1892-7307-2-PB

Revista CIATEC UPF, vol.2 (2), p.p.46-61, 2010

doi: 10.5335/ciatec.v2i2.1892 46

OTIMIZAO DE ROTEIROS PARA O SETOR DE VIGILNCIA DA

UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO

OPTIMIZATION OF ROUTES FOR THE SURVEILLANCE SECTOR AT UNIVERSITY OF

PASSO FUNDO

Letcia Andreolla e Rosana Maria Luvezute Kripka

Instituto de Cincias Exatas e Geocincias, Universidade de Passo Fundo - BR 285, Km 171

Passo Fundo/RS. E-mail: [email protected]

RESUMO

O presente trabalho apresenta o processo de modelagem matemtica para a resoluo do problema real de

otimizao de roteiros do setor de vigilncia da Universidade de Passo Fundo, atravs de ferramentas

matemticas adequadas. Dessa forma, apresenta-se, por meio da reviso bibliogrfica, a modelagem

matemtica para o problema do caixeiro-viajante, uma vez que o trabalho est direcionado para uma aplicao

baseada nas noes desse tipo de problema. Tambm so apresentados os mtodos utilizados para a resoluo

de modelos matemticos com ferramentas computacionais. Finalmente, apresenta-se a modelagem do problema

real, bem como o processo realizado para encontrar os roteiros otimizados para que vigilantes possam fazer o

fechamento de um nmero determinado de prdios da UPF e suas implicaes.

Palavras-chave: Modelagem matemtica. Problema caixeiro-viajante. Otimizao.

ABSTRACT

Abstract: The article presents the process of mathematical modeling to solve the real problem of optimizing the

route surveillance department at the University of Passo Fundo, using appropriate mathematical tools. Thus, it

is also present through literature review, the mathematical modeling for the Traveling Salesman Problem, once

the work is directed to an application based on the notions of this kind of problem. Are also presented methods

for solving mathematical models using computer tools. Finally, we present the modeling of the real problem,

and the process undertaken to find optimized routes so they can do for closing a certain number of buildings in

the UPF.

Keywords: Mathematical Modeling, Traveling Salesman Problem, Optimization.

1. INTRODUO

A matemtica aplicada possui muita utilidade na atualidade, principalmente para a descrio e

resoluo de problemas reais ou abstratos. Porm, possui tcnicas variadas de aplicaes e resolues.

No presente trabalho so abordados o processo de modelagem matemtica para obteno de

problemas de otimizao, ou seja, como se representam problemas reais em modelos matemticos de

otimizao, para os quais se buscam valores extremos de funes restritas, e as tcnicas de otimizao

adequadas para resolv-los.

Atualmente, na Universidade de Passo Fundo (UPF), o setor de Vigilncia responsvel pelo

fechamento dirio de todos os prdios do Campus I ao trmino das aulas. Nesse contexto, a proposta

do presente trabalho consiste em apresentar uma modelagem matemtica de otimizao para o

problema de roteamento dos vigilantes que trabalham na Universidade de Passo Fundo, que

necessitam fechar todos os prdios percorrendo uma distncia mnima; assim, no haver a execuo

de deslocamentos desnecessrios e, consequentemente, um melhor aproveitamento do tempo. Para

tanto, realizou-se uma reviso bibliogrfica com o objetivo de aprimorar conhecimentos sobre

conceitos e tcnicas de otimizao que possibilitassem a modelagem matemtica do problema do


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caixeiro viajante, sua otimizao atravs de tcnicas matemticas adequadas e sua posterior aplicao

ao problema real de otimizao de roteiros para o setor de Vigilncia da UPF.

Tambm foi realizada uma pesquisa de campo para coleta de dados, o que possibilitou a

construo do modelo matemtico correspondente ao problema prtico em questo, o qual foi

resolvido por mtodos matemticos adequados, com o uso de aplicativos, obtendo-se a soluo tima

para o problema real analisado, como apresentado a seguir.

2. MODELAGEM MATEMTICA

Um dos maiores desejos do ser humano o entendimento dos fenmenos que ocorrem ao seu

redor e que influenciam tanto direta quanto indiretamente na evoluo da humanidade. Com o passar

dos tempos, o mundo foi sendo modificado e, com isso, os conhecimentos tambm precisaram ser

transformados e adaptados. medida que a complexidade tornava-se mais visvel, os processos

utilizados na tentativa de compreender o mundo tiveram que evoluir tambm.

No entanto, apesar de esse processo no ser simples, o homem tem se mostrado cada vez mais

hbil em criar formas de representar e solucionar a sua relao com o mundo. Nessa busca incessante

por respostas, explicaes ou porqus dos respectivos acontecimentos, surge a contribuio da

modelagem matemtica, embora muitas pessoas no tenham a percepo de como esta cincia est

presente de forma intensa e integral no cotidiano de cada indivduo, no meio ambiente e no universo

em geral.

