1967_Consideration of Fractures in the Calculations of Rock Slope Stabilities

7/29/2019 1967_Consideration of Fractures in the Calculations of Rock Slope Stabilities

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C O N S I D E R A T I O N O F F R A C T U R E S INO F R O C K S L O P E S T A B I L I T I E S

L . V . S a v k o v

T H E C A L C U L A T I O N O F

U D C 622 . 83 + 622 . 01 . 013

I n c a l c u l a t i o n s o f th e s t a b i l i t y o f a r o c k s l o p e a n d i n o t h e r m i n i n g p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h o p e n c u t o r u n d e r -g r o u n d m i n e r a l e x t r a c t i o n , t h e q u a n t i t a t i v e e f f e c t s o f f r a c t u r e s in t h e ro c k s p r e s e n t a v e r y d i f f i c u l t p r o b l e m . T os o l v e it , w e m u s t k n o w t h e m a i n l a w s o f d i s t r i b u t i o n o f t h e f r a c t u r e s , a n d t h e i n f l u e n c e o f f r a c tu r e s o n t h e w a y i nw h i c h t h e r o c k d e f o rm s w h e n i t is w e a k e n e d b y m i n e w o r k i n g s .

A p r a c t i c a l s o l u t io n o f th e p r o b l e m o f m a k i n g a q u a n t i t a t i v e a l l o w a n c e f o r f r a c tu r e s ,w h e n c a l c u l a t i n g t h es t a b i l i t y o f a r o c k sl o p e r e q u i r e s t h e s o l u t i o n o f t w o m a i n i n t e r d e p e n d e n t q u e s t io n s : c o r r e c t d e t e r m i n a t i o n o f t h em e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f t h e r o c k m a s s ( a l o n g th e s u r f a c e s o f t h e f r a c t u re s a n d i n d i r e c t i o n s n o t c o i n c i d i n g w i t h t h es u r f ac e s o f t h e f r a c t u re s ) , a n d t h e d e v e l o p m e n t o f a m e t h o d o f c a l c u l a t i o n w h i c h t a k e s a c c o u n t o f th e f r a c t u r e s .

T h e m a i n i n i t i a l m e c h a n i c a l c h a r a c t e r i st i c s u s e d i n c a l c u l a t i o n s o f t h e s t a b i l i ti e s o f sl o pe s a re t h e c o h e s i v e -n e ss , th e a n g l e o f i n t e r n a l fr i c t io n , t h e u l t i m a t e s t r e n g t h , a n d t h e u n i t w e i g h t . T o d e t e r m i n e t h e c o h e s i v e n e s s a n da n g l e o f i n t e r n a l f r i c t i o n o f a r o c k i n s i tu , w e u s e t h e m e t h o d s o f d y n a m o m e t e r s a n d h y d r a u l i c c u s h io n s [ 1 - 3 ] a n da l s o t h e m e t h o d o f i n v e r s e c a l c u l a t i o m [ 4 , 5] . I n a d d i t i o n , t o m a k e t h e t r a m i t i o n f r o m t h e c o h e s i o n o f a r o c k inp i e c e s t o i ts c o h e s i o n i n si t u, w e u s e t h e c o e f f i c i e n t s o f s t r u c t u r a l w e a k e n i n g [ 2 , 6 ] . A t t e m p t s a r e b e i n g m a d e t o d e -v e l o p a l a b o r a t o r y m e t h o d ( u s i n g m o d e l s ) f o r d e t e r m i n i n g t h e c o h e s i v e n e s s , a n g l e o f i n t e r n a l f r i c t i o n , a n d u l t i m a t es t r e n g th o f a f r a c t u r e d m e d i u m [ 6 ]. B ut w e m u s t a d m i t t h a t , o w i n g t o t h e l i m i t a t i o n s a n d s h o r t c o m i n g s o f e x i s t i n gm e t h o d s , t h is t o p i c h a s n o t b e e n v e r y t h o r o u g h l y s t u d i e d , a n d w e n e e d f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n s o f th e e f f e c t o f f r a c t u r e so n t h e m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f r o c k s, b a s e d o n b e t t e r m e t h o d s .

