МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Международный консорциум «Электронный университет»

Московский государственный университет экономики,

статистики и информатики (МЭСИ)

Евразийский открытый институт

Асташова И.В. Никишкин В.А.

Геометрия и топология

Учебное пособие Руководство по изучению дисциплины Практикум Тесты

Москва 2004

2

УДК- 517 ББК – 22.151 А – 91

Асташова И.В., Никишкин В.А. Геометрия и топология. Учебное пособие. / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ). М.: 2004 г., 131 с. Рецензент: Алексей Владиславович Филиновский

доктор физико-математических наук, профессор (кафедра высшей математики МГТУ им. Н.Э. Баумана)

Пособие состоит из четырех разделов: I. Учебное пособие, включающее программу курса. II. Руководство по изучению курса. III. Практикум. IV. Тесты. В пособии приводятся теоретические сведения, примеры решения

типовых задач по основным разделам векторной алгебры, аналитической геометрии, началам теории линейных, метрических, нормированных, евклидовых и топологических пространств и дифференциальной геометрии.

Данное пособие может быть использовано для аудиторной и самостоятельной подготовки студентов, а также для проведения домашних и аудиторных контрольных работ.

Авторы: Асташова Ирина Викторовна кандидат физико-математических наук, доцент Никишкин Валерий Александрович кандидат физико-математических наук, профессор

© Асташова И.В., 2004 © Никишкин В.А., 2004 © Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), 2004

Издание 2-е, исправленное и дополненное

3

Содержание

Введение ................................................................................................................... 4 Содержание курса......................................................................................................................5 Распределение часов по темам и видам учебных занятий ....................................................7 Литература..................................................................................................................................8

I. Учебное пособие..................................................................................................9 Содержание...............................................................................................................................11 II. Руководство по изучению пособия...............................................................151 Содержание............................................................................................................................153 III. Практикум......................................................................................................167 Содержание............................................................................................................................169 IV. Тесты..............................................................................................................243 Содержание...........................................................................................................................245

4

Введение

В пособии приводятся теоретические сведения, примеры решения типовых задач по основным разделам векторной алгебры, аналитической геометрии, началам теории линейных, метрических, нормированных, евклидовых и топологических пространств и дифференциальной геометрии. В основу пособия положен курс, читаемый авторами студентам МЭСИ, обучающимся по специальности 351500 (Математическое обеспечение и администрирование информационных систем). Данное пособие может быть использовано для аудиторной и самостоятельной подготовки студентов, а также для проведения домашних и аудиторных контрольных работ. Пособие может оказаться полезным для студентов МЭСИ, обучающихся по другим специальностям, при изучении разделов «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия» в общем курсе «Высшая математика», а его часть, посвященная теории пространств, – студентам, изучающим курс «Функциональный анализ».

Авторы пособия выражают глубокую благодарность аспирантам И.В. Горючкиной, А.В. Гридневу, Ю.В. Завгородней, Е.С. Карулиной за помощь в подготовке текста.

5

Содержание курса

Тема 1. Векторная алгебра. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Понятие линейной зависимости и линейной независимости. Базис. Проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства, геометрический смысл и выражение в декартовых прямоугольных координатах. Преобразование системы координат (параллельный перенос, поворот).

Тема 2. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой. Отклонение и расстояние точки от прямой.

Тема 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору и проходящей через данную точку. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной двум неколлинеарным векторам. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Нормальное уравнение плоскости. Отклонение и расстояние точки от плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.

Тема 4. Прямая в пространстве. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Прямая как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой). Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Тема 5. Плоскость и прямая в пространстве. Точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые. Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве.

Обзорное занятие. Тест. Тема 6. Кривые второго порядка. Эллипс и его каноническое

уравнение. Исследование формы эллипса. Гипербола и её каноническое

6

уравнение. Исследование формы гиперболы. Парабола и её каноническое уравнение. Исследование формы параболы. Классификация кривых второго порядка. Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду методом Лагранжа, параллельным переносом и поворотом осей координат и методом инвариантов.

Тема 7. Поверхности второго порядка. Основные поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры, вырожденные поверхности. Классификация поверхностей второго порядка. Приведение общего уравнения поверхности к каноническому виду методом Лагранжа.

Тема 8. Множества. Понятие множества. Логическая символика. Основные операции над множествами. Счётность множества. Примеры счётных и несчётных множеств. Системы множеств. Вещественные числа и их изображение на числовой оси.

Тема 9. Линейные пространства. Определение линейного пространства. Примеры. Базис линейного пространства. Разложение элемента линейного пространства по базису.

Тема 10. Метрические пространства. Понятие метрического пространства. Примеры. Открытые и замкнутые множества. Понятие сходимости. Полнота метрического пространства. Примеры полных и неполных метрических пространств.

Тема 11. Нормированные пространства. Понятие нормы. Определение нормированного пространства. Примеры. Понятие сходимости.

Тема 12. Евклидовы пространства. Определение евклидова пространства. Примеры. Понятие ортогонального и ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации.

Тема 13. Топологические пространства. Понятие топологического пространства. Различные способы задания топологий. Аксиомы отделимости. Понятие сходимости. Компактность.

Обзорное занятие. Тест. Тема 14. Элементы дифференциальной геометрии.

Пространственная кривая. Вектор-функция и ее дифференцирование. Кривизна кривой. Формулы для вычисления кривизны плоской кривой. Естественный трехгранник пространственной кривой. Кручение кривой и его вычисление.

7

Распределение часов по темам и видам учебных занятий

Номера тем Лекционные часы

Практические часы

Самостоятельные работы

Всего

1. 3 4 4 11 2. 2 3 4 9 3. 2 2 2 6 4. 2 2 3 7 5. 2 2 4 8 тест 1 0 0 1 6. 4 4 4 12 7. 3 3 4 10 тест 1 0 0 1 8. 2 0 2 4 9. 2 2 2 6 10. 2 2 2 6 11. 2 2 2 6 12. 2 2 2 6 13. 2 2 2 6 тест 0 2 0 2 14. 2 2 3 7

Итого: 34 34 40 108

8

Литература

Основная 1. Асташова И.В., Никишкин В.А. Учебное пособие по курсу «Геометрия и

топология». МЭСИ, 2004. 2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука, 1968. 3. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.:

МГУ, 1998. 4. Клетеник Д.Б. Сборник задач по аналитической геометрии, М.: Наука,

1975. 5. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.

М.: Высшая школа, 1982. 6. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. М.: Наука, ФМ, 1966. 7. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. М.: Наука, 1977. 8. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974. 9. Сборник задач по дифференциальной геометрии (Белько И.В., Ведерников

И.В. и др.). М.: Наука, 1979. 10. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971.

Дополнительная 1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.:

Наука, 1977. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.:

МГУ, 1985. 3. Келли Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1968. 4. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: ЮНИТИ, 1998. 5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и

функционального анализа. М.: Наука, 1968. 6. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. 7. Фиников С.П. Дифференциальная геометрия. Учпедгиз, Москва, 1936. 8. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической

геометрии. М.: Наука, 1976. 9. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.:

Наука, ФМ, 1968.

Асташова И.В. Никишкин В.А.

Геометрия и топология

Учебное пособие

Москва 2004

10

Асташова И.В., Никишкин В.А. Геометрия и топология. Учебное пособие. / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ). М.: 2004 г., 142 с. © Асташова И.В., 2004 © Никишкин В.А., 2004 © Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), 2004

11

Содержание Тема 1. Векторная алгебра ..................................................................15

1.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами.......................... 15 1.1.1. Понятие вектора ......................................................................................................15 1.1.2. Линейные операции над векторами ....................................................................16

1.1.2.1. Операция сложения ............................................................................................16 1.1.2.2. Умножение вектора на число ............................................................................18

1.1.3. Понятие линейной зависимости векторов..........................................................18 1.1.4. Линейные комбинации двух векторов ................................................................19 1.1.5. Линейные комбинации трех векторов ................................................................20 1.1.6. Линейная зависимость четырех векторов..........................................................21 1.1.7. Понятие базиса. Аффинные координаты ...........................................................22 1.1.8. Проекция вектора на ось .......................................................................................23 1.1.9. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве .................23

1.2. Скалярное произведение двух векторов................................................... 25 1.2.1. Определение скалярного произведения ..............................................................25 1.2.2. Геометрические свойства скалярного произведения .......................................25 1.2.3. Алгебраические свойства скалярного произведения .......................................26 1.2.4. Выражение скалярного произведения в декартовых прямоугольных координатах ........................................................................................................................27

1.3. Векторное произведение двух векторов................................................... 27 1.3.1. Правые и левые тройки векторов и системы координат ................................27 1.3.2. Векторное произведение двух векторов ..............................................................28 1.3.3. Геометрические свойства векторного произведения .......................................28 1.3.4. Алгебраические свойства векторного произведения .......................................29 1.3.5. Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка....................29 1.3.6. Выражение векторного произведения в декартовых прямоугольных координатах ........................................................................................................................30 1.3.7. Смешанное произведение трех векторов ............................................................31 1.3.8. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах .............32

1.4. Преобразование системы координат ........................................................ 33 1.4.1. Параллельный перенос ..........................................................................................33 1.4.2. Поворот......................................................................................................................33

Тема 2. Прямая на плоскости ..............................................................35 2.1. Исследование общего уравнения первой степени................................... 35 2.2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом............................ 35 2.3. Угол между двумя прямыми...................................................................... 37 2.4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых............. 37 2.5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки...................... 38 2.6. Нормальное уравнение прямой линии...................................................... 40 2.7. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду . 41 2.8. Расстояние от данной точки до данной прямой ...................................... 42 2.9. Уравнение прямой линии в отрезках ........................................................ 43

12

Тема 3. Плоскость ................................................................................45 3.1. Общее уравнение плоскости...................................................................... 45 3.2. Исследование общего уравнения плоскости............................................ 45 3.3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярную данному вектору .............................................................. 46 3.4. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ),,( 0000 zyxM и параллельной неколлинеарным векторам },,{ 1111 pnml = и

},,{ 2222 pnml = ................................................................................................. 47 3.5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

),,( 1111 zyxM ; ),,( 2222 zyxM ; ),,( 3333 zyxM , не лежащие на одной прямой ................................................................................................................. 48 3.6. Угол между двумя плоскостями................................................................ 49 3.7. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей ...... 49 3.8. Нормальное уравнение плоскости ............................................................ 52 3.9. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду .. 54 3.10. Расстояние от точки до плоскости .......................................................... 56 3.11. Уравнение плоскости в отрезках............................................................. 58

Тема 4. Прямая в пространстве ...........................................................61 4.1. Уравнение прямой в пространстве............................................................ 61 4.2. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой ............................................................... 61 4.3. Некоторые дополнительные предложения и примеры ........................... 63 4.4. Угол между двумя прямыми...................................................................... 63 4.5. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве ....................................................................................................... 64

Тема 5. Плоскость и прямая в пространстве......................................66 5.1. Пересечение прямой и плоскости ............................................................. 66 5.2. Угол между прямой и плоскостью ............................................................ 67 5.3. Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку.................... 67 5.4. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые . 68 5.5. Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.............................................................................................................................. 69 5.6. Расстояние от точки до прямой в пространстве ...................................... 70 5.7. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве ............... 72 5.8. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве ......... 73

