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13. Thirring-Lense-Effekt ("Frame-dragging"-Effekt)
Eigenrotation der Erde "verdrillt" die Raum-Zeit
Quelle: https://scitechdaily.com/laser-relativity-satellite-to-measure-frame-dragging-effect-of-general-relativity/, 31.5.2020
führt ebenfalls zur Präzession von Kreiseln
Übungsaufgabe 4! Einstein-Gleichungen:
Für Erde:
Massenverteilung:
Koordinaten:(Fast-)Minkowski-Koordinaten (Korrekturen )
⇒
⇒ D hyun = - 16171 Sm ( 13.1 )c. 4
(xn ) = Cct,X, y ,z )' Smu = Tru - Iz Mpv ( 13.2)
01h )
Hui - soft:{"" "
c) "⇒,⇒ Csm) .ee/:zmcuausicffkc"
Zork %) 43.4)
SCF) egfr , = {% ' r ERE
(13.5)O,or > RE
Winkelgeschwindigkeit:
Erde rotiere als starrer Körper
zeitunabhängig Gl. (13.1) hat stationäre Lösungen, die erfüllen:
Mit :
Multipolentwicklung:
I = Wes ,w = ZI ( 13.6)
Tag
⇒ TCF) = @ XT = U"Ei
,Vi = Eirik wirxk (B. 7 )
Vi = Eijbswsixk( Eisk = - Eiger)
Suv ⇒
Shjyucr) = 8M€ gcr) ,D hoi CF) = 1G far) Eijkwsixk 43.8)
b÷* , = - 4th or CF-F's
::i÷÷÷÷: i:::y
'
¥1- I +r
'
t. . .
,
r - r
Gl. (13.9):
Gl. (13.10):
wegen Symmetrie
⇒ = - 2¥ false 'gCrYt . . .= 113.11)-
IM
⇒ hoi = - 4€, Eijkwirfdrtglr ') (Erk + ×'kIl+ . . .)w
=
= - ¥3 Eijkwtixlfdrtgcr ') x' kx 't + . . .
-(Es, So 4tdfEdrr4=4gIREfoRzE8ke-
= -4G MRE =M
⇒F Eijkwtxk + . . .
= -ZFRfIwErJ us.rs
⇒ d@=lmµuthµv)dxMdxV=¥)hddp.az,
Mit Gl. (13.6):
mit Winkelgeschwindigkeit
rotierendes Koordinatensystem!
Bewegungsgleichung des frei fallenden Kreisels:
Gl. (12.2): Terme Terme
geodätische Präzession Thirring-Lense-Effekt
Effekte sind additiv im Folgenden: betrachte nur Thirring-Lense-Effekt
es genügt, alle übrigen Terme in nullter Ordnung in und zu betrachten
⇒ ds2=G - F) Edt' - ( ltrfjdr'- Zgtfpewfxdy - ydx)dt Cos.14 )
⇒ w-ztztfRE-wftzffewn-2.rs - 1010W
WERE
⇒ dd¥= - r%µX5= nhpyu t - hoi 43.15)- -
⇒ ⇒
hoi - tf ⇒ h E
⇒ fun)=Cu9=Cc , 81T , csrtecsg-co.SI ,dt=dt
(13.151⇒ ddij cos .io
, da zeitunabhängig
In führender Ordnung in :
Definiere
Thirring-Lense-Präzession
Präzession der Kreiselachse mit Winkelgeschwindigkeit
Drehung des lokalen IS mit gegenüber Fixsternhimmel
h
rij-nizkfdohyk-dzh.io#-oohozE)--Efojhoi- oihoj ) as .ms
⇒ h
b- = hoi Ei = hoiei ( 13.18)
ST E - E txh = [email protected])⇒ B x 5 = Eiikei Disk = Eiikeiczeiemcdehomsk 106.200
= Eet f - Gil Glenn + Sim Sek ) @ehom)sk= f- Ei C -dj how + Okhotsk = - cEirik sk CB -20
( 13.17 )"¥" dasI=A us.eu
-
s
-
⇒ a
Berechne :
Drehung der Erde sorgt für Drehung des lokalen IS, "zieht" lokales IS "mit"
Nordpol:
Äquator:
is
Oj hok"312 '- E BIE Oj cattle = + ¥ BIEL C- kemal Oj Tmz cos .
