155 Zadan o Szeregach z Pelnymi Rozwiazanamikrok Po Kroku - Kopia

5/17/2018 155 Zadan o Szeregach z Pelnymi Rozwiazanamikrok Po Kroku - Kopia

1/34

.........~ . . . . . . . .Biblioteka Politechnlki P~z~anskiej

Biblio a OPTactiWmi MatemaJl'gm ell.

55 zada' 0 szeregachz pe y ikrok po kreku, ~

ZESZVT7Bib_lioteczka Opracowan Malematycuryclr

Materialy pamocnicz.e do .Dauki dla stud-entOw

Wydawnictwo BilaISBN-10.: 83-922733-4-6ISBN-13 :978-83-922733-4-9

dawmc 0Bila392 _73"


2/34

Biblioleczka Opracowan MatematvcznvchISBN-] 0: 83-922733-4-6lSBN-13: 978-83-922733-4-9

03?-Copyright by Wydawnictwo BilaWszystkie prawa zastrzezonePrinted InPolandypoi:!czainia szrypto

Wydawnictwo BUaul . Krajobrazowa 1 1 735-124 Rzeszdwtel: 608-503-856e-mail: [email protected]

Biblioteczka Opracowan MatematvcznvchSpis tresci:

1. Szeregi liczbowe 0wyrazach dodatnich 42. Szeregi liczbowe przernienne 243. Wyznaczanie przedzialu zbieznosci dla szeregow funkcyjnych . 304. Rozwijanie funkcji w szereg Taylora iMaclaurina 375. Szeregi Fouriera 476. Zbieznosc jednostajna szereg6w 577. Zadan ia rome dotyczace zastosowania szeregcw 508. Wat.niejsze szeregi _ 63

-3-


3/34

Biblioteczka Opracowaiz Matematvcmvck1. Szeregi Iiczbowe 0wyrazacb dodatnichSzereg liczbowy to wyrazenie postaei:'"L a n => 01 + OJ + OJ + ..+0.+..gdzie QI' a " . .a.. to kolejoe wyrazy szeregu.Szeregnazywamy zbieinym jezeli limS =S ' gdzie S n to soman-poczatkowych wyrazow szeregu. n__ "Warunek konieczny zbie:inosci szeregu:(L1) l ima" =0. - - -Szereg geometryczny:(1.2) f aq"" = a + aq + aql + aq' + ..

n~lSuma 0- poezatkowych wyrazow szeregu gearnetrycznego:(1.3) 1"S = a . . . . : : . ! 1 . _

n I-qDla I q I < I szereg geometryczny jest zbiezny,Wsrod szeregow liczbowych rozrozniamy szeregi 0wyrazach dodatnichoraz szeregi 0wyrazach dowolnych.Dla szeregow a wyrazow dodatnich sformulowano twierdzenia zwanekryteriami zbieznosci (rozbieznosci ) szeregow.Kryterium ponlwnawcze zbietnosci szeregow:(1.4) 1ezeli dane s a d wa szeregi 0wyrazach dodatn ich: L0 l Lb,ikazdy wyraz pierwszego szeregu nie jest wiekszy ad odpowiadajacemurna wyrazowi drugiego szeregu t:zn.: 01 : :: ;b. , OJ Sb z , . . a f t : :: ;b,..to jezeliszereg Z>.jest zbiezny, to i szereg ~ > nez jest zbiezny.Krytcrium porownawcze rozbiemosci szeregow:I.S} Jezeli dane S . i Lb.takie, ze dJa kazdego n zachodzi o,,~ b", tojezeli szereg L h.jest rozbiezny,to iszereg La.jest takze rozbiezny,Krvter ium d'Alemberta zbietnosci (rozbieinosci) szeregow:(1.6) Jezel i poczawszy od pewnego n EN, dla szeregu 0wyrazachdodatnich zachodzi warunek:a ; ~ != k < I to szeregjest zbiezny, Jezeli natomiast POCZJ lWszy odn -4-

Biblioleczka Opracowaiz Matemalycznvchpewnego n EN, dla kazdego wyrazu szeregu 0wyrazach dodamichzachodzi:09+1 ~ Io szeregjest rozbiezny,0"Podsnmewujac na1ezy sprawdzic:lim ~" g < I - szereg zbiezny,. .. ." Q ij

liril ~= g > 1-!If-lEI Q

- szereg rozbieznylim ~= I11_>10 a - zbadac inna metoda,

Kryterium Cauchv'ego zbiezoosci szeregow:(1.7) Jezeli dla szeregu La. a wyrazach dodatnich, poczawszy ad pew--nego miejsca zachodzi warunek:v a : < 1 , to szereg L Q.jest zbiezny, ajeze Ii 1 fa: ~ ~ to szereg jest rozbiezny,Podsumowujac nalezy sprawdzit'::limv a : : ' " g g >I -zereg rozbiezny;11--liulV;: =1.__ - przypadek niewyjasniony.Kryterium calkowe zbieznosci szeregow:(_I.S)Jezeli wyrazy szeregu La. sit dodatnie imalejace oraz an = ltn), gdziefunkcja f(x) jest rowniez funkeja dodatnia i malejlilc~ to szereg jestzbiezny, gdy calka niewlasciwa If (r)ix jest zbiezna tzn, jej wartosc jestskonczonaJezeli wartosc calki Iwynosi coto badany szereg jestrozbiezny,Szereg przemienny - to szereg, ktorego wyrazy rnaja na przemian znaki+" . N' I I IS taki .. I . . . . . ., 1-,,. p. . I--+---L zereg n a zyw an y U l J' LL eaprzemiennym.Do b ad a ni a szereg6w9pJ?emiennych stosuje s ie k ryt e ri um Leibniza:Kzyteriom Leibniza: (1.9)Szereg LQ> przemienny jest zbiezny, jezeli bezwzgledne wartoscijego wyraz6w tworza eiag malejacy dazacy do zera,BezwzgJedna zbieinosc szeregu: (1.10)Szereg L e.jest zbiezny bezwzgledniejezeli szereg L:la.ijest zbiezny,Jeze Ii szereg jest zbiezny bezwzgledni e to jest zb i ezny,Jezeli szereg jest zbiezny, ale nie jest zbiezny bezwzglednie tojest on

- 5 -


4/34

Biblioteczka Opracowaft MalematycznvchzbieZnYwarnnkewo. ~ I 1 1 ISzereg hannomczny - L-=1+-+-+-+ ..(1.11) o=ln 234Szereg hannoniczny jest rozbiezny, chociaz spelnia warunek koniecznyzbieznosci szeregow, ~ .1 I 1 ISzereg anharmoniczny- l:,(-Ir - = 1 - - + - - . . . (t.12)~=I n 23W ponizszych przykladach pokazano jak badac zbieznosc szereg6wliczbowych wykorzystujac wymienione kryteria zbieznosci szereg6w.

PRZYKLADY~I1/ Zbadac zbieinasc szeregu: 2:~."~I n

Do zbadania zbieznosci szeregu wykorzystamy kryterium calkowe.ZastftPuj'1Cn zrnienna "x' , zmieniajaca si~ w sposob ciagly otrzymujemyfunkcje fex). kt6rajest ciagla calym nieskonczonym przedziale zmien--nosci .x", Funkcja rna postac f(.r)=J,Ob li cz amy ~ a -l .k l( ieWlr- ' c i I ~ : .r" 'JJ. . .d_t=limJJ,dx=lim -.!_ = l i m ( - . ! . . + l ) = O + l = lIx2 t....., Ix' t_,." x. l....~ kCalka niewlasciwajest zbiezna, a wiec na podstawie (1.8) szereg jestzbiezny, CL I2t Zbadac zbiemosc szeregu: ~ 11 2 -I'(Kryterium calkowe)Tworzymy fnnkcje: f ( x ) = _._1_ Funkcjajest malejaca iciagla w D,x -IAby obliczyc calke niewlasciwa z funkcji f(x) r oz k la d amy j a na ulamkiproste: 1 I 1

x 2 -I = 2(x-l) 2(x+I)'" dx .' dx , j R I l } u . [ I 1 J 'J --;LunJ--=hm ----- =lim -lnlx-II--lnl:r+11 =.x~-I ~"'''~xl_1 ~-"l 2(.1'-1) 2(x+l) ,~.. 2 2'!= . ! .l i m ( l n l k - 1 1 - t n l + In3)=.!.ln32'~'" 1::+1 2Poniewaz calka niewlasciwa okazala si e zbiezna, b ad a n y s ze re g tezjest zbiezny.

