونرمز عادة

Echantillon exhaustif et non exhaustif العينة النفادية والعينة غري النفادية ٢عندما يكون السحب باإلرجاع حيث ميكن أن تظهر املفردة أكثر من مرة يف العينة، نسمي هذه املعاينة غري نفادية ألن تكرار العملية ال

هناك فرضيتان تتكرران يف عدد من . العكس نسمي املعاينة بدون إرجاع معاينة نفادية و املفردات يف اجملتمع،يؤدي إىل تقليص عدديتحقق شرط االستقالل إذا كانت املعاينة . اجملتمع الهنائي ومها فرضية أن قيم مفردات العينة مستقلة، العالقات الرياضية اليت سنراها الحقا

. ك، ميكن اعتبار اجملتمع جمتمعا غري حمدودغري نفادية، وإذا كانت كذل

Echantillon aléatoireالعينة العشوائية ٣، نقول عن )قد يصعب حتقيق ذلك يف الواقع(نظريا . ، أحد الطرق املستخدمة هي العينة العشوائيةالعينة ممثلة للمجتمعمن أجل أن تكون

إلجناز . ينة العشوائية البسيطةتسمى هذه العينة بالع. االحتمال ألن تكون يف العينةلكل مفردة يف اجملتمع نفسعينة أهنا عشوائية إذا كان ذلك إما أن نسحب املفردات بطريقة عشوائية أو نرقم مفردات اجملتمع مث حندد العينة من خالل جمموعة من األعداد تؤخذ من اجلداول

.١اإلحصائية لألعداد العشوائية

Paramètre d’une populationمعامل اجملتمع ٤من خصائص اجملتمع أيضا طبيعة توزيعه االحتمايل ... نقصد مبعامل اجملتمع جمموعة من خصائصه مثل املتوسط، التباين، معامل التماثل،

f(x)كأن يكون طبيعيا أو غريه .

Statistique de l’échantillonnageإحصائية املعاينة ٥ننطلق من بيانات العينة، حيث حنتاج إىل حساب معامل مثل ...) p النسبة σ² ، تباين اجملتمعµمع متوسط اجملت(لتقدير معامل اجملتمع

بصفة عامة، نسمي كل قيمة حتسب انطالقا من بيانات العينة من أجل تقدير . ’p، النسبة يف العينة S²، تباين العينة m متوسط العينةإحصائية املعاينة هي كل دالة يف املتغريات العشوائية اليت متثل القيم احملصل عليها يف ) رياضيا (نظريا. قيمة معامل اجملتمع إحصائية املعاينة

.العينة

للمتوسطات المعابنة توزيع .٢ المبحث

توزيع المعاينة للمتوسطاتمتوسط توزيع المعاينة للمتوسطاتتباين

توزيع المعاينة للمتوسطاتطبيعة

متوسط توزيع املعاينة للمتوسطات ١ مكونة من مفردتني باإلرجاعما هي القيمة املتوقعة ملتوسط عينة مسحوبة . 8، 6، 5، 3، 1 ليكن اجملتمع: ةمسأل

)m(؟ أحسب متوسط اجملتمع µ . قارن بنيmو µ . من أجل حتديد ذلك أحسب مجيع احلاالت املمكنة للمتوسطmiحسب كل عينة .

٢٥ =٥*٥: عددها ٥ من جمتمع حجمه n = 2العينات املمكنة العينات املمكنة ذات احلجم

.أنظر جدول األعدلد العشوائية 1

ص. ب يمحاضرات اإلحصاء الرياض

- 3 -VII

العينات املمكنةمعاينة (املتوسطات املمكنة للعينة

mi) غ نفادية(1, 1) (3, 1) (5, 1) (6, 1) (8, 1) 1 2 3 3,5 4,5(1, 3) (3, 3) (5, 3) (6, 3) (8, 3) 2 3 4 4,5 5,5 (1, 5) (3, 5) (5, 5) (6, 5) (8, 5) 3 4 5 5,5 6,5 (1, 6) (3, 6) (5, 6) (6, 6) (8, 6) 3,5 4,5 5,5 6 7 (1, 8) (3, 8) (5, 8) (6, 8) (8, 8) 4,5 5,5 6,5 7 8

. m = (∑i mi) / 25 = 4,6 هي متوسط قيمها وهي mi ل mالقيمة املتوقعة µ = (1 + 3 + 5 + 6 + 8)/5 = 4.6: حساب متوسط اجملتمع

C2: العينات املمكنة عددها .بدون إرجاعيف حالة السحب . ١أوجد نفس مطالب املثال . ٢المث5 = 10

: هي متوسط قيمها وهيmi ل mالقيمة املتوقعة

E(m) = µm = (∑i mi) / 10 = 4,6

µ = (1 + 3 + 5 + 6 + 8)/5 = 4.6 :متوسط اجملتمع

ة ثل متوسط عينة مسحوبة من ذات اجملتمع، فـإن القيمـة متغرية ع مت m و إذا كانت م ع متثل جمتمع ما . ١نظري E(M) = µm = µ : تكتب كما يليE(M)املتوقعة ملتوسط العينة

. X لقيم املتغرية األصليةXiلنرمز ب : الربهان

.11)(11)( µµµ ====

= ∑∑∑ n

nnXiE

nXi

nEXE

iii

تباين توزيع املعاينة للمتوسطات ٢

حالة املعاينة باإلرجاع )أ ( علما σ²mلتوزيع املعاينة للمتوسطات ) واالحنراف املعياري(سب التباين ، أح١ أحسب تباين اجملتمع يف املسألة .مثال

توزيع املعاينة (، قارن بني تباين اجملتمع وتباين متوسطات العينات املمكنة )غ نفادية(أن العينة مسحوبة باإلرجاع ). للمتوسطات

العينات املمكنة بدون إرجاع

املتوسطات املمكنة للعينة أو )معاينة نفادية(توزيع املعاينة للمتوسطات

mi (1, 3) 2 (1, 5) (3, 5) 3 4 (1, 6) (3, 6) (5, 6) 3,5 4,5 5,5 (1, 8) (3, 5) (5, 8) (6, 8) 4,5 5,5 6,5 7

نظرية توزيع المعاينة الفصل السابع

- 4 -VII

σ²m = [∑i (mi – m)² ]/25 = 2.92; σ² = [∑i (xi – µ)² ]/5 = 5.84

2.92 = 5.84 / 2

: هذا املثال ميهد للنظرية التالية

متغرية ع متثل متوسط عينة مسحوبة من ذات اجملتمع باإلرجاع، فإن mi و إذا كانت م ع متثل جمتمع ما.٢نظرية : يكتب كما يلي) املعاينة للمتوسطاتتباين توزيع ( miتباين

nm²2 σσ . حجم العينةnحيث =

. X لقيم املتغرية األصلية Xiلنرمز ب : الربهان

.²²²

1²²

1)(²

11)(n

nnn

XiVn

Xin

VXViii

σσσ ====

= ∑∑∑

.حالة املعاينة بدون إرجاع )ب (إرجاع، قارن بني تباين يف حالة املعاينة بدون σ²m أحسب تباين املتوسطات املمكنة للعينة ١ يف املسألة:مسألة

.ن املتوسطات املمكنة للعينةاجملتمع وتباي

:تباين املتوسطات املمكنة للعينة σ²m = [∑i (mi – m)² ]/10 = 2.19

σ² = [∑i (xi – µ)² ]/5 = 5.84: تباين اجملتمع :ريقة ثانيةط بأو(

σ² = E(X²) – E(X)² = (1 + 9 + 25 + 36 + 64) / 5 - 4.6² = 5.84)

: املقارنة بني تباين متوسط العينة و تباين اجملتمع

−−

=1525

284.519.2

: هذا ميهد للنظرية التالية

مسحوبة من ذات nسط عينة حجمها متغرية ع متثل متوmi وN م ع متثل جمتمع ما حجمه Xإذا كانت . ٣نظرية :يكتب كما يلي) تباين توزيع املعاينة للمتوسطات( miاجملتمع بدون إرجاع، فإن تباين

−−

=1

²2

NnN

nmσσ

وتسمى النسبة 1−

−N

nN اإلرجاع معامل.

mi 1 2 3 3,5 4,5 2 3 4 4,5 5,5 3 4 5 5,5 6,5

3,5 4,5 5,5 6 7 4,5 5,5 6,5 7 8

املتوسطات املمكنة للعينة أو )معاينة نفادية(توزيع املعاينة للمتوسطات

mi 2 3 4

3,5 4,5 5,5 4,5 5,5 6,5 7

ص. ب يمحاضرات اإلحصاء الرياض

- 5 -VII

m طبيعة توزيع ٣

: ندرس طبيعة توزيع متوسط توزيع املعاينة للمتوسطات من خالل النظريات التاليةفإن متوسط العينة املسحوبة منه يتبع أيضا التوزيع σ²تباين وµتمع موزع طبيعيا مبتوسط إذا كان اجمل. ٤نظرية

m ≈ N(µ, σ²/n) ، ونكتبσ²/n تباين وµالطبيعي مبتوسط

ليس لكن σ²تباين وµإذا كان اجملتمع الذي تسحب منه العينة ذو متوسط ):نظرية النهاية املركزية(. ٥نظرية

أي m املتغرية املعيارية ل بالضرورة طبيعيا فإنn

mz/σ

µ− nتؤول إىل التوزيع الطبيعي املعياري عندما يكون =

: ونكتب(n ≥ 30)كبريا z ≈ N(0, 1).

