-
1NUMERIKO DIFERENCIRANJE KORIENJEM TEJLEROVOG RAZVOJA
PRIMER 1: Neka je dokazati da je Reenje (primer 1): razvijemo
f-ju u Tejorov redPRIMER 2: Neka je dokazati da je Reenje (primer
2):Razvijemo funkciju u Tejlorov red u okolini neke take (npr u
okolini take )
Uvodimo oznake
Primenimo razvoj u okolini take :
Kako je na osnovu Vajertrasove teoreme imamo da Odnosno,
2[ , ]f C a b 0 00 0 0
( ) ( ) 1'( ) ''( ) , [ , ]2
f x h f xf x f h x x hh
+ = +20 0
0 0 0( ) ( ) 1'( ) '''( ) , [ , ]
2 24f x h f xhf x f h x x h
h + + = +3[ , ]f C a b
0x h+
2 3_ _ _
0 1 1 0 0
2 3_ _ _
1 2 2 0 0
3_
2_1 21 0
1 2
( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ) [ , ]2 8 48
( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ) [ , ]2 8 48
'( ) ( '''( ) '''( ))( ) ( ) 48 '( ) ( '''( ) '''( ))48
h h hf x f x f x f x f x x h
h h hf x f x f x f x f x x h
hhf x f ff x f x hf x f fh h
= + +
= + + + +
+ + = = + +
2 3
0 0 0 0 0 0( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ) [ , ]2! 3!h hf x h f x hf x
f x f x x h + = + + + +
_ _
0 0
_
1
2 2
2
h hx x x x
hx x
= + =
= +_x
3[ , ]f C a b 1 2( , ) 1 21'''( ) ( '''( ) '''( ))2f f f =
+2_
1 00 1
( ) ( ) '( ) '''( ), ( , )24
f x f x hf x f x xh
= +
-
2ZADATAK: Neka se vrednosti funkcije mogu izraunati sa tanou .
Nai optimalan korak za numeriko diferenciranje po formuli:
Reenje:1.
Koristimo formulu iz prvog primera (formula se dokazuje tako to
se funkcija razvije u okolini take zakljuno sa drugim izvodom)
Greka aproksimacije treba da sadri greku zaokruivanja i greku
metode:greka metodegreka zaokruivanja ukupna greka
elimo da minimiziramo funkciju ukupne greke, zato traimo nulu
njenog izvoda po h:
ovo je optimalan korak za prvu formulu.
1 00
1 00
0 0 00 2
( ) ( )'( )
( ) ( )'( )2
( ) 2 ( ) ( )''( )
f x f xf xhf x f xhf x
hf x h f x f x hf x
h
+
+ + 0x h+
0 00 0 0
( ) ( ) 1'( ) ''( ) , [ , ]2
f x h f xf x f h x x hh
+ = +
M
Z
RRR
2
2M
Z
M hR
Rh
+
22
2
2' 42
' 0
h
h
MRhh
MR
= ==
2 22M Z
M hR R Rh= + = +
-
32.
Koristimo formulu iz drugog primera. Opet imamo greku
zaokruivanja i greku metode.
Ukupna greka je sada:
elimo da minimiziramo funkciju ukupne greke, zato traimo nulu
njenog izvoda po h:
ovo je optimalan korak za drugu formulu.
Da li je za ovako izabrano h greka minimalna? JESTE,
3. domai.
223max | '''( ) |
24 24M
Z
M hf hR
Rh
+
32 3
3
2 2' 2424
' 0
h
h
M hRhh
MR
= ==
23 2
24M ZM hR R R
h= + = +
20 00 0 0
( ) ( ) 1'( ) ''( ) , [ , ]2 24
f x h f xhf x f h x x hh
+ + = +
33
4'' 012hMR
h= +
-
41 0'( 3 / 4) , ( )+ = =o i iy yf x h y f xh
0
12
10
22
1
3 / 43 / 4
/ 4
9 ( ) ''3( ) ( ) '( ) ,4 32
( ) ''( ) ( ) '( ) ,4 32
= = + = +
= +
= + +
o
x x hx x h
x x hh fhf x f x f x
h fhf x f x f x
( )
2 22 1
1 0
2
2 11 0
( ) '' 9 ( ) ''3( ) '( ) ( ) '( )4 32 4 32
'( ) ''( ) 9 ''( )32
+ + + =
=
h f h fh hf x f x f x f xy yh h
hhf x f fy yh h
2
22
2
10232
52 32' 016 5
= + = +
= + = =
Z M
h
hMR R Rh
MR hh M
ZADATAK 2: Odrediti optimalni korak
h numerikog diferenciranja po formuli:
DEC 2009.Reenje: Razvijamo funkcije
i :0( )f x 0( )f x h+
-
5Zadaci za vebu:
1.
Odrediti ekstremnu vrednost funkcije zadate tablino:
2. Pretpostavimo da se vrednosti funkcije mogu raunati sa tanou
0.00001. Odrediti optimalni korak za numeriko diferenciranje date
funkcije na intervalu [0, 10] po formuli
( ) ( )'( )2
f x h f x hf xh
+
X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Y 0.2846 0.3578 0.3834 0.3795 0.3536 0.3098 0.2510
NUMERIKO DIFERENCIRANJE KORIENJEM TEJLEROVOG RAZVOJASlide Number
2Slide Number 3Slide Number 4Slide Number 5