- 6-

Bihlioteczka Opracowafl Matematvcznvch.. I31 Zbada zbiesnosc szeregu: ~(n..LI}Jn(Kryterium calkawe) ITworzymy funkcje: /(x) ( X + l ) J X ' Funkcjajest malejaca iciagla w D.Ob l i cz amy c a lk e niewlaSclw~:" 'J d:t I r: .2 ([T 1 ~ J 2Jdl CJ dl ,_r ,.( }j;""",x=t: x= t"; r=d = ~=2-1-=2Jj ll1J.arctg1.lJ =I x+1 x 2.,.x I\t~+l} ,t +1 ._= 2.lim(arclgk -arctgl)= 2 ( ! ! . . _ ! ! . . J = 7T .t_" 2 4 2Poniewaz calka jest zbiezna, szereg 3/jest zbiezny.I Zbadac zbieinosc szeregu: - I(Kryterium calkowe; ~V(2/l-3Y'

Tworzymy funkcje /(x)- V i . Funkcja jest malejaca i iagla w 0,1 ( 2: r- 3 \Z,. dx I I ~t 1" dt 1" _1/ 1 t.2I V . . 2x-3=1: 2dx=dt; dx > =-J-y=- JI/ldl~-1im I I 'd/=-

13 (2x-3Y 2 2'1T; 2, 2


5/34

Biblioteczka Opracowan Matematycznych"I~= lim tf r ; r " " lim [arctgx1= lim (arclgk -ore/g)= iT1+x~ --- J.r +1 t_= .-., 4Szeregj est zbiezny poniewaz calka jest zbiezna,81 Zbadac szereg:r. 1 ,(K.calkowe) .= , (2 11 + I r -ITworzymy funkcje: I(x)" , I, .Fnnkcja jest malejaca iciagla dlax ~ 1. (2x1"lf-1" 'I dx r II dx I,(2x+lr-1 .~, (2x+lf-1Pomocniczo obliczarny catkf( nieoznaczona;I dx I ~ I dt Inl G If )( 2 x + l f -1 2x+l =1; d x = 2 1 " " 2 11_1 =4 Jlt=l- t+ll=4\ln~-JI-ln~+11Wracajac do caIk:i niewlasciwej:1 = l i m [ _ 1 _ l n . . . . . : : _ . J = l i m ( _ 1 _ l n _ ! _ - _ 1 _ I n _ 1 _ J = = .! . In 2.

1_,>, 4 .r+I, 1 - " . : t 4 k+1 4 2 4Przy obliczanin granicy wykorzystano fald,:i.e dla k---)oco, k ~ k +l.S tad

k k-",I; In-",lol=Ok+ l k IPoniewaz calkajest zbiezna szeregjest zbiezny.

91Zbadac zbieznose szeregu: f-'-'-.(Kryterium caJkowe) ,_ I ( n + I YTworzymy funkcje: I(x)= (X ;lt . Funkcjajest malejaca iciagla dlax~l.~ x dx r r I I J I x +I= 'I ~ r rI L .[I IJ '! C X + It = = n (.r+ I )' - ( . 1'+ 1)1 dx = dx =dJ = lV -I' df = = l~ -7 + 2/1 ,'"_ li m f _ _ I _ + _ l _ ] ' _ ~-.~ z + I 2 (;.-+ 1) ' J - 8Calka jest zbiezna a zatem szereg jest zbiezny.10 1Zbadac zbieinosc szeregu: f-_(Kryterium calkowe) x .01Il' +4Tworzymy funkcje: f{x)=Xl + 4 . Funkcjajest ci~!a imalejaca dl ax ~ 1. ObI iczamy calk~ niewtasc iwe,~ x dx t xdx 1 " " + 4 : ; ' 1 1 cdl 1 [ r I ( , )J-.,-'" li m J-,-= .J__ dl =-llIDI-=~liID L n j x l + 4 j =-lim\lnle+41~1n5 = '",x +4 '-T,x+4 x.....-'2 2'~r.1 l'-r 21-."

-8-

Biblioteczka Opracowan AlatematyczlfychPoniewaZ calka jest rozbiezna, szeregjest tez rozbiezny.111Zbadal: zbieinoic szeregu: f.~.Kryterium calkowe) n=1 nT~ orzymy funkcje: I(x}= _!_ (I* I.rS I dx-Iim l I x . .. .dx-lim X - d , " ; g ] ~ - L i m [ :... _ 1 ]__ I~ lim (k-G ~I_ l) _ _ l_IX" - , , _ x , - . . . . . . -a+ll - ......-a+1 -a+l - -a+ll--- - a-IDla a > 1 szereg jest zbiezny, dl 0< C I. < 1szereg jest rozbiezny, Dla a =1calka nie istnieje. ~ I12 1 Zbadac zbieinosc szeregu: L-Il -n-2 n n n(Kryterium calkowe) 1-Tworzymy funkcje: f~r)=-I-'- Funkcjajest malejaea dla x > 1.~ x f1 . .r1 ~ = ' i r n f~ = l im r _ _] ] :Irm(-_I +_1 ) = _ 1I'd]]' X -l.rlnx I ~ lnx l .~ Ink In2 In2Pomocniczo obliczono calke:

dx I l n x = ' 1 dl I IJ ;odn' x = = ~ =dl = J t' =-'=-In.:rSzeregjest. zbi~~y ?oniewaZ cl!tka~est zbiezna,1 3 : Zbadac ZhlZ110SC szeregu: 'L-.,-.(Kryterium calkowe) ,l'Iln 1'1Tworzymy funkeje: f(x)=_l_. Funkcjajest dodatnia imalejaca dlax > I. xLnJ x

Na moey kryteriurn ca lkowego ~eg 13/ jest zbiezny.141 Zbadal: zbieinasc szeregu: L - - - ; '(Kryteri 1'-) > 11terium ca /lowe -Tworzymy funkcje: f x) = In:. Funkcjajest malejaca i odatnia dla X > 2.~Iln:cdx = lim' flnx = l im [ - I n: ~_ ! _J = l i m ( - In k _ .l.,In 2 + _ ! _ ) =_!_(Ln2-1)2 Xl .....,2 x2 t...", .x x 1 l_,.., k k 2 2 :2

In xdx u = In du = ] Inx 1f - : x =----Xl dJ. = d.r " ~ _ ~ x:rSzereg je st z f,-ie my ~ OlOCy kryter ium calkowego.1 5} Z ba da c z bie zn os c s ze re gu : i: i .

J n Innn ( 1 n n t-9-


6/34

Biblioteczka Opracowmi MatematvcznvchITworzymy pomocniczo funkcje: f(x} xlnx In(lnxf . Funkcjajestdodatnia imalejaca dla x>3.Obliczamy pornocniczo calke nieoznaczona :J .do X~In}f r l ~ x = = ; ' 1= I t ( I : ,Y = I ~ 1 = = ; : 1 = I: ~ = ~1;~'l Zalozenie: d>1. d, ' , J . r [ u-./ ' ]' J k " " " " 1 0 ( 1 0 ~) ,. , ) 1! X l n X 1n(luY =~~!.rIn" 'Jn{!R.rr = ~ -01+1...." =~,_d+l-t -J+I = (-If; .J}< ""'Do obliczenia calki niewlasciwej wykorzystano obliczenia calkinieoznaczonej wraz z zastosowanym podstawieniem.Granice calkowania ulegly zmianie po podstawieniu. poniewaz:1=1n3: u=lnt=I!l{1n3}. x->'" u-+!X).Dla d > 1 szeregjest zbiezny, a dla d ~ r-I 211-1 ~"'2(2n-l) 2

Poniewaz p < 1, szereg 17/jest fbie.zny.181 Zbodo zbieinosc szeregu:I. 2~.(Krylerium d'Alemberfa) "=I 32" 21"1+2a =- G =--" 31 1 1 ' n... 3-"+1 ~P=lim (21"1+ 2) 2:_= lim 2n+ 2 . ; : . ! .

.-;D ]",+1- 2 .n . r ; I _ ~ 6n 3Poniewaz p< I , szereg 18!jest zbiezny,

- 10-

Biblioteczka Opracowaft Matematycznvch~ (n + 1 } 5 "191Zbadai: zbieinosc zeregu:!;:, 2")'" .

