2-5 ≫ 각종 나사 부품 - KOCWcontents.kocw.net/KOCW/document/2014/Chungbuk/JoHaeyong/... · 2016. 9. 9. · 2-5 ≫ 각종 나사 부품 1. 6각 볼트 및 너트 재료 2:

Chapter 02 나 사 2-1

2-5 ≫ 각종 나사 부품

1. 6각 볼트 및 너트

▪ 재료 : 인장강도 333~441[MPa](35~45[kgf/mm2]),

- 신장률 : 15~30[%] 정도의 냉간 인발강봉이 많이 사용

- 부식의 우려 시 : 청동, 황동, 스테인리스강 등 사용

(1) 6각 볼트

▪ 볼트의 부품 등급 A, B, C : 일반용 나사부품(KS B 0233)

▪ 강도 구분 : 나사의 호칭지름 1.6~39[mm]인 강제

⇒ 볼트의 기계적 성질 표시

- 강제 볼트의 기계적 성질 : KS B 0233과 KS B 1002의 규정에 따른다.


6각 볼트의 종류 및 등급(KS B 1002)


강제 볼트 및 작은 나사의 기계적 성질(KS B 0233)


강제 볼트 및 작은 나사의 기계적 성질 (KS B 0233, JIS B 1051)


호칭지름 6각 볼트(부품 등급 A)의 모양 및 치수(KS B 1002)


(2) 6각 너트

① 6각 너트(hexagon nut) : 나사의 호칭지름에 대한 너트의

호칭높이가 0.8d 이상인 것

② 6각 낮은 너트(hexagon thin nut) : 너트의 호칭높이가

0.8d 미만인 것

▪ 스타일에 의한 구분은 6각 너트에서의 최소높이의 차이를 표시한

것으로서 스타일 2는 스타일 1보다 높다.

▪ 너트 높이에 따라 나사 호칭지름의 0.8d인 보통높이의 너트를

단순히 너트라고 한다.


6각 너트의 종류와 등급(KS B 1012)


6각 너트의 스타일 1(부품 등급 A)의 모양 및 치수(KS B 1012)


2. 일반용 볼트

(1) 관통(貫通) 볼트(through bolt)

(2) 탭 볼트(tap bolt)

(3) 스터드 볼트(stud bolt)

(4) 양 너트 볼트(double nutted bolt)

(5) 리머 볼트(reamer bolt)


일반용 볼트의 종류

리머 볼트


3. 특수 볼트

특수 볼트


4. 특수 너트

특수 너트


5. 각종 나사

(1) 작은 나사(machine screw or cap screw)

(2) 멈춤 나사(set screw)

(3) 나사못(wood screw)

(4) 태핑 나사(self tapping screw)

(5) 헬리 인서트(helicoid insert)


1. 12. 1 일반사항

- 나사끝이 뾰족하고 나사피치도 거칠기 때문에 나사구멍을 작게한다. - 0.4~1.2mm정도의 얇은 강판, 황동판, 알루미늄, 수지, 목재 등에 사용 - 나사의 피치는 2종과 유사하며 끼울 때 구멍찾기가 쉬운 경우에 적합

1종 태핑나사

- 나사의 끼움성이 좋다. - 0.4-5mm 정도의 강판이나 기타 각종재료의 체결에 널리 적용 - 소성변형이 쉬운 주조품이나 합성수지에는 나사에 끝홈 가공을 한 나사절삭형으로 하는 것이 좋다.

2종 태핑나사


1. 12. 1 일반사항

- 나사피치가 미터보통나사와 같다. - 1종이나 2종보다 가늘기 때문에 체결작업시 큰 토크가 필요 함 - 나사끝홈을 가공하여 0.4-12mm 의 강판 기타 소성변형이 어려운 재료의 체결에 쓰임 - 피치가 가늘므로 특히 내진성을 요하는 곳에 사용

3종 태핑나사

- 나사피치, 나사의 바깥지름, 골지름은 2종과 동일 함 - 나사끝 형상이 1종과 같아서 나사의 끼움특성이 1종과 2종의 특성을 함께 갖춘 나사이다.

4종 태핑나사


1. 12. 2 태핑나사의 선택기준

- 피체결재의 판두께, 재질에 따라 그 성능이 크게 좌우됨 - 작용외력을 감안하여 적절한 태핑나사를 선택할 필요가 있다.

태핑나사의 선택기준


1. 12. 4 태핑나사의 체결토크

- 일반적으로 탄성한계(또는 항복점)에 해당하는 토크의 65%를 최대치 - 탄성한계는 나사재료의 성분과 열처리 방법에 따라 다르다. - 태핑나사의 경우 대체로 인장강도가 70~100kgf/㎟ 인 고강도 이므로 항복비를 10~20%로 보면 항복점은 56~90kgf/㎟ 범위에 온다. - 체결시 발생하는 최대응력이 이의 65%에 해당하도록 하면 된다.

수나사의 기능을 고려하여 탄성역체결 원칙


1. 12. 5 특수 태핑나사

- 태핑나사의 성능을 향상하기 위한 방안 - 끼움토크과체결시 파단토크와의 비를 크게 하기 위하여 두꺼운 강판과 나사끼움토크가 크고 작업성이 나쁜 조건에서도 유효한 것

1) 스웨이지 액션형 태핑나사


1. 12. 5 특수 태핑나사

- 태핑나사 스스로 구멍을 뚫고 나사산을 생성할 수 있는 것 - 나사끝의 형상은 드릴 모양(절삭형)과 선단을 더욱 날카롭게 한 것 (돌파형)으로 구분 - 형상의 차이때문에 구멍을 뚫는 능력도 차이가 남 - 피체결재의 판두께에 따른 선택은 그림 1.43을 참고

2) 셀프드릴형 태핑나사


1. 12. 5 특수 태핑나사

- 간단히 타격에 의하여 체결작업이 이루어지나 해체시 빼기가 어려움 - 차량의 바닥판 등에 사용 됨 - 비교적 진동에 강함

3) 타격형 태핑나사


1. 13 나사못(Wood Screws)

- 나무를 나사못으로 체결하면 못에 비하여 진동에 강하고 조립과 분해가 용이 함 - 건축, 가구, 기타 나무제품의 체결에 널리 사용 됨 - 부식으로 인한 체결력의 약화와 녹물을 방지하기 위해 현재에는 연강선, 황동, 알루미늄합금, 스테인리스강 등이 많이 사용 됨

최초로 사용된 체결용 나사

- KS B 1055(홈붙이 나사못) - KS B 1056(+자 홈 나사못) - KS D 3554(연강선재) - KS D 3697(냉간압조용 스테인리스 강선) - KS D 5554(황동선)

관련규격


1. 13 나사못(Wood Screws)

- 머리의 모양에 따라 –자 또는 +자 홈을 붙인 둥근머리 나사못, 접시머리

나사못, 둥근접시머리 나사못 등이 있다. - 나사못의 나사산 각도는 45°~55°이다. - 나사산과 나사산 사이의 골이 넓은 것이 특징 이다. - 나사의 바깥지름과 골지름의 비율은 0.5d~0.75d로 되어있다.

