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13 고유값
13.1 수학적 배경13.2 물리적 배경13.3 다항식 방법13.4 멱 방법13.5 MATLAB 함수: eig
Applied Numerical Methods
13장 고유값
고유값 또는 특성값 문제
진동과 탄성을 수반하는 공학 분야에서 흔히
마주치는 문제
선형미분방정식과 통계학을 포함하는 광범위한
영역에서도 이용
장 고유값13
Applied Numerical Methods
13.1 수학적 배경 (1/2)
선형 대수방정식 문제
비동차 시스템
→ 시스템이 선형 독립이면, 즉 행렬식이 0이 아니면
유일한 해가 존재
동차 선형대수방정식을 고려하자.
→ 당연한(쓸데없는) 해: 모든 x = 0
→ 유용한 해가 존재하더라도 유일하지 않음
⇒여러 조합의 값들을 만족하는 x 사이의 관계식 제공
}{}]{[ bxA =
0}]{[ =xA
장 고유값13
Applied Numerical Methods
13.1 수학적 배경 (2/2)
고유값 문제의 일반적인 형태는 다음과 같다.
→ 간략한 표현
유용한 해를 얻기 위해서- 행렬식 = 0 → 고유값 λ를 결정- 특성다항식(다항식 방법) → 고유벡터 {x}를 결정
0)λ(
0 )λ( 0 )λ(
2211
2222121
1212111
=−+++
=++−+=+++−
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
[ ] 0}{λ[I]][ =− xA
[ ]λ[I]][ −A
여기서 λ = 고유값 또는 특성값
{x}= 고유벡터
장 고유값13
Applied Numerical Methods
13.2 물리적 배경 (1/3)
물리적으로 어떤 문제에서 고유값이 필요한가?
질량-스프링 시스템을 고려하자.
가정 각 질량에 외력이나 감쇠력이 없음
각 스프링의 최초 길이는 l 이고 스프링 상수는 k 로 동일함
각 스프링의 정적 평형위치에 대한 상대 변위를 측정함
평형위치에서 벗어난 질량의 위치는
스프링에 힘을 생성시켜 질량을 놓을
때 진동이 발생함.
장 고유값13
Applied Numerical Methods
13.2 물리적 배경 (2/3)
각 질량에 대해 Newton 제2법칙을 적용하면
항들을 모아서 정리하면
)( 12121
2
1 xxkkxdt
xdm −+−=
21222
2
2 )( kxxxkdt
xdm −−−=
0)2( 2121
2
1 =+−− xxkdt
xdm
0)2( 2122
2
2 =−− xxkdt
xdm
여기서 xi = 질량 i의 변위
장 고유값13
Applied Numerical Methods
13.2 물리적 배경 (3/3)
진동이론에서
방정식에 를 대입하면
⇒ 고유값 문제 → 2자유도계 시스템의 2개의 고유값 (ω2)
→ 미지수 X와 유일한 관계: 고유벡터
여기서 Xi =질량 i의 진폭
ω = 2π/Tp = 진동수
Tp = 주기
)sin( tXx ii ω=
)sin(2 tXx ii ωω−=′′
02
0 2
22
21
1
21
12
1
=
ω−+−
=−
ω−
Xm
kXmk
XmkX
mk
장 고유값13
Applied Numerical Methods
13.3 다항식 방법
특성방정식을 생성하는 행렬식을 전개하는 것
다항식의 근을 구함
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 13.1 (다항식 방법) (1/4)
Q. 다음 식의 고유값과 고유벡터를
m1 = m2 = 40 kg 이고 k = 200 N/m인 경우에
대해 구하라.
02
0 2
22
21
1
21
12
1
=
ω−+−
=−
ω−
Xm
kXmk
XmkX
mk
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 13.1 (다항식 방법) (2/4)
풀이)
이 시스템의 행렬식은
→ ω2 = 15 와 5 s-2 → ω = 3.873 과 2.236 s-1 →Tp = 1.62 와 2.81 s
고유값(예를 들어 ω2 = 15 s-2)를 대입하면
→ X1 = –X2
→ 두 번째 질량의 진폭은 첫 번째 질량의 진폭과 크기는 같고 방향이 반대
ω2 = 5 s-2 인 경우 → X1 = X2
→ 두 번째 질량의 진폭은 첫 번째 질량의 진폭과 크기와 방향이 모두 같음
( )( ) 0105
05 10
22
1
212
=ω−+−=−ω−
XXXX
07520)( 222 =+ω−ω
( )( ) 015105
05 1510
21
21
=−+−=−−
XXXX
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제13.1(다항식 방법) (3/4)
벽 사이에 세 개의 스프링으로 연결된 두 질량에 대한 진동의 주요 모드.
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 13.1 (다항식 방법) (4/4)
>> A = [10 -5; -5 10];
>> p = poly(A)
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 13.1 (다항식 방법) (4/4)
>> A = [10 -5; -5 10];
>> p = poly(A)
p =
1 -20 75
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 13.1 (다항식 방법) (4/4)
>> A = [10 -5; -5 10];
>> p = poly(A)
p =
1 -20 75
>> roots(p)
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 13.1 (다항식 방법) (4/4)
>> A = [10 -5; -5 10];
>> p = poly(A)
p =
1 -20 75
>> roots(p)
ans =
15
5
장 고유값13
Applied Numerical Methods
13.4 멱 방법
가장 크거나 지배적인 고유값을 구하기 위해사용되는 반복법
가장 작은 고유값을 구하는 데에도 적용이 가능
멱 방법을 적용하기 위해 방정식을 다음과 같다.
