1階述語論理に対するϵmkikuchi/ss2018files/takahashi1.pdf1. ϵ計算の概要 2. 1階述語論理からϵ計算への埋め込み 3. 第一イプシロン定理・エルブランの定理

.

......1階述語論理に対する ϵ計算

高橋優太

名古屋大学・日本学術振興会

数学基礎論 SS2018

高橋優太 (名大・学振) 1 階述語論理に対する ϵ 計算数学基礎論 SS2018 1 / 55

...1 ϵ計算の概要

...2 1階述語論理から ϵ計算への埋め込み

...3 第一イプシロン定理・エルブランの定理






ϵ計算とは

ϵ計算とは，「F [x]をみたすある対象」を表すϵ項 ϵxF [x]を含む (基本的には量化子なしの)形式体系．

A natural number is a real number.

ϵ項の表現力のゆえに，さまざまな体系を ϵ計算へ埋め込むことができる．本講義で扱うのは，1階述語論理 PCを埋め込むことができる体系 ECϵ，および，1階ペアノ算術を埋め込むことができる体系 PAϵ．

ϵ計算は，D・ヒルベルトにより，数学の基礎付けのために導入される．ヒルベルトは，ϵ計算がもつ性質を用いることで，算術および解析学の無矛盾性を証明しようとした．


ϵ計算とは


ϵxNat[x] is a real number.




ϵ計算とは


ϵxNat[x] is a real number.




3コマの予定

1コマ目 (本コマ)：1階述語論理に対する ϵ計算．エルブランの定理を ϵ計算を用いて証明する．

2コマ目：アッカーマンによる 1階算術の無矛盾性証明．1階ペアノ算術の無矛盾性を，アッカーマンによる ϵ代入法(ϵ-substitution method)を用いて示す．

3コマ目：カット消去による ϵ代入法の停止性証明．アッカーマンによる無矛盾性証明における主要部分である，ϵ代入法の停止性証明を，ミンツにより導入されたカット消去法により与える．


3コマの予定





3コマの予定





参考文献

Avigad, J. and Zach, R., “The Epsilon Calculus”, The StanfordEncyclopedia of Philosophy (Summer 2016 Edition), Edward N.Zalta (ed.), URL =<https://plato.stanford.edu/archives/sum2016/entries/epsilon-calculus/>.

バランスのとれたサーベイ記事．文献情報も豊富．

Moser, G. and Zach, R., “The Epsilon Calculus and HerbrandComplexity”, Studia Logica 82, 133–155 (2006).エルブランの定理を ϵ計算を用いて証明している．本スライドを作成する際に参考にした．

Zach, R., “The practice of finitism: Epsilon calculus andconsistency proofs in Hilbert’s program”, Synthese 137,211–259 (2003).ヒルベルトの有限主義を ϵ計算の観点から分析する歴史研究．


ϵ項の意味

次の三つの文を考えてみよう：「xは学生である」を P [x]と，「xは証明論が好きだ」をQ[x]とおく．

1. どの学生も証明論が好きだ．2. 無作為に選ばれたある学生は証明論が好きだ．3. 証明論が好きな学生がいる．

P [x]をみたすものが存在しないときは，ϵxP [x]は勝手な対象を指すとする．


ϵ項の意味


1. どの学生も証明論が好きだ．∀x(P [x] → Q[x])2. 無作為に選ばれたある学生は証明論が好きだ．?3. 証明論が好きな学生がいる．∃x(P [x] ∧Q[x])



ϵ項の意味


1. どの学生も証明論が好きだ．∀x(P [x] → Q[x])2. 無作為に選ばれたある学生は証明論が好きだ．Q[ϵxP [x]]3. 証明論が好きな学生がいる．∃x(P [x] ∧Q[x])



ϵ項の意味


1. どの学生も証明論が好きだ．∀x(P [x] → Q[x])2. 無作為に選ばれたある学生は証明論が好きだ．Q[ϵxP [x]]3. 証明論が好きな学生がいる．∃x(P [x] ∧Q[x])



ϵ計算の目的

ϵ項でもって 1階量化論理式を表現できる．

(†) ∃xF [x] ⇐⇒ F [ϵxF [x]], (†)’ ∀xF [x] ⇐⇒ F [ϵx¬F [x]].

(†)’は，(†)の中の F [x]を ¬F [x]とおくことで得られる．(†)における (⇐)は 1階述語論理における存在汎化に対応．

(†)における (⇒)に対応するのが，主要論理式 (critical formula)と呼ばれる ϵ計算の公理：

F [t] → F [ϵxF [x]],

ただし tは任意の項である．


ϵ計算の目的

ϵ項でもって 1階量化論理式を表現できる．

(†) ∃xF [x] ⇐⇒ F [ϵxF [x]], (†)’ ∀xF [x] ⇐⇒ F [ϵx¬F [x]].

(†)’は，(†)の中の F [x]を ¬F [x]とおくことで得られる．(†)における (⇐)は 1階述語論理における存在汎化に対応．

(†)における (⇒)に対応するのが，主要論理式 (critical formula)と呼ばれる ϵ計算の公理：

F [t] → F [ϵxF [x]],

ただし tは任意の項である．


PCϵおよびECϵ: 言語の定義

.PCϵの言語L(PCϵ)の語彙..

......

変項：x0, x1, x2, . . .,

関数記号：f0, f1, f2, . . .,

述語記号：⊥, P0, P1, P2, . . .,

論理記号：¬,∧,∨,→, ∀,∃,イプシロン演算子：ϵ,

補助記号：(, ).

L(ECϵ)の語彙 := L(PCϵ)の語彙 \{∀,∃},L(PC)の語彙 := L(PCϵ)の語彙 \{ϵ},L(EC)の語彙 := L(ECϵ)の語彙 \{ϵ}.



.定義 (L(PCϵ)の項および論理式)..

......

