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1. La fuerza magnética 2. La ley de Lorentz 3. Las corrientes y la densidad de corriente 4. La ecuación de continuidad 5. La densidad de corriente y la fuerza magnética 6. La ley de Biot-Savart 7. La divergencia de B 8. El rotacional de B 9. La ley de Ampere 10.El potencial magnético o potencial vectorial 11.El teorema de Stokes 12.Las ecuaciones de Maxwell para la magnetostática 13.Las condiciones de frontera
B
E
v
F q E v B
q
F q E v B
El campo magnético es un campo vectorial definido por la fuerza
magnética o de Lorentz
2
N s Weber DinaTesla =Gauss
C m m StatCB B
J
Es un campo vectorial que nos dice la cantidad de carga que pasa por la unidad de área en la unidad de tiempo
2 2 2 2
C Amp StatC StatA =
m s m cm s cmJ J
dentro de la superficie
cualquiersuperficiecerrada
ˆ
0
dQ J ndS
dt
Jt
Q
j
n̂
alambre
V
F J BdV
F I B dl
r
r
J
02
( )( )
4 V
J r r rB r dV
r rr r
02( )
4
I dl r rB r
r rr r
r
r
I
03( ) ( )
4 V
r rB r J r dV
r r
3
1
Es el potencial y el campo eléctrico de una carga
puntual 1
r r
r rr r
q
0 03
1( ) ( ) ( )
4 4V V
r rB r J r dV J r dV
r rr r
G G G
1 ( )
( ) 1 1 1= ( ) ( ) ( )
G J rr r
J rJ r J r J r
r r r r r r r r
0 01 ( )( ) ( )
4 4V V
J rB r J r dV dV
r r r r
0 ( )( )
4 V
J rB r dV
r r
0 ( )( )
4 V
J rB r dV
r r
0
1 ( )( )
4 V
rE r dV
r r
Electrostática
0B
No existen fuentes ni sumideros del campo magnético.No existen “cargas” magnéticas
0 ( )( )
4 V
J rB r dV
r r
03
3
( )( )
4
pero 0
por lo tanto
0
V
J r r rB r dV
r r
r r
r r
B
No existen fuentes ni sumideros del campo magnético.No existen “cargas” magnéticas
0 ( )( )
4 V
J rB r dV
r r
0 ( )( )
4 V
J rB r dV
r r
2G G G
20 0( ) 1( ) ( )
4 4V V
J rB r dV J r dV
r r r r
G G G
1 1
1
J rJ r J r
r r r r r r
J rr r
20 01 1( ) ( ) ( )
4 4V V
B r J r dV J r dVr r r r
1 1
r r r r
2 14 r r
r r
00
1( ) ( ) ( )
4 V V
B r J r dV J r r r dVr r
00
1( ) ( )
4 V
B r J r dV J rr r
1( )
V
J r dVr r
S V
1 ( ) ( )( )
( ) ( ) =
Como la corriente está acotada
(
V V V
V
J r J rJ r dV dV dV
r r r r r r
J r J rdS dV
r r r r
J
S V
)0
Como la corriente es estacionaria
( ) 0
1 ( ) 0
V
rdS
r r
J r
J r dVr r
00
1( ) ( )
4 V
B r J r dV J rr r
0( )B r J r
0
0
0
B
B J
J
0
0B
B J
Electrostática
0/
0
E
E
0
4
B
B Jc
3 3
( )
Para todo campo vectorial
:
( )
para toda ( ) cuyo contorno sea
S
dl dS
S
R R
0B J
0
S S
B dS J dS
0
S S
B dl J dS
La circulación del campo magnético es igual a por el flujo de corriente eléctrica a través de cualquiera de las superficies cuyo contorno es
0
0
C S S
B dl J dS
I
0
C S C
B dl J dS
I
r
i) es tangencial por simetría
