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Curso MATLAB
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Capıtulo 17
Sucesiones y series de funciones
Introduccion
En este capıtulo estudiaremos propiedades de una funcion definida como lımite de unasucesion de funciones o como la suma de una serie de funciones. Empezaremos definiendolos diferentes tipos de convergencia, para analizar posteriormente el comportamiento antelas operaciones clasicas del Analisis: continuidad, derivacion e integracion.
Posteriormente, se estudian los criterios clasicos de convergencia, de gran utilidad enlos ejemplos.
Finaliza el capıtulo con un estudio mas detallado de dos tipos especiales de series defunciones: las series de potencias y las series de Fourier. Ello permite abordar y resolverparcialmente la otra vertiente del problema, es decir la de saber cuando una funcion admiteun desarrollo como suma de una serie de funciones polinomicas o trigonometricas.
Aunque las series de potencias y las series de Fourier pueden tratarse en el campocomplejo, hemos considerado unicamente el caso real, dado que los problemas exigen enalgunos casos la derivacion y la integracion termino a termino, operaciones que, en el casocomplejo, han sido excluidas del contenido de este libro.
1. Definiciones y resultados generales
1.1. Definicion. Convergencia puntual de una sucesion de funciones
Una sucesion de funciones (fn), con fn: A −→ IR, donde A es un subconjunto de IR,converge puntualmente a una funcion f : A −→ IR si para todo punto x de A se verificaque
limn→∞
fn(x) = f(x)
es decir para todo ε > 0 y cada x ∈ A existe un n0(ε, x) ∈ IN tal que |fn(x) − f(x)| < εsiempre que n ≥ n0.
Nota: En el problema resuelto 1 se analiza la convergencia puntual de algunas sucesionesde funciones.
522 Capıtulo 17. Sucesiones y series de funciones
1.2. Definicion. Convergencia puntual de una serie de funciones
Dada una sucesion de funciones fn: A −→ IR, la serie de funciones∞∑
n=1fn converge
puntualmente si la sucesion (Sn) de sumas parciales definida por Sn(x) = f1(x)+· · ·+fn(x),x ∈ A, es puntualmente convergente. En definitiva, si para cada x ∈ A la serie numerica∞∑
n=1fn(x) es convergente.
Observacion: La convergencia puntual no conserva en general las propiedades clasicasdel Analisis: continuidad, derivabilidad e integrabilidad, como se pone de manifiesto en losproblemas resueltos 2, 3 y 4.
1.3. Definicion. Convergencia uniforme de una sucesion de funciones
Se dice que una sucesion de funciones fn: A −→ IR converge uniformemente a unafuncion f : A −→ IR si para todo ε > 0 existe un n0(ε) ∈ IN tal que |fn(x) − f(x)| < ε paratodo n ≥ n0 y todo x ∈ A.
Graficamente, se puede visualizar la convergencia uniforme como sigue:La sucesion fn converge a f uniformemente si dado un ε > 0, las graficas de las
funciones fn (para n ≥ n0) estan dentro de la “banda” de centro la grafica de f y “anchura”2ε (vease figura 17.1).
f �x�
f �x��Ε
f �x��Ε
Fig. 17.1
Nota: Si existe una sucesion (an) convergente a 0 tal que |fn(x) − f(x)| ≤ an para todox ∈ A y todo n mayor que un cierto n0, entonces la sucesion fn converge a f uniformementeen A.
1.4. Definicion. Convergencia uniforme de una serie de funciones
Una serie de funciones∞∑
n=1fn converge uniformemente a f si la sucesion de sumas
parciales Sn converge uniformemente a f .
Observacion: La convergencia uniforme implica la convergencia puntual, pero el recı-proco en general no es cierto.
Definiciones y resultados generales 523
1.5. Teorema. Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme
i) Criterio para sucesiones de funciones:
La sucesion (fn) es uniformemente convergente si y solo si para todo ε > 0 existen0(ε) ∈ IN tal que |fp(x) − fq(x)| < ε para todo x ∈ A y todo p, q ≥ n0(ε).
ii) Criterio para series de funciones:
La serie∞∑
n=1fn es uniformemente convergente si para todo ε > 0 existe n0(ε) ∈ IN tal
que
|fn+1(x) + · · ·+ fn+h(x)| < ε
para todo x ∈ A, para todo n ≥ n0(ε) y todo h ∈ IN.