L(PCϵ)の項および論理式を以下のように定義する．...1 すべての変項は項である．...2 fiが n項関数記号であり，t1, . . . , tnが項であるとき，fit1 . . . tnも項である．

...3 Piが n項述語記号であり，t1, . . . , tnが項であるとき，Pit1 . . . tnは論理式である．

...4 A,Bが論理式であるとき，(¬A), (A ∧B), (A ∨B), (A → B)も論理式である．

...5 F が論理式であるとき，(∀xF ), (∃xF )も論理式である．

...6 F が論理式であるとき，(ϵxF )は項である．



.定義 (L(PCϵ)の項および論理式)..

......

L(PCϵ)の項および論理式を以下のように定義する．...1 すべての変項は項である．...2 fiが n項関数記号であり，t1, . . . , tnが項であるとき，fit1 . . . tnも項である．

...3 Piが n項述語記号であり，t1, . . . , tnが項であるとき，Pit1 . . . tnは論理式である．

...4 A,Bが論理式であるとき，(¬A), (A ∧B), (A ∨B), (A → B)も論理式である．

...5 F が論理式であるとき，(∀xF ), (∃xF )も論理式である．

...6 F が論理式であるとき，(ϵxF )は項である．



x, y, z：変項，s, t, u：項，A,B,C,D, F：論理式，e：ϵ項，θ：表現 (すなわち，項もしくは論理式)．

A[x/t]という表記でもって，Aにおける xの自由な現れすべてに tを代入して得られる論理式を表すことにする．

ただし，ここでの代入によって新たに変項が束縛されることがないように，代入の前に束縛変項の付け替えを行なう．

どの変項に代入がなされているかが文脈から明らかなとき，A[x/t]をA[t]と略記する．同様の表記を項に対しても用いる．



x, y, z：変項，s, t, u：項，A,B,C,D, F：論理式，e：ϵ項，θ：表現 (すなわち，項もしくは論理式)．

A[x/t]という表記でもって，Aにおける xの自由な現れすべてに tを代入して得られる論理式を表すことにする．

ただし，ここでの代入によって新たに変項が束縛されることがないように，代入の前に束縛変項の付け替えを行なう．

どの変項に代入がなされているかが文脈から明らかなとき，A[x/t]をA[t]と略記する．同様の表記を項に対しても用いる．


PCϵおよびECϵ: 公理の定義

PCϵ・ECϵのどちらもヒルベルト・スタイルの証明体系．

.定義 (ECϵの公理)..

......

ECϵの公理は以下から構成される．...1 L(ECϵ)に属するトートロジー，...2 L(ECϵ)に属する主要論理式：

F [t] → F [ϵxF ].


PCϵおよびECϵ: 公理の定義

.定義 (PCϵの公理)..

......

PCϵの公理は以下から構成される．...1 L(PCϵ)に属するトートロジー，...2 L(PCϵ)に属する量化子公理：

∀xF → F [t], F [t] → ∃xF,

...3 L(PCϵ)に属する主要論理式：

F [t] → F [ϵxF ].


PCϵおよびECϵ: 証明の定義

.定義 (ECϵにおける証明)..

......

論理式の有限列A1, A2, . . . , Anが ECϵにおける証明であるのは，どの k (1 ≤ k ≤ n)についても次のいずれかが成り立つときである．

Akは ECϵの公理である．

(前件肯定)：ある i, jが存在して

i < k, j < k, Ai = Aj → Ak

である．

ECϵの証明でAが最後に現れるものが存在するとき，Aは ECϵにおいて証明可能であるといい，ECϵ ⊢ Aと表す．



.定義 (PCϵにおける証明)..

......

論理式の有限列A1, A2, . . . , Anが PCϵにおける証明であるのは，どの k (1 ≤ k ≤ n)についても次のいずれかが成り立つときである．

Akは PCϵの公理である．

(前件肯定)：ある i, jが存在して

i < k, j < k, Ai = Aj → Ak

である．



.定義 (PCϵにおける証明, contd.)..

......

(全称汎化)：ある iが存在して

i < k, Ai = B → A[x], Ak = B → ∀xA[x]

である (ただし xはBに自由に現れない)．

(存在汎化)：ある iが存在して

i < k, Ai = A[x] → B, Ak = ∃xA[x] → B

であるときである (ただし xはBに自由に現れない)．

PCϵの証明でAが最後に現れるものが存在するとき，Aは PCϵにおいて証明可能であるといい，PCϵ ⊢ Aと表す．






L(PCϵ)からL(ECϵ)への翻訳

.定義 (L(PCϵ)からL(ECϵ)への翻訳)..

......

L(PCϵ)の表現 θの L(ECϵ)への翻訳 θϵを以下のように定義する．...1 xϵ := x....2 (fit1 . . . tn)

ϵ := fitϵ1 . . . t

ϵn.

...3 (Pit1 . . . tn)ϵ := Pit

ϵ1 . . . t

ϵn.

...4 (A ◦B)ϵ := Aϵ ◦Bϵ, ただし ◦ ∈ {∧,∨,→}.

...5 (¬A)ϵ := ¬Aϵ.

...6 (∀xF )ϵ := F ϵ[x/ϵx¬(F ϵ)].

...7 (∃xF )ϵ := F ϵ[x/ϵx(F ϵ)].

...8 (ϵxF )ϵ := ϵx(F ϵ).



.定義 (L(PCϵ)からL(ECϵ)への翻訳)..

......

L(PCϵ)の表現 θの L(ECϵ)への翻訳 θϵを以下のように定義する．...1 xϵ := x....2 (fit1 . . . tn)

ϵ := fitϵ1 . . . t

ϵn.

...3 (Pit1 . . . tn)ϵ := Pit

ϵ1 . . . t

ϵn.

...4 (A ◦B)ϵ := Aϵ ◦Bϵ, ただし ◦ ∈ {∧,∨,→}.

...5 (¬A)ϵ := ¬Aϵ.

...6 (∀xF )ϵ := F ϵ[x/ϵx¬(F ϵ)].

