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v+
–
Φ
i(t)
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 1
Autoinduttanza
dt
diL
dt
di
di
dN
dt
dNv ⋅=Φ=Φ=
L = N dΦ/di è detta autoinduttanza (lega fra loro tensioni e correnti sulla stessa bobina)
v1
+
–Φ11
i1(t)
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 2
Mutua induttanza
dt
diL
dt
di
di
dN
dt
dNv 11
1
1
11
111 ⋅=
Φ=Φ=
v2
+
–
Φ12
Φ1 = Φ11+ Φ12
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 3
Mutua induttanza
dt
diM
dt
di
di
dN
dt
dNv 121
1
1
122
1222 ⋅±=
Φ±=Φ±=
M21 = N2 dΦ12/di1 è detta mutua induttanza(lega la tensione indotta sulla seconda bobina
alla corrente nella prima bobina)
v1
+
–Φ11
i1(t) v2
+
–
Φ12
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 4
Mutua induttanza
dt
diM
dt
di
di
dN
dt
dNv 212
2
2
211
2111 ⋅±=
Φ±=Φ±=
v1
+
–Φ22
i2(t)v2
+
–
Φ21
dt
diL
dt
di
di
dN
dt
dNv 22
2
2
22
222 ⋅=
Φ=Φ=
Φ2 = Φ22+ Φ21
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 5
Mutua induttanza
Si mostrerà che M12= M21= M
Nonostante la mutua induttanza sia sempre positiva (M > 0), la tensione indotta Mdi/dt può risultare positiva o negativa. Il segno dipende dal senso di avvolgimento dei fili delle due bobine.
Normalmente non è necessario “ispezionare” gli avvolgimenti poiché i terminali vengono “marcati” in modo che valga la convenzione dei puntini
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 6
Convenzione dei puntini
Se la corrente entra dal terminale con il puntino di una bobina, la direzione di riferimento della tensione mutuamente indotta nella seconda bobina ha il segno positivo nel terminale col
puntino della seconda bobina
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 7
Convenzione dei puntini
i1 +
–
i1 +
–
dt
diMv 12 =
dt
diMv 12 −=
M
M
i1 +
–
i1 +
–
dt
diMv 12 =
dt
diMv 12 −=
M
M
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 8
Convenzione dei puntini
i1
+
–
M i2
+
–
v1 v2L1 L2
dt
diM
dt
diLv 2111 += dt
diM
dt
diLv 1222 +=
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 9
Collegamento serie concorde
i
+ –
dt
diMLL
dt
diM
dt
diL
dt
diM
dt
diLv )2( 2121 ++=+++=
ML1 L2
v
MLLLeq 221 ++=
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 10
Collegamento serie in opposizione
dt
diMLL
dt
diM
dt
diL
dt
diM
dt
diLv )2( 2121 −+=−+−=
i
+ –
ML1 L2
v
MLLLeq 221 −+=
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 11
Energia in un circuito con accoppiamento
v1
+
–
M
+
–
i1 i2
v2L1 L2
Ricordiamo che si ha:
21110 110 22111 2
1)()(
11
ILdiiLdtivivtwIt
==+= ∫∫
In un tempo t1 si fa crescere i1 fino a i1(t1) = I1, con i2 = 0(di2/dt = 0). Si ha quindi:
dt
diM
dt
diLv 212
111 += dt
diM
dt
diLv 121
222 +=
Supponiamo i1(0) = i2(0) = 0 e w1(0) = w2(0) = 0.
Dall’istante t1 all’istante t2 facciamo crescere i2 fino a i2(t2) = I2,con i1 = I1 (di1/dt = 0). Si ha quindi:
dtivivtwtwt
t∫ ++=2
1
)()()( 221112
2222112
21120 2220 112
211 2
1
2
1
2
1 22ILIIMILdiiLdiIMIL
II++=++= ∫∫
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 12
Energia in un circuito con accoppiamento
v1
+
–
M
+
–
i1 i2
v2L1 L2
Ricordiamo che si ha:
22220 220 22111 2
1)()('
21
ILdiiLdtivivtwIt
==+= ∫∫
Al contrario di prima, nel tempo t1 si fa crescere i2 fino a i2(t1) = I2, con i1 = 0 (di1/dt = 0). Si ha quindi:
dt
diM
dt
diLv 212
111 += dt
diM
dt
diLv 121
222 +=
Supponiamo ancora i1(0) = i2(0) = 0 e w1(0) = w2(0) = 0.
