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台北縣立正德國民中學 九十九學年度第一學期 多媒體教學演示. 2-1 點、直線、圓之間的 位置關係. 教學者:林俐孜 老師. 本章你將會學到. 點與圓的位置關係. 我們可以用點到圓心的距離與半徑的比較得知:. ‧. ‧. 圓內. 圓上. ‧. 圓外. 點與圓的位置關係. 點與圓的位置關係. 隨堂練習 p.58 1. 根據右圖,判斷各紅色的點與圓 O 的位置關係: (1) 在圓外的點是: 。 (2) 在圓上的點是: 。 (3) 在圓內的點是: 。. D 、 E. B 、 C. A. 點與圓的位置關係. - PowerPoint PPT Presentation
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2-1 點、直線、圓之間的位置關係
教學者:林俐孜 老師
台北縣立正德國民中學九十九學年度第一學期
多媒體教學演示
本章你將會學到
點與圓的位置關係
• 我們可以用點到圓心的距離與半徑的比較得知:
圓外
圓上
圓內 ‧‧
‧
點與圓的位置關係
點與圓的位置關係 點在圓內 點在圓上 點在圓外
圖示
點到圓心距離與半徑的比較
< r = r > rOA OB OC
點與圓的位置關係 隨堂練習 p.58
1. 根據右圖,判斷各紅色的點與圓 O 的位置關係:(1) 在圓外的點是: 。(2) 在圓上的點是: 。(3) 在圓內的點是: 。
D 、E
B 、C A
點與圓的位置關係2. 承第 1 題,若此圓的半徑為 r ,分別作 、 、 、 、 五條線段,比較這五條線段與半徑的大小關係。 ( 空格中請填入>、<或= )
(1) r 。 (2) r 。 (3) r 。(4) r 。 (5) r 。
AO BO CO DO EO
AO
BO
CO
DO
EO
<==>>
直線與圓的位置關係
直線 L與圓O不相交
直線M與圓O .相交於一點
直線 N與圓O .相交於兩點
‧
‧
‧
M L
N
N:割線
M:切線
P:切點
直線與圓的位置關係直線與圓的位置關
係
直線 L 與圓 O
不相交直線 L 與圓 O 相
切直線 L 與圓 O 交
於兩點
圖示
圓心到直線的距離與半徑的比較
> r = r < rOP OP OP
已知圓 O 的半徑 = r ,且 L ⊥ 於 A 點。依據右圖,在下列各空格中填入適當的答案。(1) 直線 L 與圓 O 有 個交點。 直線 M 與圓 O 有 個交點。 直線 N 與圓 O 有 個交點。(2) 哪一條直線是圓 O 的切線? 。 哪一條直線是圓 O 的割線? 。
OA OA
1
2
0
L
M
隨堂練習p.61
(3) 設圓心 O 到直線 M 、 N 的距離分別為 r1、 r2,則 r 、 r1、 r2
的長短順序為 > > 。(4) 完成下表對於直線與圓位置關係的描述。
直線與圓的位置關係
直線與圓不相交 直線是圓的切線 直線是圓的割
線
直線與圓的交點數
( 填數字 )
直線與圓心的距離
( 填大於、小於或等於半
徑 )
0 1 2
小於半徑
r2 r r1
等於半徑大於半徑
• 例 1 直線與圓的位置關係 已知圓 O 的直徑為 15 公分,而圓心 O 到四條直線 L 、M 、 N 、 H 的距離分別為 15 公分、 10 公分、7.5 公分、 5 公分,那麼此四條直線分別和圓 O 有幾個交點?哪幾條是切線?哪幾條是割線?
∵圓 O 的直徑為 15 公分→ ∴半徑是 7.5 公分
(1) 圓心到直線 L 、 M 的距離都大於半徑→∴沒有交點
(2) 圓心到直線 N 的距離等於半徑
→∴只有一個交點,且為切線
(3) 圓心到直線 H 的距離小於半徑
→∴有二個交點,且為割線
例 2
OB AB
求切線段的長 如下圖,若直線 AB 為圓 O 的切線,切點為 A ,且圓 O 半徑為 5 , = 13 ,則 為多少?