(Krylerium d'AIemberta)a = (n+l)5~ : a = ( n + 2 ) 5 < > + I ." 2 "3n+1 "+1 2 " ' - ' - ' 3 " _ _ 2 '

( ,"',,"~J2n]" - J - ( z) -p = lim UH = lim n + -.P = lim .) n + - _ ~"-~ , --,z2"+13"+2(n+I)5" "-'~6(n+I)-6Szereg 19/ jest zbiezny pan iewaz p < 1.201Zbadac zbieinosc szeregu.s ]"(Kryterium d'Alembertay ~2'(1n+1}

3" 3-a - . a - . - 2"(2n+ I)' .+1 - 2. "(2n + 3) 'p = lim Gh = = lim 3 "+ 1 2" ( 21 1 + I) ;: lim 3 (211 + I) = ~. . . . ." a n Hoc2+13"(2n+3) ... . .,2 (211+3) 2Poniewaz p > 1 , szereg Q : O ~jest rozbiezny,21 1 Zbadac zbieinosc szeregu: f.~_(Kryterium d'Alemherta) ~ (3n)

a =~. _ (n + I)~... (3 ~)' a ,,+1 - (3 n + 3)'p=lim (n+l)4 M=im .(n+L)4 =0

.n-"~3n+3) n ' . .. ..,n(3n+1X3n+1X3n+3)Poniewaz p < 1 szereg jest zbiezny,2 21 Z bad a c z bi ez no s c szeregu: f 50(Kryterium d'Alemberta) 0.1 n!50' 50.-1

Q =-: G =--~ nl , (n+I)!'. 50 ' n l . 50P = = lim = hm -- = 0....... (n + I )n! 50 ' .. .. ~ n + I

Poniewaz p < I szeregjest zbiezny, IN231 Zbadac zbieinoic szeregu: L(~ )f(Kr)Jlerium d 'AJemberla) _I ill.a =: n B a = (n+J )J tI !- tl " (2n)!' ." (211+2)1'

p= lim ( 1 1 + 1f"+l(2JJ)] = Jim( n + I)z" ( / :I + If _ l im ( 1+ . r (1 1 + I Y _ e1. .. .. ;. ( 211+2)!nbo .-.~ n (211+IX2n + 2) - .....~ /I (2n + ' X l n + 2) -""4Poniewaz otrzymane p > 1,wiec szereg ' 2 . J1 jest rozbiezny.

- I I -


7/34

Biblioteczka OpracowafL Matematycznych., n!2 41 Z ba da f: s zer eg : ~ 11"' ( K r yt er ium d ' Al em ber ta yn! (n+1)!

(J.~ ="; a.~l=(n+lrrp=lim n]n...1 l im ~ _11 - = l im _ _ I _ _ 1 _ = L i m ( 1 " ' . . ! . ) - " ( I + . ! . J =

.-+~(n ~ I):(~.+) n ! ~ - ~ ( n + It (n+ I) ,,-~n ; Ir ( n ; 1 ) . . . . . " n= ~ [ ( I + ; J ] = e - J=;Poniewai. p < 1, szereg 24 1 jest zbieiny.2S/ Zbadac zbieznosc szeregu: f ( n 1 ) 2 .(Kryterium d'Alembertai .~r(2n)!

(n!)' ((n+l)I)'O~,=--1 Qr~:; ;;;; ; :{2n )1 (211 + 2)!u n + l)!Y ( 2 1 1 ) u e n + IfP '" un (. trn ( X.->_t 2n + 2)(11])1 "-."" 2n + I 211+ 2) 4

Poniewaz p rest nieskonczonym postepem geometrycznym 0 ilorazieq = Y; < 1.Jest zatem zbiezny, Dla kazdego n EN zachodzi:

I 1--


8/34

Biblioteczka Oprac0" .1 1anMat ematycznvchI IPoniewaz InCn) < n wiec zachodzi, ze: In nr :Na rnocy kryteriwn porownawczego badany szeregjest wiec rozbiez--ny. ~ 3 + 236 / Zbadac z bi em o ic s z er e gu : L n" '+ 'J ".l -

J" +2 3'" +20""'n'+2,O'=(11+1)'+2:n' + 2 ~ 2. (3"'+2) (n'+2). ~. -'+3" . ,,'+2P = = 11m lim - = = 3 Lun , 3'~"(n+I)'+2)(3'+2) '~"(n+lr+2 1"+2- '_'~( /I+l) +23" 3"

Poniewaz p > 1 wiec na rnocy kryteriurn d'Alemberta szeregjes t roz--biezny, '" n'0099"371 Zbadac zbieinosc s ze re gu : ~ ~ .

11 100 99 " { 1 1 + I r o o 99"+1a =-- a = .~ 100" 0 1 10 0 ,,1 '=v l im ( n+ IY O O 9 9 n- < - 1 100 ' = 9 9 lim {n+lY'1U ==_22_


9/34

Biblioteczka Opracowan Matematycznych 11' . 11'Sin- SID-1-~2_n 11, a zatern jest zbiezny.

~ r: . lL.."l'lIsm--. zb iI n Jest lezny.a mocy kryterium por6wnawczego szeregZ I

4 Obliczycsum{szeregu: ~n(n+1XI7+2)'Wyk-orzystamy zaleznosc:I I ( 1 I )n (n +I Xn +2 ('2 ' 1 7( ,,+ 1) (n+lXn+2)' " I I:~( 1 1 I ) 1 ; ~ ( ( I I } )~n{n+IXn+2) = 41*2*3 +2*3*4 +..+ n(n+IXn+2) =2!~ 1*2- 2*3 .+ ..( I 1 ) ( I 1 J I . (I 1 J I+ 23-3*4 +..+ n(I1+1)-(n+1Xn+2) =2~_! I ;2-(n+IXn+2) = '4

471 Zbaduc zb ie . in o .s i : s z e r egu : f. _ le n s . ! _ ., . I I I 1 1 I , II nL-cos- '"cosI+-oos-+-oos-+ .."",II If. 2 2 3 ]3Koiejnewyrazy postaci cos; maj~ wartosci wieksze n iz ~. poniewazargumenty postaci.L E (0.1)"Wiadomo takze z : wlasnosci funkcji cosx (funkcja malejaca dla xE(O,7Cl2jj,ze : I cos!!...3 - 3

1 1-


10/34

Biblioteczka Opracowan MaJematycznych

n1 awiec jest zbiezny, E Na rnocy kryterium por6wnawczego szereg ? ; I ~ ; I jest zbiezny,


11/34

Biblioteczkn Opracowail Matematvcznycha mocy twierdzenia w zadaniu 53 1 badany szeregjest zbiezny.

56 / Zlbadat zbieznosc szeregu: ~ a.gdzie a"jest rowny:. Ism-a = a" dla nnieparzystych;.~ ]

en dla nparzystych. I 1 1Dla kazdego n ENzacbodzi: O0 2 2 3 3 ,1+1 n+1 "-- 22Jl3J. . . _ ! ! _ n + 2 ) ) =lim I n ( I n+2J:01n'!'=-1n2n+ln+l .- lnTI 2 581 Z h ad a c z bi ez no s i: s ze r eg u : ~ ( ~ : : y .(Kryterium Cauchy 'ego 0 .1 )Zgodnie z tw o 1.7) obliczamy liczbe p:

I ( 2 n + l ) ~ I ' ( 2 n + l ) f Lim r . - . ( 2 - 1 1 + - - - - 1 J f'" 1m '-- = 1m -- = -- = - 1. . . " 8 +1

A zatem s~ere~ J . e st !~ZbleZDY. x log n62 1 Z ba d ac z bi ei no s c s z er e gu ; ? ;r(Kryterium Cauchy 'ego)P=limV!ogn = .! .lim ~lo gn = .! .< l

n-Ho 2" 2 n-+>; 2Wykorzystano fakt ze: 0 < logn < n

o < ' ljlogn < 'if;;v ; : ; ~ 1 zatem 'ljloglJ ~ 1Badany szeregjest wiec zbiezny, -4",,'>63 / Zba r iac zb iemosc szeregu: I(...)' "

'P" ~'''+(Kryterium Cauchy ego)'ln" 4M I' 411"p = lim , = lim l l l 1 ) 2 ~ (3n + 1)'- "_D V ( 3 u + I{r ._.~3n + ,

Czyli szereg jest rozbiezny, ., ~3J'641 Z bod a c s b ie zn o sc s ze r eg u: L 11 -5 ..-=1(Kryterium Cauchy 'ego).lm )" 31, ~ 3 I= hm" - - =: - 1 m - ; - >> 211-5Otrzymalismy liczbe k= 1 skonczona, Poniewaz szereg bn jest rozbieznywnioskujemy, ze badany szereg 7'lltezjest rozbiezny,

tsiona72 1 Z ba d ac z bi es n oi s ze re gu : .=1 (!n sr .(Kryterium porownawcze) __Wiadomo, ze Isinn a l $1 . P I : : : ~ r Yfbustronnie te zaleznose przez (I"r.