...7 (∃xF )ϵ := F ϵ[x/ϵx(F ϵ)].

...8 (ϵxF )ϵ := ϵx(F ϵ).



P を 2項述語記号と，Aを ∃x∀yPxyとおくと，

Aϵ = P (ϵxPx(ϵy¬Pxy))(ϵy¬P (ϵxPx(ϵy¬Pxy))y).

...1 ϵy¬Pxyは，与えられた xに対し，Pxyが成り立たない yとしてイプシロン記号 ϵが選んでくる対象である．t[x] :≡ ϵy¬Pxy.

...2 すると，ϵxPx(ϵy¬Pxy)(≡ ϵxPxt[x])は，t[x]による反例構成が失敗する証拠として，すなわち Pxt[x]をみたす xとして ϵが選んでくる対象である．c :≡ ϵxPx(ϵy¬Pxy).

...3 以上をまとめると，Aϵは

Pc(t[c])

と略記できる．つまり，∃x∀yPxyの翻訳 (∃x∀yPxy)ϵは，cが t[x]による反例構成が失敗する証拠であると述べる．








Pc(t[c])









Pc(t[c])









Pc(t[c])



PCϵをECϵに埋め込む

.補題..

......

L(PCϵ)のどの表現 θおよび L(PCϵ)のどの項 tについても，(θ[t])ϵ = θϵ[tϵ]が成り立つ．

.証明........表現 θの長さに関する帰納法による．□

.補題 (PCϵからECϵへの埋め込み補題)........PCϵ ⊢ Aであるならば，ECϵ ⊢ Aϵである．

.証明........PCϵの証明 πの長さに関する帰納法を用いる．



.補題..

......

L(PCϵ)のどの表現 θおよび L(PCϵ)のどの項 tについても，(θ[t])ϵ = θϵ[tϵ]が成り立つ．

.証明........表現 θの長さに関する帰納法による．□.補題 (PCϵからECϵへの埋め込み補題)........PCϵ ⊢ Aであるならば，ECϵ ⊢ Aϵである．

.証明........PCϵの証明 πの長さに関する帰納法を用いる．



.証明, contd...

......

(Basis) πが PCϵのある公理Aひとつだけからなる場合．

(1) Aが L(PCϵ)に属するトートロジーであるとき．

(2) Aが L(PCϵ)に属する主要論理式であるとき．

(3) Aが量化子公理

∀xF → F [t], F [t] → ∃xF

のいずれかであるときは，先の補題より，Aϵは

F ϵ[ϵx¬F ϵ] → F ϵ[tϵ], F ϵ[tϵ] → F ϵ[ϵxF ϵ]

のいずれかになっている．


PCϵをECϵに埋め込む.証明, contd...

......

(Induction Step) π = A1, . . . , An+1とおく．

(1) An+1が PCϵの公理であるとき．

(2) ある i, jが存在して

i < n+ 1, j < n+ 1, Ai = Aj → An+1

であるとき．帰納法の仮定より，ECϵにおけるAϵiの証明

πi = B1, . . . , Bk, AϵiおよびAϵ

jの証明 πj = C1, . . . , Cl, Aϵjが存在す

る．Aϵj = Aϵ

i → Aϵn+1であるから，論理式の有限列

B1, . . . , Bk, Aϵi , C1, . . . , Cl, A

ϵj, A

ϵn+1

は ECϵにおけるAϵn+1の証明になっている．


PCϵをECϵに埋め込む.証明, contd...

......

(3) ある iが存在して

i < n+ 1, Ai = B → A[x], An+1 = B → ∀xA[x]

であるとき．帰納法の仮定より，ECϵにおけるBϵ → Aϵ[x]の証明πiが存在する．あとは，πiの中に現れる xをすべて ϵx¬Aϵ[x]で置き換えれば，ECϵにおけるAϵ

n+1 = Bϵ → Aϵ[ϵx¬Aϵ[x]]の証明が得られる．

(4) ある iが存在して

i < n+ 1, Ai = A[x] → B, An+1 = ∃xA[x] → B

であるとき．(3)と同様である．□






本日の残りの目標.第一イプシロン定理..

......

Aを L(EC)論理式とする．もし PCϵ ⊢ Aであるならば EC ⊢ Aである．

L(EC)論理式Aに対する PCϵでの証明から，超限的要素(すなわち ϵ項)を除去できるということ．

.拡張第一イプシロン定理..

......

A[x1, . . . , xn]を L(EC)論理式とする．また，s1, . . . , snを L(ECϵ)の項とし，ECϵ ⊢ A[s1, . . . , sn]であるとする．このとき，ϵ項を含まない項 tji (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ k)が存在して，

EC ⊢ A[t11, . . . , t1n] ∨ · · · ∨ A[tk1, . . . , t

kn]

である．



......


L(EC)論理式Aに対する PCϵでの証明から，超限的要素(すなわち ϵ項)を除去できるということ．


......


EC ⊢ A[t11, . . . , t1n] ∨ · · · ∨ A[tk1, . . . , t

kn]

である．


本日の残りの目標.エルブランの定理..

......

B ≡ ∃x1 . . . ∃xnAを L(PC)論理式とする，ただしAは量化子なし論理式である．もし PCϵ ⊢ Bであるならば，ϵ項を含まない項tji (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ k)が存在して，

EC ⊢ A[t11, . . . , t1n] ∨ · · · ∨ A[tk1, . . . , t

kn]

である．

PCϵから ECϵへの埋め込み補題と拡張第一イプシロン定理より帰結する．

PCϵで証明可能なB(≡ ∃x1 . . . ∃xnA)と，Bに対する PCϵでの証明 πに対し，有限的意味を与える．ECにも分かるようにBおよび πを翻訳する．


