17kt

Российская академия наук q Сибирское отделение

И Н С Т И Т У Т М А Т Е М А Т И К И

НЕРЕШЕННЫЕ ВОПРОСЫ

ТЕОРИИ ГРУПП

КОУРОВСКАЯ ТЕТРАДЬ

Издание 17-е, дополненное,

включающее Архив решенных задач

Новосибирск q 2010

Составители: В. Д.Мазуров, Е.И. Хухро

Новые вопросы и комментарии направляйте по адресу:

В.Д.Мазурову

Институт математики СО РАН630090, Новосибирск–90

e-mail: [email protected]

c⃝ В.Д. Мазуров, Е. И.Хухро, 2010.

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Вопросы из 1-го издания, 1965 г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Вопросы из 2-го издания, 1967 г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Вопросы из 4-го издания, 1969 г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10







Вопросы из 10-го издания, 1986 г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42






Вопросы из 16-го издания, 2006 г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Новые вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Архив решенных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Указатель фамилий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4

Предисловие

Идея издания сборника нерешенных проблем теории групп была высказанаМихаилом Ивановичем Каргаполовым (1928–1976) на Дне проблем Первого Все-союзного симпозиума по теории групп в Коуровке под Свердловском 16 февраля1965 г. Поэтому этот сборник и получил название «Коуровская тетрадь». С техпор каждые 2–4 года появляется очередное издание, дополненное новыми вопро-сами и краткими комментариями к решенным задачам из предыдущих изданий.

«Коуровская тетрадь» уже более 40 лет служит своеобразным средством об-щения для специалистов по теории групп и смежным областям математики. Воз-можно, самым ярким примером успеха «Коуровской тетради» является тот факт,что около 3/4 всех задач из ее первого издания к настоящему времени уже реше-ны. Приобретя международное признание, «Коуровская тетрадь» насчитываетсвыше 300 авторов задач из многих стран мира. Начиная с 12-го издания «Ко-уровская тетрадь» выпускается параллельно на русском и английском языках.

Настоящее издание «Коуровской тетради» является семнадцатым. Оно, каквсегда, дополнено параграфом, содержащим новые задачи. Добавлены коммен-тарии к тем задачам из предыдущих изданий, которые получили решение запоследнее время. Некоторые задачи и комментарии из предыдущих изданий по-требовали изменений и исправлений. Составители благодарят всех, кто сообщилсвои замечания по предыдущим изданиям и оказал помощь в подготовке ново-го издания. Мы благодарны Александру Николаевичу Ряскину за содействие виздательском процессе и работе с электронным изданием.

В разделе «Архив решенных задач» помещены все задачи, комментарий к ко-торым в одном из предыдущих изданий указывает на развернутую публикацию,содержащую полный ответ. Однако те задачи, полные ссылки на решения ко-торых впервые появляются только в этом издании, комментируются в основнойчасти «Коуровской тетради», среди нерешенных задач соответствующего пара-графа. (Внимательный читатель заметит, что некоторые номера задач не встре-чаются ни в основной части, ни в «Архиве»: это относится только к тем немногимзадачам, что были полностью исключены по просьбам авторов как неудачныеили утратившие актуальность, например, в связи с завершением классификацииконечных простых групп.)

Сокращение CFSG (The Classification of the Finite Simple Groups) означаетутверждение, что любая конечная простая неабелева группа изоморфна знако-переменной группе подстановок конечного множества, группе лиева типа над ко-нечным полем или одной из двадцати шести спорадических групп (см. Д. Горен-стейн, Конечные простые группы. Введение в их классификацию, М., Мир, 1985).Пометка mod CFSG в комментарии означает, что решение использует CFSG.

В.Д.Мазуров, Е.И.Хухро

Новосибирск, январь 2010 г.

5

Вопросы из 1-го издания, 1965 г.

1.3. (Известный вопрос). Может ли групповое кольцо группы без кручения со-держать делители нуля? Л.А.Бокуть

1.5. (Известный вопрос). Существует ли группа, групповое кольцо которой несодержит делителей нуля и не вложимо в тело? Л.А.Бокуть

1.6. (А.И. Мальцев). Вложимо ли групповое кольцо правоупорядоченной группыв тело? Л.А.Бокуть

1.12. (В.Магнус). Проблема изоморфизма тривиальной группе для всех групп сn порождающими и n определяющими соотношениями, где n > 2.

М.Д.Гриндлингер

∗1.13. (Дж. Столлингс). Если конечно определенная группа тривиальна, то все-гда ли можно заменить некоторое определяющее слово примитивным элементом,не нарушая тривиальности группы? М.Д.Гриндлингер∗Нет, не всегда (S.V. Ivanov, Invent. Math., 165, no. 3 (2006), 525–549).

1.19. (А.И.Мальцев). Какие подгруппы (подмножества) формульно определимыв свободной группе? Какие подгруппы относительно элементарно определимы всвободной группе? В частности, будет ли коммутант формульно (или относитель-но элементарно) определим в свободной группе? Ю.Л. Ершов

1.20. Для каких групп (классов групп) решетка нормальных подгрупп формуль-но определима в решетке всех подгрупп? Ю.Л. Ершов

1.27. Описать универсальную теорию свободных групп. М. И.Каргаполов

1.28. Описать универсальную теорию свободной нильпотентной группы.

М. И.Каргаполов

∗1.29. (А.Тарский). Разрешима ли элементарная теория свободной группы?

М. И.Каргаполов∗Да, разрешима (O. Kharlampovich, A. Myasnikov, J. Algebra, 302, no. 2 (2006),

451–552).

1.31. Будет ли финитно аппроксимируемая группа с условием максимальностипочти полициклической? М. И.Каргаполов

1.33. (А.И. Мальцев). Описать группу автоморфизмов свободной разрешимойгруппы. М. И.Каргаполов

6 1-е издание, 1965 г.

1.35. в) (А.И. Мальцев, Л. Фукс). Существуют ли простые доупорядочиваемыегруппы? Группа называется доупорядочиваемой, если каждый частичный поря-док этой группы продолжается до линейного порядка. М. И.Каргаполов

1.40. Будет ли нильгруппой произведение двух нормальных нильподгрупп?Нильгруппа по определению состоит из ниль-элементов, т. е. из (необязатель-

но ограниченно) энгелевых элементов. Ш.С. Кемхадзе

1.46. При каких условиях нормализатор относительно выпуклой подгруппы бу-дет относительно выпуклым? А.И. Кокорин

1.51. При каких условиях группа матриц над полем (комплексных чисел) упо-рядочиваема? А.И. Кокорин

1.54. Описать все способы линейного упорядочения свободной двуступенно раз-решимой группы с конечным числом порождающих. А.И. Кокорин

1.55. Дать элементарную классификацию линейно упорядоченных свободныхгрупп с фиксированным числом порождающих. А.И. Кокорин

1.65. Замкнут ли класс групп абелевых расширений абелевых групп относитель-но операции прямого сложения (A,B) 7→ A⊕B? Л.Я. Куликов

1.67. Пусть заданы конечно определенная группа G, свободная группа F , рангкоторой равен минимальному числу порождающих группы G, и гомоморфизмгруппы F на G с ядром N . Найти полную систему инвариантов фактор-группыгруппы N по взаимному коммутанту [F,N ]. Л.Я. Куликов

1.74. Описать все минимальные топологические группы, то есть недискретныегруппы с дискретными замкнутыми подгруппами. Минимальные локально би-компактные группы описываются без особого труда. В то же время в общемслучае проблема, вероятно, сложна. В.П. Платонов

1.86. Верно ли, что тождественные соотношения полициклической группы обла-дают конечным базисом? А.Л.Шмелькин

1.87. Тот же вопрос для матричных групп (хотя бы над полем характеристики 0).

А.Л.Шмелькин

7


2.9. Существуют ли правильные ассоциативные операции на классе групп, удо-влетворяющие ослабленному мальцевскому требованию (то есть условию склеи-ваемости мономорфизмов сомножителей любого произведения, вообще говоря, вгомоморфизм всего произведения) и не удовлетворяющие требованию склеивае-мости эпиморфизмов сомножителей? О.Н. Головин

2.22. Абстрактное теоретико-групповое свойство Σ называется радикальным (внашем смысле), если в любой группе G подгруппа Σ(G), порожденная всеминормальными Σ-подгруппами, сама является Σ-подгруппой (называемой Σ-ради-калом группы G). Радикальное свойство Σ называется сильно радикальным, еслидля всякой группы G фактор-группа G/Σ(G) не содержит неединичных нормаль-ных Σ-подгрупп. Является ли свойство RN радикальным? сильно радикальным?

Ш.С. Кемхадзе

2.24. Упорядочиваемы ли энгелевы группы без кручения? А.И. Кокорин

2.25. а) (Л. Фукс). Описать группы, линейно упорядочиваемые конечным числомспособов. А.И. Кокорин

2.26. (Л.Фукс). Охарактеризовать мультипликативные группы упорядочивае-мых тел как абстрактные группы. А.И. Кокорин

2.28. Всякую ли упорядочиваемую группу можно вложить в доупорядочиваемуюгруппу? (См. определение в 1.35) А.И. Кокорин

2.40. в) I-теорией (Q-теорией) класса K универсальных алгебр называется со-вокупность тождеств (квазитождеств), истинных на всех алгебрах класса K. Су-ществует ли конечно аксиоматизируемое многообразие∗(1) колец,

(i) I-теория которого неразрешима?(ii) Q-теория которого неразрешима?

∗(2) ассоциативных колец,(i) I-теория которого неразрешима?(ii) Q-теория которого неразрешима?

(3) лиевых колец,(i) I-теория которого неразрешима?

∗(ii) Q-теория которого неразрешима?Замечание: нетрудно указать рекурсивно аксиоматизируемое многообразие

полугрупп с единицей, I-теория которого нерекурсивна (см. также А. И.Мальцев,Мат. сб., 69, 1 (1966), 3–12). А.И. Мальцев∗(1i) и (1ii): Да, существует (В. Ю.Попов, Матем. заметки, 67, 4 (2000),

582–594).∗(2i) Нет, не существует (А. Я. Белов, Алгебры с полиномиальными тожде-

ствами: представления и комбинаторные методы, Дисс. ... д-ра физ.-мат. наук,Москва, 2002).∗(2ii) и (3ii): Да, существует (А.И. Будкин, Об одной проблеме А.И.Мальцева,

препринт 5/09, АлтГУ, Барнаул, 2009).

8 2-е издание, 1967 г.

2.42. Какова структура группоида квазимногообразийа) всех полугрупп?б) всех колец?в) всех ассоциативных колец?

Ср. А.И. Мальцев, Сиб. мат. ж., 8, 2 (1967), 346–365. А.И. Мальцев

2.48. (Н.Аронсзажн). Пусть G — связная топологическая группа, локально удо-влетворяющая некоторому тождественному соотношению f |U = 1, где U —окрестность единицы в G. Верно ли, что тогда f |G = 1? В.П. Платонов

2.53. Описать максимальные подгруппы группы SLn(k) над произвольным бес-конечным полем k. В.П. Платонов

2.56. Классифицировать с точностью до изоморфизма абелевы связные алгеб-раические унипотентные линейные группы над полем положительной характе-ристики. Для случая поля нулевой характеристики это не представляет труда.С другой стороны, К. Шевалле решил проблему классификации указанных группс точностью до изогении. В.П. Платонов

2.67. Выяснить условия, при которых нильпотентное произведение чистых ниль-потентных групп (тех или иных классов) определяется своей решеткой подгрупп.Вопрос решается положительно, если это произведение свободно от кручения.

Л.Е. Садовский

2.68. Что можно сказать о решеточных изоморфизмах чистой разрешимой груп-пы? Не будет ли такая группа строго определяться своей решеткой? Для свобод-ных разрешимых групп этот вопрос, как известно, решается положительно.

Л.Е. Садовский

∗2.72. (Г. Баумслаг). Пусть F — конечно порожденная свободная группа, N — еенормальная подгруппа, V — эндоморфно допустимая подгруппа группыN . Будетли хопфовой группа F/V , если фактор-группа F/N хопфова? Д.М. Смирнов∗Нет, не всегда (S.V. Ivanov, A. M. Storozhev, Geom. Dedicata, 114 (2005), 209–

228).

2.74. (Известная задача). Описать конечные группы с разрешимыми централи-заторами инволюций. А.И. Старостин

2.78. Всякое множество всех подгрупп одного и того же порядка конечной груп-пы, содержащее по крайней мере одну неинвариантную подгруппу, называетсяIEn-системой этой группы. Натуральное число k называется разрешимым (со-ответственно, неразрешимым; простым; составным; абсолютно простым)теоретико-групповым числом, если любая конечная группа с k IEn-системамиразрешима (соответственно, если существует по крайней мере одна неразреши-мая конечная группа с k IEn-системами; если существует по крайней мере однапростая конечная группа с k IEn-системами; если не существует простых конеч-ных групп с k IEn-системами; если существует по крайней мере одна простаяконечная группа с k IEn-системами и не существует неразрешимых непростыхконечных групп с k IEn-системами).

2-е издание, 1967 г. 9

Конечны или бесконечны множества всех разрешимых и всех абсолютно про-стых теоретико-групповых чисел? Существуют ли составные, но не разрешимыетеоретико-групповые числа? П.И. Трофимов

2.80. Имеет ли произвольная неединичная группа с нормализаторным условиемотличную от единицы абелеву нормальную подгруппу? С.Н. Черников

2.81. а) Существует ли такой аксиоматизируемый класс решеток K, что решеткавсех подполугрупп полугруппы S изоморфна некоторой решетке из K тогда итолько тогда, когда S является свободной группой?

б) Тот же вопрос для свободных абелевых групп.Аналогичные вопросы решены положительно для групп без кручения, непе-

риодических групп, абелевых групп без кручения, абелевых непериодическихгрупп, упорядочиваемых групп (соответствующие классы решеток даже конечноаксиоматизируемы), так что, в частности, в сформулированных вопросах полу-группу S можно сразу считать группой (соответственно, абелевой группой) безкручения. Л.Н. Шеврин

2.82. Можно ли группы с n-м условием Энгеля [x,

n︷︸︸︷y, . . . , y] = 1 определить тож-

дественными соотношениями вида u = v, где u, v — слова без отрицательныхстепеней переменных? Для n = 1, 2, 3 это возможно (А. И. Ширшов, Алгебра илогика, 2, 5 (1963), 5–18).

Прим. ред.: это сделано также для n = 4 (G.Traustason, J.Group Theory, 2, 1 (1999), 39–46). Как заметила О. Мацедоньска, это верно также для локальноступенчатых n-энгелевых групп, так как в силу (Y.Kim, A. Rhemtulla, in Groups–Korea’94, de Gruyter, Berlin, 1995, 189–197) такая группа локально нильпотентна,а тогда в силу (R.G. Burns, Yu.Medvedev, J. Austral. Math. Soc., 64 (1998), 92–100)она является расширением нильпотентной группы n-ограниченной ступени груп-пой n-ограниченного периода, а из классического результата Мальцева вытекает,что такая группа удовлетворяет положительному тождеству. А.И.Ширшов

2.84. Пусть локально конечная группа G представима в виде произведения двухлокально нильпотентных подгрупп. Будет ли G локально разрешимой?

В. П.Шунков

10


3.2. Классифицировать точные неприводимые (бесконечномерные) представле-ния нильпотентной группы с тремя порождающими a, b, c и определяющими со-отношениями [a, b] = c, ac = ca, bc = cb. (Условие мономиальности представлениядано в (А. Е. Залесский, Матем. заметки, 9 (1971), 199–210).)

С.Д. Берман, А. Е. Залесский

3.3. (Известный вопрос). Описать группу автоморфизмов свободной ассоциатив-ной алгебры ранга n > 2. Л.А.Бокуть

3.12. (Известный вопрос). Будет ли локально разрешимой локально конечнаягруппа, обладающая полной силовской базой? Ю. М.Горчаков

3.16. Проблема равенства в группе, допускающей одно определяющее соотноше-ние в многообразии n-ступенно разрешимых групп, n > 3. М. И.Каргаполов

3.20. Составляют ли упорядочиваемые группы наименьший аксиоматизируемыйкласс, содержащий доупорядочиваемые группы? (См. 1.35.) А.И. Кокорин

∗3.33. Будут ли изоморфны две группы, каждая из которых задается однимопределяющим соотношением и является гомоморфным образом другой?

Д.И. Молдаванский∗Нет, не всегда (А. В. Борщев, Д. И.Молдаванский, Матем. заметки, 79, no. 1

(2006), 34–44).

3.34. (Известный вопрос). Проблема сопряженности для групп с одним опреде-ляющим соотношением. Д.И. Молдаванский

3.38. Описать все топологические группы, не имеющие собственных замкнутыхподгрупп. Ю.Н.Мухин

3.43. Пусть µ — бесконечная мощность. Группу G назовем µ-наднильпотентной,если каждая циклическая подгруппа из G есть член некоторого возрастающегонормального ряда, доходящего до G и имеющего мощность, меньшую µ. Нетруд-но показать, что класс µ-наднильпотентных групп есть радикальный класс. Вер-но ли, что если µ1 и µ2 — две бесконечные мощности и µ1 < µ2, то существуетгруппа G, которая µ2-наднильпотентна и µ1-полупроста?

Прим. 2001 г.: доказано (С.М. Вовси, ДАН СССР, 203, 3 (1972), 517–519),что для любых двух бесконечных мощностей µ1 < µ2 существует группа, котораяµ2-наднильпотентна, но не µ1-наднильпотентна. Б.И.Плоткин

3.44. Пусть группа порождается своими субинвариантными разрешимыми под-группами. Будет ли она локально разрешимой? Б.И.Плоткин

3-е издание, 1969 г. 11

3.45. Пусть X — наследственный радикал. Верно ли, что если G — локальнонильпотентная группа без кручения, то X(G) — изолированная подгруппа в G?

Б.И.Плоткин

3.46. Существует ли группа, в которой имеется больше одной, но конечное числомаксимальных локально разрешимых нормальных подгрупп? Б.И.Плоткин

3.47. (Известный вопрос). Верно ли, что каждая локально нильпотентная группаесть гомоморфный образ локально нильпотентной группы без кручения?

Прим. ред.: Положительный ответ получен для периодических групп(Е.М. Левич, А.И. Токаренко, Сиб. матем. ж., 11 (1970), 1406–1408) и для счет-ных групп (Н. С.Романовский, Препринт, 1969). Б.И.Плоткин

3.48. Можно показать, что относительно умножения классов наследственныерадикалы образуют полугруппу. Интересной задачей является отыскание всехнеразложимых элементов этой полугруппы. В частности, отметим задачу отыс-кания неразложимых радикалов, содержащихся в классе локально конечныхp-групп. Б.И.Плоткин

3.49. Имеются ли соотношения в полугруппе, порожденной всеми неразложимы-ми радикалами? Б.И.Плоткин

3.50. Пусть G — группа порядка pα · m, где p — простое число, p и m вза-имно просты, k — алгебраически замкнутое поле характеристики p. Верно ли,что если k-размерность неразложимого проективного модуля, отвечающего 1-представлению группы G, равна pα, то G обладает холловой p′-подгруппой? Об-ратное тривиально. А.И. Саксонов

3.51. Верно ли, что всякая конечная группаG, обладающая группой автоморфиз-мов Φ, регулярно действующей на множестве классов сопряженных элементовгруппы G (то есть оставляющая на месте только единичный класс), разреши-ма? Проблема известна в случае, когда Φ — циклическая группа, порожденнаярегулярным автоморфизмом. А.И. Саксонов

3.55. Является ли бинарно разрешимая группа, все абелевы подгруппы которойимеют конечный ранг, локально разрешимой? С. П.Струнков

3.57. Установить законы распределения неразрешимых и простых теоретико-групповых чисел в натуральном ряду. См. 2.78. П.И. Трофимов

3.60. В работе (Л.А. Шеметков, Мат. сб., 72, 1 (1967), 97–107) введено понятиеp-длины произвольной конечной группы. Исследовать зависимость между p-дли-ной конечной группы и инвариантами cp, dp, ep ее силовской p-подгруппы.

Л.А.Шеметков

12


4.2. а) Найти бесконечную конечно порожденную группу периода < 100.б) Существуют ли такие группы периода 5? С.И. Адян

4.5. б) Верно ли, что произвольная конечно определенная группа имеет либостепенной, либо показательный рост? С.И. Адян

4.6. (Ф.Холл). Будут ли в многообразии метабелевых групп проективные группысвободными? В.А. Артамонов

4.7. (Известный вопрос). Для каких кольцевых эпиморфизмов R → R′ соответ-ствующий групповой гомоморфизм SLn(R)→ SLn(R

′) является эпиморфизмом(при фиксированном n > 2)? В частности, для каких колец R выполняется ра-венство SLn(R) = En(R)? В.А. Артамонов

4.8. Пусть G — конечно порожденная группа, являющаяся расширением свобод-ной группы с помощью циклической. Будет ли G конечно определенной?

Г.Баумслаг (G.Baumslag)

4.9. Пусть G — конечно порожденная нильпотентная группа без кручения. Ко-нечно ли число неизоморфных групп в последовательности αG, α2G, . . . ? ЗдесьαG — группа автоморфизмов группы G и αn+1G = α(αnG) для n = 1, 2, . . . .

Г.Баумслаг (G.Baumslag)

4.11. Пусть F — свободная группа ранга 2 в некотором многообразии групп.Если F не является конечно определенной, то обязательно ли мультипликатор Fбудет бесконечно порожденным? Г.Баумслаг (G.Baumslag)

4.13. Доказать, что конечная неабелева p-группа допускает автоморфизм поряд-ка p, не являющийся внутренним. Я.Г.Беркович

4.14. Пусть p — простое число. Каковы необходимые и достаточные условияна конечную группу G, обеспечивающие неразложимость групповой алгебрыгруппы G над полем характеристики p как двустороннего идеала? Существу-ют некоторые нетривиальные примеры. Так, групповая алгебра группы МатьеM24 неразложима для p = 2. Р.Брауэр (R. Brauer)

4.17. Для многообразия групп V обозначим через V класс всех конечных V-групп. Как характеризуются классы конечных групп вида V для многообра-зия V? Р.Бэр (R. Baer)

4-е издание, 1973 г. 13

4.18. Охарактеризовать классы групп K, обладающие следующими свойствами:подгруппы, эпиморфные образы и группы автоморфизмов K-групп являютсяK-группами, но не каждая счетная группа является K-группой. Отметим, чтокласс конечных групп и класс всех почти циклических групп обладают этимисвойствами. Р.Бэр (R. Baer)

4.19. Обозначим через C класс всех групп G со следующим свойством: если U иV — максимальные локально разрешимые подгруппы из G, то U и V сопряженыв G (или, по крайней мере, изоморфны). Почти очевидно, что конечная группаG принадлежит C тогда и только тогда, когда G разрешима. Что можно сказатьо локально конечных группах из C? Р.Бэр (R. Baer)

4.24. Пусть T — неабелева силовская 2-подгруппа конечной простой группы G.а) Пусть ступень нильпотентности T равна n. Наилучшая верхняя оценка для

периода центра T равна 2n−1. Отсюда легко следует оценка 2n(n−1) для перио-да T , но она почти наверняка слишком груба. Какова наилучшая оценка?

г) Найти «небольшое число» подгрупп T1, . . . , Tn группы T , зависящих толь-ко от класса изоморфизма группы T и обладающих тем свойством, что совокуп-ность NG(T1), . . . , NG(Tn) контролирует слияние в T относительно G (в смыслеАлперина). Д. Голдшмидт (D.M. Goldschmidt)

4.30. Описать группы (конечные группы, абелевы группы), являющиеся группа-ми всех автоморфизмов топологических групп. М. И.Каргаполов

4.31. Описать решетку квазимногообразий 2-ступенно нильпотентных групп.

М. И.Каргаполов

4.33. Пусть Kn — класс групп с одним определяющим соотношением в многооб-разии n-ступенно разрешимых групп.

а) При каких условиях Kn-группа обладает нетривиальным центром? Можетли быть нетривиальным центр Kn-группы, n > 2, не допускающей двух порожда-ющих? Прим. ред. 1998 г.: ответы на эти вопросы известны при n = 2 (Е. И.Тимо-шенко, Сиб. мат. ж., 14, 6 (1973), 1351–1355; Мат. заметки, 64, 6 (1998),925–931).

б) Описать абелевы подгруппы Kn-групп.в) Исследовать периодические подгруппы Kn-групп. М. И.Каргаполов

4.34. Пусть v — групповое слово, Kv — класс всех групп G, для которых су-ществует такое натуральное число n = n(G), что всякий элемент вербальной под-группы vG представляется в виде произведения n значений слова v на группе G.

а) Для каких v классу Kv принадлежат все конечно порожденные разрешимыегруппы?

б) Не будет ли таким слово v(x, y) = x−1y−1xy ? М. И.Каргаполов

4.40. Пусть C — фиксированная неединичная группа (например, C = Z2).Как показано в (Ю.И. Мерзляков, Алгебра и логика, 9, 5 (1970), 539–558),для любых групп A,B все расщепляемые расширения группы B посредствомгруппы A вкладываются некоторым единым способом в прямое произведениеA×Aut (B ≀ C). Как они в нем расположены? Ю. И.Мерзляков

14 4-е издание, 1973 г.

4.42. Для каких натуральных чисел n имеет место равенство GLn(R) =Dn(R)·On(R)·UTn(R)·GLn(Z)? Обозначения см., например, в (М. И. Каргаполов,Ю.И. Мерзляков, Основы теории групп, изд. 3-е, М., Наука, 1982). Следствиемэтого равенства при данном n является положительное решение проблемы Мин-ковского о произведении n линейных форм (A. M. Macbeath, Proc. Glasgow Math.Assoc., 5, 2 (1961), 86–89), которая для n > 6 остается открытой. Известно,что равенство имеет место при n 6 3 (Х.Н. Нарзуллаев, Мат. заметки, 18, 2(1975), 213–221); с другой стороны для всех достаточно больших n оно неверно(Н.С. Ахмедов, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 67 (1977), 86–107). Ю. И.Мерзляков

4.44. (Известный вопрос). Описать группы с абелевой группой автоморфизмов.

В.Т.Нагребецкий

4.46. а) Назовем многообразие групп предельным, если оно не может быть заданоконечным числом тождеств, а любое его собственное подмногообразие конечнобазируемо. Из леммы Цорна следует, что любое многообразие, не имеющее ко-нечного базиса тождеств, содержит предельное подмногообразие. Задать явно(тождествами или порождающей группой) хотя бы одно предельное многообра-зие. А.Ю. Ольшанский

4.48. Является ли конечно базируемым любое многообразие A-групп, то естьлокально конечных групп, силовские подгруппы которых абелевы?

А.Ю. Ольшанский

4.50. Каковы разрешимые многообразия групп, все конечно порожденные под-группы которых финитно аппроксимируемы? В.Н. Ремесленников

4.55. Пусть G — конечная группа, Zp — локализация по p. Справедлива ли тео-рема Круля–Шмидта для проективных ZpG-модулей?

К.Роггенкамп (K.W. Roggenkamp)

4.56. Пусть R — коммутативное нетерово кольцо с 1, а Λ — R-алгебра, конеч-но порожденная как R-модуль. Положим T = U ∈ ModΛ | для некоторого nсуществует такая точная Λ-последовательность 0 → P → Λ(n) → U → 0, чтоPm∼= Λ

(n)m для любого максимального идеала m из R. Пусть G(T ) — группа

Гротендика семейства T относительно коротких точных последовательностей.а) Описать G(T ). В частности, что означает равенство [U ] = [V ] в G(T )?б) Гипотеза: если dim (max (R)) = d < ∞, и существуют два эпиморфизма

ϕ : Λ(n) → U , ψ : Λ(n) → V , n > d и [U ] = [V ] в G(T ), то Kerϕ = Kerψ.


4.65. Гипотеза:pq − 1

p− 1никогда не делит

qp − 1

q − 1, если p, q — различные простые

числа. Подтверждение этой гипотезы могло бы упростить доказательство разре-шимости групп нечетного порядка (W. Feit, J. G. Thompson, Pacif. J. Math., 13, 3 (1963), 775–1029), сделав ненужным детальное использование порождающихи определяющих соотношений. Дж. Томпсон (J. G. Thompson)

4-е издание, 1973 г. 15

4.66. Пусть P — копредставление конечной группы G с mp порождающими и rpсоотношениями. Дефицитом def (G) группы называется максимум чисел mp−rp,взятым по всем копредставлениям P . Пусть G — такая нетривиальная конечнаягруппа, что G = G′ и мультипликатор M(G) = 1. Доказать, что def (Gn) → −∞при n→∞. Здесь Gn означает n-ю прямую степень группы G.

Дж.Уайголд (J. Wiegold)

4.69. Пусть G — конечная p-группа и пусть |G′| > pn(n−1)/2 для некоторогонеотрицательного целого n. Доказать, что G порождается элементами ширины> n. Ширина b(x) элемента x из G определяется равенством |G : CG(x)| = pb(x).


4.72. Верно ли, что всякое многообразие групп, свободные группы которого ап-проксимируются нильпотентными группами без кручения, разрешимо или сов-падает с многообразием всех групп? Для положительного ответа достаточно по-казать, что всякое многообразие алгебр Ли над полем рациональных чисел, несодержащее конечномерных простых алгебр, разрешимо. А.Л.Шмелькин

4.74. б) Всякая ли бинарно конечная 2-группа порядка > 2 не проста?

В. П.Шунков

4.75. Пусть G — периодическая группа, содержащая инволюцию i, и пусть силов-ские 2-подгруппы группы G являются либо локально циклическими группами,либо обобщенными группами кватернионов. Будет ли инволюция iO2′(G) цен-тральным элементом в G/O2′(G)? В. П.Шунков

16


5.1. б) Будет ли локально конечная минимальная не FC-группа отличной отсвоего коммутанта?

В случае минимальных не BFC-групп ответ утвердительный.

В.В. Беляев, Н. Ф.Сесекин

∗5.4. Пусть g и h — положительные элементы линейно упорядоченной группы G.Можно ли вложить G в линейно упорядоченную группу G так, чтобы g и h былив G сопряжены? В. В.Блудов∗Нет, не всегда (В.В. Блудов, Алгебра и логика, 44, 6 (2005), 664–681).

5.5. Пусть G — конечно порожденная группа, содержащая в качестве подгруппыконечного индекса расширение абелевой группы посредством полициклической.Всегда ли существует такая конечно порожденная метабелева группа M , что Gизоморфна подгруппе группы автоморфизмовM? Если это так, то многие тонкиесвойства группы G типа финитной аппроксимируемости становятся прозрачны-ми. Б. Верфриц (B.A. F. Wehrfritz)

5.14. Пересечение (пары) силовских 2-подгрупп назовем (парным) силовскимпересечением.

а) Описать конечные группы, в которых все 2-локальные подгруппы имеютнечетные индексы.

б) Описать конечные группы, в которых нормализаторы всех силовских пе-ресечений имеют нечетные индексы.

в) Описать конечные группы, в которых нормализаторы всех парных силов-ских пересечений имеют нечетные индексы.

г) Описать конечные группы, в которых для любых силовских 2-подгрупп P ,Q пересечение P ∩Q нормально в некоторой силовской 2-подгруппе из ⟨P,Q⟩.

В.В. Кабанов, А.А. Махнев, А. И. Старостин

5.15. Существует ли конечно определенная финитно аппроксимируемая группа,в которой проблема равенства разрешима рекурсивно, но не примитивно рекур-сивно? Ф.Каннонито (F.B. Cannonito)

5.16. Любая ли счетная локально линейная группа вложима в конечно опреде-ленную группу? Известно, что любая счетная группа, которая локально линейнаограниченной степени, вложима в конечно определенную группу с разрешимойпроблемой равенства (G. Baumslag, F. B. Cannonito, C. F.Miller III, Math. Z., 153(1977), 117–134). Ф.Каннонито (F. B.Cannonito), Ч.Миллер (C. Miller)

5.21. Любую ли группу без кручения с разрешимой проблемой равенства мож-но вложить в группу с разрешимой проблемой сопряженности? ПринадлежащийА.Макинтайру пример показывает, что ответ на этот вопрос будет отрицатель-ным, если опустить условие отсутствия кручения. Д.Коллинз (D. J. Collins)

5-е издание, 1976 г. 17

∗5.23. Верно ли, что свободная решеточно упорядоченная группа многообразиярешеточно упорядоченных групп, задаваемых тождеством x−1|y|x ≪ |y|2 или,что равносильно, тождественным соотношением |[x, y]| ≪ |x|, аппроксимируетсялинейно упорядоченными нильпотентными группами? В.М. Копытов∗Нет, не верно (V. V.Bludov, A.M. W. Glass, Trans. Amer. Math. Soc., 358

(2006), 5179–5192).

5.25. Доказать, что фактор-группа разрешимой линейно упорядоченной группыпо ее коммутанту непериодическая. В.М. Копытов

5.26. Пусть G — конечная p-группа с минимальным числом порождающих d, r1(соотв. r2) — минимальное число определяющих соотношений от d порождающихв смысле представления G фактор-группой свободной дискретной группы (про-p-группы). Известно, что всегда r2 > d 2/4. Для каждого простого числа p обо-значим через c(p) точную верхнюю границу чисел b(p) со свойством r2 > b(p)d 2

для всех конечных p-групп.а) Очевидно, что r1 > r2. Найти p-группу с r1 > r2.б) Гипотеза: lim

p→∞c(p) = 1/4. Доказано (J. Wisliceny, Math. Nachr., 102 (1981),

57–78), что limd→∞

r2/d 2 = 1/4. Х. Кох (H. Koch)

5.27. Доказать, что если G — про-p-группа без кручения с одним определяю-щим соотношением, то cdG = 2. Для широкого класса групп это доказано в(J. P. Labute, Inv. Math., 4, 2 (1967), 142–158). Х. Кох (H. Koch)

5.30. (Известный вопрос). Пусть G — конечная разрешимая группа, A 6 AutG,CG(A) = 1, порядки групп G и A взаимно просты, и |A| — произведение n необязательно различных простых чисел. Ограничена ли сверху числом n ниль-потентная длина группы G? Это доказано для широкого класса групп (Шульт,Гросс, Бергер, Турулл), и есть оценка в терминах n в случае, когда A разрешима(Томпсона 6 5n, Курцвейля 6 4n, Турулла 6 2n), но вопрос остается открытым.

В.Д. Мазуров

5.33. (И.Ихара). Рассмотрим алгебру кватернионов Q с нормой f = x2 − τy2 −ρz2 + ρτu2, ρ, τ ∈ Z. Предположим, что f является неопределенной и Q-ранга0, то есть x = y = z = u = 0, если f = 0 для x, y, z, u ∈ Q. Рассмотрим Q какалгебру матриц

X =

(x+√τy ρ(z +

√τu)

z −√τu x−

√τy

)с x, y, z, u ∈ Q. Пусть p — простое число, p - ρτ . Рассмотрим группу G, состоящуюиз всех X с x, y, z, u ∈ Z(p), det X = 1, где Z(p) = m/pt | m, t ∈ Z.

Гипотеза: G обладает конгруэнц-подгрупповым свойством, то есть любаянецентральная нормальная подгруппа N из G содержит полную конгруэнц-подгруппу N(G) = X ∈ G | X ≡ E (modG) для некоторого G. Отметим, чтоконгруэнц-подгрупповое свойство не зависит от матричного представления Q.

Й.Меннике (J.Mennicke)

18 5-е издание, 1976 г.

5.35. Пусть V — векторное пространство размерности n над полем. Говорят,что подгруппа G из GLn(V ) богата трансвекциями, если n > 2 и для любойгиперплоскости H ⊆ V и любой прямой L ⊆ H в группе G найдется по крайнеймере одна трансвекция с вычетной прямой L и неподвижным пространством H.Описать автоморфизмы подгрупп из GL2(V ), богатых трансвекциями.

Ю. И.Мерзляков

5.36. Каковы проконечные группы, удовлетворяющие условию максимальностидля замкнутых подгрупп? Ю.Н.Мухин

5.38. Верно ли, что если A,B — конечно порожденные разрешимые хопфовыгруппы, то A×B — хопфова? П.Нойман (P.M.Neumann)

5.39. Доказать, что каждая счетная группа может точно действовать как группаавтоморфизмов конечно порожденной разрешимой группы (ступени разрешимо-сти не больше 4). По поводу подоплеки этой задачи, в частности, о ее связи с за-дачей 8.50 см. (P.M. Neumann, in: Groups–Korea, Pusan, 1988 (Lect. Notes Math.,1398), Springer, Berlin, 1989, 124–139). П.Нойман (P.M.Neumann)

5.42. Существует ли в свободной группе ранга 2 бесконечная возрастающая цепьвербальных подгрупп, каждая из которых порождена как вербальная подгруппаодним элементом? А.Ю. Ольшанский

5.44. Объединение A =∪αVα многообразий групп (в решетке многообразий) бу-

дем называть несократимым, если∪

β =α

Vβ = A для любого индекса α. Всякое

ли многообразие есть несократимое объединение (конечного или бесконечногочисла) многообразий, не разложимых в объединение двух собственных подмно-гообразий? А.Ю. Ольшанский

5.47. Всякая ли счетная абелева группа вкладывается в центр некоторой конечноопределенной группы? В.Н. Ремесленников

5.48. Пусть G и H — конечно порожденные финитно аппроксимируемые группыс одинаковыми семействами конечных гомоморфных образов. Изоморфны ли Gи H, если одна из них — свободная (свободная разрешимая) группа?

В.Н. Ремесленников

5.52. Нетрудно показать, что конечная группа, совпадающая со своим коммутан-том, является нормальным замыканием одного элемента. Верно ли то же самоедля бесконечных конечно порожденных групп? Дж.Уайголд (J. Wiegold)

5.54. Пусть p, q, r — различные простые числа и u(x, y, z) — коммутаторное словоот трех переменных. Доказать, что существует такое натуральное число n (можетбыть, бесконечно много таких чисел?), что знакопеременную группу An можнопородить тремя элементами ξ, η, ζ, удовлетворяющими соотношениям ξp = ηq =ζr = ξηζ · u(ξ, η, ζ) = 1. Дж.Уайголд (J. Wiegold)

5-е издание, 1976 г. 19

5.55. Найти конечную p-группу, которую нельзя вложить в конечную p-группу стривиальным мультипликатором. Отметим, что любая конечная группа вложимав группу с тривиальным мультипликатором. Дж.Уайголд (J. Wiegold)

5.56. а) Верно ли, что любая конечная группа простого периода p > 3 может бытьвложена в коммутант конечной группы периода p? Дж.Уайголд (J. Wiegold)

5.59. Пусть G — локально конечная группа, являющаяся произведением p-под-группы на q-подгруппу, где p и q — различные простые числа. Будет ли Gp, q-группой? Б.Хартли (B. Hartley)

5.65. Замкнут ли относительно конечных подпрямых произведений класс всехконечных групп, имеющих холловы π-подгруппы? Л.А.Шеметков

5.67. Конечна ли произвольная периодическая финитно аппроксимируемая груп-па со слабым условием минимальности для подгрупп? В. П.Шунков

20


6.1. Подгруппа H произвольной группы G называется C-замкнутой, если H =C2(H) = C(C(H)), и слабо C-замкнутой, если для любого элемента x из Hимеет место включение C2(x) 6 H. Строение конечных групп, все собственныеподгруппы которых C-замкнуты, изучено Гашютцем. Описать строение локальноконечных групп, все собственные подгруппы которых слабо C-замкнуты.

В. А.Антонов, Н.Ф. Сесекин

6.2. Совокупность всех C-замкнутых подгрупп произвольной группы G яв-ляется полной решеткой относительно операций A ∨ B = C(C(A) ∩ C(B)),A ∧ B = A ∩ B. Описать группы, у которых решетка C-замкнутых подгруппявляется подрешеткой решетки всех подгрупп. В. А.Антонов, Н.Ф. Сесекин

6.3. Группа G называется группой типа (FP )∞, если тривиальный G-модульZ имеет резольвенту, состоящую из конечно порожденных проективных G-мо-дулей. Класс всех групп типа (FP )∞ обладает парой замечательных свойствзамкнутости относительно расширений и свободных произведений с объединени-ем (R.Bieri, Homological dimension of discrete groups, Queen Mary College Math.Notes, London, 1976). Конечна ли любая периодическая группа типа (FP )∞? Этосвязано с вопросом о существовании бесконечной периодической конечно опре-деленной группы. Р.Бири (R. Bieri)

6.5. Верно ли, что каждая разрешимая группа G типа (FP )∞ конструктивизи-руема в смысле (G. Baumslag, R. Bieri, Math. Z., 151, 3 (1976), 249–257)? Други-ми словами, можно ли построить G из тривиальной группы с помощью конечныхрасширений и HNN -расширений? Р.Бири (R. Bieri)

6.9. Разлагается ли коммутант локально нормальной группы в произведение неболее чем счетных поэлементно перестановочных подгрупп? Ю. М.Горчаков

6.10. Пусть p — простое число, а n — такое целое число, что p > 2n + 1. Пустьx, y — p-элементы из GLn(C). Если подгруппа ⟨x, y⟩ конечна, то она являетсяабелевой p-группой (W.Feit, J. G.Thompson, Pacif. J. Math., 11, 4 (1961), 1257–1262). Что можно сказать о группе ⟨x, y⟩, если она бесконечна?

Дж.Диксон (J. D. Dixon)

6.11. Пусть L — класс локально компактных групп без малых подгрупп (см.D.Montgomery, L. Zippin, Topological transformation groups, New York, 1955;В.М. Глушков, УМН, 12, 2 (1957), 3–41). Изучить расширения групп из этогокласса с целью получения прямого доказательства следующего факта: Для каж-дой группы G из L существует H ∈ L и (непрерывный) гомоморфизм ϑ : G→ H сдискретным ядром и с образом, тривиально пересекающимся с центром H. Этотрезультат вытекает из решения Глисона, Монтгомери и Циппина 5-й проблемыГильберта (поскольку L является классом конечномерных групп Ли, которые

6-е издание 1978 г. 21

локально линейны). С другой стороны, прямое доказательство этого результатадало бы существенно более короткое решение 5-ой проблемы, поскольку присо-единенное представление H точно на образе ϑ. Дж.Диксон (J. D. Dixon)

6.21. Г.Хигман доказал, что для каждого простого числа p существует такое на-туральное число χ(p), что ступень нильпотентности любой конечной группы G,обладающей автоморфизмом порядка p, действующим без неподвижных точекна множестве неединичных элементов группы G, не превосходит χ(p). Одновре-менно он показал, что χ(p) > (p2 − 1)/4 для любой такой функции Хигмана χ.Найти наилучшую функцию Хигмана. Не будет ли ею функция, определеннаяравенствами χ(p) = (p2 − 1)/4 при p > 2, χ(2) = 1? Известно, что это верно дляp 6 7. В.Д. Мазуров

6.24. Проблема вхождения для группы кос с четырьмя нитями. Известно, чтопроблема вхождения для группы кос, число нитей у которых больше 4, неразре-шима (Т.А. Маканина, Мат. заметки, 29, 1 (1981), 31–33). Г.С. Маканин

6.26. Пусть D — нормальное множество инволюций конечной группы G, Γ(D) —граф с множеством вершин D и множеством ребер (a, b) | a, b ∈ D, ab = ba = 1.Описать конечные группы G с несвязным графом Γ(D). А.А. Махнев

6.28. Пусть A — элементарная 2-группа, являющаяся TI-подгруппой конечнойгруппы G. Изучить строение группы G при условии, что слабое замыкание под-группы A в силовской 2-подгруппе группы G абелево. А.А. Махнев

6.29. Пусть конечная группа A изоморфна группе всех топологических авто-морфизмов некоторой локально компактной группы G. Всегда ли существуетдискретная группа, группа всех автоморфизмов которой изоморфна группе A?Для циклической A это верно; требование локальной компактности группы су-щественно (R. J. Wille, Indag. Math., 25, 2 (1963), 218–224). О.В. Мельников

6.30. Пусть G — финитно аппроксимируемая хопфова группа, G — ее проконеч-ное пополнение. Является ли группа G хопфовой (в топологическом смысле)?

О.В. Мельников

6.31. б) Пусть G — конечно порожденная финитно аппроксимируемая груп-па, d(G) — наименьшее число ее порождающих, δ(G) — наименьшее числотопологических порождающих проконечного пополнения группы G. Известно(Г.А.Носков, Мат. заметки, 33, 4 (1983), 489–498), что существуют группыG, для которых d(G) > δ(G). Ограничена ли функция d на множестве групп сфиксированным значением δ(G) > 2? О.В. Мельников

6.32. Пусть Fn — свободная проконечная группа конечного ранга n > 1. Верноли, что для всякой нормальной подгруппы N свободной проконечной группысчетного ранга существует нормальная подгруппа группы Fn, изоморфная N?

О.В. Мельников

22 6-е издание 1978 г.

6.38. ∗а) Пусть k — (коммутативное) поле. Найти все такие неприводимые под-группы G из GLn(k), что G∩C = ∅ для каждого класса C сопряженных элемен-тов группы GLn(k). Я предполагаю, что G = GLn(k), за исключением случая,когда n = char k = 2, поле k квадратично замкнуто и G сопряжена с группой

всех матриц вида(α 00 β

),(0 αβ 0

), где α = 0 и β = 0.

б) Из справедливости этого предположения следовало бы в общем случае, чтопроизвольная подгруппа из GLn(k), пересекающаяся с каждым классом сопря-женности, является параболической. Насколько этот факт верен для подгруппдругих групп лиева типа? П.Нойман (P.M.Neumann)∗а) Гипотеза опровергнута (С.А. Зюбин, Алгебра и логика, 45, no. 5 (2006),

520–537).

6.39. Класс групп K называется радикальным, если он замкнут относительно взя-тия гомоморфных образов и нормальных подгрупп и каждая группа, порождае-мая своими нормальными K-подгруппами, сама принадлежит классу K. Предла-гаемый вопрос относится к теме «Радикальные классы и формулы УИП». Можнопоказать, что нетривиальный радикальный класс, определяемый универсальны-ми формулами УИП, — это только класс всех групп. Недавно (в письме ко мне)Дж.Бергман построил серию локально конечных радикальных классов, опреде-ляемых формулами УИП. Существуют ли подобные не локально конечные клас-сы, отличные от класса всех групп? В частности, имеется ли радикальный классгрупп, замкнутый относительно декартова умножения, содержащий бесконечнуюциклическую группу и отличный от класса всех групп? Б.И.Плоткин

6.45. Построить такую характеристическую подгруппу N конечно порожденнойсвободной группы F , что фактор-группа F/N бесконечна и проста. Из несуще-ствования такой подгруппы вытекало бы, что d(S2) = d(S) для любой бесконеч-ной конечно порожденной простой группы S. Есть основание предполагать, чтоэто неверно. Дж.Уайголд (J. Wiegold)

6.47. (Купер). Пусть G — группа, v — групповое слово от двух переменных иоперация x ⊙ y = v(x, y) определяет на множестве G строение новой группыGv = ⟨G,⊙⟩. Верно ли, что группа Gv всегда принадлежит многообразию, по-рожденному группой G? Е.И. Хухро

6.48. Верно ли, что любая бесконечная бинарно конечная p-группа непроста?Здесь p — простое число. Н.С. Черников

6.51. Пусть F — локальная подформация некоторой формации X конечныхгрупп, Ω — множество всех максимальных однородных X-экранов формации F.Найти способ построения элементов из Ω с помощью максимального внутренне-го локального экрана формации F. Что можно сказать о мощности множеств Ω?Определения см. в (Л. А. Шеметков, Формации конечных групп, М., Наука, 1978).


6-е издание 1978 г. 23

6.55. Группа G вида G = F h H называется группой Фробениуса (или фробе-ниусовой группой) с ядром F и дополнением H, если H ∩ Hg = 1 для любогоg ∈ G \H и F \ 1 = G \

∪g∈G

Hg. Существуют ли фробениусовы p-группы?

В. П.Шунков

6.56. Пусть G = F · ⟨a⟩ — группа Фробениуса, причем дополнение ⟨a⟩ имеетпростой порядок.

а) Если группа G бинарно конечна, то будет ли она локально конечной?б) Если подгруппы ⟨a, ag⟩ конечны для всех g ∈ G, то будет ли ядро F ло-

кально конечной группой? В. П.Шунков

6.59. Группа G называется (сопряженно, p-сопряженно) бипримитивно конеч-ной, если для любой ее конечной подгруппы H в NG(H)/H любые два элементапростого порядка (любые два сопряженных элемента, элемента простого поряд-ка p) порождают конечную подгруппу. Доказать локальную конечность произ-вольной периодической (сопряженно) бипримитивно конечной группы (в частно-сти, без инволюций) конечного ранга. В. П.Шунков

6.60. Существуют ли бесконечные простые периодические (сопряженно) бипри-митивно конечные группы с конечным числом порождающих элементов, содер-жащие как инволюции, так и неединичные элементы нечетных порядков?

В. П.Шунков

6.61. Будет ли непростой всякая бесконечная периодическая (сопряженно) би-примитивно конечная группа без инволюций? В. П.Шунков

6.62. Будет ли конечной всякая (сопряженно, p-сопряженно) бипримитивно ко-нечная группа, обладающая конечной максимальной подгруппой (p-подгруп-пой)? Для сопряженно бипримитивно конечных p-групп и для 2-сопряженно би-примитивно конечных групп ответ утвердительный (В.П. Шунков, Алгебра и ло-гика, 9, 4 (1970), 484–496; 11, 4 (1972), 470–493; 12, 5 (1973), 603–614), адля произвольных периодических групп утверждение неверно (см. Архив, 3.9).

В. П.Шунков

24


7.3. Доказать, что периодическое произведение нечетного показателя n > 665неединичных групп F1, . . . , Fk, не содержащих инволюций, не может быть по-рождено менее чем k элементами. Отсюда на основании работы (С. И. Адян, ДАНСССР, 241, 4 (1978), 745–748) последовало бы существование k-порожденных,но не (k − 1)-порожденных простых групп при любом k > 0. С.И. Адян

7.5. Группу назовем неразложимой, если всякие две ее собственные подгруппыпорождают собственную подгруппу. Описать неразложимые двуступенно разре-шимые периодические группы. В.В. Беляев

∗7.6. Описать бесконечные простые локально конечные группы с черниковскойсиловской 2-подгруппой. Будут ли такие группы группами Шевалле над локаль-но конечным полем нечетной характеристики? В.В. Беляев, Н. Ф.Сесекин∗Нет, так как любая счетная бесконечная локально конечная p-группа вкла-

дывается как максимальная p-подгруппа в простую универсальную группу Хол-ла U , единственную счетную экзистенциально замкнутую группу в классе всехлокально конечных групп (K. Hickin, Proc. London Math. Soc. (3), 52, no. 1 (1986),53–72). Но если все силовские 2-подгруппы черниковские, то это верно mod CFSG(O.H. Kegel, Math. Z., 95 (1967), 169–195; В. В. Беляев, в сб. Исследования по тео-рии групп, УНЦ АН СССР, Свердловск, 1984, 39–50; А.В. Боровик, Сиб. мат.ж., 24, 6 (1983), 26–35; B.Hartley, G. Shute, Quart. J. Math. Oxford (2), 35(1984), 49–71; S. Thomas, Arch. Math., 41 (1983), 103–116).

7.15. Доказать, что если подгруппа F∗(G) квазипроста и α ∈ AutG, |α| = 2, тоCG(α) содержит инволюцию вне Z(F∗(G)), за исключением случая, когда F∗(G)обладает кватернионной силовской 2-подгруппой. Р.Грайс (R.Griess)

7.17. Всегда ли число максимальных подгрупп конечной группы G не превосхо-дит |G| − 1?

Прим. ред.: это доказано для разрешимых групп (G. E.Wall, J. Austral. Math.Soc., 2 (1961–62), 35–59) и для симметрических групп Sn при достаточно боль-ших n (M. Liebeck, A. Shalev, J. Combin. Theory, Ser. A, 75 (1996), 341–352); такжедоказано (M. W. Liebeck, L. Pyber, A. Shalev, J. Algebra, 317 (2007), 184–197), чтов любой конечной группе G не более 2C|G|3/2 макисмальнх подгрупп для неко-торой абсолютной константы C. Р.Грайс (R.Griess)

7.19. Построить конкретный пример конечно определенной простой группы, в ко-торой проблема равенства слов не разрешима с помощью примитивной рекурсии.

Ф.Каннонито (F.B. Cannonito)

7.21. Существует ли алгоритм, распознающий метабелевость произвольной ко-нечно определенной разрешимой группы? Ф.Каннонито (F.B. Cannonito)

7-е издание, 1980 г. 25

7.23. Существует ли алгоритм, позволяющий распознавать по списку тождеств,разрешима ли элементарная теория задаваемого им многообразия групп, то есть(см. А.П. Замятин, Алгебра и логика, 17, 1 (1978), 20–27) является ли это мно-гообразие абелевым? А.В. Кузнецов

7.25. Связывая со словами в алфавите x, x−1, y, y−1, z, z−1, . . . выражаемыеими операции, понимаемые как функции от переменных x, y, z, . . ., будем гово-рить, что слово A выразимо через слова B1, . . . , Bn на группе G, если A можнополучить, исходя из слов B1, . . . , Bn и переменных, посредством конечного чис-ла подстановок слов друг в друга и замен слова тождественно равным ему наG словом. Список слов будем называть функционально полным на G, если че-рез эти слова выразимо на G всякое слово. Слово B назовем шефферовым наG, если на G всякое слово выразимо через B (ср. А. В.Кузнецов, Мат. исследо-вания, Кишинев, 6, 4 (1971), 75–122). Существует ли алгоритм, позволяющийраспознавать

а) по слову B, является ли B шефферовым на всякой группе? Ср. с задачейобозрения всех таких слов в (А. Г.Курош, Теория групп, М., Наука, 1967, с. 435);примеры их: xy−1, x−1y2z, x−1y−1zx.

б) по списку слов, функционально полон ли он на всякой группе?в) по словам A,B1, . . . , Bn, выразимо ли A через B1, . . . , Bn на всякой группе?

Это вопрос из (А. В. Кузнецов, там же, с. 112).г) то же на всякой конечной группе? (На ней, например, x−1 вырази-

мо через xy). Для фиксированной конечной группы алгоритм существует (ср.А.В. Кузнецов, там же; § 8). А.В. Кузнецов

7.26. Порядковой высотой многообразия групп назовем супремум порядковыхтипов всевозможных вполне упорядоченных по включению цепей его собствен-ных подмногообразий. Ясно, что она конечна, счетна или равна ω1. Всякое лисчетное порядковое число является порядковой высотой некоторого многообра-зия? А.В. Кузнецов

7.27. Верно ли, что группа SLn(q) при достаточно большом q содержит диаго-нальную матрицу, не лежащую ни в одной собственной неприводимой подгруппегруппы SLn(q), исключая клеточномономиальные? При n = 2, 3 известен поло-жительный ответ (В.М. Левчук, в кн. Некоторые вопросы теории групп и колец,Ин-т физики СО АН СССР, Красноярск, 1973). Аналогичные вопросы представ-ляют интерес и для других групп Шевалле. В.М.Левчук

7.28. Группу Шевалле G(K) над коммутативным кольцом K, связанную с си-стемой корней Φ, определим как в (Р.Стейнберг, Лекции о группах Шевалле,М., Мир, 1975); она порождается корневыми подгруппами xr(K), r ∈ Φ. Назо-вем элементарным ковром типа Φ над K всякий набор аддитивных подгруппAr | r ∈ Φ кольца K с условием

cij,rsAirA

js ⊆ Air+js при r, s, ir + js ∈ Φ, i > 0, j > 0,

где cij,rs — константы, определяемые коммутаторной формулой Шевалле, Air =

ai | a ∈ Ar. Какие условия на элементарный ковер (в терминах Ar) необходимыи достаточны для того, чтобы подгруппа ⟨xr(Ar) | r ∈ Φ⟩ группы G(K) пересека-лась с подгруппой xr(K) по xr(Ar)? См. также 15.46. В.М.Левчук

26 7-е издание, 1980 г.

7.31. Пусть группа A автоморфизмов конечной неабелевой 2-группы G действуеттранзитивно на множестве инволюций группы G. Будет ли A разрешимой?

Группы G, для которых существует такая группа автоморфизмов A, былиразбиты на несколько классов в (F. Gross, J.Algebra, 40, 2 (1976), 348–353). Дляодного из этих классов положительный ответ получен Е. Г.Брюхановой (Алгебраи логика, 20, 1 (1981), 5–21). В.Д. Мазуров

7.33. Элементарная TI-подгруппа V конечной группы G называется подгруп-пой некорневого типа, если 1 = NV (V

g) = V для некоторого g ∈ G. Описатьконечные группы G, содержащие 2-подгруппу V некорневого типа, для которойусловие [V, V g] = 1 влечет, что все инволюции из V V g сопряжены с элементамииз V . А.А. Махнев

7.34. Во многих спорадических группах 2-ранги централизаторов 3-элементов небольше 2. Описать конечные группы с этим условием. А.А. Махнев

7.35. Какие многообразия групп V обладают следующим свойством: груп-па G/V(G) финитно аппроксимируема для всякой финитно аппроксимируемойгруппы G? О.В. Мельников

∗7.37. а) Проконечную группу назовем строго полной, если всякая ее подгруп-па конечного индекса открыта. Известно (B. Hartley, Math. Z., 168, 1 (1979),71–76), что строго полными являются конечно порожденные проконечные груп-пы, обладающие конечным нормальным рядом с пронильпотентными фактора-ми. Будет ли строго полной произвольная конечно порожденная проконечнаягруппа? О.В. Мельников∗Да, будет (N.Nikolov, D. Segal, Ann. Math. (2), 165, no. 1 (2007), 171–273).

7.38. Многообразием проконечных групп назовем непустой класс проконечныхгрупп, замкнутый относительно перехода к подгруппам, фактор-группам и ти-хоновским произведениям. Подмногообразие V многообразия N всех пронильпо-тентных групп назовем (локально) нильпотентным, если все (конечно порож-денные) группы из V нильпотентны.

а) Верно ли, что всякое ненильпотентное подмногообразие из N содержитненильпотентное локально нильпотентное подмногообразие?

б) Тот же вопрос для подмногообразий многообразия всех про-p-групп (дляфиксированного простого числа p). О.В. Мельников

7-е издание, 1980 г. 27

7.39. Пусть G =⟨a, b | ap = (ab)3 = b2 = (aσba2/σb)2 = 1

⟩, где p — простое число,

σ — целое число, не делящееся на p. Группа PSL2(p) является фактор-группойгруппы G, так что имеет место короткая точная последовательность

1→ N → G→ PSL2(p)→ 1.

Для всех p > 2 существует такое σ, что N = 1, например, σ = 4. Пусть Nab

— фактор-группа группы N по ее коммутанту. Известно, что для некоторых pсуществует такое σ, что группа Nab бесконечна (например, для p = 41 можновзять σ2 ≡ 2 (mod 41)), а для других p (например, для p = 43) группаNab конечнапри любом σ.

а) Бесконечно ли множество таких простых чисел p, для которых группа Nab

конечна при любом σ?б) Существует ли арифметическое условие на σ, при котором группа Nab

конечна? Й.Меннике (J.Mennicke)

7.40. Дать описание (решетки) подгрупп, заключенных между заданной класси-ческой группой матриц над кольцом и подгруппой всех ее матриц с коэффициен-тами в подкольце (Ю. И.Мерзляков, в кн. Алгебра. Топология. Геометрия. 1970,ВИНИТИ, М., 1971, 75–110). Ю. И.Мерзляков

7.41. (Дж. Уилсон). Всякая ли линейная RI-группа является RN -группой?


7.45. Совпадает ли Q-теория всех конечных групп (в смысле 2.40) с Q-теориейнекоторой одной конечно определенной группы? Д.М. Смирнов

7.49. Пусть G — конечно порожденная группа, N — минимальная нормальнаяподгруппа группыG, являющаяся элементарной p-группой. Верно ли, что либоN— конечная группа, либо функция роста элементов из N относительно конечнойсистемы порождающих группы G ограничена снизу экспонентой?

В.И. Трофимов

7.50. Изучить строение примитивных групп подстановок (конечных и бесконеч-ных), в которых стабилизатор любых трех попарно различных символов тривиа-лен. Этот вопрос тесно связан с вопросом описания групп, среди максимальныхподгрупп которых есть группа Фробениуса. А.Н.Фомин

7.51. Что представляют из себя примитивные группы подстановок (конечные ибесконечные), в которых есть регулярная подорбита, то есть в которых стаби-лизатор символа действует по крайней мере на одной из своих орбит точно ирегулярно? А.Н.Фомин

7.52. Описать локально конечные примитивные группы подстановок, центр лю-бой силовской 2-подгруппы которых содержит инволюции, стабилизирующиеточно один символ. Случай конечных групп полностью изучен Д. Хольтом в 1978году. А.Н.Фомин

28 7-е издание, 1980 г.

7.54. Существует ли группа бесконечного специального ранга, представимая ввиде произведения двух своих подгрупп, специальные ранги которых конечны?

Н.С. Черников

7.55. Верно ли, что всякая группа, факторизуемая двумя почти абелевыми под-группами, почти разрешима? Н.С. Черников

7.56. (Б.Амберг). Всякая ли группа, факторизуемая двумя подгруппами, удо-влетворяющими условию минимальности (соответственно максимальности), са-ма удовлетворяет условию минимальности (соответственно максимальности)?


7.57. а) Порождающее множество конечно определенной группы G, состоящее изнаименьшего возможного числа элементов d(G), назовем базой группы G. ПустьrM (G) — наименьшее число соотношений, необходимых для задания группы G вбазе M , и r(G) — минимум чисел rM (G) по всем базам M группы G. Известно,что rM (G) 6 d(G) + r(G) для любой базы M . Может ли для некоторой базы Mвыполняться равенство? В.А.Чуркин

7.58. Пусть F — абсолютно свободная группа, R — ее нормальная подгруппа,V — многообразие групп. Известно (Х. Нейман, Многообразия групп, М., Мир,1969), что группа F/V(R) изоморфно вкладывается в V-вербальное сплетениеV-свободной группы того же ранга, что и F , с группой F/R. Найти крите-рий, указывающий, какие элементы сплетения принадлежат образу этого вло-жения. В случае, когда V — многообразие абелевых групп, критерий известен(В.Н. Ремесленников, В. Г.Соколов, Алгебра и логика, 9, 5 (1970), 566–578).

Г. Г.Ябанжи

29


8.1. Охарактеризовать все такие группы (или, по меньшей мере, такие разре-шимые группы) G и такие поля F , что каждый неприводимый FG-модуль ко-нечномерен над центром его кольца эндоморфизмов. Частичные ответы см. в(B.A. F.Wehrfritz, Glasgow Math. J., 24, 1 (1983), 169–176).

Б. Верфриц (B.A. F. Wehrfritz)

8.2. Пусть G — свободное произведение двух полициклических групп с объеди-нением по нормальной подгруппе каждого сомножителя. Изоморфна ли G ли-нейной группе? Группа G финитно аппроксимируема (G. Baumslag, Trans. Amer.Math. Soc., 106, 2 (1963), 193–209) и ответ положителен, если объединяемаячасть без кручения: абелева (B. A. F.Wehrfritz, Proc. London Math. Soc., 27, 3(1973), 402–424) или нильпотентная (M. Shirvani, 1981, неопубликовано).


8.3. Пусть m и n — положительные целые числа и p — простое число. ПустьPn(Zpm) — группа всех таких (n×n)-матриц (aij) над целыми числами по модулюpm, что aii ≡ 1 для всех i и aij ≡ 0 (mod p) для всех i > j. Группа Pn(Zpm)является конечной p-группой. Для каких m и n она регулярна?

Прим. ред. 2001 г.: известно, что группа Pn(Zpm) регулярна, если mn < p(Ю.И. Мерзляков, Алгебра и логика, 3, 4 (1964), 49–59). Случай m = 1 полно-стью исследован А. В.Ягжевым в (Мат. заметки, 56, 6 (1994), 106–116), хотяэта работа ошибочна при m > 1. Случай m = 2 исследован в (С. Г.Колесников,Исследования по анализу и алгебре, вып. 3, Томский ун-т, Томск, 2001, 117–125).Прим. ред. 2009 г.: показано, что группа Pn(Zpm) регулярна для любого m, еслиn2 < p (С. Г.Колесников, Сиб. матем. ж., 47, 6 (2006), 1289–1295).


8.4. Построить конечную нильпотентную лупу, не имеющую конечной базы тож-деств. М. Воон-Ли (M. R.Vaughan-Lee)

∗8.5. Доказать, что для любой конечной группы X, произвольного поля F илюбого нетривиального неприводимого FX-модуля M имеет место неравенство1|X|

∑x∈X dim fix(x) 6 1

2 dim M . М. Воон-Ли (M. R.Vaughan-Lee)∗Доказано, даже ... 6 1

p dim M , где p — наименьший простой делитель |G|(R.M. Guralnick, A. Maroti, Preprint, 2010).

8.8. б) (Д. В.Аносов). Существует ли конечно определенная группа G, отличнаяот циклической и содержащая такой элемент a, что всякий элемент группы Gсопряжен с некоторой степенью элемента a? Р.И. Григорчук

8.9. (Чжоу). По определению, группа G обладает свойством P , если для вся-кого ее конечного подмножества F существует конечное подмножество S ⊃ F иподмножество X ⊂ G такие, что x1S ∩ x2S пусто при любых x1, x2 ∈ X, x1 = x2,и G =

∪x∈X

Sx. Всякая ли группа обладает свойством P? Р.И. Григорчук

30 8-е издание, 1982 г.

8.10. а) Конечна или бесконечна группа G =⟨a, b | an = 1, ab = b3a3

⟩при n = 7.

Все другие случаи известны. См. также Архив, 7.7 и 8.10 б.

Д.Джонсон (D. L. Johnson)

8.11. Рассмотрим группу M = ⟨x, y, z, t | [x, y] = [y, z] = [z, x] = (x, t) = (y, t) =(z, t) = 1⟩ , где [x, y] = x−1y−1xy и (x, t) = x−1t−1x−1txt. Подгруппа H = ⟨x, t, y⟩изоморфна группе кос B4 и нормально дополняется подгруппой N =

⟨(zx−1)M

⟩.

Является лиN свободной группой (?) счетного бесконечного ранга (?), на которойH при сопряжении действует точно? Д.Джонсон (D. L. Johnson)

8.12. Пусть D0 означает класс конечных групп нулевой дефективности, то естьимеющих копредставление ⟨X | R⟩ с |X| = |R|.

а) Содержит ли D0 какую-нибудь 3-порожденную p-группу для p > 5?в) Ограничена ли ступень разрешимости разрешимых D0-групп?г) Какие неабелевы простые группы могут встречаться в качестве компози-

ционных факторов D0-групп?

Д.Джонсон (D. L. Johnson), Э. Робертсон (E. F.Robertson)

8.14. б) Предположим, что G — экзистенциально замкнутая группа, принадле-жащая одному из классов LN+, LSπ, LS+, LS, состоящих из, соответственно,всех локально нильпотентных групп без кручения, всех локально разрешимыхπ-групп, всех локально разрешимых групп без кручения и всех локально разре-шимых групп. Верно ли, что G автоморфно проста?

Экзистенциальная замкнутость G — локальное свойство и, по-видимому, изнего сложно получать глобальные свойства группы G. См. также Архив, 8.14 а.

О. Кегель (O.H. Kegel)

8.15. (Известный вопрос). Всякая ли N -группа является Z-группой? Определе-ния см. в (М.И. Каргаполов, Ю. И.Мерзляков, Основы теории групп, изд. 3-е,М., Наука, 1982, с. 205). Ш.С. Кемхадзе

8.16. Замкнут ли класс Z-групп относительно взятия нормальных подгрупп?

Ш.С. Кемхадзе

8.19. Равносильны ли какие-нибудь из следующих свойств (разрешимых) мно-гообразий групп:

1) удовлетворять условию минимальности для подмногообразий,2) иметь не более чем счетное число подмногообразий,3) не иметь бесконечной независимой системы тождеств? Ю. Г.Клейман

8.21. Если коммутант G′ группы G, свободной в некотором многообразии, пери-одичен, то является ли он группой конечного периода? Л.Ковач (L. G. Kovacs)

8.23. Если диэдральная группа D порядка 18 является секцией прямого про-изведения A × B, то должна ли хотя бы одна из групп A и B иметь секцию,изоморфную D? Л.Ковач (L. G. Kovacs)

8-е издание, 1982 г. 31

8.24. Доказать, что всякая линейно упорядоченная группа конечного ранга раз-решима. В.М. Копытов

8.25. Существует ли алгоритм, позволяющий по тождеству распознавать, имеетли задаваемое им многообразие групп не более чем счетное число подмногообра-зий? А.В. Кузнецов

8.27. Обладает ли решетка всех многообразий групп хотя бы одним нетожде-ственным автоморфизмом? А.В. Кузнецов

8.29. Существуют ли локально нильпотентные группы без центра, удовлетворя-ющие слабому условию максимальности для нормальных подгрупп?

Л. А.Курдаченко

8.30. Пусть X,Y — классы Фиттинга разрешимых групп, удовлетворяющие усло-вию Локкета: X ∩S∗ = X∗, Y ∩S∗ = Y∗, где S означает класс Фиттинга всехразрешимых групп, а звездочка — нижнюю группу секции Локкета, определяе-мую данным классом Фиттинга. Удовлетворяет ли X ∩Y условию Локкета?

Прим. ред. 2001 г.: ответ положителен, если X и Y локальны (A.Grytczuk,N.T. Vorob’ev, Tsukuba J. Math., 18, 1 (1994), 63–67). Х.Лауш (H. Lausch)

8.31. Верно ли, что PSL2(7) — единственная конечная простая группа, у которойвсякая собственная подгруппа дополняема в некоторой большей подгруппе?

В.М.Левчук

8.33. Пусть a, b — два элемента группы, причем a имеет бесконечный порядок.Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы выполнялось равен-

ство∞∩

n=1⟨an, b⟩ = ⟨b⟩. Ф.Н. Лиман

8.34. Пусть G — конечная группа. Верно ли, что неразложимые проективныеZG-модули конечно порождены (и следовательно локально свободны)?

П. Линнел (P.A. Linnell)

8.35. в) Перечислить классы сопряженных максимальных подгрупп в простойспорадической группе F1. См. текущее состояние вопроса в Atlas of Finite GroupRepresentations (http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/spor/M/).


8.40. Описать конечные группы, порождаемые классом инволюций D со следу-ющим свойством: если a, b ∈ D и |ab| = 4, то [a, b] ∈ D. Это условие выполняется,например, если D — класс инволюций известной простой конечной группы, при-чем ⟨CD(a)⟩ является 2-группой для каждого a ∈ D. А.А. Махнев

8.41. Какова конечная группа G, в которой нормальное множество инволюцийD содержит непустое собственное подмножество T со следующими свойствами:

1) CD(a) ⊆ T для любого a из T ,2) если a, b ∈ T и ab = ba = 1, то CD(ab) ⊆ T? А.А. Махнев

32 8-е издание, 1982 г.

8.42. Описать конечные группы, в которых разрешимые подгруппы нечетногоиндекса имеют единичную 2-длину. Известно, например, что этому условию удо-влетворяют группы Ln(2

m). А.А. Махнев

8.43. (Ф.Тиммесфельд). Пусть T — силовская 2-подгруппа конечной группы G и⟨N(B) | B — нетривиальная характеристическая подгруппа из T ⟩ — собственнаяподгруппа группы G. Описать группу G, если F∗(M) = O2(M) для любой 2-локальной подгруппы M , содержащей T . А.А. Махнев

8.44. Доказать или опровергнуть, что для почти всех простых чисел p группаGp =

⟨a, b | a2 = bp = (ab)3 = (brab−2ra)2 = 1

⟩, где r2 + 1 ≡ 0 (mod p), бесконеч-

на. Решение этого вопроса имело бы интересные топологические приложения. Спомощью вычислительной машины доказана конечность группы Gp при p 6 17.

Й.Меннике (J.Mennicke)

8.45. Когда из аппроксимируемости группы X- и Y-группами следует ее аппрок-симируемость (X ∩Y)-группами? Ю. И.Мерзляков

8.50. На конференции в Обервольфахе в 1979 году я демонстрировал конечнопорожденную разрешимую (ступени 3) группу G и такой ненулевой цикличе-ский ZG-модуль V , что V ∼= V ⊕ V . Возможно ли это для метабелевой группыG? Я предполагаю, что невозможно. Подоплеку этой проблемы и детали кон-струкции см. в (P.M.Neumann, in: Groups–Korea, Pusan, 1988 (Lect. Notes Math.,1398), Springer, Berlin, 1989, 124–139). П.Нойман (P.M.Neumann)

8.51. (Дж.Маккэй). Если G — конечная группа и p — простое число, то пустьmp(G) означает число обыкновенных неприводимых характеров группы G, степе-ни которых не делятся на p. Пусть P — силовская p-подгруппа группы G. Верноли, что mp(G) = mp(NG(P ))? Й.Олссон (J. B. Olsson)

8.52. (Известный вопрос). Существуют ли бесконечные конечно определенныепериодические группы? Ср. с 6.3. А.Ю. Ольшанский

8.53. а) Пусть n — достаточно большое нечетное число. Описать автоморфизмысвободной бернсайдовой группы B(m,n) периода n с m порождающими.


8.54. а) (Известный вопрос). Классифицировать метабелевы многообразия групп(или показать, что это в определенном смысле «дикая» задача).

б) Описать тождества 2-порожденных метабелевых групп, т. е. классифици-ровать многообразия, порождаемые такими группами. А.Ю. Ольшанский

8.55. Легко видеть, что множество квазимногообразий групп, в каждом из кото-рых выполнено нетривиальное тождество, является полугруппой относительноумножения квазимногообразий. Свободна ли эта полугруппа?


8-е издание, 1982 г. 33

8.59. Пусть все собственные замкнутые нормальные подгруппы локально ком-пактной локально нильпотентной группы G компактны. Содержит ли G откры-тую компактную нормальную подгруппу? В.М.Полецких, И.В. Протасов

8.60. Описать локально компактные компактно покрываемые примарные ло-кально разрешимые группы, все замкнутые абелевы подгруппы которых имеютконечный ранг. В.М. Полецких, В. С. Чарин

8.62. Описать локально компактные локально пронильпотентные группы с ком-пактным в E-топологии пространством замкнутых нормальных подгрупп. Длядискретных групп соответствующий вопрос решен. И.В.Протасов

8.64. Обладает ли независимым базисом квазитождеств класс всех конечныхгрупп? А.К.Румянцев, Д.М. Смирнов

8.67. Существуют ли группы Голода, у которых ранги всех абелевых подгруппконечны? Здесь под группой Голода понимается конечно порожденная нениль-потентная подгруппа присоединенной группы нилькольца. Для всей присоеди-ненной группы нилькольца вопрос решается отрицательно (Я.П. Сысак, Тезисы17-й Всесоюз. алгебр. конф., часть 1, Минск, 1983, с. 180). А. И.Созутов

8.68. Пусть G = ⟨a, b | r = 1⟩, где r — циклически несократимое слово, не являю-щееся собственной степенью никакого слова от a, b. Если G финитно аппроксими-руема, то будет ли группа Gt = ⟨a, b | rt = 1⟩, t > 1, финитно аппроксимируемой?

Прим. ред.: Аналогичный факт доказан для относительных групп с однимсоотношением (S. J. Pride, Proc. Amer. Math. Soc., 136, no. 2 (2008), 377–386).

Ч.Тан (C. Y. Tang)

8.69. Является ли любая группа с одним соотношением и с нетривиальным кру-чением финитно аппроксимируемой относительно сопряженности?

Ч.Тан (C. Y. Tang)

8.72. Существует ли конечно определенная группа, не являющаяся ни свобод-ной, ни циклической простого порядка, любая собственная подгруппа которойсвободна? Ч.Тан (C. Y. Tang)

8.74. Субнормальную подгруппу HG группы G назовем хорошей, если⟨H,J⟩G как только JG. Верно ли, что пересечение двух хороших суб-нормальных подгрупп является хорошей подгруппой?

Дж. Томпсон (J. G. Thompson)

8.75. (Известный вопрос). Пусть G — конечная примитивная группа подстановокна Ω и пусть α, β — различные точки из Ω. Всегда ли существует такой элементg ∈ G, что αg = β и g не оставляет неподвижной ни одну точку из Ω?

Дж. Томпсон (J. G. Thompson)

34 8-е издание, 1982 г.

8.77. Существуют ли сильно регулярные графы с параметрами λ = 0, µ = 2степени k > 10? Известны такие графы для k = 5 и k = 10, их группы автомор-физмов — примитивные группы подстановок ранга 3. Д.Г.Фон-Дер-Флаасс

8.78. Известно, что существует счетная локально конечная группа, которая со-держит изоморфную копию любой другой счетной локально конечной группы.Для каких других классов счетных групп существует такая «наибольшая» груп-па? В частности, какова ситуация для периодических локально разрешимыхгрупп? периодических локально нильпотентных групп? Б.Хартли (B. Hartley)

8.79. Существует ли бесконечная счетная локально конечная совершенная груп-па (совершенность понимается в смысле отсутствия центра и внешних авто-морфизмов)? Несчетная существует (K. K.Hickin, Trans. Amer. Math. Soc., 239(1978), 213–227). Б.Хартли (B. Hartley)

8.82. Пусть H3 = C × R+ = (z, r) | z ∈ C, r > 0 — трехмерное пространствоПуанкаре, на котором действует группа SL2(C) по правилу

(r, z)

(a bc d

)=

((az + b)(cz + d) + acr2

|cz + d|2 + |c|2r2,

r

|cz + d|2 + |c|2r2

).

Пусть o — кольцо целых чисел поля K = Q(√D), где D < 0, π — простое число,

для которого ππ — простое число из Z, и пусть

Γ =

(a bc d

)∈ SL2(o) | b ≡ 0 (modπ)

.

Добавив к пространству Γ \ H3 две вершины, получим трехмерное компактноепространство Γ \ H3.

Вычислить r(π) = dimQH1(Γ \ H3, Q) = dimQ(Γab ⊗Q).

Например, если D = −3, то r(π) впервые отлично от нуля при π | 73 (тогдаr(π) = 1), а если D = −4, то r(π) = 1 при π | 137. Х. Хеллинг (H.Helling)

8.83. В обозначениях 8.82 при r(π) > 0 с помощью алгебр Гекке можно опреде-лить формальный ряд Дирихле с эйлеровым произведением (см. Г.Шимура, Вве-дение в арифметическую теорию автоморфных функций, М., Мир, 1973, с. 87).Существует ли алгебраическое многообразие Хассе–Вейля, ζ-функцией которогоявляется этот ряд Дирихле? Имеется несколько гипотез.

Х. Хеллинг (H.Helling)

8.85. Построить конечную p-группу G, у которой подгруппа Хьюза Hp(G) =⟨x ∈ G | |x| = p⟩ нетривиальна и имеет индекс p3. Е.И. Хухро

8.86. (Известный вопрос). Пусть все собственные замкнутые подгруппы локальнокомпактной локально нильпотентной группы G компактны. Верно ли, что еслиG некомпактна, то она абелева? В. С.Чарин

35


9.1. Группа G называется потентной, если для каждого элемента x из G и каж-дого натурального числа n, делящего порядок x (мы считаем, что ∞ делится налюбое натуральное число), существует конечный гомоморфный образ группы G,в котором порядок образа x равен точно n. Является ли свободное произведениедвух потентных групп потентной группой? Р.Алленби (R. B. J. T. Allenby)

9.4. Известно, что если M — многообразие (квазимногообразие, псевдомногооб-разие) групп, то класс IM всех квазигрупп, изотопных группам из M, — так-же многообразие (квазимногообразие, псевдомногообразие), причем IM тогда итолько тогда конечно базируемо, когда таково M. Верно ли, что если M порожда-ется одной конечной группой, то IM порождается одной конечной квазигруппой?

