Resposta ao Impuls, ao Degrau e Excitao Arbitrria1

1 INTRODUO

Estudamos, at agora, a resposta de sistemas dinmicos s excitaes harmnicas e peridicas, sendo queessas ltimas foram transformadas, atravs de uma srie de Fourier, em excitaes harmnicas. Aquesto que naturalmente surge : como obtemos a resposta quando a excitao arbitrria? de seesperar, alis, que a excitao arbitrria seja a mais comum, na prtica.

Antes de discutirmos a resposta excitao arbitrria, vamos considerar a resposta a dois tiposespeciais de foramento, as funes impulso e degrau unitrios.

Vamos utilizar como modelo, em nosso estudo, sistemas mecnicos de 1a e 2a ordens. Obviamente, osresultados obtidos se aplicam aos demais tipos de sistemas fsicos anlogos.

2 RESPOSTA AO IMPULSO

O impulso unitrio (ou funo Delta de Dirac) definido como sendo a funo (t), tal que

(1a) (t - a) = 0 t a

(1b) +

= 1dt)at(

conforme ilustra a fig. 1:

Fig. 1

A transformada de Laplace do impulso unitrio dada por

(2) (s) = e-as

muito comum, na prtica, que o impulso ocorra no instante a = 0. Nesse caso:

(3) (s) = 1

19 Resposta ao Impulso, ao Degrau e Excitao Arbitrria

Resposta ao Impuls, ao Degrau e Excitao Arbitrria2

Resposta ao impulso: definida como sendo a resposta de um sistema ao impulso unitrio aplicado noinstante t = 0, com condies iniciais nulas (sistema inicialmente em repouso). Evidentemente, se oimpulso unitrio for aplicado num instante de tempo posterior, t = a, a resposta ser obtida deslocando-apara a direita, ao longo do eixo do tempo, de um intervalo t = a.

RESPOSTA DE SISTEMAS DE 1a ORDEM

O modelo matemtico para um sistema de 1a ordem ilustrado na fig. 2 foi obtido anteriormente comosendo

Fig. 2

(4) )t(f)t(kx)t(xc.

=+

Substituindo f(t) por (t) e tomando a transformada de Laplace para condies iniciais nulas:

(cs + k)X(s) = (s)Isolando X(s) e tendo em conta a eq. (3):

(5) kcs

1)s(X+

=

Tendo em vista a definio de constante de tempo de um sistema mecnico de 1a ordem, dada por

(6) = c/k

podemos rescrever a eq. (5) como +

=+

= 1s1

k1

ksk1)s(X

Voltando ao domnio do tempo, obtemos a resposta de um sistema de 1a ordem ao impulso unitrio:

(7) )t(uec1)t(ue

k1)t(x

tt

==

onde x(t) simboliza a resposta ao impulso e u(t) o degrau unitrio, o qual multiplica a resposta porqueela deve ser nula para t < 0. Por outro lado, a resposta de um sistema de 1a ordem submetido a uma condio inicial x(0) = x0 dada,conforme j vimos, por:(8) x(t) = x0 e-t/

Resposta ao Impuls, ao Degrau e Excitao Arbitrria3

Portanto, comparando as eqs. (7) e (8), conclumos que a resposta ao impulso de um sistema de 1a

ordem equivale resposta do mesmo a uma condio inicial. No presente caso, a condio inicial odeslocamento inicial dado por x(0) = 1/c.

RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2a ORDEM

O modelo matemtico para um sistema de 2a ordem como o ilustrado na fig. 3 dado por

Fig. 3

(9) )t(f)t(kx)t(xc)t(xm...

=++

Substituindo f(t) por (t) e tomando a transformada de Laplace para condies iniciais nulas:

(ms2 + cs + k)X(s) = (s)

Isolando X(s) e tendo em conta a eq. (3):

(10) kcsms

1)s(X 2 ++=

Considerando o sistema subamortecido e levando em conta que mk

n = e que nm2

c

= , podemos

rescrever a eq. (10) como

(11) )s2s(m

1)s(X 2nn

2 ++=

Para obter a transformada inversa de Laplace, conveniente expandir o membro direito da eq. (11) emfraes parciais. Deixamos a cargo do aluno mostrar que:

(12)

=

2121 ss1

ss1

)ss(m1)s(X

onde s1 e s2 so as razes da equao s2 + 2ns + 02n = , dadas por

(13) s1,2 = -n id

e onde d a freqncia angular amortecida

Resposta ao Impuls, ao Degrau e Excitao Arbitrria4

(14) 2nd 1 =

Podemos, ento, voltar ao domnio do tempo achando as transformadas inversas da eq. (12), obtendo

( )tsts21

21 ee)ss(m

1)t(x

=

Substituindo s1 e s2 dadas pela eq. (13) na equao acima, obtemos a resposta de um sistema de 2a ordemao impulso:

(15) )t(tusenem

1)t(x dt

d

n

=

onde x(t) simboliza a resposta ao impulso e u(t) o degrau unitrio. Notemos que a resposta foimultiplicada por u(t) tendo em vista que ela deve ser nula para t < 0.

Por outro lado, a resposta de um sistema de 2a ordem submetido s condies iniciais x(0) = 0 e

0..x)0(x = dada conforme j vimos, por:

(16) tsenextsenxxtcosxe)t(x dt

d

0.

dd

0.

0nd0

t nn

=

+

+=

Portanto, comparando as eqs. (15) e (16), conclumos que a resposta ao impulso de um sistema de 2a

ordem equivalente resposta do mesmo a uma condio inicial. No presente caso, a condio inicial

a velocidade inicial dada por 0..x)0(x = = 1/m.

3 RESPOSTA AO DEGRAU

O degrau unitrio, ilustrado na fig. 4, definido matematicamente como

(17) u(t - a) =

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