I n c a l c u l a t i n g t h e s t a b i l i t y o f a r o c k s l o p e , m u c h i m p o r t a n c e a t t a c h e s t o s u r f a c e s o f w e a k e n i n g ( f r a c t u r e s ) o ft h e s o l i d r o c k , w h i c h u n d e r c e r t a i n c o n d i t io n s m a y b e c o m e s l i p ( c a v i n g ) s u r f ac e s . T h e m e t h o d o f a t t a c k i n so l v i n gt h e s e c o n d q u e s ti o n , t h e n , i s t o d e v e l o p a s c h e m e o f c a l c u l a t i o n w h i c h w i l l a l lo w f o r s u rf a c e s o f w e a k e n i n g .

S t u d i e s o f f r a c t u r i n g i n l e d g e r o c ks i n d e p o s i t s a t R u d n y i A l t a i ( Z y r y a n o v s k , B e l o g o r s k , T is h i n sk , e t c . ) a n d c o n -s i d e r a t i o n o f i t s r o l e i n t h e p r o c e s s o f c a v i n g o f t h e s o l i d r o c k h a v e r e v e a l e d t h a t t h e e f f e c t o f a s y s t e m o f fr a c t u r e sd e p e n d s o n t h e i r p o s i t i o n r e l a t i v e t o t h e s u r f a c e o f t h e s l o p e . I t w a s f o u n d t h a t s y s t em s o f f r a c t u re s d i p p i n g t o w a r d sa w o r k i n g h a v e a d e c i s i v e i n f l u e n c e o n th e s t a b i l i t y o f t h e r o c k s l o p e s . P l a n e s o f w e a k e n i n g w h i c h i n t e r s e c t t h es l o p e s d i a g o n a l l y a l s o h a v e a n a p p r e c i a b l e i n f l u e n c e i f t h e i r l i n e s o f i n t e r s e c t i o n d i p t o w a r d s t h e w o r k in g a t a n a n g l eo f i n c l i n a t i o n w h i c h i s l e ss t h a n t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e s l o p e . W h e n t h e n a t u r a l e q u i l i b r i u m o f t h e s o l i dr o c k i n t h e s l o p e i s v i o l a t e d , t h e s e s u rf a c e s o f w e a k e n i n g d e t e r m i n e t h e n a t u r e o f th e c a v i n g s u r f a c e , i . e . , t h e y b e -c o m e t h e s l i p s u r f a c e s .

I n t h i s p a p e r w e s h a l l c o n s i d e r a s y s t e m o f c a l c u l a t i o n w h i c h a l l o w s f o r p l a n e s o f w e a k e n i n g s i t u a t e d d i a g o n a l -l y w i th r e s p e c t t o t h e s u r f a c e s o f t h e s l o p e s - i . e . , f o r c a se s w h e n t h e i r l i n e s o f i n t e r s e c t i o n s l o p e t o w a r d s t h e w o r k -i n g . U p t o t h e p r e s e n t t i m e , n o a n a l y t i c a l m e t h o d o f c a l c u l a t i o n h a s b e e n d e v i s e d to a l l o w f o r t h e in f l u e n c e o f ad i a g o n a l s y s t e m o f f ra c t u r e s o n t h e s t a b i l i t y o f t h e s o l i d ro c k i n a s l o p e .F i g u r e 1 s ho w s a p e r s p e c t i v e s k e t c h o f a s l o p e . I t is i n t e r s e c t e d b y t w o d i a g o n a l s y s t e m s o f f r a c t u re s ( w i t hs t r i k e a z i m u t h s A a n d Az a n d a n g l e s o f i n c l i n a t i o n 61 an d 6 z, r e s p e c t i v e l y - h e r e A1 > A 2 ). T h e p l a n e o f t h e s l o p eh a s a s t r i k e a z i m u t h A 0 a n d a n a n g l e o f in c l i n a t i o n 6 0. T h e l in e s o f m u t u a l i n t e r s e c t i o n h a v e a n a n g l e o f i n c l i n a -t i on ~ ($< 60) .

O b s e r v a t i o n s h a v e s h o w n t h a t w h e n t h e d i a g o n a l sy s t e m s o f f ra c t u r e s a r e u n d e r c u t b y t h e s l o p e a n d t h e e q u i l i -b r i u m o f t h e r o c k i s d i s t u r b e d , t h e r o c k w i l l c a v e . I n t h i s c a se , t h e i n t e r s e c t i n g p l a n e s o f f r a c tu r e s fo r m s l i p s u r -f a c e s ( c a v i n g ) , a l o n g w h i c h t h e r o c k s m o v e i n t h e d i r e c t i o n o f d i p o f t h e l i n e s o f i n t e r s e c t i o n o f t h e s e f ra c t u r e s .