나사못의 종류


작은 나사

멈춤 나사


멈춤 나사의 사용 예

나사 못


태핑 나사

헬리 인서트


6. 와셔(washer)

▪ 와사의 사용 조건

① 볼트 구멍이 클 때

② 너트가 닿는 자리면이 거칠거나 기울어져 있을 때

③ 자리면의 재료가 경금속, 플라스틱, 나무 등과 같이 연질(軟質)

이어서 볼트 체결압력의 지탱이 어려울 때

④ 너트 자리면의 보호, 접촉압력의 분산, 너트 풀어짐의 방지

효과가 필요할 때


평와셔


특수 와셔


1. 11. 7 와셔의 품질 / 도금 또는 방청유 도포

- 보울트와 너트 자리면에 위치 - 접촉면에 주는 면압을 와셔가 흡수 - 피체결제에 함몰과 같이 유해한 소성변형을 방지 - 함몰이 없기 위하여 표면은 어느정도의 경도를 가짐 - 스프링와셔에서 적절한 스프링 반력, 경도, 탄력성, 강도 등 요구됨 - 판재에서 프레스로 와셔 가공시 제쳐지는 부분은 보울트가 와셔에 잘 들어가지 않는다든가 상대물과 사이에 틈이 생기지 않아야 함

- 나사부품 표면의 미관과 방청, 내식, 내산화등 재료의 강도보존 요구 됨 - 적정 마찰계수확보를 위한 아연도금, 인산염, 망간계 인산염 피막등과 같은 방청및 윤활처리를 함

와셔의 품질

도금 또는 방청유 도포


1. 14 와셔(Washers)

- 볼트와 너트의 체결부에 과도한 접촉압력으로 인하여 소성변형이 일어 나거나, 외력으로 부터 나사의 풀림을 동반할 우려가 있는 경우 이를 방지하기 위하여 사용 - 따라서 적절한 표면조도와 접촉성을 가져야 하며 기계적 성질(강도와 경도)도 가져야 함

일반사항

- KS B 1008(철구조물의 고장력결합용 와셔) - KS B 1010(마찰접합용 고장력6각볼트, 6각너트, 평와셔 세트) - KS B 1324(스프링 와셔) - KS B 1325(이붙이와셔) - KS B 1326(평와셔) - KS B 1327(지그 및 부착구용 와셔) - KS B 1328(지그용 C형 와셔)

관련규격


1. 14 평와셔(Washers)

- KS B 1329(접시스프링와셔) - KS B 1341(지그용 고리모양 와셔) - KS B 2005(구름베아링용 와셔 및 멈춤쇠)

* 와셔 재료 관련 규격 - KS D 3501(열간압연 박강판) - KS D 3503(일반구조용 압연강재) - KS D 3512(냉간압연강판) - KS D 5752(기계구조용 탄소강재) - KS D 5505(황동판) - KS D 5503(황동조) - KS D 6701(알루미늄판 및 원판)


1. 14. 1 평와셔(Plain Washers)

- 평판 고리모양에 바깥쪽 둘레의 모양이 원, 4각 등이 있다. - 접촉성을 좋게하는 것이 주기능 - 모양, 치수, 다름질에 제한수치가 제시 - 사용상 해로운 편심이나 휨등이 없어야 함

평와셔


1. 14. 1 평와셔(Plain Washers)

- KS B 1008과 1010의 고장력 또는 마찰접합용을 제외한 일반용 평와셔 의 종류와 적용되는 나사부품은 다음표와 같다.

평와셔


1. 14. 2 풀림방지용 평와셔

- 둥근 평와셔에서 일부에 혀나 갈퀴등을 붙이고 체결후 이 부분을 구부려 나사의 풀림을 방지하는 기능을 갖도록 한 것

풀림방지용 평와셔


1. 14. 3 스프링와셔

와셔에 스프링강성을 주므로서 충격이나 반복적인 외력에 대하여 보다 유연하게 변형에너지를 흡수할 수 있도록 하여 소성변형이나 풀림을 예방하도록 한 것

스프링와셔


1. 14. 4 기타

기타 와셔


7. 나사의 풀림 방지

나사의 풀림 방지 방법


1. 15 각종 풀림방지용 특수형상의 볼트와 너트

- 품림방지용의 특수형상을 가진 볼트와 너트는 용도에 따라 다양하게 개발되어 사용되고 있다. 1) 이완방지용 볼트 2) 이완방지용 너트


1. 15. 1 이완방지용 볼트

- 볼트의 머리나 몸통의 일부분을 원형이 아닌 각형이나 타원형으로 하고 이에 해당하는 구멍에 끼워 맞추어 축직각 방향의 외력이 반복적 으로 작용하여도 볼트가 회전하지 않도록 한 것 - 볼트머리에 이완방지용 핀을 끼울 수 있도록 구멍을 뚫은 것


1. 15. 2 이완방지용 너트

1) 너트 윗부분에 테이퍼를 주고 멈춤부를 2-3개소 두며 너트 자리면에 플랜지를 붙여 풀림방지효과를 증대시킨 것 (그림 1.53 a, e)

2) 너트 윗부분에 테이퍼를 주고 원추부에 절단홈을 내어 이 부분의 스프링성을 이용, 볼트 골지름까지 밀착되도록 죄어붙여서 풀림을 방지하는 것(d)

3) 너트에 풀림방지효과를 주도록 윗부분에 스프링성을 주고 자리면을 확장시킨 것(b)

4) 나이론 등을 나사부에 넣어 체결하는 너트로서 진동에 효과적인 것(c) 5) 너트 본체와 내부에 상부 절단홈을 낸 링을 결합하여 체결력과 스프링성을 함께 갖도록 한 것(f)

