1.3.Gia Tri Lon Nhat - Nho Nhat Cua Ham So

Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Bài toán chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số

Bước 1: Dự đoán và chứng minh

Bước 2: Chỉ ra 1 điều kiện đủ để

2. Các phương pháp thường sử dụng

Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương

Phương pháp 2: Tam thức bậc hai.

Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacôpski

Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm.

Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác.

Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp véctơ và hệ tọa độ

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ.

II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x, y) = x2 + 11y2 6xy + 8x 28y + 21

Giải. Biến đổi biểu thức dưới dạng P(x, y) = (x 3y + 4)2 + 2(y 1)2 + 3 3

Từ đó suy ra MinP(x, y) = 3

Bài 2. Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S =

Giải.

S

S .

Với x = y > 0 thì MinS = 2

1

Chương I. Hàm số – Trần Phương

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Giải . =

S

S .

Với , (k) thì

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải.

Với , thì

Bài 5. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S = 19x2+ 54y2 +16z2 16xz 24y +36xy

Giải. Biến đổi S f(x) = 19x2 2(8z 18y)x + 54y2 +16z2 24y

Ta có x = g(y) = (8z 18y)2 (54y2 +16z2 24y) = 702y2 +168zy 240z2

y = (84z)2 702.240z2 = 161424z2 0 zR g(y) 0 y, zR

Suy ra x 0 y, zR f(x) 0. Với thì

Bài 6. Cho x2 + xy + y2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

S = x2 xy + y2

Giải Xét y = 0 x2 = 3 S = 3 là 1 giá trị của hàm số.

Xét y 0, khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây

với

u(t2 + t + 1) = t2 t + 1 (u 1)t2 + (u + 1)t + (u 1) = 0 (*)

2


+ Nếu u = 1, thì t = 0 x = 0, y = u = 1 là 1 giá trị của hàm số

+ Nếu u 1, thì u thuộc tập giá trị hàm số phương trình (*) có nghiệm t

= (3u 1)(3 u) 0 .

Vậy tập giá trị của u là ; Max u = 3

Min S = 1 t = 1

Max S = 9 Maxu = 3 t = 1

Bài 7. Cho x,yR thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức S=

Giải. Biến đổi

Do 4x2 0 nên

Với x = 0, y = , thì .

Với x = 0, y = , thì

Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải. Gọi y0 là 1 giá trị của hàm f(x)

tồn tại x0 sao cho y0 =

g(x0) = . Ta có g(x) = 0 có nghiệm x0

= =

Do y0 = nên

3


0 2y0 1 0 . Với x = thì Minf(x) =

Bài 9. Cho Tìm các giá trị của m sao cho

Giải. Ta có

Gọi (P) là đồ thị của y = f(x) (P) = (P1) (P2) khi đó (P) có 1 trong các

hình dạng đồ thị sau đây

Hoành độ của các điểm đặc biệt trong đồ thị (P):

Hoành độ giao điểm (P1), (P2) xA = 1; xB = 4 ; Hoành độ đỉnh (P1): .

Nhìn vào đồ thị ta xét các khả năng sau:

Nếu xC [xA, xB] m[ 3, 3] thì Minf(x) = Minf(1), f(4).

Khi đó Minf(x) > 1 1 < m 3 (1)

Nếu xC [xA, xB] m[ 3, 3] thì Minf(x) = =

Khi đó Minf(x) > 1 (2)

Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra Minf(x) > 1

Bài 10. (Đề thi TSĐH 2005 khối A)

4

A

BC

P2

P1A

BC

P2

P1

A

BC

P1

P2


Cho ; . Tìm Min của S

Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a, b, c, d > 0 ta có:

Bài 11. (Đề thi TSĐH 2007 khối B)

Cho . Tìm Min của S

Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số ta có

S

Bài 12. Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của S =

Giải:

Mặt khác, S = = =

Suy ra 2S MinS = .