−1 ب σ/√nيف حالة اجملتمع حمدود واملعاينة نفادية نستبدل العبارة −

=N

nNnm

σσ

n/N ≥ 0.05 املعياري عندماعمليا يستخدم اإلحصائيني هذه الصيغة املعدلة مبعامل اإلرجاع لالحنراف

أحسب املتوسط واالحنراف . نستخرج كل العينات املمكنة . σ =12 وµ= ٢٠ مبتوسط 900 جمتمع حجمه :مثال . n = 64 )٢(، n = 36 حجم العينة ) ١: (املعياري لتوزيع املعاينة للمتوسطات يف حالة

(1) n = 36 : n/N = 36/900 = 0.04 < 0.05 => σm = σ/√n = 12/√36 = 2

92.11900

6490064

12

05.0071.090064900:64)2(

=−

−=⇒

>==⇒==

m

NnNn

σ

E(m) = µ = 20 .٢٢ و١٨ بني حمصورا m أحسب احتمال أن يكون (n = 36)باستخدام معطيات املثال السابق . ٢مثال

.n = 64 أحسب نفس االحتمال يف حالة

0.6827 ) Z Z P(Z 22) m P(18 1 Z, 1- 3612/20-18

n/µ-m Z 212

11 =<<=<<=>====

σ

0.70 )04.1 Z P(-1.04 22) m P(18 1.04 Z, 1.04- 1.92

20-18 1n/

µ-m Z 21

1 =<<=<<=>===

−−

=N

nNσ

خالصة ٤ .اجلدول التايل يبني أهم خصائص توزيع املعينة للمتوسطات

نظرية توزيع المعاينة الفصل السابع

- 6 -VII

اجملتمع املعاينة اخلاصيةE(M) = µm = µ جمتمع ما سحب باإلرجاع أو بدون إرجاع

nm²2 σσ جمتمع ما سحب باإلرجاع =

−−

=1

²2

NnN

nmσσ

N حجمه جمتمع ما سحب بدون إرجاع

m ≈ N(µ, σ²/n)

µجمتمع موزع طبيعيا مبتوسط سحب باإلرجاع أو بدون إرجاع σ²وتباين

nmz

/σµ−

= ≈ N(0, 1) عندما يكونn كبريا (n ≥ 30) جمتمع مبتوسطµ وتباين σ² لكن ورة طبيعياليس بالضر

توزيع المعاينة للنسبة .٣ المبحث

.نسبة خاصية ما يف العينة : 'p اإلحصائية النظرية التالية تبني املتوسط، التباين، و طبيعة التوزيع، ة نسبة املفردات يف اجملتمع ذات صفة معينp م ع متثل جمتمع ما غري حمدود وموزع طبيعيا حيث X لتكن :٦نظرية سبة املفردات ذات الصفة املذكورة يف العينة املسحوبة من ذات اجملتمع، حنصل على توزيع م ع متثل ن’p ولتكن

:هذه املعامل تساوي ، σp' وE(p') حيث معامله p’لإلحصائية npqppE pp === '' ²;)'( σµ

n ≥ 30 : (p, σp') p’ ≈ Nعند . حنراف املعياريعند حساب االاإلرجاع عندما يكون اجملتمع حمدودا واملعاينة نفاديه نضرب يف معامل

تريد اإلدارة تقدير . حصلوا أخريا على شهادة٤٠ طالب، ١٠٠الحظت إدارة اجلامعة أنه يف عينة من .١مثال

. باملائة٩٠ نسبة الطلبة الذين حيصلون على الشهادة داخل جمال يكون احتمالهP(p1< p’< p2) = 0.9 ; n ≥ 30,

n/N < 0.05 : كبري حبيث Nنفترض أن

0.9. = 0.482) < < 0.318⇒

0.082 ± 0.4 = 1.64(0.05) ± 0.4 = )±=⇒(

= 1Ζ

1.64 = 1.64,− = => )<Ζ<( = 0.9 = )<<(

≅=−

= , )=>

1

112

pP

pzzzzPpppP

npp

p

(

( z p' p p)-'

0.05100

)6.0(4.0)1((p, N ~p'

p''

221

p'p'

σσ

σσ

.٨٢ ص ١٩٨٥م سبياجال 1

ص. ب يمحاضرات اإلحصاء الرياض

- 7 -VII

المجاميع وتوزيع المعاينة للفروق .٤ المبحث

متوسط و تباين توزيع المعاينة للفروق و المجاميع طبيعة توزيع المعاينة للفروق و المجاميع

التباين واملتوسط ١

S1ليكن لدينا جمتمعني نسحب من كل منهما عينة عشوائية، حنسب يف كل عينة حمسوبة من اجملتمع األول اإلحصائية – S2 إن الفرق . S2يف كل عينة من اجملتمع الثاين ونسميها ...) املتوسط مثال أو التباين (ئية حنسب نفس االحصاو

S1يشكل بدوره متغرية عشوائية هلا املتوسط والتباين التاليني : µS – S2 = µS1 – µS2 σ²S1 – S2 = σ²S1 + σ²S2

: فإناملتوسط إذا كانت االحصائية هي. ١ مثالµm1 – m2 = µm1 – µm2 = µ1 – µ2 σ²m1 – m2 = σ²m1 + σ²m2 = σ²/n1 + σ²/n2

: فإنالنسبة إذا كانت االحصائية هي. ٢ مثال

µp1 – p2 = µp1 – µp2 = p1 – p2 σ²p1 – p2 = σ²p1 + σ²p2 = p1q1/n1 + p2q2 / n2

: إذا كان االهتمام هو على جمموع االحصائيتني بدال من الفرق بينهما فإنµS1 + S2 = µS1 + µS2 σ²S1 + S2 = σ²S1 + σ²S2

طبيعة توزيع املعاينة للفرق بني متوسطني ٢ ، يقترب توزيع املتغرية املعيارية للفرق بني متوسطني من التوزيع الطبيعي n2 وn1 30 ≤ يف حالة :٧نظرية

µm1 - m2 ≈ N(0, 1 ) :نكتب و.املعياري

:حتقق من أن . ٤، ٢ : U2اجملتمع و.٨ ،٧، ٣ : U1 ليكن اجملتمع :١مثال

µU1 – U2 = µU1 – µU2 ; σ²U1 – U2 = σ²U1 + σ²U2 .

µU1 = (3 + 7 + 8)/3 = 6 ; µU2 = (2 + 4)/2 = 3 => µU1 – µU2 = 6 – 3 = 3 µU1 – U2 = (1 + 5 + 6 – 1 + 3 + 4)/6 = 3 σ²U1 = (3² + 7² + 8²)/3 - 6² = 14/3 ; σ²U2 = (2² + 4²)/2 - 3² =1 => σ²U1 + σ²U2 = 17/3 σ²U1 – U2 = (1² + 5² + 6² + 1² + 3² + 4²) / 6 - 3² = (1 + 25 + 36 + 1 + 9 + 16) / 6 - 9 = 17/3

١٨٠ ص ١٩٨٥م سبياجال 1

U1 U1 – U2 3 7 8 U22 1 5 6 4 -13 4

نظرية توزيع المعاينة الفصل السابع

- 8 -VII

وتوزيع المعاينة لنسبة تبايني عينتينتوزيع المعاينة للتباين .٥ المبحث

توزيع المعاينة للتباين توزيع المعاينة لنسبة تباينين

للتبايناملعاينة توزيع ١

حالة املعاينة باإلرجاع )أ (، أحسب القيمة املتوقعة لتباين العينة املسحوبة باإلرجاع من خالل متوسط ١أحسب تباين اجملتمع يف املسألة : مسألة

قيمة املتوقعة تباينات العينات املمكنة، قارن بني تباين اجملتمع وال .لتباين العينة

(∑i S²i)/25 = 73/25 = 2.92 =>E(S²) = 2.92

σ² = E(X²) – E(X)²

= [(1 + 9 + 25 + 36 + 64)/5] - 4.6² = (135/5) - 21 = 5.84

E(S²) = 2.92 = 5.84/2 = σ² (1/n)

