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Instituto Politecnico NacionalEscuela Superior de Fsica y Matematicas
Doctorado en Ciencias en Fsica
TESIS
Analisis no Lineal y Escalamiento de
Excursiones en Senales Cardiacas.
Para obtener el grado de:
Doctor en Ciencias en Fsica
Presenta:
Israel Reyes Ramrez
Asesor:
Lev Guzman Vargas
Diciembre 2010
Resumen
En este trabajo se estudian las excursiones, definidas como el numero de lati-
dos necesarios para regresar a un valor medio local en una serie de tiempo de inter-
latido cardiaco de individuos sanos y pacientes con insuficiencia cardiaca congestiva
(CHF)(1, 2, 3, 4, 5). Primero se aplica el procedimiento de segmentacion propuesto
por Bernaola-Galvan et. al.(6) a la serie de tiempo no estacionaria para identificar
segmentos estacionarios con valor local medio propio. Despues se identifican las excur-
siones alrededor de cada valor medio local y se construye su secuencia para analizar
la organizacion temporal y sus propiedades de memoria, tanto para periodos de vigilia
como de sueno de ambos grupos de individuos(1, 3). Se encuentra que la distribucion
acumulativa de las excursiones es consistente con un comportamiento tipo exponencial
estirada dado por g(x) eab , con diferentes parametros de ajuste a y b, para cadagrupo y para cada estado(3). Los resultados tambien muestran que la escala carac-
terstica asociada a la distribucion de excursiones es mayor para individuos sanos que
para pacientes CHF, mientras que la transicion vigilia sueno es mas significativa para
individuos sanos. Se considera la distribucion de probabilidad acumulativa condicional
G( |0) para evaluar el efecto de memoria en la secuencia de excursiones. Se encuen-tra que la memoria en individuos sanos esta caracterizada por la presencia cumulos
relacionados con el hecho de que pequenas (grandes) excursiones son mas probables
de ser seguidas por tambien pequenas (grandes) en comparacon con el grupo CHF.
La presencia de correlaciones temporales en la secuencia de excursiones de individuos
sanos es confirmada usando el analisis de fluctuaciones sin tendencia (DFA), mientra
que para pacientes CHF el exponente de escalamiento es caracterizado por dos regiones,
indicando que para escalas cortas la secuencia se asemeja a un ruido descorrelacionado,
mientras que para escalas largas las fluctuaciones revelan correlaciones de largo alcance.
Tambien se aplico un analisis de estabilidad de las excursiones basado en la varianza
de Allan, el cual revela que la dinamica sana es mas estable que en el caso CHF(4).
Finalmente se estudio la estadstica de los tiempos de recurrencia entre excursiones
grandes por arriba de cierto umbral q, para explorar la posibilidad de memoria en
la organizacion temporal en las excursiones de tamano grande(2). El metodo de cor-
relacion aplicado a los tiempos de retorno muestra una correlacion debil para ambos
grupos, la cual cambia conforme el umbral q es incrementado. El analisis DFA confirma
la presencia de correlaciones en la secuencia de tiempos de retorno con un exponente
mayor que el correspondiente a ruido descorrelaciondo(2).
Abstract
In this work we study the excursions, defined as the number of beats to return to a
local mean value, in heartbeat interval time series from healthy subjects and patients
with congestive heart failure (CHF). First, we apply a segmentation procedure pro-
posed by Bernaola-Galvan et. al.(6), to nonstationary heartbeat time series to identify
stationary segments with a local mean value. Next, we identify local excursions around
the local mean value and construct the distributions to analyze the time organization
and memory in the excursions sequences from the whole time series for wake and sleep
periods for the two groups. We find that the cumulative distributions of excursions
are consistent with a stretched exponential function given by g(x) eab , with dif-ferent fitting parameters a and b, leading to different decaying rates. The results also
show that the average characteristic scale associated with the excursion distributions
is higher for healthy data compared to CHF patients, whereas sleep-wake transitions
are more significant for healthy data. The cumulative conditional probability G( |0)is considered to evaluate the memory effect in excursion sequences. We find that the
memory in excursions sequences under healthy conditions is characterized by the pres-
ence of clusters related to the fact that small (large) excursions are more likely to be
followed by small (large) ones than for CHF data. The presence of temporal corre-
lations in healthy data is confirmed by means of the dentrended fluctuation analysis
(DFA), while for CHF records the scaling exponent is characterized by a crossover,
indicating that for short scales the sequences resemble uncorrelated noise and for large
scales the fluctuations reveal long-range correlations. Also, we apply a stability anal-
ysis of excursions based on the Allan variance, which reveals that healthy dynamics
is more stable than heart failure excursions. Finally, we study the statistics of return
intervals between long excursions above certain threshold q for both groups to explore
the possibility of memory in the time organization of the extreme-size excursions. The
correlation method applied to the return intervals shows a weak correlation for both
groups with changes as the threshold q increases. The DFA analysis confirms the pres-
ence of correlations in the return interval sequences with scaling exponents higher than
the uncorrelated value.
iv
Con todo mi Amor...
Karla
Elanor
Aureliano
Lentejita
A mis Papas y Hermano.
A mis Suegros y Cunadas.
Agradecimientos
COTEPABE
UPIITA
CONACyT
Fernando Angulo B.
T.E. Govindan
Lab. Sistemas Complejos, UPIITA
Muy especialmente a:
Lev Guzman V.
Indice general
Glosario v
1 Introduccion 1
1.1 Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 El objeto de estudio 5
2.1 El corazon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Ciclo cardiaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 El Electrocardiograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Variabilidad del ritmo cardiaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Metodos de analisis 13
3.1 Elementos estadsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Estadstica de Allan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Correlaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Efectos de memoria en series temporales . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Analisis de fluctuaciones sin tendencias DFA . . . . . . . . . . . 21
3.3 Analisis Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Analisis de fractalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.2 Dimension Fractal (metodo de Higuchi) . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.3 Metodo multifractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Metodo de segmentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
iii
INDICE GENERAL
4 Estudio de excursiones de interlatido cardiaco 29
4.1 Estadstica de la distribucion de los segmentos(1) . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Estadstica y Correlacion de las Excursiones(1, 3, 5) . . . . . . . . . . . 32
4.2.1 Excursiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.2 Distribucion de excursiones locales . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.3 Procedimientos de alteracion de las excursiones . . . . . . . . . . 36
4.2.4 Correlaciones en las excursiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.5 Correlaciones de largo plazo en las excursiones . . . . . . . . . . 43
4.3 Estadstica de Allan para las Excursiones(4, 5) . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Estadstica de tiempos de retorno de excursiones de tamano grande(2) . 45
4.4.1 Distribucion de los intervalos de retono . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.2 Correlacion de los intervalos de retorno . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.3 DFA de los intervalos de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Conclusiones 49
Bibliografa 53
Apendices 61
A.- La prueba de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
B.- Prueba de correlacion de las excursiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Productos derivados del trabajo de tesis 67
EuroPhys Lett. 2010, 38008, 2010. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Revista Mexicana de Fsica, Enviado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Computers in Cardiology, En prensa 2010. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
EuroPhys Lett., Enviado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Chapter 14, Methods in Enzymology, En prensa vol. 487 2011. . . . . . . . 89
iv
Glosario
Aurculas Cavidades superiores del corazon.
AV Nodo auricoventricular. Cumulo de celulas especializadas del sistema de con-
duccion electrico del corazon, ubicado en la region inferior de las aurculas y
superior de los ventrculos. Encargado de distribuir el impulso electrico gen-
erado en el nodo SA hacia los ventrculos a traves de fibras especializadas.
AVAR Varianza de Allan. Se conoce tambien como la varianza de dos muestras, es
una medida de la estabilidad de la frecuencia en relojes atomicos y osciladores.
CDF Funcion de densidad de probabilidad acumulativa.
CHF Congestive heart failure. Insuficiencia cardiaca congestiva. Condicion cronica
del corazon que disminuye su capacidad de bombear sangre a pesar de que
puede continuar latiendo. Es el resultado del dano del musculo cardiaco
que pudo haber sido causado por infarto al miocardio, alta presion arterial,
defectos cardiacos congenitos o artereosclerosis.
ADEV Desviacion de Allan. Raz cuadrada de la varianza de Allan.
Derivacion En electrocardiografa, la palabra derivacion se refiere a la diferencia de
potencia electrico entre dos electrodos.
DFA Analisis de fluctuaciones sin tendencias. Metodo que determina la autosimi-
laridad estadstica de una senal.
Diastole Movimiento de dilatacion de las cavidades del corazon para el llenado de
sangre de las mismas.
v
GLOSARIO
ECG Electrocardiograma. Es el registro grafico de las corrientes que se originan
en el corazon.
Excursion Se define como el numero de pasos necesarios para regresar a un valor
medio local.
Homeostasis Del griego homeo: igual, y stasis:posicion. Proceso por el cual un or-
ganismo mantiene las condiciones internas constante necesarias para la vida.
HRV Heart Rate Variability (Variabilidad del ritmo cardiaco)
PDF Funcion de densidad de probabilidad.
RR Interlatido cardiaco o Tacograma. Tiempo transcurrido entre dos ondas R
sucesivas del electrocardiograma.
Sstole Movimiento de contraccion de las cavidades del corazon para impulsar la
sangre dentro del ciclo cardiaco.
SA Nodo sinoauricular. Cumulo de celulas especializadas del sistema de con-
duccion electrico del corazon, ubicado entre las aurculas, donde normalmente
se origina el impulso electrico que da origen a un latido cardiaco. Comun-
mente llamado marcapasos del corazon.
Tacograma Ver RR.
Tiempo de retoro Tiempo transcurriodo entre dos eventos de magnitud mayor a un
umbral dado.
Ventrculos Cavidades inferiores del corazon de mayor volumen y masa muscular que
las aurculas.
vi
1Introduccion
1.1 Motivacion
Desde hace varios anos, los padecimientos cardiacos se han convertido en una de las
principales causas de mortalidad de la humanidad a nivel mundial. En Mexico ocupa
el segundo lugar en decesos por ano, solo por debajo de la diabetes melitus. Dentro de
la amplia gama de padecimientos cardiacos que son tratados da con da, existen aun
problemas de deteccion para varios de ellos en etapas tempranas de la enfermedad. El
uso de herramientas cientificas contemporaneas derivadas de la dinamica no lineal, se
han empezado a utilizar para ayudar a determinar el grado de avance en problemas
cardivasculares, con la intencion de complementar los diagnosticos de la medicina con-
vencional. En este estudio se pretende contribuir en el desarrollo de nuevas tecnicas
que, en su conjunto, formen parte de una batera de pruebas cientficas que ayuden a
mejorar la calidad de vida del ser humano, y en particular, del mexicano. Es dentro de
este marco que el presente estudio encuentra cabida y la inversion que el pais, mediante
el CONACyT y el IPN han hecho en su realizacion es justificada.