6) 너트 상부에 원추형 내부링을 박은 것으로 내부링은 처음에는 볼트의 나사지름보다 크나 너트를 체결하면 내부링의 지름이 볼트의 나사부지름 크기로 축소되어 체결력과 스프링력을 동시에 발생시키도록 한 것(g)


1. 15. 2 이완방지용 너트


3. 1 서론

* 우리나라 공업규격(KS B 0140, 0143) “나사체결” = “수나사와 암나사를 끼워 맞추어 수나사 부품의 축부에 인장력, 피체결부재에 압축력을 주는것” “체결관리”=“체결작업에서 초기 체결력을 관리” * 다른 표현의 “나사체결” “나사체결” =“2개 이상의 물체를 볼트, 작은 나사 등의 수나사부와 너트 또는 물체에 성형된 암나사부와를 끼워맞추어 나사체결로 결합하는 방법 또는 결합한 상태” * 즉 전자의 “나사체결”과 “체결관리”는 동작을 후자의 “나사체결”은 결합의 방법, 상태를 나타냄


3. 1 서론

☞ 나사체결에 대한 요구사항의 만족과 이의 신뢰성 확보를 위하여,

(1) 주어진 설계 조건에 대하여 체결체로서의 기능을 충분히 달성할 수 있는 체결용 부품의 사양을 선정 (2) 사용상태를 고려하여 체결력의 범위를 결정 (3) 생산단계에서는 설계단계에서 지정된 체결력이 확보될 수 있는 방법을 선택, 이 방법의 목표치(최대예장력 또는 체결계수) 결정 (4) 따라서 설계자와 작업자 모두 체결방법의 특징을 충분히 이해해야함


3. 1 서론


3. 1 서론

☞ 표3.1은 일본나사연구협회가 시행한 사나체결에 관한 실태조사결과이며 조사 대상 118개 기업중 약 60%가 나사에 직,간접적으로 연관 이 있는 고장과 애로를 경험 ☞ 주 요인으로 나사의 체결불량에 의한 것이 가장 많이 꼽히고 있음 ☞ 나사의 체결 불량에 기인하여 이완이 발생하고 이것이 피로파괴에 연결된 경우 등을 고려하면 나사 체결체의 트러블 요인으로서 체결에 관계 되는 것의 비율은 반 이상이라고 추측


3. 2 나사체결에 대한 역학적인 고찰

☞ 그림 3.2에 보인 바와 같이 나사의 리드를 이용하여 체결력 Ff를 발생시킨 경우 => 너트나 볼트머리에 토크렌치등 체결용구를 사용하여 얻어지는 체결토크 Tf는 나사면토크 Ts와 자리면 토크 Tw로 나눌 수 있음

3.2.1 체결토크와 체결력과의 관계

wsf TTT +=☞ Ts는 체결력 Ff에 반하는 성질을 띄는데 너트가 나사의 리드를 올라가는데 필요한 토크임.

(3.1)



☞ 그림 3.3에 보인 바와 같이 체결력 Ff가 작용하고 있는 나사의 나사면에 접선력 Us를 작용시켜 나사의 리드를 올라가는 방향으로 운동을 시킨 경우 => Ff,와 Us와의 관계는 나사면에 작용하는 힘의 평형관계로부터 다음과 같이 쓸 수 있다.





fs

s

s

sfsfs

FU

UFFU

βα

µ

βα

µα

ββµββ

tan'cos

1

tan'cos

'cos1)sincos(sincos

−

+=

+=−

,tan,2d

Pπ

β =단 βαα costan'tan =

•P = 나사의 피치 •β = 나사의 리드각 •d2=나사의 유효지름 •α=나사산의 프랭크각 •α’=나사산 직각단면에서의 프랭크각 •μs=나사면 마찰계수

(3.2)




•Ka = 축력토크계수 •Ks = 나사면토크계수 •Kw= 자리면토크계수




☞ 일반적인 체결나사에서는 표 3.2에 보인 바와 같이 나사의 리드각β는 최대 3.6° ☞ 나사산의 산직각단면에서 프랭크 각 α’대신 나사산의 프랭크각 α(통상 30°)를 사용하여도 오차는 극히 적음. ☞ 식 (3.6)에 의하여 자리면에서 마찰토크의 등가지름 Dw를 계산할 때 Do와 Di의 값으로서 KS B 0142(나사면의 유효단면적과 자리면의 부하면적)에 규정된 자리면의 지름 dw와 볼트구멍의 지름 dh등을 참고로 한다.




☞ 나사 부품의 치수가 결정되면 식 (3.9)에서 나사면의 마찰계수 μs와 자리면마찰계수 μw에 대하여 토크계수 K를 계산할 수 있음. ☞ 표 3.3(a)는 토크계수 K의 값이 비교적 크게 되는 보통나사와 보통 6각 볼트,너트의 조합임. ☞ 표 3.3(b)는 K의 값이 비교적 작게 되는 가는 나사와 소형 6각볼트, 너트의 조합에 대하여 μs와 μw에 대한 K값의 계산 예임. ☞ 단, 표 3.3의 값은 어느 것이나 표 3.2의 값을 써서 식 (3.9)에 의하여 계산된 토크계수 K를 평균한 것이다.




☞ 나사면과 자리면의 표면상태 등으로부터 마찰계수의 값이 추정될 수 있으면 이 표에 의하여 토크계수 K의 대략적인 값을 알 수 잇다. ☞ 일반적인 볼트, 너트체결에서는 μs=μw=0.15로 가정하고 K의 표준치로서 0.2를 사용하는 경우가 많다. ☞ 식 (3.8)에서 K가 정해지면 Tf를 지표로하여 Ff를 관리 할 수 있음. 단, 표 3.3의 값은 어느 것이나 표 3.2의 값을 써서 식 (3.9)에 의하여 계산된 토크계수 K를 평균한 것이다. ☞ 그러나 체결과정 중에 K가 일정하여도 볼트가 항복을 일으키면 Tf와 Ff와의 선형관계는 유지되지 않으므로 Tf에 의하여 Ff를 관리할 수 없게 된다.



3.2.2 항복체결축력과 항복체결력토크

☞ 체결시 볼트의 나사골부분은 최소단면적이 되고 다음과 같이 체결축력 Ff에 의한 인장응력 σ와 나사면토크 Ts에 의한 전단응력 τ가 동시에 작용 ☞ As와 dA는 각각 나사의 유효단면적 및 나사의 유효단면적과 같은 면적을 가진 원의 지름이다.