ϵ項がもつ二種類の複雑さ

まず，L(ECϵ)に属する ϵ項の階数 (rank)および次数 (degree)を定義する．

ϵ項に割り当てられるこれら二つの値は，それぞれ，ϵ項に関するある種類の入れ子の深さを表す．

次数および階数は，証明の中の ϵ項を置き換える操作を定式化するのに役立つ．

以下では ECϵにおける証明の中の ϵ項を他の項で置き換える操作を行なうが，この操作を無制限に行なうと，もとは証明であった論理式の列が証明でなくなってしまう．このことを避けるためには置き換え操作を慎重に設計する必要があるが，次数および階数はこの設計の際に役立つ．


ϵ項がもつ二種類の複雑さ

まず，L(ECϵ)に属する ϵ項の階数 (rank)および次数 (degree)を定義する．

ϵ項に割り当てられるこれら二つの値は，それぞれ，ϵ項に関するある種類の入れ子の深さを表す．

次数および階数は，証明の中の ϵ項を置き換える操作を定式化するのに役立つ．

以下では ECϵにおける証明の中の ϵ項を他の項で置き換える操作を行なうが，この操作を無制限に行なうと，もとは証明であった論理式の列が証明でなくなってしまう．このことを避けるためには置き換え操作を慎重に設計する必要があるが，次数および階数はこの設計の際に役立つ．


ϵ項の複雑さ：階数

次のような意味での ϵ項の入れ子を考えてみよう．ある ϵ項 ϵxAの中に他の ϵ項 e1が現れていて，かつ，ϵxAにおける束縛変項 xが e1の中に現れている．

P1を 1項述語記号，P2を 2項述語記号とし，ϵ項 eと e′を

e :≡ ϵxP2x(ϵyP1y), e′ :≡ ϵxP1(ϵyP2yx)

とおくと，eはこの意味での入れ子はもたない一方で，e′はこの意味での入れ子をもつ．

ϵx ++P1 ( ϵy P2 y x )

このことを束縛変項の交差と呼ぶことにしよう．



次のような意味での ϵ項の入れ子を考えてみよう．ある ϵ項 ϵxAの中に他の ϵ項 e1が現れていて，かつ，ϵxAにおける束縛変項 xが e1の中に現れている．

P1を 1項述語記号，P2を 2項述語記号とし，ϵ項 eと e′を


とおくと，eはこの意味での入れ子はもたない一方で，e′はこの意味での入れ子をもつ．

ϵx ++P1 ( ϵy P2 y x )

このことを束縛変項の交差と呼ぶことにしよう．



こうした入れ子は以下のようにして任意に深くなりうる：入れ子をもつ ϵ項 e1自身が，e1を真部分項として含む他の ϵ項 e2に入れ子を生じさせ，さらに e2が他の ϵ項 e3に入れ子を生じさせ，. . .

ϵx1P2x3(

e1︷︸︸︷ϵx2P2x1(ϵyP2x2y))︸︷︷︸

e2

,

e3︷︸︸︷ϵx3P1(ϵx1P2x3(

e1︷︸︸︷ϵx2P2x1(ϵyP2x2y))︸︷︷︸

e2

), . . .

(1コマ目は)ϵ項 eの階数は，eの中の一番外側のイプシロン記号により束縛される変項がどのくらい深く，いまの意味での入れ子を引き起こしているかを表す．




ϵx1P2x3(

e1︷︸︸︷ϵx2P2x1(ϵyP2x2y))︸︷︷︸

e2

,


e1︷︸︸︷ϵx2P2x1(ϵyP2x2y))︸︷︷︸

e2

), . . .





ϵx1P2x3(

e1︷︸︸︷ϵx2P2x1(ϵyP2x2y))︸︷︷︸

e2

,


e1︷︸︸︷ϵx2P2x1(ϵyP2x2y))︸︷︷︸

e2

), . . .



ϵ項の複雑さ：次数

ϵ項の次数は，束縛変項の交差を含んでいない入れ子の深さを表す．


とおくとき，e′の入れ子は束縛変項の交差を含んでいるため，この入れ子は e′の次数を求めるときには考慮されない．考慮されるのは，eがもつような入れ子である．

二つ目の意味での入れ子も任意に深くなることがありうる．


階数と次数の定義

.定義 (次数)..

......

t, sを L(ECϵ)の任意の項と，ϵxF を L(ECϵ)の任意の ϵ項と，Aを L(ECϵ)の任意の論理式とする．

(1) tが ϵxF に従属しているのは，tは ϵxF の真部分項であり，かつ，ϵxF における束縛変項 xが tの中に現れるときである．

(2) tが ϵxF の中で余っているのは，tは ϵxF の真部分項であるが ϵxF に従属していないときである．


階数と次数の定義

.定義 (次数, contd.)..

......

(3) ϵ項 ϵxF の次数 deg(ϵxF )を以下のように定義する．ϵxF のどの真部分 ϵ項も，ϵxF のある部分 ϵ項に従属しているとき：deg(ϵxF ) := 1.そうでないとき：ϵxF のどの部分 ϵ項にも従属していない ϵxFの真部分 ϵ項の中でも，部分項関係に関して極大なものをe1, . . . , enとおく．

deg(ϵxF ) := max{deg(ek) | 1 ≤ k ≤ n}+ 1.

ϵxF が真部分 ϵ項を含まない場合は (3)の一つ目の条項にあてはまるため，deg(ϵxF ) = 1となることに注意しよう．


階数と次数の定義.定義 (階数)..

......

θを L(ECϵ)の任意の表現とし，eを L(ECϵ)の任意の ϵ項とする．任意の変項 xについて，rkx(θ)を以下のように定義する．

x ̸∈ FV (θ)であるとき．rkx(θ) := 0.

x ∈ FV (θ)であるとき．

rkx(θ) :=

0, θが変項であるとき．

max{rkx(tk) | 1 ≤ k ≤ n}, θ = fit1 . . . tnであるとき．

max{rkx(tk) | 1 ≤ k ≤ n}, θ = Pit1 . . . tnであるとき．

max{rkx(A), rkx(B)}, θがA ∧B,A ∨B,A → B

のどれかであるとき．

rkx(A), θ = ¬Aであるとき．max{rkx(F ), rky(F ) + 1}, θ = ϵyF であるとき．


階数と次数の定義.定義 (階数, contd.)..