А.А. Гварамия

9.5. Многообразие групп называется примитивным, если всякое его подквазим-ногообразие является многообразием. Описать все примитивные многообразиягрупп. Всякое ли примитивное многообразие групп локально конечно?

В. А. Горбунов

9.6. Верно ли, что независимый базис квазитождеств конечной группы всегдаконечен? В. А. Горбунов

9.7. (А.М.Стeпин). Существует ли бесконечная конечно порожденная амена-бельная группа с ограниченными в совокупности порядками элементов?

Р.И. Григорчук

9.8. Существует ли конечно порожденная простая группа промежуточного ро-ста?


9.9. Существует ли конечно порожденная не почти нильпотентная группа, у ко-торой функция роста мажорируется функцией вида c

√n, где c — константа, боль-

шая единицы? Р.И. Григорчук

∗9.10. Существуют ли отличные от Z/2Z конечно порожденные группы ровно сдвумя классами сопряженных элементов? В.С. Губа∗Да, существуют (D. V. Osin, Small cancellations over relatively hyperbolic groups

and embedding theorems, http://www.arxiv.org/abs/math.GR/0411039; выходитв Ann. Math.).

9.11. Будет ли абелева минимальная нормальная подгруппа A группы G эле-ментарной p-группой, если секция G/A — разрешимая группа конечного ранга?При дополнительном предположении локальной полицикличности секции G/Aэто верно (Д. И. Зайцев, Алгебра и логика, 19, 2 (1980), 150–172). Д.И. Зайцев

36 9-е издание, 1984 г.

9.13. Является ли минимаксной разрешимая группа без кручения, удовлетворя-ющая слабому условию минимальности для нормальных подгрупп? Д.И. Зайцев

9.14. Будет ли локально конечной группа, разлагающаяся в произведение попар-но перестановочных периодических абелевых подгрупп? В случае двух подгруппответ утвердительный. Д.И. Зайцев

9.15. Не используя CFSG, описать все такие подгруппы L конечной группы Ше-валле G, что G = PL для некоторой параболической подгруппы P группы G.

А.С. Кондратьев

9.17. б) Пусть G — локально нормальная финитно аппроксимируемая группа.Существует ли в G нормальная подгруппа H, вложимая в прямое произведениеконечных групп и такая, что фактор-группа G/H — полная абелева?


9.19. а) Пусть n(X) обозначает минимум индексов собственных подгрупп груп-пы X. Подгруппа A конечной группы G называется широкой, если A — мак-симальный по включению элемент множества X | X — собственная простаяподгруппа группы G и n(X) = n(G).

Перечислить широкие подгруппы конечных проективных специальных линей-ных, симплектических, ортогональных и унитарных групп. В.Д. Мазуров

9.23. Пусть G — конечная группа, B — блок характеров группы G, D(B) —его дефектная группа, k(B) (соответственно, k0(B)) — число всех неприводимыхкомплексных характеров (высоты 0), лежащих в B. Гипотезы:

а) (Р.Брауэр). Имеет место неравенство k(B) 6 |D(B)|; это доказано дляp-разрешимых групп (D. Gluck, K. Magaard, U. Riese, P. Schmid, J. Algebra, 279(2004), 694–719);

б) (Й.Олссон). Имеет место неравенство k0(B) 6 |D(B) : D(B)′|, где штрихозначает взятие коммутанта;

в) (Р.Брауэр). Группа D(B) абелева в точности тогда, когда k0(B) = k(B).


9.24. (Дж. Томпсон). Гипотеза: всякая конечная простая неабелева группа Gпредставима в виде G = CC, где C — некоторый класс сопряженных элементовгруппы G. В.Д. Мазуров

9.25. Указать алгоритм, который по уравнению w(x1, . . . , xn) = 1 в свободнойгруппе F и списку конечно порожденных подгрупп H1, . . . ,Hn группы F опреде-лял бы, существует ли решение этого уравнения с условием x1 ∈ H1, . . . , xn ∈ Hn.

Г.С. Маканин

9.26. б) Описать конечные группы 2-локального 3-ранга 1, у которых силовская3-подгруппа нециклическая. А.А. Махнев

9-е издание, 1984 г. 37

9.28. Пусть конечная группа G порождается классомD сопряженных инволюцийи Di = d1 · · · di | d1, . . . , di — различные попарно перестановочные элементы изD. Какова группа G, если D1, . . . , Dn — все ее различные классы сопряженныхинволюций? Например, этому условию с n = 3 удовлетворяют группы ФишераF22, F23. А.А. Махнев

9.29. (Известный вопрос). Согласно классической теореме Магнуса проблема ра-венства в 1-определенных группах алгоритмически разрешима. Существуют ли2-определенные группы с неразрешимой проблемой равенства?


9.31. Пусть k — поле характеристики 0. Согласно (Ю. И.Мерзляков, ТрудыМИАН им. Стеклова, 167 (1985), 236–238) семейство Repk(G) всех каноническихматричных представлений k-степенной группы G над k можно рассматриватькак аффинное k-многообразие. Найти явный вид уравнений над k, задающихэто многообразие. Ю. И.Мерзляков

9.32. Каковы локально компактные группы, в которых произведение любых двухзамкнутых подгрупп — снова замкнутая подгруппа? Абелевы группы с такимсвойством описаны (Ю. Н.Мухин, Мат. заметки, 8, 4 (1970), 509–519).

Ю.Н.Мухин

9.35. Топологическая группа называется индуктивно компактной, если любойконечный набор ее элементов лежит в компактной подгруппе. Сохраняется ли этосвойство при решеточных изоморфизмах в классе локально компактных групп?

Ю.Н.Мухин

9.36. Охарактеризовать решетки замкнутых подгрупп локально компактныхгрупп. В дискретном случае это сделано (Б.В. Яковлев, Алгебра и логика, 13, 6 (1974), 694–712). Ю.Н.Мухин

9.37. Проразрешима ли компактно порожденная индуктивно проразрешимая ло-кально компактная группа? Ю.Н.Мухин

9.38. Группа, совпадающая с объединением своих компактных подгрупп, назы-вается компактно покрываемой. Замкнуты ли максимальные компактно покры-ваемые подгруппы в нульмерной локально компактной группе? Ю.Н.Мухин

9.39. Пусть Ω — счетное множество, а m — такое кардинальное число, что ℵ0 6m 6 2ℵ0 (мы допускаем аксиому выбора, но не гипотезу континуума). Существуетли группа подстановок G на Ω, которая имеет ровно m орбит на множестве P(Ω)всех подмножеств множества Ω?

Прим. 2001 г.: доказано (S. Shelah, S. Thomas, Bull. London Math. Soc., 20, 4 (1988), 313–318), что ответ положительный в теории множеств с аксиомойМартина. Вопрос остается открытым в ZFC. П.Нойман (P.M.Neumann)

38 9-е издание, 1984 г.

9.40. Пусть Ω — счетное бесконечное множество. Определим половину Ω кактакое подмножество Σ, что Σ и Ω \ Σ бесконечны. Какие группы подстановок Ωтранзитивны на половинах? П.Нойман (P.M.Neumann)

9.41. Пусть Ω — счетное бесконечное множество. Для k > 2 определим k-секциюΩ как разбиение Ω на k бесконечных множеств.

б) Существует ли группа, транзитивная на k-секциях, но не на (k+1)-секциях?в) Существует ли транзитивная группа подстановок на Ω, которая транзи-

тивна на ℵ0-секциях, но является собственной подгруппой в Sym (Ω)?

П.Нойман (P.M.Neumann)

9.42. Пусть Ω — счетное множество, и пусть D — множество всех линейных по-рядков, относительно которых Ω изоморфно Q. Существует ли в группе Sym (Ω)транзитивная собственная подгруппа, которая транзитивна на D?


9.43. б) Указанная в (Н.Д. Подуфалов, 9-й Всесоюз. симп. по теории групп, М.,1984, 113–114) группа G позволяет построить проективную плоскость порядка3 — в качестве прямых надо взять любой класс сопряженных относительно Sподгрупп порядка 2 · 5 · 11 · 17 и добавить естественным образом еще четырепрямых. Аналогично можно построить проективные плоскости порядка pn длялюбого простого p и любого натурального n. Нельзя ли приспособить этот методдля получения новых плоскостей? Н. Д.Подуфалов

9.44. Топологическая группа называется слойно компактной, если прообразывсех ее компактов при отображениях x → xn, n = 1, 2, . . ., являются компак-тами. Описать локально компактные локально разрешимые слойно компактныегруппы. В.М. Полецких

9.45. Пусть a — вектор из Rn с рациональными компонентами, S(a) = ka + b |k ∈ Z, b ∈ Zn. Очевидно, что S(a) — дискретная подгруппа группы Rn ранга n.Найти необходимые и достаточные условия в терминах компонент вектора a длятого, чтобы S(a) имела ортогональный базис в смысле стандартного скалярногопроизведения пространства Rn. Ю.Д. Попов, И. В. Протасов

9.47. Верно ли, что каждый разреженный компакт может быть гомеоморфновложен в пространство замкнутых некомпактных подгрупп с E-топологией под-ходящей локально компактной группы? И.В.Протасов

9.49. Пусть G — компактная группа веса > ω2. Верно ли, что пространство L(G)всех ее замкнутых подгрупп, снабженное E-топологией, недиадично?

И.В. Протасов, Ю. В.Цыбенко

9.51. Существует ли конечно определенная разрешимая группа, удовлетворяю-щая условию максимальности для нормальных подгрупп, для которой проблемаравенства слов неразрешима? Д. Робинсон (D. J. S. Robinson)

9-е издание, 1984 г. 39

9.52. Разрешима ли проблема сопряженности для конечно определенных разре-шимых групп конечного ранга?

Замечание: существует алгоритм, распознающий сопряженность с даннымэлементом группы. Д. Робинсон (D. J. S. Robinson)

9.53. Разрешима ли проблема изоморфизма для конечно определенных разре-шимых групп конечного ранга? Д. Робинсон (D. J. S. Robinson)

9.55. Существуют ли такие конечная p-группа G и центральный разностныйавтоморфизм φ кольца ZG, что φ после расширения до автоморфизма p-адичес-кого группового кольца ZpG не будет произведением сопряжения с помощьюединицы из ZpG и гомоморфизма, индуцированного групповым автоморфизмом?


9.56. Найти все конечные группы, для которых тензорный квадрат любого обык-новенного неприводимого характера свободен от кратностей. Я.Саксл (J. Saxl)

9.57. Множество подформаций фиксированной формации с операциями пересе-чения и порождения является решеткой. Каковы формации конечных групп сдистрибутивной решеткой подформаций? А.Н. Скиба

9.59. (В. Гашюц). Доказать, что формация, порожденная конечной группой, име-ет конечную решетку подформаций. А.Н. Скиба, Л. А.Шеметков

9.60. Пусть F, H — локальные формации конечных групп, причем F не содержит-ся в H. Существует ли в F хотя бы одна минимальная локальная не H-подфор-мация? А.Н. Скиба, Л. А.Шеметков

9.61. Два многообразия называются S-эквивалентными, если они имеют одну иту же теорию Мальцева (Д.М. Смирнов, Алгебра и логика, 22, 6 (1983), 693–706). Какова мощность множества S-эквивалентных многообразий групп?

Д.М. Смирнов

9.64. Верно ли, что в группе вида G = AB всякая подгруппа N из пересеченияA ∩ B, субнормальная в каждой из подгрупп A и B, субнормальна в G? Дляконечных групп это так (Х. Виландт). Я.П. Сысак

9.65. Будет ли периодической локально разрешимая группа, являющаяся произ-ведением двух своих периодических подгрупп? Я.П. Сысак

40 9-е издание, 1984 г.

9.66. а) Гипотеза Йонссона об устойчивости элементарной эквивалентности от-носительно свободных произведений в классе всех групп: если Th(G1) = Th(G2)и Th(H1) = Th(H2) для групп G1, G2, H1, H2, то Th(G1 ∗H1) = Th(G2 ∗H2).

б) Представляет интерес также следующая ослабленная гипотеза: еслиTh(G1) = Th(G2) и Th(H1) = Th(H2) для счетных групп G1, G2, H1, H2, топри любых нумерациях групп Gi,Hi имеют место m-сводимость T1≡

mT2 и своди-

мость по Тьюрингу T1≡TT2, где Ti — множество номеров всех предложений из

Th(Gi ∗Hi). Доказательство этой ослабленной гипотезы было бы хорошей иллю-страцией применения теории сводимостей к решению конкретных задач матема-тики. А.Д. Тайманов

∗9.67. (А.Тарский). Пусть Fn — свободная группа ранга n; верно ли, чтоTh(F2) = Th(F3)? А.Д. Тайманов∗Да, верно (O.Kharlampovich, A. Myasnikov, J.Algebra, 302, (2006), 451–552;

Z. Sela, Geom. Funct. Anal., 16 (2006), 707–730).

9.68. Пусть V — многообразие групп, отличное от многообразия всех групп, ипусть p — простое число. Ограничена ли p-длина конечных p-разрешимых групп,силовские p-подгруппы которых лежат в V? Дж.Уилсон (J. S.Wilson)

9.69. (П.Камерон). Пусть G — конечная примитивная группа подстановок ипусть стабилизатор Gα точки α индуцирует на некоторой своей орбите ∆ = αрегулярную группу подстановок. Верно ли, что |Gα| = |∆|? А.Н.Фомин

9.70. Доказать или опровергнуть гипотезу П.Камерона: если G — конечная при-митивная группа подстановок подранга m, то либо ранг группы G ограниченфункцией от m, либо порядок стабилизатора точки не превосходит m. Подрангтранзитивной группы подстановок определяется как максимум рангов транзи-тивных составляющих стабилизатора точки. А.Н.Фомин

9.71. Верно ли, что каждая бесконечная 2-транзитивная группа подстановок слокально разрешимым стабилизатором точки обладает нетривиальным неприво-димым конечномерным представлением над некоторым полем? А.Н.Фомин

9.72. Пусть G1 и G2 — группы Ли, обладающие следующим свойством: каждаяGi содержит такую нильпотентную односвязную нормальную подгруппу Ли Bi,что Gi/Bi

∼= SL2(K), K = R или C. Предположим, что G1 и G2 содержатся какзамкнутые подгруппы в топологической группе G, что G1 ∩G2 > B1B2 и что ниодна нетривиальная подгруппа Ли группы B1 ∩B2 не нормальна в G. Можно липоказать (может быть, используя метод амальгам из теории конечных групп),что ступень нильпотентности и размерность B1B2 ограничены?

А.Чермак (A. L.Chermak)

9.75. Найти все те локальные формации F конечных групп, для которых спра-ведливо утверждение: в каждой конечной группе множество F-субнормальныхподгрупп образует решетку. Л.А.Шеметков

9-е издание, 1984 г. 41

9.76. Назовем группой Голода r-порожденную, r > 2, подгруппу гр(1 + x1 + I,1+x2+I, . . . , 1+xr+I) присоединенной группы 1+F/I фактор-алгебры F/I, гдеF — свободная алгебра многочленов без свободного члена от неперестановочныхпеременных x1, x2, . . . , xr над полем характеристики p > 0, а I — такой ее идеал,что F/I — ненильпотентная нильалгебра (см. Е. С. Голод, Изв. АН СССР, cер.мат., 28, 1 (1964), 273–276). Доказать, что в группах Голода централизаторлюбого элемента бесконечен.

Заметим, что А. В.Тимофеенко (Мат. заметки, 39, 5 (1986), 647–650) по-строил группы Голода с бесконечным центром; независимо и другим способомтакой же результат получил в середине 90-х г. Л. Гамуди (L.Hammoudi).

В. П.Шунков

9.77. Существует ли бесконечная конечно порожденная финитно аппрокси-мируемая бинарно конечная группа с конечными силовскими подгруппами?А.В. Рожков (докт. дисс., 1997) показал, что такая группа существует, если усло-вие конечности силовских подгрупп ослабить до локальной конечности.

В. П.Шунков

9.78. Существует ли периодическая финитно аппроксимируемая F∗-группа (см.Архив, 7.42) с конечными силовскими подгруппами, не являющаяся бинарно ко-нечной? В. П.Шунков

9.83. Пусть G — (периодическая) p-сопряженно бипримитивно конечная группа(см. 6.59), обладающая конечной силовской p-подгруппой. Можно ли утверждать,что силовские p-подгруппы группы G сопряжены в ней? В. П.Шунков

9.84. а) Всякая ли бинарно конечная 2-группа конечного периода локально ко-нечна?

б) Тот же вопрос для p-групп при p > 2. В.П.Шунков

42


10.2. Смешанным тождеством группы G называется тождество алгебраиче-ской системы, получающейся из группыG добавлением к ее сигнатуре некоторогомножества 0-арных операций. На основе этого понятия можно развивать теориюсмешанных многообразий групп (см., например, В. С.Анашин, Мат. сб., 129, 2(1986), 163–174). Построить пример класса групп, не являющегося смешанныммногообразием, но замкнутого относительно взятия фактор-групп и декартовыхпроизведений и содержащего вместе с каждой своей группой G любую подгруппулюбой декартовой степени группы G, содержащую диагональ этой степени.

В.С.Анашин

10.3. Охарактеризовать (в терминах базисов смешанных тождеств или порож-дающих групп) минимальные смешанные многообразия групп. В.С.Анашин

10.4. Пусть p — простое число. Верно ли, что смешанное многообразие групп, по-рожденное произвольной конечной p-группой достаточно большой ступени ниль-потентности, является многообразием групп? В.С.Анашин

10.5. Построить пример конечной группы, смешанные тождества которой не име-ют конечного базиса. Не является ли таким примером группа, построенная в(R.M. Bryant, Bull. London Math. Soc., 14, 2 (1982), 119–123)? В.С.Анашин

10.8. Существует ли топологическая группа, не вложимая в мультипликативнуюполугруппу топологического кольца? В.И. Арнаутов, А. В. Михалeв

10.10. Верно ли, что квазимногообразие, порожденное конечно порожденной раз-решимой группой без кручения и содержащее неабелеву свободную метабелевугруппу, можно задать в классе групп без кручения независимой системой квази-тождеств? А.И. Будкин

10.11. Верно ли, что всякая конечно определенная группа содержит либо свобод-ную подполугруппу с двумя свободными порождающими, либо нильпотентнуюподгруппу конечного индекса? Р.И. Григорчук

10.12. Существует ли конечно порожденная полугруппа S с сокращением, об-ладающая неэкспоненциальным ростом и такая, что ее группа левых частныхG = S−1S (она существует) является группой экспоненциального роста? Утвер-дительный ответ на этот вопрос дал бы положительное решение проблемы 12 из(S.Wagon, The Banach—Tarski paradox, Cambridge Univ. Press, 1985).


10-е издание, 1986 г. 43

10.13. Существует ли в свободной группе F2 со свободной базой a, b массивноемножество независимых элементов, то есть такое множество E несократимыхслов над алфавитом a, b, a−1, b−1, что

1) никакой элемент w ∈ E не принадлежит нормальному замыканию множе-ства E \ w, и

2) выполняется условие массивности limn→∞

n√|En| = 3, где En — множество

слов длины n из E? Р.И. Григорчук

10.15. Найти точные p-модулярные абсолютно неприводимые линейные пред-ставления минимальной степени для каждой (известной) конечной квазипростойгруппы и каждого простого числа p. А.С. Кондратьев

10.16. Класс групп называется прямым многообразием, если он замкнут относи-тельно взятия подгрупп, фактор-групп и прямых произведений (Ю.М. Горчаков,Группы с конечными классами сопряженных элементов, М., Наука, 1978). Оче-видно, класс FC-групп — прямое многообразие. Ф. Холл (J. London Math. Soc.,34, 3 (1959), 289–304) показал, что класс конечных групп и класс абелевыхгрупп, вместе взятые, не порождают класс FC-групп как прямое многообразие,а в (Л.А. Курдаченко, Укр. мат. ж., 39, 3 (1987), 329–335) показано, что этопрямое многообразие не порождается и классом групп с конечным коммутантом.Порождается ли прямое многообразие FC-групп группами с конечными комму-тантами и FC-группами с квазициклическими коммутантами?


10.17. (М.Томкинсон). Пусть G — FC-группа, коммутант которой вкладывает-ся в прямое произведение конечных групп. Должна ли фактор-группа G/Z(G)вкладываться в прямое произведение конечных групп? Л. А.Курдаченко

10.18. (М.Томкинсон). Пусть G — FC-группа, аппроксимируемая группами сконечными коммутантами. Должна ли фактор-группа G/Z(G) вкладываться впрямое произведение конечных групп? Л. А.Курдаченко

10.19. Охарактеризовать радикальные ассоциативные кольца, для которых мно-жество всех нормальных подгрупп присоединенной группы совпадает с множе-ством всех идеалов ассоциированного кольца Ли. В.М.Левчук

10.20. В группе Шевалле ранга 6 6 над конечным полем порядка 6 9 описатьподгруппы вида H = ⟨H ∩ U, H ∩ V ⟩, не лежащие в собственных параболическихподгруппах, где U, V — противоположные унипотентные подгруппы.

В.М.Левчук

10.23. Верно ли, что извлечение корней в группе кос однозначно с точностью досопряженности? Г.С. Маканин

10.25. (Известный вопрос). Существует ли алгоритм, который по всякому авто-морфизму свободной группы распознает, имеет ли этот автоморфизм неподвиж-ную точку? Г.С. Маканин

44 10-е издание, 1986 г.

10.26. а) Существует ли алгоритм, который по элементам a, b и автоморфизму φсвободной группы распознает разрешимость в этой группе уравнения axφ = xb?Вопрос представляется полезным для решения проблемы эквивалентности двухузлов.

б) Более общо: существует ли алгоритм, распознающий разрешимость в сво-бодной группе уравнений вида w(xφ1

i1, . . . , xφn

in) = 1, где φ1, . . . , φn — автоморфиз-

мы этой группы? Г.С. Маканин

10.27. а) Пусть t — инволюция конечной группы G и множество D = tG ∪ txty |x, y ∈ G, |txty| = 2 не пересекается с O2(G). Доказать, что если t ∈ O2(C(d))для любой инволюции d из CD(t), то D = tG (в этом случае строение группы ⟨D⟩известно).

б) Значительно более общий вопрос. Пусть t — инволюция конечной группыG и t ∈ Z∗(N(X)) для любой неединичной подгруппы X нечетного порядка,нормализуемой, но не централизуемой инволюцией t. Какова группа

⟨tG

⟩?

А.А. Махнев

10.28. Верно ли, что конечные сильно регулярные графы с λ = 1 имеют ранг 3?

А.А. Махнев

10.29. Описать конечные группы, содержащие такое множество инволюций D,что для всякого его подмножестваD0, порождающего 2-подгруппу, нормализаторND(D0) также порождает 2-подгруппу. А.А. Махнев

10.31. ПустьG— алгебраическая группа,H — ее замкнутая нормальная подгруп-па, f : G→ G/H — канонический гомоморфизм. При каких условиях существуетрациональное сечение s : G/H → G, такое, что sf = 1? Частичные результатысм. в (Ю. И.Мерзляков, Рациональные группы, М., Наука, 1987, § 37).


10.32. Теоретико-групповое слово называется универсальным на группе G, еслиего значения на G пробегают всю G. Для произвольной константы c > 8/5 в(J. L. Brenner, R. J. Evans, D. M. Silberger, Proc. Amer. Math. Soc., 96, 1 (1986),23–28) доказано существование такого числа N0 = N0(c), что слово xrys, rs = 0,универсально на знакопеременной группе An при любом n > max N0, c ·log m(r, s), где m(r, s) — произведение всех простых чисел, делящих rs, еслиr, s ∈ −1, 1, и m(r, s) = 1, если r, s ∈ −1, 1; более конкретно, можно взятьN0(5/2) = 5 и N0(2) = 29. Найти аналогичную границу для степени симметриче-ской группы Sn при условии, что хотя бы одно из чисел r, s нечетно, — пока здесьизвестна лишь более грубая граница n > max 6, 4m(r, s)−4 (см. M.Droste, Proc.Amer. Math. Soc., 96, 1 (1986), 18–22). Ю. И.Мерзляков

10.34. Существует ли неразрешимая конечная группа, совпадающая с произве-дением любых двух своих несопряженных максимальных подгрупп?

В.С.Монахов

10.35. Верно ли, что всякая конечно порожденная подгруппа без кручения груп-пы GLn(C) аппроксимируется подгруппами без кручения группы GLn(Q)?

Г.А. Носков

10-е издание, 1986 г. 45

10.36. Верно ли, что группа SLn(Z[x1, . . . , xr]) при достаточно больших n имееттип (FP )m (определяемый как (FP )∞ в вопросе 6.3, но с тем ослаблением, чтодля членов резольвенты с номерами > m конечная порожденность не требуется)?Известен утвердительный ответ при m = 0, n > 3 (А.А. Суслин, Изв. АН СССР,сер. мат., 41, 2 (1977), 235–252) и при m = 1, n > 5 (М.С. Туленбаев, Мат.сб., 117, 1 (1982), 131–144; U.Rehmann, C. Soule, in: Algebraic K-theory, Proc.Conf., Northwestern Univ., Evanston, Ill., 1976, (Lect. Notes Math., 551), Springer,Berlin, 1976, 164–169). Г.А. Носков

10.38. (В. ван дер Каллен). Имеет ли группа En+3(Z[x1, . . . , xn]), n > 1, конечнуюширину относительно множества трансвекций? Г.А. Носков

10.39. а) Разрешима ли проблема вхождения в подгруппу En(R) группы SLn(R),где R — коммутативное кольцо?

б) Разрешима ли проблема равенства в группах Ki(R), где Ki — квилленов-ские K-функторы, R — коммутативное кольцо? Г.А. Носков

10.40. (Х.Басс). Пусть G — группа, e — идемпотентная матрица над ZG и tr e =∑g∈G egg, eg ∈ Z. Сильная гипотеза: для всякого неединичного элемента x ∈ G

имеет место равенство∑

g∼x eg = 0, где ∼ обозначает сопряженность в G. Слабаягипотеза:

∑g∈G eg = 0. Сильная гипотеза доказана для конечных, абелевых,

линейных, а слабая — для финитно аппроксимируемых групп.Прим. Х.Басса 2005: Достигнут значительный прогресс; хороший обзор име-

ется в (A. J. Berrick, I. Chatterji, G. Mislin, Math. Ann., 329 (2004), 597–621).

Г.А. Носков

10.42. (Дж.Стаффорд). Пусть G — поли-Z-группа, k — поле. Верно ли, что вся-кий конечно порожденный проективный kG-модуль либо свободен, либо являетсяидеалом? Г.А. Носков

10.43. Пусть R,S — ассоциативные кольца с единицей, причем элемент 2 об-ратим в S, ΛI : GLn(R) → GLn(R/I) — гомоморфизм, соответствующий иде-алу I кольца R, En(R) — подгруппа, порожденная в GLn(R) элементарнымитрансвекциями tij(x) и aij = tij(1)tji(−1)tij(1). Пусть черта обозначает фак-торизацию группы GLn(R) по ее центру и PG = G, если G 6 GLn(R). Го-моморфизм Λ : En(R) → GL(W ) = GLm(S) называется стандартным, ес-ли Sm = P ⊕ · · · ⊕ P ⊕ Q (прямая сумма S-модулей, в которой число сла-гаемых P равно n) и Λx = g−1τ(δ∗(x)f + (tδ∗(x)ν)−1(1 − f))g, x ∈ En(R),где δ∗ : GLn(R) → GLn(EndP ) — гомоморфизм, индуцированный кольцевымгомоморфизмом δ : R → EndP , посылающим единицу в единицу, g — изо-морфизм модуля W на Sm, τ : GLn(EndP ) → GL(gW ) — вложение, f —центральный идемпотент кольца δR, t — транспонирование, ν — антиизомор-физм кольца δR. Пусть n > 3, m > 2. Можно показать, что гомоморфизмΛ0 : PEn(R) → GL(W ) = GLm(S) индуцируется стандартным гомоморфизмомΛ, если Λ0aij = g−1τ(a∗ij)g при подходящих g, τ и любых i = j, где a∗ij обо-значает матрицу, получаемую из aij заменой элементов 0, 1 кольца R на 0, 1кольца EndP . Указать (хотя бы в частных случаях) вид гомоморфизма Λ0, неудовлетворяющего последнему условию. В.М. Петечук

46 10-е издание, 1986 г.

10.44. Доказать, что всякий стандартный изоморфизм Λ группы En(R) ⊂GLn(R) = GL(V ) в группу Em(S) ⊂ GLm(S) = GL(W ) происходит из колли-неации и корреляции, то есть имеет вид Λx = (g−1xg)f + (h−1xh)(1 − f), гдеg — полулинейный изоморфизм VR → WS (коллинеация), h — полулинейныйизоморфизм VR →S W

′S0 (корреляция). В.М. Петечук

10.45. Пусть n > 3, N — подгруппа группы GLn(R), нормализуемая подгруп-пой En(R). Доказать, что либо N содержит En(R), либо ΛI [N,En(R)] = 1 дляподходящего идеала I = R кольца R. В.М. Петечук

10.46. Доказать, что для всякого элемента σ группы GLn(R), n > 3, найдутсятакие трансвекции τ1, τ2, что элемент [[σ, τ1], τ2] унипотентен. В.М. Петечук

10.47. Описать автоморфизмы группы PE2(R) в случае, когда кольцо R комму-тативно и элементы 2 и 3 обратимы в нем. В.М. Петечук

10.49. Существует ли группа G, удовлетворяющая следующим четырем усло-виям: 1) G проста, более того, существует такое целое число n, что G = Cn

для любого класса сопряженности C; 2) все максимальные абелевы подгруппыгруппы G сопряжены в G; 3) любая максимальная абелева подгруппа из G само-нормализуема и совпадает с централизатором в G любого своего неединичногоэлемента; 4) существует такое целое число m, что для любой максимальной абе-левой подгруппы H из G и любого элемента a ∈ G \ H каждый элемент из Gравен произведению m элементов из aH?

Прим. 2005 г.: Частичное решение получено в (E. Jaligot, A. Ould Houcine,J. Algebra, 280 (2004), 772–796). Б.Пуаза (B. Poizat)

10.50. Будем называть индуцированными циклическими характерами конечнойгруппы G комплексные характеры группы G, индуцированные линейными ха-рактерами циклических подгрупп группы G. Мои вычисления на ЭВМ показа-ли (10-й Всесоюз. симп. по теории групп, Гомель, 1986, 199), что существуютгруппы (например, S5, SL2(13), M11), для которых неприводимые комплексныехарактеры являются целочисленными линейными комбинациями индуцирован-ных циклических характеров и главного характера группы. Описать конечныегруппы, характеры которых обладают этим свойством. А. В.Руколайне

10.51. Описать строение тонких абелевых p-групп. В классе сепарабельных p-групп такое описание известно (C.Megibben, Mich. Math. J., 13, 2 (1966), 153–160). С.В. Рычков

10.52. (Р.Майнз). Хорошо известно, что топология пополнения абелевой груп-пы относительно p-адической топологии является p-адической топологией.Р.Уорфилд показал, что это верно и в категории нильпотентных групп. Найтикатегорное обобщение этой теоремы, которое включало бы случай нильпотент-ных групп. С.В. Рычков

10.53. (М.Дугас). Пусть R — класс Рейда, то есть наименьший класс, содержа-щий Z и замкнутый относительно прямых сумм и прямых произведений. Замкнутли R относительно прямых слагаемых? С.В. Рычков

10-е издание, 1986 г. 47

10.54. (Р. Гeбель). Для кардинального числа µ положим

Z<µ = f ∈ Zµ | |supp (f)| < µ и Gµ = Zµ/Z<µ.

а) Найти такое ненулевое прямое слагаемое D группы Gω1 , что D ∼= Gω1 .б) Исследовать строение Gµ (строение Gω0 хорошо известно). С.В. Рычков

10.55. (А.Мадер). «Стандартная группа B», т. е. B = Z(p)⊕Z(p2)⊕· · · , узка надсвоим кольцом эндоморфизмов (A.Mader, in: Proc. Abelian Groups and Modules,Udine–1984, Springer, 1984, 315–327). Какие абелевы p-группы узки над своимикольцами эндоморфизмов? С.В. Рычков

10.57. Каковы минимальные не A-формации? По определению, A-формация —это формация конечных групп с абелевыми силовскими подгруппами.

А.Н. Скиба

10.58. Свободна ли подполугруппа полугруппы формаций конечных групп, по-рожденная неразложимыми формациями? А.Н. Скиба

10.59. Будет ли локально нильпотентной p′-группа G, допускающая рас-щепляющий автоморфизм φ простого порядка p, если все подгруппы вида⟨g, gφ, . . . , gφp−1⟩ нильпотентны? Автоморфизм φ порядка p называется расщеп-ляющим, если ggφgφ

2 · · · gφp−1

= 1 для всех g ∈ G. А.И.Созутов

10.60. Всякая ли периодическая (примарная) группа регулярных автоморфизмовабелевой группы обладает нетривиальным центром?

Прим. ред. 2001 г.: ответ положительный, если A содержит элемент порядка2 или 3 (А. Х. Журтов, Сиб. мат. ж., 41, 2 (2000), 329–338). А.И.Созутов

10.61. Пусть G — группа, H — ее собственная подгруппа, a ∈ H, a2 = 1 и для вся-кого g ∈ G\H подгруппа ⟨a, ag⟩ является фробениусовой группой с дополнением,содержащим a. Будет ли подгруппой объединение всех ядер фробениусовых под-групп группы G с дополнением ⟨a⟩? Особенно интересен случай, когда элементa с любым своим сопряженным порождают конечную подгруппу. Определениясм. в 6.55; см. также (А. И. Созутов, Алгебра и логика, 34, 5 (1995), 531–549).

Прим. ред. 2005 г.: Ответ положителен, если порядок a четен (А.М. Попов,А.И. Созутов, Алгебра и логика, 44, 1 (2005), 70–80) или если порядок a не 3 ине 5 и группа ⟨a, ag⟩ конечна для любого g ∈ H (А.М. Попов, Алгебра и логика,43, 2 (2004), 220–228). А. И.Созутов

10.62. Построить пример (периодической) группы без подгрупп индекса 2, по-рожденной таким классом X сопряженных инволюций, что порядок произведе-ния любых двух инволюций из X нечетен. А. И.Созутов

10.64. Существует ли непериодическая дважды транзитивная группа подстано-вок с периодическим стабилизатором точки? Я.П. Сысак

48 10-е издание, 1986 г.

10.65. Выяснить строение бесконечных 2-транзитивных групп подстановок(G,Ω), в которых стабилизатор точки α ∈ Ω имеет вид Gα = A ·Gαβ , где Gαβ —стабилизатор двух точек α, β, α = β, причем Gαβ содержит элемент, инвертиру-ющий подгруппу A. Пусть, в частности, разность A \ 1 содержит не более двухклассов сопряженных в Gα элементов; есть ли тогда у G нормальная подгруппа,изоморфная группе PSL2 над некоторым полем? А.Н.Фомин

10.67. Класс LNMp локально нильпотентных групп, допускающих расщепляю-щий автоморфизм простого порядка p (см. определение в 10.59), является много-образием групп с операторами (Е.И. Хухро, Мат. сб., 130, 1 (1986), 120–127).Верно ли, что LNMp = (Nc(p) ∩ LNMp) ∨ (Bp ∩ LNMp), где Nc(p) — много-образие нильпотентных групп некоторой p-ограниченной ступени c(p), а Bp —многообразие всех групп периода p? Е.И. Хухро

10.70. Найти геометрическое обоснование метода Уайтхеда для свободных произ-ведений, похожее на обоснование, данное в случае свободных групп самим Уайт-хедом, и более наглядное, чем обоснование данное в (D. J. Collins, H. Zieschang,Math. Z., 185, 4 (1984), 487–504; 186, 3 (1984), 335–361).

Прим. Д.Коллинза: имеется частичное решение в (D.McCullough, A. Miller,Symmetric automorphisms of free products, Mem. Amer. Math. Soc. 582 (1996)).

Х.Цишанг (H. Zieschang)

10.71. Верно ли, что централизатор любого автоморфизма (любого конечногонабора автоморфизмов) в группе автоморфизмов свободной группы конечнойстепени является конечно определенной группой? В случае степени 2, а также длявнутренних автоморфизмов в случае произвольной конечной степени свободы этоверно. В.А.Чуркин

10.73. Перечислить формации конечных групп, у которых все подформации Sn-замкнуты. Л.А.Шеметков

10.74. Пусть группа G содержит элемент a простого порядка с конечным цен-трализатором CG(a), причем все подгруппы вида ⟨a, ag⟩, g ∈ G, конечны и почтивсе из них разрешимы. Будет ли группа G локально конечной? Этот вопрос тесносвязан с проблемой 6.56. В ряде весьма важных частных случаев вопрос решенположительно автором (Междун. алгебр. конф., Тезисы докл. по теории групп,Новосибирск, 1989, с. 145). В. П.Шунков

10.75. Пусть группа G содержит такой элемент a простого порядка p, что лю-бая содержащая его конечная подгруппа обладает нормализатором с конечнойпериодической частью, а все подгруппы вида ⟨a, ag⟩, g ∈ G, конечны и почтивсе из них разрешимы. Обладает ли группа G при p > 2 периодической частью?Доказано (В.П. Шунков, Группы с инволюциями, препринты 4, 5, 12 ВЦ СОАН СССР, Красноярск, 1986), что если a — точка, то ответ утвердительный; сдругой стороны, там же указана группа G с точкой a порядка 2, удовлетворя-ющая сформулированным выше условиям и не обладающая периодической ча-стью. Определение точки группы см. в (В. И.Сенашов, В.П. Шунков, Алгебра илогика, 22, 1 (1983), 93–112). В. П.Шунков

10-е издание, 1986 г. 49

10.77. Пусть G— периодическая группа, содержащая элементарную абелеву под-группу R порядка 4. Должна ли группа G быть локально конечной,

а) если централизатор CG(R) конечен?б) если централизатор любой инволюции из R в G — черниковская группа?Прим. 1999 г.: П.В.Шумяцким (Quart. J. Math. Oxford (2), 49, 196 (1998),

491–499) получен положительный ответ на вопрос а) в случае, когда группа Gфинитно аппроксимируема. В. П.Шунков

10.78. Существует ли нечерниковская группа, разлагающаяся в произведениедвух черниковских подгрупп? В. П.Шунков

50


11.1. (Известная задача). Описать строение централизаторов унипотентных эле-ментов в почти простых группах лиева типа. Р.Ж.Алеев

11.2. Классифицировать простые группы, изоморфные мультипликативнымгруппам конечных колец, в частности, групповых колец конечных групп надконечными полями и кольцами вычетов по модулю целого числа. Р.Ж.Алеев

11.3. (М. Ашбахер). Суперлокалом в группе G называется такая p-локальнаяподгруппа H, что H = NG(Op(H)). Описать суперлокалы в знакопеременныхгруппах и группах лиева типа. Р.Ж.Алеев

11.5. Пусть k — коммутативное кольцо и G — почти полициклическая группа безкручения. Предположим, что P — конечно порожденный проективный модульнад групповым кольцом kG, содержащий два элемента, независимых над kG.Будет ли модуль P свободным? В.А. Артамонов

∗11.6. Пусть p — нечетное простое число. Верно ли, что каждая ли конечнаяp-группа обладает системой порождающих, состоящей из элементов одного по-рядка? Ч.Багински (C.Baginski)∗Нет, не верно (E.A. O’Brien, C. M. Scoppola, M.R. Vaughan-Lee, Proc. Amer.

Math. Soc., 134, no. 12 (2006), 3457–3464).

11.7. а) Найти условия на группу G, заданную порождающими и определяющи-ми соотношениями, при которых свойство (∗) некоторый член нижнего цен-трального ряда G — свободная группа влечет финитную аппроксимируемостьгруппы G.

б) Найти условия на строение финитно аппроксимируемой группы G, которыеобеспечивают свойство (∗) для G. К.Бенчат (K.Bencsath)

11.8. Для конечной группы X обозначим через χ1(X) совокупность степенейнеприводимых комплексных характеров группы X с учетом кратностей. Пустьдля групп G и H имеет место равенство χ1(G) = χ1(H). При этом, очевидно,|G| = |H|. Известно также, что H — группа Фробениуса, если G — группа Фро-бениуса. Верно ли, что

а) группа H проста, если G проста?б) группа H разрешима, если G разрешима? Я.Г.Беркович

11.9. (И.И. Пятецкий-Шапиро). Существует ли конечная неразрешимая груп-па G, для которой совокупность характеров, индуцированных тривиальными ха-рактерами представителей всех классов сопряженных подгрупп группы G, ли-нейно независима? Я.Г.Беркович

11-е издание, 1990 г. 51

11.10. (Р.Линдон). а) Существует ли алгоритм, который по данному группо-вому слову w(a, x) проверяет равенство единице элемента a в группе ⟨a, x |an = 1, w(a, x) = 1⟩? В. В.Блудов

11.11. а) Известная теорема Бэра–Сузуки для конечных групп утверждает, чтоэлемент a группы G, порождающий вместе с каждым своим сопряженным эле-ментом конечную p-группу, лежит в нормальной p-подгруппе. Верна ли эта тео-рема в классе периодических групп?

Особенно интересен случай p = 2. А.В. Боровик

11.12. а) Пусть G— простая локально конечная группа, в которой централизаторнекоторого элемента — линейная группа, то есть группа, допускающая точноепредставление матрицами над полем. Является ли вся G линейной группой?

б) Тот же вопрос с заменой слова «линейная» на «финитарно линейная».Группа H финитарно линейна, если она допускает точное представление на бес-конечномерном векторном пространстве V , для которого вычетные подпростран-ства V (1− h) конечномерны для всех h ∈ H. А.В. Боровик

11.13. Пусть G — периодическая группа, обладающая такой инволюцией i, чтодля любого элемента g ∈ G произведение ig · i имеет нечетный порядок. Верноли что образ i при естественном гомоморфизме группы G на фактор-группу поO(G) содержится в центре этой фактор-группы? А.В. Боровик

11.14. Каждая ли конечная простая группа определяется своей матрицей Кар-тана над алгебраически замкнутым полем характеристики 2? Известно, что длякаждой конечной группы существует только конечное число конечных групп стой же матрицей Картана (R. Brandl, Arch. Math., 38 (1982), 322–323).

Р.Брандл (R. Brandl)

11.15. Известно, что для каждого простого числа p существует такая последо-вательность a1, a2, . . . слов от двух переменных, что конечная группа G тогда итолько тогда имеет абелеву силовскую p-подгруппу, когда ak(G) = 1 почти длявсех k. Для p = 2 такую последовательность можно указать явно (R. Brandl,J. Austral. Math. Soc., 31 (1981), 464–469). A для p > 2? Р.Брандл (R. Brandl)

11.16. Пусть Vr — класс всех конечных групп G с тождественным соотношением[x, ry] = [x, sy] для некоторого s = s(G) > r. Здесь [x, 1y] = [x, y] и [x, i+1y] =[[x, iy], y].

а) Существует ли такая функция f , что каждая разрешимая группа из Vrимеет нильпотентную длину < f(r)? Случай r < 3 см. в (R. Brandl, Bull. Austral.Math. Soc., 28 (1983), 101–110).

б) Верно ли, что Vr содержит только конечное число неабелевых простыхгрупп? Это верно для r < 4. Р.Брандл (R. Brandl)

52 11-е издание, 1990 г.

11.17. Пусть G — конечная группа и пусть d = d(G) — наименьшее положитель-ное целое число, для которого в G выполняется тождество [x, ry] = [x, r+dy] принекотором неотрицательном целом r = r(G).

а) Пусть e = 1, если d(G) четно, и e = 2 в противном случае. Верно ли, чтопериод группы G/F (G) делит e · d(G)?

б) Если G — неабелева простая группа, то верно ли, что период группы Gделит d(G)?

Пункт а) верен для разрешимых групп (N. D. Gupta, H.Heineken, Math. Z., 95(1967), 276–287). Я проверил пункт б) для PSL(2, q), An и некоторых спорадиче-ских групп. Р.Брандл (R. Brandl)

11.18. Пусть G(a, b) = ⟨x, y | x = [x, ay], y = [y, bx]⟩. Конечна ли группа G(a, b)?Легко показать, что G(1, b) = 1, и можно показать, что G(2, 2) = 1. Ничего

не известно про G(2, 3). Если бы можно было показать, что каждая минималь-ная простая группа изоморфна фактор-группе некоторой G(a, b), то это давалобы очень красивую последовательность слов от двух переменных для характе-ризации разрешимых групп; см. (R. Brandl, J. S. Wilson, J. Algebra, 116 (1988),334–341.) Р.Брандл (R. Brandl)

11.19. (Ч. Симз). Является ли n-й член нижнего центрального ряда абсолютносвободной группы нормальным замыканием множества базисных коммутатороввеса n (в некоторой фиксированной системе свободных образующих)?

Прим. 2001 г.: Д.Джексон анонсировал доказательство того, что ответ поло-жительный для n 6 5. А. Гаглион (A.M. Gaglione), Д. Спеллман (D. Spellman)

11.22. Охарактеризовать все p-группы (p — простое число), которые можно точ-но представить треугольными (n× n)-матрицами над телом характеристики p.

При p > n решение содержится в (B.A. F. Wehrfritz, Bull. London Math. Soc.,19 (1987), 320–324). Соответствующий вопрос для p = 0 решен в (B. Hartley,P.Menal, Bull. London Math. Soc., 15 (1983), 378–383); см. также другое доказа-тельство в предыдущей ссылке. Б. Верфриц (B.A. F. Wehrfritz)

11.23. Автоморфизм φ группы G называется ниль-автоморфизмом, если длялюбого элемента a из G найдется натуральное число n, для которого [a, nφ] = 1.Здесь [x, 1y] = [x, y] и [x, i+1y] = [[x, iy], y]. Автоморфизм φ называется e-авто-морфизмом, если для любых двух φ-инвариантных подгрупп A и B, для которыхA ⊆ B, существует такой элемент a из A\B, что [a, φ] ∈ B. Является ли каждыйe-автоморфизм группы ее ниль-автоморфизмом? В.Г.Виляцер

11.25. б) Существуют ли локальные классы Фиттинга, которые разложимы внетривиальное произведение классов Фиттинга, причем в каждом таком разло-жении все сомножители нелокальны?

Определение произведения классов Фиттинга см. в (Н. Т.Воробьев, Мат. за-метки, 43, 2 (1988), 161–168). Н.Т.Воробьев

11-е издание, 1990 г. 53

11.28. Предположим, что граф простых чисел конечной группы G несвязен (этоозначает, что множество простых делителей порядка G можно разбить на дватаких непустых множества π и π′, что G не содержит элементов порядка pq,где p ∈ π, q ∈ π′). П.Линнел (P.A. Linnell, Proc. London Math. Soc., 47, 1(1983), 83–127) доказал, что тогда существует разложение ZG-модуля Z⊕ ZG =A ⊕ B с непроективными A и B. Его доказательство зависит от CFSG. Найтидоказательство, не зависящее от CFSG. К.Грюнберг (K. Gruenberg)

11.29. Пусть F — свободная группа и f = ZF (F − 1) — разностный идеал це-лочисленного группового кольца ZF . Для любой нормальной подгруппы R из Fопределим соответствующий идеал r = ZF (R − 1) = id(r − 1 | r ∈ R). Можноидентифицировать, например, F ∩ (1+ rf) с R′, где F естественным образом вло-жена в ZF и 1+ rf = 1+ a | a ∈ rf. Идентифицировать аналогичным образом втерминах соответствующей подгруппы из F

а) F ∩ (1+ r1r2 · · · rn), где Ri — нормальные подгруппы в F для i = 1, 2, . . . , n;б) F ∩ (1 + r1r2r3);в) F ∩ (1 + fs+ fn), где F/S конечно порождена и нильпотентна;г) F ∩ (1 + fsf+ fn);д) F ∩ (1 + r(k) + fn), n > k > 2, где r(k) = rfk−1 + frfk−2 + · · ·+ fk−1r.

Н. Гупта (N. D.Gupta)

11.30. Верно ли, что ранг разрешимой группы без кручения равен рангу любойее подгруппы конечного индекса? Ответ утвердительный для групп, обладающихрациональным рядом (Д.И. Зайцев, в кн. Группы с ограничениями для подгрупп,Наукова думка, Киев, 1971, 115–130). Отметим также, что разрешимая группабез кручения и конечного ранга содержит подгруппу конечного индекса, облада-ющую рациональным рядом. Д.И. Зайцев

11.31. Будет ли полициклической радикальная группа, разложимая в произведе-ние двух полициклических подгрупп? Для разрешимых и гиперабелевых группответ утвердительный (Д.И. Зайцев, Мат. заметки, 29, 4 (1981), 481–490;J. C. Lennox, J. E. Roseblade, Math. Z., 170 (1980), 153–154). Д.И. Зайцев

11.32. Описать примитивные конечные линейные группы, содержащие матрицус простым спектром, то есть матрицу, все характеристические корни которой —кратности 1. Частичные результаты см. в (A. Zalesskii, I. D. Suprunenko, Commun.Algebra, 26, 3 (1998), 863–888, 28, 4 (2000), 1789–1833; Ch.Rudloff, A. Zalesski,J. Group Theory, 10 (2007), 585–612). А.Е. Залесский

11.33. б) Пусть G(q) — простая группа Шевалле над полем из q элементов. До-казать существование такого числа m, что ограничение на G(q) каждого неод-номерного представления группы G(qm) над полем простой характеристики, неделящей q, содержит в качестве композиционных факторов все неприводимыепредставления группы G(q). А.Е. Залесский

54 11-е издание, 1990 г.

11.34. Описать комплексные представления квазипростых конечных групп, ко-торые остаются неприводимыми после редукции по модулю любого простого чис-ла q. Важный пример — представления степени (pk−1)/2 симплектической груп-пы Sp(2k, p), где k ∈ N, p — нечетное простое число. Частичные результаты см.в (P.H. Tiep, A. E. Zalesski, Proc. London Math. Soc., 84 (2002), 439–472).

А.Е. Залесский

11.36. Пусть G = B(m,n) — свободная бернсайдова группа нечетного периодаn≫ 1 и ранга m. Верны ли следующие утверждения?

а) Всякая 2-порожденная подгруппа группы G изоморфна бернсайдову n-произведению двух циклических групп.

б) Любой автоморфизм φ группы G, для которого φn = 1 и bφ · bφ2 · · · bφn

= 1при всяком b из G, является внутренним (здесь m > 1).

в) Группа G хопфова при m <∞.г) Все ретракты группы G свободны.д) Делители нуля в групповом кольце ZG тривиальны, т. е. если ab = 0, то a

справа, а b слева делятся соответственно на c, d ∈ ZG, причем cd = 0 и множествоsupp c ∪ supp d содержится в некоторой циклической подгруппе группы G.

С.В. Иванов

11.37. а) Можно ли группу B(m,n) при любых n и m задать такими определя-ющими соотношениями вида vn = 1, что для любого натурального делителя dчисла n, отличного от n, элемент vd не равен 1 в B(m,n)? При нечетных n > 665и для всех n > 248, делящихся на 29, это так. С.В. Иванов

11.38. Существует ли конечно определенная нетерова группа, отличная от почтиполициклической? С.В. Иванов

11.39. (Известный вопрос). Существует ли группа, не являющаяся почти поли-циклической, целочисленное групповое кольцо которой нетерово? С.В. Иванов

11.40. Доказать или опровергнуть, что группа G без кручения и с условиеммалого сокращения C ′(λ), где λ≪ 1, обладает U P -свойством (и потому KG безделителей нуля). С.В. Иванов

∗11.42. Существуют ли группы без кручения, имеющие ровно три класса сопря-женных элементов и содержащие подгруппу индекса 2? А. В.Изосов∗Да, существуют (A. Minasyan, Comment. Math. Helv., 84 (2009), 259–296).

11.44. Для конечной группы X обозначим через r(X) ее секционный ранг. Верноли, что секционный ранг конечной p-группы, представимой в виде произведенияAB своих подгрупп A и B, ограничен некоторой линейной функцией от r(A) иr(B)? Л. С.Казарин

11.45. По определению, t-(v, k, λ)-схема D = (X,B) состоит из множества X,содержащего v точек, и множества B k-элементных подмножеств X, называе-мых блоками, для которых каждое t-элементное подмножество X содержится в λблоках. Доказать, что не существует нетривиальных блок-транзитивных 6-схем.Нами показано, что не существует нетривиальных блок-транзитивных 8-схем, и

11-е издание, 1990 г. 55

заведомо существуют некоторые нетривиальные блок-транзитивные (даже флаг-транзитивные) 5-схемы.

Прим. 2009 г.: Мы показали (Finite Geometry and Combinatorics (Deinze 1992),Cambridge Univ. Press, 1993, 103–119), что блок-транзитивная группа G на нетри-виальной 6-схеме либо является аффинной группой AGL(d, 2), либо лежит междуPSL(2, q) и PΓL(2, q); в (M.Huber, J. Combin. Theory Ser. A (2009)) показано,что в случае λ = 1 группой G может быть только PΓL(2, pe), где p = 2 или 3, а e— нечетное простое число. П. Камерон (P. J. Cameron), Ч. Прэгер (C. E. Praeger)

11.46. а) Существует ли конечная 3-группа G ступени нильпотентности 3, длякоторой [a, aφ] = 1 для всех a ∈ G и всех эндоморфизмов φ группы G? (См.A.Caranti, J. Algebra, 97, 1 (1985), 1–13).

в) Существует ли конечная 2-энгелева p-группа G, ступень нильпотентностикоторой больше чем 2 и для которой AutG = AutcG · InnG, где AutcG — группацентральных автоморфизмов группы G? А.Каранти (A.Caranti)

11.48. Является ли коммутатор [x, y, y, y, y, y, y] в свободной группе ⟨x, y⟩ про-изведением пятых степеней? Если нет, то бернсайдова группа B(2, 5) бесконечна.

А.И. Кострикин

11.49. Б.Хартли (B. Hartley, Proc. London Math. Soc., 35, 1 (1977), 55–75) по-строил пример несчетного артинова ZG-модуля, где G — метабелева группа сусловием минимальности для нормальных подгрупп. Отсюда вытекает суще-ствование несчетной разрешимой (ступени разрешимости 3) группы с условиемMin-n. В связи с этим результатом и изучением некоторых классов разрешимыхгрупп со слабым условием минимальности для нормальных подгрупп возникаетследующий вопрос. Будет ли счетным артинов ZG-модуль в случае, если G —разрешимая группа конечного ранга (в частности, минимаксная группа)?


11.50. Пусть A,C — абелевы группы. Если A[n] = 0, т. е. для a ∈ A равенствоna = 0 влечет a = 0, то последовательность

Hom(C,A)

nHom(C,A) Hom

(C

nC,A

nA

) Ext (C,A)[n]

точна. Для данного f ∈ Hom(C, A

nA

)= Hom

(CnC ,

AnA

)соответствующее расши-

рение Xf задается диаграммой

A Xf C↓ ↓ ↓

A A A

nA

.

Применить эту схему для классификации конкретных расширений A посред-ством C. Интересным является случай nC = 0, A — группа без кручения. ЗдесьExt(C,A)[n] = Ext(C,A). (См. E. L. Lady, A. Mader, J. Algebra, 140 (1991), 36–64.)

А.Мадер (A. Mader)

56 11-е издание, 1990 г.

11.51. Существуют ли (большие, нетривиальные) классы X абелевых групп безкручения, для которых при A,C ∈ X группа Ext (C,A) не имеет кручения? Мож-но показать, что две группы из такого класса почти изоморфны в точности тогда,когда их p-ранги равны для любого p (E. L. Lady, A.Mader, J.Algebra, 140 (1991),36–64). А.Мадер (A. Mader)

11.52. (Известный вопрос). Группа подстановок множества Ω называется точ-но дважды транзитивной, если для любых двух пар (α, β) и (γ, δ) элементовмножества Ω, таких что α = β и γ = δ, существует ровно один элемент груп-пы, переводящий α в γ, а β в δ. Всякая ли точно дважды транзитивная группаобладает нетривиальной абелевой нормальной подгруппой? Для конечных группутвердительный ответ хорошо известен. В.Д. Мазуров

11.56. а) Всякая ли бесконечная финитно аппроксимируемая группа содержитбесконечную абелеву подгруппу? Этот вопрос эквивалентен следующему: вся-кая ли бесконечная финитно аппроксимируемая группа содержит неединичныйэлемент с бесконечным централизатором?

По знаменитой теореме Шункова периодическая группа с инволюцией, имею-щей конечный централизатор, почти разрешима. Поэтому можно предполагать,что в нашей группе порядок каждого элемента нечетен. Возможно, стоит начатьс ответа на вопрос

б) Всякая ли бесконечная группа, аппроксимируемая конечными p-группами,содержит бесконечную абелеву подгруппу? А.Манн (A. Mann)

11.58. Описать конечные группы, содержащие такую плотно вложенную под-группу H, что силовская 2-подгруппа в H — прямое произведение группы ква-тернионов порядка 8 и неединичной элементарной группы. А.А. Махнев

11.59. TI-подгруппу A группы G назовем подгруппой корневого типа, еслинетривиальность подгруппы NA(A

g) влечет поэлементную перестановочностьподгрупп A и Ag. Описать конечные группы, в которых циклическая подгруппаA порядка 4 является подгруппой корневого типа. А.А. Махнев

11.60. Верно ли, что гипотетический граф Мура с 3250 вершинами валентности57 не имеет инволютивных автоморфизмов? Известно, что этот граф не являетсяграфом ранга 3 (M. Aschbacher, J. Algebra, 19, 4 (1971), 538–540).

А.А. Махнев

11.61. Пусть F — неабелева свободная про-p-группа. Верно ли, что подмножествоr ∈ F | cd (F/(r)) 6 2 плотно в F? Здесь (r) означает порожденную элементомr замкнутую нормальную подгруппу группы F . О.В. Мельников

11.62. Описать группы, над которыми разрешимо любое уравнение. Верно ли, вчастности, что этот класс групп совпадает с классом групп без кручения? Нетруд-но показать, что группа, над которой разрешимо любое уравнение, не имеет кру-чения. С другой стороны, С.Д.Бродский (Сиб. мат. ж., 25, 2 (1984), 84–103)показал, что над локально индикабельной группой любое уравнение разрешимо.

Д.И. Молдаванский

11-е издание, 1990 г. 57

11.63. Пусть G — группа с одним определяющим соотношением, содержащаянетривиальные элементы конечного порядка, а N — ее подгруппа, порожденнаявсеми элементами конечного порядка. Верно ли, что каждая подгруппа груп-пы G, тривиально пересекающаяся с N , является свободной группой? Можнопоказать, что ответ положителен в тех случаях, когда фактор-группа G/N име-ет нетривиальный центр или удовлетворяет нетривиальному тождеству.

Д.И. Молдаванский

11.65. Гипотеза: конечно порожденная разрешимая про-p-группа без крученияс разрешимой элементарной теорией является аналитической про-p-группой.

А.Г.Мясников, В.Н. Ремесленников

11.66. (Ю.Л. Ершов). Разрешима ли элементарная теория свободной про-p-группы? А.Г.Мясников, В.Н. Ремесленников

11.67. Существует ли такая группа без кручения, в которой ровно три классасопряженных элементов и ни один из нетривиальных классов не содержит парывзаимно обратных элементов? Б.Нойман (B. Neumann)

∗11.68. Любую ли линейно упорядоченную группу можно вложить (с продол-жением порядка) в линейно упорядоченную группу ровно с тремя классами со-пряженных элементов? Б.Нойман (B. Neumann)∗Нет, не любую (В. В. Блудов, Алгебра и логика, 44, 6 (2005), 664–681).

11.69. Группу G, действующую на множестве Ω назовем 1-2-транзитивной,если она действует транзитивно на множестве

Ω1,2 = (α, β, γ) | α, β, γ различны.

Таким образом, группа G является 1-2-транзитивной точно тогда, когда онатранзитивна и стабилизатор Gα 2-однороден на Ω \ α. Задача заключается вклассификации всех (бесконечных) групп подстановок, которые 1-2-транзитив-ны, но не 3-транзитивны. П.Нойман (P.M.Neumann)

11.70. Пусть F — бесконечное поле или тело.а) Найти все транзитивные подгруппы группы PGL(2, F ), действующей на

проективной прямой F ∪ ∞.б) Какие свойства подкольца R из F обеспечивают флаг-транзитивность

PGL(d+ 1, R) на проективном пространстве PG(d, F ) размерности d?Прим. ред.: полное решение части (б) анонсировано в (С. А. Зюбин, Тезисы

междун. конф. Мальцевские чтения, Новосибирск, 2009, с. 56).в) Каковы флаг-транзитивные подгруппы группы PGL(d+ 1, F )?г) Какие подгруппы PGL(d + 1, F ) 2-транзитивны на точках пространства

PG(d, F )? П.Нойман (P.M. Neumann), Ч. Прэгер (C. E. Praeger)

58 11-е издание, 1990 г.

11.71. Пусть A — конечная группа с нормальной подгруппой H. Подгруппа Uиз H называется A-накрывающей подгруппой H, если

∪a∈A

Ua = H. Существует

ли функция f : N → N со следующим свойством: если U < H < A, где A —конечная группа, H — нормальная подгруппа индекса n в A и U — A-накрыва-ющая подгруппа H, то индекс |H : U | 6 f(n)? Ответ положительный, если U —максимальная подгруппа в H.

П.Нойман (P.M. Neumann), Ч. Прэгер (C. E. Praeger)

11.72. Пусть многообразие групп V нерегулярно, т. е. при некотором n свободнаягруппа Fn+1(V) вложима в Fn(V). Верно ли, что тогда всякая счетная группа изV вложима в n-порожденную группу из V? А.Ю. Ольшанский

11.73. Если относительно свободная группа является конечно определенной, тобудет ли она почти нильпотентной? А.Ю. Ольшанский

11.76. (Известная проблема). Будет ли разрешимой группа коллинеаций конеч-ной недезарговой проективной плоскости, определенной над полуполем (т. е. та-кой плоскости, для которой соответствующее регулярное множество (см. Архив,10.48) замкнуто относительно сложения)? Н. Д.Подуфалов

11.77. (Известная проблема). Описать конечные плоскости трансляций, груп-пы коллинеаций которых действуют дважды транзитивно на точках бесконечноудаленной прямой. Н. Д.Подуфалов

11.78. Изоморфизм групп точек алгебраических групп называется полуалгебра-ическим, если он представляется в виде композиции изоморфизма переноса поляопределения и рационального морфизма.

а) Верно ли, что из изоморфизма групп точек двух прямо неразложимых ал-гебраических групп над алгебраически замкнутым полем с тривиальными цен-трами следует существование полуалгебраического изоморфизма групп точек?

б) Верно ли, что всякий изоморфизм групп точек прямо неразложимых алгеб-раических групп с тривиальными центрами, определенных над алгебраическимиполями, является полуалгебраическим? Поле называется алгебраическим, есливсе его элементы алгебраичны над простым подполем. К. Н.Пономарев

11.80. Пусть G — примитивная группа подстановок конечного множества Ω ипусть для α ∈ Ω подгруппа Gα действует 2-транзитивно на одной из ее нетриви-альных орбит. Согласно (C. E. Praeger, J. Austral. Math. Soc. (A), 45, 1988, 66–77)либо

(а) T 6 G 6 AutT для некоторой неабелевой простой группы T , либо(б) G обладает единственной минимальной нормальной подгруппой, которая

регулярна на Ω.Для каких классов простых групп из (а) возможна классификация? Описать

как можно более явно примеры таких классов. Классифицировать все группыиз (б).

Прим. 1999 г.: в двух работах (X.G. Fang, C. E. Praeger, Commun. Algebra, впеч.) показано, что это возможно, если T — группа Сузуки или типа Ри, а работа(J.Wang, C. E. Praeger, J. Algebra, 180 (1996), 808–833) указывает на то, что этоможет быть невозможно в случае, когда T — знакопеременная группа. Прим.

11-е издание, 1990 г. 59

2001 г.: в работе (X.G. Fang, G. Havas, J.Wang, European J. Combin., 20, 6(1999), 551–557) построены новые примеры с G = PSU(3, q). Прим. 2009 г.: пока-зано (D. Leemans, Preprint), что для части (а) классификация возможна для само-спаренных 2-транзитивных подорбит, когда T — спорадическая простая группа;в этом случае эти подорбиты соответствуют действиям на неориентированныхграфах, которые транзитивны на путях длины 2. Ч.Прэгер (C. E. Praeger)

11.81. Топологическая группа называется F -уравновешенной, если для любогоее подмножества X и любой окрестности единицы U можно найти такую окрест-ность единицы V , что V X ⊆ XU . Верно ли, что любая F -уравновешенная группауравновешена, то есть имеет базу окрестностей единицы, состоящую из инвари-антных множеств? И.В.Протасов

11.83. Разрешима ли проблема сопряженности для конечно порожденных групп,полициклических над абелевыми? В.Н. Ремесленников

11.84. Разрешима ли проблема изоморфизмаа) для конечно порожденных метабелевых групп,б) для конечно порожденных разрешимых групп конечного ранга?

В.Н. Ремесленников

11.85. Пусть F — свободная про-p-группа с базой X, R = rF — нормальнаязамкнутая подгруппа, порожденная элементом r. Будем говорить, что элемент sиз F ассоциирован с элементом r, если sF = R.

а) Предположим, что ни один из элементов, ассоциированных с r, не явля-ется p-й степенью никакого элемента из F . Верно ли, что группа F/R не имееткручения?

б) Среди элементов, ассоциированных с r, существует такой, который зависитот минимального множества X ′ элементов базы. Пусть x ∈ X ′. Верно ли, чтообразы элементов изX\x в F/R свободно порождают свободную про-p-группу?

Н.С.Романовский

11.86. Обладает ли произвольная группа G = ⟨x1, . . . , xn | r1 = · · · = rm = 1⟩естественным гомоморфным образом H = ⟨x1, . . . , xn | s1 = · · · = sm = 1⟩,

а) таким, что группа H без кручения?б) таким, что целочисленное групповое кольцо группы H вложимо в тело?Если окажется верным более сильное утверждение б), то появится явный ме-

тод нахождения элементов xi1 , . . . , xin−m , свободно порождающих в G свободнуюгруппу. Они существуют по теореме Н. С.Романовского (Алгебра и логика, 16, 1 (1977), 88–97). В.А. Романьков

11.87. (Известный вопрос). Является ли конечно определенной группа всех ав-томорфизмов свободной метабелевой группы ранга n > 4? В.А. Романьков

60 11-е издание, 1990 г.

11.88. Длиной l(g) энгелева элемента g из группы G назовем наименьшее число l,удовлетворяющее при всех h из G равенству [h, g; l] = 1. Здесь [h, g; 1] = [h, g] и[h, g; i+ 1] = [[h, g; i], g]. Существует ли такая∗а) линейная, илиб) полиномиальная

функция φ(x, y), что l(uv) 6 φ(l(u), l(v))? До сих пор неизвестно, будет ли произ-ведение энгелевых элементов снова энгелевым элементом. Отрицательный ответна первый вопрос может помочь ответить и на второй. В.А. Романьков∗а) Нет, не существует (Л. В. Долбак, Сиб. матем. ж., 47, 1 (2006), 69–72).

11.89. Пусть k — бесконечный кардинал. Описать эпиморфные образы декар-товой степени

∏k

Z группы Z целых чисел. Для k = ω0 такое описание известно

(R.Nunke, Acta Sci. Math. (Szeged), 23 (1963), 67–73). С.В. Рычков

11.90. Пусть V — произвольное многообразие групп и k — бесконечный кардинал.ГруппаG ∈ V ранга k называется почти свободной в V, если любая ее подгруппа,имеющая ранг, меньший k, содержится в некоторой ее подгруппе, свободной в V.Для каких k существуют почти свободные, но не свободные в V группы ранга k?

С.В. Рычков

11.92. Каковы разрешимые наследственные неоднопорожденные формации ко-нечных групп, у которых все собственные наследственные подформации однопо-рождены? А.Н. Скиба

∗11.94. Дать описание всех просто приводимых групп, т. е. групп, у которыхвсе характеры вещественны и тензорное произведение любых двух неприводи-мых представлений не содержит кратных компонент (вопрос, интересный дляфизиков). Не будет ли конечная просто приводимая группа разрешимой?

С. П.Струнков∗Да, будет (Л.С. Казарин, Е. И. Чанков, выходит в Матем. сб.).

11.95. Верно ли, что p-группа G, содержащая элемент a порядка p, для которогоподгруппа ⟨a, ag⟩ конечна при любом g и множество CG(a) ∩ aG конечно, имеетнетривиальный центр? Для 2-групп это так. С. П.Струнков

11.96. Верно ли, что для каждого числа n существует только конечное числоконечных простых групп, в каждой из которых существует инволюция, переста-новочная не более чем с n инволюциями группы? Верно ли, что бесконечныхпростых групп с таким условием нет? С. П.Струнков

11.98. а) (Р.Брауэр). Найти неулучшаемую оценку вида |G| 6 f(r), где r — числоклассов сопряженных элементов конечной (простой) группы G. С. П.Струнков

11.99. Найти (в теоретико групповых терминах) необходимые и достаточныеусловия существования в конечной группе комплексных неприводимых характе-ров, имеющих дефект 0 для более чем одного простого числа, делящего порядокгруппы. В тех же терминах выразить число таких характеров. С. П.Струнков

11-е издание, 1990 г. 61

11.100. Верно ли, что любая периодическая сопряженно бипримитивно конечнаягруппа (см. 6.59) получается с помощью расширений из 2-групп и бинарно конеч-ных групп? Для p-групп, p — нечетное простое число, этот вопрос представляетсамостоятельный интерес. С. П.Струнков

∗11.101. Существует ли группа Голода (см. 9.76) с конечным центром?

А.В.Тимофеенко∗Да, существует (В. А. Середа, А.И. Созутов, Алгебра и логика, 45, 2 (2006),

231–238).

11.102. Существует ли неразрешимая, но аппроксимируемая разрешимыми груп-пами группа, которая удовлетворяет условию максимальности для подгрупп?


∗11.104. Пусть G — конечная группа порядка pa · qb · · · , где p, q, . . . — различ-ные простые числа. Введем различные переменные xp, xq, . . ., соответствующиечислам p, q, . . . . Определим функции f, φ из решетки подгрупп G в кольцо мно-гочленов Z[xp, xq, . . .] следующим образом:

(1) если порядок H равен pα · qβ · · · , то f(H) = xαp · xβq · · · ;(2)

∑K6H

φ(K) = f(H) для всех H 6 G.

Назовем f(G) и φ(G) порядковым и эйлеровым многочленами группы G. Под-ставляя в эти многочлены pm, qm, . . . вместо xp, xq, . . . , мы будем получать, со-ответственно, m-ю степень порядка G и число упорядоченных m-ок элементов,порождающих G.

Известно, что если группа G p-разрешима, то φ(G) — произведение много-члена от xp и многочлена от остальных переменных. Следовательно, если G раз-решима, то φ(G) — произведение многочлена от xp на многочлен от xq, на . . . .Верны ли обратные утверждения

а) для разрешимых конечных групп?б) для p-разрешимых конечных групп? Г.Уолл (G.E. Wall)∗Да, верны: а) для разрешимых групп (E. Detomi, A. Lucchini, J. London Math.

Soc. (2), 70 (2004), 165–181); б) для p-разрешимых групп (E. Damian, A. Lucchini,Commun. Algebra, 35 (2007), 3451–3472).

11.105. б) Пусть V — многообразие групп. Его относительно свободная группаданного ранга представима как фактор-группа F/N , где F — абсолютно свобод-ная группа того же ранга, а N — вполне инвариантная подгруппа F . Присоеди-ненное кольцо Ли L (F/N) представимо в виде L/J , где L — свободное кольцоЛи того же ранга, а J — идеал в L. Всегда ли J вполне инвариантен в L, если V— бернсайдово многообразие, состоящее из всех групп данного периода q, где q— степень простого числа, q > 4. Г.Уолл (G.E. Wall)

11.107. Существует ли не линейная локально конечная простая группа, все соб-ственные подгруппы которой финитно аппроксимируемы?

Р.Филлипс (R.Phillips)

62 11-е издание, 1990 г.

11.109. Верно ли, что объединение возрастающего ряда групп лиева типа одногои того же ранга над некоторыми полями также является группой лиева типатого же ранга над полем? (Для локально конечных полей ответ положительный.Соответствующий результат принадлежит В. Беляеву, А.Боровику, Б. Хартли &Г.Шюту и С. Томасу.) Р.Филлипс (R.Phillips)

11.111. Каждая ли бесконечная локально конечная простая группа G содержитнеабелеву простую конечную подгруппу? Существует ли бесконечная башня та-ких подгрупп в G? Б.Хартли (B. Hartley)

11.112. Пусть L = L(K(p)) — присоединенное кольцо Ли свободной счетно по-рожденной группы K(p) кострикинского многообразия локально конечных группданного простого периода p. Верно ли, что

а) L является относительно свободным кольцом Ли?в) все тождества кольца L являются следствиями конечного числа тождеств

этого кольца? Е.И. Хухро

11.113. (Б.Хартли). Верно ли, что ступень разрешимости нильпотентной пери-одической группы, допускающей регулярный автоморфизм порядка pn, где p —простое, а n — натуральное число, ограничена функцией от p и n?

Е.И. Хухро

11.114. Не будет ли всякая локально ступенчатая группа конечного специаль-ного ранга почти гиперабелевой? В классе периодических локально ступенчатыхгрупп это верно (Н. С. Черников, Укр. мат. ж., 42, 7 (1990), 962–970).


11.115. Пусть X — свободная нециклическая группа, N — ее неединичная нор-мальная подгруппа, а T — собственная подгруппа, содержащая N . Верно ли, что[T,N ] < [X,N ], если N не является максимальной в X подгруппой?

В.П. Шаптала

11.116. Размерностью частично упорядоченного множества ⟨P,6⟩ называетсянаименьший кардинал δ с тем свойством, что отношение 6 равно пересечениюδ отношений линейного порядка на P . Верно ли, что для всякой черниковскойгруппы, не содержащей прямого произведения двух квазициклических групп поодному и тому же простому числу, решетка подгрупп имеет конечную размер-ность? Предположительный ответ: да. Л.Н. Шеврин

11.117. Пусть X — некоторый разрешимый непустой класс Фиттинга. Верно ли,что каждая конечная неразрешимая группа обладает X-инъектором?


11.118. Каковы все те наследственные разрешимые локальные формации F ко-нечных групп, для которых в каждой конечной группе существует F-покрываю-щая подгруппа? Л.А.Шеметков

11-е издание, 1990 г. 63

11.119. Верно ли, что для любого непустого множества π простых чисел π-длинаконечной π-разрешимой группы ограничена сверху ступенью разрешимости еехолловой π-подгруппы? Л.А.Шеметков

11.120. Пусть F — разрешимая насыщенная фиттингова формация. Верно ли,что lF(G) 6 f(cF(G)), где cF(G) — длина композиционного ряда некоторой F-покрывающей подгруппы конечной разрешимой группы G? Этот вопрос — про-блема 17 из (Л.А. Шеметков, Формации конечных групп, М., Наука, 1978). Тамже можно найти определение F-длины lF(G). Л.А.Шеметков

11.121. Существует ли локальная формация конечных групп, которая обладаетнетривиальным разложением в произведение двух формаций, причем в любомтаком разложении оба множителя нелокальны? Локальные произведения нело-кальных формаций существуют. Л.А.Шеметков

11.122. Всякий ли ненулевой подмодуль свободного модуля над групповым коль-цом группы без кручения содержит свободный циклический подмодуль?

А.Л.Шмелькин

11.123. (Известный вопрос). Для данной группы G определим следующую после-довательность групп: A1(G) = G, Ai+1(G) = Aut (Ai(G)). Существует ли конеч-ная группа G, для которой эта последовательность содержит бесконечно многонеизоморфных групп? М.Шорт (M. Short)

11.124. Пусть F — нециклическая свободная группа, а R — ее нециклическаяподгруппа. Верно ли, что если подгруппа [R,R] нормальна в F , то и подгруппаR нормальна в F? В. Э.Шпильрайн

11.125. Пусть G — конечная группа, допускающая регулярную элементарнуюабелеву группу автоморфизмов V порядка pn. Верно ли, что подгруппа H =∩v∈V \1

[G, v] является нильпотентной? В случае положительного ответа суще-

ствует ли функция, зависящая только от p, n и ступени разрешимости группы G,которая ограничивает ступень нильпотентности подгруппы H?

П.В.Шумяцкий

∗11.126. Существуют ли константа h и функция f со следующим свойством: есликонечная разрешимая группа G допускает автоморфизм φ порядка 4, такой, что|CG(φ)| 6 m, то G обладает нормальным рядом 1 6 M 6 N 6 G, в котороминдекс |G : N | не превосходит f(m), группа N/M нильпотентна ступени 6 2, агруппа M нильпотентна ступени 6 h? П.В.Шумяцкий∗Да, существуют (Н.Ю. Макаренко, Е. И. Хухро, Алгебра и логика, 45, 5

(2006), 575–602).

11.127. Всякая ли группа периода 12 локально конечна? В. П.Шунков

64


12.1. а) Басс (H. Bass, Topology, 4, 4 (1966), 391–400) построил в явном ви-де собственную подгруппу конечного индекса в группе единиц целочисленногогруппового кольца конечной циклической группы. Вычислить индекс подгруппыБасса. Р.Ж.Алеев

12.3. Назовем p-группу тонкой, если в ней любое семейство попарно несравни-мых (по включению) подгрупп состоит не более чем из p+1 элементов. Конечноли число неизоморфных тонких про-p-групп? Р.Брандл (R. Brandl)

12.4. Пусть на группе G выполнено тождество [x, y]3 = 1. Будет ли G′ груп-пой ограниченного периода? Разрешима ли G? Известно, что G′ — 3-группа(N.D. Gupta, N. S.Mendelssohn, 1967). Р.Брандл (R. Brandl)

12.6. Пусть G — конечно порожденная группа и пусть H — такая p-подгруппаиз G, чтоH не содержит нетривиальных нормальных подгрупп из G иHX = XHдля любой подгруппы X из G. Является ли G/CG(H

G) p-группой? Здесь HG —нормальное замыкание H в G. Г.Бусетто (G. Busetto)

12.8. Пусть V — нетривиальное многообразие групп и пусть a1, . . . , ar сво-бодно порождают свободную группу Fr(V ) многообразия V . Скажем, чтоFr(V ) сильно дискриминирует V , если любая конечная система неравенствwi(a1, . . . , ar, x1, . . . , xk) = 1, 1 6 i 6 n, выполнимая при некотором s в груп-пе Fs(V ), содержащей Fr(V ) в качестве свободного в многообразии V фактора,имеет решение уже в Fr(V ). Существует ли такое многообразие V , что Fr(V ) длянекоторого r > 0 дискриминирует, но не сильно дискриминирует V ? Аналогич-ный вопрос интересен и для общих алгебр в контексте универсальной алгебры.

А. Гаглион (A.M. Gaglione), Д. Спеллман (D. Spellman)

12.9. Следуя Бассу, назовем группу древесно свободной, если существует упоря-доченная абелева группа Λ и Λ-дерево X, на котором G действует свободно и безинверсий.

а) Каждая ли конечно порожденная древесно свободная группа удовлетворяетусловию максимальности для абелевых подгрупп?

б) Тот же вопрос для конечно определенных древесно свободных групп.