}{}]{[ xxA λ=
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 13.2 (멱 방법을 이용한 최대 고유값의 결정) (1/4)
Q. 벽 사이에 3개의 질량과 4개의 스프링이 놓여있는 시스템의방정식을 다음과 같이 유도할 수 있다.
모든 질량이 m = 1 kg 이고 모든 스프링상수가 k = 20 N/m인경우에 식을 다음과 같이 표현할 수 있다.
여기서 고유값 λ는 각 진동수의 제곱인 ω2이다. 멱 방법을 사용하여 최대 고유값과 그에 해당하는 고유벡터를 구한다.
02
0 2
0 2
32
32
3
32
22
21
1
21
12
1
=
−+−
=−
−+−
=−
−
Xm
kXmk
XmkX
mkX
mk
XmkX
mk
ω
ω
ω
0][λ4020020402002040
=−
−−−
−I
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 13.2 (멱 방법을 이용한 최대 고유값의 결정) (2/4)
풀이)
정리하면
첫 번째 가정으로 좌변에 있는 모든 X를 1(초기값)로 놓는다.
우변의 최대 값(20)을 1이 되도록 정규화한다.
→ 첫 번째 고유값의 추정 = 정규화에 사용된 값인 20
→ 그에 해당하는 고유벡터는
332
2321
121
λ4020λ204020λ2040
XXXXXXXXXX
=+−=−+−=−
20)1(40)1(200)1(20)1(40)1(2020)1(20)1(40
=+−=−+−=−
=
101
2020020
T101
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 13.2 (멱 방법을 이용한 최대 고유값의 결정) (3/4)
간략히 표현하면
그 다음 반복을 위해 예측한 고유백터인 를 곱한다.
→ 두 번째 고유값의 추정 = 40
→
세 번째 반복:
→ 세 번째 고유값의 추정 = –80, 그리고 (부호가 변해서 커짐)
=
=
−−−
−
101
2020020
111
4020020402002040
T101
−=
−=
−−−
−
11
140
4040
40
101
4020020402002040
%50%10040
2040=×
−=εa
−
−−=
−=
−
−−−
−
75.01
75.080
6080
60
11
1
4020020402002040
%150=εa
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 13.2 (멱 방법을 이용한 최대 고유값의 결정) (4/4)
네 번째 반복:
→ 네 번째 고유값의 추정 = 70, 그리고 (부호가 변해서 커짐)
다섯 번째 반복:
→ 다섯 번째 고유값의 추정 = 68.5714, 그리고
→ 고유값이 수렴된다.
→ 여러 번 반복이 필요하다.
→ 고유값은 68.28427로 수렴되며,
그때의 고유벡터는
−
−=
−
−=
−
−
−−−
−
71429.0171429.0
7050
7050
75.01
75.0
4020020402002040
%214=εa
−
−=
−
−=
−
−
−−−
−
70833.0170833.0
5714.685714.48
5714.685714.48
71429.0171429.0
4020020402002040
%08.2=εa
T707107.01707107.0 −−
장 고유값13
Applied Numerical Methods
13.5 MATLAB 함수: eig
MATLAB 함수: eig
e = eig(A)
여기서 = 정방행렬 A의 고유값을 나타내는 벡터
[V, D] = eig(A)
여기서 D = 고유값을 대각원소로 갖는 대각행렬
V = 각 열이 고유벡터로 구성된 행렬
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 13.3 (MATLAB을 이용한 고유값과 고유벡터의 결정) (1/3)
Q. MATLAB을 이용하여 예제 20.2에서 다룬 시스템의 고유값과
고유벡터를 구하라.
풀이)
해석 대상인 행렬:
−−−
−
4020020402002040
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 13.3 (MATLAB을 이용한 고유값과 고유벡터의 결정) (2/3)
>> A = [40 -20 0; -20 40 -20; 0 -20 40];
>> e = eig(A) % To obtain only eigenvalues
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 20.3 (MATLAB을 이용한 고유값과 고유벡터의 결정) (2/3)
>> A = [40 -20 0; -20 40 -20; 0 -20 40];
>> e = eig(A) % To obtain only eigenvalues
e =
11.7157
40.0000
68.2843 → 최대 고유값
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 20.3 (MATLAB을 이용한 고유값과 고유벡터의 결정) (3/3)
% 고유값과 고유벡터를 모두 얻기 위해서는 다음과 같이 입력한다.
>> [v, d] = eig(A)
장 고유값13
Applied Numerical Methods
예제 20.3 (MATLAB을 이용한 고유값과 고유벡터의 결정) (3/3)
% 고유값과 고유벡터를 모두 얻기 위해서는 다음과 같이 입력한다.
>> [v, d] = eig(A)
v =
0.5000 -0.7071 -0.5000
0.7071 -0.0000 0.7071
0.5000 0.7071 -0.5000
d =
11.7157 0 0
0 40.0000 0
0 0 68.2843
장 고유값13