1.1 Introduccion

TALLER de GEOPLANO

1.1. Introduccion

El geoplano es un recurso didactico para la introduccion de gran parte de los conceptos geometricos;el caracter manipulativo de este permite a los ninos una mayor comprension de toda una serie determinos abstractos, que muchas veces o no entienden o no generan ideas erroneas en torno a ellos.El inventor del Geoplano fue el pedagogo contemporaneo, Caleb Gattegno, profesor del Instituto deEducacion de la Universidad de Londres. Este material didactico es de construccion muy sencilla.Consiste en un tablero cuadrado con clavos dispuestos en filas a igual distancia unos de otros, y setrabaja sobre el con bandas elasticas.Las actividades que se realizan con el Geoplano permiten que se pongan en juego procedimientostales como la clasificacion, la descripcion que involucre propiedades de las figuras, la reproduccionde figuras a partir de modelos obtenidos en este tablero, la investigacion matematica en la que seutilizan conceptos y relaciones geometricas. Las actividades a realizarse con este material puedenser tanto individuales como colectivas.Es recomendable que cada nino y nina tenga su propio geoplano, esto permitira que cada uno hagasus propias exploraciones y trabaje a su propio ritmo. Hacer un geoplano es relativamente facil. AlInvitar a los padres a participar en su elaboracion se contribuye a la unidad familiar y a la partic-ipacion de los padres en las acciones educativas. Se pueden confeccionar varios modelos de geo-planos, los cuales se logran al modificar el numero de clavos 2× 2, 3× 3, 4× 4 · · · La figura muestrauno de 3× 3 y otro de 5× 5

Es muy conveniente, luego de las primeras actividades, dibujar geoplanos en papel, y multiplicarlos,para que los alumnos puedan dejar graficadas las tareas realizadas. La figura anterior muestra unahoja de Geoplano.

1.1.1. Construccion de un Geoplano

Se necesita un trozo de madera de 20× 20 centımetros (figura 1). Se marca cada 5 centımetros paraformar una cuadrıcula de 5× 5 (figura 2).

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1.1 Introduccion

En cada una de las intersecciones de los trazos hechos se pone un clavo, de los 81 necesarios (figura3). Debe quedar como la figura 4.

Ahora se puede hacer geometrıa. Con elasticos de colores se enganchan los clavos y se puedenformar figuras como muestra la figura 5.

1.1.2. Actividades con el geoplano

Puntos: Los clavos del geoplano representan puntos y en el pizarron se representaran con una X.

Tocar los puntos.

Contar los puntos por lınea y luego el total.

Representar graficamente en una hoja los puntos del geoplano

Lıneas: La union o surcos que forman el geoplano representan lıneas rectas.

Unir con bandas elasticas, dos puntos cualquiera representando rectas.

Unir con bandas elasticas, puntos formando rectas.

Trazar rectas en el pizarron.

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Trazar con bandas elasticas, en el geoplano todas las rectas que pasan por un punto.

Trazar con bandas elasticas, rectas horizontales, verticales y oblicuas.

Se mostrara que con un simple giro las rectas pueden transformarse en horizontales, verticalesu oblıcuas. Girar las bandas elasticas transformando las rectas.

Representar con bandas elasticas, en el geoplano rectas en distintas posiciones formando obje-tos o figuras.

Juegos: Buscamos figuras geometricas

Buscamos triangulos y cuadrados en el geoplano uniendo 3 o 4 puntos con 1 banda elastica.

Buscamos todos los cuadrados que se puedan construir en el geoplano usando mas bandaselasticas.

Dibujamos en la hoja del Geoplano cuadrados uniendo 4 puntos.

Buscamos con bandas elasticas, nuevas uniones de puntos: 2, 3, 4 y 5, con ello nos iniciamos enla nocion de otras figuras geometricas.

Construimos un triangulo por transformacion del cuadrado, es decir levantando y liberandoun vertice de la banda elastica. Realizar el mismo ejercicio en sentido inverso.

Actividad 1.1.1. Traza en el Geoplano o en hoja, un segmento vertical de 2 unidades de longitud, un segmentohorizontal de 3 unidades de longitud, y un segmento distinto a los dos anteriores de longitud 4. Usa elasticoso lapices de colores diferentes.

