Upload
juje20
View
247
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
1/43
INTERÉS COMPUESTO
1
PROF. MAG. ALFREDO VENTO ORTIZ
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
2/43
EL RÉGIMEN DE INTERÉSCOMPUESTO
Una operación financiera es concertada en elrégimen del interés compuesto si los interesesgenerados en cada período (llamado “período de
capitalización”), se desembolsan o se suman alcapital inicial en dicho período . Cabe observarque en el interés compuesto el capital creceexponencialmente.
La tasa de interés con la cual se calculan losintereses en este régimen se denomina tasaefectiva y ésta sólo se puede transformar
utilizando operaciones de exponenciación. 2
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
3/43
CÁLCULO DEL VF PARA UNPERÍODO
Suponga que usted dispone de un capital inicial de S/. 150, que otorgauna Tasa Efectiva Mensual de 5%. Calcule el Valor Final a un período.
150
VF = 150*(1.05)
0 1 mes
(1.05)
Por lo tanto el VF generado por S/. 1 luego de un mes será: VF = 1 + 0.05 = 1.05 (Factor de capitalización por período)
De este modo el VF generado por S/. 150 luego de un mes será: VF = 150 *(1.05)
SoluciónCapital inicial = S/. 150TEM= 5%
3
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
4/43
CÁLCULO DEL VF CON VARIOSPERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN
150
VF 1
0 1 2 3 4
(1.05)
VF 2
(1.05)
En el contexto del ejercicio anterior, calcule el Valor Final al cuarto período.SoluciónCapital inicial = S/. 150TEM= 5%Factor de capitalización mensual =(1.05)
Por lo tanto, S/. 1 al comenzar el segundo período seconvertirá en S/. 1.05 al final del segundo período.
Entonces, para el segundo período se tendría: VF2 = 150 (1.05)2
4
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
5/43
CÁLCULO DEL VF CON VARIOSPERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN
En el contexto del ejercicio anterior, calcule el Valor Final al cuarto período.SoluciónCapital inicial = S/. 150TEM= 5%Factor de capitalización mensual =(1.05)
Si empleamos el mismo razonamiento para los siguientesperíodos, obtendremos los equivalentes futuros delcapital inicial 150:
VF4=150(1.05)4 VF3=150(1.05)3
VF2=150(1.05)2 VF1=150(1.05)
150
0 1 2 3 4 5
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
6/43
OPERACIONES BÁSICAS DE LASMATEMÁTICAS FINANCIERAS
“SUMAR INTERESES A UN CAPITAL INICIAL” Si deseamos hallar el equivalente futuro (VF) de un capital
inicial (VA), simplemente debemos multiplicarsucesivamente su magnitud por los factores decapitalización de cada período.
CAPITALIZACIÓN
“RESTAR INTERESES A UN CAPITAL FINAL” Si deseamos hallar el equivalente actual (VA) de un capitalfuturo (VF), simplemente debemos dividir sucesivamentesu magnitud entre los factores de capitalización de cadaperíodo.
ACTUALIZACIÓN
6
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
7/43
PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA:ECUACIÓN DE VALOR
“En una operación financiera, el dinero no se crea ni sedestruye, sólo se transforma a la tasa efectiva de dicha
operación”
Siempre se deberá cumplir que a la tasa de la operación(llamada TIR), todos los ingresos deben ser “equivalentes” con todos los egresos, por lo tanto, sus valores actuales ovalores futuros deben ser iguales.
El planteamiento de dicha igualdad constituye lo quedenominados la “ecuación de valor”, la cual debemos utilizarpara resolver TODOS los problemas referidos a lasmatemáticas financieras.
7
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
8/43
Ejemplo 1: Con tasas fijas
Una empresa obtiene un pagaré vencido de valor nominalS/. 5,000, a una TEM de 2% y con vencimiento a 120días.
Determine el importe a pagar en la fecha de vencimiento.
0 1 2 3 4
S/.5000
VF=?
2% 2% 2% 2%
Diseñamos el flujo de caja
8
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
9/43
Solución 1: Con tasas fijas
Se plantea el valor final de la siguiente manera:
VF = 5 000 x (1,02) x (1,02) x (1,02) x (1,02) VF = 5 000 (1,02)4 = 5 412,16
5000
0 1 2 3 4
VF =?
(1.02)(1.02)(1.02)(1.02)
Factor decapitalización
9
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
10/43
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
11/43
Ejemplo 2: Con tasas fijas
Una empresa invierte S/. 3000 en la compra de un papelcomercial. Hallar el monto generado a fines del mes 15, siel rendimiento que ofrece este activo financiero es unaTEM de 2,5%.
VF=?
3000
15 meses1413210
2.5% 2.5% 2.5% 2.5%
inversión
Diseñamos el flujo de caja
11
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
12/43
Solución 2: Con tasas fijas
(1,025) (1,025) (1,025) (1,025)
3 000
VF =?