أو بدون إرجاع من ( متغرية ع متثل تباين عينة مسحوبة باإلرجاع S² و إذا كانت م ع متثل جمتمع ما :٨نظرية

:، فإن nحجمها ) جمتمع غري حمدود

−

==n

nSE S1²²)( ² σµ

) n ≥ 30 : E(S²) ≈ σ²عند ( : الربهان

( )

( )

−

=−=−−+=+−+=

−=

−=

−=

∑

∑∑∑

nn

nnxExVXV

n

xExEn

xxn

Exxn

ESE

i

i ii ii i

1²)11²(²²²²)²]()([²)(1

²)(²)(1²²1²1²)(

σσµσµσµ

²: من النظرية جند أن: مالحظة1

² σ=

−nnSE نقول عن و

1²

−nnS ل " غري منحرف" أنه مقدرσ²يرمز و

: حيثS²‘له ب

1²²ˆ

−=

nnSS

2 : من جمتمع طبيعي، فإن nإذا أخذنا عينات عشوائية حجمها : ٩نظرية 1~

²²ˆ)1(

²²

−−

= nSnnS χ

σσ

S²iالتباينات املمكنة 0 1 4 6,25 12,3 1 0 1 2,25 6,25 4 1 0 0,25 2,25

6,25 2,25 0,25 0 1 12,3 6,25 2,25 1 0

ص. ب يمحاضرات اإلحصاء الرياض

- 9 -VII

أقل مـن أو S²ما هو احتمال أن يكون تباين العينة . n = 16 نسحب منه عينة حجمها 100ليكن جمتمع طبيعي حجمه : مثال .٨٠ن تباين اجملتمع علما أ١٠يساوي

115 ²~

²²)),(~

8016²()2²()10²( −⇒≤=≤=≤ n

nSNXSPPSP χσ

σµχ

P(X²15 ≤ 2) < 0.005من اجلدول

املعاينة بدون إرجاعحالة )ب (ين اجملتمع إرجاع، قارن بني تبايف حالة املعاينة بدون σ²m أحسب تباين املتوسطات املمكنة للعينة ١ يف املسألة: مسألة

.وتباين املتوسطات املمكنة للعينة

(∑i S²i) = ٣٦٫٥ ; (∑i S²i)/٣٫٦٥ = ١٠ => E(S²) = ٣٫٦٥

σ² = E(X²) – E(X)²

= [(1 + 9 + 25 + 36 + 64)/5] - 4.6² = 5.84

E(S²) = ٥٫٨ = ٣٫٦٥4*(5/٤) (1/2)

= σ² * [(n-1)/ n] [N/ (N-1)]

مسحوبة من ذات اجملتمع، نفادية متغرية ع متثل تباين عينة S² وحمدودإذا كانت م ع متثل جمتمع ما : ١٠نظرية :فإن القيمة املتوقعة لتباين العينة تكتب

−

−

==1

1²²)( ² NN

nnSE S σµ

)١ تؤول إىل N/ (N-1) كبري جدا Nعندما يكون (

توزيع املعاينة لنسبة تباينني ٢

Fν1, ν2~: رأينا يف الفصل السابق أن22

11

//νν

XX

X لة املتغريتان العشوائيتان مستقلتان يف حا=

: نستنتج ما يلي٩من النظرية .~ χν2² X2 وX1 ~ χν1² ونسحب من اجملتمعني عينتني عشوائيتني حجمهما . σ²1 , σ²2 ليكن لدينا جمتمعان طبيعيان تباينامها :١٢نظرية

:n1 , n2على التوايل

1;122

22

21

21

222

222

211

12

1

21/ˆ/ˆ

11

11

−−→=

−

−

= nnFSS

nnS

nnS

Fσσ

σ

σ

S²iالتباينات املمكنة 1 4 1

6,25 2,25 0,25 12,3 6,25 2,25 1

نظرية توزيع المعاينة الفصل السابع

- 10 -VII

ما احتمال أن يكون . ٣٦ و٢٠ من جمتمعني طبيعيني تباينامها على التوايل مسحوبتني١٠و ٨عينتني حجمهما . ١مثال تباين األوىل أكرب من ضعف تباين الثانية؟

361

910

201

78

21

1

11

11

11

21

1

11

)2()2(

222

222

211

121

222

2

211

1

222

222

211

121

22

212

221 =

>

−

−

=

−

−

>

−

−

=>=>

nn

S

nn

SP

nn

nn

nn

S

nn

SP

SS

PSSP

σ

σ

σ

σ

σ

σ

= P(F7, 9 > 3.7)

P(F7, 9 > 3.7) = 0.036 و يف احلقيقة P(F7, 9 > 3.7) > 0.01 < 0.05 من اجلدول جند

ملحق ٣

راف املعياري لتوزيع املعاينة للتباين االحن )أ (

: متغرية ع متثل تباين عينة مسحوبة من ذات اجملتمع، فإنS²م ع متثل جمتمع ما و X إذا كانت :١١نظرية

−=sinon

~si/2²44²

n

NXn

S σµ

σσ

. يقترب كثريا من التوزيع الطبيعي S²، توزيع n ≥ 100من أجل

االحنراف املعياري لتوزيع املعاينة لالحنراف املعياري )ب (

−

≈

=

sinon²4

ou~si/2

44

σσµ

σ

σ

n

NXNXn

S

µs ≈ S و يقترب كثريا من التوزيع الطبيعي S، توزيع n ≥ 100جل من أ

خالصة ٤ . ١٠ إىل ٦من السابقة اجلدول التايل يلخص ما ورد يف النظريات

.١٨٦ ص ١٩٨٥م سبيجال 1

ص. ب يمحاضرات اإلحصاء الرياض

- 11 -VII

إحصائية العينة اجملتمع املعاينة اخلاصية

npqppE pp === '' ²;)'( σµ

(p, σp') p’ ≈ N n ≥ 30

جمتمع موزع طبيعيا غري حمدود

جمتمع طبيعي املعاينة نفاديه . اإلرجاعنضرب يف معامل 'σp حلساب حمدود

النسبة

µS – S2 = µS1 – µS2 µS1 + S2 = µS1 + µS2

σ²S1 – S2 = σ²S1 + σ²S2 σ²S1 + S2 = σ²S1 + σ²S2

سحب باإلرجاع

µm1 - m2 ≈ N(0, 1 )

≥ 30 n1و n2

الفرق بني جمتمع ما .إحصائيتني ما

−

==n

nSE S1²²)( ² σµ

أو (ع سحب باإلرجابدون إرجاع من جمتمع

)غري حمدود nحجمها

E(S²) ≈ σ² n ≥ 30

S²جمتمع ما وتباين عينة

21~

²²ˆ)1(

²²

−−

= nSnnS χ

σσ حجمهاn جمتمع طبيعي

−

−

==1

1²²)( ² NN

nnSE S σµ نفاديةعينة

N/ (N-1) ١ تؤول إىل Nكبري جدا

متثل S²جمتمع ما حمدود و تباين العينة

تباينال

1;122

22

21

21

222

222

211

12

1

21/ˆ/ˆ

11

11

−−→=

−

−

= nnFSS

nnS

nnS

Fσσ

σ

σعينتني عشوائيتني n1حجمهما على التوايل

, n2

جمتمعان طبيعيان تباينامها σ²1 , σ²2

نسبة تباينني

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 1 -VIII

نظریة التقدیر .VIII الفصل

طرق تأسيس المقدر طرق التقدير بمجال مفاهيم أساسية

العينة واملعامل املناظرة هلا يف اجملتمع معامل جمموعة من النظريات العالقة الرياضية بني من خالل يف الفصل السابق درسنا تظهر . كما درسنا العالقة بني شكل توزيع اجملتمع وشكل التوزيع االحتمايل ملعامل العينة...لتباين، النسبةمثل املتوسط، ا

هذه العالقات كتوصيف خلصائص العينة ومعاملها ولكنها تستخدم أكثر لتقدير خصائص ومعامل اجملتمع حمل الدراسة، . وهذا ما سنتعرف عليه يف هذا الفصل

مفاهيم أساسية .١ المبحث

ض خصائص المقدربع التقدير النقطي، التقدير بمجال

١بعض خصائص املقدر ١غالبا ما . حنتاج إىل اختيار اإلحصائية املناسبة يف العينة لتقدير هذه املعلمة،لتقدير معلمة من معامل جمتمع حمل دراسة

تسمى . µmمتوسط العينة من خالل µتكون املعلمة املناظرة يف العينة هي أحسن مقدر، كأن نقدر متوسط اجملتمع . اإلحصائية املستخدمة يف التقدير املقدر

املقدر غري املتحيز )أ (

ا ملعلمة اجملتمع إذا كان متوسطها أو توقعها الرياضي مساويsans biaisنقول عن إحصائية ما بأهنا مقدر غري متحيز .ملعلمة اجملتمع

يف املقابل نسمي . E(m) = µ ألن µوسط اجملتمع مقدر غري متحيز ملت أنه mنقول عن متوسط العينة : مثال =، بينما تعترب االحصائية E(S²) = σ² (n-1)/n ≠ σ² ألنσ²مقدر متحيز ل يف معاينة باإلرجاع أهنا S²اإلحصائية

S²n/(n-1) S’²مقدرا غري متحيز يف معاينة باإلرجاع .

