13. RM

1LIBRO UNI RAZ. MATEMÁTICO

ORDEN DE INFORMACIÓN

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

I. ORDENAMIENTO LINEALa. Ordenamiento creciente o decreciente.b. Ordenamiento lateral.c. Ordenamiento por posición de datos.

• Problemas sobre carreras• Problemas sobre edificios

A. Ordenamiento creciente o decrecientePara estos problemas hay que tener en cuenta losiguiente:

A no es mayor que B < >

Equivale a decir que A es menor o igual que B.

A no es menor que B < >

Equivale a decir que A es mayor o igual a B .

B. Ordenamiento lateralizquierda derechaoeste esteoccidente oriente

Decir: "Javier está a la derecha de Luis" no implicaque necesariamente estarán juntos.Decir: "César está entre Andrés y Pedro" no implicaque necesariamente estarán juntos (adyacentes).

C. Ordenamiento por posición de datosProblemas sobre carrerasDecir:"José llegó 2 puestos detrás de Edwin" implica quepor ejemplo:

Si Edwin llego en 1.er lugar, José tuvo que haber

llegado en 3.er lugar.

Problemas sobre edificios

Decir: "Vanessa vive más arriba que María" no implica

que necesariamente vivan en pisos adyacentes

(contiguos).

II. ORDENAMIENTO CIRCULAR O CE-RRADOEn estos casos los elementos estarán ordenados de

manera que formen una figura cerrada. Debemos tener

en cuenta lo siguiente:

III. RELACIÓN DE DATOSEn problemas donde se tiene una diversidad de datosy es complejo relacionarlos a simple vista se recomien-da emplear las "Tablas de doble entrada" o los cuadrosde relación directa. A continuación una breve presen-tación de los mismos.

DESARROLLO DEL TEMA


ORDEN DE INFORMACIÓNExigimos más!

A. Tablas de doble entrada

Carlos

Raúl

Diana

Ingeniero Médico Psicóloga Fútbol Basket Voley

Profesiones Deporte preferido

En esta tabla se muestra a 3 personas junto conlas profesiones que desempeñan y su deportepreferido. El objetivo es ordenar la informaciónbrindada, descartando todas a excepción de una(la correcta) y dicha tabla debería terminar delsiguiente modo en la medida de lo posible:

Carlos

Raúl

Diana

Ingeniero Médico Psicóloga Fútbol Basket Voley

No

Si

No

Si

No

No

No

Si

No No

No

Si No

Si

No Si

No

No

B. Cuadro de relación directa

Carlos Raúl Diana

Preferido

DeportePreferido

El cuadro de relación directa es mucho más rápidode trabajar debido a que su construcción es muchomás simple y su llenado se realizo de una formamás razonada y menos mecánica. Dicho cuadro determinar del siguiente modo:

Carlos Raúl Diana

Preferido

DeportePreferido

Médico

Fútbol

Psicólogo

Basket

Ingeniera

Voley

Nota:No todas las tablas de doble entrada o loscuadro de relación directa se llenan, tododependerá de la información brindada en elproblema.

IV. HORARIOSEste tipo de problemas es muy similar a la "Relación deDatos", con la diferencia que el grado de complejidades mucha mayor.

Ejemplo:

Arantxa está planificando su horario de estudio de lunesa viernes. Los cursos que debe de incluir en su horarioson: Aritmética, Geometría, Lengua y Filosofía. Además,debe practicar las siguientes deportes: tenis, natacióny voley. Cada día debe de estudiar un curso y practicarun deporte, de acuerdo a las siguientes condiciones:

• El lunes y el jueves debe practicar tenis.

• El martes no practicará natación.

• El miércoles estudiará Aritmética.

• El día que estudia Lengua también practica voley.

• El día que estudia Filosofía también practica natación.

¿Qué curso estudiará el martes?

Solución:

De la información dada la vamos a ordenar en elsiguiente cuadro:

Cursos

Deporte

Lun Mar Mie Jue Vie

Tenis

Arit.

Tenis

Además en un mismo día debe de estudiar Filosofía ypracticar Natación y como el martes no practica Nataciónentonces se tiene:

Cursos

Deporte

Lun Mar Mie Jue Vie

Tenis

Arit.

Tenis

Fil.

Nat.

y como Lengua y voley también deben de estar en unmismo día entonces:

Cursos

Deporte

Lun Mar Mie Jue Vie

Tenis

Arit.

Tenis

Fil.

Nat.Voley

Leng.


ORDEN DE INFORMACIÓNExigimos más!

Problema 1

En un edificio de cinco pisos viven lasamigas María, Lucía, Irma, Cathy y Lui-sa. Cada una vive en un piso diferen-te. Además se sabe que Cathy vivemás abajo que Lucía, pero más arribaque Irma. María no vive debajo de Irma,Lucía no vive arriba de Irma. ¿Quiénvive en el quinto piso?

A) María

B) Lucía

C) Irma

D) Cathy

E) Luisa

UNI 2009-I

Nivel fácil

Resolución:

La pregunta esta mal planteada porqueno puede ser que Lucía viva más arribaque Irma, eso contradice el dato inicial.

Si se cambian los datos.

María no vive debajo de Irma por:

María vive debajo de Irma

y Lucía no vive arriba de Irma por:

Luisa no vive arriba de Irma

Respuesta: B) Lucía

Problema 2

Norma, Helen, Betty y Gaby están casa-das con David, Bruno, Juan y Néstor, perono necesariamente en el orden men-cionado. Los nombres de una de lasparejas empiezan con la misma letra.Helen está casada con Juan.

La esposa de David no es Norma niGaby. ¿Cuál de las siguientes es unapareja de esposos?

UNI 2008-II

Nivel intermedio

A) Betty – Bruno

B) Betty – Néstor

C) Norma – Bruno

D) Gaby – Bruno

E) Gaby – Néstor

Resolución:

• Helen está casada con Juan.

• La esposa de David no es Normani Gaby.

• Los nombres de una de las parejasempiezan con la misma letra.

Se utilizará el cuadro de Descarte:

David Bruno Juan Néstor

Norma

Hellen

Betty

Gaby

Nota: Como dicen que hay unapareja de esposos cuyos nom-bres empiezan con la misma le-tra se deduce que Norma elesposa de Néstor y se logra com-pletar todo el cuadro.

Relación correcta:

Gaby – Bruno

Respuesta: D) Gaby – Bruno

Problema 3

Cuatro amigos A, B, C y D se sentarona beber en una mesa circular. El quese sentó a la izquierda de B bebió agua.

A estaba frente al que bebía vino.Quien se sentaba a la derecha de Dbebía anís. El que bebe café y el quebebe anís estaban frente a frente.

UNI 2008-II

Nivel difícil

Indique la proposición verdadera:

A) B bebía anís

B) B bebía agua

C) C bebía anís

D) A bebía café

E) D bebía agua

Resolución:

I. El que se sentó a la izquierda de Bbebió agua.

II. A estaba frente al que bebía vino.

III. Quien se sentaba a la derecha deD bebía anís.

IV. El que bebe café y el que bebeanís estaba frente a frente.

Se descarta por el dato (III)

Proposición verdadera: bebía anís.

Respuesta: C) bebía anís

problemas resueltos


SUCESIONESRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

NOCIÓN DE SUCESIÓNSe entiende por sucesión a un conjunto ordenado deelementos de acuerdo a una ley de formación o tambiénuna característica común.

Ejemplos:Sucesión gráfica:

, , , , ....

• Sucesión literal: A, C, E, ....

• Sucesión numérica: 1, 5, 13, 29, ....

