1.2 正余弦定理应用举例

已知向量 a 与 b 的夹角为 120° ， 则 等于

（ A ） 5 　（ B ） 4 （ C ） 3 　（ D ） 1

3, 13,a a b

b

练习 1 海上有 A 、 B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和

B 岛成 60° 的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角，那么

B 岛和 C 岛间的距离是 。

A

C

B

10海里

60°

75°

答： 65 海里

解：应用正弦定理， C=45

BC/sin60 =10/sin45

BC=10sin60 /sin45

练习练习 22 、、 为了测定河对岸两点为了测定河对岸两点 AA 、、 BB间的距离，在岸边选定间的距离，在岸边选定11 公里长的基线公里长的基线 CDCD ，，并测得并测得∠∠ ACDACD=90=90oo ，∠，∠ BCDBCD=60=60oo ，，∠∠ BDCBDC=75=75oo ，∠，∠ ADCADC=30=30oo ，，求求 AA 、、 BB两点的距离两点的距离 ..

A

B

C

D

A

B

C

D

1 公里

分析：在四边形 ABCD 中欲求 AB长，只能去解三角形，与 AB联系的三角形有△ ABC 和△ ABD ，利用其一可求 AB。

∠∠ACDACD=90=90oo ，∠，∠ BCDBCD=60=60oo ，，∠∠ BDCBDC=75=75oo ，∠，∠ ADCADC=30=30oo ，，

略解： Rt ACD△ 中， AD=1/cos30oo

△BCD 中， 1/sin45=BD/sin60 ，可求 BD 。由余弦定理在△ ABD 中可求 AB 。

)913.06

30( AB

练习 3 ：海中有岛 A ，已知 A 岛周围 8 海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见 A 岛在北偏东 75° ，航行 20

海里后，见此岛在北偏东 30° ，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。

2

A

B C M

北北

220

解：

在△ ABC 中∠ ACB=120° ABC=15°∠ 由正弦定理得：

sin15 sin 45

AC BC

由 BC=20 , 可求 AC

∴ 得 AM=

≈8.97>8

2

65215

∴无触礁危险

A

B C M

北北

220

7530

1、分析题意，弄清已知和所求；2、根据提意，画出示意图；3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；4、正确运用正、余弦定理。

小结：求解三角形应用题的一般步骤：

实际问题 抽象概括示意图

数学模型

推理 演算

数学模型的解实际问题的解还原说明

几个概念：• 仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角 ;

• 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；• 方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线

的夹角。

N

方位角 60 度

水平线

目标方向线

视线

视线

仰角

俯角

方向角是指从指定方向线到目标方向线的水平角 , 如北偏东 30 度 , 南偏西 45 度 .

1.2 正余弦定理应用举例

例例 33.AB是底部 B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB的方法。

A

B

CD

例例 4.4. 如图，要测底部不能到达的烟囱的高如图，要测底部不能到达的烟囱的高 ABAB ，从，从

与烟囱底部在同一水平直线上的与烟囱底部在同一水平直线上的 CC ，， DD 两处，测得烟囱两处，测得烟囱

的仰角分别是的仰角分别是 α=35°12′α=35°12′ 和和 β=49°28′β=49°28′ ，， CDCD 间的距离是间的距离是 11

1.12m1.12m ．已知测角仪器高．已知测角仪器高 1.52m1.52m ，求烟囱的高． ，求烟囱的高．

21350

82490

m12.11m52.1

,2135, 01111

DBCDBC 已知中在

B

1A

A1C 1D

DC

21350

82490

m52.1m12.11

BA1求

:解

,23130180 0011

BDC

BDC

BC

BDC

DC

11

1

11

11

sinsin

根据正弦定理得

,30.346114sin

23130sin12.110

0

1

BC

6114011

BDC

,11 中在 BCARt

,77.192135sin 011 BCBA .29.21 m故烟囱的高度为

练习 4 、如图，要测底部不能到达的烟囱的高 AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的 C 、 D 两处，测得烟囱的仰角分别是

和45 60　　　　　　　　　， CD 间的距离是 12m. 已知测角仪器高 1.5m, 求烟囱的高。

图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？

想一想

实例讲解

A

A1

B

C D

C1 D1

分析：如图，因为 AB=AA1+A1B ，又已知 AA1=1.5m, 所以只要求出 A1B 即可。解：

15sin

120sin12

sin

sin

sinsin

:

,154560,

1111

1

111

1111

B

DDCBC

D

BC

B

DC

BDCDBC

由正弦定理可得中在

66218

4.2836182

211 BCBA

)(9.295.14.2811 mAABAAB

答：烟囱的高为 29.9m.

