1ª Aula 3 - Ângulos Consecutivos · PDF fileda do grêmio politécnico GEOMETRIA CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO 1ª Aula 3 Introdução à Geometria Plana 1-

da

do grêmio politécnico

GEOMETRIA

CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO

1ª Aula

Introdução à Geometria Plana

1- Conceitos Primitivos:

a) Ponto

A

b) Reta c) Semi-reta

r

e) Plano

2- Ângulo Geométrico:

O ângulo “alfa” formado pelos pontos A, O e B é

indicado da seguinte maneira: AÔB ou BÔA.

E a sua unidade é em graus (º).

Podemos classificar o ângulo de abertura segundo

a medida de α em:

3- Ângulos Consecutivos:

Na figura, os ângulos AÔB e

BÔC são consecutivos,

portanto AÔC=AÔB+AÔC

4- Bissetriz (corta em duas metades iguais):

Na figura a semi-reta

OB é a bissetriz do

ângulo AÔC

5- Relações entre dois ângulos podem ser:

a) complementares:

AÔB+CÊD=90º

A soma dos ângulos vale 90 graus, portanto AÔB e

CÊD são ângulos complementares.

b) suplementares:

AÔB+CÊD=180º

A soma dos ângulos vale 180 graus, portanto AÔB

e CÊD são ângulos suplementares.

d) Segmento de Reta

3

da


GEOMETRIA


6- Ângulos Adjacentes:

Alfa e beta são ângulos adjacentes.

7- OPV, Ângulos Opostos pelo Vértice:

Alfa e beta

são ângulos

opostos pelo

vértice.

Portanto:

8- Duas Retas distintas Coplanares (no mesmo

plano):

a) Concorrentes (cruzam-se):

b) Paralelas (não se cruzam):

9- Retas Perpendiculares (forma 90º):

10- Retas Paralelas cortadas (mesma inclinação):

EXERCÍCIOS DE AULA:

Nas figuras, determinar o valor de X:

a)

b)

4

da


GEOMETRIA


c)

d)

EXERCÍCIOS EM CASA:

1)

2)

3)

4)

5

da


GEOMETRIA


5)

6)

2ª Aula

Ângulos Num Triângulo

1- Soma dos Ângulos Internos:

2- Ângulo Externo:

3- Triângulo Isósceles (dois lados congruentes,

mesma medida, tudo que acontece de um lado,

acontece do outro também.):

4- Triângulo Equilátero (todos os lados e ângulos

congruentes).

6

da


GEOMETRIA


5- Triângulo Retângulo:


1- O ângulo BÂC mede:

a) 20º

b) 40º

c) 60º

d) 80º

e) 100º

2- No triângulo abaixo, AB=AC, o ângulo α é de:

a) 110º

b) 120º

c) 130º

d) 140º

e) 150º

3- Na figura, BC=AC=DC. Calcule o valor de α:

a) 70º

b) 80º

c) 90º

d) 100º

e) 110º


1)

2)

7

da


GEOMETRIA


3)

4)

5)

6)

3ª Aula

Polígonos Convexos

1- Polígono:

Determinemos três ou mais pontos consecutivos,

em um plano, não colineares (P1, P2, P3, ... , Pn). As

ligações destes pontos formam segmentos que originam

um polígono.

Exemplos:

8

da


GEOMETRIA


De maneira geral, para ser um polígono, a figura

deve estar contidas em um único plano e fechadas. O

polígono só será convexo se, e somente se, qualquer

segmento PQ, (cujos extremos pertencem à região

poligonal) está inteiramente contido à região poligonal.

Do contrário será um polígono não-convexo.

Exemplos:

Alguns polígonos recebem nomes específicos de

acordo com o seu número de lados. Veja alguns nomes na

tabela abaixo:

2- Soma dos Ângulos Internos de um Polígono

Convexo:

Na aula anterior, vimos que a soma dos ângulos

de qualquer triângulo é igual a 180º.

Para saber a soma dos ângulos internos de outros

polígonos convexos, podemos dividir a figura em

triângulos:

1º passo: escolha um vértice.

2º passo: una todos os demais vértices ao vértice escolhido

e forme os triângulos.

3º passo: conte os triângulos.

4º passo: Como cada triângulo possui a soma das medidas

dos ângulos internos igual a 180º, então para saber a soma

dos ângulos internos do polígono, basta multiplicar o

número de triângulos formados por 180º, pois todos os

ângulos internos dos triângulos formados também são

ângulos internos do polígono.

Exemplo:

O Polígono ao lado é um

Heptágono (7 lados).

Forma-se 5 triângulos com um dos

vértices. Cada triângulo possui a

soma dos ângulos internos igual a

180º então a soma dos ângulos

internos é igual a 5 x 180º = 900º

Obs: Existe uma FÓRMULA prática para o problema.

3- soma dos ângulos Externos de um Polígono

Convexo:

A soma dos ângulos externos de qualquer

Polígono Convexo é SEMPRE igual a 360º.

4- Polígono Regular:

Um polígono convexo é chamado regular quando

é equilátero (lados com a mesma medida, congruentes) e

equiângulo (ângulos com a mesma medida, congruentes).

Deste modo, um triângulo regular é um triângulo

equilátero e um quadrilátero regular é um quadrado.

9

da


GEOMETRIA



1- Determine o valor de X:

a) 10º

b) 15º

c) 20º

d) 22º

e) 25º

2- Num polígono regular, a medida do ângulo

interno é o triplo da medida do ângulo externo. O

polígono é um:

a) heptágono

b) octógono

c) eneágono

d) decágono

e) tridecágono


1)

2)

3)

4)

5)

6)

10

da


GEOMETRIA


4ª Aula

Ângulos na Circunferência

1- Circunferência:

Circunferência é o conjunto de pontos no plano

que é equidistante (mesma distância) de um ponto fixo

desse plano.

A figura representa uma circunferência com o

centro no ponto O (ponto fixo) e raio de medida r.

Observe que todos os pontos dessa circunferência distam r

do ponto O.

Elementos:

AO – raio

AB – diâmetro

CD – corda

CMD – arco

t – reta tangente

T – ponto de tangência

s – reta secante

AO = OB = OT = r e AB = 2r

Observação: Círculo ≠ Circunferência. Círculo é a união

da circunferência com seus pontos interiores. Ou seja,

circunferência é apenas a “borda” do círculo.

2- Ângulo Central:

Na figura, estão representados um ângulo central

de medida α, em graus, e o seu arco correspondente.

Temos que:

3- Ângulo Inscrito.

Na figura, estão representados um ângulo inscrito

de medida α, em graus, e o respectivo arco

correspondente. Temos que:

Observação:

A medida, em graus,

de um ângulo central

é a medida do seu

arco correspondente.

Assim a medida em

graus de uma

circunferência é 360º

e de uma

semicircunferência é

180º.

A medida de um

ângulo inscrito numa

circunferência

SEMPRE é a metade

do seu arco

correspondente.

11

da


GEOMETRIA


4- Quadrilátero Convexo Inscrito numa

Circunferência:

Na figura (um quadrilátero circunscrito), o

quadrilátero ABCD está inscrito na circunferência de

centro O e raio de medida AO=OB=OC=OD.

Temos que:


1- Em cada figura, obter o valor de X, sendo O o

centro da circunferência.

a)

b)

c)

2- Na figura, os arcos AEB e CFD medem,

respectivamente, 70º e 50º.

O valor de X é:

a) 10º

b) 20º

c) 50º

d) 60º

e) 70º

3) Na figura, o valor de X é:

a) 35º

b) 45º

c) 55º

d) 65º

e) 75º

12

da


GEOMETRIA



1)

2)

3)

13

da


GEOMETRIA


4)

5)

6)

5ª Aula

Quadriláteros Notáveis Quadriláteros convexos que possuem pelo menos

um par de lados paralelos são chamados de Quadriláteros

Notáveis. São eles:

1- Trapézio:

2- Paralelogramo:

Propriedades:

3- Retângulo:

Propriedades:

4- Losango:

Propriedades:

14

da


GEOMETRIA


5- Quadrado:

Propriedades:

EXERCÍCIO DE AULA:

Represente o conjunto dos quadriláteros notáveis

em um diagrama de Venn.

U: conjunto dos quadriláteros convexos.

T: conjunto dos trapézios.

P: conjunto dos paralelogramos.

R: conjunto dos retângulos.

L: conjunto dos losangos.

Q: conjunto dos quadrados.


1)

2)

3)

4)

5)

15

da


GEOMETRIA


6)

7)

6ª Aula

Pontos Notáveis de um Triângulo

1- Baricentro:

O ponto G é o encontro das medianas. Mediana é a semi-

reta que “parte” a partir de um vértice e “corta” o lado

oposto na metade.

Propriedade:

AG = 2GD

BG = 2GE

CG = 2GF

2- Incentro:

I é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

E também é o encontro das bissetrizes internas do

triângulo ABC.

Bissetrizes internas: AD, CF, BE.

3- Circuncentro:

O ponto O é o encontro das três mediatrizes do

triângulo ABC, o circuncentro, que é o centro da

circunferência circunscrita ao triângulo. A mediatriz é a

reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu

ponto médio.

4- ortocentro:

H é o encontro das

alturas no triângulo

ABC. Alturas: AD, CF,

BE.

16

da


GEOMETRIA


5- Triângulo retângulo:

Na quarta aula, vimos que a medida de um ângulo

inscrito numa circunferência SEMPRE é a metade do seu

arco correspondente. Como

o diâmetro forma um arco

de 180º, então qualquer

triângulo que podemos

formar (como na figura)

será retângulo, com a

hipotenusa sendo o

diâmetro.

EXERCÍCIO DE AULA:

Associar os nomes:

a) baricentro

b) incentro

c) circuncentro

d) ortocentro

com as seguintes expressões correspondentes,

relativas a um triângulo.

I- ( ) Centro da circunferência inscrita.

II- ( ) Ponto equidistante dos vértices.

III- ( ) Ponto de encontro das Medianas.

IV- ( ) Centro da circunferência

circunscrita.

V- ( ) Ponto de encontro das retas

suportes das alturas.

VI- ( ) Ponto que divide cada mediana

numa razão de 2 para 1.


1)

2)

3)

4)

5)

17

da


GEOMETRIA


6)

7ª Aula

Triângulos Semelhantes

1- Introdução:

Um triângulo é semelhante a outro quando, como

diz o próprio nome, parecido. Analogamente um carrinho

de brinquedo em miniatura é semelhante ao seu original

(em tamanho real), pois é parecido. Assim podemos

afirmar que existe uma diferença que é a proporção entre

os carrinhos. Portanto semelhante não significa

absolutamente igual, apenas parecido ou proporcional.

2- Definição:

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,

os seus ângulos têm, respectivamente, as medidas e os

seus lados correspondentes têm medidas proporcionais

(formam razões iguais).

A

B C

E

F

G

Observe que, na figura anterior, podemos imaginar o

triângulo ABC diminuiu de tamanho de maneira

proporcional e se transformou no outro triângulo EFG.

Temos assim um triângulo parecido, mas não igual. O

lado EF é correspondente e homólogo ao lado AC, assim

com os lados AB com EG ou BC com GF.

Nos triângulos ABC e EFG, temos:

e

,

onde K é a razão se semelhança entre os triângulos.

3- Observações:

1) Em dois triângulos semelhantes, a razão K é a

razão de dois elementos lineares correspondentes

quaisquer. Ou seja, qualquer medida (seja ela altura, lado,

que não seja relacionado diretamente com o ângulo) é

proporcional segundo a razão K.

AH altura relativa ao vértice A

BM mediana relativa ao vértice B

EI altura relativa ao vértice E

GN mediana relativa ao vértice G

Então temos os ângulos:

E as relações:

Atenção! As relações SEMPRE devem ser com os

elementos lineares correspondentes, ou seja: altura com

altura; mediana com mediana; lado com lado...