A. Sucesión Gráfica

Una sucesión de figuras se forma de acuerdo a un"criterio de movimiento" de sus elementos. Se debepercibir el desplazamiento o giro.

Ejemplo:¿Qué figura continúa?

, , , ....

Resolución:Se observa que cada figura es una vista del siguientesólido.

giro

Por lo tanto la siguiente vista será:

B. Sucesión literal

Una sucesión de letras se puede construir a partir de 3criterios generales.

1. Según el alfabeto:

A B C D E F

G H I J K L

M N Ñ O P Q

R S T U V W

X Y Z

Ejemplo:

¿Qué letra continúa? A, D, I, O, ....

Resolución:

De acuerdo al alfabeto a cada letra le correspondeun número:

A, D, I, O, . . . .

1 4 9 16

12 22 32 42 Son los cuadrados perfectos

Continúa 52 = 25 y en el alfabeto es la letra "X".

2. Son iniciales de nombres con un orden dado.

Ejemplos:

U,D, T, C, ...d tu co rn u

eo s as t

ro

L, M, M, J, ...l m m ju a i u

en r ee t r v

cs e eos sles

DESARROLLO DEL TEMA

SUCESIONESExigimos más!

LIBRO UNI RAZ. MATEMÁTICO5

3. Completan una palabra o frase.

Ejemplos:O, N, M, U, L, . . . la "A" completaría ALUMNO

en orden inverso.

C. Sucesión numéricaEs aquella que se caracteriza por tener como términosa números distribuidos y ordenadas de acuerdo a unadeterminada ley de formación.

Ejemplo:1. ¿Qué número continua?

2, 4, 6, 8, 10, . . .

Resolución:Se puede notar que cada número representa eldoble de su ordinal.

a ; a ; a ; a ; a ; a1 2 3 4 5 6

2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; x

x = 6 × 2 = 12

2. Halle x: 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; 26 ; x

Resolución:Cada término es el cuadrado de su ordinal más uno.

2 ; 5 ; 10 ; 17 ; 26 ; x

1 +1 ; 2 +1 ; 3 +1 ; 4 +1 ; 5 +1 ; 6 +12 2 2 2 2 2

3. ¿Qué número sigue?2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; ...

Resolución:Cada término es un número primo luego el siguienteprimo es 17.

D. Sucesiones notables

A continuación un cuadro que muestra las sucesiones más representativas.

E. Sucesión polinomialEs aquella sucesión en donde "an" tiene forma de polinomio: P(n). El grado del polinomio determina el orden de la sucesión.

Ejemplos:

1.ºOrden: 5, 7, 9, 11, . . ., (2n + 3)-2 -2 -2


LIBRO UNI RAZ. MATEMÁTICO

2.ºOrden: 3, 3, 5, 9, . . ., (n - 3n + 5)2

-0 -2 -4 . . . . .

+2 +2 . . . .

3.º Orden: 0, 7, 26, 63, 124, . . . , (n - 1)3

7 19 35

12 18

61

24

6 6

En general:

a , a , a , a , a , a , . . . , a1 2 3 4 5 6 n

+b1 +b2 +b3 +b4 +b5

+c1 +c2 +c3 +c4

+d1 +d2 +d3

+e1

•

•

•

+e2

Donde:

n 1 n 1 n 1n 1 1 1 11 2 3a a b c d ...c c c

nk :C Número combinatorio.

nk

n!k !(n k)!C

F. Sucesión linealSe le llama también sucesión de 1.er orden o progresiónaritmética, se forma cuando a partir del primer términosiempre agregamos una misma cantidad llamada razónaritmética.

Ejemplos:5, 9, 13, 17, . . . , (4n+1)+4 +4 +4 . . . .

6, 11, 16, 21, . . . , (5n+1)+5 +5 +5 . . . .

100, 98, 96, 94, . . . , (-2n+102)-2 -2 -2 . . . .

¿Como podríamos hallar tn?

t ; t ; t ; t ; ....... ; t1 2 3 4 n

+r +r +r .......

Por inducción:t1 = t1t2 = t1 + rt3 = t1 + 2rt4 = t1 + 3r

Entonces:

n 1t t (n 1)r

También:

t ; t ; t ; t ; ....... ; t1 2 3 4 nt 0

+r +r +r

n 0t r n t

Ejemplo:Calcula el vigésimo término de la sucesión.

2, 11, 20, 29, . . .

Solución:

2 ; 11 ; 20 ; 29 ; ....–7

+9 +9 +9t = 9n – 7n

Nos piden: t20 = 9(20) – 7 = 173

PropiedadesSea la progresión aritmética:

t1, t2, t3, t4, . . . , tn

1. Tomamos 3 términos consecutivos cualquiera yse cumple:

1 32

2 43

t tt

2t t

t2

2. Si "n" es impar: 1 ncentral

t tt

2

3. La suma de términos extremos siempre es lamisma.

t1 + tn = t2 + tn-1 = t3 + tn-2 = ...

G. Sucesión cuadráticaEs toda sucesión polinomial de 2° orden.

2nt An Bn C

Ejemplo:

• 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 23 ; 33 ; ...... (n – n + 3)2

+2 +4 +6 +8 +10

+2 +2 +2 +2

• 7 ; 15 ; 28 ; 46 ; 69 ; ......

+8 +13 +18 +23

+5 +5 +5

25n n 42 2

• 1 ; –2 ; –7 ; –14 ; ...... (2 – n )2

–3 –5 –7

–2 –2

6



¿Cómo podemos hallar tn?

t ; t ; t ; t ; t ; ....... ; t0 1 2 3 4 n

+d0 +d1 +d2 +d3

+r +r +r

Luego:t1 = t0 + d0

t2 = t0 + d0 + d1

t3 = b0 + d0 + d1 + d2

t4 = b0 + d0 + d1 + d2 + d3

n 0 0 1 2 n 1t t d d d ... d

Llamaremos:S = d0 + d1 + d2 + .... + dn – 1

Entonces:

0 0

1 0

2 0

3 0

n 1 0

0

d d

d d 1r

d d 2r

d d 3r ( )

d d (n 1)r

(11 1)nrS nd2

Reemplazando en la expresión del término enésimo:

n 0 0(n 1)t t nd nr

2

2

n 0 0(n n)t t nd r

2

2n 0 0

r rt n d n t2 2

Luego observamos que:

2 2n 0 0

r rt An Bn C n d n t2 2

Entonces se concluye que:

0 0

0

rA2

rB d A B d2

C t

En resumen, sea la sucesión:

C = t ; t ; t ; t ; t ; ...... 0 1 2 3 4

A + B = +d +d +d +d0 1 2 3

2A = +r +r +r

Ejemplo:Calcular el vigésimo término de la sucesión siguiente:

9; 13; 19; 27; 37; ...

Resolución:Buscamos las diferencias sucesivas y hallamos lostérminos que estarían antes que los primeros.

C = 7 ; 9 ; 13 ; 19 ; 27 ; 37

A + B = +2 +4 +6 +8 +10

2A = +2 +2 +2 +2

Luego:A = 1B = 1C = 7

Reemplazando en tn = An2 + Bn + Ctn = n2 + n 7Nos piden: t20 = 202 + 20 + 7 = 427

H. Sucesión geométricaTambién se le llama progresión geométrica y es aque-lla en donde a partir del primer término siempre semultiplica por una misma cantidad llamada razón geo-métrica.

Ejemplos:• 7, 14, 28, 56, . . .

x2 x2 x2 . . .• 9, 27, 81, 243, . . .

x3 x3 x3 . . .