Тема 6. Кривые второго порядка ........................................................75 6.1. Геометрический смысл уравнений............................................................ 75 6.2. Две основные задачи .................................................................................. 75 6.3. Окружность ................................................................................................. 76

13

6.4. Эллипс .......................................................................................................... 77 6.5. Гипербола .................................................................................................... 79 6.6. Парабола ...................................................................................................... 80 6.7. Построение точек эллипса, гиперболы и параболы при помощи циркуля и линейки ............................................................................................. 82 6.8. Классификация линий второго порядка на плоскости ........................... 83 6.9. Приведение уравнения второго порядка на плоскости к каноническому виду...................................................................................................................... 84

6.9.1. Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов).................................84 6.9.2. Центр линии второго порядка на плоскости .....................................................86 6.9.3. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка ................................................................................................................................87 6.9.4. Приведение к простейшему виду параболического уравнения .....................88 6.9.5. Классификация линий второго порядка по инвариантам ..............................89

6.9.5.1. Компактная запись общего уравнения .............................................................89 6.9.5.2. Характеристический многочлен........................................................................89 6.9.5.3. Преобразования общего уравнения ..................................................................90 6.9.5.4. Метод вращений .................................................................................................91 6.9.5.5. Перенос начала ...................................................................................................92 6.9.5.6. Таблица классификации линий второго порядка по инвариантам ................94

Тема 7. Поверхности второго порядка ...............................................96 7.1. Эллипсоид и гиперболоид.......................................................................... 96 7.2. Конус второго порядка ............................................................................. 101 7.3. Параболоиды ............................................................................................. 102 7.4. Цилиндры второго порядка ..................................................................... 105 7.5. Прямолинейные образующие .................................................................. 106 7.6. Классификация поверхностей второго порядка в пространстве ......... 107 7.7. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду методом Лагранжа (методом выделения полных квадратов) ........... 110

Тема 8. Множества .............................................................................115 8.1. Основные понятия о множествах, логическая символика ................... 115 8.2. Операции над множествами .................................................................... 115 8.3. Взаимно однозначное соответствие и эквивалентность множеств ..... 117 8.4. Вещественные числа и их изображение на числовой оси .................... 117

Тема 9. Линейные пространства .......................................................123 9.1. Определение линейного пространства ................................................... 123 9.2. Примеры линейных пространств ............................................................ 124

Тема 10. Метрические пространства ................................................127 10.1. Примеры метрических пространств ..................................................... 127

Тема 11. Нормированные пространства...........................................130 11.1. Определение нормированного пространства....................................... 130 11.2. Примеры нормированных пространств ............................................... 130

14

11.3. Пространство непрерывных функций C[a, b] ..................................... 131 11.4. Предел последовательности ................................................................. 132

Тема 12. Евклидовы пространства....................................................133 Тема 13. Топологические пространства ...........................................137

13.1. Топология ................................................................................................ 137 13.2. Топология метрических пространств ................................................... 139 13.3. Непрерывные отображения ................................................................... 140 13.4. Аксиомы отделимости............................................................................ 141 13.5. Компактность .......................................................................................... 142 13.6. Гомотопии................................................................................................ 143 13.7. Примеры................................................................................................... 143

Тема 14. Элементы дифференциальной геометрии ........................145 14.1. Вычисление кривизны кривой............................................................... 146 14.2. Естественный трехгранник пространственной кривой ...................... 148 14.3. Вычисление кручения кривой ............................................................... 148

15

Тема 1. Векторная алгебра

1.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами

1.1.1. Понятие вектора Геометрическим вектором, или просто вектором, будем называть

направленный отрезок в трехмерном пространстве (считаем, что в пространстве задан масштаб). Обозначать вектор будем либо как направленный отрезок символом AB , где точки A и B обозначают соответственно начало и конец данного вектора, либо символом a .

B

a

A

Начало вектора называют точкой его приложения. Длину вектора будем обозначать символом модуля: AB или a . Вектор называется нулевым, если совпадают его начало и конец. Нулевой вектор имеет длину равную нулю. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

a b a

b Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

16

a b

a b

Точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, поэтому изучаемые векторы называют свободными.

1.1.2. Линейные операции над векторами Линейными операциями называют операцию сложения векторов и

операцию умножения векторов на вещественные числа.

1.1.2.1. Операция сложения Суммой ba + двух векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a . Это правило называют “правилом треугольника”.

Свойства операции сложения векторов

1. abba +=+ Доказательство. Приложим два произвольных вектора a и b к общему началу 0. Обозначим A и B концы векторов a и b соответственно и рассмотрим параллелограмм OBCA, где aOABC == , bOBAC == .

B a C b b

0 a A

Из определения 1 и ∆OAC следует, что baOC += , а из ∆OBC следует, что

abOC += . □ Замечание. При доказательстве свойства 1 нами получено правило сложения векторов, называемое “правилом параллелограмма”: если векторы a и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма

17

ba + ( ab + ) этих векторов представляет собой диагональ этого параллелограмма, идущую из общего начала векторов a и b .

2. ( ) ( )cbacba ++=++ Доказательство. Приложим вектор a к произвольной точке 0, вектор b к концу вектора a и вектор c к концу вектора b . Обозначим буквами A, B, C концы векторов a , b и c , тогда

OCBCOBBCABOAcba =+=++=++ )()( OCACOABCABOAcba =+=++=++ )()( .

3. Существует нулевой вектор 0 такой, что aa =+ 0 для любого вектора a . Это свойство вытекает из определения суммы векторов. 4. Для любого вектора a существует противоположный ему вектор a− такой, что 0)( =−+ aa . Доказательство. Определим вектор a− , противоположный вектору a , как вектор, коллинеарный вектору a , имеющий с ним одинаковую длину и противоположное направление. Взятая по определению сумма вектора a с таким вектором - a дает нулевой вектор. Разностью ba − вектора a и вектора b называется такой вектор c , который в сумме с вектором b дает вектор a . Из определения разности и из правила треугольника сложения векторов вытекает правило построения разности ba − : разность ba − приведенных к общему началу векторов a и b представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора b в конец уменьшаемого вектора a .

18

αa α( )a b+ a a b+

0 b αb

1.1.2.2. Умножение вектора на число

Произведением α⋅ a ( a ⋅α) вектора a на вещественное число α называется вектор b , коллинеарный вектору a , имеющий длину a⋅α , и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора a в случае α>0 и противоположное направлению вектора a в случае α<0.

Свойства операции умножения вектора на число 5. baba ααα +=+ )( Доказательство. При “растяжении” сторон параллелограмма в α раз в силу свойств подобия диагональ также “растягивается” в α раз, т.е.

( )baba +=+ ααα .□ 6. aaa βαβα +=+ )( 7. aa )()( αββα = Последние два свойства очевидны из геометрических соображений.

1.1.3. Понятие линейной зависимости векторов Линейной комбинацией n векторов naaa ,,..., 21 будем называть сумму

произведений этих векторов на произвольные вещественные числа: nnaaa ααα +++ ...2211 , (1.1)

где α1, α2, ..., αn – любые вещественные числа. Векторы naaa ,...,, 21 называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа α1, α2, ..., αn, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов обращается в нуль, т.е.

0...2211 =+++ nnaaa ααα . Векторы naaa ,...,, 21 , не являющиеся линейно зависимыми, будем называть линейно независимыми.

a a b−

0 b

19

Приведем другое определение линейно независимых векторов. Векторы naaa ,...,, 21 называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1.1) возможно лишь в случае, когда числа α1 = α2 = ... = αn = 0. Из этих определений следуют два утверждения: 1. Если хотя бы один из векторов naaa ,...,, 21 является нулевым, то эти то эти векторы являются линейно зависимыми. 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

1.1.4. Линейные комбинации двух векторов Теорема 1.1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть векторы a и b линейно зависимы. Докажем их коллинеарность. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа α и β, хотя бы одно из которых не равно нулю, что справедливо равенство

0=+ ba βα .

Пусть β≠0. Тогда abβα

−= . Обозначив βαλ −= , получим ab λ= .

Необходимость доказана. 2) Достаточность. Пусть векторы a и b коллинеарны. Докажем, что они линейно зависимы. Если хотя бы один из них нулевой, то a и b линейно зависимы. Если же вектор a ненулевой, то из коллинеарности векторов a и b следует, что ab λ= , т.е. 0)1( =−+ baλ . □ Следствие 1. Если векторы a и b не коллинеарны, то они линейно независимы. Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора.

20

1.1.5. Линейные комбинации трех векторов Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть три вектора cba ,, линейно зависимы. Докажем их компланарность. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа α, β и γ, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что 0=++ cba γβα .

Пусть γ≠0. Тогда bacγβ

γα

−−= .

Обозначив λ = − αγ

, µ = −γβ , имеем bac µλ += . Если все три вектора

приложены к общему началу О, то отсюда следует, что вектор c равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах aλ и bµ (см. рис. 1.1).

B C

µb c

b 0 A

a λa

рис. 1.1 Но это означает, что векторы cba ,, лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. 2) Достаточность. Пусть векторы cba ,, компланарны. Докажем, что они линейно зависимы. Если какая-нибудь пара из указанных трех векторов коллинеарна, то эта пара линейно зависима и все три вектора cba ,, линейно зависимы. Осталось рассмотреть случай, когда в тройке векторов cba ,, ни одна пара векторов не коллинеарна. Перенесем три компланарных вектора cba ,, на одну плоскость и приведем их к общему началу О (рис.1.1). Через конец C вектора c проведем прямые, параллельные векторам a и b . Обозначим А точку пересечения прямой, параллельной вектору b с прямой, на которой лежит вектор a , а В – точку пересечения прямой, параллельной вектору a , с прямой, на которой лежит

21

вектор b . (Точка пересечения существует, так как векторы a и b не коллинеарны.) Тогда BOAOCOC +== . Так как вектор AO коллинеарен ненулевому вектору a , то aAO λ= . Аналогично, bBO µ= , т.е. bac µλ += . Или )( 01 =−++ cba µλ . □ Следствие 1. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы a и b , для любого вектора c , лежащего в одной плоскости с векторами a и b , найдутся такие вещественные числа λ и µ, что bac µλ += . Следствие 2. Если векторы cba ,, не компланарны, то они линейно независимы.

1.1.6. Линейная зависимость четырех векторов Теорема 1.3. Любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы. Доказательство. Исключим случай, когда какая-нибудь тройка из данных четырех векторов компланарна, так как тогда указанная тройка линейно зависима и, следовательно, все четыре вектора линейно зависимы. Осталось рассмотреть случай, когда среди четырех векторов cba ,, и d никакая тройка векторов не компланарна. Приведем все четыре вектора к общему началу О и проведем через конец D вектораd плоскости, параллельные плоскостям, определяемым парами векторов bacacb , ;,;, . Тогда

D

dС B E

b с

0 a A

COBOAOd ++= . cCObBOaAO γµλ === ,, .