., I (InSr S (lnS r __ ISzereg !;n s y jest szeregiem geometrycz. zbi~inym 0 ilorane. q - ~ 5:Na mocy kryterium porownav czego szereg r J 2 I Je-stbezwzglednie zbieznya wiec jest takze zbiezny,73/ Zbadac zbiezllosc szeregu t arctg ~ .(Kryieriuo: i lorazowe) .~ 11Wybieramy szereg : f.b. = : t ~ .

10-1 1 ' 1 ' . . . - 1 n- 23-


13/34

Biblioteczka OpracDwwi MafemalycZllVch5 5 5 . 5a orelg -r arctg n~ arcsin ---. 1 10

k = - l im - :- " --= lim In lim S lim . ,,- - 5 - = - -lI.....!;I0 _ll: _ III -c 5 P _X ,) 5 1C Jr

"t ~ ----; ; -aTC-CQS -rNa mocy Jayter iu"m ilorazoweg~ . poniewCi. szereg b, jest zbieznyszereg LD. tez jest zbiei:ny.

n~

74/ Zbadac zbieinosc szeregu: f logJ(L + 2 . . ) .(Kryterium ilorazowey 0= 1 3"Jako szereg b, wybierzmy np.: f 2 . . .

n 13"Wykorzystamy rownosc:

l im 1 0& (1+n) = _ ,_, , _ _ , u I I 1 J D O

IOgl(J +-k = lim ~ = lhn 3 ff Jn-'"'' b " , , - . ' " 1 In 3

3~ ~ 1Poniewaz obliczona liczba kjest skonczona oraz szereg ~ yjestzbiezny, wnioskujemy, ze badany szeregjest zbiezny.2. Szeregi liczbowe przemienneW pierwszym rozdziale zostala sformutowana definicja szereguprzemiennega oraz kryterium Leibniza do badania zbieznosci takichszereg6w (1.9) ..Od razu zatem przejdziemy do prezentacji przykladowdotyczacych badania zbieznosci szeregow przemiennych.

PRZYKLADY751Zbadac zbieinosc szeregu: !(-It(VS -1).Do zbadania zbieznosci wykorZYstamy kryterium Leibniza 1.9).Sprawdzamy warunek cz y granica bezwzglednej wartosci wyrazuog6lnego szeregu dttZydo zera :lim(~ -1)= 0 poniewaz lim z J5 = = II'J_tl n_.r

A zatem warunek jest spelniony, Nalezy jeszcze sprawdzic czybezwzgledne wartosci W}TazOW szeregu tworza ciag rnalejacy:

- 24-

Biblioteczka OpracDwail Matematvcznychiech:

Zacbodzi: l a 1 = .~ - I~ 1 0 1= V 5 -1:. - . r s -1 < i f 5 - I: b o - . r s < ifSponiewai. warunki kryterium Leibniza s:t spehiione, szereg jest zbiezny,. " ( I ). . .ry6!Zbadac zbiemosc szeregu: ~(-Ir'" 3P ( J ) , . 1 ( 1 ) ~ 1 ) 1 ( I ) 2~ (- 1rln 3 " = = I 3 " - 2 3 " + 3 3 " - . .Rozpatrzmy szereg bezwzg ednych wartosci wyraz6w tego szeregu:f 1 ( - I T T ' n ( ! _ ) " - I I " f ~.1 (*)j 3 .=1 3Do zbadania (*) wykorzystam kryterium d'A1emberta:k= lim (n +l)3o-1 = lim n+I~=.!..


14/34

I

I

I

Biblioteczka Opracowafl MafematycznychWartosci bezwzgledne kolejoych wyraz6w szeregu przemiennego mal'. a moey ~erium Leibn~jest to szereg zbiezny. Ustalmy jeszcze c~'tJest on zbiezny bezwzgledaie. w tyro celu nalei;y zbadac szereg 0w v : . _- razach. bedacych bezwzglednymi wartosciami wyjsciowego szere~.Zastesujmy layterium calkowe:dtj~ p m J-V-,=5~dx+4r=~lim[2.}5x+41 =_ !_ Lim2 . J 5 k +4-4)=:00a X + _'" 0 1 , ' - ' 2 1 , , 1 =::1 ) t L 5 ......Ponje~ai. sze~eg 0wyrazach dodatnichjest rozbiezny, stwierdzamy, zeszereg jest zbiezny tylko warunkowo.

f(-IJ ~~ & " 3,,+591 Zbadac zbiesnosc szeregu:(Krylerium Leihniza)S prawdimy czy: . ' ; / 0 1 I I In+11 < I l l . I..J2n-3 .J2n-5II =0 ' U =---

.+1 3n+8' 3n+5'_ __"'/211-3 .}2n-5 _ .J2n-3(3n+5)-.}2n-5(3n+8)

u n+ 1 u" - ----'- r=:---'-.,..,.....:--.-:-..:.__:_::J..3n+8 3n+5 (3nt8X3n+S)Nal .e~ zbadac dla jakich n EN, licznik powyzszego wyrazeniajestmmejszy od O . .../2n- 3 (3n + 5) < J 2 1 l - S(3n + 8)/'

- 18n2 + 72 n+ 245 < 0Nierownosc tajest spelniona dla D naturalnych wiekszych od . ,6".A zatem ciqg jest malejacy dla n > 6.Sprawdzamy warunek konieczny zbieznosci:

211 5-J21l - 5 -- -lim lim I) l 11 l = 0_ 1 3" + 5 3 1 1 5-+-n n

Ostatecznie na mocy kryteriurn Leibniza szereg jest zbiezny,Zbadajmy jeszcze czy szeregjest zbiezny bezwzglednie.t. ,J2n-5 .Badamy zatem szereg: [ 3" +5 . Wykorzystamy do tego kryteriumilorazowe. Niech szereg ~ _ ~ 1 bedzie szeregiem pornocni--czym Lb.-L~ ....1 1 ,J2I1-5

Biblioteczka Opracowan. Malematycznychu OR I'. ~~ Ii 2n-5 2Ii = = 1III -= lID III --=-.-"b. R-+"- 3n+5 4-'~3n+5]~ ., 1

Szereg ~ h.;-~ J 2 1 1- _ jest rozbiezny wiec na rnocy kryteriurn ilorazo-_wego szereg badany jest takze rozbiezn . Ostateeznie szereg przemienny:f(-rY ' /2"-3 jest zbiezny warunkowo.-:0 3" + 5 ~ J8 0 1 Z h od ac zbietnosc szeregu: ~(-'r 3"+2 .(Kryterium Leibniza)Badamy warunek konieczny zbieznosci: lim1_= O.Warunekjest. n-." 3"+2spelniony.Badamy czy ciag bezwzglednych wartoscl wyraz6w szeregu jest malejaey:

I 1a = .. . a =--....1 3 "+1 + 2 ' ~ 3" + 2 ' Poniewai r~1+ 2 > J" + 2Ito


15/34

Biblioleczka OpraCCl l i 1an Matematvcz-nvchZbadajmy jeszcze czy szeregjest zbiezny bezwzglednie,

. ~ , , 1Z dowolnego kryterium zbadamy czy szereg:2:-l -jest zbieznv,Niech to bedzie kryteriurn ilorazowe, "'111 -2 .~ 1Wybieramy pompcniczy szereg ~;; , rozbiezny,n-_- 3

k =im~'" lim n' -2 =im_'_1 -=1....."b~ n->~ _! _ n__ } 7J - 2 ~ . n ; :Otrzymuj k IJ I' b k k ". 2:-'-1jac s onczona ICZ ~ wy azalism , ze szereg: ..../1 --jest rozbiezny. Ostatecznie szereg 81/ jest zbiezny tylko warunkowo.8 21 Z bad a i: z bi ei no s c s z er eg u : : t ( ~ J ' "B d k koni .,..l 1011-)a amy warune omeczny:

. ( - 4n J 2 ' " r < I J 1 " . ( 1 6 ) "!~JQ,; '=3 = !~l-0-; "'!~ 100 =0Warunek konieczny jest spelniony,Badamy czy szeregjest zbiezny przy pomocy kryterium Cauchy'ego:I, = lim ( -411 )'" _I' ( - 41/)~ I' 16n~ 16,,- -- -In -- =un _ -In n n'"Izereg ~ -;;jest rozbieiny, wiec na mo~y kryterill~ p?r~\vnawczego .badany szeregjest rozbiezny, Ostatecznie szereg 831 nie jest bezwzgledniezbietny. Szereg 831 jest zhiezny warunkowo.

