183386TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS

8/16/2019 183386TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS

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Transferência de Calor Prof. Strobel

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1. TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS

São freqüentes as situações em que se procuram meios para aumentar a

quantidade de calor transferido, por convecção, de uma superfície.

A lei de Newton: q = h.A.(Tsup-T∞) sugere que se pode aumentar “q” med iante o

aumento de h, (Tsup-T∞) ou de A. Conforme já verificamos, h é função da geometria, das

propriedades do fluido e do escoamento. A modulação de h mediante o controle destes

fatores oferece um procedimento pelo qual “q” pode ser aumentado ou diminuído. No

que se refere ao efeito de (Tsup-T∞) sobre “q” encontram-se freqüentemente

dificuldades, por exemplo, nos sistemas de refrigeração de motores de automóveis, em

dias muito quentes, pois T∞ será muito elevada. Em relação à área da superfície que se

expõe ao fluido, esta pode ser, muitas vezes, “estendida”, mediante o uso de aletas.

Constituem aplicações familiares destes dispositivos de transferência de calor com

superfícies aletadas os radiadores de automóveis, as montagens de transistores de

potência e dos transformadores elétricos de alta tensão.

Tendo como referência a extensão de uma parede plana o calor passa da parede

para a aleta mediante condução e sai da superfície da aleta por efeito convectivo.

Portanto, a diminuição da resistência superficial convectiva Rconv provocada por um

aumento na área superficial é acompanhada por um aumento da resistência condutiva

Rcond. Para que se eleve o fluxo de transferência de calor da parede, mediante a

extensão da superfície, a diminuição de Rconv deve ser maior que o aumento em Rcond.

Na verdade, a resistência superficial deve ser o fator controlador nas aplicações

práticas de aletas (Rcond


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Fazendo um balanço de energia em um elemento diferencial da aleta. Sob as

condições de regime permanente a partir das quantidades de energia:

Energia entrando pela face esquerda

Energia saindo pela face direita Energia perdida por convecção Obtém-se a equação:

dx

qx+dxqx

dqconv= h.P.dx (T b-T)

e

BASE

T b

Z

L


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onde P é o perímetro da aleta, Asr área da seção transversal da aleta e (P.dx) a área

entre as seções x e (x+dx) em contato com o fluido. Considerando h e k constantes a

equação pode ser simplificada:

Chamando

Temos

Onde

é o coeficiente da Aleta (1/m) A equação diferencial linear de segunda ordem, acima, tem solução geral:

onde C1 e C2 são constantes de integração e determinadas por meio das seguintes

condições de contorno:

1º) que a temperatura da base da barra seja igual à temperatura da parede na qual

ela está afixada, ou seja: (Eq. 01)


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2º) depende das hipóteses adotadas:

1.2. CASO (A): BARRA INFINITAMENTE LONGA

Sua temperatura na extremidade se aproxima da temperatura do fluido: T = T

Se o segundo termo da equação é zero, a condição de contorno é satisfeita

apenas se C1=0. Substituindo C1 por 0:

A distribuição de temperatura fica:

(Eq. 02)Como o calor transferido por condução através da base da aleta deve ser transferido

por convecção da superfície para o fluido, tem-se:

(Eq. 03)Diferenciando a Eq. 02 e substituindo o resultado para x=0 na Eq. 03, obtem-se:

√

A equação calcula o calor transferido aproximado, na unidade de tempo, em uma

aleta finita, se seu comprimento for muito grande em comparação com a área de sua

seção transversal.

