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NPRIVADA DEL NORTEUNIVERSIDAD

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Tema:

Las f ́ or mulas de  der ivacio´n  num´er ica  son  im por tantes en  el  desarr ollo  de  algor itmos par a resolver problemas de contorno de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en

derivadas parciales (unidades III y IV).

1. A pr oximacio´n  a  la  der ivada  de  f unciones

1.1. El  l´mite del cociente  incr emental

Vamos a anali!ar  el  pr o blema de apr oximar  num´er icamente  la der ivada de   f   ( x)"

 f′

( x) # lim f (x+h)

−f( x) (1)

El m´etodo  par ece clar o" elegimos una sucesi´on {hk} tal $ue hk  → % y calculamos el  l´mite de la sucesi´on"

 Dk # f ( x  &  h k) −  f  

( x ) hk

 para k # 1 , ' , . . . (')

uesto $ue so´lo calcular emos un nu´mer o finito de t´er minos D1 ,  D2 , . . .  ,  DN  de la sucesi´on(') y usar emos el u´ltimo  DN  como  r es puesta  la  pr egunta  es o bvia * por   $u´e  calculamos  D1 D2.  .  .   DN−1+.  E$uivalentemente  podr ́ amos  pr eguntar "  *$u´e  valor   de  hN  ,ay  $ue  elegir  par a asegur ar $ue  DN  es una  buena apr oximaci´on a  la der ivada   f   ′ 

 ( x)+.

1.'. Las  f o´r mulas  de dif er encias  centr adas

-i la f unci´on   f   ( x)  puede evaluar se en  puntos $ue est´an a am bos lados de  x entonces la me or f ´or mula $ue involucr a dos puntos es la $ue utili!a abscisas situadas sim´etr icamente a i!$uier day derec,a de x.

Teorema 1 ( Fo´rmula centrada de orden O .

h2.

). -upongamos $ue   f    ∈ C 3 /a , b0

y $ue  x− h

 x x & h ∈ /a, b0. Entonces"

CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

DERIVACIÓN NUMÉRICA

h→0 h

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'

Facultad de Inen!e"#a De$a"ta%ent& de '!enc!a

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%2%1

%  ) *  + 

%3) 

N 

UNIVERS

 f ′ ( x) ,f( x+ h) −f  ( x−h) 

igur a 1" A pr oximaci´on  por  dif er encias finitas de   f   ′  ( x 2 )" r egr esiva (l ́ ınea cont i nua)  pr ogr esiva (l ́ ınea d e puntos) y centrada (l´ınea de trazos). m1 m2 y m3 denotan las pendientes de las tres l´neas rectas.

es ma´s existe un nu´mer o c # c ( x) ∈ /a , b0 tal $ue"

siendo"

 f ′ ( x) #f( x+ h) −f  ( x−h) 

h2 f (3) (c) 2 E trunc ( f, h) #

−

# O.

h.

3

El t´er mino  E tr unc (  f   , h) se llama error de truncamiento.

Teorema  2  (  Fo´rmula  centrada  de  orden  O .

h-. 

).  -upongamos $ue   f   

∈ C . /a , b0  y  $ue

 x − 'h x − h x x & h x & 'h ∈ /a, b0. Entonces"

 f ′ ( x) ,−f  ( x+2 h)+/ f ( x+ h) −/ f ( x−h)+ f ( x−2 h) 

Facultad de Inen!e"#a De$a"ta%ent& de '!enc!a

2h(4)

2h& E trunc ( f, h) (5)

12h(6)

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es ma´s existe un nu´mer o c # c ( x) ∈ /a , b0 tal $ue"

siendo

 f′ ( x) #

− f ( x & 'h) & 7 f ( x & h) − 7 f ( x − h) & f ( x − 

'h)& E  1'h

trunc ( f, h) , (3)

h- f (.) (c) - E trunc ( f, h)#

Ejemplo 1 -ea f ( x) # cos ( x).

# O.

h.

.4%

a) Vamos a  usar   la  f ́ or mula  (4)  y  (6)  con  incr ementos h  #  %.1  %.%1  %.%%1  y  %.%%%1  par a calcular aproximaciones a f ′ (% ,7). 8rabaaremos con nueve cifras decimales

significativas.

 b) 9ompararemos los valores obtenidos con el exacto f ′ (% ,7) # − sen (% ,7).

Solucio´n

a) :sando la f ́ or mula (4) con h # %.%1 o btenemos"

 f ′ (% ,7) , f (% ,71) −  f (% ,;

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1.4. El m´etodo  de extr a polaci´on de ? ic,ar dson

En  esta  seccio´n  vamos a  pr of undi!ar   en  la  r elacio´n  $ue  ,ay  entr e  las f ́ or mulas (4)  y  (6).>efinimos  f  k  #    f    ( xk)  #    f    ( x0  & k h)  y  usamos la  notacio´n   D0  (h)  y   D0  ('h)   par adenotar   las apr oxima= ciones a   f    ′   ( x0)  $ue  se  o btienen  al  aplicar   la  f ́ or mula  (4)  conincr ementos h y 'h r es pectivamente"

 f′( x0) ,  D0 (h) & Ch

2(;)

y

 f′( x0) ,  D0 ('h) & 5Ch

2. (7)

multi plicando la r elacio´n (;)  por  5 y r estando la r elacio´n (7) del  pr oducto r esultante los t´er minos $ue contienen C se simplifican y nos $ueda"

4 f′( x0) , 5 D0 (h) −  D0

('h) #

a,ora despeamos f ′ ( x0) en (

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% ,37'''1

'%;−

%

 ,

;

1%

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6

 f′ (% ,7) ,

5 D 0 (h ) −   D 0 ('h ),

5 (−% ,;1;45516%) − (−% ,;1;4%7';6)4 4

 , −% ,;1;4631%7 ,

$ue es exactamente la soluci´on o btenida  par a apr oximar    f   ′  (% ,7) en el e em plo 1 al usar  dir ecta= mente la f ́ or mula (;).

El m´etodo de o btener  una f ́ or mula de mayor  or den  par a apr oximar    f   

′  

( x0) a  par tir  de una f ´or mula de menor  or den se llama extrapolacio´n.

Teorema 3 (M´etodo de extrapolacio´n de Richardson) -upongamos $ue  Dk−1 (h) es una apr oximaci´on de or den O 

.

h2k. 

a   f   ′  ( x0) $ue ver ifica" f

′( x0) # Dk− (h) & c h

2k& c h

2k+2& . . . , (11)

con lo cual" f

′( x0) # Dk− ('h) & 5

kc h

2k& 5

k+1c h

2k+2& . . . (1')

entonces podemos constr uir  la siguiente apr oximaci´on me or ada"

 f ′ ( x0) # Dk (h) & O.

h2k+2.

#-

Dk−1(h)

−Dk−1(2h) & O.

h2k+2.

. (14)

-k−1

1 1

1 1

k

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´Indice

1. proximacio´n a la deri!ada de "unciones  11.1. El l´mite del cociente incremental.....................................................................................1

1.'. Las f ́ or mulas de dif er encias centr adas .............................................................................. 11.4. El m´etodo de extr apolaci´on de ? ic,ar dson .................................................................... 5