V N I I T s v t m e t , U s t ' -K a m e n o g o r s k . T r a n s l a t e d f ro m F i z i k o - T e k h n i c h e s k i e P r o b l em y R a z ra b o tk i P o le z n y k hI s k o p a e m y k h , N o . 1, J a n u a r y - F e b r u a r y , 1 9 6 '/ . o r i g i n a l a r t i c l e s u b m i t t e d J a n u a r y 1 1, 1 9 6 6 .


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F i g . 1 . D i a g r a m f o r d e r i v i n g a f o r m u l a f o r t h e l i m i t i n g h e i g h t H o f as l o p e a n d t h e w i d t h o f t h e s a f e t y h e r i n , r .

T h e o r e t i c a l s t u d i e s h a v e s h o w n t h a t, f o r g i v e n d i r e c t i o n e l e m e n t s o f t h e s l o p e ' s su r f a c e a n d t h e p l a n e s o f t h es y s t em s o f f r a c tu r e s , a n d a l s o f o r g i v e n m e c h a n i c a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e ro c k s a l o n g t h e f r a c t u re s , w e c a n d e t e r -m i n e t h e l i m i t i n g h e i g h t H o f a s lo p e a t w h i c h t h e ro c k j u s t k e e p s f r o m c a v i n g . T h e s o l u t i o n o f t h is p r o b l e m i sb a s e d o n t h e t h e o r y o f l im i t i n g e q u i l i b r i u m .

I n o u r ca s e , l i m i t i n g e q u i l i b ri u m c a n o c c u r i f t h e r e t a i n i n g f o r c e s a r e e q u a l t o t h e f o r c e s a ri s in g a t t h e s l i ps u r f a c e o w i n g t o t h e w e i g h t o f t h e r o c k ' s c a v i n g w e d g e A B O D ( F ig . 1 ) , i . e . , i f

P s i n ~ = P c o s , t a n p ' + C' ( S A a o + S a o o ) , (1 )w h e r e P = V 7 i s t h e w e i g h t o f t h e c a v i n g w e d g e A B O D , 7 i s t h e u n i t w e i g h t o f t h e ro c k , V i s th e v o l u m e o f t h e c a v -i n g w e d g e , S A BO a n d S A D O a r e t h e a r e a s o f t h e s l i p s u r f a c e s , a n d C ' a n d p ' a r e t h e c o h e s i o n a n d a n g l e o f i n t e r n a lf r i c t i o n a l o n g t h e f r a c t u r e s .

T h e c a v i n g w e d g e A B O D i s s h a p e d l i k e a p y r a m i d ( F i g . 1 ) , a n d i t s v o l u m e i s g i v e n b yV = H ' S B o o ,3

where SBOD is the area of the pyramid base.Af te r sub s t i tu t ing fo r P and so lving fo r the l im i t i ng he ig h t H, we can w r i t e (1) in t he fo rm

3 c " c o s p ' (S A g o + S a o o )H = (2 )SB o s i n ( + - - p ' )Ex p r e s s i n g t h e a r e a s S ABO, SADO, SBOD i n t e r m s o f H a n d s u b s t it u ti n g i n ( 2) , a f t e r s o m e m a n i p u l a t i o n w e

g e t t h e f i n a l f o r m u l a f o r t h e l i m i t i n g e q u i l i b r iu m s l o p e h e i g h t :( s i n X t s i n ) , , )3 C ' c o s p " - - + - -/ . / - - ~ s i n t t s i n t = ( 3 )

"f & m s i n ( A t - - , 4 o ) s i n ( - - p ' ) s i n q '

w h er e A = V m + k + 2 c o s ( A t - - A s ) Y / ' m k ;1 ! 2 cos Xt

s i n = t t s i n = g / s i n t t s i n O / 'k = 1 + ! 2 c o s x ~ .

s i n = t ~ s l n ~ q s i n t l s i n


3/6

D D ' = #

/ / I ~ e o/ / / I/ / I/ / I/ I c

/ / I/< , - , , i

0

F i g . 2. D i a g r a m f o r d e r iv i n g fo r m u l a s fo r t h e e l e m e n t s o f d i r e c t i o n A r tt z o f t h e l i n e s o f i n t e r s e c t i o n o f t h e f r a c t u r e p l a n e s .