Como a compreenso do mundo possui um alto grau de complexidade, tornou-se necessrio

recorrer s metforas, uma vez que usar comparaes faz brotar o dom do entendimento de maneira

mais perceptvel e frequente. Esse processo constitui um fenmeno de modelagem. Para Bean, a essncia da modelagem matemtica consiste em um processo no qual as caractersticas pertinentes de

um objeto ou sistema so extradas, com a ajuda de hipteses e aproximaes simplificadoras,

representadas em termos matemticos (o modelo). (2001, p. 53).

As situaes-problema encontradas em diversos setores, como indstria, sade e meio

ambiente, exigem que sejam criados, ou no mnimo modificados, modelos matemticos com a

finalidade de descrever, entender e resolver os problemas enfrentados. De forma simplificada, a

modelagem constitui uma transformao de problemas reais em problemas matemticos, no apenas

em reas exatas como a fsica, a qumica e a biologia, mas tambm nas cincias humanas. Para

Goldbarg e Luna (2005, p.1), um modelo um vnculo para uma viso bem estruturada da realidade.

Entretanto, o mais impressionante saber que todos j usaram modelos, mesmo sem possuir

conscincia disso. A modelagem muitas vezes ocorre de forma to espontnea e simples em atividades

prticas que se torna algo bsico de uma explicao ou representao, como, por exemplo, desde a

utilizao de mapas, fotografias, desenhos, grficos at as equaes matemticas. Isso ocorre porque a

mente do homem trabalha automaticamente com comparaes, num processo de substituio de

estruturas que facilitam seu raciocnio.

Assim, a modelagem matemtica um mtodo cientfico de pesquisa que usa smbolos e

modelos matemticos de representao de problemas reais para que, por meio de tcnicas especficas,

possam ser resolvidos, obtendo-se resultados suficientemente prximos da realidade em questo. O

processo de traduo de um fenmeno ou problema de uma situao real em um conjunto de smbolos

e relaes matemticas denomina-se modelo matemtico, que pode ser formulado utilizando-se expresses numricas, frmulas, diagramas, equaes algbricas, tabelas, etc.


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A palavra modelo possui vrios significados, porm neste trabalho ser utilizada a definio de Goldbarg e Luna: os modelos so representaes simplificadas da realidade que preservam, para determinadas situaes e enfoques, uma equivalncia adequada. (2005, p. 2).

Um modelo matemtico possui grande utilidade quando baseado em noes j desenvolvidas

e, atravs de uma elaborao cuidadosa, possvel fazer uma comparao das hipteses esperadas

com as hipteses observadas. Uma das vantagens de se utilizar um modelo que pode ser

modificado, aprimorado ou substitudo por outros sempre que houver necessidade de transformaes,

visando a uma descrio de maneira mais correta do fenmeno que est sendo estudado. Muitas vezes

necessrio desconsiderar algumas informaes que no tragam acrscimos descrio do modelo,

mas que, ao mesmo tempo, no desequilibrem a validade do mesmo.

Neste trabalho o enfoque da aplicao foi dado aos problemas de otimizao combinatria,

especialmente modelagem matemtica do problema do caixeiro-viajante.

3. PESQUISA OPERACIONAL

Para estruturar e solucionar os modelos, que podem ser expressos matematicamente, necessita-

se de tcnicas e, em alguns casos, de algoritmos.

Destaca-se aqui ento a pesquisa operacional (PO), do ingls operational research, que rene

um importante conjunto de tcnicas da modelagem matemtica, onde os modelos so organizados de

forma lgica e subsidiados por ferramentas matemticas de representao, com os quais se objetiva

determinar as melhores condies para o funcionamento dos modelos, podendo-se, assim, analisar

sistemas complexos e tomar decises.

Para Ehrlich (1985, p.11), (...) um conjunto de tcnicas quantitativas com o intuito de auxiliar o processo de deciso dentro de uma filosofia de modelagem e, preferivelmente, de

otimizao. Um problema de otimizao constitudo de uma funo objetivo e um conjunto de restries,

ambos relacionados s variveis de deciso. O problema pode ser de minimizao ou de maximizao

da funo objetivo. Otimizar o problema significa encontrar a soluo tima para o mesmo, obter os

valores para as variveis que correspondam ao menor (ou maior) valor possvel para a funo objetivo

e, ainda, que no viole nenhuma restrio do problema.