Следовательно,

cbad γµλ ++= . Или )( 01 =−+++ dcba γµλ . □

Следствие. Каковы бы ни были некомпланарные векторы cba ,, , для любого вектора d найдутся такие вещественные числа α, µ и γ, что справедливо равенство

cbad γµλ ++= .

22

1.1.7. Понятие базиса. Аффинные координаты

Три линейно независимых вектора cba ,, образуют в пространстве базис, если любой вектор d может быть представлен в виде линейной комбинации векторов cba ,, . Аналогично определяется базис на плоскости π. Два лежащих в плоскости π линейно независимых вектора a и b образуют базис на этой плоскости, если любой лежащий в этой плоскости вектор c может быть представлен в виде линейной комбинации векторов a и b . Имеют место следующие утверждения:

1. Любая тройка некомпланарных векторов cba ,, образует базис в пространстве;

2. Любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов a и b образует базис на этой плоскости.

Теорема 1.4. Каждый вектор d может быть единственным способом разложен по базису cba ,, :

cbad γµλ ++= . Числа λ, µ, γ называются координатами вектора d относительно базиса

cba ,, . Доказательство. Пусть таких разложений два:

cbad γµλ ++= и cbad 111 γµλ ++= . Вычитая почленно, получаем

( ) ( ) ( ) 0111 =−+−+− cba γγµµλλ . В силу линейной независимости базисных векторов cba ,, имеем

111111 =,=,= или 0,=- 0,=- , 0 γγµµλλγγµµλλ =− . Единственность разложения по базису доказана. □ Теорема 1.5. При сложении двух векторов 1d и 2 d их координаты складываются. При умножении вектора 1d на любое число α все его координаты умножаются на это число. Доказательство. Пусть c+b+a=d , 22221111 γµλγµλ cbad ++= . Тогда в силу свойств линейных операций

23

( ) ( ) ( )cbadd 21212121 γγµµλλ +++++=+ . ( ) ( ) ( )cbad 1111 αγαµαλα ++= .

В силу единственности разложения по базису теорема доказана. Аффинная координата в пространстве определяется заданием базиса cba ,, и некоторой точки О, называемой началом координат. Аффинными координатами любой точки М называются координаты вектора МO (относительно базиса cba ,, ).

Свойства базиса и понятие аффинных координат на плоскости аналогичны случаю пространства.

1.1.8. Проекция вектора на ось Проекцией вектора BAa = на ось U называется величина 11BA направленного отрезка 11BA оси U, где 11 , BA – основания перпендикуляров, опущенных на ось U из точек A и B соответственно. Теорема 1.6. Проекция вектора a на ось U равна длине вектора a , умноженной на косинус угла ϕ наклона вектора a к оси U. Доказательство.

a B

A ϕ C V

′A ′B U

Обозначим через V ось, проходящую через начало A вектора a и имеющую тоже направление, что и ось U, и пусть C –проекция B на ось V. ∠BAC = ϕ, 11BA = AC.

Так как по определению прv11BAa = , то прv ACa = . Но ABAC = cosϕ = a cosϕ.

Следовательно, прv ϕcosaa = . □

1.1.9. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве Декартова система координат является частным случаем аффинной

системы, отвечающим тройке взаимно ортогональных и единичных базисных

24

векторов kji ,, . Принято направления векторов kji ,, брать совпадающими с направлением декартовых осей Ox, Oy, Oz соответственно. Нами получено, что любой вектор d может быть разложен, причем единственным способом, по декартову прямоугольному базису kji ,, , т.е. для каждого вектора d существует единственная тройка чисел X, Y, Z такая, что

kZjYiXd ++= . Числа X, Y, Z называются декартовыми прямоугольными координатами вектора d . Если M – любая точка пространства, то декартовы прямоугольные координаты этой точки совпадают с декартовыми прямоугольными координатами вектора OM . Вектор kZjYiXd ++= будем также записывать в виде { }ZYXd ,,= . Теорема 1.7. Декартовы прямоугольные координаты вектора d равны проекциям этого вектора на оси OX, OY и OZ соответственно. Доказательство.

D

dС B

k j

0 i A

OCOBAOODd ++== . , ,O A X i O B Yj O C Zk= = =

XOA = , так как из iXOA = и того, что i =1,получаем XOA = . Но знаки OA и X совпадают, так как когда векторы OA и i направлены в одну сторону, оба числа OA и X положительны, а в случае когда векторы OA и i направлены в противоположные стороны, оба числа OA и X отрицательны. Т.е. OA = X. Аналогично OB = Y, OC = Z. □

Обозначим α, β, γ углы наклона вектора d к осям Ox, Oy, Oz соответственно. Числа γβα cos,cos,cos называют направляющими косинусами вектора d . Из теорем 1.6 и 1.7 имеем

γβα cos= ,cos= ,cos dZdYdX = (1.2) Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то из равенств OA = X, OB = Y, OC = Z получим выражение для длины вектора d через его координаты:

25

d X Y Z= + +2 2 2 (1.3) Из формул (1.2) и (1.3) имеем:

.cos,=cos , cos222222222 ZYX

Z

ZYX

Y

ZYX

X

++=

++++= γβα

Возводя в квадрат и складывая последние равенства, получим .1coscoscos 222 =++ γβα

1.2. Скалярное произведение двух векторов

1.2.1. Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное

произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение будем обозначать символом ( )ba , , тогда если ϕ – угол между векторами a и b , имеем

( ) ϕcos, ⋅⋅= baba (1.4) Можно сформулировать другое определение скалярного произведения двух векторов. Из теоремы 1.6 имеем:

ϕcosb=baпр (проекция вектора b на ось вектора a ).

Отсюда получаем ( ) baba aпр⋅=, или ( ) abba bпр⋅=, . (1.5)

1.2.2. Геометрические свойства скалярного произведения Теорема 1.8. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть векторы a и b ортогональны, ϕ- угол между ними. Тогда cosϕ = 0 и, в силу формулы (1.4), ( ) 0, =ba . 2) Достаточность.

26

Пусть ( )a b⋅ = 0. Докажем, что векторы a и b ортогональны. Если хотя бы один из векторов a или b является нулевым, то он ортогонален любому вектору. Если же векторы a и b ненулевые, то 00 >> ba , , поэтому из равенства ( ) 0cos, =⋅= ϕbaba вытекает, что cosϕ = 0, т.е. векторы ортогональны. □ Замечание. Углом между двумя векторами считаем тот, который не превосходит π. (0 ≤ ϕ ≤ π) Из формулы (1.4) следует Теорема 1.9. Два ненулевых вектора a и b составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).

1.2.3. Алгебраические свойства скалярного произведения 1. ( ) ( )abba ,, = 2. ( )( ) ( )baba ,, αα = 3. ( )( ) ( ) ( )cbcacba ,,, +=+ 4. ( ) 0, >aa , если a – ненулевой вектор, и ( ) 0, =aa , если a – нулевой вектор. Доказательство. Свойство 1 следует из формулы (1.4). Свойство 2 получается из формулы (1.5) скалярного произведения: ( )( ) ( ) ( )baababba bb ,, αααα =⋅=⋅= прпр .

Свойство 3 получаем из свойств линейности проекции вектора на ось

( ) baba ccc прпрпр +=+ и формулы (1.5) : ( )( ) ( ) ( )( ) ( ).,,

,

cbca

bcacbacbaccba ccccc

+=

=+⋅=+⋅=+⋅=+ прпрпрпрпр

Свойство 4 вытекает из (1.4): ( ) 2, aaa = .□

27

1.2.4. Выражение скалярного произведения в декартовых прямоугольных координатах

Теорема 1.10. Если два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами

{ }111111 ZYXkZjYiXa ,,=++= , { }222222 ZYXkZjYiXb , , =++= ,

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

( ) 212121, ZZYYXXba ++= . Доказательство. По формуле (1.4) ( ) 11110cos, =⋅⋅=⋅⋅= iiii , также ( ) ( ) 1,1, == kkjj , .

( ) 00112

cos, =⋅⋅=⋅⋅=πjiji , также ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,,, ===== jkikkjijki .

Используя алгебраические свойства скалярного произведения, имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) .,,,,,,,,,,

21212121212121

2121212121

ZZYYXXkkZZjkYZikXZkjZYjjYYijXYkiZXjiYXiiXXba++=++++

+++++=

□

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов { }111 ZYXa ,,= и { }222 ZYXb ,,= является равенство 0212121 =++ ZZYYXX . Следствие 2. Угол ϕ между векторами a и b определяется по формуле

22

22

22

12

12

12

212121cosZYXZYX

ZZYYXX

++++

++=ϕ .

1.3. Векторное произведение двух векторов

1.3.1. Правые и левые тройки векторов и системы координат

Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой),

если указано, какой из них является первым, какой – вторым и какой – третьим. То есть запись cba означает, что первым элементом является вектор a , вторым – b , третьим – c . Тройка некомпланарных векторов cba называется правой (левой), если после приведения этих векторов к общему началу с конца вектора c кратчайший

28

поворот от a к b в плоскости, определяемой векторами a и b , виден совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Правая тройка Левая тройка Аффинная или декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку. В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат.

1.3.2. Векторное произведение двух векторов Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор [ ]bac ,= , удовлетворяющий трем условиям:

1) длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла ϕ между ними:

ϕsin⋅⋅= bac ; (1.6) 2) вектор c ортогонален к каждому из векторов a и b ; 3) вектор c направлен так, что тройка векторов cba является правой.

1.3.3. Геометрические свойства векторного произведения Теорема 1.11. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. Доказательство. 1) Необходимость вытекает из определения векторного произведения. 2) Достаточность. Пусть [ ] 0, =ba . Докажем, что векторы a и b коллинеарны. Если хотя бы один из векторов a или b является нулевым, то он коллинеарен любому вектору.

29

Если же оба вектора a и b ненулевые, то 0>a , 0>b и поэтому из равенства [ ] 0sin, =⋅⋅= ϕbaba следует, что sinϕ = 0, ϕ = 0, т.е. векторы a и b коллинеарны. □ Замечание. Площадь параллелограмма равна произведению длин смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними: ϕsinпар ⋅⋅= baS . Из определения векторного произведения (пункт 1.3.2) получим, что длина (или модуль) векторного произведения [ ]ba , равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах

a и b : [ ] пар, Sba = . В этом и заключается геометрический смысл векторного произведения.

1.3.4. Алгебраические свойства векторного произведения

Из определения векторного произведения получаем следующие четыре свойства:

1. [ ] [ ]abba ,, −= ; 2. ( )[ ] [ ]baba ,, αα = ; 3. ( )[ ] [ ] [ ]cbcacba ,,, +=+ ; 4. [ ] 0, =aa для любого вектора a .

1.3.5. Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка

Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую m строк и n столбцов называют матрицей. Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, называют ее элементами. Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:

22

11

baba .

Определителем второго порядка, соответствующим этой матрице, называется число, равное 1221 baba − и обозначаемое символом

30

122122

11 babababa

−= .

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов:

333

222

111

cbacbacba

.

