65

3. ANALIZA STACIONARNIH I DINAMIKIH STANJA ELEKTRINIH MAINA

Razmatranja provedena u prvoj i drugoj glavi su pokazala osnovne principe elektromehanikog pretvaranja energije i metode nalaenja jednaina kretanja. Navedeni primjeri su vie sluili kao ilustracija, a ne kao izomorfni modeli pojedinih pretvaraa. U ovom poglavlju e biti detaljnije razmotreni pretvarai sa kontinualnim kretanjem, i to posebno sa stanovita dinamikih osobina i analize kao objekta automatskog upravljanja. Pored matematike analize, bie dati i rezultati modeliranja pojedinih pretvaraa. Imajui u vidu postavljeni cilj i ranije napomenuta ogranienja vezana za metode prorauna akumulisane energije u sistemu, pri izvoenju matematikih modela pretvaraa usvojene su zajednike polazne pretpostavke koje obuhvataju:

zanemarenje prostornog rasprostiranja elektromagnetnog polja; neprekidnost procesa i mehanike dimenzije znatno manje od duine

elektromagnetnih talasa generisanih strujama koje protiu u pretvarau; nezasienost magnetnog materijala i odsustvo gubitaka u njemu; zanemarenje graninih efekata pri raunanju rasporeda magnetnog polja.

Navedene pretpostavke omoguavaju analizu maina kao dinamikih sistema sa koncentrisanim parametrima. Treba uoiti da nisu navedene pretpostavke o prostornom rasporedu magnetnog polja, linearnosti magnetskih osobina materijala i sl., jer one predstavljaju specifine uslove rada sistema koji mogu biti obuhvaeni u okviru modela sa koncentrisanim parametrima.

3.1. MAINE JEDNOSMJERNE STRUJE U ranijim razmatranjima je pokazano da u sluaju sinhronih maina postoji mogunost pridruivanja maini mehanikog ili poluprovodnikog komutatora koji omoguava da

66

se takva maina tretira kao da je napajana jednosmjernom strujom. Uloga komutatora je da obezbijedi preraspodjelu proticanja struje kroz namotaj (ili namotaje) tako da se u potrebnom vremenskom intervalu obezbijedi napajanje namotaja koji u datom vremenskom intervalu omoguava generisanje maksimalnog elektromagnetnog momenta. Popreni presjek maine sa pobudom na statoru i mehanikim komutatorom na rotoru dat je na slici 3.1.a a presjek maine sa pobudom na rotoru i poluprovodnikim komutatorom na statoru na slici 3.1.b.:

R

S

ua

uF

R

S

ua

uF

(a) (b)

Slika.3.1. (a) Popreni presjek komutatorske maine sa pobudom na statoru (b) Popreni presjek komutatorske maine sa pobudom na rotoru

Konstrukcija maine jednosmjerne struje sa elektromagnetnom pobudom prikazana je na slici 3.1.c Glavni polovi nose namotaje statora (namotaji pobude) kroz koje kao posljedica prikljuenja na napon izvora pobude UP, protie struja pobude iP koja formira glavni magnetni fluks. U utorima rotora lei zatvoreni namotaj koji se preko etkica spaja sa izvorom rotorskog napona UA, i pri proticanju struje iA formira rotorski magnetni fluks u smjeru osa etkica, te se na taj nain formiraju dva fluksa - statorski du uzdune d-ose maine i rotorski du poprene q-ose maine.

Slika 3.1.c. Funkcionalna struktura dvopolne maine jednosmjerne struje

67

Pojednostavljena struktura maine izvedena, pod pretpostavkom da je mogue zanemariti: histerezisne gubitke, vie harmonijske lanove izazvane utorima na rotor,u uticaj broja lamela na kolektoru te reakciju rotora, predstavljena je na slici 3.1.c. Navedena zanemarenja nisu prihvatljiva za neke primjene, meutim, za naa razmatranja daju dovoljan stepen izomorfizma modela.

Slika 3.2. Dinamika struktura maine jednosmjerne struje Jednaine kretanja se mogu napisati u obliku:

AEAAA

A UwKiRdtdiL +=

ppp UiRdtd

+= (3.1)

wdtd

=

)(; ppAMT iiiKMBwdtdwJ =+=

Jednaine kretanja (3.1) su sline jednainama (2.62), uz napomenu da su uvedene drugaije oznake koordinata (indeks p za statorske promjenljive i indeks A za rotorske promjenljive). Razlika koja se pojavljuje u drugoj jednaini nastaje zbog toga to pri izvoenju ovih jednaina nije pretpostavljena linearna zavisnost fluksa i struje statora nego je njihova veza razmatrana kao jednoznana funkcija iP=iP(). Ova karakteristika se moe odrediti na osnovu dijagrama praznog hoda maine koji daje zavisnost napona induciranog u rotoru EA=EA(iP) i struje pobude iP pri konstantnoj (obino nazivnoj) ugaonoj brzini. Koritenjem relacije:

== wKiEE EPAA )( (3.2) na osnovu poznate funkcije EA(iP) dobije se zavisnost =(iP), a odatle inverzna funkcija iP=iP().

68

Izborom radne take u linearnom dijelu karakteristike magneenja mogue je odrediti i ostale konstante sistema. Dinamiki model maine jednosmjerne struje opisan jednainama kretanja (3.1) prikazan je na slici 3.2. Za razliku od dinamikog modela sa slike 2.9 u ovom modelu statorsko kolo (kolo pobude) sadri nelinearni blok za izraunavanje struje na bazi informacije o fluksu. Ako sistem radi u linearnom podruju, tada je =Lpip i strukture na slikama 3.2 i 2.9 su jednake. Kako se vidi, maina jednosmjerne struje je dinamiki sistem etvrtog reda. Zavisno od funkcije koju obavlja - motor ili generator, ulazne i izlazne veliine su razliite. U tabeli 3.1. su sumirane mogue kombinacije ulaza i izlaza. Tabela 3.1.

Funkcija Ulazne varijable Izlazne varijable Upravljanje Smetnje Motor UA, UP MT , w, M Generator MT, UP iA, w UA

Razmotrena dinamika struktura je definisana za sluaj da su statorski i rotorski podsistemi nezavisno napajani. esta je situacija da su namotaji na statoru i rotoru vezani u zajedniko elektrino kolo i napajani iz jednog izvora. U sluaju paralelne veze namotaja govori se o maini sa paralelnom pobudom, a u sluaju serijske veze o maini sa serijskom pobudom. U oba sluaja sistem ima samo jedno ulazno dejstvo. Lako je, na bazi modela (3.1), izvesti relacije koje opisuju ponaanje maina jednosmjerne struje sa drukijim rasporedom namotaja i njihovom meusobnom spregom. Prije nego detaljno razmotrimo dinamiko ponaanje maine jednosmjerne struje, izvrimo analizu stacionarnih stanja koja se dobiju pri konstantnim naponima napajanja i konstantnom momentu optereenja.

3.1.1. Stacionarna stanja maine jednosmjerne struje sa nezavisnom pobudom

Polazei od modela (3.1) ponaanje maine u stacionarnim stanjima moe biti odreeno uvrtavanjem vrijednosti nula za sve vremenske izvode promjenljivih izuzev ugla zakretanja. Ugao zakretanja je integral ugaone brzine i u svim stacionarnim stanjima pri w0 se poveava linearno sa vremenom pa e, u daljim razmatranjima, biti izostavljen iz jednaina kretanja. Stacionarna stanja sistema (3.1) su opisana skupom jednaina:

+= wKiRU EAAA ppp iRU = (3.3)

+= AMT iKBwM

69

U razmatranjima stacionarnih stanja je, radi kompaktnosti matematikih, izraza lan Bw pridruen momentu optereenja. Pored toga, kao nezavisna promjenljiva je uzet fluks statora . Sa praktinog stanovita potrebno je razmotriti promjene izlaznih veliina pri promjeni ulaznih veliina i smetnji. Osnovni pokazatelj osobina maine u motornom reimu je tzv. mehanika karakteristika w=w(MT) pri UA=const. i =const. Iz relacije (3.3) se lako dobiva:

TEMA

AA

EMA

M MKKBRRUKKBR

Kw 22 ++

= (3.4) Mehanika karakteristika je prikazana na slici 3.3.a. Nagib karakteristike je, pri =const., definisan otporom armaturnog kruga RA.

Slika 3.3. Karakteristike stacionarnih stanja maine jednosmjerne struje Mehanike karakteristike predstavljaju snop pravaca. Treba uoiti da napon rotora UA odreuje presjenu taku na ordinati. Meutim, nagib karakteristike ne zavisi od njega. To se posebno uoava na slici 3.3.b. gdje se vidi da nagib karakteristika uopte ne zavisi od napona, tj. ako je napon dovoljno visok da moe biti dostignuta odreena brzina u praznom hodu (odreena presjekom na osi ordinata na slici 3.3.a), dalje ponaanje maine, u stacionarnim stanjima, ne zavisi od napona.

3.1.1.1. Ponaanje maine pri promjeni napona rotora

Kako je pokazano, presjek mehanike karakteristike sa osom ordinata (odnosno brzina praznog hoda) je funkcija napona napajanja. Iz izraza (3.4) slijedi funkcionalna zavisnost koja povezuje brzinu praznog hoda i narinuti napon armature u obliku w0=UA/KE. Odgovarajue mehanike karakteristike se dobijaju translacijom originalne karakteristike (slika 3.3.a) du ordinatne ose. Oito je da pri promjeni znaka armaturnog napona, w0 mijenja znak, odakle slijedi da karakteristike mogu leati u sve etiri kvadranta (slika 3.4).