1.2 Antecedentes
Muchos sistemas naturales exhiben fluctuaciones complejas las cuales estan relacionadas
con un gran numero de mecanismos participantes a lo largo de multiples escalas (7, 8).
La caracterizacion de estas fluctuaciones es importante para entender la dinamica in-
terna de los sistemas. En este contexto, muchos estudios han reportado que el compor-
tamiento de dichos sistemas pueden ser caracterizados por la presencia de propiedades
1
1. INTRODUCCION
fractales y de escalamiento (9, 10, 11). En anos recientes, muchos estudios se han cen-
trado en las propiedades estadsticas de la secuencia de interlatido cardiaco. Es bien
conocido que la dinamica de interlatido de individuos sanos muestra fluctuaciones car-
acterizadas por correlaciones de largo alcance, as como un amplio espectro multifractal
(9, 12, 13). Estos hallazgos muestran que las series de tiempo de interlatido cardiaco son
descritas como no estacionarias y con fluctuaciones bastante irregulares. Un aspecto
importante de la variabilidad del interlatido y de otras senales fisiologicas es que los sis-
temas sanos poseen complejos mecanismos de autorregulacion que operan sobre muchas
escalas de tiempo y pueden generar senales con propiedades de escalamiento. Recien-
temente, metodos de la mecanica estadstica y de la dinamica no lineal han revelado
que algunas estructuras de escala observadas bajo condiciones sanas son alteradas por
enfermedad y envejecimiento (9, 14, 15, 16, 17, 18). Estudios hechos sobre la dinamica
del interlatido cardiaco revelan diferencias entre individuos con cierto tipo de padec-
imientos cardiacos e individuos sanos, e incluso se logra diferenciar entre individuos
sanos jovenes y de otros de avanzada edad (17). Tecnicas como espectro de poten-
cias, dimension fractal y analisis de fluctuaciones sin tendencias (DFA1por sus siglas en
ingles) han sido aplicadas directamente a la serie de interlatido cardiaco encontrando,
por ejemplo un escalamiento para jovenes sanos descrito por un exponente espectral
1, mientras que para ancianos sanos y pacientes con insuficiencia cardiaca con-gestiva (CHF2por sus siglas en ingles) se observa un entrecruzamiento en escalamiento
entre escalas cortas y largas, dando como resultado que a escalas cortas (frecuencias
altas) ancianos sanos presenten un exponente de s 2 y en pacientes CHF de s 0,mientras que a escalas largas (frecuencias bajas) en ancianos sanos L 0 y en pa-cientes CHF L 2. Estos hallazgos son corroborados con la aplicacion tanto de DFAcomo Higuchi, para los cuales los jovenes sanos presentan un escalamiento con 1de DFA y una dimension fractal D 1.9 con Higuchi; en ancianos sanos a escalascortas con DFA s 1.5 y con Higuchi Ds 1.5 mientras que para escalas largas DFAL 0.5 y con Higuchi DL 1.8. En el caso de pacientes CHF, con ambos metodos severifica un entrecruzamiento de los respectivos exponentes. Lo que se puede concluir a
la luz de los resultados anteriores es que, ya sea por enfermedad o envejecimiento, se
rompe el escalamiento que caracteiza la autosimilaridad de las secuecias. Otros estudios
1Ver el glosario en la pagina vi.2Ver el glosario en la pagina vi.
2
1.2 Antecedentes
se centran no solo en la descripcion de las senales y su caracterizacion para diferentes
condiciones de salud y de edad, sino tambien proponen modelos que reproduzcan el
comportamiento fractal de las senales (16, 17). Mediante modelos autorregresivos del
tipo Xi+1 = aXi + i se combina informacion del estado actual del sistema Xi con
un ruido estocastico de distribucion gaussiana i, donde el coeficiente a indica que tan
fuerte se propaga la informacion. El caso de interes es para 0 a 1. En estecaso la funcion de autocorrelacion de la serie decae en forma exponencial de la forma
C(m) = Aem/ con escala de tiempo caracterstica = 1/lna, donde claramente va de cero a infinito cuando a corre entre 0 y 1. Es posible incluso calcular el espectro
de potencias s(f) del modelo mediante la transformada de Fourier de la funcion de
autocorrelacion segun el teorema de Wiener-Khinchine (19) s(f) = 4A/[1 + (2f)2].
Otros trabajos como el de Iyengar et. al.(16) reproducen los comportamientos de entre-
cruzamiento en el espectro de potencias y DFA cuando se escogen valores de a entre 0
y 1, mostrandose un comportamiento de ruido browniano para escalas cortas de tiempo
(< ), donde las correlaciones de corto alcance dominan al sistema; mientras que para
escalas de tiempo grandes (> ) se tiene un compotamiento de ruido blanco, donde
el ruido domina el proceso. En el caso de Guzman et. al.(17), se propone ademas
una superposicion de tiempos caractersticos independientes para reproducir adicional-
mente el comportamiento 1/f presente en el modelo monoescala de Iyengar, a partir de
la suma de muchos espectros de potencia dados por un solo , S(f) =0s(f)P ()d
donde P () es la distribucion de de tiempos caracterstica la cual es P () = c/0 si
0 < 1 0 2, con c constante de normalizacion y 1, 2 son los lmites inferiory superior. Con esta propuesta se encuentran tres regiones, donde para frecuencias
muy bajas, un proceso tipo ruido blanco es reproducido; en una region intermedia de
frecuencias se reproduce el tipo 1/f , lo cual no se tena en el modelo anterior, y una
tercera region, para frecuencias muy altas, es posible obtener el comportamiento brow-
niano.
Las variables fisiologicas son en general acotadas, ejemplos de ello son la temper-
atura corporal, la presion sangunea, el ritmo cardiaco, etc. En todos estos casos se
tiene consistencia con el llamado Principio de Homeostasis1. Mediante el estudio de las
excursiones alrededor de un valor medio local, se esta en posicion de evaluar que tanto
1Ver el glosario en la pagina vi.
3
1. INTRODUCCION
el sistema se aleja de un valor ante respuestas de estmulos externos, mientras el sistema
trata de mantenerse dentro de una region acotada. Un analisis estadstico de excur-
siones, las cuales son definidas como el periodo de tiempo empleado por un caminante
para regresar a su valor medio, podra ser importante para la evaluacion de la capacidad
del sistema de preservar una respuesta promedio en concordancia con el principio de
homeostasis. En este trabajo centramos nuestra atencion en las propiedades estadsticas
de las excursiones locales dentro del contexto de la no estacionaridad de las series de
tiempo de interlatido cardiaco. Observamos que excursiones de segmentos estacionarios
arrojan una clase de distribucion exponencial estirada la cual esta caracterizada por
dos parametros tanto para individuos sanos como para pacientes con insuficiencia car-
diaca CHF. Se ha observado que este tipo de distribuciones se presentan en fenomenos
que poseen correlaciones de largo alcance asociados con comportamientos no lineales y
con ruidos tipo 1/f . Estos fenomenos presentan correlaciones de largo alcance, que se
manifiestan mediante un agrupamiento en vecindades temporales respecto a los llama-
dos eventos extremos, es decir, eventos por arriba de cierto umbral, los cuales tambien
exhiben correlaciones tipo 1/f y para los cuales tambien se presenta una agrupacion
temporal. Ademas presentan distribuciones del tipo exponencial estirada, las cuales
distan de procesos puramente poissonianos, es decir, aleatorios puros. El problema del
primer tiempo de retorno ha sido estudiado en contextos como ndices financieros, in-
termitencia, actividad ssmica y ruido simulado (20, 21, 22). Hay tambien un resultado
importante para probabilidad de cruce cero para datos gaussianos con correlaciones de
largo alcance (23). La distribucion de los tiempos de retorno es util para caracterizar
propiedades temporales de eventos cuando uno esta interesado en los tiempos de recur-
rencia de eventos extremos, por ejemplo, en eventos ssmicos (24), el comportamiento
de ndices financieros (25, 26), en tormentas solares (27), registros climatologicos (28), e
incluso intervalos de interlatido cardiaco largos (29). Estudios basados en la estadstica
de tiempos de retorno mayores que cierto umbral dado, han revelado la presencia de
correlaciones de largo alcance en todos estos de registros. Si se conecta el estudio de
intervalos de retorno con el analisis de excursiones, es posible tratar de obtener infor-
macion adicional acerca de que los sistemas sanos son, en general, menos limitados que
los sistemas bajo alguna afeccion, debido al hecho de que los mecanismos de control
aun no se encuentran degradados y permiten una mejor respuesta ante estmulos del
medio.
4
2El objeto de estudio
2.1 El corazon
El corazon es un musculo cuya funcion principal es la de llevar oxgeno y nutrientes a
las celulas del cuerpo. Como organo principal del sistema circulatorio, es la bomba que
impulsa la sangre a traves de todo el sistema. El corazon consta de cuatro camaras (ver
fig. 2.1a)) divididas en dos Aurculas encargadas de recibr el flujo sanguneo prove-
niente tanto del sistema circulatorio periferico (aurcula derecha) como proveniente de
la circulacion pulmonar (aurcula izquierda). Estas aurculas envan la sangre a las cavi-
dades inferiores de mayor masa muscular llamadas Ventrculos (ver fig. 2.1a)), cada
aurcula funciona como una debil bomba de cebado del ventrculo correspondiente, el
derecho enva la sangre hacia los pulmones para ser oxigenada y el izquierdo manda la
sangre ya oxigenada de regreso al torrente sanguneo. Mecanismos especializados del
corazon producen una sucesion de contracciones que transmite potenciales de accion
por todo el musculo cardiaco y determinan su latido rtmico. El corazon esta dotado
de sistemas especiales que generan impulsos electricos intermitentes para producir la
contraccion rtmica del corazon y para conducir estos estmulos rapidamente por todo el
corazon. Cuando este sistema funciona normalmente, las aurculas se contraen aproxi-
madamente 1/6 de segundo antes de la contraccion ventricular, lo que permite el llenado
de los ventrculos antes de que se de su accion de bombeo. Este sistema es tambien
importante porque permite que todas las porciones de los ventrculos se contraigan casi
simultaneamente, lo que es esencial para una generacion de presion mas eficaz en las
cavidades ventriculares.