Bài 13. Cho x, y, z > 0. Tìm Max của: S =

Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi và BunhiaCôpski ta có 3 đánh giá sau:

5


; EMBED Equation.3

2 2 2333. . . 3.xy yz zx xy yz zx x y z

. Từ đó suy ra

Bài 14. (Đề thi TSĐH 2003 khối B)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Cách 1: Tập xác định ;

Cách 2: Đặt

;

Bài 15. (Đề dự bị TSĐH 2003 khối B)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của trên đoạn

Cách 1. Đặt . Ta có

Nhìn bảng biến thiên ta có

Cách 2. Đặt .

Với thì . Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

6

x01y 0 00y4

1

x 22y +00y22


. Với

Bài 16. a) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số

b) Cho . Chứng minh rằng:

Giải. a) TXĐ: ;

.

Suy ra . Nhìn BBT

ta có

b) Theo phần a) thì .

Đặc biệt hóa bất đẳng thức này tại các giá trị ta có:

Cách 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy đặt

.

Khi đó .

Do

Từ đó suy ra

Bài 17. (Đề 33 III.2, Bộ đề thi TSĐH 1987 – 1995)

Cho . Tìm Max, Min của A .

Giải. 1. Tìm MaxA: Sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski ta có

A .

7

x1/3y +00y11

a a+b a+b+c

C

A

B1

2

3

O x1

y


Với thì Max A

2. Tìm MinA: Xét 2 trường hợp sau đây

• Trường hợp 1: Nếu , xét 2 khả năng sau:

+) Nếu thì A>0

+) Nếu x 0, y 0 thì

A =

Từ 2 khả năng đã xét suy ra với thì Min A = 1

• Trường hợp 2: Xét : Đặt

Ta có:

Thế vào phần dư của chia cho .

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

suy ra

xảy ra ;

x, y là nghiệm của

Kết luận: Max A ;

Bài 18. Cho thoả mãn điều kiện: .

Tìm Max, Min của biểu thức:

8

t1t1t210011


Giải. Do nên .

Vì hàm số nghịch biến trên nên bài toán trở thành.

1. Tìm MaxS hay tìm Min

.

Với thì MaxS =

2. Tìm MinS hay tìm Max

Cách 1: Phương pháp tam thức bậc hai:

Không mất tính tổng quát giả sử . Biến đổi và đánh

giá đưa về tam thức bậc hai biến z

Do đồ thị hàm y = f(z) là một parabol quay bề lõm lên trên nên ta có:

.

Với thì MinS =

Cách 2: Phương pháp hình học

Xét hệ tọa Đề các vuông góc Oxyz. Tập hợp các điểm thoả mãn

điều kiện nằm trong hình lập phương ABCDABCO cạnh 1 với

A(0, 1, 1); B(1, 1, 1); C(1, 0, 1); D(0, 0, 1); A(0, 1, 0); B(1, 1, 0); C(1, 0, 0).

Mặt khác do nên nằm trên mặt phẳng (P):

Vậy tập hợp các điểm thoả mãn điều kiện giả thiết nằm trên thiết

diện EIJKLN với các điểm E, I, J, K, L, N là trung điểm các cạnh hình lập

phương. Gọi O là hình chiếu của O lên EIJKLN thì O là tâm của hình lập

phương và cũng là tâm của lục giác đều EIJKLN. Ta có O M là hình chiếu của

OM lên EIJKLN. Do OM2 = nên OM lớn nhất OM lớn nhất

M trùng với 1 trong 6 đỉnh E, I, J, K, L, N.