Segundo Andrade, a pesquisa operacional teve origem na Segunda Guerra Mundial, (...) quando equipes de pesquisadores procuraram desenvolver mtodos para resolver determinados

problemas de operaes militares. (1989, p.1). Contudo, no Brasil, a pesquisa operacional iniciou-se basicamente por volta da dcada de 1960. Aps seu surgimento, muitas pessoas passaram a estudar a

pesquisa operacional e a procurar novas tcnicas para resolues dos problemas desse novo campo,

pois tem aplicao em diversas reas, como finanas, agricultura, medicina, meio ambiente, entre

outros.

Alm de se caracterizar pelo uso de conhecimentos cientficos por equipes interdisciplinares,

objetivando uma melhor utilizao dos recursos, a PO tem uma caracterstica muito importante e que

facilita o processo de anlise de deciso: a utilizao de modelos e suas resolues, permitindo, assim,

que a deciso possa ser avaliada e testada antes de ser implantada. De forma resumida, a PO consiste

no desenvolvimento de mtodos cientficos de sistemas que sejam complexos, tendo como finalidade

prever e comparar estratgias ou decises alternativas (ARENALES, 2007, p.3).

Segundo Goldbarg e Luna (2005), existem muitas classificaes possveis para o problema de

otimizao, que podem ser caracterizadas quanto relao entre as variveis de deciso na funo

objetivo e nas restries, quanto ao valor que podem assumir as variveis e quanto natureza da

funo objetivo. Para cada tipo de problema de otimizao existem mtodos de resoluo especficos


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que buscam as solues otimizadas. Porm, encontrar solues timas, ou mesmo aproximadas, para

esses tipos de problemas um desafio nem sempre fcil de ser realizado.

Portanto, com objetivo de programar atividades de sistemas complexos diversos foram

desenvolvidas as tcnicas de programao matemtica.

Assim, a programao matemtica consiste no conjunto das diversas tcnicas para resoluo

dos principais modelos de pesquisa operacional.

Embora muitas vezes se relacione a palavra programao com processos de comandos computacionais, no presente trabalho utilizar-se- o sentido de planejamento de atividades. Contudo,

para resoluo dos modelos ser necessrio o auxlio da programao computacional, pelo fato de o

modelo possuir diversas variveis e restries.

Conforme Goldbarg e Luna (2005, p.11), as tcnicas da programao matemtica tm grande

utilidade na soluo de problemas de otimizao. A variao que se encontra nas tcnicas de resoluo

bem maior do que no processo de modelagem, em virtude de que os mtodos de resoluo sofreram

especializaes e particularizaes e acabaram agrupados em vrias subreas, tais como:

Programao linear onde as variveis so contnuas e tm comportamento linear, tanto em relao s restries como quanto funo objetivo;

Programao no-linear quando na funo objetivo ou em qualquer uma das restries do modelo existir no-linearidade;

Programao inteira quando as variveis no podem assumir valores contnuos, somente valores discretos, implicando, assim, uma maior complexidade computacional.

Essas so apenas algumas das subreas, mas existem outras, porm no citadas neste trabalho.

Assim, a partir do modelo matemtico adaptado a cada caso particular, pode-se buscar a sua

resoluo otimizada por meio de tcnicas de programao matemtica adequadas.

Baseado nessas noes e concepes, neste trabalho se apresenta a modelagem de um

problema real de otimizao combinatria, o qual foi resolvido utilizando-se tcnicas de otimizao

adequadas, atravs de recursos auxiliares computacionais, esses programas especficos de resoluo

de problemas de programao linear inteira, com nmero significativo de variveis.

4. PROBLEMA DO CAIXEIRO-VIAJANTE

O problema do caixeiro-viajante PVC (no ingls traveling salesman problem ou TSP) foi o primeiro problema de roteirizao a ser estudado e dentro da programao matemtica um dos

problemas mais tradicionais e conhecidos. Nos tempos modernos, a primeira vez que se mencionou

sobre esse problema foi por Hassler Whitney, em 1934, em um trabalho na Princenton University.

(GOLDBARG; LUNA, 2005).

Em 1954, foi publicado por Dantzig, Fulkerson e Johnson um artigo que props uma Soluo de larga escala do problema do caixeiro-viajante no jornal da Sociedade de Pesquisa Operacional da Amrica. Nele foi proposta uma soluo para o PCV, sendo esse um evento importante na histria da

otimizao combinatria. (SOUZA, 1997).

4.1. Conceitos bsicos

O objetivo do PVC encontrar em um grafo G = (V, A) o circuito hamiltoniano de menor

custo.

Um grafo, numa definio bem simples, um conjunto de vrtices e arestas. Os vrtices (ou

ns) so pontos que podem representar cidades, depsitos, postos de trabalho ou atendimento. Por sua

vez, as arestas so linhas que conectam os vrtices, podendo representar ruas ou estradas, por

exemplo.


