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正正1616胞体の胞体の投影図投影図,,展開図展開図

Cabri Cabri 研究会研究会 20122012年年44月月88日日生越生越 茂樹茂樹

§1. 頂点,辺,面,胞

4

1,0,0,0), B(0,1,0,0),C(0,0,1,0), D(0,0,0,1),a 1,0,0,0),b(0, 1,0,0),c(0,0, 1,0),d(0,0,

8 A((

, , , 2 .

(

0, 1) , X X Y

. , 6 ,

0i j k lA B C D

i =

−− − − を頂点

各々の点 と， と異なる軸上の点 を結ぶ線分を辺と

する超立体を考える この時 各頂点から 本の辺が出て

個の

座標軸上の 点

を頂点とする 正四面体が胞となる

但し 1 2A, a,1 , , )j k lA BA C D= = とする． も同様，

,

, 16( ) 24 ,21, 16

8 ,

,

4( ) =32 ,2

,

1

8

6

6

1

× × =

× ×

本 本

面の数は 　

即ち この超多面体の，

　　 面 面

胞の数は 　　　　　　　　　 室

頂点の数は 　　　　　　　　 個

辺の数は　　　　

となり，全ての頂点は対等である．

こ 正 胞体のような胞体を という．

切開,断面図.cg3

2

§2. 投影図, B,C, D 1 a,b,c,d 1

(1,1,1,1) (0,0,0,1) O , , A,B,C,D ( 1) , a,b,c,d 1

O 1

A

x y z u x y z un m nm u

u k k u ku

+ + + = + + + =−

= =

= > = +

=

は, 超平面 上に， は, 超平面 上

にある．よって が になるように 平面上で回転させ 軸

方向に適当に移動すると は超平面 上に は 上

に移る．これを「 を中心とする の上への中心射影」で見ると

A,a A', a' , 3 , Oa OA1

, ( , , ) (0,0,0), ( 1) : ( ) ABCD abcd

k

k

x y zk k

′ ′= −+

+ − 例えば， の中心射影をそれぞれ とすると 次元空間で

空間で

中心が 相似比が の正四面体 と正四面体 が見える．

対角線をu軸上に回転.nb

§3. 断面図

1 1 1 1A , , , ,

3 6 3 3 3

6 3B 0, , , , C , , , , D 0, 0, ,

2 2

1 1 1 1a

6

, , , +1 , b 0, , , +

6 26 6

3 6 3 3

6 3 61 , c , , , +1

2 2 66 6

§1 16 , §

,

2 & ,

k k k k

k k k

− − − − − −

− −

の正 胞体を で述べた様に回転 移動すると

, d 0, 0, , +13

2

( 1 / 3 , 1 )

, 14( 8 & 6 ) .

k

k u

u t

−

= =

=

下図は の時 の上への中心投影

のような超立体に移せる．これを 超平面 で切った断面は 面体

正三角形 面 長方形 面 となる

切開,断面図.cg3

3

§4. 展開図 (例１)

1 1 1 1A , , , , B 0, , , , C , , , ,

2 2

1 1D 0, 0, , a , , ,

3 6 3 3

6 3 6 66 6

3 3

21

2 6+

6

§3 A,B,C

,

,D 1 a,b,c,d

16 , k k k

k k

u k u k

− − − − − −

−

= = +

の様に,超平面 上に ， 上に が来る様に回転，平行移動した

正 胞体の座標は 　

1

1 1, b 0, , , +1 , c , , , +1 , d 0, 0, ,

6 3 3 3

3 6 62 26+1

ABC .

Ad

d

d' , ABCd ABC

' 1/ 3, 160

ABC ,

d

k k k

u

z u

z

u k

uz

°

− −

=− =

=

平面 の直交補空間は 平面 点 の 平面への

正射影を と表すと

故に 胞 を平面 を軸

「 の 成分 成分 」

回転すると

胞

に

超平面 上の . ( )に展開される 左下図

( )1 1

1 1

1 1

2

1 1 1 1 1 1

2 1

2 1 2 1

1 / 3,1

, ABcd, Abcd b,c b ,c

, b ,c

c d ,

, .

AB , Ab c d , ABd 60 c d c d

c d ,

AB AB .

A Ac d

b

z x

u k

u y°

−

=

で， 成分は変化しない

②次に胞 回転すると 胞 は

超平面 上の胞 に展開される

③さらに胞

①前頁の回転で 胞 も同時に動かしたとし， の像を とする．

この時 の 成分は

を 平面 を軸に

を 平面 を軸に

3 2 1

, A

60b c d .

. ( )

u k

u k

° =

=

回転すると 超平面

上の胞 に展開される

④同様にして，全ての胞は 超平面

上に展開される 次頁

ステップ① ステップ②

4

正16胞体の展開図 (例1)

developement1.nb

§5. 様々な展開図3 X Y , ,Y X

4 , X Y S , S , Y X

l l次元空間内で，同一平面上にない面 と面 が辺 を共有する時 を軸とする回転で

を と同じ平面上に展開できる．

同様，次元空間内で 同一超平面上にない胞 と が面 を共有するとき を軸とする

回転で を と同じ超平面上に展開できる．従って，面の共有関係を調べるだけで，

胞を展開する事ができる．

例2. snake型 例3. starfish型

random developement.nb（「Shift + Enter」 を押す毎に，新しい展開図が作られます.)

snake.cg3 starfish.cg3

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§6. 双対性

3 X Y X Y X 2Y Y X 4 4

6 8 , 12 20 .

次元の多面体 と において， の各面の中心を の頂点， の隣り合う 面の中心

を結ぶ辺を の辺とした立体 を， と という．例えば 正 面体と正 面体，

正 面体と正 面体 正

双

面体と正 面体は 双対となる

対

203012正20面体

123020正12面体

8126正8面体

6128正6面体

464正4面体

面の枚数辺の本数頂点の個数

正4面体と正4面体.cg3 正6面体と正8面体.cg3 正12面体と正20面体.cg3

4 X Y X Y X 2Y Y X ,

8 16 .

次元の超多面体 と において， の各胞の中心を の頂点， の隣り合う 胞の

中心を結ぶ辺を の辺とした立体 を， と という．例えば 正5胞体と正5胞体

正 胞体と

双対

正 胞体は互いに双対となる

510105正5胞体

1632248正16胞体

8243216正8胞体

胞の室数面の枚数辺の本数頂点の個数

8胞体と16胞体.cg3

正8胞体と16胞体 16胞体

16cells.wrl