例 5 、如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 , 在塔底 C 处测得 A 处的俯角已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m, 求出山高 CD( 精确到 1 m)

'04054 '0150

如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D ．现测得 ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB ．

BCD BDC CD s ， ，

例 6 、如图 , 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 , 到 A 处时测得公路北侧远处一山顶 D 在西偏北 150 的方向上 , 行驶 5km 后到达 B 处 , 测得此山顶在西偏北 250 的方向上 , 仰角为 80, 求此山的高度CD.

例 7 、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 750 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B, 然后从 B 出发 , 沿北偏东 320 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C. 如果下次航行直接从 A 出发到达 C, 此船应该沿怎样的方向航行 , 需要航行多少距离 ?( 角度精确到 0.10, 距离精确到 0.01n mile)

AB

C

075

032

练习 7 、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在Ａ处获悉后，测出该渔轮在方位角为４５ ° ，距离为 10n mile 的Ｃ处，并测得渔轮正沿方位角为 105 ° 的方向，以９ n mile/h 的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以２１ n mile/h 的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1 °, 时间精确到１ min ）

北北

Ａ

B

C 105°方位角：指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角．

北北

Ａ

B

C 105°解：设舰艇收到信号后 x 　 h在Ｂ处靠拢渔轮，则ＡＢ＝21x ，ＢＣ＝９ x ，又 AC=10, ∠ACB=45°+(180° －105°)=120°.

由余弦定理，得：2

,AB ACB2 2=AC +BC -2ACBCcos 即

2 2 2(21 ) 10 (9 ) 2 10 9 cos120x x x 化简得： 236 9 10 0x x

解得： x= ２／３（ h ） =40(min)( 负值舍去）

由正弦定理，得

14

33

21

120sin9sinsin

x

x

AB

ACBBCBAC

所以∠ＢＡＣ≈ 21.8° ，方位角为 45 ° +21.8 °=66.8 °

答：舰艇应沿着方位角 66.8 ° 的方向航行，经过４０ min 就可靠近渔轮．

练习 :

一货轮航行到 M 处 , 测得灯塔 S 在货轮的北偏东 150 相距 20km 处 , 随后货轮按北偏西 300 的方向航行 , 半小时后 , 又测得灯塔在货轮的北偏东 450 的方向上 , 求货轮的速度 .

M

S

N015030

045

练习：

勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察山顶的仰角分别是29 度和 38 度，两个观察点之间距离是 200m, 求山的高度。

练习： 3.5m 长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足 1.2m 的地面上，另一端沿堤上 2.8m 的地方，求地对地面的倾斜角。

引例 在△ ABC 中 , 已知 a,b及 C, 求△ ABC 的面积 .

A

B CD

结论 : 三角形的面积公式 :

CabS sin2

1 BacS sin

2

1

AbcS sin2

1

例 8 、在△ ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积 S （精确到 0.1cm2)

(1) 已知 a=4,c=6,B=300;

(2) 已知 B=450,C=750,b= ;

(3) 已知 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.

2

例 9 、如图 , 在某市进行城市环境建设中 , 要把一个三角形的区域改造成室内公园 , 经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到 0.1cm2)

例 10. 在△ ABC 中 , 求证 :

;sin

sinsin)1( 2

22

2

22

C

BA

c

ba

)coscoscos(2)2( 222 CabBcaAbccba

.,:

系或者全部转化为角的关化为边的关系全部转系恒等式证明三角形中的边角关

1. 已知△ ABC 中 , B=30∠ 0,b=6,c=6 , 求a 及△ ABC 的面积 .

3

2 ：判断满足下列条件的三角形形状，

BA

BAC

coscos

sinsinsin

补充练习

小结

结论 : 三角形的面积公式 :

CabS sin2

1

BacS sin2

1

AbcS sin2

1

海伦公式 :

)(2

1

))()((

cbap

cpbpappS

三角形内切圆半径

是其中rrcbaS ,)(2

1

21 sin sin

2 sin

B CS a

A 2 2 2( )ABCS AB AC AB AC

��������������������������������������������������������

22 2 22 2 21

( )4 2

c a bS c a

4

abcS

R

练习 . 如图 , 半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点 ,OA=2,B 为半圆上任意一点 , 以 AB为一边作等边三角形 ABC, 问 :点 B 在什么位置时 ,四边形 OACB 的面积最大 ?最大面积为多少 ?

AO

B C