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17. RL直列回路17. RL Series Circuit

このテーマの要点

交流直列回路の解析の考え方を学ぶ

電圧と電流の関係について理解を深める

単振動の合成をマスターする

教科書の該当ページ

2.1.3 RL直列回路 [p.44]

RL直列回路

電圧の平衡式

e(t) = eR (t) + eL (t)

共通電流 i(t) から電圧 e(t) を考える

i(t) = Im sinω t とすると

eR (t) = R i(t)

eL (t) = Ld i(t)

dt = ωL Im cosω t

∴ e(t) = RIm sinω t + ωLIm cosω t

電圧 e(t) と電流 i(t) の関係はどうなっている？

R L

e(t)

i(t)

eR(t) eL(t)

= R Im sinω te(t)

t

ei

i(t)

微妙な位相差...

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単振動の合成

単振動：総称

重要な性質

同じ角速度(周波数、周期)のsin, cosはひとつのsin, またはcosに合成できる

合成後は...

振幅・位相が変化　合成する各項の振幅に依存

角速度は不変

sin

cos

sin, cos

sin,cosは振動現象を表す関数

sin,cosの角速度が同じ

対応する円周上の相対的な位置関係が不変ということは...

sin, cosをベクトル合成したものも不変

t = 0 のとき

eR (t) = R Im sinω t

eL (t) = ωL Im cosω t

合成すると

大きさ

方向∴ e(t) = Em sin(ω t + ϕ )

RIm

..

ωLI m

Em = R2 + ω

2L2 Im

ϕ = tan−1ω LR

..

ϕ

Em

大きさ R Im方向 0°

大きさ ωL Im方向 90°

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電圧・電流の関係とインピーダンス

RL回路において

i(t) = Im sinω t e(t) = Em sin(ω t + ϕ )

ω LR

= R2 + ω

2L2 Im sin(ω t + tan−1 )

i(t)とe(t)を比較すると

電流は電圧よりϕ だけ位相が遅れる 電圧と電流の振幅比は

Em

Im= R2

+ ω 2L2

オームの法則によると、抵抗と同じ働き

= Z (Ω)

インピーダンス

= R2 + X

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リアクタンス

演習1

(1) 4 sinω t , 3 cosω t を合成してsinで表せ

(2) 前問をcosで表せ

42 + 32

= 25 = 5

合成後の振幅は

図より位相は

tan−1 = 36.87° 34

∴ 5 sin(ω t + 36.87°)

5

4

3ϕ

∴ 5 cos(ω t − 53.13°)

cosで表す場合は、図のように 90°からの遅れ位相を考えればよい。

5

4

3ϕ'

4

(3) 4 sinω t , 4 sin(ω t + 60° ) を合成してsinで表せ

∴ 6.93 sin(ω t + 30°)

4

4

ϕ60°

合成後の横方向成分 x は

x = 4 + 4cos60° = 4 + 2 = 6

合成後の縦方向成分 y は

y = 4sin60° = 2 3

図より位相は

tan−1 = 30° 2 36

よって合成後の振幅は

36 + 12 = 48

= 6.93

演習2

R= 40 (Ω), L= 100 (mH) のRL直列回路のインピーダンス Z を求めよただし、 f = 50 (Hz) とする

リアクタンスを求めると

X = ωL = 2π f L

= 2π × 50 × 100 × 10−3

= 31.42 (Ω)

よってインピーダンスは

Z = R2 + X

2 = 402 + 31.422 = 50.86 (Ω)