70

Slika 3.4. Mehanike karakteristike maine jednosmjerne struje pri promjeni napona napajanja UA

Karakteristike na slici 3.4. vrijede unutar pokazanih granica. Izvan ovog podruja oblik karakteristika se formira kao posljedica zahtjeva da budu zadovoljene odreene funkcionalne zavisnosti, koje se svode na ogranienje momenta optereenja pri brzinama veim od nazivne (zbog niza pojava kao to su ograninje snage maine reakcija rotora, iskrenje kolektora i sl.) a koje nisu preporuljive u normalnom radu maine jednosmjerne struje.

3.1.1.2. Karakteristike maine pri promjeni polja

Relacija 3.4. pokazuje da je promjenu mehanikih karakteristika mogue ostvariti promjenom intenziteta polja. Zbog zasienja eljeza znatno poveanje iznad nominalne vrijednosti nije mogue te u obzir dolazi samo slabljenje polja. Pri konstantnoj vrijednosti armaturnog napona lako je za pojedine vrijednosti polja dobiti mehanike karakteristike koje su predstavljene pravcima sa odsjecima na osi ordinata w0(MT=0)=UA/KE i na apscisi MT(w=0)=UAKM/RA. Iz relacije iA=MT/KM je oito da se nagib pravca koji definie promjenu struje pri smanjenju fluksa poveava. Obje krive su date na dijagramima slika 3.5.a i b. Oigledno je da, pri smanjenju fluksa, karakteristike postaju strmije, tj. pri istoj promjeni momenta tereta promjena struje i brzine su vee, to je nepovoljno kod regulisanih maina jer predstavlja smanjenje koeficijenta pojaanja po upravljakom kanalu. Poto se smanjenjem fluksa, uz isti momenat, poveava strujno optereenje motora upravljanje promjenom polja treba primijeniti samo onda kad promjena napona rotora nije mogua.

71

Slika 3.5. Mehanike karakteristike pri promjeni polja (a) i struja rotora pri promjeni polja (b) 1) =N, 2) =N/2, 3) =N/5

Sa dijagrama se vidi da smanjenje polja kod veih obrtnih momenata moe rezultirati smanjenjem brzine. Diferenciranjem izraza 3.4. po fluksu dobija se:

30

2

ME

MATAconstM KK

KUMRddw

T

=

=

(3.5)

odakle slijedi da se, kod konstantnog obrtnog momenta, maksimalna brzina dobije pri vrijednosti polja odreenoj sa:

TAM

A MUKR2*

= (3.6) i ima vrijednost:

TAE

AMconstMMAX MRK

UKwT

14

2

0=

=

(3.7)

Dakle, obvojnica na slici 3.4.a je predstavljena hiperbolom. Relacija (3.5a) moe biti interpretirana na sljedei nain:

AKMA

AMT iKR

UKM == 21

21 (3.8)

iAK = struja kratkog spoja maine, tj. pri datoj vrijednosti polja kriva maksimalne brzine (3.7) i mehanika karakteristika imaju dodirnu taku za vrijednost momenta jednaku polovini poteznog momenta motora.

72

3.1.1.3. Kombinacija promjene napona armature i polja

Provedena razmatranja pokazuju nain na koji promjene napona armature i promjene polja odreuju stacionarna stanja maine jednosmjerne struje. Podruja u kojima se stacionarna stanja mijenjaju promjenom napona armature ili promjenom polja se, u optem sluaju, iskljuuju, izuzev nekih primjena kod viemotornih pogona napajanih iz istog izvora armaturnog napona. U tim je pogonima neophodno, zbog individualnih razlika karakteristika i optereenja motora, mijenjati obje veliine da bi se usaglasila meusobna kretanja motora. Na slici 3.6. su prikazana uobiajena podruja promjene navedenih veliina.

Slika 3.6.Karakteristike maine jednosmjerne struje u podrujima promjene UA i

zavisno od maksimalne vrijednosti struje rotora Dok brzina obrtanja ne dostigne nazivnu vrijednost wN, polje se odrava na konstantnoj - nazivnoj vrijednosti N, a promjena stacionarnih stanja se vri promjenom napona armature. Poveanje brzine iznad nazivne vrijednosti se postie slabljenjem polja. Rijetko se slabljenje polja primjenjuje za postizanje brzina veih od 3wN, iako je, strogo govorei, gornji nivo brzine ogranien mehanikim osobinama maine i komutacionim mogunostima kolektora. Na slici 3.6. radna podruja maine jednosmjerne struje su predstavljena na dijagramu mehanikih karatkeristika. Podruje moguih struja armature (a time i momenata) je ogranieno termikim karakteristikama namotaja rotora i komutacionom sposobnoscu kolektora. U podruju poveanih brzina komutaciona sposobnost definisana tzv. granicom komutacije je obino limitirajui faktor. Razmotrene karakteristike stacionarnih stanja se odnose na mainu jednosmjerne struje sa nezavisnom pobudom. Karakteristike za druge spojeve uzbudnog i armaturnog namotaja se dobijaju uzimanjem u obzir funkcionalnih zavisnosti meu fluksom i armaturnom strujom (ili naponom).

73

3.1.2. Dinamika ponaanja maina jednosmjerne struje Provedena razmatranja stacionarnih stanja maine jednosmjerne struje ukazuju na potrebu analize dinamikih procesa u dva odvojena sluaja: pri konstantnom polju i u podruju slabljenja polja

3.1.2.1. Dinamiko ponaanje maine pri konstantnom polju

Kod konstantne jaine magnetnog polja pobude, jednaine kretanja (3.1.) opisuju linearan sistem koji moe biti predstavljen kao na slici 3.7. Dinamiko ponaanje sistema je opisano jednainama:

AEAAA

A UwKiRdtdiL += 0

wdtd

= (3.9)

AMT iKMBwdtdwJ 0+=

Slika 3.7. Dinamika struktura maine jednosmjerne struje pri konstantnoj vrijednosti

polja Interesantno je razmotriti promjene brzine w i armaturne struje iA pri promjeni armaturnog napona i momenta optereenja, pri emu je UA-upravljako dejstvo a MT-spoljnja smetnja. Primjenjujui Laplaceovu transformaciju na jednaine (3.9), dobijamo:

TEMAA

AA

AEMAA

M

MKKBJsRsLRsL

UKKBJsRsLKw

20

20

0

))((

))((

++++

+++

=

(310)

74

TEMAA

E

AEMAA

A

MKKBJsRsLK

UKKBJsRsLBJsi

20

0

20

))((

))((

+++

++++

=

(3.11)

Ponaanje sistema (3.10) i (3.11) je definisano karakteristinom jednainom:

0)()( 202 =++++ EMAAAA KKBRsJRBLJsL (3.12) Korijene karakteristine jednaine (3.12) je mogue izraziti u obliku:

JLKKBRJLJRBLJRBL

A

EMAAAAAA

2)(4)()( 202

2,1+++

= (3.13)

Vlastita frekvencija i koeficijent priguenja se mogu izraziti kao:

JLKKBR

A

EMA20

210+

== (3.14)

202 +

+=

EMA

AAAKKBR

JLJRBLQ (3.15) Koritenjem izraza (3.13) do (3.15) mogue je analizirati uticaj pojedinih parametara jednosmjerne maine na promjenu dinamikih ponaanja maine. U dosta praktinih sluajeva koeficijent viskoznog trenja B je mali i moe se zanemariti, odnosno ovaj momenat je mogue uvrstiti u sumarni momenat optereenja, ime se gornji izrazi pojednostavljuju. Interesantno je u tom sluaju analizirati uticaj slabljenja jaine magnetnog polja na dinamiko ponaanje maine. Sopstvena frekvencija se pri B=0 dobije kao:

JLKK

A

EM00 = (3.16)

a koeficijent priguenja postaje:

EM

AAKKJLJRQ

02= (3.17)

odakle slijedi da se slabljenjem polja smanjuje vlastita frekvencija sistema i poveava priguenje. Korijeni karakteristine jednaine (3.12) pri B=0 mogu biti izraeni u obliku:

75

)411(2 220

2,1A

EMA

A

AJR

KKLL

R = (3.18)

Koritenjem aproksimacije: 2/11 xx (koja vai za x

76

PRIMJER 3.1. Kao ilustracija gornjih zapaanja modelirana je maina jednosmjerne struje koritenjem digitalnog raunara. Podaci o motoru: PN= 9.1 kW, UN=180 [V], wN=188 [rad/s], KE=0.570, KM=0.4926, RA=0.190 [Ohm], LA=3.5 [mH], J=0.026 [kgm2]. Blok struktura modeliranog sistema data je na slici 3.8.

Slika 3.8. Blok struktura sistema za simulaciju ponaanja maine jednosmjerne struje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

0

200

400

600

800

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-400

-200

0

200

400

Slika 3.9. Vremenski dijagram promjene ugaone brzine() i elektromagnetnog momenta (Me) za razne vrijednosti magnetnog fluksa i pri impulsnoj promjeni napona armature

( = nom; -------- = 0.7 nom; = 0.5 nom)

77

Dijagrami na slikama 3.9 i 3.10 u osnovi potvruju prethodne zakljuke o promjeni dinamikih osobina maine pri slabljenju fluksa i pri promjeni induktivnosti sistema. Treba uoiti veoma velike vrijednosti struje i momenta pri uputanju maine, to je posljedica male indukovane ems koja je proporcionalna ugaonoj brzini rotora.