А. Гаглион (A.M. Gaglione), Д. Спеллман (D. Spellman)

12.11. Пусть G и H — конечные или счетные группы, а A — собственная под-группа и в G, и в H, не содержащая нетривиальных подгрупп, нормальных и вG, и в H. Можно ли вложить G ∗A H в SymN в качестве высоко транзитивнойподгруппы? А.Гласс (A. M.W. Glass)

12.12. Разрешима ли проблема сопряженности для нильпотентных конечно по-рожденных решеточно упорядоченных групп? А.Гласс (A. M.W. Glass)

12-е издание, 1992 г. 65

12.13. Группа автоморфизмов G счетного универсального частично упорядочен-ного множества проста (A.M. W. Glass, S. H. McCleary, M. Rubin, Math. Z., 214, 1 (1993), 55–66). Верно ли, что каждая транзитивная на точках этого множе-ства подгруппа группы G, индекс которой меньше 2ℵ0 , совпадает с G?

А.Гласс (A. M.W. Glass)

∗12.14. Если T — счетная теория, то существует ли такая ее модель A, что теорияее группы автоморфизмов Aut (A) неразрешима?

А.Гласс (A. M. W.Glass), М.Жироде (M.Giraudet)∗Да, более того, любая теория первого порядка с бесконечными моделями

имеет модель, группа автоморфизмов которой имеет неразрешимую экзистенци-альную теорию (V. V. Bludov, M.Giraudet, A.M. W. Glass, G. Sabbagh, in Models,Modules and Abelian Groups, de Gruyter, Berlin, 2008, 325–328).

12.15. Пусть в конечной 2-группе G любые два элемента сопряжены, если ихнормальные замыкания совпадают. Верно ли, что коммутант группы G абелев?

Е.А. Голикова, А. И.Старостин

12.16. Замкнут ли относительно свободного произведения класс групп рекурсив-ных автоморфизмов произвольных моделей? С.С. Гончаров

12.17. Найти описание автоустойчивых периодических абелевых групп.

С.С. Гончаров

12.19. Верно ли, что для всякого числа n > 2 и любых двух эпиморфизмов φ иψ свободной группы F2n ранга 2n на Fn × Fn существует такой автоморфизм αгруппы F2n, что αφ = ψ? Р.И. Григорчук

12.20. (Известный вопрос). Является ли группа Р.ТомпсонаF = ⟨x0, x1, . . . | xxi

n = xn+1, i < n, n = 1, 2, . . .⟩ == ⟨x0, . . . , x4 | xx0

1 = x2, xx02 = x3, xx1

2 = x3, xx13 = x4, xx2

3 = x4⟩

аменабельной? Р.И. Григорчук

12.21. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, G — конечная группа иa(RG) — кольцо R-представлений группы G. Доказать, что в a(RG) нет нетри-виальных идемпотентов. П.М. Гудивок, В. П. Рудько

12.22. б) Пусть ∆(G) — разностный идеал целочисленного группового кольцаZG произвольной группы G. Тогда Dn(G) = G ∩ (1 + ∆n(G)) содержит n-йчлен γn(G) нижнего центрального ряда группы G. Верно ли, что период группыDn(G)/γn(G) делит 2? Н.Гупта (N. D. Gupta), Ю.В. Кузьмин

12.23. Индексом перестановочности конечной группы G назовем наименьшеечисло k > 2, обладающее следующим свойством: если x1, . . . , xk — элемен-ты из G, то существует нетривиальная подстановка σ степени k, для кото-рой x1 · · ·xk = xσ(1) · · ·xσ(k). Найти индексы перестановочности симметрическихгрупп Sn. М. Гутсан (M. Gutsan)

66 12-е издание, 1992 г.

12.27. Пусть G — простая локально конечная группа. Будем говорить, что G —группа конечного типа, если существует ее нетривиальное представление подста-новками, в котором некоторая конечная подгруппа не имеет регулярных орбит.Исследовать и, возможно, классифицировать простые локально конечные груп-пы конечного типа. Частичные результаты см. в (B.Hartley, A. Zalesski, Isr. J.Math., 82 (1993), 299–327, J. London Math. Soc., 55 (1997), 210–230; F. Leinen,O.Puglici, Illinois J. Math., 47 (2003), 345–360). А.Е. Залесский

12.28. Пусть G — группа. Функция f : G→ C называется1) нормированной, если f(1) = 1;2) центральной, если f(gh) = f(hg) для любых g, h ∈ G;3) положительно определенной, если для любых g1, . . . , gn ∈ G и c1, . . . , cn ∈ C

имеет место соотношение∑k,l

f(g−1k gl)ckcl > 0.

Классифицировать бесконечные простые локально конечные группы G, об-ладающие непостоянными на G \ 1 функциями со свойствами 1)–3). Известно,что простые группы Шевалле не имеют таких функций, в то время как на ло-кально матричных (или стабильных) классических группах над конечными по-лями такие функции существуют. Вопрос мотивирован теорией C∗-алгебр (см.А.М. Вершик, С. В. Керов, Локально полупростые алгебры. Комбинаторная тео-рия и K0-функтор. Итоги науки и техники. Современные проблемы математи-ки. Новейшие достижения, 26, ВИНИТИ, М., 1985, § 9). Частичные результатысм. в (F. Leinen, O.Puglici, J. Pure Appl. Algebra, 208 (2007), 1003–1021, J. LondonMath. Soc., 70 (2004), 678–690). А.Е. Залесский

12.29. Описать локально конечные группы, для которых фундаментальный иде-ал комплексной групповой алгебры является простым кольцом. Задача вос-ходит к И. Капланскому (1965 г.). Частичные результаты см. в (K.Bonvallet,B.Hartley, D. S. Passman, M. K. Smith, Proc. Amer. Math. Soc., 56, 1 (1976),79–82; А. Е. Залесский, Алгебра и анализ, 2, 6 (1990), 132–149; Ch. Praeger,A. E. Zalesskii, Proc. London Math. Soc., 70, 2 (1995), 313–335); B. Hartley,A. Zalesski, J. London Math. Soc., 55 (1997), 210–230). А.Е. Залесский

12.30. (О.Н. Головин). Существуют ли на классе всех групп ассоциативные опе-рации, которые удовлетворяют постулатам Маклейна и Мальцева (то есть яв-ляются свободными функторными и наследственными) и отличны от прямого исвободного умножений? С.В. Иванов

12.32. Для бернсайдова многообразия Bn групп нечетного периода n≫ 1 дока-зать аналог теоремы Г.Хигмана, то есть возможность вложения всякой рекур-сивно определенной группы периода n в конечно определенную (в Bn) группупериода n. С.В. Иванов

12.33. Пусть G — конечная группа, x — такой ее элемент, что ⟨x, y⟩ имеет нечет-ный порядок для любого элемента y, сопряженного в G с x. Доказать, не ис-пользуя CFSG, что нормальное замыкание элемента x в G — группа нечетногопорядка. Л. С.Казарин

12-е издание, 1992 г. 67

12.34. Описать конечные группы G, для которых сумма кубов степеней всехнеприводимых комплексных характеров не превосходит |G| · log2 |G|. Вопрос ин-тересен для приложений в теории обработки сигналов. Л. С.Казарин

12.35. Пусть F — радикальная композиционная формация конечных групп. До-казать, что для любой конечной группы G и любых ее субнормальных подгруппH и K справедливо равенство ⟨H,K⟩F =

⟨HF,KF

⟩. С.Ф. Каморников

12.37. (Дж.Томпсон). Типом конечной группы G назовем функцию из N в N,значение которой на натуральном n совпадает с числом решений в G уравненияxn = 1. Верно ли, что группа, равнотипная разрешимой, разрешима?

А.С. Кондратьев

12.38. (Дж.Томпсон). Для конечной группы G через N(G) обозначим множествовсех порядков классов сопряженных элементов группы G. Верно ли, что если G—конечная неабелева простая группа, H — конечная группа с единичным центроми N(G) = N(H), то G и H изоморфны? А.С. Кондратьев

∗12.39. (Ши Вуджи). Верно ли, что конечная группа и конечная простая группаизоморфны, если у них один и тот же порядок и одно и то же множество порядковэлементов? А.С. Кондратьев∗Да, верно (M.C. Xu, W. J. Shi, Algebra Colloq., 10 (2003), 427–443; А. В. Василь-

ев, М.А. Гречкосеева, В.Д. Мазуров, Алгебра и логика, 48, 6 (2009), 685–728).

12.40. Пусть φ — неприводимый p-модулярный характер конечной группы G.Найти неулучшаемую оценку вида φ(1)p 6 f(|G|p). Здесь np означает p-частьнатурального числа n. А.С. Кондратьев

12.41. Пусть F — свободная группа ранга 2 с порождающими x, y и φ — ееавтоморфизм, посылающий x в y, а y в xy. Пусть G — естественное полупрямоепроизведение F/(F ′′(F ′)2) и ⟨φ⟩. Тогда группа G не полициклична, в то время каквсе ее собственные фактор-группы полицикличны. Чему равна когомологическаяразмерность d группы G над Q? Известно, что d равна 3 или 4.

П.Крофоллер (P.H.Kropholler)

∗12.42. Описать автоморфизмы силовской p-подгруппы группы Шевалле нор-мального типа над кольцом вычетов целых чисел по модулю pm, m > 2. Здесь p— простое число. В.М.Левчук∗Описаны (С. Г.Колесников, Алгебра и логика, 43, 1 (2004), 32–59; Изв. Го-

мельского унив., 36, 3 (2006), 137–146; Фунд. прикл. матем., 12, 8 (2006),121–158).

12.43. (Известный вопрос). Существует ли бесконечная конечно порожденнаяфинитно аппроксимируемая p-группа, в которой каждая подгруппа либо конеч-на, либо имеет конечный индекс? Дж.Леннокс (J. C. Lennox)

68 12-е издание, 1992 г.

12.48. Пусть G — точно дважды транзитивная группа подстановок множества Ω(см. определение в 11.52).

а) Существует ли в G регулярная нормальная подгруппа, если стабилизаторточки локально конечен?

б) Существует ли в G регулярная нормальная подгруппа, если в стабилиза-торе точки есть абелева подгруппа конечного индекса? В.Д. Мазуров

12.50. (Известная проблема). Указать алгоритм, который по конечному наборуматриц из SL3(Z) определяет, содержится ли первая матрица набора в подгруппе,порожденной остальными матрицами. Аналогичная проблема для SL4(Z) нераз-решима, поскольку в SL4(Z) вкладывается прямое произведение двух свободныхгрупп ранга 2. Г.С. Маканин

12.51. Имеет ли свободная группа Fn ранга n (1 < n < ∞) такое конечноеподмножество S, что существует единственный линейный порядок группы Fn,в котором все элементы S положительны? Эквивалентно, обладает ли свобод-ная o-аппроксимируемая l-группа ранга n базисным элементом? (Аналогичныевопросы для правых порядков группы Fn и свободных l-групп решаются отри-цательно.) С.Макклири (S.McCleary)

12.52. Является ли свободная l-группа Fn ранга n (1 < n < ∞) хопфовой, тоесть всякий ли l-гомоморфизм Fn на себя взаимно однозначен?

С.Макклири (S.McCleary)

12.53. Разрешима ли проблема сопряженности элементов в свободной l-группе?

С.Макклири (S.McCleary)

12.54. Существует ли нормальнозначная l-группа G, для которой невозможнонайти такую абелеву l-группу A, что C(A) ∼= C(G)? Здесь C(G) обозначает ре-шетку выпуклых l-подгрупп группы G. Если не требовать от G нормальнознач-ности, то ответ положительный. С.Макклири (S.McCleary)

12.55. Пусть f(p, n) — число групп порядка pn (p — простое число). Является лиf(p, n) возрастающей функцией от p при каждом фиксированном n > 5?

А.Манн (A. Mann)

12.56. Рассмотрим конечные копредставления ⟨X | R⟩ с циклически приведенны-ми словами в R. Определим длину копредставления как сумму числа порождаю-щих и длин соотношений. Пусть F (n) обозначает количество групп (с точностьюдо изоморфизма), которые допускают копредставление длины 6 n. Что можносказать о функции F (n)? Можно показать, что F (n) не рекурсивна (Д. Сигал) ичто она по меньшей мере экспоненциальна (Л. Пыбер). А.Манн (A. Mann)

12.57. Пусть циклическая группа A порядка 4 является TI-подгруппой конечнойгруппы G.

а) Будет ли A централизовать компоненту L группы G, если A ∩ LC(L) = 1?б) Каково строение нормального замыкания A в случае, когда A централизует

каждую компоненту из G? А.А. Махнев

12-е издание, 1992 г. 69

12.58. Обобщенным четырехугольником GQ(s, t) с параметрами (s, t) называ-ется система инцидентности, состоящая из точек и прямых, в которой каждаяпрямая состоит из s + 1 точки, любые две различные прямые имеют не болееодной общей точки, каждая точка принадлежит t+ 1 прямой, и для точки a, нележащей на прямой L, найдется единственная прямая, содержащая a и пересе-кающая L.

а) Существует ли GQ(4, 11)?б) Может ли содержать инволюции группа автоморфизмов гипотетического

обобщенного четырехугольника GQ(5, 7)? А.А. Махнев

12.59. Существует ли сильно регулярный граф с параметрами (85, 14, 3, 2) инесвязной окрестностью некоторой вершины? А.А. Махнев

12.60. Описать сильно регулярные графы, в которых окрестности вершин —обобщенные четырехугольники (см. 12.58). А.А. Махнев

12.62. Группой Фробениуса называется транзитивная группа подстановок, в ко-торой стабилизатор любых двух различных точек тривиален. Существует лигруппа Фробениуса бесконечной степени, примитивная как группа подстановок,в которой стабилизатор точки — циклическая группа, имеющая только конечноечисло орбит?

Предполагаемый ответ: нет. Отметим, что такая группа не может быть два-жды транзитивной — см. (Gy.Karolyi, S. J. Kovacs, P. P. Palfy, Aequationes Math.,39, 1 (1990), 161–166; В. Д.Мазуров, Сиб. мат. ж., 31, 4 (1990), 102–104;P.M.Neumann, P. J. Rowley, in: Geometry and cohomology in group theory, (LondonMath Soc. Lect. Note Ser., 252), Cambridge Univ. Press, 1998, 291–295).


12.63. Существует ли разрешимая группа подстановок бесконечной степени, ко-торая имеет только конечное число орбит на множестве троек? Предполагаемыйответ: нет.

Прим. 2001 г.: доказано (D. Macpherson, in: Advances in algebra and modeltheory (Algebra Logic Appl., 9), Gordon and Breach, Amsterdam, 1997, 87–92), чтолюбая бесконечная разрешимая группа подстановок имеет бесконечно много ор-бит на четверках. П.Нойман (P.M.Neumann)

12.64. Верно ли, что по данному числу k > 2 и любому (простому) n можно найтитакое число N = N(k, n), что всякая конечная группа с порождающими A =a1, . . . , ak имеет период 6 n, если в ней (x1 · · ·xN )n = 1 для любых x1, . . . , xN ∈A ∪ 1?

Для данных k и n отрицательный ответ влечет, например, бесконечность сво-бодной группы Бернсайда B(k, n), а положительный ответ в случае достаточнобольшого n дает, к примеру, возможность указать гиперболическую не финит-но аппроксимируемую группу (а в ней — гиперболическую подгруппу конечногоиндекса, не имеющую собственных подгрупп конечного индекса).


12.66. Описать конечные плоскости трансляций, группы коллинеаций которыхдействуют дважды транзитивно на аффинных точках. Н. Д.Подуфалов

70 12-е издание, 1992 г.

12.67. Описать строение локально компактных разрешимых групп с услови-ем максимальности (минимальности) для замкнутых некомпактных подгрупп.

В.М. Полецких

12.68. Описать локально компактные абелевы группы, в которых любые двезамкнутые подгруппы конечного ранга порождают подгруппу конечного ранга.

В.М. Полецких

12.69. Пусть F — счетное бесконечное поле, а G — конечная группа автомор-физмов поля F . На поле F определено действие группового кольца ZG. Предпо-ложим, что S — подполе F , удовлетворяющее следующему свойству: для любогоэлемента x ∈ F найдется ненулевой элемент f ∈ ZG, для которого xf ∈ S. Верноли, что либо F = S, либо расширение полей F/S чисто несепарабельно? Можнопоказать, что аналогичный вопрос для несчетного поля решается положительно.

К. Н.Пономарeв

12.72. Пусть F — разрешимая локальная наследственная формация конечныхгрупп. Доказать, что F радикальна, если любая конечная разрешимая минималь-ная не F-группа G является минимальной не Nl(G)-группой. Здесь N — формацияконечных нильпотентных групп, l(G) — нильпотентная длина группы G.

В.Н. Семенчук

12.73. Скажем, что длина формации H конечных групп равна t, если существуетцепь формаций ∅ = H0 ⊂ H1 ⊂ · · · ⊂ Ht = H, в которой Hi−1 — максимальнаяподформация формации Hi. Дистрибутивна ли решетка разрешимых формацийдлины 6 4? А.Н. Скиба

12.75. (Йонсон). Будет ли многообразием класс N решеток нормальных под-групп групп? Известно (C. Herrman, W. Poguntke, Algebra Univers., 4, 3 (1974),280–286), что N — бесконечно базируемое квазимногообразие. Д.М. Смирнов

12.77. (Известный вопрос). Верно ли, что порядок (если он > p2) конечной нецик-лической p-группы делит порядок ее группы автоморфизмов? А.И. Старостин

12.79. Предположим, что a и b — такие два элемента конечной группы G, чтофункция φ(g) = 1G(g) − 1G⟨a⟩(g) − 1G⟨b⟩(g) − 1G⟨ab⟩(g) + 2 является характеромгруппы G. Верно ли, что G = ⟨a, b⟩? Обратное утверждение справедливо.

С. П.Струнков

12.80. (Роггенкамп). б) Верно ли, что число p-блоков дефекта 0 конечной простойгруппы G равно числу классов сопряженности таких элементов g группы G, чточисло решений уравнения [x, y] = g в группе G не делится на p?

С. П.Струнков

12.81. Какова мощность множества подмногообразий группового многообра-зия A3

p (здесь Ap — многообразие абелевых групп простого периода p)?

В.И. Сущанский

12-е издание, 1992 г. 71

∗12.82. Указать все пары (n, r) натуральных чисел, для которых в симметриче-ской группе Sn существует максимальная подгруппа, изоморфная Sr.

В.И. Сущанский∗Найдены (B. Newton, B. Benesh, J. Algebra, 304, no. 2 (2006), 1108–1113).

12.85. Верно ли, что в любом многообразии, которое порождено (известной) про-стой конечной группой G, содержащей c-ступенно разрешимую подгруппу, есть2-порожденная c-ступенно разрешимая группа? С.А. Сыскин

12.86. Для каждой известной простой конечной группы G найти такое макси-мальное число n, что прямое произведение n экземпляров группы G порождаетсядвумя элементами. С.А. Сыскин

12.87. Пусть Γ — связный неориентированный граф без петель и кратных ре-бер, группа Aut(Γ) автоморфизмов которого действует транзитивно на вершинах.Верно ли, что справедливо хотя бы одно из следующих трех утверждений?

1. Стабилизатор вершины графа Γ в группе Aut(Γ) конечен.2. Действие группы Aut(Γ) на множестве вершин графа Γ обладает нетриви-

альной системой импримитивности σ с конечными блоками, для которой стаби-лизатор вершины фактор-графа Γ/σ в Aut(Γ/σ) конечен.

3. Существует такое натуральное число n, что граф Γn, полученный из Γдобавлением ребер, соединяющих различные вершины, расстояние между ко-торыми в Γ не превосходит n, содержит дерево, валентность каждой вершиныкоторого равна 3. В.И. Трофимов

12.88. Неориентированный граф называется локально конечным графом Кэлигруппы G, если множество его вершин можно так отождествить с множествомэлементов группы G, что для некоторой конечной системы порождающих X =X−1 группы G, не содержащей 1, вершины g и h соединены ребром тогда и толькотогда, когда g−1h ∈ X. Существуют ли две конечно порожденные группы с одними тем же локально конечным графом Кэли, одна из которых периодическая, адругая — нет? В.И. Трофимов

12.89. Описать бесконечные связные графы, к которым сходятся последова-тельности конечных связных графов с примитивными группами автоморфизмов.Определения см. в (В. И. Трофимов, Алгебра и логика, 28, 3 (1989), 337–369).

В.И. Трофимов

12.92. Для поля K характеристики 2 каждая конечная группа G = g1, . . . , gnнечетного порядка n с точностью до изоморфизма определяется ее групповымопределителем (Форманек — Сибли, 1990) и даже ее редуцированной нормой,которая определяется как последний коэффициент sm(x) минимального много-члена

φ(λ;x) = λm − s1(x)λm−1 + · · ·+ (−1)msm(x)

для общего элемента x = x1g1 + · · ·+ xngn группового кольца KG (Хeнке, 1991).Возможно ли в этой теореме заменить sm(x) другими коэффициентами si(x),i < m? Определения см. в (G. Frobenius, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin,1896, 1343–1382) и (K.W. Johnson, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 109 (1991),299–311). Х.-Ю. Хeнке (H.–J. Hoehnke)

72 12-е издание, 1992 г.

12.94. Пусть конечно порожденная про-p-группа G не содержит в качестве за-мкнутой секции сплетения группы порядка p с группой p-адических целых чисел.Будет ли G аналитической p-адической группой? А.Шалев (A. Shalev)

12.95. Пусть G — конечно порожденная про-p-группа и пусть g1, . . . , gn ∈ G.Пусть H — открытая подгруппа группы G и пусть существует такое слово w =w(X1, . . . , Xn), что w(a1, . . . , an) = 1 для любых a1 ∈ g1H, . . . , an ∈ gnH. Следуетли отсюда, что G удовлетворяет какому-нибудь нетривиальному тождественномусоотношению?

Если да, то для конечно порожденных про-p-групп справедлив аналог аль-тернативы Титса. Известно (E. I. Zelmanov, J. S. Wilson, J. Pure Appl. Algebra, 81(1992), 103–109), что градуированная алгебра Ли Lp(G), построенная по размер-ным подгруппам группы G в характеристике p, удовлетворяет полиномиальномутождеству. А.Шалев (A. Shalev)

∗12.96. Найти такой непустой класс Фиттинга F и такую неразрешимую конеч-ную группу G, что G не имеет F-инъекторов. Л.А.Шеметков∗Найден Э. Саломоном (E. Salomon, Mainz Univ., unpublished); его пример при-

веден в § 7.1 книги (A. Ballester-Bolinches, L. M.Ezquerro, Classes of finite groups,Springer, 2006).

12.100. Всякая ли периодическая группа с регулярным автоморфизмом поряд-ка 4 является локально конечной? П.В.Шумяцкий

12.101. Группу G, содержащую инволюцию i, назовем T0-группой, если1) порядок произведения любых двух сопряженных с i инволюций конечен;2) все 2-подгруппы из G циклические или обобщенные группы кватернионов;3) централизатор C инволюции i в G бесконечен, отличен от G и обладает

конечной периодической частью;4) нормализатор любой нетривиальной i-инвариантной конечной подгруппы

из G либо содержится в C, либо обладает периодической частью, являющейсягруппой Фробениуса (см. 6.55) с абелевым ядром и конечным дополнением чет-ного порядка;

5) для всякого элемента c, не содержащегося в C, для которого ci — инволю-ция, в C найдется такой элемент s, что подгруппа ⟨c, cs⟩ бесконечна.

Существует ли простая T0-группа? В. П.Шунков

73


13.1. Пусть U(K) обозначает группу единиц кольца K. Пусть G — конечнаягруппа, ZG — ее целочисленное групповое кольцо, ZpG — ее групповое кольцонад кольцом вычетов по простому модулю p. Описать гомоморфизм из U(ZG) вU(ZpG), полученный редуцированием коэффициентов по модулю p. Более точно,найти ядро и образ этого гомоморфизма и указать конкретную трансверсаль поядру. Р.Ж.Алеев

13.2. Существует ли такое конечно базируемое многообразие групп V, что про-блема равенства разрешима в Fn(V) для всех натуральных n, но в F∞(V) онанеразрешима (относительно системы свободных порождающих)? М.И. Анохин

13.3. Пусть M — произвольное многообразие групп. Верно ли, что любаябесконечно-порожденная проективная группа из M является M-свободным про-изведением счетно-порожденных проективных групп из M? В.А. Артамонов

13.4. Пусть G — группа с нормальной (про-) 2-подгруппой N , такая, что G/Nизоморфна GLn(2), причем действие G/N на фактор-группе N/Φ(N) подобнодействию GLn(2) на ее естественном n-мерном модуле над GF (2). Для n = 3найти G с наибольшей возможной N . (Можно доказать, что для n > 3 ужеподгруппа Фраттини Φ(N) единична; для n = 2 существует такая G, что N —свободная 2-порожденная про-2-группа.) Б.Бауман (B. Baumann)

13.5. Группы A и B называются локально эквивалентными, если для любойконечно порожденной подгруппы X 6 A найдется подгруппа Y 6 B, изоморф-ная X, и, наоборот, для любой конечно порожденной подгруппы Y 6 B найдетсяподгруппа X 6 A, изоморфная Y . Назовем группу категоричной, если она изо-морфна любой локально эквивалентной ей группе. Верно ли, что периодическаялокально разрешимая группа G категорична тогда и только тогда, когда G —гиперконечная группа с черниковскими силовскими подгруппами? (Группа на-зывается гиперконечной, если она имеет вполне упорядоченный по возрастаниюряд нормальных подгрупп с конечными скачками.) В.В. Беляев

13.6. (Б. Хартли). Верно ли, что локально конечная группа, содержащая элементс черниковским централизатором, почти локально разрешима? В.В. Беляев

13.7. (Б.Хартли). Верно ли, что простая локально конечная группа, содержащаяконечную подгруппу с конечным централизатором, линейна? В.В. Беляев

13.8. (Б.Хартли). Верно ли, что локально разрешимая периодическая группа,содержащая элемент

а) с конечным централизатором;б) с черниковским централизатором,

имеет конечный нормальный ряд, все факторы которого локально нильпотент-ны? В.В. Беляев

74 13-е издание, 1995 г.

13.9. Верно ли, что локально разрешимая периодическая группа, содержащаяконечную нильпотентную подгруппу с черниковским централизатором, имеет ко-нечный нормальный ряд, все факторы которого локально нильпотентны?

В. В.Беляев, Б.Хартли (B.Hartley)

∗13.11. Будет ли группа без кручения почти полициклической, если она имеетконечную систему порождающих a1, . . . , an, такую, что каждый элемент группыимеет однозначное представление вида ak1

1 · · · aknn , где ki ∈ Z? В. В.Блудов

∗Нет, не всегда (A.Muranov, Trans. Amer. Math. Soc., 359 (2007), 3609–3645).

13.12. Верно ли, что группа всех автоморфизмов произвольной гиперболическойгруппы конечно определена?

Прим. 2001 г.: это доказано для группы автоморфизмов гиперболическойгруппы без кручения, неразложимой в свободное произведение (Z. Sela, Geom.Funct. Anal., 7, 3 (1997) 561–593). О.В. Богопольский

13.13. Пусть G и H — конечные p-группы с изоморфными бернсайдовыми коль-цами. Ограничена ли ступень нильпотентности группы H какой-либо функциейот ступени нильпотентности группы G? Есть пример, когда ступень нильпотент-ности G равна 2, а ступень нильпотентности H равна 3. Р.Брандл (R. Brandl)

13.14. Является ли дистрибутивной решетка квазимногообразий двуступеннонильпотентных групп без кручения? А.И. Будкин

13.15. Обладает ли независимым базисом квазитождеств в классе групп без кру-чения свободная неабелева нильпотентная группа ступени 3? А.И. Будкин

13.17. Линейное представление группы G на векторном пространстве V назы-вается ниль-представлением, если для любых v ∈ V и g ∈ G существует такоеn = n(v, g), что v(g−1)n = 0. Верно ли, что в характеристике 0 любое неприводи-мое ниль-представление тривиально? (Это не так в ненулевой характеристике.)

С.Вовси

13.19. Пусть группа Q и ее нормальная подгруппа H являются подгруппамипрямого произведения G1×· · ·×Gn, причем для каждого i проекции и Q и H наGi совпадают с Gi. Верно ли, что если фактор-группа Q/H является p-группой,то Q/H — регулярная p-группа? Ю. М.Горчаков

13.20. Верно ли, что производящий ряд функции роста любой конечно-порож-денной группы с одним определяющим соотношением представляет алгебра-ическую (или даже рациональную) функцию? Р.И. Григорчук

13.21. б) Какой наименьший порядок роста функции π(n) = maxδ(g)6n

|g| возможен

для класса групп, указанного в части «а» (см. Архив)? Известно, что существуютp-группы с π(n) 6 nλ для некоторого λ > 0 (Р.И. Григорчук, Изв. АН СССР, сер.мат., 48, 5 (1984), 939–985). В то же время из результата Е. И. Зельмановаследует, что π(n) не ограничена, если G бесконечна. Р.И. Григорчук

13-е издание, 1995 г. 75

13.22. Будет ли группа полициклической, если она является произведением двухсвоих полициклических подгрупп и обладает возрастающим нормальным рядомс локально нильпотентными факторами? Ф. де Джованни (F. de Giovanni)

13.23. Верно ли, что любая группа, обладающая конечным нормальным рядомс бесконечными циклическими факторами, имеет нетривиальный внешний авто-морфизм? Ф. де Джованни (F. de Giovanni)

13.24. Пусть G — недискретная топологическая группа с конечным числом уль-трафильтров, сходящихся к единице. Верно ли, что группа G содержит счетнуюоткрытую подгруппу периода 2?

Прим. 2005 г.: это доказано для счетной G (E. G. Zelenyuk, Mat. Studii, 7(1997), 139–144). Е. Г. Зеленюк

13.25. Пусть (G, τ) — топологическая группа с конечной полугруппой τ(G) уль-трафильтров, сходящихся к единице (И. В.Протасов, Сиб. мат. ж., 34, 5(1993), 163–180). Верно ли, что τ(G) — полугруппа идемпотентов?

Прим. 2005 г.: это доказано для счетной G (E.G. Zelenyuk, Mat. Studii, 14(2000), 121–140). Е. Г. Зеленюк

13.26. Верно ли, что счетная топологическая группа периода 2 с единственнымсвободным ультрафильтром, сходящимся к единице, имеет базу окрестностейединицы, состоящую из подгрупп? Е. Г. Зеленюк, И. В.Протасов

13.27. (Б. Амберг). Предположим, что G = AB = AC = BC для группы G и ееподгрупп A,B,C.

а) Будет ли G группой Черникова, если A,B,C — группы Черникова?б) Будет ли группа G почти полициклической, если A,B,C — почти полицик-

лические группы? Л. С.Казарин

13.29. Для бесконечного множества Ω определим алгебру A (приведенную ал-гебру инцидентности конечных подмножеств) следующим образом. Пусть Vn— множество функций из множества n-элементных подмножеств Ω в поле раци-ональных чисел Q. Положим A =

⊕Vn с умножением по правилу: для f ∈ Vn,

g ∈ Vm и |X| = m+ n полагаем (fg)(X) =∑f(Y )g(X \ Y ), где сумма берется по

всем n-элементным подмножествам Y множества X. Если G — группа подстано-вок на Ω, то пусть AG обозначает алгебру G-инвариантов в A.

Гипотеза: если G не имеет конечных орбит на Ω, то AG — область целостно-сти. П.Камерон (P. J. Cameron)

13.30. Группа G называется B-группой, если любая примитивная группа подста-новок, содержащая регулярное представление группы G, дважды транзитивна.Существуют ли счетные B-группы? П.Камерон (P. J. Cameron)

76 13-е издание, 1995 г.

13.31. Пусть G — группа подстановок множества Ω. Последовательность точекиз Ω называется базой для G, если ее поточечный стабилизатор в G — единич-ная подгруппа. Жадный алгоритм поиска базы выбирает каждую точку в этойпоследовательности в одной из максимальных по размеру орбит стабилизаторапредшествующих точек. Существует ли универсальная константа c, такая, чтодля любой конечной примитивной группы подстановок размер базы, построен-ной жадным алгоритмом, не более чем в c раз больше минимального размерабаз? П.Камерон (P. J. Cameron)

13.32. (Известная проблема). Заданный на группе направленный вверх частич-ный порядок с линейно упорядоченным конусом положительных элементов на-зывается полулинейным, если он устойчив относительно умножения справа наэлементы группы. Всякий ли полулинейный порядок группы продолжается до ееправого порядка? В.М. Копытов

∗13.33. (Ф. Гросс). Всегда ли нормальная подгруппа конечной Dπ-группы (см.Архив, 3.62) является Dπ-группой? В.Д. Мазуров∗Да, всегда mod CFSG (Е. П.Вдовин, Д. О. Ревин, in: Ischia group theory 2004

(Contemp. Math., 402), Amer. Math. Soc., 2006, 229–263).

13.35. Содержит ли каждая неразрешимая про-p-группа когомологической раз-мерности 2 свободную неабелеву про-p-подгруппу? О.В. Мельников

13.36. Для конечно порожденной про-p-группы G положим an(G) =dim FpI

n/In+1, где I — пополняющий идеал группового кольца Fp[[G]]. Назовемростом группы G рост последовательности an(G)n∈N.

а) Вытекает ли из экспоненциальности роста группы G существование в нейсвободной про-p-подгруппы ранга 2?∗б) (А. Люботцки, А.Шалев). Является ли экспоненциальным рост группы G,

если в ней содержится конечно порожденная замкнутая подгруппа экспоненци-ального роста?

в) Существуют ли про-p-группы конечной когомологической размерности, неявляющиеся аналитическими p-адическими, рост которых меньше экспоненци-ального? О.В. Мельников∗б) Не обязательно. Пусть G — Ноттингемская группа над Fp. Рост последо-

вательности cn(G) := logp |G : ωn(G)|, где ωn(G) — фильтрация Цассенхауза,линеен, поэтому по теореме Квиллена рост группы G субэкспоненциален. Но Gимеет 2-порожденную свободную про-p подгруппу (R. Camina, J. Algebra, 196(1997), 101–113) экспоненциального роста. (М. Ершов, Письмо от 19.10.2009.)

13.37. Пусть G — про-p-группа без кручения, U — ее открытая подгруппа, явля-ющаяся про-p-группой с одним определяющим соотношением. Верно ли, что G— тoже про-p-группа с одним определяющим соотношением? О.В. Мельников

13-е издание, 1995 г. 77

13.39. Пусть A — ассоциативное кольцо с 1, аддитивная группа которого не име-ет кручения, и FA — тензорное A-пополнение свободной группы F (А. Г.Мясни-ков, В.Н. Ремесленников, Сиб. мат. ж., 35, 5 (1994), 1106–1118), называемоесвободной A-степенной группой; в (A.G. Myasnikov, V. N.Remeslennikov, Int. J.Algebra Comput., 6 (1996), 687–711), показано, как можно построить FA в терми-нах свободных произведений с объединением.

а) (Г. Баумслаг). Верно ли, что FA аппроксимируется нильпотентными груп-пами без кручения?

б) Верно ли, что FA — линейная группа?в) (Г.Баумслаг). Является ли вложением гомоморфизм Магнуса группы FQ

в группу степенных рядов над полем рациональных чисел Q?В случае, когда ⟨1⟩ — сервантная подгруппа аддитивной группы кольца A,

ответы на вопросы «а» и «б» положительны (A. M. Gaglione, A. G. Myasnikov,V.N. Remeslennikov, D. Spellman, Comm. Algebra, 25 (1997), 631–648). В той жеработе показано, что «а» эквивалентно «в». Известно также, что гомоморфизмМагнуса взаимно-однозначен на любой подгруппе группы FQ вида ⟨F, t | u = tn⟩(G.Baumslag, Comm. Pure Appl. Math., 21 (1968), 491–506).

г) Разрешима ли универсальная теория группы FA?д) (Г.Баумслаг). Можно ли охарактеризовать свободные A-группы функцией

длины?е) (Г.Баумслаг). Верно ли, что каждая свободная A-группа может свободно

действовать на каком-то Λ-дереве? См. определение в (R. Alperin, H.Bass, in:Combinatorial group theory and topology, Alta, Utah, 1984 (Ann. Math. Stud., 111),Princeton Univ. Press, 1987, 265–378). А.Г.Мясников, В.Н. Ремесленников

13.41. Разрешима ли элементарная теория класса всех групп, свободно действу-ющих на Λ-деревьях? А.Г.Мясников, В.Н. Ремесленников

13.42. Доказать, что тензорное A-пополнение (см. А. Г.Мясников, В.Н. Ремес-ленников, Сиб. мат. ж., 35, 5 (1994), 1106–1118) свободной нильпотентнойгруппы может быть ненильпотентным. А.Г.Мясников, В.Н. Ремесленников

13.43. (Дж.Робинсон). Гипотеза: Если дефектная группа D = D(B) p-блока Bхарактеров конечной группы неабелева и |D : Z(D)| = pa, то высота каждогохарактера из B строго меньше a. Й.Олссон (J. Olsson)

13.44. Для любого разбиения произвольной группы G на конечное число под-множеств G = A1 ∪ · · · ∪ An найдется такое подмножество разбиения Ai и такоеконечное подмножество F ⊆ G, что G = A−1i AiF (И.В. Протасов, Сиб. мат. ж.,34, 5 (1993), 163–180). Всегда ли можно выбрать подмножество F так, что|F | 6 n? Для аменабельных групп это верно. И.В.Протасов

13.45. Любую бесконечную группу G регулярной мощности m можно разбитьна два подмножества G = A1 ∪ A2 так, что A1F = G и A2F = G для всякогоподмножества F ⊂ G мощности, меньшей m. Верно ли это утверждение для группсингулярной мощности? И.В.Протасов

78 13-е издание, 1995 г.

13.48. (У.Комфорт, Дж. ван Милл). Топологическая группа называется неразло-жимой, если любые два ее плотные подмножества пересекаются. Верно ли, чтолюбая недискретная неразложимая группа содержит бесконечную подгруппу пе-риода 2? И.В.Протасов

13.49. (В. И.Малыхин). Можно ли топологическую группу разбить на два плот-ных подмножества при условии, что на группе имеется бесконечное число сво-бодных ультрафильтров, сходящихся к единице? И.В.Протасов

13.50. Пусть F — локальный класс Фиттинга. Верно ли, что частично упорядо-ченное по включению множество классов Фиттинга, входящих в F и отличныхот F, не имеет максимальных элементов? А.Н. Скиба

13.51. Вложима ли каждая конечная модулярная решетка в решетку формацийконечных групп? А.Н. Скиба

13.52. Размерностью конечно базируемого многообразия алгебр V называетсянаибольшая длина базиса (т. е. независимого порождающего множества) SC-теории SC(V ), состоящей из выполнимых в V строгих условий Мальцева. Раз-мерность считается бесконечной, если длины базисов в SC(V ) не ограничены.Всякая ли конечная абелева группа порождает многообразие конечной размер-ности? Д.М. Смирнов

13.53. Пусть a, b — элементы конечного порядка бесконечной группы G = ⟨a, b⟩.Верно ли, что найдется бесконечно много элементов g ∈ G, для которых под-группа ⟨a, bg⟩ бесконечна? А. И.Созутов

13.54. а) Верно ли, что при достаточно большом p любая (конечная) p-группаможет служить дополнением в некоторой группе Фробениуса (см. 6.55)?

А. И.Созутов

13.55. Существует ли группа Голода (см. 9.76), изоморфная AT -группе? Опре-деление AT -группы см. в (А. В. Рожков, Мат. заметки, 40, 5 (1986), 572–589).

А.В.Тимофеенко

13.57. Пусть φ — автоморфизм простого порядка p конечной группы G, такой,что CG(φ) 6 Z(G).

а) Верно ли, что при p = 3 группа G разрешима? В. Д. Мазуров и Т.Л. Не-дорезов (Алгебра и логика, 35, 6 (1996), 699–708) доказали, что G разрешимапри p = 2 и что G может быть неразрешимой при p > 3.

б) Верно ли, что ступень разрешимости группы G ограничена в терминах p,если G разрешима?

в) (В. К.Харченко). Верно ли, что ступень разрешимости группы G ограни-чена в терминах p, если G — p-группа? (В. В. Блудов указал пример, показыва-ющий, что ступень нильпотентности ограничить нельзя.) Е.И. Хухро

13-е издание, 1995 г. 79

∗13.58. Пусть φ — автоморфизм простого порядка p нильпотентной (периодиче-ской) группы G, для которого CG(φ) — группа конечного секционного ранга r.Верно ли, что G обладает нормальной подгруппой N , которая нильпотентна сту-пени, ограниченной некоторой функцией только от p, и для которой G/N — груп-па конечного секционного ранга, ограниченного в терминах r и p?

Для p = 2 это доказано в (P. Shumyatsky, Arch. Math., 71 (1998), 425–432).

Е.И. Хухро∗Да, верно (E. I. Khukhro, J. London Math. Soc., 77 (2008), 130–148).

13.59. Можно показать, что любое расширение вида Zd.SLd(Z) финитно ап-проксимируемо, за возможным исключением d = 3 или d = 5. Известно(P.R.Hewitt, in: Groups’93 Galway/St. Andrews (London Math. Soc. Lecture NoteSer., 212), Cambridge Univ. Press, 1995, 305–313), что существует не финитноаппроксимируемое расширение Z3 с помощью SL3(Z). Существует ли не фи-нитно аппроксимируемое расширение Z5 с помощью SL5(Z)? Есть ли вообщекакое-либо не финитно аппроксимируемое расширение рационального модуля спомощью арифметической подгруппы группы Шевалле, отличное от примероввида Z3.SL3(Z)? П. Р.Хьюит (P.R.Hewitt)

13.60. Верно ли, что локально ступенчатая группа, равная произведению двухсвоих подгрупп конечного специального ранга, сама имеет конечный специаль-ный ранг? Если сомножители — периодические группы, ответ утвердительный(Н.С. Черников, Укр. матем. ж., 42, 7 (1990), 962–970). Н.С. Черников

13.64. Группу G назовем OCn-группой, если πe(G) = 1, 2, . . . , n. Всякая лиOCn-группа локально конечна? Существуют ли бесконечные OCn-группы приn > 7? В.Ши (W. J. Shi)

13.65. Простую конечную группу, порядок которой делится ровно на n различ-ных простых чисел, назовем Kn-группой. Известно, что число K3-групп равно 8.K4-Группы классифицированы по модулю CFSG (W. J. Shi, in: Group Theory inChina (Math. Appl., 365), Kluwer, 1996, 166–167) и значительные продвиженияполучены в (Yann Bugeaud, Zhenfu Cao, M. Mignotte, J. Algebra, 241 (2001), 658–668). Но остается открытым вопрос: конечно или бесконечно число K4-групп?

В.Ши (W. J. Shi)

13.67. Пусть G — T0-группа (см. определение в 12.101), i — ее инволюция иG = гр(ig | g ∈ G). Будет ли централизатор CG(i) аппроксимироваться периоди-ческими группами? В. П.Шунков

80


14.1. Предположим, что G — конечная группа без нетривиальных нормальныхподгрупп нечетного порядка, φ — ее 2-автоморфизм, централизующий силовскую2-подгруппу из G. Верно ли, что φ2 — внутренний автоморфизм группы G?

Р.Ж.Алеев

14.2. (С.Д.Берман). Доказать, что любой автоморфизм центра целочисленногогруппового кольца конечной группы индуцирует мономиальную перестановку намножестве классовых сумм. Р.Ж.Алеев

14.3. Верно ли, что всякая центральная единица целочисленного групповогокольца конечной группы является произведением центрального элемента дан-ной группы и симметрической центральной единицы? (Единица симметрична,если она неподвижна относительно канонической антиинволюции, переставляю-щей коэффициенты при взаимно обратных элементах.) Р.Ж.Алеев

14.4. а) Верно ли, что существует нильпотентная группа G, для которой решеткаL (G) всех групповых топологий не является модулярной? (Известно, что дляабелевых групп решетка L (G) является модулярной и что существуют группыдля которых эта решетка не является модулярной: В. И.Арнаутов, А. Г.Топалэ,Изв. АН Молдова, 1997, 1, 84–92.)

б) Верно ли, что для любой счетной нильпотентной неабелевой группы Gрешетка L (G) всех групповых топологий не является модулярной?

В.И. Арнаутов

14.5. Пусть G — бесконечная группа, допускающая недискретные хаусдорфовыегрупповые топологии, а L (G) – решетка всех групповых топологий на G.

а) Верно ли, что для любого натурального числа k существует неуплотняемаяцепочка τ0 < τ1 < · · · < τk длины k хаусдорфовых топологий в L (G)? (Длясчетных нильпотентных групп это верно: А. Г.Топалэ, Деп. ВИНИТИ 3849–В 98, М., 25.12.98.)

б) Пусть k,m, n — натуральные числа и G — нильпотентная группа ступени k.Предположим, что τ0 < τ1 < · · · < τm и τ ′0 < τ ′1 < · · · < τ ′n — такие неуплотняемыецепочки хаусдорфовых топологий в L (G), что τ0 = τ ′0 и τm = τ ′n. Верно ли, чтотогда m 6 n · k и эту оценку нельзя улучшить? (Это верно при k = 1, так какдля абелевой группы G решетка L (G) является модулярной.)

в) Верно ли, что существует такая счетная группа G, что в решетке L (G)имеются конечная неуплотняемая цепочка τ0 < τ1 < · · · < τk хаусдорфовыхтопологий и бесконечная цепочка τ ′γ | γ ∈ Γ таких топологий, что τ0 < τ ′γ < τkдля любого γ ∈ Γ?

г) Пусть G — абелева группа, k — натуральное число. Пусть Ak — множе-ство всех таких хаусдорфовых групповых топологий на G, что для каждой то-пологии τ ∈ Ak любая неуплотняемая цепочка топологий, начинающаяся с τи кончающаяся дискретной топологией, имеет длину k. Верно ли, что тогдаAk

∩τ ′γ | γ ∈ Γ = ∅ для любой бесконечной неуплотняемой цепочки τ ′γ | γ ∈ Γ

хаусдорфовых топологий, содержащей дискретную топологию? (Для k = 1 этоверно.) В.И. Арнаутов

14-е издание, 1999 г. 81

14.6. Скажем, что группа Γ имеет свойство Pnai, если для любого конечногоподмножества F из Γ \ 1 существует элемент y0 ∈ Γ бесконечного порядка,такой, что для каждого x ∈ F канонический эпиморфизм свободного произведе-ния ⟨x⟩ ∗ ⟨y0⟩ на подгруппу ⟨x, y0⟩ группы Γ, порожденную элементами x и y0,является изоморфизмом. Имеет ли PSLn(Z) свойство Pnai для n ∈ 2, 3, . . .?Более общо, если Γ — решетка в связной вещественной простой группе Ли G (сцентром, редуцированным к 1), имеет ли Γ свойство Pnai?

Известны положительные ответы для n = 2 и, более общо, если вещественныйранг G равен 1 (M.Bekka, M. Cowling, P. de laHarpe, Publ. Math. IHES, 80 (1994),117–134). П. де ла Арп (P. de la Harpe)

14.7. Пусть Γg — фундаментальная группа замкнутой поверхности рода g > 2.Для каждой конечной системы S ее порождающих пусть βS(n) обозначает числоэлементов из Γg, которые могут быть записаны в виде произведения не более чемn элементов из S ∪ S−1, и пусть ω(Γg, S) = lim supn→∞

n√βS(n) обозначает поря-

док роста последовательности (βS(n))n>0. Вычислить инфимум ω(Γg) значенийω(Γg, S) по всем конечным множествам порождающих группы Γg.

Легко видеть, что для свободной группы Fk ранга k > 2 этот инфимум равенω(Fk) = 2k − 1 (M.Gromov, Structures metriques pour les varietes riemanniennes,Cedic/F.Nathan, 1981, Ex. 5.13). Поскольку любое множество порождающихгруппы Γg содержит подмножество из 2g − 1 элементов, порождающее подгруп-пу бесконечного индекса в Γg с фактор-группой по коммутанту Z2g−1, а значит,свободную подгруппу ранга 2g − 1, получается, что ω(Γg) > 4g − 3.

П. де ла Арп (P. de la Harpe)

14.8. Пусть G обозначает группу ростков на +∞ гомеоморфизмов вещественнойпрямой R, сохраняющих ориентацию. Пусть α — росток отображения x 7→ x+ 1.Каковы ростки β ∈ G, для которых подгруппа ⟨α, β⟩ группы G, порожденная αи β, свободна ранга 2?

Известно, что ⟨α, β⟩— свободная группа ранга 2, если β — росток отображенияx 7→ xk для нечетного k > 3. Опубликованные доказательства этого основаны натеории Галуа (для нечетного простого k: S. White, J. Algebra, 118 (1988), 408–422;для всех нечетных k > 3: S. A. Adeleke, A.M. W. Glass, L.Morley, J. London Math.Soc., 43 (1991), 255–268). П. де ла Арп (P. de la Harpe)

14.9. (Известный вопрос). Пусть W ∗(Fk) обозначает алгебру фон Ноймана сво-бодной группы ранга k ∈ 2, 3, . . . ,ℵ0. Изоморфны ли W ∗(Fk) и W ∗(Fl) дляk = l?

Напомним, что для группы G алгебра W ∗(G) — соответствующее пополне-ние групповой алгебры CG (см., например, S. Sakai, C∗-algebras and W ∗-algebras,Springer, 1971, в частности, Problem 4.4.44). Известно, что либо W ∗(Fk) ∼=W ∗(Fl)для всех k, l ∈ 2, 3, . . . ,ℵ0, либо алгебры W ∗(Fk) попарно неизоморфны(F.Radulescu, Invent. Math., 115 (1994), 347–389, Corollary 4.7).

П. де ла Арп (P. de la Harpe)

82 14-е издание, 1999 г.

14.10. (Известный вопрос). Известно, что любая рекурсивно определенная груп-па вкладывается в конечно определенную группу (G. Higman, Proc. Royal Soc.London Ser. A, 262 (1961), 455–475).

а) Указать явным образом “естественную” конечно определенную группуΓ и вложение аддитивной группы рациональных чисел Q в Γ. Имеется анало-гичный вопрос о группе Γn и вложении GLn(Q) в Γn. Другая формулировкатого же вопроса: найти симплициальный комплекс X, накрывающий конечныйкомплекс и такой, что фундаментальная группа комплекса X изоморфна Q или,соответственно, GLn(Q).∗б) Возможно, более легкий вопрос: найти явное вложение группы Q в конечно

порожденную группу; такая группа существует по теореме IV из (G. Higman,B.H. Neumann, H. Neumann, J. London Math. Soc., 24 (1949), 247–254).

П. де ла Арп (P. de la Harpe)∗б) Такое вложение указано в (V.H. Mikaelian, Int. J. Math. Math. Sci., 2005,

no. 13 (2005), 2119-–2123).

14.11. (Ю.И. Мерзляков). Известно, что для кольца R = Q[x, y] элементарнаягруппа E2(R) отлична от группы SL2(R). Найти минимальное подмножество A ⊆SL2(R) такое, что гр(E2(R), A) = SL2(R). В.Г.Бардаков

14.12. (Ю.И. Мерзляков, Дж. Бирман). Верно ли, что все группы кос Bn, n > 3,финитно аппроксимируемы относительно сопряженности? В.Г.Бардаков

14.13. Коммутаторной длиной элемента z из коммутанта группы G называетсянаименьшее число коммутаторов из G, произведение которых равно z.∗а) Существует ли простая группа, на которой коммутаторная длина не огра-

ничена?б) Существует ли конечно определенная простая группа, на которой комму-

таторная длина не ограничена? В.Г.Бардаков∗а) Простые группы с этим свойством построены в (J. Barge, E. Ghys, Math.

Ann., 294 (1992) 235–265), а конечно порожденные простые — в (A. Muranov, Int.J. Algebra Comput., 17 (2007), 607–659).

14.14. (Ч. Эдмундс, Г. Розенбергер). Пару натуральных чисел (k,m) назовем до-пустимой, если в коммутанте F ′2 свободной группы F2 найдется такой элемент w,что коммутаторная длина элемента wm равна k. Найти все допустимые пары.

Известно, что допустимы все пары (k, 2), k > 2 (В. Г. Бардаков, Алгебра илогика, 39 (2000), 395–440). В.Г.Бардаков

14.15. Для группы автоморфизмов An = AutFn свободной группы Fn данногоранга n > 3 найти точную верхнюю грань kn коммутаторных длин элементовиз A′n.

Легко показать, что k2 = ∞. С другой стороны, коммутаторная длина лю-бого элемента из коммутанта группы lim−→An не превосходит 2 (R.K. Dennis,L.N. Vaserstein, K-Theory, 2, N 6 (1989), 761–767). В.Г.Бардаков

14-е издание, 1999 г. 83

14.16. Следуя Ю.И. Мерзлякову, шириной вербальной подгруппы V (G) группыG относительно множества слов V назовем наименьшее m ∈ N ∪ ∞ такое, чтовсякий элемент подгруппы V (G) записывается в виде произведения 6 m значе-ний слов из V ∪V −1. Известно, что ширина любой вербальной подгруппы конечнопорожденной группы полиномиального роста конечна. Верно ли это утверждениедля конечно порожденных групп промежуточного роста? В.Г.Бардаков

14.17. Обозначим через IMA(G) подгруппу группы автоморфизмов AutG, со-стоящую из всех автоморфизмов, тождественно действующих на фактор-группеG/G′′. Найти порождающие и определяющие соотношения группы IMA(Fn), гдеFn — свободная группа ранга n > 3. В.Г.Бардаков

14.18. Скажем, что семейство групп D дискриминирует группу G, если длялюбого конечного подмножества a1, . . . , an ⊆ G\1 существует D ∈ D и гомо-морфизм φ : G→ D такой, что ajφ = 1 для всех j = 1, . . . , n. Дискриминируетсяли гиперболическими группами без кручения любая конечно порожденная груп-па, свободно действующая на каком-то Λ-дереве?

Г.Баумслаг (G. Baumslag), А. Г.Мясников, В.Н. Ремесленников

14.19. Скажем, что группа G обладает нетеровым свойством для уравнений,если любая система уравнений над G эквивалентна какой-то ее конечной подси-стеме. Обладает ли нетеровым свойством для уравнений произвольная гипербо-лическая группа?


14.20. Обладает ли нетеровым свойством для уравнений свободное произведениегрупп, если этим свойством обладают сомножители?


14.21. Обладает ли нетеровым свойством для уравнений свободная про-p-груп-па? Г.Баумслаг (G. Baumslag), А. Г.Мясников, В.Н. Ремесленников

14.22. Доказать, что любая неприводимая система уравнений S(x1, . . . , xn) = 1с коэффициентами в линейной группе без кручения G эквивалентна над G ко-нечной системе T (x1, . . . , xn) = 1, удовлетворяющей аналогу теоремы Гильбертао нулях, т. е. такой, что RadG(T ) =

√T . Это верно, если G — свободная группа

(O.Kharlampovich, A.Myasnikov, J.Algebra, 200 (1998), 472–570).Здесь S и T — подмножества свободного произведения G[X] = G ∗ F (X)

группы G и свободной группы с базисом X = x1, . . . , xn. По определению,RadG(T ) = w(x1, . . . , xn) ∈ G[X] | w(g1, . . . , gn) = 1 для любого решенияg1, . . . , gn ∈ G системы T (X) = 1, а

√T — минимальная нормальная изоли-

рованная подгруппа из G[X], содержащая T .


84 14-е издание, 1999 г.

14.23. Пусть Fn – свободная группа с базисом x1, . . . , xn, и пусть |·| — функциядлины в этом базисе. Для α ∈ AutFn положим ||α|| = max|α(x1)|, . . . , |α(xn)|.Верно ли, что существует рекурсивная функция f : N → N, обладающая сле-дующим свойством: для любого α ∈ AutFn существует такой базис y1, . . . , ykподгруппы Fix(α) = x | α(x) = x, что |yi| 6 f(||α||) для всех i = 1, . . . , k?

О.В. Богопольский

14.24. Пусть AutFn — группа автоморфизмов свободной группы ранга n с нор-мой || · || как в 14.23. Существует ли рекурсивная функция f : N × N → N, обла-дающая следующим свойством: для любых двух сопряженных элементов α, β ∈AutFn существует такой элемент γ ∈ AutFn, что γ−1αγ = β и ||γ|| 6 f(||α||, ||β||)?

О.В. Богопольский

14.26. Скажем, что квазимногообразие M замкнуто относительно прямых Z-сплетений, если прямое сплетение G ≀ Z принадлежит M для любой группыG ∈M (здесь Z — бесконечная циклическая группа). Является ли квазимногооб-разие, порожденное классом всех нильпотентных групп без кручения, замкнутымотносительно прямых Z-сплетений? А.И. Будкин

14.28. Пусть F — разрешимая фиттингова формация конечных групп со свой-ством Кегеля, т. е. F содержит каждую конечную группу вида G = AB = BC =CA, если A,B,C лежат в F. Является ли формация F насыщенной?

А.Ф. Васильев

14.29. Существует ли разрешимый класс Фиттинга конечных групп F, не явля-ющийся формацией и такой, что AF ∩BF ⊆ GF для любой конечной разрешимойгруппы вида G = AB? А.Ф. Васильев

14.30. Пусть lFitX обозначает локальный класс Фиттинга, порожденный множе-ством групп X, а Ψ(G) — наименьшую нормальную подгруппу конечной группыG такую, что lFit(Ψ(G) ∩M) = lFitM для всякой MG (K.Doerk, P.Hauck,Arch. Math., 35, 3 (1980), 218–227). Класс Фиттинга F назовем насыщенным,если из Ψ(G) ∈ F всегда следует G ∈ F. Верно ли, что каждый непустой разре-шимый насыщенный класс Фиттинга является локальным? Н.Т.Воробьев

14.31. Конечна ли решетка подклассов Фиттинга класса Фиттинга, порожден-ного конечной разрешимой группой? Н.Т.Воробьев

∗14.32. Расширяя классическое определение, определим формацию (не обяза-тельно конечных) групп как непустой класс групп, замкнутый относительно го-моморфных образов и подпрямых произведений с конечным числом сомножите-лей. Является ли многообразием любая формация, аксиоматизируемая в языкепервого порядка? А. Гаглион (A.M. Gaglione), Д. Спеллман (D. Spellman)∗Нет, всякое многообразие групп, содержащее конечную неразрешимую груп-

пу, содержит аксиоматизируемую подформацию, не являющуюся многообразием(K.A. Kearnes, выходит в J. Group Theory).

14-е издание, 1999 г. 85

∗14.33. Существует ли конечно определенная про-p-группа (p — простое чис-ло), в которую вкладывается любая про-p-группа со счетной базой открытыхмножеств? Р.И. Григорчук∗Да, существует: Ноттингемская группа над Fp при p > 2, конечная определен-

ность которой доказана в (M. V.Ershov, J. London Math. Soc., 71 (2005), 362–378).(М.Ершов, Письмо от 19.10.2009).

∗14.34. По определению локально компактная группа обладает T -свойствомКаждана, если тривиальное представление является изолированной точкой вестественном топологическом пространстве унитарных представлений этой груп-пы. Существует ли проконечная группа с двумя плотными дискретными подгруп-пами, одна из которых аменабельна, а другая обладает T -свойством Каждана?

Дальнейшие мотивации см. в (A. Lubotzky, Discrete groups, expanding graphsand invariant measures (Progress in Math., Boston, Mass., 125), Birkhauser, Basel,1994). Р.И. Григорчук, А.Любоцки (A. Lubotzky)∗Да, существует (M.Kassabov, Invent. Math., 170 (2007), 297–326; M. Ershov,

A. Jaikin-Zapirain, Invent. Math., 179, 303–347).

14.35. Конечна ли всякая конечно определенная группа простого периода?

Н. Гупта (N. D.Gupta)

14.36. Группа G называется T -группой, если всякая ее субнормальная подгруппанормальна, и G называется T -группой, если все ее подгруппы являются T -груп-пами. Верно ли, что любая непериодическая локально ступенчатая T -группа абе-лева? Ф. де Джованни (F. de Giovanni)

14.37. Пусть G(n) — одна из классических групп (специальная, ортогональнаяили симплектическая) (n×n)-матриц над бесконечным полемK ненулевой харак-теристики, а M(n) — пространство всех (n×n)-матриц над K. Группа G(n) дей-ствует диагонально сопряжением на пространстве M(n)m = M(n)⊕ · · · ⊕M(n)︸︷︷︸

m

.

Указать порождающие алгебры инвариантов K[M(n)m]G(n).Для поля характеристики 0 ответ известен (C. Procesi, Adv. Math., 19

(1976), 306–381). Прим. 2001 г.: для полей положительной характеристики см.(А.Н. Зубков, Алгебра и логика, 38, 5 (1999), 549–584), где задача решена длявсех случаев, кроме ортогональных групп в характеристике 2 и специальных ор-тогональных групп четной степени. А.Н. Зубков

14.38. Для любой про-p-группы G (2×2)-матриц при p = 2 выполняется аналогальтернативы Титса: либо G разрешима, либо многообразие про-p-групп, порож-

денное G, содержит группу⟨(

1 t0 1

),

(1 0t 1

)⟩6 SL2(Fp[[t]]) (Алгебра и логика,

29, 4 (1990), 430–451). Верен ли этот результат для матриц размера > 3 приp = 2? А.Н. Зубков

14.39. Пусть F (V ) — свободная группа некоторого многообразия про-p-групп V .Ограничены ли в совокупности периоды периодических элементов из F (V )? Этоверно, если многообразие V метабелево (А.Н. Зубков, Докт. дисс., Омск, 1997).

А.Н. Зубков

86 14-е издание, 1999 г.

14.40. Представима ли свободная про-p-группа как абстрактная группа матри-цами над ассоциативно-коммутативным кольцом с 1? А.Н. Зубков

14.41. Группа G называется парасвободной, если все факторы γi(G)/γi+1(G) еенижнего центрального ряда изоморфны соответствующим факторам некоторойсвободной группы и

∩∞i=1 γi(G) = 1. Представима ли произвольная парасвобод-

ная группа матрицами над ассоциативно-коммутативным кольцом с 1?

А.Н. Зубков

14.42. Представима ли свободная про-p-группа матрицами над ассоциативно-коммутативным проконечным кольцом с 1?

Отрицательный ответ эквивалентен тому, что на любой линейной про-p-группе выполняется нетривиальное про-p-тождество; известно, что это так в раз-мерности 2 (при p = 2: А.Н. Зубков, Сиб. мат. ж., 28 (1987), 64–69; при p = 2:Е.И. Зельманов, неопубл.). А.Н. Зубков, В. Н. Ремесленников

14.43. Пусть конечная группа G имеет вид G = AB, где A и B — нильпотентныеподгруппы ступеней α и β соответственно; тогда группа G разрешима (О.Кегель,Х.Виландт, 1961). Хотя ступень разрешимости dl(G) группы G не обязательноограничена суммой α+β (см. Архив, 5.17), можно ли ограничить dl(G) (линейной)функцией от α и β? Л. С.Казарин

14.44. Пусть k(X) обозначает число классов сопряженных элементов конечнойгруппы X. Предположим, что конечная группа G = AB является произведениемподгрупп A,B взаимно простых порядков. Верно ли, что k(AB) 6 k(A)k(B)?

Заметим, что условие взаимной простоты опустить нельзя и что ответ поло-жительный, если одна из подгрупп нормальна, см. Архив, 11.43.

Л.С.Казарин, Дж.Сангронис (J. Sangroniz)

14.45. Существует ли (неабелева простая) линейно правоупорядочиваемая груп-па, все собственные подгруппы которой циклические? У.Э. Кальюлайд

14.46. Говорят, что конечная группа G почти проста, если T 6 G 6 Aut(T )для некоторой неабелевой простой группы T . Назовем конечным линейным про-странством множество точек V вместе с набором k-элементных подмножествиз V , называемых прямыми (k > 3), таких, что каждые две точки содержат-ся ровно в одной прямой. Классифицировать конечные линейные пространства,допускающие почти простую подгруппу G автоморфизмов, которая действуеттранзитивно на точках и на прямых.

А. Камина, П.Нойман и Ч. Прэгер решили эту задачу в случае, когда T — зна-копеременная группа. В (A. Camina, C. E. Praeger, Aequat. Math., 61, 3 (2001),221–232) показано, что транзитивная на прямых группа автоморфизмов конечно-го линейного пространства, которая квазипримитивна на точках (т. е. в которойкаждая нетривиальная нормальная подгруппа транзитивна на точках), должнабыть почти простой или аффинной.

Прим. 2005 г.: Случай группы PSU(3, q), но не почти простой группы с этимцоколем рассмотрен в (W.Liu, Linear Algebra Appl., 374 (2003), 291–305); груп-пы PSL(2, q) но не почти простой группы с этим цоколем в (W. Liu, J. Combin.Theory (A), 103 (2003), 209–222); группы Sz(q), но не почти простой группы с

14-е издание, 1999 г. 87

этим цоколем в (W.Liu, Discrete Math., 269 (2003), 181–190); группыRee(q), но непочти простой группы с этим цоколем в (W.Liu, European J. Combin., 25 (2004),311–325); случай спорадической простой группы рассмотрен (A. R.Camina, F. Spiezia,J. Combin. Des., 8 (2000), 353–362). Прим. 2009 г.: Показано (N. Gill,http://arxiv.org/abs/0903.3302), что для недезарговых проективных плоско-стей точечно-квазипримивная группа была бы аффинной.

А.Камина (A.Camina), Ч.Прэгер (C. E. Praeger)

14.47. Модулярна ли решетка всех разрешимых классов Фиттинга конечныхгрупп? С.Ф. Каморников, А.Н. Скиба

14.51. (Известные проблемы). Имеет ли конечный базис тождеств любая группа,являющаяся расширением абелевой группы

а) с помощью нильпотентной?б) с помощью конечной?в) с помощью конечной нильпотентной? А. Н.Красильников

14.53. Гипотеза: Пусть G — проконечная группа, в которой множество решенийуравнения xn = 1 имеет положительную меру Хаара. Тогда в G есть открытаяподгруппа H и элемент t такие, что порядки всех элементов смежного класса tHделят n.

Это верно в случае n = 2. Интересно выяснить, верны ли подобные результа-ты для проконечных групп, в которых множество решений какого-то уравненияимеет положительную меру. Л.Леваи (L. Levai), Л.Пыбер (L. Pyber)

14.54. Пусть k(G) обозначает число классов сопряженных элементов конечнойгруппы G. Верно ли, что k(G) 6 |N | для некоторой нильпотентной подгруппыN 6 G? Это верно, если G проста; кроме того, всегда k(G) 6 |S| для некоторойразрешимой подгруппы S 6 G. М.Либек (M.W. Liebeck), Л. Пыбер (L. Pyber)

14.55. Доказать, что Ноттингэмская группа J = N(Z/pZ) (см. Архив, 12.24)конечно определена Ч.Лидхэм-Грин (C. R. Leedham-Green)∗а) при p > 2;б) при p = 2.

∗а) Доказано при p > 2 (M.V. Ershov, J. London Math. Soc., 71 (2005), 362–378).

14.56. Доказать, что если G — бесконечная про-p-группа такая, что фактор-группа G/γ2p+1(G) изоморфна фактор-группе J/γ2p+1(J) Ноттингэмской груп-пы J , то G изоморфна J . Ч.Лидхэм-Грин (C. R. Leedham-Green)

14.57. Описать наследственно едва бесконечные про-p-группы конечной ширины.Про-p-группа G имеет конечную ширину pd, если |γi(G)/γi+1(G)| 6 pd для

всех i; группа G наследственно едва бесконечна, если G бесконечна и каждаяее открытая подгруппа не имеет замкнутых нормальных подгрупп бесконечногоиндекса. Ч.Лидхэм-Грин (C. R. Leedham-Green)

88 14-е издание, 1999 г.

14.58. а) Пусть A — периодическая группа регулярных автоморфизмов абелевойгруппы. Является ли группа A циклической, если она имеет простой период?


14.59. Пусть G — трижды транзитивная группа, в которой стабилизатор двухточек не содержит инволюций, а стабилизатор трех точек тривиален. Верно ли,что G подобна группе PGL2(P ) в ее естественном действии на проективной пря-мой P ∪ ∞ для некоторого поля P характеристики 2? Это верно при условиипериодичности стабилизатора двух точек. В.Д. Мазуров

∗14.60. Пусть H — нетривиальная нормальная подгруппа конечной группы G,и пусть фактор-группа G/H изоморфна одной из простых групп Ln(q), n > 3.Верно ли, что вG найдется элемент, порядок которого отличен от порядка любогоэлемента из G/H? В.Д. Мазуров∗Это верно для n = 4 (А.В. Заварницин, Сиб. матем. ж., 49, 2 (2008),

309–322) и неверно для n = 4 (А.В. Заварницин, Сиб. электрон. матем. изв., 5(2008), 68–74).

14.61. Найти все пары (S , G), где S — получастичная геометрия, а G — по-чти простая флаг-транзитивная группа автоморфизмов S . Система точек и пря-мых (P,B) называется получастичной геометрией с параметрами (α, s, t, µ), есликаждая точка лежит точно на t+1 прямой (две различные точки лежат не болеечем на одной прямой); каждая прямая содержит точно s + 1 точку; для любогоантифлага (a, l) ∈ (P,B) число прямых, проходящих через a и пересекающих l,равно или 0 или α; и для любых неколлинеарных точек a, b найдется точно µточек, коллинеарных с a и с b. А.А. Махнев

∗14.63. Каковы композиционные факторы неразрешимых конечных групп с 2-нильпотентными, в частности, со сверхразрешимыми, нормализаторами силов-ских подгрупп? В.С.Монахов∗Описаны в (Л.С. Казарин, А. А.Волочков, Матем. в Ярославском унив.: сб.

обзоров к 30-летию Матем. фак., Ярославль, 2006, 243–255).

14.64. (М.Ньюмэн). Классифицировать конечные 5-группы максимальной сту-пени нильпотентности; компьютерные вычисления подсказывают ряд гипотез(M.F. Newman, in: Groups–Canberra, 1989 (Lecture Notes Math., 1456), Springer,Berlin, 1990, 49–62). А.Морето (A. Moreto)

14-е издание, 1999 г. 89

14.65. (Известный вопрос). Для конечной группы G пусть ρ(G) обозначает мно-жество простых чисел, делящих порядок какого-либо класса сопряженных эле-ментов, а σ(G) — максимум числа простых делителей порядка класса сопряжен-ных элементов. Верно ли, что |ρ(G)| 6 3σ(G)?

Возможная линейная оценка для |ρ(G)| в терминах σ(G) не можетбыть лучше, чем 3σ(G), так как имеется семейство групп Gn такое, чтоlimn→∞ |ρ(Gn)|/σ(Gn) = 3 (C.Casolo, S. Dolfi, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 96(1996), 121–130).

Прим. 2009 г.: квадратичная оценка получена в (A. Moreto, Int. Math. Res.Not., 2005, no. 54, 3375–3383), и линейная в (C.Casolo, S. Dolfi, J. Group Theory,10, no. 5 (2007), 571–583). А.Морето (A. Moreto)

14.67. Пусть a — такой неединичный элемент конечной группы G, что |CG(a)| >|CG(x)| для любого неединичного элемента x из G, и пусть H — нильпотентнаяподгруппа группы G, допустимая относительно CG(a). Верно ли, что H 6 CG(a)?Если H — абелева группа или если H является p′-группой для некоторого про-стого числа p из π(Z(CG(a))), то ответ положителен.

И.Т.Мухаметьянов, А. Н.Фомин

14.68. (Известный вопрос). Пусть F — автоморфизм порядка 2 кольца многочле-нов Rn = C[x1, . . . , xn], n > 2. Существует ли автоморфизм G кольца Rn такой,что G−1FG — линейный автоморфизм?

При n = 2 ответ положительный. М.В. Нещадим

14.69. Для каждой конечной простой неабелевой группы найти минимум числапорождающих инволюций, удовлетворяющих дополнительному условию, в каж-дом из следующих случаев.

а) Произведение порождающих инволюций равно 1.б) (Малле–Саксл–Вайгель). Все порождающие инволюции сопряжены.в) (Малле–Саксл–Вайгель). Выполняются одновременно свойства а) и б).

Прим. ред. 2009 г.: Это число найдено в (J. Ward, PhD Thesis, QMW, 2009) длявсех простых групп за исключением L6(q), когда q ≡ 3 (mod 4); в большинствеслучаев оно равно 5, иногда 6, и только для одной группы 7.

г) Все порождающие инволюции сопряжены и две из них перестановочны.

Я.Н.Нужин

14.70. Группа G называется n-энгелевой, если на ней выполняется тождество[x, y, . . . , y] = 1, где y встречается n раз. Существуют ли ненильпотентные конеч-но порожденные n-энгелевы группы? Б.И.Плоткин

14.72. Пусть X — регулярное алгебраическое многообразие над полем произ-вольной характеристики, а G — конечная циклическая группа автоморфизмов X.Предположим, что многообразие XG неподвижных точек группы G образует ре-гулярную гиперповерхность многообразия X (коразмерности 1). Будет ли гео-метрический фактор X/G регулярным многообразием? К. Н.Пономарев

90 14-е издание, 1999 г.

14.73. Гипотеза: существует функция f на натуральных числах, такая, что ес-ли Γ — конечный вершинно-транзитивный локально-квазипримитивный граф ва-лентности v, то число автоморфизмов, фиксирующих данную вершину, не превос-ходит f(v). (Вершинно-транзитивный граф Γ локально-квазипримитивен, еслистабилизатор в Aut(Γ) вершины α квазипримитивен (см. 14.46) в своем действиина множестве вершин, смежных с α.)

Доказательство этой гипотезы сведено к случаю, когда каждая нетривиаль-ная нормальная подгруппа из Aut(Γ) имеет не больше двух орбит на вершинах(C.E. Praeger, Ars Combin., 19A (1985), 149–163). Аналогичная гипотеза для ко-нечных вершинно-транзитивных локально-примитивных графов была сделанаР.Вайссом (R.Weiss) в 1978 г. и до сих пор открыта. Для недвудольных графовимеется «сведение» гипотезы Вайсса к случаю, когда группа автоморфизмов по-чти проста (см. 14.46) (M. Conder, C. H. Li, C. E. Praeger, Proc. Edinburgh Math.Soc. (2), 43, 1 (2000), 129–138). Ч.Прэгер (C. E. Praeger)

14.74. Пусть k(G) обозначает число классов сопряженных элементов конечнойгруппы G. Верно ли, что k(G) 6 k(P1) · · · k(Ps), где P1, . . . , Ps — силовские под-группы из G такие, что |G| = |P1| · · · |Ps|? Л.Пыбер (L. Pyber)

14.75. Пусть G = G1, G2, . . . — семейство конечных 2-порожденных групп,которое порождает многообразие всех групп. Верно ли, что свободная группаранга 2 аппроксимируется группами из G? Л.Пыбер (L. Pyber)

14.76. Существует ли абсолютная константа c такая, что любая p-группа P имеетабелеву секцию A, удовлетворяющую условию |A|c > |P |?

Согласно результату А.Ю. Ольшанского (Матем. заметки, 23 (1978), 337–342) нельзя требовать, чтобы A была подгруппой. По теореме из (J.G. Thompson,J. Algebra, 13 (1969), 149–151) существование такой секции A давало бы суще-ствование подгруппы H ступени нильпотентности 2, удовлетворяющей условию|H|c > |P |. Л.Пыбер (L. Pyber)

14.78. Предположим, что H ⊆ F1 ⊆M и H ⊆ F2 ⊆M, где H и M — локальныеформации конечных групп и F1 — дополнение к F2 в решетке всех формаций,заключенных между H и M. Верно ли, что F1 и F2 — локальные формации? Этоверно, если H = (1). А.Н. Скиба

14.79. Предположим, что F = MH = lFit(G) — разрешимый однопорожденныйлокальный класс Фиттинга конечных групп, где H и M — классы Фиттинга иM = F. Является ли H локальным классом Фиттинга? А.Н. Скиба

∗14.80. Является ли модулярной решетка всех тотально локальных формацийконечных групп? В разрешимом случае эта решетка даже дистрибутивна. Опре-деление тотально локальной формации см. в (А.Н. Скиба, Л.А. Шеметков, Фор-мации алгебраических систем, М., Наука, 1989). А.Н. Скиба, Л. А.Шеметков∗Да, является даже дистрибутивной (V. G. Safonov, Commun. Algebra, 35

(2007), 3495–3502).

14.81. Доказать, что формация, порожденная конечной группой, имеет толькоконечное число Sn-замкнутых подформаций. А.Н. Скиба, Л. А.Шеметков

14-е издание, 1999 г. 91

14.82. (Известный вопрос). Описать конечные простые группы, в которых каж-дый элемент является произведением двух инволюций. А. И.Созутов

14.83. Бесконечную простую группу G назовем монстром третьего рода, еслидля любых ее неединичных элементов a, b, хотя бы один из которых не являетсяинволюцией, найдется бесконечно много элементов g ∈ G со свойством ⟨a, bg⟩ = G(ср. с определениями В. П.Шункова в Архиве, 6.63, 6.64). Верно ли, что любаяпростая квазичерниковская группа — монстр третьего рода? Это верно для ква-зиконечных групп (А. И.Созутов, Алгебра и логика, 36, 5 (1997), 573–598). (Мыназываем не-σ группу квази-σ группой, если все ее собственные подгруппы обла-дают свойством σ.) А. И.Созутов

14.84. Элемент g свободной группы Fr(M) ранга r многообразия M называетсяпримитивным, если его можно включить в базис этой группы.

а) Существует ли группа Fr(M) и не примитивный элемент h ∈ Fr(M) такие,что для некоторого мономорфизма α группы Fr(M) элемент α(h) примитивен?

б) Существует ли группа Fr(M) и не примитивный элемент h ∈ Fr(M) такие,что для некоторого n > r элемент h примитивен в группе Fn(M)?

Е.И.Тимошенко

14.85. Предположим, что эндоморфизм φ свободной метабелевой группы ран-га r переводит каждый примитивный элемент в примитивный. Является ли φавтоморфизмом? Для r 6 2 это так. Е.И. Тимошенко, В. Э. Шпильрайн

∗14.88. Назовем элемент u группы G тестовым, если любой эндоморфизм φгруппы G, для которого φ(u) = u, является автоморфизмом группы G. Обла-дает ли свободная разрешимая группа ранга 2 и ступени разрешимости d > 2тестовыми элементами? Б.Файн (B. Fine), В. Э. Шпильрайн∗Да, обладает (Е. И. Тимошенко, Алгебра и логика, 45, 4 (2006), 447–457.)

14.89. (Э.О’Брайен, А.Шалев). Пусть P — конечная p-группа порядка pm ипусть m = 2n+ e, где e = 0 или 1. По теореме Ф. Холла число классов сопряжен-ных элементов группы P имеет вид n(p2−1)+pe+a(p2−1)(p−1) для некоторогоцелого числа a > 0, называемого избытком группы P .

а) Ограничена ли коступень группы P в терминах a? Заметим, что если a = 0,то коступень равна 1, и что во всех известных примерах с a = 1 коступень 6 3.(Группа P имеет коступень r, если ее порядок равен pc+r, где c — ее ступеньнильпотентности.)

б) Существует ли элемент s ∈ P такой, что |CP (s)| 6 pf(a) для некоторогоf(a), зависящего только от a? Мы уже знаем, что можно положить f(0) = 2, ипохоже на то, что можно взять f(1) = 3.

Заметим, что |P | 6 pf(p,a) для некоторой функции f , зависящей только от pи a (A. Jaikin–Zapirain, J. Group Theory, 3, 3 (2000), 225–231).

Г.Фернандес–Алкобер (G. Fernandez–Alcober)

92 14-е издание, 1999 г.