Actividad 1.1.2. Usa elasticos de diferentes colores en cada segmento para:

1. Trazar una lınea poligonal abierta, formada por 4 segmentos de recta.

2. Trazar una lınea poligonal cerrada, formada por 5 segmentos de recta.

3. Trazar una lınea poligonal cerrada, formada por 4 segmentos de recta de igual longitud.

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Actividad 1.1.3. Usa elasticos de diferentes colores en cada segmento para:

1. Trazar dos segmentos de recta, de 3 y 4 unidades de longitud, respectivamente, que sean paralelos.

2. Trazar dos segmentos de recta que sean perpendiculares.

3. Trazar dos segmentos que se corten, pero no perpendicularmente.

Actividad 1.1.4. Traza en la hoja de Geoplano de 3× 3 seis segmentos de longitudes diferentes.

Actividad 1.1.5. Trazar dos segmentos, no perpendiculares, que se corten.

1. ¿Cuantos angulos se han formado?

2. Mide con el transportador esos angulos. ¿Como son sus medidas?

3. Trazar dos segmentos que se corten perpendicularmente. ¿Cuanto miden esos angulos?

4. Coloca otro elastico, de color diferente, en el vertice del angulo recto y que quede entre los lados delangulo recto. Elimina una de las gomas que formaban el angulo recto. El angulo que queda ¿mide mas omenos de 90◦? ................ ¿Que nombre reciben esos angulos? .......................

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Actividad 1.1.6. Trazar dos segmentos perpendiculares e indicar los segmentos con colores diferentes.

1. Coloca otro elastico, de color diferente, en el vertice del angulo recto y que quede fuera de los lados delangulo recto. Elimina la goma que era el final del angulo recto. El angulo que queda ¿mide mas o menosde 90◦. ¿Que nombre reciben esos angulos?

2. Traza en geoplanos distintos. Un angulo recto, uno obtuso y otro agudo

Actividad 1.1.7. Une con elasticos tres puntos del Geoplano.

1. ¿Como se llama esa figura? ...................................

2. Ubica los elasticos de forma que los tres angulos sean agudos ¿Cual es el nombre de esos triangulos?................................

3. Ubica ahora los elasticos de modo que uno de los angulos sea obtuso ¿Cual es el nombre de esos triangu-los? ............................

4. Ubica ahora los elasticos de modo que uno de los angulos sea recto ¿Cual es el nombre de esos triangulos?............................

Actividad 1.1.8. Une con elasticos tres puntos del Geoplano.

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1. Ubica los elasticos de forma que los tres lados tengan la misma medida ¿Cual es el nombre de esostriangulos? .........................

2. Ubica ahora los elasticos de modo que dos de los lados tengan igual medida, pero no ası el tercero ¿Cuales el nombre de esos triangulos? .........................

3. Ubica ahora los elasticos de modo que los tres lados tengan medidas distintas ¿Cual es el nombre de esostriangulos? ..........................

Actividad 1.1.9. En la hoja de Geoplano dibujar, con lapiz de color, 4 triangulos de distinto tamano. Midesus lados. Entre los que dibujaste ¿alguno de ellos tiene un par de lados iguales? ¿existe alguno con todos suslados de distinta longitud? ¿Hay alguno con todos sus lados iguales?

Actividad 1.1.10. En una hoja de Geoplano de 3× 3 hallar cuantos triangulos de diferentes formas puedenobtenerse. Una vez hecho esto clasificar aquellos “repetidos”, que en realidad son congruentes pero se encuen-tran en diferente posicion.

Actividad 1.1.11. En un Geoplano de 2× 2 ¿cuantos triangulos puedes formar?

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Actividad 1.1.12. En un Geoplano de 3× 3 fija una liga en un clavo ¿cuantos triangulos puedes formar?

Actividad 1.1.13. En un Geoplano de 3× 3 fija una liga en dos clavos ¿cuantos triangulos puedes formar?

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Actividad 1.1.14. Traza en la hoja de Geoplano de 3× 3 seis pares diferentes de segmentos paralelos.

Actividad 1.1.15. Traza en la hoja de Geoplano de 3× 3 seis pares diferentes de segmentos perpendiculares.

