8장. 에너지의 보존(Conservation of Energy)

8.1 분석 모형: 비고립계(에너지)

8.2 분석 모형: 고립계(에너지)

8.3 운동 마찰이 포함되어 있는 상황

8.4 비보존력에 의한 역학적 에너지의 변화

8.5 일 률

8.1 분석 모형: 비고립계(에너지)(Analysis Model: Nonisolated System (Energy)

8.1 분석 모형: 비고립계(에너지)(Analysis Model: Nonisolated System (Energy)

비고립계에서는 에너지가 계의 경계를 넘을 수 있기 때문에 비고립계의

전체 에너지가 변한다. 이 에너지 변화의 상황 분석을 통하여 에너지 보존이

라는 매우 중요한 법칙을 얻는다. 이 에너지 보존 원리는 생물학적인

유기체, 기술적인 복합체 및 공학적인 상황 등에 광범위하게 적용되고 있다.

계가 환경과 어떠한 작용도 하지 않을 때는 계는 고립되어 있다.

고립계에서는 에너지가 계의 경계를 넘을 수 없다.

따라서 고립계의 전체 에너지는 일정하다.

계의 에너지는 생성되지도 않고 소멸되지도 않아 항상 보존된다.

계의 전체 에너지가 변한다면, 그 이유는 오직 앞에서 나열한 에너지 전달

방법 중 어떤 에너지 전달 방식으로 에너지가 계의 경계를 넘었기 때문이다.

ERETMTMW TTTTQWEUK int

우변이 0일 때 고립계가 된다.

일 열 역학적 파동 물질 수송 전기송전 전자기 복사

Esystem 계의 전체 에너지로서 계에 저장 가능한 모든 에너지

(운동 에너지, 위치 에너지 그리고 내부 에너지 등)

T 어떤 전달 과정을 거치면서 계의 경계를 넘어 전달되는 에너지 양.

TEsystem ◀ 에너지 보존

8.2 분석 모형: 고립계(에너지)(Analysis Model: Isolated System(Energy)

8.2 분석 모형: 고립계(에너지)(Analysis Model: Isolated System(Energy)

들어올렸던 책이 원래 위치로 되돌아올 때 중력이

한 일에만 초점을 맞추어 보자

fi

ifbookon

mgymgy

yymgmW

jjrg )()()(

bookbookon KW (일-에너지 정리)

giffibook UmgymgymgymgyK )(

gUK

0 gUK여러 가지 위치에너지형식에 대해 일반화하면 0 UK

0 systemE

0)()( ifif UUKK

역학적 에너지 보존법칙을 풀어쓰면

iiff UKUK

iiff mgymvmgymv 2212

21

중력에 의해 낙하하는 책의 경우

비보존력이 작용하지 않는 고립계의 역학적 에너지는 보존된다.

계 내부에 비보존력이 있으면 역학적 에너지는 보존되지 않지만,

계의 전체 에너지는 보존된다

UKEmech 이므로 0 mechE

자유 낙하하는 공예제 8.1

그림과 같이 질량이 m인 공이 지면에서 높이 h인 곳에서 떨어진다.(A) 공기 저항을 무시하고 지면에서 높이 y 에 도달할 때 공의 속력을 구하라.

풀이 giigff UKUK

mghmgymv f 0221

)(2)(22 yhgvyhgv ff

(A) 공이 처음의 높이 h에서 이미 위 방향의 처음 속력 vi 를 가지고 있었을 경우, 높이y 에 도달할 때 공의 속력을 구하라.

mghmvmgymv if 2212

21

)(2)(2 222 yhgvvyhgvv ifif

배우의 무대 입장 (단진자 대치)예제 8.2

배우가 공중에서부터 무대 바닥으로 줄에 매달려 날아와 사뿐히 착지하도록 하기 위해서는 모래주머니가 바닥에서 들리지 않도록 해야만 한다. 처음에 철사 줄이 무대 바닥에 수직인 방향과 이룬 각도를 i라 하자. 모래주머니가 들리지 않을 최대 각도를 구하라.