14.90. Пусть P — конечная p-группа ступени нильпотентности c и с избытком a.Существует ли натуральное число t = t(a) такое, что γi(G) = ζc−i+1(G) для i > t?Это верно при a = 0 для t = 1, так как тогда P — группа максимальной ступени;можно доказать, что при a = 1 можно положить t = 3.


14.91. Пусть p — фиксированное простое число. Существуют ли конечные p-группы с избытком a для любого a > 0?


∗14.92. (И.Д. Макдональд). В каждой конечной p-группе не менее p− 1 классовсопряженных элементов максимального размера. Существуют группы порядка2n, n > 7, имеющие ровно один класс сопряженных элементов максимальногоразмера (I. D. Macdonald, Proc. Edinburgh Math. Soc., 26 (1983), 233–239). Су-ществуют ли конечные p-группы, имеющие ровно p − 1 классов сопряженныхэлементов максимального размера, для нечетных p?

Г.Фернандес–Алкобер (G. Fernandez–Alcober)∗Да, существуют, для p = 3 (A. Jaikin–Zapirain, M. F.Newman, E. A.O’Brien,

Israel J. Math., 172, no. 1 (2009), 119–123).

14.93. Пусть N(Z/pZ) — группа, определенная в Архиве, 12.24 (так называемая«Ноттингэмская» или «дикая» группа). Найти определяющие соотношения груп-пы N(Z/pZ) как про-p-группы (она порождается двумя элементами, например,x + x2 и x/(1 − x)). Прим. 2009 г.: для p > 2 см. прогресс в (M. V. Ershov, J.London Math. Soc., 71 (2005), 362–378). И.Б.Фесенко

14.94. Для каждого натурального r найти p-когомологическую размерностьcdp(Hr) замкнутой подгруппы Hr группы N(Z/pZ), состоящей из рядов

x

(1 +

∞∑i=1

aixpri

), ai ∈ Z/pZ. И.Б.Фесенко

14.95. (Ч. Лидхэм-Грин, П. Ньюмэн, Дж. Уайголд). Для конечной p-группы Pпусть c = c(P ) обозначает ступень нильпотентности, а b = b(P ) ширину, т. е.pb — максимальный размер класса сопряженных элементов группы P . Проблемаступени–ширины: Верно ли, что c 6 b+ 1, если p = 2?

Пока наилучшая оценка: c < pp−1b + 1 (C.R. Leedham-Green, P.M. Neumann,

J.Wiegold, J. London Math. Soc. (2), 1 (1969), 409–420). При p = 2 для любогоn ∈ N существует 2-группа Tn такая, что c(Tn) > b(Tn)+n (W.Felsch, J.Neubuser,W.Plesken, J. London Math. Soc. (2), 24 (1981), 113–122). А.Хайкин (A. Jaikin)

14.97. Верно ли, что для любых различных простых чисел p и q существуетнепримарная периодическая локально разрешимая p, q-группа, представимаяв виде произведения двух своих p-подгрупп? Н.С. Черников

14-е издание, 1999 г. 93

14.98. Метрическое пространство назовем 2-концевым (узким), если оно квазии-зометрично вещественной прямой (соответственно, ее подмножеству). Остальныепространства назовем широкими. Допустим, что граф Кэли Γ = Γ(G,A) группыG с конечным порождающим множеством A в естественной метрике содержит2-концевое подмножество, и пусть существует такое ε > 0, что дополнение в Γк ε-окрестности любого связного 2-концевого подмножества содержит ровно двеширокие компоненты связности. Верно ли, что группа G в словарной метрикеквазиизометрична евклидовой или гиперболической плоскости? В.А.Чуркин

14.99. Формация конечных групп F называется суперрадикальной, если она Sn-замкнута и содержит каждую конечную группу вида G = AB, где A и B —F-субнормальные F-подгруппы.

а) Найти все суперрадикальные локальные формации.б) Доказать, что всякая S-замкнутая суперрадикальная формация является

разрешимо насыщенной формацией. Л.А.Шеметков

14.100. Верно ли, что в группе Шункова (т. е. в сопряженно бипримитивноконечной группе, см. 6.59), содержащей бесконечно много элементов конечногопорядка, каждый элемент простого порядка содержится в некоторой бесконеч-ной локально конечной подгруппе? Это верно при дополнительном условии, чтоэтот элемент с любым своим сопряженным порождает разрешимую подгруппу(В.П. Шунков, Mp-группы, М., Наука, 1990). А.К. Шлепкин

14.101. Группа G насыщена группами из класса X, если любая конечная под-группа K 6 G содержится в подгруппе L 6 G, изоморфной некоторой группеиз X. Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простымигруппами лиевского типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама яв-ляется простой группой лиевского типа конечного ранга? А.К. Шлепкин

14.102. (В.Лин). Пусть Bn — группа кос с n нитями, и пусть n > 4.а) Имеет ли группа Bn нетривиальные неинъективные эндоморфизмы?б) Верно ли, что каждый нетривиальный эндоморфизм коммутанта [Bn, Bn]

является его автоморфизмом?∗в) Обладает ли группа Bn собственными неабелевыми фактор-группами без

кручения? Прим. 2001 г.: в (S. P.Humphries, Int. J. Algebra Comput., 11, 3(2001), 363–373) построено представление группы Bn, для которого показано,что оно дает неабелевы фактор-группы без кручения для Bn и для [Bn, Bn] приn < 7. Представляется вероятным, что то же представление годится и для другихзначений n. В. Э.Шпильрайн∗в) Да, обладает; более того, каждая группа кос Bn аппроксимируется почти

нильпотентными группами без кручения (P. Linnell, T. Schick, J. Amer. Math. Soc.,20, no. 4 (2007), 1003–1051).

94


15.1. (П.Лонгобарди, М.Май, А.Ремтулла). Пусть w = w(x1, . . . , xn) — груп-повое слово от n переменных x1, . . . , xn, и пусть V (w) — многообразие групп,заданное тождеством w = 1. Пусть V (w∗) (соответственно V (w#)) обозначаеткласс всех групп G, в которых для любых n бесконечных подмножеств S1, . . . , Sn

существуют элементы si ∈ Si такие, что w(s1, . . . , sn) = 1 (соответственно⟨s1, . . . , sn⟩ ∈ V (w)). Существуют ли слово w и бесконечная группа G,

а) для которых G ∈ V (w#), но G /∈ V (w)?б) для которых G ∈ V (w∗), но G /∈ V (w#)?Предполагаемый ответ на оба вопроса: «да». Известно, что в качестве w для

а) не подходят слова xn1 , [x1, . . . , xn], [x1, x2]2, (x1x2)

3x−32 x−31 и xa11 · · ·xan

n длялюбых ненулевых целых чисел a1, . . . , an. А.Абдоллахи (A.Abdollahi)

15.2. По теореме Бернсайда для любого нелинейного неприводимого характераχ ∈ Irr(G) конечной группы G существует такой элемент x ∈ G, что χ(x) = 0, т. е.только линейные характеры являются «неисчезающими». Интересно рассмотретьдвойственное понятие неисчезающих элементов конечной группы G, т. е. такихx ∈ G, что χ(x) = 0 для всех χ ∈ Irr(G).

а) Доказано (I.M. Isaacs, G.Navarro, T. R. Wolf, J. Algebra, 222, 2 (1999),413–423), что если группа G разрешима и x — неисчезающий элемент нечетногопорядка из G, то x лежит в подгруппе Фиттинга F(G). Верно ли это также дляэлементов четного порядка? (Миямото показал в 2008 г., что каждая нетриви-альная абелева нормальная подгруппа конечной группы содержит неисчезающийэлемент.)

б) Какие неабелевы простые группы обладают неединичными неисчезающимиэлементами? (Например, A7 обладает.) И.Айзекс (I. Isaacs)

15.3. Пусть α и β — точные нелинейные неприводимые характеры конечной груп-пы G. Существуют неразрешимые группы G, для которых произведение αβ сноваявляется неприводимым характером (для некоторых из таких α, β). Один из при-меров дает группа G = SL2(5) с двумя неприводимыми характерами степени 2.Доказано, что знакопеременная группа An дает такого рода примеры тогда итолько тогда, когда n— квадрат целого числа, больший 4 (I. Zisser, Israel J. Math.,84, 1–2 (1993), 147–151). Существуют ли разрешимые примеры? Некоторые со-ображения в пользу того, что таких примеров нет, см. в (I.M. Isaacs, J. Algebra,223, 2 (2000), 630–646). И.Айзекс (I. Isaacs)

15.5. (Известная проблема). Существует ли бесконечная конечно порожденнаяпростая аменабельная группа? П. де ла Арп (P. de la Harpe)

∗15.6. (Известная проблема). Верно ли, что p-группы Голода неаменабельны?См. определение в (Е. С. Голод, Изв. АН СССР, сер мат., 28, 2 (1964), 273–

276). П. де ла Арп (P. de la Harpe)∗Да, более того, такие группы обладают бесконечными фактор-группами с T -

свойством Каждана (M. Ershov, A. Jaikin-Zapirain, Kazhdan quotients of Golod–Shafarevich groups, Preprint (2009), arXiv:0908.3734).

15-е издание, 2002 г. 95

15.7. (Известная проблема). Верно ли, что приведенная C∗-алгебра счетной груп-пы без нетривиальных аменабельных нормальных подгрупп всегда является про-стой C∗-алгеброй с единственным следом? См. (M. B. Bekka, P. de la Harpe, Expos.Math., 18, 3 (2000), 215–230).

Прим. 2009 г.: Это доказано для линейных групп (T. Poznansky,Characterization of linear groups whose reduced C∗-algebras are simple (2009),arXiv:0812.2486v3). П. де ла Арп (P. de la Harpe)

15.8. б) Пусть G — любая группа Ли (или даже любая отделимая непрерывнаягруппа), рассматриваемая как дискретная: может ли группа G точно действоватьна счетном множестве? П. де ла Арп (P. de la Harpe)

15.9. Автоморфизм φ свободной группы Fn с базой x1, x2, . . . , xn называется со-прягающим, если xφi = t−1i xπ(i)ti, i = 1, 2, . . . , n, для некоторой подстановкиπ ∈ Sn и некоторых элементов ti ∈ Fn. Множество сопрягающих автоморфизмов,оставляющих на месте произведение x1x2 · · ·xn, образует группу кос Bn. Извест-но, что группа Bn линейна для всякого n > 2, в то время как группа AutFn нелинейна при n > 3. Линейна ли группа всех сопрягающих автоморфизмов приn > 3? В.Г.Бардаков

∗15.10. (Ю.И. Мерзляков). Линейна ли при n > 3 группа всех автоморфизмовсвободной группы Fn, действующих тождественно на Fn/[Fn, Fn]? В.Г.Бардаков

∗Нет, не линейна: для n > 5 (A. Pettet, Cohomology of some subgroups of theautomorphism group of a free group, Ph.D. Thesis, 2006), и для n > 3 (V.G. Barda-kov, R. Mikhailov, Commun. Algebra, 36, no. 4 (2008), 1489–1499).

15.11. (М.Мориги). Автоморфизм группы называется степенным, если он пере-водит всякую подгруппу в себя. Всякая ли конечная абелева p-группа являетсягруппой всех степенных автоморфизмов некоторой группы? В.Г.Бардаков

15.12. Пусть группа G действует точно и сферически-транзитивно автоморфиз-мами на корневом дереве T . Жесткий стабилизатор вершины v дерева T со-стоит из тех элементов из G, которые действуют только внутри поддерева Tv скорнем в v. Для неотрицательного целого n жесткий стабилизатор n-го уров-ня — это подгруппа группы G, порожденная всеми жесткими стабилизаторамивершин уровня n в дереве T . Группа G называется ветвящейся, если все жест-кие стабилизаторы уровней имеют конечный индекс в G. Мотивировки, примерыи известные результаты см. в (R. I.Grigorchuk, in: New horizons in pro-p groups,Birkhauser, Boston, 2000, 121–179).

Существуют ли ветвящиеся группы, обладающие T -свойством Каждана?(См. 14.34.) Л.Бартольди (L.Bartholdi), Р.И. Григорчук, З.Шунич (Z. Sunik)

15.13. Существуют ли конечно определенные ветвящиеся группы?

Л.Бартольди (L.Bartholdi), Р.И. Григорчук, З.Шунич (Z. Sunik)

96 15-е издание, 2002 г.

15.14. б) Существуют ли конечно порожденные ветвящиеся группы, которыенеаменабельны и не содержат свободной группы F2 ранга 2?


15.15. Верно ли, что любая максимальная подгруппа конечно порожденной вет-вящейся группы имеет конечный индекс?


15.16. Существуют ли группы со степенью роста e√n

а) в классе конечно порожденных ветвящихся групп?б) во всем классе конечно порожденных групп? Этот вопрос связан с 9.9.


15.17. Бесконечная группа называется минимально-бесконечной, если все еесобственные фактор-группы конечны. Верно ли, что любая конечно порожден-ная минимально-бесконечная группа промежуточного роста является ветвящейсягруппой? Л.Бартольди (L.Bartholdi), Р.И. Григорчук, З.Шунич (Z. Sunik)

15.18. Финитно аппроксимируемая группа наследственно минимально-бесконеч-на, если все ее нетривиальные нормальные подгруппы минимально-бесконечны.

а) Существуют ли конечно порожденные наследственно минимально-беско-нечные периодические группы? (Гипотеза: нет, не существуют.)

б) Линейна ли любая конечно порожденная наследственно минимально-бес-конечная группа?

Положительный ответ на второй вопрос влечет отрицательный ответ на пер-вый. Л.Бартольди (L.Bartholdi), Р.И. Григорчук, З.Шунич (Z. Sunik)

15.19. Пусть p — простое число, и Fp — класс всех конечно порожденных групп,точно действующих на p-регулярном корневом дереве конечными автоматами.Группы из Fp аппроксимируются конечными p-группами и имеют проблему ра-венства, разрешимую за не более чем экспоненциальное время. Поэтому должнысуществовать группы с разрешимой проблемой равенства, аппроксимируемые ко-нечными p-группами и не лежащие в Fp, хотя конкретных примеров не известно.

а) Верно ли, что некоторые (или даже все) группы, построенные в работе(Р.И. Григорчук, Мат. сб., 126, 2 (1985), 194–214), не лежат в Fp, если после-довательность ω вычислимая, но не периодическая?

б) Лежит ли в F2 группа Z ≀ (Z ≀ Z)? (Здесь сплетения — прямые.)См. (A.M. Brunner, S. Sidki, Wreath operations in the group of automorphisms

of the binary tree, to appear in J. Algebra) и (Р.И. Григорчук, В. В.Некрашевич,В.И. Сущанский, Тр. Мат. ин-та им. Стеклова, 231 (2000), 134–214).

Л.Бартольди (L.Bartholdi), С.Сидки (S. Sidki)

15-е издание, 2002 г. 97

15.20. (Б.Хартли). Бесконечная транзитивная группа подстановок называетсяедва транзитивной, если каждая из ее собственных подгрупп имеет только ко-нечные орбиты. Может ли локально конечная едва транзитивная группа совпа-дать со своим коммутантом?

Локально конечная едва транзитивная группа G не может быть простой(B.Hartley, M.Kuzucuoglu, Proc. Edinburgh Math. Soc., 40 (1997), 483–490), яв-ляется p-группой для некоторого простого p, и если стабилизатор точки группыG разрешим ступени d, то G разрешима ступени, ограниченной в терминах d(В.В. Беляев, М. Кузуджуоглу, Алгебра и логика, 42 (2003), 261–270).

В. В.Беляев, М.Кузуджуоглу (M. Kuzucuoglu)

15.21. (Б.Хартли). Существуют ли едва транзитивные группы без кручения?

В.В. Беляев

15.22. Группа подстановок называется финитарной, если каждый из ее элемен-тов передвигает только конечное число точек. Существуют ли финитарные едватранзитивные группы? В.В. Беляев

15.23. Транзитивная группа подстановок называется вполне импримитивной,если каждое конечное множество точек содержится в некотором конечном бло-ке группы. Существуют ли вполне импримитивные едва транзитивные группы,которые не локально конечны? В.В. Беляев

∗15.24. Предположим, что конечная p-группа G обладает подгруппой периода pи порядка pn. Верно ли, что если p достаточно велико относительно n, то группаG обладает нормальной подгруппой периода p и порядка pn?

Известно (J. L. Alperin, G. Glauberman, J. Algebra, 203, 2 (1998), 533–566),что если конечная p-группа обладает элементарной абелевой подгруппой поряд-ка pn, то она обладает нормальной элементарной абелевой подгруппой того жепорядка, если p > 4n − 7; то же верно для произвольных абелевых подгрупп(G.Glauberman, J. Algebra, 272 (2004), 128–153). Я.Г.Беркович∗Да, верно, если p > n. По индукции G содержит подгруппу H периода p и

порядка pn, которая нормальна в максимальной подгруппе M из G. Тогда H 6ζp−1(M). Элементы порядка p из ζp−1(M) составляют нормальную подгруппугруппы G, которая содержит H. (A. Mann, Письмо от 01.10.2002.)

∗15.25. Конечная группа G называется рациональной, если каждый ее неприво-димый комплексный характер принимает только рациональные значения. Раци-ональны ли силовские 2-подгруппы симметрических групп S2n? Я.Г.Беркович∗Да, рациональны. Силовская 2-подгруппа Tn из S2n является сплетением си-

ловской 2-подгруппы из S2n−1 с группой C порядка 2. Если Tn рациональна, тосплетение Tn с C также рационально по следствию 70 в (D. Kletzing Structure andrepresentations of Q-groups (Lecture Notes in Math., 1084), Springer, Berlin, 1984).Результат получается по индукции. (A. Mann, Письмо от 01.10.2002 ).

15.26. Расщеплением группы называется представление ее в виде теоретико-множественного объединения некоторых собственных подгрупп (компонент), по-парно пересекающихся по 1. Верно ли, что всякое нетривиальное расщеплениеконечной p-группы содержит абелеву компоненту? Я.Г.Беркович

98 15-е издание, 2002 г.

∗15.27. Возможно ли, что AutG ∼= AutH для конечной p-группы G порядка > 2и ее собственной подгруппы H? Я.Г.Беркович∗Да, возможно (T. Li, Arch. Math., 92 (2009), 287–290), например, при |G| =

2|H| = 32.

15.28. Предположим, что конечная p-группа G является произведением двухсвоих подгрупп: G = AB. Ограничен ли период группы G

а) в терминах периодов подгрупп A и B?б) если подгруппы A и B имеют период p? Я.Г.Беркович

15.29. (А.Манн). Диэдральная группа порядка 8 изоморфна своей группе ав-томорфизмов. Есть ли другие нетривиальные конечные p-группы с таким жесвойством? Я.Г.Беркович

15.30. Верно ли, что каждая конечная абелева p-группа изоморфна мультипли-катору Шура некоторой неабелевой конечной p-группы? Я.Г.Беркович

15.31. Доказано (M.R. Vaughan-Lee, J.Wiegold, Proc. R. Soc. Edinburgh Sect. A,95 (1983), 215–221), что если конечная p-группа G порождается элементами ши-рины 6 n (т. е. имеющими не более pn сопряженных), то группа G нильпотентнаступени 6 n2+1; оценка ступени нильпотентности улучшена в (A. Mann, J. GroupTheory, 4, 3 (2001), 241–246) до 6 n2 − n + 1. Можно ли ограничить ступеньнильпотентности группы G линейной функцией от n? Я.Г.Беркович

15.32. Предположим, что конечная p-группа G порядка pm допускает автомор-физм порядка pm−k. Верно ли, что если число m достаточно велико относительноk, то группа G обладает циклической подгруппой индекса pk? Я.Г.Беркович

15.33. Предположим, что все 2-порожденные подгруппы конечной 2-группы Gметацикличны. Ограничена ли ступень разрешимости группы G? Это верно дляконечных p-групп при p = 2, см. п. 1.1.8 в (M. Suzuki, Structure of a group and thestructure of its lattice of subgroups, Springer, Berlin, 1956). Я.Г.Беркович

∗15.34. Будет ли правоупорядочиваемой группой свободное произведение линей-но упорядоченных групп с объединенной подгруппой? В. В.Блудов∗Да, будет (V. V.Bludov, A. M. W.Glass, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 146

(2009), 591–601).

15.35. Пусть F — свободная группа конечного ранга r с базисом x1, . . . , xr.Верно ли, что существует такое число C = C(r), что любое несократимое словодлины n > 1 от порождающих xi лежит вне некоторой подгруппы группы Fиндекса 6 C log n? О.В. Богопольский

15.36. Пусть M — класс групп. Обозначим через L(M) класс всех групп G, вкоторых для любого a ∈ G нормальная подгруппа

⟨aG

⟩, порожденная элемен-

том a, лежит в M . Верно ли, что класс L(M) конечно аксиоматизируем, если M— квазимногообразие, порожденное конечной группой? А.И. Будкин

15-е издание, 2002 г. 99

15.37. Пусть группаG удовлетворяет условию минимальности для централизато-ров. Пусть X — нормальное подмножество группы G, для которого [x, y, . . . , y] =1 при любых x, y ∈ X, где y встречается f(x, y) раз. Верно ли, что подгруппа,порожденная множествомX, локально нильпотентна (а потому и гиперцентраль-на)?

Это верно, если числа f(x, y) ограничены в совокупности (F. O.Wagner,J. Algebra, 217, 2 (1999), 448–460). Ф.Вагнер (F.O. Wagner)

15.38. Существует ли наследственная композиционная нелокальная формация Fконечных групп, для которой в каждой конечной группе множество всех F-суб-нормальных подгрупп образует подрешетку решетки всех подгрупп?

А. Ф.Васильев, С. Ф. Каморников

∗15.39. Аксиоматизируя основные свойства субнормальных подгрупп, будем го-ворить, что функтор τ , сопоставляющий каждой конечной группе G некотороенепустое множество ее подгрупп τ(G), является ETP -функтором, если

1) τ(A)φ ⊆ τ(B) и τ(B)φ−1 ⊆ τ(A) для любого эпиморфизма φ : A 7−→ B,

а также H ∩R | R ∈ τ(G) ⊆ τ(H) для любой подгруппы H 6 G;2) τ(H) ⊆ τ(G) для любой подгруппы H ∈ τ(G);3) τ(G) — подрешетка решетки всех подгрупп группы G.Пусть τ — ETP -функтор. Существует ли такая наследственная формация F,

что τ(G) совпадает с множеством всех F-субнормальных подгрупп в любой ко-нечной группе G? Это верно для конечных разрешимых групп (А. Ф.Васильев,С.Ф. Каморников, Сиб. мат. ж., 42, 1 (2001), 30–40).

А. Ф.Васильев, С. Ф. Каморников∗Не всегда: контрпримером служит функтор взятия всех субнормальных под-

групп, примененный к неабелевой простой группе (С. Ф.Каморников, Письмо от12.10.2007.)

15.40. Пусть N — нильпотентная подгруппа конечной простой группы G. Верноли, что существует подгруппа N1, сопряженная с N , для которой N ∩N1 = 1?

Известно, что ответ положительный, если N — p-группа. Е.П. Вдовин

15.41. Пусть R(m, p) — наибольшая конечная m-порожденная группа простогопериода p. Можно ли ограничить ступень нильпотентности группы R(m, p)

а) полиномиальной функцией от m? (Это верно для p = 2, 3, 5, 7.)б) линейной функцией от m? (Это верно для p = 2, 3, 5.)в) В частности, можно ли ограничить ступень нильпотентности группы

R(m, 7) линейной функцией от m?Я предполагаю, что ответ — «нет» на первые два вопроса для произвольно-

го p, но «да» на третий. По контрасту, красивое и простое рассуждение МайкаНьюмана показывает, что если m > 2 и k > 2 (k > 3 при p = 2), то поря-

док группы R(m, pk) не меньше pp...p

m

, где p встречается в башне k раз; см.(M.Vaughan-Lee, E. I. Zelmanov, J. Austral. Math. Soc. (A), 67, 2 (1999), 261–271). М. Воон-Ли (M. R.Vaughan-Lee)

100 15-е издание, 2002 г.

15.42. Верно ли, что групповая алгебра k[F ] группы Р.Томпсона F (см. 12.20)над полем k удовлетворяет условию Оре, т. е. для любых a, b ∈ k[F ] существуюттакие u, v ∈ k[F ], что au = bv, и либо u, либо v не равен нулю? Если ответотрицателен, то группа F не аменабельна. В.С. Губа

∗15.43. Пусть G — конечная группа порядка n.а) Верно ли, что |AutG| > φ(n), где φ — функция Эйлера?б) Верно ли, что группа G — циклическая, если |AutG| = φ(n)?

М.Деаконеску (M. Deaconescu)∗Ответ на оба вопроса отрицательный; более того, |AutG|/φ(|G|) может быть

как угодно мало (J.N. Bray, R. A. Wilson, Bull. London Math. Soc., 37, no. 3 (2005),381–385).

15.44. а) Пусть G — редуктивная группа над алгебраически замкнутым полемK произвольной характеристики. Пусть X — аффинное G-многообразие, такое,что для некоторой фиксированной борелевской подгруппы B 6 G координат-ная алгебра K[X] как G-модуль является объединением возрастающей цепочкиподмодулей, каждый из которых есть индуцированный модуль IndGBV некоторо-го одномерного B-модуля V . (См. S. Donkin, Rational representations of algebraicgroups. Tensor products and filtration (Lect. Notes Math., 1140), Springer, Berlin,1985). Пусть вдобавок K[X] — Коэн–Маколеево кольцо, т. е. являющееся свобод-ным модулем над подалгеброй, порожденной любой однородной системой пара-метров. Верно ли, что тогда кольцо инвариантов K[X]G Коэн–Маколеево, т. е.является свободным модулем над подалгеброй, порожденной любой однороднойсистемой параметров? А.Н. Зубков

15.45. Мы определяем класс иерархически разложимых групп следующим об-разом. Во-первых, для любого класса групп X обозначим через H1X класс всехгрупп, которые допустимо действуют на конечномерном сжимаемом комплексе,причем так, что каждый стабилизатор клетки лежит в X. Тогда «большой» классHX определяется как наименьший H1-замкнутый класс, содержащий X.

а) Пусть F — класс всех конечных групп. Найти пример HF-группы, котораяне лежит в H3F (= H1H1H1F ).

б) Доказать или опровергнуть, что существует ординал α со свойством HαF =HF, где Hα — оператор на классах групп, определяемый очевидным образомтрансфинитной индукцией начиная с H1. П.Крофоллер (P.Kropholler)

15.46. Редуцируется ли вопрос 7.28 об условиях допустимости элементарногоковра A = Ar | r ∈ Φ к лиеву рангу 1, когда K — поле? Ковер A типа Φ адди-тивных подгрупп из K называется допустимым, если в группе Шевалле над K,ассоциированной с системой корней Φ, подгруппа ⟨xr(Ar) | r ∈ Φ⟩ пересекается сxr(K) по xr(Ar). Более точно, верно ли, что для допустимости ковра A необхо-дима и достаточна допустимость подковров Ar, A−r, r ∈ Φ, ранга 1? Известно,что ответ положительный для локально конечного поля K (В.М. Левчук, Алгеб-ра и логика, 22, N 5 (1983), 504–517). В.М.Левчук

15-е издание, 2002 г. 101

15.47. Пусть M < G 6 Sym(Ω), где Ω — конечное множество, группаM транзитивна на Ω, и существует G-инвариантное разбиение P множестваΩ × Ω \ (α, α) | α ∈ Ω, для которого группа G транзитивна на множе-стве компонент из P, а группа M оставляет на месте каждую компоненту изP как подмножество. (Здесь P можно отождествить с разложением полно-го направленного графа с множеством вершин Ω в реберно-непересекающиесяизоморфные направленные графы.) Если группа G индуцирует циклическуюгруппу подстановок на P, то мы доказали (Trans. Amer. Math. Soc., 355,no. 2 (2003), 637–653), что числа n = |Ω| и k = |P| таковы, что r-частьnr числа n удовлетворяет сравнению nr ≡ 1 (mod k) для каждого просто-го r. Существуют ли для любых n, k, не удовлетворяющих указанному усло-вию, примеры, когда группа G индуцирует нециклическую группу подста-новок на P? Ч.Ли (C.H. Li), Ш. Прэгер (C. E. Praeger)

15.48. Пусть G — любая нетривиальная конечная группа и пусть X — любое мно-жество порождающих элементов группы G. Верно ли, что каждый элемент из Gможет быть получен из X с помощью менее чем 2 log2 |G| умножений? (При под-счете числа умножений на пути от порождающих к данному элементу группы накаждом шаге разрешается использовать элементы, полученные на предыдущихшагах.) Ч.Лидхэм-Грин (C. R. Leedham-Green)

15.49. Группа G называется группой однозначных произведений, если для любыхнепустых конечных подмножеств X,Y из G существует элемент из G, записыва-емый единственным образом в виде xy, где x ∈ X и y ∈ Y . Существует ли нелевоупорядочиваемая группа однозначных произведений? П.Линнел (P. Linnell)

15.50. Пусть G — группа автоморфизмов абелевой группы простого периода.Предположим, что существует такой элемент x ∈ G, что x регулярен порядка 3и порядок коммутатора [x, g] конечен для любого g ∈ G. Верно ли, что тогдагруппа ⟨xG⟩ локально конечна? В.Д. Мазуров

15.51. Будет ли 5-группой коммутант периодической группы, удовлетворяющейтождеству [x, y]5 = 1? В.Д. Мазуров

15.52. (Известная задача). По знаменитой теореме Виландта последовательностьG0 = G, G1, . . ., в которой Gi+1 = AutGi, стабилизируется для любой конечнойгруппы G с тривиальным центром. Существует ли такая функция f , что дляпроизвольной конечной группы G для такой же последовательности при всехi = 0, 1, . . . выполняются неравенства |Gi| 6 f(|G|)? В.Д. Мазуров

15.53. Рассмотрим множество S всех простых чисел p, для которых существуетконечная простая группа G и ее абсолютно неприводимый модуль V над полемхарактеристики p, такие, что порядок любого элемента в естественном полупря-мом произведении V G совпадает с порядком некоторого элемента из G. Конечноили бесконечно множество S? В.Д. Мазуров

102 15-е издание, 2002 г.

15.54. Предположим, что периодическая группа G содержит инволюцию i, цен-трализатор которой CG(i) — локально циклическая 2-группа. Верно ли, что мно-жество всех элементов нечетного порядка из G, инвертируемых инволюцией i,образует подгруппу? В.Д. Мазуров

15.55. а) Монстр M является группой 6-транспозиций. Пары фишеровскихтранспозиций порождают 9 сопряженных M -классов диэдральных групп. По-рядок произведения пары является коэффициентом при старшем корне аффин-ного типа E8. Подобные же свойства верны для Бэби B и для F ′24 относительноE7 и E6, соответственно, если произведения рассматриваются по модулю центра(2.B, 3.F ′24). Дать объяснение этому явлению. Прим. ред. 2005 г.: Некоторыепродвижения получены в (C. H. Lam, H.Yamada, H. Yamauchi, Vertex operatoralgebras, extended E8 diagram, and McKay’s observation on the Monster simplegroup, http://front.math.ucdavis.edu/math.QA/0403010).

б) Мультипликатор Шура спорадических простых групп M , B, F ′24 являетсяфундаментальной группой типа E8, E7, E6, соответственно. Почему?

См. (J.McKay, in: Finite groups, Santa Cruz Conf. 1979 (Proc. Symp. PureMath., 37), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1980, 183–186) и (R. E. Borcherds,Doc. Math., J. DMV Extra Vol. ICM Berlin 1998, Vol. I, 607–616 (1998)).

Дж.Маккэй (J. McKay)

15.56. Существует ли спинорное многообразие, на петельном пространстве кото-рого действует Монстр? Возможно, 24-мерное? гипер-Кэлерово, некомпактное?См. (F.Hirzebruch, T. Berger, R. Jung, Manifolds and modular forms, Wiesbaden,Friedr. Vieweg., 1992). Дж.Маккэй (J. McKay)

15.57. Пусть H — подгруппа группы SL2(Q), плотная в топологии Зариского ине имеющая нетривиальных конечных фактор-групп. Верно ли, что тогда H =SL2(Q)? Дж.Маккэй (J. McKay), Ж.-П. Серр (J.-P. Serre)

15.58. Предположим, что свободное проконечное произведение G ∗ H являетсясвободной проконечной группой конечного ранга. Должны ли G и H быть сво-бодными проконечными группами?

Это не обязательно верно, если ранг G∗H бесконечен (J. Neukirch, Arch. Math.,22, 4 (1971), 337–357). О.В. Мельников

15.59. Существует ли проконечная группа G, которая не является свободной, номожет быть представлена в виде проективного предела G = lim

←−(G/Nα), где все

G/Nα — свободные проконечные группы конечных рангов?Условие конечности рангов G/Nα существенно. Такая группа G не может удо-

влетворять первой аксиоме счетности (О. В.Мельников, ДАН БССР, 24, 11(1980), 968–970). О.В. Мельников

15.61. Верно ли, что lnπ(G) 6 n(Gπ) − 1 + maxp∈π lp(G) для любой π-разреши-мой группы G? Здесь n(Gπ) — нильпотентная длина холловой π-подгруппы Gπ

группы G, а lnπ(G) — нильпотентная π-длина группы G, т. е. наименьшее числоπ-факторов в тех нормальных рядах группы G, у которых факторы либо π′-груп-пы, либо нильпотентные π-группы. Известно, что ответ положительный, если всесобственные подгруппы из Gπ сверхразрешимы. В.С.Монахов

15-е издание, 2002 г. 103

15.62. Для неприводимого комплексного характера χ конечной группы G обозна-чим через pep(χ) p-часть числа χ(1) и положим ep(G) = maxep(χ) | χ ∈ Irr(G).Пусть P — силовская p-подгруппа группы G. Верно ли, что число ep(P ) ограни-чено сверху некоторой функцией от ep(G)?

Прим. 2005 г.: Положительный ответ для разрешимых групп получен в(A.Moreto, T.R. Wolf, Adv. Math., 184 (2004), 18–36). А.Морето (A. Moreto)

15.63. а) Пусть Fn — свободная группа на свободных порождающих x1, . . . , xn.Элемент u ∈ Fn называется положительным, если u лежит в полугруппе, порож-денной элементами xi. Элемент u ∈ Fn называется потенциально положитель-ным, если элемент α(u) положителен для некоторого автоморфизма α группы Fn.Распознается ли алгоритмически свойство элемента быть потенциально положи-тельным? Существуют ли стабильно потенциально положительные элементы, неявляющиеся потенциально положительными? А.Г.Мясников, В. Э. Шпильрайн

15.64. Для конечных групп G, X обозначим через r(G;X) число неэквивалент-ных действий группы G на X, т. е. число классов эквивалентности гомоморфиз-мов G→ AutX, где эквивалентность определяется сопряжением с помощью эле-мента из AutX. Положим rG(n) := maxr(G;X) : |X| = n.

Верно ли, что rG(n) можно ограничить функцией от общего числа простыхсомножителей числа n (с учетом кратностей)? П.Нойман (P.M.Neumann)

15.65. Квадратная матрица называется сепарабельной, если ее минимальныймногочлен не имеет кратных корней, и циклической, если ее минимальный мно-гочлен совпадает с характеристическим. Для матричной группы G над конеч-ным полем определим s(G) и c(G) как долю, соответственно, сепарабельных ициклических элементов в G. Для классической группы X(d, q) размерности d,определенной над полем из q элементов, положим S(X; q) := limd→∞ s(X(d, q)) иC(X; q) := limd→∞ c(X(d, q)). Независимо в (G. E.Wall, Bull. Austral. Math. Soc.,60, 2 (1999), 253–284) и (J. Fulman, J. Group Theory, 2, 3 (1999), 251–289) былиподсчитаны числа S(GL; q) и C(GL; q) и было установлено, что это — рациональ-ные функции от q. Являются ли S(X; q) и C(X; q) рациональными функциями отq также для унитарных, симплектических и ортогональных групп?


15.66. Для класса групп X обозначим через gX(n) число групп порядка n в клас-се X (с точностью до изоморфизма). Много лет назад я сформулировал следу-ющую проблему: найти хорошие верхние оценки для частного gV(n)/gU(n), гдеV — многообразие, определяемое своими конечными группами, а U — подмно-гообразие из V. (Это частное определено только для тех n, для которых естьгруппы порядка n в U.) Некоторый прогресс был достигнут в (G.Venkataraman,Quart. J. Math. Oxford (2), 48, 189 (1997), 107–125), когда V — многообразие,порожденное конечной группой с абелевыми силовскими подгруппами.

Гипотеза: если V — локально конечное многообразие p-групп, а U — его неа-белево подмногообразие, то gV(pm)/gU(p

m) < pO(m2).Более того, это представляется возможным способом атаки на гипотезу Симса

о том, что если записать число групп порядка pm в виде p227m

3+ε(m), то остаточ-ный член ε(m) является O(m2). П.Нойман (P.M.Neumann)

104 15-е издание, 2002 г.

15.67. Какие присоединенные группы Шевалле (нормального типа) над кольцомцелых чисел порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны?

Известно, что группы SLn(Z), n > 13, являются такими (M.C. Tamburini,P. Zucca, J. Algebra, 195, no. 2 (1997), 650–661). Группы PSLn(Z) тогда и толькотогда являются такими, когда n > 4 (Я.Н.Нужин, Владикавказ. матем. ж., 10, 1 (2008), 68–74). Для PSp4(Z) ответ отрицательный, что вытекает из анало-гичного факта для PSp4(3), см. Архив, 7.30. Я.Н.Нужин

15.68. Существует ли бесконечная конечно-порожденная 2-группа (конечногопериода), все собственные подгруппы которой локально конечны?


15.69. Верно ли, что всякая гиперболическая группа обладает свободной нор-мальной подгруппой, фактор-группа по которой имеет конечный период?


15.70. Существуют ли группы произвольно большой мощности, удовлетворяю-щие условию минимальности для подгрупп? А.Ю. Ольшанский

15.71. (Б.Хупперт). Для конечной разрешимой группы G обозначим через ρ(G)множество простых делителей степеней ее неприводимых характеров. Верно ли,что всегда найдется неприводимый характер группы G, степень которого делитсяпо крайней мере на |ρ(G)|/2 различных простых чисел? П.Палфи (P.P. Palfy)

15.72. Для данного простого p существует ли такая последовательность групп Pn

порядка pn, что число классов сопряженности k(Pn) удовлетворяет соотношениюlimn→∞ log k(Pn)/

√n = 0?

Заметим, что в (J. M. Riedl, J. Algebra, 218 (1999), 190–215) построены p-груп-пы, для которых этот предел равен 2 log p. П.Палфи (P.P. Palfy)

15.73. Верно ли, что для любой конечной решетки L найдутся конечная группаG и ее подгруппа H 6 G, для которых интервал Int(H;G) решетки подгруппгруппы G изоморфен L? (Вероятно, нет.) П.Палфи (P.P. Palfy)

15.74. Для каждого простого числа p найти конечную p-группу ступени нильпо-тентности p, у которой решетка нормальных подгрупп не вкладывается в решеткуподгрупп никакой абелевой группы. (Это сделано для p = 2, 3.)

П.Палфи (P.P. Palfy)

15.75. б) Рассмотрим последовательность u1 = [x, y], . . ., un+1 = [[un, x], [un, y]].Верно ли, что произвольная конечная группа разрешима тогда и только тогда,когда она удовлетворяет одному из этих тождеств un = 1? Б.И.Плоткин

15-е издание, 2002 г. 105

15.76. Для многообразия групп Θ обозначим через Θ0 категорию всех свободныхгрупп конечного ранга в многообразии Θ. Доказано (G. Mashevitzky, B. Plotkin,E. Plotkin, J. Algebra, 282 (2004), 490–512), что если Θ — многообразие всех групп,то каждый автоморфизм категории Θ0 является внутренним. То же верно, еслиΘ — многообразие всех абелевых групп. Верно ли такое же утверждение длямногообразий∗а) 2-ступенно нильпотентных групп?б) метабелевых групп?Автоморфизм φ категории называется внутренним, если он изоморфен еди-

ничному автоморфизму. Пусть s : 1→ φ— функция, задающая этот изоморфизм.Тогда для любого объекта A имеется изоморфизм sA : A → φ(A) и для любогоморфизма объектов µ : A→ B имеет место равенство φ(µ) = sBµs

−1A .

Б.И.Плоткин∗Да, верно, даже для многообразия нильпотентных групп любой ступени n

(A.Tsurkov, Int. J. Algebra Comput., 17 (2007), 1273–1281).

15.77. Элементы a, b группы G называются симметричными относительноэлемента g ∈ G, если a = gb−1g. Пусть G — бесконечная абелева группа,α — мощность, α < |G|. Верно ли, что тогда для любого n-раскрашиванияχ : G → 0, 1, . . . , n − 1 найдется одноцветное подмножество мощности α, сим-метричное относительно некоторого элемента из G? Известно, что это верно приn 6 3. И.В.Протасов

15.78. (Р.И. Григорчук). Верно ли, что для любого n-раскрашивания свободнойгруппы произвольного ранга найдется бесконечное одноцветное подмножество,симметричное относительно некоторого элемента группы? Это верно при n = 2.

И.В.Протасов

15.79. Существует ли хаусдорфова групповая топология на Z, в которой после-довательность 2n + 3n сходится к нулю? И.В.Протасов

15.80. Последовательность Fn попарно непересекающихся конечных подмно-жеств топологической группы называется экспансивной, если для любого откры-того подмножества U найдется такой номер m, что Fn ∩ U = ∅ для всех n > m.Предположим, что группа G может быть разбита на счетное число плотных под-множеств. Верно ли, что тогда вG существует экспансивная последовательность?

И.В.Протасов

15.82. Пусть периодическая группа G содержит сильно изолированную 2-под-группу U . Верно ли, что либо группа G локально конечна, либо подгруппа Uнормальна в G? А.И.Созутов, Н.М. Сучков

15.83. (Ю.И. Мерзляков). Существует ли рациональное число α по модулю мень-

ше 2, такое, что матрицы(

1 α0 1

)и(

1 0α 1

)порождают свободную группу?

Ю.В. Сосновский

106 15-е издание, 2002 г.

15.84. Ю. И.Мерзляков (ДАН СССР, 238, 3 (1978), 527–530) доказал, что ес-ли α, β, γ — комплексные числа, каждое по модулю не меньше 3, то матрицы(

1 α0 1

),

(1 0β 1

)и

(1− γ −γγ 1 + γ

)порождают свободную группу ранга

три. Существуют ли рациональные числа α, β, γ, каждое по модулю меньше 3,с тем же свойством? Ю.В. Сосновский

15.85. Группа без кручения, все подгруппы которой субнормальны, нильпотент-на (H. Smith, Arch. Math., 76, 1 (2001), 1–6). Будет ли группа без кручения снормализаторным условием

а) гиперабелевой?б) гиперцентральной? Ю.В. Сосновский

∗15.86. Группа G называется дискриминирующей, если для любого конечно-го множества неединичных элементов прямого квадрата G × G существует го-моморфизм G × G → G, который не посылает в 1 ни одного из этих эле-ментов (Г.Баумслаг, А. Г.Мясников, В. Н. Ремесленников). Группа называетсяквадратоподобной, если она универсально эквивалентна (в смысле логики пер-вого порядка) дискриминирующей группе (Б. Файн, А. Гаглион, А. Г.Мясников,Д.Спеллман). Верно ли, что каждая квадратоподобная группа элементарно эк-вивалентна дискриминирующей группе? Д.Спеллман (D. Spellman)∗Да, верно (O. Belegradek, J. Group Theory, 7, no. 4 (2004), 521–532; B. Fine,

A.M. Gaglione, D. Spellman, Archiv Math., 83, no. 2 (2004), 106–112).

15.87. Пусть 2-группа G допускает регулярную периодическую локально цикли-ческую группу автоморфизмов, которая транзитивно переставляет множество ееинволюций. Будет ли группа G локально конечной? Н.М. Сучков

15.88. Пусть A и Nc — многообразия абелевых и c-ступенно нильпотентныхгрупп, соответственно. Пусть Fr = Fr(ANc) — свободная группа ранга r в много-образии ANc. Элемент из Fr называется примитивным, если его можно вклю-чить в базу группы Fr. Существует ли алгоритм, распознающий примитивныеэлементы в Fr? Е.И.Тимошенко

15.89. Пусть Γ — бесконечный неориентированный связный вершинно-симметри-ческий граф конечной валентности без петель и без кратных ребер. Верно ли, чтокаждое комплексное число является собственным значением матрицы смежностиграфа Γ? В.И. Трофимов

15-е издание, 2002 г. 107

15.90. Пусть Γ — бесконечный ориентированный граф, а Γ – неориентированныйграф, получающийся из Γ снятием ориентации. Предположим, что граф Γ допус-кает вершинно-транзитивную группу автоморфизмов, а граф Γ связен и имеетконечную валентность. Существует ли такое натуральное число k (зависящее,быть может, от Γ), что для каждого натурального n найдется ориентированныйпуть длины не более k · n в графе Γ, расстояние между начальной и конечнойвершинами которого в графе Γ не менее n?

Прим. 2005 г.: Доказано, что существует такое натуральное k′ (зависящеетолько от валентности графа Γ), что для любого натурального n имеется на-правленный путь длины не более k′ · n2 в графе Γ, начальная и конечная вер-шины которого находятся на расстоянии не менее n в графе Γ (V. I. Trofimov,On geometric properties of directed vertex-symmetric graphs, to appear in Europ. J.Combinatorics). В.И. Трофимов

15.91. Верно ли, что любое неприводимое точное представление линейной груп-пы G конечного ранга над конечно порожденным полем характеристики нуль ин-дуцируется неприводимым представлением конечно порожденной плотной под-группы группы G? А. В.Тушев

15.92. Группа⟨x, y | xl = ym = (xy)n

⟩называется треугольной группой с па-

раметрами (l, m, n). Доказано (A.M. Brunner, R.G. Burns, J. Wiegold, Math.Scientist, 4 (1979), 93–98), что треугольная группа с параметрами (2, 3, 30) имеетнесчетное число неизоморфных гомоморфных образов, которые аппроксимиру-ются конечными знакопеременными группами. Верно ли то же самое для тре-угольных групп с параметрами (2, 3, n) при всех n > 6?Дж.Уайголд (J. Wiegold)

15.93. Пусть G — про-p группа, p > 2, а φ — ее автоморфизм порядка 2. Пред-положим, что централизатор CG(φ) абелев. Верно ли, что тогда группа G удо-влетворяет про-p тождеству?

Положительный ответ обобщил бы результат А. Н. Зубкова (Сиб. мат. ж.,28, 5 (1987), 64–69) о непредставимости свободной неабелевой про-p группыматрицами размера 2× 2. А.Хайкин–Запирайн (A. Jaikin–Zapirain)

15.94. Весом группы G назовем минимальное число порождающих G как нор-мальной подгруппы. Пусть G = G1 ∗ · · · ∗Gn — свободное произведение n нетри-виальных групп.

а) Верно ли, что вес G не меньше n/2?б) Тот же вопрос, если все группы Gi цикличны.в) Тот же вопрос для n = 3 (без предположения о цикличности).Задача 5.53 в Архиве (решенная положительно) — частный случая этого во-

проса, когда n = 3 и все группы Gi цикличны. Дж.Хоуви (J. Howie)

15.95. (А.Манн, Ш. Прэгер). Предположим, что все действующие без неподвиж-ных точек элементы транзитивной группы подстановокG имеют простой порядокp. Если G является конечной p-группой, должна ли G иметь период p?

Это верно для p = 2, 3; кроме того, известно, что период группы G ограниченв терминах p (A.Hassani, M.Khayaty, E. I.Khukhro, C. E. Praeger, J. Algebra, 214, 1 (1999), 317–333). Е.И. Хухро

108 15-е издание, 2002 г.

15.96. Автоморфизм φ группы G называется расщепляющим автоморфизмомпорядка n, если φn = 1 и xxφxφ

2 · · ·xφn−1

= 1 для любого x ∈ G.а) Верно ли, что ступень разрешимости d-порожденной нильпотентной p-

группы, допускающей расщепляющий автоморфизм порядка pn, ограниченанекоторой функцией от d, p и n? Это верно при n = 1, см. Архив, 7.53.

б) Тот же вопрос для pn = 4. Е.И. Хухро

15.97. Пусть p — простое число. Говорят, что группа G удовлетворяет усло-вию p-минимальности, если в ней нет бесконечных убывающих цепочек под-групп G1 > G2 > . . ., в которых каждая разность Gi \Gi+1 содержит p-элемент(С.Н. Черников). Предположим, что локально конечная группа G удовлетворяетусловию p-минимальности и обладает субнормальным рядом, каждый из факто-ров которого либо конечен, либо является p′-группой. Верно ли, что все p-эле-менты из G порождают черниковскую подгруппу? Н.С. Черников

15.98. Пусть F — насыщенная формация, а G — конечная разрешимая мини-мальная не F-группа, в которой GF — силовская p-подгруппа группы G. Вер-но ли, что группа GF изоморфна фактор-группе силовской p-подгруппы изPSU(3, p2n)? Это верно для формации конечных нильпотентных групп (В. Д. Ма-зуров, С. А. Сыскин, Мат. заметки, 14, 2 (1973), 217–222; А. Х. Журтов,С.А. Сыскин, Сиб. мат. ж., 26, 2 (1987), 74–78). Л.А.Шеметков

15.99. Пусть f(n) — число попарно неизоморфных конечных групп порядка n.Верно ли, что уравнение f(n) = k имеет решение для любого натурального k?Известно, что это так для всех k 6 1000 (G.M. Wei, Southeast Asian Bull. Math.,22, 1 (1998), 93–102). В.Ши (W. J. Shi)

15.100. Является ли периодическая группа локально конечной, если в ней естьнециклическая подгруппа порядка 4, совпадающая со своим централизатором?

А.К. Шлепкин

15.101. Является ли периодическая группа локально конечной, если в ней естьинволюция, централизатор которой — локально конечная группа с силовской 2-подгруппой порядка 2? А.К. Шлепкин

15.102. (В.Магнус). Элемент r свободной группы Fn называется нормальнымкорнем из элемента u ∈ Fn, если u лежит в нормальном замыкании r в Fn.Может ли элемент u, не лежащий в коммутанте [Fn, Fn], иметь бесконечно многонесопряженных нормальных корней? В. Э.Шпильрайн

15.103. (Известный вопрос). Линейна ли группа OutF3 внешних автоморфизмовсвободной группы ранга 3? В. Э.Шпильрайн

15.104. Пусть n — натуральное число, а w — групповое слово от переменныхx1, x2, . . .. Пусть финитно аппроксимируемая группа G удовлетворяет тождествуwn = 1. Верно ли, что тогда вербальная подгруппа w(G) локально конечна?

Если w = x1, то это — Ослабленная проблема Бернсайда. Положительный от-вет получен также в ряде других частных случаев (P. Shumyatsky, Quart. J. Math.,51, 4 (2000), 523–528). П.В.Шумяцкий

109


16.1. Пусть G — конечная неабелева группа, а Z(G) — ее центр. С группой Gможно связать граф ΓG, в котором G\Z(G) — множество вершин, причем двевершины x и y соединены ребром тогда и только тогда, когда xy = yx. Пусть H— такая конечная неабелева группа, что ΓG

∼= ΓH .а) Верно ли, что G ∼= H, если H проста? Прим. 2009 г.: Это верно для групп с

несвязным графом простых чисел (L.Wang, W. Shi, Commun. Algebra, 36 (2008),523–528).

б) Верно ли, что G нильпотентна, если H нильпотентна? Прим. 2009 г.: Этоверно, если |H| = |G| (J. Algebra, 298 (2006), 468–492).

в) Верно ли, что G разрешима, если H разрешима?

А.Абдоллахи (A.Abdollahi), С. Акбари (S. Akbari), Х. Маймани (H. Maimani)

16.2. Группа G называется отделимой, если для любой подгруппы H 6 G и лю-бого элемента x ∈ G \H найдется гомоморфизм в конечную группу f : G → F ,при котором f(x) ∈ f(H). Верно ли, что конечно порожденная разрешимая груп-па локально отделима тогда и только тогда, когда она не содержит разрешимойгруппы Баумслага–Солитара? Разрешимые группы Баумслага–Солитара — этогруппы вида BS(1, n) =

⟨a, b | bab−1 = an

⟩при n > 1.

Известно, что конечно порожденная разрешимая группа отделима тогда итолько тогда, когда она полициклическая (R. C.Alperin, in: Groups–Korea’98(Pusan), de Gruyter, Berlin, 2000, 1–5). Р.Алперин (R. C. Alperin)

16.3. Верно ли, что если в конечной группе G все классы сопряженности име-ют разные порядки, то G ∼= S3? Известно, что это так, если G разрешима(J. Zhang, J.Algebra, 170 (1994), 608–624); также известно, что F (G) = 1 (Z. Arad,M.Muzychuk, A.Oliver, J. Algebra, 280 (2004), 537–576). З.Арад (Z. Arad)

16.4. Предположим, что конечная группа G содержит нетривиальные классысопряженности C, D, для которых CD — тоже класс сопряженности. Может лиG быть неабелевой простой группой? З.Арад (Z. Arad)

16.5. Будем говорить, что группа совершенна, если она совпадает со своим ком-мутантом. Существует ли совершенная локально конечная p-группа,

а) в которой все собственные подгруппы гиперцентральны?б) в которой все собственные подгруппы разрешимы?в) в которой все собственные подгруппы гиперцентральны и разрешимы?

А. О.Асар (A. O. Asar)

16.6. Может ли совершенная локально конечная p-группа порождаться множе-ством ограниченного периода,

а) если все ее собственные подгруппы гиперцентральны?б) если все ее собственные подгруппы разрешимы? А. О.Асар (A. O. Asar)

110 16-е издание, 2006 г.

16.7. Верно ли, что в любом полупрямом произведении Fn hFn неабелевых сво-бодных групп Fn проблема вхождения в конечно порожденные подгруппы нераз-решима?

Положительный ответ давал бы ответ на вопрос 6.24. Напомним, что пробле-ма вхождения разрешима для Fn (М.Холл, 1949) и неразрешима для Fn × Fn

(К.А. Михайлова, 1958). В.Г.Бардаков

∗16.8. Шириной w(G′) коммутанта G′ конечной неабелевой группы G называет-ся наименьшее натуральное число m такое, что всякий элемент из G′ являетсяпроизведением не более m коммутаторов. Верно ли, что максимальное значениедроби w(G′)/|G| равно 1/6 (и достигается на симметрической группе S3)?

В.Г.Бардаков∗Yes, it is (T. Bonner, J.Algebra, 320 (2008), 3165–3171).

16.9. Элемент g свободной группы Fn на свободных порождающих x1, . . . , xnназывается палиндромом относительно этих порождающих, если редуцированноеслово, представляющее g, читается одинаково слева направо и справа налево.Палиндромная длина элемента w ∈ Fn — это наименьшее число палиндромов изFn, произведение которых равно w. Существует ли алгоритм для нахожденияпалиндромной длины данного элемента из Fn?

В.Г.Бардаков, В. А. Толстых, В.Э. Шпильрайн

16.10. Существует ли алгоритм для нахождения примитивной длины данногоэлемента из Fn? Определение примитивного элемента дано в 14.84; примитивнаядлина определяется аналогично палиндромной длине в 16.9.

В.Г.Бардаков, В. А. Толстых, В.Э. Шпильрайн

16.11. Для всякой ли конечной p-группы G существует конечная p-группа H,для которой Φ(H) ∼= [G,G]? Я.Г.Беркович

∗16.12. Назовем Φ-расширением конечной p-группы G любую конечную p-группуH, содержащую нормальную подгруппу N порядка p, для которойH/N ∼=G и N 6 Φ(H). Верно ли, что для любой конечной p-группы G существуетбесконечная последовательность G = G1, G2, . . ., в которой Gi+1 является Φ-расширением Gi для каждого i = 1, 2, . . .? Я.Г.Беркович∗Да, верно (С. Ф. Каморников, Изв. Гомельск. унив., 5 (2008), 200–201).

16.13. Существует ли конечная p-группа G, в которой каждая максимальнаяподгруппа H специальна, т. е. удовлетворяет равенствам Z(H) = [H,H] = Φ(H)?

Я.Г.Беркович

16.14. Пусть G — конечная 2-группа, в которой Ω1(G) 6 Z(G). Верно ли, чторанг фактор-группы G/G2 не превосходит удвоенного ранга центра Z(G)?

Я.Г.Беркович

16-е издание, 2006 г. 111

16.15. Элемент g группы G называется энгелевым, если для каждого h ∈ Gсуществует такое k, что [h, g, . . . , g] = 1, где g встречается k раз; если существуетk, не зависящее от h, то g называется ограниченно энгелевым.

а) (Б.И. Плоткин). Во всякой ли группе множество всех ограниченно энгеле-вых элементов является подгруппой?

б) Тот же вопрос для групп без кручения.в) Тот же вопрос для правоупорядоченных групп.г) Тот же вопрос для линейно упорядоченных групп. В. В.Блудов

16.16. а) Является ли подгруппой множество всех (не обязательно ограниченно)энгелевых элементов в любой группе без элементов порядка 2?

б) Тот же вопрос для групп без кручения.в) Тот же вопрос для правоупорядоченных групп.г) Тот же вопрос для линейно упорядоченных групп.

Имеются примеры 2-групп, в которых произведение двух (неограниченно) энге-левых элементов не является энгелевым элементом. В. В.Блудов

∗16.17. Верно ли, что неабелева простая группа не может содержать энгелевыхэлементов, отличных от единицы? В. В.Блудов∗Нет, может: так как инволюция является энгелевым элементом в любой

2-группе, контрпримерами являются неабелевы простые 2-группы; см. Архив,4.74(а). (В.В. Блудов, Письмо от 30.03.2006).

16.18. Существует ли линейно упорядоченная разрешимая группа ступени раз-решимости ровно n, имеющая единственную собственную нормальную относи-тельно выпуклую подгруппу

а) при n = 3?б) при n > 4?

Такие группы известны для n = 2 и для n = 4. В. В.Блудов

16.19. Является ли конечно базируемым многообразие решеточно упорядочен-ных групп, порожденное нильпотентными группами? (Здесь многообразие рас-сматривается в сигнатуре групповых и решеточных операций.) В. В.Блудов

16.20. Пусть M — квазимногообразие групп. Доминионом domMA (H) подгруппы

H группы A (из M) называется множество всех элементов a ∈ A со следую-щим свойством: для любых двух гомоморфизмов f, g : A → B ∈ M , если f, gсовпадают на H, то f(a) = g(a). Предположим, что множество domN

A (H) |N — квазимногообразие, N ⊆ M образует решетку относительно теоретико-множественного включения. Может ли эта решетка быть модулярной и недис-трибутивной? А.И. Будкин

16.21. Пусть задана нецентральная матрица α ∈ SLn(F ) над полем F . Верно ли,что при n > 2 каждая нецентральная матрица из SLn(F ) является произведениемn матриц, сопряженных с α? Л. Вассерштейн

16.22. (Известный вопрос.) Пусть En(A) — подгруппа группы GLn(A), по-рожденная элементарными матрицами. Верно ли, что SL2(A) = E2(A), когдаA = Z[x, 1/x]? Л. Вассерштейн

112 16-е издание, 2006 г.

16.23. Существует ли, для каких-то n > 2 и кольца A с 1, матрица из En(A),которая нескалярна по модулю любого собственного идеала и не является ком-мутатором? Л. Вассерштейн

16.24. Спектром конечной группы называется множество порядков ее элемен-тов. Существует ли конечная группа G, спектр которой совпадает со спектромконечной простой исключительной группы L лиева типа, но G не изоморфна L?

А.В. Васильев

∗16.25. Существуют ли три попарно неизоморфные конечные неабелевы простыегруппы с одним и тем же спектром? А.В. Васильев∗Нет, не существуют (А. А.Бутурлакин, Спектры конечных ортогональных

групп, препринт 232, Ин-т матем. СО РАН, Новосибирск, 2009).

16.26. Говорят, что графы простых чисел конечных групп G и H совпадают,если множества простых делителей их порядков совпадают: π(G) = π(H), и длялюбых различных p, q ∈ π(G) в G есть элемент порядка pq тогда и только тогда,когда такой элемент есть в H. Существует ли такое натуральное k, что никакиеk попарно неизоморфных конечных неабелевых простых групп не могут иметьодин и тот же граф простых чисел? Гипотеза: k = 5. А.В. Васильев

16.27. Пусть конечная группа G имеет такой же спектр, как знакопеременнаягруппа. Верно ли, что G имеет не более одного неабелева композиционного фак-тора?

Для любой конечной простой группы, отличной от знакопеременной, ответ насоответствующий вопрос положителен (mod CFSG).

А.В. Васильев, В. Д.Мазуров

16.28. Пусть G — связная линейная редуктивная алгебраическая группа надполем положительной характеристики, X ее замкнутое подмножество, и пустьXk = x1 · · ·xk | xi ∈ X.

а) Верно ли, что всегда найдется такое натуральное c = c(X) > 1, что Xc

замкнуто?б) Пусть X — класс сопряженности группы G, для которого X2 содержит

открытое подмножество из G; верно ли, что X2 = G? Е.П. Вдовин

16.29. Пусть G — простая группа лиева типа с системой корней Φ над полем F .Верно ли, что для любой коммутативной полупростой подгруппы A из G и любойсобственной подгруппыH < G найдется такой элемент x ∈ G, что x−1Ax∩H = 1?

Положительный ответ для Φ = An получен в (J. Siemons, A. Zalesskii, J.Alge-bra, 226 (2000), 451–478, 256 (2002), 611–625). Е.П. Вдовин

16.30. Пусть A и B — подгруппы группы G и G = AB. Будет ли G обладатькомпозиционным (главным) рядом, если A и B обладают композиционным (со-ответственно, главным) рядом? В. А.Ведерников

16.31. Пусть группа G обладает композиционным рядом, и пусть F(G) — фор-мация, порожденная группой G. Верно ли, что множество всех подформаций изF(G) конечно? Ср. 9.59. В. А.Ведерников

16-е издание, 2006 г. 113

16.32. Пусть группа G обладает композиционным рядом, и пусть Fit(G) — классФиттинга, порожденный группой G. Верно ли, что множество всех подклассовФиттинга из Fit(G) конечно? Ср. 14.31. В. А.Ведерников

16.33. Предположим, что конечная p-группа G содержит абелеву подгруппу Aпорядка pn. Верно ли, что G содержит абелеву подгруппу B порядка pn, котораянормальна в ⟨BG⟩,

а) если p = 3?б) если p = 2?в) Если p = 3 и A элементарная абелева, содержит лиG элементарную абелеву

подгруппу B порядка 3n, которая нормальна в ⟨BG⟩?Соответствующие результаты доказаны для больших простых чисел p на

основе обобщения теоремы Томпсона о замене (а диэдральная группа поряд-ка 32 показывает, что третий вопрос имеет отрицательный ответ для p = 2).См. (G.Glauberman, J. Algebra, 196 (1997), 301–338; J. Alperin, G. Glauberman,J. Algebra, 203 (1998), 533–566; G. Glauberman, J. Algebra, 272 (2004), 128–153).

Дж.Глауберман (G. Glauberman)

16.34. Предположим, что G — конечно порожденная группа, точно действующаяна регулярном укорененном дереве автоморфизмами с конечным числом состоя-ний. Разрешима ли проблема сопряженности для G?

См. определения в (Р.И. Григорчук, В.В. Некрашевич, В.И. Сущанский, в:Динамические системы, автоматы и бесконечные группы; Тр. Матем. инст.РАН им. Стеклова, 231 (2000), 134–214).

Р.И. Григорчук, В.И. Некрашевич, В. И. Сущанский

∗16.35. Всякая ли конечно определенная разрешимая группа G почти метаниль-потентна (т. е. обладает нормальным рядом G > F > N > 1, в котором факторG/F конечен, а F/N и N нильпотентны)? Дж. Гроувз (J.R. J. Groves)∗Нет, не всякая: для простого p группа G = ⟨a, b, c, d | ba = bp, ca = cp, da = d,

cb = c, dc = ddb, [d, db] = 1, dp = 1⟩ разрешима ступени 3, но не почти мета-нильпотентна (В.В. Блудов, Письмо от 27.04.2007).

16.36. Назовем конечную группу рациональной, если все ее обыкновенные харак-теры рациональнозначны. Будет ли рациональной силовская 2-подгруппа любойрациональной группы? М.Р.Дарафшех (M.R. Darafsheh)

∗16.37. Пусть G — разрешимая рациональная конечная группа с экстраспеци-альной силовской 2-подгруппой. Верно ли, что либо G — 2-нильпотентная груп-па, либо G содержит такую нормальную подгруппу E, что G/E — расширениенормальной 3-подгруппы с помощью элементарной абелевой 2-группы?

М.Р.Дарафшех (M.R. Darafsheh)∗Да, будет (M.R. Darafsheh, H. Sharifi, Extracta Math., 22, no. 1 (2007), 83–91).

16.38. Пусть G — разрешимая группа, а A и B — ее периодические подгруппы.Верно ли, что любая подгруппа, содержащаяся в множестве AB = ab | a ∈ A,b ∈ B, периодическая? Известно, что это так, если AB — подгруппа группы G.

Ф.де Джованни (F. de Giovanni)

114 16-е издание, 2006 г.

16.39. (Дж.Хамфрис, Д. Верма). Пусть G — полупростая алгебраическая группанад алгебраически замкнутым полем k характеристики p > 0. Пусть g — алгебраЛи группы G и пусть u = u(g) — ограниченная обертывающая алгебра алгебры g.По теореме Куртиса всякий неприводимый ограниченный u-модуль (т. е. всякийнеприводимый ограниченный g-модуль) является ограничением на g некоторого(рационального) G-модуля. Верно ли, что и всякий проективный неразложимыйu-модуль является ограничением некоторого рационального G-модуля? Это вер-но, если p > 2h − 2 (где h — число Коксетера группы G) в силу результатовЯнтцена.

С.Донкин (S. Donkin)

16.40. Пусть ∆ — подгруппа группы автоморфизмов свободной про-p группыF конечного ранга, причем ∆ изоморфна (как проконечная группа) группе Zp

p-адических целых чисел. Всегда ли подгруппа неподвижных точек группы ∆ вF конечно порождена (как проконечная группа)? П.А. Залесский

16.41. Пусть F — свободная про-p группа конечного ранга n > 1. Содержит лиAutF открытую подгруппу конечной когомологической размерности?

П.А. Залесский

16.42. Будет ли топологическая абелева группа (G, τ) компактна, если всякаягрупповая топология τ ′ ⊆ τ на G полна? (Ответ положителен, если всякий непре-рывный гомоморфный образ группы (G, τ) полон.) Е. Г. Зеленюк

∗16.43. Существует ли разбиение группы⊕

ω1(Z/3Z) на три подмножества, до-

полнения которых не содержат смежных классов по бесконечным подгруппам?(Известно, что существует разбиение на два таких подмножества.)

Е. Г. Зеленюк∗Да, более того, всякую бесконечную абелеву группу с конечным числом ин-

волюций можно разбить на бесконечное число подмножеств так, что каждыйсмежный класс по бесконечной подгруппе пересекает каждое подмножество это-го разбиения (Y. Zelenyuk, J. Combin. Theory (A), 115 (2008), 331–339).

16.44. Существует ли в системе аксиом ZFC счетная недискретная топологи-ческая группа, не содержащая дискретных подмножеств с единственной точкойсгущения? (Известно, что такая группа существует при наличии аксиомы Мар-тина.) Е. Г. Зеленюк

16-е издание, 2006 г. 115

16.45. Пусть G — группа подстановок множества Ω. Назовем последователь-ность точек из Ω базой для G, если ее поточечный стабилизатор в G тривиа-лен; назовем базу минимальной, если ни одну точку нельзя удалить. Обозначимчерез b(G) максимум по всем подстановочным представлениям конечной груп-пы G максимальных размеров минимальных баз для G. Обозначим через µ′(G)максимальный размер независимого множества в G, т. е. множества элемен-тов со свойством, что ни один элемент не принадлежит подгруппе, порожденнойостальными. Верно ли, что b(G) = µ′(G)? (Известно, что b(G) ≤ µ′(G), а длясимметрических групп имеет место равенство.)

Замечание. Эквивалентный вопрос состоит в следующем. Предположим, чтобулева решетка B(n) подмножеств n-элементного множества вкладывается какнижняя полурешетка в решетку подгрупп группы G, и пусть n — максимальноечисло с этим свойством. Верно ли, что тогда существует такого же сорта вложе-ние решетки B(n) со свойством, что наименьший элемент из B(n) — нормальнаяподгруппа группы G? П.Камерон (P. J. Cameron)

16.46. Среди конечно определенных групп, действующих реберно-транзитивнона (бесконечном) 3-валентном дереве с конечным стабилизатором вершины, естьдве группы G3 =

⟨h, a, P, Q | h3 , a2, P 2, Q2, [P,Q], [h, P ], (hQ)2, a−1PaQ

⟩и G4 =

⟨h, a, p, q, r | h3 , a2, p2, q2, r2, [p, q], [p, r], p(qr)2, h−1phq, h−1qhpq,

(hr)2, [a, p], a−1qar⟩, каждая из которых содержит модулярную группу G1 =⟨

h, a | h3, a2⟩ ∼= PSL2(Z) как подгруппу конечного индекса. Свободное произ-

ведение групп G3 и G4 с объединенной подгруппой G1 = ⟨h, a⟩ обладает нор-мальной подгруппой K индекса 8, порожденной элементами A = h, B = aha,C = p, D = PpP , E = QpQ и F = PQpPQ, с диэдральным дополнением⟨a, P, Q⟩. Группа K имеет копредставление

⟨A, B, C, D, E, F | A3 , B3, C2, D2,

E2, F 2, (AC)3, (AD)3, (AE)3, (AF )3, (BC)3, (BD)3, (BE)3, (BF )3, (ABA−1C)2,(ABA−1D)2, (A−1BAE)2, (A−1BAF )2, (BAB−1C)2, (B−1ABD)2, (BAB−1E)2,(B−1ABF )2

⟩. Есть ли у этой группы нетривиальные конечные фактор-группы?

М.Кондер (M. Conder)

16.47. (П.Конрад). Верно ли, что любая абелева группа без кручения допускаетархимедов решеточный порядок? В.М. Копытов, Н. Я.Медведев

16.48. Говорят, что в группе H есть обобщенное кручение, если hx1hx2 · · ·hxn = 1для какого-то элемента h = 1, какого-то n и каких-то xi ∈ H. Верно ли, чтовсякая группа без обобщенного кручения правоупорядочиваема?

В.М. Копытов, Н.Я.Медведев

16.49. Верно ли, что свободное произведение групп без обобщенного крученияявляется группой без обобщенного кручения? В.М. Копытов, Н. Я.Медведев

16.50. Существует ли простая конечно порожденная правоупорядочиваемаягруппа?

Известно, что существует конечно порожденная правоупорядочиваемая груп-па, совпадающая со своим коммутантом (Дж. Бергман).


116 16-е издание, 2006 г.

16.51. Существуют ли группы, которые правоупорядочиваемы бесконечнымсчетным числом способов?

Известно, что существуют группы, которые линейно упорядочиваемы счет-ным бесконечным числом способов (Р.Буттсворт).


16.52. Всякая ли конечно определенная элементарно аменабельная группа почтиразрешима? П.Линнел (P. Linnell), Т.Шик (T. Schick)

16.53. Обозначим через d(G) наименьшее число порождающих элементов груп-пы G. Предположим, что G = ⟨A,B⟩, где A и B — две d-порожденные конечныегруппы взаимно простого порядка. Верно ли, что d(G) 6 d+ 1?

См. Архив 12.71 и (A. Lucchini, J. Algebra, 245 (2001), 552–561).

А.Луккини (A. Lucchini)

16.54. Скажем, что группа G действует свободно на группе V , если vg = v длялюбых нетривиальных элементов g ∈ G, v ∈ V . Верно ли, что группа G, свободнодействующая на нетривиальной абелевой группе, вложима в мультипликативнуюгруппу некоторого тела? В.Д. Мазуров

∗16.55. (Известный вопрос). Пусть V — точный абсолютно неприводимый мо-дуль для конечной группы G. Верно ли, что dimH1(G,V ) 6 2? В.Д. Мазуров∗Нет, не верно (L. L. Scott, J. Algebra, 260 (2003), 416–425; см. также J. N.Bray,

R.A. Wilson, J. Group Theory, 11 (2008), 669–673).

16.56. Спектром ω(G) группы G называется множество порядков ее элементов.Пусть ω(G) = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Будет ли G локально конечной? В.Д. Мазуров

∗16.57. Пусть ω(G) = ω(L2(7)) = 1, 2, 3, 4, 7. Верно ли, что G ∼= L2(7)? Этоверно, если G конечна. В.Д. Мазуров∗Да, верно (D. V. Lytkina, A. A.Kuznetsov, Siberian Electr. Math. Rep., 4 (2007),

136–140; http://semr.math.nsc.ru).

16.58. Верно ли, что SU2(C) — единственная группа, имеющая ровно одно непри-водимое комплексное представление размерности n для каждого n = 1, 2, . . .?

(Если R[n] — n-мерное неприводимое комплексное представление группыSU2(C), то R[2] — естественное двумерное представление, и R[2]⊗ R[n] = R[n−1] +R[n+ 1] при n > 1.) Дж.Маккэй (J. McKay)

16.59. Для каждой ли конечной группы K существует такая конечная группа G,что K ∼= OutG = AutG/InnG? (Известно, что существует бесконечная группа Gс этим свойством.) Д.Макхэйл (D.MacHale)

16-е издание, 2006 г. 117

16.60. Для конечной группы G обозначим через T (G) сумму степеней ее непри-

водимых комплексных представлений: T (G) =k(G)∑i=1

di, где k(G) — число классов

сопряженности группы G. Для α ∈ AutG положим Sα = g ∈ G | α(g) = g−1.Верно ли, что T (G) > |Sα| для всех α ∈ AutG? Д.Макхэйл (D.MacHale)

∗16.61. Подгруппа H группы G вполне инвариантна, если ϑ(H) 6 H для любогоэндоморфизма θ группы G. Пусть G — конечная группа, обладающая вполнеинвариантной подгруппой порядка d для каждого d, делящего |G|. Должна ли Gбыть циклической? Д.Макхэйл (D.MacHale)∗Нет: G = Cp × Cp2 , где Cp, Cp2 — циклические p-группы порядков p, p2.

(A.Abdollahi, Письмо от 04.03.2009).

∗16.62. Предположим, что каждый класс сопряженности группы G инвариантен(как множество) относительно каждого автоморфизма группы G. Должно ливыполняться равенство AutG = InnG? Д.Макхэйл (D.MacHale)

∗Не обязательно: в работе (H.Heineken, Arch. Math. (Basel), 33 (1979/80), no. 6,497–503), в частности, построены конечные p-группы, все автоморфизмы которыхоставляют на месте все классы сопряженности, а по теореме Гашюца каждаяконечная p-группа обладает внешними автоморфизмами (A. Mann, Письмо от20.04.2006 ).

16.63. Существует ли нетривиальная конечная p-группа G нечетного порядка,для которой |AutG| = |G|?

См. также 12.77. Д.Макхэйл (D.MacHale)

16.64. Многообразие, все конечные группы которого абелевы, называется псевдо-абелевым. Многообразие, во всех группах которого отношение «быть нормаль-ной подгруппой» транзитивно, называется t-многообразием. Каждое неабелевоt-многообразие псевдо-абелево (O.Macedonska, A. Storozhev, Commun. Algebra,25, no. 5 (1997), 1589–1593), а псевдо-абелевы многообразия, построенные в(А.Ю. Ольшанский, Матем. сб., 126, 1 (1985), 59–82), являются t-многооб-разиями. Все ли псевдо-абелевы многообразия являются t-многообразиями?

О. Мацедоньска (O. Macedonska)

∗16.65. Существует ли конечно определенная группа, аппроксимируемая ниль-потентными группами без кручения, со свободным копредставлением G = F/R,для которого группа F/[F,R] не аппроксимируется нильпотентными группами?

Р.Михайлов, И. Б. С.Пасси (I. B. S. Passi)∗Да, существует (V.V. Bludov, J. Group Theory, 12, no. 4 (2009), 579–590).

118 16-е издание, 2006 г.

16.66. Обозначим через Dn(G) n-ю размерную подгруппу группы G, а черезζn(G) — n-й член ее верхнего центрального ряда. Положим f(n) = maxm |∃ нильпотентная группа G ступени нильпотентности n в которой Dm(G) = 1и g(n) = maxm | ∃ нильпотентная группа G ступени нильпотентности n, длякоторой Dn(G) ⊆ ζm(G).

а) Чему равно f(3)?б) (Б. И.Плоткин). Верно ли, что значение f(n) конечно для всех n?в) Каков рост функций f(n) и g(n): полиномиальный, экспоненциальный, или

промежуточный?Известно, что и f(n) − n и g(n) стремятся к бесконечности при n → ∞

(N.Gupta, Yu.V.Kuz’min, J. Pure Appl. Algebra, 104 (1995), 191–197).

Р.Михайлов, И. Б. С.Пасси (I. B. S. Passi)

∗16.67. Гипотеза: для любого натурального k существует такое натуральноеn0 = n0(k), что при n > n0 симметрическая группа степени n имеет не менее kразличных обыкновенных неприводимых характеров одинаковой степени.

А.Морето (A. Moreto)∗Доказано (D. Craven, Proc. London Math. Soc., 96 (2008), 26–50).

16.68. Пусть W (x, y) — нетривиальное приведенное групповое слово, а G — однаиз групп PSL(2,R), PSL(2,C) или SO(3,R). Сюръективны ли отображения W :G×G→ G?

Для SL(2,R), SL(2,C), GL(2,C) и для группы S3 кватернионов с нормой 1существуют несюръективные слова; см. (J.Mycielski, Amer. Math. Monthly, 84(1977), 723–726; 85 (1978), 263–264). Я.Мыцельски (J. Mycielski)

16.69. Пусть W имеет тот же смысл.а) Обязана ли область значений функции Tr(W (x, y)) для x, y ∈ GL(2,R)

содержать интервал [−2,+∞)?б) Если x, y — ненулевые кватернионы, обязана ли область значений функции

Re(W (x, y)) содержать интервал [−5/27, 1]?(См. комментарии в ibid.) Я.Мыцельски (J. Mycielski)

16.70. Предположим, что конечно порожденная группа G свободно действуетна A-дереве, где A — упорядоченная абелева группа. Верно ли, что G свободнодействует на Zn-дереве для какого-то n?

А.Г. Мясников, В. Н. Ремесленников, О. Г. Харлампович

16.71. Разрешима ли элементарная теория любой гиперболической группы безкручения? А.Г. Мясников, О. Г. Харлампович

16.72. Существует ли экспоненциальный алгоритм для нахождения JSJ-разло-жения конечно порожденной группы, которая вполне аппроксимируется свобод-ными?

Некоторый алгоритм найден в (O. Kharlampovich, A. Myasnikov, in: Contemp.Math. AMS (Algorithms, Languages, Logic), 378 (2005), 87–212).

А.Г. Мясников, О. Г. Харлампович

16-е издание, 2006 г. 119

16.73. Пусть G — группа, порожденная конечным множеством S, и пусть l(g)обозначает словарную функцию длины элемента g ∈ G относительно S. ГруппаG называется сжимающей, если существует ее точное действие на множествеX∗ конечных слов над конечным алфавитом X и константы 0 < λ < 1 и C > 0,такие, что для любых g ∈ G и x ∈ X найдутся h ∈ G и y ∈ X, удовлетворяющиеl(h) < λl(g) + C и g(xw) = yh(w) для всех w ∈ X∗.∗а) Может ли сжимающая группа обладать неабелевой свободной подгруппой?б) Существуют ли неаменабельные сжимающие группы? В.В. Некрашевич∗a) No, it cannot (V. V.Nekrashevich, Preprint, 2008, arXiv:0802.2554).