• 120, 60, 30, 15, . . .

x 12

x 12

x 12

En general: t1 ; t2 ; t3 ; t4 ; .... ; tnPor inducción:

t1 = t1t2 = t1 × q

t3 = t1 × q2

t4 = t1 × q3

Entonces: n 1

n 1t t q

7



Ejemplo:Calcule el vigésimo término de la P.G. siguiente:

5, 10, 20, 40, . . . .

Resolución:5, 10, 20, 40, . . . x2 x2 x2

Sabemos que: tn = t1 × qn–1

Entonces: t20 = 5 × 219

PropiedadesSea la P.G.: t1, t2, t3, t4, t5, . .

1. Si tomamos 3 términos consecutivos cualquiera secumple:

2 1 3t t t

3 2 4t t t

4 3 5t t t

2. Si "n" es impar: central 1 nt t t

3. El producto de términos extremos es siempre elmismo.

t1 × tn = t2 x tn-1 = t3 × tn-2 = ...

Problema 1

Considerando la sucesión:

–1, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 6

el siguiente término es:

UNI 2012-IIA) 8

B) 10

C) 11

D) 12

E) 14

Resolución:Ubicación de incógnita

Indicar el término que continúa.

Análisis de los datos o gráficos

–1, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 6, x

Operación del problema

– Resolución del problema

Cada término es la suma de los tresque le preceden, es decir:• 0 = –1 + 0 + 1• 1 = 0 + 1 + 0• 2 = 1 + 0 + 1• 3 = 0 + 1 + 2

Conclusiones y respuesta

Luego: x = 2 + 3 + 6

Respuesta: C) 11

Problema 2

Determine la letra que continúa en lasucesión:

B, C, E, G, K, M, P, ....

Observación: no considere "LL".

UNI 2012-IIA) Q

B) R

C) S

D) V

E) W

Resolución:

Ubicación de incógnitaDeterminar la letra que continúa.

Análisis de los datos o gráficosB, C, E, G, K, M, P

Operación del problema– Resolución del problema

Cada letra ocupa un lugar en elalfabeto, es decir:

2 5 11 13 173 7

A,B,C ,D,E ,F,G ,H,I,J, K ,L,M ,N,Ñ,O, P ,Q,R

Y las posiciones que ocupan sonnúmeros primos.

Conclusiones y respuestaEl siguiente número primo es 19.

Respuesta: C) R

Problema 3

Indique el número que continúa en lasiguiente sucesión:

75, 132, 363, 726, ...

UNI 2012-I

A) 1180

B) 1254

C) 1353

D) 1452

E) 1551


Indique el número que continúa.


75; 132; 363; 726; ...



A cada número se le suma el númeroque resulta de invertir el orden de suscifras.

Respuesta: C) 1353

8

problemas resueltos


SERIES NOTABLESRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

I. SERIE NUMÉRICAUna serie numérica es la adición indicada de los términosde una sucesión numérica. Y a la suma de dichostérminos se le llama el valor de la serie. Es decir:Si la sucesión es:

t1, t2, t3, t4, ..., tnEntonces, la serie numérica respectiva es:

t1 + t2 + t3 + t4 + ... + tn

Ejemplo:Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25Serie: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

Suma

(Valor de la serie)

A. Serie aritmética

La serie aritmética se origina a partir de la adiciónde los términos de una progresión aritmética.

Ejemplo:Dada la siguiente sucesión de 20 términos, deter-mine la suma de todos sus términos:

7, 10, 13, 16, ... , 61, 64

Solución:Nos piden:

ObservaciónSe observa que la suma de cada pareja de términosque equidistan de los extremos nos da una sumaconstante. Luego, como hay 20 sumandos, entoncestendremos 10 parejas y cada una suma 71.

S = (71)(10) = 710

En general en toda serie aritmética:

t + 1 t + t + ... + t = (t + t ).2 3 n 1 n

+r +r

n2

t1: primer términotn: último términon: número de términos

Ejemplo:Hallar el valor de la siguiente serie de 25 términos:

19 + 23 + 27 + 31 + ...

Solución:Tenemos t1 = 59; n = 25 y nos falta el último término, t25.

19 , 23 , 22 , 31 , ...

+4 +4 +4

tn = 4n + 15

t25 = 4(25) + 15 = 115 n 0... t rn a

Luego, reemplazamos:(19 115).25S 1675

2

Ejemplo:Hallar la suma de una serie aritmética de 13 términosdonde su término central es 30.

Solución:Como la serie tiene 13 términos (n es impar): S = tc . n

S = 30.13 = 390

B. Serie geométrica finitaLa serie geométrica se origina a partir de la adiciónde los términos de una progresión geométrica (P.G.)y la suma se calcula así:

t + 1 t + t + ... + t = 2 3 n

xq xq

n1t .(q 1)

q 1

-

-

DESARROLLO DEL TEMA


SERIESExigimos más!

t1: primer términoq: razónn: número de términosdonde: q 1; q 0

Ejemplo:Calcular la suma de los 12 primeros términos de lasiguiente serie: 3 + 6 + 12 + 24 + ...

Solución:

S = 3 + 6 + 12 + 24 + ...

x2 x2

t = 3q = 2n = 12

1

Reemplazamos: 123.(2 1)S S=12285

2 1

C. Serie geométrica decreciente de infinitostérminosEl valor de esta serie, conocida como suma límite,se calcula así:

t + 1 t + t + ... = 2 3

xq xq

1t

1 q-

suma límitet1: primer términoq: razóndonde: 0 < q < 1

Ejemplo:Hallar el valor de la siguiente serie infinita:

436 12 4 ...3

Solución:

S = 36 + 12 + 4 + + ...

x

43

13

x 13

x 13

t = 36

q =

1

13

Reemplazamos 36S 54113

II. SERIES Y SUMAS NOTABLES

1)n(n 1)1 2 3 4 ... n

2

2) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1)

3) 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n-1) = n2

4) 2 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1)1 2 3 4 ... n6

5)2

3 3 3 3 3 n(n 1)1 2 3 4 ... n2

6)n(n 1)(n 2)1x2 2x3 3x4 4x5 ... n(n 1)

3

7) 1x2x3+2x3x4+3x4x5+4x5x6+...+n(n+1)(n+2)

=n(n 1)(n 2)(n 3)

4

8) 1 1 1 1 n...1x2 2x3 3x4 n(n 1) n 1

Observación:

En todos los casos n es el número de términos.

A. Suma de términos de una serie polinomial

Una serie se dice que es polinomial cuando sutérmino enésimo (tn) tiene la forma de un polinomio.

Si: tn = an + b ... (1.er orden)

tn = an2 + bn + c ... (2.o orden)

tn = an3 + bn2 + cn + d ... (3.er orden)

Ejemplo:Calcular la suma de los 20 primeros términos de:

11 + 22 + 37 + 56 + ...

Solución:Primero hallamos tn:

4, 11, 22, 37, 56, ...

7 11 15 19

4 4 4 (2° orden)

4a 22

; b = 7 - 2 = 5; c = 4

tn = 2n2 + 5n + 4

Una vez que conocemos tn, la suma de los n primerostérminos (Sn), se calcula directamente, así:

nn(n 1)(2n 1) n(n 1)

S 2. 5. 4(n)6 2

+ + += + +

t = 2n + 5n + 4n2

Para los 20 primeros (n = 20), la suma es:

2020(21)(41) 20(21)S 2. 5. 4(20)

6 2

S20 = 2(2870) + 5(210) + 4(20) = 6870

III. SUMATORIASSea la serie: S = t1 + t2 + t3 + ... + tnSi queremos representar la serie numérica en formaabreviada, usaremos el operador matemático sumatoria( ).