0 1 2 13 14 15
Se plantea el valor final de la siguiente manera:
VF= 3 000 (1,025)15
VF= 4 344,89
Factor decapitalización
12
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
13/43
Tasa 2.5%
Nper 15
Va 3,000.00
VF 4,344.89
Solución 2: Con Excel
1. Ingresar a la opción funciones – fx.2. En “usadas recientemente” seleccionar “Financieras” .3. Seleccionar VF.4. Ingresar Aceptar.
13
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
14/43
Ejemplo 3: Con tasas fijas
Faltando 8 meses para su vencimiento, una empresadescuenta una letra de valor nominal S/. 6540. Si enesta operación se utilizará una TEM de 2,2%, determineel importe neto a recibir.
876210
6540
VA =?
Diseñamos el flujo de caja
2.2% 2.2% 2.2% 2.2%
14
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
15/43
Solución 3: Con tasas fijas
(1,022)(1,022)(1,022)(1,022)
6540
VA =?
876210
El Valor Actual se plantea de la siguiente manera:
VA = 6 540 / (1.022)8 = 5 495,04
Factor decapitalización
15
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
16/43
Tasa 2.2%
Nper 8
Vf 6,540.00
VA 5,495.04
Solución 3: Con Excel
1. Ingresar a la opción funciones – fx.2. En “usadas recientemente” seleccionar “Financieras” .3. Seleccionar VA.
4. Ingresar Aceptar.
16
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
17/43
Ejemplo 4: Con tasas fijas
Un capital de S/. 8000 ha generado un monto de S/.12800 luego de 30 meses. Hallar la TEM a la cual estuvosujeta.
302928210
12800
8000
i i i i
i = tasa decimal mensual
Valor actual
Valor finalDiseñamos el flujo de caja
17
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
18/43
Solución 4: Con tasas fijas
i = tasa decimal mensual
12800
8000
(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)30 meses2928210
Planteamiento para hallar la tasa decimal mensual: 12800 = 8000 (1+i)30 i = (12 800 / 8 000) (1/30) - 1 = 0,015790 i% = 1,5790%
Factor decapitalización
18
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
19/43
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
20/43
Ejemplo 5: Con tasas fijas
Un capital de S/. 9000 ha generado un monto de S/.15300, si estuvo sujeto a una tasa de 3,5% mensual.Hallar el plazo de la operación.
n(n-1)(n-2)210
15300
9000
Diseñamos el flujo de caja
3.5% 3.5% 3.5% 3.5%
Valor actual
Valor final
20
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
21/43
Solución 5: Con tasas fijas
(1,035)(1,035)(1,035)(1,035)
9000
15300
n(n-1)(n-2)210
Factor decapitalización
Planteamiento para hallar el número de períodos: 15 300= 9 000 (1.035) n n = Log (15 300 / 9 000) / Log (1.035) n = 15,42
21
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
22/43
Tasa 3.50%
Va 9,000Vf 15,300
NPER 15.42
Solución 5: Con Excel
1. Ingresar a la opción funciones – fx.2. En “usadas recientemente” seleccionar “Financieras” .3. Seleccionar NPER
4. Ingresar Aceptar.
22
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
23/43
Ejemplo 6: Con principal fijo y tasavariable
El día de hoy se realiza un depósito de S/. 2000. Hallar elmonto generado a fines del mes 5, si la tasa que ganaráeste depósito es de 2% mensual por los primeros 2 meses
y luego cambia a 3% mensual.
0 1 2 3 4 5
2000
VF =?
2% 2% 3% 3% 3%
Diseñamos el flujo de caja
23
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
24/43
Solución 6: Con principal fijo y tasavariable
0 1 2 3 4 5(1.02)(1.02) (1.03) (1.03) (1.03)
2000
VF =?Factor decapitalización
NUEVOFactor de
capitalización
24
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
25/43
Hallando el Valor Final: VF= 2 000 (1,02)2x (1,03)3 VF= 2 273,75
Con Excel:
Solución 6: Con principal fijo y tasavariable
VA 2000 VA 2,080.80
n 2 n 3
i% 2.00% i% 3.00%
VF 2,080.80 VF 2,273.75
Primero, hallamos el VF paralos primeros dos períodos,con la función VF, explicadaanteriormente.
Luego, tomando enconsideración el VF al período2 como el nuevo VA en elperíodo 3, se determina el VFal cabo del 5to mes.
25
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
26/43
Ejemplo 7: Con principal variable ytasa fija
Hoy se realiza un depósito de S/. 5000. Hallar el montogenerado a fines del mes 5, si en el mes 3 se realiza otrodepósito de S/. 2000. La tasa que ganará es de 2%
mensual.
0 1 2 3 4 5
5000 2000
VF =?Diseñamos el flujo de caja
2% 2% 2% 2% 2%
26
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
27/43
Solución 7: Con principalvariable y tasa fija
0 1 2 3 4 5
5000
2000
VF Total
2% 2%2% 2% 2%
27
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
28/43
Solución 7: Con principalvariable y tasa fija
Planteamiento del Valor Final Total: VF total = VF (5 000) +VF (2 000) = 5 000 (1,02)5+2 000(1,02)2 = 7 601,20
Con Excel
VA 5000 VA 2,000.00
n 5 n 2
i% 2.00% i% 2.00%VF 5,520.40 VF 2,080.80
VF total 7,601.20
28
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
29/43
Ejemplo 8: Con principalvariable y tasa variable
Hace 8 meses una persona depósito de S/. 5 000en una cuenta de ahorro, tres meses después
retiro S/. 2 000 y dos meses más tarde realizóotro depósito de S/. 5 000. Si la tasa que se pagóen esta cuenta fue de 2% mensual por losprimeros 4 meses y 3% los siguientes meses,
hallar su saldo actual.