I t i s e a s i l y v e r i f i e d t h a t H c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f k an d A z :3 C ' cos ~ ' (s in ) ,~s lnt [- s in--------L-~s i n ,

H = - f A k s in (Ao - - A . ~ ) s in (0 - - p ' ) s in ~ ,(4 )

w h e r e t t , t z , ~0 a r e t h e a n g l e s o f i n c l i n a t i o n o f t h e l i n e s o f i n t e r s e c t i o n t o t h e h o r i z o n t a l ( s e e F i g . 1 ), a n d k t , k z a r et h e p l a n e a n g l e s b e t w e e n t h e l i n e s o f i n t e r s e c t io n ( s e e F i g . 1 ) .

F o r m u l a s (3 ) a n d ( 4 ) g i v e t h e s a m e v a l u e f o r H . F o r m u l a ( 4 ) c a n b e u se d f or c h e c k i n g t h e c a l c u l a t ! o m .T h e r e i s n o s t a n d a r d f o r m u l a f o r t h e p l a n e s a n g l e s k t , k z b e t w e e n t h e l i n e s o f i n t e r s e c t i o n o f t h e f r a c t u r e

p l a n e s , a n d t h e r e f o r e w e s h a l l d e r i v e o n e .T o d e t e r m i n e k t , w e m u s t k n o w t h e e l e m e n t s o f d i r e c t i o n o f t h e l i n e s o f i n t e r s e c t i o n A O a n d A D (s_.._eeF i g . 1 ) .

W e w i l l f i r st d e r i v e f o r m u l a s fo r th e a z i m u t h A t z a n d a n g l e o f i n c l i n a t i o n t o f t h e l i n e o f i n t er s e c t i o n A D .F r o m p o i n t D ( F i g . 2 ) d ro p p e r p e n d i c u l a r s D M a n d D Q o n t o t h e h o r i z o n l i n e s , i . e . , c o n s t r u c t t h e l i n e s o f cli p

o f t h e pl a n e ~ o f t h e s l o p e a n d t h e f r a c tu r e s . J o i n M a n d Q t o D ' , t h e h o r i z o n t a l p r o j e c t i o n o f D . T h u s i n p l a n e w eg e t t w o r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e s A M D ' a n d A Q D ~ i n w h i c h

w Q D 'A D ' - - 9 (5 )cOS [ A t I - - ( A o + 90~ 'O ' M (6 )AD' - " co s [A h - - ( A t + 90~

I n t h e r i g h t - a n g l e d u i a n g l e s D D ' Q a n d D D ' M w e f i n d :Q D ~ = / / c o t 8o,D ' M = H c o t S t. ( 7)

S u b s t i t u t e f o r QD -'-" a n d D ; I ~ i n ( 5) a n d ( 6 ) a n d e q u a t e t h e m ; a f t e r s o m e m a n i p u l a t i o n w e t h e n g e t a f o r m u l af o r t h e r e q u i r e d a z i m u t h :

t a n A t , = s i n A l c o t ~ , - - s in A o c o t ~ tc o s A 1 c o t g o - - c o s A 0 c o t ~ t (8 )


4/6

T h e d e r i v a t i o n a n d a n a l y s is o f ( 8 ) s h o w t h a t t h e f o r -m u l a g i v e n i n [ 7] f o r t h e a n a l o g o u s c a s e o f d e t e r m i n i n g t h el i n e s o f i n t e r s e c t i o n i s e r r o n e o u s .

T h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n t o f A D i s f o u n d as f o l l o w s .I n r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e D D ' A ( s e e F i g . 2 ) ,

A D ' = H c o t t t . (9 )S u b s t i t u t in g t h e v a l u e s f r o m ( 7 ) a n d ( 9 ) i n t o ( 5 ) , a f t e r

s o m e m a n i p u l a t i o n w e g e t a f o r m u l a f o r t h e r e q u i r ed a n g l eo f i n c l i n a t i o n t t : t a n t t - -

s in (A i - - Ao) . (10)} /c 0 t~ ~o + c o te ~ t - - 2 c o t ~1 c o t ~o c o s (A1 - - A o )