A distribuição de temperatura fica:


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1.3. CASO (B): BARRA DE COMPRIMENTO FINITO, COM Q = 0 PELA

EXTREMIDADE

A segunda condição de contorno exigirá que o gradiente de temperatura em x = Lseja zero. Com as seguintes condições:

Dividindo tudo por m, temos:

(Eq. 04)

Utilizando em conjunto com a Equação 01, temos:

Substituindo as constantes de integração na equação da temperatura:

Obtém-se :


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Considerando que o co-seno hiperbólico é definido como:

a equação anterior pode ser escrita na forma adimensional simplificada:

A transferência de calor pode ser obtida por meio da Eq. 03, substituindo o gradiente

de temperatura na base:

| Considerando que o seno hiperbólico é definido como:

E considerando ainda que a tangente hiperbólica é:

temos|

O calor transferido, na unidade de tempo é:

√ E a distribuição de temperatura fica:

[ ]


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1.4. CASO (C): BARRA DE COMPRIMENTO FINITO, COM QCONV PELA

EXTREMIDADE

A segunda condição de contorno exigirá que o calor dissipado pela extremidade da

aleta seja igual ao calor por convecção em x = L. Com as seguintes condições:

(Eq. 05) A perda de calor por convecção na ponta é igual ao recebido por condução:

| (Eq. 06)

E derivando a Eq. 05, tem-se (Eq. 07)Da Eq. 05 ainda, temos que, para x=L,

(Eq. 08)Substituindo as Equações 07 e 08 na Equação 06, temos:

Após uma grande manipulação algébrica, chega-se a:

√ E a distribuição de temperatura:


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1.5. CASO (D): BARRA DE COMPRIMENTO FINITO, COM TEMPERATURA

ESPECIFICADA

Da mesma forma, podemos obter a distribuição de temperatura e a taxa de

transferência de calor da aleta para o fluido, onde a temperatura na extremidade da

aleta é especificada. Assim, temos uma condição de contorno que diz que, para x=L,

T = T(L). As expressões resultantes são:

√

E a distribuição de termperatura:

1.6. TIPOS DE ALETAS

Diversas aplicações industriais apresentam vários tipos de aletas e alguns dos mais

encontrados industrialmente, são mostrados a seguir:

1.6.1. ALETAS DE SEÇÃO RETANGULAR

Aleta de seção retangular assentada longitudinalmente em

uma superfície plana. Considerando que a aleta tem

espessura b (= Z) e largura e (espessura pequena em relação

à largura), o coeficiente da aleta m pode ser calculado assim:

e Z A

e Z P

t .

.2.2

m

h P

k At

.

.


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1.6.2. ALETAS DE SEÇÃO NÃO-RETANGULAR

As aletas de seção triangular, como as aletas de seção

parabólica, trapezoidal, etc, também são comuns. O cálculo

do coeficiente m pode ser feito de modo similar ao caso

anterior, considerando uma área transversal média.

1.6.3. ALETAS CURVAS

As aletas colocadas sobre superfícies curvas podem ter

colocação radial (transversal) como na figura ou axial

(longitudinal), assentando aletas do tipo retangular. O

assentamento radial ou axial de aletas sobre superfícies

cilíndricas depende da direção do escoamento do fluido

externo, onde a aletas devem prejudicar o mínimo possível o

coeficiente de película, ou seja, não podem provocar

estagnação do fluido. O cálculo do coeficiente m é feito da

seguinte forma:

er A

r er P

t ...2

..4.2..2.2

m

h P

k At

.

.

1.6.4. ALETAS PINO

Em certas aplicações aletas tipo pino são necessárias

para não prejudicar demasiadamente o coeficiente de

película. A figura mostra uma aleta pino de seção circular.

Neste caso o cálculo do coeficiente m é feito assim:

2.

..2

r A

r P

t

m h P

k At

.

.


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1.7. EFICIÊNCIA DE UMA ALETA

A eficiência de uma aleta é dado pela razão entre a taxa de transferência de calor

da aleta e a taxa de transferência máxima que a aleta possuiria em um caso ideal, onde

toda a superfície estivesse a uma temperatura igual a da base da aleta. Desta forma:

( )

1.8. DESEMPENHO DE UMA ALETA

Aletas são utilizadas para aumentar a transferência de calor em uma superfície

através do aumento da área superfícial efetiva para a troca térmica. O desempenho de

uma aleta então é definida como a razão entre a taxa de transferência de calor da aleta

e a taxa de transferência de calor que existiria sem a presença da aleta. Desta forma,

tem-se:

1.9. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Uma aleta de aço (k = 43 W/mK) de 3 cm de comprimento e 1 cm de diâmetro

transfere calor de uma parede a 200°C para um fluido a 25°C, com h = 120 W/m 2K.

