1415878902_698__primer_prvog_testa_resen (1)

7/25/2019 1415878902_698__primer_prvog_testa_resen (1)

1/5

1

Fakultet tehnikih nauka

Studijski program:

Datum:

Broj indeksa:Ime i prezime:

I test iz predmeta

Numerikialgoritmi i numerikisoftver u inenjerstvu

I. MAINSKA REPREZENTACIJA BROJEVAI GREKE (20 poena)

1. (4 poena) Zaokruite svaki odgovorkoji smatrate tanim:Matematiki model realnog sistema vrlo retko uzima u obzir sve faktore kojiutiu na sistemu realnosti.

Numerike metode uvek daju egzaktna reenja.

2.

(4 poena) Dopunite reenicu:Normalizovani broj u pokretnom zarezu je broj kod

koga je ....prva cifra mantise je uvek 0....................................................................

3. (4 poena) Dopunite reenicuMainska tanost je razlika izmeu.....reprezentacijebroja1.0 i prvog najblieg broja koji moe da se reprezentuje u brojevnomsistemu......................................................................................................................

4. (4 poena) Dopunite reenicu:Pri numerikim izraunavanjima priblinu grekukoristimo zato to ne znamo...tano reenje problema...........................................

5. (4 poena) Navedite definiciju relativne prave greke:...apsolutna vrednost razlikeizmeu tanog reenja i reenja dobijenog pomou numerike metode, podeljena savrednou tanog reenja...............................................

II. NUMERIKE METODE LINEARNE ALGEBRE (26 poena)

1. (5 poena) Objasnite pojam loe uslovljenog sistemai nacrtajte primer u dve dimenzije.

To su sistemi kod kojih male promene u koeficijentima dovode do velikih promena u reenju.

T

AT

R x

xxE


2/5

2

2. (6 poena) Objasnite postupak parcijalnog pivotinga i razloge za korienje ovogpostupka.

Jednaina koju koristimo da elimiemo promeljivu, naziva se pivot jednaina. Koeficijent u pivotjednaini koji je uz promenljivu koju eliminemo naziva se pivot element. Pivot elementom

delimo koeficijente u procesu eliminacije. Iz tog razloga on ne bi trebalo da bude nula, a ni jako

mali broj. Deljenje malim brojevima unosi velike greke u postupak zbog ogranienosti raunaraza njihovu reprezentaciju.

Parcijalni pivoting predstavlja zamenu pivot jednaine sa jednainom koja sadri maksimalnielement po apsolutnoj vrednosti u koloni u kojoj se pivot nalazi. Za zamenu se koriste samo

jednaine koje su ispod pivot jednaine. Na taj nain deljenje vrimo sa to je mogue veimbrojem.

3. (8 poena) Objasnite ideju Gauss-Seidelov-og postupka i napiite formulu za odreivanje

komponenti reenja sistema od njednaina sa nnepoznatih.

Gauss-Seidelov metod je iterativni metod za reavanje SLAJ. Ideja metoda je da za izraunavnjetrenutne komponete reenja xk+1ikoristimo najnovije informacije tj. sve do tada izraunate x k+1j,

gde je j=1,...i-1 Formula:

NAPOMENA:Prihvatlji odgovor, uz formulu predstavlja i geometrijska interpretacija saprateim tekstualnimobjanjenjem.

4. (7 poena) Objasnite SOR postupak

Cilj SOR postupka je ubrzanje konvergencije Gaus-Seidelov-og postupka. Ideja je da pomeranjeod xkdo xk+1 moemo ubrzati mnoenjem konstantom >1.

1


3/5

3

III. NULE FUNKCIJE (27 poena)

1. (6 poena) Napiite formulaciju opteg iterativnog postupka za odrevianje nula funkcije.

Data nam je funkcija f(x). Cilj nam je da odredimo taku x, za koju vai f(x)=0. Za odreivanje

take x, koristimo iterativni postupak koji se sastoji od iterativne formule koja daje nain za

odreivanje trenutne procene reenja xkpomou prethodne procene xk-1. Kreemo od poetneprocene reenja x0(koja je data ili je biramo) i pomou iterativne formule kreiramo niz procena

x0,x1,x2,....,xk-1,xk,.... Iterativni prostupak moemo zaustaviti posle zadatog broja iteracija ili akorazlika izmeu trenutne i prethodne procene padne ispod zadate tanosti.

2. (8 poena) Objasnite metodu tangente.

Metoda tangente je iterativna metoda za odreivanje nula funkcije f(x). Ideja metode je da se

funkcija izmeu svake dve procene reenja aproksimira tangentom. Taka u kojoj tangenta seex-osu je sledea procena reenja. Pretpostavke: f(x) je neprekidna i ima prvi izvod; x 0je poetna

taka takva da je . Formula

3. (8 poena) Objasnite metodu polovljenja.

