Corso di FISICA II Prof. Umberto del Pennino

Contenuti del Corso:

• Elettricità

• Magnetismo

• Ottica

Operatori 1

Elettromagnetismo

Testo: Mazzoldi, Nigro, Voci:"

Elementi di Fisica: Elettromagnetismo

e Onde”

EdiSES

Operatori 2

Due compiti in itinere:

1) interruzione a Novembre (7-11)

2) a fine corso, prima dell’appello ufficiale

Tipo di Compito: 3/4 esercizi e 3/ 4 domande.

Necessaria la sufficienza in entrambi per avere l’esonero dall’appello

ufficiale.

In ogni caso se il voto non soddisfa , si può rifiutarlo e fare un esame

orale integrativo. Possibilità di migliorare di 2-3 punti il voto finale.

Esercizi durante il corso.

Operatori 3

E’ fortemente consigliato (necessario) seguire gli argomenti giorno per

giorno (anticiparli su testo o presentazione PP)

Comodità e rischi della presentazione in PP:

CHIEDETE SEMPRE, SE NECESSARIO, DI RALLENTARE

L’ESPOSIZIONE O FATE DOMANDE SEMPRE!

Preliminari matematici !

Operatori 4

Si definisce CAMPO una zona di spazio nella quale ad ogni punto può

essere associato UNO e UN SOLO valore della grandezza fisica che dà

nome al campo (in un certo istante).

Tale grandezza fisica può essere uno scalare o un vettore, quindi si

hanno Campi scalari e Campi vettoriali.

Nello studio dell’Elettromagnetismo assume un’importanza fondamentale

il concetto di

Campo

Campi e Operatori

Operatori 5

Campi scalari (definiti da un solo valore)

Es.: Temperatura, Pressione, Umidità, Concentrazione di…, Illuminazione,

Intensità sonora,…

Come si può rappresentare un campo scalare?

Tabella: x,y,z,G G(x,y,z)

La superficie avrà un espressione del tipo:

f(x,y,z) = K (costante)

Definiamo Superficie di livello il luogo dei punti nei quali il

campo assume lo stesso valore, funzione delle sole coordinate spaziali

(eventualmente del tempo)

Operatori 6

Al variare della costante K la superficie cambia, quindi abbiamo una

famiglia di superfici di livello

Ma una tale funzione è impossibile da graficare in 2D (foglio) .

F = f(x,y,z)

Operatori 7

Operatori 8

Operatori 9

E’ più facile farlo con una funzione di sole x e y.

Tale grafico, però, è del tutto qualitativo e non ci permette di calcolare i

valori esatti della funzione.

Operatori 10

Per poter valutare meglio i valori del campo dobbiamo intersecare le

Superfici di livello con dei piani paralleli ai piani coordinati.

( Es: z = C, a intervalli regolari)).

Dalla intersezione si ottiene una

Curva di Livello (Iso….. = stesso/a .….)

y = f(x) con z = C

Poi le varie curve possono essere tutte proiettate sullo stesso piano, così

da avere una famiglia di curve piane.

Ogni curva sarà identificata dal suo valore di C

Operatori 11

50 75 100 125 150

30 25 20 15

Operatori 12

ISOBARE (UGUALE PRESSIONE)

Operatori 13

ISOIPSE (UGUALE ALTITUDINE) f costante

1000 m

Operatori 14

Dalle curve di livello si possono capire diverse caratteristiche del Campo.

Ad esempio la distanza tra due curve (L) ci dà la “pendenza” del Campo .

Infatti, a parità di f maggiore è L minore è la pendenza = f/L

Operatori 15

Passiamo a strumenti matematici per caratterizzare i Campi

Campi Scalari

Dato un Campo scalare U

P1(x,y,z)

•

P2(x+dx,y+dy,z+dz) •

dl = dxi + dyj +dzk U1

U2

U2 = U1 +dU dU = U2 - U1 +…

Ricordiamo che dati due vettori

il loro prodotto scalare a • b = axbx + ayby +azbz

a = axi + ayj +azk e b = bxi + byj +bzk

Operatori 16

Il termine al primo ordine :

Cosa rappresenta grad U ?

Il secondo termine , che è un vettore, viene chiamato:

Gradiente dello scalare U: grad U

e viene visto come l’azione dell’operatore gradiente

grad =

sul Campo scalare U

dl = dxi + dyj +dzk e

può essere visto come il prodotto scalare tra

Operatori 17

grad U =

quindi dU = grad U • dl

(N.B. dU e dl sono infinitesimi grad U no!)

Se dl sta su una superficie di livello (U = cost.) dU = 0 (U non varia)

quindi grad U • dl = 0 e dato che dl è arbitrario

grad U deve essere ortogonale alla sup. di livello.

Operatori 18

Qual è il verso di grad U ?

Visto che grad U è formato dalla somma di tre derivate il verso positivo è

quello in cui U cresce.

Se, invece, dl sta lungo la normale alla sup. n, allora dl = dn*

dU = grad U • dl = grad U • dn = | grad U | dn

e si può scrivere = | grad U |

| grad U | è la derivata normale di U ed è il massimo valore che può

assumere la derivata di U.

* def. di normale ad una superficie!

Operatori 19

Se dl dn ( quindi non è perpendicolare alla sup. )

dU = | grad U | dl cos() dU/dl < dU/dn

Quindi, dato un Campo Scalare U, è sempre possibile ricavare un

Campo Vettoriale V = grad U

Non è sempre vero il viceversa:

Dato un Campo Vettoriale non sempre esso è il grad di un Campo Scalare

ma se questo avviene (V = grad U ) allora il Campo V si dice

Conservativo

Operatori 20

Ovviamente

P1

P2 Data un percorso che unisce due punti P1e P2

calcoliamo =

che diventa = U(P2) - U(P1)

che dipende solo dalle coordinate degli estremi e non dal percorso!