3.1.2.2. Dinamika ponaanja maine pri promjeni polja

Promjena korijena karakteristine jednaine za razliite vrijednosti polja razmotrena je u relacijama (3.13) do (3.18). Tendencija smanjenja rezonantne frekvencije je jasna iz relacije 3.14., kao i tendencija poveanja priguenja. Simulacija maine iz tabele 3.1. pri konstantnom naponu rotora i promjeni napona statora je koritena za interpretaciju gornjih zakljucaka. Treba odmah napomenuti da nelinearnost magnetne karakteristike materijala statora nije uzimana u obzir zbog toga to su sva razmatranja provedena samo u uslovima slabljenja polja kada zasienje eljeza ne dolazi do izraaja.

-50 0 50 100 150 200 250 3000

100

200

300

400

500

600

700

800

Slika 3.10. Trajektorije kretanja sistema u Me-w ravni pri uslovima kao na slici 3.9. (napomena: na slici je samo prva polovina vremenskog dijagrama) ( = nom; -------- = 0.7 nom; = 0.5 nom)

Ukoliko se, u matematikom modelu (3.1), polje moe kontinualno mijenjati, tj. ako se moe koristiti kao upravljaka koordinata, model koji opisuje ponaanje maine postaje nelinearan i direktno koritenje prenosnih funkcija za analizu dinamikog ponaanja nije

78

mogue. Za dobijanje prenosnih funkcija tada je neophodno prethodno izvriti linearizaciju jednaina kretanja u okolini radne take. Jednaine kretanja (3.1) su nelinearne i rjeenje u eksplicitnom obliku nije mogue. Ukoliko se razmatraju ponaanja sistema u okolini neke stacionarne take mogua je linearizacija jednaina kretanja, definiui promjenljive u 3.1. kao:

UA=UA0+uA1 UP = UP0 + uP1 iA = IA0 + iA1 iP = IP0 + iP1 MT = MT0 + mT1 w = 0 + w1 = 0 + 1

gdje indeks "0" oznaava vrijednosti promjenljivih u stacionarnom stanju, koje zadovoljavaju relaciju:

0000 += EAAA KIRU 00 PPP IRU =

0000 += AMT IKBM (3.26)

Koritenjem ovih jednakosti, jednaine koje opisuju odstupanje od stacionarnog stanja se mogu dobiti u obliku:

101011 )( AEAAAA uwKiRdt

diL ++=

)( 1010111 AAMT iIKmBwdtdwJ ++= (3.27)

111

PPP uiRdtd

+=

Prenosna funkcija koja opisuje inkrementalnu promjenu ugaone brzine w1 pri promjeni fluksa 1 se dobije u obliku:

20

00

0

20

00

1

1))((1

1

++

+

=

EM

AA

AAA

AA

EM

AAA

KKRsLBJssIRE

IL

KKIREw (3.28)

000 AAAA UIRE =

79

Korijeni karakteristine jednaine su jednaki vrijednostima odreenim u odjeljku 3.1.2.1., meutim, pojaanje i nulsa sistema su odreeni vrijednostima koordinata u stacionarnom stanju. U optem sluaju, nije mogue rei za kolike promjene koordinata vrijedi model (3.27) i time prenosna funkcija (3.28). Ta injenica se mora utvrditi za svaki sluaj posebno. Interesantno je primijetiti da uticaj nule sistema zavisi od armaturne struje i njeno djelovanje iezava kod neoptereene maine. Sa druge strane, relacija UA0=EA0-RAIA0 pokazuje da se pri smanjenom naponu vremenska konstanta u brojniku (kod iste struje IA0) poveava.

3.2. DINAMIKA MAINA NAIZMJENINE STRUJE Razmatranja provedena u poglavlju 2. su bazirana na analizi dvofazne maine naizmjenine struje i ograniena na analizu procesa pretvaranja energije. U ovom odjeljku e biti razmotreno ponaanja trofaznih maina naizmjenine struje pri razliitim oblicima napona napajanja. Ogranienje izlaganja na trofazne maine je diktirano praktinim razlozima jer je najvei broj maina naizmjenine struje upravo trofazne izvedbe. Metode izloene u ovom poglavlju mogu biti primijenjene, uz odreena ogranienja, na najvei dio maina koje imaju istaknua ili na statoru ili na rotoru.

3.2.1. Dinamika trofazne asinhrone maine Pri izvoenju jednaina kretanja trofazne asinhrone maine koritena su opteprihvaena zanemarenja vezana sa pojmom " idealizovana maina" koja se sastoje u pretpostavci:

da su namotaji maine na statoru i rotoru simetrini; da je eljezo statora nezasieno i da je vazduni zazor ravnomjeran.

Uvedene pretpostavke omoguavaju analizu ponaanja asinhrone maine koritenjem matematikog modela sa konstantnim parametrima pri cemu ovakav pristup omogucava i uzimanje u obzir gubitaka, zasienja, nesimetrije i drugih neidealnosti idealizovane masine. Materijalna struktura "idealizovane" trofazne asinhrone maine moe biti predstavljena kao na slici 3.11. pri emu su prostorno rasporeeni fazni namotaji predstavljeni koncentrisanim namotajima na statoru i rotoru koji su meusobno pomjereni za ugao 2/3.

80

Slika 3.11. Struktura trofazne asinhrone maine sa simetrino rasporeenim namotajima na statoru i na rotoru.

Jednaine kretanja trofazne asinhrone maine mogu biti dobijene koritenjem jednaina (2.35) do (2.37) pri emu matrice osobina sistema imaju oblik:

=

RS R

RR 00

=

RRRS

SRSS

LLLLL (3.29)

=

SASA

SAS R

RR

000000

R

=

RARA

RAR R

RR

000000

R

TL SASASS LL =

=

134cos3

2cos3

2cos134cos

34cos3

2cos1

TL RARARR LL =

=

134cos3

2cos3

2cos134cos

34cos3

2cos1

(3.30)

81

SRSRASRASR LL TL =

++

++

++

=

cos)34cos()3

4cos(

)32cos(cos)3

4cos(

)34cos()3

2cos(cos

TSRSRA

TSRRS L TLL ==

Matematiki model zapisan sa faznim promjenljivim ima oblik:

=

+

+

R

S

R

S

RRRS

SRSS

R

S

R

S

R

S

RRRS

SRSS wdt

ddtd

uu

ii

LL

LL

ii

RR

i

i

LLLL

0

0

wdtd

= (3.31)

[ ]

=+R

S

RRRS

SRSS

TR

TSwJ

Bdtdw

ii

LL

LLii

21

gdje su:

iS = [iSA iSB iSC]T vektor statorske struje, iR = [iRA iRB iRC]T vektor rotorske struje, uS = [uSA uSB uSC]T vektor statorskog napona, uR = [uRA uRB uRC]T vektor rotorskog napona.

Model (3.31) moe biti koriten za analizu dinamikih ponaanja sistema. Parametri sistema su, kako se vidi iz (3.30), periodiki promjenljive funkcije. Ova situacija je slina onoj koja se pojavila pri analizi dvofazne maine kada su kao koordinate stanja koritene fazne promjenljive. Kod dvofaznih maina problem periodikih koeficijenata je prevazien primjenom trasformacije koordinata. U [1] je pokazano da je i u sluaju viefaznih maina mogue primijeniti transformaciju faznih koordinata u koordinate ekvivalentne dvofazne maine. Pristup koriten u [2], baziran na injenici da maine mogu biti razmatrane kao linearna elektrina kola sa koncentrisanim parametrima u relativnom geometrijskom kretanju. Oba pristupa mogu biti primijenjena na veliki broj tipova maina koje su karakteristine po tome to im je stator ili rotor (ili oba) geometrijski simetrian. Kod trofaznih elektrinih maina sa obrtnim magnetnim poljem, transformacija trofazne u ekvivalentnu dvofaznu mainu moe biti obrazloena i na sljedei nain. Obrtno

82

magnetno polje u rotacionim elektrinim mainama sa jednim mehanikim stepenom slobode je planarno polje i prema tome moe biti opisano sa dvije linearno nezavisne koordinate. Najjednostavnije je obrtno polje opisati u ortogonalnom koordinatnom sistemu. Ako prihvatimo ideju opisa u dvodimenzionalnom prostoru (ravanska predstava polja), neophodno je nai pogodnu transformaciju prostora definisanog faznim promjenljivim A,B,C trofazne maine u novi trodimenzionalni prostor koji ima dvije ortogonalne koordinate. Oznaimo novi prostor sa (,,0) i kao koordinatne vektore izaberemo bazne vektore e i e, dok je koordinata "0" proporcionalna sumi faznih veliina (struja, napona i sl.). Bazni vektor e se podudara sa vektorom faze A statora maine, odnosno sa baznim vektorom faze A rotora za rotorske varijable. Bazni vektor e je ortogonalan na bazni vektor e U tom sluaju matrica transformacije moe biti definisana kao:

=

000 CBA

CBA

CBAT

eeeeeeeee

K

A (3.32)

gdje su eI, eI, eI0 projekcije baznih vektora I-te faze (I=A,B,C) na pravce bazisnih vektora prostora (,,0). Koeficijent K treba da bude izabran tako da linearna transformacija bude invarijantna u odnosu na snagu sistema. Bazisni vektori prostora (A,B,C) mogu biti zapisani kao:

[ ] [ ]/22010 == AAATA eee e [ ] [ ]2/22/32/10 == BBBTB eee e [ ] [ ]2/22/32/10 == CCCTC eee e

te je matricu transformacije mogue zapisati u obliku:

=

2/22/22/22/32/30

2/12/11

32TA (3.33)