......

eの階数 rkϵ(e)を次のように定義する：eが ϵxF という形をしているとき，

rkϵ(e) := rkx(F ) + 1.

.注意..

......

階数を上のように定義したのは便宜上のことにすぎない．実際に，

rk′(e) := max({rk′(e1) | e1は eに従属している } ∪ {0}) + 1

と定義すると，rkϵ(e) = rk′(e)

が成り立つ．


階数と次数の定義.定義 (階数, contd.)..

......

eの階数 rkϵ(e)を次のように定義する：eが ϵxF という形をしているとき，

rkϵ(e) := rkx(F ) + 1.

.注意..

......

階数を上のように定義したのは便宜上のことにすぎない．実際に，

rk′(e) := max({rk′(e1) | e1は eに従属している } ∪ {0}) + 1

と定義すると，rkϵ(e) = rk′(e)

が成り立つ．


階数補題.補題 (階数補題)..

......

(1) L(ECϵ)のどの表現 θ[y]，どの変項 xおよびどの L(ECϵ)項 tについても，もし x ̸∈ FV (t)であるならば，rkx(θ[y]) = rkx(θ[t])である．

(2) L(ECϵ)のどの ϵ項 ϵxA[x, y]およびどの L(ECϵ)項 tについても，rkϵ(ϵxA[x, y]) = rkϵ(ϵxA[x, t])が成り立つ．

.証明..

......

項の代入に関する規約より x ̸∈ FV (t)であることと，1.が成り立つことから以下がいえる．

rkϵ(ϵxA[x, y]) = rkx(A[x, y]) + 1 = rkx(A[x, t]) + 1 = rkϵ(ϵxA[x, t]). □



......



......


EC ⊢ A[t11, . . . , t1n] ∨ · · · ∨ A[tk1, . . . , t

kn]

である．

ECϵの証明から ϵ項を除去して，ECの証明を得たい．



......



......


EC ⊢ A[t11, . . . , t1n] ∨ · · · ∨ A[tk1, . . . , t

kn]

である．




......



......


EC ⊢ A[t11, . . . , t1n] ∨ · · · ∨ A[tk1, . . . , t

kn]

である．



第一イプシロン定理の証明のアイデア

任意の L(EC)論理式Aをとり，PCϵ ⊢ Aであるとする．埋め込み補題より，ECϵ ⊢ Aである．

ここで得られた ECϵにおけるAの証明 πからすべての主要論理式を除去して，ECにおけるAの証明を得たい．

簡単のために，πが含む主要論理式は以下がすべてとする：

Γ := {F [t1] → F [ϵxF ], . . . , F [tn] → F [ϵxF ]}.

F [t1] ∨ · · · ∨ F [tn] ∨ (¬F [t1] ∧ · · · ∧ ¬F [tn])で場合分け！






Γ := {F [t1] → F [ϵxF ], . . . , F [tn] → F [ϵxF ]}.







Γ := {F [t1] → F [ϵxF ], . . . , F [tn] → F [ϵxF ]}.




.F [tj]が成り立つ場合..

......

主要論理式の集合 Γの代わりに，Γに現れる ϵxF をすべて tjで置き換えることで得られる論理式の集合を用いる：

Γj := {F [t′1] → F [tj], . . . , F [t′n] → F [tj]}.

F [tj]が成り立つという仮定のもとでは，Γjに属する主要論理式はすべてトートロジーより導ける．あとは πのまねをしてAを導く．

.¬F [t1] ∧ · · · ∧ ¬F [tn]が成り立つ場合..

......

この場合，Γ(= {F [t1] → F [ϵxF ], . . . , F [tn] → F [ϵxF ]})に属する論理式はすべてトートロジーより導ける．同様に πのまねをしてAを導く．



.F [tj]が成り立つ場合..

......

主要論理式の集合 Γの代わりに，Γに現れる ϵxF をすべて tjで置き換えることで得られる論理式の集合を用いる：

Γj := {F [t′1] → F [tj], . . . , F [t′n] → F [tj]}.

F [tj]が成り立つという仮定のもとでは，Γjに属する主要論理式はすべてトートロジーより導ける．あとは πのまねをしてAを導く．

.¬F [t1] ∧ · · · ∧ ¬F [tn]が成り立つ場合..

......

この場合，Γ(= {F [t1] → F [ϵxF ], . . . , F [tn] → F [ϵxF ]})に属する論理式はすべてトートロジーより導ける．同様に πのまねをしてAを導く．


第一イプシロン定理の証明

任意の主要論理式A :≡ F [t] → F [ϵxF ]について，項 tはAに属するという．

Xが有限集合であるとき，Xの要素の個数を#Xと表すことにする．

.定義..

......

πを ECϵにおける任意の証明とする．...1 πに現れる主要論理式に属する ϵ項を，πの主要 ϵ項と呼ぶ．...2 rk(π) := max{rkϵ(e) | eは πの主要 ϵ項である }....3 deg(π, r) :=max{deg(e) | rkϵ(e) = rかつ eは πの主要 ϵ項である }.

...4 or(π, r) := #{e | rkϵ(e) = rかつ eは πの主要 ϵ項である }.


第一イプシロン定理の証明.補題 (置き換え補題)..

......

πを ECϵにおける証明とする．以下をみたす e, e′, B′, Cをとる：

eを，πの主要 ϵ項で rkϵ(e) = rk(π)およびdeg(e) = deg(π, rk(π))をみたす任意のものとする．さらにA[t] → A[e]を，eが属する πの主要論理式の一つとする．

B′ ≡ B[s] → B[ϵyB]を，πの主要論理式の中でe ̸≡ ϵyBをみたす任意のものとする．

Cを，B′の中に現れる eを tで置き換えた結果得られる論理式とする．このとき，

...1 Cは主要論理式である．Cに属する ϵ項を e′とおく．

...2 rkϵ(ϵyB) = rk(π)であるとき，e′と ϵyBは同一である．

...3 rkϵ(e′) = rkϵ(ϵyB).


