1

MODEL MATEMATIKA SISTEM MEKANIKA

Dosen : Nurlita Gamayanti, ST

PENGANTAR

Pada bagian ini akan dibahas mengenai pembuatan model matematika dari sistem mekanika

baik dalam bentuk persamaan differensial, fungsi alih maupun diagram blok. Pergerakan

dari elemen sistem mekanika dapat dideskripsikan dalam beberapa dimensi yaitu translasi,

rotasi atau kombinasi antara translasi dan rotasi. Persamaan gerakan pada sistem mekanika

diperoleh berdasarkan Hukum Newton

MODEL MATEMATIKA SISTEM MEKANIKA

1. Gerakan Translasi

Gerakan translasi didefinisikan sebagai suatu gerakan yang terjadi di sepanjang garis lurus.

Variabel yang digunakan untuk mendeskripsikan gerakan translasi adalah percepatan,

kecepatan dan perpindahan. Hukum dasar yang mengatur gerakan translasi dari elemen

sistem mekanika adalah Hukum kedua Newton.

Hukum kedua Newton untuk gerakan translasi menyatakan bahwa jumlah gaya yang

bekerja pada suatu benda dalam arah tertentu sama dengan hasil kali massa benda

tersebut dengan percepatannya dalam arah yang sama atau dinyatakan dalam persamaan:

∑ = a.mF

Dimana F menyatakan gaya yang bekerja pada benda, m menyatakan massa benda dan a

menyatakan percepatan benda

Satuan untuk gaya, massa dan percepatan diberikan sebagai berikut :

Satuan Massa Percepatan Gaya

MKS kg m/det2 N

CGS gram cm/det2 dyne

Berikut ini kita akan menurunkan model matematika dari elemen sistem mekanika yang

mengalami gerakan translasi, yaitu :

2

1. Massa

Suatu benda dengan massa m ditarik oleh gaya f(t) sehingga megalami perpindahan

sepanjang y(t)

Persamaan Dinamik :

( ) ( )ta.mtf =

( ) ( ) ( ) )1(.. 2

2

dttydm

dttdvmtf ==

Transformasi laplace dari persamaan (1) :

( ) ( ) ( )sYsmsVsmsF .... 2==

Fungsi alih system adalah rasio Y(s) terhadap F(s) yaitu :

( )( ) 2

1mssF

sYalihFungsi ==

Diagram blok system adalah sebagai berikut :

2. Pegas linier

Suatu pegas ditarik oleh gaya f(t) sehingga pertambahan panjang sepanjang y(t)

Jika K adalah konstanta pegas dan T adalah

tegangan pegas maka persamaan dinamik

sistem adalah :

Persamaan dinamik :

)(.)( tyKTtf == (2)

Transformasi laplace dari persamaan (2) :

21

ms

Y(s) F(s)

m f(t)

y(t)

Gambar (1). Sistem gaya - massa

f(t)y(t)

Gambar (2). Sistem gaya - pegas

3

)(.)()( sYKsTsF ==

Fungsi alih sistem adalah rasio Y(s) terhadap T(s) yaitu :

( )( ) KsTsYalihFungsi 1

==

Diagram blok system adalah sebagai berikut :

3. Gesekan viskos

Suatu gesekan viskos yang mempunyai koefisien gesekan viskos B ditarik oleh gaya f(t)

hingga bergeser sejauh y(t).

Persamaan dinamik :

)3()(.)(dt

tdyBtf =

Transformasi laplace dari persamaan (3) :

)(..)( sYsBsF =

Fungsi alih sistem adalah rasio Y(s) terhadap F(s) yaitu :

( )( ) BssFsYalihFungsi 1

==

Diagram blok system adalah sebagai berikut :

K1

Y(s) T(s)

Bs1

Y(s) F(s)

B f(t)y(t)

Gambar (3). Sistem gaya - gesekan viskos

4

2. Gerakan Rotasi

Gerakan rotasi didefinisikan sebagai suatu gerakan terhadap sumbu tertentu. Variabel yang

umum digunakan untuk mendeskripsikan gerakan rotasi adalah torsi T, kecepatan sudut ω,

dan perpindahan sudut θ.