الكفاءة )ب (

نفس ) إحصائيتني(اين لتوزيع املعاينة لإلحصائية، فإذا كان ملقدرين مقدر ما مبقدار التب(efficacité)تتعلق كفاءة . املتوسط نقول عن املقدر ذو توزيع املعاينة األقل تباينا أنه األكثر كفاءة

مقدرا mاملتوسط لكن يعترب ، µلكل من توزيعي املعاينة للمتوسط والوسيط نفس املتوسط هو متوسط اجملتمع: مثالأقل من تباين توزيع V(m) = σ²/n من الوسيط ألن تباين توزيع املعاينة للمتوسطات µسط اجملتمعأكثر كفاءة ملتو :املعاينة للوسيط

V(méd) = σ²π/2n = (σ²/n) (3.14159/2) > σ²/n .

.٢٠٤، ص ١٩٨٥سبياجال 1

نظرية التقدير الفصل الثامن

- 2 -VIII

احلصول استخدام مقدرات فعالة وغري متحيزة هو األفضل، إال أنه قد يلجأ ملقدرات أخرى لسهولةأن من البديهي .عليها

convergeance التقارب )ج (

.إذا كان يؤول إىل قيمة املعلمة املقدرة عندما يؤول حجم العينة إىل ما ال هناية نقول عن مقدر أنه متقارب

: يعترب متوسط العينة مقدرا متقاربا ملتوسط اجملتمع ألن: مثال.0²)(,)( →== ∞→nn

mVmE σµ

. ١والتقدير مبجال التقدير النقطي ٢ إىل حنتاج ، و أحيانا أخرىتقدير نقطيملعلمة جمتمع بقيمة واحدة ونقول عن هذا التقدير أنه قد حنتاج إىل تقدير

. تقدير مبجالتقدير معلمة اجملتمع بنقطتني حيددان جمال لقيمة املعلمة ونقول عن هذا النوع من التقدير أنه يكون تقديرنا . ل األسرة تقديرا نقطيا دج، نكون قد قدرنا دخ١٨٠٠٠إذا قدرنا دخل األسرة يف منطقة ما ب : مثال

.دج٢٠٠٠٠ و١٦٠٠٠ أي أنه يتراوح بني٢٠٠٠ ± ١٨٠٠٠مبجال إذا قلنا مثال أن الدخل يساوي

درجة التأكد )أ (لكي يكون التقدير علميا ينبغي تقييم احتمال أن تكون املعلمة تنتمي فعال إىل اجملال احملدد، لذلك نلحق باجملال مـا يـسمى بدرجـة أو

".مستوى املعنوية""، ويسمى أيضا α االحتمال املعاكس يسمى احتمال اخلطأ ويرمز له ب . pويرمز له ب توى الثقة،مس . %٩٥ أي مبستوى ثقة %٥مبستوى معنوية ] ٢٠٠٠٠، ١٦٠٠٠[ينتمي إىل اجملال ) أ( دخل األسرة يف املنطقة :مثال

.حدود الثقة ٢٠٠٠٠ و١٦٠٠٠وتسمي احلدود

جمال الثقةتعيني حدود )ب (

ففـي حالـة ). مستوى الثقة(حتدد حدود الثقة من خالل معامالت الثقة اليت بدورها حتدد من خالل مستوى املعنوية بينما القيمـتني %٩٥ معامالت الثقة من أجل مستوى ثقة ١,٩٦± استخدام التوزيع الطبيعي للتقدير تكون القيمتني

. % ٩٩ى ثقة متثالن معامالت الثقة من أجل مستو±2.58

املرجع السابق 1

f(z)

-z1-α/2 0 z1-α/2

z 1-α

جمال الثقة

مجال الثقة للتوزيع الطبيعي 21 رسم

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 3 -VIII

إذا كان توزيع املعاينة ل . µs = µ حيث s متوسط واحنراف معياري توزيع املعاينة إلحصائية ما σsو µsليكن :مثالs كما هو احلال بالنسبة ألغلب اإلحصائيات عندما( توزيعا طبيعيا (n ≥ 30) ( فإننا نقدر مثال وبالنظر إىل توزيـعs :أن . %٩٩حدود الثقة ب µs ± 2.58σs و، % ٩٥ ب حدود الثقة متثالن µs ± 1.96σsالقيمتني

. )أنظر الرسم( Z1-α/2أو Zcيف حالة التوزيع الطبيعي يرمز حلدود الثقة ب

التقدير بمجال .٢ المبحث

مجال الثقة للمتوسطآيفية تعيين مجال الثقة للنسبة آيفية تعيين مجال الثقة للتباين آيفية تعيين

لنسبة تباينينمجال الثقة عيينآيفية ت

جمال الثقة للمتوسط ١

.m من خالل اإلحصائية µيقدر متوسط اجملتمع

باستخدام التوزيع الطبيعي µتقدير )أ (

.نستخدم التوزيع الطبيعي لتحديد جمال الثقة إذا علمنا أن اجملتمع الذي سحبت منه العينة يتبع التوزيع الطبيعي تتبع التوزيع m أن ١نظرية النهاية املركزيةميكن كذلك االستفادة من (n ≥ 30)ويف حالة العينة املمتدة

. الطبيعي :تكتب حدود جمال الثقة كما يلي

nSzm c

'±

أو

1−⋅±

nSzm c

: جمهولσ يف حالةو n

zm cσ

⋅±

:حيث تصبح الصيغة كاآليت واملعاينة نفادية) Nذا حجم (و نستخدم هذه الصيغة إال إذا كان اجملتمع حمدود

1−−

⋅⋅±N

nNn

zm cσ

أو ’Sيف الصيغ السابقة باملقدر σ جمهوال، ولذلك نعوض σإال أنه غالبا ما يكون االحنراف املعياري للمجتمع

S. : اليت متثل حدود جمال الثقة حبسب مستوى الثقة zc اجلدول اآليت يبني قيم

.س املتوسط ولي-يف حالة كون العينة كبرية مبا فيه الكفاية-اليت ختص يف احلقيقة توزيع جمموع قيم العينة 1

نظرية التقدير الفصل الثامن

- 4 -VIII

α 0.99 0.98 0.95 0.90 0.8 0.5-1مستوى الثقة α 0.5 0.2 0.10 0.05 0.02 0.01 مستوى املعنوية

1- α/2 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.75 Z1-α/2 82.5 2.326 1.96 1.645 1.282 0.674

% ٥أي مبستوى معنوية ) ٠,٩٥ (%95مبستوى ثقة m ± 1.96σmداخل اجملال يوجد µنقدر أن : مثال ...٠,٠١ أي مبستوى معنوية %99مبستوى ثقة m ± 2.58σmوداخل اجملال ، )٠,٠٥(

:t باستخدام التوزيع µتقدير )ب (

-مثال القيم. µ جمهول نستخدم توزيع ستيودنت لتحديد جماالت الثقة ل σو(n < 30)يف حالة العينة الصغرية

t0.975 ؛ t0.975 من املساحة حتت املنحىن ونقول أن %٩٥ حتد -t0.975 ; t0.975 متثل القيم احلرجة أو : ونكتب %٩٥ ثقة معامالت الثقة عند مستوى

975.0975.0 /ˆ tnS

mt <−

<−µ

: كما يلي µومنه نستخلص جمال الثقة ل

nStm

nStm

ˆˆ975.0975.0 ⋅+<<⋅− µ

جمال الثقة للنسبة ٢

: (n ≥ 30)العينة املمتدة و اجملتمع غري حمدود أو املعاينة غري نفاديةحالة )أ (

هي نسبة p مستخرجة من جمتمع ثنائي حيث n ≥ 30يف عينة ذات حجم " جناحات" إحصائية متثل نسبة sلتكن نسبة ’p أين p’ ± zcσp: كما يليpحدود الثقة ل فنعني pستعمل التوزيع الطبيعي لتقدير ت .حاتالنجا

النجاحات يف العينة،

نعلم من الفصل السابق أن n

pqp =σ

: كما يليpومنه حيدد جمال الثقة ل

nppzp c

)1(' −⋅±

:واملعاينة نفاديةN يف حالة كون اجملتمع حمدود ذا حجم )ب (

1)1('

−−

⋅−

⋅±N

nNn

ppzp c

جمال الثقة للتباين ٣

: لتقدير التباين واالحنراف املعياري جملتمع مبجال ثقة نستعمل اخلاصية 1²~

²²ˆ)1(

²²

−

−= n

SnnS χσσ

.