連接 OA
Ans: 12AB
(1) 如圖 ( 八 ) , P 為圓 O 外一點, 與 為圓 O的兩條切線, M 、 N 為切點。 連接 、 與 在△POM 與△PON 中 ∵ ( 皆為圓 O 的半徑 )
∠PMO =∠PNO = 90°
( 公共邊 )
∴△POM △PON(RHS 全等性質 )
由以上可知 即 P 點到圓 O 的兩條切線 、 會等長。
PM PN
OM ON OP
ONOM
OPOP
PNPM PM PN
若 P 為圓 O 外一點, 、 為圓 O 的兩條切線,M 、 N 為切點,則:
1. 。2. 平分∠MPN 。3. 垂直平分 。
PNPM
PNPM
OP
OP MN
利用△ POM △PON(RHS全等性質 )
(3) 是根據等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊的性質
例 3 圓切線段長的性質 如下圖, P 為圓 O 外一點, 與 為圓 O 的切線, M 、 N 為切點。已知圓 O 半徑為 5 公分, = 10 公分,∠MOP = 60° 。試求:(1) 四邊形 OMPN 的周長。(2)∠MPN 的度數。(3) 的長度。
PNPM
OP
MN
∴∠OMP =∠ONP = 90°
(1) ∵ 與 為圓 O 的切線, M 、 N 為切點PNPM
依據勾股定理 222OPPMOM
222 105 PM
75251002
PM
( 負不合 )35PM
得 35PM
又 35PMPN
∴四邊形 OMPN 的周長= 353555
( 公分 )31010 =
解
∵∠MOP = 60° ,∠OMP = 90°
∴∠MPO = 180° - 60° - 90° = 30°
∠MPN = 2∠MPO = 2×30° = 60°
∴△MPN 為正三角形故 ( 公分 )
35 NPMPMN
MN(3) 連接
在△OMP 中
∵∠MPN = 60° , NPMP
解 (2) 求∠ MPN 的度數。
隨堂練習P.66
如右圖, P 為圓 O 外一點, 與 為圓 O 的切線, M 、 N 為切點。若圓 O 半徑為 8 公分, = 12 公分,則:(1) =?(2) =?
PM PN
PM
OP
MN
(1)
(2)
13420814464128 22 OP
1313
48
134
1282
MN
如右圖,若四邊形 ABCD 各邊分別與圓相切於 E 、 F 、 G 、 H 四點,此時這個四邊形稱為圓外切四邊形,而這個圓稱為四邊形 ABCD 的內切圓。我們可以利用切線的性質找出圓外切四邊形邊長的關係。
說明:∵四邊形 ABCD 各邊分別與圓相切 ∴ , , , 則
AHAE BFBE CGCE DHDG )()( DGCGBEAECDAB
BCAD
)()( CFBFDHAH )()( DHCFBFAH
圓外切四邊形的性質若一個四邊形為圓外切四邊形,則此四邊形兩個對邊的和會相等。
AB CD BCAD 左 + 右 = 上 + 下
如右圖,四邊形 ABCD 各邊分別與圓 O相切於 E、 F、G、 H四點,若 = 10 , = 9,則四邊形ABCD 的周長為多少?
AB CD
∵四邊形 ABCD 為圓外切四邊形∴ = 10 + 9 = 19故周長=
CDABBCAD =
38192 BCADCDAB
隨堂練習P.67
重點複習• 點與圓的位置關係
點在圓內 點在圓上 點在圓外
< r = r > rOA OB OC
1
重點複習• 直線與圓的位置關係2
直線與圓的位置關係
直線 L與圓 O不相交
直線 L為圓 O的切線
直線 L為圓 O的割線
交點個數 0 1 2
圖示
直線與圓心的距離
> r = r < rOP OP OP
重點複習圓的切線性質P 為圓 O 外一點,直線 PA 、直線 PB 切圓 O 於 A 、 B 兩點,則:(1) 圓心與切點的連線必和切線垂直。 ⊥ , ⊥ 。(2) 圓心到切線 ( 或切點 ) 的距離等於半徑。 。(3) 過圓外一點 P 對此圓所作的兩切線段長相等。 。(4) 圓外一點 P 與圓心的連線會平分過此點的兩切線夾角。 ∠APO =∠BPO 。(5) 圓外一點 P 與圓心的連線會垂直平分過此點的兩切線切點 所連接的弦。 ⊥ , 。
OA PA OB PB
rOBOA
PBPA
OP AB BCAC
3
謝謝聆聽回去請記得複習喔!!明天會有個小考 ^^