Từ đó suy ra:

9y

3/ 2

O

E

1

1K

3/ 2

J

M

z

x

I

L

N

3/ 2

1

O


Với thì MinS =

Bài 19. Cho thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Giải. Sai lầm thường gặp:

Nguyên nhân:

mâu thuẫn với giả thiết

Phân tích và tìm tòi lời giải :

Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt tại

Sơ đồ điểm rơi:

Cách 1: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có

10


. Với thì

Cách 2: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski ta có

. Với thì

Cách 3: Đặt

Do nên suy ra :

11


. Với thì

B. CÁC ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

I. ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1. Giải phương trình:

Giải. Đặt với

Nhìn BBT suy ra:

Phương trình có nghiệm duy nhất x 3

Bài 2. Giải phương trình:

Giải. PT . Ta có:

(x) đồng biến

Mặt khác (x) liên tục và

,

Phương trình (x) 0 có đúng 1 nghiệm x0


Phương trình có không quá 2 nghiệm.

Mà nên phương trình (1) có đúng 2 nghiệm và

Bài 3. Tìm m để BPT: có nghiệm đúng

Giải.

Ta có: 0

;

12

x 0x0 1f 0f

(x0)

x66f 0+0

x234 02


Nhìn BBT ta có ,

Bài 4. Tìm m để PT: (1) có nghiệm

Giải. Do ,2 2

x nên đặt

; . Khi đó (1)

(2)

Ta có: Bảng biến thiên


Để (2) có nghiệm

thì

. Vậy để (1) có nghiệm thì .

Bài 5. Tìm m để hệ BPT: (1) có nghiệm.

Giải. (1) (2).

Ta có: ;

(x) 0 . Nhìn BBTsuy ra:

Để (2) có nghiệm thì 3 m 7

Bài 6. Tìm m 0 để hệ: (1) có nghiệm.

13

x023f 0 f0CT821

t11(t) 0(t)404


Giải

(1) (2)

Xét . Ta có:

Nhìn BBT suy ra: (m) (2) 1,m 0

kết hợp với suy ra đểhệ (2)

có nghiệm thì m 2, khi đó hệ (2) trở thành:

có nghiệm . Vậy (1) có nghiệm m 2.

II. ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1. Chứng minh rằng: ,

BĐT

Ta có:

Bảng biến thiên.


(đpcm)

Bài 2. Cho CMR: T

Ta có: T .

Xét hàm số với x > 0

Ta có .

Nhìn bảng biến thiên .

Khi đó :

14

x0f 0f

0

xf 0f

m02 0171


Đẳng thức xảy ra .

15


Bài 3. Cho 3 n lẻ. Chứng minh rằng: x 0 ta có:

Đặt .

Ta cần chứng minh < 1

Ta có:

Do 3 n lẻ nên (x) cùng dấu với (2x)


(đpcm)

Bài 4. Chứng minh rằng: a, b > 0.

Xét f(t) = với

f(t) =

f(t) = 0 t = 1 Bảng biến thiên của f(t)

Từ BBT f(t) < 1 t > 0 .

Dấu bằng xảy ra a = b > 0.

16

x0f 0f1

t01+f0+f1

1


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1. Cho ABC có . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài 2. Tìm Max, Min của: y

Bài 3. Cho ab 0. Tìm Min của

Bài 4. Cho . Tìm Max, Min của

Bài 5. Giả sử phương trình có nghiệm x1, x2.

Tìm p 0 sao cho nhỏ nhất.

Bài 6. Tìm Min của

Bài 7. Cho x, y 0 và . Tìm Max, Min của .

Bài 8. Cho . Tìm Max, Min của .

Bài 9. Tìm m để PT: có nghiệm.

Bài 10 Tìm m để PT: có nghiệm.

Bài 11 Tìm m để PT: có 4

nghiệm phân biệt.

Bài 12 Tìm m để PT: có nghiệm duy nhất.

Bài 13 Tìm m để PT: có nghiệm .

Bài 14 Tìm m để PT: có đúng 2 nghiệm .

Bài 15 Tìm m để hệ BPT: có nghiệm.

Bài 16 a. Tìm m để: có 2 nghiệm phân biệt.

b. Cho . CMR:

Bài 17 Chứng minh: ,

17

Documents

1.3.Gia Tri Lon Nhat - Nho Nhat Cua Ham So