SERIESExigimos más!

Así:

S = t1 + t2 + t3 + ... + tn

n

kk 1

S t

Se lee: "Sumatoria de los términos de la forma tk, desde

k = 1 hasta k = n".

Ejemplo:Desarrollar las siguientes sumatorias:

a)4

2

k 1S (k 1)

S = (12 + 1) + (22 + 1) + (32 + 1) + (42 + 1)

b)12

n 8A (2n 5)

A= n 8 n 9 n 10 n 11 n 12

(21) (23) (25) (27) (29)

A. Propiedades

1. Cantidad de términos

b

k a a 1 a 2 bk a (b - a + 1) términos

t t t t ... t

2. Sumatoria de una constante

b

k ac (n a 1).c

Donde: c es constante (no depende de k)

3.b

k=a

(c.t ) = c.k

b

k=a

tk ; donde: c es constante.

4.b

k=a(t + P ) =k k

b

k=atk +

b

k=aPk

5.b m b

k k kk a k a k m 1

t t t

; donde: a < m < b

Problema 1La suma de los 20 términos de una P.A.creciente es 650. Si el producto de lostérminos extremos es 244, hallar la razón.

UNINivel fácil

A) 3 B) 5 C) 4D) 6 E) 7

Resolución:Dado: t1 + t2 + ... + t20 = 650Es decir:

1 201 20

t t20 650 t t 65

2

...(1)

además: 1 20t x t 244 ...(2)

Resolviendo (1) y (2):

1

20

t 4

t 61

como t20 = t1 + 19r

61 = 4 + 19r r = 3

Respuesta: A) 3

Problema 2Calcular el valor de E en la siguienteexpresión:

"n" cifrasE 11 101 1001 10001 ... 1000...01

UNINivel intermedio

A)n 110 9n 10

9

B)n10 9 109

C)n10 9n 10

9

D)n10 9n 10

9

E)n 110 9n 10

9

Resolución:Reescribiendo convenientemente ten-dremos:E=(10+1)+(100+1)+(1000+1)+...+

"n" cifras(100...00 1)

Reagrupando y sumando las unidadesnos queda:

E=10 +1

10 +10 +...+10 +n2 3 n

Suma de todaslas unidades

Aplicando en la serie geométrica:

n10E 10 1 n9

n10 1E 10 n10 1

Respuesta: E) n+110 + 9n - 10

9

Problema 3Un obrero ha abonado este mes 178soles y tiene con esto S/. 1410 en lacaja de ahorros, habiendo economizadocada mes S/. 12 más que el mes anterior.¿Cuánto ahorró el primer mes?

UNINivel difícil

A) 13 B) 10 C) 14D) 16 E) 17

Resolución:er do er

er

178 (190 12n) .n1410

2

Resolviendo: n = 15

El 1.er mes ahorró:190 – 12 (15) = 10

Respuesta: B) 10

problemas resueltos


PLANTEO DE ECUACIONES


Plantear una o más ecuaciones consiste en traducir el enun-ciado de un problema de un lenguaje verbal a un lenguajematemático. Para llevar a cabo dicha tarea es necesario lle-gar a una compresión cabal del enunciado.

Esto es, distinguir la información que nos brinda el proble-ma (datos), por un lado y por el otro que nos solicita quecalculemos (incógnitas).

Podemos resumir el planteo ecuaciones con el siguienteesquema:

Veamos a continuación algunos ejemplos de pequeñas frasesu oraciones traducidas del lenguaje castellano al lenguajesimbólico.

Lo que aquí hemos mostrado son ejemplos de cómo sepuede representar simbólicamente en el lenguaje mate-mático un fragmento de enunciado.

Una frase u oración puede ser representada simbólicamentede una o varias maneras, el estudiante deberá actuar deacuerdo a los requerimientos de cada problema en particular.Ya que para encontrar la respuesta a un problema debemosresolver una o más ecuaciones, es necesario que elestudiante haya aprendido plenamente a resolver ecuacionesen sus diferentes formas.

DESARROLLO DEL TEMA

La suma de los cuadradosde dos números

El cuadrado de la sumade dos números

x2 + y2

(x + y)2

PLANTEO DE ECUACIONESExigimos más!


Problema 1Existen en oferta 2 modelos de auto-móvil: El modelo A se vende a 50 000soles, pero se sabe que el costo decombustible y aceite en el primer añoes de 2 soles por km recorrido. El mo-delo B se vende a 65 000 soles, perose sabe que el costo de combustible yaceite en el primer año es de 1,75 so-les por km recorrido. Indique el reco-rrido en km para el cual se podría es-coger cualquier vehículo.

UNI 2010 - INivel fácil

A) 25 000 B) 30 000

C) 50 000 D) 60 000

E) 65 000

Resolución:Indique el recorrido en km para el cualse podría escoger cualquier vehículo.

Número de km recorridos: "x"

Operando:

Para que se elija cualquiera de los vehí-culos el costo debe ser el mismo:

50 000 + 2x = 65 000 + 1,75x

0,25x = 15 000

x = 60 000

Respuesta: D) 60 000

Problema 2Un bus que cubre la ruta UNI-Callaologró recaudar en uno de sus viajes 99soles, habiendo cobrado 1,5 soles comopasaje único. Durante el recorrido porcada 12 pasajeros que subieron, baja-ron 7 y llegó al paradero final con 38pasajeros, ¿con cuántos pasajeros ini-ció su recorrido?

UNI 2010 - INivel intermedio

A) 15 B) 18 C) 27D) 33 E) 36

Resolución:Hallamos el total de pasajeros que fue-ron transportados y analizamos la rela-ción de personas que suben y bajandel bus.

a) Aplicación de fórmula o teorema

Total recaudado#pasajeros

Costo unitario del pasaje

99 66 personas1,5

b) Solución del problema

Num. personas al inicio: x

Núm.personas suben : 12 k

(Por dato)Núm.personas bajan : 7 k

Siempre se sumple que:

Inicio + suben = Bajan + final

Además todos los que pagan pasajeson:1,5(7x + 38) = 99

7x + 38 = 66

x = 4

El número de pasajeros que había alinicio es 18.

Respuesta: B) 18

Problema 3Un comerciante compró P pollitos a Csoles el ciento. Durante el periodo deventa, se pierden Q pollitos y, además,el comerciante regaló 5 pollitos por cadaciento que vendió.

¿En cuánto vendió cada ciento si entotal ganó r% de su inversión?

Considere: Q 1P 8

UNI 2009 - IINivel difícil

A) 6 rC 15 100

B) 6 C (1 r)5

C) 4 C (1 r)3

D) 3 rC 12 100

E) 3 C (1 r)2

Resolución:

Valor de venta de cada ciento de po-llitos.

Analizando:

• Inversión: CP100

• Ganancia: r%

• Por cada 100 que vende regala 5.

• Pierde "Q" pollitos.

• P 8kQ 1k

Resolviendo:

8k C 7 k xr1100 100 105

Operando: r 6Cx 1100 5

Respuesta: A) r 6C1100 5

problemas resueltos


LÓGICA: PROPOSICIONAL


I. DEFINICIONES

A. ProposicionesSon expresiones del lenguaje que tienen la propie-dad fundamental de ser verdaderas o falsas.Ejemplos:– Lima es la capital del Perú.– x + 2 > 8, si x = 5

Las proposiciones se pueden clasificar en:• Simples: Mario es un niño.

Mario es travieso.

• Compuestas: Mario es un niño y es travieso. Ricardo es médico o ingeniero.