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Um circuito hamiltoniano um passeio que percorre todos os vrtices de um grafo e retorna ao

vrtice origem (incio do passeio), passando por cada vrtice apenas uma vez Tal passeio recebe esse

nome devido a Willian Rowan Hamilton, que em 1857 props um jogo ao qual denominou Around the

World. O jogo foi elaborado sobre um dodecaedro e cada um dos vrtices do jogo estaria relacionado

a uma cidade importante da poca. O objetivo era encontrar uma rota, atravs dos vrtices do

dodecaedro, que iniciasse e terminasse em uma mesma cidade, sem nunca repetir uma visita.

Figura 1 Soluo para o jogo Around the World (SISCORP, 2007).

Uma das solues est apresentada na Figura 1. O jogador visita (entra e sai) todas as cidades e

retorna ao vrtice inicial. Como j foi citado, Hamilton no foi o primeiro a propor esse problema,

mas o seu jogo ajudou a divulg-lo.

O problema do caixeiro-viajante importante em razo de, pelo menos, trs caractersticas,

conforme apresentam Goldbarg e Luna (2005): grande aplicao prtica, grande relao com outros

modelos e grande dificuldade de soluo exata. Em suas diversas verses, o PCV est presente em

inmeros problemas prticos, como programao de operaes de mquinas em manufatura,

programao de transporte entre clulas de manufatura, otimizao do movimento de ferramentas de

corte, otimizao de perfuraes de furos em placas de circuitos impressos, problemas de roteamento

de veculos, problemas de eqenciamento de DNA, problemas de programao e distribuio de

tarefas em plantas, trabalhos administrativos, etc.

O PCV pertence classe de problemas considerados difceis. A busca de uma soluo tima

pode custar caro, pois, medida que aumentamos o nmero de vrtices, o tempo para a resoluo do problema aumenta de forma significativa, tornando s vezes a resoluo invivel para os

computadores atuais. Em problemas difceis so utilizadas algumas tcnicas para tentar resolver o

problema em tempo hbil.

Uma tcnica pode ser fazer uma aproximao atravs de algoritmos que, dentro de uma

determinada porcentagem da soluo tima, garantem uma soluo correta. Analisando o pior caso e o

melhor caso que o algoritmo pode produzir, possvel avaliar sua complexidade e a proximidade das

suas solues em relao quela que tima. Assim, com o uso de algoritmos de aproximao torna-

se possvel encontrar solues de boa qualidade para problemas difceis em tempo computacional

aceitvel.

Portanto, em resumo, o problema do caixeiro-viajante consiste, basicamente, em encontrar o

roteiro ou sequncia de cidades a serem visitadas por um caixeiro-viajante que minimize a distncia

total percorrida e assegure que cada cidade seja visitada exatamente uma vez. O problema pode ser

simtrico (grafo no orientado), ou seja, no depende da direo ou sentido das arestas, ou assimtrico

(grafo orientado), que considera o sentido das arestas.

Na literatura existem vrias formulaes matemticas para este problema apresentadas por

Goldbarg (2005), sendo a escolhida e utilizada neste trabalho a formulao de Dantzig-Fulkerson-

Johnson (DFJ).


51

4.2. Formulao de Dantzig-Fulkerson-Johnson

Em 1954, Dantzig-Fulkerson-Johnson, para resolver um problema com 49 cidades,

formularam o PCV como um problema de programao 0-1 sobre um grafo ),( ANG . Como as

condies do problema exigem, essa formulao possui restries tanto de controle de fluxo nos ns,

como de eliminao de possveis sub-rotas.

Segundo Goldbarg (2005, p. 332), a forma geral da formulao matemtica de Dantzig-

Fulkerson-Johnson dada por:

Minimizar

n

i

ijij

n

j

xcz11

sujeito a:

n

i

ijx1

1 Nj (1)

n

j

ijx1

1 Ni (2)

Sji

ij Sx,

1 NS (3)

1,0ijx Nji , (4)

onde:

1ijx , se o arco Aji , for escolhido para integrar a soluo;

0ijx , caso contrrio;

S um subgrafo de G;

|S|: nmero de vrtices do subgrafo S.

Nessa formulao assume-se que:

iix no existe, pois sem acepo sair do n e retornar para ele mesmo;

)1( nn o nmero de variveis;

as variveis so inteiras e binrias;

o problema possui nmero de restries na ordem n2 .

O conjunto de restries indicados por (1) determina os fluxos de chegada dos ns; o conjunto

de restries indicados por (2) determina os fluxos de sada dos ns; o conjunto de restries

indicados por (3) evita os ciclos desconexos entre os ns, ou seja, evita os circuitos pr-hamiltonianos;

o conjunto de restries indicados por (4) determina que as variveis sejam binrias, ou seja, podem

assumir apenas os valores o ou 1.