.J bieznosc ~ (-Ir Inn8 41 Z b auQ c z te zn os c s ze re gu : L . . . . .0=2 ni:(-)" In 11 = In 2 _ In 3 + In 4 _ . .l /I 2 3 4

Sprawdzamy warunek konieczny zbieznosci:Ilim In n ~ r ~ ] ~ lim -;; = lim _ ! : _= 0 .' .w" D n L 00 .... ' " 1 ... n Warunek konieczny jest zatem spelniony,Poniewaz dla kazdego n E Nln(n) < D, oraz n + 1> n wiec mozna zapisac:

1 In+I>11 - Inn zaiem -- 2 prawdajest, ze Ion> 1.Mnozacebustronnie ostatnia ._ 2 n zaleznosc przez lIn otrzymujemy:In /I 1"'I ->-Szereg ? ; - ; ;est rozbiezny , sRt.d;a mocy kryterium. por6wnawc~egorozpatrywany szereg takze jest rozbiezny. Ostatecznie szereg , g 4 J Jestzbiezny warunkowo. '" lrb J b.. I(-I)cos-85 1 Z Quae Z i eznos c s z er e gu: _ 6n .Wiadomo, zejest prawda;

ora: _! _ < I c e s E . . I2 611-29 -


16/34

Biblioteczka OpracDwwl Mafematycznychn4 UJ II =.!!_ ____,.' l im cos u = I6n Dla '.,. .{ '. A zatem warunek konieczny

zbieznosci szeregu nie jest spelniony, Szeregjest wiec rozbiezny.3. Wyz:naczanie przedzial6w zhiemosci dla szeregow fllDkcyjoych

Szereg fnnkcyj nv - to taki szereg, ktorego wyrazy sa fuukcjam i:(3.1.~Obszar zbieznosci szeregu - zbi6r takich wartosci x. dla ktorych szereg

funkcyjny jest zbiezny. ~Szereg potegowy - to szereg fuukcyjny postaci:~:S.2)Inb .,(3.3) ~a.(x- .xor = au + a1 (x - xO)+a2( x - xQ f + ..Obszar zbiemosci dJa szecegow potegowych to przedzial symetrycznywzgledem punktu X=0 dla szeregu (32) oraz symetryczny wzgledemX =X o dla szeregu (3.3).Aby wyznaczyc obszar zbieznosci szeregu funkcyjnego korzystamyup. z kryterium d'Alernberta, a z pornoca innych kryteriow rozstrzyga sil to zbieznosci dla tych wartosci x, dla kt6rych kryterium d A1emberta nierozstrzyga zbieznosc i,Promien zbieznosci szeregu potegowego to takie R ~ 0 ze daay szeregjest zbiezny dla wartosci x spelniajacych nierownosc ~ ' ( I< R .Jezeli istnieje zatem granica:liml~= g'" 0

n-41 Q.. j 1to promien zbieznosci tego szeregu wynosi R = g . Jezeli g = 0, to R = = 00.Jezeli g=co , to R =O.

PRZYKI.ADY~ 1861 W . d 'a J bi .. Lxn-ymaczyc prze Zl Z tesnosct szeregu: n~1 II.

~ XIII .x1..r1:I.oCL-=x,-+-+-+".:1 n 2 3 "Zapi su jemy wyraz 11 - ty oraz n+1 - szy:

-30

x na =-~ n '

B ib lio te cz ka O p ra co wa ri M a te ma ry cz rr yc h

zgodnie z kryterium d'Alemberta szukamy granicy:k = ~ ~ l a ; : ' l~ ~ \ ( n X ; ~ I ~ := ~ ~ I n ~I= . I ; t l ~ ~ \ ~ ~ J~x l . , .Badamy dla jakich WartOSCI X graniea ta jest mrnejsza odjednosci.S t 1 t d j.rI -1


17/34

Biblioteczka OpracO'wan MalematvcznychI I I;r


18/34

B ib li ot ec zk a Op racowan Ma le 71 1 a t yc zny chSprawdzamy kiedy zachodzi: I x !


19/34

Biblioteczka Opracowmi MaJematycznych'"' tgx IglX tgJ_( is'"-,-~tgx+-,-+-, +-,-+.1 : : n: 2- 3- 4-Zbadamy szereg przy pomoe)' kryterium d'Alemberta:r t g n + t . : r l i m l l l l l g : t I l l im nl I Ig=~~ 1rtg".~ "'.,,_... (n+l)l =.Igx "..~{n+IY = IgxSpraw y dlajakich x szereg jest zbiezny:

I I~I


20/34

Biblioteczka Opracowah Matematycznychbadania przedzialu zbieznosci szeregu Taylora, jako zwylclegoszeregu potegowego,

PRZYKI.ADY1011 Roz' f I ' inq_cjimkcjr : Y=e'w s z er eg Mac lau ri na ,Obliczamy wartosci danej funkcj i ijej pocbodnych dla x = 0:f(a)= e O =l;!'(x)= fll(X)= .. =/ k ) ( X ) =e':f'(0) = / ,, (0 ) " " ..j


21/34

Bihlioteczka Opracowan Malematycznvch Bibliofeczka OpracowaJl Matematyczl1vch106/ Rozwinac funkcje f ( . x ) = 1 ~X 1 1 - ' szereg Taylora 11' otoczeniu xo= 2 _ObIiczamy wartosc funkcjioraz wartosci kolejn ch pochodnych ella X o =_

/(x)=_I_: /(2)=~1 =-1I-x -Ir(x)= -( 1 \! = (1- .ftl; /,(2)= (-J)-~:l-.f)r(~)= _2_= l(I-.xY': r(2)= Z(-ltl;(I-~rr(x)=-( 6 )4 =6(I-x)-


22/34

=f(a}-" " " 1 1

B ib li ot ec zk a Op racowa iz Ma t emaryc zn . yc h Bib lio te c zka Opracowaiz Mate tnatvc znvch

Obliczymy promien zbieznosci tego szeregu korzystajac z kryteriumd'Alemberta:lim \ a - l l _ Lim1a(a -lXa-2Ha-n) n! =" J a - n l = 1. - \ a w l - . - , fll(fI+l) a{a-IXa-2}.(a-fl+ I) "411+1Sutd szereg mozna rozwinae w szereg Maclaurina dla dowolnego u,wprzedziale(-l,l).1081 Rozwino: funkcje f(x) = In(x) 11 ' szereg Taylora Wotoczeniu XI) =1.Obliczamy wartosc funkcji oraz wartosci kolejnych pochodnych dla)


23/34

Biblioteczka Opracowail. Matemalycznych1 1 2 1 Ro : :w i nq_cw szereg potegowy funkcJf#_ y = e -x.Do rozwiazania zadania wykorzystamy rozwiazanie zadania lOll.Wstawiajac w rozwinieciu funkcji y = eX , (-x) zamiast X. otrzymamyrozwiniecie zadane] funkcji.~ ;r ,T' Xl (-1)" x "e" =l--+---+.,+ + ..II 2! 3] III1 1 3 / R o zw i nq c w szereg Maclaurina funkcje y

Biblioleczka Opracowail MatematycmvchDo rozwiniecia w szereg zadanej funkcji wykorzystam poprzednie za--danie. S U L d , podstawiajae za x, (-x) otrzymujemy rozv iniecie funkcjiw szereg potegowy:0I '= ' (I-X)', =(l+(-x)j', = I + ( - r } - x ) + ( - ? } - x T + ( - ~ ) ( - x r + =t ( - 1 5 ) ( - J t ' x ''1 1 . . . , n1 6 t Ro zw in q _c w szereg POtf l l501,1'Y funkcje : J'= "" J 1-. . 1 . .1Do rozwiazania zadania wykorzystarny poprzednie zadanie, A mianowiciewystarczy zamiast (-x) wstawic (_x1). Otrzymamy w6~ czas:)'~~= ( I - x ' , ' , =1 - ( - ~ ) X l + ( - ~ ) x . + . . + < - 1 ) " ( -X ) x ' . +..." i : < - I } " ( - ~ } x " "-./1- x' I 2 " . . ( , IIKorzystajac z wlasnosci (4.4) mozna otrzymac szereg potegowypoprzez rozniczkowanie innego szeregu wyraz po wyrazie wewnatrzprzedzialu zbieznosci. Wykorzystamy w tym celu zadanie 107/ .Zauwazrny, ze: ,

y = ( - I~ J = (I+lx)' = X +~x+I( - - = - ! _ ) ' ' " -(1+ .1 - )- ' ' " _(I+ (-l )x +(-IX- 2)Xl +,.+ (-IX- 2X-3}.(-I- k + I) x" + . . . =1 +.:t l! 2 1 k!=-J+x-.r1+ x' -..+(- Lj x' + ..Rozniczknjac wyraz po wyrazie otrzymujemy rozwiniecie w szeregfunkcj i 1 1 3 / :f(x)"'1-2x+3x2-4.~+..+k(-l)xt+.. 11141Rozwinqc w szereg potegowy fimkc}tt.: Y = . , ) 1 + x