Actividad 28 En tu Geoplano, verifica cuales de las siguientes relaciones entre triangulos son posi-bles y cuales no. Anota SI o bien NO en la tabla y justifica

Lado/ Angulo Acutangulo Rectangulo ObtusanguloEquilatero

Isosceles

Escaleno

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Actividad 1.1.16. Une con elasticos cuatro puntos del Geoplano.

1. ¿Como se llaman esas figuras? .................................

2. Ubica los elasticos de modo que los cuatro lados tengan la misma medida, sean paralelos dos a dos ytodos sus angulos rectos. ¿Cual es el nombre de esas figuras? .........................

3. solo un par de lados paralelos sean de igual medida, los dos restantes paralelos de distinta medida y todossus angulos rectos. ¿Cual es el nombre de esas figuras? .........................

4. Ubica ahora los elasticos de modo que los cuatro lados tengan igual medidas pero ningun angulo recto.¿Cual es el nombre de esas figuras? ..........................

5. Ubica los elasticos de manera que los cuatro lados son iguales y los angulos iguales dos a dos. ¿Cual esel nombre de esas figuras? ..........................

6. Ubica los elasticos de manera que solo dos lados sean paralelos. ¿Cual es el nombre de esas figuras?..........................

7. Ubica los elasticos de manera que no tenga lados paralelos. ¿Cual es el nombre de esas figuras? ....................

Actividad 1.1.17. Traza en la hoja de Geoplano de 3× 3 seis figuras diferentes de 4 lados.

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Actividad 1.1.18. Observa los cuadrilateros de las figuras que se muestran a continuacion. ¿Que caracterısti-cas observas?

Actividad 1.1.19. Halla cuantos cuadrados se pueden construir en un Geoplano de 5× 5

Actividad 1.1.20. En una hoja de geoplano de 3× 3 encontrar y clasificar todos los cuadrilateros posibles.

Aquı debieran aparecer, en las diferentes clasificaciones, los conceptos de figuras concavas y con-vexas, cuadrilateros con un par de lados paralelos y con dos, y como estas otras que le permitiran aldocente presentar las clasificaciones correspondientes, pero que ahora tendran significado para losninos.

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1.1.3. Unidad lineal y Unidad de area

Se muestra como se enlaza la unidad lineal y la unidad de area para formar el perımetro y el arearespectivamente.

Observe en la figura anterior, que la distancia entre dos puntos alineados vertical u horizontalmente,representa la unidad lineal o longitud unitaria. En el Sistema Internacional de Medidas esta unidadlineal puede representar kilometro, metro, centımetro, milımetro, u otro multiplo o submultiplo delmetro como tambien unidades de otro sistema de medida. Ası por ejemplo, en la figura se puede ob-servar que la lınea poligonal (a) tiene una longitud de 6 unidades lineales y si cada unidad equivalea un metro, por ejemplo, se dice que la longitud es de 6 m. Si la unidad lineal es 1 km, la longitud dela lınea poligonal es de 6 km.Como Ud. ve, la longitud de la lınea poligonal es de 6 longitudes unitarias una tras otra. En la figuraesta representado un rectangulo (b), los lados del rectangulo forman una lınea poligonal cerrada y simide la longitud de esa lınea se dara cuenta de que mide 14 unidades lineales. Si cada unidad linealmide 1 cm se dice que la longitud de los lados del rectangulo mide 14 cm, si la unidad lineal es 1mm entonces la longitud de los lados sera de 14 mm. Por convencion se denota esta longitud con laletra P y se llama perımetro.En la figura se observa un cuadrado pequeno (c), el cual tiene dos dimensiones. Este representauna unidad de area o cuadrado unitario. Si la medida del lado de este cuadrado es un milımetro,entonces la unidad de area es un milımetro cuadrado, si el lado mide un metro entonces la unidadde area es un metro cuadrado. Ası, si el lado mide una unidad lineal cualquiera, la unidad de area esla unidad cuadrada. Una unidad de area puede ser kilometro cuadrado, metro cuadrado, centımetrocuadrado u otra medida.Observando el rectangulo (b), Ud. puede contar cuantos cuadrados unitarios caben en el. Observeque caben 12 cuadrados unitarios y en este caso se dice que el area del rectangulo es de 12 cuadradosunitarios. Si cada cuadrado unitario representa un metro cuadrado entonces decimos que el area delrectangulo es de 12 metros cuadrados que simbolizamos por 12 m2. Si se denota el area con la letraA, se tiene A = 12 m2. Observe que el area es un conjunto de cuadrados unitarios.