5
2. EL OBJETO DE ESTUDIO
El sistema especializado de excitacion y de conduccion del corazon que controla las
contracciones cardiacas esta compuesto de el denominado nodo sinoauricular (SA1) en
el que se genera el impulso rtmico normal; las vas internodulares (VI) que conducen el
impulso electrico desde el nodo SA hasta el nodo auriculoventricular (AV2), en el cual
el impulso originado en las aurculas se retrasa antes de entrar en los ventrculos; el haz
AV que conduce el impulso desde las aurculas hacia los ventrculos y las ramas izquierda
y derecha del haz de fibras de Purkinje, que conducen el impulso cardiaco por todo el
tejido de los ventrculos (ver fig. 2.1b)). Algunas fibras cardiacas tienen la propiedad de
autoexitacion que es un proceso que puede producir descargas y contracciones rtmicas
automaticas. Por este motivo el nodo SA habitualmente controla la frecuencia del
latido de todo el corazon, es por ello que es conocido como el marcapaso cardiaco. Aun
cuando hay otras regiones del corazon que pueden producir descargas rtmicas, como es
el caso del nodo AV y las fibras Purkinje, lo hacen a una frecuencia menor, de tal forma
que una nueva descarga del nodo SA se propaga antes de que el nodo AV y las fibras
Purkinje alcancen su propio umbral de autoexitacion. Por tanto, el nuevo impulso
proveniente del nodo SA descarga tanto las fibras del nodo AV como las fibras Purkinje
antes de que se pueda producir autoexitacion en cualquiera de estas estructuras (30).
Aurculaderecha
Aurculaizquierda
Ventrculoderecha
Ventrculoizquierda
Art.PulmonarArt. Aorta Nodo
SA
NodoAV
HazdeHis
a) b)
Figure 2.1: Diagrama del corazon - (a) Diagrama de las cavidades del corazon y sus
principales conexiones as como la direccion del flujo sanguneo. b) Esquema nervioso donde
se muestran los nodos Sinusal (SA) y Auriculoventricular (AV), ademas, se muestran las
ramificaciones del haz de His que conduce el el impulso electrico a las paredes ventriculares.
1Ver el glosario en la pagina vi.2Ver el glosario en la pagina vi.
6
2.2 Ciclo cardiaco
El corazon esta enervado por nervios simpaticos y parasimpaticos. Los nervios
parasimpaticos (vagos) se distribuyen principalmente a los nodos SA y AV. Por el con-
trario los nervios simpaticos se distribuyen en todas las regiones del corazon, con una in-
tensa presencia en el musculo ventricular. La estimulacion de los nervios parasimpaticos
hace que se libera la hormona acetilcolina, la cual reduce la frecuencia del nodo SA y
reduce la excitabilidad de las fibras de la union AV, retrasando de esta manera la
transmision del impulso cardiaco hacia los ventrculos. Por tanto, la estimulacion va-
gal puede causar la disminusion del ritmo en el nodo SA hasta la mitad si es debil, o
incluso interrumpir completamente la exitacion rtmica del nodo SA o incluso puede
bloquear completamente la transmision del impulso cardiaco desde las aurculas hacia
los ventrculos. La estimulacion de los nervios simpaticos liberan la hormona nora-
drenalina que produce esencialmente los efectos contrarios sobre el corazon a los que
produce la estimulacion vagal, por ejemplo, aumenta la frecuencia de descarga del nodo
SA, que puede ser casi al triple de su ritmo habitual; tambien aumenta la velocidad de
conduccion as como el nivel de excitabilidad de todas las porciones del corazon; au-
menta en mucho la fuerza de contraccion de toda la musculatura cardiaca que podra
ser hasta el doble de intensa.
2.2 Ciclo cardiaco
Los fenomenos que se producen desde el comienzo de un latido cardiaco hasta el
comienzo del siguiente se denominan Ciclo Cardaco. Cada ciclo inicia con la generacion
espontanea de un potencial de accion en el nodo SA. Dos periodos son importantes du-
rante el ciclo cardiaco, por un lado el periodo conocido como diastole1durante el cual
el corazon se relaja y dilata para llenarse de sangre, y otro periodo conocido como
sstole2(con dos subfases, la sstole auricular y sstole ventricular), que es el periodo
durante el cual el corazon bombea la sangre a los pulmones (mediante el ventrculo
derecho) y hacia el resto del cuerpo (mediante el ventrculo izquierdo). El musculo
cardiaco, como todos los tejidos susceptibles de excitacion, es refractario ante reestim-
ulacion, es decir, que otro impulso cardiaco normal no puede reexitar una zona recien
excitada del musculo cardiaca por un periodo e tiempo. Dentro del ciclo cardiaco se
1Ver el glosario en la pagina vi.2Ver el glosario en la pagina vi.
7
2. EL OBJETO DE ESTUDIO
incluye un periodo refractario tanto para el musculo auricular como para el musculo
ventricular el cual es de mayor duracion. Toda esta actividad del corazon produce una
serie de senales en el corazon susceptibles de ser medidas, y en consecuencia de ser
estudiadas (ver Fig. 2.2a)). Los cambios de presion tanto ventriculares como en las
aurculas, la presion en la arteria aorta, el volumen ventricular como consecuencia del
vaciado y llenado de sangre de los mismos, los cambios de voltaje en las distintas partes
del corazon como consecuencia de la polarizacion (y despolarizacion) de las celulas mus-
culares, las ondas acusticas producto de los movimientos mecanicos intrnsecos de la
actividad cardiaca son ejemplos de senales que se producen de manera simultanea (ver
Fig. 2.2b)).
ECG(mV)
Resp(au)
BP(mmHg)
MSNA(mV)
a) b)
Figure 2.2: Senales cardiacas - a) Esquema de mediciones fisiologicas sobre un cuerpo
humano. b) Graficas de senales simultaneas dependientes entre s en el momento en que
estas se producen. Aqu ABP se refiere a presion sangunea arterial, MSNA acitvidad
nerviosa del musculo simpatico (31).
2.3 El Electrocardiograma
Cuando el impulso cardiaco atraviesa el corazon, la corriente electrica tambien se
propaga desde el corazon hacia los tejidos perifericos, e incluso una pequena parte
tambien se propaga hacia la superficie corporal. En 1901 Willen Einthoven ideo una
modificacion de un galvanometro para registrar en una tira de papel que corre a ve-
locidad constante por medio de un sitema de relojera, las corrientes electricas que se
originan en el corazon. Al registro grafico de las corrientes cardiacas se le denomina
8
2.3 El Electrocardiograma
Electrocardiograma (ECG)1. En otras palabras, el ECG representa las diferencias de po-
tencial electrico que genera el corazon y que son registrados por un electrocardiografo
desde la superficie corporal por medio de unas placas metalicas llamadas electrodos de
registro. Por la definicion intrnseca en el potencial lectrico, la posicion de los electro-
dos determina la magnitud de su medicion, a las distintas posiciones en que se colocan
los electrodos se les denomina derivaciones2, por lo que se pueden obtener distintas
mediciones simultaneas o derivaciones de una misma actividad electrica cardiaca (ver
Fig. 2.3a)).
a) b)
Figure 2.3: Derivaciones y componentes del electrocardiograma. - a) Esquema de
derivaciones tpicas de Einthoven del tio dipolares, VR, VL y VF se refieren a los potenciales
de los hombros derecho, izquierdo y pierna izquierda respectivamente, las distancias I, II
y III sirven para medir las diferencias de potencial o derivaciones correspondientes. b)
Esquema del grupo de ondas que componen un electrocardiograma tpico, donde ademas
se muestra la etapa de duracioin de la sstole ventricular y la correspondiente diastole del
mismo.
Un trazo electrocardiografico esta compuesto por una serie de ondas que se repiten
para cada ciclo cardiaco (ver Fig. 2.3b)). Un electrocardiograma normal esta formado
por las ondas P, Q, R, S, T y U. Un grupo de ondas esta separado de las ondas que
le preceden y le siguen por una lnea horizontal en la que no se reconoce actividad
electrica, esta lnea de referencia se le suele llamar isoelectrica. La onda P (ver Fig.
2.3b)) es creada por los potenciales electricos que se generan cuando se despolarizan
las aurculas antes del comienzo de la contraccion auricular, su duracion no excede los
1Ver el glosario en la pagina vi.2Ver el glosario en la pagina vi.
9
2. EL OBJETO DE ESTUDIO
0.10seg (tipicamente en el rango de 0.06 0.08seg) y su voltaje maximo es de 0.25mVy es positiva, por ejemplo en las derivaciones DI y DII (ver Fig. 2.3a)). Las ondas Q, R
y S se forman por los potenciales que se generan cuando se despolarizan los ventrculos
antes de su contraccion en su propagacion a lo largo de la zona ventricular, y en conjunto
se le conoce como complejo QRS (ver Fig. 2.3b)). La duracion normal del complejo
QRS oscila entre 0.06 y 0.10seg con mayor frecuencia alrededor de 0.08seg. La onda T
(ver Fig. 2.3b)) es producida por los potenciales que se generan cuando los ventrculos
se recuperan del estado de despolarizacion. La onda T se presenta positiva, por ejemplo
en las derivaciones DI y DII (ver Fig. 2.3a)), y puede aparecer negativa en la derivacion
DIII entre otras, en corazones normales. El espacio Q-T constituye la sstole electrica
ventricular (ver Fig. 2.3b)). Su medida es funcion de la frecuencia ventricular. La
onda U (ver Fig. 2.3b)) se piensa que puede deberse a la repolarizacion del sistema
Purkinge (32). El punto de mayor voltaje en el ECG coincide con la preparacion hacia
la sstole ventricular, al ser la etapa donde los ventrculos aplican la mayor fuerza para
bombear hacia el cuerpo y pulmones la sangre contenida en sus volumenes (que en ese
momento es maximo) no es de extranarse que se requiera un gran impulso electrico
para ello. Al pico maximo se le llama onda R dentro del llamado complejo QRS, el
monitoreo del tiempo entre ondas R sucesivas se le conoce como Tacograma o Inter-
latido Cardiaco (RR). En epocas ancestrales era comun utilizar el interlatido o ritmo
cardiaco (en el caso del ecocardiograma) como un patron para la medicion de tiempo de
eventos a escala de unos cuantos segundos o incluso minutos, sin embargo, un vistazo a
la grafica de interlatido cardiaco (ver fig. 4.1a)) muestra su alto grado de variabilidad,
incluso en estados de reposo o de sueno profundo de un individuo (33). Esto motiva que
en el presente trabajo se tome como objeto de estudio dicha variabilidad del tacograma,
tomando siempre en cuenta que el ECG y el corazon mismo no solo pueden ser carac-
terizados por una senal en s. Sin embargo, trabajos recientes basados en su estudio
muestran que es posible caracterizar algunos padecimientos cardiacos (18, 34, 35), as
como distinguir entre individuos en diferentes etapas de la vida (16, 17). Por supuesto
existen estudios basados en la medicion simultanea de dos o mas senales con el fin de
interrelacionar sus dinamicas, sin embargo, nos avocaremos solo al estudio del ECG y
en especfico a su subserie llamado tacograma1 .