第一イプシロン定理の証明.証明..

......

B′の中に eが現れないとき，補題が成り立つことは明らか．

(Case 1) B′ = B[s] → B[ϵyB]において表示されている sの現れもしくは ϵyBの現れの少なくとも一つが eの中にある場合：このときCが主要論理式でなくなる可能性があるが，実際はこのケースはありえない．

仮に，B′ ≡ B[s] → B[ϵyB]において表示されている sの現れが eの中にあるとしよう．すると，eは e1[s]という形をしていることになり，B′はB1[e1[s]] → B1[e1[ϵyB1[e1[y]]]]という形をしていることになる．階数補題より，

rkϵ(e) = rkϵ(e1[s]) = rkϵ(e1[y]) < rkϵ(ϵyB1[e1[y]])

がいえるが，このことは rkϵ(e) = rk(π)であることに反する．


第一イプシロン定理の証明.証明..

......

B′の中に eが現れないとき，補題が成り立つことは明らか．

(Case 1) B′ = B[s] → B[ϵyB]において表示されている sの現れもしくは ϵyBの現れの少なくとも一つが eの中にある場合：このときCが主要論理式でなくなる可能性があるが，実際はこのケースはありえない．仮に，B′ ≡ B[s] → B[ϵyB]において表示されている sの現れが eの中にあるとしよう．すると，eは e1[s]という形をしていることになり，B′はB1[e1[s]] → B1[e1[ϵyB1[e1[y]]]]という形をしていることになる．階数補題より，

rkϵ(e) = rkϵ(e1[s]) = rkϵ(e1[y]) < rkϵ(ϵyB1[e1[y]])

がいえるが，このことは rkϵ(e) = rk(π)であることに反する．



.証明, contd...

......

(Case 2) eは sの中に現れるがBの中には現れない場合：このとき，sは s1[e]という形をしているから，論理式Cは

B[s1[t]] → B[ϵyB]

という形になる．Cは確かに主要論理式であり，Cに属するϵ項 e′は ϵyBにほかならない．よって，いまの場合において補題が成り立つことは明らかである．



.証明, contd...

......

(Case 3) eがBの中に現れる場合：このときBはB1[y, e]という形をしており，B′, Cはそれぞれ次の形をしている．

B′ ≡ B1[s, e] → B1[ϵyB1[y, e], e], C ≡ B1[s′, t] → B1[ϵyB1[y, t], t].

仮に rkϵ(ϵyB1[y, e]) = rk(π)とする．項の代入に関する規約よりeは ϵyB1[y, e]のどの部分 ϵ項にも従属していないから，deg(ϵyB1[y, e]) > deg(e)となり，deg(e) = deg(π, rk(π))に反する．よって 2.は空虚に成り立つ．

一方で，階数補題より，

rkϵ(e′) = rkϵ(ϵyB[y, z]) = rkϵ(ϵyB1[y, e]) = rkϵ(ϵyB)

がいえる．よって 3.も成り立つ．□



.証明, contd...

......

(Case 3) eがBの中に現れる場合：このときBはB1[y, e]という形をしており，B′, Cはそれぞれ次の形をしている．

B′ ≡ B1[s, e] → B1[ϵyB1[y, e], e], C ≡ B1[s′, t] → B1[ϵyB1[y, t], t].

仮に rkϵ(ϵyB1[y, e]) = rk(π)とする．項の代入に関する規約よりeは ϵyB1[y, e]のどの部分 ϵ項にも従属していないから，deg(ϵyB1[y, e]) > deg(e)となり，deg(e) = deg(π, rk(π))に反する．よって 2.は空虚に成り立つ．一方で，階数補題より，

rkϵ(e′) = rkϵ(ϵyB[y, z]) = rkϵ(ϵyB1[y, e]) = rkϵ(ϵyB)

がいえる．よって 3.も成り立つ．□



.補題 (オーダー還元補題)..

......

πを ECϵにおけるBの証明とし，eを πの主要 ϵ項で

rkϵ(e) = rk(π), deg(e) = deg(π, rk(π))

をみたすものとする．このとき，Bの ECϵ証明 πeが存在し，

rk(πe) ≤ rk(π), deg(πe, rk(π)) ≤ deg(π, rk(π)),

or(πe, rk(π)) = or(π, rk(π))− 1

が成り立つ．



.証明..

......

eが属する主要論理式の中でも，πの中に現れるものを

A[t1] → A[e], . . . , A[tn] → A[e]

というようにしてすべて列挙し，それぞれCkで表す (1 ≤ k ≤ n)．πの中からこれらの主要論理式を除去して，rkϵ(e

′) = rk(π)となる主要 ϵ項 e′の数が一つ減ったBの証明を構成する．

以下では最初に，各 k (1 ≤ k ≤ n)について，上の主要論理式のどれ一つも用いないA[tk] → Bの証明 πkを構成する．その次に，同様に上の主要論理式のどれ一つも用いない¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn] → Bの証明を構成する．あとはトートロジーA[t1] ∨ · · · ∨ A[tn] ∨ (¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn])に訴えればよい．



.証明..

......


A[t1] → A[e], . . . , A[tn] → A[e]


′) = rk(π)となる主要 ϵ項 e′の数が一つ減ったBの証明を構成する．以下では最初に，各 k (1 ≤ k ≤ n)について，上の主要論理式のどれ一つも用いないA[tk] → Bの証明 πkを構成する．

その次に，同様に上の主要論理式のどれ一つも用いない¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn] → Bの証明を構成する．あとはトートロジーA[t1] ∨ · · · ∨ A[tn] ∨ (¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn])に訴えればよい．



.証明..

......