16.74. ∗а) Пусть G = ⟨α, β⟩ — группа, порожденная следующими двумя подста-новками на Z: α(n) = n + 1; β(0) = 0, β(2km) = 2k(m + 2), где m нечетно и nнатурально. Аменабельна ли группа G?

б) Более общо, верно ли, что все группы, порожденные автоматами полиноми-ального роста в смысле С. Сидки (S. Sidki, Geom. Dedicata, 108 (2004), 193–204),аменабельны? В.В. Некрашевич∗a) Yes, it is (G.Amir, O. Angel, B. Virag, Preprint, 2009, arXiv:0905.2007).

∗16.75. Может ли неабелева группа с одним определяющим соотношением бытьгруппой всех автоморфизмов какой-то группы? М.В. Нещадим∗Да, может: в работе (D. J. Collins, Proc. London Math. Soc. (3), 36 (1978),

no. 3, 480–493) доказано, что для целых чисел r, s, удовлетворяющих условиям(r, s) = 1, |r| = |s|, и r − s — четно, группа G = ⟨a, b | a−1bra = bs⟩ изоморфнаAut(Aut(G)). (В. А.Чуркин, Письмо от 05.04.2006 ).

16.76. Назовем группу G строго вещественной, если каждый ее нетривиаль-ный элемент сопряжен со своим обратным некоторой инволюцией из G. В какихгруппах лиева типа над полем характеристики 2 максимальные унипотентныеподгруппы строго вещественны? Я.Н.Нужин

16.77. Известно, что в любой нетеровой группе нильпотентный радикал совпа-дает с множеством энгелевых элементов (R. Baer, Math. Ann., 133 (1957), 256–270; Б. И.Плоткин, Изв. ВУЗов, Матем., 1958, No. 1(2), 130–135). Было быхорошо найти аналогичную характеризацию разрешимого радикала конечнойгруппы. Точнее, пусть u = u(x, y) — последовательность слов, удовлетворяю-щая 15.75. Назовем элемент g ∈ G u-энгелевым, если существует такое n = n(g),что un(x, g) = 1 для любого x ∈ G. Существует ли такая последовательностьu = u(x, y), что разрешимый радикал любой конечной группы совпадает с мно-жеством u-энгелевых элементов? Б.И.Плоткин

16.78. Существуют ли линейные неабелевы простые группы без инволюций?

Б.Пуаза (B. Poizat)

16.79. Верно ли, что в любой конечно порожденной AT -группе над последова-тельностью цикличеких групп, порядки которых ограничены, все силовские под-группы локально конечны? Определение AT -группы см. в (А. В. Рожков, Матем.заметки, 40 (1986), 572–589). А.В. Рожков

120 16-е издание, 2006 г.

16.80. Пусть группа G получается из свободного произведения групп без круче-ния A1, . . . , An наложением m дополнительных соотношений, где m < n. Верноли, что в G вкладывается свободное произведение некоторых n−m групп Ai?

Н.С.Романовский

∗16.82. Пусть X — непустой класс конечных группа, замкнутый относительногомоморфных образов, подгрупп и прямых произведений. Каждой группе G ∈Xсопоставим некоторое множество τ(G) подгрупп из G. Назовем τ подгрупповымфунктором на X , если:

1) G ∈ τ(G) для всех G ∈X , и2) для каждого эпиморфизма φ : A 7→ B, где A,B ∈X , и для любыхH ∈ τ(A)

и T ∈ τ(B) имеем Hφ ∈ τ(B) и Tφ−1 ∈ τ(A).Скажем, что подгрупповой функтор τ замкнут, если для каждойG ∈X и любойH ∈ X ∩ τ(G) выполняется τ(H) ⊆ τ(G). Множество F (X ) всех замкнутыхподгрупповых функторов на X является решеткой (в которой τ1 6 τ2 тогда итолько тогда, когда τ1(G) ⊆ τ2(G) для всех G ∈ X ). Известно, что F (X ) —цепь тогда и только тогда, когда X — класс p-групп для какого-то простого p(Теорема 1.5.17 в С. Ф. Каморников, М. В. Селькин, Подгрупповые функторы иклассы конечных групп, Беларус. навука, Минск, 2001).

Существует ли ненильпотентный класс X , для которого ширина решеткиF (X ) не превосходит |π(X )|, где π(X ) — множество всех простых делителейпорядков групп в X ? А.Н. Скиба∗Таких классов нет (С. Ф. Каморников, Письмо от 19.08.2007 ).

16.83. Пусть En — счетно-порожденная свободная локально нильпотентная n-энгелева группа и пусть π(En) — множество простых делителей порядков эле-ментов периодической части группы En. Известно, что 2, 3, 5 ∈ π(E4).

а) Существует ли n, для которого 7 ∈ π(En)?б) Верно ли, что π(En) = π(En+1) для всех достаточно больших n?

Ю.В. Сосновский

16.84. Может ли группа кос Bn при n > 4 точно действовать на регулярном уко-рененном дереве автоморфизмами с конечным числом состояний? Такое действиеизвестно для B3.

См. определения в (Р.И. Григорчук, В.В. Некрашевич, В.И. Сущанский, в:Динамические системы, автоматы и бесконечные группы; Тр. Матем. инст.РАН им. Стеклова, 231 (2000), 134–214). В.И. Сущанский

16.85. Предположим, что группы G, H точно действуют на регулярном укоре-ненном дереве автоморфизмами с конечным числом состояний. Верно ли, что ихсвободное произведение G∗H может точно действовать на регулярном укоренен-ном дереве автоморфизмами с конечным числом состояний? В.И. Сущанский

16.86. Всякая ли группа всех автоморфизмов с конечным числом состояний ре-гулярного укорененного дерева обладает неприводимой системой порождающих?

В.И. Сущанский

16-е издание, 2006 г. 121

16.87. Пусть M — многообразие групп и пусть Gr — свободная r-порожденнаягруппа в M. Назовем подмножество S ⊆ Gr тестовым множеством, если каж-дый эндоморфизм группы Gr, тождественный на S, является автоморфизмом.Минимум мощностей тестовых множеств назовем тестовым рангом группы Gr.Предположим, что тестовый ранг группы Gr равен r для каждого r > 1.

а) Верно ли, что M — абелево многообразие?б) Предположим, что M не периодическое многообразие. Верно ли, что M —

многообразие всех абелевых групп? Е.И.Тимошенко

16.88. (Дж.Бергман). Шириной группы G относительно множества порождаю-щих X называется супремум по всем g ∈ G наименьшей длины группового словаот элементов из X, выражающего g. Скажем, что группа G имеет конечную ши-рину, если ее ширина конечна относительно любого множества порождающих.Существует ли счетно-бесконечная группа конечной ширины? Все известные бес-конечные группы конечной ширины (бесконечные группы подстановок, бесконеч-номерные общие линейные группы и некоторые другие группы) несчетны.

В.А. Толстых

16.89. (Дж.Бергман). Верно ли, что группа автоморфизмов AutF бесконечно-порожденной свободной группы F имеет универсально конечную ширину? Ответположителен, если F счетно-порожденная. В.А. Толстых

16.90. Верно ли, что группа автоморфизмов AutF бесконечно-порожденной сво-бодной группы F является

а) нормальным замыканием одного элемента?б) нормальным замыканием некоторой инволюции из AutF?Для свободной группы Fn конечного ранга n М.Бридсон и К.Фогтман недав-

но показали, что AutFn является нормальным замыканием некоторой инволю-ции, переставляющей некоторый базис группы Fn. Известно также, что группыавтоморфизмов бесконечно-порожденных свободных нильпотентных групп обла-дают такими инволюциями. В.А. Толстых

16.91. Пусть F — бесконечно-порожденная свободная группа. Существует лиIA-автоморфизм группы F , нормальное замыкание которого в AutF являетсягруппой всех IA-автоморфизмов группы F? В.А. Толстых

16.92. Пусть F — бесконечно-порожденная свободная группа. Совпадает лиAutF со своим коммутантом? Это верно, если F счетно-порожденная (R. Bryant,V.A. Roman’kov, J. Algebra, 209 (1998), 713–723). В.А. Толстых

16.93. Пусть Fn — свободная группа конечного ранга n ≥ 2. Является ли группаInnFn ее внутренних автоморфизмов формульно определимой подгруппой груп-пы AutFn? Известно, что множество внутренних автоморфизмов, индуцирован-ных степенями примитивных элементов, определимо в AutFn. В.А. Толстых

16.94. Если G = [G,G], то коммутаторная ширина группы G — это ее ширинаотносительно множества коммутаторов. Пусть V — бесконечномерное векторноепространство над телом. Известно, что коммутаторная ширина группы GL(V )конечна. Верно ли, что коммутаторная ширина группы GL(V ) равна единице?

В.А. Толстых

122 16-е издание, 2006 г.

16.95. Гипотеза: если F — поле, а A — элемент группы GL(n, F ), то существуеттакая подстановочная матрица P , что AP — циклическая матрица, т. е. мини-мальный многочлен матрицы AP совпадает с ее характеристическим многочле-ном. Дж. Томпсон (J. G. Thompson)

16.96. Пусть G — локально конечная n-энгелева p-группа для простого p, боль-шего n. Будет ли G Фиттинговой группой? (Примеры Н. Гупты и Ф. Левина по-казывают, что условие p > n вообще говоря необходимо.)

Г.Траустасон (G.Traustason)

16.97. Пусть G — группа без кручения, все подгруппы которой субнормальныдефекта не больше n. Обязана ли группа G быть нильпотентной ступени не вы-ше n? (Известно, что это верно при n < 5). Г.Траустасон (G.Traustason)

16.98. Пусть G — разрешимая конечная группа, A 6 AutG и порядки G и Aвзаимно просты. Существует ли оценка нильпотентной длины h(G) группы G втерминах h(CG(A)) и группы A или даже в терминах h(CG(A)) и длины l(A)самой длинной цепочки вложенных подгрупп группы A?

Когда A разрешима, в (A. Turull, J. Algebra, 86 (1984), 555–566) доказано, чтоh(G) 6 h(CG(A))+2l(A) и эта оценка неулучшаема при h(CG(A)) > 0. Для нераз-решимых A некоторые результаты имеются в (H. Kurzweil, Manuscripta Math., 41(1983), 233–305). А.Турулл (A. Turull)

16.99. Предположим, что G — конечная разрешимая группа, A 6 AutG,CG(A) = 1, порядки G и A взаимно просты, и пусть l(A) обозначает длину самойдлинной цепочки вложенных подгрупп группы A. Верно ли, что нильпотентнаядлина группы G не превосходит l(A)?

Для разрешимой A вопрос совпадает с 5.30. Доказано, что для любой конеч-ной группы A, во-первых, существует G с h(G) = l(A) и, во-вторых, существуеттакое конечное множество простых чисел π (зависящее от A), что если |G| не де-лится на простые числа из π, то h(G) 6 l(A). См. (A. Turull, Math. Z., 187 (1984),491–503). А.Турулл (A. Turull)

16.100. Существует ли (бесконечная) 2-порожденная простая группа G со сле-дующим свойством: AutF2 транзитивна на множестве нормальных подгрупп Nсвободной группы F2, для которых F2/N ∼= G?

Ср. 6.45. Дж.Уайголд (J. Wiegold)

∗16.101. Несчетно ли число бесконечных 2-групп, являющихся фактор-группамигруппы

⟨x, y | x2 = y4 = (xy)8 = 1

⟩? Одна такая группа — это подгруппа конеч-

ного индекса в первой группе Григорчука, порожденная элементами b и ad; см.(Р.И. Григорчук, Функц. анализ и прил., 14 (1980), No. 1, 53–54).

Дж.Уайголд (J. Wiegold)∗Да, несчетно (R. I. Grigorchuk, Preprint, 2009; A. Minasyan, A.Yu.Olshanskii,

D. Sonkin, Groups Geom. Dynam., 3, no. 3 (2009) 423–452).

16-е издание, 2006 г. 123

16.102. Назовем группу G рациональной, если любые два элемента x, y ∈ G,удовлетворяющие ⟨x⟩ = ⟨y⟩, сопряжены. Верно ли, что для любого d существуеттолько конечное число конечных рациональных d-порожденных 2-групп?

А.Хайкин–Запирайн (A. Jaikin–Zapirain)

16.103. Справедлив ли ранговый аналог теоремы Шеферда–Лидхэм-Грина–Мак-кэй о p-группах максимальной ступени нильпотентности? Более точно, предпо-ложим, что P — 2-порожденная конечная p-группа, в которой факторы нижнегоцентрального ряда γi(P )/γi+1(P ) циклические для всех i > 2. Содержит ли Pнормальную подгруппу N ступени нильпотентности 6 2, для которой (секцион-ный) ранг группы P/N ограничен функцией, зависящей только от p?

Е.И. Хухро

16.104. Если G — конечная группа, то каждый элемент a рациональной груп-повой алгебры Q[G] имеет однозначное жорданово разложение a = as + an, гдеan ∈ Q[G] — нильпотентный, as ∈ Q[G] — полупростой элементы и asan = anas.Скажем, что целочисленное групповое кольцо Z[G] обладает свойством аддитив-ного жорданового разложения (АЖР), если as, an ∈ Z[G] для любого a ∈ Z[G].Если элемент a ∈ Q[G] обратим, то as также обратим и тогда a = asau, гдеэлемент au = 1 + a−1s an унипотентен и asau = auas. Такое разложение также од-нозначно. Скажем, что Z[G] обладает свойством мультипликативного жордано-вого разложения (МЖР), если as, au ∈ Z[G] для каждого обратимого a ∈ Z[G].См. обзор (A. W.Hales, I. B. S. Passi, in: Algebra, Some Recent Advances, Birkhauser,Basel, 1999, 75–87).

Верно ли, что имеется лишь конечное число неизоморфных конечных 2-группG, для которых Z[G] обладает МЖР, но не обладает АЖР?

А.Хэйлс (A. W. Hales), И. Пасси (I. B. S. Passi)

16.105. Верно ли, что локально ступенчатая группа, являющаяся произведениемдвух почти полициклических подгрупп (эквивалентно, двух почти разрешимыхподгрупп с условием максимальности), почти полициклична?

Согласно (Н.С. Черников, Укр. матем. ж., 32 (1980), No. 5, 707–711) локаль-но ступенчатая группа, являющаяся произведением двух черниковских подгрупп(эквивалентно, двух почти разрешимых подгрупп с условием минимальности),черниковская. Н.С. Черников

∗16.106. Обозначим через πe(G) множество порядков элементов группы G. ДляΓ ⊆ N пусть h(Γ) обозначает число попарно неизоморфных конечных групп Gс πe(G) = Γ. Существуют ли две такие конечные группы G1, G2, что πe(G1) =πe(G2), h(πe(G1)) <∞, и ни одна из групп G1, G2 не изоморфна ни подгруппе, нифактор-группе никакой нормальной подгруппы другой группы? В.Ши (W. J. Shi)∗Да, существуют: например, G1 = L15(2

60).3 и G2 = L15(260).5 (М.А. Гречко-

сеева, Алгебра и логика, 47, no. 4 (2008), 405–427).

16.107. Верно ли, что почти все знакопеременные группы An однозначно опре-деляются в классе конечных групп множеством порядков элементов, т. е. чтоh(πe(An)) = 1 для всех достаточно больших n? В.Ши (W. J. Shi)

124 16-е издание, 2006 г.

16.108. Обладают ли группы кос Bn при n > 4 неэлементарными гиперболичес-кими фактор-группами? В. Э.Шпильрайн

∗16.109. Существует ли полиномиальный алгоритм, решающий проблему равен-ства в группе AutFn (относительно какого-то конечного копредставления), гдеFn — свободная группа ранга n > 2? В. Э.Шпильрайн∗Да, существует (S. Schleimer, Comment. Math. Helv., 83 (2008), 741–765).

16.110. (И.Капович, П.Шупп). Существует ли алгоритм, который по двум эле-ментам u, v свободной группы Fn определяет, совпадают ли циклические длиныэлементов ϕ(u) и ϕ(v) для всех автоморфизмов ϕ группы Fn?

Прим. 2009 г.: Получен положительный ответ для n = 2 (D. Lee, J. GroupTheory, 10 (2007), 561–569). В. Э.Шпильрайн

16.111. Верно ли, что бесконечная простая периодическая группа с диэдраль-ной силовской 2-подгруппой изоморфна группе L2(P ) для некоторого локальноконечного поля P нечетной характеристики? В. П.Шунков

125

Новые вопросы

17.1. (I. M. Isaacs). Существует ли конечная группа, расщепляемая подгруппамиравных порядков, не все из которых абелевы? (Ср. 15.26.) Известно, что такаягруппа должна иметь простой период (I.M. Isaacs, Pacific J. Math., 49 (1973),109–116). А.Абдоллахи (A.Abdollahi)

17.2. (P. Schmid). Существует ли конечная неабелева p-группа G, для которойH1(G/Φ(G), Z(Φ(G))) = 0? А.Абдоллахи (A.Abdollahi)

17.3. Пусть G — группа, в которой любое 4-элементное подмножество содержитдва элемента, порождающие нильпотентную подгруппу. Верно ли, что любая 2-порожденная подгруппа группы G нильпотентна? А.Абдоллахи (A.Abdollahi)

17.4. Пусть x — правый 4-энгелевый элемент группы G.а) Верно ли, что его нормальное замыкание ⟨x⟩G нильпотентно, если G ло-

кально нильпотентна?б) Если ответ на (а) положительный, то ограничена ли ступень нильпотент-

ности группы ⟨x⟩G?в) Верно ли, что группа ⟨x⟩G всегда нильпотентна?

А.Абдоллахи (A.Abdollahi)

17.5. Верно ли, что ступень нильпотентности нильпотентной группы, порожден-ной d левыми 3-энгелевыми элементами, ограничена в терминах d?

Группа, порожденная двумя левыми 3-энгелевыми элементами, нильпотентнаступени не выше 4 (J. Pure Appl. Algebra, 188 (2004), 1–6.)

А.Абдоллахи (A.Abdollahi)

17.6. а) Существует ли такая функция f : N×N→ N, что любая нильпотентнаягруппа, порожденная d левыми n-энгелевыми элементами, нильпотентна ступенине выше f(n, d)?

б) Существует ли такая функция g : N × N → N, что каждая нильпотент-ная группа, порожденная d правыми n-энгелевыми элементами, нильпотентнаступени не выше g(n, d)? А.Абдоллахи (A.Abdollahi)

17.7. а) Существует ли группа, в которой множество правых энгелевых элемен-тов не образует подгруппу?

б) Существует ли группа, в которой множество правых ограниченно энгеле-вых элементов не образует подгруппу? А.Абдоллахи (A.Abdollahi)

17.8. а) Существует ли группа, содержащая правый энгелев элемент, который неявляется левым энгелевым элементом?

б) Существует ли группа, содержащая правый ограниченно энгелев элемент,который не является левым энгелевым элементом? А.Абдоллахи (A.Abdollahi)

126 Новые вопросы

17.9. Существует ли группа, содержащая левый энгелев элемент, обратный ккоторому не является левым энгелевым элементом? А.Абдоллахи (A.Abdollahi)

17.10. Существует ли группа, содержащая правый 4-энгелев элемент, которыйне принадлежит радикалу Хирша–Плоткина? А.Абдоллахи (A.Abdollahi)

17.11. Существует ли группа, содержащая левый 3-энгелев элемент, который непринадлежит радикалу Хирша–Плоткина? А.Абдоллахи (A.Abdollahi)

17.12. Существуют ли такие функции e, c : N → N, что если в нильпотентнойгруппе G нормальная подгруппа H состоит из правых n-энгелевых элементовгруппы G, то He(n) 6 ζc(n)(G)? А.Абдоллахи (A.Abdollahi)

17.13. Пусть G — вполне импримитивная (см. 15.23) p-группа финитарных под-становок на бесконечном множестве. Предположим, что в циклическом разло-жении каждого элемента из G носитель любого цикла является блоком для G.Обязана ли G содержать минимальную не FC-подгруппу? А.Асар (A. O. Asar)

17.14. Вкладывается ли группа кос Bn при n > 4 в группу автоморфизмовAut(Fn−2) свободной группы Fn−2 ранга n− 2?

Из теоремы Артина следует, что Bn вкладывается в Aut(Fn), а вложение Bn

при n > 3 в Aut(Fn−1) построено в (B.Perron, J. P.Vannier, Math. Ann., 306(1996), 231–245). В.Г.Бардаков

17.15. Построить алгоритм, который по заданному многочлену f ∈ Z[x1, . . . , xn]позволяет найти (явно, в терминах порождающих) максимальную подгруппу Gf

группы Aut(Z[x1, . . . , xn]), оставляющую f на месте. Вопрос связан с описаниеммножества решений диофантова уравнения f = 0. В.Г.Бардаков

17.16. Пусть A – группа Артина конечного типа, т. е. соответствующая ей группаКокстера конечна. Известно, что группа A линейна (S. Bigelow, J. Amer. Math.Soc., 14, no. 2 (2001), 471–486; D. Krammer, Ann. Math., 155, no. 1 (2002), 131–156; F. Digne, J. Algebra, 268, no. 1 (2003), 39–57; A. M.Cohen, D.B. Wales, IsraelJ. Math., 131 (2002), 101–123). Верно ли, что группа автоморфизмов Aut(A)тоже линейна?

Если A – группа кос Bn, n > 2, то ответ утвердительный (В. Г. Бардаков,О. В. Брюханов, Вестник НГУ, Сер. Матем. механ. информ., 7, 3 (2007), 45–58). В.Г.Бардаков

17.17. Должна ли конечно порожденная группа быть конечной, если в ней ко-нечное число n <∞ максимальных подгрупп? В частности, в случае n = 3?

Дж.Бергман (G. M. Bergman)

Новые вопросы 127

17.18. Обозначим через A класс всех компактных групп A, обладающих следу-ющим свойством: если две компактные группы B и C содержат A, то их мож-но вложить в некоторую компактную группу D согласованно на A. Я показал(Manuscr. Math., 58 (1987) 253–281), что все члены A являются (не обязатель-но связными) конечномерными компактными группами Ли, удовлетворяющимисильному свойству «локальной простоты», и что все конечные группы принадле-жат A.

а) Верно ли, что R/Z ∈ A?б) Принадлежат ли A какие-либо неабелевы связные компактные группы Ли?в) Если A принадлежит A, то должна ли связная компонента единицы в A

принадлежать A? Дж.Бергман (G. M. Bergman)

17.19. Если F — свободная группа конечного ранга, R — ретракт группы F , а H— подгруппа группы F конечного ранга, то должно ли пересечение H ∩ R бытьретрактом группы H? Дж.Бергман (G. M. Bergman)

17.20. ПустьM — вещественное многообразие с непустой границей, а G — группатех его автогомеоморфизмов, которые поточечно оставляют на месте границуδM . Является ли группа G правоупорядочиваемой?


17.21. а) Если A,B,C — такие абелевы группы без кручения, что A ∼= A⊕B⊕C,то должно ли выполняться A ∼= A⊕B?

б) Тот же вопрос при дополнительном условии B ∼= C.


17.22. Предположим, что группа A из многообразия групп V вложима в полнуюсимметрическую группу S на бесконечном множестве. Должно ли копроизведе-ние в V двух копий группы A также быть вложимым в S?

Доказано (N.G. de Bruijn), что это верно, если V — многообразие всех групп.


17.23. Предположим, что полная симметрическая группа S на счетно-бесконеч-ном множестве порождается объединением двух подгрупп G и H. Должна ли Sпорождаться конечным множеством в объединении с одной из этих подгрупп?


17.24. (A. Blass, J. Irwin, G. Schlitt). Есть ли в Zω подгруппа, двойственная группакоторой свободна несчетного ранга? Дж.Бергман (G. M. Bergman)

17.25. (S. P. Farbman). Обозначим через X множество таких комплексных чиселα, что группа, порожденная двумя матрицами второго порядка I+αe12 и I+ e21не является свободной на этих порождающих.

а) Содержит ли X все рациональные числа в интервале (−4, 4)?б) Содержит ли X какое-нибудь рациональное число в интервале [27/7, 4)?Ср. 4.41 (в Архиве), 15.83 и (S. P. Farbman, Publ. Mat., 39 (1995), 379–391).



17.26. Замкнуты ли классы правоупорядочиваемых и правоупорядоченныхгрупп относительно взятия решений уравнений w(a1, . . . , ak, x1, . . . , xn) = 1?(Здесь замыкания понимаются, соответственно, относительно вложений групп ивложений, сохраняющих порядок.) Это верно для уравнений с одной константой,когда k = 1 (J. Group Theory, 11 (2008), 623–633).

В.В. Блудов, А. Гласс (A. M. W.Glass)

17.27. Может ли свободное произведение двух упорядоченных групп с порядковоизоморфными объединенными подгруппами быть решеточно упорядочиваемым,но не упорядочиваемым? В.В. Блудов, А. Гласс (A. M. W.Glass)

17.28. Существует ли разрешимая правоупорядочиваемая группа с неразреши-мой проблемой равенства? В.В. Блудов, А. Гласс (A. M. W.Glass)

17.29. Построить конечно определенную упорядочиваемую группу с неразреши-мой проблемой равенства. В.В. Блудов, А. Гласс (A. M. W.Glass)

17.30. Существует ли такая константа l, что любая конечно определенная разре-шимая группа имеет подгруппу конечного индекса, у которой есть нормальныйряд длины не более l с нильпотентными факторами?

Ср. 16.35. В.В. Блудов, Дж. Гроувз (J. R. J. Groves)

17.31. Может ли разрешимая правоупорядочиваемая группа иметь конечнуюфактор-группу по коммутанту? В.В. Блудов, А. Ремтулла (A. H. Rhemtulla)

17.32. Верен ли следующий аналог теоремы Гамильтона–Кэли для свободнойгруппы Fn ранга n: если w ∈ Fn и φ ∈ AutFn таковы, что ⟨w,φ(w), . . . , φn(w)⟩ =Fn, то ⟨w,φ(w), . . . , φn−1(w)⟩ = Fn? О.В. Богопольский

17.33. Можно ли задать системой квазитождеств от конечного числа переменныхквазимногообразие, порожденное группой ⟨a, b | a−1ba = b−1⟩?

Этот вопрос решен для всех других групп с одним определяющим соотноше-нием. А.И. Будкин

17.34. Пусть Nc — квазимногообразие всех нильпотентных групп без крученияступени нильпотентности не выше c. Верно ли, что доминион в Nc (определе-ние см. в 16.20) любой полной подгруппы в каждой группе из Nc равен этойподгруппе? А.И. Будкин

17.35. Пусть имеется конечная двуцветная триангуляция сферы, в которой каж-дый треугольник покрашен либо белым, либо черным так, что ни одна паратреугольников одного цвета не имеет общей стороны. В каждой вершине поме-стим порождающий элемент и будем считать эти элементы перестановочными.Породим этими элементами абелеву группу GW с соотношениями, утверждающи-ми, что порождающие вокруг каждого белого треугольника дают в сумме нуль.Проделав то же с черными треугольниками, получим группу GB .

Гипотеза: группа GW изоморфна группе GB .

И.Ванлесс (I.M. Wanless), Н. Кавенах (N. J. Cavenagh)


17.36. Две группы называются изоспектральными, если у них одно и тоже мно-жество порядков элементов. Найти все конечные простые группы G, для каждойиз которых найдется изоспектральная ей конечная группа H, содержащая соб-ственную нормальную подгруппу, изоморфную G. Для каждой простой группыG описать все группы H с этим условием.

Несложно показать, что группа H должна удовлетворять условию G < H 6AutG. А.В. Васильев

17.37. Существует ли такое натуральное n, что для всех m > n знакоперемен-ная группа Am не имеет нетривиальных Am-перестановочных подгрупп? (См.определение в 17.112.) А. Ф.Васильев, А.Н. Скиба

17.38. Формация F называется радикальной в некотором классе H, если F ⊆ H ив любой H-группе произведение любых двух нормальных F-подгрупп принадле-жит F. Пусть M — класс всех насыщенных наследственных формаций конечныхгрупп, в каждой из которых формация всех конечных сверхразрешимых группявляется радикальной. Верно ли, что в M имеется наибольший по включениюэлемент? А.Ф. Васильев, Л. А.Шеметков

17.39. Существует ли натуральное число n такое, что гиперцентр каждой конеч-ной разрешимой группы совпадает с пересечением n системных нормализаторовэтой группы? Каково наименьшее n с этим свойством?

А.Ф. Васильев, Л. А.Шеметков

17.40. Пусть N — нильпотентная подгруппа конечной группы G. Всегда ли су-ществуют элементы x, y ∈ G, такие что N ∩Nx ∩Ny 6 F (G)? Е.П. Вдовин

17.41. Пусть S — разрешимая подгруппа конечной группы G, не содержащейнетривиальных разрешимых нормальных подгрупп.

а) (L. Babai, A. J. Goodman, L. Pyber). Всегда ли найдется семь подгрупп, со-пряжённых с S, пересечение которых тривиально?

б) Всегда ли найдется пять подгрупп, сопряжённых с S, пересечение которыхтривиально? Е.П. Вдовин

17.42. Пусть G — простая алгебраическая группа присоединённого типа над ал-гебраическим замыканием F p конечного поля Fp простого порядка p, а σ — отоб-ражение Фробениуса (т. е. сюръективный гомомоморфизм такой, что множествоGσ = CG(σ) конечно). Тогда G = Op′

(Gσ) является конечной группой лиева типа.Для максимального σ-инвариантного тора T группы G положим N = NG(T )∩G.Предположим также, что группа G проста и G ≃ SL3(2). Верно ли, что суще-ствует x ∈ G такой, что N ∩Nx является p-группой? Е.П. Вдовин

17.43. Пусть π — некоторое множество простых чисел. В каких конечных про-стых Dπ-группах (см. Архив, 3.62) является Dπ-группой

а) любая подгруппа? (Х. Виландт)б) любая подгруппа, обладающая холловой π-подгруппой?

Отметим, что все простые Dπ-группы известны (Д. О.Ревин, Алгебра и логика,47, 3 (2008), 364–394). Е.П. Вдовин, Д. О.Ревин


17.44. Пусть π — некоторое множество простых чисел. Назовем Cπ-группой ко-нечную группу, обладающую ровно одним классом сопряжённых холловых π-подгрупп.

а) Всегда ли в Cπ-группе надгруппа холловой π-подгруппы является Cπ-группой?

б) Всегда ли в Dπ-группе надгруппа холловой π-подгруппы является Dπ-группой?

Как следует из (F. Gross, Bull. London Math. Soc., 19, no. 4 (1987), 311–319),ответ на вопрос (а) положительный mod CFSG в случае, когда 2 ∈ π.

Е.П. Вдовин, Д. О.Ревин

17.45. Подгруппа H группы G пронормальна, если подгруппы H и Hg сопряже-ны в ⟨H,Hg⟩ для любого g ∈ G. Подгруппу H группы G назовём сильно пронор-мальной, если для любых L 6 H и g ∈ G подгруппа Lg сопряжена в ⟨H,Lg⟩ сподгруппой из H. Верно ли, что в конечных простых группах холловы подгруппы

a) пронормальны?б) сильно пронормальны?в) Верно ли, что в произвольной конечной группе холлова подгруппа, обла-

дающая силовской башней, сильно пронормальна?Ответ на вопрос (а) положителен mod CFSG для холловых подгрупп нечёт-

ного порядка (F.Gross, Bull. London Math. Soc., 19, no. 4 (1987), 311–319). Отме-тим, что существуют конечные непростые группы, холловы подгруппы которыхне пронормальны. Холловы подгруппы, обладающие силовской башней, пронор-мальны. Е.П. Вдовин, Д. О.Ревин

17.46. Пусть в конечной p-группе G каждая 2-порожденная подгруппа имеетциклический коммутант. Ограничена ли ступень разрешимости группы G?

Если p = 2, то G(2) = 1 (J. Alperin), но для p = 2 существуют примеры, вкоторых G(2) циклическая и элементарная абелева произвольного порядка.

Б.М. Веретенников

17.47. Пусть G — нильпотентная группа, в которой каждый смежный классx[G,G] при x ∈ [G,G] совпадает с классом сопряженности xG. Ограничена листупень нильпотентности группы G?

Если G конечна, то ее ступень нильпотентности не выше 3 (R.Dark andC. Scoppola). С.Гхате (S. H. Ghate), А.Муктибодх (A. S.Muktibodh)

17.48. Верно ли, что свободное произведение двух групп со стабильной теориейпервого порядка также имеет стабильную теорию первого порядка?

Э. Жалиго (E. Jaligot)

17.49. Совместно ли с ZFC, что любая недискретная топологическая группа со-держит непустое нигде не плотное подмножество без изолированных точек?

При наличии аксиомы Мартина существуют счетные недискретные тополо-гические группы, в которых каждое непустое нигде не плотное подмножествоимеет изолированную точку. Е. Г. Зеленюк


17.50. Верно ли, что для каждой конечной группы G имеется конечная группа Fи сюръективный гомоморфизм f : F → G такие, что для каждой нетривиальнойподгруппы H группы F ограничение f |H не инъективно?

Известно, что для любой конечной группы G имеется конечная группа F исюръективный гомоморфизм f : F → G такие, что для каждой подгруппы Hгруппы F ограничение f |H не биективно. Е. Г. Зеленюк

17.51. Верно ли, что любую недискретную топологическую группу, не содержа-щую счетную открытую подгруппу периода 2, можно разбить на два (бесконечномного) всюду плотных подмножества?

Это верно, если группа абелева или счетна. Е. Г. Зеленюк, И. В.Протасов

17.52. (N. Eggert). Пусть R — коммутативная ассоциативная конечномернаянильпотентная алгебра над конечным полем F характеристики p. Пусть R(p)

— подалгебра всех элементов вида rp (r ∈ R). Верно ли, что dimR > p dimR(p)?Положительный ответ давал бы решение задачи 11.44 для случая, когда фак-

торы A и B абелевы. Л. С.Казарин

17.53. Конечная группа G называется просто приводимой (SR-группой), есликаждый элемент из G сопряжен со своим обратным, и тензорное произведениелюбых двух неприводимых представлений группы G разлагается в сумму непри-водимых представлений с коэффициентами 0 или 1.

а) Верно ли, что нильпотентная длина разрешимых SR-групп не превосхо-дит 5?

б) Верно ли, что ступень разрешимости разрешимых SR-групп ограниченанекоторой константой c? Л. С.Казарин

17.54. Существует ли ненаследственная локальная формация F конечных групп,для которой в каждой конечной группе множество всех F-субнормальных под-групп образует подрешетку решетки всех подгрупп?

Отрицательный ответ решил бы 9.75, так как все наследственные локальныеформации с тем же свойством уже известны. С.Ф. Каморников

17.55. Существует ли такая абсолютная константа k, что для любой префратти-ниевой подгруппы H в любой конечной разрешимой группе G найдется k сопря-женных подгруппы H, пересечение которых равно Φ(G)? С.Ф. Каморников

17.56. Предположим, что подгруппа H конечной группы G такова, что HM =MH для любой подгруппы Шмидта M 6 G. Будет ли H/HG нильпотентна, гдеHG — наибольшая нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в H?

В. Н.Княгина, В.С. Монахов

17.57. Для целых чисел 0 6 r < m обозначим r(m) = r + km | k ∈ Z. Приr1(m1)∩ r2(m2) = ∅ определим транспозицию классов τr1(m1),r2(m2) как инволю-цию, переставляющую между собой r1 + km1 и r2 + km2 для каждого целого k иоставляющую на месте все остальное. Группа CT(Z), порожденная всеми трас-позициями классов, проста (Math. Z., DOI: 10.1007/s00209-009-0497-8). Есть ли унее нетривиальные внешние автоморфизмы? С. Коль (S. Kohl)


17.58. Есть ли в CT(Z) подгруппы промежуточного (словарного) роста?

С. Коль (S. Kohl)

17.59. Подстановка множества Z называется аффинной по классам вычетов, еслиесть такое натуральное m, что все ее ограничения на классы вычетов по модулюm аффинны. Является ли CT(Z) группой всех аффинных по классам вычетовподстановок множества Z, которые оставляют на месте неотрицательные целыечисла как множество? С. Коль (S. Kohl)

17.60. Для данного множества P нечетных простых чисел определим CTP(Z)как подгруппу из CT(Z), порожденную всеми транспозициями классов, которыепереставляют классы вычетов по модулю чисел, делящихся только на простыечисла из P ∪ 2. Группы CTP(Z) просты (Math. Z., DOI: 10.1007/s00209-009-0497-8). Верно ли, что они попарно неизоморфны? С. Коль (S. Kohl)

17.61. Группа CTP(Z) конечно порождена тогда и только тогда, когда множе-ство P конечно. Если P = ∅, то она изоморфна конечно определенной (пер-вой) группе Хигмэна–Томпсона (J. P.McDermott, см. http://univlora.edu.al/personel/kohl/preprints/ctpz.pdf). Верно ли, что она всегда конечно опреде-лена, если множество P конечно? С. Коль (S. Kohl)

17.62. Может ли свободная группа Fn содержать собственную характеристиче-скую подгруппу C, для которой фактор-группа Fn/C порождается менее, чем nэлементами? Дж.Конрад (J. Conrad)

17.63. Доказать, что если p — нечетное простое число, а s — натуральное число,то имеется лишь конечное число p-адических пространственных групп конечногококласса с группой точек кокласса s. Ч.Лидхэм-Грин (C. R. Leedham-Green)

17.64. Скажем, что группа G является n-аппроксимацией Ноттингемской груп-пы J = N(p) (см. Архив, 12.24), если G — бесконечная про-p группа иG/γn(G) изоморфна J/γn(J). Существует ли такая функция f(p), что еслиG — f(p)-аппроксимация Ноттингемской группы, то γi(G)/γi+1(G) изоморфнаγi(J)/γi+1(J) для всех i?

Ср. 14.56. Заметим, что из положительного решения тривиально следовал быизвестный теперь факт, что J конечно определена как про-p группа (если p > 2),см. 14.55. Ч.Лидхэм-Грин (C. R. Leedham-Green)

17.65. Если задача 17.64 имеет положительное решение, то следует ли, что длянекоторой функции g(p) число (изоморфных классов) g(p)-аппроксимаций груп-пы J

а) счетно?б) равно одному?

Заметим, что если для некоторого g(p) имеется лишь конечное их число, то длянекоторого h(p) есть только один. Ч.Лидхэм-Грин (C. R. Leedham-Green)


17.66. (Известный вопрос). Существует ли такое натуральное число d, чтоdimH1(G,V ) 6 d для любого точного абсолютно неприводимого модуля V любойконечной группы G? Ср. 16.55. В.Д. Мазуров

17.67. (Цассенхаус). Гипотеза: Любой обратимый элемент целочисленного груп-пового кольца ZG конечной группы G сопряжен в рациональном групповом коль-це QG с элементом из ±G. В.Д. Мазуров

17.68. Пусть C — циклическая подгруппа группы G и G = CFC, где F — конеч-ная циклическая подгруппа. Верно ли, что индекс |G : C| конечен? Ср. 12.62.


17.69. Пусть G — группа простого периода, свободно действующая на нетриви-альной абелевой группе. Верно ли, что G — циклическая? В.Д. Мазуров

17.70. Пусть α — автоморфизм простого порядка q бесконечной свободной Берн-сайдовой группы G = B(q, p) простого периода p, циклически переставляющийсвободные образующие группы G. Верно ли, что α имеет нетривиальные непо-движные точки? В.Д. Мазуров

17.71. Пусть α — автоморфизм простого порядка p периодической группы G, неимеющий нетривиальных неподвижных точек.

а) Верно ли, что в G нет нетривиальных p-элементов?б) Предположим что в G нет нетривиальных p-элементов. Верно ли, что α —

расщепляющий автоморфизм? (См. определение в 10.59.) В.Д. Мазуров

17.72. Пусть AB — конечная группа Фробениуса с ядром A и дополнением B.Предположим, что AB действует на конечной группе G так, что GA — тожегруппа Фробениуса с ядром G и дополнением A.

а) Ограничена ли ступень нильпотентности группы G в терминах |B| и сту-пени нильпотентности группы CG(B)?

б) Ограничен ли период группы G в терминах |B| и периода группы CG(B)?


17.73. Пусть G — конечная простая группа лиева типа, определённая над полемхарактеристики p, и V — абсолютно неприводимый G-модуль над полем той жехарактеристики. Верно ли, что в случаях а) G = U4(q); б) G = S2n(q), n > 3; в)G = O2n+1(q), n > 3; г) G = O+

2n(q), n > 4; д) G = O−2n(q), n > 4; е) G = 3D4(q);ж) G = E6(q); з) G = 2E6(q); и) G = E7(q); к) G = G2(2

m) расщепляемоерасширение V посредством G обязательно содержит элемент, порядок которогоотличен от порядка любого элемента из G? В.Д. Мазуров

17.74. Пусть G — конечная простая группа лиева типа, определённая над полемхарактеристики p, лиев ранг которой не меньше трёх, и V — абсолютно неприво-димый G-модуль над полем, характеристика которого не делит p. Верно ли, чторасщепляемое расширение V посредством G обязательно содержит элемент, по-рядок которого отличен от порядка любого элемента из G? Особенно интересенслучай G = Un(p

m). В.Д. Мазуров


17.75. Может ли Монстр M действовать на нетривиальной конечной 3-группеV так, что все элементы из M порядков 41, 47, 59, 71 не имеют нетривиальныхнеподвижных точек на V ? В.Д. Мазуров

17.76. Существует ли конечная группа G порядка |G| > 2, в которой ровно одинэлемент не является коммутатором? Д.Макхэйл (D.MacHale)

17.77. Предположим, что существует неразрешимая конечная группа, в которойровно k классов сопряженных элементов. Верно ли, что конечная группа макси-мального порядка, в которой ровно k классов сопряженных элементов, неразре-шима? Д. Макхэйл (D. MacHale), Р.Хеффернан (R. Heffernan)

17.78. Существует ли конечно порожденная группа без свободных подполугрупп,порождающая собственное многообразие, содержащее ApA?


17.79. Существует ли конечно порожденная периодическая группа неограничен-ного периода, порождающая собственное многообразие?


17.80. Обозначим [u, nv] := [u,

n︷︸︸︷v, . . . , v ]. Верно ли, что группа Mn = ⟨x, y | x =

[x, ny], y = [y, nx] ⟩ бесконечна для любого n > 2?


17.81. Для нормальных подгрупп R1, . . . , Rn группы G положим [[R1, . . . , Rn]] :=∏[∩i∈I

Ri,∩j∈J

Rj

], где произведение берется по всем I∪J = 1, . . . , n, I∩J = ∅.

Пусть G — свободная группа и пусть Ri = ⟨ri⟩G — нормальные замыкания эле-ментов ri ∈ G. Известно (B. Hartley, Yu.Kuzmin, J. Pure Appl. Algebra, 74 (1991),247–256), что фактор-группа (R1 ∩ R2)/[R1, R2] является свободной абелевойгруппой. С другой стороны, фактор-группа (R1 ∩ · · · ∩ Rn)/[[R1, . . . , Rn]] можетиметь нетривиальное кручение при n > 4. Верно ли, что эта фактор-группа неимеет кручения при n = 3? Известно, что это так, если r1, r2, r3 не являютсясобственными степенями в G. Р.Михайлов

17.82. Верно ли, что в любой конечно определенной группе пересечение рядакоммутантов совпадает со своим коммутантом? Р.Михайлов

17.83. Существует ли такая группа, что любое ее центральное расширение ниль-потентно аппроксимируемо, но есть центральное расширение ее центральногорасширения, которое не является нильпотентно аппроксимируемым?

Р.Михайлов


17.84. Ассоциативная алгебра A размерности d называется CYd-алгеброй (Кала-би–Яу размерности d), если ExtnA-bimod(A, A⊗ A) = 0 при n = d и имеется есте-ственный изоморфизм A-бимодулей ExtdA-bimod(A, A ⊗ A) ∼= A. По теореме Кон-цевича комплексная групповая алгебра CG фундаментальной группы G трех-мерного асферического многообразия является CY3-алгеброй. Будет ли финит-но аппроксимируемой любая группа, у которой комплексная групповая алгебраявляется CY3-алгеброй? Р.Михайлов

17.85. Будет ли абелевым многообразие групп, если у любой свободной группыэтого многообразия целочисленные группы гомологий не имеют кручения во всехразмерностях?

Известно, что свободные метабелевы группы могут иметь 2-кручение во вто-рой группе гомологий, а свободные 2-ступенно нильпотентные группы могутиметь 3-кручение в четвертой группе гомологий. Р.Михайлов

17.86. (Простейшие вопросы, относящиеся к гипотезе асферичности Уайтхеда).Предположим, что ⟨x1, x2, x3 | r1, r2, r3⟩ — представление тривиальной группы.

а) Доказать, что группа ⟨x1, x2, x3 | r1, r2⟩ не имеет кручения.б) Пусть F = F (x1, x2, x3) и Ri = ⟨ri⟩F . Верно ли, что группа F/[R1, R2]

аппроксимируется разрешимыми? Из положительного ответа следует асферич-ность любого подкомплекса стягиваемого двумерного комплекса с тремя клетка-ми. Р.Михайлов

17.87. Построить группу промежуточного роста с конечно порожденным муль-типликатором Шура. Р.Михайлов

17.88. Вычислить K0(F2G) и K1(F2G), где G — первая группа Григорчука, F2G— ее групповая алгебра над полем из двух элементов, а K0,K1 — нулевой ипервый K-функторы. Р.Михайлов

17.89. По теореме Боусфилда свободное пронильпотентное пополнение нецик-лической свободной группы имеет несчетный мультипликатор Шура. Верно ли,что свободное проразрешимое пополнение (т. е. обратный предел фактор-групппо членам ряда коммутантов) нециклической свободной группы имеет несчетныймультипликатор Шура? Р.Михайлов

17.90. (G.Baumslag). Группа парасвободна, если она нильпотентно аппроксими-руема и имеет те же фактор-группы по членам нижнего центрального ряда, чтои свободная группа. Верно ли, что H2(G) = 0 для любой конечно порожденнойпарасвободной группы G? Р.Михайлов

17.91. Пусть d(X) обозначает ступень разрешимости группы X.а) Существует ли такая абсолютная константа k, что d(G) − d(M) 6 k для

любой конечной разрешимой группы G и любой ее максимальной подгруппы M?б) Найти наименьшее число k с этим свойством.Известно (K.Doerk), что в этой ситуации всегда n(G)−n(M) 6 2, где n(X) —

нильпотентная длина. В.С.Монахов

17.92. Каковы неабелевы композиционные факторы конечной неразрешимойгруппы, у которой все максимальные подгруппы холловы? В.С.Монахов


17.93. (Известный вопрос). Пусть G — компактная топологическая группа, со-держащая элементы сколь угодно большого порядка. Должна ли G содержатьэлемент бесконечного порядка? Я.Мыцельски (J. Mycielski)

17.94. (Известный вопрос). Может ли свободное произведение Z ∗ G бесконеч-ной циклической группы Z и нетривиальной группы G совпадать с нормальнымзамыканием одного элемента? Я.Мыцельски (J. Mycielski)

17.95. Пусть G — группа подстановок на конечном множестве Ω. Разбиение ρмножества Ω назовем G-регулярным, если существует такое подмножество S ⊆ Ω,что Sg является трансверсалью разбиения ρ для любого g ∈ G. Группу G назовемсинхронизирующей, если |Ω| > 2 и Ω не допускает нетривиальных собственныхG-регулярных разбиений.

а) Являются ли синхронизирующими следующие примитивные группы аф-финного типа:

2p.PSL(2, 2p+ 1), где и p, и 2p+ 1 — простые числа, p ≡ 3 (mod 4) и p > 23?

2101.He?

б) Для каких конечных простых групп S не являются синхронизирующимигруппы S × S, действующие на S по правилу (g, h) : x 7→ g−1xh?


17.96. Существует ли многообразие групп, содержащее только счетное числоподмногообразий, в котором, однако, есть бесконечная строго убывающая цепоч-ка подмногообразий? П.Нойман (P.M.Neumann)

17.97. Будет ли конечно базируемым каждое многообразие групп периода 4?


17.98. Назовем многообразие групп малым, если оно содержит лишь счетноечисло неизоморфных конечно порожденных групп.

а) Верно ли, что если группа G конечно порождена и порожденное ею мно-гообразие Var(G) мало, то G удовлетворяет условию максимальности для нор-мальных подгрупп?

б) Верно ли, что многообразие мало тогда и только тогда, когда все его ко-нечно порожденные группы хопфовы? П.Нойман (P.M.Neumann)

17.99. Рассмотрим группу B = ⟨a, b | (bab−1)a(bab−1)−1 = a2⟩, введенную Ба-умслагом в 1969. Относительно операции суперпозиции тому же соотношениюудовлетворяют функции f(x) = 2x и g(x) = 2x в группе ростков, состоящей измонотонно возрастающих к∞ непрерывных функций на (0,∞), где две функцииотождествляются, если они совпадают для всех достаточно больших аргументов.Будет ли представление a 7→ f , b 7→ g группы B точным? А.Ю. Ольшанский


17.100. Гипотеза: конечная группа не проста, если она имеет неприводимый ком-плексный характер нечетной степени, принимающий нулевое значение на классенечетной длины.

Из справедливости этой гипотезы вытекала бы разрешимость групп нечетно-го порядка, так что представляет особый интерес доказательство, не зависящееот CFSG. В. Панноне (V.Pannone)

17.101. Согласно Ф. Холлу группа G называется однородной, если любой изомор-физм ее конечно порожденных подгрупп индуцирован автоморфизмом группы G.Известно (Хигмэн–Нойман–Нойман), что любая группа вложима в однородную.Верно ли то же самое для категории представлений групп? Представление (V,G)конечно порождено, если G — конечно порожденная группа, а V — конечно по-рожденный модуль над групповой алгеброй группы G. Б.И.Плоткин

17.102. Скажем, что два подмножества A,B бесконечной группы G разделены,если существует бесконечное подмножество X ⊆ G такое, что 1 ∈ X, X = X−1 иXAX ∩ B = ∅. Верно ли, что любые два непересекающихся подмножества A,Bбесконечной группы G, удовлетворяющие |A| < |G|, |B| < |G|, разделены?

Это так, если A,B конечны или G абелева. И.В.Протасов

17.103. Верно ли, что существует континуум множеств π простых чисел, длякоторых каждая конечная группа, обладающая холловой π-подгруппой, являетсяDπ-группой? Д.О. Ревин

17.104. Пусть Γ — конечный неориентированный граф на множестве вершинx1, . . . , xn и пусть SΓ = ⟨x1, . . . , xn | xixj = xjxi ⇔ (xi, xj) ∈ Γ; A2⟩ — пред-ставление частично коммутативной метабелевой группы SΓ в многообразии всехметабелевых групп. Разрешима ли универсальная теория группы SΓ?

В. Н.Ремесленников, Е. И.Тимошенко

17.105. Уравнение над про-p-группой G — это выражение v(x) = 1, где v(x) —элемент свободного про-p-произведения группы G и свободной про-p-группы сбазисом x1, . . . , xn; решения ищутся в прямой степени Gn. Верно ли, что сво-бодная про-p-группа нетерова по уравнениям, т. е. для любого n всякая системауравнений от x1, . . . , xn над этой группой эквивалентна некоторой своей конечнойподсистеме? Н.С.Романовский

17.106. Группа G называется PC-группой, если G/CG(⟨x⟩G) имеет полицикличе-скую подгруппу конечного индекса для каждого x ∈ G. Есть ли непериодическиегруппы, все собственные подгруппы которых являются PC-группами?

Ф.Руссо (F. Russo)

17.107. Есть ли вG = SL2(C) 2-порожденная свободная подгруппа, сопряженнаяв G со своей собственной подгруппой?

6-Порожденная свободная подгруппа с этим свойством найдена в (D.Calegari,N.M. Dunfield, Proc. Amer. Math. Soc., 134, no. 11 (2006), 3131–3136). М.Сапир


17.108. Линейна ли группа ⟨a, b, t | at = ab, bt = ba⟩?Если нет, то это был бы легкий пример нелинейной гиперболической группы.

М.Сапир

17.109. Нетривиальное групповое слово w равномерно эллиптично в классе C,если имеется такая функция f : N→ N, что ширина слова w в каждой d-порож-денной C-группе G ограничена числом f(d) (т. e. каждый элемент вербальнойподгруппы w(G) равен произведению f(d) значений слова w или их обратных).Если C — класс конечных групп, это эквивалентно тому, что в каждой конеч-но порожденной про-C группе G вербальная подгруппа w(G) замкнута. Дока-зано (A. Jaikin-Zapirain, Revista Mat. Iberoamericana, 24 (2008), 617–630), что wравномерно эллиптично в классе конечных p-групп тогда и только тогда, когдаw /∈ F ′′(F ′)p, где F — свободная группа на переменных слова w. Верно ли что wравномерно эллиптично в классе C тогда и только тогда, когда w /∈ F ′′(F ′)p длякаждого простого p, если C — класс всех

а) конечных разрешимых групп?б) конечных групп?См. также гл. 4 в (D. Segal, Words: notes on verbal width in groups, LMS Lect.

Note Series, 361, Cambridge Univ. Press, 2009. Д.Сегал (D. Segal)

17.110. а) Верно ли, что для каждого слова w найдется такая функция h : N ×N→ N, что ширина слова w в каждой конечной p-группе секционного ранга r непревосходит h(p, r)?

б) Если это так, можно ли выбрать h(p, r) независящей от p?Из положительного ответа на вопрос (а) следовал бы результат из (A. Jaikin-

Zapirain, (Revista Mat. Iberoamericana, 24 (2008), 617–630) о том, что каждое словоимеет конечную ширину в каждой p-адической аналитической про-p группе, по-скольку про-p группа является p-адической аналитической тогда и только тогда,когда равномерно ограничены секционные ранги всех ее конечных фактор-групп.

Д.Сегал (D. Segal)

17.111. Пусть G — конечная группа, p — простой делитель ее порядка. Предпо-ложим, что каждая максимальная подгруппа силовской p-подгруппы группы Gимеет p-разрешимое добавление в G. Должна ли G быть p-разрешимой?

А.Н. Скиба

17.112. Подгруппа A группы G называется G-перестановочной в G, если длялюбой подгруппы B 6 G найдется такой элемент x ∈ G, что ABx = BxA. Под-группа A называется наследственно G-перестановочной в G, если A являетсяE-перестановочной в каждой подгруппе E 6 G, содержащей A. Какие конечныенеабелевы простые группы G обладают

а) нетривиальной G-перестановочной подгруппой?б) нетривиальной наследственно G-перестановочной подгруппой?

А.Н.Скиба, В.Т.Тютянов

17.113. Существуют ли при p > 3 2-порожденные конечные p-группы нулевойдефективности (см. 8.12) сколь угодно большой ступени нильпотентности?



17.114. Верно ли, что всякое обобщенное свободное произведение (с объединен-ной подгруппой) двух нетривиальных групп обладает максимальными подгруп-пами?


17.115. Может ли локально свободная неабелева группа иметь нетривиальнуюподгруппу Фраттини? Дж.Уайголд (J. Wiegold)

17.116. Обозначим через n(G) наибольшее из натуральных чисел n, для которыхn-ая прямая степень конечной простой группы G 2-порождена. Верно ли, чтоn(G) >

√|G|? Дж.Уайголд (J. Wiegold)

17.117. (Известный вопрос). Если группы A и B имеют разрешимые элементар-ные теории Th(A) и Th(B), то должна ли быть разрешимой теория Th(A ∗B) ихсвободного произведения? О.Харлампович

17.118. Предположим, что конечная p-группа G имеет подгруппу периода p и ин-декса p. Должна ли G также содержать характеристическую подгруппу периодаp, индекс которой ограничен в терминах p? Е.И. Хухро

17.119. Предположим, что конечная разрешимая группа G допускает разреши-мую группу автоморфизмов A взаимно простого порядка, для которой CG(A)имеет ранг r. Пусть |A| — произведение l не обязательно различных простыхчисел. Есть ли линейная функция f , для которой ранг G/Ff(l)(G) ограничен втерминах |A| и r, где Ff(l)(G) — f(l)-я подгруппа Фиттинга?

Экспоненциальная функция f с этим свойствов найдена (E.Khukhro,V.Mazurov, Groups St. Andrews 2005, vol. II, Cambridge Univ. Press, 2007, 564–585).Известно также, что |G/F2l+1(G)| ограничен в терминах |CG(A)| и |A| (Hartley–Isaacs). Е.И. Хухро

17.120. Обязана ли финитно аппроксимируемая группа, в которой конечна лю-бая подгруппа бесконечного индекса, быть конечным расширением циклической?


17.121. Пусть G — группа, множество элементов которой совпадает с действи-тельными числами и которая «красиво определима» (см. ниже). Будет ли изтого, что G является ℵω-свободной, следовать, что G свободна, если «красивоопределима» означает

а) быть Fσ?б) быть борелевской?в) быть аналитической?г) быть L[R]-проективной?

См. мотивировки в arXiv:math/0212250v2. С.Шелах

17.122. Те же вопросы, как в 17.121, для абелевой группы G. С.Шелах


17.123. Существуют ли такие конечные группы G1, G2, что πe(G1) = πe(G2),h(πe(G1)) < ∞ и каждый неабелев композиционный фактор каждой из группG1, G2 не изоморфен секции другой из них?

См. определения в Архиве, 13.63. В.Ши (W. J. Shi)

17.124. Является ли множество конечно представимых метабелевых групп ре-курсивно перечислимым? В. Э.Шпильрайн

17.125. Верно ли, что каждая конечная группа G содержит пару сопряженныхэлементов a, b, для которых π(G) = π(⟨a, b⟩)? Это верно для разрешимых групп.

П.Шумяцкий

17.126. Предположим, что финитно аппроксимируемая группа G удовлетворяеттождеству [x, y]n = 1. Должен ли ее коммутант [G,G] быть локально конечным?

Эквивалентная формулировка: Пусть G — конечная разрешимая группа, удо-влетворяющая тождеству [x, y]n = 1. Ограничена ли в терминах n нильпотентнаядлина группы G? Ср. Архив, 13.34 П.Шумяцкий

17.127. Предположим, что конечная разрешимая группа G ступени разрешимо-сти d допускает элементарную абелеву p-группу автоморфизмов A порядка pn

такую, что CG(A) = 1. Обладает ли G нормальным рядом n-ограниченной дли-ны, факторы которого нильпотентны ступени, ограниченной в терминах p, n, d?

Это верно для p = 2. Положительный ответ следовал бы из положительногоответа на 11.125. П.Шумяцкий

17.128. Пусть T — конечная p-группа, допускающая элементарную абелеву груп-пу автоморфизмов A порядка p2, такую, что в полупрямом произведении P = TAкаждый элемент из P \T имеет порядок p. Следует ли отсюда, что T — периода p?

Э.Ябара (E. Jabara)

141

Архив решенных задач

В этом разделе собраны решенные задачи, которые уже были откомменти-рованы в одном из предыдущих изданий c указанием развернутой публикации,содержащей полный ответ. Те задачи, полные ссылки на решения которых впер-вые появляются только в этом издании, комментируются в основной части «Ко-уровской тетради», среди нерешенных задач соответствующего параграфа.

1.1. Существуют ли конечно порожденные простые полные группы, отличные отединичной? Равносильный вопрос: существуют ли конечно порожденные полныегруппы, отличные от единичной? Ю.А.БоганДа, существуют (В. С. Губа, Изв. АН СССР, сер. мат., 50 (1986), 883–924).

1.2. Пусть G — группа, F — свободная группа со свободными порождающимиx1, . . . , xn, R — свободное произведение групп G и F . Уравнением (с неизвест-ными x1, . . . , xn) над группой G назовем выражение вида v(x1, . . . , xn) = 1, гделевая часть есть элемент из R, не сопряженный в R ни с каким элементом из G.Группу G назовем алгебраически замкнутой, если любое уравнение над G имеетрешение в этой группе. Существуют ли алгебраически замкнутые группы?

Л.А.БокутьДа, существуют (С. Д.Бродский, УМН, 35, 4 (1980), 183 (реферат Деп. ВИ-НИТИ 2214-80, М., 1980)).

1.4. (А.И. Мальцев). Существует ли кольцо без делителей нуля, не вложимое втело, мультипликативная полугруппа ненулевых элементов которого вложима вгруппу? Л.А.БокутьДа, существует (Л. А.Бокуть, ДАН СССР, 175 (1967), 755–758; A. Bowtell,J. Algebra, 7 (1967), 126–139; A. Klein, J. Algebra, 7 (1967), 100–125).

1.9. Вложима ли (изоморфно) в прямое произведение конечных групп фактор-группа локально нормальной группы по второму члену ее верхнего центральногоряда? Ю. М.ГорчаковДа, вложима (Ю. М. Горчаков, Алгебра и логика, 15 (1976), 622–627).

1.10. Автоморфизм φ группы G назовем расщепляющим, если для любого эле-мента g ∈ G выполняется соотношение ggφ · · · gφn−1

= 1, где n — порядок авто-морфизма φ. Будет ли нильпотентной разрешимая группа, имеющая регулярныйрасщепляющий автоморфизм простого порядка? Ю. М.ГорчаковДа, будет (Е. И. Хухро, Алгебра и логика, 17 (1978), 611–618) и даже без условиярегулярности автоморфизма (Е.И. Хухро, Алгебра и логика, 19 (1980), 118–129).

1.11. (Э. Артин). Проблема сопряженности для групп кос Bn, где n > 4.М.Д.Гриндлингер

Проблема решена положительно (Г.С. Маканин, ДАН СССР, 182 (1968), 495–496; F. A.Garside, Quart. J. Math., 20 (1969), 235–254).

142 Архив

1.14. (Б.Нойман). Существует ли бесконечная простая конечно определеннаягруппа? М.Д.ГриндлингерДа, существует (G. Higman, Finitely presented infinite simple groups (Notes on PureMathematics, 8), Dept. of Math., Inst. Adv. St. Austral. National Univ., Canberra,1974; рус. пер.: Г.Хигман, в сб. Разрешимые и простые бесконечные группы,Мир, М., 1981, 87–147); в этой статье также дана ссылка на Р.Томпсона.

1.17. Выписать в явном виде порождающие элементы и определяющие соотно-шения какой-нибудь универсальной конечно определенной группы.

М.Д.ГриндлингерВыписаны (М.К. Валиев, ДАН СССР, 211 (1973), 265–268, 215 (1974), 10).

1.18. (А.Тарский). а) Существует ли алгоритм для определения разрешимостиуравнений в свободной группе?

б) Описать структуру всех решений уравнения, если оно имеет хотя бы однорешение. Ю.Л. Ершова) Да, существует (Г.С.Маканин, Изв. АН СССР, сер. мат., 46 (1982), 1199–1273; там же, 48 (1984), 735–749).б) Описана (А. А.Разборов, Изв. АН СССР, сер. мат., 48 (1984), 779–832).

1.21. Конечно ли множество конечных простых групп данного периода n?М. И.Каргаполов

Да, конечно (mod CFSG), см., например, (G. A. Jones, J. Austral. Math. Soc., 17(1974), 162–173).

1.23. Существуют ли бесконечные простые локально конечные группы конечногоранга? М. И.КаргаполовНет, не существуют (В. П.Шунков, Алгебра и логика, 10 (1971), 199–225).

1.24. Всякая ли бесконечная группа обладает бесконечной абелевой подгруппой?М. И.Каргаполов

Нет, не всякая (П. С. Новиков, С.И. Адян, Изв. АН СССР, сер. мат., 32 (1968),1176–1190).

1.25. а) Разрешима ли универсальная теория класса конечных групп?б) Разрешима ли универсальная теория класса конечных нильпотентных

групп? М. И.Каргаполова) Нет, не разрешима (А. М.Слободской, Алгебра и логика, 20 (1981), 207–230).б) Нет, не разрешима (О. Г.Харлампович, Мат. заметки, 33 (1983), 499–516).

1.26. Следует ли из элементарной эквивалентности конечно порожденных ниль-потентных групп изоморфизм этих групп? М. И.КаргаполовНет, не следует (Б. И. Зильбер, Алгебра и логика, 10 (1971), 309–315).

1.30. Разрешима ли универсальная теория класса разрешимых групп?М. И.Каргаполов

Нет, не разрешима (О. Г.Харлампович, Изв. АН СССР, сер. мат. 45 (1981), 852–873).

Архив 143

1.32. Будет ли нильпотентной подгруппа Фраттини конечно порожденной груп-пы матриц над полем? М. И.КаргаполовДа, будет (В. П. Платонов, ДАН СССР, 171 (1966), 798–801).

1.34. Всякая ли полициклическая упорядоченная группа имеет изоморфноепредставление целочисленными матрицами? М. И.КаргаполовДа, всякая (L.Auslander, Ann. Math. (2), 86 (1967), 112–117; R. G. Swan, Proc.Amer. Math. Soc., 18 (1967), 573–574).

1.35. Группа называется доупорядочиваемой, если каждый частичный порядокэтой группы продолжается до линейного порядка.

а) Будет ли доупорядочиваемой группой сплетение произвольных доупорядо-чиваемых групп?

б) (А. И. Мальцев). Будет ли всякая подгруппа доупорядочиваемой группытакже доупорядочиваемой группой? М. И.КаргаполовНе всегда, в обоих сл. (В. М.Копытов, Алгебра и логика, 5, 6 (1966), 27–31).

1.36. Если группа G факторизуема p-подгруппами, т. е. G = AB, где A и B —p-подгруппы, то будет ли сама G p-группой? Ш.С. КемхадзеНе всегда (Я.П. Сысак, Произведения бесконечных групп, Инст. мат. АН УССР,Киев, 1982).

1.38. Будет ли N -группой всякая N0-группа, т. е. группа, в которой каждая цик-лическая подгруппа является членом некоторой нормальной системы подгрупп?

Ш.С. КемхадзеНет, не будет. Любая группа G с центральной системой Hi является N0-груп-пой, так как для любого g ∈ G система ⟨g,Hi⟩, пополненная единичной под-группой и пересечениями всех подсистем, является нормальной системой груп-пы G, содержащей ⟨g⟩. Свободные группы обладают центральными системами,но не являются N -группами. (Ю. И.Мерзляков, 1973.)

1.39. Будет ли бинарно нильпотентной группой произведение двух нормальныхбинарно нильпотентных подгрупп? Ш.С. КемхадзеНет, не всегда (А. И.Созутов, Алгебра и логика, 30, 1 (1991), 102–105).

1.41. Подгруппа линейно упорядочиваемой группы называется относительновыпуклой, если она является выпуклой при некотором линейном упорядочениигруппы. При каких условиях подгруппа упорядочиваемой группы будет относи-тельно выпуклой? А.И. КокоринНеобходимые и достаточные условия указаны в (А.И. Кокорин, В.М. Копытов,Линейно упорядоченные группы, Наука, М., 1972).

1.42. Будет ли центр относительно выпуклой подгруппы относительно выпуклойподгруппой? А.И. КокоринНе всегда (А. И.Кокорин, В. М. Копытов, Линейно упорядоченные группы, Наука,М., 1972).

1.43. Будет ли централизатор относительно выпуклой подгруппы относительновыпуклым? А.И. КокоринНе всегда (А. И. Кокорин, В. М.Копытов, Сиб. мат. ж., 9 (1968), 833–839).

144 Архив

1.44. Будет ли относительно выпуклой подгруппой максимальная абелева нор-мальная подгруппа? А.И. КокоринНе всегда (Д. М. Смирнов, Алгебра и логика, 5, 6 (1966), 41–60).

1.45. Будет ли наибольшая локально нильпотентная нормальная подгруппа от-носительно выпуклой? А.И. КокоринНе всегда (Д. М. Смирнов, Алгебра и логика, 5, 6 (1966), 41–60).

1.47. Подгруппа H группы G называется строго изолированной, если изxg−11 xg1 · · · g−1n xgn ∈ H следует g−1i xgi ∈ H, x ∈ H. Группа со строго изолиро-ванной единичной подгруппой называется S-группой. Существуют ли S-группы,не являющиеся упорядочиваемыми группами? А.И. КокоринДа, существуют (В. В.Блудов, Алгебра и логика, 13 (1974), 609–634).

1.48. Будет ли упорядочиваемой группой свободное произведение упорядочи-ваемых групп с объединенной подгруппой, являющейся относительно выпуклойподгруппой в каждом из сомножителей? А.И. КокоринНе всегда (М.И. Каргаполов, А.И. Кокорин, В.М. Копытов, Алгебра и логика, 4, 6 (1965), 21–27).

1.49. Автоморфизм φ линейно упорядоченной группы называется сохраняющимпорядок, если из x < y следует xφ < yφ. Можно ли так линейно упорядочить абе-леву строго изолированную нормальную подгруппу S-группы, чтобы ее порядоксохранялся под действием внутренних автоморфизмов всей группы?

А.И. КокоринНе всегда (В. В. Блудов, Алгебра и логика, 11 (1972), 619–632).

1.50. Будет ли упорядочиваемой группа сохраняющих порядок автоморфизмовлинейно упорядоченной группы? А.И. КокоринНе всегда (Д. М. Смирнов, Алгебра и логика, 5, 6 (1966), 41–60).

1.52. Описать группы, линейно упорядочиваемые единственным способом (про-тивоположные порядки не считаются различными). А.И. КокоринОписаны (В.В. Блудов, Алгебра и логика, 13 (1974), 609–634).

1.53. Описать все способы линейного упорядочения свободной нильпотентнойгруппы с конечным числом порождающих. А.И. КокоринОписаны (В. Ф. Клейменов, в сб. Алгебра, логика и приложения, Иркутск, 1994,22–27).

1.56. Будет ли доупорядочиваемой (см. 1.35) группа без кручения, факторгруппапо центру которой является доупорядочиваемой группой? А.И. КокоринНе всегда (М.И. Каргаполов, А.И. Кокорин, В.М. Копытов, Алгебра и логика, 4, 6 (1965), 21–27).

1.60. Можно ли вложить двуступенно разрешимую упорядочиваемую группу вполную упорядочиваемую группу? А.И. КокоринДа, можно (В. В. Блудов, Н. Я. Медведев, Алгебра и логика, 13 (1974), 369–373).

Архив 145

1.61. Можно ли упорядочиваемую группу вложить в упорядочиваемую группуа) с полной максимальной локально нильпотентной нормальной подгруппой?б) с полной максимальной абелевой нормальной подгруппой? А.И. Кокорин

Да, можно, в обоих случаях (С. А. Гурченков, Мат. заметки, 51, 2 (1992),35–39).

1.63. Группа называется плотной, если она не имеет собственных изолированныхподгрупп, отличных от единичной.

а) Существуют ли плотные группы без кручения, отличные от локально цик-лических?

б) Пусть для любой пары неединичных элементов x, y группы G без круче-ния имеет место соотношение xk = yl, где k, l — не равные нулю целые числа,зависящие от x и y. Будет ли G абелевой? П.Г.Конторовича) Да, существуют; б) нет, не обязательно (С. И. Адян, Изв. АН СССР, сер. мат.,35 (1971), 459–468).

1.64. Группа без кручения называется отделимой, если она представима в видетеоретико-множественной суммы двух своих собственных подполугрупп. Будетли всякая R-группа отделимой? П.Г.КонторовичНет, не будет (S. J. Pride, J. Wiegold, Bull. London Math. Soc., 9 (1977), 36–37).

1.66. Пусть заданы периодическая абелева группа T и несчетное кардинальноечисло m. Существует ли абелева группа без кручения U = U(T,m) мощностиm со следующим свойством: какова бы ни была абелева группа A без кручениямощности 6 m, равенство Ext (A, T ) = 0 имеет место тогда и только тогда, когдагруппа A вложима в группу U? Л.Я. КуликовНет, не всегда. Есть модель ZFC, в которой для некоторого класса кардиналовm ответ отрицательный (S. Shelah, L. Strungmann, J. London Math. Soc., 67, 3(2003), 626–642). С другой стороны, в условиях гипотезы конструктивности Ге-деля (V = L) ответ положителен для любого кардинала, если в T есть лишьконечное число нетривиальных ограниченных p-компонент (L. Strungmann, Ill.J. Math., 46, 2 (2002), 477–490).

1.68. (А.Тарский). Пусть K — класс групп, QK — класс всех гомоморфных об-разов групп из K. Будет ли QK аксиоматизируемым, если аксиоматизируем K?

Ю. И.МерзляковНе всегда (F. Clare, Algebra Universalis, 5 (1975), 120–124).

1.69. (Б.И. Плоткин). Существуют ли локально нильпотентные группы без кру-чения, не обладающие свойством RN∗? Ю. И.МерзляковДа, существуют (Е. М.Левич, А. И.Токаренко, Сиб. мат. ж., 11 (1970), 1406–1408; А. И.Токаренко, Тр. Рижского алгебр. сем., Латв. гос. ун-т, Рига, 1969,280–281).

1.70. Пусть p — простое число, G — группа всех матриц(

1 + pα pβpγ 1 + pδ

), где

α, β, γ, δ — рациональные числа со знаменателем, не делящимся на p. Обладаетли G свойством RN? Ю. И.МерзляковДа, обладает (Г.А. Носков, Сиб. мат. ж., 14 (1973), 680–683).

146 Архив

1.71. Пусть G — связная алгебраическая группа над алгебраически замкнутымполем. Конечно ли число классов сопряженных максимальных разрешимых под-групп группы G? В.П. ПлатоновДа, это число конечно (В.П. Платонов, Сиб. мат. ж., 10 (1969), 1084–1090).

1.72. Д. Херцигом показано, что связная алгебраическая группа над алгебраиче-ски замкнутым полем разрешима, если она обладает рациональным регулярнымавтоморфизмом. Справедлив ли этот результат для произвольного поля?

В.П. ПлатоновНет, не справедлив (В. П.Платонов, ДАН СССР, 168 (1966), 1257–1260).

1.73. Конечно ли число классов сопряженных максимальных периодических под-групп в конечно порожденной целочисленной линейной группе? В.П. ПлатоновНе всегда. Расширение H свободной группы на свободных образующих a, b по-средством автоморфизма φ : a→ a−1, b→ b представимо матрицами над Z. Длякаждого n ∈ Z элемент cn = φb−nabn имеет порядок 2 и CH(cn) = ⟨cn⟩. Пустьштрих обозначает изоморфизм группы H на ее копию H ′. Контрпримером будетподгруппа G 6 H × H ′, порожденная элементами a, φ, a′φ′, bb′. В самом деле,G содержит подгруппы Tn = ⟨c0, c′n⟩, n ∈ Z, которые являются максимальнымипериодическими (даже в H ×H ′). Если Tn и Tm сопряжены элементом xy′ ∈ G(где x ∈ H и y′ ∈ H ′), то cx0 = c0 и cyn = cm, откуда x ∈ ⟨c0⟩, y ∈ bm−n ⟨cm⟩. Таккак xy′ ∈ G, суммы показателей вхождений b в x и y (в любой записи) должнысовпадать; значит m = n. (Ю. И.Мерзляков, 1973.)

1.75. Классифицировать бесконечные простые периодические линейные группынад полем характеристики p > 0. В.П. ПлатоновКлассифицированы при любом p по модулю CFSG (В.В. Беляев, в сб. Исследо-вания по теории групп, Свердловск, УНЦ АН СССР, 1984, 39–50; А. В.Боровик,Сиб. мат. ж., 24, 6 (1983), 26–35; B. Hartley, G. Shute, Quart. J. Math. Oxford(2), 35 (1984), 49–71; S. Thomas, Arch. Math., 41 (1983), 103–116). При p > 2 мож-но не использовать CFSG (А. В. Боровик, Сиб. мат. ж., 25, 2 (1984), 67–83).

1.76. Существуют ли топологические простые локально нильпотентные локальнобикомпактные группы? В.П. ПлатоновНет, не существуют (И. В.Протасов, ДАН СССР, 239 (1978), 1060–1062).

1.78. Пусть группа G — произведение двух полных абелевых p-групп конечногоранга. Будет ли G такой же? Н.Ф. СесекинДа, будет (Н. Ф. Сесекин, Сиб. мат. ж., 9 (1968), 1427–1430).

1.80. Существуют ли простые конечные группы, силовская 2-подгруппа которых— прямое произведение групп кватернионов? А.И. СтаростинНет, не существуют (G. Glauberman, J. Algebra, 4 (1966), 403–420).

Архив 147

1.81. Назовем шириной группы G наименьшую мощность m = m(G) со следу-ющим свойством: всякая подгруппа, порождаемая конечным множеством из G,порождается его подмножеством мощности 6 m.

а) Всякая ли группа конечной ширины удовлетворяет условию минимальностидля подгрупп?

б) Всякая ли группа с условием минимальности для подгрупп имеет конечнуюширину?

в) Те же вопросы при дополнительном условии локальной конечности. В част-ности, всякая ли локально конечная группа конечной ширины является черни-ковской? Л.Н. Шеврина) Нет, не всякая (С. В.Иванов, Геометрические методы в изучении групп с за-данными подгрупповыми свойствами, канд. дисс., МГУ, М., 1988).б) Нет, не всякая (Г.С. Дерябина, Мат. сб., 124 (1984), 495–504).в) Да, всякая (В. П. Шунков, Алгебра и логика, 9 (1970), 220–248; там же, 10(1971), 199–225).

1.82. Две системы тождественных соотношений называются эквивалентными,если они определяют одно и то же многообразие групп. Построить бесконечнуюсистему тождеств, не эквивалентную никакой конечной. А.Л.ШмелькинПостроена (С.И. Адян, Изв. АН СССР, сер. мат., 34 (1970), 715–734).

1.83. Существует ли простая группа с неограниченными в совокупности поряд-ками элементов, в которой выполняется нетривиальное тождественное соотно-шение? А.Л.ШмелькинДа, существует (В. С.Атабекян, Бесконечные простые группы, удовлетворяющиетождеству, Деп. ВИНИТИ, 5381-B86, М., 1986).

1.84. Верно ли, что полициклическая группа G аппроксимируется конечнымиp-группами тогда и только тогда, когда G имеет нильпотентную нормальнуюподгруппу без кручения индекса pk? А.Л.ШмелькинНет, не верно (К. С.Сексенбаев, Алгебра и логика, 4, 3 (1965), 79–83).

1.85. Верно ли, что тождественные соотношения разрешимой группы ступени 2обладают конечным базисом? А.Л.ШмелькинДа, верно (D. E.Cohen, J. Algebra, 5 (1967), 267–273).

1.88. Верно ли, что если группа является матричной над полем нулевой харак-теристики и в ней не выполнено никакое нетривиальное тождественное соотно-шение, то она содержит неабелеву свободную подгруппу? А.Л.ШмелькинДа, верно (J. Tits, J. Algebra, 20 (1972), 250–270).

1.89. Верно ли следующее утверждение? Пусть G — свободная разрешимая груп-па, a, b — ее элементы, порождающие в G одну и ту же нормальную подгруппу.Тогда в G найдется такой элемент x, что b±1 = x−1ax. А.Л.ШмелькинНет, не верно (А. Л.Шмелькин, Алгебра и логика, 6, 2 (1967), 95–109).

148 Архив

1.90. Подгруппу H группы G назовем 2-бесконечно изолированной в G, еслииз того, что централизатор CG(h) некоторого неединичного элемента h из H вG содержит хотя бы одну инволюцию и пересекается с H по бесконечной под-группе, вытекает, что CG(h) 6 H. Пусть бесконечная простая локально конеч-ная группа G с черниковскими силовскими 2-подгруппами обладает собствен-ной 2-бесконечно изолированной подгруппой H, причем некоторая силовская 2-подгруппа группы G содержится в H. Будет ли группа G изоморфна группе типаPSL2(k) над полем k нечетной характеристики? В. П.ШунковДа, будет (В. П. Шунков, Алгебра и логика, 11 (1972), 470–493).

