16.3 16.3 分式方程 分式方程

一艘轮船在静水中的最大航速为一艘轮船在静水中的最大航速为 2020 千米千米 // 时时 ,, 它它沿江以最大航速顺流航行沿江以最大航速顺流航行 100100 千米所用时间千米所用时间 , , 与以与以最大航速航行最大航速航行 6060 千米所用时间相等千米所用时间相等 , , 江水的流速江水的流速为多少为多少 ??解 :

【问题问题】

设江水的流速为 设江水的流速为 v v 千米千米 // 时，根据题意，得时，根据题意，得

vv

20

60

20

100

分母中含未知数的方程叫做 分式方程 .

解方程 : 2x-12

2x+36-1=

解解 :: 去分母去分母 ,, 方程两边都乘以方程两边都乘以 66得得 ,, 3(2x-1)-6=2x+33(2x-1)-6=2x+3

去括号去括号 ,,得得

6x-3-6=2x+36x-3-6=2x+3

移项移项 ,, 得得 6x-2x=3+3+66x-2x=3+3+6

合并同类项合并同类项 ,, 得得 4x=124x=12

系数化为系数化为 1,1, 得得 x=3x=3

解一元一次方程的一般步骤是什么 ?

※ 可化为一元一次方程的分式方程

6

6090

xx

分析：去分母，使分式方程化成整式方程，再用整式方程的解法去解

1

2

1

12

xx

再看分式方程

在方程的两边都乘以最简公分母 ( x+1)( x – 1 ), 得到整式方程：

x + 1 = 2解这个整式方程，得

x = 1

把 x = 1 代入原分式方程检验：

1

2

1

12 xx

、 的分母的值都为零 .

实际上原分式方程无解 .

这两个分式都无意义，因此 1 不是原分式方程的根 .

解分式方程的一般步骤：解分式方程的一般步骤：

1. 在方程的两边都 乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程 .

2. 解这个整式方程 .

3. 把整式方程的根代入最简公分母，每结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去 .

4. 写出原方程的根 .

解方程2

75

xx

解： 方程两边都乘以 x ( x – 2 ) , 约去分母，得 5 ( x – 2 ) = 7x

解这个整式方程，得 x = – 5

检验：当 x = – 5 时，

x ( x – 2 ) = (– 5)(– 5 – 2) = 35 ≠0

– 所以 5 是原方程的根 .

例 1例 1

例 2例 2 解方程 32

1

2

1

x

x

x

解： 方程两边都乘以 ( x – 2 ) , 约去分母，得

1 = x – 1– 3( x – 2)

解这个整式方程，得 x = 2

检验：当 x = 2 时， x – 2 = 0

所以 2 是增根，原方程无解 .

x2x-3

53-2x

(2) + =4

3x-1

4x(1) =

解方程 随堂练习

思考题 :

解关于 x 的方程 产生增根 , 则常数 m 的值等于 ( )

(A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2

x-3x-1 x-1

m=

`

【例【例 33 】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成 . . 哪个队的施工速度快？哪个队的施工速度快？

分式方程分式方程

解：解： 设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的 设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的 ..x

1

记总工程量为记总工程量为 11 ，根据题意，得，根据题意，得

3

1

6

1

x2

1 = 1

解之得解之得 1x经检验知 经检验知 xx = 1 = 1 是原方程的解是原方程的解 ..

由上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务，由上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务，所以乙队施工速度快所以乙队施工速度快 ..

`

【例【例 44 】】从从 20042004 年年 55 月起某列车平均提速月起某列车平均提速 vv千米千米 // 小时，用相同的时间，列车提速前行驶小时，用相同的时间，列车提速前行驶ss 千米，提速后比提速前多行驶千米，提速后比提速前多行驶 5050 千米，提千米，提速前列车的平均速度为多少？速前列车的平均速度为多少？

分式方程分式方程

谢谢！