: حيدد كما يلي %٩٥ جمال الثقة ب:مثال

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 5 -VIII

975.0025.0 ²²

²ˆ)1(²²² χ

σσχ ≤

−=≤

SnnS

: كما يليσومنه نستنتج جمال الثقة ل

025.0975.0025.0975.0

ˆ1ˆ1χ

σχχ

σχ

SnSnouSnSn −≤≤

−≤≤

ال الثقة أكثر إذا مل نشأ أن غري متماثل فإن اجملال أعاله ليس األمثل، إذ توجد طريقة لتضييق جم٢نظرا ألن توزيع ك

. تكون أطراف املنحىن متساوية، وهذا خبالف التوزيعات املتماثلة كالطبيعي وستيودنت

جماالت الثقة لنسبة تباينني ٤ وسحبنا منهما عينتني σ²1 , σ²2 تباينامها طبيعيانأنه إذا كان لدينا جمتمعان ) ٥ من الفصل ١١نظرية (رأينا سابقا

12;1: فإن n1 , n2هما على التوايل عشوائيتني حجم2

22

21

21

222

222

211

12

1

21/ˆ/ˆ

11

11

−−→=

−

−

= nnFSS

nnS

nnS

Fσσ

σ

σ

: كما يلي٠,٩٨عند مستوى ثقة Fجال لمبإذا ميكن تكوين تقدير

99.022

22

21

21

01.0 /ˆ/ˆ

FSS

F ≤≤σσ

: و من مث ميكن تقدير النسبة بني تبايين اجملتمعني كما يلي

22

21

01.022

21

22

21

99.0ˆˆ1

ˆˆ1

SS

FSS

F≤≤

σσ

نظرية التقدير الفصل الثامن

- 6 -VIII

خالصة ٥ وسطن متمإحصائيات العينة تتناول خصائص هذه النظريات . لتقدير إحصائية جمتمع نستخدم نظريات توزيع املعاينة

. و عالقتها باإلحصائيات املناظرة هلا يف اجملتمع...، يف العينةالنسبةالعينة،

.اجملتمع، معلومية التباين و حجم العينةتوزيع طبيعة توزيع املعاينة للمتوسطات حسب 1 جدول

اجملتمع قانون )σ²(اجملتمع تباين x xσ nقانون

N(µ ; σ/√n) σ/√n n < 30 أو n ≥ 30 معلوم

N(µ ; S’/√n) S’/√n n ≥ 30

tα; n-1 S’/√n n < 30 غري معلوم

طبيعي

N(µ ; σ/√n) σ/√n n ≥ 30 معلوم

N(µ ; S’/√n) S’/√n n ≥ 100 غري معلوم غري معلوم

بني تباينني، للتباين وللنسبة للنسبة حتديد جمال الثقة ٢ جدول

جمال الثقة إلحصائيةلتوزيع االحتمايل ال اجملتمع

جمتمع غري حمدود أو معاينة غري نفادية و عينة

(n ≥ 30)ممتدة n التوزيع الطبيعي

ppzp c)1(' −

⋅±

جمتمع حمدود ذا حجم

N 1 التوزيع الطبيعي واملعاينة نفادية)1('

−−

⋅−

⋅±N

nNn

ppzp c

~1² غري معلوم²

²ˆ)1(²²

−

−= n

SnnS χσσ

025.0975.0 χ

σχ

SnSn≤≤

أو

025.0975.0

ˆ1ˆ1χ

σχ

SnSn −≤≤

−

و جمتمعني طبيعيني، أعينتني مسحوبتني من .جمتمع طبيعي واحد

1;122

22

21

21

222

222

211

12

1

21/ˆ/ˆ

11

11

−−→=

−

−

= nnFSS

nnS

nnS

Fσσ

σ

σ

: ٠,٩٨عند مستوى ثقة مثال

975.0025.0 ²²

²ˆ)1(²²² χ

σσχ ≤

−=≤

SnnS

22

21

01.022

21

22

21

99.0ˆˆ1

ˆˆ1

SS

FSS

F≤≤

σσ

ص. ب محاضرات اإلحصاء الرياضي

- 7 -VIII

جماالت الثقة للفروق واجملاميع. ملحق ٦ إحصائيتا معاينة هلا توزيع يقترب من التوزيع الطبيعي، والعينتان مستقلتان، تكتب حدود الثقة s2 وs1إذا كانت

:ما يليللفروق بني املعامل اليت متثلها اإلحصائيتني ك2121

²²2121 SScSSc zSSzSS σσσ +⋅±−=⋅±− − : يف حالة اجملموع

2121²²2121 SScSSc zSSzSS σσσ +⋅±+=⋅±+ −

إذا كانت اإلحصائيتان مها متوسطا عينتني مستقلتني، مسحوبتني من جمتمعني غري حمدودين، حندد جمال الثقة : مثال : كما يلي µ1 - µ2بني متوسطي اجملتمعني ) و للمجموع(للفرق

2

22

1

21

2121 21 nnzmmzmm cmmc

σσσ +⋅±−=⋅±− −

:حوبتان من جمتمعني غري حمدودين إذا كانت اإلحصائيتان مها نسبتان يف عينتني مستقلتني، مس: ٢مثال

2

2

1

121''21 ''''

21 npq

npq

zppzpp cppc +⋅±−=⋅±− −σ

١طرق تأسيس المقدر .٣ املبحث

طريقة العزوم )االحتمال األآبر(طريقة المعقولية العظمى

أحد الطرق الختيار مقدر معلمة ما للمجتمع أن نأخذ مباشرة نظريهتا يف العينة، وإذا كان هذا املقدر ال يتصف

توجد طرق أخرى لتحديد املقدر األنسب ). σ² لتقدير S² بدال من S’²ماستخدا(باخلصائص املطلوبة جنري عليه تعديال .منها طريقة املعقولية العظمى واليت تدعى أيضا طريقة االحتمال األكرب واليت تنسب إىل العامل فيشر وكذا طريقة العزوم

ريقة العزوم ط ١

تتضمن كل . K مجلة معادالت عددها نكون. θ1, θ2, . . , θk: من معامل اجملتمع Kليكن املطلوب تقدير عدد : x ، بنظريه ملتغرية املعاينة X : µ’k = E(Xk) ملتغرية اجملتمع kمعادلة مساواة العزم املرتبط باألصل من الدرجة

m’k = (1/n)∑ixik k = 1, 2, , K

:لي بطريقة العزوم انطالقا من عينة يتم كما ي pتقدير . X ~ B(20; p)ليكن :مثال، نأخذ إذا p = 20/µمنه و .µ = 20p: إذا حنتاج إىل معادلة واحدة K = 1لدينا عدد املعامل املراد تقديرها

. p’ = m/20: حنسبها كما يلي و ’p: القيمةpكمقدر ل µ = m , µ’2 = m’2: يف حالة تقدير معلمتني للمجتمع حنتاج أن نستعمل مجلة املعادلتني

.308 .ص1997 دراوزبيك 1

نظرية التقدير الفصل الثامن

- 8 -VIII

حنتاج إىل حل مجلة σ² وµلتقدير . S²تباين و ،mنسحب عينة ذات متوسط . X ~ N(µ; σ²) لتكن :٢لمثا

: املعادلتني

²²ˆˆ

est solution la ²²'²²'

or ''

2

222

==

+=+=

==

Sm

Smmmm

σµσµµ

µµ

.هذه الطريقة قد تعطي مقدرات متحيزة كما يف هذه احلالة

)طريقة االحتمال األكرب(طريقة املعقولية العظمى ٢

املتغريا ت اليت متثل (احدة للمجتمع، ولدينا عينة غري نفادية و θنريد تقدير معلمة : حالة كون متغرية اجملتمع متقطعة من البديهي أن احتمال حتقق عينة بذاهتا مـرتبط ب . هلا نفس التوزيع للمجتمع ) قيم احملصل عليها يف العينة مستقلة

احملـصل تعظم احتمال احلصول على العينـة θهناك قيمة ل . P(x1, x2, …,xn) = L(θ): قيمة املعلمة اجملهولة تتمثل طريقة املعقولية العظمى يف البحث . عليها، ونفترض أن تلك القيمة هي الصحيحة مبا أن العينة حصلت بالفعل

: ، حيث L(θ) اليت تعظم θأي البحث عن . عن هذه القيمةL(θ) = f(x1, . . . , xn ; θ) = f(x1) . f(x2) . . . f(xn) .

. L(θ) ى تعظيم دالة االحتمال املشتركةتعتمد طريقة املعقولية العظمى عل pنرد تقدير . لدى فرد مسحوب عشوائيا من اجملتمع" أ " ، حيث النجاح هو وجود اخلاصية X ~ B(p)ليكن : مثال

الـيت ’p هي األكثر احتماال؟ أي ما هي ٠، ١ اليت جتعل النتيجة p ل ’pما هي القيمة . ٢من خالل عينة حجمها أكرب ما ميكن؟ p(0.1) = pqجتعل

¼هـي p(0.1) من الواضح أن أكرب قيمة ل ، وهبـذا p’ = 1/2 القيمة اليت حتققها هـي و

.جنيب على التساؤل

p0 1/2

P(0.1)

1/4

P(0,1) أقصى قيمة ل 22 رسم

ص. ب اضرات اإلحصاء الرياضيمح

- 1 -IX

تطبيقاتها ومفاهيم اختبارات الفروض .IX الفصل

اختبار المتوسط اختبار التباين واختبار النسبة

اختبارات المقارنة بين مجتمعين التعديل اختبار تجانس واختبار ال

يف هذا . بعض خصائص املقدر اجليد ويف الفصل السابق تناولنا كيفية تقدير معامل اجملتمع من خالل بيانات العينةحيتاج الدارس أحيانا يف مرحلة ما من . سنتناول كيفية اختبار فرضيات موضوعة حول معامل جمتمع أو أكثر١الفصل

اختبار فرضية خبصوص معدل الدخل يف : من أمثلة ذلك. ص اجملتمع املدروسحبثه إىل اختبار فرضية أو أكثر خبصوأو اجملتمعات (يتم ذلك بصياغة فرضية عن اجملتمع املدروس ... منطقة معينة، اختبار فرضية نسبة شفاء لدواء معني،

أو ( بيانات عينة ذلك من خالل ومن مث حماولة احلصول على دليل إحصائي ينفي أو يثبت هذه الفرضية و)املدروسةنعتمد يف إثباهتا أو رفضها على وختص الفرضية أحد معامل اجملتمع كاملتوسط، النسبة أو التباين،. عشوائية بسيطة) أكثر

من أجل ذلك يعتمد هذا الدرس، كما هو احلال بالنسبة لدرس التقدير، على درس . خصائص إحصائية معاينة خمتارة .املعاينة

اختبار المتوسط .١ المبحث

لمتوسطثنائي االتجاه لختبار اال لمتوسطأحادي االتجاه لختبار اال

آمقدر لتباين المجتمع في اختبار المتزسطSاستخدام tاختبار المتزسط باستخدام توزيع

يؤكد اختبار املتوسط و..، مثل متوسط الدخل، متوسط وزن منتج معني، )µ( يتناول هذا االختبار متوسط اجملتمع

مث نستخدم التوزيع mللقيام باالختبار نستخرج عينة عشوائية حنسب فيها املتوسط و.µ0ه لقيمة ما فرضية مساوات . µ0 لقياس قرب أو بعد هذه القيمة من mاالحتمايل ل

. اختبار ثنائي االجتاه للمتوسط ١جه، ولتكن القيمة االفتراضية نريد اختبار فرضية حول متوسط دخل الطالب يف السنة األوىل من ختر: لنتناول هذا املثال

حتديد الفرضيات، حتديد قاعدة القرار، حساب : حنتاج إىل اخلطوات التالية. دج كمتوسط للدخل الشهري١٥٠٠٠هي . القيمة اجلدولية للمتغرية، حساب القيمة الفعلية للمتغرية، اختاذ القرار

):البديلة والصفرية (حتديد الفرضيات )أ (↔ H1 : µ ≠ µ0 H0 : µ = µ0

تضمن الربنامج فصلني حول موضوع اختبار الفروض، األول مفاهيم أساسية والثاين تطبيقات اختبار الفروض؛ غري أننا نرى أن الفصل بني هذين اجلزئني سوف 1

لذلك فسوف . الثايناملبحثة مبعزل عن التطبيقات أي مبعزل عن بنود من جهة أخرى، يصعب شرح املفاهيم األساسي. يؤدي إىل تكرار التطرق للمفاهيم األساسية . األولاملبحث الثاين، أي جزء التطبيقات، ويف أثنائه سنتطرق إىل املفاهيم املذكورة يف املبحثخنوض مباشرة يف

مفاهيم اختبارات الفروض و تطبيقاتها الفصل التاسع

- 2 -IX

يف هذه احلالة وRHoنكتب ويؤدي االختبار إما إىل رفضها و أو فرضية العدم،الفرضية الصفرية H0تسمى الفرضية هي يف هذه احلالة وµهي القيمة االفتراضية ل R’H0 .µ0نكتب و أو املعاكسة أو عدم رفضهاالفرضية البديلةنقبل

:يلي لذلك نكتب الفرضيات كما١٥٠٠٠↔ H1 : µ ≠ 15000 H0 : µ = 15000

ميكن استخدام اخلاصية، ويف هذه احلالة (µ0 = m) حمددة بناءا على بيانات عينة عشوائية بسيطة µ0عادة ما تكون m ~ N(µ, σ²/n) الجراء االختبار، حيث أنه حتت H0 فإن: m ~ N(µ0 , σ²/n)

: فمثال µ0ا من قريب إىل درجة مmمما يعين معلومية احتمال أن يكون P(µ0 – 1.64(σm) ≤ m ≤ µ0 + 1.64(σm)) = 0.90 P(µ0 – 1.96(σm) ≤ m ≤ µ0 + 1.96(σm)) = 0.95 P(µ0 – 2.58(σm) ≤ m ≤ µ0 + 2.58(σm)) = 0.99

: وبصفة عامة نكتبP[µ0 – z1-α/2(σm) ≤ m ≤ µ0 + z1-α/2 (σm)] = 1-α

:أو حسب الكتابة األكثر شيوعا

ασ

µαα −=≤

−≤− −− 1)( 2/1

02/1 z

mzP

m :حيث

(m - µ0)/σm ) :هي املتغرية املعيارية ل ) متغرية القرارmنرمز هلا ب وzc حيث ،z ~ N(0, 1) .

σmحتدد كما يلي : σm= σ/√nأو ( يف حالة املعاينة باإلرجاعn ≤ 0.05N( و

1−−

=N

nNnm

σσيف احلالة املعاكسة .

1 - α/2 : املساحة على يسارz.

n : حجم العينة.

نقبل بالتايل و، أن نرفض الفرضية الصفرية اليت حدد على أساسها هذا اجملالα-1ال خارج اجملmميكن إذا كان .الفرضية البديلة

.قاعدة القرار) اخلطة(تسمى هذه

حتديد قاعدة القرار )ب (

، كما )١أنظر الشكل ( االجتاه اختبار ثنائيالذي بني أيدينا، وهي قاعدة تكتب قاعدة القرار يف املثال :يلي

ص. ب اضرات اإلحصاء الرياضيمح

- 3 -IX

[ ]

−∉

−= −−

.sinon

.;

0

2/12/10

0

HR

zzX

zsiRHX

c αασµ

وأ

>

−−

.sinon

.

0

2/10

0

HR

zX

siRHX

ασµ

منطقيت القبول و الرفض يف حالة قاعد القرار الثنائية 23 رسم

m صحيحة بينما تقودنا قيمة H0فقد تكون الفرضية :تتضمن هذه اخلطة خماطرة تتمثل يف الوصول إىل قرار خاطىء ،P(RH0 / H0) = α :، ويكتب α احتماله و،من النوع األولاخلطأ احملصلة إىل رفضها، ويسمى هذا

: يكتب وα -1احتماله واخلطأ من النوع الثاين فيما هي خاطئة، ويسمى هذا H0 إىل قبولmو قد تقودنا قيمة P(R’H0 / H1 ) = 1-α

اخلطأين معا إال بزيادة و ميكن تقليص احتمال أحد اخلطأين على حساب الثاين، ولكن ال ميكن تقليص احتمال كال . حجم العينة

فيما يقيس احتمال قبوهلا ) ٢أنظر الشكل (قوة االختبار P(RH0)و يقيس احتمال رفض الفرضية الصفرية P(R’H0) احلقيقية ل يتوقف كال االحتمالني على القيمة و.)٢أنظر الشكل (فعالية االختبارµ .

z

RH0 RH0 R’H0

-z1-α/2 0 z1-α/2

µ0-z1-α/2(σm) µ0 µ0+z1-α/2(σm)

1-α

µ0

P(RH0)

α

1

µ0 µ

P(R’H0)

1-α 1

منحنى الفعالية (1) 25 رسم

منح

منحنى القوة (2)

مفاهيم اختبارات الفروض و تطبيقاتها الفصل التاسع

- 4 -IX

: اجلدوليةzحساب )ج (

اختبار ثنائي مبستوى معنوية(يف حالتنا و،)الشكل الثاين(حيث، وهي املشار إليها يف قاعدة القرار ztيرمز هلا ب و

٥%: ( zt = z1-α/2 = z1-0.05/2 = z1-0.025 = z0.975

. z0.975 = 1.96ومن اجلدول جند أن

: الفعلية zحساب )د ( ) :أنظر قاعدة القرار الشكل األول (mيارية ل هي املتغري املع و zcيرمز هلا ب و

33.5100/15001500158000 =

−=

−=

Xc

Xz

σµ

:القرار )ه ( أي أن متوسط دخل H1ونقبل zc > zt ألن H0يف حالتنا نرفض و. حسب قاعدة القرارH0نقرر قبول أو رفض

. دج١٥٠٠٠اخلريج حديث التوظيف ليس

.االختبار أحادي االجتاه للمتوسط ٢أكرب متاما أو أصغر ورضية البديلة اليت هي عدم مساواة يف االختبار الثنائييتميز االختبار الثنائي عن األحادي يف الف

.يف االختبار األحادي، وهذا يترتب عليه تغيري يف قاعدة القرار) حسب احلالة(متاما

. االختبار أحادي االجتاه من اليمني )أ (

دج أم أكثر ١٥٠٠٠توسط الدخل للخريج لنرجع إىل املثال السابق مع تغيري حمدد هو أننا نريد اختبار ما إذا كان م ).اختبار من اليمني( H1 : µ > µ0 H0 : µ = µ0 ↔ :الفرضيات -أ

H1 : µ > 15000 H0 : µ = 15000 ↔ : لذلك نكتب µ0 = 15000يف هذه احلالة

: قاعدة القرار -ب

>

−−

.sinon

.

0

10

0

HR

zX

siRHX

ασµ

zt = z1-α = z1-0.05 = z0.95 :) %٥اختبار على اليمني مبستوى معنوية (: اجلدوليةzحساب -ج

z0.95 = 1.645 ومن اجلدول جند أن

33.5 : الفعلية zحساب -د100/1500150015800

/00 =

−=

−=

−=

nXX

zX

c σµ

σµ

ص. ب اضرات اإلحصاء الرياضيمح

- 5 -IX

إمنا ودج١٥٠٠٠ أي أن متوسط دخل اخلريج حديث التوظيف ليس H1ونقبل zc > zt ألن H0نرفض : القرار-ه .هو أكرب

االختبار أحادي االجتاه من اليسار )ب (

نريد أن خنترب ما إذا كان متوسط الدخل مساوي أم أقل ودج١٤٢٠٠نفترض أن متوسط العينة كان وثالنانعود إىل م .دج١٥٠٠٠من H1 : µ < 15000 H0 : µ = 15000 ↔ : الفرضيات -أ

:قاعدة القرار -ب

−<

−−

.sinon

.

0

10

0

HR

zX

siRHX

ασµ

) :% ٥اختبار على اليسار مبستوى معنوية : ( اجلدوليةzحساب -ج

= -1.645 zt = - z1-α = - z1-0.05 = - z0.95

33.5 : الفعلية zحساب -د100/1500150014200

/00 −=

−=

−=

−=

nXX

zX

c σµ

σµ

.دج ١٥٠٠٠ أي أن متوسط دخل اخلريج حديث التوظيف أقل من H1ونقبل zc < zt ألن H0نرفض : القرار-ه

. يف اختبار املتوسطσ كمقدر ل Sاستخدام ٣حنتاج بالتايل إىل استخدام واف املعياري جمهوال معلوم، يف الواقع غالبا ما يكون االحنرσيف األمثلة السابقة افترضنا أن

، حيث نعوض العبارة)أنظر درس التقدير (σmعند حساب ) S(االحنراف املعياري للعينة

σm = σ/√n 1 ب−=

nS

mσn أو

Sm

'=σ

Sعينة يف املثال السابق نفترض أن االحنراف املعياري للدخل الشهري للطالب جمهول، لكن االحنراف املعياري لل: مثال

دج؟١٥٠٠٠كيف ميكن اختبار ما إذا كان الدخل الشهري أقل من . 1600 =

. اخلطوات أ، ب ، ج تبقى بدون تغيري

97.4 : الفعلية zحساب -د99/1600

1500142001/

00 −=−

=−

−=

−=

nSXX

zX

cµ

σµ

إمنا ودج١٥٠٠٠ أي أن متوسط دخل اخلريج حديث التوظيف ليس H1ونقبل zc < zt ألن H0نرفض : القرار-ه .هو أقل

.بار املتوسط يف اختtاستخدام التوزيع ٤ : لدينا جمهوال، ال ميكن استخدام التوزيع الطبيعي، ولكن) االحنراف املعياري للمجتمع (σ و n< 30يف حالة

مفاهيم اختبارات الفروض و تطبيقاتها الفصل التاسع

- 6 -IX

1~1/ −

−−

ntnS

X µ

) :H0 ) µ = µ0و حتت 1

0 ~1/ −

−

−nt

nSX µ

) .بشرط أن يكون توزيع اجملتمع طبيعيا أو على األقل جرسي الشكل(ميكن إذا استخدام التوزيع ستيودنت

: تبعا هلذا التغيري فتكتب يف حالة االختبار الثنائي كما يليو تتغري قاعدة القرار

>

−

−−−

.sinon

.1/

0

2/1;10

0

HR

tnS

XsiRH n α

µ

:يف حالة اختبار من اليمني

>

−

−−−

.sinon1/

0

1,10

0

HR

tnS

XsiRH n α

µ

:يف حالة اختبار من اليسار

−<

−

−−−

.sinon1/

0

1;10

0

HR

tnS

XsiRH n α

µ

خالصة ٥ : خطوات متتالية وهي٥يتم اختبار الفرضيات من خالل

)الصفرية والبديلة(الفرضيات حتديد

حتديد قاعدة القرار

للمتغريةاجلدوليةالقيمة حساب

القيمة الفعلية للمتغريةحساب

.القراراختاذ

، حسب طبيعة اجملتمع و طبيعة و حجم )ثنائي أو أحادي االجتاه (تتحدد كيفية إمتام كل خطوة حسب طبيعة االختبار .و تسخدم يف ذلك نظريات توزيع املعاينة... العينة،

واختبار التباين اختبار النسبة .٢ المبحث

اختبار النسبة ناختبار التباي

اختبار النسبة ١، حيث يؤكد االختبار أو ينفي صحة فرضية معينة )p(يتعلق هذا االختبار بنسبة مفردات اجملتمع اليت تتصف خباصية ما

H0 : p = p0 : وتكتب الفرضية كما يلي p0يرمز للقيمة االفتراضية ب . pخبصوص قيمة ). ٦نظرية : أنظر توزيع املعاينة للنسبة ( النسبة يف العينة ’pللقيام باالختبار نستخدم خصائص

ص. ب اضرات اإلحصاء الرياضيمح

- 7 -IX

npqppE pp === '' ²;)'( σµ

)البالس -نظرية موافر (n ≥ 30 : (p, σp') p’ ≈ Nعند

:H0حتت واستنادا إىل هذه اخلصائص

≈

nqp

pNp 000 ;'

:و من مث ميكن حتديد قاعدة القرار حبسب طبيعة االختباركما يلي

:يف حالة االختبار الثنائي

>

−−

.sinon

./

'

0

2/100

00

HR

znqp

ppsiRH α

:يف حالة اختبار من اليمني

>−

−

.sinon

/'

0

100

00

HR

znqp

ppsiRH α

: حالة اختبار من اليساريف

−<−

−

.sinon

/'

0

100

00

HR

znqp

ppsiRH α

تقدر الدوائر الرمسية نسبة املتخرجني اجلامعيني الذين حيصلون على عمل يف السنة األوىل اليت تلي خترجهم ب :مثالكيف ميكن . % ٦٧ طالب أن نسبة احلصول على عمل ٩٠٠وجدت دراسة أجريت على عينة من . % ٧٠

.% ٥حة أم مبالغ فيها، مبستوى معنوية اختبار ما إذا كانت النسبة الرمسية صحيH0 : p = 0.70 ↔ H1 : p < 0.70

64.134.196900/)3.0(7.07.067.0

/'