ii) es constante sobre el círculo rojo
2 2
C
C
B dl
B
B
B dl r B rB
I
24S C S C
J dS J dS r J I
r
0
C S C
B dl J dS
S C
2 C
B dl rB J dS I
02 rB I
0 1
2
IB
r
0ˆ
2
IB r
r
0ˆ
2
IB r
r
0
2 2
0 02 22 2 2 2 2 2
02 2
ˆ ˆsin cos
2
1 1, ,0 , ,0
2 2
1, ,0
2
i jIB r
x y
I y x Iy x
x yx y x y x y
IB r y x
x y
0ˆ
2
IB r
r
Se tiene una corriente cilíndrica de densidad J y de área A. Calcular el campo magnético en todos los puntos del espacio
J a
2A a
Se tiene una corriente cilíndrica de densidad J y de área A. Calcular el campo magnético en todos los puntos del espacio
J a
2A a
0
C S C
B dl J dS
Se tiene una corriente cilíndrica de densidad J y de área A. Calcular el campo magnético en todos los puntos del espacio
J a
Radio r
r a2
C
B dl rB
2
S C
J dS J r
02
ˆ2
IB r r
a
Se tiene una corriente cilíndrica de densidad J y de área A. Calcular el campo magnético en todos los puntos del espacio
J a
Radio r
r a2
C
B dl rB
2
S C
J dS J a
2
00
1ˆ ˆ2 2
J a IB r
r r
02
0
ˆ2( )
1 ˆ2
Ir r a
aB rI
r ar
2 202
2 20 02 22 2 2 2
02
ˆ ˆsin cos2
, ,0 , ,02 2
, ,02
IB r x y i j
a
I y x Ix y y x
a ax y x y
IB r y x
a
02
ˆ 2
IB r r r a
a
02
ˆ 2
IB r r r a
a
( )
0
0
0 0 0C
S C
B dl lB lB
J dS Inl
lB Inl
B In
K
B
X
Y
Z
ab
c d
ˆˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ ˆ
0 0 2
b c
a bC
d a
c d
b d
a c
B dl Bi idy Bi kdz
Bi idy Bi kdz
B dy B dy LB
0 0
( )
0
0
0
2
2
ˆ 02
ˆ 02
C S C
B dl BL J dS KL
KB
Kj z
BKj z
K B
B
0
C S S
B dl J dS
0B J
0
0
0
S S
S C S
B J
B dS J dS
B dl J dS
0
0
0
J
B B J
f E J B
0
C S S
B dl J dS
cualquiersuperficie
0B dS
1
2
1B
2B
1̂n
2n̂
K
cualquiersuperficie
0B dS
1 2
1 1
ˆ ˆ0 (1) (2)
ˆ ˆ(1) (2) 0
B n A B n A
B n A B n A
1
2
1B
2B
1̂n
2n̂
K
1 1ˆ ˆ(1) (2) 0B n B n
0
( )C S S
B dl J dS
1
2
1B
2B
1dl
2dl
a b
cd
K
1 2 0
2 1
0
1 2
(1) 0 (2) 0
b c d a
i i
a b c d
t t
B dl B i dl B dl B i dl KL
dl dl
B L B L KL
1
2
1B
2B
1dl
2dl
a b
cd
K
0(1) (2)t tB B K
00 B B J
f E J B
0
0
00
0
B J
B J
J
J
03( ) ( )
4 V
r rB r J r dV
r r
0 ( )( )
4 V
J rB r dV
r r
0 ( )( ) ( )
4 V
J rB r A r A r dV
r r
Para todo campo vectorial
0
G
G G H
00 B B J
0 B BA A
0
0
Sustituyendo en ,B J
A J
20( )A A J
0A J
E
C
0C C
E
A A A
0A A A A B
B A
B A
20( )A A J
0A
2
2
Si 0 ponemos
con
Por tanto 0
A A A
A
A A
0
B A B A
A A
A A
A A
20( )A A J
Norma de Coulomb
0A
0
2A J
20
2
Ecuación de Poisson:
Ecuación de Laplace: 0
A J
A
20
0
/
1 ( )( )
4 V
rr dV
r r
20
20
0
, , , ,
( ) ( )
4
x y z x y z
V
A J
A A A J J J
J rA r dV
r r
0 ( )( )
4
1 ( )
V
J rA r dV
r r
B A
F F F
F J rr r
3 3
03
( ) 1 1 1= ( ) ( ) ( )
1 ( ) = ( )
( )( )
4 V
J rJ r J r J r
r r r r r r r r
r r J r r rJ r
r r r rr r r r
J r r rB r dV
r r