Operatori 21

grad U =

Operatori 22

Campi Vettoriali

Nei Campi Vettoriali ad ogni punto dello spazio si deve associare uno e un

solo valore del vettore che definisce il Campo.

(Es.: Il Campo gravitazionale. N.B. Il Vettore è l’accelerazione non il

peso!))

Se in ogni punto consideriamo l’arco infinitesimo di curva alla quale il

vettore è tangente e uniamo tutti gli archi, otteniamo una

Linea di Flusso o di Campo (Forza)

Operatori 23

Le linee di Flusso hanno un verso. Si prende positivo quello che forma un

angolo minore di /2 con il vettore

Se si prende una linea chiusa

e si considerano tutte le linee di flusso che passano per essa si ha un

Tubo di Flusso

Operatori 24

Due linee di flusso non possono incrociarsi !

Un tubo di flusso separa nettamente la porzione di campo spazio interno

da quello esterno.

Operatori 25

Rappresentazione di un campo vettoriale tramite linee di flusso.

In base ad una qualche convenzione, per un segmento o area unitari si

tracciano un numero di linee di campo proporzionali all’intensità del

campo in quel segmento o area.

Sorgente Pozzo

Operatori 26

Possono esserci punti del Campo nei quali per quanto si prendano piccole

le superfici, attraverso di esse passano sempre infinite Linee di Flusso

Se le Linee escono dal punto , esso di definisce Sorgente, se vi entrano

si definisce Pozzo (bisogna considerare anche l’infinito!)

S P S S

Né sorgenti né pozzi Le Linee di Flusso sono chiuse

Operatori 27

d

d d

d n

v dh = dl cos()

dt

Definiamo il Flusso di un Vettore

Operatori 28

dV = d dh = d dl cos() = d v dt cos()

Flusso infinitesimo di v attraverso d = d :

d = dV/dt = v cos() d = v n d = v d

Flusso finito: (v) =

(v) =Flusso del vettore v attraverso la superficie

Operatori 29

Dato che v n d il Flusso può essere positivo o negativo

e il suo segno dipende dalla orientazione relativa di v e n.

d(v) =

Se la superficie è aperta la scelta del verso di n è arbitraria

Se la superficie è chiusa n è sempre rivolta verso l’esterno!

Flusso positivo vuol dire uscente ( n)

Flusso negativo vuol dire entrante (anti n)

I

Operatori 30

L’operatore Divergenza

La divergenza è uno scalare !

Esiste un teorema (Teo. della Divergenza) che afferma che:

è una superficie chiusa e è il volume racchiuso da

(v) =

Dato un Campo vettoriale v (x,y,z) = vx i + vy j + vz k , definiamo

divergenza di v:

div(v) =

Operatori 31

Cioè all’interno di non ci sono ne’ pozzi ne’ sorgenti.

in (v) = out (v)

Se div(v) = 0 in tutto lo spazio, si dice che il Campo vettoriale v è

Solenoidale

Cosa corrisponde al caso (v) = 0 = chiusa

Dato che e sono arbitrari = 0, vuol dire che

div(v) = 0 ovunque nel volume e quindi il valore di div(v) in un

volumetto indica la presenza o assenza di pozzi o sorgenti al suo

interno.

Operatori 32

Se un Campo vettoriale oltre ad essere Solenoidale è anche Conservativo

(v = grad U ) allora si ha

div (v) = div(grad U) = div ( ) = 0

Avendo introdotto l’operatore Laplaciano

0

Operatori 33

Abbiamo visto finora alcuni operatori che si basano tutti sulle derivate

parziali:

di un Campo scalare: grad =

o di un Campo vettoriale: div (v) =

Conviene introdurre un altro operatore che contiene quelle derivare

parziali di un Campo vettoriale non contenute nella divergenza:

rotore (v)

Operatori 34

Il Rotore, che è un vettore, è definito dalle sue componenti:

rotx (v) =

roty (v) =

rotz (v) =

î ĵ k

__ __ __

vx vy vz

ˆ

x

y

z rot(v) = det Metodo diretto:

N.B. ogni componente del rot

non contiene le omologhe

componenti del vettore v

F(x,y,z) = yî – xĵ ( z) [es: F (1,2,3) = 2i -1j +0k]

î ĵ k

__ __ __

y -x 0

ˆ

x

y

z rot(F) =det

rot(F) = 0 î +0 ĵ -2k ˆ

Operatori 35

’

Operatori 36

Esiste un altro teorema ( legato al precedente) riguardo al rotore.

è una curva chiusa (non necessariamente piana) e è una

qualunque superficie (aperta) che ha come contorno.

e ’ aperte

+ ’ chiusa

= (rot(v))

Operatori 37

Alcune proprietà del Rotore

div (rot(v) = 0

Infatti:

div (rot(v) = =

= + + = 0

Dato che il rotore ha sempre divergenza nulla è un vettore Solenoidale !

Operatori 38

Altra proprietà:

rot ( grad U) = 0

Basta verificare: se v = grad U

rotx (v) = = = 0

rotx (v) = roty (v) = rotz (v) = 0

rot (v) = 0 : v = Irrotazionale

v = grad U: v = Conservativo

Quindi se v è Conservativo è anche Irrotazionale

Chiamiamo Nabla questo operatore

e trattiamolo come un vettore.

Operatori 39

Notazione Anglosassone e moderna

grad U = U =

div (v) = =

rot (v) = x v

î ĵ k

__ __ __

vx vy vz

ˆ

x

y

z = det

• U= 2 U =

Operatori 40

grad U = U =

In coordinate cartesiane:

grad U = U =

In coordinate sferiche (r,, )

il gradiente si scrive: