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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL
ECUADOR
Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática
Ingeniería Civil
Primer Semestre
Calculo diferencial
Ing. MBA Yolanda Ledesma
Tarea N° 6
Derivadas: Concavidad y Puntos de Inflexión
Página ii
ÍNDICE GENERAL
CARATULA i
ÍNDICE GENERAL ii
RESUMEN EJECUTIVO iv
CAPÍTULO 1
1.1.-Introducción 1
1.2.-Objetivo General 2
1.3.-Objetivos específicos 2
1.4.-Alcance 3
1.5.-Factibilidad 3
Capítulo 2
2.1.-Puntos de inflexión 4
2.2.-Concavidad 5
3.3.-Teoremas 9
Capítulo 3
3.1.-Ejercicio 1 21
3.2.-Ejercicio 2 21
3.3.-Ejercicio 3 22
3.4.-Ejercicio 4 22
3.5.-Ejercicio 5 23
3.6.-Ejercicio 6 23
Capítulo 4
4.1.-Conclusiones 24
Página iii
4.2.-Recomendaciones 25
Capitulo 5
5.1.- Glosario 26
5.2.-Bibliografía 27
Capítulo 6
6.1.-Anexos 28
Página iv
RESUMEN EJECUTIVO
El presente documento se basa en la explicación y reflexión del tema
concavidad y puntos de inflexión de la asignatura de cálculo diferencial, y por
medio de definiciones, teoremas y ejercicios propuestos de una manera fácil y
didáctica, el alumnado desarrollará su capacidad cognitiva y por ende ejecutará
los conocimientos adquiridos sin ninguna dificultad, es un proyecto q abarca en
su totalidad lo esencial para que los jóvenes estudiantes manejen el tema sin
ninguna complicación.
La concavidad y puntos de inflexión trata sobre el punto en el cual la segunda
derivada de la función siempre se igualará a cero, además dichos puntos son
los que separan arcos las cuales tienen sus concavidades en sentidos
opuestos, razón por la cual la concavidad de una curva se obtiene por medio
de valores mayores y menores de determinados puntos de inflexión.
Al obtener la función, se procederá a realizar la segunda derivada, al igualar a
cero la segunda derivada se obtiene los puntos de inflexión, de esta manera al
identificar la concavidad del arco, al asignar valores cercanos al punto de
inflexión se procede a comprobar si el punto definido es un punto de inflexión
pero cabe recalcar que si la segunda derivada cambia de signo este tiende a
cambiar el sentido de la concavidad, y para determinar la dirección se aplicará
el principio correspondiente.
Ante lo expuesto anteriormente se puede deducir que para realizar ejercicios
de concavidad y puntos de inflexión la segunda derivada es de gran utilidad,
así como también los puntos de inflexión se caracterizan por determinar un
Página v
cambio en la concavidad de la curva, de esta manera obtener conocimientos de
derivadas es importante para la realización de dichos ejercicios propuestos.
Este proyecto será de gran ayuda para el lector sobre todo para el estudio del
tema ya antes mencionado ya que servirá de herramienta para la comprensión
y posterior a la realización de ejercicios planteados como también podrá ser un
apoyo bibliográfico para la aplicación de metodologías que beneficien el
desarrollo de aprendizaje de una manera clara, directa y concisa del tema.
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INTRODUCCION
Actualmente la Concavidad y puntos de inflexión se basa en la corriente educativa
que considera que el conocimiento de procesos lógicos y secuenciales para la
resolución de ejercicios propuestos de dicho tema, favorezcan al estudiante en su
desarrollo cognitivo.
El presente proyecto se redacta con carácter de presentar un apoyo de reflexión y
explicación sobre el tema propuesto, como estrategia creativa y lúdica para facilitar
los procesos de aprendizaje del estudiante.
Esta iniciativa también tiene como fin ,dar a conocer definiciones, teoremas para la
resolución de los diferentes ejercicios propuestos, de tal forma ayudar a
contrarrestar una problemática generalizada: la falta de conocimientos sólidos para
la obtención de este tipo de problemas, de esta manera mejorar el aprendizaje de
los estudiantes y llegar a una solución fácil y lógica.
En el documento que se presenta a continuación, abarca toda la información
esencial y verídica que han sido obtenidos como resultado de la realización del
respectivo proceso investigativo. El tema a tratar se ampliará a lo largo de este
escrito.