1171Rozwinq i : w szereg funkcje: Y =arcsin xPonownie wykorzystamy gotowe jut rozwinieeie. Jezeli bowiem sze--reg 1 H i / , wykorzystujae wlasnosc szeregow potl(gowych (4.4) zcal:kujemystronami w przedziale , to otrzymamy rozwinieeie W szereg funkcji= arcsin x, Stad:

r dx 1 x 3 1 3 Xi I 3 5 '" 2n -1 x"""y=arcsinx=J.JI-x1 =x+2J+24S+"'+246 .*-:;;;-2n+l + ..I1U l ! ROZ'H l i l lQC funkcje w szereg: r = . J ' .l+x

Wykorzystamy rozwiniecie funkcji w szereg potegowy z zadania 107/ .Jako 0. przyjmijmy - 12. Otrzymujemy w6wczas:y= Jl~X = ( i+ x r Y . ~ 1 + ( - r } + C ~ ) x 2 +...+ ( - ( z } " + ...=~(- ~}. =

1 1 3 J.=l--x+--x +...2 24W obliczeniach wykorzystano zaleznosci: X ) = _ 2 . . . ( - ~ )= T ( T L 2 . ..~ ; ( - ) { ) = [ ( ~ I ) ( - / X T ) l ~ - 2 . . ~ l .1 2 2 .224 J 113 246

Do rozwiazania zadania wykorzystamy zadanie 1 1 4 / . Zamiast (x) zapisze--my x3 . A zatem:y; J l~ r = ( l + x l y X = 1+(- r } l + ( - r}' + ( ~ ( z J x ' + ..+ ( - r } 3 .+..= ~(- ~~

1U9J Rozwinqc w s z er e g funkcje: Y = J 4l+xPodobniejak poprzedni szereg otrzymamy rozwiniecie w szereg funkcji119 / . Wystarczy w zadaniu 114, zamiast (x) wstawic x . 4 )'=_1 . =(I+x') '~ =1+(-~ J ; r '+ ( - ) ) J x . + . . .+ [ - ~ J X 4 ;+...~ i : [ - ~ ) : r ' .. J I+7 l 2 k ..(1 nUwagaJ Wykorzystujqc rozwilli~.cie pewne] fllnkcji w s z er e g po tr gow ) ,do otrzymallia rozwiniecia w szereg innej fimkcji, przyjmlljemy jaJwprzedzial zbietnosci; przedzial zbieinosci szeregu wyjsc iuwego czylipomocniczego.

[ - ) 1 ) = (_I)' ~ ...2" - 1n 146 21115/ RQzwinq_c 11' szeregfunkcje: I (. )_-")=~= I-x Ivi-x .

- 43 - -44 -


24/34

Biblioleczka Opracowan MatemafvcznvchuolRozwinqt w szereg potegowy funkcje: y = =JI - X'Wykorzystamy zadanie 114 / . Zastepujemy (x), (_x3) orazjako aprzyjrnijmy Vi. Stad:y = . J I - x J = (l- . r~ )~ = = I+ ( J ? } _ X l ) + ( 1 ) _ X l ] + ( 1 ) - : r 3 Y L... + ( J ? } _ X l l + ..=

Biblioteczka OpraCOlVQfZMatematycznychil2l1 Rozwinqi: w szereg Maclaurina jul1kcj~ y =arctgx.Wykorzystuj~c wlasnosc szeregow potegowych (4.4) icalkuj~ szeregz zadania 1211w granicach od 0 do x otrzymarny szukany szereg:a x x'.xS.x 1 '" ~I X-"-II-~ =x--+----;- ..L :(-lr -ol+x 3:5 7 2n-1

= l-_I_x' --. I_x" -~x - ..= ~ ( X ) ( - I ) "x'U"'2 21"'1' 3!*2.' ::, nWykorzystalisrny zaleznosci:( M ) = 2 _ . [ X I = J~(-1) 1_.I z ' 2) 21 2'.21'

231 Rozl1Iinqt w szereg Maclaurinafunkcje sinh r = e7 -e-~2.Aby rozwinac funkcje w szereg wykorzystamy rozwiniecie funkcji y = i< .

1 3e" =1+~+~+!_+ ...l! 2! 3! x Xl Xle- =1--+---+ ..I! 2! 3!( ( l + ~ + +~ >. .- I - ~ + ~ : -~ >.)sm h x) = 2 . X X' x'+ - + - + . .,=II J! 51Uwaga! Rozwini-fcie w szereg Madallfina funkcji y= (1 +xr jest

/zW. szeregiem dWllnriennym. Dla wykladnika m naturalnego szeregbedzie zwieral skonczonq i Jos t HryJrazow rownq m +J. W tydl przy--padkach powYZszy szereg sprowadza si~ do wzoru lUI dwumianNewtona. Gdy m nie jest liczba "atllralnq no macy kryteriumd'Alemberta szereg dwumienny jest zbieiny w przedziale (-1, I).

1Y=-1-+x

!Z _ t : . 1 t I . . r ]

=~(2n+l)1 24 / R ozw in qi: w s zer eg Maclaurina funkcje ) , o o ; . / x + IZapiszmy funkcje w postaci: Jx+l = (x+ 1) KPonownie skorzystajmy z szeregu dwumiennego dla II = Y z .~T(j,t(1H~}' ( ~ } , +{lJ}+. .= ,+-,~,.,~~ x' + .. =

. , .0 n r1 2 1 / R o zw i na i: "II s z er e g Mac la u ri na f u nk cj e:Funkcj It 1211 zapi szrny nastepu] aco:

] ( lr-IY=--2= 1+x )l+xWykorzystamy tu szereg dwumienny (zad, 107!) przyjmujac zarniast(x) (x_2) oraz II = -I. Azatem: 1251 Rozw inqc w szereg Maclaurina funkcje y = si n 2.W rozwinieciu funkcj iy = sinx wystarczy wstawic (x2) zamiast (x).

Dla przypomnienia rozwiniecie funkcji y = sinx rna postac:3 ~ 7 1(1'-J

, X X x xsm x = x - 3! + 51- 71+ ..+ ~(~2n--- l" "" )A zatem rozwiniecie funkcji y = sin x2,

2 x6 xlO Xl4S1nXl =x --+---+ ...3! 5! 7![ - 1 ) , , 1 ' [ - 1 ) - - 1 ' [-I)=~(-IX->---.. .


25/34

Bihlioteczka OpraCOWGl7Matematycznvch126/ Rozwinac w szereg Maclaurina funkcje y=>' dla a> O.Obliczarny wartosc funkcji oraz wartosci kolejnych pochodnych dlax=o. .r(O)""ao=1~ j'(x)=o'lna J'(O)=lna:

r(..r)= aL(lna)2; 1"(0)= (I n aJj ' " ( x ) = a 1 0 a r J " ' ( O ) =(lnarf!(x)= a"(loat I " ( O } = (i n at

y=a' = 1 + In a x+ { L n a r Xl +..+ ( l n a y X +..=f ( L n o y x"U 2! k ! .=0 n!