A[t1] → A[e], . . . , A[tn] → A[e]


′) = rk(π)となる主要 ϵ項 e′の数が一つ減ったBの証明を構成する．以下では最初に，各 k (1 ≤ k ≤ n)について，上の主要論理式のどれ一つも用いないA[tk] → Bの証明 πkを構成する．その次に，同様に上の主要論理式のどれ一つも用いない¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn] → Bの証明を構成する．あとはトートロジーA[t1] ∨ · · · ∨ A[tn] ∨ (¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn])に訴えればよい．



.証明, contd...

......

任意の k (1 ≤ k ≤ n)をひとつ固定しよう．まず，πの中に現れている eをすべて tkで置き換える．すると，どの j (1 ≤ j ≤ n)についても，主要論理式CjはA[t′j] → A[tk]と書き換えられる．ここで ECϵ ∪ {A[tk]} ⊢ A[t′j] → A[tk]がいえることに注意する．

したがって，あとは πを模倣すれば，ECϵ ∪ {A[tk]} ⊢ Bがいえる．よって，演繹定理より，ECϵ ⊢ A[tk] → Bが成り立つことが分かる．

こうして得られた証明を πkとおく．eは πkの主要 ϵ項ではなく，また，πの中の eを tkで置き換えても，置き換え補題より階数rk(π)をもつ ϵ項は同一のままである．それゆえ，or(πk, rk(π)) = or(π, rk(π))− 1が成り立つ．



.証明, contd...

......






.証明, contd...

......






.証明, contd...

......

πkが求める性質をみたすことを確認しよう．どのCjとも異なる πの中の任意の主要論理式B′を考え，B′に属する ϵ項を e′とおく．πの中の eを tkで置き換えることにより，B′は主要論理式Cに変わったとしよう．主要論理式Cに属する ϵ項を e∗で表す．

すると，置き換え補題より rkϵ(e′) = rkϵ(e

∗)であるから，Cに属する ϵ項の階数は変わらない．よって，rk(πk) ≤ rk(π)である．

同様に置き換え補題により，rkϵ(e′) = rk(π)であるときは e′ = e∗

であるから，rk(π)をもつ ϵ項がB′に属している場合はdeg(e∗) = deg(e′)となる．よって，deg(πk, rk(π)) ≤ deg(π, rk(π))がいえる．



.証明, contd...

......








.証明, contd...

......







第一イプシロン定理の証明.証明, contd...

......

次に，どのCkも用いない¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn] → Bの証明を構成しよう．理論 ECϵ ∪ {¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn]}を考えると，この理論においては，各Ck = A[tk] → A[e]を公理ではなく証明可能な論理式とすることができる．したがって，あとは πを模倣することにより ECϵ ∪ {¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn]} ⊢ Bがいえる．ゆえに演繹定理より，ECϵ ⊢ ¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn] → Bの証明 π′が存在する．

πと π′とを比較すると，π′においては eが主要 ϵ項でない点を除けば何も変わらない．よって，π′が

rk(π′) ≤ rk(π), deg(π′, rk(π)) ≤ deg(π, rk(π)),

or(π′, rk(π)) = or(π, rk(π))−̇1

をみたすことが分かる．□


第一イプシロン定理の証明.証明, contd...

......

次に，どのCkも用いない¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn] → Bの証明を構成しよう．理論 ECϵ ∪ {¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn]}を考えると，この理論においては，各Ck = A[tk] → A[e]を公理ではなく証明可能な論理式とすることができる．したがって，あとは πを模倣することにより ECϵ ∪ {¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn]} ⊢ Bがいえる．ゆえに演繹定理より，ECϵ ⊢ ¬A[t1] ∧ · · · ∧ ¬A[tn] → Bの証明 π′が存在する．

πと π′とを比較すると，π′においては eが主要 ϵ項でない点を除けば何も変わらない．よって，π′が

rk(π′) ≤ rk(π), deg(π′, rk(π)) ≤ deg(π, rk(π)),

or(π′, rk(π)) = or(π, rk(π))−̇1

をみたすことが分かる．□高橋優太 (名大・学振) 1 階述語論理に対する ϵ 計算数学基礎論 SS2018 48 / 55


.定理 (第一イプシロン定理)..

......


.証明..

......

埋め込み補題より，ECϵにおけるAの証明 πが存在する．あとは，オーダー還元補題を繰り返し適用すれば，πの中の主要 ϵ項 eをrkϵ(e)が大きい順から除去することができ，主要論理式をまったく含まないAの ECϵ証明が得られる．(厳密にいえば，⟨rk(π), or(π, rk(π))⟩に関する二重帰納法を用いる．)あとは，この証明の中に残った ϵ項をそれぞれ勝手な変項で置き換えれば，AのEC証明が得られる．□


拡張第一イプシロン定理の証明.定義..

......

πを ECϵにおける証明とする．...1 ϵ項 eに関する πの広さとは，πに現れ，かつ eが属する主要論理式の数であるとし，wd(π, e)と表す．

...2 wd(π, r) := max{wd(π, e) | rk(e) = r}+ 1.

.定義..

......

A[x1, . . . , xn]を L(EC)論理式とし，s1, . . . , snを L(ECϵ)の項とする．L(ECϵ)の論理式A′ ≡ A[s1, . . . , sn]の選言拡大とは，

A[s11, . . . , s1n] ∨ · · · ∨ A[sk1, . . . , s

kn]

という形の L(ECϵ)の論理式のことをいう．


拡張第一イプシロン定理の証明.定義..

......

πを ECϵにおける証明とする．...1 ϵ項 eに関する πの広さとは，πに現れ，かつ eが属する主要論理式の数であるとし，wd(π, e)と表す．

...2 wd(π, r) := max{wd(π, e) | rk(e) = r}+ 1.

.定義..

......

A[x1, . . . , xn]を L(EC)論理式とし，s1, . . . , snを L(ECϵ)の項とする．L(ECϵ)の論理式A′ ≡ A[s1, . . . , sn]の選言拡大とは，

A[s11, . . . , s1n] ∨ · · · ∨ A[sk1, . . . , s

kn]

という形の L(ECϵ)の論理式のことをいう．


拡張第一イプシロン定理の証明.補題 (拡張オーダー還元補題)..

