25.03 група 13 Геометрія

Урок № 21

Тема уроку. Перпендикуляр і похила.

План вивчення теми

1. Означення перпендикуляра, опущеного з даної точки на дану площину.

2. Основа перпендикуляра.

3. Означення похилої, проведеної з даної точки до площини.

4. Основа похилої

5. Проекція похилої.

6. Відстань від даної точки до площини.

7. Властивості перпендикулярів і похилих.

А

В

Перпендикуляром, проведеним з даної точки доплощини, називають відрізок перпендикулярний доплощини, що сполучає дану точку з точкою площини.

2. Перпендикуляр

ТочкаВ називається основою перпендикуляра.

α

А

ВС

α

Перпендикуляром, проведеним зданої точки до даної площини, називається відрізок, що сполучаєдану точку з точкою площиниі лежить на прямій, перпендикулярній до площини.

Точка В – основа перпендикуляра

Відстанню від даної точки до площини називаєтьсядовжина перпендикуляра, проведеного з даної точкидо даної площини.

Перпендикуляр і похила до площиниПерпендикуляр і похила до площини

АВ - перпендикуляр

А

ВС

α

Похилою, проведеною з даної точкидо даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дануточку з точкою площини і не єперпендикуляром до площини.АС - похила

Точка С – основа похилої

ВС – проекція похилої

Перпендикуляр і похила до площиниПерпендикуляр і похила до площини

Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра тапохилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називають проекцією похилої .

А

ВC

4. Проекція похилої

Проекцією похилої, на площину називають відрізок, якийсполучає основу похилої і основу перпендикуляра, проведених

з даної точки до площини.

α

Властивості перпендикуляра й похилоїВластивості перпендикуляра й похилої

Якщо з точки, взятої поза площиною, проведено до

площини перпендикуляр і похилі, то:

1)перпендикуляр коротший за будь-яку похилу;

2)проекції рівних похилих є рівними й, навпаки, похилі, що мають рівні проекції, є рівними;

3) з двох похилих більша та, проекція якої більша.

а а а bb

b c

c

c d d

c > a, c > b Якщо a = b, то c = d

Якщо c = d , то a = b

Якщо c > d , то a > b

Якщо a >b, то c > d

На відміну від площини, дез даної точки до прямоїможна провести тільки двірівні похилі, у просторі зточки до площини можнапровести нескінченнумножину рівних похилих, основи яких утворюютьколо.

Властивості перпендикуляра й похилоїВластивості перпендикуляра й похилої

а

Слід зазначити, що перпендикуляр, опущений з точки, коротший за будь-яку похилу,

проведену через дану точку.

Прикладами матеріальних моделей перпендикулярів є: стовпи, телевізійні вежі тощо.

Розв'язати задачі самостійно.

1. Знайти довжину похилої, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 4 см, а проекція

похилої на площину — 3 см.

2. Знайти проекцію похилої на площину, якщо похила дорівнює 13 см, а перпендикуляр,

проведений з тієї ж точки,— 12 см.

3. Знайти довжину перпендикуляра, якщо похила дорівнює 10 см, а її проекція на

площину — 8 см.

4. Знайти відстань від точки А до граней куба, якщо ребро куба дорівнює 10 см.

5. Із точки S проведено до площини α перпендикуляр SO та похилі SA і SB. Довжини

похилих відповідно дорівнюють 13 і 20 см. Довжина проекції похилої AS дорівнює 5 см.

Знайти відстань від точки S до площини та довжину проекції похилої SB.

Продовжте речення:

Із деякої точки проведено до площини дві похилі і перпендикуляр.

1) похилі рівні, то рівні і їх … ;

2) проекції похилих рівні, то рівні і … ;

3) похилі нерівні, то більша похила має більшу … .

Домашнє завдання

§ 35 № 714,716 (ст. 231).

Запитання до самоконтролю

1) Що таке перпендикуляр, опущений з даної точки до площини?

2) Що таке похила, проведена з даної точки до площини?

3) Скільки перпендикулярів та похилих можна побудувати з даної точки до площини?

4) 3 даної точки до площини проведено дві похилі. Що можна стверджувати про проекції

похилих на площину, якщо похилі: а) рівні; б) не рівні?

5) Як на практиці за допомогою виска перевірити вертикальність встановленого стовпа?