Определителем третьего порядка, соответствующим этой матрице, называется число, обозначаемое символом ∆ и равное

321321321321321321

333

222

111

bcacababcbacacbcbacbacbacba

−−−++==∆ .

Последнюю формулу для удобства запоминания можно записать в виде:

33

221

33

221

33

221

333

222

111

baba

ccaca

bcbcb

acbacbacba

⋅+⋅−⋅==∆ .

Такая запись называется разложением определителя ∆ по элементам первой строки.

1.3.6. Выражение векторного произведения в декартовых прямоугольных координатах

Теорема 1.12. Если два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами

{ }111111 ,, ZYXkZjYiXa =++= , { }222222 ,, ZYXkZjYiXb =++= ,

то их векторное произведение имеет вид [ ] ( ) ( ) ( )kYXYXjXZXZiZYZYba 122112211221, −+−+−= . (1.7)

Для запоминания этой формулы удобно использовать символ определителя (см. предыдущий пункт) и переписать ее в виде

31

[ ]22

11

22

11

22

11

222

111,YXYX

kZXZX

jZYZY

iZYXZYXkji

ba ⋅+⋅−⋅== .

Доказательство. Учитывая, что базисные векторы kji ,, взаимно ортогональны и образуют правую тройку kji ,, и kji == , имеем [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

−===−=−==

===⋅⋅=⋅=

ijkikjjikjkikijkjikkjjiiii

, ,, ,, ,, ,, ,,,0,, , 00110sin, (1.8)

Перемножая векторно a и b , получим [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ].,,,,,,,,,,

2121212131

21212121

kkZZjkYZikXZkjZYjjYYijXYkiZXjiYXiiXXba

+++++

++++=

Из этого равенства и соотношений (1.8) получаем разложение (1.7). Следствие. Если два вектора { }111 ,, ZYXa = и { }222 ,, ZYXb = коллинеарны, то их координаты пропорциональны:

2

1

2

1

2

1

ZZ

YY

XX

== .

Доказательство. Из равенства нулю векторного произведения и из (1.7) имеем

0 ,0 ,0 122112211221 =−=−=− ZYZYXZXZYXYX . □

1.3.7. Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора cba ,, . Если вектор a векторно умножается на

вектор b , а затем полученный вектор [ ]ba , скалярно умножается на вектор c , то в результате получается число [ ]( )cba ,, , называемое смешанным произведением векторов cba ,, и обозначаемое ),,( cba .

Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов

Смешанное произведение ),,( cba равно объему параллепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах cba ,, , взятому со знаком плюс, если тройка

c b a

32

cba ,, правая, и со знаком минус, если тройка cba ,, левая. Если же векторы компланарны, то [ ]( ) 0,, =cba . Из определения видно, что [ ]( ) [ ]( )cbacba ,,,, = . Этим объясняется, что можно записывать смешанное произведение трех векторов cba ,, просто в виде ( ) [ ]( )cbacba ,,,, = , не указывая какие именно два вектора перемножаются векторно. Следствие 1. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Следствие 2. ( ) ( )cabcba ,,,, −= .

1.3.8. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах Теорема 1.13. Если три вектора cba ,, определены своими декартовыми координатами { } { } { }333222111 ,,= , ,,, ZYXc,Z,YX=bZYXa = , то смешанное произведение ),,( cba равно определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:

( )333

222

111

,,ZYXZYXZYX

cba = .

Доказательство. Так как [ ] { }122112211221 , ,, YXYXXZXZZYZYba −−−= , { }333 ,Z,YX=c , то скалярное произведение этих векторов равно

( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( )=−+−+−== 122132112312213,,,, YXYXZZXZXYZYZYXcbacba

.

333

222

111

22

113

22

113

22

113

ZYXZYXZYX

YXYX

ZZXZX

YZYZY

X =+−=

□

Следствие. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов { }111 ,, ZYXa = , { }222= ,Z,YXb , { }333 ,,= ZYXc является равенство нулю определителя, строками которого являются координаты этих векторов:

0

333

222

111

=ZYXZYXZYX

.

33

1.4. Преобразование системы координат

1.4.1. Параллельный перенос

Пусть задана декартова система координат (XOY). Введем новую систему координат (X’O’Y’) с началом в точке O’(x0 , y0), где x0 , y0 – координаты точки O’ в системе XOY, а оси O’X’ и O’Y’ параллельны осям OX и OY соответственно.

Возьмем на плоскости точку M. Обозначим ее координаты в системе XOY через (x, y), а в системе X’O’Y’ через (x’,y’). Найдем соотношение между этими координатами. Для этого проведем векторы 'OD , MO' и OM . По правилу сложения векторов получаем

MOOOOM ''+= , откуда, записывая по столбцам координаты векторов, имеем

+

=

''

0

0

yx

yx

yx ,

или, записывая это равенство покомпонентно, получим систему

0

0

',',

x x xy y y= +

= +

задающую формулы преобразования координат при параллельном переносе.

1.4.2. Поворот

Пусть задана система координат (XOY). Направляющие векторы осей координат обозначим соответственно

1e и 2e . Введем новую систему координат (X’O’Y’), получающуюся из старой поворотом осей на угол φ. Единичные векторы новой системы координат обозначим '1e и '2e .

34

Возьмем на плоскости произвольную точку M. Обозначим ее координаты в системе XOY через (x, y), а в системе X’O’Y’ через (x’, y’), и найдем соотношение между ними. Так как координаты точки M совпадают с координатами вектора OM , воспользуемся разложением вектора по базису ),( 21 ee и базису )','( 21 ee :

'''' 2121 eyexeyexOM +=+= . (1.9) Выразим координаты векторов '1e , '2e в базисе ),( 21 ee , пользуясь тем, что

1|'||'| 21 == ee . Имеем:

=

ϕϕ

sincos

1e ,

−=

ϕϕ

cossin

2e , т.е.

+−=+=

.cossin',sincos'

212

211

ϕϕϕϕ

eeeeee

Подставим в формулу (1.9):

)cossin(')sincos(' 212121 ϕϕϕϕ eeyeexeyex +−++=+ , откуда, группируя коэффициенты при 1e и 2e в правой части равенства, получаем

2121 )cos'sin'()sin'cos'( eyxeyxeyex ϕϕϕϕ ++−=+ . Приравниваем коэффициенты при 1e и 2e и получаем систему

+=−=

,cos'sin',sin'cos'

ϕϕϕϕ

yxyyxx

или, записывая эту систему в матричной форме,

−=

''

cossinsincos

yx

yx

ϕϕϕϕ , где

−=

ϕϕϕϕ

cossinsincos

P – матрица поворота.

Замечание. Матрица поворота является частным случаем матрицы перехода от одной системы координат к другой. Эта матрица составлена из координат новых базисных векторов в старом базисе, записанных по столбцам.

35

Тема 2. Прямая на плоскости

2.1. Исследование общего уравнения первой степени

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: 0=++ CByAx , 022 ≠+ BA .

Можно показать, что общее уравнение первой степени 0=++ CByAx

задает прямую линию, и любая прямая может быть задана таким уравнением. Рассмотрим случаи, когда один или два коэффициента уравнения обращаются в нуль.

1. .0=C В этом случае уравнение имеет вид 0=+ ByAx

и задает прямую, проходящую через начало координат. 2. .0=A Уравнение имеет вид

0=+ CBy или

.bBСy =

−=

Прямая расположена параллельно оси OX на расстоянии || b от нее. 3. .0=B В этом случае прямая линия расположена параллельно оси OY . 4. ,0=C .0=B Уравнение принимает вид

0=Ax или 0=x и задает ось OY .

5. ,0=C 0=A . Уравнение принимает вид 0=By или 0=y и задает ось OX .

2.2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом

Решим уравнение первой степени 0=++ CByAx относительно y в

случае, когда 0≠B :

BCx

axy −≤−= 2

2

.

Положим здесь .,BCb

BAk −=−= Уравнение принимает вид

bkxy += ,

36

оно называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В случае 0=B уравнение имеет вид

0=+ CAx , Откуда

aACx =

−= .

Определим геометрический смысл постоянных k и b . y b x 0

рис. 2.1

Если положить 0=x , то by = . Другими словами, b есть отрезок, отсекаемый данной прямой на оси ординат.

Чтобы выяснить геометрический смысл k , перенесем начало координат в точку ),0( b , сохраняя направление осей. Формулы преобразования координат будут иметь вид

byyxx +′=′= , . Данное уравнение преобразуется к виду

bxkby +′=+′ . Или

xky ′=′ , Откуда

xyk′′

= .

Выбирая произвольную точку ),( yxM ′′ на прямой линии, видим, что ϕ - это угол между положительным направлением оси OX и данной прямой, отсчитываемый против движения часовой стрелки. Следовательно, ϕtgk = , т. е. k равно тангенсу угла между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой, отсчитываемого от оси OX против движения часовой стрелки. Число k называют угловым коэффициентом данной прямой.

37

Пример 1. Составить уравнение прямой линии, отсекающей на оси ординат отрезок, равный 2, и наклоненной к оси абсцисс под углом в 45 0 . Здесь 2,145 ±=== btgk o . Следовательно, искомое уравнение имеет вид: 2±= xy .

2.3. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые заданы уравнениями bkxy += и bxky +′=′ .

Обозначая через α угол между этими прямыми, видим, что ϕϕα −′= ,

где ϕ и ϕ′ – углы наклона прямых к оси абсцисс. Заметив, что ϕtgk = , ϕ′=′ tgk , определим αtg . Из тригонометрии известно, что

ϕϕϕϕ

ϕϕαtg'tg1

tg'tg)'tg(tg+

−=−= .

Заменяя в последней формуле ϕtg и ϕ′tg на k , k′ , имеем окончательно

.'1

'kkkktg

+−

=α (2.1)

Пример 2. Найти угол между прямыми: y – 2x – 5=0, 3x + y – 8 = 0. Угловые коэффициенты данных прямых: k = 2, k = – 3. Применяя формулу (2.1), получим

.13*2123

=−

−−=αtg

Откуда α = 45 0 .

2.4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если прямые параллельны, то угол между ними равен нулю, и обратно, если 0=α , то прямые параллельны. В этом случае формула (2.1) обращается в равенство:

'1'0t

kkkkg

+−

=

Или

38

'1'0

kkkk

+−

= ,

откуда .,0 kkkk =′=−′

Это и есть условие параллельности прямых. Случай перпендикулярности прямых получится из формулы (2.1)

при :2π

α =

)(2

t'1

'∞==

+− πgkkkk ,

откуда условие перпендикулярности прямых принимает вид:

01 =′⋅+ kk или 1−=′⋅ kk . Пример 3. Являются ли прямые 2x – 3y + 1 = 0 и -6x + 9y – 5 = 0 параллельными? Угловые коэффициенты этих прямых равны:

k = 32 , k′= ,

32

64

=

т. е. условие параллельности выполнено. Следовательно, прямые 2x – 3y + 1 = 0, -6x + 9y – 5 = 0 параллельны.

Пример 4. При каком значении k уравнение

y = kx + 1 изображает прямую, перпендикулярную прямой

y = 2x – 1?