)sec(8

)16/( 233αµ

πππτ

σ

dPdF

dT

AF

sf

A

s

s

f

A

+==

= (3.11)

(3.12)




☞ 인장응력 σ와 전단응력 τ가 동시에 작용하는 복합응력상태에 대한 재료의 항복 조건에 관하여는 여러가지 설이 있다. ☞ 그 중 다음식으로 표시되는 상당응력 σeq가 재료의 단순인장에서의 항복점 또는 강도 σy에 달하면 재료가 항복한다는 von Mises의 변형에너지설이 강제 볼트에 비교적 잘 일치하는 것이 실험적으로 입증됨. ☞ 이 관계를 적용하여 항복체결축력 Ffy을 구할 수 있음.

22 3τσσ +=eq

22 )]sec(

2[31 αµπ

σ

dPd

AF

sA

syfy

++=

(3.13)

(3.14)




☞ 식 (3.14)는 볼트항복시 탄소성모델로 알려져 있음 ☞ 볼트의 원통부가 가장 약한 단면인 신장볼트에서 항복체결축력 Ffy는 식 (3.14)중 dA와 As를 각각 최약단면의 지름과 단면적으로 치환하여 구할 수 있음. ☞ 식 (3.14)로부터 알 수 있는 바와 같이 볼트의 단순인장시 항복점 또는 강도가 σy가 일정하여도 그 값은 μs의 값에 따라 그림 3.4와 같은 변화를 나타냄. ☞ 식 (3.14)로 계산되는 항복체결력 Ffy에 대응하는 항복체결력 토크 Tfy는 식 (3.8)에 의하여 다음식으로 구할 수 있다.




)'sec(2 2 wws

fyfyfy Dd

PFdKFT µαµπ

++== (3.15)


3. 3 목표체결력

☞ 그림 3.7은 2개의 피체결재를 1조의 볼트, 너트로 체결한 모델임. ☞ Ff까지 체결하면 볼트는 λt인 신장, 피체결재는 λc인 압축 발생. ☞ Ff, λt, λc 에 의하여 그림 3.8(a) 와 같은 기본적인 체결선도를 그릴수 있음.



☞ 실제 체결작업에서 초기체결력 Ff는 체결방법 등에 따라 다르지만 그 값은 Ffmax~Ffmin의 사이에서 분산된다. ☞ 초기체결력의 분산에 최대치와 최소치의 비를 체결지수 Q라함.



☞ 체결 후 접촉부의 작은 요철들은 평탄화과정을 거침. ☞ 피체결재의 표면이 소성적으로 함몰한다든가 하면 그림 3.8(b)에 보인바와 같이 초기체결력 Ff는 저하하여 Fpmax, Fpmin사이에 온다. ☞ Ffmax는 나사체결체에 외력이 작용하지 않는 경우 나사부품과 피체결재에 유해한 정도의 변형을 주는지 검토하는 기준값이 됨. ☞ Fp로 체결된 체결체에 그림 3.8(b)와 같이 볼트의 축방향외력 Wa가 작용하면 그중 Ft는 볼트의 인장력에 추가되고, Fc가 피체결재의 압축력을 감소 시키는 힘으로 작용 ☞ Wa중 Ft에 작용하는 비율을 내력계수 φ라 부른다.



☞ φ의 값은 볼트계의 인장스프링상수 Cb와 피체결재계의 압축스프링상수 Cc에 의하여 결정된다. ☞ Wa를 체결선도상에 나타내면 그림 3.8(c)와 같이 된다. ☞(Fpmin-Fc)가 외력이 작용하는 경우 최저의 체결력이 되며 누수 등과 관련된 밀폐기능, 이완 등을 검토하는 값이 됨. ☞ (Fpmin+Fc)는 볼트의 항복등을 검토하는 기준값.

a

t

WF

=φ



☞ 외력이 최소치 0과 최대치 Wa 사이에서 변동하는 반복하중인 경우에는 (Fp+Ft/2)가 볼트에 작용하는 평균하중으로서 Ft/2가 하중진폭이되며 볼트의 피로파괴를 검토하는 값. ☞ 나사체결체 설계시 체결용 부품의 사양선정과 목표로 하는 체결력은 체결작업시의 분산을 고려하여 위에서 언급한 것들을 충분히 검토하여 결정한다.


3. 4 체결력과 자리면압력

3.4.2 자리면과 접합면의 탄성응력상태




☞ 그림 3.9는 나사호칭 M24를 가정한 축대칭 계산모델임. ☞ 피체결재의 접합면은 축방향 변위가 구속되고 볼트축부 단면 A에 주어진 균일한 강제 변위에 의하여 축력이 발생. ☞ 모델은 너트측, 볼트머리측으로 나누어 전자에서는 피체결재의 접합면까지의 두께 L을 바꾸고 피체결재의 외주상에 외력 Wa도 작용시킴 ☞ 후자에서는 평와셔 (두께 t)의 영향도 검토한다. ☞ 재료는 모두 강, 나사면이나 자리면의 접촉부에서는 마찰은 고려하지 않고 면직각방향으로만 힘을 전달.




(a) 자리면압력과 자리면변위

☞ 외력 Wa가 작용하지 않는 경우의 자리면압력 p와 피체결재 표면의 축방향 변위 δo는 그림 3.10과 같은 분포 상태가됨.

☞ 횡축은 볼트구멍반지름(dh/2)에 대한 반지름방향의 위치, 종축은 볼트축의 평균응력 σm에 대한 p와 δo를 나타낸다.

☞ 횡축상에 붙인 ↓ 표는 자리면의 외연위치를 나타낸다. ☞ 그림 3.11과 3.12는 Wa가 작용한 경우에 대하여 판두께 L이 2종류인 경우의 p와 표면변위 δ의 분포상태를 나타냄.

☞ δ는 Wa=0인 경우 δ0에 대한 비율을 나타냄.





☞ 그림 3.11에 의하면 압력분포 p는 판두께 L에 따라 다소 영향을 받고 있음.

☞ L이 작으면 피체결재의 강성이 높아지고 p는 안쪽에서 보다 크게 된다.

☞ 너트측과 볼트머리측의 p를 비교하면 전자의 경우 안쪽 영역에서 보다 높게 되는 경향이 있다.