Actividad 1.1.21. Determinar el perımetro y el area de los rectangulos incluıdos en la figura siguiente. Indicarlas medidas de sus lados

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Actividad 1.1.22. En una escuela tienen 4 sectores rectangulares para cerrar con mallaa. El auxiliar se acord-aba del geoplano, ası que fue e hizo un dibujo como el siguiente

Determina la cantidad lineal de malla para cerrar cada sector.

Halla el area de cada sector rectangular.

¿Cual es el sector de mayor area?

Actividad 1.1.23. Representa las siguientes figuras:

a) Triangulo isosceles de area 32

b) Triangulo escaleno de area 18

c) Triangulo rectangulo de area 24

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Actividad 1.1.24. Encuentra todos los caminos diferentes de longitud cuatro que puedas en tu Geoplano de3× 3. Registra tus hallazgos en una hoja de Geoplano.

Actividad 1.1.25. Consideren la mayor cantidad posible de caminos de A hasta B, sin pasar dos veces por unmismo punto, pudiendo pasar por las diagonales.

Hallen sus longitudes.

Indiquen cual es el mas corto y cual es el mas largo.

Registren sus hallazgos en la hoja del geoplano.

Actividad 1.1.26. Expliquen por que cada una de las figuras rayadas tiene area 2.

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Actividad 1.1.27. Busquen todas las figuras que puedan de area 2 en un Geoplano de 3× 3. Registren sushallazgos en geoplanos de papel. Comparen sus respuestas con las de otros grupos. ¿Quien encontro mas?

Actividad 1.1.28. La flecha que muestran las hojas de Geoplano, dibujarlas ↑ y←

Actividad 1.1.29. En la hoja de Geoplano traslada la figura 5 lugares hacia la derecha y tres hacia arriba.

Actividad 1.1.30. En la hoja de Geoplano hallar el area de la figura.

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Actividad 1.1.31. Copia en la hoja de Geoplano y halla el area de la figura.

Actividad 1.1.32. Forma en tu Geoplano y luego dibuja en las hojas las siguientes figuras.

Actividad 1.1.33. Construir en el geoplano otra figura que sea simetrica a la primera con respecto a la lıneaAB, que es el eje de simetrıa. Para verificar colocar un espejo de forma rectangular a largo sobre la liga AB. Enel espejo se vera reflejada la figura construida.

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Actividad 1.1.34. Construir en el geoplano:

1. Un triangulo rectangulo cuyas medidas sean 2 unidades de base y 2 unidades de altura, y un cuadradosobre cada uno de los lados del triangulo.

2. Otro triangulo de una unidad de base y una unidad de altura y sus cuadrados correspondientes.

3. Por ultimo, se construye un triangulo escaleno con sus correspondientes cuadrados.

4. Calculan las areas de los cuadrados y se anotan en la tabla. Hay que hallar la relacion que existe entrelas medidas de las areas de los cuadrados A y B y la del cuadrado C.

Triangulo Area cuadrado A Area cuadrado B Area cuadrado C123

Se analizan los datos contenidos en la tabla y se pregunta: ¿Que relacion tienen las areas de los cuadrados A yB con respecto al area del cuadrado C en los tres triangulos?

Actividad 1.1.35. Formar en el geoplano (o en la hoja) un triangulo y a partir de el y cambiando solo el verticesuperior hallar otros triangulos con la misma base y la misma medida de la altura.

Actividad 1.1.36. Calcula el area de la siguiente figura

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Actividad 1.1.37. Dibuja en la hoja del geoplano las dos figuras siguientes. Calcula sus areas y perımetros.

Actividad 1.1.38. Dibuja en la hoja del geoplano las dos figuras siguientes. Calcula sus areas y perımetros.

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Actividad 1.1.39. Enlaza 5 clavos en la hoja del geoplano

1. ¿Como se llama a dichas figuras?

2. Trata ahora de que los cinco lados tengan la misma longitud ¿Que nombre tienen ahora? .............................

3. Anota su perımetro ...............................

4. Anota su area .........................

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