Biblioteczka OpraC( } )wm Matematl'cznychS(- / )=S( i )=~l~J (X)+ !~/(x)1

DodatkCwo warto zapamietac, ze dla .(unkcjipa~st~j wszy~e wSP~--er;1lfliki b, s< l_owne O. a szereg Fouriera odpowiadajacy takiej funkcjinie~zawiera sinusow.Dla funkcji nieparzystej wszystkie wspelczynniki a, sOstatecznie szereg Fouriera dla funkcji 1271 rna postac:- 48-


26/34

Biblioreczka Opracowail Matematyczn}'ch Bibliotecrka Opracowafz MatematycznychI" '"in nxf(x)=2- LSin nx = 22::--11 . .-=1 .. ~I n1281Rozwinql: 1f' szereg Fouriera funkcje ftx] =x I wprzedziale

(-lC, 1 C ) .Funkcja f(x) = = I x I jest parzysta a z.atem wszystkie wsp6tczynniki bkbl~:d4rowne O . D o o bi i cz en i a p oz os ta ly z.atem wspOlczynniki ~ orazak. Funkcja spelnia warunki Dirichleta,I ~ 1 ( 0 " J 1 [ X 2 J O I [ X l J ~o=-J J(x }1 x=- J -xduJ xdx =--- +-- =;r7r _. ;r _~ " 1L 2 -tr 7r 2 0

I I 0 1 Ia~=- f J(.r)cos kxdx =- J - X cos kxdx + - J x cos kxdx =-l (2 cos ktr - 2)1 L _ .- ;r -k It n 1 !k

2k=3~ ~=:;-; ... k=2n-l~.l~lk=4~ b~=-;...=2n~2k=2~ bJ=-1;Azatem szereg Fouriera dla funkcji y =x rna postac;x = 2 5 m x _ 2sm 21 '+ 2 5 m 3x _ 2sin4x + . . .. = 2 f, ( -I t 1 sin nx

I 2 3 4 .,...\ n1301 Rozwinqcjunkc'r:_ w s z er e g Four ie ra :o -1r~:X


27/34

B ib li ot ec zk a Op racowan AlatematvcznychDla k parzystych ak = 0 co la two sprawdzic obliczajac kilka po--czarkowych wyraz6w parzystych.Dla k nieparzystych otrzymujemy:

2k=l~ QI :=--; k=3---i>n:

B ibJ i ot ec zk a Dp racawan .Ma temat yc znv chostatecmie otrzymujemy zereg:J(; r ;) = . ! .- ! ~ sin 2 m L 1 ' x'" n. 12 : : r : i n 1 x :>O1331_Rorn' inqc w szereg Fourierafunkcje: f (x )= gn r= 0 )"=0W przedziale (-rr,rr).. ..' . -I ~ < 0Funkcjajest nieparzysta v lICewszystkie wspolezynniki a, rowne O.

2'" 2 2 I, ,)b =-Jsinnxdx==-[cosnxl;" =-~-(-ty" lfo n 1C n s :{

0 n=2k;bI t = _i_ 1 1 = = 2k - 1;

10 7

Ostateczoie wiec szereg Fouriera dla funkcji 1331 rna postac:4 '" s in {2 n-l} xJ { x ) =-;;~ 2n -1 ( po niew ai w s zer eg u s q tylko l I 1 'r a z y z s i nu s am idla IInieparzystych).134J R o zw in ac w s ze re g F ou rie ra funkcje y = xs in( x ) dla x E .Przedzial calkowania jest ymetryczny wzgledern x. = O.Funkoja jest parzysta, wiec wszystkie wspolczynniki bn= sa rowne O.Obliczarny zatern wspolczynniki all :

1 I< 1 . 2;[a =- Jxsin xdx= -(-7fOOS7f+ sin 7f-1 COS7 l+S lU7f )=- =2o 7 f " 7f-~ 1 ..a=_J_ rJxsinxcosnxdx= _1 "Jx(sin(n+ l)x+sin x(l-n)}lx = = - Jxsin{n+ l}.rdx+" 2;r 27f 211'-:r

t_!_ " 'JxS~I-n)Xdr, :~-", : :" ,cO~:I}H-( I s i~n+lp-I +_ !_ . [~co~l-np-+- ( I.l SiI(I-n)x]=2Ir . n+ 1 n+1 2 n : I-n 1 - 1 1 /- . . . .

2k=n~ Q=--2ttnbt = .l . J J( x )sin kxdx = _ ! _ jx sin kxdx =_ ! _ ( - :r cos I r k ) = _ cos 1fk;r -)[ 7f 0 st k kIDla k parzystych otrzymujemy wspolczynniki bk=-~ .Dla k nieparzystych otrzymujemy, wspolczynniki ~: bk = _ !_Ostatecznie szereg ma postac: n.r(x)=~~OOSHSim- sin2x 2cos3x~_ ..= . : : : ~ : tCO~2n-l~'+ ix-l~ SiMX4 Jf 2 3!;[ 3 4 7f -=i (2n-t)1"'1 n1321 Rozwil1Qi:fUflkcj~ w s z er e g Four ie r a:I(x)=x-n n~x~n+1 ne ZJest to funkcja okresowa 0 okresie 1 , s t ad jako I przyjmujemy 1 1 : 1 Do rozwiniecia funkcji w szereg wykorzystamy wzory (5.4):(5.4) IUa. =- j f{x)cos 1mX dxI 0 I

'Ib I-fr() ' 1fffXL"=- x Sn-uAI II I1 21

Go = - f j ( x } i TI uWzory (5.4) stosuje sie przy rozwijaniu w szereg Fouriera funkcjio dowolnym okresie.00'" 2 I X d l " = 2[~]1 = Io 2 0Ia. =2 IX cos Lnnxdx0 poniewaz funkejajest nieparzysta.

fi

h. '"2 Ixsjn 2ntwix = , , r -.2:_cOS2nnX+~Sinlnm:JJ = _ J . . ." 1nll" 4 1 7 " n IQI

= _1 _[ -7 f cos (n +lp +O - :r cos(n+IPr :r cos(l-n):r-_E_cOS(l-n)n-]=2:r n+1 n+ I n+ I 1- n I-n= . !. (- 2cO! (n+ l) ;r 2 co4) -n)IT)=l( l-n)co{n+lP+(n+I)OO{l-n)7f) -2coi . ,n 1);r2 71+[ I-n 1. l-rf l-rf2(-1)"= I-n

(Przy obliczaniu calek wy ko r zy s ;a n o m e to d e c oi kow an to przez czesci}- 5 1 - - 52-


28/34

Biblioteczka OpracowafI MatematvcznychOstatecznie szereg Fouriera dla funkcji y = xsinx rna postac:

ee 2(-1)"xsin x = 1 +L--, cosI1X, 1-n-135/ Rozwi;q_c junk ,cj ' l. y = I t ' w przedziale ( - 7 [ . 1 1 : ) w szereg Fouriera.o funkcji wiadomo takze ze:f(x +2'l) =(x); f(-n:) = f('l) = ' l '2 (err+e"}Obliczamy kolejne wsp6lczynniki dla szeregu:00 =.!. j e ' o ' x= . . ! . . k t = e" -e-"It _it 7{ It

I~ J S d I[ " e ' S i n l u + e ' c o s n ; r J ~ I e ' c o s n 7 t - e - C o o s n 7 f )Q_ "" 7 t e c o s fIX l" = 1C ,, 1 1 ==-;; n: + 1

-K -~

Biblioteczka Opracowan Malemafyc::nvchI 2 S 1C _ L 1 [ l 1 e < sin ny+ e " COSn:cJb 1 ( e 2 1 C COS2l ' l7 l-1) 1 e l '" -1a =- e COS/UUA=- =- , =--2-" iT n l1. /12 +I 0 It n: +1 1{ n +I1 h J " . d: [[eZsinnx-ne~cosnx]" 1 ( - n e h + n ) - n ( eh - 1 )=- e SillflX :t=- =- ==- -,- ;r" !f ,, 1 + I u:r , ,1 + I st 1 1 - +I

f( ) z e"1 - l ( 1 ~ cosnx-nsin n r J=e =-- -+_---,?,...---7l 2 01 n: 1

137/. Znaleic rozwiniecie funkcji y =' w szereg Fouriera w przedziale(-112).Podobniejak w poprzednim zadaniu obliczymy calki dla znalezienia wspol-czynnikow w nowych granicach (-2, 2).