2.1. Описать конечные группы, силовская p-подгруппа которых максимальна.В.А.Белоногов, А.И. Старостин

Описание можно извлечь из работ (B. Baumann, J. Algebra, 38 (1976), 119–135) и(Л.А. Шеметков, Изв. АН СССР, сер. мат., 32 (1968), 533–559).

2.2. Квазигруппой называется группоид Q(·), в котором уравнения ax = b иya = b однозначно разрешимы при любых a, b ∈ Q. Квазигруппы Q(·) и Q() изо-топны, если существуют такие взаимнооднозначные отображения α, β, γ мно-жества Q на себя, что x y = γ(αx · βy) для любых x, y ∈ Q. Известно, что всеквазигруппы, изотопные группам, образуют многообразие G. Пусть V — некото-рое многообразие квазигрупп. Описать класс групп, изотопных квазигруппам изG∩V. При каких тождествах, характеризующих V, всякая группа будет изотоп-на некоторой квазигруппе из G ∩ V? При каких условиях на V всякая группа,изотопная группе из G∩V, будет одноэлементной? В.Д. Белоусов, А.А. ГварамияКласс описан, тождества и условия найдены (А. А. Гварамия, Аксиоматизируе-мые классы квазигрупп, инвариантные относительно изотопии, Деп. ВИНИТИ 6704-B84, М., 1984).

2.3. Квазинильпотентной (Γ-квазинильпотентной) называется конечная груп-па, у которой любые две (максимальные) подгруппы A,B удовлетворяют одномуиз условий: 1) A 6 B, 2) B 6 A, 3) NA(A∩B) = A∩B = NB(A∩B). Совпадаютли классы квазинильпотентных и Γ-квазинильпотентных групп?

Я.Г.Беркович, М.И. КравчукНет, не совпадают. Группа G =

⟨x, y, z, t | x4 = y4 = z2 = t3 = 1, [x, y] = z,

[x, z] = [y, z] = 1, xt = y, yt = x−1y−1⟩

Γ-квазинильпотентна, но не квазиниль-потентна. Действительно, G/Φ(G) ∼= A4, поэтому пересечение любых двух мак-симальных подгрупп A и B из G равно Φ(G), откуда NA(A ∩ B) = A ∩ B =NB(A ∩ B) и потому группа G Γ-квазинильпотентна. С другой стороны, еслиA1 =

⟨zx2, zy2, t

⟩и B1 = ⟨z, t⟩, то NA1(A1 ∩ B1) = A1 ∩ B1 = ⟨t⟩; значит, G не

квазинильпотентна. (В.Д. Мазуров, 1973.)

2.4. (С.Чейз). Пусть абелева группа A есть объединение A =∪

α∈ΩAα, где Ω— первый несчетный ординал, Aα — чистые подгруппы из A со следующимисвойствами: 1) Aα — свободная абелева группа счетного ранга, 2) если β < α, тоAβ — прямое слагаемое группы Aα. Будет ли A свободной абелевой группой?

Ю.А.БоганНе всегда (P.A.Griffith, Pacific J. Math., 29 (1969), 279–284).

Архив 149

2.7. Установить мощность множества всех поливербальных операций, действую-щих на классе всех групп. О.Н. ГоловинЭта мощность континуальна (А.Ю. Ольшанский, Изв. АН СССР, сер. мат., 34(1970), 376–384).

2.8. (А.И. Мальцев). Существуют ли правильные ассоциативные операции, обла-дающие свойством наследственности по отношению к переходу от сомножителейк их подгруппам? О.Н. ГоловинДа, существуют (С. В.Иванов, Тр. Моск. мат. об-ва, 54 (1992), 243–277).

2.13. (Известный вопрос). Пусть в периодической группе G каждый π-элементперестановочен с каждым π′-элементом. Распадается лиG в прямое произведениемаксимальной π-подгруппы и максимальной π′-подгруппы? С.Г.ИвановНе всегда. С. И.Адян (Изв. АН СССР, сер. мат., 35 (1971), 459–468) построилгруппу A = A(m,n), не имеющую кручения и содержащую центральный элементd такой, что A(m,n)/ ⟨d⟩ ∼= B(m,n) — свободная m-порожденная Бернсайдовагруппа нечетного периода n > 4381. Для простого числа p, не делящего n, контр-пример с π = p может быть найден в виде G = A/ ⟨dpk ⟩ для подходящего на-турального k. В самом деле, ⟨d⟩ /⟨dpk ⟩ — максимальная p-подгруппа группы G.Пусть A/⟨dpk⟩ = ⟨d⟩ /⟨dpk⟩ × Hk/⟨dp

k⟩ для каждого k. Тогда ⟨d⟩ ∩ Hk = ⟨dpk⟩для всех k и потому ⟨d⟩ ∩ H = 1, где H =

∩kHk. Так как H — без кручения и

вкладывается в A/ ⟨d⟩ ∼= B(m,n), имеем H = 1. Значит, группа A вкладывается вдекартово произведение абелевых групп A/Hk, противоречие. (Ю. И. Мерзляков,1973.)

2.15. Существуют ли группы без кручения, у которых факторгруппа по некото-рому члену возрастающего центрального ряда является периодической с ограни-ченными в совокупности порядками элементов? Г.А. КарасевДа, существуют (С. И.Адян, Тр. МИАН им. Стеклова, 112 (1971), 64–72).

2.16. Группа G называется финитно аппроксимируемой относительно сопря-женности, если любые два ее элемента сопряжены в G тогда и только тогда,когда в каждом конечном гомоморфном образе группы G сопряжены их образы.Будет ли G финитно аппроксимируемой относительно сопряженности в следую-щих случаях:

а) G — полициклическая группа,б) G — свободная разрешимая группа,в) G — группа (всех) целочисленных матриц,г) G — конечно порожденная группа матриц,д) G — конечно порожденная двуступенно разрешимая группа?

М. И.Каргаполова) Да, будет (В.Н. Ремесленников, Алгебра и логика, 8 (1969), 712–725; E. For-manek, J. Algebra, 42 (1976), 1–10).б) Да, будет (В. Н. Ремесленников, В. Г.Соколов, Алгебра и логика, 9 (1970), 566–578).в), г) Не всегда (В.П. Платонов, Г. В.Матвеев, ДАН БССР, 14 (1970), 777–779;В.Н. Ремесленников, В. Г.Соколов, Алгебра и логика, 9 (1970), 566–578; В. Н. Ре-месленников, Сиб. мат. ж., 12 (1971), 1085–1099).д) Не всегда. Пусть p — простое число и пусть A1, A2 — две копии аддитив-ной группы m/pk | m, k ∈ Z. Пусть b1, b2 — автоморфизмы прямой суммы

150 Архив

A = A1 ⊕A2 заданные так: ab2 = pa для любого a ∈ A, и ab12 = a1 + a2 и ab11 = a1для некоторых фиксированных элементов a1 ∈ A1, a2 ∈ A2. Пусть G — полупря-мое произведение группы A и прямого произведения ⟨b1⟩×⟨b2⟩ (двух бесконечныхциклических). Элементы a2 и a2 + a1/p не сопряжены в G, но их образы сопря-жены в любой конечной фактор-группе G. (М. И.Каргаполов, Е. И.Тимошенко,Тезисы 4-го Всесоюз. симп. по теории групп, Новосибирск, 1973, 86–88.)

2.17. Верно ли, что сплетение A ≀B двух групп, финитно аппроксимируемых от-носительно сопряженности, тогда и только тогда само финитно аппроксимируемоотносительно сопряженности, когда либо A абелева, либо B конечна?

М. И.КаргаполовНет, не верно (В. Н.Ремесленников, Сиб. мат. ж., 12 (1971), 1085–1099).

2.18. Вычислить ранги факторов нижнего центрального ряда свободной разре-шимой группы. М. И.КаргаполовВычислены. (В. Г.Соколов, Алгебра и логика, 8 (1969), 367–372; Ю. М. Горчаков,Г.П.Егорычев, ДАН СССР, 204 (1972), 12–14).

2.19. Являются ли финитно отделимыми конечно порожденные подгруппы сво-бодной разрешимой группы? М. И.КаргаполовНет, не являются (С. А.Агалаков, Алгебра и логика, 22 (1983), 363–371).

2.20. Верно ли, что сплетения A ≀ B и A1 ≀ B1 элементарно эквивалентны меж-ду собой тогда и только тогда, когда группы A,B элементарно эквивалентнысоответственно группам A1, B1? М. И.КаргаполовНет, не верно; но если заменить слово «элементарно» на «универсально», то верно(Е.И. Тимошенко, Алгебра и логика, 7, 4 (1968), 114–119).

2.21. Совпадают ли классы бэровых и фиттинговых групп? Ш.С. КемхадзеНет, не совпадают (R. S.Dark, Math. Z., 105 (1968), 294–298).

2.22. б) Абстрактное теоретико-групповое свойство Σ называется радикальным(в нашем смысле), если в любой группе G подгруппа Σ(G), порожденная всеминормальными Σ-подгруппами, сама является Σ-подгруппой. Является ли свой-ство N0 (см. Архив, 1.38) радикальным? Ш.С. КемхадзеНет, не является. Группа SLn(Z) для достаточно большого n > 3 содержит неа-белеву простую конечную группу и потому не является N0-группой. Но, как по-казано в (М. И.Каргаполов, Ю. И.Мерзляков, в сб. Итоги науки. Алгебра. Топо-логия. Геометрия. 1966, ВИНИТИ, М., 1968, 57–90), она является произведениемконгруэнц-подгрупп mod 2 и mod 3, которые обладают центральными системамии потому являются N0-группами (см. Архив, 1.38). (Ю. И.Мерзляков, 1973.)

2.23. а) Подгруппу H группы G назовем квазисубинвариантной, если через Hпроходит нормальная система группы G. Пусть K — класс групп, замкнутый от-носительно взятия гомоморфных образов. Группу G назовем R0(K)-гpynnoй, есливсякий ее неединичный гомоморфный образ обладает неединичной квазисубин-вариантной K-подгруппой. Совпадает ли класс R0(K)-групп с классом RN -rpyпп,если K — класс всех абелевых групп? Ш.С. КемхадзеНет, не совпадает (J. S.Wilson, Arch. Math., 25 (1974), 574–577).

Архив 151

2.25. б) Существуют ли группы, линейно упорядочиваемые счетным числом спо-собов? А.И. КокоринДа, существуют (R. N.Buttsworth, Bull. Austral. Math. Soc., 4 (1971), 97–104).

2.29. Совпадает ли класс конечных групп, любая собственная абелева подгруппакоторых содержится в собственной нормальной подгруппе, с классом конечныхгрупп, любая собственная абелева подгруппа которых содержится в собственнойнормальной подгруппе простого индекса? П.Г.Конторович, В. Т.НагребецкийНет, не совпадает. Пусть B — конечная группа, B = [B,B] = 1. Пусть r — ранггруппы B. Положим A =

⊕p||B|

(Z/pZ)r+1 и G = A ≀B. Определим гомоморфизм φ :

G→ A полагая (bf)φ =∑

x∈B f(x), где b ∈ B и f ∈ F = Fun(B,A). Предположим,что f b = f для b ∈ B и f ∈ F . Ясно, что fφ ∈ nA, где n = |b|. В частности,CF (b)

φ 6 pA 6 Op′(A), если p | n. Каждая собственная абелева подгруппа Hиз G содержится в собственной нормальной подгруппе. Действительно, можносчитать, что H 6 F . Зафиксируем элемент bf ∈ H, где f ∈ F , b ∈ B, b = 1. Пустьp — простое число, делящее |b|. Для любого h ∈ H ∩F имеем bfh = hbf = bhbf =bfhb, откуда h = hb. Значит, (H ∩ F )φ 6 CF (b)

φ 6 Op′(A). Если T — полныйпрообраз Op′(A) в G, то G/T ∼= (Z/pZ)r+1 и потому H/H ∩ T — элементарная p-группа. Ее ранг 6 r, так какH/H∩T вкладывается в B иH∩F 6 H∩T . Итак,HT— собственная нормальная подгруппа из G, содержащая H. С другой стороны,F — собственная абелева подгруппа, не содержащаяся ни в какой собственнойнормальной подгруппе простого индекса, так как G/F ∼= B = [B,B]. (G. Bergman,I. Isaacs, письмо от 17.6.1974.)

2.30. Существуют ли конечные группы, в которых некоторая силовская p-под-группа покрывается отличными от нее силовскими p-подгруппами?

П. Г.Конторович, А. И.СтаростинДа, существуют при любом простом p (В.Д. Мазуров, Мат. зап. Уральск. гос.ун-та, 7, 3 (1969/70), 129–132).

2.31. Всякая ли группа, допускающая упорядочение с конечным числом выпук-лых подгрупп, представима матрицами над полем? В.М. КопытовНет, не всякая. Группа G = ⟨an, bn (n ∈ Z), c, d | [an, bn] = c, adn = an+1, bdn =bn+1, [an, am] = [bn, bm] = [an, c] = [bn, c] = 1 (n,m ∈ Z)⟩ разрешима и упорядочи-ваема с конечным числом выпуклых подгрупп; но она не аппроксимируема фи-нитно, а потому не представима матрицами над полем. (В.А. Чуркин, 1969.)

2.33. Будет ли прямое слагаемое прямой суммы конечно порожденных модулейпрямой суммой конечно порожденных модулей? Модули рассматриваются наднетеровым кольцом. В.И. КузьминовНе всегда (P.A. Linnell, Bull. London Math. Soc., 14 (1982), 124–126).

2.35. Обратный спектр абелевых групп ξ назовем ацикличным, если lim←−

(p)ξ = 0

при p > 0, где lim←−

(p) обозначает правый производный функтор функтора про-ективного предела. Пусть ξ — ацикличный спектр конечно порожденных групп.Будет ли ацикличным спектр

⊕ξα, где каждый спектр ξα совпадает со спек-

тром ξ? В.И. КузьминовОтвет зависит от аксиоматики теории множеств (А. А.Хусаинов, Сиб. мат. ж.,37, 2 (1996), 464–474).

152 Архив

2.36. (де Гроот). Будет ли свободной абелева группа всех непрерывных целочис-ленных функций на бикомпакте? В.И. КузьминовДа, будет. Согласно (G.Nobeling, Invent. Math., 6 (1968) 41–55) аддитивная груп-па всех ограниченных целочисленно-значных функций на любом множестве сво-бодна. Поэтому группа всех непрерывных целочисленно-значных функций на че-ховском бикомпактном расширении любого дискретного пространства свободна.Для любого бикомпактного пространства X существует непрерывное отображе-ние чеховского бикомпактного расширения Y дискретного пространства на X.Оно индуцирует вложение группы непрерывных целочисленно-значных функ-ций на X в свободную группу непрерывных целочисленно-значных функций наY . (В.И. Кузьминов, 1969.)

2.37. Описать простые конечные группы, все силовские p-подгруппы которыхдля нечетных простых чисел p циклические. В.Д. МазуровОписаны (M.Aschbacher, J. Algebra, 54 (1978), 50–152).

2.38. (Старый вопрос). Класс колец, вложимых в ассоциативные кольца с деле-нием, универсально аксиоматизируем. Является ли он конечно аксиоматизируе-мым? А.И. МальцевНет, не является (P.M. Cohn, Bull. London Math. Soc., 6 (1974), 147–148).

2.39. Существуют ли не конечно аксиоматизируемые многообразия:а) (Х. Нойман) групп?б) ассоциативных колец (проблема Шпехта)?в) колец Ли? А.И. Мальцев

а) Да, существуют (А.Ю. Ольшанский, Изв. АН СССР, сер. мат., 34 (1970),376–384; С. И.Адян, Изв. АН СССР, сер. мат., 34 (1970), 715–734).б) Да, существуют (А. Я. Белов, Фундам. и прикл. мат., 5, 1 (1999), 47–66;Мат. сб., 191, 3 (2000), 13–24). В то же время любое многообразие ассоци-ативных алгебр над полем характеристики 0 конечно базируемо (А. Р.Кемер,Алгебра и логика, 26, 5 (1987), 597–641).в) Да, существуют (M. R. Vaughan-Lee, Quart. J. Math., 21 (1970), 297–308).

2.40. I-Теорией (Q-теорией) класса K универсальных алгебр называется сово-купность всех тождеств (квазитождеств), истинных на всех алгебрах класса K.Существует ли конечно аксиоматизируемое многообразие

а) групп,б) полугрупп,

I-теория (Q-теория) которого неразрешима? А.И. Мальцева) Да, существует (Ю. Г.Клейман, Тр. Моск. мат. об-ва, 44 (1982), 62–108).б) Да, существует (В. М. Мурский, Мат. заметки, 3 (1968), 663–670).

Архив 153

2.41. Будет ли конечно аксиоматизируемым многообразие, порожденноеа) конечным ассоциативным кольцом?б) конечным кольцом Ли?в) конечной квазигруппой?г) Какова минимальная мощность n полугруппы, порождающей не конечно

аксиоматизируемое многообразие? А.И. Мальцева) Да, будет (И. В. Львов, Алгебра и логика, 12 (1973), 269–297; R. L.Kruse,J. Algebra, 26 (1973), 298–318).б) Да, будет (Ю.А. Бахтурин, А. И. Ольшанский, Мат. сб., 96 (1975), 543–559).в) Нет, не всегда (M. R. Vaughan-Lee, Algebra Universalis, 9 (1979), 269–280).г) Доказано, что n = 6 (P. Perkins, J. Algebra, 11 (1969), 298–314; A. N.Trakhtman,Semigroup Forum, 27 (1983), 387–389).

2.43. Группу G назовем FN -группой, если γiG/γi+1G — свободные абелевы груп-пы и

∩∞i=1 γiG = 1, где γi+1G = [γiG,G]. Многообразие групп M назовем Σ-

многообразием (Σ — абстрактное свойство), если M-свободные группы обладаютсвойством Σ.

а) Какие свойства Σ сохраняются при перемножении и пересечении многооб-разий? Сохраняется ли свойство FN?

б) Являются ли FN -многообразиями все многообразия, полученные перемно-жением и пересечением из нильпотентных многообразий N1, N2, . . . (где N1 —многообразие абелевых групп)? А.И. Мальцева) Свойство FN сохраняется при перемножении многообразий (А.Л. Шмелькин,Тр. Моск. мат. об-ва, 29 (1973), 247–260). Свойство FN не сохраняется при пе-ресечении многообразий. Следующий пример предложил Л. Ковач. Пусть U и V— многообразия всех нильпотентных групп ступени 4, удовлетворяющих тожде-ствам [x, y, y, x] ≡ 1 и [[x, y], [z, t]] ≡ 1 соответственно. Тогда U и V — FN -мно-гообразия, так как оба они ступени нильпотентности 4 и содержат все нильпо-тентные группы ступени 6 3, и относительно свободные группы в U и V не име-ют кручения (что хорошо известно для V, а для U вытекает из (P. Fitzpatrick,L.G. Kovacs, J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 35, 1 (1983), 59–73)). Но U ∩ V неявляется FN -многообразием, так как относительно свободная группа в U ∩ Vранга 3 обладает кручением: любая группа без кручения в U ∩V нильпотентнаступени 6 3 (следует из той же работы Фитцпатрика и Ковача), и в то же времяесть 3-порожденная группа, являющаяся расширением группы периода 2 с помо-щью группы периода 2, имеющая ступень нильпотентности ровно 4 и лежащаяв U ∩V. (А. Н. Красильников, письмо от 17.7.1998.)б) Да, будут (Ю.М. Горчаков, Алгебра и логика, 6, 3 (1967), 25–30).

2.44. Пусть A, B — подмногообразия многообразия групп M; M-произведениемA и B называется (AB) ∩M, где AB — обычное произведение. Существуют линеабелевы M с коммутативным M-умножением и бесконечной решеткой подмно-гообразий? А.И. МальцевДа, существуют; например, M = ApAp, где Ap — многообразие всех абелевыхгрупп простого периода p (Ю.М. Горчаков, Сообщение на Красноярском краевомсеминаре по алгебре, 21.6.1967 ).

154 Архив

2.45. (Ф. Холл). Доказать или опровергнуть следующие гипотезы.а) Если слово v конечнозначно на группе G, то вербальная подгруппа vG ко-

нечна.б) Если маргинальная подгруппа v∗G имеет в G конечный индекс m, то поря-

док vG конечен и делит некоторую степень числа m.в) Если G удовлетворяет условию максимальности и vG конечна, то индекс

|G : v∗G| конечен. Ю. И.МерзляковОпровергнуты, соответственно в (С.В. Иванов, Изв. ВУЗов, мат., 1989, 6,60–70; Ю. Г.Клейман, Тр. Моск. мат. об-ва, 44 (1982), 62–108; И.С. Ашманов,А.Ю. Ольшанский, Изв. ВУЗов, 1985, 11, 48-60).

2.46. Найти условия, при которых конечно порожденная матричная группа по-чти вся аппроксимируется конечными p-группами по некоторому p.

Ю. И.МерзляковКонечно порожденная матричная группа над полем нулевой характеристики по-чти вся аппроксимируется конечными p-группами для почти всех простых чиселp (М.И. Каргаполов, Алгебра и логика, 6, 5 (1967), 17–20; Ю.И. Мерзляков,ДАН СССР, 177, 5 (1967), 1008-1011; В.П. Платонов, ДАН БССР, 12, 6(1968), 492–494). Конечно порожденная матричная группа над полем характери-стики p > 0 почти вся аппроксимируется конечными p-группами (В. П.Платонов,ДАН БССР, 12, 6 (1968), 492–494; А.И. Токаренко, Тр. Рижского алгебр.сем., Латв. гос. ун-т, Рига, 1969, 280–281). См. также некоторые обобщения в(В.Н. Ремесленников, Алгебра и логика, 7, 4 (1968), 106–113; B. A. F.Wehrfritz,Proc. London Math. Soc., 20, 1 (1970), 101–122).

2.47. Каковы все абелевы группы, решетка всех эндоморфно допустимых под-групп которых является цепью? А.П. МишинаОхарактеризованы (M.-P.Brameret, Seminaire P.Dubreil, M.-L.Dubreil-Jacotin,L. Lesieur, et C. Pisot, 16 (1962/63), 13, Paris, 1967).

2.49. (А.Сельберг). Пусть G — связная полупростая линейная группа Ли, соот-ветствующее симметрическое пространство которой имеет ранг больше 1, Γ —такая неприводимая дискретная подгруппа из G, что G/Γ имеет конечный объем.Будет ли Γ арифметической подгруппой? В.П. ПлатоновДа, будет (Г.А. Маргулис, Функциональный анализ и прил., 8, 3 (1974), 77–78).

2.50. (А.Сельберг). Пусть Γ — такая неприводимая дискретная подгруппа связ-ной группы Ли G, что фактор-пространство G/Γ некомпактно, но имеет конеч-ный объем в мере Хаара. Доказать, что Γ содержит нетривиальный унипотент-ный элемент. В.П. ПлатоновДоказано (Д. А.Каждан, Г.А. Маргулис, Мат. сб., 75 (1968), 163–168).

2.51. (А. Борель, Р.Стейнберг). Конечно ли множество классов сопряженныхунипотентных элементов полупростой алгебраической группы? В.П. ПлатоновДа, оно конечно (G. Lusztig, Invent. Math., 34 (1976), 201–213).

Архив 155

2.52. (Ф.Брюа, Н. Ивахори, М. Мацумото). Пусть G — полупростая алгебраи-ческая группа над локально компактным вполне несвязным полем. Будут лимаксимальные компактные подгруппы группы G разбиваться в конечное числоклассов сопряженных? Оценить это число. В.П. ПлатоновДа, будут (F. Bruhat, J. Tits, Publ. Math. IHES, 41 (1972), 5–251). Там же формуладля этого числа.

2.55. б) Существуют ли в SLn(Z), n > 2, максимальные подгруппы бесконечногоиндекса? В.П. ПлатоновДа, существуют (Г.А.Маргулис, Г.А. Сойфер, ДАН СССР, 234 (1977), 1261–1264).

2.58. Пусть G — векторное пространство, Γ — его группа автоморфизмов. Груп-па Γ называется локально финитно стабильной, если для каждой ее конечнопорожденной подгруппы ∆ в G имеется конечный стабильный относительно ∆ряд. Если характеристика поля равна нулю и Γ локально финитно стабильна, тоΓ есть локально нильпотентная группа без кручения. Всякая ли локально ниль-потентная группа без кручения может быть так реализована? Б.И.ПлоткинНет, не всякая (Л. А. Симонян, Сиб. мат. ж., 12 (1971), 837–843).

2.59. Пусть Γ — произвольная нильпотентная группа, имеющая студень нильпо-тентности n−1. Всегда ли она допускает точное представление в качестве группыавтоморфизмов некоторой абелевой группы со стабильным относительно Γ рядомдлины n? Б.И.ПлоткинНет, не всегда (E. Rips, Israel J. Math., 12 (1972), 342–346).

2.61. Пусть G — векторное пространство над полем, Γ — его нетерова группаавтоморфизмов, причем каждый элемент из Γ унипотентен. Верно ли, что такаяΓ — стабильная группа автоморфизмов? Б.И.ПлоткинНет, не верно, если поле имеет ненулевую характеристику (А. Ю. Ольшанский,Геометрия определяющих соотношений в группах , Наука, М., 1989). Это вернодля поля нулевой характеристики, если показатели унипотентности ограниченыв совокупности (Б. И. Плоткин, С. М. Вовси, Многообразия представлений групп,Зинатне, Рига, 1983).

2.62. Если G — конечномерное векторное пространство и Γ — его группа авто-морфизмов, каждый элемент которой стабилен, то и вся Γ стабильна (Э. Колчин).Верна ли теорема Колчина для пространств над телами? Б.И.ПлоткинДа, верна, если тело имеет характеристику 0 или характеристику, достаточнобольшую по сравнению с размерностью пространства (H. Y. Mochizuki, Canad.Math. Bull., 21 (1978), 249–250).

2.64. Образует ли множество ниль-элементов конечномерной линейной группыее локально нильпотентный радикал? Б.И.ПлоткинНе всегда. Ненильпотентная 3-порожденная ниль-группа Е.С. Голода, построен-ная по алгебре над Q, аппроксимируется нильпотентными группами без круче-ния; следовательно, она упорядочиваема, и значит, по теореме Мальцева вкла-дывается в GLn над некоторым телом (В. А.Романьков, 1978).

156 Архив

2.65. Обладает ли присоединенная группа радикального (в смысле Джекобсона)кольца центральной системой? Б.И.ПлоткинНе всегда (О.М. Нерославский, Весци АН БССР, сер. физ.-мат. навук, 1973, 2, 5–10).

2.66. Определяется ли R-группа решеткой своих подгрупп? Существует ли груп-повой изоморфизм такой группы, порождающий заданный ее решеточный изо-морфизм? Л.Е. СадовскийНе всегда, в обоих случаях (A.Yu.Ol’shanskiı, C. R. Acad. Bulgare Sci., 32 (1979),1165–1166).

2.69. Пусть группа G есть произведение своих подгрупп A и B, каждая из кото-рых нильпотентна с условием минимальности. Доказать или опровергнуть, что:а) G разрешима, б) полные части групп A и B поэлементно перестановочны.

Н.Ф. СесекинОба утверждения доказаны (Н.С. Черников, ДАН СССР, 252 (1980), 57–60).

2.70. а) Пусть группа G есть произведение своих подгрупп A и B, каждая изкоторых локально циклическая без кручения. Доказать, что либо A, либо B об-ладает неединичной подгруппой, нормальной в G.

б) Описать группы, факторизуемые таким образом. Н.Ф. Сесекина) Доказано (Д. И. Зайцев, Алгебра и логика, 19 (1980), 150–172).б) Описаны (Я. П.Сысак, Алгебра и логика, 25 (1986), 672–686).

2.71. Существует ли конечно порожденная правоупорядочиваемая группа, сов-падающая со своим коммутантом и, вследствие этого, не обладающая свойствомRN? Д.М. СмирновДа, существует (G. M. Bergman, Pacif. J. Math., 147, 2 (1991), 243-248).

2.73. (Известный вопрос). Существуют ли бесконечные группы, все собственныеподгруппы которых имеют простые порядки? А.И. СтаростинДа, существуют (А. Ю.Ольшанский, Алгебра и логика, 21 (1982), 553–618).

2.75. Пусть периодическая группа G содержит бесконечное множество конечныхподгрупп, общее пересечение которых содержит неединичные элементы. Содер-жится ли тогда в G неединичный элемент, централизатор которого бесконечен?

С. П.СтрунковНет, не всегда (К.И. Лоссов, О вложении амальгамы в периодическую группу,Деп. ВИНИТИ, 5528-В88, М., 1988).

2.76. Пусть Γ — голоморф абелевой группы A. При каких условиях A макси-мальна среди локально нильпотентных подгрупп группы Γ? Д.А. СупруненкоУсловия найдены (А.В. Ягжев, Мат. заметки, 46, 6 (1989), 118).

2.77. Пусть A, B — абелевы группы. При каких условиях всякое расширение Aс помощью B является нильпотентной группой? Д.А. СупруненкоУсловия указаны (А. В.Ягжев, Мат. заметки, 43 (1988), 424–427).

Архив 157

2.79. Существуют ли полные (простые полные) группы с максимальными под-группами? М.С. ЦаленкоДа, существуют, см., например, (В. Г.Соколов, Алгебра и логика, 7, 2 (1968),85–93).

2.83. Пусть периодическая группа G представима в виде произведения двух ло-кально конечных подгрупп. Будет ли G локально конечной? В. П.ШунковНет, не всегда (В. И.Сущанский, Мат. сб., 180, 8 (1989), 1073–1091).

2.88. Является ли каждая холлова π-подгруппа произвольной группы ее макси-мальной π-подгруппой? М. И.ЭйдиновНе всегда (R. Baer, J. Reine Angew. Math., 239/240 (1969), 109–144).

3.4. (Известные вопросы). а) Существует ли алгоритм, который по любой системегрупповых слов f1, . . . , fm (от фиксированного множества переменных x1, x2, . . .)и отдельному слову f выяснял бы, следует ли тождество f = 1 из тождествf1 = 1, . . . , fm = 1?

б) Пусть заданы групповые слова f1, . . . , fm. Существует ли алгоритм, которыйпо любому слову f выяснял бы, следует ли тождество f = 1 из тождеств f1 =1, . . . , fm = 1? Л.А.БокутьНет, не существуют (Ю. Г.Клейман, ДАН СССР, 244 (1979), 814–818).

3.6. Описать неразрешимые конечные группы, каждая разрешимая подгруппакоторых либо 2-замкнута, либо 2′-замкнута, либо изоморфна S4. В. А.ВедерниковОписание вытекает из (D. Gorenstein, J. H.Walter, Illinois J. Math., 6 (1962)553–593; В. Д.Мазуров, ДАН СССР, 168 (1966), 519–521; В. Д. Мазуров,В.М. Ситников, С. А. Сыскин, Алгебра и логика, 9 (1970), 313–341).

3.7. Автоморфизм σ группы G называется алгебраическим, если для любого эле-мента g ∈ G минимальная σ-допустимая подгруппа из G, содержащая g, имеетконечное число порождающих. Автоморфизм σ группы G называется e-авто-морфизмом, если для любых двух σ-допустимых подгрупп A и B, где A — соб-ственная подгруппа из B, в разности A \ B найдется элемент x, для которого[x, σ] ∈ B. Всякий ли e-автоморфизм является алгебраическим? В.Г.ВиляцерДа, всякий (А. В. Ягжев, Алгебра и логика, 28 (1989), 117–119).

3.8. Пусть G — свободное произведение свободных групп A и B, V — вербальнаяподгруппа группы G, отвечающая уравнению x4 = 1. Верно ли, что если a ∈ A\Vи b ∈ B \ V , то (ab)2 ∈ V ? В.Г.ВиляцерНет, не верно Пусть A и B — свободные группы с базами a1, a2 и b1, b2 со-ответственно. Тогда, например, коммутаторы a = [[a1, a2, a2], [a1, a2]] и b =[[b1, b2, b2], [b1, b2]] не лежат в V , но (ab)2 ∈ V . В самом деле, из известных свойствсвободной группы G/V периода 4 (C.R. B. Wright, Pacif. J. Math., 11, 1 (1961),387–394) следует, что a2 ∈ V , b2 ∈ V и [a, b] ∈ V . (В.А. Романьков, Доклад насеминаре Алгебра и логика, 17.3.1970.)

3.9. Существуют ли бесконечные периодические группы с максимальной конеч-ной подгруппой? Ю. М.ГорчаковДа, существуют (С. И.Адян, Тр. МИАН им. Стеклова, 112 (1971), 64–72).

158 Архив

3.10. Конечное ли число конечных простых неабелевых групп содержит соб-ственное многообразие групп? Ю. М.ГорчаковДа, конечное (mod CFSG), см., например, (G. A. Jones, J. Austral. Math. Soc., 17(1974), 162–173).

3.11. Элемент g группы G называется обобщенно периодическим, если существу-ют такие x1, . . . , xn ∈ G, что x−11 gx1 · · ·x−1n gxn = 1. Существуют ли конечнопорожденные группы без кручения, все элементы которых обобщенно периоди-ческие? Ю. М.ГорчаковДа, существуют (А. П. Горюшкин, Сиб. мат. ж., 14 (1973), 204–207). Другойпример: G =

⟨a, b | (b2)a = b−2, (a2)b = a−2

⟩. Тогда N =

⟨a2, b2, (ab)2

⟩— абелева

нормальная подгруппа группыG иG/N — нециклическая группа порядка 4. Еслиa2lb2m(ab)2n = 1, то после сопряжения элементом a получим a2lb−2m(ab)−2n = 1,откуда a4l = 1. Ввиду очевидного гомоморфизма G → Z(AutZ), посылающегоa в число 1 ∈ Z, имеем l = 0. Аналогично, m = n = 0. Значит, N — свободнаяабелева группа ранга 3. Квадраты элементов извне N нетривиальны; например,(aa2lb2m(ab)2n

)2= a2a−1(a2lb2m(ab)2n)aa2lb2m(ab)2n = a4l+2 = 1. Значит, G —

группа без кручения. Так как квадрат любого элемента x ∈ G лежит в N , имеемx2(x2)a(x2)b(x2)ab = 1. (В.А. Чуркин, 1973.)

3.13. Разрешима ли элементарная теория решеток подгрупп конечных абелевыхгрупп? Ю.Л. Ершов, А. И.КокоринНет, не разрешима (Г.Т.Козлов, Алгебра и логика, 9 (1970), 167–171).

3.14. Пусть G — конечная группа матриц степени n над телом T нулевой ха-рактеристики. Доказать, что G обладает разрешимой нормальной подгруппойH, индекс которой в G не превосходит некоторого числа f(n), не зависящего ниот T , ни от G. Вопрос связан с теорией представлений конечных групп (индексШура). А.Е. ЗалесскийДоказано (mod CFSG) (B.Hartley, M. A. Shahabi Shojaei, Math. Proc. CambridgePhil. Soc., 92 (1982), 55–64).

3.15. Будем говорить, что группаG U -вложима в класс групп K, если для всякойконечной подмодели M ⊆ G найдется такая группа A из K, что M изоморфнанекоторой подмодели из A. Будет ли U -вложимой в конечные группы:

а) всякая группа с одним определяющим соотношением?б) всякая группа, допускающая одно определяющее соотношение в многообра-

зии разрешимых групп данной ступени? М. И.КаргаполовНет, не будет, в обоих случаях (А. И.Будкин, В.А. Горбунов, Алгебра и логи-ка, 14 (1975), 123–142). Приведем другой пример. Группа G =

⟨a, b | (b2)a = b3

⟩нехопфова (G.Baumslag, D. Solitar, Bull. Amer. Math. Soc., 68, 3 (1962), 199–201) и потому не метабелева. Выберем элементы a, b, x1, x2, x3, x4 ∈ G так, чтоw = [[x1, x2], [x3, x4]] = 1, добавим к ним 1, их обратные, все начальные отрезкислова w в алфавите xi, и все начальные отрезки слова a−1b2ab−3 и каждого изслов xi в алфавите a, b. Пусть M — полученная модель. Если бы M вклады-валась в конечную группу G0, то G0 была бы, с одной стороны, метацикличной,а с другой — содержала бы элементы с условием [[x1, x2], [x3, x4]] = 1, что невоз-можно. Значит, G не U -вложима в конечные группы. Так как группа G/G(k) приподходящем k тоже нехопфова (там же), по тем же причинам она не U -вложимав конечные группы. (Ю. И. Мерзляков, 1969.)

Архив 159

3.17. а) Будет ли простой некоммутативная группа, линейно упорядочиваемаяединственным способом?

б) Будет ли простой некоммутативная упорядочиваемая группа без нетриви-альных нормальных относительно выпуклых подгрупп? А.И. КокоринНет, не всегда, в обоих случаях (В.В. Блудов, Алгебра и логика, 13, 6 (1974),609–634).

3.18. (Б.Нойман). Группа U называется универсальной для класса групп K, еслиU содержит изоморфный образ каждой группы из K. Существует ли счетнаягруппа, универсальная для класса счетных упорядочиваемых групп?

А.И. КокоринНет, не существует (М. И. Каргаполов, Алгебра и логика, 9 (1970), 428–435;D.B. Smith, Pacific J. Math., 35 (1970), 499–502).

3.19. (А.И. Мальцев). Для всякой ли линейно упорядоченной группы G суще-ствует абелева линейно упорядоченная группа, имеющая тот же порядковый тип,что и G? А.И. КокоринНет, не для всякой (W. C.Holland, A. H.Mekler, S. Shelah, Order, 1 (1985), 383–397).

3.21. Пусть K — класс одноосновных моделей сигнатуры σ, ϑ — свойство, имею-щее смысл для моделей класса K, K0 — класс двуосновных моделей, у которыхпервое основное множество M берется из K, второе состоит из всех подмоделеймодели M , обладающих свойством ϑ, а сигнатура состоит из знаков сигнатурыσ и знаков ∈, ⊆, имеющих обычный теоретико-множественный смысл. Элемен-тарную теорию класса K0 назовем элементно-ϑ-подмодельной теорией класса K.Разрешима ли:

а) элементно-сервантно-подгрупповая теория абелевых групп?б) элементно-сервантно-подгрупповая теория абелевых групп без кручения?в) элементно-ϑ-подгрупповая теория абелевых групп, если множество ϑ-под-

групп линейно упорядочено по включению? А.И. КокоринНет, не разрешимы во всех случаях (для а), в): Г. Т.Козлов, Алгебра и ло-гика, 9 (1970), 167–171; Алгебра, 1, Иркутский ун-т, 1972, 21–23; дляб): Э.И. Фридман, Алгебра, 1, Иркутский ун-т, 1972, 97–100).

3.22. Пусть ξ = Gα, παβ | α, β ∈ I — проективная система над направленным

множеством I свободных абелевых групп с конечным числом порождающих. Бу-дет ли lim

←−ξ = 0, если проекции πα

β — эпиморфизмы и Gα = 0? Равносильнаяформулировка. Пусть каждое конечное множество элементов абелевой группы Aсодержится в сервантной свободной конечно порожденной подгруппе из A. Имеетли тогда A прямое слагаемое, изоморфное Z? В.И. КузьминовПри континуум-гипотезе не всегда (Е. А. Палютин, Сиб. мат. ж., 19 (1978),1415–1417).

3.26. (Ф. Гросс). Верно ли, что конечная группа периода pαqβ имеет нильпотент-ную длину 6 α+ β? В.Д. МазуровНет, не верно (Е. И.Хухро, Алгебра и логика, 17 (1978), 727–740).

160 Архив

3.27. (Дж.Томпсон). Будет ли простая конечная группа, у которой среди макси-мальных подгрупп есть нильпотентная, изоморфна одной из групп PSL2(q)?

В.Д. МазуровДа, будет (B. Baumann, J. Algebra, 38 (1976), 119–135).

3.28. Если в конечной 2-группе G с циклическим центром любая абелева нор-мальная подгруппа порождается двумя элементами, то будет ли любая абелеваподгруппа из G порождаться тремя элементами? В.Д. МазуровНе всегда (Я. Г.Беркович, Алгебра и логика, 9 (1970), 121).

3.29. При каких условиях сплетение матричных групп над полем само предста-вимо матрицами над полем? Ю. И.МерзляковТакие условия указаны в (Ю.Е. Вапнэ, ДАН СССР, 195 (1970), 13–16).

3.30. Абелева группа без кручения называется факторно расщепляемой, если влюбой ее факторгруппе периодическая часть является прямым слагаемым. Ка-ковы все факторно расщепляемые группы? А.П. МишинаОписаны (L.Bican, Comment. Mat. Univ. Carol., 19 (1978), 653–672).

3.31. Найти необходимые и достаточные условия, при которых всякая сервант-ная подгруппа вполне разложимой абелевой группы без кручения сама вполнеразложима. Л.П. МишинаНайдены (L. Bican, Czech. Math. J., 24 (1974), 176–191; А. А. Кравченко, ВестникМоск. ун-та, сер. 1, мат. мех., 1980, 3, c. 104).

3.35. (К.Росс). Пусть на группе G заданы две топологии σ и τ , так что обра-зовались две локально компактные топологические группы Gσ и Gτ . Будут лиGσ и Gτ топологически изоморфны, если множество замкнутых подгрупп у ниходно и то же? Ю.Н.МухинНет, не всегда (А. И.Москаленко, Укр. мат. ж., 30 (1978), 257–260).

3.37. Пусть все конечно порожденные подгруппы локально компактной группыG пронильпотентны. Можно ли утверждать, что всякая максимальная замкнутаяподгруппа из G содержит коммутант G′? Ю.Н.МухинДа, можно (И. В. Протасов, ДАН СССР, 242 (1978), 777–779).

3.39. Описать конечные группы с самоцентрализующейся подгруппой простогопорядка. В.Т.НагребецкийОписаны. Самоцентрализующиеся подгруппы простого порядка являются CC-подгруппами. Конечные группы с CC-подгруппой полностью классифицированыв (Z.Arad, W.Herfort, Commun. in Algebra, 32 (2004), 2087–2098).

3.40. (И.Р.Шафаревич). Пусть SL2(Z) и SL2(Z)− — пополнения группыSL2(Z), определяемые соответственно всеми подгруппами конечного индекса иконгруэнц-подгруппами, ψ : SL2(Z) → SL2(Z)− — естественный гомоморфизм.Будет ли Kerψ свободной проконечной группой? В.П. ПлатоновДа, будет (О. В. Мельников, ДАН СССР, 228 (1976), 1034–1036).

3.41. Будет ли локально конечной компактная периодическая группа?В.П. Платонов

Да, будет (E. I. Zelmanov, Israel J. Math., 77 (1992), 83–95).

Архив 161

3.52. Можно ли задать системой квазитождеств от конечного числа переменныхквазимногообразие, порожденное свободной группой ранга 2? Д.М. СмирновНет, нельзя (А.И. Будкин, Алгебра и логика, 15 (1976), 39–52).

3.53. Дистрибутивна ли решетка L(N4) подмногообразий многообразия N4 ниль-потентных групп ступени 6 4? Д.М. СмирновНет, не дистрибутивна (Ю. А.Белов, Алгебра и логика, 9 (1970), 623–628).

3.56. Будет ли 2-группа, удовлетворяющая условию минимальности для абеле-вых подгрупп, локально конечной? С. П.СтрунковДа, будет (В. П. Шунков, Алгебра и логика, 9 (1970), 484–496).

3.58. Пусть G — компактная нульмерная топологическая группа, все силовскиеp-подгруппы которой разложимы в прямое произведение циклических подгрупппорядка p. Будут ли все ее нормальные подгруппы дополняемы? В. С.ЧаринДа, будут (М. И. Кабенюк, Сиб. мат. ж., 13 (1972), 939–943).

3.59. Пусть H — неразрешимая минимальная нормальная подгруппа конечнойгруппы G. Пусть H обладает циклической силовской p-подгруппой для каждогопростого p, делящего |G : H|. Доказать, что H обладает по крайней мере однимдополнением в группе G. Л.А.ШеметковДоказано (С. А.Сыскин, Сиб. мат. ж., 12 (1971), 477–480; Л. А. Шеметков, ДАНСССР, 195 (1970), 50–52).

3.61. Пусть σ — автоморфизм простого порядка p конечной группы G, имеющейхоллову π-подгруппу с циклическими силовскими подгруппами. Пусть p ∈ π.Верно ли, что CG(σ) обладает по крайней мере одной холловой π-подгруппой?

Л.А.ШеметковДа, верно (mod CFSG) (В.Д. Мазуров, Алгебра и логика, 31, 6 (1992), 624–636).

3.62. (Известный вопрос). Dπ-группой называют конечную группу, в кото-рой любые две максимальные π-подгруппы сопряжены. Всегда ли расширениеDπ-группы с помощью Dπ-группы является Dπ-группой? Л.А.ШеметковДа, является mod CFSG (Е.П. Вдовин, Д. О. Ревин, Contemp. Math., 402 (2006),229–263).

3.64. Описать конечные простые группы с силовской 2-подгруппой следующеготипа: ⟨a, t | a2n = t2 = 1, tat = a2

n−1−1⟩. В.П.ШунковОписаны (J. L. Alperin, R. Brauer, D. Gorenstein, Trans. Amer. Math. Soc., 151(1970), 1–261).

4.1. Найти бесконечную конечно порожденную группу с тождественным соотно-шением вида x2

n

= 1. С.И. АдянНайдена (S. V. Ivanov, Intern. J. Algebra Comput., 4, 1–2 (1994), 1–308; И. Г.Лы-сенок, Изв. РАН, сер. мат., 60, 3 (1996), 3–224).

4.3. Построить конечно определенную группу с неразрешимой проблемой равен-ства, в которой выполняется нетривиальное тождество. С.И. АдянПостроена (О. Г.Харлампович, Изв. АН СССР, сер. мат., 45 (1981), 852–873).

162 Архив

4.4. Построить конечно определенную группу с неразрешимой проблемой ра-венства, у которой все нетривиальные определяющие соотношения имеют видA2 = 1. Проблема интересует топологов. С.И. АдянПостроена (О.А. Саркисян, Проблема равенства слов для некоторых классовгрупп и полугрупп, канд. дисс., М., МГУ, 1983).

4.5. а) (Дж. Милнор). Верно ли, что произвольная конечно порожденная группаимеет либо степенной, либо показательный рост?

в) Всякая ли конечно порожденная группа с неразрешимой проблемой равен-ства имеет показательный рост? С.И. Адяна) Нет, не верно, в) Нет, не всякая (Р.И. Григорчук, ДАН СССР, 271 (1983),30–33).

4.10. Группа называется локально индикабельной, если каждая ее нетривиаль-ная конечно порожденная подгруппа обладает бесконечной циклической фактор-группой. Всякая ли группа без кручения и с одним определяющим соотношениемлокально индикабельна? Г.Баумслаг (G.Baumslag)Да, всякая (С. Д. Бродский, Деп. ВИНИТИ 2214-80, М., 1980).

4.12. Пусть A — группа автоморфизмов конечной группы G, стабилизирующаяряд подгрупп, начинающийся с G и заканчивающийся ее подгруппой Фраттини.Верно ли, что A нильпотентна? Я.Г.БерковичДа, верно (P. Schmid, Math. Ann., 202 (1973), 57–69).

4.16. Пусть K — класс групп, удовлетворяющий следующим двум условиям: 1)подгруппы и эпиморфные образы K-групп являются K-группами; 2) если груп-па G = UV — произведение своих K-подгрупп (ни одна из которых не обязанабыть нормальной), то G ∈ K. Если π — множество простых чисел, то класс всехконечных π-групп удовлетворяет этим условиям. Исчерпывают ли такие классывсе классы K, удовлетворяющие условиям 1) и 2)? Р.Бэр (R. Baer)Нет, не исчерпывают (С. А.Сыскин, Сиб. мат. ж., 20 (1979), 679–681).

4.21. Пусть G — конечная группа, p — нечетное простое число, P — силовскаяp-подгруппа группы G, и пусть порядок каждой неединичной нормальной под-группы группы G делится на p. Предположим, в P есть элемент x, не сопряжен-ный в G ни с одним другим элементом из P . Верно ли, что x лежит в центре G?Для p = 2 ответ положительный (G. Glauberman, J. Algebra, 4 (1966), 403–420).

Дж.Глауберман (G. Glauberman)Да, верно (mod CFSG) (О. Д. Артемович, Укр. мат. ж., 40 (1988), 397–400).

4.22. (Дж.Томпсон). Пусть G — конечная группа, A — такая группа ее автомор-физмов, что |A| и |G| взаимно просты. Всегда ли существует такая A-инвариант-ная разрешимая подгруппа H из G, что CA(H) = 1?

Дж.Глауберман (G. Glauberman)Да, всегда (С. А. Сыскин, Сиб. мат. ж., 32, 6 (1991), 164–168).

4.23. Пусть G — конечная простая группа, τ — элемент простого порядка и α —автоморфизм группы G порядка, взаимно простого с |G|. Будет ли α = 1, если αцентрализует CG(τ)? Дж.Глауберман (G. Glauberman)Не всегда; например, G = Sz(8), |τ | = 5, |α| = 3 (Н.Д.Подуфалов, 3.9.1975 ).

Архив 163

4.24. Пусть T — неабелева силовская 2-подгруппа конечной простой группы G.б) Может ли T быть прямым произведением двух собственных подгрупп?в) Равны ли T ′ и Φ(T )? Д.Голдшмидт (D. Goldschmidt)

б) Да, может. Например, силовская 2-подгруппа знакопеременных групп A14 иA15 изоморфна силовской 2-подгруппе из S4×S8. Силовские 2-подгруппы изD4(q)для нечетного q также разложимы. (А. С. Кондратьев, письмо от 13.10.1977.)в) Не всегда; например, для G = PSL3(q) с q ≡ 1 (mod 4) (А.С. Кондратьев).

4.27. Перечислить простые конечные группы G, представимые в виде G = ABA,где A,B — абелевы подгруппы. И.П. ДокторовПеречислены mod CFSG (Д.Л. Загорин, Л.С. Казарин, ДАН СССР, 347, 5(1996), 590–592; Д. Л. Загорин, Некоторые задачи ABA-факторизации группподстановок и классических групп (канд. дисс.), Ярославль, 1994; Д. Л. Загорин,Л.С. Казарин, Вопросы алгебры, Гомель, 11 (1997), 27–41; Е. П.Вдовин, Ал-гебра и логика, 38, 2 (1999), 131–160).

4.28. Для заданного поля k характеристики p > 0 охарактеризовать локальноконечные группы с полупростыми групповыми алгебрами над k. А.Е. ЗалесскийОхарактеризованы: простые группы в (D. S. Passman, A. E. Zalesskii, Proc. LondonMath. Soc. (3), 67 (1993), 243–276); в общем случае в (D. S. Passman, Proc. LondonMath. Soc. (3), 73 (1996), 323–357).

4.29. Классифицировать неприводимые матричные группы над конечным по-лем, порожденные отражениями, т. е. матрицами, имеющими жорданову формуdiag(−1, 1, . . . , 1). А.Е. ЗалесскийКлассифицированы (А. Е. Залесский, В. Н.Сережкин, Изв. АН СССР, сер. мат.,44 (1980), 1279–1307; A. Wagner, Geom. Dedicata, 9 (1980), 239–253; 10 (1981),191–203, 475–523).

4.32. Проблема сопряженности для метабелевых групп. М. И.КаргаполовАлгоритмически разрешима (Г.А. Носков, Мат. заметки, 31 (1982), 495–507).

4.35. (Известный вопрос). Существует ли бесконечная локально конечная про-стая группа, удовлетворяющая условию минимальности для примарных под-групп? О. Кегель (O.H. Kegel)Нет, не существует (В. В.Беляев, Алгебра и логика, 20 (1981), 605–619).

4.36. Существует ли бесконечная локально конечная простая группа G с такойинволюцией i, что централизатор CG(i) — черниковская группа?

О. Кегель (O.H. Kegel)Нет, не существует (A. O.Asar, Proc. London Math. Soc., 45 (1982), 337–364).

4.37. Существует ли такая бесконечная локально конечная простая группа G,непредставимая матрицами над полем, что для некоторого простого p все p-под-группы группы G имеют ограниченную ступень разрешимости или конечныйпериод? О. Кегель (O.H. Kegel)Нет не существует (mod CFSG) по теореме 4.8 из (O.H. Kegel, B. A. F. Wehrfritz,Locally finite groups, North Holland, Amsterdam, 1973).

164 Архив

4.38. Описать композиционные факторы групп автоморфизмов конечных (дву-ступенно нильпотентных) групп простого периода. В.Д. МазуровЛюбая конечная простая группа может быть таким композиционным фактором(П.М. Белецкий, УМН, 35, 6 (1980), 153–154).

4.39. Счетная группа U называется SQ-универсальной, если каждая счетнаягруппа изоморфна подгруппе факторгруппы U . Пусть G — группа, заданная r >2 образующими и не более чем r−2 определяющими соотношениями. Является лиG SQ-универсальной? А.Макбет (A.M. Macbeath), П. Нойман (P.M. Neumann)Да, является (B. Baumslag, S. J. Pride, J. London Math. Soc., 17 (1978), 425–426).

4.41. Точка z комплексной плоскости называется свободной, если матрицы(1 20 1

)и

(1 0z 1

)порождают свободную группу. Верно ли, что точки вне

ромба с вершинами ±2, ±i свободны? Ю. И.МерзляковНет, не верно (Ю. А.Игнатов, Мат. сб., 106 (1978), 372–379; А.И. Шкуратский,Мат. заметки, 24 (1978), 411–414).

4.45. Пусть G — свободное произведение с объединением собственных подгруппH и K групп A и B, соответственно.

а) Предположим, что H и K конечны и |A : H| > 2, |B : K| > 2. Является лигруппа G SQ-универсальной?

б) Предположим, что A,B,H,K — свободные группы конечных рангов. Можетли G быть простой? П.Нойман (P.M.Neumann)а) Да, является (К. И. Лоссов, Сиб. мат. ж., 27, 6 (1986), 128–139).б) Да, может (S. Mores, Proc. Int. Congress Math., vol.2, Berlin, 1998, 571–582).С другой стороны, если один из индексов |A : H|, |B : K| бесконечен, то нет, неможет (S. V. Ivanov, P. E. Schupp, in: Algorithmic problems in groups and semigroups,Int. Conf., Lincoln, NE, 1998, Boston MA, Birkhauser, 2000, 139–142).

4.46. б) Назовем многообразие групп предельным, если оно не может быть заданоконечным числом тождеств, а любое его собственное подмногообразие конечнобазируемо. Из леммы Цорна следует, что любое многообразие, не имеющее ко-нечного базиса тождеств, содержит предельное подмногообразие. Является лимножество предельных многообразий счетным? Известно, что оно бесконечно.

А.Ю. ОльшанскийНет, таких многообразий континуум (П. А. Кожевников, О многообразиях группбольшого нечетного периода, Деп. 1612-В00, ВИНИТИ, М., 2000; S.V. Ivanov,A.M. Storozhev, Contemp. Math., 360 (2004), 55–62).

4.47. Существует ли такая счетная система групп, что любое многообразие групппорождается некоторой ее подсистемой? А.Ю. ОльшанскийНет, не существует (Ю. Г.Клейман, Изв. АН СССР, сер. мат., 47 (1983), 37–74).

4.49. Пусть G, H — конечно порожденные нильпотентные группы без кручения,причем AutG ∼= AutH. Следует ли отсюда, что G ∼= H? В.Н. РемесленниковНет, не следует (Г.А. Носков, В. А. Романьков, Алгебра и логика, 13 (1974), 534–543).

Архив 165

4.51. (Известный вопрос). Являются ли группы узлов финитно аппроксимируе-мыми? В.Н. РемесленниковДа, являются (W. P.Thurston, Bull. Amer. Math. Soc., 6 (1982), 357–381).

4.52. Пусть G — конечно порожденная группа без кручения, являющаяся расши-рением абелевой группы посредством нильпотентной группы. Будет ли G почтидля всех простых чисел p почти вся аппроксимироваться конечными p-группами?

В.Н. РемесленниковДа, будет (Г.А.Носков, Алгебра и логика, 13 (1974), 676–684; D. Segal, J. Algebra,32 (1974), 389–399).

4.53. Как доказал П. Пиккель, существует лишь конечное число неизоморфныхконечно порожденных нильпотентных групп с одним и тем же семейством ко-нечных гомоморфных образов. Можно ли распространить теорему Пиккеля наполициклические группы? В.Н. РемесленниковДа, можно (F. J. Grunewald, P. F. Pickel, D. Segal, Ann. of Math. (2), 111 (1980),155–195).

4.54. Любые ли минимальные модули соотношений конечной группы изоморф-ны? К.Роггенкамп (K. Roggenkamp)Нет, не любые (P.A. Linnell, Ph. D. Thesis, Cambridge, 1979;A. J. Sieradski, M. N.Dyer, J. Pure Appl. Algebra, 15 (1979), 199–217).

4.57. Пусть группа G — произведение двух абелевых минимаксных подгрупп Aи B. Доказать или опровергнуть следующие утверждения:

а) A0B0 = 1, где A0 =∩

x∈GAx и аналогично определяется B0;

б) коммутант группы G — минимаксная подгруппа. Н.Ф. СесекинДоказаны оба (Д. И. Зайцев, Алгебра и логика, 19 (1980), 150–172).

4.58. Пусть конечная группа G — произведение подгрупп A и B, где A абелева, аB нильпотентна. Указать оценку ступени разрешимости группы G в зависимостиот ступени нильпотентности подгруппы B и порядка ее коммутанта.

Н.Ф. СесекинУказана (Д. И. Зайцев, Мат. заметки, 33 (1983), 807–818).

4.59. (Ф.Холл). Найти натуральное число n с тем свойством, что любую счетнуюгруппу можно вложить в простую группу с n порождающими. Д.М. СмирновДоказано, что n = 2 (А.П. Горюшкин, Мат. заметки, 16 (1974), 231–235).

4.60. (Ф.Холл). Какую мощность имеет множество простых групп с двумя по-рождающими, один из которых имеет порядок 2, а другой — порядок 3?

Д.М. СмирновКонтинуум. Любая 2-порожденная группа G вложима в простую группу H, по-рожденную двумя элементами порядков 2 и 3 (P. E. Schupp, J. London Math. Soc.,13, 1 (1976), 90–94). Группа H имеет не более чем счетное число 2-порожден-ных подгрупп, а различных групп G — континуум. (Ю. И.Мерзляков, 1976.)

166 Архив

4.61. Существует ли линейная функция f со следующим свойством: если в ко-нечной 2-группе G каждая абелева подгруппа порождается n элементами, то Gпорождается f(n) элементами? С.А. СыскинНет, не существует (А. Ю.Ольшанский, Мат. заметки, 23 (1978), 337–341).

4.62. Существует ли многообразие групп, определенное конечным числом тож-деств, у которого неразрешима универсальная теория? А.Тарский (A. Tarski)Да, существует; например — A5. В самом деле, как показано в (В.Н. Ремесленни-ков, Алгебра и логика, 12, 5 (1973), 577–602) существует конечно представлен-ная в A5 группа G =

⟨x1, . . . , xn | w1, . . . , wm, modA5

⟩с неразрешимой пробле-

мой равенства. Положим Φw = (∀x1, . . . , xn)((w1 = 1)∧ . . .∧ (wm = 1)→ (w = 1)),где w пробегает все слова от x1, . . . , xn. Ясно, что не существует алгоритма, рас-познающего справедливость формулы Φw в A5. (В. Н.Ремесленников, 1976.)

4.63. Существует ли неабелево многообразие групп (в частности, содержащеемногообразие всех абелевых групп) с разрешимой элементарной теорией?

А.Тарский (A. Tarski)Нет, не существует (А. П. Замятин, Алгебра и логика, 17 (1978), 20–27).

4.64. Существует ли многообразие групп, не допускающее независимой системыопределяющих тождеств? А.Тарский (A. Tarski)Да, существует (Ю. Г.Клейман, Изв. АН СССР, сер. мат., 47 (1983), 37–74).

4.67. Пусть G — конечная p-группа. Показать, что ранг мультипликатора M(G)группы G ограничен в зависимости от ранга группы G. Дж.Уайголд (J.Wiegold)Показано (A. Lubotzky, A. Mann, J. Algebra, 105 (1987), 484–505).

4.68. Построить конечно порожденную (бесконечную) элементарную группу, неявляющуюся прямой степенью простой группы. Дж.Уайголд (J. Wiegold)Построена (J. S. Wilson, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 80 (1976), 19–35).

4.70. Пусть k — поле характеристики = 2, Gk — группа преобразованийx→ ax+α (a, α ∈ k, a = 0), обозначаемых символами A = (a, α). Расширим Gk

до проективной плоскости, добавив символы (0, α) и бесконечно удаленную пря-мую. Тогда прямыми будут в точности централизаторы CG(A) элементов A ∈ Gk

и смежные классы по ним. Существуют ли другие группы G, дополняемые допроективной плоскости так, чтобы прямыми были в точности смежные классыпо централизаторам элементов из G? Г.Швердтфегер (H. Schwerdtfeger)Нет, не существуют (Е. А.Кузнецов, Группы, дополняемые до проективных плос-костей, Деп. ВИНИТИ, 7028-B89, М., 1989).

4.71. Пусть A — некоторая группа автоморфизмов конечной группы G и G об-ладает рядом A-допустимых подгрупп G = G0 > · · · > Gk = 1 с простымииндексами |Gi : Gi+1|. Доказать, что A сверхразрешима. Л.А.ШеметковДоказано (Л. А.Шеметков, Мат. сб., 94 (1974), 628–648).

Архив 167

4.73. Существует ли неабелево многообразие групп,а) все конечные группы которого абелевы?б) все периодические группы которого абелевы? А.Л.Шмелькин

а) Да, существует (А. Ю. Ольшанский, Мат. сб., 126 (1985), 59–82).б) Да, существует (П. А. Кожевников, О многообразиях групп большого нечет-ного периода, Деп. 1612-В00, ВИНИТИ, М., 2000; S.V. Ivanov, A.M. Storozhev,Contemp. Math., 360 (2004), 55–62).

4.74. а) Всякая ли 2-группа порядка > 2 не проста? В. П.ШунковНет, не всякая. Это следует из положительного решения ослабленной проблемыБернсайда для групп периода 2n (Е.И. Зельманов, Мат. сб., 182, 4 (1991),568–592) и отрицательного решения проблемы Бернсайда для групп периода 2n

при достаточно большом n (S.V. Ivanov, Int. J. Algebra Comput., 4, 1–2 (1994),1–308; И. Г.Лысенок, Изв. РАН, сер. мат., 60, 3 (1996), 3–224).

4.76. Пусть G — локально конечная группа, содержащая элемент a простогопорядка с конечным централизатором CG(a). Будет ли G почти разрешимой?

В. П.ШунковДа, будет. В (P. Fong, Osaka J. Math., 13 (1976), 483–489) показано (mod CFSG),что G почти локально разрешима. Тогда в (B. Hartley, T. Meixner, Arch. Math.,36 (1981), 211–213) доказано, что G почти локально нильпотентна. Тогда G по-чти разрешима по (J. L. Alperin, Proc. Amer. Math. Soc., 13 (1962) 175–180) и(G.Higman, J. London Math. Soc., 32 (1957), 321–334). Более того, по теоремамиз (Е. И. Хухро, Мат. заметки, 38, 5 (1985), 652–657; Е. И.Хухро, Мат. сб.,181 (1990), 1207–1219) тогда G почти нильпотентна.

4.77. А.Рудвалис открыл в 1972 г. новую простую группу R порядка 214 · 33 · 53 ·7 · 13 · 29. Он показал, что R обладает такой инволюцией i, что CR(i) = V × F ,где V — четверная группа (элементарная группа порядка 4), а F ∼= Sz(8).

а) Показать, что R изоморфна любой конечной простой группе G, обладающейтакой инволюцией i, что CG(i) = V ×F , где V — четверная группа, а F ∼= Sz(8).

б) Пусть G — конечная простая группа, обладающая такой инволюцией i, чтоCG(i) = V × F , где V — элементарная группа порядка 2n, n > 1, a F ∼= Sz(2m),m > 3. Показать, что n = 2, а m = 3. З.Янко (Z. Janko)а) Показано (В. Д. Мазуров, Мат. заметки, 31 (1982), 321–338).б) Вытекает из CFSG.

5.1. а) Будет ли не простой всякая локально конечная минимальная не-FC-груп-па? В.В. Беляев, Н. Ф.СесекинДа, будет (M. Kuzucuoglu, R. E. Phillips, Proc. Cambridge Philos. Soc., 105, 3(1989), 417–420).

5.2. Верно ли, что функция роста f бесконечной конечно порожденной группыудовлетворяет неравенству f(n) 6 (f(n − 1) + f(n + 1))/2 для всех достаточнобольших n (при фиксированной конечной системе порождающих)?

В.В. Беляев, Н. Ф.СесекинНет, не верно (П. де лаАрп (P. de la Harpe), Р.И. Григорчук, Алгебра и логика, 37, 6 (1998), 621–626).

168 Архив

5.3. (Известный вопрос). Любая ли конечная решетка вложима в решетку под-групп конечной группы? Дж.Бергман (G. M. Bergman)

Да, любая (P.Pudlak, J. Tuma, Algebra Universalis, 10 (1980), 74–95).

5.6. Если R — конечно порожденная область целостности характеристики p > 0,то индуцирует ли проконечная (идеальная) топология R проконечную топологиюна группу единиц R? Это верно для p = 0. Б. Верфриц (B.A. F. Wehrfritz)Да, индуцирует (D. Segal, Bull. London Math. Soc., 11 (1979), 186–190).

5.7. Алгебраическое многообразие X над полем k называется рациональным, ес-ли поле функций k(X) чисто трансцендентно над k, и стабильно рациональным,если k(X) становится чисто трансцендентным после присоединения конечногочисла независимых переменных. Пусть T — стабильно рациональный тор надполем k. Является ли T рациональным? Другие формулировки этого вопроса инекоторые результаты см. в (В. Е. Воскресенский, УМН, 28, 4 (1973), 77–102).

В.Е.ВоскресенскийДа, является (V.E. Voskresenskiı, Linear representations of quasisplit tori andproblem of rationality, Preprint, Max–Planck–Inst. Math., Bonn, 2000, 100).

5.8. Пусть G — разрешимая группа без кручения конечной когомологическойразмерности cdG. Известно, что hG 6 cdG 6 hG + 1, где hG — число Хиршагруппы G. Найти чисто теоретико-групповой критерий для равенства hG = cdG.

К. Грюнберг (K.W. Gruenberg)Найден (P.H. Kropholler, J. Pure Appl. Algebra, 43 (1986), 281–287).

5.9. Пусть 1 → Riπi−→ F → G → 1, i = 1, 2, — две точные последовательно-

сти, где F — свободная группа конечного ранга d(F ), а G — конечная группа сминимальным числом порождающих d(G). Изоморфны ли соответствующие абе-лизованные расширения, если d(F ) = d(G) + 1? К. Грюнберг (K.W. Gruenberg)Да, изоморфны (P.A. Linnell, J. Pure Appl. Algebra, 22 (1981), 143–166).

5.10. Пусть E = H ∗ K. Обозначим разностные идеалы групп E, H, K черезe, h, k, соответственно. Если I — правый идеал в ZE, то пусть dE(I) означаетминимальное число образующих I как правого идеала. Верно ли при условииконечной порожденности H и K равенство dE(e) = dE(hE) + dE(kE)? Здесь hEи kE — правые идеалы, порожденные h и k. К.В. Грюнберг (K. W. Gruenberg)Нет, не всегда (P.A. Linnell, неопубл.) Вот простой пример: H — элементарнаяабелева группа порядка 4, K — элементарная абелева группа порядка 9. ЗдесьdE(e) = 3, хотя dE(hE) = dE(kE) = 2. (K. W.Gruenberg, письмо от 27.7.1995.)

5.11. Пусть G — конечная группа и пусть существует такое непустое собственноеподмножество π множества простых делителей |G|, что централизатор любогонеединичного π-элемента является π-подгруппой. Следует ли отсюда, что G со-держит такую подгруппу U , что: 1) Ug ∩ U = 1 или U для любого элемента g изG и 2) централизатор любого нетривиального элемента из U содержится в U?

К. Грюнберг (K.W. Gruenberg)Да, следует (mod CFSG) (J. S. Williams, J. Algebra, 69 (1981), 487–513).

Архив 169

5.12. Пусть G — конечная группа с единичным разрешимым радикалом, в ко-торой существуют силовские 2-подгруппы, имеющие неединичное пересечение.Верно ли, что если для любых силовских 2-подгрупп P и Q из G с условиемP ∩Q = 1 индекс |P : P ∩Q| не превосходит 2n, то |P | 6 22n? В.В. КабановДа, верно, mod CFSG (В. И. Зенков, Алгебра и логика, 36, 2 (1997), 156–165).

5.13. ПустьK, L— различные классы сопряженных инволюций конечной группыG и ⟨x, y⟩ является 2-группой при любых x ∈ K, y ∈ L. Будет ли G = [K,L]?

В.В. КабановНе всегда; например, G = Sp4(2

n), n > 2, K,L — классы инволюций, нетриви-ально пересекающиеся с центрами NG(M)′ и NG(N)′ соответственно, где M,N— различные элементарные подгруппы порядка 8 в силовской 2-подгруппе из G,а штрих означает взятие коммутанта (А.А. Махнев, письмо от 10.10.1981 ).

5.17. Если конечная группаG представима в видеG = AB, где A иB нильпотент-ны ступеней нильпотентности α и β соответственно, то G разрешима. Верно ли,что G(α+β) = 1? Известно, что G(α+β) нильпотентна (Е. Пеннингтон, 1973), а так-же, что из A′ = B′ = 1 вытекаетG(2) = 1 (теорема Н.Ито). О.Кегель (O. H. Kegel)Нет, не верно (J. Cossey, S. Stonehewer, Bull. London Math. Soc., 30, 144 (1998),247–250). См. новую задачу 14.43.

5.18. Пусть G — бесконечная локально конечная простая группа. Бесконечен лицентрализатор каждого элемента группы G? О. Кегель (O.H. Kegel)Да, бесконечен (B. Hartley, M. Kuzucuoglu, Proc. London Math. Soc. (3), 62, 2(1991), 301–324).

5.19. а) Пусть G — бесконечная локально конечная простая группа, удовлетво-ряющая условию минимальности для 2-подгрупп. Будет ли G = PSL2(F ) длянекоторого локально конечного поля нечетной характеристики, если централи-затор любой инволюции из G почти локально разрешим?

б) Можно ли охарактеризовать простые локально конечные группы с услови-ем min-2, содержащие максимальную радикальную нетривиальную 2-подгруппуранга 6 2, как линейные группы малого ранга? О. Кегель (O.H. Kegel)а) Да, будет (Н.С. Черников, Укр. мат. ж., 35 (1983), 265–266).б) Да, можно (mod CFSG) по теореме 4.8 из (O.H. Kegel, B. A. F.Wehrfritz, Locallyfinite groups, North Holland, Amsterdam, 1973).

5.20. Разрешима ли элементарная теория решеток l-идеалов решеточно упоря-доченных абелевых групп? А.И. КокоринНет, неразрешима (Н.Я. Медведев, Алгебра и логика, 44, 5 (2005), 540–559).

5.22. Существует ли вариант теоремы Хигмана о вложении, обеспечивающийсохранение степени неразрешимости проблемы сопряженности? Известные в на-стоящее время варианты не сохраняют эту степень. Д.Коллинз (D. J. Collins)Да, существует (A. Yu.Ol’shanskii, M. V. Sapir, The conjugacy problem and Higmanembeddings, Memoirs AMS, 804, 2004, 133 p.).

170 Архив

5.24. Верно ли, что свободная решеточно упорядоченная группа многообразиярешеточно упорядоченных групп, аппроксимируемых линейно упорядоченнымигруппами, аппроксимируется разрешимыми линейно упорядоченными группами?

В.М. КопытовНет, не верно (Н. Я.Медведев, Алгебра и логика, 44, 3 (2005), 355–367).

5.28. Пусть G — группа и H — такая ее подгруппа без кручения, что раз-ностный идеал IG целочисленного группового кольца ZG можно разложить какIG = IHZG ⊗M для некоторого ZG-модуля M . Доказать, что G — свободноепроизведение вида G = H ∗K. Д.Коэн (D. E.Cohen)Доказано (W. Dicks, M. J. Dunwoody, Groups acting on graphs, Cambridge Univ.Press, Cambridge-New York, 1989).

5.29. Рассмотрим группу G, заданную m образующими и n определяющими со-отношениями, где m > n. Будут ли какие-то m − n из заданных образующихпорождать свободную подгруппу? Р.Линдон (R. Lindon)Да, будут (Н. С. Романовский, Алгебра и логика, 16 (1977), 88–97).

5.32. Пусть p — простое число, C — класс сопряженных p-элементов конечнойгруппы G, и пусть для любых элементов x, y из C произведение xy−1 являетсяp-элементом. Будет ли подгруппа, порожденная классом C, примарной?

В.Д. МазуровДа, будет (при p > 2: W. Xiao, Sci. in China, 34, 9 (1991), 1025–1031; при p = 2:В.И. Зенков, в кн. Algebra. Proc. III Intern. Conf. on Algebra, Krasnoyarsk, August23–28, 1993, De Gruyter, Berlin, 1996, 297–302).

5.34. Пусть o — коммутативное кольцо с единицей и обратимым элементом 2, непорождаемое делителями нуля. Существуют ли нестандартные автоморфизмыGLn(o) при n > 3? Ю. И.МерзляковНет, не существуют (В. Я.Блощицын, Алгебра и логика, 17 (1978), 639–642).

5.40. Пусть G — счетная группа, действующая на множестве Ω. Предположим,что G является k-транзитивной для любого конечного k и не содержит нетриви-альных подстановок с конечным носителем. Верно ли, что Ω можно отождествитьс рациональной прямой Q, на которой G действует как группа автогомеоморфиз-мов? П.Нойман (P.M.Neumann)Нет, не верно (A. H.Mekler, J. London Math. Soc., 33 (1986), 49–58).

5.41. В каждой ли неединичной конечной группе, свободной в некотором много-образии, есть неединичная абелева нормальная подгруппа? А.Ю. ОльшанскийДа, в каждой (mod CFSG). Иначе в контрпримереG централизатор произведенияE всех минимальных нормальных подгрупп тривиален и в фактор-группе G/Eесть элемент порядка m, где m — максимум порядков 2-элементов группы G.По теореме 1 из (M. Aschbacher, P.B. Kleidman, M. W. Liebeck, Math. Z., 208, 3(1991), 401–409), доказанной с использованием CFSG, в G есть элемент порядка2m, что противоречит выбору m. (С.А. Сыскин, письмо от 20.8.1992.)

5.43. Существует ли разрешимое многообразие групп, не порождаемое своимиконечными подгруппами? А.Ю. ОльшанскийДа, существует (Ю. Г.Клейман, Тр. Моск. мат. об-ва, 44 (1982), 62–108).

Архив 171

5.46. Всякая ли рекурсивно определенная разрешимая группа вкладываетсяв группу, конечно определенную в многообразии всех n-ступенно разрешимыхгрупп при подходящем выборе n? В.Н. РемесленниковДа, всякая (Г.П.Кукин, ДАН СССР, 251 (1980), 37–39).

5.49. а) Верно ли, что группа Am,n всех автоморфизмов свободной n-ступенноразрешимой группы ранга n конечно порождена при любых m, n?

б) Верно ли, что любой автоморфизм из Am,n индуцируется некоторым авто-морфизмом из Am,n+1? В.Н. Ремесленникова) Нет, не верно: группа A3,2 не конечно порождена, хотя при m = 3 все Am,2

конечно порождены (S. Bachmuth, H.Y. Mochizuki, Trans. Amer. Math. Soc., 270(1982), 693–700; 292 (1985), 81–101).б) Нет, не верно (V. Shpilrain, Int. J. Algebra and Comput., 1, 2 (1991), 177–184).

5.50. Существует ли конечная группа, множество квазитождеств которой не име-ет независимого базиса? Д.М. СмирновДа, существует (А. Н. Федоров, Сиб. мат. ж., 21, 6 (1980), 117–131).

5.51. Обладает ли независимым базисом квазитождеств свободная неабелевагруппа? Д.М. СмирновДа, обладает (А. И.Будкин, Мат. заметки, 31 (1982), 817–826).

5.53. (П.Скотт). Пусть p, q, r — различные простые числа. Доказать, что свобод-ное произведение G = Cp ∗Cq ∗Cr циклических групп порядков p, q, r не являетсянормальным замыканием одного элемента. По лемме 3.1 из (J. Wiegold, J. Austral.Math. Soc., 17, 2 (1974), 133–141) любой разрешимый и любой конечный образгруппы G является нормальным замыканием одного элемента.

Дж.Уайголд (J. Wiegold)Доказано (J. Howie, J. Pure Appl. Algebra, 173, 2 (2002), 167–176).

5.56. б) Существует ли локально нильпотентная группа простого периода, совпа-дающая со своим коммутантом (и потому не имеющая максимальных подгрупп)?

Дж.Уайголд (J. Wiegold)Да, существует. Каждое неразрешимое многообразие V содержит нетривиаль-ную группу, совпадающую со своим коммутантом, — прямой предел спектраF

φ→ Fφ→ . . ., где F — свободная группа многообразия V на свободных порожда-

ющих x1, x2, . . ., а φ — гомоморфизм, заданный отображением xi → [x2i−1, x2i].Как показано в (Ю. П. Размыслов, Алгебра и логика, 10 (1971), 33–44), костри-кинское многообразие локально нильпотентных групп простого периода p > 5неразрешимо. (Е. И.Хухро, И.В. Львов, письмо от 19.6.1976.) То же доказанотакже в (Ю.А. Колмаков, Мат. заметки, 35, 5 (1984), 735–738). Пример,отвечающий на вопрос, построен также в (M. R. Vaughan-Lee, J. Wiegold, Bull.London Math. Soc., 13, 1 (1981), 45–46).

5.60. Счетна ли произвольная разрешимая группа с условием минимальностидля нормальных подгрупп? Б.Хартли (B. Hartley)Нет, не всегда (B. Hartley, Proc. London Math. Soc., 33 (1977), 55–75).

172 Архив

5.61. (Известный вопрос). Имеет ли произвольная несчетная локально конечнаягруппа только один конец? Б.Хартли (B. Hartley)Да, только один (D.Holt, Bull. London Math. Soc., 13 (1981), 557–560).

5.62. Будет ли локально конечной группа, содержащая бесконечные абелевы под-группы, при условии, что все они дополняемы в ней? С.Н. ЧерниковНет, не всегда (Н. С.Черников, Мат. заметки, 28 (1980), 665–674).

5.63. Доказать, что конечная группа непроста, если она содержит два неединич-ных элемента, индексы централизаторов которых взаимно просты. С.А. ЧунихинДоказано mod CFSG (Л. С.Казарин, в сб. Исследования по теории групп, Сверд-ловск, 1984, 81–99).

5.64. Пусть G — конечная группа, являющаяся произведением подгрупп A1 и A2.Доказать, что если Ai содержит нильпотентную подгруппу индекса 6 2, i = 1, 2,то G разрешима. Л.А.ШеметковДоказано (Л. С.Казарин, Мат. сб., 110 (1979), 51–65).

5.68. Пусть G — конечно определенная группа, имеющая полиномиальный роств смысле Милнора. Показать, что в G разрешима проблема равенства слов.