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OBJETIVO GENERAL
Realizar un documento sobre Concavidad y Puntos de Inflexión en la materia de
cálculo diferencial, con ayuda de libros, folletos e internet, para aprender sobre el
nuevo tema y desarrollar la materia en el documento, por medio de definiciones,
teoremas y ejemplos, de una manera fácil y didáctica, para que el lector tenga una
mayor comprensión.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Definir los teoremas de concavidad y puntos de inflexión que serán utilizados
en el respectivo documento, de una manera práctica y comprensible con
ayuda de gráficas y ejemplos para que el lector tenga un correcto
aprendizaje.
Dar a conocer el proceso de resolución de ejercicios de concavidad y puntos
de inflexión, para que el estudiante de solución a los ejercicios de una
manera más simplificada y efectiva.
Realizar ejercicios basados en la concavidad y puntos de inflexión, utilizando
los respectivos conceptos relacionados a la segunda derivada, aplicando
fórmulas, propiedades y teoremas, para que el lector desarrolle los ejercicios
y refuerce los conocimientos adquiridos.
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ALCANCE
Conseguir que los alumnos aprendan el tema de concavidad y puntos de inflexión y
mediante el desarrollo de ejercicios propuestos en este proyecto obtener el
aprendizaje requerido del estudiante para resolver sin ninguna dificultad problemas
similares al tema mencionado.
Además este proyecto se enfocará en el desarrollo de 6 ejercicios de concavidad y
puntos de inflexión las cuales se encuentran en este documento resueltos, y por
ende integrantes del grupo explicarán para su respectiva solución.
FACTIBILIDAD
Este proyecto es factible porque existe financiamiento de los integrantes del grupo y
además la facilidad de encontrar toda la información requerida mediante un proceso
investigativo.
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CAPITULO 2
1.-PUNTOS DE INFLEXIÓN
Definición.
El punto de inflexión es el punto en el cual la segunda derivada de la función es
cero, a partir del cual se produce un cambio en el sentido de la concavidad de la
curva.
Definición.
Puntos de inflexión: Son
puntos que separan arcos
que tienen sus concavidades
en sentidos opuestos
Para definir /os puntos de inflexión basta con igualar a cero la segunda derivada y
calcular las raíces reales.
Dirección de la concavidad.
Se debe que la gráfica de una
función derivable Y = f(x) es
cóncava hacia abajo en el intervalo
(a,b), si el arco de la curva está por
debajo de la tangente trazada en cualquier punto del intervalo (a,b), caso contrario
será cóncava hacia arriba.
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Definición de puntos de inflexión y a concavidades:
1. Calculamos F"(x)
2. igualamos a cero la segunda derivada y definimos puntos de inflexión
3. identificamos la concavidad del arco dando valores cercanos al punto de inflexión
4. Comprobamos si el punto definido es un punto de inflexión recordando que: Si
F"(x) cambia de signo (cambia el sentido de la concavidad), tenemos un punto de
inflexión.
5. Para determinar la dirección de la concavidad, se aplica el siguiente criterio:
Si F" (x) > 0 = La curva es cóncava hacia arriba
Si F' (x) < 0 + La curva es cóncava hacia abajo
Definición
Sea f continua en “ Xo ”, llamamos a (Xo ) , f(Xo ) un punto de inflexión de la
gráfica de f , si es cóncava hacia arriba a un lado de “Xo ” y cóncava hacia abajo al
otro lado.
Es decir, en un punto de inflexión la segunda derivada cambiará de signo, o de
positiva a negativa o de negativa a positiva.
2.-CONCAVIDAD
Hemos visto como la primera
derivada nos da información del
comportamiento de las gráficas de
funciones, más específicamente
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cuando la curva crece y decrece y donde se localizan sus máximos y mínimos
relativos.
La segunda derivada también aporta información sobre la gráfica, ella dirá cuando la
gráfica se curva hacia abajo y cuando hacia arriba.
En el primer caso se hablará de concavidad hacia abajo y en el segundo concavidad
hacia arriba.
En la figura están las gráficas de dos funciones crecientes con distinto tipo de
concavidad
La figura de abajo permite
apreciar las relaciones entre
las tangentes a una curva y la
concavidad.
Tendremos las siguientes conexiones entre las rectas tangentes y concavidad:
1.- Si la gráfica es cóncava hacia abajo entonces las tangentes están por encima de
la curva alrededor del punto de tangencia. Por otro lado si la gráfica es cóncava
hacia arriba, las tangentes están por abajo de la gráfica de la función en una
vecindad del punto de tangencia.
2.- Si la gráfica es cóncava hacia abajo las pendientes de las rectas tangentes
decrecen cuando x crece. Similarmente si una gráfica es cóncava hacia arriba las
pendientes crecen.
Recordemos que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en x0 es la
derivada en 0 x .
Así que el concepto de concavidad está ligado al crecimiento de la primera derivada.