Dessa forma, pelo fato de a soluo ser uma combinao entre os caminhos possveis, o

problema do caixeiro-viajante possui natureza combinatria, implicando, assim, a respectiva

formulao do problema.

O problema do caixeiro-viajante um clssico exemplo de problema de otimizao

combinatria. A primeira sugesto para a resoluo desse tipo de problema achar todas as rotas

possveis e calcular o comprimento de cada uma para, aps, escolher o menor. Diz-se que o

problema de otimizao est sendo reduzido a um de enumerao no momento em que se acham todas

as rotas e contam-se as mesmas.


52

Fazendo um raciocnio combinatrio, encontra-se o nmero de rotas para o caso de n cidades.

Por exemplo, no caso de n = 4 cidades, tm-se a primeira e a ltima posio fixas, restando trs

opes para a segunda posio, duas para a terceira e uma para a quarta. Consequentemente, o

nmero de rotas 6123 , resultado obtido tambm, no exemplo, ao realizar a contagem diretamente sobre as rotas nas figuras dos caminhos.

Dessa forma, para o caso de n cidades, como a primeira fixa, o nmero total de escolhas que

se podem fazer 1)2()1( nn . Usando a notao de fatorial predefinida tem-se: !1n caminhos possveis.

Cabe ressaltar que para um problema simtrico a quantidade de caminhos possveis dada por

2

)!1( n, sendo os caminhos de ida e volta com o mesmo valor.

Assim, pode-se gerar cada rota, calcular o comprimento total das viagens de cada uma e ver

qual delas tem o menor comprimento total. Porm, essa no uma tarefa to simples quanto parece

ser, mesmo usando os melhores computadores, com capacidades relativamente significantes.

O problema que a quantidade )!1( n cresce rapidamente medida que o n cresce, e o

computador torna-se incapaz de executar o que lhe foi solicitado para problemas de grande porte. Isso

significa dizer que o problema do caixeiro-viajante pertence classe conhecida como NP difcil (do ingls, np hard- Non-Deterministic Polynomial time - tempo polinomial no determinstico), o que

significa que possui ordem de complexidade no polinomial.

Pelo fato de existirem muitos problemas importantes nesta classe, existe um esforo intensivo

para encontrar algoritmos para resolver problema NP em um tempo que seja polinomial em relao ao

tamanho da entrada. Contudo, existe um grande nmero de problemas NP que resistem a tais

tentativas. Em outras palavras, isso significa dizer que no possvel resolver os problemas

pertencentes a essa classe at sua resoluo tima, por meio de mtodos determinsticos (ou exatos)

clssicos de otimizao, e atualmente tm sido utilizados mtodos heursticos nas respectivas

resolues.

5. TCNICAS DE OTIMIZAO

Existem mtodos exatos e heursticos para a resoluo de problemas de otimizao

combinatria, porm os mtodos exatos se tornam limitados computacionalmente, ou seja, so

aplicveis apenas para problemas pequenos e com poucas restries e variveis. Para solucionar o

PCV, os algoritmos exatos existentes tornam-se inviveis quando se tem um grande nmero de

cidades a serem visitadas, pois isso implica um nmero elevado de roteiros a serem analisados.

Como os mtodos exatos s so possveis para problemas relativamente pequenos, geralmente,

no processo de otimizao combinatria utilizam-se os mtodos heursticos, pois, alm de fornecerem

boas solues, so bem mais rpidos.

As solues otimizadas dos mtodos heursticos so obtidas por meio de anlises de solues

geradas aleatoriamente, que podem ou no estar dentro da regio factvel (que satisfazem as restries

do problema) e que podem convergir para a soluo tima. E para verificar a eficincia relativa do

mtodo pode-se comparar o resultado obtido com outro resultado do problema utilizando algum outro

mtodo heurstico.

Conforme Souza (1997), existem trs grandes classes de procedimentos para resolver o PCV,

as quais so:

procedimentos de construo de rotas, que constroem rotas timas ou quase timas considerando a matriz de distncias (custos);

procedimentos de melhorias de rotas, que efetuam melhorias em rotas j existentes;


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procedimentos de composio de algoritmos, que constroem uma rota inicial com o auxlio de um dos procedimentos de construo de rotas e utilizam a melhoria para obter um resultado

mais eficiente, evitando cruzamento entre rotas e outros problemas. Este relativamente

rpido computacionalmente e fornece excelentes resultados.

Alm disso, encontram-se diversas aplicaes de mtodos heursticos para resoluo do PCV,

entre os quais podemos citar:

Otimizao por enxame de partculas: baseia-se na seguinte ideia: em um enxame de insetos, quando um encontra um caminho a seguir para buscar comida, por exemplo, em pouco tempo

os demais o seguiro. Porm, para que a explorao do espao seja facilitada, cada partcula

deve ter certo nvel de aleatoriedade em seu movimento; assim, cada uma das partculas

influenciada pelo enxame, mas tambm pode explorar uma regio, porm com extenso

restrita (BREVE, 2007).

