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Teoria di Matematica 14. Rendite
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14. Le rendite
14.1 Nozioni generali
Una rendita è una somma di capitali pagabili (o esigibili) a determinate scadenze, fissate
secondo intervalli regolari di tempo.
Ognuno di questi capitali è detto rata; gli intervalli sono detti periodi e il loro insieme è la
durata; a dipendenza del periodo prescelto si parlerà ad esempio di annualità, semestralità,
trimestralità, mensilità, …
Se le rate sono pagate alla fine di ogni periodo si parla di rendita posticipata, se invece
sono pagate all’inizio di ogni periodo la rendita è detta anticipata.
Le rate che compongono la rendita possono essere costanti, ossia tutte di uguale importo,
oppure possono essere variabili. Nel nostro corso tratteremo unicamente rate di tipo
costante.
Se la rendita è sicura, cioè non dipende dall’esistenza di persone, è detta certa altrimenti
è detta vitalizia.
Se l’inizio della rendita coincide con la data del momento in cui la si considera, la rendita si
dice immediata, altrimenti differita (di m periodi).
Una rendita può essere temporanea, quando il numero delle rate è limitato, oppure
perpetua se il numero delle rate è illimitato.
Il regime di capitalizzazione preso alla base della valutazione, trattandosi in genere di
rendite la cui durata è poliennale (es. Leasing), è generalmente quello composto. Per
eventuale approfondimento e completezza del tema è possibile studiare anche il caso di
una rendita in regime di capitalizzazione semplice (es. piccolo credito).
Le formule dei paragrafi successivi sono ricavate per rendite in cui il tasso d’interesse è
costante per tutta la durata della rendita.
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14.2 Montante di una rendita a rata costante al momento del
pagamento dell’ultima rata
Il montante S di una rendita a rata costante è la somma dei montanti di ogni singola rata,
calcolati ognuno al momento del pagamento dell’ultima rata.
Situazione:
Si decide di versare 9 rate annue di r CHF l’una, su di un conto remunerato al tasso i annuo
composto.
Schematizzando la situazione:
Il montante della rendita (= S) è la somma di ogni singolo montante.
Sommando dunque i montanti delle 9 rate partendo dall’ultimo si ottiene:
S= r + r(1+ i)1 + r(1+ i)2 + ... + r(1+ i)6 + r(1+ i)7 + r(1+ i)8
da cui:
S= r 1+ (1 + i)1 + (1 + i)2 + ... + (1 + i)6 + (1 + i)7 + (1 + i)8éë ùû
Ponendo (1 + i) = q si ottiene:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
r
r
r
r
r
r
r
… …
S
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3
S= r 1+ q1 + q2 + ... + q6 + q7 + q8éë ùû
Moltiplicando ogni termine per q l’equazione diventa :
S×q = r q+ q2 + q3 + ... + q7 + q8 + q9éë ùû
Risolviamo ora il sistema seguente sottraendo tra loro i membri delle due equazioni:
S= r 1+ q1 + q2 + ... + q6 + q7 + q8éë ùû
S×q = r q+ q2 + q3 + ... + q7 + q8 + q9éë ùû
ìíï
îï
S×q- S= r ×q9 - r
da cui: S× q-1( ) = r × q9 -1éë ùû
S= r ×q9 -1
q-1
Sostituendo q = (1 + i) si ottiene per il montante (al momento del pagamento dell’ultima
rata) della rendita di 9 rate costanti r:
S= r ×1+ i( )
9-1
1+ i( ) -1= r ×
1+ i( )9
-1
i
Più in generale considerando un numero di rate = n si ha:
i
irS
n 1)1(
Montante di una rendita
composta di rata r al momento
del pagamento dell’ultima rata.
Quando calcoliamo il montante di una rendita al momento del pagamento dell’ultima rata è
come se la rendita iniziasse al tempo 0, un periodo prima del pagamento della prima rata, e
terminasse al momento del pagamento dell’ultima rata (t = 9 nell’esempio), effettuando i (9)
pagamenti alla fine di ogni periodo. Tale montante è detto montante della rendita
posticipata
Esercizio:
Un signore decide fra 5 anni di avere il capitale sufficiente per effettuare un viaggio.