La convergencia uniforme posee mejores propiedades que la convergencia puntual,como atestigua el siguiente resultado:
1.6. Teorema. Propiedades de la convergencia uniforme
Sea (fn) una sucesion de funciones definidas en un intervalo [a, b] ⊂ IR.
i) Si la sucesion (fn) converge uniformemente a f en [a, b] y cada fn es continua en[a, b], f es continua en [a, b].
ii) Si la sucesion (fn) converge uniformemente a f en [a, b] y cada fn es continua en
[a, b], la sucesion de funciones definidas por
∫ x
a
fn(t) dt converge uniformemente
a la funcion
∫ x
a
f(t) dt en [a, b]. En particular,
∫ b
a
f(x) dx = limn→∞
∫ b
a
fn(x) dx
1.7. Corolario
Sean (fn)n∈IN y f funciones definidas en un intervalo [a, b] ⊂ IR.
i) Si la serie∞∑
n=1fn converge uniformemente a f en [a, b] y cada fn es continua en
[a, b], tambien f es continua en [a, b].
ii) Si la serie∞∑
n=1fn converge uniformemente a f en [a, b] y cada fn es continua en
[a, b],∫ b
a
f(x) dx =∞∑
n=1
∫ b
a
fn(x) dx
Observacion: El teorema anterior, usado convenientemente, proporciona un metodo paracalcular algunas sumas de series numericas (vease por ejemplo el problema resuelto 13).
524 Capıtulo 17. Sucesiones y series de funciones
1.8. Teorema. Convergencia uniforme y derivacion
Sea fn: (a, b) −→ IR una sucesion de funciones derivables tales que:
i) Existe un punto x0 ∈ (a, b) tal que la sucesion(
fn(x0))
converge.
ii) f ′
n converge uniformemente en (a, b) a una funcion g.
En esas condiciones, (fn) converge uniformemente en (a, b) a una funcion derivable fen (a, b) cuya derivada es g.
1.9. Corolario
Si∞∑
n=1fn es una serie de funciones derivables en un intervalo (a, b) de modo que la
serie de las derivadas converge uniformemente en (a, b) y existe un punto x0 ∈ (a, b) tal
que la serie numerica∞∑
n=1fn(x0) es convergente, entonces la serie inicial es uniformemente
convergente a una funcion derivable f y
f ′(x) =
∞∑
n=1
f ′
n(x)
para todo x ∈ (a, b).
1.10. Teorema. Criterio M de Weierstrass
Si |fn(x)| ≤ an para todo x ∈ A y para todo n ∈ IN, y la serie∞∑
n=1an es convergente,
entonces:
i) La serie∞∑
n=1fn es uniformemente convergente en el conjunto A.
ii) La serie∞∑
n=1fn(x) es absolutamente convergente para todo x ∈ A.
Nota: Se puede ver un ejemplo de aplicacion de este resultado en el problema resuelto 5.
2. Series de potencias
2.1. Definicion. Serie de potencias
Se llama serie de potencias a una serie de funciones de la forma
∞∑
n=0
an(x − x0)n
con an, x0, x ∈ IR.
Series de potencias 525
2.2. Teorema. Convergencia de una serie de potencias
Dada una serie de potencias∞∑
n=0an(x − x0)
n, existe un unico R ∈ IR+ ∪{0,∞} tal
que:i) Para todo r < R, la serie converge absolutamente y uniformemente en el conjunto
{x/
|x − x0| ≤ r}.ii) La serie diverge en los puntos x tales que |x − x0| > R.
El numero R recibe el nombre de radio de convergencia de la serie de potencias yverifica la formula de Hadamard:
R =1
limn→∞
n√
|an|
con el convenio 1/0 = ∞.
Puesto que limn→∞
n√
an = limn→∞
an+1
an, si ambos existen, el radio de convergencia, en
este caso, viene tambien dado por
R =1
limn→∞
∣
∣
∣
∣
an+1
an
∣
∣
∣
∣
Notas:
1) Si el radio de convergencia es 0, la serie converge solo en x0.
2) Si R = ∞, la serie converge absolutamente en todo IR y lo hace uniformemente encualquier subconjunto acotado.
3) Si 0 < R < ∞, la serie converge en todos los puntos del intervalo (x0 + R, x0 − R) ydiverge en (−∞, x0 −R)∪ (x0 +R,∞). En los puntos frontera del intervalo puede serconvergente o no. La convergencia en dichos puntos hay que estudiarla en cada caso(vease problema resuelto 6). En cualquier caso el conjunto de puntos en los que la serieconverge es un intervalo (que puede ser abierto, cerrado o semiabierto) denominadointervalo de convergencia.