☞ 너트측에서는 끼워물린 나사부가 있으므로 너트의 높이가 볼트머리의 그 것보다 크게 구속되지 않아 강성이 저하되는 것에 기안한다고 생각할 수 있다.

☞ 표면변위 δo는 자리면의 안쪽 영역을 제외하면 대략 직선적인 분포를 이루는 것과 그 크기가 판 두께 L에 비례하지 않는 것에 주목.

☞ 이는 피체결재의 스프링상수를 구하는 경우 참고됨.





☞ 그림 3.11과 그림 3.12에 의하면 p와 δ에 대한 Wa의 영향은 L이 작은 경우에 크다.

☞ Wa가 가해지면 피체결재는 다소간의 굽힙변형을 하고 접합면에서는 분리가 촉진되게 되며 자리면에서는 단순한 압축변형이 아니라 복잡한 양상을 나타냄.

☞ 내외력비(내력계수) φ를 정확히 구하기 어려운 것은 바로 이러한 상황 때문이다.




(b) 평와셔와 플랜지붙이 자리면의 영향

☞ 평와셔를 사용하면 자리면압력의 분포가 균일하게 되고 자리면 강도에도 좋은 영향을 미친다고 예상할 수 있다.

☞ 그림 3.13은 평와셔의 두께 t를 인수로 한 평와셔의 하면과 피체결물과의 접촉부에서 압력분포를 구한 결과를 보여준다.

☞ 그림 3.10과 같이 안쪽 영역에 있는 높은 압력을 완화하는 효과가 보인다.

☞ 단, t=4mm인 경우 외연(↓의 위치까지)까지는 압력이 작용하지 않고 압력이 0인 부분이 있다.





☞ t가 증가하면 자리면압력을 더 균일화시킬 수 있다. ☞ 따라서 평와셔는 바깥지름을 증가시키는 것이 아니라 두께를 증가시키는 쪽이 압력의 균일화에 유효하다.

☞ 그러나 평와셔는 현저하다고 할 정도로 압력을 균일화시키는 것은 아니다.





☞ 플랜지붙이 볼트, 너트는 평와셔와 유사한 압력분포를 준다.

☞ 플랜지부가 본체와 일체형으로 성형되어 있으므로 자리면 안쪽 영역의 압력은 매우 높은편이다.

☞ 플래지붙이의 경우 자리면에 테이퍼를 붙이고 자리면압력을 균일하게 하려는 시도를 하였다.

☞ 테이퍼각도를 조정하므로서 압력분포상태는 매우 자유롭게 바꿀 수 있다.





☞ 목적에 맞는 테이퍼 각도를 줄 수 있으면 유용하게 사용됨.

☞ 계산에 의하면 적절한 각도는 1도도 되지 않는 값으로 극히 미묘하며 주어진 축력의 크기에 따라서도 크게 변화한다.

☞ 따라서 얼마나 정확히 적절한 각도를 실제로 줄 수 있는가가 이 경우 문제가 된다.




(c) 접합면에서의 접촉상태

☞ 접합면은 피체결재끼리 접촉면을 의미하며 그 면의 접촉상태를 그림 3.9의 너트측 모델을 사용하여 계산한 결과를 기술하였다.

☞ 접합면의 접촉압력분포는 그림 3.14와 같이 된다. 여기서 횡축은 볼트구멍 반지름 dh/2에 대한 위치, 종축은 볼트머리리면의 평균압력 pw에 대한 접촉압력 p의 비율이다.

☞ 그림 중에는 탄성이론에 의하여 구한 결과와 피체결재 스프링상수의 근사적인 추정의 기본적인 방법으로 알려진 Rotscher의 영향원추의 모선을 그려넣었다.




☞ 그림 3.14는 접합면의 분리를 고려하지 않은 경우의 것으로 분리를 고려하여 유한요소해석을 하면 접촉범위가 좁게되고 접촉압력분포도 이에 비례하여 변화한다.

☞ 그림 3.15는 분리를 고려한 계산에 의하여 접합면의 접촉범위의 크기를 정리한 것이다.

☞ 접촉범위는 체결력에는 거의 영향을 주지 않고 판두께 L에 의한 영향이 크다.

☞ 횡축은 볼트구멍 반지름에 대한 L의 비율, 종축은 접촉영역의 반지름 Rw에 대한 볼트구멍 반지름의 비를 잡았다.



3.4.3 자리면 부근의 소성변형

☞ 전항 3.4.2의 경우와 같이 M24를 택하고, 평와셔의 유무가 미치는 영향을 검토한다. 그림 3.16은 평와셔가 있는 경우의 모델임.

☞ 축력은 볼트축부 A에 강제적인 변위를 주어 발생시켰다. ☞ 피체결재에는 표 3.4와 같이 2종류의 재료를 고려하고 항복거동에 대한 재료의 특성은 아래의 식으로 지배되는 것으로 가정.

pe εγσσ +=

상당응력:σ

항복응력:eσ

상당소성변형도:pε가공경화계수:γ




☞ 표 3.4의 Ⅰ은 저탄소강, Ⅱ는 주철(FC20상당)을 가정하고 있으,며 영탄성계수 E의 차이에 의한 영향을 검토하기 위하여 이들은 선택하였음.

☞ 볼트는 강제이고 항상 탄성상태에 있고 평와셔는 강제이며 이에 소성변형을 고려하는 경우에는 재료로서 표 3.4 Ⅰ을 적용한다.




(a) 자리면압력과 소성역의 진전 ☞ 그림 3.17은 피체결재가 재료 Ⅰ이고 평와셔를 사용하지 않은 경우임.

☞ 축력 Fb의 증가에 따라 자리면 부분에서 소성변형의 진전과 자리면 압력 p의 변화상태를 나타내고 있음.

☞ 자리면의 안쪽 영역에서 소성변형이 시작되고 이 부분의 강성이 저하됨에 따라 p는 바깥쪽 영역에서 다음으로 높고 소성영도 바깥쪽으로 넓어진다.




(a) 자리면압력과 소성역의 진전 ☞ 자리면 밑의 3각형역이 소성역으로 되면 급격한 변형이 진전되는 상태가 된다.

☞ 피체결재가 재료 Ⅱ인 경우에는 다소 상황은 달라진다. ☞ 소성역은 안쪽과 바깥쪽에서 병행하여 진행되며 최종적으로는 그림 3.17과 같이 3각형영역이 전부 소성역으로 됨.