Otimizao por colnia de formigas: inspira-se no comportamento das formigas na busca por alimentos e resolve problemas computacionais por meio de tcnicas probabilsticas, podendo

ser encontrados bons caminhos em grafos. Segundo Breve (2007), as formigas, inicialmente,

no andam em sentido fixo, mas, quando encontram alimento, ao retornar para a colnia,

deixam trilhas de feromnio. Assim, quando outras formigas encontrarem esse mesmo

caminho, tendem a segui-lo, deixando de andar aleatoriamente, e novamente, se encontrarem

alimento, reforaro a trilha. Mas essas trilhas tendem a evaporar com o passar do tempo,

reduzindo sua fora de atrao de outras formigas. Quanto mais tempo a formiga levar para

fazer o percurso de ida e volta do caminho, mais feromnios iro evaporar. Portanto, o ideal

um caminho mais curto, onde os feromnios permanecero por mais tempo, atraindo assim

mais formigas para seguir esse caminho e buscar alimentos. O algoritmo baseia-se nesse

comportamento e faz uma simulao de formigas andando pelos grafos de certo problema. A

resoluo do PCV dessa forma bastante utilizada. (BREVE, 2007).

Algoritmos genticos: foram inventados com o objetivo de imitar o processo de evoluo da natureza. Essa evoluo se d por meio dos cromossomos e atravs de um processo de seleo

natural os cromossomos que apresentam uma estrutura que melhor se adapta ao meio ambiente

se reproduzem com maior frequncia, pois a reproduo o ponto no qual a evoluo se

processa. Combinando-se materiais genticos, obtm-se novos cromossomos. Uma das

vantagens de um algoritmo gentico a simplificao que permite na formulao e soluo de

problemas de otimizao. um procedimento iterativo que mantm uma populao de

estruturas que representam possveis solues de um problema, sendo utilizado principalmente

para os problemas NP difceis, resolvendo-os num tempo plausvel. Mesmo no sendo um mtodo exato, normalmente converge para o timo. Inicialmente, um conjunto de

cromossomos selecionado formando uma populao; a partir disso, so feitas buscas por

boas solues na populao, avaliando o ajuste de cada cromossomo. Em seguida, so

selecionados os cromossomos pais e aplicam-se operaes de cruzamento sobre eles e de

mutao sobre os filhos gerados, formando-se, assim, uma nova populao e repetindo esse

processo at que algum critrio estabelecido seja alcanado (RODRIGUES, 2000).

Simulated Annealing: um mtodo para encontrar solues timas para problemas complexos de otimizao. Tem sua origem na mecnica estatstica, analisando o comportamento dos

tomos em relao variao da temperatura. Resumindo, annealing (recozimento) o


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processo de aquecimento de um slido at seu ponto de fuso, seguido de um resfriamento de

forma gradual e lenta, at que se alcance novamente seu enrijecimento.

O algoritmo Simulated Annealing, oferece uma forma de escapar do timo local analisando a

vizinhana da soluo corrente e aceitando a soluo que traga melhora mas, aceitando

tambm soluo que piore a soluo corrente com uma probabilidade que menor quanto

maior for distncia entre essa soluo e a soluo corrente. A condio para aceitar ou

rejeitar um movimento que aumente a funo de custo (ou seja soluo pior) determinado

por uma seqncia de nmeros randmicos, mas com uma probabilidade controlada. (...) O

algoritmo ento procede tentando um certo nmero de movimento na vizinhana em cada

temperatura, enquanto o parmetro temperatura gradualmente reduzido. (ARAUJO, 2001)

6. RESOLUO DOS PROBLEMAS ATRAVS DO SOLVER DO EXCEL

Atualmente, existem muitos programas computacionais de fcil acesso e interpretao, que

resolvem problemas de natureza combinatria. Dentre esses foi escolhido Solver do Excel para

resolvermos o problema do caixeiro-viajante aplicado ao setor de Vigilncia da UPF, por ser uma

ferramenta simples e prtica de ser utilizada na resoluo deste tipo de problema.

A resoluo por meio do Excel baseia-se na construo de matrizes que representam variveis

e custos e trabalha com a interpretao dos resultados, acrescentando restries que indicam os ciclos

hamiltonianos, conforme a necessidade (LACHTERMACHER, 2007).

Inicialmente, os dados so colocados em forma de matriz, sendo uma para as distncias

(custos) e outra para as variveis.