B. Variables proposicionalesSon los símbolos que representan a las proposicionessimples: p, q, r, s, ......

C. Conectivos lógicosSon los símbolos que se usan para relacionar pro-posiciones, es decir forman proposiciones, es decir,forman proposiciones compuestas a partir de lasproposiciones simples.

DESARROLLO DEL TEMA

Símbolo Nombre Lenguaje común Negación No, no es cierto que, no es el caso que, etc.

Conjunción Y, pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, etc.

Disyunción inclusiva

“O”

Disyunción exclusiva

“O”, “O ... O ...”

Condicional “Si ... entonces...”, “... si ...”, “... dado que ...”, “... siempre que ...”, “... porque ...”, “... en vista que ...”, etc.

Bicondicional “.......si y solo si .....”

II. TABLAS DE VALORES DE VERDAD

A. Conjunción ()Une dos proposiciones mediante el término "y".

Ejemplo:Luis es joven y honrado.p: Luis es joven.q: Luis es honrado.

Simbología: p q

La conjunción es verdadera únicamente cuandoambas proposiciones componentes son verdaderasy es falsa cuando al menos una de sus componenteses falsa.

p q p q

V V V F F V F F

LÓGICA PROPOSICIONALExigimos más!


B. Disyunción inclusiva ()Une dos proposiciones mediante el término "o".

Ejemplo:El gerente habla inglés o francés.p: El gerente habla inglésq: El gerente habla francés.

Simbología: p q

La disyunción inclusiva es falsa únicamente cuandoambas proposiciones componentes son falsas y esverdadera cuando al menos una de sus compo-nentes es verdadera.

p q p q

V V V F F V F F

C. Disyunción exclusiva ()Une dos proposiciones mediante el término "o" peroexclusivo.

Ejemplo:Raimondi nació en Perú o en Italia.p : Raimondi nació en Perú.q : Raimondi nació en Italia.

Simbología: p q

La disyunción exclusiva es verdadera cuando suscomponentes tienen diferente valor de verdad yes falsa cuando sus componentes tienen el mismovalor de verdad.

p q p q

V V V F F V F F

D. Condicional ()

Es la combinación de dos proposiciones mediante:"Si ........................ entonces ......................" antecedente consecuente

Ejemplo:Si estudias, entonces ingresarás:p: Estudiasq: Ingresarás

Simbología: p q "Ingresarás, si estudias"

El condicional es falso únicamente cuando el ante-cedente es verdadero y el consecuente es falso, yes verdadero cuando al menos el antecedente esfalso o el consecuente es verdadero.

p q p q

V V V F F V F F

E. Bicondicional ()Es la combinación de dos proposiciones con:"....................... si y solo si ......................."

Ejemplo:Serás un excelente ingeniero si y solo si te esfuerzasen tus estudios.p: Serás un excelente ingeniero.q: Te esfuerzas en tus estudios.

Simbología: p q

El bicondicional es verdadero cuando ambos com-ponentes tienen igual valor, de verdad y es falsocuando sus componentes tienen valores de ver-dad diferentes.

p q p q

V V V F F V F F

F. Negación ( )Cambia el valor de verdad de la proposición.

Ejemplo:p: Luis es honesto.p: Luis no es honesto.

Por tanto la simbolización y la tabla de verdad de laproposición negativa es:

p p

V F

La frase "no es el caso que" generalmente se empleapara negar proposiciones compuestas.

Ejemplo:No es cierto que Juan sea pintor y se levante tem-prano.p: Juan es pintor.q: Juan se levanta temprano.

Simbología: (p q)



Observaciones1. La doble negación es lo mismo que una afirma-

ción: " ( p)" tiene la misma tabla de verdadque "p".

2. " p q" y " (p q) " tienen la misma tabla deverdad.

3. Cuando una proposición compuesta tiene másde dos proposiciones, por tanto más de un conec-tivo lógico, entonces es necesario usar los sig-nos de agrupación (paréntesis, corchetes, etc.)para distinguir el alcance de los operadores.Ejemplo:a) (p q) rb) p [q (r s)]

4. Las proposiciones compuestas toman el nom-bre de su operador principal:• La fórmula del ejemplo a) representa una pro-

posición disyuntiva, pues es "" el operadorde mayor alcance.

• La fórmula del ejemplo b) representa unaproposición condicional, pues es " " el ope-

rador de mayor jerarquía.

III. EVALUACIÓN DE FÓRMULAS POR LATABLA DE VALORES• Evaluar una fórmula por la tabla de verdad es obte-

ner los valores del operador principal a partir de losvalores de verdad de cada una de las variablesproposicionales.

• El número de valores que se asigna a cada variablees 2n, donde "n" es el número de proposicionesque hay en la fórmula.

Ejemplo:Hallar la Tabla de Verdad de la siguiente proposicióncompuesta:

(p q) (p q)

• Número de proposiciones: 2 (p y q)Luego: Número de valores para cada variable: 22 = 4

• Se procede a aplicar la Tabla de Valores de cadauno de los conectivos empezando por el de menorjerarquía hasta llegar al de mayor alcance.

1° Con la ayuda de la tabla de valores de la conjuncióny la disyunción completamos las columnas (1) y (2).

2° Con ayuda de la tabla de valores del condicionalcompletamos la columna (3).

• El resultado de la Tabla de Valores de la fórmulapertenece al operador principal.

• Dependiendo del resultado de la fórmula por Tabla

de Valores, este puede ser:

A. TautologíaCuando los valores de su operador prin-cipal sontodos verdaderos.Por ejemplo:

B. ContradicciónCuando los valores de su operador principal sontodos falsos.Por ejemplo:

C. ContingenciaCuando entre los valores de su operador principalhay por lo menos una verdad y una falsedad.Por ejemplo:

IV. EQUIVALENCIAS LÓGICAS NOTABLESSon leyes lógicas que permiten la transformación y sim-plificación de un esquema molecular en otro más sim-ple, cambiando una o más expresiones componentesdel esquema por sus equivalentes lógicos, sin alterar elvalor de verdad de la proposición la que correspondeal esquema:



A. Ley de idempotencia• p p p• p p p

B. Ley conmutativa• p q q p• p q q p• p q q p

C. Ley asociativa• p (q r) (p q) r• p (q r) (p q) r

D. Ley distributiva• p (q r) (p q) (p r)• p (q r) (p q) (p r)

E. Leyes de Morgan• (p q) p q • (p q) p q

F. Ley de involución (doble negación)( p) p

G. Ley de Absorción• p (p q) p• p (p q) p• p ( p q) p q• p ( p q) p q

H. Leyes condicionales p q p q

I. Leyes bicondicionales• p q (p q) (q p)

• p q (p q) ( p q)

J. Leyes del ComplementoV: una tautología F: una contradicción• p p V

• p p F• V F• F V

K. Transposición• p q q p • p q q p

L. Existencia del elemento neutro• V p p V p

• F p p F F

• V p p V V

• F p p F p

V: Tautología F: Contradicción

Ejemplo:Aquí algunas de sus aplicaciones:

A. De Morgan

(p q) p q(p q) p q

Ejemplo:"No es el caso que estudies y trabajes".p: Estudias.q: Trabajas.

Simbología: (p q)Su equivalente: p q Se lee: "No estudias o no trabajas"

B. Del condicional

(p q) p q(p q)

Ejemplo:"Si Luis es escritor, entonces es poeta".p: Luis es escritor.q: Luis es poeta.

Simbología: (p q)Su equivalente: p qSe lee: "Luis no es escritor o es poeta".

Segundo equivalente: (p q) Se lee: "No es cierto que Luis sea escritor y no seapoeta".