Stabilisce di versare su un conto la somma di 5'000.- CHF alla fine di ogni anno.
Calcolare il montante fra 5 anni considerando un tasso di capitalizzazione dell’ 1,5% annuo
composto. [25'761,35]
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14.3 Valutazione di una rendita a rata costante in una data
qualsiasi
Se il tasso d’interesse resta invariato, è possibile valutare una rendita a rata costante, in un
tempo qualsiasi, trasferendo il montante calcolato con la formula precedente alla data di
valutazione desiderata.
Si utilizzano in questo caso le formule della capitalizzazione composta:
Data la formula della capitalizzazione composta nn
iCC 10
,
possiamo ricavare il capitale iniziale ottenendo n
niCC
1
0
Dunque per valutare la rendita ad una data di s periodi successiva al pagamento dell’ultima
rata, capitalizziamo il montante moltiplicandolo per 1+ i( )s
.
Per valutare la rendita ad una data di s periodi precedente al pagamento dell’ultima rata,
attualizziamo il montante moltiplicando per 1+ i( )-s
.
Ad es. calcoliamo il valore della rendita dell’esempio precedente in data t=4.
Osservazione
Tutte le formule che verranno presentate nei paragrafi successivi si possono ricavare dalla
formula del montante al momento del pagamento dell’ultima rata.
Non sono quindi indispensabili per la risoluzione dei problemi con le rendite.
Possono essere utili però quando è dato il tempo esatto di scadenza della prima rata
(piuttosto che quello dell’ultima) oppure quando si deve calcolare il numero di rate
necessarie per l’estinzione di un debito.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
r r r r r r r r r
i
irS
1)1( 9
5
4 )1( iSV
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14.3.1 Valore attuale di una rendita a rata costante un periodo prima del
pagamento della prima rata
Il valore attuale A di una rendita è la somma dei valori attuali di ogni singola rata, calcolati
ognuno all’inizio della rendita.
Il valore attuale è dunque la somma unica che andrebbe versata oggi (inizio del primo
periodo) al posto delle varie rate durante gli n periodi della sua durata.
Quando valutiamo una rendita un periodo prima del pagamento della prima rata,
interpretiamo questa rendita come una rendita immediata posticipata, in cui il pagamento
delle rate avviene a fine periodo.
Anziché attualizzare ogni singola rata, ricaviamo la formula del valore attuale della rendita
attualizzando il montante S calcolato in precedenza.
. .
A post S post
91
iSA postpost
i
irS post
1)1( 9
In generale, per una rendita di n rate vale:
Apost = Spost × 1+ i( )-n
= r ×(1+ i)n -1
i× 1+ i( )
-n
La formula può essere usata così oppure semplificata trasformandola algebricamente come
segue:
i
irA
n
post
)1(1
Valore attuale di una rendita composta
di rata r un periodo prima del
pagamento della prima rata.
Esercizio:
Determinare quale somma mi concede oggi in prestito una banca, se mi propone di
estinguere il debito con 15 rate annue posticipare di 388,95 CHF l’una. Tasso applicato
3,5% annuo composto. [4'479,70 CHF]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
r r r r r r r r r
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14.3.2 Montante e valore attuale di una rendita anticipata
Possiamo interpretare la rendita dell’esempio precedente come una rendita immediata
anticipata. In questo caso la rendita
inizia al tempo 1 (momento del pagamento della prima rata)
termina al tempo 10 (un periodo dopo il pagamento dell’ultima rata)
è sempre costituita da 9 rate
la rata è versata all’inizio di ognuno dei 9 periodi
In questa circostanza il montante della rendita anticipata si forma al tempo 10, il valore
attuale della rendita anticipata si forma al tempo 1.
Per una rendita di n rate costanti, la relazione tra il montante della rendita anticipata e il
montante della rendita posticipata è quindi:
iSS postant 1
ii
irS
n
ant
1
1)1(
Montante di una rendita
composta anticipata di rata r.