T h e e l e m e n t s o f d i r e c t i o n o f A O ( A S a n d ~ ) a n d A B( A t o a n d t z ) a r e f o u n d f r o m f o r m u l a s a n a l o g o u s t o ( 8 ) a n d( 1 0 ) .F i g . 8 . D i a g r a m f o r d e ri v i n g f o r m u l a f or t h e a n g l e k l

b e t w e e n t h e l i n e s o f i n t e r s e c t i o n o f t h e p l a n e s o f f r a c - F o r m u l a ( 1 0) i s s i m i l a r i n a p p e a r a n c e t o t h a t r e c o m -t u r e s , m e n d e d i n [ 7 ] f o r t h e a n a l o g o u s c a s e s .K n o w i n g t h e e l e m e n t s o f d i r e c t i o n o f t h e l i n e s o f i n t e r s e c t i o n o f t h e p l a n e s , w e c a n d e r i v e a f o r m u l a f o r X 1 .

F i g u r e 3 sh o w s t h e s a m e p l a n e s a s i n F i g . 2, b u t a s w e l l a s t h e l i n e o f i n t e r s e c t i o n A D , i t a l s o g i v e s t h e l i n e o f i n -t e r s e c t i o n o f t h e p l a n e s o f f r a c t u r e s A- 'O . T h e s e l i n e s f o r m a n a n g l e X 1 w i t h e a c h o t h e r . T o a v o i d c l u t t e r i n g u p t h ef i g u r e , t h e p l a n e o f fr a c tu r e s w i t h ' a z i m u t h o f s tr i k e Az a n d a n g l e o f i n c l i n a t i o n 6 2 i s n o t s h o w n . P r o j e c t p o i n t s Oa n d D , l y i n g i n t h e s a m e h o r i z o n t a l p l a n e , o n t o t h e h o r i z o n p l a n e , a n d j o i n th e i r p r o j ec t i o n s t o A . W e n o t e t h a tO"D = O 'r D . F u r t h e r m o r e , i n t r i a n g l e s A O D a n d A O ' D ' , b y t h e c o s i n e l a w , w e f i n d ~ a n d ~ v - ~ ,

O D 2 - - A O 2 + A D 2 - - 2 A D . A O c o s k t ; (1 1 )O ' D "~" = O ' A 2 + D ' A " - - 2 0 ' A 9 / 7 A c o s ( A t , - - A . ~ ) , (1 2 )

w h e r e H HA O = ; A D = - - ; 0 " , 4 = H c o t ~ ; A D ~ = / / c o t t ~ .s in ~ s in t tS o l v i n g ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) s i m u l t a n e o u s l y , w e g e t

c o s ) 't - s i n t ~ s i n ~ + c o s t ~ c o s ,~ c o s ( A , - - A t , ) . ( 1 3)T h e a n g l e X 2 i s f o u n d fr o m t h e a n a l o g o u s f o r m u l a

COS ) '3 -" S i l l t~ S lII ~ + COS t2 COS ~ COS ( A t , - - A , ) . (1 4 )I f w e w i s h t o u s e ( 3 ) to f i n d H , t h e l i m i t i n g h e i g h t o f a s l o p e w i t h a s u r f a c e h a v i n g a s u i k e a z i m u t h A 0 a n d

a n a n g l e o f i n c l i n a t i o n 60 , w e m u s t e x p o s e r e l a t i v e t o t h e s l o p e d i a g o n a l s y s te m s o f f r a c t ur e s w i t h e l e m e n t s o f d i -r e c t i o n A 1, 61 , a n d A 2 , 5~_, w h o s e l i n e s o f i n t e r s e c t i o n d i p t o w a r d s t h e w o r k i n g . T h e n w e m u s t d e t e r m i n e t h e a z i m u t hA S a n d t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n S o f t h e l i n e o f i n t e r s e c t i o n o f t h e s y s t e m s o f fr a c tu r e s , a n d t h e e l e m e n t s ( A q , q ;A t 2 , t 2 ) o f t h e l i n e s o f i n t e r s e c t i o n o f e a c h s y s t e m o f f r a c t u r e s w i t h t h e s u r f a ce s o f t h e s l o p e ; t h e n w e c a n c a l c u l a t et h e a n g l e s X t a n d k ~ . I n a d d i t i o n w e m u s t kn o w t h e c o h e s i o n C ' , t h e a n g l e o f i n t e r n a l f r i c t i o n p ' o n . t h e s u r f a ce so f w e a k e n i n g ( f r a c t ur e s ) a n d t h e u n i t w e i g h t o f th e r o c k 7 -