C. Transposición

p q q p

Ejemplo:"Si Pedro toca guitarra, entonces canta".p: Pedro toca guitarra.q: Pedro canta.

Simbología: p qSu equivalente: p q Se lee: "Si Pedro no canta, entonces no toca guitarra".

D. Transitividad

Si :p q y q rEntonces : p r

Ejemplo:• Si estudias, entonces ingresarás.• Si ingresas, entonces serás profesional.



p: Estudias.q: Ingresarás.r: Serás profesional.

Simbología:

p qq r

Conclusión: p r

Se lee: "Si estudias, entonces serás profesional".

V. CIRCUITOS LÓGICOSUn circuito lógico es la representación gráfica de una omás proposiciones, utilizando esquemas denominadoscircuitos eléctricos.Las proposiciones simples serán representadas comointerruptores en el circuito, abriendo o cerrado el circuito.

p

Proposición Interruptor

equivale

Si el circuito está asociado a una lámpara:

• El circuito funciona si la proposición es verdadera,el interruptor está cerrado y pasa corriente.

• El circuito no funciona si la proposición es falsa, elinterruptor está abierto y no pasa corriente.

P

Según la disposición de los interruptores en un circuito,se tiene dos tipos de circuitos: serie y paralelo.

A. Circuito serieEs aquel que está constituido por interruptoresdispuestos uno detrás de otro.

Para que el circuito funcione, todos los interruptoresdeben de estar cerrados (proposiciones verdaderas).El circuito serie presenta la conjunción de dos omás proposiciones.• p q se representa:

p q

• p q r se representa:p q r

B. Circuito paraleloEs aquel que está constituido por interruptoresdispuestos uno al lado del otro.

Si un circuito paralelo no funciona, todos sus inte-rruptores están abiertos (proposiciones falsas). Elcircuito paralelo representa la disyunción débil dedos o más proposiciones.

• p q • p q r

Se representa: Se representa:

p

q

p

r q

* El circuito que representa a la condicional: p q,será:

p

q

dado que: p q p q .

* El circuito que representa a la bicondicional:p q, será:

p q

q p

dado que: p q (p q) (q p)

Ejemplo:

Grafique el circuito equivalencia a:

((p q) s) t

Se toma el conectivo de menor jerarquía, eneste caso la condicional p q:

p

q

Se asocia con el conectivo siguiente, en estecaso la disyunción, en , en paralelo con s .

p

s q

Finalmente todo el circuito mostrado, se asociapor la conjunción , en serie con t, obtiéndosela siguiente representación:

p

s q t



Problema 1

Si:

Simplifique:

UNI 2011 - I

A) t B) r

C) t D) r s

E) r t

Resolución:

Ubicación de incógnita

Indica el resultado de reducir la expresión.


Reducir:


Respuesta: C) t

Problema 2

Señale el circuito equivalente a la pro-posición:

[(p q) p] [ p ( p q)]

UNI 2012 - I

A) p

B) q

C) p

D) q

E) p q


Halle el circuito equivalente.


[(p q) p] [ p ( p q)]

Aplicación de fórmula, teorema opropiedad

• Ley del condicional:

p q p q

• Leyes de absorción:

p (p q) pp (p q) p


[(p q) p] [ p ( p q)]

( p q) p ( p) ( p q)

( p q) p p ( p q)

(p q) p p ( p) q

p (p q)

p (p q) p


De reducir la expresión usando las leyesproposicionales queda "p".

Respuesta: A) p

Problema 3

Si la proposición:

(p q) (r s)

es falsa. El valor de verdad de p, q, r, s(en ese orden) es:

UNI 2012 - IA) FFVV

B) FVVF

C) VFVF

D) VVFF

E) FVFF

Resolución:

Ubicación de incógnita

Halle el valor de verdad de p, q, r, s(en ese orden).


(p q) (r s) F


(p q) (r s ) F

V

V F

V F


Se deduce:

r Vs V

entre p y q al menos 1 debe ser unaverdadera.

Rpta: p ;q; r ; s

F F V V

Respuesta: A) FFVV

problemas resueltos


RAZONAMIENTO LÓGICO


I. CONDICIONALEn esta parte vamos a explorar la utilización de lasproposiciones que tengan el condicional y elbicondicional, recuerda que debemos de reconocercada caso, luego simbolizar correctamente para poderusar algunas de sus equivalencias.

A. Expresiones Importantesa. Condicional

Si A participa entonces B participa.Simbología:

A BA: AntecedentesB: ConsecuenteEs decir, cada vez que el evento A ocurra,entonces necesariamente B ocurrirá y de formaanáloga; si B no ocurre entonces A no ocurrirá.

Nota:Cabe resaltar que una mala simbología de laproposición implicará una mala interpretación delcorrector y sus parte, como el antecedente y elconsecuente.

Casos EspecialesA continuación algunos casos a reconocer y a

simbolizar para una adecuada interpretación.

1. A participará Solo si B participa.Simbología:

A B

Se debe de entender que cada vez que Aparticipa, solo la hará si B participa. es por elloque esa es la simbología.

Ejemplo:Carlos irá al cine solo si Ana va.Simbología:

DESARROLLO DEL TEMA

Eso implica que cada vez que Carlos va al cinenecesariamente va Ana.

2. A no participará a menos que B participeSimbología

A BA no participa y nunca lo hace a menos que Bparticipe, es por ello que si A, participa entoncesB participará.

Nota:Ten presente que en ambos casos la primerapersona necesita a la segunda para realizar laacción y no al revés (la segunda es totalmenteindependiente).

B. Bicondicional.A participa si y solo si B participa Simbología

A BEn esta proposición basta que cualquiera de lasdos participe para que el otro obligatoriamenteeste presente, es decir, es una condición deida y vuelta; si uno está el otro también y si unono está el otro tampoco está.

Propiedades:1. Si A entonces B

Simbología: A B2. Si A, B

Simbología: A B3. A si B

Simbología: B A4. A si y solo si B

Simbología: A B5. A solo si B

Simbología: A B6. Solo si A, B

Simbología: B A7. No A a menos que B

Simbología: A B

RAZ. LÓGICOExigimos más!


Al igual que en el caso anterior noimplica (q p) .Luego no necesariamente secumple que:"Si esta bien informado Luis leeCaretas.

III. "Si estudió obtengo buenanota". Tiene como equivalente a:"Si no obtengo buena nota no estudio".Además tenemos otra condicionalcomo dato:"Si no estudio me divierto".Entonces "concectando" loscondicionales tenemos:

Noobtengo No Mebuenanota estudio divierto

Noobtengo MeFinalmente

buena nota divierto

Que por equivalencia:

(p q p q)

Se llego a Obtengo Me

obuena nota divierto

Respuesta: C) Solo III

Problema 2La mamá interroga a sus cinco hijos:"¿Quién rompió el espejo?! y ellosrespondieron:

Problema 1I. Si ella compra un vestido,

entonces comprará zapatos. Ellacompra zapatos, por lo tanto ellacompra un vestido.

II. Si Luis lee Caretas está bieninformado, Lu is está bieninformado, entonces Luis leeCaretas.

III. Si estudio, obtengo buena nota.Si no estudio, me divierto. Por lotanto, obtengo buena nota o medivierto.Son válidas:

UNI 2007 - IIA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIE) II y III

Resolución:I. Si ella compra un vestido

Comprará zapatos. (p q)Ella no implica que (q q) , esdecir no necesariamente se cumpleque: "Si ella compra zapatos comprará un vestido".