Угловой коэффициент второй прямой k′ = 2. Условие перпендикулярности дает 2k = -1, откуда

k = .21

−

2.5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки ),( yxA ′′ и ),( yxB ′′′′ . Составим уравнение пучка

прямых линий, проходящих через точку ),( yxA ′′ :

39

рис. 2.2

),'(' xxkyy −=− (2.2)

где k – произвольный параметр пучка. Чтобы выделить из этого пучка прямую линию, проходящую через точку ),( yxB ′′′′ , нужно, чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнению (2.2):

),'''(''' xxkyy −=− (2.2′)

Из равенства (2.2′) нужно определить значение параметра k и внести это значение в уравнение (2.2′). В результате получим:

.''''

''''

xxxx

yyyy

−−

=−− (2.3)

Это уравнение задает прямую линию, проходящую через точки ),( yxA ′′ и

),( yxB ′′′′ . Пример 5. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки A(1,2) и В(-1, 1). Подставляя в уравнение (2.3) x′ = 1, y′ = 2, x′′= - 1, y′′ = 1 получим:

111

212

−−−

=−− xy , или

21

12 −

=− xy , или y – 2 = x – 1,

откуда x – y + 1 = 0.

'y

'x

40

2.6. Нормальное уравнение прямой линии Прямая линия на плоскости определена, если заданы ее расстояние от

начала координат p , т.е. длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, и угол α между положительным направлением оси OX и направлением этого перпендикуляра (рис. 2.3).

0

рис. 2.3

Построим на чертеже координаты произвольной точки M прямой линии: xOR = , yMR = . Рассмотрим ломаную линию ORMP . Возьмем ее проекцию

на OP . Заметим, что

пр. (ORMP ) = пр. (OP ). (2.4)

С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций ее звеньев, следовательно, равенство (2.4) перепишется в виде:

пр. (OR ) + пр. ( RM ) + пр. ( MP ) = пр. (OP ). (2.4′)

Так как проекция отрезка равна самому отрезку, умноженному на косинус угла между положительными направлениями оси проекции и той прямой, на которой лежит отрезок, то

пр. (OR ) = αcosx , пр. ( RM ) = αα sin)90cos( yy =−o ,

пр. ( MP ) = 0 , пр. (OP ) = p .

Подставляя эти значения в равенство (2.4′), получим:

.0sincos,sincos=−+

=+pyxpyx

αααα

(2.5)

α x

P

M y

R

P

41

Уравнение (2.5) выражает условие, при котором точка ),( yxM лежит на данной прямой, и называется нормальным уравнением этой прямой.

2.7. Приведение общего уравнения первой степени

к нормальному виду Возьмем уравнение первой степени общего вида: .0=++ CByAx (2.6)

Умножим наше уравнение на постоянный множитель M, подобрав его так, чтобы получилось нормальное уравнение. Уравнение (2.6) примет вид:

.0=++ MCMByMAx (2.6′)

Для того чтобы уравнение (2.6′) привести к виду (2.5), положим:

αcos−MA , αsin=MB , pMC −= . (2.7)

Из равенства (2.7) найдем неизвестные ,M α и p , выраженные через

CBA ,, . Возводя первые два равенства из (2.7) в квадрат и складывая, имеем:

1sincos 222222 =+=+ ααBMAM , или

,1)( 222 =+ BAM откуда

22

1BA

M+±

= . (2.8)

В формуле (2.7) нужно брать знак, противоположный знаку свободного члена C , как видно из последнего равенства (2.8). Множитель M называется нормирующим множителем.

Пример 6. Уравнение прямой линии 4x – 3y + 15 = 0 привести к нормальному виду. Нормирующий множитель есть

42

y

p

x

A

α

d

K

R

.51

431

22−=

+−=M

Умножая на него данное уравнение, получим: .0353

54

=−+− yx

Для данной прямой имеем: ,1−=p ,54cos −=α .

53sin =α

2.8. Расстояние от данной точки до данной прямой

Пусть даны прямая линия, заданная уравнением в нормальном виде:

0sincos =−+ pyx αα , и точка ),( yxA ′′ . Определим длину перпендикуляра d , опущенного из точки A на данную прямую (рис. 2.4).

рис. 2.4

Проведем через данную точку A вспомогательную прямую параллельно данной прямой и обозначим через P длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую. Уравнение вспомогательной прямой в нормальном виде будет:

0sincos =−+ Pyx αα , так как направление перпендикуляра P определяется углом α (рис. 2.5). Искомое расстояние d определяется формулой: || pPd −= .

рис. 2.5

p P

α x

y

0

A(x′,y′)

d

43

Так как точка ),( yxA ′′ лежит на вспомогательной прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой:

0sincos =−′+′ Pyx αα , откуда

αα sincos yxP ′+′= . Подставляя это значение P в формулу для d , найдем:

.|sincos| pyxd −′+′= αα

Величина δ , вычисленная по формуле pyx −′+′= ααδ sincos , окажется положительной, если данная точка A и начало O лежат по разные стороны от данной прямой ( 0>> pP ); и наоборот, она будет отрицательной, если точка A и начало O лежат по одну сторону от данной прямой. Величина δ называется отклонением точки ),( yxA ′′ от прямой

pyx −+= ααδ sincos .

2.9. Уравнение прямой линии в отрезках

Обозначим через a и b длины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат (рис. 2.6).

рис. 2.6

Уравнение данной прямой будет иметь вид

.0,0 ≠=++ CCByAx (2.9)

Так как точка )0,(aM лежит на прямой линии, то ее координаты удовлетворяют уравнению (2.9):

0=+ CAa , или

M

N

0

b

a

44

.aCA −= (2.10)

Аналогично, координаты точки ),0( bN должны удовлетворять уравнению (2.9), что дает:

,0=+ CBb или

.bCB −= (2.11)

Подставляя значения A и B из равенства (2.11) в уравнение (2.9), получим:

.0=+−− CbyC

axC

Сокращая на C, которое по предположению не равно нулю, найдем:

01 =+−−by

ax

или

.1=+by

ax (2.12)

Это и есть искомое уравнение данной прямой в отрезках.

Пример 7. Написать уравнение прямой 2x + 3y + 2 = 0 в отрезках. Запишем уравнение в виде 232 −=+ yx и разделим уравнение на (-2), получим:

.121

=+−yx

45

Тема 3. Плоскость

3.1. Общее уравнение плоскости

Можно показать, что любое уравнение от 3-х неизвестных первого порядка

0=+++ DCzByAx определяет плоскость, и любая плоскость может быть задана этим уравнением (см. п. 3.9 и 3.10).

3.2. Исследование общего уравнения плоскости

Если некоторые коэффициенты в общем уравнении вида

0=+++ DCzByAx (3.1)

равны нулю, то плоскость, изображаемая этим уравнением, расположена особым образом относительно осей координат. Так, если 0=D , то уравнению (3.1) удовлетворяют 0=== zyx (т.е. координаты начала), таким образом, плоскость проходит через начало координат. Если 0=C , то уравнение (3.1) будет иметь вид:

0=++ DByAx (3.1′)

Рассматривая это уравнение на плоскости XOY , мы будем иметь прямую линию. Рассматривая же уравнение (3.1′) в пространстве, мы получим геометрическое место тех точек, которые проектируются на плоскость XOY в точки указанной прямой. Таким образом, уравнение (3.1′) изображает плоскость, параллельную оси OZ . Аналогично, если 0=B , то уравнение

0=++ DCzAx

изображает плоскость, параллельную оси OY . И, наконец, если 0=A , то уравнение

0=++ DCzBy

46

изображает плоскость, параллельную оси OX . Вообще, если в уравнении плоскости отсутствует координата yz, или x , то плоскость параллельна оси OZ , OY или OX соответственно. Допустим теперь, что два коэффициента равны нулю, например:

0==CD . Тогда уравнение

0=+ ByAx изображает плоскость, проходящую через начало координат параллельно оси OZ, т.е. это будет плоскость, проходящая через ось OZ . Аналогично, уравнение вида

0=+ CzAx изображает плоскость, проходящую через ось OY , а уравнение

0=+ CzBy – плоскость, проходящую через ось OX .

Если равны нулю два коэффициента при текущих координатах, например,

0== BA , то уравнение 0=+ DCz изображает плоскость, параллельную оси OX и оси OY , т.е. плоскость, параллельную плоскости координат XOY . Также уравнение 0=+ DBy и 0=+ DAx изображают плоскости, параллельные соответственно плоскостям координат XOZ и YOZ .

Если, наконец, три коэффициента равны нулю, например 0=== DCB , то уравнение 0=Ax или 0=x изображает плоскость координат YOZ . Также уравнения 0=By и 0=Cz изображают соответственно плоскости координат XOZ и XOY .

3.3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку,

перпендикулярную данному вектору Утверждение. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

),,( 0000 zyxM и перпендикулярной данному вектору { }CBAn ,,= , имеет вид 0)()()( 000 =−+−+− zzCyyBxxA (3.2)

Доказательство. Пусть дана точка 0M с координатами 0 0 0( , , ),x y z и пусть уравнение искомой плоскости имеет вид

47

0=+++ DCzByAx . (3.3) Так как по условию искомая плоскость проходит через точку ),,( 0000 zyxM , то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (3.3). Отсюда получаем условие:

0000 =+++ DCzByAx . (3.4)

Выясним геометрический смысл коэффициентов CBA ,, . Обозначая через r , вектор, имеющий начало в т. ),,( 000 zyxM , а конец в т.

),,( zyxM , принадлежащей плоскости, и через n – вектор, перпендикулярный к плоскости, мы легко получим искомое уравнение в векторной форме. В самом деле, векторы r и n должны быть перпендикулярны, потому что вектор r лежит в искомой плоскости, а вектор n перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, скалярное произведение векторов r и n должно быть равным нулю:

0=⋅ rn . (3.5)

Переходя к координатам и подставляя { }0 0 0, ,r x x y y z z= − − − и { }CBAn ,,= , получим уравнение (3.2). 3.4. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ),,( 0000 zyxM

и параллельной неколлинеарным векторам },,{ 1111 pnml = и },,{ 2222 pnml =

Из пункта 3.3. следует, что для того, чтобы написать уравнение плоскости, необходимо знать координаты точки, принадлежащей плоскости, и координаты вектора, перпендикулярного к плоскости.

Зная векторы 1l и 2l , параллельные плоскости, можем взять в качестве вектора n вектор 21 ll × , т.к. этот вектор будет перпендикулярен векторам 1l и 2l , следовательно, перпендикулярен плоскости. Т.о.

222

11121

pnm

pnm

kji

lln =×=

48

Далее, зная координаты точки ),,( 0000 zyxM и вектора n , запишем уравнение плоскости (3.2).

Пример 1. Составить уравнение плоскости, содержащей т. )3,2,1(0M и параллельной векторам

1 2{3, 1,2}; {6,1,0}.l l= − =

1) Вычисляем координаты вектора n , перпендикулярного плоскости:

1 2 3 1 2 ( 1 0 2 1) (3 0 6 2) (3 1 6 ( 1))

6 1 0

i j k

n l l i j k= × = − = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − =

,9122 kji ++−= где { 2,12,9}.n = −

2) Записываем уравнение плоскости -2(x-1)+12(y-2)+9(z-3)=0, или 2x-12y-9z+49=0.