Pengembangan hukum kedua Newton untuk gerakan rotasi menyatakan bahwa jumlah

momen atau torsi terhadap sumbu tertentu sama dengan hasil kali inersia dengan

percepatan sudut atau dinyatakan dalam persamaan :

α.JT =∑

dimana T menyatakan torsi , J menyatakan inersia dan α menyatakan percapatan sudut.

Satuan untuk torsi, inersia dan percepatan sudut diberikan sebagai berikut :

Satuan Inersia Percepatan sudut Torsi

MKS kg.m2 rad/det2 N.m

CGS Gram.cm2 rad/s2 Dyne.cm

Berikut ini kita akan menurunkan model matematika dari elemen sistem mekanika yang

mengalami gerakan rotasi, yaitu :

1. Inersia

Suatu benda dengan inersia J dikenakan torsi sebesar T(t) sehingga berputar dengan

kecepatan sudut ω(t)

Persamaan dinamik :

( ) ( )tα.JtT =

( ) ( ) )4(ω.dt

tdJtT =

dimana α(t) menyatakan percepatan sudut

Transformasi laplace dari persamaan (4) :

( ) )(ω... ssJsT =

Fungsi alih system adalah rasio ω(s) terhadap T(s) yaitu :

wT

Gambar (4). Sistem torsi - inersia

5

( )( ) JssTsalihFungsi 1ω

==

Diagram blok sistem adalah sebagai berikut :

2. Pegas torsi

Suatu batang atau poros dengan konstanta pegas torsi K dikenakan torsi sebesar T(t)

sehingga mengalami perpindahan sudut θ(t)..

Persamaan dinamik :

( ) ( ) )5(θ. tKtT =

Transformasi Laplace dari persamaan (5) :

( ) ( )sKsT Θ= .

Fungsi alih sistem adalah rasio ( )sΘ terhadap T(s) yaitu :

( )( ) KsTsalihFungsi 1

=Θ

=

Diagram blok system adalah sebagai berikut :

3. Gesekan viskos

Suatu gesekan viskos yang mempunyai koefisien gesekan viskos B dikenakan torsi sebesar

T(t) sehingga mengalamio perpindahan sudut θ(t).

Js1

( )sω T(s)

K1

( )sΘ T(s)

Gambar (5). Sistem torsi – pegas torsi

K T

θ

6

Persamaan dinamik :

( ) ( ) )6(θ.dt

tdBtT =

Transformasi Laplace dari persamaan (6) :

( ) ( )ssBsT Θ= ..

Fungsi alih sistem adalah rasio Ө(s) terhadap T(s) yaitu :

( )( ) BssTsalihFungsi 1

=Θ

=

Diagram blok system adalah sebagai berikut :

4. Roda gigi

Rangkaian roda gigi terdiri dari dua buah roda gigi yaitu roda gigi 1 dan roda gigi 2 dikopel

bersama-sama dengan asumsi inersia dan gesekan viskos roda gigi diabaikan, dapat dilihat

seperti gambar berikut :

Bs1

( )sΘ T(s)

Gambar (6). Sistem gaya - gesekan viskos

B T

θ

N1

N2

T1

22 ω,θ

T2

11 ω,θ

Gambar (7). Roda gigi

7

Jumlah gigi pada roda gigi 1 dan 2 masing-masing adalah N1 dan N2. Jari-jari roda gigi 1

dan 2 masing-masing adalah r1 dan r2 Perpindahan sudut dan kecepatan sudut dari roda

gigi 1 dan 2 masing-masing adalah θ1, ω1 dan θ2, ω2.Torsi pada roda gigi 1 dan 2 masing-

masing adalah T1 dan T2.