II. Si Luis lee Caretas esta bieninformado (p q) .

• Alberto: Lo hizo Eduardo.• Eduardo: Carlos lo hizo.• Carlos: Yo no fui• David: Juan lo hizo.• Juan: Lo hizo Alberto.

Si uno de ellos lo hizo, si no fue Carlosy sólo uno dice la verdad, ¿quién lohizo?

UNI 2008 - IINivel fácil

A) Alberto B) EduardoC) Carlos D) DavidE) Juan

Resolución:Del enunciado tenemos que no fueCarlos y solo uno dice la verdad,entonces podemos concluir que lo quedice. Carlos es verdad ya que dice queél no lo hizo, esto implica que todoslos demás encunciados son falsos, sianalizamos lo que dijeron los demás yteniendo en cuenta que mintieron;Alberto dice que fue Eduardo, de loque dijeron David y Juan deducimosque no fueron ni Juan, ni Alberto, porconsiguiente el único que queda comoculpable es David.

Respuesta: D) David

problemas resueltos

II. FALSA SUPOSICIÓNJuego lógico en el que a partir de un suceso, ofrecenversiones sobre lo ocurrido. Hay tres maneras deabordar este tipo de juegos:

A. PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIAConsiste en buscar entre las proposiciones dadas,dos que sean equivalentes, las que tendrán elmismo valor de verdad.

Ejemplo:Se tiene las siguientes declaracionesMario: "Raúl es mayor de edad".Raúl: "Yo soy mayor de edad"

• Es evidente que las proposiciones hacen lamisma afirmación, por ende, ambas tendrían elmismo valor de verdad.

B. Principio de ContradicciónConsiste en buscar entre las proposiciones dadas,dos que sean contradictorias, las que tendrándiferentes valores de verdad.Ejemplo:Se tiene las siguientes declaraciones:Mario: "Llevo puesto un polo color rojo".Raúl: "Mario lleva puesto un polo color azul".• Es evidente que las proposiciones plantean ideas

distintas, por ende ambas no pueden serverdaderas o falsas a la vez.

C. Principio de suposiciónConsiste en asumir un valor de verdad para algunade las proposiciones, que se tomará luego comopunto de partida para verificar una coherencia lógicaentre los demás enunciados. De llegar a unacontradicción (o alguna situación absurda), deberáevaluarse otra proposición.



Problema 3

Andrés miente los días miércoles,jueves y viernes, y dice la verdad elresto de la semana. Pedro miento losdomingos, lunes y martes, y dice laverdad los otros días de la semana. Siambos dicen: "Mañana es un día en elcual yo miento", ¿cuál día de la semanaserá mañana?

UNI 2007 - I

Nivel difícil

A) Lunes

B) Martes

C) Miércoles

D) Jueves

E) Viernes

Resolución:

Tenemos:

Andres:V V M M M V V

L M M J V S D

Pedro: M M V V V V M

L M M J V S D

Como ambos dicen "Mañana es undía en el cual yo miento", el día enque dijeron eso tendría que ser:"martes" por lo cual el día demañana será "miercoles".

Respuesta: C) Miércoles


LÓGICA DE CLASES


I. LÓGICA DE CLASESEs la parte de la lógica que se encarga del estudio delas proposiciones categóricas.

A. Proposiciones categóricasEs una enunciado o proposición que afirma o niegaque un conjunto o clase está incluído en otro, totalo parcialmente. Las proposiciones categóricas típicasse caracterizan por tener en su estructura:a) Cuantificadorb) Sujetoc) Verbo copulativod) Predicado

Ejemplo:

(c)(a) (b) (d)

Todos los hombres son mortales.

CuantificadorParte de la expresión que indica la cantidad lógicaen una proposición. Según esto un cuantificadorpuede ser universal o particular (existencial). Segúnsu calidad una proposición categórica puede serafirmativa o negativa.

Ejemplos:

1. "Todos los perros son rabiosos"

____________________________________

2. "Ningún niño es responsable"

____________________________________

3. "Algunos estudiantes son mayores"

____________________________________

4. "Algunos pobres no son locos"

____________________________________

5. "Cada niño recibió un regalo"

____________________________________

6. "Más de uno se quedó sin escuchar la clase"

____________________________________

7. "Todas las gallinas tienen plumas"

____________________________________

8. "Los hombres son celosos"

____________________________________

9. "Por los menos un luchador es fuerte"

____________________________________

10."No hay peces voladores"

____________________________________

11."Dos gatos son chillones"

____________________________________

12."No existe mujer paciente"

____________________________________

DESARROLLO DEL TEMA

UNI 2014 - III RAZ. MATEMÁTICO

LÓGICA DE CLASESExigimos más!

24

Representación gráfica de los cuantificadores

1. Conjunto universal

2. Conjunto no vacío

3. Conjunto vacío

4. Conjunto indeterminado

Luego, grafiquemos a manera de ejemplo algunasproposiciones categóricas:

1. Universal afirmativa

Todos los limeños son peruanos.

2. Universal negativa

Ningún judío es alemán.

3. Particular afirmativaAlgunos políticos son honestos.

4. Particular negativaAlgunos mamíferos no son carnívoros.

Negación de proposiciones categóricasLa negación de una proposición categórica consiste,básicamente, en cambiar la cantidad y la calidad deésta.

(Universal afirmativa) = __________________

(Universal negativa) = ___________________

(Particular afirmativa) = __________________

(Particular negativa) = ___________________

Caso especialEn una proposición categórica con un cuantificadoruniversal, si la negación se encuentra afectando alverbo copulativo, entonces la negación funcionacomo si afectará a toda la proposición.

Nota:En una proposición categórica existe una diferenciacuando la negación está antes del verbo copulativoy cuando está después del verbo.

Por ejemplo:

• Todos los debutantes son inexpertos Todos los debutantes son no expertos



25

No es cierto que todos los poetas seansensibles.No (todos los poetas son sensibles) algunos poetas no son sensibles.

Nota: recuerda que primero se gráficalas proposiciones universales y luego lasparticulares.

Graficando ambas premisas:

Nota: Recuerda que primero se graficalas proposiciones universales y luego lasparticulares.

Conclusión:

Algunos poetas no son artistas.

Problema 1A partir de las siguientes premisas:• Todos los artistas son sensibles.• No es cierto que todos los poetas

sean sensibles.UNI 2007 - I

Nivel intermedioSe infiere validamente que:A) Todos los poetas son artistas.B) Ningún artista es poeta.C) Algunos poetas no son artistas.D) Todos los artistas son poetas.E) Algunos sensibles no son poetas.

Resolución:• Todos los artistas son sensibles.• No es cierto que todos los poetas

sean sensibles.

Operación del problema:Todos los artistas son sensibles.

Respuesta: C) Algunos poetasno son artistas

Problema 2La negación de: "todos los rectángulosson paralelogramos"es:

UNI 2005 - INivel fácil

A) Todos los rectángulos son no para-lelogramos.

B) Todos los no rectángulos no sonparalelogramos.

C) Algunos rectángulos no son parale-logramos.

D) Algunos rectángulos son paralelo-gramos.

E) Todos los no rectángulos son para-lelogramos.

Resolución:Todos los rectángulos son paralelo-gramos.

Operación del problema:• Todos los rectángulos son para-

lelogramos.

problemas resueltos

Graficamente:

Todos los debutantes son inexpertos ningúndebutante es experto.