A

B C

E

F

G

M

N

H

I

18

da


GEOMETRIA


2) Para indicar que o triângulo ABC é semelhante

ao triângulo EFG usamos o seguinte símbolo “~”:

ABC ~ EGF

“~” lê-se “é semelhante a”.

3) Dois triângulos de K=1 são congruentes

(“iguais”).

4- Identificação de Triângulos Semelhantes:

Para concluir-se que dois triângulos são

semelhantes, não é necessário verificar se os seus ângulos

internos têm respectivamente as mesmas medidas e se os

seus lados são proporcionais.

Porém existe uma regra prática utilizada na

verificação de triângulos semelhantes:

SEMPRE que dois triângulos possuírem dois ângulos

internos respectivamente de mesma medida, ENTÃO

ELES SÃO SEMELHANTES.

Concluído que são semelhantes (pela regra prática

ou não), todos os elementos lineares são proporcionais

pela definição.

Exemplos:


1- No ABC da figura, DE BC. Sendo AB=15cm,

AC = 12cm, BC = 21cm e BD = 5cm, o segmento

DE, em cm, mede:

a)10

b)10,5

c)12

d)12,5

e)14

2- O triângulo ABC da figura é retângulo em A.

Sendo DE perpendicular ao lado BC, AB = 10cm,

AC = 18cm e DE = 5cm, o segmento CE, em cm,

mede:

a) 9

b)10/3

c)8

d)11/4

e)10

19

da


GEOMETRIA



1)

2)

3)

4)

5)

20

da


GEOMETRIA


8ª Aula

Triângulos Semelhantes (continuação)


1- (FUVEST) Dados:

MBC = BAC

AB = 3

BC = 2

AC = 4

Então MC =

a) 3,5

b) 2

c) 1,5

d) 1

e) 0,5

2- A figura mostra um retângulo DEFG inscrito

num triângulo ABC. Se a base FG do retângulo é o

dobro da altura EF, então o perímetro desse

retângulo é:

a) 3

b) 5

c) 12

d) 18

e) 30


1)

2)

21

da


GEOMETRIA


3)

4)

5)

22

da


GEOMETRIA


Repostas dos EXERCÍCIOS EM CASA

1ª aula

1- a) 50º b) 30º c) 18º d) 5º

2- a) 130º b) 120º c) 80º d) 45º

3- a) 36º b) 10º c) 26º d) 2º e) 30º f) 15º

4- a) 30º b) 36º c) 30º d)50º

5- A

6- A

2ª aula

1- a) 50º b) 26º c) 30º d) 60º e) 40º f) 50º

g) 18 h) 30º

2- a) 20º b) 60º c) 40º d) 10º

3- a) 40º b) 20º c) 30º

4- C

5- D

6- A

3ª aula

1- a) 60º b) 50º c) 110º

2- a) 540º b) 720º c) 900º d)1440º e) 3600º

3- a) 60º e 120º b) 90º e 90º c) 108º e 72º

d) 120º e 60º e) 135º e 45º f) 144º e 36º

4- E

5- C

6- B

4ª aula

1- a) 120º b) 40º c) 60º d) 80º e) 30º f) 50º

2- a) 55º b) 60º c) 60º d) 70º e) 60º f) 30º

3- B

4- A

5- a) 50º b) 35º

6- C

5ª aula

1- a) V b) V c) F d) V e) V f) F g) V h) F i) F

j) V

2- E

3- D

4- x=60º e y=120º

5- D

6ª aula

1- C

2- a) 4 b) 2 c) 3 d) 4,5

3- D

4- 10

5- A

7ª aula

1- a) 3cm b) 6cm c) 1/3

2- a) 12cm b) 3cm c) 6cm

3- E

4- D

5- C

8ª aula

1- D

2- D

3- A

4- A

5- B

23

Documents

1ª Aula 3 - Ângulos Consecutivos · PDF fileda do grêmio politécnico GEOMETRIA CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO 1ª Aula 3 Introdução à Geometria Plana 1-