29
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
30/43
Solución 8: Con principalvariable y tasa variable
2% 2% 2% 2% 3% 3% 3% 3% 0 1 2 3 4 5
5000
2000
VF Total
5000
7 6 8
30
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
31/43
Solución 8: Con principalvariable y tasa variable
VF = 5000(1,02)4x(1,03)4+5000(1,03)3-2000(1,02)(1,03)4 = 9 259,03
Con Excel:
VA 5000 VA 5,412.16 VA 5000 VA 2000 VA 2,040.00
n 4 n 4 n 3 n 1 n 4
i% 2% i% 3% i% 3% i% 2% i% 3%
VF 5,412.16 VF 6,091.43 VF 5,463.64 VF 2,040.00 VF 2,296.04
VF TOTAL 9,259.03
31
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
32/43
Ejemplo 9: Con períodofraccionario
Una empresa invierte S/. 4 000 en un papelcomercial que paga una TEM de 2%, hallar el VFque generará luego de 108 días.
2 % mensual
0
4000
VF =?
108 días
32
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
33/43
Solución 9: Con períodofraccionario
Factor mensual = (1,02) para cada 30 días
VF = 4000 (1.02)(108/30) = 4295.57
4000
VF=?
0
(1.02) (1.02) (1.02)
1 mes 2 meses 3 meses 108/30 meses
VA 4000
n 3.60
i% 2%
VF 4,295.57
33
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
34/43
Ejemplo 10: Con períodofraccionario
Una empresa obtiene un pagaré vencido de S/. 5 000a una TEA de 15%. Si desea cancelar dicho préstamoa los 80 días, hallar el importe a pagar.
80 días0
5000
VF=?
15% anual
34
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
35/43
Solución 10: Con períodofraccionario
VF = 5 000 (1,15)80/360 = 5 157.73
VF=?
80/36060/36030/3600
5000 Factor anual = (1.15) para cada 360 días
VA 5000n 0.22222
i% 15%
VF 5,157.73
35
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
36/43
Ejemplo 11: Con períodofraccionario
Una empresa obtuvo un avance en cuentacorriente por S/. 2 000 a una TEM de 6%, sidesea cancelar dicho préstamo 21 días después
de haberlo recibido. Hallar el pago que tendráque realizar.2000
Pago = ?
21 días6% mensual
36
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
37/43
Solución 11: Con períodofraccionario
VF = 2 000 (1.06)(21/30)
VF = 2 083,26
Con ExcelVA 2000
n 0.70000
i% 6%
VF 2,083.26
37
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
38/43
VALOR ACTUAL EN EL INTERESCOMPUESTO (VA)
Se le define como el equivalente actual de unflujo de dinero futuro.
Se le debe entender como el resultado de restara un capital futuro los intereses generados(descuento) por su VA a cierta tasa.
Para hallar el VA de un capital futuro, se le
divide por los sucesivos factores decapitalización que componen el plazo aconsiderar en la operación.
38
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
39/43
CALCULO DEL VA EN ELINTERES COMPUESTO
VF
Interés
VA VA(1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
0 1 2 3 4 . . . . n
V A = VF - Interés = VF(1+i)n
Interés = Descuento compuesto 39
Ejemplo 12: Valor Actual con
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
40/43
Ejemplo 12: Valor Actual contasas fijas
Una empresa desea descontar una letra devalor nominal S/. 6 788,45 que vence dentrode 158 días, si la tasa de descuento a utilizaren la operación es 2,5% TEM, determine el
importe que recibirá en la operación.6788.45
VA =?
158 días43210
40
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
41/43
Solución 12: Valor Actual contasas fijas
VA = 6 788.45 = 5 960.62
(1.025)(158/30)
10 2 3 4 158 días(1.025) (1.025) (1.025) (1.025) (1.025)
6788.45
VF 6788.45
n 5.27
i% 2.5%
VA 5,960.62
VA =?
41
Ej l 13 D t
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
42/43
Ejemplo 13: DescuentoCompuesto
Faltando 5 meses para su vencimiento, sedescuenta, una letra de valor nominal S/. 8 000. Sise utiliza una TEM de 3,5%, hallar el descuento.
8000
V A = ?
3.5 % 3.5 % 3.5 % 3.5 % 3.5 %0 1 2 3 4 5
42
S l ió 13 D t
8/16/2019 1.2 Interés Compuesto
43/43
Solución 13: DescuentoCompuesto
VA = 8 000 = 6 735,79(1,035)5
210 3 4 5
VA=?
8000
(1.035) (1.035) (1.035) (1.035) (1.035)