Determinar o fluxo de transferência de calor da aleta, no caso em que a extremidade

está isolada e os efeitos de radiação térmica são desprezíveis. (q = 16 W)

2) Uma parede de 1,0 m x 1,0 m a 200°C deve ser aletada para dissipar 15 kW no

ar ambiente a 30°C com h = 10 W/m2K. Determinar o comprimento e o número de

aletas necessário sabendo que a espessura das aletas é 1,5 mm, o produto

m.L = 1,419 e a condutividade térmica do material da aleta é 35 W/mK. (N = 87 aletas)


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3) O dissipador de um equipamento eletrônico (caixa de transistor) consiste de uma

placa onde são colocadas 12 aletas. A temperatura da placa é 80°C, a temperatura do

ar ambiente, 25°C com h = 30 W/m2K e a condutividade da aleta k = 150 W/m K.

Calcular a potência dissipada.

4) Em uma placa plana a 100 ºC com dimensões 1000 mm x 1000 mm são

colocadas 40 aletas (k = 202 W/m.K). O sistema dissipa calor para o ar ambiente a

20ºC com h=7W/m2K.

a) Calcular o calor dissipado pela placa sem aleta; (q = 560 W)

b) Calcular o calor dissipado pela placa aletada; (q = 1.831,5 W)

5) Têm-se duas aletas de seção circular e comprimento “L”. Uma de cobre, com

d=5mm e a outra de aço, dissipando calor. Ambas têm o mesmo rendimento.

Determinar o d da aleta de aço. (d = 52,87 mm)

Dados: kcu = 370W/mK e kaço = 35W/mK

6) Uma parede plana (0,3m x 1,0m) e k = 35W/m ºC é mantida a 100 ºC no ar

ambiente a 30 ºC, com h = 15W/m2K, e deve dissipar 1kW. Sabendo-se que a

espessura da aleta é de 3mm e sua altura 80mm, pede-se:

a) verificar a possibilidade sem aletas;

b) se não for possível, determine o número de aletas necessário. (N = 22 aletas)


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7) Determine a porcentagem de aumento da transferência de calor associada com

a colocação de aletas retangulares de alumínio (k = 200 W/m.K) em uma placa plana de

1m de largura. As aletas têm 50 mm de altura e 0,5 mm de espessura e a densidade de

colocação é 250 aletas por unidade de comprimento da placa (as aletas são igualmente

espaçadas e ocupam toda a largura da placa). O coeficiente de convecção do ar sobre

a placa sem aletas é 40 W/m2.K, enquanto que o coeficiente de convecção resultante

da colocação de aletas é 30 W/m2.K. (aumento de q=1.253%)

8) Uma aleta de diâmetro 10mm tem comprimento de 3m. A base da aleta está a

100°C e o fluido que circunda a leta é o ar. A temperatura do ar é 20°C, e o coeficiente

convectivo é de 20 W/m2K. Compare o desempenho e a eficiência da aleta se ela for

construida com 3 materiais diferentes: cobre (k = 250W/mK), alumínio (k=180W/mK) eaço (k=80W/mK).

9) Uma face plana (0,3m altura x 1,0m largura) e k = 35W/m ºC é mantida a 100 ºC

no ar ambiente a 30 ºC, com h = 15W/m2K, e deve dissipar 1kW. Sabendo-se que a

espessura da aleta é de 3mm e seu comprimento 80mm, pede-se:

a) verificar a possibilidade sem aletas;

b) se não for possível, determine o número de aletas necessário.

10) Determine a temperatura da aleta na posição indicada e o calor total dissipado,

sabendo-se: k=100 W/m.K, h=20W/m2K, Tb=60°C e T∞=30°C


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