1Ver el glosario en la pagina vi.
10
2.4 Variabilidad del ritmo cardiaco
Lesiones en el sistema rtmico y de conduccion del corazon pueden causar una
alteracion en el ritmo cardiaco o una secuencia anormal de contracciones del musculo
cardiaco, por lo que cualquier alteracion del patron de transmision puede producir po-
tenciales electricos anormales, y en consecuencia, modificar la forma de las ondas en
el ECG. Por esta razon se pueden diagnosticar casi todas las alteraciones graves del
musculo cardiaco analizando los contornos de las diferentes ondas de derivacion del
ECG. Otros tipos de alteraciones de la funcion cardiaca son producidos por un ritmo
cardiaco anormal. Muchos factores pueden hacer que el sistema nervioso simpatico
excite el corazon, estos provocan reflejos simpaticos que aumentan la frecuencia car-
diaca. En el presente trabajo se usa una base de datos de individuos con insuficiencia
cardiaca congestiva (CHF1por sus siglas en ingles). Este padecimiento es una condicion
en la cual el corazon no puede bombear suficiente sangre al resto de los organos del
cuerpo. Las causas de ello son diversas, por mencionar algunas podemos decir que
es debida a un adelgazamiento de las arterias que proveen de sangre al musculo car-
diaco, tambien conocida como enfermedad de la arteria coronaria; otra razon puede ser
ataques cardiacos anteriores o infartos al miocardio con dano en tejido que interfiere
con la funcion de bombeo del musculo cardiaco, etc. Existen otros padecimientos que
alteran el ritmo cardiaco, por ejemplo, la arritmia sinusal es un ritmo irregular que
vara con la respiracion, marcapaso migratorio que provoca una frecuencia por debajo
de 100latidos/min, pero si la frecuencia es mayor entonces se trata de una taquicardia
auricular multifocal; fibrilacion auricular, etc.
2.4 Variabilidad del ritmo cardiaco
Dado que el presente estudio tiene como base la variabilidad del ritmo cardiaco (HRV2)
hay que destacar los principales factores que dan origen a dicha variabilidad. Las celulas
marcapaso del nodo SA se influencian mutuamente lo que genera un ritmo unico pero
necesariamente variable, el cual da origen a una primera forma debil de variabilidad del
ritmo cardiaco. El sistema nervioso autonomo (SNA) es el principal regulador extracar-
diaco. El balance entre la rama simpatica y parasimpatica incrementan la variabilidad
propia del nodo SA. Debido a que el parasimpatico tiene una latencia de respuesta
1Ver el glosario en la pagina vi.2Ver el glosario en la pagina vi.
11
2. EL OBJETO DE ESTUDIO
menor que la del simpatico, su influencia es dominante en las modificaciones rapidas
como la inducida por la respiracion. Tambien se ha establecido que la variabilidad
disminuye con la edad. Ademas de los neurotransmisores autonomos mas estudiados,
acetilcolina y noradrenalina, existe otras sustancias involucradas como las purinas y el
oxido ntrico que juegan un papel relevante en la modulacion autonomica. Otras influ-
encias que pueden modificar la funcion del nodo SA son la temperatura que actua en
forma directa sobre las celulas del nodo, factores endocrinos y metabolicos y fenomenos
mecanicos.
La respiracion impone al ritmo cardiaco un ritmo propio. En principio se ha
sostenido que la influencia de la respiracion esta medida por el parasimpatico que se
estimula en la respiracion y se inhibe durante la inspiracion; por ejemplo, la presion
sangunea arterial y venosa central asociada a la repiracion es constantemente per-
turbada como resultado del ciclo respiratorio, lo que da origen a otro punto central
que controla la variabilidad HRV que se refiere al control barometrico de la presion
sangunea, lo que origina un reflejo barometrico (o barorreflejo) para mantener una
respuesta constante de la presion sangunea. Mientras ue una alta variabilidad de la
presion sangunea es consderada como anormal, una alta variabilidad del ritmo cardiaco
se considera como necesaria en individuos sano para proporcionar una respuesta optima
a las constantes perturbaciones del medio. La dinamica involucrada en la HRV que se
ha estado discutiendo en los parrafos anteriores se despliega en una gran variedad de
escalas temporales que pueden ir desde el orden de fracciones de segundo hasta varios
minutos. Se han identificado rangos de frecuencia para HRV asociados a diferentes
orgenes (36). La banda de frecuencia respiratoria es considerada en un rango normal
entre 0.15Hz y 0.4Hz para humanos y puede variar desde menos de 0.15Hz hasta mas
de 1hz o mas para ninos y adultos ejercitandose. Hay una banda de baja frecuencia (en-
tre 0.5Hz y 0.15Hz), incluyendo una componente de 0.1Hz que ha sido sugerida como
una respuesta emergente del sistema simpatico, o incluso tanto del sistema simpatico
como vagal (parasimpatico). Otra banda que se ha identificado se conoce como de
muy baja frecuencia (por debajo de 0.5Hz) puede ser asociada a reflejos del sistema
termo-regulatorio corporal. La rapida reaccion de los sistemas de control mantienen
la homeostasis cardiovascular ante las fluctuaciones del interlatido cardiaco (RR) por
medio de los diferentes sensores de presion y qumicos corporales.
12
3Metodos de analisis
3.1 Elementos estadsticos
El analisis estadstico de procesos es de mucha importancia en diversas areas del
conocimiento, como lo son las ciencias sociales, la ingenieria, las ciancias naturales
e incluso la biomedicina. En muchos trabajos, registros naturales son caracterizados
por sus densidades de distribucion D(i) de sus valores xi. Una amplia variedad de es-
timadores para la HRV han sido empleados, incluyendo medidas convencionales como
la desviacion estandar de registros cardiacos. En el contexto del presente estudio, la
definicion de las excursiones que manejaremos arroja que su valor sea una variable
aleatoria discreta, pues las excursiones cuantifican el numero de latidos en cantidad
finita, en promedio las mayores excursiones rondaran los 80 latidos.
Con el fin de introducir el estudio de la variabilidad HRV1se hara una breve de-
scripcion de los metodos estadsticos de una sola variable aleatoria, puesto que la medida
que caracteriza el HRV es el tiempo entre latidos consecutivos solamente. Es impor-
tante destacar que los metodos estadsticos para extraer informacion de los datos que
son utiles para ayudar a determinar un modelo para la variable aleatoria, se debe tomar
en cuenta la naturaleza de los datos, particularmente en distinguir si el orden de las
observaciones de la variable aleatoria es de importancia para su estudio, o si no lo es.
Estas tecnicas iniciales no toman en cuanta tal informacion.
Para obtener una mejor idea de la distribucion de pesos de la variable, es con-
veniente considerar en hacer una clasificacion de las medidas en grupos. El proposito
1Ver el glosario en la pagina vi.
13
3. METODOS DE ANALISIS
de clasificar los datos es el de ayudar a la extracion de cieto tipo de informacion util
para la descripcion de la dinamica subyacente. Si los datos provienen de una variable
discreta, usualmente no es necesaria hacer una clasificacion. Si los datos provienen
de una variable continua, la clasificacion puede venir de la mano de la resolucion del
aparato de medicion. En cualquier caso, la experiencia indica que para la mayora de
los datos es desable usar entre 10 y 20 clases. A la hora de considerar la representacion
grafica (histograma), todas las medidas se representan por el punto medio del intervalo
o marca de clase xi, y el numero de medidas del intervalo i-esimo se denota por la
frecuencia fi, donde el numero total de medidas es n. La principal razon para clasificar
los datos y trazar el histograma de frecuencias es determinar la naturaleza de la dis-
tribucion. La naturaleza de un problema estadstico es determinar cuando unas pocas
propiedades aritmeticas simples de la distribucion seran suficientes para describirla sat-
isfactoriamente. Para datos que han sido clasificados, donde xi es la marca de clase del
intervalo de frecuencia fi, se define el momento k-esimo alrededor del origen de una
distribucion emprica de frecuencias como(37):
m
k =1
n
hi=1
xki fi (3.1)
con h el numero de intervalos. En fsica y en calculo es familiar el trabajo con funciones
de momentos si asociamos la masa a fi localizada en la posicion xi, o incluso en el
llamado momento de inercia que esencialmente se asocia a un segundo momento. El
primer momento m
1 es conocido como la media denotada usualmente por x(37):
x =1
n
hi=1
xifi (3.2)
Los metodos estadsticos son comunmente llamados metodos de estudio de varianzas.
Se asume comunmente que la variacion se refiere a variaciones alrededor de la media,
por lo que el k-esimo momento alrededor de la media de la distribucion emprica de
frecuencias esta dado por(37):
mk =1
n
hi=1
(xi x)kfi (3.3)
El segundo momento alrededor de la media m2 puede ser considerado como la medida
de la varianza. Es conveniente tener la medida de la varianza en las mismas unidades
14
3.1 Elementos estadsticos
que la medida de los datos, as que usualmente se tomam2. Esta cantidad es llamada
desviacion estandar(37):
s =
1n
hi=1
(xi x)2fi (3.4)
La varianza es entonces s2 que en ocasiones es mas conveniente que la desviacion es-
tandar para cuantificar la variacion de los datos alrededor de la media.