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Damos entonces
la siguiente definición de concavidad.
Definición
La concavidad de una curva se determina dando valores mayores y menores a los
determinados para los puntos de inflexión, reemplazamos en la ecuación de la
segunda derivada.
Definición
Dirección de la concavidad.
Se debe que la gráfica de una función
derivable Y = f(x) es cóncava hacia
abajo en el intervalo (a,b), si el arco de
la curva está por debajo de la tangente trazada en cualquier punto del intervalo
(a,b), caso contrario será cóncava hacia arriba.
1. Calculamos F"(x)
2. igualamos a cero la segunda derivada y definimos puntos de inflexión
3. identificamos la concavidad del arco dando valores cercanos al punto de inflexión
4. Comprobamos sÍ e/ punto definido es un punto de inflexión recordando que: Si
F"(x)
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cambia de signo (cambia el sentido de la concavidad), tenemos un punto de
inflexión.
5. Para determinar la dirección de la concavidad, se aplica el siguiente criterio:
Si F" (x) > 0 = La curva es cóncava hacia arriba
Si F' (x) < 0 + La curva es cóncava hacia abajo
Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.
Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser
puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los
llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por
determinar un cambio en la concavidad de la curva.
Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas
observaciones de tipo intuitivo.
Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que la
curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos.
Como f (x) = x4
, f ’(x) = 4x3
, f ’’ (x) =12 x2
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3.-TEOREMAS
Concavidad y puntos de inflexión
La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el
comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:
Definición de concavidad
Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, ,
si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica
de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada la que debe ser creciente o decreciente en el
intervalo A.
En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el
intervalo y cóncava hacia abajo en el intervalo
Teorema 5
Si f es una función tal que cuando , entonces la gráfica de f es
cóncava hacia arriba sobre .
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Demostración:
Si y como , entonces se tiene que es creciente sobre
por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función, se
obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre .
Teorema 6
Si f es una función tal que cuando , entonces la gráfica de f es
cóncava hacia abajo sobre .
Demostración:
De la hipótesis: , y como , se obtiene que es
decreciente sobre por lo que según la definición dada sobre concavidad, la
gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre .
Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación
Si entonces , y,
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Luego, si y, si .
Como , entonces es creciente en los intervalos ,
pues en ellos es positiva. Además es decreciente en el intervalo pues
en el es negativa.
Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo y cóncava hacia
abajo en el intervalo .
La representación gráfica de la función es la siguiente:
Representación gráfica de la función
Observe que es creciente en y y decreciente en .
Representación gráfica de la función f:
Página 12
Representación gráfica de la función f
Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos y cóncava hacia
abajo en el intervalo .
Damos ahora la definición de punto de inflexión
Definición
Se dice que es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si
existe un intervalo tal que , y la gráfica de f es cóncava hacia arriba
sobre , y cóncava hacia abajo sobre , o viceversa.
Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:
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Ejemplos:
1.
El punto es un punto de inflexión de la curva con ecuación ,
pues es positiva si , y negativa si , de donde f es cóncava
hacia arriba para , y cóncava hacia abajo para .
Gráficamente se tiene:
2.
Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación
Se tiene que por lo que
Resolvamos las desigualdades
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Como si entonces la gráfica de f es cóncava
hacia arriba en esos intervalos.
La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo pues en
él .
Luego los puntos y son puntos en los que cambia la
concavidad y por tanto son puntos de inflexión.
La gráfica de la función f es la siguiente:
Puede decirse que un punto de inflexión separa una
parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra
sección de la misma que es cóncava hacia abajo.
En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe
el nombre de tangente de inflexión. Gráficamente:
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Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y
otra parte bajo ella.
Teorema 7
Si es un punto de inflexión de la gráfica de f y si existe, entonces
Ejemplo:
Considere la función f con ecuación .
La segunda derivada de f es .
Note que si , y, si
Luego, f es cóncava hacia arriba para , y cóncava hacia abajo para
Se tiene entonces que es un punto de inflexión.
Evaluando la segunda derivada de f en resulta que con lo que se
verifica lo expresado en el teorema anterior.
En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de
inflexión.
Teorema 8
Si:
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i.
f es una función continua sobre un intervalo I,
ii.
es un punto interior de I tal que , ó existe, y
iii.
Si existe un intervalo con , tal que:
1. cuando y cuando , entonces
es un punto de inflexión de la gráfica de f.
2. cuando y cuando , entonces
es un punto de inflexión de la gráfica de f.
3. cuando y cuando , o
bien, cuando y cuando
entonces no es un punto de inflexión de la gráfica
de f.
