1.14. Диэлектрики в электрическом поле 1.14. Диэлектрики в электрическом поле

Типы диэлектриков

Диэлектриками (изоляторами) называются вещества не способные проводить электрический ток.

Это связано с тем, что в диэлектриках практически нет свободных зарядов, которые могут перемещаться на значительные расстояния и переносить ток.

Идеальных изоляторов в природе нет, все вещества в той или иной степени проводят ток, но у диэлектриков проводимость в 1015-1020 раз меньше, чем у металлов.

Типы диэлектриков

Диэлектриками (изоляторами) называются вещества не способные проводить электрический ток.

Это связано с тем, что в диэлектриках практически нет свободных зарядов, которые могут перемещаться на значительные расстояния и переносить ток.

Идеальных изоляторов в природе нет, все вещества в той или иной степени проводят ток, но у диэлектриков проводимость в 1015-1020 раз меньше, чем у металлов.

До сих пор электрическое поле изучалось в вакууме. Теперь рассмотрим электрическое поле в материальных средах.

До сих пор электрическое поле изучалось в вакууме. Теперь рассмотрим электрическое поле в материальных средах.

Под воздействием внешнего электрического поля заряды, входящие в состав диэлектрика не срываются со своих мест, а лишь несколько смещаются из положений равновесия в новые равновесные положения.

Диэлектрик состоит из нейтральных атомов и молекул. Пусть Q – суммарный положительный заряд всех ядер, а (-Q) – суммарный отрицательный заряд всех электронов молекулы. Тогда молекулу можно рассматриватькак электрический диполь смоментом

где - плечо диполя. В зависимости от величины электрического момента молекулы делят на два типа.

Под воздействием внешнего электрического поля заряды, входящие в состав диэлектрика не срываются со своих мест, а лишь несколько смещаются из положений равновесия в новые равновесные положения.

Диэлектрик состоит из нейтральных атомов и молекул. Пусть Q – суммарный положительный заряд всех ядер, а (-Q) – суммарный отрицательный заряд всех электронов молекулы. Тогда молекулу можно рассматриватькак электрический диполь смоментом

где - плечо диполя. В зависимости от величины электрического момента молекулы делят на два типа.

p = Ql

l p

+Q -QP

l

Если молекула имеет симметричное строение, то центры положительных и отрицательных зарядов совпадают , а ее дипольный момент равен нулю. Такие молекулы называют неполярными.

Во внешнем электрическом поле заряды Q и (-Q) смещаются в разные стороны, поэтому неполярная молекула деформируется и приобретает дипольный момент, то есть она ведет себя как упругий диполь.

Если молекула имеет симметричное строение, то центры положительных и отрицательных зарядов совпадают , а ее дипольный момент равен нулю. Такие молекулы называют неполярными.

Во внешнем электрическом поле заряды Q и (-Q) смещаются в разные стороны, поэтому неполярная молекула деформируется и приобретает дипольный момент, то есть она ведет себя как упругий диполь.

+- - +

E = 0 E

l = 0

Опыт показывает, что модуль дипольного момента неполярной молекулы пропорционален напряженности внешнего поля

(1.14.1)

где - поляризуемость молекулы. Неполярными молекулами являются

Опыт показывает, что модуль дипольного момента неполярной молекулы пропорционален напряженности внешнего поля

(1.14.1)

где - поляризуемость молекулы. Неполярными молекулами являются

0p E

2 2 2 2 4, , , , ,...N H O CO CH

Другие молекулы имеют асимметричное строение. У них центры тяжести положительных и отрицательных зарядов не совпадают ( ), поэтому они имеют отличный о нуля собственный дипольный момент. Такие молекулы называют полярными.

Примерами полярных молекул являются

В отсутствие внешнего поля за счет теплового

хаотического движения дипольный момент полярных молекул распределен по всем направлениям равновероятно, поэтому суммарный момент диэлектрика равен нулю.

Другие молекулы имеют асимметричное строение. У них центры тяжести положительных и отрицательных зарядов не совпадают ( ), поэтому они имеют отличный о нуля собственный дипольный момент. Такие молекулы называют полярными.

Примерами полярных молекул являются

В отсутствие внешнего поля за счет теплового

хаотического движения дипольный момент полярных молекул распределен по всем направлениям равновероятно, поэтому суммарный момент диэлектрика равен нулю.

l 0

3 2 2, , , , , ,...NH H O SO CO NH HCl

Полярные молекулы жесткие. Под действием внешнего поля их заряды почти не смещаются друг относительно друга, а молекула поворачивается как целое так, чтобы ее дипольный момент установился по направлению поля. В результате суммарный дипольный момент диэлектрика становится отличным от нуля.

Полярные молекулы жесткие. Под действием внешнего поля их заряды почти не смещаются друг относительно друга, а молекула поворачивается как целое так, чтобы ее дипольный момент установился по направлению поля. В результате суммарный дипольный момент диэлектрика становится отличным от нуля.

E = 0

P P

E

Таким образом, во внешнем поле полярные и неполярные диэлектрики приобретают электрический дипольный момент. Об этом говорят как о поляризации диэлектрика.

В общем случае поляризация диэлектрика неоднородна и меняется от точки к точке. Это может быть связано как с неоднородностью внешнего поля, так и с неоднородностью состава самого диэлектрика.

Для характеристики степени поляризации используют дипольный момент единицы объема диэлектрика, найдем его.

Таким образом, во внешнем поле полярные и неполярные диэлектрики приобретают электрический дипольный момент. Об этом говорят как о поляризации диэлектрика.

В общем случае поляризация диэлектрика неоднородна и меняется от точки к точке. Это может быть связано как с неоднородностью внешнего поля, так и с неоднородностью состава самого диэлектрика.

Для характеристики степени поляризации используют дипольный момент единицы объема диэлектрика, найдем его.

Выделим вблизи некоторой точки малый объем , в котором находятся N молекул с электрическими моментами . Вектор

(1.14.2)

называется вектором поляризации или поляризованностью диэлектрика в данной точке. Следовательно, вектор поляризации равен электрическому (дипольному) моменту единицы объема диэлектрика. Размерность вектора поляризации

Выделим вблизи некоторой точки малый объем , в котором находятся N молекул с электрическими моментами . Вектор

(1.14.2)

называется вектором поляризации или поляризованностью диэлектрика в данной точке. Следовательно, вектор поляризации равен электрическому (дипольному) моменту единицы объема диэлектрика. Размерность вектора поляризации

V

1

1 N

ii

pV

P

ip

3 2

Кл м Кл

м м

[ ]P

Опыт показывает, что у изотропных диэлектриков (полярных и неполярных) поляризованность пропорциональна напряженности поля в той же точке (1.14.3)

где - диэлектрическая восприимчивость (безразмерная величина).

Для неполярных молекул формула (1.14.3) вытекает из

(1.14.1). Действительно, дипольный момент i - ой молекулы равен

тогда

где n – концентрация молекул, поэтому

Опыт показывает, что у изотропных диэлектриков (полярных и неполярных) поляризованность пропорциональна напряженности поля в той же точке (1.14.3)

где - диэлектрическая восприимчивость (безразмерная величина).

Для неполярных молекул формула (1.14.3) вытекает из

(1.14.1). Действительно, дипольный момент i - ой молекулы равен

тогда

где n – концентрация молекул, поэтому

0E P

0ip E

0 0 01

1 N

i

NE E n E

V V

P

n

У полярных диэлектриков диэлектрическая восприимчивость уменьшается с ростом температуры за счет усиления роли хаотического теплового движения, приводящего к дезориентации диполей молекул.

Все заряды, находящиеся внутри или вне диэлектрика, делят на два типа.

1) Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называют связанными. Эти заряды незначительно смещаются из своих положений под действием внешнего поля и не покидают пределы молекул.

2) Заряды, которые не входят в состав молекул, называют сторонними. Они могут быть как в пределах диэлектрика, так и вне его.

У полярных диэлектриков диэлектрическая восприимчивость уменьшается с ростом температуры за счет усиления роли хаотического теплового движения, приводящего к дезориентации диполей молекул.

Все заряды, находящиеся внутри или вне диэлектрика, делят на два типа.

1) Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называют связанными. Эти заряды незначительно смещаются из своих положений под действием внешнего поля и не покидают пределы молекул.

2) Заряды, которые не входят в состав молекул, называют сторонними. Они могут быть как в пределах диэлектрика, так и вне его.

Сторонние заряды могут быть свободными и несвободными.

Свободные заряды могут перемещаться на макроскопические расстояния (например, электроны в металле, вакууме, ионы в газах и электролитах).

Примером несвободных сторонних зарядов являются заряды, нанесенные извне на поверхность диэлектрика.

Сторонние заряды могут быть свободными и несвободными.

Свободные заряды могут перемещаться на макроскопические расстояния (например, электроны в металле, вакууме, ионы в газах и электролитах).

Примером несвободных сторонних зарядов являются заряды, нанесенные извне на поверхность диэлектрика.

Электрическое поле в диэлектрике является суперпозицией полей, созданных связанными и сторонними зарядами.

Это суммарное поле называют микроскопическим полем

(1.14.4)

Микроскопическое поле резко меняется на межмолекулярных расстояниях, а за счет движения молекул быстро зависит от времени.

Электрическое поле в диэлектрике является суперпозицией полей, созданных связанными и сторонними зарядами.

Это суммарное поле называют микроскопическим полем

(1.14.4)

Микроскопическое поле резко меняется на межмолекулярных расстояниях, а за счет движения молекул быстро зависит от времени.

связЕ

сторЕ

микро связ сторЕ = Е + Е

В опытах обычно используют диэлектрические материалы, размеры которых много больше межмолекулярных расстояний, и изучают их в течение промежутков времени много больших периодов внутримолекулярных и тепловых колебаний.

Поэтому в опытах обнаруживается лишь усредненное по времени и объему микроскопическое поле

Обозначим далее

тогда (1.14.5)

Усредненное поле называют макроскопическим полем.

В опытах обычно используют диэлектрические материалы, размеры которых много больше межмолекулярных расстояний, и изучают их в течение промежутков времени много больших периодов внутримолекулярных и тепловых колебаний.

Поэтому в опытах обнаруживается лишь усредненное по времени и объему микроскопическое поле

Обозначим далее

тогда (1.14.5)

Усредненное поле называют макроскопическим полем.

микро связ сторE = Е = Е + Е

;

связ 0 сторE' = Е E = Е

0E = E' + EE

Поляризованность также является макроскопической величиной, поэтому в формуле (1.14.3)

под надо понимать макроскопическое поле. В вакууме связанные заряды отсутствуют, поэтому

и в прежней формуле (1.8.8)

под надо понимать , а под - плотность сторонних зарядов

Поляризованность также является макроскопической величиной, поэтому в формуле (1.14.3)

под надо понимать макроскопическое поле. В вакууме связанные заряды отсутствуют, поэтому

и в прежней формуле (1.8.8)

под надо понимать , а под - плотность сторонних зарядов

E

0 ;

связ 0 сторE' = Е E = E = Е

0

( )E

E

0E

00

( )E

0E P

Рассмотрим детальнее распределение зарядов в диэлектрике.

Обозначим через - объемную плотность связанных зарядов, а через - поверхностную плотность связанных зарядов. Если диэлектрик неполяризован, то

Во внешнем поле в результате поляризации поверхностная плотность отлична от нуля, иногда отличной от нуля становится и объемная плотность .

Под действием поля заряды одного знака уходят внутрь, а другого знака – наружу поверхности диэлектрика. В результате вблизи поверхности диэлектрика возникает избыток связанных зарядов одного знака.

Рассмотрим детальнее распределение зарядов в диэлектрике.

Обозначим через - объемную плотность связанных зарядов, а через - поверхностную плотность связанных зарядов. Если диэлектрик неполяризован, то

Во внешнем поле в результате поляризации поверхностная плотность отлична от нуля, иногда отличной от нуля становится и объемная плотность .

Под действием поля заряды одного знака уходят внутрь, а другого знака – наружу поверхности диэлектрика. В результате вблизи поверхности диэлектрика возникает избыток связанных зарядов одного знака.

''

' 0 ' 0

''

На рисунках показано распределение зарядов в диэлектриках с неполярными и полярными молекулами в отсутствии и при наличии внешнего поля.

На рисунках показано распределение зарядов в диэлектриках с неполярными и полярными молекулами в отсутствии и при наличии внешнего поля.

+-

E = 0

-

-

- -

- -

- -

+ +

+ + +

+ + +

н еп ол я р н ы е м ол ек у л ы

+-

E 0

-

-

- -

- -

- -

+ +

+ + +

+ + +

н еп ол я р н ы е м ол ек у л ы

+-

E 0

-

-

--

- -

- -

++

+ + +

+ + +

п о л я р н ы е м ол ек у л ы

+-

E = 0

-

-

--

- -

--

++

+ + +

+ ++

п о л я р н ы е м ол ек у л ы

Найдем связь между поляризованностью диэлектрика и поверхностной плотностью связанных зарядов .

Пусть бесконечная плоскопараллельная пластина из диэлектрика помещена в однородное электрическое поле .Выделим в ней малый объем в виде косого цилиндра с

образующими l , параллельными полю и основаниями , совпадающими с основаниями пластины. Объем цилиндраравен поэтому его дипольный момент

(1.14.6)

Найдем связь между поляризованностью диэлектрика и поверхностной плотностью связанных зарядов .

Пусть бесконечная плоскопараллельная пластина из диэлектрика помещена в однородное электрическое поле .Выделим в ней малый объем в виде косого цилиндра с

образующими l , параллельными полю и основаниями , совпадающими с основаниями пластины. Объем цилиндраравен поэтому его дипольный момент

(1.14.6)

P '

E S

cosV l S

E

n

n

+ '- '

P

E

d

l S

cosV l S P P

С другой стороны, этот цилиндр эквивалентен диполю с зарядами и , отстоящими друг

от друга на расстояние l. Электрический момент такого диполя равен

Он должен совпадать с (1.14.6) , приравнивая получаем

Отсюда находим искомую связь

(1.14.7)

где - проекция вектора поляризации на внешнюю нормаль.

С другой стороны, этот цилиндр эквивалентен диполю с зарядами и , отстоящими друг

от друга на расстояние l. Электрический момент такого диполя равен

Он должен совпадать с (1.14.6) , приравнивая получаем

Отсюда находим искомую связь

(1.14.7)

где - проекция вектора поляризации на внешнюю нормаль.

' S ' S

'l S

cos 'l S l S P

' cos nP PnP

P

С другой стороны, согласно (1.14.3)

где - нормальная составляющая поля внутри диэлектрика.

Поэтому формулу (1.14.7) можно записать как

(1.14.8)

С другой стороны, согласно (1.14.3)

где - нормальная составляющая поля внутри диэлектрика.

Поэтому формулу (1.14.7) можно записать как

(1.14.8)

0 nEnPnE

0' nE

В тех местах поверхности диэлектрика, где линиинапряженности выходят из диэлектрика векторанаправлены в одну сторону. Поэтому здесь , а на поверхности выступают положительные заряды. Там же, где линии поля входят в диэлектрик , поэтому на поверхности появляются отрицательные заряды.

В тех местах поверхности диэлектрика, где линиинапряженности выходят из диэлектрика векторанаправлены в одну сторону. Поэтому здесь , а на поверхности выступают положительные заряды. Там же, где линии поля входят в диэлектрик , поэтому на поверхности появляются отрицательные заряды.

E

+

n

-n

E

Л ев а я гр а н и ц а П р ав а я гр а н и ц а

nE > 0

nE < 0

P , E ,n

Найдем связь объемной плотности сторонних зарядовс поляризованностью . Для примера, рассмотрим диэлектрик, состоящий из неполярных молекул. Выделим в диэлектрике малую площадку . При включении внешнегоэлектрического поля все положительные зарядысдвинутся относительно площадки на одно и то

же расстояние l1 в

направлении поля, а всеотрицательные зарядысдвинутся на некоторое

другое расстояние l2

против поля.

Найдем связь объемной плотности сторонних зарядовс поляризованностью . Для примера, рассмотрим диэлектрик, состоящий из неполярных молекул. Выделим в диэлектрике малую площадку . При включении внешнегоэлектрического поля все положительные зарядысдвинутся относительно площадки на одно и то

же расстояние l1 в

направлении поля, а всеотрицательные зарядысдвинутся на некоторое

другое расстояние l2

против поля.

'P

S

n+ e

- eP

E

S

l 1 l 2

l 1

l 2

Площадку пересекут слева направо все положительные заряды, находящиеся в объеме левого косого цилиндра , и справа налево – все отрицательные заряды, находящиеся в объеме правого косого цилиндра .

Поэтому через площадку переносится полный заряд, равный

где n - плотность молекул,

а l1+l2 - расстояние, на которое смещаются друг

относительно друга положительные и отрицательные заряды.

Площадку пересекут слева направо все положительные заряды, находящиеся в объеме левого косого цилиндра , и справа налево – все отрицательные заряды, находящиеся в объеме правого косого цилиндра .

Поэтому через площадку переносится полный заряд, равный

где n - плотность молекул,

а l1+l2 - расстояние, на которое смещаются друг

относительно друга положительные и отрицательные заряды.

1 cosl S

2 cosl S

S

S

1 2 1 2' cos cos ( ) cosq enl S enl S en l l S

В результате перемещения каждая пара зарядов

приобретает дипольный момент, равный p = el = e(l1 +l2)Число пар зарядов в единице объема равно плотности n, поэтому суммарный дипольный момент единицы объема равен

eln = pn Эта величина равна модулю вектора поляризации

Поэтому заряд можно записать как

В результате перемещения каждая пара зарядов

приобретает дипольный момент, равный p = el = e(l1 +l2)Число пар зарядов в единице объема равно плотности n, поэтому суммарный дипольный момент единицы объема равен

eln = pn Эта величина равна модулю вектора поляризации

Поэтому заряд можно записать как

P

P = pn

' cosq S P

но

тогда

Пусть теперь поверхность S является замкнутой поверхностью, находящейся внутри диэлектрика.

При включении внешнего электрического поля эту поверхность пересечет и выйдет наружу связанный заряд, равный

но

тогда

Пусть теперь поверхность S является замкнутой поверхностью, находящейся внутри диэлектрика.

При включении внешнего электрического поля эту поверхность пересечет и выйдет наружу связанный заряд, равный

cos

P P( n)

P Pq' ( n) S = ( S)

' 'выш

S S

q dq dS

P

Поэтому внутри объема, ограниченного такой поверхностью, возникает избыточный связанный заряд

(1.14.9)

где - поток вектора поляризации через замкнутую поверхность S .

Формула (1.14.9) выражает собой теорему Гаусса для вектора поляризации:

поток вектора поляризации через произвольную замкнутую поверхность равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом этой поверхностью.

Поэтому внутри объема, ограниченного такой поверхностью, возникает избыточный связанный заряд

(1.14.9)

где - поток вектора поляризации через замкнутую поверхность S .

Формула (1.14.9) выражает собой теорему Гаусса для вектора поляризации:

поток вектора поляризации через произвольную замкнутую поверхность равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом этой поверхностью.

' 'избыт выш

S

q q dS Ф ��������������

PP

Ф P

P

Определим объемную плотность связанных зарядов согласно

Тогда с использованием теоремы Гаусса получаем

следовательно

Определим объемную плотность связанных зарядов согласно

Тогда с использованием теоремы Гаусса получаем

следовательно

' 'избыт

V S V

q dV dS dV ��������������

P P

'V V

dV dV

P

'

' избытdq

dV

Равенство интегралов должно выполняться для произвольных объемов V , поэтому должны равняться подинтегральные функции

(1.14.10)

Эта формула и дает искомую связь между вектором поляризации и объемной плотностью связанных зарядов:

плотность связанных зарядов равна дивергенции поляризованности , взятой с обратным знаком.

Равенство интегралов должно выполняться для произвольных объемов V , поэтому должны равняться подинтегральные функции

(1.14.10)

Эта формула и дает искомую связь между вектором поляризации и объемной плотностью связанных зарядов:

плотность связанных зарядов равна дивергенции поляризованности , взятой с обратным знаком.

P

'

'

y z

( )

= -( + )

yx z

P = P =

PP P

x

-div