-
=
r2 Gim - 3×5Xm-
r5
"Di = Cz Eirik 2g BRYE ekem we r2Edm-3m
or 5
= f rsRE ( Gil gin - gim g je ) we r2Edm-3mor 5
= ¥ Bart [wi ( 3 r2 - 3M) - wir2+3 xiao -F )⇒ sTczj=tzrsRe3CwF)pF-w✓ (13.23)
⇒ rn w ⇒
T 11 I ⇒ ST ( Nordpol ) = 2- TEE To > O5 a3.24)
Ftw ⇒ ST CA"quator) = - tract s O5
Drehung eines Foucaultschen Pendels am Nordpol während eines Jahres:
(geodätische Präzession)
Experimenteller Nachweis:um geodätische Präzession auszuschließen, wähle (s. Gl. (12.8))
allerdings: auf Äquatorbahn ist dann
wähle Polroute Gl. (13.24): Effekt kompensiert sich teilweise, Mittelwert pro Jahr:
LAGEOS, Gravity Probe: Bestätigung des Thirring-Lense-Effektes mit ca. 10% Genauigkeit
Analogie zur Elektrodynamik:
⇒
S/O =D - 1a = I Ife,E . 21T - 365 = 4th . 73 . ,¥fE= 1. 28.10-6=0.263" ( 13.25)5
⇒ S/O a sa = 8.42 "(12.19 )
I 11 Eo5 110 115T ⇒ J - const .
(13.21)
⇒ ⇒
54=0.041 "
⇒
B = Exit ⇒ is = - Etxh
Gravitomagnetische Kräfte:Bewegungsgleichung eines Teilchens: Geodätengleichung!
Bis zur Ordnung :
Analogie: Lorentz-Kraftgravitomagnetische Kraft
kompensiert in mit rotierendem Bezugssystem CorioliskraftFoucault-Pendel dreht sich nicht im rotierenden System, aber dreht sich mit im IS
⇒
deemdy
= - Tfa week (13.26)
OCI ) dE=dt ,= ( GUTT
(13.26)
⇒ ddIfi= - rioc? - 2e riju 't c- OCEI) 43.27)
- - (13.11)root - II ( 2 - Ffg) - - zoitf-toe.EE cars .
(2
-crijoi-crxo.li (B.29)(13.20)
⇒ dd¥=-t&cr1+25Hx# 113.301
EL -_qCEtvxB)⇒ 25267×8
⇒ B - 25T (F) xD
⇒is
Gravitationsfeld einer mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Masse:
Ruhesystem des Teilchens: Koordinaten Geschwindigkeit
Energie-Impuls-Tensor
Lösung der Einstein-Gleichungen (s.o.): für
Koordinatentransformation in ein beliebiges Koordinatensystem:
Transformation in ein System , in dem sich Teilchen mit bewegt:Lorentz-Transformation! (bis auf Korrekturen der Ordnung h)
gravitomagnetisches Feld einer bewegten Masse
uZ'
x'M,
lie'M) - 6,851
⇒ T 'm = go ( I 8)⇒ hfeµ= - tf , h'µu=O Mtv (13.31 )
hun - h'go Ife IonE E
⇒ age - teal-JI - tuco) =L ) + OLED⇒ hµu=h'go %
⇒ hiya - hfyu + OLE:) , hoi = -12 Ith'ootOC¥) 113.32)
⇒ @ = foie, = -2Eet 43.33)
Abschätzung der Größenordnung der gravitomagnetischen Kräfte:
2 Körper mit Massen m , m , Geschwindigkeiten v , v
gravitomagnetisches Feld von Körper 1:
Kraft auf Körper 2, Gl. (13.30):
(i) (Erde-Satellit, Sonne-Erde):
(ii)
im Schwerpunktsystem:
(Doppelsternsystem):
Unterdrückung der gravitomagnetischen Kräfte um Faktor gegenüber der ersten ART-Korrektur zur Newtonschen Gravitationskraft
gravitomagnetische Kräfte von derselben Größenordnung wie erste ART-Korrektur zurNewtonschen Gravitationskraft
I 2 1 2
h.- ¥ Emre ⇒ exhinEI.es
⇒
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Y IF Gmf-72 = UIL F-Newton 113.34)D- no Ext
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