2.3. Teorema. Derivacion de series de potencias
Sea∞∑
n=0an(x − x0)
n una serie de potencias de radio de convergencia R �= 0 y sea
f(x) =∞∑
n=0
an(x − x0)n
la funcion definida por dicha serie para |x − x0| < R. Sea∞∑
n=0nan(x − x0)
n−1 la serie de
potencias derivada termino a termino, R′ su radio de convergencia y sea
g(x) =
∞∑
n=0
nan(x − x0)n−1
526 Capıtulo 17. Sucesiones y series de funciones
la funcion definida para |x − x0| < R′. Entonces R = R′, la funcion f(x) es derivable yf ′(x) = g(x) para |x − x0| < R.
Ası pues, si R es el radio de convergencia de la serie∞∑
n=0an(x − x0)
n, la funcion
f(x) =∞∑
n=0an(x − x0)
n es de clase C∞ en el intervalo abierto (x0 − R, x0 + R).
Ademas an =1
n!f (n)(x0) para todo n.
Comentario: Un resultado analogo se verifica para la integracion. Como consecuenciade la convergencia uniforme, una funcion definida por una serie de potencias es integrabley la integracion se puede realizar termino a termino, es decir
∫ b
a
∞∑
n=0
an(x − x0)n
dx =
∞∑
n=0
an
[
(x − x0)n+1
n + 1
]b
a
siempre que [a, b] este contenido en el intervalo de convergencia.
2.4. Definicion. Desarrollo de una funcion en serie de potencias en torno al
origen
Sea A un subconjunto de IR tal que 0 es un punto interior de A. Se dice que unafuncion f : A −→ IR es desarrollable en serie de potencias, centrada en el origen, en el
conjunto A si existe una serie de potencias∞∑
n=0anxn tal que:
f(x) =∞∑
n=0
anxn ∀x ∈ A
Comentarios:
1) El desarrollo de una funcion en serie de potencias centrada en el origen es unico, ya
que de acuerdo con el teorema 2.3 debe ser an =1
n!f (n)(0). Se puede decir por tanto
que el desarrollo de una funcion en serie de potencias es su “polinomio de Taylorde orden infinito”, que denominamos serie de Taylor. Para una funcion infinitamentederivable, ser desarrollable en serie de potencias equivale a decir que el resto de Taylorde orden n tiende a 0 cuando n tiende a infinito.
2) En general la serie de Taylor de una funcion f(x) converge a f(x) en un subconjuntodel intervalo de convergencia llamado campo de validez del desarrollo.
3) Hay funciones de clase C∞ que no son la suma de ninguna serie de potencias, porejemplo la funcion definida por
f(x) = e−1/x2
si x �= 0, f(0) = 0
que tiene todas sus derivadas nulas en x = 0: f (n)(0) = 0. Tal como vimos en elcapıtulo 8 (problema resuelto 20) el polinomio de Taylor de cualquier grado de f en
Series de Fourier 527
el punto x = 0 es identicamente nulo. La serie de potencias es convergente, inclusouniformemente convergente, en todo IR y sin embargo esta serie no converge a f . Asıpues, en este caso el campo de validez del desarrollo en serie de Taylor se reduce al 0.
4) Se puede definir de modo analogo el concepto de funcion desarrollable en serie depotencias en torno a un punto arbitrario x0 ∈ A.
2.5. Algunos desarrollos en series de potencias usuales
Se verifica que
i) ex =∞∑
n=0
xn
n!para todo x ∈ IR.
ii) sen x =∞∑
n=0(−1)
n x2n+1
(2n + 1)!para todo x ∈ IR.
iii) cos x =∞∑
n=0(−1)
n x2n
(2n)!para todo x ∈ IR.
iv)1
1 − x=
∞∑
n=0xn para todo x ∈ (−1, 1).
v) log(1 + x) =∞∑
n=1(−1)
n+1 xn
npara todo x ∈ (−1, 1].
Nota: Los tres primeros desarrollos se demuestran viendo que el resto de Taylor tiendea 0 (como ejemplo de esta tecnica, vease el problema resuelto 8), el cuarto es la suma deuna serie geometrica y el ultimo se obtiene a partir de este (vease problema resuelto 9).En general, la unicidad del desarrollo en serie de potencias permite obtener el desarrollode ciertas funciones a partir de otros desarrollos conocidos, mediante cambios de variable,derivacion o integracion termino a termino (vease problema resuelto 10).