☞ 평와셔가 있는 경우에 대하여 그것이 소성변형을 하지 않는 경우와 소성변형을 하는 경우를 비교하면 그림 3.18과 같다.

☞ 평와셔의 강도가 낮으면 그 자신이 소성변형을 한다. 따라서 자리면 강도가 문제인 경우 평와셔의 강도를 고려해야됨.




(b) 축력증가에 의한 자리면부분의 영구변형

☞ 그림 3.16에서 A부의 강제변위에 의하여 달라지는 축력 Fb를 준 후 Fb를 완전히 제거하는 데에는 그림 3.19의 관계를 가정.

☞ A부 에서 구한 영구 변형 δp를 고려한다. ☞ 볼트는 항상 탄성상태로 하였으며 δp는 자리면의 평균적인 영구변위를 나타냄.




(b) 자리면압력과 소성역의 진전 ☞ 평와셔 없이 피체결재가 재료 Ⅰ인 경우 Fb와 δp의 관계에 미치는 볼트구멍지름 dh의 영향과 피체결재가 재료 Ⅱ인 경우의 결과는 그림 3.20과 같다.

☞ 그림에서 예장력의 근사치로서 0.7σyAs(σy:볼트의 항복응력, As:볼트의 유효단면적)를 강도구분 8.8의 경우에 대하여 나타낸것임.

☞ 이때는 자리면의 일부에서 이미 적은 소성변형이 발생하고 있다. ☞ 재료 Ⅰ의 경우가 보다 빨리 크게 소성변형을 일으키고, δp=1~2μm까지는 dh가 작은 쪽이 빨리소성변형을 하나 그 이후는 소성변형이 잘 일으키지 않음.




(b) 자리면압력과 소성역의 진전 ☞ 이러한 이유로 재료Ⅱ의 경우 영탄성계수 E가 작으므로 자리면 압력은 균일화하는 경향이 있다.

☞ 또한 소성변형의 시작은 늦어지며 dh가 작은 경우에는 자리면 안쪽 영역 압력이 좀더 높기 때문에 그 곳의 소성변형이 비교적 빨리 시작됨.

☞ 하지만 자리면의 부하면적이 크기 때문에 일어나는 효과가 나타나는 것으로 풀이됨.




(c) 평와셔가 미치는 영향 ☞ 영구변위 δp에 대하여 평와셔에 미치는 영향을 그림 3.21에 표시.

☞ 2종류의 두께 t를 고려하였고 평와셔가 고강도로서 그 자신은 소성변형을 하지 않는 경우와 저강도로서 소성변형을 하는 경우로 나타냄.

☞ 평와셔가 두꺼울수록 δp는 발생하기 어렵고 진행도 늦어짐. ☞ 그러나 그 효과는 평와셔 자신이 소성변형을 한다고 간과해 버리기 쉬으므로 주의를 요한다.




(d) 축력과 영구변위의 관계 ☞ 그림 3.22는 평와셔 없이 피체결물이 재료 I 과 Ⅱ인 경우 축력 Fb와 영구변위 δp의 관계를 양쪽대수그래프로 표시함.

☞ 꺽인점은 그림 3.22에서 자리면하의 3각형영역 전체가 소성역에 달한 경우에 해당됨.

☞ 이 점을 넘어서면 δp는 Fb의 증가에 따라 급속히 크게 된다.

☞ 꺽인점은 δp=2~4μm인 곳에 있으며 그림에는 이 때의 자리면 평균압력 pw를 기입.




(d) 축력과 영구변위의 관계 ☞ 체결시 어느 정도의 소성변형이 발생하여도 그 이후에 변형이 진행되지 않으면 문제는 없음.

☞ 꺽인점의 위치는 소성변형이 급격히 진전될 우려를 나타내는 한계점이며 자리면강도에서 중요한 기준.



3.4.4 자리면의 접촉면적과 한계면압

☞ 자리면의 면압이 높게 되면 작은 표면요철이 평탄화하는 정도를 넘어 전항 3.4.3에서 기술한 바와 같은 모양으로 피체결재가 소성변형을 함.

☞ 체결시에만 발생하는 것이라면 특별한 문제는 아님. 체결후 외력의 작용이나 Creep 때문에 추가적으로 진행 되면 문제임.

☞ 이러한 현상은 볼트의 최대축력으로부터 계산된 자리면의 평균압력 pw피체결물의 면압허용치보다 작으면 발생 안됨.

☞ 허용치의 한계를 한계면압 pL이라고 함.




☞ 체결시 발생하는 볼트축력 Fb(예장력)와 그 이후의 외력에 의한 추가 축력 Ft를 고려하면 다음 조건이 만족되어야함.

☞ Ab:자리면의 부하면적, φ:내외력비(내력계수), Wa max:피체결재에 작용하는 축방향 외력

☞ 식 (3.19)에서 Ft(=φWamax)의 값을 구하는 것은 일반적으로 어렵다.

btfw AFFp /)( +=

Lbaf pAWF ≤+= /)( maxφ)19.3(




☞ 외력이 작용하여도 볼트 축부의 축방향 평균응력이 항복응력을 넘지 않도록 설계하는 것으로 하고 만일 최대인 축응력 항복응력으로 가정하면 다음식으로 쓸 수 있음.

☞ σy:볼트의 항복응력, As:볼트의 유효단면적 ☞ 자리면의 부하면적 Ab는 자리면의 형상이 원형인 경우 다음 식으로 표시가능.

Lbsyw pAAp ≤= /8.0 σ

)(4

22iob DDA −=

π)21.3(

)20.3(




☞ Do는 자리면의 바깥지름, Di는 자리면의 안지름. ☞ 와셔가 없고 볼트 또는 너트의 자리면지름 dw와 볼트 구멍의 지름 dh로 부터 Ab를 계산하는 경우는 다음과 같다.

☞ 자리면의 형상이 6각, 4각형인 경우를 포함하여 각종 볼트 자리면에 대한 면적을 규격을 이용하여 계산가능.

)(4

22hwb ddA −=

π)22.3(




☞ 한계면압 pL은 각종재료에 대한 실험치를 기초로 정의 ☞ 그림 3.23과 그림 3.24는 Junker가 pL을 구하기 위하여 사용한 실험장치와 저탄소강에 대한 실험 결과.

☞ 그림 3.24에서는 소정의 하중 부하가 끝난 시점을 시작점으로 하여 이로부터 경과한 시간을 횡축에 잡고, 변위의 진행량을 종축으로 나타내었다.