Per una rendita di n rate costanti, la relazione tra il valore attuale della rendita anticipata e il
valore attuale della rendita posticipata è quindi:
Aant = Apost × 1+ i( )
ii
irA
n
ant
1)1(1
Valore attuale di una
rendita composta
anticipata di rata r.
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
. r r r r r r r r r .
Apost Aant postS antS
Sant
10
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Esercizio 1a:
Vengono versate su un conto 20 rate semestrali anticipate di 500.- CHF l’una. Calcolare il
montante se viene applicato un tasso annuo composto del 2% [11'113,70 CHF]
Esercizio 1b:
Vengono versate su un conto 20 rate semestrali di 500.- CHF l’una, la prima subito.
Calcolare il saldo del conto al momento del pagamento dell’ultima rata, se viene applicato
un tasso annuo composto del 2% [11'004,20 CHF]
Esercizio 2:
Il capitale di 4'233,10 CHF è stato ottenuto con il versamento di 15 rate annuali anticipate.
Calcolare l’importo di ogni rata considerando un tasso annuo composto dell’ 1,5% . [250.- CHF]
Esercizio 3:
L’assicurazione vita ha scritto al signor Mario che il 1° giugno 2016 avrebbe diritto al premio
vita di 13'565,50 CHF. Sarebbe però possibile in alternativa ricevere 16 rate semestrali la
prima a partire dal 1° giugno 2016.
Calcolare l’importo di ogni rata semestrale, considerando un tasso del 2,3% semestrale
composto. [r = 1'000.- CHF]
Esercizio 4:
Oggi mi scade un debito di 40'000.- CHF, non avendo a disposizione il capitale mi accordo
con il mio creditore per il versamento di un certo numero di rate annuali del valore di
2'503,30 CHF l’una, la prima a partire da oggi. L’operazione è stata valutata al tasso del
2,5% annuo composto.
Calcolare il numero delle rate. [n = 20]
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14.3.3 Valore di una rendita in un’altra data (successiva o precedente)..
Esercizio 1:
Una ditta deposita per 9 anni consecutivi, alla fine di ogni anno, un capitale di 50'000.- CHF
su un conto al tasso del 2% effettivo annuo composto. La somma accumulata viene lasciata
sul conto per ulteriori 6 anni dopo l’ultimo versamento. Quanto potrà essere ritirato?
[549'264,80 CHF]
Data di
valutazione
0 1 2 8 9 m = 6 anni
differimento
. r r … r r
S M
M = 50'000
Esercizio 2:
Quale somma ha chiesto in prestito una ditta se si propone di estinguere il debito con 30
rate semestrali di 100'000.- CHF l’una, la prima pagabile fra 5 anni? Tasso d’interesse
praticato 5% effettivo annuo composto. [1'687'294,25 CHF]
Data di
valutazione
m = 5 anni 5 6 7 … 19 20 differimento
. r r r r r … r r
V A
√
(con formula montante)
Prestito ( = V) = ( )
( )
OPPURE (con formula valore attuale)
Prestito ( = V ) = ( )
( )
CHF
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Esercizio 3:
Una ditta ha comperato un macchinario finanziando l’acquisto come segue:
- 5'000.- CHF alla consegna del macchinario,
- Il resto mediante 48 rate mensili di 250.- CHF l’una, la prima 4 mesi dopo la
consegna del macchinario. Tasso applicato 3,9% effettivo annuo composto.
a) Calcolare il costo del macchinario alla consegna. [ 16'003,40 CHF]
b) Al momento del pagamento della trentesima rata la ditta chiede di pagare anche tutto
il resto delle rate.
A quanto ammonta il pagamento a quel momento? [4'616,35 CHF]
Data di
valutazione
m = 4 mesi 1 2 3 … 30 47 48 49 . differimento
. r r r … r … r r
V A 30a rata
Pagamento resto rate
(30 a rata + 18 rate rendita;
in totale 19 rate)
3a) i12 = √ – 1 = 0,003193314
(con formula montante)
Costo veicolo : 5’000 + 250 ( )
( )
= 16'003,40 CHF
(oppure con formula valore attuale)
Costo veicolo : 5’000 + 250 ( )
( ) ( )
3b) Pagamento globale al momento del pagamento della 30a rata.