......

A[x1, . . . , xn]を L(EC)論理式とする．また，s1, . . . , snを L(ECϵ)の項とし，πを ECϵにおけるA[s1, . . . , sn]の証明とする．さらに，eを πの主要 ϵ項で rkϵ(e) = rk(π), deg(e) = deg(π, rk(π))をみたすものとする．このとき，ECϵにおける

A[s11, . . . , s1n] ∨ · · · ∨ A[s

wd(π,e)+11 , . . . , swd(π,e)+1

n ]

の証明 πeが存在し，

rk(πe) ≤ rk(π), deg(πe, rk(π)) ≤ deg(πe, rk(π)),

or(πe, rk(π)) = or(π, rk(π))− 1.

が成り立つ．


拡張第一イプシロン定理の証明

.証明..

......


B[t1] → B[e], . . . , B[tm] → B[e]

というようにしてすべて列挙する．まず，オーダー還元補題の証明と同様の手法を用いて，ECϵにおける¬B[t1] ∧ · · · ∧ ¬B[tm] → A[s1, . . . , sn]の証明 π′を構成する．

次に，再びオーダー還元補題と同様にして，各 i (1 ≤ i ≤ m)に対して ECϵにおけるB[ti] → A[si1, . . . , s

in]の証明 πiを構成する．


拡張第一イプシロン定理の証明

.証明..

......


B[t1] → B[e], . . . , B[tm] → B[e]

というようにしてすべて列挙する．まず，オーダー還元補題の証明と同様の手法を用いて，ECϵにおける¬B[t1] ∧ · · · ∧ ¬B[tm] → A[s1, . . . , sn]の証明 π′を構成する．

次に，再びオーダー還元補題と同様にして，各 i (1 ≤ i ≤ m)に対して ECϵにおけるB[ti] → A[si1, . . . , s

in]の証明 πiを構成する．


拡張第一イプシロン定理の証明.証明, contd...

......

sm+1k :≡ sk (1 ≤ k ≤ n)とおけば，π′からは論理式

¬B[t1] ∧ · · · ∧ ¬B[tm] → A[s11, . . . , s1n] ∨ · · · ∨ A[sm+1

1 , . . . , sm+1n ]

の ECϵにおける証明 π′′が得られ，各 πiからは論理式

B[ti] → A[s11, . . . , s1n] ∨ · · · ∨ A[sm+1

1 , . . . , sm+1n ]

の ECϵにおける証明 π′iが得られる．

よって，m+ 1 = wd(π, e) + 1であることより，π′′と各 π′iから論

理式A[s11, . . . , s

1n] ∨ · · · ∨ A[s

wd(π,e)+11 , . . . , swd(π,e)+1

n ]

の ECϵにおける証明 πeが得られる．□


拡張第一イプシロン定理の証明.証明, contd...

......

sm+1k :≡ sk (1 ≤ k ≤ n)とおけば，π′からは論理式

¬B[t1] ∧ · · · ∧ ¬B[tm] → A[s11, . . . , s1n] ∨ · · · ∨ A[sm+1

1 , . . . , sm+1n ]

の ECϵにおける証明 π′′が得られ，各 πiからは論理式

B[ti] → A[s11, . . . , s1n] ∨ · · · ∨ A[sm+1

1 , . . . , sm+1n ]

の ECϵにおける証明 π′iが得られる．

よって，m+ 1 = wd(π, e) + 1であることより，π′′と各 π′iから論

理式A[s11, . . . , s

1n] ∨ · · · ∨ A[s

wd(π,e)+11 , . . . , swd(π,e)+1

n ]

の ECϵにおける証明 πeが得られる．□高橋優太 (名大・学振) 1 階述語論理に対する ϵ 計算数学基礎論 SS2018 53 / 55

拡張第一イプシロン定理の証明.補題 (階数還元補題)..

......

A[x1, . . . , xn]を L(EC)論理式とする．また，s1, . . . , snを L(ECϵ)の項とし，πを ECϵにおけるA[s1, . . . , sn]の証明とする．このとき，A[s1, . . . , sn]の選言拡大A′の ECϵにおける証明 π′が存在し，rk(π′) < rk(π)が成り立つ．

.証明..

......

k := or(π, rk(π))とおく．πの主要 ϵ項 eの中から，rkϵ(e) = rk(π),deg(e) = deg(π, rk(π))をみたすものを一つ選び，拡張オーダー還元補題を適用する．すると，A[s1, . . . , sn]の選言拡大A′の ECϵにおける証明 πeが得られる．πと比べると，πeにおいては，rkϵ(e

′) = rk(π)をみたす主要 ϵ項 e′の数が一つ減り，また，rk(πe) > rk(π)となることはありえない．同様にして，拡張オーダー還元補題の適用をあと k − 1回行なう．□


拡張第一イプシロン定理の証明.定理 (拡張第一イプシロン定理)..

......

A[x1, . . . , xn]を L(EC)論理式とする．また，s1, . . . , snを L(ECϵ)の項とし，πを ECϵにおけるA[s1, . . . , sn]の証明とする．このとき，ϵ項を含まない項 tji (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ k)および

A[t11, . . . , t1n] ∨ · · · ∨ A[tk1, . . . , t

kn]

の ECにおける証明が存在する．

.証明..

......

階数還元補題を繰り返し適用し，ある kについて，A(t11, . . . , t

1n)∨ · · · ∨A(tk1, . . . , t

kn)の ECϵにおける証明でしかも主要

論理式を一つも含まないもの π′を得る．あとは，π′の中に残ったϵ項をそれぞれ勝手な変項で置き換える．□


Documents

1階述語論理に対するϵmkikuchi/ss2018files/takahashi1.pdf1. ϵ計算の概要 2. 1階述語論理からϵ計算への埋め込み 3. 第一イプシロン定理・エルブランの定理