☞ 각종재료에 대하여 이러한 실험으로 Junker는 변위의 진행량이 2μm 정도 이상 되지 않는 하중을 접촉면적으로 나누고 그 값을 각 재료의 한계면압 pL로 하였다.




☞ 각종 재료의 pL에 대하여는 Junker의 실험을 발전시켜 얻은 결과로 보이는 VDI권장 장치를 정리한 것이 표 3.5이다.

☞ 이 값의 이론적 근거는 명확하지 않으며, 전항 3.4.3에서 기술한 피체결재의 자리면에서 소성변형의 진행이나 재료의 점탄성에 의한 시간효과에 대하여 추가적인 검토 필요.

☞ 식(3.19) 또는 (3.20)에서 pw>pL이 되는 경우에는 피체결재를

pL이 보다 큰재료로 바꾸든가 플랜지붙이 볼트, 너트, 평와셔를 사용하여 부하면적 Ab를 크게할 필요가 있음.

☞ 평와셔를 쓰는 경우 그 강도가 낮으면 의미가 없고 pL이 높은 것을 이용하는 것이 요령이다.


3. 5 나사의 체결관리

3.5.5 토크법 체결

☞체결 토크 Tf를 지표로 초기체결력 Ff를 관리하는 토크법 체결은 간단한 수동토크렌치나 동력공구로 실시할 수 있다.

☞ 체결 토크 Tf와 체결력 Ff와의 선형관계에 기초를 두고 있음

☞ 체결토크 Tf의 90% 전후는 체결력 Ff의 직접간계가 없는 나사면과 자리면의 마찰에 의하여 소비됨

☞ 따라서 마찰특성을 충분히 파악해야 함.




☞토크계수와 마찰계수를 다시 쓰면 ☞ 나사면의 마찰계수 μs, 자리면 마찰계수 μw 및 나사부품형상치수의 함수로 표시된 토크계수 K의 값은 다음 인자들에 의하여 영향을 받는다.

)'sec(21

wwds

fwsf

ddPd

K

dKFTTT

µαµπ

++=

=+=




☞나사부품 자신의 인자 (a) 나사의 호칭지름 (b) 피치 (c) 강도 구분 (d) 표면상태 (e) 너트의 형상 ☞ 나사부품의 사용조건에 관한 인자 (f) 윤활상태 (g) 체결부재의 표면상태 (h) 체결속도



3.5.5 토크법 체결 (1) 토크계수와 마찰계수

(a) 토크계수의 분포 ☞ 표 3.6에 보인 6종류의 인자를 택하고 토크계수에 어떠한 인자가 영향을 미치는지 실험.

☞그림 3.35는 실험자료에 대한 분산을 분석하기 위하여 작성한 토크계수 K의 히스트그램

☞ 표면처리와 윤활제가 잘 관리되면 토크계수 K의 분포에서 변동계수는 0.07로 작게 얻어진다.

☞ 하지만 이들의 관리가 충분하지 않으면 변동계수는

0.10~0.14로 비교적 크다




(b) 윤활제의 영향 ☞ 그림 3.37은 표 3.6의 “A1, B1, C2, D1”의 볼트, 너트를 사용하고 성분, 특성이 다른 10 종류의 윤활제에 대하여 토크계수를 구함

☞ 체결속도는 4rpm의 정적체결과, 임팩트 렌치에 의한 동적체결

☞ 정적 체결의 경우 토크계수의 평균치는 윤활제가 액상, 반유동상인 것보다 고체상태 쪽이 낮다

☞ 토크계수의 분산은 윤활제 본래의 윤활효과 외에도 부착성, 유막균일성 등이 상당히 영향을 미침


3. 5 나사의 체결관리 3.5.5 토크법 체결 (1) 토크계수와 마찰계수




(c) 나사면 및 자리면 마찰계수 ☞ 체결토크를 나사면토크와 자리면토크로 나누어 측정하면 나사면마찰게수 μs와 자리면 마찰계수 μw를 구할 수 있다.

☞ Ts와 Tw를 분리하여 측정할 수 있는 체결시험기는 몇가지가 고안되어 있는데 표 3.7은 그림 3.38의 체결시험기로 측정한 윤활제와 표면처리의 조합에서 얻어진 μs , μw 이다

wwf

w

sf

s

DF

T

dPF

T

µ

αµπ

2

)'sec(2 2

=

+=



3.5.5 토크법 체결 (2) 토크법 체결에서 목표치 결정방법

☞ 토크계수 K의 값은 체결 조건에 따라 크게 변한다. ☞ 체결조건을 어느 정도 통일시켜도 ±20% 정도 토크계수의 분산을 피할 수 없다.

☞ 토크법체결에서 이를 고려하여 희망하는 초기체결력에 대하여 목표로하는 체결토크를 결정하지 않으면 안된다.




(a) 체결력의 하한치와 상한치가 주어진 경우 ☞ 그림 3.40에 보인 바와 같이 나사체결체의 설계단계에서 허용하는 체결력의 하한치 Tfl과 상한치 Tfh가 지시되어 실제 체결에서 체결력의 분산의 최소치 Ffmin이 Ffl을 하회하지 않고 최대치 Ffmax가 Ffh를 초과하지 않을 조건으로 목표체결토크 TfA를 결정




☞ 통상 체결력은 주어진 허용한계 중에서도 높은 쪽이 체결성능면에서 유리한 경우가 많으므로 Ffmax=Ffh가 되도록 한다.

☞ 이 경우 체결토크 Tf와 체결력 Ff는 토크계수 K를 이용하여 Tf=KFfd로 나타낼 수 있다.

☞ 체결력이 주어진 허용한계 내에 오도록 하기 위하여는 다음 2개의 조건을 동시에 만족 하여야 한다.

① Ffmax가 Ffh와 일치할 조건: (1+m/100)TfA=KminFfhd ② Ffmin 가 Ffl을 초과하지 않을 조건: (1-m/100)TfA=KmaxFfld




☞ m은 체결용구, 체결중지 등에 대한 체결토크의 편차이고 이를 백분율로 나타낸다.

☞ Kmin과 Kmax는 각각 토크계수 편차의 최소치와 최대치인데 예를 들면 그림 3.40과 같이 토크계수 분포의 평균치 Km과 표준편차 Sk를 써서 나타내기도 한다.