П.Шупп (P. Schupp)Показано (M. Gromov, Publ. Math. IHES, 53 (1981), 53–73).

5.69. Верно ли, что всякий решеточный изоморфизм группы без кручения, несодержащей циклических нормальных подгрупп, отличных от единичной, инду-цируется групповым изоморфизмом? Б. В.ЯковлевНет, не верно (A. Yu.Ol’shanskiı, C. R. Acad. Bulgare Sci., 32 (1979), 1165–1166).

6.4. Группа G называется группой типа (FP )∞, если тривиальный G-модуль Zимеет резольвенту, состоящую из конечно порожденных проективных G-моду-лей. Верно ли, что каждая группа без кручения типа (FP )∞ имеет конечнуюкогомологическую размерность? Р.Бири (R. Bieri)Нет, не верно (K. S. Brown, R.Geoghegan, Invent. Math., 77 (1984), 367–381).

6.6. Пусть P,Q — подстановочные представления конечной группы G с одним итем же характером. Предположим, что P (G) — примитивная группа подстановок.Будет ли Q(G) обязательно примитивной? Это верно, если G разрешима.

Х.Виландт (H. Wielandt)Нет, не всегда (mod CFSG) (R. M. Guralnick, J. Saxl, in: Groups, Combinatorics andGeometry, Proc. Durham, 1990, Cambridge Univ. Press, 1992, 364–367).

6.7. Пусть P — конечная 2-группа. Существует ли такая характеристическаяподгруппа L(P ) группы P , что L(P ) нормальна в H для любой конечнойгруппы H, которая удовлетворяет следующим условиям: 1) P — силовская2-подгруппа в H, 2) H является S4-свободной и 3) CH(O2(H)) 6 O2(H)?

Дж.Глауберман (G. Glauberman)Да, существует (B. Stellmacher, Israel J. Math., 94 (1996), 367–379).

Архив 173

6.8. Можно ли финитно аппроксимируемую локально нормальную группу таквложить в декартово произведение конечных групп, чтобы при этом вложениикаждый элемент группы имел не более конечного числа центральных проекций?

Ю. М.ГорчаковДа, можно (M. J. Tomkinson, Bull. London Math. Soc., 13 (1981), 133–137).

6.12. а) Счетна ли метабелева группа, удовлетворяющая слабому условию ми-нимальности для нормальных подгрупп?

б) Будет ли такая группа минимаксной, если она не имеет кручения?Д.И. Зайцев

а) Да, счетна, б) Да, будет (Д.И. Зайцев, Л. А. Курдаченко, А.В. Тушев, Алгебраи логика, 24 (1985), 631–666).

6.13. Верно ли, что если неабелева силовская 2-подгруппа конечной группы Gимеет нетривиальный прямой множитель, то группа G непроста?

А.С. КондратьевДа, верно mod CFSG (В.В. Кабанов, А. С.Кондратьев, Силовские 2-подгруппыконечных групп (обзор), ИММ УрО АН СССР, Свердловск, 1979).

6.14. Является ли локально конечной решетка всех локально конечных много-образий групп? решетка всех многообразий групп? А.В. КузнецовНет, не является (М. И.Анохин, Изв. РАН, сер. мат., 63, 4 (1999), 19–36).

6.15. Назовем многообразие предлокально конечным, если оно не локально ко-нечно, но все его собственные подмногообразия локально конечны. Пример —многообразие абелевых групп. Сколько существует предлокально конечных мно-гообразий групп? А.В. КузнецовТаких многообразий континуум (П.А. Кожевников, О многообразиях групп боль-шого нечетного периода, Деп. 1612-В00, ВИНИТИ, М., 2000).

6.16. Назовем многообразие бедным, если число его подмногообразий не болеечем счетно. Сколько существует бедных многообразий групп? А.В. КузнецовТаких многообразий континуум (П. А.Кожевников, О многообразиях группбольшого нечетного периода, Деп. 1612-В00, ВИНИТИ, М., 2000; S.V. Ivanov,A.M. Storozhev, Contemp. Math., 360 (2004), 55–62).

6.17. Всякое ли многообразие групп порождается теми своими конечно порож-денными группами, для каждой из которых проблема равенства разрешима?

А.В. КузнецовНет, не всякое (Ю. Г.Клейман, Изв. АН СССР, сер. мат., 47 (1983), 37–74).

6.18. (Известный вопрос). Аппроксимируется ли свободная нециклическая груп-па классом 2-порожденных групп, порождающим многообразие всех групп?

В.М.ЛевчукНет, не всегда (С.В. Иванов, Геометрические методы в изучении групп с задан-ными подгрупповыми свойствами, канд. дисс., МГУ, М., 1988).

174 Архив

6.19. Пусть R — нильпотентное ассоциативное кольцо. Всегда ли равносильныследующие два утверждения для подгруппы H присоединенной группы коль-ца R: 1) H — нормальная подгруппа, 2) H — идеал группоида R относительнолиева умножения? В.М.ЛевчукНет, не всегда. Пусть R — свободная нильпотентная индекса 3 ассоциативнаяалгебра над F2 на свободных порождающих x, y. Пусть S — подалгебра, порож-денная элементами [x, y2] = x∗y2, [x, xy] = x∗ (xy) = x(x∗y), [x, yx] = x∗ (yx) =(x∗y)x, где [a, b] обозначает коммутатор в присоединенной группе с умножениемa b = a+ b+ab, а a ∗ b = ab− ba — лиево умножение. Пусть M,N — подалгебры,порожденные S и элементами x ∗ y и [x, y] соответственно. Минимальная под-группа из (R, ), содержащая x и являющаяся идеалом группоида (R, ∗), равна⟨x⟩ M = ⟨x⟩+M , где ⟨x⟩ = 0, x, x2, x+ x2 + x3, а минимальная нормальнаяподгруппа, содержащая x, равна ⟨x⟩N = ⟨x⟩+N . Ни одна из них не содержитсяв другой. (Е. И.Хухро, письмо от 23.7.1979.)

6.20. Существует ли сверхразрешимая группа нечетного порядка, все автомор-физмы которой внутренние? В.Д. МазуровДа, существует (B. Hartley, D. J. S. Robinson, Arch. Math., 35 (1980), 67–74).

6.22. Построить косу, принадлежащую коммутанту группы кос и не являющуюсякоммутатором. Г.С. МаканииПусть x = σ1, y = σ2 — стандартные порождающие группы кос B3; тогда коса(xyxyx)12(xy)−12(xyx)−12 лежит в коммутанте группы B3, но не является комму-татором (Ю. С.Семенов, Тезисы 10-го Всесоюз. симп. по теории групп, Минск,1986, с. 207).

6.23. КосаK группы кос Bn+1 называется гладкой, если удаление любой из нитейиз K превращает K в косу, равную 1 в Bn. Известно, что гладкие косы образуютсвободную подгруппу. Описать порождающие этой подгруппы. Г.С. МаканинОписаны (D. L. Johnson, Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 92 (1982), 425–427).

6.25. (Известный вопрос). Указать алгоритм, вычисляющий ранг бескоэффици-ентных уравнений в свободной группе. Рангом уравнения называется максималь-ный ранг свободной подгруппы, порождаемой решением. Г.С. МаканинУказан (А. А.Разборов, Изв. АН СССР, сер. мат., 48 (1984), 779–832).

6.31. а) Пусть G — конечно порожденная финитно аппроксимируемая груп-па, d(G) — наименьшее число ее порождающих, δ(G) — наименьшее число то-пологических порождающих проконечного пополнения группы G. Всегда лиδ(G) = d(G)? О.В. МельниковНет, не всегда (Г.А. Носков, Мат. заметки, 33 (1983), 489–498).

Архив 175

6.34. Пусть o — ассоциативное кольцо с единицей. Система его идеалов A =Aij | i, j ∈ Z называется ковром идеалов, если AikAkj ⊆ Aij для всех i, j, k ∈ Z.Если o коммутативно, то Γn(A) = x ∈ SLn(o) | xij ≡ δij(modAij) — группа; онаназывается (специальной) конгруэнц-подгруппой по модулю ковра A («ковроваяподгруппа»). При достаточно общих условиях в (Ю. И. Мерзляков, Алгебра и ло-гика, 3, 4 (1964), 49–59; см. также М. И.Каргаполов, Ю. И.Мерзляков, Основытеории групп, изд. 3-е, М., Наука, 1982, с. 145) доказано, что в группах GLn иSLn взаимный коммутант конгруэнц-подгрупп по модулю ковра идеалов, сдви-нутого на k и l шагов, есть снова конгруэнц-подгруппа по модулю того же ковра,сдвинутого на k+l шагов. Доказать аналогичные теоремы а) для ортогональныхгрупп, б) для унитарных групп. Ю. И.МерзляковДоказаны (В.М. Левчук, ДАН СССР, 313, 4 (1990), 799–802; Укр. мат. ж.,44, 6 (1992), 786–795).

6.35. (Р.Бири, Р.Штребель). Пусть o — коммутативное кольцо с единицей, от-личной от нуля. Группа G называется почти конечно определенной над o, еслиона обладает представлением G = F/R, где F — конечно порожденная свободнаягруппа и oG-модуль R/[R,R]⊗Z o конечно порожден. Легко видеть, что каждаяконечно определенная группа G почти конечно определена над Z, а потому и надпроизвольным кольцом o. Верно ли обратное? Ю. И.МерзляковНет, не верно (M. Bestvina, N.Brady, Invent. Math., 129, 3 (1997), 445–470).

6.36. (Дж.Гроссман). Диаграммой нильпотентного пополнения группы G назы-вается диаграмма групп и гомоморфизмов G/γ1G ← G/γ2G ← · · · , где γi —взятие i-го централа, стрелки — естественные гомоморфизмы. Легко видеть, чтокаждая диаграмма нильпотентного пополнения G1 ← G2 ← · · · должна бытьγ-диаграммой, т. е. все последовательности 1 → γsGs+1 → Gs+1 → Gs → 1,s = 1, 2, . . ., должны быть точными. Существуют ли γ-диаграммы, не являющи-еся диаграммами нильпотентного пополнения? Ю. И.МерзляковДа, существуют (Н. С.Романовский, Сиб. мат. ж., 26, 4 (1985), 194–195).

6.37. (X.Виландт, О. Кегель). Будет ли конечная группа G разрешимой, если вней существуют разрешимые подгруппы A,B,C с условиемG = AB = AC = BC?

В.С.МонаховДа, будет (mod CFSG) (L. S. Kazarin, Commun. Algebra, 14 (1986), 1001–1066).

6.42. Пусть H — сильно 3-вложенная подгруппа конечной группы G. Предпо-ложим, что Z(H/O3′(H)) содержит элемент порядка 3. Будет ли Z(G/O3′(G))содержать элемент порядка 3? Н. Д.ПодуфаловДа, будет (mod CFSG) (W. Xiao, Sci. China (ser. A), 33, 10 (1990), 1172-1181).

6.43. Обладает ли базисом от конечного числа переменных множество квазитож-деств, истинных в классе всех конечных групп? Д.М. СмирновНет, не обладает (А. К.Румянцев, Алгебра и логика, 19 (1980), 458–479).

6.44. Построить конечно порожденную бесконечную простую группу, не порож-даемую двумя элементами. Дж.Уайголд (J. Wiegold)Построена (В.С. Губа, Сиб. мат. ж., 27, 5 (1986), 50–67).

176 Архив

6.46. Если G — d-порожденная группа без нетривиальных конечных гомоморф-ных образов (в частности, если G — бесконечная d-порожденная простая группа)для некоторого целого числа d > 2, то должна ли G × G быть d-порожденнойгруппой? Дж.Уилсон (J. S.Wilson)Нет, не должна (V. N. Obraztsov, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 123 (1993), 839–855).

6.52. Пусть f — локальный экран формации, содержащей все конечные ниль-потентные группы, A — некоторая группа автоморфизмов конечной группы G.Пусть A действует f -стабильно на цоколе группы G/Φ(G). Верно ли, что A дей-ствует f -стабильно на Φ(G)? Л.А.ШеметковНет, не всегда (А. Н.Скиба, Сиб. мат. ж., 34, 5 (1993), 181–187).

6.53. Группа G вида G = F h H называется группой Фробениуса (или фробе-ниусовой группой) с ядром F и дополнением H, если H ∩ Hg = 1 для любогоg ∈ G \ H и F \ 1 = G \

∪g∈G

Hg. Что можно сказать о ядре и дополнении

фробениусовой группы? В частности, какие группы могут выступать в качествеядра? дополнения? В. П.ШунковЛюбая группа вложима в ядро некоторой группы Фробениуса, и любая правоупо-рядочиваемая группа может быть дополнением в некоторой группе Фробениуса(В.В. Блудов, Сиб. мат. ж., 38, 6 (1997), 1219–1221).

6.54. Построить пример бесконечной конечнопорожденной группы Фробениуса.В. П.Шунков

Построена (А.И. Созутов, Сиб. мат. ж., 35, 4 (1994), 893–901).

6.57. Группа G называется (сопряженно, p-сопряженно) бипримитивно конеч-ной, если для любой ее конечной подгруппы H в NG(H)/H любые два элементапростого порядка (любые два сопряженных элемента, элемента простого поряд-ка p) порождают конечную подгруппу. Во всякой ли сопряженно бипримитивноконечной группе G периодические элементы составляют подгруппу — периоди-ческую часть группы G? В. П.ШунковНет, не во всякой (А.А. Череп, Алгебра и логика, 26 (1987), 518–521).

6.58. Являются ли сопряженно бипримитивно конечными:а) p-группы Алешина,б) 2-порожденные p-группы Голода? В. П.Шунков

а) Не всегда (А. В. Рожков, Мат. сб., 129 (1986), 422–433).б) Не всегда (А. В. Тимофеенко, Алгебра и логика, 24 (1985), 211–225).

6.63. Бесконечная группа G называется монстром первого рода, если она обла-дает элементом порядка > 2 и для любого такого элемента a и любой собствен-ной подгруппы H группы G в разности G \H найдется элемент g, для которого⟨a, ag⟩ = G. Классифицировать монстры первого рода с конечными собственнымиподгруппами. В. П.ШунковЦентр такой группы совпадает с множеством элементов порядка 6 2 (В.П. Шун-ков, Алгебра и логика, 7, 1 (1968), 113–121). Бесконечная группа, у которойвсе подгруппы конечны и центр совпадает с множеством элементов порядка 6 2,будет монстром первого рода (А.И. Созутов, Алгебра и логика, 36, 5 (1997),573–598). Существует континуально много таких групп (А.Ю. Ольшанский, Гео-метрия определяющих соотношений в группах, М., Наука, 1989).

Архив 177

6.64. ГруппаG называется монстром второго рода, если она обладает элементомпорядка > 2 и для любого такого элемента a и любой собственной подгруппы Hгруппы G существует такое бесконечное подмножество Ma,H элементов, сопря-женных с a при помощи элементов из G \H, что ⟨a, c⟩ = G для всех c ∈ Ma,H .Существуют ли смешанные (т. е. содержащие кручение и элементы бесконечно-го порядка) монстры второго рода? Существуют ли монстры второго рода безкручения? В.П.ШунковДа, существуют, в обоих случаях (А. Ю.Ольшанский, Геометрия определяющихсоотношений в группах , Наука, М., 1989).

7.1. Известно, что свободная периодическая группа B(m, p) простого периодаp > 665 обладает многими свойствами, аналогичными свойствам абсолютно сво-бодных групп (см. С.И. Адян, Проблема Бернсайда и тождества в группах, М.,Наука, 1975). Верно ли, что все нормальные подгруппы группы B(m, p) не явля-ются свободными периодическими группами? С.И. АдянДа, верно для всех достаточно больших p (A.Yu.Ol’shanskii, in: Groups, rings, Lieand Hopf algebras, Int. Workshop, Canada, 2001, Kluwer, Dordrecht, 2003, 179–187);это также доказано для всех простых p > 1003 (В.С. Атабекян, Фунд. прикл.матем., 15, 1 (2009), 3–21).

7.2. Доказать, что свободные периодические группы B(m,n) нечетного периодаn > 665 с m > 2 порождающими неаменабельны и случайные блуждания на этихгруппах не обладают свойством возвратности. С.И. АдянОба утверждения доказаны (С. И. Адян, Изв. АН СССР, сер. мат., 46 (1982),1139–1149).

7.4. Верно ли, что конечно порожденная группа с квадратичным ростом почтиабелева? В.В. БеляевДа, верно (M.Gromov, Publ. Math. IHES, 53 (1981), 53–73; J.A. Wolf, Differ.Geometry, 2 (1968), 421–446).

7.7. (Известный вопрос). Конечна ли группа G =⟨a, b | a9 = 1, ab = b2a2

⟩? Эта

группа содержит F (2, 9) — единственную из групп Фибоначчи, о которой поканеизвестно, конечна она или бесконечна. Р.Бернс (R. G. Burns)Нет, она бесконечна, поскольку бесконечна F (2, 9) (M.F. Newman, Arch. Math.,54, 3 (1990), 209–212).

7.8. Пусть H — нормальная подгруппа группы G, причем и H, и G — подпря-мые произведения одних и тех же n групп G1, . . . , Gn. Верно ли, что ступеньнильпотентности группы G/H растет с ростом n? Ю. М.ГорчаковДа, верно (Е. И.Хухро, Сиб. мат. ж., 23, 6 (1982), 178–180).

7.12. Найти все группы с холловой 2′-подгруппой. Р.Грайс (R.Griess)Найдены (mod CFSG) (Z. Arad, M. B.Ward, J. Algebra, 77 (1982), 234–246).

7.16. Если H — собственная подгруппа конечной группы G, то всегда ли суще-ствует примарный элемент, не сопряженный с элементом из H?

Р.Грайс (R.Griess)Да, всегда (mod CFSG) (B. Fein, W. M.Kantor, M. Schacher, J. Reine Angew. Math.,328 (1981), 39–57).

178 Архив

7.24. Назовем группу бедной, если порождаемое ею многообразие имеет не болеечем счетное число подмногообразий. Существует ли конечно порожденная беднаягруппа с неразрешимой проблемой равенства? А.В. КузнецовДа, существует, например, свободная группа многообразия N3A. Согласно(А.Н. Красильников, Изв. АН СССР, сер. мат., 54 (1990), 1181–1195) любоеподмногообразие из N3A имеет конечный базис тождеств; поэтому этих под-многообразий только счетное число. Проблема же равенства неразрешима по(О. Г.Харлампович, Изв. ВУЗов, мат., 1988, 11 (318), 82–84).

7.30. Какие конечные простые группы порождаются тремя инволюциями, две изкоторых перестановочны? В.Д. МазуровОтвет известен mod CFSG. Для знакопеременных групп и групп лиева типа см.(Я.Н. Нужин, Алгебра и логика, 36, 4 (1997), 422–440). Для спорадическихгрупп Б.Л. Абашеев, А.В. Ершов, Н. С. Невмержицкая, С. Нортон, Я. Н. Нужин,А.В. Тимофеенко показали, что группы M11, M22, M23, McL не порождаютсянужным образом, а остальные порождаются; см. подробнее (В.Д. Мазуров, Сиб.матем. ж., 44, 1 (2003), 193–198).

7.37. б) Проконечную группу назовем строго полной, если всякая ее подгруп-па конечного индекса открыта. Известно (B. Hartley, Math. Z., 168, 1 (1979),71–76), что строго полными являются конечно порожденные проконечные груп-пы, обладающие конечным нормальным рядом с пронильпотентными фактора-ми. Будет ли строго полной конечно порожденная проразрешимая группа?

О.В. МельниковДа, будет (D. Segal, Proc. London Math. Soc. (3), 81 (2000), 29–54).

7.42. Группа U называется Fq-группой, q ∈ π(U), если для всякой ее конечнойподгруппы K и всяких двух элементов a, b порядка q из T = NU (K)/K суще-ствует такой элемент c ∈ T , что группа ⟨a, bc⟩ конечна. Если всякая подгруппаH группы U является Fq-группой для любого q ∈ π(H), то U называется F∗-группой (В. П.Шунков, 1977).

а) Всякая ли примарная F∗-группа с условием минимальности для подгрупппочти абелева?

б) Обладает ли полной частью F∗-группа с условием минимальности для (абе-левых) подгрупп? А. Н.ОстыловскийНет. Контрпримером для обоих вопросов служит бесконечная группа Ольшан-ского, все собственные подгруппы которой сопряжены и имеют простой порядок(А.Ю. Ольшанский, Изв. АН СССР, сер. матем., 44 (1980), 309–321).

7.44. Обладает ли дополнением нормальная подгруппа H в конечной группе G,если каждая силовская подгруппа из H выделяется прямым сомножителем внекоторой силовской подгруппе группы G? В.И.СергиенкоДа, обладает, mod CFSG (W. Xiao, J. Pure Appl. Algebra, 87, 1 (1993), 97–98).

7.48. (Известный вопрос). Пусть в конечной группе G сопряжены любые дваэлемента одного порядка. Верно ли, что |G| 6 6? С.А. СыскинДа, верно (mod CFSG) (W.Feit, G. Seitz, Illinois J. Math., 33, 1 (1988), 103–131;см. также R. W. van der Waall, A.Bensaıd, Simon Stevin, 65 (1991), 361–374).

Архив 179

7.53. Пусть p — простое число. Тождество x · xφ · · ·xφp−1

= 1 из определениярасщепляющего автоморфизма (см. Архив, 1.10) задает многообразие групп соператорами ⟨φ⟩, состоящее из всех групп, допускающих расщепляющий авто-морфизм порядка p. Справедлив ли для этого многообразия аналог теоремы Ко-стрикина, т. е. верно ли, что локально нильпотентные группы из него составляютподмногообразие? Е.И. ХухроДа, справедлив (Е. И.Хухро, Мат. сб., 130 (1986), 120–127).

7.57. Порождающее множество конечно определенной группы G, состоящее изнаименьшего возможного числа элементов d(G), назовем базой группы G. ПустьrM (G) — наименьшее число соотношений, необходимых для задания группы G вбазе M , и r(G) — минимум чисел rM (G) по всем базам M группы G. Пусть G1 иG2 — любые нетривиальные группы. Верно ли, что

б) rM1∪M2(G1 ∗ G2) = rM1G1 + rM2(G2) для любых баз M1 и M2 групп G1 иG2 соответственно,

в) r(G1 ∗G2) = r(G1) + r(G2)? В.А.Чуркинб) Нет, не всегда, в) нет, не верно (C. Hog, M. Lusztig, W. Metzler, in: Presentationclasses, 3-manifolds and free products (Lecture Notes in Math., 1167), Springer, 1985,154–167).

8.6. (М.Дэй). Совпадает ли класс аменабельных групп с классом элементарныхгрупп, т. е. групп, получающихся из коммутативных и конечных при помощи сле-дующих операций: 1) взятие подгруппы, 2) взятие факторгруппы, 3) групповоерасширение, 4) объединение направленной по включению системы групп?

Р.И. ГригорчукНет, не совпадает (Р.И. Григорчук, ДАН СССР, 271 (1983), 30–33).

8.7. Существует ли неаменабельная конечно определенная группа, не содержа-щая свободных подгрупп ранга 2? Р.И. ГригорчукДа, существует (A.Yu.Ol’shanskii, M.V. Sapir, Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci.,96 (2002), 43–169).

8.8. (Д.В. Аносов), а) Существует ли конечно порожденная группа G, отличнаяот циклической и содержащая такой элемент a, что всякий элемент группы Gсопряжен с некоторой степенью элемента a? Р.И. ГригорчукДа, существует (В. С. Губа, Изв. АН СССР, сер. мат., 50 (1986), 883–924).

8.10. б) Конечна или бесконечна группа G =⟨a, b | an = 1, ab = b3a3

⟩при n = 9 и

n = 15? Все другие случаи известны. См. Архив, 7.7. Д.Джонсон (D. L. Johnson)б) Бесконечна (при n = 15: D. J. Seal, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A, 92 (1982),181–192; при n = 9 (и 15): M. I. Prishchepov, Commun. Algebra, 23, 13 (1995),5095–5117).

8.12. б) Пусть D0 означает класс конечных групп нулевой дефективности, тоесть имеющих копредставление ⟨X | R⟩ с |X| = |R|. Являются ли центральныефакторы нильпотентных D0-групп 3-порожденными?

Д.Джонсон (D. L. Johnson), Э. Робертсон (E. F.Robertson)Нет, не всегда (G. Havas, E. F.Robertson, Commun. Algebra, 24 (1996), 3483–3487).

180 Архив

8.13. Пусть G — простая алгебраическая группа над алгебраически замкнутымполем характеристики p и пусть G — алгебра Ли группы G. Конечно ли числоорбит нильпотентных элементов алгебры G при присоединенном действии груп-пы G? Это верно, если p не слишком мало (т. е. p не является «плохим числом»для G). Р.Картер (R. W. Carter)Да, конечно (J. N. Spaltenstein; см. параграф 5.11 книги R. W.Carter, Finite groupsof Lie Type, John Wiley, 1985).

8.14. а) Предположим, что G — экзистенциально замкнутая группа из классаLNp, состоящего из всех локально конечных p-групп. Верно ли, что G автоморф-но проста? Это верно для счетной группы G из LNp (Berthold Maier, Freiburg);более того, в действительности, с точностью до изоморфизма существует толькоодна такая счетная локально конечная p-группа. О. Кегель (O.H. Kegel)Нет, в общем случае не верно (S.R. Thomas, Arch. Math., 44 (1985), 98–109).

8.17. Замкнут ли относительно взятия нормальных подгрупп класс RN -групп,т. е. групп, все гомоморфные образы которых обладают свойством RN?

Ш.С. КемхадзеНет, не замкнут (J. S.Wilson, Arch. Math., 25 (1974), 574–577).

8.18. Всякая ли счетная абелева группа является вербальной подгруппой неко-торой конечно порожденной (разрешимой) относительно свободной группы?

Ю. Г.КлейманДа, всякая (A. Storozhev, Commun. Algebra, 22, 7 (1994), 2677–2701).

8.20. Какова мощность множества всех многообразий, покрывающих абелево(нильпотентное? кроссово? наследственно конечно базируемое?) многообразиегрупп? Вопрос связан с 4.46 и 4.73. Ю. Г.КлейманИмеется континуум многообразий, покрывающих многообразие A абелевыхгрупп, так же как и многообразие An абелевых групп достаточно большогонечетного периода n (П.А. Кожевников, О многообразиях групп большого нечет-ного периода, Деп. 1612-В00, ВИНИТИ, М., 2000; S.V. Ivanov, A.M. Storozhev,Contemp. Math., 360 (2004), 55–62).

8.22. Если (неабелева) конечная группа G содержится в объединении A∨B двухмногообразий групп A, B, то должны ли существовать такие конечные группыA ∈ A, B ∈ B, что G изоморфна секции прямого произведения A×B?

Л.Ковач (L. G. Kovacs)Нет, не должны (A. Storozhev, Bull. Austral. Math. Soc., 51, 2 (1995), 287–290).

8.26. Многообразие назовем проходимым, если существует неуплотняемая цепьего подмногообразий, вполне упорядоченная по включению. Например, всякоемногообразие, порождаемое его конечными группами, проходимо — это легковытекает из (Х. Нейман, Многообразия групп, М., Мир, 1969, гл. 5). Существуютли непроходимые многообразия групп? А В. КузнецовДа, существуют (М. И. Анохин, Вестник МГУ, сер. 1, мат. мех., 1996, 1, 88–89).

Архив 181

8.28. Для всякого ли конечно базируемого квазимногообразия групп порождае-мое им многообразие групп тоже конечно базируемо? А.В. КузнецовНет, не для всякого (М.И. Анохин, Мат. сб., 189, 8 (1998), 3–12).

8.32. Пусть G — такая конечно порожденная группа, что для любого множестваπ простых чисел и любой подгруппы H из G выполняется условие: если G/

⟨HG

⟩— конечная π-группа, то |G : H| — конечное π-число. Нильпотентна ли группа G?Для конечно порожденных разрешимых групп ответ положительный.

Дж.Леннокс (J. C. Lennox)Нет, не всегда (V.N. Obraztsov, J. Austral. Math. Soc. (Ser. A), 61, 2 (1996),267–288).

8.35. Перечислить классы сопряженных максимальных подгрупп в простых спо-радических группах а) F ′24; б) F2. В.Д. Мазурова) Перечислены mod CFSG (S. A. Linton, R. A. Wilson, Proc. London Math. Soc.,63, 1 (1991), 113–164).б) Перечислены mod CFSG (R. A. Wilson, J. Algebra, 211, 1 (1999), 1–14).

8.37. (Р. Грайс). Вложима ли в качестве секции:а) M11 в O′N?б) M24 в F2?; J1 в F1 и в F2? J2 в F23, в F ′24 и в F2? В.Д. Мазуров

а) Да, вложима (А.А. Иванов, С. В.Шпекторов, Тезисы 18-й Всесоюз. алгебр.конф., Ч. 1, Кишинев, 1985, с. 209; S. Yoshiara, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Ser. IA,32 (1985), 105–141).б) Нет, не вложимы (R. A. Wilson, Bull. London Math. Soc., 18 (1986), 349–350).

8.39. б) Описать неприводимые подгруппы групп SL6(q). В.Д. МазуровОписаны mod CFSG (А. С.Кондратьев, Алгебра и логика, 28 (1989), 181–206;P.Kleidman, Low-dimensional finite classical groups and their subgroups, Harlow,Essex, 1989).

8.46. Описать автоморфизмы симплектической группы Sp2n над произвольнымкоммутативным кольцом. Гипотеза: все они стандартны. Ю. И.МерзляковГипотеза доказана (В. М. Петечук, Алгебра и логика, 22 (1983), 551–562).

8.47. Существуют ли конечно определенные разрешимые группы, в которых невыполняется условие максимальности для нормальных подгрупп, хотя все цен-тральные секции конечно порождены? Ю. И.МерзляковДа, существуют (Ю. В.Сосновский, Мат. заметки, 36 (1984), 171–177).

8.48. Будет ли разрешимой конечная группа, представимая в виде произведениядвух разрешимых подгрупп нечетных индексов? В.С.МонаховДа, будет (mod GFSG) (L. S. Kazarin, Commun. Algebra, 14 (1986), 1001–1066).

8.49. Пусть G — p-группа, действующая транзитивно в качестве группы подста-новок множества Ω, и пусть F — поле характеристики p. Рассмотрим FΩ какFG-модуль. Верно ли, что убывающий и возрастающий ряды Леви совпадают?

П.Нойман (P.M.Neumann)Да, верно (J. L.Alperin, Quart. J. Math. Oxford (2), 39, 154 (1988), 129–133).

182 Архив

8.53. б) Пусть n — достаточно большое нечетное число. Верно ли, что каж-дая нециклическая подгруппа группы B(m,n) содержит подгруппу, изоморфнуюB(m,n)? А.Ю. ОльшанскийДа, верно для всех нечетных n > 1003 (В.С. Атабекян, Изв. РАН, Сер. матем.,73, 5 (2009), 3–36).

8.56. Пусть X — конечное множество, а f — функция, принимающая натураль-ные значения на его подмножествах. Потребуем, чтобы в группе c порождаю-щим множеством X каждая подгруппа ⟨Y ⟩, Y ⊆ X, была нильпотентна ступени6 f(Y ). Верно ли, что свободная относительно этого условия группа Gf не имееткручения? А.Ю. ОльшанскийНет, не верно (В. В.Блудов, В.Ф. Клейменов, Е.В. Хламов, Алгебра и логика, 29, 2 (1990), 139–140).

8.63. Пусть пространство всех замкнутых подгрупп локально компактной груп-пы G σ-компактно в E-топологии. Верно ли, что множество замкнутых неком-пактных подгрупп группы G не более чем счетно? И.В.ПротасовДа, верно (А. Г.Пискунов, Укр. мат. ж., 40 (1988), 803–807).

8.66. Построить примеры финитно аппроксимируемых групп, разделяющие вве-денные В. П.Шунковым классы групп с условием (a, b)-конечности, (слабо) со-пряженно бипримитивно конечных групп и (слабо) бипримитивно конечныхгрупп (см., в частности, 6.57). Нельзя ли извлечь такие примеры из конструкцииЕ.С. Голода? А. И.СозутовПостроены (L.Hammoudi, Nil-algebres non-nilpotentes et groupes periodiques infinis(Doctor thesis), Strasbourg, 1996; А.В. Рожков, Условия конечности в группахавтоморфизмов деревьев (докт. дисс.), Красноярск, 1997; Алгебра и логика, 37, 3 (1998), 338–357).

8.70. Пусть A,B — почти полициклические группы и G = A ∗HB, гдеH — цикли-ческая группа. Является ли группа G финитно аппроксимируемой относительносопряженности? Ч.Тан (C. Y. Tang)Да, является (L. Ribes, D. Segal, P.A. Zalesskii, J. London Math. Soc. (2), 57, 3(1998), 609–628).

8.71. Всякая ли счетная группа, финитно аппроксимируемая относительно со-пряженности, вложима в 2-порожденную группу, финитно аппроксимируемуюотносительно сопряженности? Ч.Тан (C. Y. Tang)Да, всякая (В. А. Романьков, Теоремы вложения для финитно аппроксимируе-мых групп, Препринт 84-515, ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1984).

Архив 183

8.73. Скажем, что конечная группа G разделяет циклические подгруппы, еслидля любых циклических подгрупп A и B группы G найдется такой элемент g ∈ G,что A ∩ Bg = 1. Верно ли, что группа G тогда и только тогда разделяет цик-лические подгруппы, когда в ней нет нетривиальных циклических нормальныхподгрупп? Дж. Томпсон (J. G. Thompson)Нет, не верно. Для p1 = 2, p2 = 5, p3 = 11, p4 = 17 пусть Ri — элементарнаяабелева группа порядка p2i , а φi — регулярный автоморфизм порядка 3 группыRi, i = 1, 2, 3, 4. В прямом произведении R1⟨φ1⟩×R2⟨φ2⟩×R3⟨φ3⟩×R4⟨φ4⟩ пустьG — подгруппа, порожденная всеми Ri и элементами φ2φ3φ4 и φ1φ3φ

−14 . Тогда

в G нет нетривиальных циклических нормальных подгрупп и любая (цикличе-ская) подгруппа порядка 2 · 5 · 11 · 17 пересекается с любой своей сопряженнойнетривиально. (Н. Д. Подуфалов, Тезисы 9-го Всесоюз. симп. по теории групп,М., 1984, 113–114.)

8.76. Дать реалистичную верхнюю оценку для ранга без кручения конечно по-рожденной нильпотентной группы в терминах рангов ее абелевых подгрупп. Бо-лее точно, для каждого целого n обозначим через f(n) наибольшее целое чис-ло h, для которого существует такая конечно порожденная нильпотентная груп-па ранга без кручения h, что ранги без кручения всех ее абелевых подгруппне превосходят n. Легко заметить, что число f(n) ограничено сверху величинойn(n+1)/2. Описать поведение f(n) при больших n. Ограничена ли функция f(n)снизу квадратичной функцией от n? Дж.Уилсон (J. S.Wilson)Да, ограничена (M. V.Milenteva, J. Group Theory, 7, 3 (2004), 403–408).

8.80. Пусть G — локально конечная группа, содержащая черниковскую макси-мальную подгруппу. Является ли G почти разрешимой? Б.Хартли (B. Hartley)Да, является (Б. Хартли, Алгебра и логика, 37, 1 (1998), 101–106).

8.81. Пусть G — конечная p-группа, допускающая автоморфизм α простого по-рядка q, и пусть |CG(α)| 6 n.

а) Если q = p, то найдется ли в G подгруппа, ступень нильпотентности которойне превосходит 2, а индекс ограничен функцией от n?

б) Если q = p, то будет ли G обладать подгруппой, ступень нильпотентностикоторой ограничена функцией от p, а индекс — функцией от n (и, возможно,от q)? Б.Хартли (B. Hartley)а) Нет, не обязательно (Е. И. Хухро, Мат. заметки, 38 (1985), 652–657).б) Да, будет (Е.И. Хухро, Мат. сб., 181, 9 (1990), 1207–1219).

8.84. Скажем, что автоморфизм φ группы G является псевдо-единицей, если длялюбого элемента x ∈ G существует такая конечно порожденная подгруппа Kx

группыG, что x ∈ Kx и φ |Kx является автоморфизмомKx. ПустьG порождаетсяподгруппами H,K и пусть G локально нильпотентна. Пусть φ : G → G — такойэндоморфизм, что φ|H — псевдо-единица H и φ|K — автоморфизм K. Следует лиотсюда, что φ — автоморфизм G? Известно, что φ является псевдо-единицей G,если, дополнительно, φ|K является псевдо-единицей K; известно также, что φ —автоморфизм, если, дополнительно, K нормальна в G. П.Хилтон (P.Hilton)Нет, не следует (А. В.Ягжев, Мат. заметки, 56, 5 (1994), 154–156).

184 Архив

8.87. Найти все те наследственные локальные формации F конечных групп, длякоторых справедливо утверждение: всякая конечная минимальная не F-группабипримарна. Конечная группа называется бипримарной, если ее порядок делитсяточно на два различных простых числа. Л.А.ШеметковНайдены (В.Н. Семенчук, Вопросы алгебры: Изв. Гомельского гос. ун-та, 1 (15)(1999), 92–102).

9.2. Является ли группа G =⟨a, b | al = bm = (ab)n = 1

⟩финитно аппроксимиру-

емой относительно сопряженности? Р.Алленби (R. B. J. T. Allenby)Да, является (B. Fine, G. Rosenberger, Contemp. Math., 109 (1990), 11–18).

9.3. Пусть G — счетная локально конечная группа, не содержащая собственныхподгрупп, изоморфных самой G, и пусть силовские подгруппы группы G конеч-ны. Имеет ли G неединичную конечную нормальную подгруппу? В.В. БеляевДа, имеет (S. D.Bell, Locally finite groups with Cernikov Sylow subgroups, (Ph.D.Thesis), Univ. of Manchester, 1994).

9.12. Может ли разрешимая группа конечного ранга без кручения, не допус-кающая конечного множества порождающих, обладать точным неприводимымпредставлением над конечным полем? Д.И. ЗайцевДа, может (А. В. Тушев, Укр. мат. ж., 42, 10 (1990), 1389–1394).

9.16. (Известный вопрос). Графом простых чисел конечной группыG называетсяграф со множеством вершин π(G) и ребрами, соединяющими пару вершин p, qв том и только том случае, если G содержит элемент порядка pq. Описать всеконечные группы Шевалле над полем характеристики 2 с несвязным графомпростых чисел и найти для них все связные компоненты этого графа.

А.С. КондратьевОписаны и найдены (А. С. Кондратьев, Мат. сб., 180 (1989), 787–797).

9.17. а) Пусть G — локально нормальная финитно аппроксимируемая группа.Вложима ли G в прямое произведение конечных групп, если фактор-группаG/[G,G] разлагается в прямое произведение циклических групп?

Л. А.КурдаченкоНет, не всегда (Л. А.Курдаченко, Мат. заметки, 39 (1986), 494–506).

9.18. Пусть S∗ — наименьший нормальный класс Фиттинга. Существуют ликлассы Фиттинга, которые максимальны в S∗ (по включению)?

Х.Лауш (H. Lausch)Нет, не существуют (Н. Т.Воробьев, ДАН БССР, 35, 6 (1991), 485–487).

9.19. б) Пусть n(X) обозначает минимум индексов собственных подгрупп груп-пы X. Подгруппа A конечной группы G называется широкой, если A — мак-симальный по включению элемент множества X | X — собственная простаяподгруппа группы G и n(X) = n(G). Доказать, не используя CFSG, чтоn(F1) = |F1 : 2F2|, где F1, F2 — простые группы Фишера, 2F2 — расширениегруппы порядка 2 посредством группы F2. В.Д. Мазуровб) Доказано (С. В. Жаров, В. Д.Мазуров, в сб. Математическое программиро-вание и приложения, Екатеринбург, 1995, 96–97).

Архив 185

9.21. Пусть P — максимальная параболическая подгруппа наименьшего индексав конечной группе G лиева типа E6, E7, E8 или 2E6 и X — подгруппа, длякоторой PX = G. Верно ли, что X = G? В.Д. МазуровДа, верно (mod CFSG) (C.Hering, M. W. Liebeck, J. Saxl, J. Algebra, 106, 2(1987), 517–527).

9.26. а) Описать конечные группы 2-локального 3-ранга 1, у которых 3-ранг неменьше 3. А.А. МахневОписаны (А.А. Махнев, Сиб. мат. ж., 29, 6 (1988), 100–110).

9.27. Пусть M — подгруппа конечной группы G, A — абелева 2-подгруппа из M ,и Ag не содержится в M для некоторого g из G. Описать строение группы G приусловии, что ⟨A, Ax⟩ = G для любой подгруппы Ax, x ∈ G, не лежащей в M .

А.А. МахневОписано mod CFSG (В. И. Зенков, Алгебра и логика, 35, 3 (1996), 288–293).

9.30. (Известный вопрос). Конечный набор редукций ui → vi слов над конечнымалфавитом Σ = Σ−1 называется групповым, если дл.ui > дл. vi или дл.ui =дл. vi и ui > vi в словарном упорядочении и каждое слово над Σ приводитсяк единственному редуцированному виду, не зависящему от последовательностивыполнения редукций. Существуют ли групповые наборы редукций с условиемдл. vi 6 1, отличные от 1) наборов тривиальных редукций x−εxε → 1, ε = ±1,2) таблиц умножения xy → z конечных групп и 3) их конечных объединений?

Ю. И.МерзляковДа, существуют (J. Avenhaus, K. Madlener, F.Otto, Trans. Amer. Math. Soc. 297(1986), 427–443).

9.33. (Ф.Кюмих, Х. Шерер). Будет ли замкнутая подгруппа H связной локаль-ной компактной группы G нормальной в G, если HX = HX для каждой замкну-той подгруппы X группы G? Ю.Н.МухинДа, будет (C. Scheiderer, Monatsh. Math., 98 (1984), 75–81).

9.34. (С. Гроссер, У.Херфорт). Существует ли бесконечная компактная p-груп-па, в которой централизаторы всех элементов конечны? Ю.Н.МухинНет, не существует ввиду связи этого вопроса с ослабленной проблемой Бернсай-да (S. K.Grosser, W.N. Herfort, Trans. Amer. Math. Soc., 283, 1 (1984), 211–224)и положительным решением последней (Е.И. Зельманов, Изв. АН СССР, сер.мат., 54, 1 (1990), 42–59; Мат. сб., 182, 4 (1991), 568–592).

9.41. а) Пусть Ω — бесконечное счетное множество. Для k > 2 определим k-сек-цию множества Ω как разбиение Ω в объединение k бесконечных подмножеств.Существует ли транзитивная группа подстановок множества Ω, транзитивная наk-секциях, но интранзитивная на упорядоченных k-секциях?

П.Нойман (P.M.Neumann)Да, существует. Пусть U — неглавный ультрафильтр в P(Ω); положим G = g ∈Sym(Ω) | Fix(g) ∈ U. Нетрудно показать, что группа G транзитивна на k-сек-циях, но не на упорядоченных k-секциях для любого k в диапазоне 2 6 k 6 ℵ0.(P.M.Neumann, письмо от 5.10.1989.)

186 Архив

9.43. а) Указанная в решении 8.73 (Архив) группа G позволяет построить про-ективную плоскость порядка 3 — в качестве прямых надо взять любой класссопряженных подгрупп порядка 2 · 5 · 7 · 11 и добавить естественным образомеще четыре прямых. Аналогично можно построить проективные плоскости по-рядка pn для любого простого p и любого натурального n. Будут ли полученныеплоскости плоскостями Галуа? Н. Д.ПодуфаловНет, не всегда. Ответ утвердительный при n = 1. Но при n > 1 указанные плоско-сти могут и не быть плоскостями Галуа. Например, если существует почти-полеиз pn элементов, то среди указанных плоскостей порядка pn обязательно будути недезарговы плоскости. (Н. Д. Подуфалов, письмо от 24.11.1986.)

9.46. Пусть G — локально компактная группа счетного веса, L(G) — простран-ство всех ее замкнутых подгрупп, снабженное E-топологией. Является ли L(G)k-пространством? И.В.ПротасовДа, является (И. В. Протасов, ДАН УССР, сер. А, 10 (1986), 64–66).

9.48. Замкнуто ли множество компактных элементов нульмерной локально ком-пактной группы? И.В.ПротасовДа, замкнуто (G. A.Willis, Math. Ann., 300 (1994), 341–363).

9.50. Всякая ли 4-энгелева группаа) без элементов порядков 2 и 5 разрешима?б) с тождеством x5 = 1 локально конечна?в) (Р.И. Григорчук) периода 8 локально конечна? Ю. П.Размыслов

а) Да; это следует из локальной нильпотентности 4-энгелевых групп (G.Trausta-son, Int. J. Algebra Comput., 15 (2005), 309–316; G.Havas, M.R. Vaughan-Lee, Int.J. Algebra Comput. 15 (2005), 649–682) и положительного ответа для локальнонильпотентных групп (A.Abdollahi, G. Traustason, Proc. Amer. Math. Soc., 130(2002), 2827–2836).б) Да, всякая (M. R. Vaughan-Lee, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 74 (1997), 306–334).в) Да; более того, всякая 4-энгелева 2-группа локально конечна (G.Traustason,J. Algebra, 178, 2 (1995), 414–429).

9.54. Если G = HK — разрешимая группа и H, K — минимаксные группы, товерно ли, что G — минимаксная группа? Д. Робинсон (D. J. S. Robinson)Да, верно (J. S. Wilson, J. Pure Appl. Algebra, 53, 3 (1988), 297–318; Я.П. Сысак,Радикальные модули над группами конечного ранга, Инст. мат. АН УССР, Киев,1989).

9.58. Существуют ли локальные произведения нелокальных формаций конечныхгрупп? А.Н. Скиба, Л. А.ШеметковДа, существуют (В. А.Ведерников, Мат. заметки, 46, 6 (1989), 32–37;Н.Т.Воробьев, in: Proc. 7th Regional Sci. Session Math., Zielona Goru, 1989, 79–86).

Архив 187

9.62. Смежные классы произвольной группы G по всевозможным ее нормальнымподгруппам вместе с пустым подмножеством образуют по включению решеткублоков C(G), которая при бесконечном |G| подпрямо неприводима, а при конеч-ном |G| > 3 даже проста (Д. М.Смирнов, А. В. Рейбольд, Алгебра и логика, 23, 6 (1984), 684–701). Неизвестно, как велик класс таких решеток; в частности,всякая ли конечная решетка вложима в решетку C(G) для некоторой конечнойгруппы G? Д.М. СмирновДля всякого элемента g группы G главный фильтр x ∈ C(G) | g ∈ x модулярен(даже аргов); многообразие, порожденное решетками блоков групп, не содержитвсех конечных решеток (Д. М. Смирнов, Сиб. мат. ж., 33, 4 (1992), 128–134).

9.63. Разрешима ли конечная группа вида G = ABA с абелевой подгруппой A ициклической подгруппой B? Я.П. СысакДа, разрешима mod CFSG (Д.Л. Загорин, Л.С. Казарин, ДАН СССР, 347, 5(1996), 590–592).

9.73. Пусть F — произвольная локальная формация разрешимых конечныхгрупп, содержащая все конечные нильпотентные группы. Доказать, что для лю-бых двух субнормальных подгрупп H и K произвольной конечной группы Gсправедливо равенство HFK = KHF. Л.А.ШеметковДоказано, даже без условия разрешимости формации F (С. Ф.Каморников, ДАНБССР, 33 (1989), 396–399).

9.74. Найти все те наследственные локальные формации F конечных групп, длякоторых справедливо утверждение: всякая конечная минимальная не F-группалибо является группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Л.А.ШеметковНайдены (С.Ф. Каморников, Сиб. мат. ж., 35, 4 (1994), 801–812).

9.79. (А. Г.Курош). Не будет ли всякая группа с условием минимальности счет-ной? В. П.ШунковНет, не будет (В. Н. Образцов, Мат. сб., 180 (1989), 529–541).

9.80. Содержатся ли 2-элементы группы с условием минимальности в ее локаль-но конечном радикале? В. П.ШунковНет, не обязательно (А. Ю.Ольшанский, Геометрия определяющих соотношенийв группах , Наука, М., 1989).

9.81. Существует ли простая группа с условием минимальности, обладающаянеединичной квазициклической подгруппой? В. П.ШунковДа, существует (В. Н. Образцов, Мат. сб., 180 (1989), 529–541).

9.82. Бесконечная группа, все собственные подгруппы которой конечны, назы-вается квазиконечной. Верно ли, что элемент квазиконечной группы G тогда итолько тогда является центральным, когда он содержится в бесконечном множе-стве подгрупп группы G? В. П.ШунковНет, не верно (К. И.Лоссов, Вложения некоторых амальгам в квазиконечныегруппы, Деп. ВИНИТИ, 5529-B89, М., 1988).

188 Архив

10.1. Пусть p — простое число. Описать группы порядка p9 и ступени нильпо-тентности 2, содержащие такие подгруппы X и Y , что |X| = |Y | = p3 и любыенеединичные элементы x ∈ X, y ∈ Y неперестановочны. Ответ на этот вопроспозволит описать полуполя порядка p3. С.Н. Адамов, А. Н.ФоминОписаны (В.А. Антонов, Препринт, Челябинск, 1999).

10.6. Верно ли, что в абелевой группе всякая недискретная групповая топологияможет быть усилена до такой недискретной групповой топологии, что получитсяполная топологическая группа? В.И. АрнаутовВерно для групповых топологий, удовлетворяющих первой аксиоме счетности(Е.И. Марин, в сб. Модули, алгебры, топологии (Мат. иссл., 105), Кишинев,1988, 105–119), а для произвольных групповых топологий не верно, см. Ар-хив, 12.2.

10.7. Верно ли, что в счетной группе G всякая недискретная групповая тополо-гия, удовлетворяющая первой аксиоме счетности, может быть усилена до такойнедискретной групповой топологии, что G станет полной топологической груп-пой? В случае, когда G абелева, это верно. В.И. АрнаутовДа, верно (В. И.Арнаутов, Е.И. Кабанова, Сиб. мат. ж., 31, 1 (1990), 3–13).

10.9. Пусть p — простое число, Lp — множество всех квазимногообразий, каждоеиз которых порождается некоторой конечной p-группой. Является ли Lp подре-шеткой решетки всех квазимногообразий групп? А.И. БудкинНет, не всегда (С. А.Шахова, Мат. заметки, 53, 3 (1993), 144–148).

10.14. а) Будет ли группа, удовлетворяющая условию минимальности для под-групп, удовлетворять слабому условию максимальности для подгрупп?

б) Будет ли группа, удовлетворяющая условию максимальности для подгрупп,удовлетворять слабому условию минимальности для подгрупп? Д.И. Зайцева) Нет, не всегда (В. Н. Образцов, Мат. сб., 180, 4 (1989), 529–541).б) Нет, не всегда (В. Н. Образцов, Сиб. мат. ж., 32, 1 (1991), 99–106).

10.24. Коса называется крашеной, если ее нити реализуют тождественную под-становку. Верно ли, что зацепления, получающиеся замыканием крашеных кос,эквивалентны тогда и только тогда, когда исходные косы сопряжены в группекос? Г.С. МаканинНет, не верно, так как, например, оба слова σ2

1 и σ−21 представляют Хопфо-во зацепление, но они не сопряжены в группе кос (что легко понять, рас-сматривая представление Бюрау). Если зацепления считаются ориентированны-ми, то ответ также отрицателен, см. Пример 4 в (J. Birman, Braids, links, andmapping class groups (Ann. Math. Stud. Princeton, 82), Princeton, NJ, 1975, p. 100)(В.Э. Шпильрайн, письма от 28.5.1998 и 20.1.2002.)

10.30. Существует ли неправоупорядочиваемая группа, аппроксимируемая ко-нечными p-группами по конечному множеству простых чисел p, содержащемупо крайней мере два различных простых числа? Если группа аппроксимируетсяконечными примарными группами по бесконечному числу простых чисел, то онадопускает линейный порядок (A. H. Rhemtulla, Proc. Amer. Math. Soc., 41, 1(1973), 31–33). Н.Я. МедведевДа, существует (P.A. Linnell, J. Algebra, 248, 2 (2002) 605–607).

Архив 189

10.33. Для HNN -расширений вида G =⟨t, A | t−1Bt = C, φ

⟩, где A — конечно

порожденная абелева группа, φ : B → C — изоморфизм двух ее подгрупп, найтиа) критерий финитной аппроксимируемости,б) критерий хопфовости. Ю. И.Мерзляков

а) Найден (S. Andreadakis, E. Raptis, D.Varsos, Arch. Math., 50 (1988), 495–501).б) Найден (они же, Commun. Algebra, 20, 5 (1992), 1511–1533).

10.37. Пусть G — конечно порожденная метабелева группа, все целочислен-ные группы гомологий которой конечно порождены. Верно ли, что G имеет ко-нечный ранг? Если G расщепляется над коммутантом, ответ утвердительный(J.R. J.Groves, Quart. J. Math., 33, 132 (1982), 405–420). Г.А. НосковДа, верно (D. H.Kochloukova, in: Groups St. Andrews 2001 in Oxford, Vol. II,Cambridge Univ. Press, 2003, 332–343).

10.41. (Известный вопрос). Пусть Γ — почти полициклическая группа, не со-держащая конечных нормальных подгрупп, отличных от единичной, k — поле.Полное кольцо частных Q(kΓ) является кольцом матриц Mn(D) над телом. Гипо-теза: n = н. о. к. порядков конечных подгрупп группы Γ. Равносильная форму-лировка (М. Лоренц): ρ(G0(kΓ)) = ρ(G0(kΓ)F ), где G0(kΓ) — группа Гротендикакатегории конечно порожденных kΓ-модулей, G0(kΓ)F — ее подгруппа, порож-денная классами подмодулей, индуцированных с конечных подгрупп группы Γ,ρ — ранг Голди. Более сильная гипотеза: G0(kΓ) = G0(kΓ)F . Г.А. НосковДоказана сильная гипотеза: G0(kΓ) = G0(kΓ)F (J.A. Moody, Bull. Amer. Math.Soc., 17 (1987), 113–116).

10.48. Пусть V — векторное пространство конечной размерности над полемпростого порядка. Подмножество R из GL(V ) ∪ 0 назовем регулярным, если|R| = |V |, 0, 1 ∈ R и vx = vy для любого ненулевого вектора v ∈ V и любыхразличных элементов x, y ∈ R. Очевидно, преобразования τ , ε, µg переводят ре-гулярное множество снова в регулярное множество, где xτ = x−1 при x = 0 и0τ = 0, xε = 1− x, xµg = xg−1 и g — ненулевой элемент преобразуемого подмно-жества. Назовем два регулярных подмножества эквивалентными, если от одногоможно перейти к другому цепочкой таких преобразований.

а) Изучить классы эквивалентности регулярных подмножеств.б) Верно ли, что каждое регулярное подмножество эквивалентно некоторой

подгруппе группы GL(V ), дополненной элементом 0? Н. Д.Подуфалова) Изучены (Н. Д.Подуфалов, Алгебра и логика, 30, 1 (1991), 90–101).б) Нет, не верно, так как регулярное множество замкнуто относительно умноже-ния тогда и только тогда, когда соответствующая (γ, γ)-транзитивная плоскостьзадана над почти-полем (Н. Д. Подуфалов, письмо от 13.02.1989 ).

10.56. Дистрибутивна ли решетка формаций конечных нильпотентных группступени нильпотентности 6 4? А.Н. СкибаНет, не дистрибутивна. Решетка L всех многообразий нильпотентных 2-группступени нильпотентности 6 4 недистрибутивна (Ю. А.Белов, Алгебра и логи-ка, 9, 6 (1970), 623–628; R. A.Bryce, Philos. Trans. Roy. Soc. London (A), 266(1970), 281–355, прим. на с. 335). Отображение V → V ∩ F , где F — класс всехконечных групп, является вложением L в решетку формаций. (L. Kovacs, письмоот 12.5.1988.) См. также (Л. А.Шеметков, А. Н. Скиба, Формации алгебраиче-ских систем, Наука, М., 1989).

190 Архив

10.63. Существует ли дважды транзитивная группа подстановок с бесконечнымциклическим стабилизатором точки? Я.П. СысакНет, не существует (В. Д. Мазуров, Сиб. мат. ж., 31, 4 (1990), 102–104;Gy.Karolyi, S. J. Kovacs, P. P. Palfy, Aequationes Math., 39, 1 (1990), 161–166).

10.66. Будет ли непростой группа G, содержащая две такие неединичные под-группы A,B, что AB = G и ABg = BgA для любого g ∈ G? Если G конечна, тоответ утвердительный (O. H. Kegel, Arch. Math., 12, 2 (1961), 90–93).

А.Н. Фомин, В. П.ШунковНет, не обязательно. Примером может служить любая простая линейно упоря-доченная группа, в которой A и B — произвольные собственные выпуклые под-группы. (В.В. Блудов, письмо от 12.2.1997.)

10.68. Пусть нильпотентная p-группа G допускает автоморфизм порядка p, име-ющий ровно pm неподвижных точек. Верно ли, что G содержит подгруппу, ин-декс которой ограничен некоторой функцией от p иm, а ступень нильпотентностиограничена некоторой функцией только от m? Е.И. ХухроДа, верно (Yu.Medvedev, J. London Math. Soc. (2), 59, 3 (1999), 787–798).

10.69. Пусть S — замкнутая ориентированная поверхность рода g > 1 и G =π1S = G1 ∗A G2, где G1 = A = G2 и подгруппа A конечно порождена (и, сталобыть, свободна). Является ли это разложение геометрическим, то есть существу-ют ли такие связные поверхности S1, S2, T , что S = S1∪S2, S1∩S2 = T , Gi = π1Si,A = π1T и вложения Si ⊂ S, T ⊂ S индуцируют естественные вложения Gi ⊂ G,A ⊂ G? При A = Z это верно. Х.Цишанг (H. Zieschang)Нет, не всегда (O. V.Bogopol’skiı, Geom. Dedicata, 94 (2002), 63–89).

10.72. Доказать неразложимость формации всех конечных p-групп в произведе-ние двух нетривиальных подформаций. Л.А.ШеметковДоказано (А. Н.Скиба, Л.А. Шеметков, ДАН БССР, 33 (1989), 581–582).

10.76. Пусть G — периодическая группа, обладающая бесконечной силовской2-подгруппой S, которая либо элементарная абелева, либо 2-группа Сузуки, при-чем нормализатор NG(S) сильно вложен в G и является группой Фробениуса слокально циклическим дополнением. Должна ли группа G быть локально конеч-ной? В. П.ШунковДа, должна (А.И. Созутов, Алгебра и логика, 39, 5 (2000), 602–617;А.И. Созутов, Н. М.Сучков, Мат. заметки, 68, 2 (2000), 272–285).

11.4. Верно ли, что решетка централизаторов группы модулярна, если она явля-ется подрешеткой решетки подгрупп? Для конечных групп это так. В.А.АнтоновНет, не верно (V. N.Obraztsov, J. Algebra, 199, 1 (1998), 337–343).

11.10. (Р.Линдон). б) Верно ли, что в группе G = ⟨a, x | a5 = 1, ax2

= [a, ax]⟩элемент a не равен 1? В. В.БлудовДа, верно, поскольку отображение a → (1 3 5 2 4), x → (1 2 4 3 5) продолжаетсядо гомоморфизма группы G на знакопеременную группу A5 (Д.Н. Азаров, в сб.Алгебраические системы, Иваново, 1991, 4–5).

Архив 191

11.11. б) Известная теорема Бэра–Сузуки для конечных групп утверждает, чтоэлемент a группы G, порождающий вместе с каждым своим сопряженным эле-ментом конечную p-группу, лежит в нормальной p-подгруппе. Верна ли эта тео-рема в классе бинарно конечных групп? А.В. БоровикВерна. По теореме Бэра–Сузуки ⟨a1, b⟩— конечная p-группа для любого элементаa1 ∈ aG = ag | g ∈ G и любого p-элемента b ∈ G. Теперь индукция по nдает, что произведение a1 · · · an является p-элементом для любых a1, . . . , an ∈ aG.(А.И. Созутов, Сиб. мат. ж., 41, 3 (2000), 674–675.)

11.20. Пусть [a, b] = [c, d] в абсолютно свободной группе, где a, b, [a, b] — базис-ные коммутаторы (в некоторой фиксированной системе свободных образующих).Если c и d — произвольные (собственные) коммутаторы, то верны ли равенстваa = c и b = d? А. Гаглион (A.M. Gaglione), Д. Спеллман (D. Spellman)Нет, не всегда. Например, если x1, x2, x3 — свободные порождающие, x1 < x2 <x3, a = [[x2, x1], x3], b = [x2, x1], c = b−1, d = bx3b. (В. Г. Бардаков, Тезисы IIIМеждун. конф. по алгебре, Красноярск, 1993, с. 33.)

11.21. Пусть Np — формация всех конечных p-групп для данного простого чис-ла p. Верно ли, что для любой подформации F из Np найдется такое многообра-зие M, что F = Np ∩M? А.Ф. ВасильевНет, не верно. Имеется естественное взаимно-однозначное соответствие междуформациями конечных p-групп и многообразиями про-p-групп: для каждого мно-гообразия про-p-групп V класс всех конечных групп из V составляет формацию икаждая формация конечных p-групп получается таким образом. Имеется конти-нуум многообразий нильпотентных про-p-групп ступени 6 6 (А.Н. Зубков, Сиб.мат. ж., 29, 3 (1988), 194–197). С другой стороны, имеется лишь счетное чис-ло многообразий нильпотентных групп ступени 6 6. (А.Н. Красильников, письмоот 17.7.1998.)

11.24. Класс Фиттинга F называется локальным, если существует такая локаль-ная групповая функция f (определение см. Л.А. Шеметков, Формации конечныхгрупп, М., Наука, 1978), что f(p) — класс Фиттинга для каждого простого p иF = Gπ(F) ∩

(∩p∈π(F) f(p)NpGp′

). Всякий ли наследственный класс Фиттинга

конечных групп является локальным? Н.Т.ВоробьевНет, не всякий (Л.А. Шеметков, А. Ф.Васильев, Тезисы Конф. математиков Бе-ларуси, часть 1, Гродно, 1992, с. 56; С.Ф. Каморников, Мат. заметки, 55, 6(1994), 59–63).

11.25. а) Существует ли локальное произведение (отличное от класса всех ко-нечных групп и класса всех конечных разрешимых групп) классов Фиттинга,каждый из которых нелокален и не является формацией? Определение произ-ведения классов Фиттинга см. в (Н. Т.Воробьев, Мат. заметки, 43, 2 (1988),161–168). Н.Т.ВоробьевДа, существует (Н. Т.Воробьев, А. Н.Скиба, в сб. Вопросы алгебры, вып. 8, Го-мель, 1995, 55–58).

192 Архив

11.26. Существует ли группа, не изоморфная группе внешних автоморфизмовметабелевой группы с тривиальным центром? Р. Гeбель (R. Gobel)Нет, для любой группы G существует метабелева группа M с тривиальным цен-тром такая, что OutM ∼= G (R.Gobel, A. Paras, J. Pure Appl. Algebra, 149, 3(2000) 251–266), и если G конечна или счетна, то такую группу M можно вы-брать счетной (R.Gobel, A. Paras, in: Abelian Groups and Modules, Proc. Int. Conf.Dublin, 1998, Birkhauser, Basel, 1999, 309–317).

11.27. Каково минимальное число d(G) порождающих для группы G, удовлетво-ряющей условию S 6 G 6 AutS, где S — конечная простая неабелева группа?

К.Грюнберг (K. Gruenberg)Число d(G) найдено (mod CFSG) для любой такой группы G. В частности, d(G) =max2, d(G/S) и d(G) 6 3 (F.Dalla Volta, A. Lucchini, J. Algebra, 178, 1 (1995),194–223).

11.29. f) Пусть F — свободная группа и f = ZF (F − 1) — разностный идеалцелочисленного группового кольца ZF . Для любой нормальной подгруппы R изF определим соответствующий идеал r = ZF (R − 1) = id(r − 1 | r ∈ R). Можноидентифицировать, например, F ∩ (1 + rf) с R′, где F естественным образомвложена в ZF и 1 + rf = 1 + a | a ∈ rf. Всегда ли фактор-группа (F ∩ (1 + r +fn))/R · γn(F ) абелева? Н. Гупта (N. D.Gupta)Да, всегда (N. D. Gupta, Yu.V. Kuz’min, J. Pure Appl. Algebra, 78, 1 (1992), 165–172).

11.33. а) Пусть G(q) — простая группа Шевалле над полем из q элементов. Дока-зать существование такого числаm, что ограничение на G(q) каждого неодномер-ного комплексного представления группы G(qm) содержит в качестве композици-онных факторов все неприводимые представления группы G(q). А.Е. ЗалесскийДоказано (D. Gluck, J. Algebra, 155, 2 (1993), 221–237).

11.35. Пусть H — конечная линейная группа над C и h — элемент простогопорядка p из H, не лежащий ни в какой абелевой нормальной подгруппе. Верноли, что h имеет не менее чем (p− 1)/2 различных собственных значений?

А.Е. ЗалесскийДа, верно (G. R.Robinson, J. Algebra, 178, 2 (1995), 635–642).

11.37. б) Можно ли свободную бернсайдову группу B(m,n) для n вида 2l ≫ 1и при любых m задать такими определяющими соотношениями вида vn = 1,что для любого натурального делителя d числа n, отличного от n, элемент vd неравен 1 в B(m,n)? С.В. ИвановДа, можно (S. V. Ivanov, Intern. J. Algebra Comput., 4, 1–2 (1994), 1–308).

11.43. Для конечной группы X обозначим через k(X) число ее классов сопря-женных элементов. Верно ли, что k(AB) 6 k(A)k(B)? Л. С.КазаринНет, не всегда. Пусть G = ⟨a, b | a30 = b2 = 1, ab = a−1⟩ ∼= D60 — группа диэдрапорядка 60, и пусть A = ⟨a10, ba⟩ ∼= D6 и B = ⟨a6, b⟩ ∼= D10. Тогда G = AB, но Gимеет 18 классов сопряженных элементов, а A и B, соответственно, только 3 и 4.Из (P.Gallagher, Math. Z., 118 (1970), 175–179) вытекает положительный ответ,если A или B нормальна. См. новую задачу 14.43 для случая, когда порядки Aи B взаимно просты. (J. Sangroniz, письмо от 17.12.1998.)

Архив 193

11.46. б) Существует ли конечная p-группа, ступень нильпотентности которойбольше чем 2 и для которой AutG = AutcG · InnG, где AutcG — группа цен-тральных автоморфизмов группы G? А.Каранти (A.Caranti)Да, существует (I. Malinowska, Rend. Sem. Mat. Padova, 91 (1994), 265–271).

11.47. Пусть Ld — однородная степени d компонента свободной алгебры Ли Lранга 2 над полем порядка 2. Какова размерность пространства неподвижныхточек в Ld для автоморфизма, который переставляет два свободных образующихалгебры L ? Л.Ковач (L. G. Kovacs)Размерность найдена в (R.M. Bryant, R. Stohr, Arch. Math., 67 (1996), 281–289),где подтверждена гипотеза из (M. W. Short, Commun. Algebra, 23 (1995), 3051–3057).

11.53. (П. Клейдман). Вкладываются ли спорадические простые группы Рудва-лиса Ru, Матье M22, Хигмана–Симса HS в качестве подгрупп в простую группуE7(5)? В.Д. МазуровДа, вкладываются (P.B.Kleidman, R. A. Wilson, J. Algebra, 157 (1993), 316–330).

11.54. Верно ли, что в группе крашеных кос (определение см. в Архиве, 10.24)только единичная коса сопряжена со своей обратной косой? Г.С. Маканин11.55. Верно ли, что извлечение корней в группе крашеных кос однозначно?

Г.С. Маканин11.54 и 11.55. Да, верно, поскольку группа крашеных косKn вкладывается в груп-пу автоморфизмов свободной группы Fn, действующих тождественно по модулюкоммутанта Fn, а последняя аппроксимируется нильпотентными группами безкручения, для которых соответствующие утверждения верны (В. А.Романьков,письмо от 3.10.1990 ). См. также (В. Г.Бардаков, Мат. сб., 183, 6 (1992), 3–42).

11.57. Верхним композиционным фактором группы G назовем композиционныйфактор любой конечной фактор-группы группы G. Существуют ли какие-либоограничения на множество неабелевых верхних композиционных факторов ко-нечно порожденной группы? А.Манн (A. Mann), Д. Сигал (D. Segal)Никаких ограничений нет: любое множество неабелевых конечных простыхгрупп может быть множеством верхних композиционных факторов 63-порож-денной группы. Если допустить еще абелевы верхние композиционные факторы,то число порождающих можно снизить до 3 (D. Segal, Proc. London Math. Soc.(3), 82 (2001), 597–613).

11.64. Пусть π(G) — множество простых делителей порядка конечной группы G.Конечно ли число простых конечных групп G, отличных от знакопеременныхгрупп, в которых есть собственная подгруппа H с π(H) = π(G)? В.С.МонаховНет, оно бесконечно. Если G = S4k(2

s), H ∼= Ω−4k(2s), то π(G) = π(H). (В.И. Зен-

ков, письмо от 10.3.1994.)

194 Архив

11.74. Пусть G — неэлементарная гиперболическая группа, а Gn — подгруппа,порожденная n-ми степенями ее элементов.

а) (М. Громов). Верно ли, что фактор-группа G/Gn бесконечна для некоторогоn = n(G)?

б) Верно ли, что∞∩

n−1Gn = 1? А.Ю. Ольшанский

а) Да, верно; б) да, верно (S. V. Ivanov, A.Yu.Ol’shanskii, Trans. Amer. Math. Soc.,348, 6 (1996), 2091–2138).

11.75. Рассмотрим класс групп с n порождающими и m определяющими соотно-шениями. Подкласс этого класса групп назовем плотным, если отношение коли-чества копредставлений вида ⟨a1, . . . , an | R1, . . . , Rm⟩ (где |Ri| = di), задающихгруппы из этого подкласса, к количеству всех таких копредставлений стремитсяк 1 при стремлении d1+· · ·+dm к бесконечности. Доказать, что для любого k < mи всякого n подкласс групп, в которых свободны все k-порожденные подгруппы,является плотным. А.Ю. ОльшанскийДоказано (Г.Н. Аржанцева, А. Ю.Ольшанский, Мат. заметки, 59, 4 (1996),489–496).

11.79. Пусть G — конечная группа автоморфизмов бесконечного поля F харак-теристики p. Возведение элементов поля F в целые степени и действие группы Gопределяет действие целочисленного группового кольца ZG группы G на мульти-пликативной группе F∗ поля F . Верно ли, что любое подполе поля F , содержащееобразы всех элементов из F под действием некоторого фиксированного элементаиз ZG \ pZG, содержит бесконечное число G-инвариантных элементов поля F?

К. Н.ПономаревДа, верно (К. Н.Пономарев, Сиб. мат. ж., 33, 6 (1992), 162–168).

11.82. Пусть R — нормальное замыкание элемента r в свободной группе F сестественной функцией длины и s — элемент наименьшей длины в R. Верноли, что s сопряжен с одним из следующих элементов: r, r−1, [r, f ], [r−1, f ] длянекоторого элемента f из F? В.Н. РемесленниковНет, не всегда (J. McCool, Glasgow Math. J., 43, 1 (2001), 123–124).

11.91. Доказать, что наследственная формация F конечных разрешимых групплокальна, если каждая конечная разрешимая непростая минимальная не F-груп-па является группой Шмидта. В.Н. СеменчукДоказано (А. Н.Скиба, ДАН БССР, 34, 11 (1990), 982–985).

11.93. Порождается ли многообразие всех решеток решетками блоков (см. Ар-хив, 9.62) конечных групп? Д.М. СмирновНет, не порождается (Д. М. Смирнов, Сиб. мат. ж., 33, 4 (1992), 128–134).

11.97. Верно ли, что существует только конечное число конечных простых группс заданным набором всех различных значений неприводимых характеров накаком-нибудь одном элементе? С. П.СтрунковНет, не верно. Все комплексные неприводимые характеры групп L2(2

m), m > 2,принимают на инволюциях значения, равные 0, ±1 (В.Д. Мазуров).

Архив 195

11.98. б) Верно ли, что |G| 6 exp(r), где r — число классов сопряженных эле-ментов конечной (простой) группы G? С. П.СтрунковНет, не верно: группа M22 порядка 443520 содержит 12 классов сопряженныхэлементов (T.Plunkett, письмо от 9.5.2000 ).

11.103. Всегда ли локально конечна 2-группа с условием минимальности дляцентрализаторов? Дж.Уилсон (J. Wilson)Да, всегда (F. O. Wagner, J. Algebra, 217, 2 (1999), 448–460).

11.105. а) Пусть V — многообразие групп. Его относительно свободная группаданного ранга представима как фактор-группа F/N , где F — абсолютно свобод-ная группа того же ранга, а N — вполне инвариантная подгруппа F . Присоеди-ненное кольцо Ли L (F/N) представимо в виде L/J , где L — свободное кольцоЛи того же ранга, а J — идеал в L. Всегда ли J вполне инвариантен в L? (Пред-полагаемый ответ: нет). Г.Уолл (G.E. Wall)Нет, не всегда: идеал J не вполне инвариантен для F/(F 2)4, т. е. для V = B4B2

(D.Groves, J. Algebra, 211, 1 (1999), 15–25).

11.106. Любую ли периодическую группу можно вложить в простую периодиче-скую группу? Р.Филлипс (R.Phillips)Да, любую (А. Ю.Ольшанский, Укр. мат. ж., 44, 6 (1992), 845–847).

11.108. Каждая ли локально конечная простая группа является абсолютно про-стой? Группа G называется абсолютно простой, если 1, G — единственная ком-позиционная система группы G. См. (R. E. Phillips, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova,79 (1988), 213–220.) Р.Филлипс (R.Phillips)Нет, не каждая (U. Meierfrankenfeld, in Proc. Int. Conf. Finite and Locally FiniteGroups (Istanbul, 1994), Kluwer, 1995, 189–212).

11.110. Вложима ли группа SL(2,Q) в мультипликативную группу какого-нибудь тела? Б.Хартли (B. Hartley)Нет, не вложима (W. Dicks, B. Hartley, Commun. Algebra, 19 (1991), 1919–1943).

11.112. б) Верно ли, что все тождества присоединенного кольца Ли L(K(p)) сво-бодной счетно порожденной группыK(p) кострикинского многообразия локальноконечных групп данного простого периода p являются следствиями полилиней-ных тождеств этого кольца? Е.И. ХухроНет, L(K(7)) удовлетворяет двум соотношениям веса 29 (от двух порождающих,мультивеса (14, 15) и (15, 14)), которые не являются следствиями полилинейныхсоотношений (E. O’Brien, M. R. Vaughan-Lee, Int. J. Algebra Comput., 12 (2002),575–592; M. F.Newman, M. R. Vaughan-Lee, Electron. Res. Announc. Amer. Math.Soc., 4, 1 (1998), 1–3).

11.128. Группа G называется K-группой, если для любой ее подгруппы A суще-ствует такая подгруппа B, что A∩B = 1 и ⟨A,B⟩ = G. Верно ли, что нормальныеподгруппы K-групп являются K-группами? М.Эмальди (M.Emaldi)Нет, не верно (V. N.Obraztsov, J. Austral. Math. Soc. (A), 61 (1996), 267–288).

196 Архив

12.1. б) (А.А. Бовди). Басс (H. Bass, Topology, 4, 4 (1966), 391–400) построил вявном виде собственную подгруппу конечного индекса в группе единиц целочис-ленного группового кольца конечной циклической группы. Построить аналогич-ные подгруппы для конечных абелевых нециклических групп. Р.Ж.АлеевПостроены: для p-групп, p = 2, в (K.Hoechsmann, J.Ritter, J. Pure Appl. Algebra,68, 3 (1990), 325–333); для общего случая групп центральных единиц цело-численных групповых колец произвольных (не обязательно абелевых) конечныхгрупп в (Р.Ж.Алеев, Тр. Инст. мат. СО РАН, Новосибирск, 3, 1 (2000),3–37).

12.2. Верно ли, что в (абелевой) группе всякую недискретную групповую топо-логию можно усилить до максимальной полной групповой топологии?

В.И. АрнаутовНет, не всегда, поскольку в предположении континуум гипотезы существу-ют неполные максимальные топологии (В. И. Арнаутов, Е. Г. Зеленюк, Укр.мат. ж., 43, 1 (1991), 21–27).

12.5. Существует ли счетный нетривиальный фильтр в решетке квазимногооб-разий метабелевых групп без кручения? А.И. БудкинНет, не существует (С. В.Ленюк, Сиб. мат. ж., 39, 1 (1998), 67–73).

12.7. Верно ли, что всякая радикальная наследственная формация конечныхгрупп является композиционной? А.Ф. ВасильевНет, не верно (С. Ф.Каморников, Мат. заметки, 55, 6 (1994), 59–63).

12.10. (П. Нойман). Можно ли свободную группу ранга 2 так вложить в симмет-рическую группу счетного множества, чтобы каждый ее нетривиальный элементимел только конечное число орбит? А.Гласс (A. M.W. Glass)Да, можно (H. D.Macpherson, in: Ordered groups and infinite permutation groups,Partially based on Conf. Luminy, France, 1993 (Mathematics and its Applications,354), Kluwer, Dordrecht, 1996, 221–230).

12.22. а) Пусть ∆(G) — разностный идеал целочисленного группового кольцаZG произвольной группы G. Тогда Dn(G) = G ∩ (1 + ∆n(G)) содержит n-й членγn(G) нижнего центрального ряда группы G. Верно ли, что Dn(G)/γn(G) лежитв центре группы G/γn(G)? Н.Гупта (N. D. Gupta), Ю.В. КузьминНет, не верно; более того, группаDn(G)/γn(G) не обязана содержаться ни в какомчлене верхнего центрального ряда группы G/γn(G) с фиксированным номером(N.D. Gupta, Yu.V. Kuz’min, J. Pure Appl. Algebra, 104, 1 (1995), 191–197).

Архив 197

12.24. Если R — кольцо с единицей, то автоморфизмы кольца R[[x]], посылаю-

щие x в x

(1 +

∞∑i=1

aixi

), ai ∈ R, образуют группу N(R). Известно, что N(Z)

содержит копию свободной группы F2 ранга 2, а А.Вайс (A. Weiss) показал, чтоN(Z/pZ) при простом p содержит копию любой конечной p-группы (но не содер-жит копии Zp∞). Содержит ли N(Z/pZ) копию F2? Д.Джонсон (D. L. Johnson)Да, содержит (R.Camina, J. Algebra, 196, 1 (1997), 101–113). И. Б. Фесенко за-метил, что этот факт мог быть известен специалистам по теории полей норм ещев 1985 г. (J.-P.Wintenberger, J.-M. Fontaine, F. Laubie); однако доказательство,основанное на этой теории, впервые появилось только в (I. B. Fesenko, Preprint,Nottingham Univ., 1998).

12.25. Пусть G — конечная группа, действующая неприводимо на векторномпространстве V . Орбита αG для α ∈ V называется p-регулярной, если стабилиза-тор α в G является p′-подгруппой. Имеет ли группа G регулярную орбиту на V ,если для каждого простого числа p она обладает p-регулярной орбитой?

Жипин Чан (Jiping Zhang)Нет, не всегда. Пусть, например, H = A4 ≀Z5, V = O2(H), и G — дополнение к Vв H, действующее на V сопряжением. (В. И. Зенков, письмо от 11.2.1994.)