3.5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

),,( 1111 zyxM ; ),,( 2222 zyxM ; ),,( 3333 zyxM , не лежащие на одной прямой

Определим координаты векторов },,{ 121212211 zzyyxxMMl −−−== и

},,{ 131313312 zzyyxxMMl −−−== , принадлежащих плоскости.

Определим координаты вектора

1 2 2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

i j k

n l l x x y y z z

x x y y z z

= × = − − −

− − −

.

Зная координаты точки ),,( 1111 zyxM , принадлежащей плоскости, и координаты вектора n , перпендикулярного плоскости, запишем уравнение плоскости (3.2).

Пример 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки 1(1, 1, 2)M − ;

2 (3, 2, 1)M − ; 3 ( 1,0,9)M − . 1) Определим координаты векторов 1l и 2l :

49

1 1 2 {3 1,2 ( 1), 1 2} {2,3, 3};l M M= = − − − − − = −

2 1 3 { 1 1,0 ( 1),9 2} { 2,1,7}.l M M= = − − − − − = − 2) Определим координаты вектора, перпендикулярного плоскости:

1 2 2 3 3 (3 7 1 ( 3)) (2 7 ( 2) ( 3)) (2 1 2 3)

2 1 7

i j k

n l l i j k= × = − = ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − ⋅ =

−

,8824 kji +−= т.е. {24, 8,8}.n = − 3) Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку 1M и перпендикулярной вектору n : 24(x-1)-8(y+1)+8(z-2)=0 или 24x-8y+8z-24-8-16=0, откуда 24x-8y+8z-48=0. Деля обе части уравнения на 6, получим 3x-y+z-6=0.

3.6. Угол между двумя плоскостями

Пусть две плоскости 1α и 2α заданы уравнениями:

;0: 11111 =+++ DzCyBxAα

.0: 22222 =+++ DzCyBxAα (3.6)

Определим величину двугранного угла между ними. Этот угол, очевидно, равен углу между векторами, перпендикулярными этим плоскостям и определяется по формуле:

22

22

22

21

21

21

212121

21

21

||||),(cos

CBACBACCBBAA

nnnn

++++

++==ϕ , (3.7)

где 1 1 1 1

2 2 2 2

{ , , },

{ , , }.

n A B C

n A B C

=

=

3.7. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Плоскости 1α и 2α параллельны тогда и только тогда, когда параллельны

перпендикулярные им векторы 21 || nn , т.е. тогда и только тогда, когда выполняются условия

50

.2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

== (3.8)

Плоскости 1α и 2α перпендикулярны тогда и только тогда, когда параллельны перпендикулярные им векторы: 1n и 2n , т.е. 0),( 21 =nn или

.0212121 =++ CCBBAA (3.9)

Пример 3. Показать, что плоскости: x + y – z – 1 = 0 и 3x +3y – 3z + 5 = 0 параллельны. Условие параллельности (3.5) здесь будет иметь вид:

,31

31

31

−−

==

оно выполняется. Пример 4. Показать, что плоскости: x + y + z = 0 и 2x + 2y – 4z + 3 = 0 перпендикулярны. Условие перпендикулярности (3.6) здесь будет иметь вид:

1⋅2 + 1⋅2 + 1⋅(-4) = 0. Оно выполняется.

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости.

Пусть даны точка ),,( 111 zyxM и плоскость своим уравнением:

01111 =+++ DzCyBxA . Напишем уравнение произвольной плоскости, проходящей через данную точку ),,( 111 zyxM :

.0)()()( 111 =−+−+− zzCyyBxxA Чтобы эта плоскость была параллельна данной плоскости, нужно выполнить условие:

,111 C

CBB

AA

==

откуда можем взять: .,, 111 CCBBAA ===

51

Подставляя эти значения ,, BA и C в уравнение плоскости, найдем:

.0)()()( 111111 =−+−+− zzCyyBxxA Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости:

x + y + z = 1. Здесь 0111 === zyx и .1111 === CBA Следовательно, уравнение искомой плоскости: x + y + z = 0.

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через две данные точки перпендикулярно данной плоскости. Пусть даны две точки ),,( 1111 zyxM , ),,( 2222 zyxM и плоскость своим уравнением:

01111 =+++ DzCyBxA .

Напишем уравнение любой плоскости, проходящей через точку

),,( 1111 zyxM : .0)()()( 111 =−+−+− zzCyyBxxA

а также условия прохождения этой плоскости через точку ),,( 2222 zyxM и перпендикулярности с данной плоскостью:

=++=−+−+−

.0,0)()()(

111

121212

CCBBAAzzCyyBxxA

Определяя из последних уравнений отношения двух коэффициентов A, B и C к третьему и подставляя их в уравнение плоскости, получим искомое уравнение.

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1, 1, 1) и (0, 1, -1) перпендикулярно плоскости:

x + y + z = 0. Уравнение плоскости, проходящей через первую из данных точек, будет:

A(x – 1) + B(y – 1) + C(z – 1) = 0.

52

Условия прохождения этой плоскости через точку (0, 1, -1) и перпендикулярности к данной плоскости будут соответственно иметь вид:

A + 2C = 0 и A + B + C = 0.

Из первого условия: 2−=CA . Разделив на C, найдем:

.1121 =−=−−=CA

CB

Разделив уравнение плоскости на C и подставляя вместо CA и

CB найденные значения,

получим: -2(x – 1) + (y – 1) + (z – 1) = 0, или 2x – y – z = 0.

3.8. Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости в пространстве будет вполне определено, если

зададим ее расстояние p от начала O , т. е. длину перпендикуляра OT , опущенного из точки O на плоскость, и единичный вектор on , перпендикулярный к плоскости и обращенный от начала O к плоскости (рис. 3.1). Когда точка M , имеющая радиус-вектор r , движется по плоскости, то ее радиус-вектор меняется так, что все время связан некоторым условием.

рис. 3.1

Посмотрим, каково это условие. Очевидно, для любой точки )(rM , лежащей на плоскости, имеем:

pOTOMпр on== (3.10)

Это условие имеет место лишь для точек плоскости; оно нарушается, если точка М лежит вне плоскости. Таким образом, равенство (3.10) выражает свойство, общее всем точкам плоскости и только им. Имеем:

),( o

nnrOMпр o = .

И, значит, уравнение (3.10) может быть переписано в виде:

0n

r

M

53

0),( =− pnr o . (3.11) Уравнение (3.11) выражает собою условие, при котором точка )(rM лежит на данной плоскости, и называется нормальным уравнением этой плоскости. Радиус-вектор r произвольной точки M плоскости называется текущим радиусом-вектором.

Уравнение плоскости (3.11) записано в векторной форме. Переходя к уравнению в координатной форме, заметим, что проекциями единичного вектора on на оси координат OZOYOX ,, служат косинусы углов , , , γβα составленных осями с этим вектором, а проекциями радиуса-вектора r точки M служат координаты ,,, zyx точки M , т. е.

}cos,cos,{cos γβα=on и { , , }r x y z= . Уравнение (3.11) переходит в координатное:

0coscoscos =−++ pzyx γβα . (3.12) При переводе векторного уравнения (3.11) плоскости в координатное уравнение (3.12) мы воспользовались формулой, выражающей скалярное произведение через проекции векторов. Уравнение (3.12) выражает собою условие, при котором точка ),,( zyxM лежит на данной плоскости, и называется нормальным уравнением этой плоскости в координатной форме. Координаты zyx ,, произвольной точки M плоскости называются текущими координатами. Полученное уравнение (3.12) – уравнение первой степени относительно zyx ,, , т.е. всякая плоскость изображается уравнением первой степени относительно координат zyx ,, . Возьмем уравнение первой степени общего вида:

0,Ax By Cz D+ + + = 2 2 2( 0)A B C+ + ≠ . (3.13)

Покажем, что геометрическим местом тех точек пространства, координаты которых zyx ,, удовлетворяют уравнению (3.13), является плоскость. С этой целью будем рассматривать BA, и C как проекции на оси координат

OZOYOX ,, некоторого постоянного вектора n , а zyx ,, как проекции радиусов r точки M .

54

Тогда уравнение (3.13) может быть переписано в векторной форме следующим образом :

0),( =+ Dnr . (3.14) Известно, что скалярное произведение ),( nr представляет произведение длины || n вектора n и проекции радиуса-вектора r на направление вектора n , т.е.

rпрnnr n⋅= ||),( . Таким образом, из уравнения (3.10) мы получаем:

0|| =+⋅ Drпрn n или

.||

constnDrnp

n=

−=

Итак, проекция радиуса-вектора переменной точки M на направление постоянного вектора n есть величина постоянная, а это значит, что точка M лежит в плоскости , перпендикулярной вектору n и проходящей от начала

на расстоянии, равном ||||

nD .

Следовательно, всякое уравнение (3.13) первой степени изображает плоскость как геометрическое место точек пространства, координаты которых связаны этим уравнением.

3.9. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду

Проведение уравнения (3.13) или (3.14) к нормальному виду (3.11) или

(3.10). Действительно, считая D отрицательным, разделим уравнение (3.14) на длину:

222|| CBAn ++= вектора n . Тогда получим:

0||

),( =+nDnr o .

И, полагая

)0(|| 222

≥++

−=−

= pCBA

DnDp ,

перепишем последнее уравнение в виде:

55

0),( =− pnr o , что и будет служить нормальной формой (3.10) векторного уравнения плоскости.

Если же свободный член D положительный, то, чтобы привести уравнение плоскости к нормальному виду, очевидно, нужно его разделить на длину вектора n , взятую со знаком “−”, и мы найдем:

0||

)( =−−nDnr o ,

или нормальное уравнение плоскости: 0)( =−− pnr o

, где

222|| CBAD

nDp

++−== .

Соединяя оба эти случая ( 0,0 >< DD ) в один, мы приходим к следующему выводу:

чтобы привести уравнение плоскости к нормальному виду, надо его разделить на длину вектора },,{ CBAn = , взяв ее со знаком “+” или ”−”, смотря по тому, будет ли свободный член D отрицательным или положительным. Иными словами, для приведения общего уравнения (3.13) первой степени к нормальному виду нужно умножить его на множитель:

222

1CBA ++

±=µ , (3.15)

причем знак множителя следует взять противоположным знаку свободного члена D в уравнении (3.14). Тогда исходное уравнение принимает вид:

0=+++ DCzByAx µµµµ и совпадает с нормальным уравнением (3.9). Следовательно, имеем:

.,cos,cos,cos pDCBA −==== µγµβµαµ (3.16) Подставив найденное значение µ в последние равенства, получим формулы для αcos , βcos , γcos и p :

56

.,cos

,cos,cos

222222

222222

CBADp

CBAC

CBAB

CBAA

++=

++±=

++±=

++±=

mγ

βα (3.17)

В этих формулах (3.17) надо брать верхние знаки, если )0(0 >< MD и нижние в противном случае:

Пример 7. Уравнение плоскости

0322 =−+− zyx привести к нормальному виду. Нормирующий множитель будет:

M = ;31

2)2(11

222=

+−++

умножая на него данное уравнение, получим:

.0132

32

31

=−+− zyx

Для данной плоскости, следовательно, имеем:

.1,32cos,

32cos,

31cos ==−== pγβα

3.10. Расстояние от точки до плоскости

Пусть дано уравнение плоскости в нормальном виде

0coscoscos =−++ pzyx γβα

и точка ),,( 111 zyxM (рис. 3.2). Обозначим искомое расстояние точки M до плоскости, т. е. длину перпендикуляра MK , опущенного из точки M на плоскость, через d и будем считать d положительным, если точка M и начало координат O лежат по разные стороны плоскости, и отрицательным в противном случае. Построим координатную ломаную точки M : OPSM . Возьмем проекцию ломаной линии OPSMK на направление OT перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, замечая при этом, что проекция ломаной равна проекции замыкающей:

57

.)(.)(. pOKпрOPSMKпр == (3.18)

рис. 3.2

С другой стороны, проекция ломаной равна сумме проекций ее звеньев, т.е.