Primjenjujui transformaciju (3.33) posebno za statorski a posebno za rotorski podsistem, matrice parametra sistema (3.31) dobijamo u obliku:

RRAAR ======== 1110

tj. transformacija ne mijenja vrijednosti matrice R. To se moe pokazati za bilo koju dijagonalnu matricu. Matrica induktivnosti moe biti zapisana u obliku:

83

=

000000000cossin000sincos0000000cossin000sincos00

23

0

SASRASRA

SASRASRA

SRASRASA

SRASRASA

LLLLLL

LLLLLL

L

Kako se moglo oekivati, matrice parametra sistema sadre periodike koeficijente. To je posljedica izabrane transformacije koja vri transformaciju statorskih i rotorskih faznih promjenljivih u nove koordinatne sisteme (,,0)S i (,,0)R koji su vrsto vezani za stator i rotor respektivno. Pojava nultog reda u matricama osobina pokazuje da zadnji red moe biti izostavljen i tretiran odvojeno poto ne utie u formiranju elektromagnetnog momenta. Matematiki model trofazne asinhrone maine moe biti zapisan u obliku:

000

000

0

uiLiRiL =

++ wdtd (3.34)

wdtd

=

(3.35.a)

00

01

iLi

=TT

JJMwJ

Bdtdw (3.35.b)

Izdvajanjem jednaina po koordinati "0" i uvoenjem sljedeih oznaka:

RS = RSA = RSB = RSC RR = RRA = RRB = RRC (3.36)

SAS LL 23

==== ; RAR LL 23

==== ; SRASR LL 23

==== ,

matematiki model asinhrone maine moe biti napisan u kompaktnoj formi. Jednaine kretanja (3.34), (3.35) i (3.36) u cijelosti se podudaraju sa jednainama dvofazne asinhrone maine (2.35) do (2.37). Primjenom transformacija navedenih u odjeljku 2.5. mogue je jednaine kretanja zapisati tako da elementi matrica parametara budu konstantni. Izbor koordinatnog sistema zavisi od uslova konkretnog zadatka (ema spoja faznih namotaja, potreba izraunavanje odabranih koordinata i sl.). Jednaine kretanja (3.34) mogu biti zapisane u desnom koordinatnom sistemu (u,v) iji ort eu ini sa ortovima eSA i eRA (faza A statora i rotora respektivno) uglove S i R respektivno. Transformacije promjenljivih statora i rotora u izabrani koordinatni sistem su definisane relacijama (3.37.a) i (3.37.b) respektivno.

84

=

SS

SSSUV

cossinsincosT (3.37.a)

=

RR

RRRUV

cossinsincosT (3.37.b)

Navedene transformacije predstavljaju prevoenje faznih namotaja u ekvivalentne dvofazne namotaje, prema formiranju dvodimenzionalnog vektora polja, koji nisu vrsto vezani sa elementima konstrukcije. U praksi je izbor fiktivnih faza i odgovarajuih promjenljivih ogranien sa 3 varijante:

1. S=0 R0. Transformisane promjenljive statora u ovom sluaju se podudaraju sa faznim promjenljivim statora, a fazne promjenljive rotora transformisu se u nepomini koordinatni sistem.

2. R=const. Ova varijanta se u pravilu primjenjuje za analizu stacionarnih reima

rada maine poto ona dozvoljava operisanje sa konstantnim vrijednostima svih promjenljivih u koordinatnom sistemu sa osama, koje rotiraju sinhrono s poljem.

3. Orijentacija po vektoru bilo koje fizike promjenljive. U ovoj varijanti jedna

od koordinatnih osa obino koincidira sa vektorom polja (orijentacija po polju), to omoguava da se pojednostavi sistem jednaina (projekcija polja na ortogonalnu osu jednaka je nuli) i u nekim sluajevima da se ukae na racionalnu proceduru sinteze sistema upravljanja.

Jednaine elektrine ravnotee idealizovane maine uz navedene transformacije imaju izgled:

SUSVKSUSSU uwiRdt

d++=

SVSUKSVSSV uwiRdt

d+=

RURVELKRURRU uwwiRdt

d++=

)( (3.38)

RVRUELKRVRRV uwwiRdt

d+= )(

gdje su USJ, iSJ, SJ,(J=U,V) fazni naponi, struje i fluks u koordinatnom sistemu (u,v); RS, RR-aktivni otpori faznih namotaja wEL-ugaona brzina koordinatnog sistema (,,0)R na rotoru i wK-ugaona brzina koordinatnog sistema (u,v). Fluksevi su u koordinatnom sistemu (u,v); odrejeni rezultirajuim djelovanjem odgovarajuih struja istog koordinatnog sistema prema relacijama:

85

SU = LSiSU + LSRiRU SV = LSiSV + LSRiRV (3.39) RU = LSRiSU + LRiRU RV = LSRiSV + LRiRV

gdje su sa LS, LR, LSR oznacene sopstvene induktivnosti i meuinduktivnosti namotaja. Na taj nain elektromagnetno kolo idealizovane trofazne maine je karakterisano sa pet parametara namotaja (otpori i induktivnosti). Primijetimo da opteprihvaene metode odreivanja parametara elektromagnetnog kola predstavljaju kombinaciju neposrednih mjerenja, npr. aktivnog otpora namotaja, indirektnih ocjena na osnovu standardnih eksperimenata kratkog spoja i praznog hoda te prorauna na osnovu poznate geometrije maine uz koritenje eksperimentalno utvrenih korekcija. Tanije procjene parametra mogu se dobiti koritenjem metoda identifikacije u okvirima prihvaenog matematikog modela, mada je njihova primjena, za sada, nedovoljna. U tom sluaju identifikaciju je mogue vriti u uslovima normalne eksploatacije motora, na osnovu dovoljno jednostavno mjerljivih veliina procesa (npr. struja, napon, ugaone brzine). Ne treba zaboraviti da posmatrani parametri karakteriu ipak samo neke integralne procjene promjenljivih velicina realnog procesa, dakle procjene koje su dobijene pri nemalom broju uvedenih pretpostavki. Procjene vrijednosti parametra na sloen nain zavise od ugaone brzine, veliine magnetnog polja i dinamike njihove promjene, harmonijskog sastava napona napajanja, viih harmonijskih komponenti prostorno rasporeenog polja, temperature, optereenja motora itd. Pri sintezi upravljanja logino je smatrati da su parametri asinhrone maine, poznati priblino, tanije, poznati su samo dijapazoni njihovih promjena. Opis dinamikih procesa u idealizovanoj asinhronoj maini dat relacijama (3.38) i (3.39) treba dopuniti jednainama kretanja rotora datim sa:

M = p(SUiSV-SViSU) = -p(RUiRV-RViRU) (3.40)

wdtd

=

(3.41)

MMBwdtdw

pJ

dtdwJ TEL ++++========

gdje su w=wEL/p-ugaona brzina rotora; J-ukupni moment inercije rotora i optereenja; MT-momenat optereenja, p-broj pari polova. Elektromagnetni moment M moe biti izraunat koritenjem vrijednosti bilo koje etiri nezavisno promjenljive. Kod razmatranja mehanikih kretanja usvojena je pretpostavka da je momenat optereenja MT proizvoljna veliina koja se formira interakcijom vratila motora i optereenja. to se tie promjenljivih nulte komponente njihovo ponaanje odreujemo odgovarajuim naponskim jednainama:

86

000

SSSS uiRdt

d+=

000

RRRR uiRdt

d+=

(3.42)

S0 = LS0iS0 = (LS + 2LSS)iS0 R0 = LR0iR0 = (LR + 2LRR)iR0

Za analizu ponaanja asinhrone maine na bazi matematikog modela (3.38) do (3.42) neophodno je odrediti zakone promjene vektora napona napajanja uS i uR kao spoljnih dejstava, tj. neophodno je definisati spregu namotaja maine i izvora napajanja. Uproena ema veza tri nezavisna izvora u1, u2, u3, za razliite varijante spajanja namotaja maine data je na slici 3.12.

Slika 3.12. Mogui spojevi trofaznih namotaja statora sa izvorima I, II, III. Naponi izvora mogu biti proizvoljne, glatke ili prekidne funkcije vremena. Neka su naponi izvora I,II i III u odnosu na zajedniku taku definisani kao u1(t), u2(t), u3(t) respektivno. Impedanse izvora mogu biti ukljuene u razmatranje sistema ili ukljuivanjem u impedanse maine ili raunanjem ekvivalentnog napona izvora. Namotaji rotora su kratko spojeni, to ne ograniava koritenje izloenog matematikog modela pri URU=URV=0 u svrhu istraivanja motora kao objekta upravljanja. Kako je suma faznih struja pri vezivanju namotaja u zvijezdu bez nultog vodia, ili suma faznih napona pri vezivanju u trougao, jednaka nuli, sve promjenljive nulte komponente su jednake nuli. To svojstvo obje razmatrane eme znai automatsko uklanjanje komponente struje, koja, stvarajui dopunsko optereenje namotaja i izvora, poveava toplotne gubitke, a ne uestvuje ni u formiranju elektromagnetnog momenta. Uzimajui u obzir da su nulte komponente jednake nuli veza, faznih napona statora sa izlaznim naponima izvora data je relacijama:

87

za emu ukljuenu u zvijezdu:

=

3

2

1

211121112

31

uuu

uuu

SC

SB

SA

(3.43)

za emu ukljuenja u trougao:

=

3

2

1

101110011

uuu

uuu

SC

SB

SA

(3.44)

Primjena transformacije (3.33) za spoj u zvijezdu daje napone u sistemu (, , 0):