12.26. (Ши Шенмин). Верно ли, что конечная p-разрешимая группа G тогда итолько тогда имеет p-блок нулевого дефекта, когда существует такой элементx ∈ Op′(G), что CG(x) является p′-группой? Жипин Чан (Jiping Zhang)Нет, не верно: группа 32.GL2(3) имеет 2-блок дефекта 0, но централизатор любогоэлемента из O(G) имеет четный порядок (В.И. Зенков, Тр. ИММ УрО РАН, 3(1995), 36–40).

12.31. Для относительно свободных групп доказать или опровергнуть гипотезуФ.Холла: если слово v конечнозначно на группе G, то вербальная подгруппа vGконечна. С.В. ИвановГипотеза опровергнута (A. Storozhev, Proc. Amer. Math. Soc., 124, 10 (1996),2953–2954).

12.36. Пусть V — векторное пространство размерности n над полем простогопорядка p и пусть G — подгруппа GL(V ). Для подпространства W пространстваV обозначим через rW число (p − 1)α + s − 1, где spα — порядок поточечногостабилизатора W в G и целое число s не делится на p. Пусть S = S[V ∗] — сим-метрическая алгебра на двойственном пространстве V ∗ пространства V , T = SG

— кольцо инвариантов группы G и bm — размерность его однородной компонентыстепени m. Тогда ряд Пуанкаре

∑m>0

bmtm — рациональная функция, разлагаю-

щаяся в окрестности точки t = 1 в ряд Лорана∑

i>−nai(1− t)i, где a−n =

1

|G|.

Гипотеза: a−n+1 =r

2|G|, где r — сумма чисел rW по всем максимальным

подпространствам W пространства V .Д. Карлайл (D. Carlisle), П.Крофоллер (P.H. Kropholler)

Гипотеза доказана (D. J. Benson, W.W. Crawley-Boevey, Bull. London Math.Soc., 27, 5 (1995), 435–440); другое доказательство, основанное на теоремеГротендика–Римана–Роха, позже было получено в (A.Neeman, Comment. Math.Helv., 70, 3 (1995), 339–349).

198 Архив

12.44. (Ф.Холл). Существует ли нетривиальная группа G, изоморфная любомунетривиальному расширению G посредством G? Дж.Леннокс (J. C. Lennox)Да, такие группы существуют любой регулярной мощности (R.Gobel, S. Shelah,Math. Proc. Cambridge Philos. Society (2), 134, 1 (2003), 23–31).

12.45. (Ф.Холл). Верно ли, что нетривиальная группа, изоморфная любой своейнетривиальной нормальной подгруппе, является либо свободной группой беско-нечного ранга, либо простой группой, либо бесконечной циклической группой?(Леннокс, Смит и Уайголд показали (1992 г.), что конечно порожденная груп-па такого рода, имеющая собственную подгруппу конечного индекса, являетсябесконечной циклической.) Дж.Леннокс (J. C. Lennox)Нет, не верно (V.N. Obraztsov, Proc. London Math. Soc. (3), 75, 1 (1997), 79–98).

12.46. Пусть F — свободная группа с двумя образующими x, y. Для a, b ∈ C,|a| = |b| = 1, определим автоморфизм ϑa,b алгебры CF равенствами ϑa,b(x) = ax,ϑa,b(y) = by. Всегда ли для данного элемента α, 0 = α ∈ CF можно найти такиеэлементы a, b ∈ C \ 1, что |a| = |b| = 1 и αCF ∩ ϑa,b(α)CF = 0?

П. Линнел (P.A. Linnell)Нет, не всегда (А. В.Тушев, Укр. мат. ж., 47, 4 (1995), 571–572).

12.47. Пусть k — поле, p — простое число и G — сплетение группы порядка pс бесконечной циклической группой (так что база сплетения имеет период p).Имеет ли kG классическое кольцо частных, то есть образуют ли неделители нулякольца kG область Оре? П. Линнел (P.A. Linnell)Нет, не обязательно (P.A. Linnell, W. Luck, T. Schick, in: High-dimensional manifoldtopology. Proc. of the school, ICTP (Trieste, 2001), River Edge, NJ: World Scientific,2003, 315–321).

12.49. Построить все нерасщепляемые расширения элементарных 2-групп V по-средством H = PSL2(q), для которых H действует на V неприводимо.

В.Д. МазуровПостроены (В.П. Буриченко, Алгебре и логика, 39, 3 (2000), 280–319).

12.65. Пусть P = (P0, P1, P2) — параболическая система в конечной группе G,соответствующая диаграмме Коксетера

12

3

типа C3, и пусть

подгруппа Бореля имеет индексы в P0 и P1 не меньше 3. Известно, что если до-полнительно предполагать геометричность системы камер P и дезарговость про-ективных плоскостей, возникающих из P в качестве 0, 1-вычетов, то либо G(∞)

является группой Шевалле типа C3 или B3, либо G = A7. Можно ли то же самоеутверждать в общем случае, без этих двух дополнительных предположений?

А.Пазини (A. Pasini)Да, можно (S. Yoshiara, J. Algebraic Combin., 5, 3 (1996), 251–284).

Архив 199

12.70. Пусть p — простое число. Конечен ли ранг подгруппы неподвижных то-чек нетривиального p-автоморфизма свободной про-p-группы F конечного ран-га? Если порядок автоморфизма взаимно прост с p, то соответствующий рангбесконечен (W. Herfort and L. Ribes, Proc. Amer. Math. Soc., 108 (1990), 287–295).

Л.Рибес (L. Ribes)Да, конечен (C. Scheiderer, Proc. Amer. Math. Soc., 127, 3 (1999), 695–700). Бо-лее того, в (W. N. Herfort, L. Ribes, P.A. Zalesskii, Forum Math., 11, 1 (1999),49–61) доказано, что если P — конечная p-группа автоморфизмов свободной про-p-группы F произвольного ранга, то подгруппа неподвижных точек группы Pвыделяется свободным сомножителем в F .

12.71. Пусть d(G) означает наименьшее число образующих группы G. ПустьA и B — конечные группы. Всегда ли найдется такая конечная группа G, чтоG = ⟨A,B⟩ и d(G) = d(A) + d(B)? В классе разрешимых групп соответствующийвопрос решается отрицательно (L. G. Kovacs, H.-S. Sim, Indag. Math., 2, 2 (1991),229–232). Л.Рибес (L. Ribes)Нет, не всегда (A. Lucchini, J. Group Theory, 4, 1 (2001), 53–58).

12.74. Пусть F — непримарная однопорожденная композиционная формация ко-нечных групп. Верно ли, что если F = MH и формации M и H неединичны, тоM — композиционная формация? А.Н. СкибаДа, верно, если F = H (А.Н. Скиба, Алгебра формаций, Беларус. Навука, Минск,1997, с. 144). В общем случае ответ отрицательный (W.Guo, Commun. Algebra,28, 10 (2000), 4767–4782).

12.76. Всякая ли группа, порожденная множеством 3-транспозиций, локальноконечна? Множество 3-транспозиций — это нормальное множество инволюций,порядки попарных произведений которых не превосходят числа 3. А. И.СозутовДа, всякая (H. Cuypers, J. I. Hall, in: Groups, combinatorics and geometry. Proc.L.M. S. Durham symp., July 5–15, 1990 (London Math. Soc. Lecture Note Ser., 165),Cambridge Univ. Press, 1992, 121–138).

12.78. (Курран). Пусть p — простое число.а) Существует ли группа порядка p6, порядок группы автоморфизмов которой

также равен p6?б) Верно ли, что при p ≡ 1 (mod 3) наименьший порядок p-группы, являющейся

группой автоморфизмов p-группы, равен p7?в) Тот же вопрос для p = 3 с заменой p7 на 39. А.И. Старостин

а) Нет, не существует; б) да, верно; в) нет, не верно (S. Yu, G. Ban, J. Zhang, AlgebraColloq., 3, 2 (1996), 97–106).

12.80. (Роггенкамп). а) Верно ли, что число p-блоков дефекта 0 конечной груп-пы G равно числу классов сопряженности таких элементов g группы G, что числорешений уравнения [x, y] = g в группе G не делится на p? С. П.СтрунковНет, не верно; пример: p = 2 и G = Z3 × S3 (L. Barker, письмо от 27.5.1996 ).

12.84. (Известный вопрос). Верно ли, что если существуют две неизоморфныеконечные группы с данным набором порядков их элементов, то таких групп бес-конечно много? С.А. СыскинНет, не верно (В. Д.Мазуров, Алгебра и логика, 33, 1 (1994), 81–89).

200 Архив

12.90. Должна ли быть минимаксной конечно порожденная финитно аппрокси-мируемая группа с точно таким же набором конечных гомоморфных образов,как у некоторой конечно порожденной разрешимой минимаксной группы?

Дж.Уилсон (J. S.Wilson)Да, должна (A. Mann, D. Segal, Proc. London Math. Soc. (3), 61 (1990), 529–545;см. также А. В. Тушев, Мат. заметки, 56, 5 (1994), 136–139).

12.91. Каждая метабелева группа, принадлежащая классу Фиттинга, состояще-му из (конечных) сверхразрешимых групп, нильпотентна. Верно ли следующееобобщение этого факта: каждая группа, принадлежащая классу Фиттинга, со-стоящему из сверхразрешимых групп, имеет только центральные минимальныенормальные подгруппы? Х.Хайнекен (H. Heineken)Нет, не верно (H. Heineken, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 98 (1997), 241–251).

12.93. Пусть G — расширение нильпотентной группы N посредством конечнопорожденной нильпотентной группы. Верно ли, что G расщепляется над N , еслиэто верно для каждой примарной части группы N? Ответ положительный, еслиN конечна или коммутативна. П.Хилтон (P.Hilton)Нет, в общем случае не верно (K. Lorensen, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.,123, 2 (1998), 213–215).

12.97. Пусть F — формация всех тех конечных групп, все композиционные фак-торы которых изоморфны некоторой простой неабелевой группе T . Доказать,что формация F неразложима в произведение двух нетривиальных подформа-ций. Л.А.ШеметковДоказано (О. В.Мельников, Проблемы алгебры, 9, Гомель, 1996, 42–47).

12.98. Пусть F — свободная группа конечного ранга, R — ее рекурсивно заданнаянормальная подгруппа.

а) Верно ли, что проблема равенства разрешима в F/R тогда и только тогда,когда она разрешима в F/[R,R]?

б) Верно ли, что проблема сопряженности разрешима в F/R тогда и толькотогда, когда она разрешима в F/[R,R]?

в) Верно ли, что в F/[R,R] разрешима проблема сопряженности, если в нейразрешима проблема равенства? В. Э.Шпильрайна) Да, верно; б) нет, не верно; в) нет, не верно (М. И.Анохин, Мат. заметки, 61, 1 (1997), 3–9).

12.102. Всякая ли собственная фактор-группа группы Голода (см. 9.76) финитноаппроксимируема? В. П.ШунковНет, не всякая (L. Hammoudi, Algebra Colloq., 5, 4 (1998), 371–376).

13.10. Существует ли такая функция f : N→ N, что для всякой k-ступенно раз-решимой группы G с порождающим множеством A из выполнения тождестваx4 = 1 в каждой подгруппе, порожденной не более, чем f(k) элементами множе-ства A, следует выполнение этого тождества во всей группе G? В. В.БлудовНет, не существует (Г.С. Дерябина, А. Н.Красильников, Сиб. матем. ж., 44, 1(2003), 69–72).

Архив 201

13.16. Является ли гиперцентральной любая локально нильпотентная группа сусловием минимальности для централизаторов? Ф.Вагнер (F. Wagner)Да, является (В. В. Блудов, Алгебра и логика, 37, 3 (1998), 270–278).

13.18. Пусть F — конечно порожденная неабелева свободная группа и пусть G —декартово (неограниченное) произведение счетного числа копий группы F . Верноли, что фактор-группа G/G′ не имеет кручения?

А. Гаглион (A.M. Gaglione), Д. Спеллман (D. Spellman)Нет, в ней могут быть элементы порядка 2 (O. Kharlampovich, A. Myasnikov, in:Knots, braids, and mapping class groups—papers dedicated to Joan S. Birman (NewYork, 1998), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001, 77–83).

13.21. а) Существует ли бесконечная конечно-порожденная финитно-аппрокси-мируемая p-группа, у которой порядок |g| произвольного элемента g не превосхо-дит величины f(δ(g)), где δ(g) — длина элемента g относительно фиксированнойсистемы образующих, а f(n) — функция, растущая при n→∞ медленнее любойстепенной функции nλ, λ > 0? Р.И. ГригорчукДа, существует (А. В. Рожков, Докл. Акад. Наук, 362, 4 (1998), 445–448).

13.28. (Д.М. Эванс). Группа подстановок на бесконечном множестве называетсякофинитарной, если ее неединичные элементы оставляют на месте только ко-нечное число точек. Верно ли, что замкнутая кофинитарная группа подстановоклокально компактна (в топологии поточечной сходимости)?

П.Камерон (P. J. Cameron)Нет, не всегда (G. Hjorth, J. Algebra, 200, 2 (1998), 439–448).

13.34. (И.Д.Макдональд). Периодичен ли коммутант группы, в которой выпол-няется тождество [x, y]n = 1? В.Д. МазуровНет, не всегда (G. S. Deryabina, P.A. Kozhevnikov, Commun. Algebra, 27, 9(1999), 4525–4530; С. И. Адян, Докл. Акад. Наук, 374, 2 (2000), 151–153).

13.38. Пусть G = F/R — про-p-группа с одним определяющим соотношением,где R — нормальный делитель свободной про-p-группы F , порожденный однимэлементом r ∈ F p[F, F ].

а) Предположим, что r = tp для некоторого t ∈ F ; может ли группа G содер-жать в качестве подгруппы группу Демушкина?

б) Более общий вопрос: существуют ли две про-p-группы G1 ⊃ G2 с однимопределяющим соотношением, где G1 обладает элементами конечного порядка,а подгруппа G2 — без кручения? О.В. Мельникова) Да, может. б) Да, существуют. Про-p-группа с представлением ⟨a, b | [a, b]p = 1⟩содержит группу Демушкина ⟨x1, . . . , x2g |

∏gi=1[x2i−1, x2i] = 1⟩ для некоторого

g > 1. (О. В.Мельников, письмо от 28.2.1999.)

13.40. Группа G называется ω-аппроксимируемой свободными группами, еслидля любого конечного набора неединичных элементов из G найдется такой гомо-морфизм группы G в свободную группу, что образы всех этих элементов нееди-ничны. Верно ли, что любая конечно-порожденная группа, ω-аппроксимируемаясвободными группами, вложима в свободную Z[x]-группу?

А.Г.Мясников, В.Н. РемесленниковДа, верно (O. Kharlampovich, A. Myasnikov, J.Algebra, 200 (1998), 472–570).

202 Архив

13.46. Можно ли каждую несчетную абелеву группу конечного нечетного пе-риода разбить на два подмножества так, чтобы ни одно из них не содержалосмежных классов по бесконечным подгруппам? Среди счетных абелевых групптакие разбиения существуют для групп с конечным числом элементов поряд-ка 2. И.В.ПротасовДа, можно (Е. Г. Зеленюк, Мат. заметки, 67, 5 (2000), 706–711).

13.47. Можно ли каждую счетную абелеву группу с конечным числом элементовпорядка 2 разбить на два подмножества, плотные в любой групповой топологии?

И.В.ПротасовДа, можно (Е. Г. Зеленюк, Укр. мат. ж., 51, 1 (1999), 41–47).

13.54. б) Верно ли, что любая группа вложима в ядро некоторой группы Фро-бениуса (см. Архив, 6.53)? А. И.СозутовДа, верно (В. В.Блудов, Сиб. мат. ж., 38, 6 (1997), 1219–1221).

13.56. (А.Шалев). Пусть G — конечная p-группа секционного ранга r, а φ —ее автоморфизм, имеющий ровно m неподвижных точек. Верно ли, что ступеньразрешимости группы G ограничена некоторой функцией, зависящей только отr и m? Е.И. ХухроДа, верно (A. Jaikin–Zapirain, Israel J. Math., 129 (2002), 209–220).

13.61. Назовем метрическое пространство узким, если оно квазиизометричноподмножеству вещественной прямой, и широким — в противном случае. ПустьG — группа с конечным множеством порождающих A и Γ = Γ(G,A) — ее графКэли, снабженный естественной метрикой. Допустим, что после удаления из Γлюбого узкого подмножества L не более двух компонент связности графа Γ \ Lявляются широкими, причем хотя бы для одного такого L имеется ровно двешироких компоненты в Γ\L. Верно ли, что граф Γ квазиизометричен евклидовойили гиперболической плоскости? В.А. Чуркин.Нет, вообще говоря, не верно (О.В. Богопольский, Препринт, Новосибирск,1998). См. также новую задачу 14.98.

13.62. Пусть U и V — нециклические подгруппы свободной группы. Верно ли,что из включения [U, U ] 6 [V, V ] следует, что U 6 V ? В.П. ШапталаНет, не верно (M. J.Dunwoody, Arch. Math., 16 (1965), 153–157).

13.63. Обозначим через πe(G) множество порядков элементов группы G. ДляΓ ⊆ N пусть h(Γ) обозначает число попарно неизоморфных конечных групп G сπe(G) = Γ. Верно ли, что существует такое число k, что для любого Γ имеем илиh(Γ) 6 k, или h(Γ) =∞? В.Ши (W. J. Shi)Нет, такого числа нет: h(πe(L3(7

3r ))) = r+1 для любого r > 0 (A. V. Zavarnitsine,J. Group Theory, 7, 1 (2004), 81–97).

Архив 203

13.66. Пусть F — а) свободная; б) свободная метабелева группа конечногоранга. Обозначим через M множество всех эндоморфизмов группы F с нецик-лическими образами. Можно ли выбрать два таких элемента g, h ∈ F , что длялюбых φ, ψ ∈M из того, что φ(g) = ψ(g) и φ(h) = ψ(h), следует, что φ = ψ, т. е.эндоморфизмы из M однозначно определяются своими значениями на g и h?

В. Э.Шпильрайна) Да, можно (D. Lee, J. Algebra, 247, 2, 509–540).б) Нет, не всегда (Е. И. Тимошенко, Мат. заметки, 62, 6 (1997), 916–920).

14.25. Обозначим через qG квазимногообразие, порожденное группой G. Верноли, что существует такая конечно-порожденная группа G, что множество соб-ственных максимальных подквазимногообразий в qG бесконечно? А.И. БудкинДа, верно (В. В.Блудов, Алгебра и логика, 41, 1 (2002), 3–15).

14.27. Пусть Γ — группа, порожденная конечным множеством S. Предположим,что существует вложенная последовательность F1 ⊂ F2 ⊂ · · · конечных подмно-жеств из Γ со следующими свойствами: (i) Fk = Fk+1 для всех k > 1; (ii)Γ =

∪k>1 Fk; (iii) lim

k→∞|∂Fk||Fk| = 0, где по определению ∂Fk = γ ∈ Γ \ Fk | суще-

ствует s ∈ S такой, что γs ∈ Fk; (iv) существуют константы c > 0 и d > 1такие, что |Fk| 6 ckd для всех k > 1. Будет ли тогда Γ группой полиномиальногороста? А.Вайян (A.G. Vaillant)Нет, не всегда; этими свойствами обладает и любая группа промежуточного роста(В. Г.Бардаков, Алгебра и логика, 40, 1 (2001), 22–29).

14.48. Если уравнение над свободной группой F не имеет решений в F , верно ли,что тогда это уравнение не имеет решений и в некоторой конечной фактор-группегруппы F? Л.Комерфорд (L. Comerford)Нет, не всегда (T.Coulbois, A.Khelif, Proc. Amer. Math. Soc., 127, 4 (1999),963–965).

14.49. Является ли группа SL3(Z) фактор-группой модулярной группыPSL2(Z)? Так как модулярная группа изоморфна свободному произведению двухциклических групп порядков 2 и 3, то вопрос в том, порождается ли группаSL3(Z) двумя элементами порядков 2 и 3. М.Кондер (M. Conder)Нет, не является (M. C. Tamburini, P. Zucca, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis.Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl., 11, 1 (2000), 5–7; Я.Н. Нужин,Мат. заметки, 70, 1 (2001), 79–87). Однако М.Кондер показал, что в SL3(Z)есть подгруппа индекса 57, являющаяся фактор-группой модулярной группыPSL2(Z). Также показано (M. C.Tamburini, J. S.Wilson, N. Gavioli, J. Algebra, 168(1994), 353–370), что SLd(Z) — фактор-группа модулярной группы PSL2(Z) длявсех d > 28.

14.50. (З.И. Боревич). Подгруппа A группы G называется паранормальной (со-ответственно полинормальной), если для любого x ∈ G имеет место включениеAx 6 ⟨Au | u ∈ ⟨A,Ax⟩⟩ (соответственно Ax 6

⟨Au | u ∈ A⟨x⟩

⟩). Всякая ли поли-

нормальная подгруппа конечной группы паранормальна? А.С. КондратьевНет, не всякая (В. И. Мысовских, Докл. Акад. наук, 367, 4 (1999), 445–446).

204 Архив

14.52. Известно, что если конечно порожденная группа аппроксимируется ниль-потентными группами без кручения, то она аппроксимируется конечными p-группами для любого простого числа p. Верно ли обратное? Ю.В. КузьминНет, не верно (B. Hartley, in: Symp. Math., Bologna, Vol. XVII (Convegno sui GruppiInfiniti, INDAM, Roma, 1973 ), Academic Press, London, 1976, 225–234).

14.58. б) Пусть A — периодическая группа регулярных автоморфизмов абелевойгруппы. Конечна ли A, если она порождается элементами порядка 3?

В.Д. МазуровДа, конечна (А. Х. Журтов, Сиб. мат. ж., 41, 2 (2000), 329–338).

14.62. Пусть H — неразрешимая нормальная подгруппа конечной группы G.Всегда ли в H существует максимальная разрешимая подгруппа S такая, чтоG = H ·NG(S)? В.С.МонаховДа, всегда mod CFSG (В. И. Зенков, В. С.Монахов, Д. О.Ревин, Алгебра и логика,43, 2 (2004), 184–196).

14.66. (Известный вопрос). Пусть G — конечная разрешимая группа, π(G) —множество простых делителей порядка G, а ν(G) — максимум числа простыхделителей порядка элемента из G. Существует ли линейная оценка для |π(G)| втерминах ν(G)? А.Морето (A. Moreto)Да, существует (T. M. Keller, J. Algebra, 178, 2 (1995), 643–652).

14.71. Рассмотрим свободную группу F конечного ранга и произвольную груп-пу G. Определим G-замыкание clG(T ) любого подмножества T ⊆ F как пересече-ние ядер всех тех гомоморфизмов µ : F → G группы F в группу G, которые три-виальны на T : clG(T ) =

∩Kerµ | µ : F → G; T ⊆ Kerµ. Скажем, что группы

G и H геометрически эквивалентны, если для любой свободной группы F и лю-бого подмножества T ⊂ F его G- и H-замыкания совпадают: clG(T ) = clH(T ).Нетрудно показать, что если G и H геометрически эквивалентны, то у них однии те же квазитождества. Верно ли, что если у двух групп одни и те же квази-тождества, то они геометрически эквивалентны? Это верно для нильпотентныхгрупп. Б.И.ПлоткинНет, вообще говоря, не верно (В. В.Блудов, Тезисы междун. конф. Логика и при-ложения, Новосибирск, 2000, с. 18; R. Gobel, S. Shelah, Proc. Amer. Math. Soc.,130 (2002), 673–674 (electronic); A. G.Myasnikov, V.N. Remeslennikov, J. Algebra,234 (2000), 225–276). В последней работе найдены также необходимые и доста-точные условия геометрической эквивалентности.

14.77. Пусть p — простое число, а X — конечное множество степеней числа p,содержащее 1. Верно ли, что X является множеством всех порядков классовсопряженных элементов в некоторой конечной p-группе?

Дж.Сангронис (J. Sangroniz)Да, верно (J. Cossey, T.Hawkes, Proc. Amer. Math. Soc., 128, 1 (2000), 49–51).

14.86. Существует ли бесконечная локально нильпотентная p-группа, совпада-ющая со своим коммутантом, в которой каждая собственная подгруппа нильпо-тентна? Дж.Уайголд (J. Wiegold)Нет, не существует (A. O.Asar, J. Lond. Math. Soc. (2), 61, 2 (2000), 412–422).

Архив 205

14.96. Предположим, что конечная p-группа P допускает автоморфизм поряд-ка pn, имеющий ровно pm неподвижных точек. Согласно (Е.И. Хухро, Мат. сб.,184 (1993), 53–64) группа P содержит подгруппу индекса, ограниченного в тер-минах p, n и m, которая разрешима ступени, ограниченной в терминах pn. Верноли, что P также содержит подгруппу индекса, ограниченного в терминах p, nи m, которая разрешима ступени, ограниченной в терминах m? Положительныеответы известны для m = 1 (S.McKay, Quart. J. Math. Oxford, Ser. (2), 38 (1987),489–502; I. Kiming, Math. Scand., 62 (1988), 153–172) и для n = 1 (Ю.А.Медведев,см. Архив, 10.68). Е.И. ХухроДа, верно (A. Jaikin–Zapirain, Adv. Math., 153, 2 (2000), 391–402).

14.103. Пусть H — собственная подгруппа группы G, элементы a, b ∈ H име-ют различные простые порядки p, q, и для всякого g ∈ G \ H подгруппа ⟨a, bg⟩является конечной фробениусовой группой с дополнением порядка pq. Будет липодгруппой объединение ядер всех фробениусовых подгрупп группы G с допол-нением ⟨a⟩? Особенно важен случай, когда все подгруппы ⟨a, bg⟩, g ∈ G, конечны.

В. П.ШунковНет, в общем случае не будет. В качестве контрпримера можно взять G =⟨x, y, z, a, b | x7 = y7 = [x, y, y] = [x, y, x] = a3 = b2 = [a, b] = 1, xa = x2, ya =y2, xb = x−1, yb = y−1⟩ с H = ⟨a, b⟩. Аналогичные примеры есть и для p = 2,и для любого нечетного простого q. (А. И.Созутов, 2002.)

14.104. Бесконечная группа G называется монстром первого рода, если она об-ладает элементом порядка > 2 и для любого такого элемента a и любой собствен-ной подгруппы H группы G в разности G \H найдется элемент g, для которого⟨a, ag⟩ = G. А. Ю.Ольшанский показал, что существует континуум монстров пер-вого рода (см. Архив, 6.63). Существует ли для каждого такого монстра группабез кручения, являющаяся центральным расширением циклической группы с по-мощью заданного монстра? В. П.ШунковНет, не для каждого, поскольку для существования такого расширения необхо-димо, чтобы любая конечная подгруппа монстра была циклической, а это требо-вание не всегда выполнено (А.И. Созутов, письмо от 20.11.2001).

15.4. Верно ли, что из большого роста следует неаменабельность? Более точно,рассмотрим число ϵ > 0, целое число k > 2, группу Γ, порожденную множе-ством S из k элементов, и соответствующий экспоненциальный порядок ростаω(Γ, S), определенный в 14.7. Верно ли, что для достаточно малых ϵ неравенствоω(Γ, S) > 2k − 1− ϵ влечет неаменабельность группы Γ?

Если ω(Γ, S) = 2k − 1, то группа Γ свободно порождается множеством S и, вчастности, неаменабельна; см. (R. I. Grigorchuk, P. de la Harpe, J. Dynam. ControlSyst., 3 (1997), 51–89). П. де ла Арп (P. de la Harpe)Нет, не верно. Контрпримеры имеются даже в классах почти метабелевых группи групп с абелевым членом нижнего центрального ряда. (G. N.Arzhantseva,V. S. Guba, L. Guyot, J. Group Theory, 8 (2005), 389–394).

206 Архив

15.8. а) (С.Улам). Рассмотрим группу SO(3) всех вращений трехмерного евкли-дова пространства; пусть G обозначает эту группу, рассматриваемую как дис-кретную группу. Может ли группа G нетривиально действовать на счетном мно-жестве? П. де ла Арп (P. de la Harpe)Да, может (S. Thomas, J. Group Theory, 2 (1999), 401–434); другое доказательствоесть в (Ю. Л.Ершов, В.А. Чуркин, ДАН, 399, 3 (2004), 307–309).

15.14. Существуют ли конечно порожденные ветвящиеся группы (см. 15.12),а) которые неаменабельны?в) которые содержат F2?г) которые имеют экспоненциальный рост?

Л.Бартольди (L.Bartholdi), Р.И. Григорчук, З.Шунич (Z. Sunik)а), в), г) Да, существуют (S. Sidki, J. S. Wilson, Arch. Math., 80, 5 (2003), 458–463).

15.44. б) Верно ли, что кольцо K[M(n)m]GL(n) Коэн–Маколеево во всех характе-ристиках? (Здесь M(n)m — прямая сумма m копий пространства матриц n× n.)

А.Н. ЗубковДа, верно (M. Hashimoto, Math. Z., 236 (2001), 605–623).

15.60. Верно ли, что любая конечно порожденная p′-изолированная подгруппасвободной группы отделима в классе конечных p-групп? Легко видеть, что этоверно для циклических подгрупп. Д.И. МолдаванскийНет, не верно (В. Г.Бардаков, Сиб. матем. ж., 45, 3 (2004), 505–509).

15.63. б) Пусть Fn — свободная группа на свободных порождающих x1, . . . , xn.Элемент u ∈ Fn называется положительным, если u лежит в полугруппе, порож-денной элементами xi. Элемент u ∈ Fn называется потенциально положитель-ным, если элемент α(u) положителен для некоторого автоморфизма α группы Fn.Наконец, элемент u ∈ Fn называется стабильно потенциально положитель-ным, если он потенциально положителен как элемент группы Fm для некоторогоm > n. Существуют ли стабильно потенциально положительные элементы, неявляющиеся потенциально положительными? А.Г.Мясников, В. Э. ШпильрайнНет, не существуют (A.Clark, R. Goldstein, Commun. Algebra, 33, 11 (2005)4097–4104).

15.75. а) Существует ли последовательность тождеств от двух переменныхu1 = 1, u2 = 1, . . . со следующими свойствами: 1) каждое из этих тождестввлечет следующее, и 2) произвольная конечная группа разрешима тогда и толь-ко тогда, когда она удовлетворяет одному из этих тождеств? Б.И.ПлоткинДа, существует (T. Bandman, F.Grunewald, G.-M. Greuel, B.Kunyavskii, G. Pfister,E. Plotkin, C.R.Acad. Sci. Paris, Ser. I, 337 (2003), 581–586; J.N. Bray, J. S. Wilson,R.A. Wilson, Bull. Lond. Math. Soc., 37, (2005) 179–186).

15.81. Верно ли, что любая конечная несверхразрешимая группа G обладаетнециклической силовской подгруппой, максимальная подгруппа которой не имеетсобственного дополнения в G? А.Н. СкибаДа, верно (Wang, Yanming, Wei, Huaquan, Sci. China Ser. A, 47, 1 (2004), 96–103).

207

Указатель фамилий

Абашеев Б.Л. A: 7.30Агалаков С. А. A: 2.19Адамов С.Н. A: 10.1Адян С. И. 4.2, 4.5, 7.3, A: 1.24, 1.63,

1.82, 2.13, 2.15, 2.39, 3.9, 4.1,4.3–5, 7.1–2, 7.2, 13.34

Азаров Д.Н. A: 11.10Алеев Р.Ж. 11.1–3, 12.1, 13.1, 14.1–3,

A: 12.1Анашин В.С. 10.2–5Аносов Д.В. 8.8, A: 8.8Анохин М. И. 13.2, A: 6.14, 8.26, 8.28,

12.98Антонов В.А. 6.1–2, A: 10.1, 11.4Аржанцева Г.Н. A: 15.4, 11.75Арнаутов В.И. 10.8, 14.4–5, A: 10.6,

10.6, 10.7, 10.7, 12.2, 12.2Артамонов В. А. 4.6–7, 11.5, 13.3Артемович О.Д. A: 4.21Атабекян В. С. A: 1.83, 7.1, 8.53Ахмедов Н.С. 4.42Ашманов И.С. A: 2.45

Бардаков В. Г. 14.11–17, 15.9–11,15.10, 16.7–10, 17.14–16, A: 11.20,11.54, 11.55, 14.27, 15.60

Бахтурин Ю.А. A: 2.41Белеградек О. 15.86Белецкий П.М. A: 4.38Белов А.Я. 2.40 A: 2.39Белов Ю.А. A: 3.53, 10.56Белоногов В.А. A: 2.1Белоусов В. Д. A: 2.2Беляев В. В. 5.1, 7.5, 7.6, 7.6, 11.109,

13.5–9, 15.20—23, A: 1.75, 4.35 ,5.1–2, 7.4, 9.3

Беркович Я. Г. 4.13, 11.8–9, 15.24,15.25–33, 16.11–14, A: 2.3, 3.28,4.12

Берман С.Д. 3.2, 14.2Блощицын В.Я. A: 5.34Блудов В.В. 5.4, 5.4, 5.23, 11.10,

11.68, 12.14, 13.11, 13.57, 15.34,15.34, 16.15–19, 16.17, 16.35,17.26–31, A: 1.47, 1.49, 1.52, 1.60,3.17, 6.53, 8.56, 10.66, 11.10, 13.10,13.16, 13.54, 14.25, 14.71

Бовди А.А. 12.1

Боган Ю. А. A: 1.1, 2.4Богопольский О. В. 13.12, 14.23, 14.24,

15.35, 17.32, A: 10.69, 13.61Бокуть Л. А. 1.3, 1.5–6, 3.3, A: 1.2,

1.4, 1.4, 3.4Боревич З. И. A: 14.50Боровик А.В. 7.6, 11.11–13, 11.109,

A: 1.75, 11.11Борщев А. В. 3.33Бродский С. Д. 11.62, A: 1.2, 4.10Брюханов О. В. 17.16Брюханова Е. Г. 7.31Будкин А.И. 2.40, 10.10, 13.14–15,

14.26, 15.36, 16.20, 17.33–34,A: 3.15, 3.52, 5.51, 10.9, 12.5, 14.25

Буриченко В. П. 12.49Бутурлакин А. А. 16.25

Валиев М. К. A: 1.17Вапнэ Ю. Е. A: 3.29Васильев А. В. 12.39, 16.24–27, 17.36Васильев А. Ф. 14.28–29, 15.38–39,

17.37–39, A: 11.21, 11.24, 12.7Вассерштейн Л. Н. 14.15, 16.21–23Вдовин Е. П. 13.33, 15.40, 16.28–29,

17.40–45, A: 3.62, 4.27Ведерников В. А. 16.30–32, A: 3.6,

9.58Веретенников Б. М. 17.46Вершик А. М. 12.28Виляцер В. Г. 11.23, A: 3.7–8Вовси С. 3.43, 13.17, A: 2.61Волочков А. А. 14.63Воробьев Н. Т. 8.30, 11.25, 14.30–31,

A: 9.18, 9.58, 11.24–25, 11.25Воскресенский В. Е. A: 5.7, 5.7

Гварамия А. А. 9.4, A: 2.2, 2.2Глушков В. М. 6.11Голикова Е. А. 12.15Головин О.Н. 2.9, 12.30, A: 2.7, 2.8Голод Е. С. 9.76, 15.6, A: 2.64, 8.66Гончаров С.С. 12.16–17Горбунов В.А. 9.5–6, A: 3.15Горчаков Ю. М. 3.12, 6.9, 10.16,

13.19, A: 1.9, 1.9, 1.10, 2.18, 2.43,2.44, 3.9–11, 6.8, 7.8

Горюшкин А.П. A: 3.11, 4.59

208 Указатель фамилий (A: Архив)

Гречкосеева М. А. 12.39, 16.106Григорчук Р.И. 8.8, 8.9, 9.7–9,

10.11–13, 12.19, 12.20, 13.20, 13.21,14.33–34, 15.12–19, 15.78, 16.34,16.84, 16.101, 16.101, A: 4.5, 5.2,8.6–7, 8.6, 8.8, 9.50, 13.21, 15.4,15.14

Гриндлингер М.Д. 1.12–13, A: 1.11,1.14, 1.17

Громов М. 14.7, A: 5.68, 7.4, 11.74Губа В.С. 9.10, 15.42, A: 1.1, 6.44,

8.8, 15.4Гудивок П. М. 12.21Гурченков С. А. A: 1.61

Дерябина Г.С. A: 1.81, 13.10, 13.34Докторов И.П. A: 4.27Долбак Л.В. 11.88

Егорычев Г.П. A: 2.18Ершов А.В. A: 7.30Ершов Ю. Л. 1.19–20, 11.66, A: 1.18,

3.13, 15.8Ершов М. 13.36, 14.33, 14.34, 14.55,

14.93, 15.6

Жаров С. В. A: 9.19Журтов А.Х. 10.60, 15.98, A: 14.58

Заварницин А.В. 14.60, A: 13.63Загорин Д.Л. A: 4.27, 9.63Зайцев Д. И. 9.11, 9.13–14, 11.30–31,

A: 2.70, 4.57–58, 6.12, 6.12, 9.12,10.14

Залесский А.Е. 3.2, 11.32–33, 11.34,12.27–29, 16.29, A: 3.14, 4.28, 4.28,4.29, 4.29, 11.33, 11.35

Залесский П.А. 16.40–41, A: 8.70,12.70

Замятин А.П. 7.23, A: 4.63Зеленюк Е. Г. 13.24–26, 13.24–25,

16.42–44, 16.43 17.49–51, A: 10.6,12.2, 13.46–47

Зельманов Е. И. 12.95, 13.21, 14.42,15.41, A: 3.41, 4.74, 9.34

Зенков В. И. A: 14.62, 5.12, 5.32, 9.27,11.64, 12.25, 12.26

Зубков А. Н. 14.37–42, 14.37, 15.44,15.93, A: 11.21, 15.44

Зюбин А.С. 6.38, 11.70Иванов А.А. A: 8.37

Иванов С. В. 1.13, 2.72, 11.36–40,12.30, 12.32, A: 1.81, 2.8, 2.45, 4.1,4.45, 4.46, 4.73, 4.74, 6.16, 6.18,8.20, 11.37, 11.37, 11.74, 12.31

Иванов С. Г. A: 2.13Игнатов Ю. А. A: 4.41Изосов А. В. 11.42

Кабанов В. В. 5.14, A: 5.12–13, 6.13Кабанова Е. И. A: 10.7Кабенюк М. И. A: 3.58Каждан Д. 14.34, 15.12, A: 2.50Казарин Л. С. 11.44, 11.94, 12.33–34,

13.27, 14.43–44, 14.63 17.52–53,A: 4.27, 5.63–64, 6.37, 8.48, 9.63,11.43

Кальюлайд У.Э. 14.45Каморников С. Ф. 12.35, 14.47, 15.38,

15.39, 15.39, 16.12, 16.82, 16.82,17.54–55, A: 9.73–74, 11.24, 12.7

Капович И. 16.110Карасев Г.А. A: 2.15Каргаполов М.И. 1.27–29, 1.31, 1.33,

1.35, 3.16, 4.30–31, 4.33–34, 4.42,8.15, A: 1.21, 1.23–26, 1.30, 1.32,1.34–35, 1.48, 1.56, 2.16–20, 2.16,2.22, 2.46, 3.15, 3.18, 4.32

Кемер А. Р. 2.39Кемхадзе Ш.С. 1.40, 2.22, 8.15–16,

A: 1.36, 1.38–39, 2.21–23, 8.17Керов С. В. 12.28Клейман Ю.Г. 8.19–20, A: 2.40, 2.45,

3.4, 4.47, 4.64, 5.43, 6.17, 8.18Клейменов В. Ф. A: 1.53, 8.56Княгина В. Н. 17.56Кожевников П. А. A: 4.46, 4.73, 6.15,

6.16, 8.20, 13.34Козлов Г.Т. A: 3.13, 3.21Кокорин А.И. 1.46, 1.51, 1.54–55,

2.24–26, 2.28, 3.20, A: 1.41–45,1.41–43, 1.47–50, 1.48, 1.52–53,1.56, 1.56, 1.60–61, 2.25, 3.13,3.17–19, 3.21, 5.20

Колесников С. Г. 8.3, 12.42Колмаков Ю. А. A: 5.56Кондратьев А. С. 9.15, 10.15, 12.37,

12.38–40, A: 4.24, 6.13, 6.13, 8.39,9.16, 9.16, 14.50

Конторович П. Г. A: 1.63–64, 2.29–30Концевич М. 17.84

Указатель фамилий (A: Архив) 209

Копытов В. М. 5.23, 5.25, 8.24, 13.32,16.47–51, A: 1.35, 1.41–43, 1.48,1.56, 2.31, 5.24

Кострикин А.И. 11.48, 11.112,A: 5.56, 7.53

Кравченко А. А. A: 3.31Кравчук М.И. A: 2.3Красильников А.Н. 14.51, A: 2.43,

7.24, 11.21, 13.10Кузнецов А.А. 16.57Кузнецов А.В. 7.23, 7.25–26, 8.25,

8.27, A: 6.14–17, 7.24, 8.26, 8.28Кузнецов Е.А. A: 4.70Кузьмин Ю. В. 12.22, 16.66, 17.81,

A: 11.29, 12.22, 12.22, 14.52Кузьминов В. И. A: 2.33, 2.35–36,

2.36, 3.22Кукин Г.П. A: 5.46Куликов Л. Я. 1.65, 1.67 A: 1.66Курдаченко Л.А. 8.29, 9.17, 10.16,

10.17–18, 11.49, A: 6.12, 9.17, 9.17Курош А.Г. 7.25, A: 9.79

Левич Е.М. 3.47, A: 1.69Левчук В. М. 7.27–28, 8.31, 10.19–20,

12.42, 15.46, A: 6.18, 6.19, 6.34Ленюк С.В. A: 12.5Лиман Ф.Н. 8.33Лоссов К.И. A: 2.75, 4.45, 9.82Львов И.В. A: 2.41, 5.56Лысенок И. Г. A: 4.1, 4.74Лыткина Д.В. 16.57

Мазуров В.Д. 5.30, 6.21, 7.31, 7.30,8.35, 9.19, 9.23–24, 11.52, 12.39,12.48, 12.62, 13.33, 13.57, 14.58–60,15.50–54, 15.98, 16.27, 16.54–57,17.66–75, 17.119, A: 2.3, 2.30, 2.37,3.6, 3.26–28, 3.61, 4.38, 4.77, 5.32,6.20, 7.30, 8.35, 8.37, 8.39, 9.19,9.19, 9.21, 10.63, 11.53, 11.97,12.49, 12.84, 13.34, 14.58

Маканин Г.С. 6.24, 9.25, 10.23, 10.25,10.26, 12.50, A: 1.11, 1.18, 6.22–23,6.25, 10.24, 11.54–55

Маканина Т.А. 6.24Макаренко Н. Ю. 11.126Мальцев А. И. 1.6, 1.19, 1.33, 1.35,

2.40, 2.42, 2.82, A: 1.4, 1.35, 2.8,2.38–41, 2.43–44, 2.64, 3.19

Малыхин В.И. 13.49

Маргулис Г.А. A: 2.49–50, 2.55Марин Е. И. A: 10.6Матвеев Г.В. A: 2.16Махнев А.А. 5.14, 6.26, 6.28, 7.33,

7.34, 8.40–43, 9.26, 9.28, 10.27–29,11.58–60, 12.57–60, 14.61, A: 5.13,9.26–27, 9.26

Медведев Н.Я. 16.47–51, A: 1.60,5.20, 5.24, 10.30

Медведев Ю.А. 2.82, A: 10.68, 14.96Мельников О. В. 6.29–32, 7.35, 7.37,

7.38, 11.61, 13.35–37, 15.58–59,A: 3.40, 6.31, 7.37, 12.97, 13.38,13.38

Мерзляков Ю. И. 4.40, 4.42, 5.35,7.40–41, 8.3, 8.45, 9.29–31, 10.31,10.32, 14.11–12, 14.16, 15.10, 15.83,15.84, A: 1.38, 1.68–70, 1.73, 2.13,2.22, 2.45–46, 2.46, 3.15, 3.29, 4.41,4.60, 5.34, 6.34–36, 8.46–47, 10.33

Микаэлян В. 14.10Минасян А. 11.42, 16.101Михайлов Р. 15.10, 16.65–66, 17.81–90Михайлова К. А. 16.7Михалев А. В. 10.8Мишина А. П. A: 2.47, 3.30–31Молдаванский Д. И. 3.33–34, 3.33,

11.62–63, A: 15.60Монахов В. С. 10.34, 14.63, 15.61,

17.56, 17.91–92, A: 6.37, 8.48, 11.64,14.62, 14.62

Москаленко А. И. A: 3.35Музычук М. 16.3Муранов А. 13.11, 14.13Мурский В. М. A: 2.40Мухаметьянов И. Т. 14.67Мухин Ю. Н. 3.38, 5.36, 9.32, 9.35,

9.36–38, A: 3.35, 3.37, 9.33–34Мысовских В. И. A: 14.50Мясников А. Г. 1.29, 9.67, 11.65–66,

13.39, 13.41–42, 14.18–22, 15.63,15.86, 16.70–72, A: 13.18, 13.40,13.40, 14.71, 15.63

Нагребецкий В. Т. 4.44, A: 2.29, 3.39Нарзуллаев Х. Н. 4.42Невмержицкая Н. С. A: 7.30Недорезов Т.Л. 13.57Некрашевич В. В. 15.19, 16.34, 16.73,

16.73, 16.74, 16.84Нерославский О. М. A: 2.65


Нещадим М.В. 14.68, 16.75Новиков П. С. A: 1.24Носков Г.А. 6.31, 10.35–40, 10.42,

A: 1.70, 4.32, 4.49, 4.52, 6.31,10.37, 10.41

Нужин Я. Н. 14.69, 15.67, 16.76,A: 7.30, 14.49

Образцов В.Н. A: 6.46, 8.32, 9.79,9.81, 10.14, 11.4, 11.128, 12.45

Ольшанский А. Ю. 4.46, 4.48, 5.42,5.44, 8.52–55, 11.72–73, 12.64, 14.76,15.68–70, 16.64, 16.101, 17.99,A: 2.7, 2.39, 2.41, 2.45, 2.61, 2.66,2.73, 4.46–47, 4.61, 4.73, 5.22, 5.41,5.43, 5.69, 6.63–64, 7.1, 7.42, 8.7,8.53, 8.56, 9.80, 11.74–75, 11.74,11.75, 11.106, 14.104

Осин Д.В. 9.10Остыловский А.Н. A: 7.42

Палютин Е.А. A: 3.22Петечук В.М. 10.43–47, A: 8.46Пискунов А. Г. A: 8.63Платонов В. П. 1.74, 2.48, 2.53, 2.56,

A: 1.32, 1.71–73, 1.71–72, 1.75–76,2.16, 2.46, 2.49–52, 2.55, 3.40–41

Плоткин Б. И. 3.43–49, 6.39, 14.70,15.75–76, 16.15, 16.66, 16.77, 17.101,A: 1.69, 2.58–59, 2.61–62, 2.61,2.64–65, 14.71, 15.75

Плоткин Е. 15.76, A: 15.75Подуфалов Н. Д. 9.43, 11.76–77, 12.66,

A: 4.23, 6.42, 8.73, 9.43, 9.43,10.48, 10.48

Полецких В. М. 8.59–60, 9.44, 12.67,12.68

Пономарев К. Н. 11.78, 12.69, 14.72,A: 11.79, 11.79

Попов А.М. 10.61Попов В.Ю. 2.40Попов Ю.Д. 9.45Прищепов М.И. A: 8.10Протасов И. В. 8.59, 8.62, 9.45, 9.47,

9.49, 11.81, 13.25–26, 13.44–45,13.48–49, 15.77–80, 17.51, 17.102,A: 1.76, 3.37, 8.63, 9.46, 9.46, 9.48,13.46–47

Пятецкий-Шапиро И.И. 11.9

Разборов А. А. A: 1.18, 6.25Размыслов Ю. П. A: 5.56, 9.50Ревин Д. О. 13.33 17.43–45, 17.103,

A: 3.62, 14.62Рейбольд А. В. A: 9.62Ремесленников В. Н. 4.50, 5.47–48,

7.58, 11.65–66, 11.83–84, 13.39,13.41–42, 14.18–22, 14.42, 15.86,16.70, 17.104, A: 2.16–17, 2.46,4.49, 4.51–53, 4.62, 5.46, 5.49, 11.82,13.40, 14.71

Рипс Е. A: 2.59Рожков А. В. 9.77, 13.55, 16.79,

A: 6.58, 8.66, 13.21Романовский Н. С. 3.47, 11.85–86,

16.80, 17.105, A: 5.29, 6.36Романьков В.А. 11.86–88, 16.92, 2.64,

A: 3.8, 4.49, 8.71, 11.54–55Рудько В.П. 12.21Руколайне А. В. 10.50Румянцев А. К. 8.64, A: 6.43Рычков С. В. 10.51–55, 11.89–90

Садовский Л. Е. 2.67–68, A: 2.66Саксонов А. И. 3.50–51Сапир М. В. 17.107–108 A: 5.22, 8.7Саркисян О. А. A: 4.4Сафонов В. Г. 14.80Сексенбаев К. A: 1.84Селькин М. В. 16.82Семенов Ю. С. A: 6.22Семенчук В. Н. 12.72, A: 8.87, 11.91Сенашов В. И. 10.75Сергиенко В. И. A: 7.44Середа В. А. 11.101Сережкин В. Н. A: 4.29Сесекин Н.Ф. 5.1, 6.1–2, 7.6, A: 1.78,

1.78, 2.69–70, 4.57–58, 5.1–2Симонян Л. А. A: 2.58Ситников В. М. A: 3.6Скиба А. Н. 9.57, 9.59–60, 10.57–58,

11.92, 12.73, 13.50–51, 14.47,14.78–81, 16.82, 17.37, 17.111–112,A: 6.52, 9.58, 10.56, 10.56, 10.72,11.25, 11.91, 12.74, 12.74, 15.81

Слободской А. М. A: 1.25Смирнов Д. М. 2.72, 7.45, 8.64, 9.61,

12.75, 13.52, A: 1.44–45, 1.50, 2.71,3.52–53, 4.59–60, 5.50–51, 6.43,9.62, 9.62, 11.93, 11.93


Созутов А. И. 8.67, 10.59–62, 10.61,11.101, 13.53–54, 14.82–83, 15.82,A: 1.39, 6.54, 6.63, 8.66, 10.76,11.11, 12.76, 13.54, 14.103–104

Сойфер Г.А. A: 2.55Соколов В. Г. 7.58, A: 2.16, 2.18, 2.79Сонкин Д. 16.101Сосновский Ю. В. 15.83–85, 16.83,

A: 8.47Старостин А.И. 2.74, 5.14, 12.15,

12.77, A: 1.80, 2.1, 2.30, 2.73, 12.78Степин А. М. 9.7Сторожев А. 2.72, 16.64, A: 4.46, 4.73,

6.16, 8.18, 8.20, 8.22, 12.31Струнков С. П. 3.55, 11.94–96, 11.98,

11.99–100, 12.79, 12.80, A: 2.75,3.56, 11.97, 11.98, 12.80

Супруненко Д. А. A: 2.76–77Супруненко И. Д. 11.32Суслин А. А. 10.36Сучков Н. М. 15.82, 15.87, A: 10.76Сущанский В.И. 12.81–82, 15.19,

16.34, 16.84–86, A: 2.83Сысак Я. П. 8.67, 9.64–65, 10.64,

A: 1.36, 2.70, 9.54, 9.63, 10.63Сыскин С.А. 12.85–86, 15.98, A: 3.6,

3.59, 4.16, 4.22, 4.61, 5.41, 7.48,12.84

Тайманов А.Д. 9.66–67Тимофеенко А. В. 9.76, 11.101, 13.55,

A: 6.58, 7.30Тимошенко Е. И. 4.33, 14.84–85, 14.88,

15.88, 16.88, 17.104, A: 2.16, 2.20,13.66

Токаренко А. И. 3.47, A: 1.69, 2.46Толстых В. А. 16.9–10, 16.88–94Топале А. Г. 14.4–5Трахтман А.Н. A: 2.41Трофимов В.И. 7.49, 12.87–89, 15.89,

15.90, 15.90Трофимов П.И. 2.78, 3.57Туленбаев М. С. 10.36Тушев А. В. 15.91, A: 6.12, 9.12,

12.46, 12.90Тютянов В. Н. 17.112

Федоров А. Н. A: 5.50Фесенко И. Б. 14.93–94, A: 12.24Фомин А.Н. 7.50–52, 9.69–71, 10.65,

14.67, A: 10.1, 10.66

Фон-Дер-Флаасс Д. Г. 8.77Фридман Э. И. A: 3.21

Хайкин–Запирайн А. 14.34, 14.89,14.92, 14.95, 15.6, 15.93, 16.102,17.109, 17.110, A: 13.56, 14.96

Харлампович О. Г. 1.29, 9.67, 14.22,16.70–72, 17.117, A: 1.25, 1.30, 4.3,7.24, 13.18, 13.40

Харченко В. К. 13.57Хламов Е. В. A: 8.56Хусаинов А. А. A: 2.35Хухро Е. И. 6.47, 8.85, 10.67,

11.112–113, 11.126, 13.57–58, 13.58,15.95–96, 16.103, 17.118–119,A: 1.10, 3.26, 4.76, 5.56, 6.19, 7.8,7.53, 7.53, 8.81, 10.68, 11.112,13.56, 14.96

Цаленко М. С. A: 2.79Цыбенко Ю. В. 9.49

Чанков Е. И. 11.94Чарин В. С. 8.60, 8.86, A: 3.58Череп А. А. A: 6.57Черников Н.С. 6.48, 7.54–56, 11.114,

13.60, 14.97, 15.97, 16.105, 17.120,A: 2.69, 5.19, 5.62

Черников С. Н. 2.80, 15.97, A: 5.62Чунихин С. А. A: 5.63Чуркин В. А. 7.57, 10.71, 14.98, 16.75,

A: 2.31, 3.11, 7.57, 13.61, 15.8

Шаптала В. П. 11.115, A: 13.62Шафаревич И. Р. 15.6, A: 3.40Шахова С. А. A: 10.9Шеврин Л. Н. 2.81, 11.116, A: 1.81Шеметков Л. А. 3.60, 5.65, 6.51,

9.59–60, 9.75, 10.73, 11.117–121,12.96, 14.80–81, 14.99, 15.98,17.38–39, A: 2.1, 3.59, 3.59, 3.61,3.62, 4.71, 4.71, 5.64, 6.52, 8.87,9.58, 9.73–74, 10.56, 10.72, 10.72,11.24, 11.24, 12.97

Ширшов А. И. 2.82Шкуратский А. И. A: 4.41Шлепкин А. К. 14.100–101, 15.100–101Шмелькин А.Л. 1.86–87, 4.72–73,

11.122, A: 1.82–85, 1.88–89, 1.89,2.43, 4.73

Шпекторов С. В. A: 8.37


Шпильрайн В. 11.124, 14.85, 14.88,14.102, 15.63, 15.102–103, 16.9–10,16.108–110, 17.124, A: 5.49, 10.24,12.98, 13.66, 15.63

Шумяцкий П. В. 10.77, 11.125–126,12.100, 13.58, 15.104, 17.125–127

Шунков В. П. 2.84, 4.74–75, 5.67, 6.55,6.56, 6.59–62, 9.76–78, 9.83–84,10.74–75, 10.77–78, 11.56, 11.127,12.101, 13.67, 14.83, 14.100, 16.111,A: 1.23, 1.81, 1.90, 1.90, 2.83, 3.56,3.64, 4.74, 4.76, 6.53–54, 6.57–58,6.63–64, 6.63, 7.42, 8.66, 9.79–82,10.66, 10.76, 12.102, 14.103–104

Эйдинов М. И. A: 2.88

Ябанжи Г. Г. 7.58Ягжев А. В. 8.3, A: 2.76–77, 3.7, 8.84Яковлев Б. В. 9.36, A: 5.69

Abdollahi A. 15.1, 16.1, 16.61, A: 9.50,17.1–12

Adeleke S. A. 14.8Akbari S. 16.1Allenby R. B. J. T. 9.1, A: 9.2Alperin J. 4.24, 15.24, 16.33, 17.46,

A: 3.64, 4.76, 8.49Alperin R. 13.39, 16.2Amberg B. 7.56, 13.27Amir G. 16.74Andreadakis S. A: 10.33Angel O. 16.74Arad Z. 16.3, 16.4, A: 3.39, 7.12Artin E. A: 1.11, 17.14Asar A. O. 16.5, 16.6, 17.13, A: 4.36,

14.86Aronszajn N. 2.48Aschbacher M. 11.3, 11.60, A: 2.37,

5.41Auslander L. A: 1.34Avenhaus J. A: 9.30

Babai L. 17.41Bachmuth S. A: 5.49Baer R. 4.17–19, 11.11, 16.77, A: 2.88,

4.16, 11.11, 11.11Baginski C. 11.6Ballester-Bolinches A. 12.96Ban G. A: 12.78

Banach S. 10.12Bandman T. A: 15.75Barge J. 14.13Barker L. A: 12.80Bartholdi L. 15.12–19, A: 15.14Bass H. 10.40, 12.1, 12.9, 13.39, A: 12.1Baumann B. 13.4, A: 2.1, 3.27Baumslag B. A: 4.39Baumslag G. 2.72, 4.8–9, 4.11, 5.16,

6.5, 8.2, 13.39, 14.18–22, 15.86, 16.2,16.65, 17.90, 17.99, A: 3.15, 4.10

Bekka M. 14.6, 15.7Bell S. D. A: 9.3

Bencsath K. 11.7Benesh B. 12.82Bensaıd A. A: 7.48Benson D. J. A: 12.36Berger T. 5.30, 15.56Bergman G.M. 6.39, 16.50, 16.88–89,

17.17–25, A: 2.29, 2.71, 5.3Berrick A. J. 10.40Bestvina M. A: 6.35Bican L. A: 3.30, 3.31Bieri R. 6.3, 6.5, A: 6.4, 6.35Bigelow S. 17.16Birman J. S. 14.12, A: 10.24Blass A. 17.24Bonner T. 16.8Bonvallet K. 12.29Borcherds R. E. 15.55Borel A. A: 2.51Bousfield A. K. 17.89Bowtell A. A: 1.4Brady N. A: 6.35Brameret M.-P. A: 2.47Brandl R. 11.14–18, 12.3–4, 13.13Brauer R. 4.14, 9.23, 11.98, A: 3.64Bray J. 15.43, 16.55, A: 15.75Brenner J. L. 10.32Bridson M. 16.90Brown K. S. A: 6.4Bruhat F. A: 2.52, 2.52Bruijn de N. G. 17.22Brunner A. M. 15.19, 15.92Bryant R. 10.5, 16.92, A: 11.47Bryce R. A. A: 10.56Bugeaud Yann 13.65Burns R. G. 2.82, 15.92, A: 7.7Burnside W. 15.2Busetto G. 12.6


Buttsworth R. N. 16.51, A: 2.25

Calegari D. 17.107Cameron P. J. 9.69, 9.70, 11.45,

13.29–31, 16.45, A: 13.28Camina A. 14.46Camina R. 13.36, A: 12.24Cannonito F.B. 5.15–16, 7.19, 7.21Cao Zhenfu 13.65Caranti A. 11.46, A: 11.46Carlisle D. A: 12.36Carter R.W. A: 8.13Casolo C. 14.65Cavenagh N. J. 17.35Chase S. A: 2.4Chatterji I. 10.40Chermak A. L. 9.72Chevalley C. 2.56Chou C. 8.9Clare F. A: 1.68Clark A. A: 15.63Cohen A.M. 17.16Cohen D.E. A: 1.85, 5.28Cohn P.M. A: 2.38Collins D. J. 5.21, 10.70, 16.75, A: 5.22Comerford L. A: 14.48Comfort W.W. 13.48Conder M. 14.73, 16.46, A: 14.49, 14.49Conrad J. 17.62Cooper C. D. H. 6.47Cossey J. A: 5.17, 14.77Coulbois T. 14.48Cowling M. 14.6Craven D. 16.67Crawley-Boevey W. W. A: 12.36Curran M. J. A: 12.78Curtis C. 16.39Cuypers H. A: 12.76

Dalla Volta F. A: 11.27Damian E. 11.104Darafsheh M.R. 16.36–37, 16.37Dark R. S. A: 2.21, 17.47Day M. M. A: 8.6de Bruijn N. G. 17.22De Giovanni F. 13.22–23, 14.36, 16.38De la Harpe P. 14.6–10, 15.5–8, A: 5.2,

15.4, 15.8Deaconescu M. 15.43Dennis R.K. 14.15Detomi E. 11.104

Dicks W. A: 5.28, 11.110Digne F. 17.16Dixon J. D. 6.10–11Doerk K. 14.30Dolfi S. 14.65Donkin S. 15.44, 16.39Droste M. 10.32Dugas M. 10.53Dunfield N. M. 17.107Dunwoody M. J. A: 5.28, 13.62Dyer M. N. A: 4.54

Edmunds C.C. 14.14Eggert N. 17.52Emaldi M. A: 11.128Evans D. M. A: 13.28Evans R. J. 10.32Ezquerro L. M. 12.96

Fang X.G. 11.80Farbman S. P. 17.25Fein B. A: 7.16Feit W. 4.65, 6.10, A: 7.48Felsch W. 14.95Fernandez–Alcober G. 14.89–92Fine B. 14.88, 15.86, 15.86 A: 9.2Fitzpatrick P. A: 2.43Fong P. A: 4.76Fontaine J.-M. A: 12.24Formanek E. 12.92, A: 2.16Frobenius G. 12.92Fuchs L. 1.35, 2.25–26Fulman J. 15.65

Gaglione A. 11.19, 12.8–9, 13.39, 14.32,15.86, 15.86, A: 11.20, 13.18

Gallagher P. A: 11.43Garside F. A. A: 1.11Gaschutz W. 6.1, 9.59, 16.62Gavioli N. A: 14.49Geoghegan R. A: 6.4Ghate S. H. 17.47Ghys E. 14.13Gill N. 14.46Giovanni de F. 13.22–23, 14.36, 16.38Giraudet M. 12.14, 12.14Glass A.M. W. 5.23, 12.11–14, 12.14,

14.8, 15.34, 17.26–29, A: 12.10Glauberman G. 15.24, 16.33, A: 1.80,

4.21, 4.22–23, 6.7Gleason 6.11


Gluck D. 9.23, A: 11.33Gobel R. 10.54, A: 11.26, 11.26, 12.44,

14.71Goldschmidt D. M. 4.24, A: 4.24Goldstein R. A: 15.63Goodman A. J. 17.41Gorenstein D. A: 3.6, 3.64Greuel G.-M. A: 15.75Griess R. 7.15, 7.17, A: 7.12, 7.16, 8.37Griffith P.A. A: 2.4Groot de A: 2.36Gross F. 5.30, 7.31, 13.33, 17.44–45,

A: 3.26Grosser S.K. A: 9.34, 9.34Grossman J.W. A: 6.36Groves D. A: 11.105Groves J. R. J. 16.35, 17.30, A: 10.37Gruenberg K. W. 11.28, A: 5.8–11,

11.27Grunewald F. J. A: 4.53, 15.75Grytczuk A. 8.30Guo W. A: 12.74Gupta N.D. 11.17, 11.29, 12.4, 12.22,

14.35, 16.66, 16.96, A: 11.29, 11.29,12.22, 12.22

Guralnick R. M. 8.5, A: 6.6Gutsan M. 12.23Guyot L. A: 15.4

Hales A. W. 16.104Hall J. I. A: 12.76Hall M. 16.7Hall P. 4.6, 7.6, 10.16, 14.89, 17.101,

A: 2.45, 4.59–60, 12.31, 12.44–45Hammoudi L. 9.76, A: 8.66, 12.102Harpe de la P. 14.6–10, 15.5–8, A: 5.2,

15.4, 15.8Hartley B. 5.59, 7.6, 7.37, 8.78–79,

11.22, 11.49, 11.109, 11.111, 11.113,12.27, 12.29, 13.6–9, 15.20–21, 17.81,17.119, A: 1.75, 3.14, 4.76, 5.18,5.60–61, 5.60, 6.20, 7.37, 8.80,8.81, 8.80, 11.110, 11.110, 14.52

Hashimoto M. 15.44, A: 15.44Hassani A. 15.95Hauck P. 14.30Havas G. 11.80, A: 8.12, 9.50Hawkes T. A: 14.77Heffernan R. 17.77Heineken H. 11.17, 16.62, A: 12.91,

12.91

Helling H. 8.82–83Herfort W. N. A: 3.39, 9.34, 9.34,

12.70, 12.70Hering C. A: 9.21Herrman C. 12.75Hertzig D. A: 1.72Hewitt P.R. 13.59Hickin K. K. 7.6, 8.79Higman G. 6.21, 12.32, 14.10, 17.101,

A: 1.14, 4.76, 5.22Hilbert D. 6.11, 14.22Hilton P. A: 8.84, 12.93Hirzebruch F. 15.56Hjorth G. A: 13.28Hoechsmann K. A: 12.1Hog C. A: 7.57Hohnke H.-J. 12.92Holland W. C. A: 3.19Holt D. 7.52, A: 5.61Howie J. 15.94, A: 5.53Huber M. 11.45Humphreys J. E. 16.39Humphries S. P. 14.102Huppert B. 15.71

Ihara I. 5.33Irwin J. 17.24Isaacs I. M. 15.2–3, 17.1, 17.119,

A: 2.29Ito N. A: 5.17Iwahori N. 2.52

Jabara E. 17.128Jackson D. 11.19Jaikin–Zapirain A. 14.34, 14.89, 14.92,

14.95, 15.6, 15.93, 16.102, 17.109,17.110, A: 13.56, 14.96

Jaligot, E. 10.49, 17.48Janko Z. A: 4.77Jantzen J. C. 16.39Jiping Zhang A: 12.25–26, 12.78Johnson D. L. 8.10–12, A: 6.23, 8.10,

8.12, 12.24Johnson K. W. 12.92Jones G. A. A: 1.21, 3.10Jonsson B. 9.66, 12.75Jung R. 15.56

Kallen van der W. 10.38Kantor W. M. A: 7.16Kaplansky I. 12.29


Kassabov M. 14.34Karolyi Gy. 12.62, A: 10.63Kazhdan D. 14.34, 15.6, 15.12, A: 2.50Kearnes K. 14.32Kegel O. H. 7.6, 8.14, 14.28, 14.43,

A: 4.35–37, 4.37, 5.17, 5.18, 5.19,5.19, 6.37, 8.14, 10.66

Keller T.M. A: 14.66

Khayaty M. 15.95Khelif A. A: 14.48Kim Y. 2.82Kiming I. A: 14.96Kleidman P.B. A: 5.41, 8.39, 11.53,

11.53Klein A. A: 1.4Kletzing D. 15.25Koch H. 5.26–27Kochloukova D. H. A: 10.37Kohl S. 17.57–61Kolchin E. A: 2.62Kontsevich M. 17.84Kovacs L.G. 8.21, 8.23, A: 2.43,

8.22, 10.56, 11.47, 12.71Kovacs S. J. 12.62, A: 10.63Krammer D. 17.16Kropholler P.H. 12.41, 15.45, A: 5.8,

12.36Kruse R. L. A: 2.41Kummich F. A: 9.33Kunyavskiı B. A: 15.75Kurzweil H. 5.30, 16.98Kuzucuoglu M. 15.20, A: 5.1, 5.18

Labute J. P. 5.27Lam C.H. 15.55Lady E. L. 11.50–51Laubie F. A: 12.24Lausch H. 8.30, A: 9.18Lee D. 13.66, 16.110Leedham-Green C. R. 14.55–57, 14.95,

15.48, 16.103, 17.63–65Leemans D. 11.80Leinen F. 12.27–28Lennox J. C. 11.31, 12.43, A: 8.32,

12.44–45Levai L. 14.53Levin F. 16.96Li C.H. 14.73, 15.47Li T. 15.27

Liebeck M. W. 7.17, 14.54, A: 5.41,9.21

Lin V. 14.102Linnell P.A. 8.34, 11.28, 14.102, 15.49,

16.52, A: 2.33, 4.54, 5.9–10, 10.30,12.46–47, 12.47

Linton S. A. A: 8.35Liu W. 14.46Longobardi P. 15.1Lorensen K. A: 12.93Lorenz M. A: 10.41Lubotzky A. 13.36, 14.34, A: 4.67Lucchini A. 11.104, 16.53, A: 11.27,

12.71Luck N. A: 12.47Lusztig G. A: 2.51, 7.57Lyndon R. 11.10, A: 5.29, 11.10

Macbeath A. M. 4.42, A: 4.39Macdonald I. D. 14.92, A: 13.34Macedonska O. 2.82, 16.64, 17.78–80MacHale D. 16.59–63, 17.76–77Macintyre A. 5.21Macpherson D. 12.63Macpherson H. D. A: 12.10Mader A. 10.55, 11.50–51Madlener K. A: 9.30Magaard K. 9.23Magnus W. 1.12, 9.29, 15.102Maier B. A: 8.14Maimani H. R. 16.1Maj M. 15.1Malinowska I. A: 11.46Malle G. 14.69Mann A. 11.56, 12.55–56, 15.29, 15.31,

15.24–25, 15.95, 16.62, A: 4.67,11.57, 12.90

Maroti A. 8.5Mashevitzky G. 15.76Matsumoto M. A: 2.52McCleary S. 12.13, 12.51–54McCool J. A: 11.82McCullough D. 10.70McDermott J. P. 17.61McKay J. 8.51, 15.55–57, 16.58McKay S. 16.103, A: 14.96Megibben C. 10.51Meierfrankenfeld U. A: 11.108Meixner T. A: 4.76Mekler A. H. A: 3.19, 5.40Menal P. 11.22


Mendelssohn N. S. 12.4Mennicke J. 5.33, 7.39, 8.44Metzler W. A: 7.57Mignotte M. 13.65Milenteva M. V. A: 8.76Mill van J. 13.48Miller A. 10.70Miller C. 5.16Milnor J. A: 4.5, 5.68Minasyan A. 11.42, 16.101Mines R. 10.52Minkowski H. 4.42Mislin G. 10.40Miyamoto M. 15.2Mochizuki H.Y. A: 2.62, 5.49Montgomery D. 6.11Moody J. A. A: 10.41Mores S. A: 4.45Moreto A. 14.64–65, 15.62, 16.67,

A: 14.66Morigi M. 15.11Morley L. 14.8Muktibodh A. S. 17.47Mycielski J. 16.68–69, 17.93–94

Navarro G. 15.2Neeman A. A: 12.36Neukirch J. 15.58Neubuser J. 14.95Neumann B. 11.67–68, 14.10, 17.101,

A: 1.14, 3.18Neumann H. 7.58, 14.10, 17.101,

A: 2.39, 8.26Neumann P.M. 5.38–39, 6.38, 8.50,

9.39–42, 11.69–71, 12.62–63, 14.46,14.95, 15.64–66, 17.95–98, A: 4.39,4.45, 5.40, 8.49, 9.41, 9.41, 12.10

Newman M.F. 14.64, 14.92, 15.41,A: 7.7, 11.112

Newton B. 12.82Nikolov N. 7.37Nobeling G. A: 2.36Norton S. A: 7.30Nunke R. 11.89

O’Brien E. A. 11.6, 14.89, 14.92,A: 11.112

Oliver A. 16.3Olsson J. B. 8.51, 9.23, 13.43Otto F. A: 9.30Ould Houcine, A. 10.49

Palfy P. P. 12.62, 15.71–74, A: 10.63Pannone V. 17.100Paras A. A: 11.26Pasini A. A: 12.65Passi I. B. S. 16.65–66, 16.104Passman D. S. 12.29, A: 4.28Pennington E. A: 5.17Perkins P. A: 2.41Perron B. 17.14Pettet A. 15.10Pfister G. A: 15.75Phillips R. 11.107, 11.109, A: 5.1,

11.106, 11.108Pickel P. F. A: 4.53, 4.53Plesken W. 14.95Plunkett T. A: 11.98Poguntke W. 12.75Poizat B. 10.49, 16.78Poznansky T. 15.7Praeger C.E. 11.45, 11.70–71, 11.80,

11.80, 12.29, 14.46, 14.73, 15.47,15.95

Pride S. J. 8.68, A: 1.64, 4.39Procesi C. 14.37Pudlak P. A: 5.3Puglici O. 12.27–28Pyber L. 7.17, 12.56, 14.53–54,

14.74–76, 17.41

Quillen 13.36

Radulescu F. 14.9Raptis E. A: 10.33Rehmann U. 10.36Rhemtulla A. H. 2.82, 15.1, 17.31,

A: 10.30Ribes L. A: 8.70, 12.70–71, 12.70Riedl J. M. 15.72Riese U. 9.23Ritter J. A: 12.1Robertson E. F. 8.12, A: 8.12, 8.12Robinson D. J. S. 9.51–53, A: 6.20, 9.54Robinson G. R. 13.43, A: 11.35Roggenkamp K.W. 4.55–56, 9.55,

12.80, A: 4.54, 12.80Roseblade J. E. 11.31Rosenberger G. 14.14, A: 9.2Ross K. A: 3.35Rowley P. J. 12.62Rubin M. 12.13Rudloff Ch. 11.32


Rudvalis A. A: 4.77Russo F. 17.106

Sabbagh G. 12.14Sakai S. 14.9Salomon E. 12.96Sangroniz J. 14.44, A: 11.43, 14.77Saxl J. 9.56, 14.69, A: 6.6, 9.21Schacher M. A: 7.16Scheerer H. A: 9.33Scheiderer C. A: 9.33, 12.70Schick T. 14.102, 16.52, A: 12.47Schleimer S. 16.109Schlitt G. 17.24Schmid P. 9.23, 17.2, A: 4.12Schupp P.E. 16.110, A: 4.45, 4.60, 5.68Schwerdtfeger H. A: 4.70Scoppola C. M. 11.6, 17.47Scott L. L. 16.55Scott P. A: 5.53Seal D. J. A: 8.10Segal D. 7.37, 12.56, 17.109–110,

A: 4.52–53, 5.6, 7.37, 8.70, 11.57,11.57, 12.90

Seitz G. A: 7.48Sela Z. 9.67, 13.12Selberg A. A: 2.49–50Serre J.-P. 15.57Shahabi Shojaei M.A. A: 3.14Shalev A. 7.17, 12.94–95, 13.36, 14.89,

A: 13.56Sharifi H. 16.37Shelah S. 9.39, 17.121–122, A: 1.66,

3.19, 12.44, 14.71Shepherd R. 16.103Shi Shengming A: 12.26Shi W. J. 12.39, 12.39, 13.64–65, 15.99,

16.1, 16.106–107, 17.123, A: 13.63Shimura G. 8.83Shirvani M. 8.2Shojaei Shahabi M.A. A: 3.14Short M. 11.123, A: 11.47Shult E. 5.30Shute G. 7.6, 11.109, A: 1.75Sibley D. 12.92Sidki S. 15.19, 16.74, A: 15.14Siemons J. 16.29Sieradski A. J. A: 4.54Silberger D. M. 10.32Sim H.-S. 12.71Sims C. 11.19, 15.66

Smith D. B. A: 3.18Smith H. 15.85, A: 12.45Smith M. K. 12.29Solitar D. 16.2, A: 3.15Soule C. 10.36Spaltenstein J. N. A: 8.13Specht W. A: 2.39Spellman D. 11.19, 12.8–9, 13.39, 14.32,

15.86, 15.86, A: 11.20, 13.18Spiezia F. 14.46Stafford J. T. 10.42Stallings J. 1.13Steinberg R. 7.28, A: 2.51Stellmacher B. A: 6.7Stohr R. A: 11.47Stonehewer S. A: 5.17Strebel R. A: 6.35Strungmann L. A: 1.66Sunik Z. 15.12–18Suzuki M. 11.11, 15.33, A: 11.11, 11.11Swan R. G. A: 1.34

Tamburini M. C. 15.67, A: 14.49Tang C.Y. 8.68–69, 8.72, A: 8.70–71Tarski A. 1.29, 9.67, 10.12, A: 1.18,

1.68, 4.62–64Thomas S. 7.6, 9.39, 11.109, A: 1.75,

8.14, 15.8Thompson J.G. 4.65, 5.30, 6.10, 8.74,

8.75, 9.24, 12.37–38, 14.76, 16.33,16.95, A: 3.27, 4.22, 8.73

Thompson R. 12.20, 15.42, A: 1.14Thurston W. P. A: 4.51Tiep P.H. 11.34Timmesfeld F. 8.43Tits J. 12.95, 14.38, A: 1.88, 2.52Tomkinson M. J. 10.17–18, A: 6.8Traustason G. 2.82, 16.96–97, A: 9.50Tsurkov A. 15.76Tuma J. A: 5.3Turull A. 5.30, 16.98–99

Ulam S. M. A: 15.8

Vaillant A. G. A: 14.27van der Kallen W. 10.38van der Waall R.W. A: 7.48Vannier J. P. 17.14Varsos D. A: 10.33


Vaughan-Lee M. R. 8.4–5, 11.6, 15.31,15.41, A: 2.39, 2.41, 5.56, 9.50,11.112

Venkataraman G. 15.66Verma D. N. 16.39Virag B. 16.74Vogtmann K. 16.90Volta Dalla F. A: 11.27

Waall van der R.W. A: 7.48Wagner A. A: 4.29Wagner F. 15.37, A: 11.103, 13.16Wagon S. 10.12Wales D. B. 17.16Wall G. E. 7.17, 11.104–105, 15.65,

A: 11.105Walter J. H. A: 3.6Wang J. 11.80Wang L. 16.1Wang, Yanming A: 15.81Wanless I. M. 17.35Ward J. 14.69Ward M. B. A: 7.12Warfield R. 10.52Wehrfritz B. A. F. 5.5, 8.1–3, 11.22,

A: 2.46, 4.37, 5.6, 5.19Wei G. M. 15.99Wei, Huaquan A: 15.81Weigel T. 14.69Weiss A. A: 12.24Weiss R. 14.73White S. 14.8Whitehead 10.70, 17.86Wiegold J. 4.66, 4.69, 5.52, 5.54–56,

6.45, 11.102, 14.95, 15.31, 15.92,16.100–101, 17.113–116, A: 1.64,4.67–68, 5.53, 5.56, 5.56, 6.44,12.45, 14.86

Wielandt H. 9.64, 14.43, 15.52, 17.43,A: 6.6, 6.37

Wille R. J. 6.29Williams J. S. A: 5.11Willis G. A. A: 9.48Wilson J. S. 7.41, 9.68, 11.18, 12.95,

A: 2.23, 4.68, 6.46, 8.17, 8.76, 9.54,11.103, 12.90, 14.49, 15.14, 15.75

Wilson R. A. 15.43, A: 8.35, 8.37,11.53, 15.75, 16.55

Wintenberger J.-P. A: 12.24Wisliceny J. 5.26Wolf J.A. A: 7.4Wolf T.R. 15.2, 15.62Wright C. R.B. A: 3.8

Xiao W. A: 5.32, 6.42, 7.44Xu M. C. 12.39

Yamada H. 15.55Yamauchi H. 15.55Yann Bugeaud 13.65Yoshiara S. A: 8.37, 12.65Yu S. A: 12.78

Zassenhaus H. 17.67Zhang J. 16.3, A: 12.25–26, 12.78Zhenfu Cao 13.65Zieschang H. 10.70, A: 10.69Zippin L. 6.11Zisser I. 15.3Zucca P. 15.67, A: 14.49

НЕРЕШЕННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГРУПП

КОУРОВСКАЯ ТЕТРАДЬ

No. 17

Редактор В. Д. Мазуров

Технический редактор Е. И.Хухро

Подписано к печати 1 января 2010 г. Формат 70 × 108 1/16.

Documents

17kt