).(.)(.)(.)(.)(. MKпрSMпрPSпрOPпрOPSMKпр +++= Следовательно, равенство (3.18) запишется так:

.)(.)(.)(.)(. pMKпрSMпрPSпрOPпр =+++ (3.19) Так как по формуле проекции отрезка имеем:

,cos)(. 1 αxOPпр = ,cos)(. 1 βyPSпр = ,cos)(. 1 γzSMпр = ,)(. dMKпр −=

то равенство (3.19) запишется таким образом: pdzyx =−++ γβα coscoscos 111 ,

откуда: pzyxd −++= γβα coscoscos 111 ,

т. е. чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения плоскости подставить вместо текущих координат координаты данной точки и взять модуль полученной величины.

222

111

CBADCzByAx

d++

+++= . (3.20)

При этом величина 1 1 1

2 2 2

Ax By Cz DA B C

δ+ + +

=+ +

выражает отклонение точки от

плоскости. Знак δ указывает, лежит ли точка по ту же сторону от плоскости, что и начало координат, или по другую сторону (минус в первом случае и плюс во втором).

Z

Y

M1

X P1

S1

K

T

O

58

Пример 8. Найти расстояние от точки (1, 2, 3) до плоскости: 2x – 2y + z – 3 =0.

Напишем нормальное уравнение данной плоскости, умножив данное уравнение на нормирующий множитель:

;31

1441

=++

=µ

получим: 0131

32

32

=−+− zyx .

Искомое расстояние будет: 2 2 1 2 21 2 3 13 3 3 3 3

d = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = − = .

Знак «–» под знаком модуля означает, что данная точка и начало координат лежат по одну сторону данной плоскости.

3.11. Уравнение плоскости в отрезках

Запишем уравнение плоскости в виде: 0=+++ DCzByAx . (3.21)

Обозначим через ba, и c отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат (рис. 3.3).

рис. 3.3

Так как точка )0,0,(aP лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3.21):

0=+ DAa , или aDA −= . (3.22)

Аналогично координаты точки )0,,0( bQ должны удовлетворять уравнению (3.21), что дает:

Z

X

Y

O

T M P

S

59

0=+ DBb , или bDB −= . (3.22′)

Наконец, координаты точки ),0,0( cR удовлетворяют уравнению (3.21):

0=+ DCc , или cDC −= . (3.22′′)

Подставляя значения BA, и C из равенств (3.22), (3.22′), (3.22′′) в уравнение (3.21) плоскости, получим:

0=+−−− DczD

byD

axD .

Сокращая на D , которое по предположению не равно нулю, найдем:

01 =+−−−cz

by

ax ,

или

1=++cz

by

ax . (3.23)

Это и есть искомое уравнение плоскости в отрезках.

Замечание. К виду (3.23) можно привести уравнение всякой плоскости за исключением случая 0=D , т. е. плоскости, проходящей через начало координат.

Пример 9. Записать уравнение плоскости

0543 =−+− zyx в отрезках. Полагая в данном уравнении 0== zy , найдем отрезок a:

053 =−x , откуда

35

=x , т. е. 35

=a .

Аналогично, полагая 0== zx , найдем отрезок b: 054 =−− y ,

откуда

45

−=y , т. е. 45

−=b .

Наконец, полагая 0== yx , найдем отрезок с: 05 =−z ,

откуда

60

5=z , т. е. 5=c . Следовательно, уравнение плоскости в отрезках будет иметь вид:

15

45

35

=+−

+zyx .

61

Тема 4. Прямая в пространстве

4.1. Уравнение прямой в пространстве

Рассмотрим произвольную прямую, обозначим ее буквой a . Обозначим через 1α и 2α какие-нибудь две различные плоскости, пересекающиеся по прямой a и предположим, что уравнения этих плоскостей будут:

01111 =+++ DzCyBxA и 02222 =+++ DzCyBxA . Так как прямая a представляет собой пересечение плоскостей 1α и 2α , то она определяется системой двух уравнений:

=+++=+++

.0,0

2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

(4.1)

Поставим задачу: всегда ли два уравнения первой степени совместно определяют некоторую прямую? Очевидно, это будет только в том случае, когда соответствующие им плоскости не параллельны и не совпадают друг с другом, т.е. когда нормальные векторы этих плоскостей },,{ 1111 CBAn = и

},,{ 2222 CBAn = не коллинеарны. Два уравнения вида (4.1) совместно определяют прямую в том и только в том случае, когда коэффициенты 1A ,

1B , 1C одного из них не пропорциональны коэффициентам 2A , 2B , 2C другого.

4.2. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой.

Параметрические уравнения прямой

Рассмотрим произвольную прямую. Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой. Указанные векторы называются направляющими именно потому, что любой из них, будучи задан, определяет направление прямой. Направляющий вектор прямой будем обозначать буквой l , его координаты –

pnm ,, : },,{ pnml = .

Введем уравнение прямой, проходящей через заданную точку ) ,z,y(xM 0000 и имеющей данный направляющий вектор },,{ pnml = .

62

Пусть M(x,y,z) – произвольная («текущая») точка прямой (рис. 4.1).

рис. 4.1

Вектор },,{ 0000 zzyyxxMM −−−= коллинеарен направляющему вектору

},,{ pnml = . Следовательно, координаты вектора MM 0 пропорциональны координатам вектора l :

pzz

nyy

mxx 000 −

=−

=−

(4.2)

Этим соотношениям удовлетворяют координаты каждой точки z)y,M(x, , лежащей на рассматриваемой прямой, напротив, если точка z)y,M(x, не лежит на прямой, то ее координаты не удовлетворяют соотношениям (4.1), так как в этом случае векторы MM 0 и l не коллинеарны и координаты их не пропорциональны. Таким образом, уравнения (4.1) представляют собой уравнения прямой, проходящей, через точку ) ,z,y(xM 0000 в направлении вектора },,{ pnml = . Уравнение прямой (4.2) будем называть каноническими. Пусть некоторая прямая задана двумя общими уравнениями:

=+++=+++

0,0

2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

. (4.3)

Покажем, как составить канонические уравнения этой прямой. Обозначим плоскости, определяемые данными уравнениями, через 1α и 2α , нормальные векторы этих плоскостей через 1n и 2n . Для составления канонических уравнений данной прямой, нужно: найти произвольную ее точку ) ,z,y(xM 0000 ; для этого надо задать численное

M

M0

63

значение одной из известных координат 000 ,z,yx и подставить его вместо соответствующей переменной в уравнения (4.3); после этого две остальные координаты определяются из уравнений (4.3) путем их совместного решения; найти направляющий вектор },,{ pnml = . Так как данная прямая определена пересечением плоскостей 1α и 2α , то она перпендикулярна к каждому из векторов 1n и 2n . Поэтому в качестве вектора l можно взять любой вектор, перпендикулярный к векторам 1n и 2n , например, их векторное произведение: ];[ 21 nnl = . Поскольку координаты векторов 1n и 2n известны:

},,{ 1111 CBAn = , },,{ 2222 CBAn = , для вычисления координат вектора достаточно применить формулу для нахождения координат векторного произведения.

4.3. Некоторые дополнительные предложения и примеры

В аналитической геометрии часто требуется составить уравнения прямой,

зная две ее точки. Решим эту задачу в общем виде, считая данными две произвольные точки: ) ,z,y(xM 1111 и ) ,z,y(xM 2222 . Для решения задачи достаточно заметить, что в качестве направляющего вектора рассматриваемой прямой можно взять вектор 21MMl = ; отсюда

12-xxm = ; 12-yyn = ; 12-zzp = , окончательно получим

12

1

12

1

12

1

zzzz

yyyy

xxxx

−−

=−−

=−−

Это и есть искомые (канонические) уравнения прямой, проходящей через две данные точки: ) ,z,y(xM 1111 и ) ,z,y(xM 2222 .

4.4. Угол между двумя прямыми

Углом между двумя прямыми в пространстве называют любой из углов,

образованный двумя прямыми, проведенными из одной точки, параллельно данным прямым. Если прямые параллельны, то угол между ними считается равным нулю или π .

Пусть даны уравнения двух прямых:

1

1

1

1

1

1

pzz

nyy

mxx −

=−

=− ;

2

2

2

2

2

2

pzz

nyy

mxx −

=−

=−

.

64

Обозначим угол между прямыми через α , а угол между их направляющими векторами 1l и 2l – через ϕ . При этом

||||cos

21

21

llll

=ϕ (4.4)

Так как ϕα = или ϕπα −= , то ϕα coscos ±= . Следовательно,

||||cos

21

21

llll

±=ϕ (4.5)

или в координатной форме:

22

22

22

21

21

21

212121cospnmpnm

ppnnmm++++

++±=α (4.6)

Формулы (4.5) и (4.6) являются формулами для определения угла между двумя прямыми в пространстве.

4.5. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в

пространстве Для того, чтобы две прямые были параллельны, необходимо и достаточно,

чтобы их направляющие векторы 1l и 2l были коллинеарны, т.е. соответствующие координаты векторов 1l и 2l были пропорциональны:

2

1

2

1

2

1

pp

nn

mm

== .

Для того, чтобы прямые были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы направляющие их векторы 1l и 2l были ортогональными. Условие ортогональности двух векторов 1l и 2l :

0212121 =++ ppnnmm .

Пример 1. Найти уравнения прямой, проходящей через точку )1,2,3( −M перпендикулярно двум прямым:

54

37

21:1

+=

−−

=− zyxa

29

15

43:2 −

−=

+=

+ zyxa .

Составим уравнение любой прямой, проходящей через точку M :

65

pz

ny

mx 123 +

=−

=−

Используя условие перпендикулярности искомой прямой к прямой 1a , а затем к прямой 2a получим

=−+=+−

0240532

pnmpnm

Из этой однородной системы линейных уравнений с неизвестными pnm ,, найдем отношения неизвестных:

14:24:11432

:4225

:21

53:: =

−

−

−

−=pnm

Подставляя в уравнения прямой вместо pnm ,, пропорциональные им величины, получим искомые уравнения:

1415

2413

19 −

=+

=− zyx .