A funo objetivo deve ser representada por uma clula que contenha uma frmula envolvendo

a matriz dos custos das variveis e a matriz das variveis. Alm disso, devem ser inseridas em clulas

frmulas indicando as restries quanto ao fluxo de entrada e sada nos ns, sendo que para todos a

soma deve ser igual a 1.

Na barra de ferramentas do Excel encontra-se o Solver. Para sua utilizao preciso selecionar

a clula da funo objetivo, o tipo de problema (no caso, minimizao), a clula das variveis e as

restries. Tambm possvel selecionar opes que o Solver fornece para uma melhor resoluo do

problema. Com essas informaes, basta solicitar que o Solver resolva o problema para se obterem os

resultados, o qual fornece uma resposta detalhada do timo encontrado.

Caso sejam encontrados subciclos na soluo otimizada, so inseridos como novas restries e

a otimizao novamente efetuada, at que a soluo tima no contenha subciclos, o que garante a

soluo tima para o problema.

A resoluo do PCV pelo Excel torna-se mais fcil, pelo fato de no existir a necessidade de

serem inseridas inicialmente todas as restries existentes do problema para se evitarem possveis

subciclos. Durante o processo de otimizao, as restries so inseridas apenas quando identificadas

nas otimizaes intermedirias realizadas. No caso de um problema com um nmero grande de

variveis, o nmero de restries desta natureza tambm , naturalmente, muito grande, e a resoluo

por meio do Solver do Excel torna-se mais vivel.

7. PROBLEMA VIGILNCIA DA UPF

Na UPF, ao trmino das atividades de cada turno, os funcionrios do setor de Vigilncia tm

como funo fechar todos os prdios da universidade e retornar ao seu posto de vigilncia. Qual seria

o melhor caminho pelo qual um funcionrio poderia percorrer esse trajeto obtendo uma distncia

mnima?


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Segundo entrevista, com aplicao de questionrio, feita ao encarregado de Segurana

Patrimonial da UPF, os vigilantes so subdivididos por regies, pois dessa forma numa regio menor

possvel ter um melhor controle de segurana (Figura 2). Essas regies so chamadas de postos, totalizando nove postos no Campus I na universidade. O responsvel por acionar os alarmes de cada

prdio o vigilante lder ou seu substituto, pois apenas eles possuem as senhas dos alarmes. Os

vigilantes no ficam sempre fixos no mesmo posto, sendo distribudos conforme escala feita pelo setor

de Segurana Patrimonial.

Figura 2: Diviso em setores da UPF

Fonte: Setor de Vigilncia da UPF

Conforme a Tabela 1, cada posto tem uma quantia de prdios, ambientes ou portes principais,

os quais sero chamados de ns.

Pelo fato de no terem um caminho predeterminado para realizar o fechamento dos prdios, a

soluo mais lgica (ou conforme a necessidade) aplicada.

Para obter as distncias entre os prdios, foram realizados os seguintes procedimentos:

primeiramente, foram recebidos dois mapas, um a planta baixa e contendo todos os prdios da UPF com seus respectivos nomes e o outro os prdios separados pelos postos;

em seguida, foram visitados todos os prdios para identificar no mapa suas entradas principais e poder, assim, obter uma distncia mais aproximada da distncia real;


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finalmente, para os nmeros aproximados das distncias, foi utilizado um recurso computacional via satlite, o Google Earth (2007). Nesse programa possvel ver localidades,

bem como suas ruas, cruzamentos, prdios, etc.; tambm possvel calcular distncias entre

pontos definidos, as quais so fornecidas em centmetros, metros, quilmetros, polegadas, ps,

jardas, milhas, entre outras unidades.

Tabela 1 Postos de vigilncia e nmero de ns.

POSTO QUANTIDADE DE NS

P. O1 1

P. 02 14

P. 03 7

P. 04 1

P. 05 2

P. 06 8

P. 07 6

P. 08 4

P. 09 2

Fonte: Pesquisa realizada junto ao setor de Vigilncia da UPF

Assim, selecionando o destino, o programa fornece a imagem do local e, a partir disso, pode-se

escolher um trajeto e verificar a distncia do caminho marcado. Com as distncias definidas pode-se

montar a matriz dos custos das variveis e resolver o problema.

Como exemplo apresenta-se a resoluo do posto com maior nmero de ns do Campus I Passo Fundo, que no caso corresponde ao posto P.02, que possui 14 ns. Porm, apenas 12 ns so

fechados pelos vigilantes, pois nesse posto esto includos o Restaurante Universitrio e o Diretrio

Central de Estudantes, que so abertos e fechados pelos responsveis, no pelos vigilantes.

Os prdios da UPF esto nomeados por siglas, compostas de letras e nmeros, tambm

utilizadas no trabalho.

As distncias entre os prdios do P. 02 foram encontradas pelo Google Earth e, a partir delas,

construram-se as matrizes no Excel. Em seguida informaram-se todas as restries iniciais

necessrias, sendo elas:

As variveis sero binrias.