=

3

2

1

0 000)2/3(2/30

)2/1()2/1(1

32

uuu

uuu

S

S

S

(3.45)

Za spoj u trougao se dobija:

=

3

2

1

0 00012/12/10)2/3(2/3

2uuu

uuu

S

S

S

(3.46)

U cijelosti na isti nain mogu biti dobijeni naponi rotora ukoliko se napajanje vri sa rotorske strane. Kada su jednaine kretanja sistema zapisane u koordinatnom sistemu (u,v,0) neophodno je na (3.45) ili (3.46) primijeniti transformaciju tipa (3.37). Relacije (3.43), (3.44), zajedno sa prethodno usvojenim transformacijama omoguavaju da se odrede promjene svih promjenljivih stanja asinhrone maine uz poznate napone izvora, momenat optereenja i poetne vrijednosti nezavisnih promjenljivih. Prije nego preemo na analizu spoja izvor - maina kao jedinstvenog sistema, korisno je navesti jednaine kretanja u jedinstvenom vidu za razmatrane eme ukljuenja namotaja. Neka su bazni vektori namotaja statora idealizovane maine odabrani razliito za emu ukljuenja u trougao eA', eB', eC' i za emu ukljuenja u zvijezdu eA, eB, eC tako da je 3eA'=eA-eC, 3eB'=eB-eA, 3eC'=eC-eB. Brojne vrijednosti parametra uoptene maine, koja odgovara maini pri ukljuenju njenih namotaja u trougao, tri puta su manje od vrijednosti parametra zamijenjenih faza. U stvari to znai zamjenu trofazne maine iji su namotaji spojeni u trougao, ekvivalentnom, s take gledita potrebnih struja, napona napajanja i snage, trofaznom mainom iji su namotaji spojeni u zvijezdu. Osim toga, pri razmatranju maina sa razliitim brojem pari polova se uvode nove promjenljive:

88

ugaona brzina rotora w=wEL/p, elektromagnetni momenat i momenat optereenja m=M/p, mT=MT/p i parametar J-momenat inercije rotora J=J/p2. U daljim razmatranjima cemo izostaviti djelovanje nulte komponete. Neka su bazni vektori faznih namotaja A,B i C u koordinatnom sistemu (u,v) dati u sljedeoj formi: eAT=[1 0], eBT=[-1/2 3/2], eCT=[-1/2 -3/2]. Kordinatni sistem (u,v) sa datim rasporedom ortova podudara se sa stacionarnim koordinatnim sistemom (,). Imajui sve ono u vidu, matematiki model, koji opisuje ponaanja trofazne asinhrone maine, moe biti napisan u sljedeem obliku:

=

3

2

1

)2/3(2/30)2/1()2/1(1

32

uuu

uu

S

S

(3.47)

=

SS

SSSS

SVSU u

uuu

cossinsincos (3.48)

dtd

dtd S

SS

SSSPiRU ++= (3.49)

)(0 dtdwdt

d SR

RRR

+= PiR

S = LSiS + LSRiR (3.50) R = LSRiS + LRiR m = SPiS;

= 0110P (3.51)

wdtd

=

(3.52)

JM

JmwJ

Bdtdw T

+=

=

SV

SU

SS

SS

S

S

ii

ii

cossinsincos (3.53)

=

S

S

ii

iii

2/32/12/32/1

01

32

3

2

1

(3.54)

Svi vektori su izraeni u obliku xT=[xU xV]. Ove jednaine na prirodan nain iskazuju vezu ulaznih promjenljivih spoja asinhrona maina-izvor napajanja. Transformacija napona izvora u napone statorskih namotaja uoptene maine je odreena sa (3.47). Transformacija u koordinatni sistem (u,v) koji se obrce ugaonom brzinom S je odreena transformacijom (3.48). Dinamika masine je odreena relacijama (3.49), (3.50) i (3.51). Transformacija iz koordinatnog sistema (u,v) u stacionarni koordinatni sistem je data sa (3.53). Konacno transformacija u fazne

89

promjenljive je data sa (3.54). Zapazimo da sve ove transformacije ostavljaju invarijantnom snagu i uvaju uslov njene ravnotee prema zahtjevima izvora, snage na vratilu maine i gubicima. Daljnja analiza se u cijelosti zasniva na dobijenim jednainama. Mogua pojednostavljenja e biti vezana samo za konkretan izbor nezavisnih promjenljivih i njihove nesingularne zamjene, a takoe za racionalan izbor koordinatnog sistema.

3.2.1.1. Stacionarna stanja asinhrone maine

Analiza stacionarnih stanja asinhrone maine omoguava da se procesi elektromehanikog pretvaranja energije u njoj potpunije predstave sa upravljake take gledita. Osnovna vrijednost takve analize je to omoguava odreivanje ciljeva upravljanja i sugerie postupak za dostizanje tih ciljeva. Upravo ovim putem se dolo do osnovnih rezultata teorije frekventnog upravljanja asinhronih motora. Za dobijanje zavisnosti meu koordinatama u stacionarnim stanjima neophodno je razmotriti jednaine (3.47) do (3.54) birajui koordinatni sistem takav da u ustaljenom reimu sve promjenljive imaju konstantne vrijednosti. Kao nezavisne promjenljive povoljno je izabrati komponente struje statora i fluksa rotora. Oznaavanjem ugaone brzine koordinatnog sistema sa wS=dS/dt koja je, u ovom sluaju, jednaka krunoj frekvenciji napona napajanja, a sa s=ws-w apsolutnog klizanja, jednaine stacionarnih stanja mogu biti napisane u obliku:

R

R

RR

R

SSR

RsL

RsL

iL

=

1

1 (3.55)

R

RS

RSRSSS

RS

SRSS

RS

SRSS

RS

RSRSSS

SSR

RRLLLswRRL

RLswL

RLRLswLRR

LLLswRUL

+

+

=

))(1()(

)())(1(2

2

(3.56)

S

R

R

SRS

SSR

RsRLsR

isLm =+

=

)1( 222

22 (3.57)

)(2))(( 222222222222

SSSRRSSRSSSRRSSR

SRSR

LwRRsRRLwswLLLRLUsRLm

++++=

Koristei jednaine veza (3.57) izraz za snagu gubitaka u stacionarnom reimu rada maine PG (uz napomenu da primijenjeni matematiki model uzima u obzir samo gubitke u bakru) mogue je napisati u obliku:

90

RRSSG RRP 22 ii += (3.58)

Usljed ogranienosti struje i maksimalnog izlaznog napona izvora, puno iskoritenje izvora je od posebnog znaaja. Maksimum obrtnog momenta pri stalnoj struji statorskih namotaja postie se pri klizanju:

mLRs

R

RIopt sgn= (3.60)

Mehanika karakteristika neregulisane asinhrone maine, tj.zavisnosti m(s) pri wS=const. i US=const, saglasno sa (3.57) ima oblik:

CBsAsUKssm S

++= 2

2

)( (3.61) gdje su A, B, C, K - veliine koje zavise od frekvencije napona napajanja. Karakteristika ima dva ekstrema, koji odgovaraju motorskom i generatorskom reimu rada, pri klizanju s=suopt definisanom relacijom:

mRLLLLwLLLwLRs

SRSRRS

SRRSSRRUopt sgn)(

)2(1 222222

+

+= (3.62)

Mehanika karakteristika motora pri konstantnoj amplitudi i frekvenciji napona napajanja data je na slici 3.13.

Slika 3.13. Mehanike karakteristike kavezne asinhrone maine Poredei (3.59), (3.60), (3.62), vidimo da je

91

spopt sIopt sUopt (3.63) Na osnovu (3.63) je mogue zakljuiti da se, zavisno od naina napajanja maine, klizanje pri kome se ostvaruje maksimalna vrijednost momenta mijenja. Kako se pri projektovanju elektromotora kao jedan od osnovnih zahtjeva javlja smanjenje mase i gabarita, to ograniava akumulaciju elektromagnetne energije unutar maine, to diktiranu vezu (dobijenu navedenim relacijama) meu promjenljivim moemo realizovati samo u donjem dijapazonu promjena obrtnog momenta. Pri velikim vrijednostima momenta javljaju se efekti zasienosti magnetnog materijala, koji odreuju razumnu gornju granicu veliine fluksa.

3.2.1.2. Dinamika stanja asinhrone maine

Matematiki model (3.47) do (3.54) je nelinearan i proraunavanje prelaznih procesa je mogue samo koritenjem raunara. Izbor koordinatnog sistema u kome e biti zapisane jednaine kretanja zavisi od cilja analize i raspoloive opreme. U koordinatnom sistemu (,,0)S sve varijable su sinusoidalne i u tom sluaju, pored razmatranja problema minimalne vremenske konstante, neophodno je pri izboru koraka raunanja voditi rauna o valjanosti aproksimacije sinusoidnih veliina. Taj problem, pri modeliranju sistema u koordinatnom sistemu (d,q,0) vezanom za rotorski fluks otpada poto se u tom koordinatnom sistemu (i u bilo kom sistemu koji se obre sinhrono sa poljem!) sve varijable u stacionarnim stanjima pojavljuju kao konstantne vrijednosti. Meutim, tada transformacija (3.48) ima periodike koeficijente. Kako e biti pokazano, za analizu problema upravljanja veoma je povoljan upravo (d,q,0) koordinatni sistem.

Slika 3.14. Struktura sistema asinhrona maina idealni izvor napajanja Radi ilustracije problema modeliranja blok struktura sistema opisanog jednainama kretanja (3.47) do (3.54) je predstavljena na slici 3.14. U blokovima su upisane relacije koje opisuju njihovo ponaanje.