Metoda polovljenja je iterativna metoda za odreivanje nula funkcije f(x). Kao uslov zakorienje zahteva zatvoreni interval za koji je poznato da sadri reenje . Metoda polovljenjasistematski smanjuje (polovi) zatvoreni interval. Pre svakog polovljenja izvrava sejednostavna

provera na osnovu koje se donosi odluka koja polovina se dalje polovi. Polovljenje prestaje kad jepronaeno tano reenje ili jetrenutni interval dovoljno mali.

Pretpostavke:f(x) je neprekidna na [a,b]f(a) f(b) < 0

Algoritam:

Loop1. Izraunati polovinu [a,b] c=(a+b)/2

2. Izraunati f(c)3. Ako f(a) f(c) < 0 novi interval je [a, c]

Ako f(a) f(c) > 0 novi interval je [c, b]

4. Ako vrati c=(a+b)/2 kao reenjeEnd loop

0)( 0 xf

)(')( 1i

iii

xfxfxx

atolerancijab


4/5

4

4. (5 poena) Zaokruite svaki odgovor koji smatrate tanim:Konvergencija metode polovljenja je superlinearna.

Metoda seice je otvorena metoda.

IV. APROKSIMACIJA FUNKCIJA(27 poena)

1. (3 poena) Objasnite ideju postupka aproksimacije funkcije interpolacionim

polinomom.Dat nam je niz parova taaka (xi, yi) koji predstavljaju vrednosti funkcije koju aproksimiramo.Ideja postupka interpolacije je odreivanje polinoma takvog da prolazi kroz sve date take tj.mora da vai p(xi)=yi, za sve date (xi, yi), p(x) je onda interpolacioni polinom.

2. (4 poena) Zaokruite svaki odgovorkoji smatrate tanim:Odreivanje interpolacionog polinoma moe se svesti na problem reavanja

SLAJ.

Njutnov i Lagranov interpolacioni polinom su dva oblika istog polinoma.

Preporuuje se upotreba ekstrapolacije.3.

(6 poena) Objasnite ideju deo-po-deo interpolacije i razloge za njenu primenu.

Ideja deo-po-deo interpolacije je odreivanje zasebnih interpolacionih polinoma izmeu svake

dve zadate take (xi,yi). Takvi polinomi su nieg stepena u odnosu najedan polinom koji prolazikroz sve take. Razlozi za deo-po-deo interpolaciju su to to: za veliki broj datih taakainterpolacioni polinom koji prolazi kroz sve take ima jako veliki stepen; takav polinom ima

velike oscilacije u prostoru u kome radimo; osteljiv je na um u podacima; operacije kao to suevaluacija u taki, odreivanje izvoda itd. su ranunski zahtevne. Deo-po-deo interpolacioni

polinomi prevazilaze sve navedene nedostatke.

4. (6poena) Formuliite zadatak aproksimacije funkcije polinomom pomou metode

najmanjih kvadrata i objasnite nain njegovog reavanja.

Dat nam je niz parova taaka (xi, yi) koji predstavljaju vrednosti funkcije koju aproksimiramo.Funkciju aproksimiramo polinomom (oznaenim sa f(x)), iji se stepen zadaje unapred i mora biti

bar za jedan manje od broja taaka.

Polinom uklapamo u date take tako da minimizujemo zbir kvadrata greaka. Greka predstavljarazliku izmeu vrednosti yiza dato xii vrednosti polinoma u xitj. f(xi).

Minimum zbira kvadrata greaka odreujemo izjedaavanjem parcijalnih izvoda Epo svakomkoeficjentu polinoma sa nulom. Na taj nain dobijamo formulu za odreivanje polinoma:

n

i

ii xfyE

1

2))((

n

k

k

k xaxf0

)(

yAaAA TT **)*(

1

2

1

1)1(

0

)1(

2

1

210

2

2

1

2

0

2

2

1

1

1

0

1

xnnxm

m

mxn

m

n

m

m

nnn y

y

y

ya

a

a

x

x

x

xxx

xxx

xxx

A


5/5

5

5. (8poena) Funkcija je zadata sa tri take: (-1,2), (0,1) i (1,3). Predloite tipaproksimacione formule i demostrirajte je na na primeru odreivanja funkcije u taki

5.0x , uz uslov da se vrednosti aproksimacione funkcije poklapaju sa vrednostima

originalne funkcije u zadatim takama.

Sa obzirom na to da se zahteva poklapanje aproksimacione i orginalne funkcije u zadatim

takama, potrebno je koristiti interpolacioni polinom. Jedan predlog je Lagranov polinom.Oblikpolinoma za tri take:

Zamenom datih taaka i vrednosti x=0.5 imamo:

NAPOMENA: nije potrebno dalje raunanje, formula sa zamenjenim verdnostima priznaje se kao

kompletno reenje.

)())((

))(()(

))((

))(()(

))((

))(()( 3

2313

212

3212

311

3121

322 xf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

3)01))(1(1(

)05.0))(1(5.0(1

)10))(1(0(

)15.0))(1(5.0(2

)11)(01(

)15.0)(05.0()5.0(2

f

Documents

1415878902_698__primer_prvog_testa_resen (1)