F i g u r e 4 p l o t s t h e l i m i t i n g h e i g h t o f a s l o p e v e r s u s i t s a n g l e o f i n c l i n a t i o n ; t h i s g r a p h w a s c o n s t r u c t e d b ym e a n s o f (3 ) . T h e i n i t i a l d a t a f or c o ns t r u c ti n g t h e g r a p h w e r e o b t a i n e d i n i n v e s t i g a ti o n s o f t h e s t a b i l i t y c o n d it i o n si n t h e E a s te r n si d e o f t h e B e l o go r sk q u a r r y ( th e c o h e s i o n a n d a n g l e o f i n t e r n a l f r i c t i o n o f t h e r o c k s a l o n g t h e f t a c -m E e s a r e C ' = 1 . 7 t / m ~-, p ' = 17 ", t h e u n i t w e i g h t o f t h e r o c k i s ], = 2 . 6 1 t / m S ; t h e a z i m u t h s a n d a n g l e s o f i n c l i n a -t i o n o f t h e d i a g o n a l s y st e m s o f f r a c tu r e s a r e A 1 = 2 1 0 ; 5 1 = 7 5 * ' a n d A2 = 6 0 ; 6 ~ = 6 5 * ; t h e a z i m u t h o f t h e s t r i k e o ft h e p l a n e o i t h e s l o p e i s A0 = 1 4 5 . ' a n d t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n 6 0 o f t h e s l o p e i s t a k e n a s a v a r i a b l e . T h e c o u n t r yr o c k s a r e g r a n i t e s .)

F r o m t h e f i g u r e w e s e e t h a t t h e v e r t i c a l s l o p e ( 50 = 90 #) c o r r e s p o n d s t o t h e l e a s t l i m i t i n g h e i g h t H = 1 1 . 7 m .A s t h e a n g l e fi0 d e c r e a s e s , t h e l i m i t i n g s l o p e h e i g h t i n c r e a s e s .


5/6

H

150.

120.

9 0

6 0 -

$ 0 -

0F i g . 4 .

\' ' 86

L i m i t i n g s l o p e h e i g h tH , v e rs u s a n g l e o f i n c l i n a t i o n5 0, w i t h d i a g o n a l s y s t e m s o ff r a c tu r e s w i t h c o n s t a n t e l e -m e n t s o f d i r e c t i o n .

k w a s f o u n d t h a t t h e s a f e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e E a st e rn s id e o f h e i g h t1 "/0 m , a l l o w i n g f o r fr a c t u r e s d i p p i n g t o w a r d s t h e q u a r r y , i s 4 3 * T h e l i m i t i n g s l o p eh e i g h t , c a l c u l a t e d f r o m ( 3 ) w i t h 6 0 = 4 3* , a n d a l l o w i n g f o r d i a g o n a l s y st e m s o f f r a c -t u r es , is o v e r 1 70 m . T h u s , w i t h a n a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f th e s l o p e o f 4 3* a n d ah e i g h t o f 17 0 m , t h e E a s te r n s i d e o f t h e B e l o g o rs k q u a r r y i s q u i t e s a f e . T h e r e c o m -m e n d e d b e n c h h e i g h t o f t h i s s i d e is 20 m w i th a n g l e o f i n c l i n a t i o n 5 5" . U s i ng th eg r a p h ( s e e F i g . 4 ), w e c a n d e t e r m i n e t h e l i m i t i n g b e n c h h e i g h t , a l l o w i n g f o r t h ed i a g o n a l s y st e m s o f f r a c t u r e s . T h e a n g l e o f s l o p e 55 * c o r r e sp o n d s t o a l i m i t i n gb e n c h h e i g h t o f 4 8 m . T h u s , w i t h b e n c h h e i g h t 2 0 m a n d a n g l e o f i n c l i n a t i o n 5 5 ~t h e d i a g o n a l s y st e m s o f f r a c t u r e s c a n n o t e x e r t a n u n f a v o r a b l e i n f l u e n c e .

A n a l y s i s o f ( 3 ) s h ow s t h a t f o r $ = p ' t h e l i m i t i n g s l o p e h e i g h t H = ~ . I f 5 t= 62 = 90* t hen $ = 90" a l so , a nd a ga in H = *~. I t f oU ow s tha t , w hen 61 = 6z = 90* ,t h e p l a n e s o f w e a k e n i n g ( f r a c t u r e s ) c a n n o t b e r e a l i z e d a s s l i p s u r f ac e s .