Hubungan antara T1 dengan T2, θ1 dengan θ2, ω1 dengan ω2, r1 dengan r2, serta N1 dengan

N2 adalah sebagai berikut :

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1ωω

θθ

rr

NN

TT

==== (7)

Dalam prakteknya, inersia dan gesekan viskos pada masing-masing roda gigi sering tidak

dapat diabaikan. Representasi ekivalen dari roda gigi dengan inersia dan gesekan viskosnya

dapat dilihat seperti gambar berikut :

T adalah torsi masukan yang dikenakan pada sisi roda gigi 1, T1 dan T2 masing-masing

adalah torsi yang ditransmisikan ke roda gigi 1 dan roda gigi 2, B1 dan B2 masing-masing

adalah koefisien gesekan viskos roda gigi 1 dan roda gigi 2 sedangkan J1 dan J2 masing-

masing adalah inersia roda gigi 1 dan roda gigi 2.

Persamaan torsi untuk roda gigi 2 adalah

( ) ( ) ( )dt

tdB

dttd

JtT 222

22

22θθ

+= (8)

Persamaan torsi untuk roda gigi 1 adalah

N1

N2

T1

T2

B1

B22θ

T,1θ

J1

J2

Gambar (8). Roda gigi dengan inersia dan gesekan viskosnya

8

( ) ( ) ( ) ( )dt

tdB

NN

dttd

JNN

tTNN

tT 12

2

2

121

2

2

2

2

12

2

11

θθ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== (9)

Persamaan torsi masukan pada sisi roda gigi 1 adalah

( ) ( ) ( ) ( )tTdt

tdB

dttd

JtT 11

121

2

1θθ

++=

Dengan mensubstitusikan nilai T1(t) ke persamaan T maka persamaan torsi pada sisi roda

gigi 1 menjadi

( ) ( ) ( )dt

tdB

dttd

JtT ee1

121

2

1θθ

+= (10)

Dimana J1e dan B1e masing-masing adalah inersia ekivalen dan koefisien gesekan viskos

ekivalen dari rangkaian roda gigi mengacu pada poros roda gigi 1, yang besarnya adalah

2

2

2

1112

2

2

111 B

NN

BBdanJNN

JJ ee ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

Transformasi Laplace dari persamaan (11) :

( ) ( ) ( )ssBssJsT ee 1112

1 Θ+Θ=

Jika T(t) dan θ1(t) masing-masing merupakan masukan dan keluaran untuk sistem

rangkaian roda gigi, maka fungsi alih dari sistem rangkaian roda gigi adalah

( )( ) sBsJsTs

ee 12

1

1+

=Θ

Diagram blok sistem adalah sebagai berikut :

Contoh :

1. Sistem dashpot-massa-pegas yang dipasang pada kereta, dimana kereta dianggap dalam

kedaan diam pada t < 0. u(t) adalah perpindahan kereta dan merupakan masukan ke sistem.

Di t = 0 kereta digerakkan dengan kecepatan tetap. Perpindahan y(t) dari massa adalah

keluaran sistem.

sBsJ ee 12

1

1+

( )sΘ T(s)

9

Model matematika dari sistem dashpot-massa-pegas dapat diturunkan sebagai berikut :

Hukum kedua Newton :

∑ = a.mF

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

2

dttydmtutyK

dttdu

dttdyB =−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ).(2

2alDifferensiPerstuK

dttduBtyK

dttdyB

dttydm +=++

Transformasi lapacenya :

( ) ( ) ( ) ( )sUKBssYKBsms2 +=++

Fungsi alih sistem adalah rasio Y(s) terhadap U(s) yaitu :

( )( ) KBsms

KBssUsY

2 +++

=

Diagram blok dari system adalah sebagai berikut :

LATIHAN

1. Suatu sistem terdiri dari inersia beban dan gesekan viskos. T(t) adalah torsi yang bekerja

pada sistem dan merupakan masukan ke sistem. Sistem berputar dengan kecepatan sudut

u(t)

K

B m

y(t)

KBsmsKBs

2 +++

Y(s) U(s)

10

ω(t) dan merupakan keluaran sistem. Dapatkan model matematika dari sistem ini dalam

bentuk fungsi alih.

Dimana,

J = momen inersi beban

B = koefisien gesekan viskos

J

T ω

B