Distribuciones que tienen extremos mas extendidos tendran un valor de s relati-
vamente grande debido a desviaciones grandes de xi x a la hora de ser multiplicadascuadraticamente por la frecuencia, debido a que contribuiran de manera mas significa-
tiva a la sumatoria que en el caso de distribuciones mas angostas. Para un conjunto
de datos que han sido obtenidos muestreando un tipo particular de poblacion llamado
distribucion normal, se puede probar que el intevalo (x s, x+ s) usualmente incluyealrededor del 68 por ciento de la muestra y que el intervalo (x 2s, x + 2s) incluiraalrededor del 95 por ciento de las observaciones de una variable cuando n es grande(37).
Aplicaciones de la llamada metodologa de distribuciones referentes a tiempo de
vida, tiempo de sobrevivencia o de falla abarca una amplia gama de investigaciones
que pueden involucrar desde procesos industriales de manufactura, hasta enfermedades
humanas y su tratamiento. Comencemos considerando el caso de una sola variable
continua T . Especficamente, sea T una variable aleatoria no negativa que representa
el tiempo de vida de individuos en alguna poblacion. Todas las funciones estan definidas
sobe el intervalo [0,). Sea f(t) la funcion densidad de probabilidad (PDF) de T ysea la densidad de probabilidad acumulativa (CDF) dada por(38):
F (t) = Pr(T t) = t
0f(x)dx (3.5)
La probabilidad de sobrevivencia de un individuo en el tiempo t esta dada por la funcion
de sobrevivencia(38):
S(t) = Pr(T t) = t
f(x)dx (3.6)
Hay que puntualizar que S(t) es una funcion continua monotonamente decreciente con
S(0) = 1 y S() = limtS(t) = 0. En algunas ocasiones T puede ser tratada como
15
3. METODOS DE ANALISIS
una variable discreta aleatoria. En esos casos la funcion de probabilidad es(38):
f(tj) = Pr(T = tj) j = 1, 2, ... (3.7)
La funcion de sobrevivencia es entonces(38):
S() = Pr(T t) =j:tjt
f(tj). (3.8)
Varios modelos de distribuciones parametricas son usados en el analisis de tiempos
de sobrevivencia y para el modelado de procesos de envejecimiento y de falla. Algunos
tipos de distibuciones ocupan la posicion central debido a que han demostrado ser muy
utiles en una amplia gama de situaciones. Por mencionar, en esta categoria estan las
distribuciones exponencial, Weibull, log-normal, log-logstica y gamma. Se expondra
solamente lo referente a la distribucion exponencial y Weibull.
La funcion densidad de probabilidad (PDF) y la funcion de sobreviencia para una
distribucion exponencial estan dadas por(38):
f(t) = et y S(t) = et (3.9)
con valor de expectacion < t >= 1/. En el caso de una distribucion Weibull y su
funcion de distribucion complementaria o de sobrevivencia, la cual se conoce como
Funcion Exponencial Estirada y esta asociada a fenomenos de relajacion de sistemas
desordenados, se expresan como sigue(38):
f(t) = (t)1e(t)
t > 0 (3.10)
y:
S(t) = e(t)
t > 0 (3.11)
El r-esimo momento E(Xr) de la distribucion es r(1 + r/), donde (38):
(k) =
0
uk1eudu k > 0 (3.12)
es la funcion gamma. La media y la varianza son 1(1+1/) y 2[(1+2/)(1+1/)2]. El valor de expectacion para la sobreviviente dado por < t >= 1/(1/),
con la funcion Gamma.
16
3.1 Elementos estadsticos
3.1.1 Estadstica de Allan
En la metrologa de tiempo y frecuencia, la serie de tiempo de un oscilador, concreta-
mente de relojes atomicos, es representada tanto por la desviacion de fase x(t) como por
la desviacion de la frecuencia normalizada y(t), siendo la relacion entre ambas variables
estocasticas de la forma (39):
y(t) =dx(t)
dt(3.13)
La desviacion tpica o estandar, , (o la varianza, 2 es la magnitud estadstica
empleada para cuantificar la dispersion de un conjunto de medidas. La varianza clasica
solo se puede calcular a partir de datos estacionarios, es decir, para procesos en los que
la media y la desviacion estandar no cambien con el tiempo. Para datos estacionarios,
la media y la varianza convergen a valores concretos cuando el numero de medidas
aumenta considerablemente, Con datos no estacionarios(como los que se manejan con
osciladores), tenemos una medida que cambia cada vez que se anade una nueva medida
a la serie temporal. La varianza de Allan (AVAR) es usada como un estandar para
definir cuantitativamente la estabilidad de un oscilador; donde estabilidad se refiere a la
habilidad de un estandar de mantener su sincronizacion en frecuencia, o su sintonizacion
en el tiempo (40). La definicion de AVAR esta dada por la expresion (39, 41):
Figure 3.1: Valores de Allan para ruidos conocidos - Grafica representativa para
indicar los valores de la desviacion de Allan (ADEV) de senales con ruidos conocidos.
2y(T ) =1
2(yt+T yt)2, (3.14)
17
3. METODOS DE ANALISIS
donde T es el intervalo de observacion temporal, el operador denota el promediotemporal y la desviacion de frecuencia promedio yt esta definida como:
yt =1
T
t+Tt
y(t) dt =x(t+ T ) x(t)
T. (3.15)
Para tiempo discreto, la varianza AVAR es evaluada con el siguiente estimador
usando datos de desviacion de fase:
2y [k] =1
2k2T 20
1
N 2kN2k1m=0
(x[m+ 2k] 2x[m+ k] + x[m])2 , (3.16)
donde N es el numero total de muestras, T0 es el intervalo temporal de observacion
mnimo, y el entero k = T/T0 representa el intervalo de observacion temporal discreto,
que tpicamente toma los valores de k = 1, 2, . . . , N/3 (donde r es la parte entera der). Mas aun, en terminos de los datos de desviacion de frecuencia normalizada ({y[i]}),el estimador es (41):
2y[k] =1
2(M 2k + 1)M2k+1
j=1
(yk[i+ k] yk[i])2 , (3.17)
donde k = T/T0, M es el numero total de puntos de frecuencia y los valores promedio
de frecuencia estan dados por:
yk[i] 1k
i+k1j=i
y[j]. (3.18)
El origen de la desviacion en frecuencia de los patrones de frecuencia son de tipo
tanto sistematicos como estocasticos. El segundo es frecuentemente bien descrito por
un comportamiento espectral tipo ley de potencias: Sy(f) f; para el cual lavarianza AVAR tiene una propiedad interesante: exhibe un comportamiento tipo ley
de potencias,
2y(T ) T ; (3.19)
donde se aplica la siguiente relacion entre los dos exponentes (41): = 1 para2 2.
18
3.2 Correlaciones
Otra forma de escribir la relacion 3.19 es en terminos de la llamada desviacion de
Allan (ADEV):
y(T ) T /2 T , (3.20)
con 1.5 0.5, donde = 0.5 corresponde a ruido blanco, = 0 a ruido 1/f y = 0.5 a movimiento Browniano (ver Fig. 3.1).
3.2 Correlaciones
En muchos casos la pesistencia o antipersisencia de una serie de tiempo puede ser
cuantificada por medio de la funcion de autocorrelacion lineal:
Cx(s) =1
2x(L s)Lsi=1
(xi x)(xi+s x) (3.21)
con x denota la desviacion estandar, x la media. Se dice que un proceso muestra un
comportamiento con correlaciones de largo alcance cuando la funcion de autocorrelacion
Cx(s) decae como una ley de potencias:
Cx(s) s (3.22)
con el exponente de correlacion (0 < < 1). Existen diversos tipos de correla-
ciones que pueden ser identificadas en una serie de tiempo, correlaciones largas y cortas
caracterizadas por la dependencia entre vecinos en la serie. Tambien se pueden iden-
tificar varios tipos de persistencia en las series, determinadas por seguir una tendencia
ascendente o descendente (persistencia), o de romper la tendencia presente (antiper-
sistencia). Una persistencia fuerte implica memoria en los datos de la serie, la no
persistencia o antipersistencia esta identificada con el llamado ruido blanco. Por otro
lado las afectaciones entre valores de la serie pueden ser de corto o largo alcance entre
vecinos.
El espectro de potencias es el metodo tpico para detectar auto-correlaciones en una
serie de tiempo. Por ejemplo, considerese un proceso estocastico estacionario con una
funcion de auto-correlacion con un comportamiento tipo ley de potencias (eq. 3.22).
La presencia de correlaciones de largo alcance es asociada al hecho de que el tiempo de
correlacion media diverge para una serie de tiempo infinita (Tx =0 Cx(s)ds). Para
19
3. METODOS DE ANALISIS
series de tiempo descorrelacionadas Cx(s) = 0. Segun el teorema de Wiener-Khintchin,
el espectro de potencias es la transformada de Fourier de la funcion de autocorrelacion
C(s) y para el caso descrito en la Eq. 3.21, tenemos la relacion de escalamiento,
S(f) f, (3.23)
donde es llamado el exponente espectral y es asociado al exponente de correlacion
por = 1 . Cuando la potencia espectral es usada para estimar la presencia decorrelaciones en series de tiempo reales no estacionarias, como es el caso para las senales
de interlatido cardaco, esto podra arrojar resultados no confiables.
3.2.1 Efectos de memoria en series temporales
Para eventos organizados temporalmente, que es el caso de una serie de tiempo (o de
la subserie de excursiones derivada de ella, la cual es objeto de estudio del presente
trabajo), el orden de aparicion de los eventos podra revelar informacion acerca de si
la serie presenta o no correlaciones. Como hemos mencionado en parrafos anteriores,
existen metodos que se encargan de evaluar la existencia de correlaciones en una serie
de tiempo y cuantificarla. En trabajos recientes (22) se ha utilizado el calculo de la
probabilidad condicional, es decir, la probabilidad de que una vez que se ha presentado
un evento de cierto tamano 0, este sea seguido de algun otro de tamano definido .