92

Oigledno je da transformisani napon napajanja sadri periodike komponente, izuzev u sluaju transformacije u koordinatni sistem koji se obre sinhrono sa ulaznim naponom kada, zbog ortogonalnosti harmonijskih funkcija, komponente USU, USV imaju konstantne vrijednosti. Koristei relaciju (3.50) kao polaznu, mogue je iz modela (3.49) eliminisati struje ili flukseve i dobiti jednorodan sistem jednaina etiri promjenljive. U tom sluaju kao koeficijenti u jednainama kretanja pojavljuju kombinacije parametara maine. To ukazuje na potrebu paljivog izbora koordinata ukoliko se eli analizirati uticaj promjene parametra sistema na dinamika ponaanja maine. Sa tog stanovita ini se da je model (3.49) veoma pogodan jer se svi parametri pojavljuju odvojeno i njihova promjena (linearna ili nelinearna, ili u funkcije neke od koordinata sistema) je dosta jednostavna. PRIMJER : Odreivanje parametara maine na bazi pokusa kratkog spoja i praznog hoda. Koeficijenti jednaina kretanja (3.47)-(3.54) su definisani kao induktivnosti i otpori. U ininjerskoj praksi se najese koriste omski i induktivni otpori kao parametri zamjenske eme i mjerenja tih parametara su mogua na bazi pokusa praznog hoda i kratkog spoja maine. Ne ulazei u problem dobijanja parametara, nie je navedena veza parametra u modelu (3.47) do (3.54) sa parametrima (R1,R2,X1,XM) uobiajene zamjenske eme simetrine trofazne asinhrone maine:

RS = R1, RR = R2

N

MS f

xxL2

1 += ,

N

MR f

xxL2

2 += ,

N

MSR f

xL2=

(3.64)

Sistem jednaina kretanja (3.54) do (3.61) je napisan u fizikom sistemu jedinica. U praksi je meutim uobiajeno model maine zapisati u svedenom sistemu jedinica. Izbor sistema baznih veliina je, u optem sluaju proizvoljan. U praksi se najese primjenjuje sistem koji ne dovodi do promjene vida jednaina i znaenja pojedinih lanova. Pri ovakvom pristupu definiu se bazne veliine za napon napajanja, struju faznih namotaja, ugaonu brzinu i vrijeme a bazne veliine za ostale promjenljive i parametre se izraunaju (tabela 3.2). Tabela 3.2. Izbor baznih veliina Fazni napon Ub= UN amplituda faznog napona Fazne struje Ib=IN amplituda nominalne struje Ugaona brzina wb=wN sinhrona brzina Vrijeme tb=1/wb Impedansa Zb=Ub/Ib Induktivnost Lb=Zb/wb Fluks b=Ub/wb=ZbIb/wb Snaga Sb=3/2 UbIb

93

Primjenom gore navedenih baznih veliina matematiki model u stacionarnom koordinatnom sistemu (, ) moe biti zapisan u obliku:

SSSS uiRdt

d+=

SSSS uiRdt

d+=

wiRdtd

RRRR

= (3.65)

wiRdtd

RRRR

+=

S = xSiS + xSRiR R = xSRiS + xRiR (3.66)

)()()( STRR

SRR

TS

RS

SRR

TRSRR

TRS

TS x

xxx

xxm PiPPiiPiPi =====

(3.67)

wdtd

=

JM

JmwJ

Bdtdw T

+= ,

= 0110P (3. 68)

gdje su svi vektori izraeni u obliku yT=[y y]. Kao parametri sistema uvedeni su svedeni induktivni otpori umjesto induktivnosti, pri emu su induktivni otpori raunati kod bazne frekvencije. U daljem tekstu e biti uvijek napomenuto da li se radi sa svedenim ili originalnim promjenljivim i parametrima. Istraivanje procesa u mainama koje imaju nesimetrine fazne parametre moe biti obavljeno na gornjim relacijama, ako je neravnomjernost mogue svesti na razliite vrijednosti parametra u fazama ( i ) na statoru (ili rotoru) ekvivalentne dvofazne maine, ili na polaznim relacijama u kojima su kao koordinate koritene fazne promjenljive. Radi ilustracije dinamikih procesa u asinhronoj maini na slici 3.15 su prikazani prelazni procesi pri upustanju, nagloj promjeni momenta tereta. Na slici 3.16 pokazani su prelazni procesi uputanja maine pri razliitim vrijednostima momenta inercije.

94

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

elektromagnetni momenat

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

statorska struja

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-500

0

500

ugaona brzina

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2rotorski fluks

Slika 3.15. Promjena elektromagnetnog momenta, modula statorske struje, ugaone brzine i modula rotorskog fluksa pri uputanju i optereivanju asinhrone maine

Sva modeliranja su obavljena za asinhroni motor iji su podaci: Nesvedena vrijednost Svedena vrijednost Snaga 4 kW UN 380 V IN 8 A Ugaona brzina 188 rad/sec RS 4.08 0.04959 RR 3.963 0.04817 XSR 0.81658 H 3.11656 XS 0.01075 H 3.1576 XR 0.01075 H 3.1576 J 9.4765 10-3 kgm2 57,4 Na slici 3.15 pokazani su procesi pri uputanju nenamagneene maine za promjenu tereta sa MT=0.5MTN na MT=MTN i pri nominalnoj vrijednosti momenta inercije. Uoljiva je velika vrijednost struje pri malim brzinama, slino rezultatima dobijenim za mainu jednosmjerne struje. Pored toga se vidi veoma sporo formiranje fluksa rotora maine, to je odreeno vrijednostima rotorskih parametara. Interesantno je uoiti da, u poreenju sa oblikom momenta pokazanog na slici 3.13., dinamiki momenat maine ima oscilatoran karakter.

95

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-20

0

20

40

elektromagnetni momenat pri 5Jn

elektromagnetni momenat pri 2Jn

elektromagnetni momenat pri Jn

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

0

200

4000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-200

0

200

4000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-200

0

200

400

ugaona brz ina pri Jn

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

0

200

400

ugaona brz ina pri 2Jn

ugaona brz ina pri 5Jn

Slika 3.16. Promjena elektromagnetnog momenta i ugaone brzine pri uputanju i optereivanju asinhrone maine a pri razliitim momentima inercije

96

3.2.2. Dinamika trofazne sinhrone maine U prvom poglavlju je pokazano da se sinhrone maine sastoje od dva magnetna podsistema (jedan na statoru i drugi na rotoru) koja su u meusobnom kretanju, pri emu konstrukcija rotora moe biti simetrina u odnosu na bilo koju osu (cilindrini rotor) ili simetrina u odnosu na samo neke ose (rotor sa istaknutim polovima) [4,5]. U najveem broju sluajeva statorska struktura se sastoji od trofaznog simetrinog namotaja koji za izabrani broj pari polova maine (p) ima 3p faznih namotaja meusobno pomjerenih za geometrijski ugao 2/3p. Na slici 3.17. je pokazan raspored namotaja dvopolne (p=1) i etveropolne (p=2) maine.

Slika 3.17. Raspored namotaja kod dvopolne (a) i etveropolne (b) sinhrone maine

Polazei od, kod asinhronih maina, usvojenih pretpostavki da su:

statorski namotaji sinusoidalno rasporeeni du zranog raspora; zanemarljivi gubici usljed histereze i vrtlonih struja; magnetne strukture na statoru i rotoru linearne; sopstvene induktivnosti rotora nezavisne od ugla rotacije,

za sinhroni motor sa jednim parom polova koji ima kompenzacione namotaje na rotoru matrice osobina je mogue napisati u sljedeem obliku:

=

RRRS

SRSS

LLLLL i

=

RR

SS

RR0

0R gdje je pojedine lanove mogue, analizom fizikalne strukture (slika 3.17) napisati u obliku:

97

=

SC

SB

SA

SS

RR

R

000000

R ;

=

R

R

Rp

RR

RR

R

000000

R (3.69)

gdje su: RSI(I=A,B,C) otpori faznih namotaja A,B,C na statoru RRI(I=p,,) otpori pobudnog (1) i prigunih namotaja i rasporeenih du osa simetrije rotora orijentisanih tako da se osa namotaja podudara sa osom pobudnog namotaja a osa je ortogonalna na nju. Matrica sopstvenih induktivnosti statora ima oblik:

=

SCCSCBSCA

SBCSBBSBA

SACSABSAA

SS

LLLLLLLLL

L (3.70)

Matrica sopstvenih induktivnosti rotora ima oblik

=

R

RpR

RpRpp

RR

LLLLL

0000

L (3.71)

gdje su sa LSJI (J,I=(A,B,C)) oznaene sopstvene induktivnosti (J=I) i meuinduktivnosti namotaja statora, a sa LRJI (J,I=(p,,)) oznaene sopstvene induktivnosti i meuinduktivnosti namotaja na rotoru. Zbog ortogonalnosti magnetnih osa meuinduktivnost prigunog namotaja sa bilo kojim od namotaja du ose (priguni i pobudni) je jednaka nuli. Matrica meuinduktivnosti LSR se moe zapisati u obliku:

==

SCRSCRSCRp

SBRSBRSBRp

SARSARSARpTRSSR

LLLLLLLLL

LL (3.72)

Uvrtavanjem matrica osobina u jednaine kretanja elektromehanikog sistema (2.35), (2.37) dobiju se jednaine kretanja sinhrone maine. Za bilo kakvu analizu sistema neophodno je odrediti vrijednosti elemenata matrica parametra sistema. Elementi matrice otpornosti su direktno mjerljivi (ili izraunljivi na bazi izmjerenih otpornosti pojedinih namotaja), tako da preostaje problem odreivanja vrijednosti induktivnosti u sistemu. Razmotrimo, kao primjer, sinhronu mainu sa istaknutim polovima (slika 3.18). Sopstvena induktivnost bilo koje faze statora se mora mijenjati periodiki, zavisno od ugla zakretanja rotora od maksimalne vrijednosti (kada su osa rotora i magnetna osa

98

odgovarajueg statorskog namotaja kolinearne) do minimalne vrijednosti, kada su odgovarajue ose ortogonalne. Zbog simetrije rotora induktivnost ima period 2 elektrinih radijana i moe biti razvijena u red koji sadri samo parne harmonike.