풀이 iiff UKUK

iactorfactor gymvm 0021)1( 2

)cos1(cos RRRyi

)cos1(2)2( 2 gRv f

이므로

배우가 가장 낮은 위치에 있는 순간을 고려하면

Rv

mgmTF factoractory

2

☆

Rv

mgmT factoractor

2

)3(

단진자 (simple Pendulum)예제 8.2 대치☆

길이가 L 인 질량을 무시할 수 있는 줄에, 질량 m 인 크기를 무시할 수 있는 구가 매달려 있다.줄이 연직 방향과 Θ0 의 각이 되도록 하여 줄을 놓으면,

풀이 - 가장 낮은 점 b 에서의 구의 속력은?

cf) Θ =0에서 Θ0 의 각이 되도록 구에 해준 일?

)0(21: 2 aaaaatot vmghmghmvUKEa 점

)0(21

21: 22 bbbbbbtot hmvmghmvUKEb 점

)cos1(22 0 gLghvb

)cos1(cos 00 LLLh

)cos1( 0 mgLmghW

- b 점에서의 줄에 걸리는 장력 T ?

⇒ 구는 줄에 대하여 원운동 ⇒ 구심력 이용

)(구심력Cbnet FmgTFy

)cos1(2, 0 gLvLrwhere b

)cos23()cos1(2

)cos1(2)cos1(2

0

0

002

2

mgmgmg

LgLmmg

LgLmmg

Lmvmg

rmvmgFmgT

b

bCb

cf) 임의의 각 θ 에 대하여 : cos2

mgL

mvT

LgLmgmgm actoractorbag

)cos1(2

배우의 무대 입장 예제에서 모래 주머니가 들리지 않는 정지 상태를유지해야 하므로 평형 상태의 입자로 가정하면 → Tb =mbagg

50.0652

1306532

3cos

kg

kgkgm

mm

actor

actor bag 60

용수철 총예제 8.3

용수철 상수가 미지인 용수철로 만든 총으로 공을 쏘는 것을 생각해보자. 이 용수철을0.120m 만큼 압축하여 35.0 g의 공 포물체를 수직으로 발사하면, 용수철을 떠나는 위치부터 공을 최대 20.0m 높이까지 올릴 수 있다.(A) 모든 저항력을 무시하고 용수철 상수를 구하라.(B) 용수철의 평형 위치를 지날 때 포물체의 속력을 구하라.

☆

풀이

BulletBulletSpringtot KEPEPEE (A)

at A :

at C :

Since EA = EC :

021 2 AAA mgykyE )0( Av

CCCC mgymvmgyE 2

210

(∵ at 최고 높이 ⇒ vC = 0)

mNm

mmmKg

yyymgyymg

yk

A

ACAC

A

/958)12.0(

))2.1(20(sec/8.9035.02

22

2

2

22

CAA mgymgyky 2

21

myymy CBA 20,0,12.0

(B) 용수철의 평형 위치를 지날 때 포물체의 속력을 구하라.

222

21

21

21

BBBBB mvmvmgykyE at B :

at A :

Since EB= EA :

(∵ at B : yB = 0)

021 2 AAA mgykyE

AAB mgykymv 22

21

21

sm

msmkg

mmN

gym

kyv AA

B

/8.19

)120.0(/80.92)0350.0(

)120.0(/958

2

22

2

8.3 운동 마찰이 포함되어 있는 상황(Situations Involving Kinetic Friction)

8.3 운동 마찰이 포함되어 있는 상황(Situations Involving Kinetic Friction)

좁은 의미의 일-운동 에너지 정리는 입자 모형으로의 가정이가능한 입자나 물체에 대하여 유효하다. 그런데 마찰력이 존재할때는, 미시적 마찰력에 의한 일을 계산할 수 없다.

이러한 상황에서는 뉴턴의 제2법칙을 사용하고 운동 마찰력이하는 일을 도입하면 일-운동 에너지를 역시 적용할 수 있게 된다. 표면 위에서 미끄러지는 책처럼 변형이 없는 경우는 상대적으로쉽게 다룰 수 있다. 미시적 마찰력 fk 외의 다른 힘을 고려하면,

rFrf ddW kforcesother

dfE k int

마찰력은 계의 내부에 있는 운동 에너지를 내부에너지로 변환시킨다. 이 때 계의 내부 에너지증가량은 운동 에너지의 감소량과 같다.