Ejemplos:
1. Sea f una función con ecuación con . Note quef es
una función continua en todo su dominio por ser una función polinomial. La
segunda derivada de f es , que es igual a cero si y solo
si ó .
Así
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Observemos la solución de las desigualdades , y por medio
de la siguiente tabla:
2. Como para y para
entonces es un punto de inflexión según el punto l del Teorema 8.
De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como
para y para , entonces es un punto de
inflexión.
3. Consideraremos ahora la función g con ecuación:
, con
Como se tiene que nunca se hace cero y que no
existe.
Además es mayor que cero para , por lo que f siempre es
cóncava hacia arriba en su dominio, y por lo tanto no es punto de
inflexión.
Ejercicios
Página 18
Ejemplo 1.- Determine los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo de la
función
Solución: Calculamos la segunda derivada
La expresamos factorizada a fin de encontrar la solución de la ecuación que
plantearemos
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Página 20
Página 21
CAPITULO 3
Encontrar el punto de inflexion y determine los intervalos de convexion y, o
concavidad de las siguientes funciones:
1)
Siolucion:
2)
Siolucion:
Calculo de la convexidad y concavidad en la segunda derivada
x
Intervalo Conclusión
+1 6 Convexa
-1 -6 Concava
Calculo de la convexidad y concavidad en la segunda derivada
x
Intervalo Conclusión
+1 24 Convexa
-1 -24 Concava
Página 22
3)
Siolucion:
(
)
4)
Siolucion:
(
)
Calculo de la convexidad y concavidad en la segunda derivada
x
Intervalo Conclusión
0 -4 Concava
+1 32 Convexa
Calculo de la convexidad y concavidad en la segunda derivada
x
Intervalo Conclusión
+1 4 Convexa
0 -2 Concava
Página 23
5)
Siolucion:
6)
Calculo de la convexidad y concavidad en la segunda derivada
x
Intvervalo Conclusión
-6 3 Convexa
-4 -1 Concava
0 15 Convexa
Página 24
CONCLUSIONES
Se concluye que la segunda derivada es de gran utilidad y necesaria para
resolver los ejercicios de concavidad y puntos de inflexión.
Cuando observamos la gráfica de una parábola desde el interior de la misma
nos referimos a una curva cóncava, lo que vemos desde el exterior es una
curva convexa.
Se concluye de una manera sencilla que un punto (x) es de inflexión, si en
dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa.
Los puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por
determinar un cambio en la concavidad de la curva.
Es de gran importancia tener conocimientos sobre el tema de derivadas ya
que es aplicada en la carrera de ingeniería civil.
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RECOMENDACIONES
Para la resolución de los ejercicios se debe seguir un procedimiento
adecuado y tener claro la teoría.
Se recomienda que el lector analice los ejemplos planteados en el documento
e intente resolver todos los ejercicios, ya que así podrá tener una mejor
comprensión del tema y podrá adquirir mayor experiencia.
Se recomienda poner en práctica e investigar más sobre el tema para tener
un mayor conocimiento y aprendizaje, lo importante es no dejar ninguna duda
sobre lo estudiado.
Se recomienda realizar en una escala apropiada la respectiva gráfica de la
función, para determinar de una manera analítica la concavidad y puntos de
inflexión con los datos correspondientes.
Se recomienda hacer el análisis de los signos en los puntos de inflexión, de
esta manera se puede saber el entorno de la concavidad; cuando la segunda
derivada es menor que cero (0) la concavidad es hacia abajo y cuando la
segunda derivada es mayor que cero (0) la concavidad es hacia arriba.
Página 26
GLOSARIO
Inflexión: Punto en que una curva cambia de sentido:
Concavidad: Línea o superficie que, siendo curva, tiene su parte más
hundida en el centro.
Intervalo: Conjunto de los valores que toma una magnitud entre dos límites
dados.
Tangente: Línea o superficie que se toca en un punto sin cortarse, recta que
tiene un solo punto común con una curva o una superficie sin cortarla.
Teorema: Proposición que afirma una verdad demostrable. Proposición por
medio de la cual, partiendo de un supuesto (hipótesis), se afirma una verdad
(tesis) que no es evidente por sí misma.
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BIBLIOGRAFIA
Granville, W. (2009). Cálculo diferencial e integral México, D .F: Editorial
Limusa.
Piskunov, N. (1977). Calculo diferencial e integral Tomo 1. Moscú: Editorial
Mir
Leithold, L. ( 1998). El Cálculo. México, D.F: Mapasa
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ANEXOS
Anexo 1: Puntos de inflexión.
Fuente: es.wikipedia.org