Slika 3.18. Sinhrona maina sa istaknutim polovima

Poto je pretpostavljena sinusoidalna raspodjela faznih namotaja, to fazne struje proizvode prostorni talas magnetomotorne sile koji, kad se razmatra interakcija sa rotorom, moe biti aproksimiran samo prvim harmonikom. Iz geometrije rotora maine oigledno je da su permeanse du osa , (P'R) i , (P'R) rotora razliite. Fluksevi generisani strujom iSA u namotaju A statora u pravcima osa rotora mogu biti napisani u obliku:

SAR = K'P'R iSA cos SAR = K'P'RiSAcos(+/2) = -K'P'RiSAsin (3.73)

Mogue je slino napisati za flukseve proizvedene strujama faza B i C statora:

SBR = K1'P'R iSBcos( - 2/3) SBR = -K1'P'R iSB sin( - 2/3) (3.74) SCR = K1'P'R iSC cos( + 2/3) SCR = -K1'P'R iSC sin( + 2/3)

Fluksevi obuhvaeni namotajima A,B,C statora lako mogu biti izraunati u funkciji flukseva du osa i rotora koritenjem oiglednih geometrijskih transformacija. U matrinom obliku, transformaciju iz koordinatnog sistema (,)R u (A,B,C)S koordinatni sistem je mogue predstaviti matricom:

99

++

=

)32sin()3

2cos(

)32sin()3

2cos(sincos

'

A (3.75)

Transformacija (3.75) jednostavno moe biti objanjena kao projektovanje vektora xRT=[xR xR] du osa A,B,C. Ulanene flukseve faza A,B,C statora moemo napisati u obliku

=

SC

SB

SA

SC

SB

SA

iii

PA' (3.76)

gdje je matrica P na osnovu (3.74) definisana u obliku:

+

+=

)32sin()3

2sin(sin)3

2cos()32cos(cos

RRR

RRR

PPPPPP

P

gdje je: PR=K'P'R, PR=K'P'R. Nakon odgovarajuih uproavanja, relacija (3.76) moe biti napisana u obliku:

+

+

+

+

=

SC

SB

SA

SC

SB

SA

iii

LL )

)322cos()2cos()3

22cos(

)2cos()322cos()3

22cos(

)322cos()3

22cos()2cos(

211121112

2( 10

(3.77)

gdje je:

L0 = K'(P'R + P'R)/2 L1 = K'(P'R - P'R)/2 (3.78)

Iz (3.78) slijedi da je L1=0 ako su P'R=P'R, tj. ako je maina izvedena sa simetrinim cilindrinim rotorom. Iz (3.77) je oigledno da matrica induktivnosti statora zavisi od ugla zakretanja rotora i moe biti napisana u obliku:

100

++++

++++

++++

=

)322cos()2cos(2)3

22cos(2

)2cos(2)322cos()3

22cos(2

)322cos(2)3

22cos(2)2cos(

1010

10

10

1010

10

10

10

LLLLLLLLLLLLLLLLLL

SSL

(3.79)

Sopstvene induktivnosti svih namotaja rotora su nezavisne od poloaja rotora i imaju konstantne vrijednosti. To isto vai i za meuinduktivnosti rotorskih namotaja, pri emu treba voditi rauna o injenici da ortogonalni namotaji nisu meusobno magnetno spregnuti. Meuinduktivnosti statorskih i rotorskih namotaja se lako odreuju uzimanjem u obzir da postoji samo fundamentalna komponenta fluksa koja je obuhvaena statorskim namotajima. Oigledno je da meusobna induktivnost statorskih i rotorskih namotaja varira harmonijski sa uglom zakretanja rotora i ima maksimum kad su ose namotaja na koje se odnosi kolinearne. Prema tome je:

LSARp = LAp cosA LSBRp = LAp cos(A - 2/3) LSCRp = LAp cos(A + 2/3) LSAR = LA cosA (3.80) LSBR = LA cos(A - 2/3) LSCR = LA cos(A + 2/3) LSAR = LA cos(A + /2) = -LA sinA LSBR = -LA sin(A - 2/3) LSCR = -LA sin(A + 2/3)

Pri emu oigledno ne predstavlja problem napisati matrice LSR i LRS koritenjem izraza (3.80). Uvrtavanjem svih izraza za parametre sistema mogue je napisati matematiki model sinhrone maine u razvijenoj formi. Sistem zapisan u ovoj formi e imati periodike koeficijente. Prvo oigledno pojednostavljenje sistema je mogue izvesti transformacijom statorskih promjenljivih (A,B,C) u nove promjenljive (,,0)S na statoru kako je to uraeno u sluaju asinhrone maine. Koritenjem matrice transformacije definisane izrazom (3.33) za transformaciju samo statorskog podsistema i ostavljajui rotorski podsistem u obliku u kome je napisan matematiki model sinhrone maine sa promjenljivim stanjem koje predstavljaju (,,0)S komponente na statoru i (p,,)R komponente na rotoru, mogue je napisati u obliku:

[ ] ''''' uiRiL =+dtd

wdtd

=

(3.81)

101

TMMBwdtdwJ +=

gdje su matrice L' i R' izraene kao u (2.61) a vektori i' i u' su izraeni kao:

i' = [iS iS iS0 iRP iR iR]T (3.82) u' = [uS uS uR0 uRP uR uR]T

Primjenjujui navedene relacije, matrice osobina sistema mogu biti napisane u obliku: - matrice otpornosti statorskog i rotorskog podsistema R' = R ; - matrice induktivnosti imaju oblik:

+

=

0000)2cos()2sin(0)2sin()2cos(

23' 101

110

LLLLLL

SSL (3.83)

=

000cossinsinsincoscos

23'

AAAP

AAAP

SR LLLLLL

L (3.84)

L'RS = L'SRT na osnovu ega je matricu induktivnosti mogue napisati u obliku:

[ ] [ ][ ] [ ]

= )81.3()84.3()84.3()83.3('L (3.85)

(Radi saetijeg pisanja u zagrade su uneseni brojevi formula koje definiu pojedine submatrice.) Elektromagnetni momenat koji razvija sistem moe biti napisan u obliku M=(1/2)i'T[L/]'i', pri emu je matricu [L/]' mogue napisati kao:

=

0'

''

'

RS

SRSS

L

LLL (3.86)

gdje su:

102

=

0000)2sin()2cos(0)2cos()2sin(

3 1'

LSSL (3.87)

=

000sincoscoscossinsin

23'

AAAP

AAAPSR LLL

LLLL (3.88)

TSRRS

''

=

LL (3.89)

Konano je matricu [L/]' mogue napisati:

[ ] [ ][ ] [ ]

=

0L

)89.3()88.3()87.3('

(3.90)

(Radi saetijeg pisanja u zagrade su uneseni brojevi formula koje definiu pojedine submatrice.) Koeficijenti sistema (3.81) imaju harmonijski karakter i matematiki model u ovom obliku nije pogodan za analize ponaanja sistema. Red sistema jednaina je za jedan nizi od reda polaznog, zato to se jednaine za nultu komponentu mogu odbaciti. Za dobivanje matematikog opisa u obliku sistema jednaina sa konstantnim koeficijentima, neophodno je sistem jednaina koji opisuje statorski podsistem transformisati u rotorski koordinatni sistem. Matrica transformacije sistema jednaina (3.81) moe biti napisana u obliku:

[ ]

[ ] [ ]

=

3333

330 000cossin0sincos

XX

XT

E0

0A

(3.91)

gdje su [0]3x3 i [E]3x3 matrice sa nultim koeficijentima i jedinina 3x3 matrica, respektivno. Uobiajeno je koordinatni sistem vezan za rotor oznaiti kao (p,d,q). Promjenljive prigunih namotaja je uobiajeno oznaiti indeksima D za namotaj i Q za namotaj. Imajui u vidu uvoenje novih indeksa i primjenjujui gornju transformaciju te odbacivi nulte komponente, jednaine (3.81), (3.85) mogu biti napisane u obliku:

103

uRi +=dtd

Li= wdt

d=

)(1 TMmBwJdtdw

+= (3.92)

)(23

SdSqSqSd iim =

gdje su:

T = [Sd Sq Sp RD RQ] iT = [iSd iSq iRp iRD iRQ] uT = [uSd uSq uRp 0 0]

=

RQ

RD

Rp

SA

SA

RR

RR

R

00000000000000000000

R (3.93)

=

QQqQ

DDpDdD

pDpdp

qQq

dDdpd

LLLLLLLL

LLLLL

0000000

00000

L (3.94)

U gornjem izrazu su koritene oznake:

Ld = (3/2)(L0+L1), Lq = (3/2)(L0-L1)

Apdp L23L = , ADdD L2

3L = , AQqQ L23L =

Dobijeni matematiki model je predstavljen sistemom nelinearnih diferencijalnih jednaina sedmog reda, sa tri ulazna dejstva. Radi kompletnosti matematikog modela neophodno je navesti relaciju koja povezuje originalne fazne napone motora i

104

komponente napona koje se pojavljuju u matematikom modelu. Ta matrica transformacije ima oblik:

=

Rp

SC

SB

SA

Sp

Sq

Sd

uuuu

uuu

100002

3230

021

211

1000cossin0sincos

32

(3.95)

Na taj nain, izrazi (3.87) do (3.95) predstavljaju opis sinhrone maine. Neophodno je napomenuti da ovaj matematiki model moe biti koriten kako za mainu sa istaknutim polovima tako i za mainu sa cilindrinim rotorom. Izmjena koja se pojavljuje kod masine sa cilindricnim rotorom reflektuje se u jednakim vrijednostima permeansi du i osa rotora. Maina sa permanentim magnetom na rotoru, kao izvorom rotorskog polja, moe biti modelirana koritenjem navedenog sistema jednaina, uz ogranienje da je magnetomotorne sile koja formira fluks LPiP neophodno zamijeniti fluksom R koji je rezultat djelovanja permanentnih magneta na rotoru uvrstiti vrijednost iP=0 za struju pobudnog namotaja na rotoru uzeti u obzir vrijednosti induktivnosti Ldp=0, LpD=0.