수직항력 N이 증가하면, f=-kx로부터 간격이 줄어들고,

접촉하는 돌기수가 증가하므로 fk ∝ N 임을 알 수 있다.

거친 표면 위에서 물체 끌기예제 8.4☆

수평한 표면 위에서 처음에 정지하고 있는 질량 6.0kg 블록을 크기가 일정한 12N 인수평 방향의 힘으로 오른쪽으로 끈다고 가정하자.(A) 블록이 접촉한 표면의 운동 마찰 계수가 0.15일 때 3.0m 이동된 후 블록의 속력?(B) 힘 F 가 수평면에 대하여 각 θ 를 이루면서 블록을 오른쪽으로 3.0m 끈다고 가정하자.

이때 블록의 최대 속력을 갖도록 하는 힘의 각도를 구하라.

풀이 FddFWE itoti

mgdmv

dFmv

dFmvWKEE

k

Nk

frfrtot f

2

2

2

2121

21

sec/8.1

3123/8.9615.06

2

2

2

m

mNmsmKgKg

Fdmgdm

v k

From Ei= Ef :

☆

(B) 힘 F가 수평면에 대하여 각 θ 를 이루면서 블록을 오른쪽으로 3.0m 끈다고 가정하자. 이때 블록의 최대 속력을 갖도록 하는 힘의 각도를 구하라.

cosFddFWE itoti

dFmv

dFmvWKEE

Nk

frfrtot f

2

2

21

21

0sin mgFFF Ny

sinFmgFN

dFmgKEE ktot f)sin(

From Ei= Ef : sincos FdmgdFdKE kk

속력을 최대화하는 것은 운동 에너지를 최대화하는 것과 동일하다.따라서 KE 를 θ 에 대하여 미분하고 그 결과를 영으로 놓는다.

k

k

kk FdmgdFddd

ddK

tan0sincos

0)sincos(

5.8)15.0(tan)(tan 11k

μk=0.15일 때

블록-용수철계예제 8.6

그림 8.9와 같이 질량이 1.6Kg인 블록이 용수철 상수 1.0×103N/m인 수평 방향의 용수철에 붙어 있다. 용수철이 2.0cm 만큼 압축되어 정지하여 놓여져 있다.(A) 표면의 마찰력이 없다면 블록이 평형 위치를 통과할 때의 속력을 구하라.(B) 블록이 놓아지는 순간부터 운동에 저항하는 일정한 마찰력 4.0N이 작용할 경우에 블록이 평형 위치를 통과할 때의 속력을 구하라.

☆

풀이 (A) μ = 0, at x = 0, v = ?

021 2 kxE

itot ∵ at i , v = 0

2

210

0mvE

xtot ∵ x = 0

22

21

21 mvkxKEPEE mSpringtot

sm

mmNKg

kxm

v

/50.0

)100.2(/100.121

6.12

212 2232

(B) Ffr = 4.0N, at x = 0, v =?

dFmvkxWKEPEE frmSpringtot

22

21

21

021 2 kxE

itot ∵ at i , v = 0, Δx = 0

FdmvExtot

2

210

0

∵ x = 0, d = 2㎝

smJJKg

mNmmNKg

Fdkxm

v

/39.008.02.06.12

100.24)100.2(/100.121

6.12

212

2223

2

8.4 비보존력에 대한 역학적 에너지의 변화(Changes in Mechanical Energy for Nonconservative Forces)

8.4 비보존력에 대한 역학적 에너지의 변화(Changes in Mechanical Energy for Nonconservative Forces)

앞 절에서 다룬 표면 위에서 미끄러지는 책을 생각해 보면, 책도 계의 일부로 포함하여위치 에너지의 변화도 존재하는 계를 생각한다. 이 경우 -fkd는 운동 마찰력에 의한 역학적 에너지의 변화량이 된다.