Dall’istante t1 all’istante t2 facciamo crescere i1 fino a i1(t2) = I1,con i2 = I2 (di2/dt = 0). Si ha quindi:
dtivivtwtwt
t∫ ++=2
1
)()(')(' 221112
21212
1122210 22110 11
222 2
1
2
1
2
1 11IIMILILdiIMdiiLIL
II++=++= ∫∫
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 13
Energia in un circuito con accoppiamento
v1
+
–
M
+
–
i1 i2
v2L1 L2
Riassumendo si ha:
21122
112222 2
121
)( IIMILILtw ++=
21212
112222 2
121
)(' IIMILILtw ++=
ma in entrambi i casi siamo partiti dalla stessa condizione iniziale e arrivati alla stessa condizione finale. Pertanto deve essere:
)(')( 22 twtw =1221 MM =
212
11222 2
121
IMIILILw ++=
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 14
Energia in un circuito con accoppiamento
v1
+
–
M
+
–
i1 i2
v2L1 L2
Poiché I1 e I2 sono quantità arbitrarie, si può scrivere:
)()()(21
)(21
)( 21222
211 titMitiLtiLtw ++=
Se le correnti non entrano o escono entrambe dal terminale con il puntino si ha:
)()()(21
)(21
)( 21222
211 titMitiLtiLtw −+=
v1
+
–
M
+
–
i1 i2
v2L1 L2
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 15
Energia in un circuito con accoppiamento
Poiché il circuito è passivo, l’energia immagazzinata non può essere negativa. Deve quindi essere verificata la relazione
021
21
21222
211 ≥−+= iMiiLiLw
( ) ( ) 021
2121
2
2211 ≥−+− MLLiiLiLi
Sommando e sottraendo si ha:2121 LLii
e quindi deve essere
021 ≥− MLL 21LLM ≤
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 16
Coefficiente di accoppiamento
Si definisce coefficiente di accoppiamento la quantità
21LL
Mk =
Il coefficiente di accoppiamento misura l’accoppiamento magnetico fra le due bobine (0 ≤ k ≤ 1)
1211
12
1
12
Φ+ΦΦ=
ΦΦ=k
2221
21
2
21
Φ+ΦΦ=
ΦΦ=k
Se k = 1 si parla di accoppiamento perfettoSe k > 0.5 si parla di accoppiamento strettoSe k < 0.5 si parla di basso accoppiamento
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 17
Trasformatori lineari
M
L1 L2
R1 R2
Un trasformatore è un quadrupolo costituito da due bobine magne-ticamente accoppiate. Se le proprietà magnetiche del traferro su cui
sono avvolti i fili sono lineari, il trasformatore si dice lineare.
k < 1 a causa dei flussi dispersi
traferro
N1 spire N2 spire
campo magnetico
flussi dispersi
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 18
Impedenza riflessa
jωM
jωL1 jωL2
R1 R2
ZLZin
V+
–
I2I1
+++−=−+=
2221
2111
)(0
)(
IZI
IIV
LLjRMj
MjLjR
ωωωω
Lin LjR
MLjR
ZIV
Z++
++==22
22
111 ω
ωω
Impedenza del primario Impedenza riflessa
L’impedenza riflessa è il carico che viene visto in serie all’impedenza del primario a causa del mutuo accoppiamento
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 19
Trasformatori ideali
Un trasformatore è ideale se:
• non ha flussi dispersi ⇒ k = 1• le auto e mutue induttanze sono molto elevate (L1, L2, M → ∞)• non vi sono perdite (R1 = R2 = 0)
N1 N2 N1 N2
traferro
N1 spire N2 spire
campo magnetico
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 20
Trasformatori ideali
traferro
N1 spire N2 spire
campo magnetico
v1
+
–
+
–
v2N1 N2
dt
dNv 111
Φ=dt
dNv 222
Φ=
Poiché k = 1 si ha Φ1 = Φ2 e quindi
nN
N
v
v ==1
2
1
2 n è detto rapporto di trasformazione
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 21
Trasformatori ideali
V1
+
–
+
–
I1 I2
V2
Passando ai fasori si ha:
nN
N ==1
2
1
2
VV
1:n
Per l’ipotesi di assenza di perdite tutta la potenza entrante sul primario deve essere erogata al carico collegato al secondario:
nN
N 1
2
1
1
2 ==II
2211 iviv = nNN
v
v
i
i 1
2
1
2
1
1
2 ===
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 22
Trasformatori ideali
V1
+
–
+
–
I1 I2
V2
nN
N ==1
2
1
2
VV
1:n
Se V2 > V1 (n > 1) si parla di trasformatore elevatore
Se V2 < V1 (n < 1) si parla di trasformatore riduttore
nN
N 1
2
1
1
2 ==II
(si noti che I2 è uscente)
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 23
Trasformatori ideali
V1
+
–
+
–
I1 I2
V2
12 VV n=1:n
21 II n=n2
1
VV =
n1
2
II =
2*22
*2
2*111 )( SIVI
VIVS ==== n
n
Per la potenza complessa si ha:
e quindi tutta la potenza complessa fornita al primario viene trasferita al secondario
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 24
Trasformatori ideali
V1
+
–
+
–
I1 I2
V2
12 VV n=1:n
21 II n=n2
1
VV =
n1
2
II =
22
22
2
2
1
1 /
nnn
n Lin
ZI
VI
VIV
Z ====
L’impedenza vista ai capi dell’avvolgimento primario è:
ZL
Zin
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 25
Trasformatore reale
L1
1:n
Un modello approssimato del trasformatore reale (ancora nell’ipotesi di assenza di perdite) è il seguente
Dove L1 rappresenta l’induttanza del primario