2. 1 나사체결의 역학적 고찰

2.1.1 나사면에서 토크와 축력의 관계

• 4각 나사에서 Fb인 축력이 작용하는 너트를 Uf인 접선력으로 Fb에 거슬려서 회전시킬(올리는 방향) 때 나사면의 리드방향 힘의 평형관계로 부터 다음 식을 얻는다.

(1) 4각나사




βµβββµ

ββµββ

sincossincos

0)cossin(sincos

s

sbf

bfsbf

FU

FUFU

−+

=∴

=+−−

)tan(tan1tan βρ

βµβµ

+=−+

= bs

sb FF

•μs는 나사면에서의 마찰계수 •β는 리드각

βµβµ

tan1tan

s

sbl FU +

−=

)tan( βρ −= bl FU

• Fb인 축력이 작용하고 있는 너트를 Ul인 접선력으로 축력에 순응하는 방향(내리는방향)으로 회전시킬 대에는 윗식의 부호를 음으로 하면 된다. 즉,




• 그림 2.2에서 (a)는 나사산을 반경방향에서 중심으로 향하여 본 그림 (b)는 나사산의 산직각단면 (c)는 축단면

축단면에서 나사산의 반각을 α, 산직각단면에서 산의 반각을 α’ 라하면

βαα costan'tan = 인 관계가 성립한다.

(1) 3각나사




0)cossin(sincos =+−− ββµββ bfsbf FUFU

0)'cos

cos'cos

sin(sincos =+−−αβ

αβµββ bfsbf FUFU

0)'cos

cos(sin)'cos

sin(cos =+−−αβµβ

αβµβ sbsf FU




Fb인 축력이 작용하고 있는 너트를 Uf인 접선력으로 Fb에 거슬려서 회전시킬 때 나사면의 리드방향 마찰력은 그림 2.2(a), (b)의 관계로 부터 얻어지는 Fb의 면직각분력 Fbcosβ/cosα’ 와 Uf의 면직각분력 Ufsinβ/cosα’의 마찰계수 μs를 곱한 것이다.

'cos/'tan αµρ s=

로 두면 식은 단순화 된다.

βα

µ

βα

µ

tan'cos

1

tan'coss

s

bf FU−

+=

)'tan( βρ += bf FU


2. 1 나사체결의 역학적 고찰 2.1.1 나사면에서 토크와 축력의 관계

나사의 평균지름(3각나사의 경우는 유효지름)을 dp라 하면 나사를 조이는 경우 토크 Tf와 푸는 경우의 토크 Tl은 아래식에 dp/2를 곱한것 이다.

)'tan(21

2βρ +== pbf

pf dFU

dT

)'tan(21

2βρ −== pbl

pl dFU

dT

α’ 이 작을 수록 ρ’도 작다. 따라서 3각나사보다 사다리꼴나사가, 사다리꼴 나사보다 4각나사가 조이기 쉽고 풀기도 쉽다. (즉, 3각나사가 체결하기 제일 어렵고 풀기도 제일 어렵다)



2.1.2 나사에서 파괴(항복)법칙

(1) 최대 주응력설

(2) 최대 주변형률설

(3) 최대 전단응력설

22 421

21 τσσ ++ 의 값이 단순인장에 의한 파괴응력이 σy값에 달했을

때 항복이 일어난다.

22 42

12

1 τσσ +++−m

mm

m 의 값이 단순인장에 의한 파괴응력이 σy값에 달했을 때 항복이 일어난다. M은 프와송비의 역수로서 저탄소강의 경우 10/3인 값을 사용한다.

22 4τσ + σy값에 달했을 때 항복이 일어난다.




(4) 최대 변형에너지설 22 3τσ + 의 값이 단순인장에 의한 파괴응력이 σy값에 달했을 때 항복이 일어난다. 최대 주응력설은 취성재료에, 기타 학설은 연성재료에 잘 적용된다.

나사의 재료로서 일반적으로 널리 사용되는 저탄소강, 중탄소강은 연성재료로 볼 수 있으며 이의 파괴거동은 주로 최대 변형에너지설에 의존한다

22 3τσσ +=eq

σeq를 등가응력(equivalent stress)이라 부른다. 수나사의 나사부에서 등가응력 σeq 가 단순인장에 의한 파괴응력 σy의 값에 달하였을때 파괴가 일어나는 것으로 본다.




나사의 경우 어닐링 또는 노말라이징한 중•저탄소강에서는 항복점 σs, 냉간인발 •나사전조 또는 퀜칭-템퍼링한 합금강에서는 내력 σ0.2가 적용한다.

22

22

4)4/( d

Fd

Fππ

σ ==

F인 축인장력이 발생하였을 때 수나사의 유효단면에서 인장응력 σ는

F인 축인장력이 발생하였을 때의 토크가 T일 때, 나사의 유효단면적에서 비틀림에 의한 전단응력 τ는

)'tan(8)16/( 32

32

βρππ

τ +==dd

Fd

T p




y

eq

σσ

σσσσ

78.0

28.1)46.0(3 22

=

=+=

α=30°, β=2°30’ , μs=0.15 (dp/ds)=1.05 로 하고 식에 대입하면

σeq=σy 로 놓으면

즉, 인장응력 σ 가 단순인장에 의한 파괴응력 σy의 0.78배에 달하였을 때 수나사의 골밑이 파괴되기 시작함을 나타낸다.



2.1.3 나사산의 탄성변위

상호 접촉에 의하여 힘을 작용시키고 있는 수나사와 암나사의 나사산은 상식적으로 생각할 수 있는 나사산의 굽힘에 의한 처짐외에도 여러 원인에 의하여 탄성변위를 일으킨다.




단위폭당의 면직각력 w를 x방향분력과 y방향분력으로 나누면 각각 wcosα 및 wsinα 가 된다.

(1) 굽힘에 의한 처짐 δ1

12/)tan2(sin)2/(cos)(

32

2

ααα

yaEwbwyc

dyxd

−−−

=

]tan)(4cot)}(log2)2(1[{4cos3 232

1 αααδ

ac

ba

ab

Ew

e −+−−=

0)(,0)( 00 == == yy xdydx

경계조건과 더불어 풀고 1)( δ==cyx 라 두면




사다리꼴 보의 변형을 평면변형의 문제로 취급하고 ν를 프와송비로 두면

(1) 굽힘에 의한 처짐 δ1

]tan)(4cot)}(log2)2(1[{4cos3)1( 23221 αα

ανδac

ba

ab

Ew

e −+−−−=

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