dfUKE kgmech

dfUKE kmech

forcesotherkmech WdfE

이 식을 일반화하면, 고립계 안에서 비보존력인 마찰력이 작용할 때

비고립계 안에서 비보존력이 작용할 때는

경사면 위의 나무상자예제 8.7

질량 3.00kg인 물건을 담은 나무상자가 경사면을 따라 미끄러져 내려온다. 그림과 같이경사면의 길이는 1.00m이고 경사각은 30.0°이다. 나무상자는 경사면의 상단에서 정지한상태에서부터 이동하기 시작하여 5.00N 크기의 마찰력을 계속 받으며 내려온다. 경사면을 내려온 후에도 수평한 지면 바닥을 따라 짧은 거리만큼 이동하다가 멈춘다.(A) 에너지 방법을 사용하여 경사면 아래끝에서 나무상자의 속력을 구하라.

풀이

JmgyUUKE iiiii

7.14)50.0)(80.9)(00.3(0

0221 mvUKE fff

dfmgymvEEE kififmech 221

2200.32

2

/47.6

)]00.1)(00.5(7.14[

)(2)1(

sm

dfmgym

v kif

smv f /54.2

(B) 나무상자가 경사면을 내려온 후에도 수평인 지면 바닥을 따라 크기가 5.00N인 마찰력을 받는다면, 나무상자는 얼마만큼 이동하는가?

JmvKE iii 68.9)54.2)(00.3( 2212

21

dfEE kif 68.90 mf

Jdk

94.100.568.968.9

블록-용수철의 충돌예제 8.8

00 2212

max21

A

AsAsCC

mvkx

UKUK

m

smmN

kgvkmx A

15.0

)/2.1(/50

80.0max

풀이

질량이 0.80kg인 블록이 처음 속력 v〓1.2m/s으로 오른쪽으로 움직여 용수철에 충돌한다. 용수철의 질량은 무시하고 용수철 상수는 k〓50 N/m이다.(A) 표면에 마찰이 없다고 가정하고 충돌 후 용수철의최대 압축 길이를 계산하라.

Nsmkgmgnf kkk 9.3)/80.9)(80.0)(50.0( 2

(B) 표면과 블록 사이에 마찰 계수 nk〓0.50인 일정한 운동 마찰력이 작용한다고 가정하자. 용수철과 충돌하는 순간에 블록의 속력이 v〓1.2m/s이면, 용수철의 최대 압축 길이x는 얼마인가?

이므로Ckmech xfE

Ck

ACifmech

xf

mvkxEEE

)0()0( 2212

21

058.09.325

9.32)2.1)(80.0()50(2

212

21

CC

CC

xx

xx

값을 대입하고 x에 대해 풀면

mormxC 25.0093.0

mxC 093.0

연결된 블록의 운동예제 8.9

두 개의 블록이 가벼운 줄의 양 끝에 연결되어 마찰이 없는 도르래에 걸쳐 있다. 수평면위에 놓여 있는 질량이 m1 인 블록은 또한 용수철 상수가 k 인 용수철에 연결되어 있다. 용수철이 이완되어 있지 않을 때, 블록 m1 과 매달려 있는 질량 m2 인 블록을 정지 상태에서 놓았다. 블록 m2 가 정지하기 전까지 거리 h 만큼 떨어진다면, 블록 m1 과 수평면사이의 운동 마찰 계수를 계산하라.

☆

풀이

dFvmkxWKEPEE frfrmSpring

2

112

1 21

21

1

m1에 대하여 (수평면에 대하여) :

ghmPEE m 22 2m2에 대하여 (수직면에 대하여) :

m2가 정지 : m1 도 정지 → v1 = 0, and x =h, d =h, Ffr =μkm1g

E1 =E12 : ghmghmkh k 212 0

21

gm

khgmk

1

2 21

8.5 일률 (Power)8.5 일률 (Power)

순간 일률(instantaneous power): 에너지 전달의 시간에 대한 비율

평균 일률(average power): 시간 △t 동안에 물체에 한 일이 W일 때

dtdE

P

vFrF

dt

ddt

dWt

Wt 0

limP순간 일률

- 정의 : 단위 시간당 한 일의 양 (Scalar)

- 일의 시간에 대한 비율

tW

avg

시간일한

한일PP

dtdW

tW

t

lim0

P

- 일과 힘과의 관계 :

cf) Unit (단위) : Nm/sec = Kg m/sec2 m/sec= Kg m2/sec3 = W (Watt)

또 에서 J/sec

∴

dtdW

P

32 /1/11 smkgsJW

cf) 마력 (HP : Horse Power)

- 1 HP = 말 한 마리가 끄는 일률

- 1 HP = 550 ft lb/sec = 746 W

cf) ㎾h (㎾시) : 단위 시간 (1시간)당 1000W 의 일률

- 1 ㎾h = 1×103Watt × 3600sec = 3.6×106J

cf) 분자나 원자의 경우 (아주 작은 Energy) 에는 J 대신에 eV 를 사용.

