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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC.SS.II

CURSO 13 – 14

1ª EVALUACIÓN

Ejercicio 1. En una ciudad existen dos colegios, el ALFA y el BETA. Se sabe que el 70 % de los estudiantes

de la ciudad van al ALFA y el resto al BETA. En una encuesta se ha detectado que al 60 % de

los alumnos de ALFA le gustan las Matemáticas, mientras que sólo al 35 % de los estudiantes

de BETA le gustan las Matemáticas.

a) Calcula la probabilidad de que a un alumno elegido al azar le gusten las Matemáticas.

b) Sabiendo que a un alumno, elegido al azar, le gustan las Matemáticas, ¿cuál es la

probabilidad de que sea del colegio ALFA? c) Sabiendo que a un alumno, elegido al azar, no le gustan las Matemáticas, ¿cuál es la

probabilidad de que sea del colegio BETA?

Ejercicio 2.

Sean A y B dos sucesos tales que 4,0)( AP , 3,0)( BP y 5,0)( BAP ,¿cuánto vale

)( BAP ? Nota: B = complementario del suceso B

Ejercicio 3.

La masa de las peras de una determinada cosecha se distribuye normalmente con media 125g y

desviación típica 20g.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pera elegida al azar pese más de 130g?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio en una muestra de 25 peras sea mayor que

130g?

c) Explica el motivo de la diferencia entre los resultados de los apartados anteriores.

Ejercicio 4. El precio de ciertos electrodomésticos puede considerarse como una variable aleatoria con

distribución normal de desviación típica 100 euros. Los precios en euros correspondientes a una

muestra de 9 de estos electrodomésticos son:

255 85 120 290 80 80 275 290 135

1. Construir un intervalo de confianza al 98% para la media poblacional.

2. Hallar el tamaño mínimo que debe tener la muestra, para que con un nivel de confianza

del 99%, el error de estimación del precio no supere los 50 euros.

Ejercicio 5.

Queremos estimar la media de una variable aleatoria que se distribuye normalmente con una desviación típica de 3,2. Para ello, se toma una muestra de 64 individuos, obteniéndose una

media de 32,5. ¿Con qué nivel de confianza se puede afirmar que la media de la población está

entre 31,5 y 33,5?.

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RESOLUCIÓN

Ejercicio 1.

Sean los sucesos:

A = “el estudiante va al colegio ALFA”

B = “el estudiante va al colegio BETA”

M = “al alumno le gustan las Matemáticas”

a) 525,035,030,06,07,0)( xxMP

b) Se trata de un ejercicio de probabilidad a

posteriori:

8,0525,0

60,070,0)/(

xMAP

c) Igual que en el apartado anterior es un

ejercicio de probabilidad a posteriori:

475,0525,01)( MP

41,0475,0

65,030,0)/(

xMBP

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Ejercicio2.

Teniendo en cuenta la definición de diferencia de sucesos:

A – B es el suceso que se verifica cuando se verifica A y no se verifica B, o lo

que es lo mismo: BABA , podemos deducir que BABA

Por tanto:

2,0)(

5,03,04,0)(

)()()()()(

BAP

BAP

BAPBPAPBAPBAP

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Ejercicio 3.

a) La distribución de la masa de las peras sigue una distribución N(125, 20).

Tipificando la variable: 25,020

125130130

ZX

4013,05987,01)25,0(1)25,0()130( ZPZPXP

El 40% de las peras pesan más de 130g.

b) Las medias muestrales siguen una distribución normal por ser normal la

población. La media coincide con la de la población y la desviación típica

es 425

20 . La distribución de las medias muestrales es N(125,4).

Tipificando: 25,14

125130130

ZX

1056,08944,01)25,1(1)25,1()130( ZPZPXP

El 10,5% de las muestras tienen un peso medio superior a 130g.

c) La desviación típica de la distribución de las medias muestrales es mucho

menor que la de la población, por lo que el peso medio de las muestras está

más concentrado alrededor de la media.

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Ejercicio 4.

1. Empezamos calculando la media de la muestra, sumando todos los

resultados y dividiendo entre 9.

89,178x

01,02

98,01

39,2569

100325,289,178

39,1019

100325,289,178

325,299,001,098,0)( 2/2/

x

x

ZZZP

)39,256;39,101(%)98( I

El 98% de estos electrodomésticos cuestan entre 101,39 y 256,39 euros.

2. Operando igual que el caso anterior para la nueva confianza:

5,26)50

100575,2(

575,2995,099,0005,0)(

005,02

01,099,01

2

2/2/

xn

ZZZP

La muestra debe estar formada al menos por 27 electrodomésticos.

0,98

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Ejercicio 5.

2,3;64 n

Sabemos que )5,33;5,31( , por lo que conocemos el intervalo de confianza.

Fijándonos en uno de los extremos, por ejemplo en el extremo superior:

5,218

2.3;5,33

8

2.35,325,33 2/

2/2/2/

zzz

n

zx

La confianza es )5,25,2( ZP

9876,02)5,09938,0(2)5,0)5,2(()5,25,2( ZPZP

Por tanto estamos trabajando con una confianza del 98,76%.