05.0100

0 −=−<−≅−

=−

−znqp

pp

. H0ومنه نرفض الفرضية

اختبار التباين ٢

الختبار صدقية فرضية خبصوص قيمة تباين جمتمع ما، H0 : σ² =σ0² ↔ H1 : σ² = σ0²

نستعمل املقدر غري املنحاز1

)²(²ˆ

−

−= ∑

nXX

S i i . حيث يف حالة العينة الكبرية)n ≥ 50ن األحوال يف أحس ( ،

فإنH0وحتت 4

4404

20 )().1.0(

/)(

²ˆµµ

σµ

σ−=≈

−

−= XEN

n

ST

: وهبذا الشكل تكتب قاعدة القرار لالختبار الثنائي كما يلي. هو العزم املركزي من الدرجة الرابعةµ4حيث

مفاهيم اختبارات الفروض و تطبيقاتها الفصل التاسع

- 8 -IX

>

−

−−

.sinon

/)(

²ˆ

0

2/1404

20

0

HR

zn

SsiRH α

σµ

σ

.m4 = E(xi – m)4: جمهول ميكن استخدام كمقدر µ4يف حالة و

: كتب كما يلي ميكن أن تمتغرية القرار ، فإن µ4 = 3σ4 وإذا كان اجملتمع طبيعيا، حيث

).1.0(/2

²ˆ20

20 Nn

ST ≈

−=

σσ

ص. ب اضرات اإلحصاء الرياضيمح

- 9 -IX

رنة بين مجتمعينااختبار المق .٣ المبحث

اختبار تساوي متوسطي مجتمعين اختبار تساوي تبايني مجتمعين

سنركز هنا على متغرية القرار، و ... أو التباين لكل منهماتوسطامليتناول هذا االختبار مقارنة بني جمتمعني من خالل

.اخلطوات األخرى على ضوء ما سبقإذ من السهل على الطالب استنتاج كيفية إمتام

اختبار تساوي متوسطي جمتمعني ١

. الغرض من االختبار هو تأكيد أو نفي تساوي متوسطي جمتمعني من خالل عينتني عشوائيتني بسيطتني مستقلتني H0 : µ1 = µ2 ↔ H1 : µ1 ≠ µ2 :كما يلي)يف حالة االختبار الثنائي(تكتب الفرضيات

للطالب استنتاج قاعدة ترك ن( حبسب احلالة ’T أو Tنعتمد يف االختبار على متغرية القرار قرار لتحديد متغرية ال .، حيث منيز بني حالة كون تباينا اجملتمعني معلومني وحالة كون تباينا اجملتمعني جمهولني)القرار

تباينا اجملتمعني معلومني )أ ( :اجملتمعني طبيعيني -١

)1.0(~

2

22

1

21

21 N

nn

XXT

σσ+

−=

):n1 , n2 ≥ 30(جمتمعني ما -٢

)1,0(

2

22

1

21

21 N

nn

XXT ≈

+

−=

σσ

تباينا اجملتمعني جمهولني )ب ( : نا طبيعيان اجملتمع-١

2 إذا كان تباينا اجملتمعني متساويني

2121

222

211

2121

~11

2

' −+

+

−++

−= nnt

nnnnSnSn

XXT

)n1 , n2 ≥ 30:( )1,0( جمتمعني ما -٢

11 2

22

1

21

21 N

nS

nS

XXT ≈

−+

−

−=

مفاهيم اختبارات الفروض و تطبيقاتها الفصل التاسع

- 10 -IX

وجدنا النتائج . ٢١حجم الثانية و١٨نسحب من جمتمعني طبيعيني متساويي التباين عينتني حجم األوىل : مثال :التالية

m1 = 81, m2 = 76, S²1 = 9, S²2 = 8. كيف ميكن اجراء اختبار تساوي متوسطي اجملتمعني مبستوى .% ٥معنوية

H0 : µ1 = µ2 ↔ H1 : µ1 ≠ µ2

037;975.0

2121

222

211

21

43.5336.2

43.5

211

181

22118)8(21)9(187681

112

'

RHt

nnnnSnSn

XXT

⇒<≅

≅

+

−++

−=

+

−++

−=

جمتمعنياختبار تساوي تبايين ٢

.الغرض من االختبار هو تأكيد أو نفي تساوي تباينا جمتمعني من خالل عينتني عشوائيتني بسيطتني مستقلتني

H0 : σ²1 = σ²2 ↔ H1 : σ²1 ≠ σ²2 :كما يلي)لة االختبار الثنائييف حا(تكتب الفرضيات

. طبيعيني أم غري ذلك حبسب احلالة، حيث منيز بني حالة كون اجملتمعني ’T أو Tنعتمد يف االختبار على متغرية القرار

طبيعيني جمتمعني )أ (

:احلالة العامة -١

1;122

21

21~ˆ

ˆ' −−= nnF

SS

T

n1 , n2 ≥ 30 يف حالة -٢

)1;0(1

11

121/ˆ

ˆln

21

2122

21 N

nnSST ≈

−

+−

=

(n1, n2 ≥ 50)عني ما جمتم )ب (١- µ4

(1) ; µ4

(2) : معروفني

)1;0(

ˆˆ/)ˆˆ(

2

42

)2(4

1

41

)1(42

22

1 Nn

Sn

SSST ≈−

−−

−=µµ

µ4 يف حالة -٢

(1) ; µ4

(2) .m4 ب µ4نعوض : غري معروفني

: وجدنا النتائج التالية. ٢١حجم الثانية و١٨نسحب من جمتمعني طبيعيني عينتني حجم األوىل : مثال

m1 = 81, m2 = 76, S²1 = 9, S²2 = 8. ميكن اجراء اختبار تساوي متوسطي اجملتمعني مبستوى كيف ؟% ٥معنوية

H0 : σ²1 = σ²2 ↔ H1 : σ²1 ≠ σ²2

ص. ب اضرات اإلحصاء الرياضيمح

- 11 -IX

S’²1 = S²1 * n1 / (n1-1) = 9 (18)/17 ≈ 9.53 ; S’²2 = S²2 * n2 / (n2-1) = 8 (21)/20 = 8.4 S’²1 / S’²2 ≈ 1.135 ; F0.05 ;17 ;20 ≈ 2.17

T < Fα ; n1-1 ;n2-1 => R’H0

التجانس واختبار االستقالل .٤ المبحث

اختبار التجانس اختبار التعديل

اختبار التجانس ١

حيث pi نسبة حتقق كل منها يف اجملتمع ، من اخلصائص املتنافيةkنفترض أن لدينا عددا ولنعد إىل اختبار النسبة،∑pi = 1 .نريد اختبار فرضية تساوي هذه النسب:

pi ≠ pi0 H0 : pi = pi0 (i = 1, 2, . . . k ) ↔ H1 : .) على األقل غري مساوية للقيمة احلقيقيةpi0إحدى النسب النظرية الفرضية البديلة هي أن (

إذا حتققت الشروط) . ni(إلجناز االختبار نستخرج عينة حنسب فيها عدد مرات حتقق اخلصائص : متغرية القرار

n ≥ 30 ،pi0 ≥ 1 من احلاالت % ٨٠ على األقل يفو npi0 ≥ 5 نربهن أن:

21

0

0 )²(−≈

−= ∑ ki

i

ii

npnpn

T χ

ار التعديل باخت ٢

تستخدم هذه الطريقة أيضا الختبار تعديل توزيع معني بتوزيع آخر، ويف هذه احلالة نقارن بني تكرارات العينة :، حيث تصاغ الفرضيات كما يلي ni0 وتكرارات افتراضية ni) التكرارات احلقيقية(

:ni H0: ni = ni0 (i = 1, 2, … k) ↔ H1 احلقيقيتكرار غري مساوية للni0 النظرية كراراتتعلى األقل إحدى ال

21

0

0 )²(−−≈

−= ∑ mki

i

ii

nnn

T χ

mعدد من معامل من اجملتمع املقدرة انطالقا من بيانات العينة لتحديد التكرارات النظرية . حول شعبيتهم كما % ٥ية نريد اختبار فرضية مبستوى معنو. ج وأ، ب: مرشحني٣يتقدم إىل انتخابات معينة : مثال : يلي

H0 : p1 = 0.4, p2 = 0.35, p3 = 25 . ٩٥، ١٣٥، ١٧٠: ناخب فكان توزع فئات املساندين على التوايل ٤٠٠أجري استجواب ل

.npi0 ≥ 5 من % ٨٠أكثر من و ، npi0 = 160, 140, 100 ≥ 1، األعداد االفتراضية n = 400 ≥ 30لدينا

05.1100

)²10095(140

)²140135(160

)²160170()²(

0

0 =−

+−

+−

=−

= ∑ii

ii

npnpn

T Χ²2 ; 0.95 = 5.99 > 1.05 => R’H0 .