Halla la equivalencia de las siguientes proposiciones

1. Todos los S son no P:

____________________________________

2. Ningún S es no P:

____________________________________

3. Algunos S son no P:

____________________________________

4. Algunos S no son no P:

____________________________________

5. Todos los niños son irresponsables:

____________________________________

6. Ningún juez es descortés:

____________________________________

7. Algunos futbolistas son inescrupulosos:

____________________________________

8. Algunos peces no son atípicos:

____________________________________

UNI 2014 - III RAZ. MATEMÁTICO


26

• Reconocemos que está propo-sición es universal afirmativa y almomento de negar debo cambiarla cantidad y calidad de dicha pro-posición.

universal afirmativa particular ne-gativa.

Conclusión:

(todos los rectángulos son para-lelogramos) Algunos rectángu-los no son paralelogramos.

Respuesta: C) algunos rectángulosno son paralelogramos

Problema 3

Dadas las siguientes premisas:

• Todos los que estudian arquitecturasaben dibujar.

• Algunos estudiantes de arquitecturahacen deporte.

UNI 2008 - II

Nivel intermedio

Se deduce que:

A) Ninguno que estudie arquitecturahace deporte.

B) Todos los que hacen deporte sabendibujar.

C) Todos los que estudian arquitec-tura no hacen deporte.

D) Algunos que hacen deporte sabendibujar.

E) Ninguno que hace deporte estudiaarquitectura.

Resolución:

Todos los que estudian arquitecturahacen deporte.

Algunos estudiantes de arquitecturahacen deporte.

Operación del problema:

De la primera premisa:

De la segunda premisa:

Gráficando ambas premisas:

Nota: Recuerda que primero se gráficalas proposiciones universales y luego lasparticulares.

Conclusiones

Algunos que hacen deporte sabendibujar.

Respuesta: D) Algunos que hacen

deporte saben dibujar


OPERADORES MATEMÁTICOS


DESARROLLO DEL TEMA

Una operación matemática es una correspondencia o rela-ción mediante la cual, dado uno o mas números se hacecorresponder otro llamado resultado, con sujeción a cier-tas reglas o leyes perfectamente definidas. Las reglas pue-den ser descritas mediante palabras, pero por razones desimplificación se las representa mediante símbolos llama-dos operadores matemáticos.

Las operaciones matemáticas antes mencionadas son co-nocidas universalmente, es decir, que cualquier matemáticodel mundo al observar la siguiente operación Log28, sabeque el resultado es 3.

En la presente clase lo que haremos es definir operacionesmatemáticas con operadores y reglas de definición elegidosde forma arbitraria.

El operador matemático puede ser cualquier símbolo (inclusofiguras geométricas).

, , # , , , , ...

Las reglas de definición se basarán en las operaciones mate-máticas ya definidas. Veamos los siguientes ejemplos:

a b = 2a - a x b2

Regla de definiciónOperador

matemático

x = x - x + 22

Regla de definiciónOperador

matemático

El objetivo de este capítulo es familiarizarnos en el uso y manejo de los operadores matemáticos, por lo tanto usaremossímbolos arbitrarios para representar operaciones arbitrarias, las cuales definiremos en base a las operaciones conocidas.


Exigimos más!OPERADORES MATEMÁTICOS

28

OPERACIONES EN UNA TABLA DE DOBLEENTRADAIndica los elementos que han sido operados y resultados dedichas operaciones que son presentados en una tabla dedoble entrada.

Ejemplo: en el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, se define la ope-ración (*) mediante la siguiente tabla:

1234

11234

22341

33412

44123

*

Hallar: 4 * 3

Resolución:

Ubicamos al elemento (4) en la columna de entrada y alelemento (3) en la fila de entrada, el resultado de la operaciónla encontraremos en la intersección de la columna y la filadel primero y el segundo elemento respectivamente.

Veamos:

PropiedadesSe define en el conjunto "A" mediante el operador (*) losiguiente:

1. Clausura

a b A a*b A

En la tabla:Si todos los elementos de la columna y fila de entrada

pertenecen al conjunto "A", así también como los resultadosal operar o cuerpo de la tabla. Entonces diremos que la ope-ración es clausura en "A".

2. Conmutativa

a, b A a*b=b*a

En la tabla:"Criterio de la diagonal"Los pasos a seguir son: primero se traza la diagonal

que pasa por el operador; luego se observa que los ele-mentos que se encuentran a ambos lados de la diagonalmantengan una simetría (un lado es el reflejo del otro lado).Entonces la operación es conmutativa, en caso contrariono lo será.

Es decir:

abc

*

3. Asociativa

a, b y c A a*(b*c)=(a*b)*c

4. Elemento neutro

e A / a A a*e=e*a=a

En la tabla:• Se verifica que la operación sea conmutativa.• En el cuerpo de la tabla se busca una columnaigual a la columna de entrada y una fila igual a la fila deentrada. Donde se intersecten, será el elemento neutro("e").

Es decir:

El elemento neutro es "1".



OPERADORES MATEMÁTICOS

29

problemas resueltos

Problema 1

Se define:

a0; x a

x ; (x)1; x a

y para n ; n

k

k 02

Halle, para x 4 , el valor de:

UNI 2009 - II

Nivel fácil

A) 4/3 B) 3

C) 4 D) 15

E) 20

Resolución:

a0; x a

x ; (x) ;n1; x a

= n

k

k 02

Y además x 4

Si x 4

(4) (x) 1

4M3

= 20 + 21 = 3

= 20 + 21 + 22 + 23 = 15

4M (15) 203

Respuesta: E) 20

Problema 2

Para la operación definida en el con-junto A = {1, 2, 3, 5} mediante la si-guiente tabla:

Se afirma:

I. Es cerrada en el conjunto A.

II. Es conmutativa.

III. Posee elemento neutro.

Son ciertas:

UNI 2010 - I

Nivel fácil

5. Elemento inverso (a- 1)

-1 -1 -1a A; e A/ a A a*a =a *a=e

Donde:

e = elemento neutroa-1 = elemento inverso de a

En la tabla:- Se busca el elemento neutro y se considera todosiguales a él.- Se traza una ele volteada ( ), es decir:

a

a-1

e

Ejemplo:Calcular: 1–1; 2–1; 3–1 en:

123

Resolución:1.° Calcularemos el elemento neutro "e".

123

e=1

Encerremos todos los elementos neutros del cuerpo.

123

2.° Aplicamos el criterio de las eles volteadas ( ).

a

a-1

e

Es decir:

1

2

3

Del gráfico tenemos que:1–1 = 1 2–1 = 3 3–1 = 2


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30

A) Solo I

B) I y II

C) II y III

D) I y III

E) I, II y III

Resolución

Analizando: A = {1; 2; 3; 5}

Ordenamos la tabla:

Se afirma:

I. Es cerrada en el conjunto A.

II. Es conmutativa.

III. Posee elemento neutro.

I) No es cerrada puesto que apareceel elemento {0} y no pertenece alconjunto A.

II) Sí es conmutativa puesto que ladiagonal cumple la propiedad deser eje de simetría.

III) Sí posee elemento neutro (e).

e = 5

Respuesta: C) II y III

Problema 2

En el conjunto Q = {1, 3, 5, 7} se definela operación "" según la siguiente tabla:

Luego, sea x–1 el inverso de x Q ,según la operación , halle:

1 1

1 13 5E7 1

UNI 2010 - I

Nivel intermedio

A)13 B)

35

C) 1 D)53

E) 3

Resolución

Halle:

1 1

1 13 5E7 5

donde x–1 es el elemento inverso de x.

Analizando:

Ordenamos la tabla:

Elemento neutro (e) = 5

1–1 = 1 5–1 = 5

3–1 = 7 7–1 = 3

7 5 12E 33 1 4

Respuesta: E) 3

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13. RM