2.6. Teorema del lımite de Abel
Supongamos que f(x) =∞∑
n=0an(x − x0)
n en el intervalo (x0 − R, x0 + R). Si en el
extremo del intervalo x0 + R (resp. x0 − R) la serie converge y la funcion es continua,entonces en dicho punto los valores de la funcion y de la suma de la serie coinciden, es
decir f(x0 + R) =∞∑
n=0anRn (resp. f(x0 − R) =
∞∑
n=0an(−R)n).
3. Series de Fourier
3.1. Definicion. Serie de Fourier
Dada una funcion integrable, periodica de perıodo 2π, se llama serie de Fourier aso-ciada a f a la serie de funciones
a0
2+
∞∑
n=1
(
an cos (nx) + bn sen (nx))
528 Capıtulo 17. Sucesiones y series de funciones
donde
an =1
π
∫ π
−π
f(x) cos (nx) dx en particular a0 =1
π
∫ π
−π
f(x) dx
bn =1
π
∫ π
−π
f(x) sen (nx) dx
Los coeficientes a0, an y bn reciben el nombre de coeficientes de Fourier asociados a f , ocoeficientes de Fourier de f .
Nota: En terminos del algebra lineal se puede afirmar que el conjunto de funciones{1, cos(nx), sen(nx) : n ∈ IN} es un sistema ortonormal respecto del producto escalar de
funciones 〈f, g〉 =1
π
∫ π
−π
f(x)g(x) dx y, como consecuencia de la ortogonalidad, si una
funcion se expresa como combinacion lineal, finita o infinita, de funciones de este sistema,los coeficientes correspondientes deben ser los coeficientes de Fourier.
3.2. Teorema de Dirichlet
Sea f una funcion 2π-periodica acotada y derivable a trozos. Entonces, la serie de
Fourier de f converge en cada punto a hacia1
2
(
limx→a+
f(x) + limx→a−
f(x)
)
.
Si f es continua en a, su serie de Fourier converge a f(a).
3.3. Propiedades
i) Los coeficientes de la serie de Fourier de f pueden calcularse en cualquier intervalo delongitud 2π. (Vease problema resuelto 19.)Habitualmente se tomaran como intervalos de referencia para calcular los coeficienteslos intervalos [−π, π] o [0, 2π].
ii) Si f(x) es impar, an = 0 para todo n, y si f(x) es par, bn = 0 para todo n.
3.4. Desarrollo de Fourier de una funcion 2l-periodica
Si f es una funcion periodica de perıodo 2l �= 2π, la serie de Fourier asociada a f es
a0
2+
∞∑
n=1
(
an cosnπx
l+ bn sen
nπx
l
)
siendo
an =1
l
∫ l
−l
f(x) cosnπx
ldx en particular a0 =
1
l
∫ l
−l
f(x) dx
bn =1
l
∫ l
−l
f(x) sennπx
ldx
Este resultado se obtiene de 3.1 con un cambio de variable (vease problema resuelto 18).Por lo tanto, tambien se verifica la generalizacion correspondiente del teorema de Dirichlet.
Series de Fourier 529
Observacion: Una importante ventaja de las series de Fourier es que son capaces derepresentar funciones muy generales, con muchas discontinuidades, del tipo de funcionesdiscontinuas de “impulso”, muy usuales en diversos aspectos de ingenierıa, mientras que lasseries de potencias solo pueden representar funciones continuas con derivadas de cualquierorden.
3.5. Series de Fourier de tipo seno
Dada una funcion f definida en el intervalo [0, π] derivable a trozos en dicho intervalo,puede desarrollarse en una serie de Fourier de tipo seno (es decir con an = 0 para todon) extendiendola al intervalo [−π, 0] de modo que la funcion extendida sea impar (veaseproblema resuelto 22).
3.6. Series de Fourier de tipo coseno
Dada una funcion f definida en el intervalo [0, π] derivable a trozos en dicho intervalo,puede desarrollarse en una serie de Fourier de tipo coseno (es decir con bn = 0 para todon) extendiendola al intervalo [−π, 0] de modo que la funcion extendida sea par (veaseproblema resuelto 23).
Observacion: Las tecnicas indicadas en los apartados 3.5 y 3.6 se generalizan sin dificul-tad a intervalos de longitud 2l.
3.7. Identidad de Parseval
Sea f una funcion continua en [0, 2π] y periodica de perıodo 2π. Entonces
1
π
∫ 2π
0
(
f(x))2
dx =a20
2+
∞∑
n=1
(a2n + b2
n)
siendo convergente la serie del segundo miembro.
Notas:
1) La demostracion de este resultado, en un caso particular, se puede encontrar en elproblema resuelto 25.
2) Un ejemplo de uso de esta igualdad se puede ver en el problema resuelto 21.
