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1.2
Funciones y grafícas
Presentación 2
MATE 3002
Correspondencias entre conjuntos
Una ecuación y un gráfica expresa la idea de una
correspondencia entre dos conjuntos.
Ejemplo: Si vemos un relámpago y determinamos el
tiempo (en segundos) que transcurre en lo que se oye
el trueno, podemos determinar a qué distancia (en
millas) se encuentra el relámpago de nosotros si
multiplicamos el tiempo transcurrido por 1
5 .
Esto es, y = 1
5 x , donde y se mide en millas y x en
segundos.
Correspondencias entre conjuntos (cont.)
y = 1
5 x , donde y se mide en millas y x en segundos.
Correspondencias entre conjuntos
Ejemplos de correspondencias:
Cada libro en la biblioteca le corresponde un
número de páginas
A cada estudiante le corresponde un número de
identificación
Cada correspondencia es entre dos conjuntos, D y R…
Ej. D = título del libro R = número de páginas
Ej. D = estudiante registrado R = número de
identificación
Correspondencias entre conjuntos (cont.)
En cada correspondencia, el primer conjunto se denomina el
dominio y el segundo conjunto se conoce como el rango,
campo de valores, imagen, o alcance.
Para cada miembro, o elemento, en el dominio, hay un miembro
del rango que le corresponde.
Por ejemplo, cada estudiante registrado tiene un número de
identificación, cada libro tiene cierta cantidad de páginas.
Cuando en una correspondencia, a cada elemento del dominio le
corresponde un único elemento del rango , esa correspondencia
se llama una función.
Otro ejemplo de una correspondencia
que NO es una función Ejemplo: Dueños de automóviles:
Conjunto D: personas
Conjunto R: tipos de carro
Dominio: el conjunto de todas las personas que
son dueños de al menos un carro.
Rango: Conjunto de todo tipo de automóvil que
le pertenece a alguna persona.
Regla de correspondencia:
d D «es dueño de un auto de marca» r R
Otro ejemplo de una correspondencia
que ES una función Ejemplo: Años en los que ha habido elecciones
presidenciales en Estados Unidos:
Dominio: el conjunto de todos los años
eleccionarios.
Rango: conjunto de todos los presidentes
electos en Estados Unidos.
Regla de correspondencia:
año D «se eligió» presidente R
Función
Se define una función, f , desde D a R como una
regla de correspondencia que asigna a cada elemento
x de D exactamente un elemento, y, de R :
Es importante recordar que NO cualquier
correspondencia entre dos conjuntos es una función .
x1 x2
y1
y2
x3
Ejemplo
Determine si la siguiente correspondencia es una función.
a.
Helen Mirren
Jennifer Hudson
Leonardo DiCaprio
Jamie Foxx
The Queen
Blood Diamond
Dreamgirls
The Departed
Solución:
Ejemplo
Determine si la correspondencia representada en la siguiente tabla representa una función.
b.
6
6
3
3
0
36
9
0
.
Ejemplo
Determine si la siguiente correspondencia es una
función.
c) {(9, 5), (9, 5), (2, 4)}
Ejemplo (continuación)
Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores.
d. {(–2, 5), (5, 7), (0, 1), (4, –2)}
Ejemplo (continuación)
Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores.
e. {(–5, 3), (0, 3), (6, 3)}
Ejemplo gráfico de una correspondencia
Nombre los pares ordenados
de la grafica.
Enumere los miembros del
dominio
Enumere los miembros del
rango.
¿Representa una función?
Ejemplo matemático de una función
Las ecuaciones se pueden
utilizar para describir
funciones.
Ej. y = ½ x + 1
Algunos pares ordenados
que representan soluciones
de la ecuación son:
x y
-4
x y
-4 -1
x y
-4 -1
x y
-4 -1
-2
x y
-4 -1
-2 0
x y
-4 -1
-2 0
0
x y
-4 -1
-2 0
0 1
x y
-4 -1
-2 0
0 1
2
x y
¿ y = ½ x + 1 es una función ?
Notación de funciones
Los valores de entrada (miembros del dominio) se sustituyen
por x en la ecuación.
Los valores de salida (miembros del rango) son los valores
resultantes.
Cuando una ecuación representa una función usamos una
notación especial.
f (x) se lee “f de x,” o “f en x,” o “el valor de f en x.”
Por ejemplo: f(x) = ½ x + 1;
Cuando evaluamos una función:
f(4) = ½(4) + 1 = 3
Ejemplo
Para f(x) = 2x2 x + 3, determinar cada uno de los
siguientes valores.
a. f (0) b. f (–7)
Gráficas de funciones
Trazamos las gráficas de funciones igual que
trazamos las gráficas de ecuaciones .
1. Hallamos los pares ordenados (x, y), o (x, f (x))
2. Localizamos los puntos
3. Completamos la gráfica uniendo los puntos con
una curva que sigue el mismo patrón.
Ejemplo
Trazar la gráfica de f (x) = x2 – 5 .
x
3
2
–1
0
1
2
3
f (x) (x, f (x))
Ejemplo
Use la gráfica de g (x) =½ x2 – 3 para identificar los siguientes valores de la función
a. f (4) b. f (–1)
Ejemplo
Use la gráfica de g (x) =½ x2 – 3 para identificar los siguientes valores de la función
b. f (–1)
Prueba de la línea vertical
Si es posible dibujar una línea vertical que
cruce una gráfica más de una vez, entonces la
gráfica NO representa una función.
Ejemplo
Indique cuáles de la siguientes gráficas (a) - (c) (en rojo)
son gráficas de funciones?
Ejemplo (cont.)
Indique cuáles de la siguientes gráficas (d) - (f) (en rojo)
son gráficas de funciones?
Hallar el dominio de una función
Si las entradas y salidas de una función, f , son
números reales y la regla de correspondencia se da con
una fórmula, entonces
• el dominio es el conjunto de todos los números
reales para los cuales la expresión está definida
(produce un número real)
• si al sustituir un valor en la expresión, NO se
produce un número real, decimos que la expresión
NO está definida para ese valor, y el valor NO
pertenece al dominio de la función.
Ejemplo
Evaluar la función en los valores dados y determinar si los valores dados pertenecen al dominio de la función.
a. f (1) b. f (3)
f (x) 1
x 3
Ejemplo
Evaluar la función en los valores dados y determinar si
pertenecen al dominio de la función o no.
ℎ 𝑥 =3𝑥2 − 𝑥 + 7
𝑥 − 2
Ejemplo
Describir el dominio de:
ℎ 𝑥 =3𝑥2 − 𝑥 + 7
𝑥 − 2
Ejemplo
Trace la gráfica de
Identifique el dominio y rango.
Determine si es la gráfica de una función.
𝑦 = 𝑥 − 1
x
3
1
0
1
2
5
10
y (x, y)
Ejemplo
Trace la gráfica de
Identifique el dominio y rango.
Determine si es la gráfica de una función.
.
( ) 4f x x
x
6
4
-3
0
5
y (x, y)