Para eventos sin memoria, la distribucion de eventos P (0) es independiente de la orga-
nizacion temporal de los mismos, de tal suerte que, dado un evento 0, la probabilidad
de que le siga un evento , es decir P ( |0), sera exactamente igual a P () e independi-ente de 0 si la serie no presenta memoria. Para efectos de buscar la dependencia en el
ordenamiento temporal de la serie, es interesante mencionar la relacion del calculo de
la probabilidad condicional con su aproximacion con la frecuencia de eventos cuando
uno observa un gran numero de eventos N(42)pp32-33
P [ |0] =N |0N0
, (3.24)
donde N0 denota el numero de ocurrencias del evento 0 en N ocurrencias del experi-
mento y N |0 denote el numero de ocurrencias del evento 0 en N ocurrencias.
P [ |0] = P [0]P [0]
=N |0/N
N0/N= P [ |0]. (3.25)
20
3.2 Correlaciones
3.2.2 Analisis de fluctuaciones sin tendencias DFA
En decadas anteriores, metodos alternativos han sido propuestos para la evaluacion de
correlaciones en series de tiempo estacionarias y no estacionarias. Uno de estos metodos
el cual es particularmente util para analizar senales con tendencias polinomiales es el
analisis de fluctuaciones sin tendencias(DFA por sus siglas en ingles), metodo que fue
introducido para cuantificar las correlaciones de largo alcance en la secuencia del ADN
(43, 44). El DFA es descrito como sigue: primero, integramos la serie de tiempo
original para obtener, y(k) =k
i=1 [x(i) xave], la serie resultante es dividida en cajasde tamano n. Para cada caja, se ajusta una lnea recta a los puntos, yn(k). Despues, los
puntos de la lnea son restados de la serie integrada, y(k), en cada caja. La fluctuacion
de la raz cuadratica media de la serie integrada y libre de tendencias es calculada por
medio de
F (n) =
1N
Nk=1
[y(k) yn(k)]2, (3.26)
este proceso se hace sobre muchas escalas (tamanos de caja) para obtener un compor-
tamiento tipo ley de potencia de la siguiente forma:
F (n) n, (3.27)
con un exponente, el cual refleja autosimilaridad y propiedades de correlacion de
la senal. Es sabido que = 0.5 corresponde a ruido blanco (senal descorrelacionda),
= 1 significa ruido 1/f y = 1.5 representa un movimiento browniano. La relacion
entre y del analisis espectral es = 2 1(16).
Figure 3.2: Proceso DFA - Ejemplo del metodo del analisis de fluctuaciones sin ten-
dencias DFA, donde se ilustra la division por ventanas y el ajuste en cada una.
21
3. METODOS DE ANALISIS
3.3 Analisis Espectral
Cuando se habla de metodos espectrales es con la intencion de analizar una serie de
datos en su componentes de frecuencia, las cuales pueden ser expresadas en forma de
una funcion de densidad espectral que describe la potencia espectral como una funcion
de la frecuencia. La potencia espectral de una banda de frecuencia dada puede ser
cuantificada por medio de la estimacion del area bajo la curva de la funcion de densidad
espectral en el intervalo de un rango de frecuencia especificado. Akselrod e. al. (45)
intrudujeron el analisis espectral de la variabilidad del ritmo cardiaco como un medio
no invasivo de evaluar el control cardio-vascular del interlatido cardico RR.
Una serie de tiempo puede ser descrita tanto en el dominio del tiempo x(t) como en el de
las frecuencias X(f, T ). Esta amplitud puede calcularse por medio de la transformada
de Fourier aplicada a x(t) en el intervalo 0 < t < T
X(f, T ) =
0
T
x(t)e2piiftdt. (3.28)
La cantidad |X(f, T )|2 es la contribucion a la energa total de x(t) de las componentescon frecuencias entre f y f + df . La densidad de potencia espectral se define como:
S(f) =1
T|X(f, T )|2. (3.29)
Como se ha mencionado, el espectro de Fourier descompone una forma de onda compleja
en sus constituyentes de frecuencia. Procesos altamente regulares son representados por
espectros angostos que contienen uno o algunos pocos picos de frecuencia bien delim-
itados (como es el caso en (45)) con un bagaje relativamente pequeno. En contraste
procesos complejos, que no tienen una frecuencia caracterstica generan un espectro
amplio con componentes de frecuencia continuos (46). La propiedad fractal de la serie
de tiempo se observa como una dependencia tipo ley de potencias entre la densidad de
potencia espectral y la frecuencia de la siguiente forma:
S(f) 1f
, (3.30)
donde es el exponente espectral, que para ruido blanco = 0, en el caso de movimiento
browniano = 2 y para ruido rosa o ruido 1/f , = 1 (ver Fig. 3.3).
22
3.4 Analisis de fractalidad
10-4 10-3 10-2 10-1 100
f10-15
10-12
10-9
10-6
10-3
100
103
S
m=-2
m=-1
m=0
Figure 3.3: Espectro de potencias de ruidos conocidos. - Grafica logartmica de
la potencia espectral vs la frecuencia para ruido blanco (m = 0), ruido correlacionado
(m = 1) y para ruido browniano (m = 2).
3.4 Analisis de fractalidad
3.4.1 Generalidades
Durante las ultimas decadas se han hecho esfuerzos importantes en la investigacion
del caos determinista, y en particular para medir y cuantificar la complejidad de la
dinamica fractal (47). Benoit Mandelbrot (48) introduce el concepto de fractales medi-
ante el estudio de la longitud de la lnea costera de Gran Bretana para diferentes escalas
de medida, y encuentra que hay una dependencia tipo ley de potencias (invariancia de
escala) de la longitud total de la lnea costera con respecto al tamano de la escala de
medida. Generalizando, una distribucion de objetos es fractal si su distribucion de
tamanos satisface una ley de potencias(49). En un modelo ideal, esta propiedad se
mantiene a toda escala. En el mundo real, sin embargo, hay lmites superiores e infe-
riores a los cuales este comportamiento de invariancia de escala es aplicable. Muchas
estructuras no euclidianas en la naturaleza tales como las enramadas de los arboles, las
intrincadas lneas costeras o las cadenas montanosas presentan estructura fractal. Hay
tambien complejas estructuras anatomicas que despliegan geometra tipo fractal, por
ejemplo, la distribucion de venas y arterias del sistema circulatorio, las traqueobran-
quias de los pulmones o el sistema de conduccion de His-Purkinje del corazon, entre
otros(9). Un fractal autosimilar, por ejemplo en dos dimensiones xy, es tal que f(x, y)
23
3. METODOS DE ANALISIS
es estadsticamente similar a f(rx, ry), donde r es el factor de escalamiento:
Ni rDi (3.31)
donde Ni es el numero de objetos, ri la dimension lineal caracterstica y D es la di-
mension fractal(49). Los valores aceptables para D en el caso de fractales en una lnea
0 D 1, fractales en una superficie 0 D 2 y fractales en un volumen 0 D 3.Un metodo para determinar la dimension fractal de la lnea costera por ejemplo, es de-
terminar el numero de cajas requeridas para cubrir un mapa de la costa. Si el numero
de cajas con dimension r1 requeridas para cubrir la lnea costera es N1 y el numero de
cajas de dimension r2 requeridas para cubrir la lnea costera es N2, entonces la lnea
costera es un fractal autosimilar si se satisface:
N1N2
(r1r2)D (3.32)
En el caso de fractales autoafines se debe cumplir que f(x, y) es estadsticamente simi-
lar a f(rx, rHay), donde r es el factor de escala y Ha es el exponente de Hausdorff(49).
Para determinar la dimension de estos fractales autoafines se puede usar tambien un
conteo por cajas. En el caso de los fractales autosimilares las cajas fueron cuadradas,
esta vez se usan cajas rectangulares. Si a orden cero la caja tiene ancho r0 y altura h0
y a orden uno, el ancho es r1 = r0/n y la altura es h1 = h0/n, la dimension fractal es
la misma que el el caso de los fractales autosimilares.
El concepto de fractalidad no solo se aplica a formas geometricas irregulares que
carezcan de alguna escala caracterstica, sino tambien a ciertos procesos complejos que
carecen de alguna escala caracterstica temporal. Procesos fractales generan fluctua-
ciones irregulares a lo largo de multiples escalas temporales. Una apreciacion cualitativa
de la naturaleza autosimilar de un proceso fractal se puede apreciar graficando sus fluc-
tuaciones a diferentes resoluciones temporales. Este tipo de representacion es lo que
conocemos como Serie de Tiempo. Mandelbrot aplica el concepto de autosimilari-
dad estadstica (SSS) a series de tiempo. Se dice que una serie de tiempo es autoafn
si su densidad de potencia espectral tiene una dependencia tipo ley de potencias con
la frecuencia. Ejemplos de series de tiempo autoafines son la temperatura global, el
flujo de agua en un ro, la intensidad del campo magnetico terrestre. Las series de
tiempo fisiologicas, en general, estan acotadas en su intensidad debido al principio de
24
3.4 Analisis de fractalidad
homeostasis, de tal forma que el registro de la temperatura corporal fluctuara en una
banda que no exceda los lmites en los que la vida puede sustentarse. En este sen-
tido, el reescalamiento de una serie de tiempo fisiologica es mas en la direccion de
un reescalamiento tipo autoafn. Un reto importante es como detectar y cuantificar
las propiedades de escalamiento y de correlaciones de las series de tiempo fisiologica,
las cuales son tpicamente no solo irregulares, sino tambien no estacionarias, en ese
sentido una serie de tiempo es estacionaria si su media, desviacion estandar y de mas
momentos superiores, as como las funciones de correlacion son invariantes ante transla-
ciones temporales; senales que no cumplen estas condiciones se dicen no estacionarias.
A continuacion se describiran algunos de los metodos que son usados para tratar de
profundizar en este reto.