F o r m u l a ( 3 ) , d e t e r m i n i n g t h e l i m i t i n g s l o p e h e i g h t , c a n b e v a l i d f o r c a s e sw h e n t h e l i n e s o f i n t e r s e c t i o n f o r m e d b y t w o d i a g o n a l s y s te m s o f fr a c t u r es h a v e ad i r e c t i o n o f d ip t o w a rd s a w o r k i n g a t a n a n g l e $ > p ' , b u t l e s s t h a n t h e a n g l e o f i n -c l i n a t i o n o f t h e s l o p e 50 (5 0 > ~ ) , w h i l e t h e a n g l e s o f i n c l i n a t i o n o f t h e s y s t e m s o ff r a c t u re s , 51 a n d 5 2, a r e s im u l t a n e o u s l y n o t e q u a l t o 9 0 ~ H e r e t h e a b s o l u t e v a l u e so f t h e s t r ik e a z i m u t h s o f t h e s y s t e m s o f f r a c t u r e s a n d t h e p l a n e s o f t h e s l o p e m u s to b e y t h e c o n d i t i o n A1 # Az # A0 . T h e s y m b o l A1 m u s t r e p r e s e n t a s y s t e m o f f r a c t u r e s w h i c h h a s t h e g r e a t e s t a b s o l u t e

s t r ik e a z i m u t h . T h e a n g l e 61 a l s o c o r r e s p o n d s t o t hi s s y s te m o f f ra c t u r e s . T h e e l e m e n t s o f t! te s e co n d s y s te m o f f r a c -t u r e s m u s t b e c a l l e d A z a n d 6 z .

I f t h e r o c k s a r e c u t b y m o r e t h a n t w o d i a g o n a l s y s te m s o f f r a c t u r es w i t h l i n e s o f i n t e r s e c t i o n s d i p p i n g to w a r d st h e w o r k i n g , t h e n ( 3 ) m u s t b e u s e d t o c a l c u l a t e H fo r e a c h p a i r o f s y st e m s o f f r a c t u r e s . T h e f i n a l r e su l t is ta k e n a st h e l e a s t v a l u e f o u n d f o r H . I ri t h i s c a s e w e a r e c o n s i d e r i n g t h e s y s t e m s o f f r a c t u r e s w h i c h e x e r t t h e p r i n c i p a l i n -f l u e n c e o n t h e s t a b i l i t y o f t h e s l o p e r o c k .

I n c a l c u l a t i n g t h e s t a b i l i t y o f a s l o pe , m u c h i m p o r t a n c e a t t a c h e s t o c o r r e c t d e t e r m i n a t i o n o f t h e w i d th o f t h es a f e ty b e rm . C l e a r l y t h e m i n i m u m p e r m i s s i b l e b e r m w i d t h c a n b e d e t e r m i n e d f ro m t h e d i s t a n c e a l o n g t h e n o r m a lf r o m t h e u p p e r b r o w o f t h e s l o p e t o t h e p o i n t o f e m e r g e n c e o f t h e m o s t d a n g e r o u s s l i p s u r f a c e a t t h e h o r i z o n t a l s u r -f a c e o f th e s l o p e [ 8 ] .I n o u r sc h e m e s , t h i s d i s t a n c e i s d e t e r m i n e d b y t h e s e g m e n t r = OE ( s e e F i g . 1 ), i . e . , b y t h e s h o r t e st d i s t a n c ef r o m t h e u p p e r l i p o f th e s l o p e t o th e p o i n t O ( th e p o i n t o f m e e t i n g o f th e l i n e s o f i n t e r s e c t i o n A O o f th e s y s t e m so f f ra c t u r e s f o r m i n g t h e s l i p s u r fa c e w i t h t h e h o r i z o n t a l s u r f a c e o f t h e s l o p e ) .