(con formula montante)
( )
( )
(oppure con formula valore attuale della rendita di 19 rate anticipate)
250 ( )
( ) = 4'616,35
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ESERCIZI DI VERIFICA COMPETENZE FINE UNITÀ
1. Per estinguere un debito di 120'000.- CHF contratto oggi, devo versare 12'000.- CHF annui per la durata di 20 anni. Determinare quando dovrà essere versata la prima rata, ammesso che l’operazione venga valutata al tasso annuo composto del 5% . m = ? 1 2 … 19 20 differimento
120'000.- r r … r r
V A
la prima rata è da versare dopo 5 anni, 6 mesi e 4
giorni.
2. Dalla formula ( )
per il calcolo del valore di una rendita di n rate r al
tasso d’interesse i, un periodo prima del pagamento della prima rata, ricava n.
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
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3. Una giovane coppia di sposini il 15 di giugno 2012 ha deciso di costituire il capitale sufficiente per effettuare un viaggio per festeggiare un suo futuro anniversario di matrimonio. Vengono effettuati dei versamenti su due conti distinti come segue:
- Versamento sul primo conto remunerato al 2% annuo composto di 15 rate – trimestrali di 550.- CHF l’una; la prima rata versata subito (15 giugno 2012).
- Versamento sul secondo conto remunerato all’1,5% semestrale composto di 8 - rate semestrali di 800.- CHF l’una; la prima versata il 15 dicembre 2012.
3.1 Indicare su uno schema temporale i versamenti delle rate sui due conti.
3.2 Calcolare quale somma potrà avere a disposizione la coppia di sposini sul secondo
conto il 15 giugno 2016.
3.3 Calcolare quale somma potrà ritirare complessivamente 6 mesi dopo il versamento
dell’ultima delle rate.
3.4 Calcolare quale rata mensile avrebbe dovuto versare la coppia di sposini su un
unico conto remunerato al tasso dell’1,25% mensile composto per disporre di
16'000.- CHF il 15 luglio 2017. Prima rata versata il 15 luglio 2012 e l’ultima il 15
giugno 2014.
3.1
15.06 15.06
2012 2013 2014 2015 2016 2017 ¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦__¦_________ 1° • • • • • • • • • • • • • • • 2° • • • • • • • •
3.2 S2 (15.06.’16) =
3.3 √
S1 (15.12.’16) = ( )
( )
Somma totale (15.12.’16) = 8'713,70 + 6'746,30 ∙ 1,015 = 15'561,20
3.4 Montante di una rendita di 24 rate anticipate, differita di tre anni e un mese.
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4. Oggi Giulio ritira il montante di una rendita di 15 rate annue di 6'500.- CHF l’una, la
prima versata 15 anni fa su un conto all’ 1,25% annuo composto. Con una parte della somma ritirata oggi paga subito un debito che deve restituire
pagando 30 rate trimestrali di 1250.- CHF l’una, la prima a partire da oggi, calcolate al
tasso del 4,6% nominale annuo convertibile trimestralmente.
4.1 Calcolare la somma residua dopo il pagamento del debito.
4.2 Fra 12 anni Giulio intende disporre di 120'000.- CHF per l’acquisto di un
camper. Deposita subito la somma residua su un conto al tasso dell’ 1,75% annuo
composto. Determinare quale rata deve aggiungere alla fine di ogni mese per
raggiungere l’obiettivo?
4.3 Se non venisse depositata alcuna rata, a quale tasso annuo composto dovrebbe
essere depositata la somma residua per raggiungere l’obiettivo?
4.1
(rendita anticipata!)
J4 = 4,6%
Residuo : 107'842,55 – 31'926,45 = 75'916,10
4.2 √
– 1 = 0,001446765
( )
( )
r = 165,75
4.3 ( )
√