3.4.2 Dimension Fractal (metodo de Higuchi)
La dimension fractal de un objeto autosimilar en el plano es definida en terminos de
la distribucion isotropica de sus partes las cuales pueden ser escaladas por un unico
factor de escala. Higuchi(50) propuso un metodo para calcular la dimension fractal de
curvas autosimilares en terminos de la pendiente de una lnea recta que mejor ajuste la
longitud de la curva vs. el intervalo de tiempo en una grafica logartmica. El metodo
consiste en considerar una cantidad finita de datos tomados a intervalos regulares:
v(1), v(2), ..., v(N), (3.33)
para construir una nueva serie vmk definida por:
v(m), v(m + k), v(m + 2k), ..., v[m +N kk
k], (3.34)
con m = 1, 2, 3, ...k, donde [ ] denotan la notacion de Gauss y k,m son los enteros que
indican el tiempo inicial y el intervalo de tiempo , respectivamente. La longitud de la
curva vmk esta definida como:
Lm(k) =1
k[(i=1
Nmk |v(m+ ik) v(m+ (i 1)k)|) N 1
[Nmk ]k], (3.35)
y el termino dado por:N 1[Nmk ]k
, (3.36)
25
3. METODOS DE ANALISIS
representa el factor de normalizacion. Entonces la longitud de la curva para el inter-
valo de tiempo k, esta dada por L(k), el valor promedio sobre k conjuntos Lm(k).Finalmente, si se satisface que:
L(k) kD, (3.37)
entonces la curva es fractal con dimension D. Para el caso de curvas autoafines, la
dimension fractal esta relacionada con el exponente espectral mediante = 5 2D(50). La dimension fractal para el ruido blanco es D = 2.2, el el caso del ruido 1/f
D = 1.9 y para ruido Browniano D = 1.5.
3.4.3 Metodo multifractal
Considerando una serie de tiempo normalizada como una medida unica P (x). Primero
se calcula la curva f() ( el exponente de Holder) cubriendo la medida con cajas de
longitud L y calculando las probabilidades Pi(L) en cada caja. Despues se construye
la familia monoparametrica de medidas normalizadas dada por (51):
i(q, L) =[Pi(L)]
qj [Pj(L)]
q. (3.38)
Finalmente, para cada valor de q se evalua el numerador del lado derecho de la ecuacion:
f(q) = limL0
i i(q, L) ln[i(q, L)]
lnL, (3.39)
(q) = limL0
i i(q, L) ln[Pi(q, L)]
lnL. (3.40)
Estas ecuaciones proveen una relacion entre la dimension de Hausdorff f y . La grafica
de f (la dimension fractal) vs. es el espectro multifractal. El exponente de masa (q)
esta dado en terminos de (q) y de la diemension fractal f((q)) por:
(q) = q(q) f((q)). (3.41)
La curva f() caracteriza la medida y es el equivalente a la secuencia de exponentes de
masa (q). Tambien se puede describir la medida con la dimension fractal generalizada
Dq la cual esta dada por:
Dq =(q)
1 q . (3.42)
26
3.5 Metodo de segmentacion
3.5 Metodo de segmentacion
Partiendo de la idea de que series de tiempo no estacionarias pueden ser vistas como un
conjunto de segmentos estacionarios para ciertos propositos practicos, Bernaola-Galvan
et. al. (6) desarrollaron un algoritmo llamado de Segmentacion para detectar dichos
segmentos. Este metodo aplicado a ciertos casos de interes (por ejemplo interlatido
cardaco, trafico en internet, etc. (52)) revela un decaimiento tipo ley de potencias
para la duracion de los segmentos. Explicaremos brevemente el metodo de segmentacion
propuesto por Bernaola-Galvan et. al. (6) para detectar segmentos estacionarios en
una senal no estacionaria. Se considera un puntero movil para calcular la cantidad:
t =r lSD
, (3.43)
donde r y l son los valores medios al lado derecho e izquierdo del indicador, respec-
tivamente. SD es la varianza acumulada dada por:
SD =
((Nl 1)s2l + (Nr 1)s2r
Nl +Nr 2)1/2(
1
Nl+
1
Nr
)1/2, (3.44)
donde sl y sr son las desviaciones estandar de los dos conjuntos, y Nl y Nr son el
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x 104
0
0.5
1Seal RR
No. Latdo
Inte
rval
o RR
1.3522x 104
0
50
100Estadistica de t
No. Latdo
t
Figure 3.4: Procedimiento de segmentacion - Calculo de indicador t para el proced-
imiento de segmentacion aplicado a un individuo sano, donde se muestra un punto maximo
candidato para cortar la serie con un valor de t = 79.8 y una significancia de P (tmax) = 1
numero de puntos en cada conjunto. La cantidad t es usada para separar dos eventos con
una media estadsticamente diferente. Se aplica un nivel de significancia P (tmax) para
cortar la serie en dos segmentos nuevos (tpicamente se fija en P (tmax) = 0.95), siempre
27
3. METODOS DE ANALISIS
y cuando las medias de los dos nuevos segmentos sean significativamente diferentes de
la media del segmento adyacente respectivo (6, 52). P esta dada por:
P (tmax) 1 I[v/(v+tmax2)](v, ), (3.45)
donde = 4.19lnN 11.54 y = 0.40 son obtenidas por simulaciones Monte Carlo, Nes la longitud de la serie de tiempo a ser dividida, v = N 2 y Ix(a, b) es la funcionbeta incompleta. El proceso es aplicado de manera recursiva hasta que el valor de
significancia sea menor que el umbral o que la longitud de un nuevo segmento sea
menor que una longitud mnima considerada 0. Para detalles en la implementacion
del algoritmo ver (52).
28
4Estudio de excursiones de
interlatido cardiaco
El estudio de la senal electrica del corazon, es decir, el estudio del electrocardiograma
ECG es de gran interes en el contexto de la dinamica no lineal, pues resulta ser una senal
altamente no estacionaria. La senal en s consta de distintas regiones que se pueden
identificar de manera generica, e incluso la ausencia o modificacion de alguna seccion
es motivo de diagnostico por algun posible padecimiento cardiaco. Modificaciones en
los patrones del ECG pueden ser estudiados a partir de la observacion parcial de sus
componentes, como es el caso del estudio sobre la senal de interlatido cardiaco. Por
tanto, variaciones que se reporten entre distintos grupos de individuos solo indicaran
alteraciones al tiempo entre los puntos R de un ECG. Un experto en estudio de ECG,
como lo es los dedicados a la cardiologa, no se limitan a buscar alteraciones partic-
ulares de la senal, sino observar en conjunto todas sus caractersticas. Aun mas, la
deteccion de un padecimiento cardiaco requere de elementos adicionales al ECG, como
pueden ser estudios ecocardiograficos, analisis clnicos e incluso historial medico del
paciente. Los grupos de estudio que aqu se trabajan han sido diagnosticados tomando
en cuenta todo este espectro de pruebas, de tal suerte que la busqueda de diferencias en
sus caractersticas estadsticas es con el conocimiento de causa de que tipo de individuo
se trata y es con humildad que abordamos el presente estudio.
Analizamos la series de tiempo de interlatido cardiaco para dos grupos de indi-
viduos: 16 individuos sanos y 11 pacientes con insuficiencia cardiaca congestiva CHF
29
4. ESTUDIO DE EXCURSIONES DE INTERLATIDO CARDIACO
(53)[datos obtenidos de www.physionet.org]. Consideramos la secuencia de interva-
los RR con aproximadamente 3 103 latidos correspondientes a alrededor de 6 horasdiurnas de registro de ECG.
4.1 Estadstica de la distribucion de los segmentos(1)
Primero, aplicamos el algoritmo de segmentacion a la serie de interlatido cardiaco para
detectar segmentos estacionarios. La Fig. 4.1a muestra una representacion del pro-
cedimiento de segmentacion a los datos para un individuo sano. En nuestro estudio
usamos 0 = 50 como la mnima longitud de segmentacion.
0 5000 10000 15000
0.6
0.9
1.2
7000 8000 9000 10000-0.2
0
0.2
Inter
valo
RR
7470 7480 7490 7500 7510 7520
No. Latido
1 2 3 4 5 6 7
a)
b)
c)+
Figure 4.1: Conjunto RR para ilustrar la construccion de las excursiones. -
Caso representativo del procedimiento de segmentacion para (a) una senal no estacionaria
de un individua sano. (b) Como en (a) pero con una magnificacion del intervalo (a). (c)
Magnificacion de (b) para ilustrar la identificacion de las excursiones.
La idea de aplicar un procedimiento de segmentacion a la serie de interlatido cal-
diaco viene del hecho de que suponemos que parte de la variabilidad de la senal es
debida a factores internos como el control nervioso y externos como los ambientales,
es decir, que el individuo presenta diferentes actividades durante el da que le deman-
dan distintas respuestas cardiacas, las cuales se mantienen durante cierto intervalo de
tiempo mientras dichas actividades o su influencia se encuentren presentes.
30
4.1 Estadstica de la distribucion de los segmentos(1)
Existen estudios que encuentran no estacionaridad de un registro cadaco tanto en
condiciones de envejecimiento como enfermedad (9, 14, 15, 16, 17, 18). Sin embargo,
con la segmentacion es posible hacernos la pregunta de si mas alla de la variabilidad
evidente en las senales, existe otros comportamientos mas sutiles que se vean apan-
tallados y que puedan ser develados cuando se observen localmente las fluctuaciones de
una senal; es debido a ello que cobra sentido el presente estudio. Trabajos anteriores
reportan que individuos sanos presentan una mayor complejidad en las secuencias de
interlatido cardiaco con respecto a individuos con insuficiencia cardiaca (17, 18). Se
esperara que la distribucion de los segmentos mostrara alguna caracterstica que separe
a ambos grupos bajo la suposicion que hemos mencionado de que atribuimos parte de
la variabilidad a la presencia de segmentos estacionarios en la serie.
102 103
Longitud del segmento
10-3
10-2
10-1
100
Dis
t. Ac
umul
ativ
a
CHFSanos
2.1
Figure 4.2: Distribucion de los segmentos RR. - Distribucion acumulativa de los
segmentos obtenida mediante el metodo de segmentacion. En esta caso se considera una
longitud mnima de segmento de l0 = 50 y un nivel de significancia de P = 95%.
Una vez que se realiza la segmentacion a los grupos de individuos se encuentra que
la distribucion de los segmentos estacionarios presenta un comportamiento tipo ley de
potencias en concordancia con lo reportado por Bernaola-Galvan et. al.(6). En este
caso se halla que el exponente de escalamiento, el cual caracteriza la distribucion, es
tambien el mismo para individuos sanos que para pacientes con insuficiencia cardiaca.