- 1 개의 electron이 1 Volt 의 전위차(전압)에서 움직일 때 얻게 되는 Energy

- 1eV = 1.6×10-19CV = 1.6×10-19J CV : Coulomb Volt (1e = -1.6×10-19C)

에너지

생활속의 에너지1 kWh = 3.6 x 106 J = 100 W 전구 10개 x 1 시간 = 1 kW 전열기 1 시간

일반 가정 1달 전기소모량 = 500 kWh = 700 W x 30일 x 24h

성인 하루 에너지 = 2000 k cal = 8.4 x 106 J = 2.3 kWh

= 100 W x 24 h = 100 와트 전등 하나를 계속 켜둔 것과 동일!

핵발전소 = 1 GW = 700 W x 140만 가구( 서울시 절반 정도의 가구에 해당 )

우리나라 2012년 총발전량 = 5 x 105 GWh = 60개 x 1 GW x 3 x 107 초(1년)

원자력 34%, 석탄 39%, 유류 3.4%, LNG 21%, 수력 0.3%, 대체 2.2%

우리나라 원자력발전소: 가동중 21기, 시공중 7기 세계 5위임.

최대 핵발전국인 미국의 18%; 참고로, 프랑스는 핵발전소가 발전량의 75%를 차지함.

전기를 절약하자! 환경보호의 첫 걸음! 대중교통 애용, 불필요한 전등 끄기,………..

열에너지

1 cal = 4.2 J = 1 g 물을 1 ℃ 올리는 에너지

1 kWh = 3.6 x 106 J = 3.6/4.2 x 106 cal ≒ 10 kg(리터) 물 x 100 ℃

≒ 539 cal/g x 2 kg 물 물 2리터를 끓여 수증기로 만드는 에너지

위치에너지 E = mgh 1 J = 1 kg x 10 x 0.1 m

1 kWh = 3.6 kg x 10 x 105 m 수박 하나를 100 km 위로 옮기는 에너지

= 3.6 ton x 10 x 100 m 트럭 하나를 100 m 위로 들어 올리는 에너지

운동에너지 E = ½ mv2 1 J = ½ x 2 kg x (1 m/초)2

1 kWh = ½ x 7.2 kg x (1 km/초)2 큰 수박 하나를 마하 3의 속도로 던지는 에너지

= ½ x 8 ton x (30 m/초)2 고속도로에서 큰 트럭이 벽에 부딛히는 충격에너지

엘리베이터용 전동기의 일률예제 8.10

승강기와 전동기로 구성된 엘리베이터가 있다. 전동기가 질량1600kg인 승강기와 전체 질량이 200kg인 승객을 나르고 있다. 일정한 마찰력 4000N이 작용하여 승강기의 운동을 느리게 하고 있다.(A) 승객을 실은 승강기를 일정한 속력 3.00 m/s으로 올리려면전동기는 얼마의 일률로 일을 해야 하는가?

풀이

221 2

1 khghmghmk gm

khgmk

1

2 21

(1)식에 (2) – (4)식을 대입하면

0MgfTFy

NsmkgN

MgfT

4

233

1016.2)/80.9)(1080.1(1000.4

WsmNTv

44 1048.6)/00.3)(1016.2(

vTP

MaMgfTFy

NNsmsmkg

fgaMT

4

3223

1034.21000.4)/80.9/00.1)(1080.1(

)(

vNTv )1034.2( 4P

(B) 승강기를 1.00m/s2의 가속도로 올리도록 설계되었다면 승강기의 속력이 v인 순간전동기의 일률은 얼마인가?