T h e v a l u e o f r i s f o u n d f r o m t h e f o r m u l ar = H V c ~ - s i n ( A , - - A o ) . ( 1 5)

I t c a n a l s o b e f o u n d i n t e r m s o f k a n d A 2 :r = H V - T s i n ( A o - A 2 ) , ( 1 6 )

w h e r e H is t h e l i m i t i n g s l o p e h e i g h t , d e t e r m i n e d f r o m ( 3 ). T h e o t h e r s y m b o l s h a v e t h e s a m e m e a n i n g s a s i n ( 3 ) .I n d e s ig n i n g t h e s a f e t y b e r m , w e m u s t r e m e m b e r t h a t i t s w i d t h s h o u l d n o t b e g r e a t e r t h a n t h e v a l u e f o u n d

f r o m ( 1 5 ) .T h e v a l u e o f r c o r r e sp o n d i n g t o th e l i m i t i n g s l o p e h e i g h t H d e t e r m i n e s t h e d i s t a n c e f r o m t h e l i p o f t h e s l o p e

o t t h e m o s t d a n g e r o u s si i p s u r f a c e . C o n s e q u e n t l y , i t s p o s i t i o n c a n b e u s e d in a r t i f i c i a l s tr e n g t h e n i n g o f t h e r o c k , i fn e c e s s a ry , o r a l s o i n d r i l l i n g a n d b l a s t i n g .

C O N C L U S I O N S1 . T h e a u t h o r r e v i e w e d a s y s t e m f o r c a l c u l a t i n g t h e s t a b i l i t y o f a s l o p e o f l e d g e r o c k , w h i c h e n a b l e d u s t o

c o n s i d e r s y s te m s o f f r a c t u r e s w i t h l i n e s o f i n t e r s e c t i o n d i p p i n g t o w a r d s t h e w o r k i n g .


6/6

2 . F o r m u l a s w e r e su g g e s te d w h i c h p e r m i t a n a l y t i c a l d e t e r m i n a t i o n o f t h e l i m i t i n g s l o p e h e i g h t s a n d m i n i m u mper m is s ib le be r m wid ths , fo r va r ious pur poses. The l im i t ing s lo pe he igh t depends on the e lem ent s o f d i r ec t ion o f thed iag ona l sys tem s of f r ac tu r es , the e le m e nts o f d i r ec t ion of the s lope sur f ace , the cohes ion , and the ang le o f in te r na lf r i c t io n a l o n g t h e f r a c t u re s , a n d t h e u n i t w e i g h t o f t h e r o c k ; t h e b e r m w i d t h d e p en d s o n t h e l i m i t i n g s l o p e h e i g h tand the e lem ents o f the f r ac tu r es and s lope sur f ace .

L I T E R A T U R E C I T E D1 . N . N . K u v a e v , F u n - s c a l e t e st s o f t h e m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f r o c ks . S y m p o s i um o n t o p i c s i n s u r v ey w o r k ,

issue X X X III [ in Russian], M oscow . G o sg o r tek h izd a t (1956) . . . . . . . .2 . S . I . P o po v 0 S t a b i l it y o f t h e si d es o f q u a r ri e s d u r in g l a r g e - s c a l e b la s t in g , I n t h e v o l u m e , T e c h n o l o g y o f O p e n -

Cut Mining [ in Russ ian] , Moscow, Ugletekhizdat (1959) .3. G .L . F isenko, S tabiLity of Banks and Te r race s [ in Russ ian] , Moscow, Nedra (1965) .4 . G . M . Malak hov and A. P . Chernous, D e te r m in ing the cohes ion of r ocks in s i tu . S ym p os ium of s c ien t i f i c

wo rk of the K r ivoi Rog Min ing Ins t i tute , No. XX III [ in Russ ian], Moscow, G osg or tek hizd at (1063) ,5 . Yu . I . Tur iu t~ev , V. I . Zobnin , and G. P . Bakha r eva , On De te r m in in g Rock S t r eng ths . Gor n odob yvay ushcha ya

Promyshlennost ' Kazakhstant , No. 4 (1060) .6 . G . L . F isenko , On the ang les o f inc l ina t ion of qua r r y sides in l edge r ock . Gor ny i Zhur na l , No . 3 ( 1961).7 . P . A . Ryzhov, Th e Ge om et r y o f the Ea r th ' s Depths [ in l~ s s ian] , Moscow, Ug le tekh izda t (1952) ,8 . L . V . S avkov , Ca lc u la t ion of s t ab le s lopes in f r ac tu r ed l edge r ocks . F iz iko- T ekh n . P r ob lem y Razr ab . P o lezn .

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Documents

1967_Consideration of Fractures in the Calculations of Rock Slope Stabilities