G() (4.1)
31
4. ESTUDIO DE EXCURSIONES DE INTERLATIDO CARDIACO
con la longitud de los segmentos y 2.1 para ambos grupos de individuos como semenciono. Estos hallazgos indican que esta estructura invariante de escala no es una
simple consecuencia de correlaciones de largo alcance (6) mostradas por el sistema y
que la no estacionaridad es una propiedad intrnseca relacionada con el control neu-
roautonomo y con perturbaciones externas que va mas alla de la condicion del individuo
y tal pareciera que no se degrada ante tal padecimiento. Estamos entendiendo por ello
que tanto los individuos sanos como los pacientes CHF son capaces de modificar su
respuesta cardiaca, segun se lo demande el medio, de la misma forma, y que ademas
no existe una escala caracterstica para la duracion de estos segmentos, lo que conlleva
a una mayor adaptabilidad del individuo a las condiciones que se le demanden en de-
terminadas condiciones de actividad.
Desde un punto de vista fisiologico, la presencia de segmentos estacionarios locales
puede ser entendida como una capacidad del sistema de preservar aproximadamente
una respuesta constante, pero por un periodo de tiempo limitado. Tambien se argu-
menta que, de acuerdo con el principio de homeostasis, los sistemas biologicos tienden a
mantener una respuesta constante pese a perturbaciones continuas (54). Ciertamente,
fluctuaciones o variaciones alrededor de cierto valor es una caracterstica comun de al-
gunas senales fisiologicas, en concordancia con el mencionado principio de homeostasis.
4.2 Estadstica y Correlacion de las Excursiones(1, 3, 5)
4.2.1 Excursiones
Una vez identificados los segmentos estacionarios en la serie, procedemos a fijarnos en
propiedades de las fluctuaciones alrededor de la media local en cada segmento a lo largo
de toda la serie. De alguna forma se esta pensando en eliminar la tendencia estacional
de cada segmento para analizar en conjunto todas las fluctuaciones de la serie una vez
que se han identificado las grandes fluctuaciones que representa los segmentos. Para
ello calculamos el tamano de las excursiones para cada segmento estacionario con re-
specto de la media local. De manera mas especfica, dada la media local para algun
segmento x identificamos una excursion con tamano si para cada punto del interlatido
se cumple que xj > x y xj+ > x mientras xi > x para todos los valores de i en el
intervalo j < i < j + , o si xj < x y xj+ < x mientras xi < x para todos los valores
32
4.2 Estadstica y Correlacion de las Excursiones(1, 3, 5)
de i en el intervalo j < i < j + (ver Fig. 4.1c).
La construccion de la secuencia de excursiones a lo largo de la serie de tiempo
completa se garantiza a partir de la aplicacion de la prueba de Kolmorov-Smirnov para
asegurar que cada segmento presenta la misma distribucion de excursiones que sus
vecinos (ver apendice).
4.2.2 Distribucion de excursiones locales
Ahora consideremos la distribucion acumulativa de la secuencia de excursiones de to-
dos los segmentos G(). Por la manera en que se identifican las excursiones a lo largo
de la serie, lo cual es descrito en la seccion anterior (ver 4.1c), es posible distinguir
entre excursiones por arriba y por abajo de la media local, mas adelante estudiaremos
las posibles diferencias entre el comportamiento de ambos tipos de excusiones, por lo
pronto, trataremos a las excusiones como absolutas.
En las graficas 4.3a y 4.3d se muestran las distribuciones acumulativas de las ex-
cursiones para individuos sanos y pacientes CHF, respectivamente. Como se puede
observar, aunque existe un comportamiento funcional similar entre los individuos de
cada grupo, tambien se aprecia que hay una separacion entre las graficas individuales,
siendo mas marcado en el caso de los pacientes CHF. Esto puede ser entendido desde
el punto de vista de que cada individuo, pese a tener una condicion especfica, pre-
senta una dinamica individual, por lo que para poder hacer una comparacion entre
individuos del mismo grupo proponemos normalizar el tamano de las excursiones por
la desviacion estandar de la secuencia de cada individuo respectivamente. Las graficas
ya normalizadas para individuos sanos y para pacientes CHF se muestran en las figuras
4.3b y 4.3e, respectivamente. Observamos como de manera clara las curvas individ-
uales colapsan aproximadamente a una sola curva, sugiriendo que en cada grupo de
individuos existe una forma funcional comun. Una observacion mas detallada de estas
distribuciones indica que son consistentes con una funcion exponencial estirada dada
por:
G() eab , (4.2)
33
4. ESTUDIO DE EXCURSIONES DE INTERLATIDO CARDIACO
donde a y b son constantes. Especficamente, para el caso de individuos sanos
en condiciones de da encontramos que los parametros que representan al grupo son
a = 1.09 0.15 (valor medio SD) y b = 0.91 0.11. Para el caso de pacientesCHF los parametros del grupo vienen dados por a = 1.30 0.24 con b = 0.77 0.13.En condiciones de noche los individuos sanos tienen los parametros a = 1.41 0.19 yb = 0.71 0.11. Para el caso de pacientes CHF los parametros del grupo vienen dadospor a = 1.44 0.44 con b = 0.74 0.19.
100 101
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Dist
ribuc
in
Acu
mul
ativ
a
10-1 100 101
/
Sanos
0 3 6 9 12/
100 101
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Dist
ribuc
in
Acu
mul
ativ
a
10-1 100 101
/
CHF
0 3 6 9 12/
a)
mezclados
mezclados
b) c)
d) e) f)
Figure 4.3: Conjunto de las distribucion de excursiones. - Distribuciones acu-
mulativas de excursiones para 16 individuos sanos y 11 pacientes CHF. (a) y (d) grafica
log-log para la distribucion de excursiones. (b) y (e) grafica log-log para la distribucion
de excursiones normalizadas. (c) y (f) grafica log-lineal para la distribucion de excursiones
normalizadas. Tambien mostramos los casos de los datos mezclados, esto es, para cada
segmento mezclamos los puntos de interlatidos y entonces la distribucion de excursiones
es construida juntando los datos de todos los segmentos. Por claridad, la distribucion fue
escalada por un factor de 1/10.
Para mostrar que la distribucion de excursiones difiere de una distribucion ex-
ponencial o descorrelacionada (ver apendice B), hacemos una mezcla aleatoria de la
34
4.2 Estadstica y Correlacion de las Excursiones(1, 3, 5)
10-1 100 101
/
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Dis
t. Ac
umul
ativ
a
DIANOCHE
Sanos
100 101
/
DIANOCHE
CHF
a) b)
Datos mezclados Datos mezclados
Figure 4.4: Distribuciones representativas de excursiones da-noche. - Dis-
tribucion acumulativa representativa para periodos de vigilia y sueno de (a) un individuo
sano y (b) unpaciente CHF. Tambien se muestra el caso de los datos mezclados, es decir,
para cada segmento se mezclan los puntos de interlatido, y entonces se construye la dis-
tribucion de excursiones mediante unificar los datos de todos los segmentos. Para mayor
claridad, las distribuciones se escalaron por un factor de 1/10.
secuencia de interlatidos, lo que modificara el tamano de las excursiones, se espera en-
tonces que arroje una distribucion diferente de la secuencia de los datos originales. Las
figuras 4.3c y 4.3f muestran la grafica log-lineal de los datos en de las figs. 4.3b y 4.3e
y la distribucion de los datos mezclados. Como podemos ver, los datos originales lucen
diferentes respecto de los datos mezclados, lo cual es consistente con una distribucion
exponencial revelando el proceso aleatorio con el cual se creo. Mas aun, calculamos la
escala caracterstica asociada a la distribucion exponencial estirada dada por el valor
de expectacion dado por < >= a1/b(1/b). Para individuos sanos de da tenemos
= 0.95 0.11, mientra que para CHF = 0.84 0.12, lo que indica un rapidodecaimiento en condiciones CHF. En condiciones de noche los individuos sanos tienen
= 0.77 0.10, mientra que para CHF = 0.78 0.24. Es importante notar quela escala caracterstica de individuos sanos en periodo de sueno es comparable con el
de pacientes CHF para condiciones de da, sugiriendo que la dinamica sana en mnima
actividad (sueno) es similar a la dinamica de pacientes CHF (54). Estos resultados se
resumen en la Fig. 4.5, donde el promedio de las constantes de tiempo de periodos de
vigilia para sanos es diferente del valor medio del grupo CHF y pequenas diferencias
son observadas entre grupos en fases de sueno. Las diferencias entre periodos de sueno
35
4. ESTUDIO DE EXCURSIONES DE INTERLATIDO CARDIACO
y vigilia son mas significativas en el grupo sano comparadas con los pacientes CHF.
Tambien resaltamos que las fases de vigilia presentan una escala caracterstica mayos
que fases de sueno, confirmando que durante la actividad diurna las excursiones tienden
a ser mayores. Estos resultados en general concuerdan con estudios previos en los cuales
se reporte un comportamiento anticorrelacionado de cantidades tipo excursiones(54).
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 (DIA)
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
(NOC
HE)
SanosCHF
Figure 4.5: Tiempos caractersticos da-noche. - Tiempos caractersticos promedio
de vigilia vs. sueno para individuos sanos y pacientes CHF.
4.2.3 Procedimientos de alteracion de las excursiones
Para evaluar la exactitud de nuestros hallazgos descritos anteriormente, consideremos
dos procedimientos que afectan la distribucion:
(i) el cambio del nivel de la media local para definir una excursion y
(ii) un procedimiento de alizamiento para remover pequenas fluctuaciones.
(i) En lo que se refiere al primer punto, probamos el efecto que tiene el valor
de la media local sobre los parametros de la distribucion. Para ello, repetimos los
calculos considerando excursiones respecto a una media desplazada q, con ladesviacion estandar y q = 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5. En la Fig. 4.6 se presentanlos resultados de a y b para diferentes valores de q. Para ambos grupos observamos
que a se incrementa y b decrece conforme la media local es desplazada hacia arriba o
hacia abajo, indicando un pequeno decaimiento en la distribucion, esto es, excursiones
largas son mas probables de aparecer. Resulta interesante que para individuos sanos b
36
4.2 Estadstica y Correlacion de las Excursiones(1, 3, 5)
alcanza su maximo valor mientras que a es mnimo en el valor de media local 0.1,revelandose un comportamiento asimetrico (Fig. 4.6). Este comportamiento asimetrico
revela que la dinamica de las excursiones es diferente hacia arriba que hacia abajo de la
media loca