3.3. MATEMATSKI MODEL GENERALISANE MAINE Naprijed su provedena razmatranja pojedinih tipova elektrinih maina. U ovom odjeljku bie razmatrana procedura jedinstvenog tretmana obrtnih elektrinih maina koritenjem koncepta tzv. generalisane elektrine maine. Generalisana maina ima namotaje i na statoru i na rotoru koji se u optem sluaju napajaju iz nezavisnih izvora. U osnovi teorije generalisane elektrine maine stoji zamjena m-fazne viepolne maine sa dvofaznom dvopolnom mainom sa ortogonalnim namotajima na statoru i rotoru. Opravdanje uvoenja ovakve maine sadrano je u sljedeem: broj pari polova vei od jedan mijenja odnos frekvencije struja i ugaone brzine,

odnosno kao faktor ulazi u izraz za elektromagnetni momenat to ne unosi nikakve sutinske izmjene u jednainama maina;

uvijek se mogu izabrati ortogonalni namotaji tako da prave jednak elektromagnetni momenat kao i namotaji sa sloenom geometrijom;

pomou dva ortogonalna namotaja mogu se generisati osnovni vidovi elektromagnetnog polja koji se primjenjuju u elektrinim mainama. Sa ovakvim namotajima se mogu realizirati: stacionarno, pulsirajue i obrtno polje.

Popreni presjek takve elektrine maine dat je na slici 3.19. Distribuirani statorski i rotorski namotaji su zamijenjeni odgovarajuim namotajima u centru svitka. Namotaji na statoru i na rotoru se napajaju iz nezavisnih naponskih izvora.

105

a

u

bv

1

1

1 12

2

2

2

Slika 3.19. Popreni presjek generalisane maine

Uzimajui u obzir da se elektrine i magnetne veliine posmatraju u ravni poprenog presjeka maine pogodno je sve veliine predstaviti kao dvodimenzionalne vektore: u obliku dvije ortogonalne komponente ili preko modula i odgovarajueg ugla. Na taj nain su vektori statorske i rotorske struje: [ ] )( SSTSbSaSab iit ii == [ ] )( RRTRvRuRuv iit ii == Slino je i sa ostalim varijablama (naponi i fluksevi). Magnetomotorne sile statorskih i rotorskih namotaja date su izrazima: ))2/cos()cos((),( 21 += SSSS iiNtMM ))2/cos()cos((),( 21 += RRRR iiNtMM (3.96) Kao posljedica dejstva ove dvije magnetomotorne sile javlja se rezultantno elektromagnetno polje u maini, gdje se za odgovarajue statorske i rotorske namotaje mogu napisati jednaine:

dtdr

dtdr

RuvRuvRRuv

SabSabSSab

iu

iu

+=

+= (3.97)

106

Da bi se mogla vriti analiza maine potrebno je sve jednaine svesti na isti koordinatni sistem. Zbog toga je potrebno izvriti jednu od narednih transformacija:

a. transformisati rotorske veliine u statorski koordinatni sistem a, b, pa analizu vriti u a, b sistemu;

b. transformisati statorske i rotorske veliine u sinhroni koordinatni sistem d,q i kompletnu analizu vriti u d,q sistemu. Pri tome veina autora osu d postavlja u fazi sa vektorom rotorskog fluksa.

Ako se koristi transformacija a. vrijede sljedee relacije: RabRuvt iiR =))( ( RabRuvt uuR =))( ( (3.97) RabRuvt R =))( ( Pri tome je R((t)) matrica rotacije vektora za ugao (t):

= )cos( )sin(

)sin( )cos()( R (3.98)

Izvod fluksa u transformisanom koordinatnom sistemu je: ))(( 1 Ruvuv dt

ddt

d R = , odnosno

dtd

dtd

dd

dtd Rab

Rabuv RR )())(( 1

1

+= (3.99) Za operator rotacije R() se jednostavno izvedu sljedee relacije: )()(1 = RR (3.100) )()()( += RRR (3.101) )2(

))(()(1

=

RRR dd (3.102)

Koristei ove relacije dobiju se jednaine generalisane maine u a, b koordinatnom sistemu:

RabRabRabR

Rab

SabSabSSab

wrdtd

rdtd

uRiui

+=

+=

)2(

(3.103)

Slino se izvode jednaine generalisane maine u sinhronom koordinatnom sistemu:

107

RdqRdqRRdqR

Rdq

SdqSdqSdqSSdq

wwrdtd

wrdtd

uRiuRi

+=

+=

)2()(

)2(

(3.104)

RR wwdtd

dtdwdt

dwdtd

==== )(,, Pri tome su izrazi za obuhvatne flukseve:

SdqRdqRRdq

RdqSdqSSdq

MLML

iiii

+=

+= (3.105)

Elektromagnetni momenat maine jednak je vektorskom proizvodu fluksa i struje. Pravac vektora elektromagnetnog momenta je usmjeren du oboda rotora maine, a intenzitet je dat sljedeim izrazom: STSRTReT iRiR )2/()2/( == (3.106) Izbor varijabli stanja zavisi od svrhe analize sistema i kasnije sinteze sistema upravljanja. Kao varijable stanja standardno se odabiraju statorska struja i rotorski fluks. U tom sluaju su jednaine maine u sinhronom koordinatnom sistemu sa osom d vezanom za vektor rotorskog fluksa:

RdRS

SdRS

R

RR

R

RSSqSd

RS

R

RS

RS

Sd

uMLLMuMLL

LLr

MLLMwiiL

Mrr

MLLLrdt

di

22

22

2

2 )1(

+

+++

= (3.107)

RqRS

SqRS

R

RRS

SdSqRS

R

RS

RS

Sq

uMLLMuMLL

L

wMLLMwiiL

Mrr

MLLLrdt

di

22

22

2

2 )1(

+

+

++

= (3.108)

RdSdR

RRR

RR uiLMrL

rdt

d++= (3.109)

R

Rq

R

Sq

RRR

uiLMrww ++= (3.110)

Elektromagnetni momenat, koji djeluje na rotor maine moe se izraunati prema jednaini (3.106), tako da se dobije:

108

SqR

RiL

MT = (3.111) Pod dejstvom elektromagnetnog i ostalih vanjskih momenata optereenja Tl vri se mehaniko kretanje: leR TTdt

Jwd=

)( (3.112)

Rwdtd

= (3.113)

Ovdje je ugao izmeu osa statora i rotora. Generalisana maina je opisana u d,q koordinatnom sistemu sa pet diferencijalnih jednaina: (3.107), (3.108), (3.109), (3.112) i (3.113). Prve tri jednaine opisuju elektromagnetni dio gdje su naponi uS i uR ulazi, a struje (ili fluksevi ili elektromagnetni momenat) kao izlazi. Pri tome se kontraelektromotorna sila javlja kao smetnja. Sljedee dvije jednaine opisuju mehaniki dio sistema gdje je ulaz elektromagnetni momenat (ili struje ili fluksevi) a izlazi ugaona brzina obrtanja i pozicija rotora. Pri tome se suma momenata optereenja javlja kao smetnja.U zavisnosti od izvedbe i napajanja rotorskog dijela dobijaju se razne vrste maina. Konstruktivno rotor maine moe biti napravljen od eljeza ili od permanetnog magneta, a namotaji rotora mogu da se napajaju iz izvora naizmjenine ili istosmjerne struje. Osim toga se rotorski namotaji mogu kratko spojiti (uR=0). Dalje su navedeni razni tipovi maina izvedeni iz generalisane maine:

1. sa iR = konst. = IF= /LR - sinhrona maina sa permanentnim magnetom na rotoru iji je fluks . Pri tome je uvedena ekvivalentna struja pobude IF. Ekvivalentan je sluaj kada je kod sinhrone maine na rotoru elektromagnet sa konstantnom strujom napajanja IF. 2. sa uR = 0, - asinhrona maina sa kratkospojenim rotorom ili asinhrona maina sa namotanim rotorom i dodatnim otporima u rotorskom krugu. 3. sa uR = [UF, 0]T- sinhrona maina sa elektromagnetom i prigunim namotajem na rotoru. 4. Kada ima i napajanje rotorskog kruga tada imamo sluaj dvostrano napajane maine.

3. ANALIZA STACIONARNIH I DINAMICKIH STANJA ELEKTRICNIH MAINA