O fluxo de chegada em cada n deve ser igual a 1.

O fluxo de sada de cada n deve ser igual a 1.

0iix , para evitar sair do n e retornar para ele mesmo.

Ciclo formado por dois ns apenas dever ser menor ou igual a 1. Alm disso, foi necessrio identificar no Solver que se trata de um modelo linear e que um

problema de minimizao.

Como soluo inicial, foi escolhido e utilizado o seguinte caminho lgico para fechamento do

P. 02:

A12 A1 A2 A4 A3 A6 B3 B2 B1 B5 D2 D6 A12,

o qual possui distncia total a ser percorrida de 1.286, 41 m.

medida que o Solver ia resolvendo o problema, solues com subciclos iam aparecendo; por

isso, tornou-se necessrio interpretar as solues que continham ciclos hamiltonianos e acrescent-los

nas restries, pois no estavam satisfazendo o objetivo principal do problema. Ao todo foram

inseridas mais 30 restries at encontrar a soluo tima desse problema.


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Nas Figuras 3,4, 5 e 6 apresentam-se a estrutura do problema e a soluo tima obtida.

Figura 3 Distncias entre os ns

Figura 4 Variveis contendo a soluo tima do problema e fluxos de chegada e sada totalizando valor 1 para cada n.

Figura 5 Restries evitando ciclos com dois ns e clula da Funo Objetivo.


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Figura 6 Restries adicionais necessrias para encontrar a soluo tima.

O resultado apresentado pelo Solver pode ter a seguinte forma de interpretao do resultado:

A12 A3 B1 B5 D6 D2 B2 B3 A6 A4 A2 A1 A12

A Figura 7 mostra o caminho timo baseado nas informaes do Solver, apresentado na

imagem do Google Earth (2007). Esse caminho possui distncia total de 1.113, 23 m, ou seja, esse o

caminho mais curto para percorrer todos os prdios do P.02.


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Figura 7 Caminho timo para o problema do P. 02 (GOOGLE EARTH, 2007).

Comparando a distncia total a ser percorrida do resultado otimizado com a distncia da

soluo inicial utilizada, obteve-se uma reduo de 173, 18 m, o que equivale a uma reduo de

13,46% da distncia total percorrida. Essa variao em um problema mais complexo tende a

aumentar, ou seja, quanto maior for o nmero de ns, maior poder ser a reduo da distncia

percorrida ao se obter o caminho otimizado para o problema.

Essa reduo comprova que o Solver encontrou um caminho melhor que aquele que parecia

mais lgico a percorrer.

8. CONSIDERAES FINAIS

A matemtica est presente de forma intensa no ambiente em que se vive, apesar do fato de

muitas pessoas muitas vezes no identificarem situaes que poderiam ser analisadas

quantitativamente por meio da resoluo de modelos matemticos.

Todo o processo de modelagem de um problema real, bem como sua resoluo, contribui com

aspectos positivos, uma vez que a resoluo quantitativa de um problema geralmente possibilita

melhorias dos processos analisados. Alm disso, atualmente, com o auxlio de ferramentas

computacionais, o processo torna-se mais rpido e fcil de ser executado.

A realizao deste trabalho permitiu no somente encontrar uma reduo real no percurso a ser

realizado nos roteiros realizados pelo setor de vigilncia, mas aprimorar conhecimentos, aproximando

teoria e prtica.


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Especificamente no problema apresentado, a distncia total a ser percorrida utilizando o

caminho lgico para fechamento do P. 02 seria 1.286, 41 m. Aps a otimizao obteve-se que o

caminho mais curto para percorrer todos os prdios do P.02, com distncia mnima total de 1.113, 23

m, ou seja, obteve-se uma reduo de 173, 18 m, o que equivale a uma reduo de 13,46% da

distncia total percorrida. Essa reduo comprova que o Solver encontrou um caminho melhor que

aquele que parecia mais lgico a percorrer.

Assim, por meio do modelo matemtico do problema do caixeiro-viajante foi possvel

construir um modelo matemtico de otimizao para o problema de roteiros dos vigilantes da UPF.

Alm disso, percebe-se que a reduo percentual encontrada, ao se comparar o caminho timo com o

caminho inicial do problema da vigilncia, tende a aumentar medida que se aumenta a extenso do

problema, pois para problemas maiores a reduo na distncia dos caminhos torna-se cada vez mais

significativa.

A otimizao de um problema real como esse de grande importncia, pois acarreta uma

aplicabilidade real de sua resoluo, evitando percorrer algumas distncias desnecessrias e,

consequentemente, otimizando tambm o tempo de realizao do percurso.

9. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

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1892-7307-2-PB