1~ i-e-:: e


29/34

Biblioleczka Opracowan Matematyc::l'lychObliczamy kolejne wsp6tczynniki ze wzor6w Fouriera (5.2):0 D = _ !_ 1 l " 2 dx = _ !_ [ ~ ] h =_ ! _ ( 8 l f3 J = 8 ; r l

!to li30 1r 3 3

Biblioteczka Opracowafl MatematvcznvchRozwinil(cie funkcji 139/w zereg Fouriera wedhig cosinusOw rnapostac:

(x) =_! _ + 4, ~ cos(2k - I )n xf 2 Jr. ~ (2k-lf1401 RozwinqC fimkcj~!(x) = xcosx wprzedziale 1 '1 ' szereg Fourierawedlug samych S;nWiOl1 ' .Jete Iifunkcje chcemy rozwinac w szereg Fouriera wedlug sinus6wprzedluzamy ja nieparzyscie na sasiedni z lewej strony przedzial.Wszystkie wspolczynniki c, sa rowne O.Jako I przyjmiemy x,b,,=3_ jxcosxsin m d y " , 2 j~(cOS.1"Sinn_f)d: f = _ ! _ f . \ { s i n ( J +lIx)-sin(l-n)}dx=; r G 7[02 7[0_ 1 [ ."(cos(l + n~~ I. ( 1 L ;rcos(I-IJ~r I .. (I L ] ~_- ( ) +~! su -n/-t+ ( ) -( )lsm -rip.7f I+ n ~11 J I-n I-n u

(-11+ I ) c o s ( t + n )n - - ( 1+ n }cos{n -I}n - _ ( - I ) " 2 n,,2-1 - /'111 dla n z Z,Dla n = I wsp6kzynnik bl obliczamy osobno:, ~ L

hi =~ JxsinxdT=-2Ostate~znie szereg Fouriera dla funkcji 140/ rna postac:sin x" "2n.)l=XCOSX =---+.:(-1) -2-sm nx2 n2 n-I1411 ROZWinqf:!WlkcJ'l!(X)r' szereg.Fouriera w przedziaie (-2,2).

() 0 -2


30/34

Bibliofec~ka Opracowail Malemafycznych Biblioleczka Opracowan Matematvcznvch~ 1poniewai: szereg 2 . : " " " T jest zbiezny oraz zachodzi:11:1"1 nI ) " - - { sin n:r I ~ .i,l-I . .tI~ ndla wszystkich x E R. _. "Zatemna rnocy kryterium Weierstrassa szereg jest.jednostajnie zbiezny,~~I :L-e"1431Zbadac zbieinosc jednostajna szeregu: . -1 " ' - 11' przedziale (0.w).

Dla dowolnego x E R idowolnego n E N zachodzi:I ~ e ~ I " , , ~ e - ~~ a szerez ~ _!,J'est zbiezny. Zatem na mocy(6.3)11 nne- ~ n:kryteriwn Weierstrassa badany szeregjest zbiezny jednostajnie dlax E (0, co)l.\4Ji Zbadac zb iezf10sc jednostajna szeregu: .~ ~ )IIprzedziale .

b.J~dla n=2k-t1 Odla n=2k:Ostatecznie szereg Fouriera dJa funkcj j 1411rna postac:/(x)= 2+ 4 Ism (2n-l)m.-:IZ"(2n-1) 26. Zbieznosc jednostajna szeregowZbieznosc jednostajna szeregu oznaczarny:(6.1) ff.(x)~ f ( x )

"-IM6wimy ze szeregjest zbieiny jednostajnie w zbiorze E gdy:(6.2) /\ v /\ /\ I r / T ( x ~ < E~~o n o SE: , , , ~ . , . ogdzie rn (x) jest n - u t reszta szeregu.Czyli szeregjest zbiezny jednostajnie w zbiorze E wtedy, gdy cj' tgresztjest zbiezny jednostajnie w zbiorze Edo o .Do badaniajednostajoej zbieznosci szeregow wykorzystuje siekryteriurn Weierstrassa zbieznosci jednostajnej szeregow.l{!ylerium Weierstrassa:(6..3Jezeli spelnione sq warunki:aJ v A I I " (x l s : an n= 1 ,2 ,3 . .all ;rec;ak>

~d()WOlnego x E idov olnego n EN zach~:;x" 5" ~ L::._11 ! s- - ; ; t o Na mocy kryterium d'Alemberta szereg: .~l n! jest.zbietIlt_.a zatem szereg 1441 jest jednostajnie zbiezny na moey kryterium (6.3),1451Zbadac zhieznosc jednostajna szeregu(-i {; 5{ ) .W przedziale (- j{ . .~) zachodzi:

i>(arc(g ~ )" w przedzialeRp t

bl ia .


31/34

Biblioleczka Opracowaii MatematvcznvchAby stwierdzic czy szereg jest zbiezny jednostajnie mozna badaereszte rn

~ x~ 1I r . ( . x " } < < 2 - < er: 'L ~ l! (n + l ) . x ,,+ I1+ 1 r +...+XNa podstawie definicji (6.2) szeregjestjednostajnie zbiezny dla

1 1n+1>-: n>--I="oe E

7. Zadania r6i;ne dotyczace zastosowania szereg6w

Biblioteczka Opracowan Matemat}lcznychf i t : = 0,0625 = 2.604.1O-J "" 0,0026 > 0,0014! 24PoniewaZ czwarty wyraz szeregu jest wiekszy od zadanej dokladnosci,obliczamy piaty wyraz szeregu dla x=iz :(t}1 =0,0312 = = 2,604*10-


32/34

Biblioteczka Opracawan Matematycznycha 1=1; a~=0,0039; a3 = 0 000028.Juz trzeci wyraz jest mniejszy nit zadana doktadnosc, a zaternwystarczy zsumowac dwa pierwsze wyrazy szeregu.V260 ""4(1+ 0.0039 - 0.0000228) =4 * 1,0038772 ;::;;,0' 55

Bihlioteczka Opracol1'm2}"lalematycznychlS3 ObUczyc: .x + 3x2 +4x3 +5x~ +6xs +...la Ix l


33/34

Biblioteczka Opracowan MatematycznychAby obliczyc sume szeregu zauwazrny, ze szereg 1551jest sumaarytmetyczna dw6ch szeregow:~( ).~I f-( Ir-11L-I 2 ora: L... - -""I " ,,=1 n

.. I 11' ".1 1Wiadomo ze L2 = = arm L(-Ir - =In a zatern suma szeregu, .=1n 6 .4 nl s s J wynosi: s = i ( ~ + m 2 J

Biblioteczka Opracowail Matematycznych8. WaZoiejsze szeregi11Szereg Dirichleta (uog6lniony szereg harmoniczny):,., 1L - - ; ; - aERIJ=I nSzereg ten jest zbiezny dla II>1,a rozbiezny dla n :-: ;1.21 Szereg anharmonicllIY:f. ( - l Y , + 1 l_,,~l njest zbiezny ajego suma wynosi In2.

., ~l I lC z3 1 ~(-I) ~~12., 1 7t24 / ~ 7 = = 6f.( t" I Il5/ L-1 2n-) = " 4n=J., 1 I61 L (-Lt ,""-,,=0 n. e'" 17/L-=e,...0 n!

81 f. (-It IL= In"...! n~ x" r Xl Xl9/ e' '" ,,- = 1+~+-+':_+ ..dla IER:! S : n! u 2! 3!

10 / ( I + X r = i : ( a ) t n dla -1


34/34

Biblioteczka Opracowan Matematycznvch14 1 Szereg Fouriera:

f(.l:)= ~ u -t- i . : ( a . o o s 1/1IX + h . s i n 1 m x )- ~~I I I

Biblioteczka Opracowan Matemafl/czl1l'ch

Bibliografia:I'J GnXa, = , j(x)oos -,- de-I151Szeree: Brounckera:1 1 I-+--+--+...1* 2 2*3 3*41 1u =----

n n n+l

s, =~ f j (_ T )s i. n ~ :I _I IIfFichtenholz G. M.: Ra chu n e k r oz n ie z kowy ic aJk ow y to m 3, PWN.Warszawa 1999;21Hajlasz R. Metodyka rozwiazywania zadari z anal izy matematycznejPWN Warszawa 1988;3/ Krysicki W. Wlodarski L.; Analiza matematyczna w zadaniach, cz. 1 ,PWN Warszawa 1987;4 /M in orsk i W .; Z bi6 r z ad an z matematyki w yz sz e] WN T . W a rsz aw a1969'5 / O tto E .; Matematyka - p od re cz n ik d la i nz yn ie rs ki ch s tu di ow z aw o do --wych, tom ill,PWN, Warszawa 1971;6 / S za la jk o K ; Matematyka t. II; PWN. Warszawa 1985.7/Wrona W., Romanowski S . ; Matematyka wyzsza dJa studi6w tech--nicznych;8{Zaporozec G. I.; Metody rozwiazywania zadan z anaUzy matematycz--nej; WNT. Warszawa 1973.91 Zakowski W; Matematyka - ewiczenia problemowe dla politechnik,WN T, W a rsza wa 1 98 7.

-64-

Documents

155 Zadan o Szeregach z Pelnymi Rozwiazanamikrok Po Kroku - Kopia