66

Тема 5. Плоскость и прямая в пространстве

5.1. Пересечение прямой и плоскости Точкой пересечения прямой, не лежащей в плоскости α , и плоскости α

называется общая точка, принадлежащая и прямой, и плоскости. Чтобы найти точку пересечения прямой

p

zzn

yym

xxl 000: −=

−=

− (5.1)

и плоскости ,0: =+++ DCzByAxα (5.2)

запишем параметрические уравнения прямой (5.1):

0

0

0

,,,

x x mty y ntz z pt

= + = + = +

(5.3)

и подставим в уравнение плоскости (5.2). Получим значение t и затем из системы (5.3) получим координаты ),,( 000 zyx точки пересечения прямой и плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой

11

39

412 −

=−

=− zyx и плоскости .0253 =−−+ zyx

Уравнение прямой перепишем в параметрическом виде

4 12,3 9,

1

x ty tz t

= + = + = +

и подставим в уравнение плоскости 3(4 12) 5(3 9) ( 1) 2 0,t t t+ + + − + − = отсюда 3.t = − Подставив в (5.3), получим, что координаты точки пересечения прямой и плоскости есть

−===

.2,0,0

zyx

67

5.2. Угол между прямой и плоскостью Угол между прямой (5.1) и плоскостью (5.2) вычисляется по формуле:

.sin222222 pnmCBA

CpBnAm++⋅++

++±=ϕ

Условие параллельности прямой (5.1) и плоскости (5.2):

.0=++ CpBnAm Условие перпендикулярности прямой (5.1) и плоскости (5.2):

.pC

nB

mA

==

Пример 2. Написать уравнение прямой l, проходящей через точку )2,4,3(0 −M и перпендикулярной плоскости 04742: =−+− zyxα .

Канонические уравнения прямой l имеют вид pzz

nyy

mxx 000 −

=−

=−

.

В качестве 000 ,, zyx берем координаты точки 0M : 30 =x , 40 −=y , 20 =z . Так как прямая перпендикулярна плоскости, в качестве направляющего вектора прямой },,{ pnml = берем нормальный вектор плоскости }7,4,2{ −=n . Получим уравнения

72

44

23 −

=−+

=− zyx .

5.3. Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку Пусть даны прямая l и точка ),,( 0000 zyxM = , требуется записать

уравнение плоскости ,α проходящей через эти точку и прямую. Сначала запишем уравнение плоскости, проходящей через точку 0M :

.0)()()(: 000 =−+−+− zzCyyBxxAα Нормальный вектор { , , }n A B C= плоскости α можно найти как векторное произведение направляющего вектора l прямой l и вектора 01 MM , где 1M – произвольная точка прямой l, М0 – данная точка т. е.

],[ 01MMln = .

68

Пример 3. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку )2,1,3( − и прямую

123

54 zyx

=−

=− .

Выпишем уравнение плоскости, проходящей через точку )2,1,3(0 −=M :

.0)2()1()3( =++−+− zCyBxA

Возьмем точку 1M на прямой 12

35

4 zyx=

−=

− , например, ).0,3,4(1 =M Тогда

вектор 1 0 { 1, 2, 2}M M = − − − . Нормальный вектор плоскости есть

1 0[ , ] 5 2 1 2 9 8 { 2,9, 8}1 2 2

i j kn e M M i j k= = = − + − = − −

− − −.

Уравнение плоскости, которая проходит через точку )2,1,3( − и через прямую

123

54 zyx

=−

=− , есть ,0)2(8)2(9)3(2 =+−−+−− zyx т.е. .028892 =−−+− zyx

5.4. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

Задача о нахождении уравнения плоскости, проходящей через две параллельные прямые, сводится к задаче, описанной в пункте 5.3, если в качестве точки 0M взять точку на прямой 2l , в качестве точки 1М , взять точку на прямой 1l , а в

качестве вектора l − направляющий вектор прямой 1l . Пример 4. Написать уравнение плоскости α , проходящей через прямые

21

31

42:1 −

−=

+=

− zyxl

и

49

63

81:2

−=

−+

=−+ zyxl .

Направляющие векторы }2,3,4{1 −=l и }4,6,8{2 −−=l прямых 21 , ll параллельны,

так как 42

63

84 −

=−

=−

.

69

Выбираем точку )9,3,1(0 −−M на прямой 2l , точку )1,1,2(1 −M на прямой 1l . Тогда

}8,2,3{01 −−=MM , }2,3,4{1 −== ll .

.2620823234],[ 01 kji

kjiMMln +−=

−−−==

Тогда, согласно (3.2), уравнение плоскости α будет иметь вид 0)9()3(26)1(20 =−++−+ zyx

или .0672620 =−+− zyx

5.5. Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся

прямые

Найти уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые, также можно с помощью рассуждений, приведенных в пункте 5.3. При этом в качестве точки 0M берем произвольную точку, лежащую на одной из прямых, а в качестве нормального вектора n векторное произведение

направляющих векторов прямых 1l и 2l : 1 2[ , ].n l l=

Пример 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые:

41

322:1

−=

−=

+ zyxl ,

27

41

33:2

−=

−=

− zyxl .

Проверим, будут ли прямые 21 , ll пересекаться. Для этого запишем уравнения прямой 1l в параметрической форме:

+=−=−=

,14,3,22

tzty

tx (5.4)

и подставим вместо zyx ,, в уравнение прямой 2l :

264

413

352:2

−=

−−=

− tttl .

Решая уравнения

70

413

352 −−=

− tt и 2

644

13 −=

−− tt ,

получим, что они имеют одинаковые решения 1t = , и, следовательно, прямые 1l и 2l пересекаются. Для нахождения точки пересечения прямых 1l и 2l , подставим 1t = в уравнения (5.4). Получим

0,3,

5.

xyz

== −=

Далее, для того, чтобы написать уравнение плоскости α , берем, например, точку 0 (0, 3,5)M − (в качестве этой точки можно выбрать также точку 1( 2,0,1)M − , лежащую

на прямой 1l , или точку M2 (3,1,7), лежащую на прямой 2l ) и нормальный вектор

1 2[ , ],n l l= где

1 {2, 3,4}l = − – направляющий вектор прямой 1l ,

2 {3,4,2}l = – направляющий вектор прямой 2l . Тогда

.17822243432 kjikji

n ++−=−=

Уравнение плоскости α , согласно (3.2) будет иметь вид: 22( 0) 8( 3) 17( 5) 0,x y z− − + + + − =

или, после упрощения, 22 8 17 61 0.x y z− − + =

5.6. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Для того, чтобы найти расстояние от точки ),,( 111 zyxP = до прямой

pzz

nyy

mxxl 000: −

=−

=− ,

проведем через P плоскость α , перпендикулярную прямой l . Точка Q есть пересечение прямой l и плоскости α . Искомое расстояние от точки P до данной прямой будет равно расстоянию от точки P до точки Q .

71

Уравнение плоскости, проходящей через точку P , имеет вид

α : 0)()()( 111 =−+−+− zzCyyBxxA ;

эта плоскость должна быть перепендикулярна к прямой l . По условию перпендикулярности прямой и плоскости

pC

nB

mA

== ;

выбирая для простоты множитель пропорциональности, равный единице, находим pCnBmA === ,, . Итак, уравнение плоскости α будет иметь вид

0)()()( 111 =−+−+− zzpyynxxm . Теперь мы должны найти точку ),,( 222 zyxQ = , в которой эта плоскость пересекается с данной прямой. Для этого нужно уравнения данной прямой решить совместно с найденным уравнением плоскости α (см. п. 5.1).

Искомое расстояние d от точки P до прямой l , равное расстоянию между точками P и Q , найдется по формуле

.)()()( 221

221

221 zzyyxxd −+−+−=

Пример 6. Найти расстояние d от точки (7,9,7)P до прямой 2 1: .

4 3 2x y zl − −

= =

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точку P и перпендикулярной l. Возьмем в качестве точки 0 0 0 0( , , )M x y z точку (7,9,7)P , а в качестве нормального вектора плоскости

{4,3,2}.n l= = Тогда уравнение плоскости α будет иметь вид:

4( 7) 3( 9) 2( 7) 0,x y z− + − + − = или

4 3 2 69 0.x y z+ + − = (5.5) Найдем точку пересечения прямой l и плоскости α (см. п. 5.1.). Запишем параметрические уравнения прямой l:

4 2,3 1,

2 .

x ty t

z t

= + = + =

(5.6)

72

и подставим их в уравнение (5.5): 4(4 2) 3(3 1) 2 2 69 0,t t t+ + + + ⋅ − =

откуда 2.t = Подставив 2t = в (5.6), найдем координаты точки пересечения прямой l и плоскости α :

10,x = 7,y = 4.z = Расстояние d от точки P до плоскости α :

2 2 20| | (7 10) (9 7) (7 4) 9 4 9 22.d M P= = − + − + − = + + =

5.7. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Задачу о нахождении растояния между параллельными прямыми можно свести к задаче, которая рассматривалась в п. 5.6. Точку P выбрать на прямой 1l , затем построить плоскость α , перепендикулярную прямой 2l и проходящую через точку P , а точка Q будет пересечением прямой 2l и плоскости α . Расстояние между параллельными прямыми будет равным расстоянию между точками P и Q .

Пример 7. Найти расстояние d между прямыми

12 1:

7 3 5x y zl + −= = и 2

1 3 2:7 3 5

x y zl − − += = .

Заметим, что прямые 1l и 2l параллельны. Возьмем в качестве точки P точку, лежащую на прямой 1l : (0, 2,1)P − . Далее, как в примере 6, напишем уравнение плоскости α , проходящей через точку

(0, 2,1)P − и перпендикулярной прямой 2l : 7( 0) 3( 2) 5( 1) 0x y z− + + + − = , или

7 3 5 1 0x y z+ + + = (5.7) Найдем точку пересечения прямой 2l с плоскостьюα . Для этого запишем параметрические уравнения прямой 2l :

7 1,3 3,5 2,

x ty tz t

= + = + = −

(5.8)

подставим в уравнение (5.7): 7(7 1) 3(3 3) 5(5 2) 1 0,t t t+ + + + − + =

73

откуда 7 .83

t =

Подставляя найденное значение 783

t = в уравнения (5.8), получим

49 1321 ,83 83

x = + =

21 21 3 833 ,83 83

y + ⋅= + =

35 35 2 832 .83 83

z − ⋅= − =

Таким образом, координаты точки 0M пересечения прямой l и плоскости α :

0132 270 131, ,83 83 83

M −

.

Искомое расстояние между параллельными прямыми 0| |d M P= .

5.8. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Скрещивающимися прямыми называются прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

Пусть имеются две скрещивающиеся прямые

1

1

1

1

1

11 :

pzz

nyy

mxxl −

=−

=−

и 2

2

2

2

2

22 :

pzz

nyy

mxxl −

=−

=−

Строим параллелепипед на векторах 1l , 2l и 10 MM , где ),,( 0000 zyxM = точка на прямой 1l , ),,( 1111 zyxM = точка на прямой 2l . Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми 1l и 2l равно высоте параллелепипеда и вычисляется по формуле

1 1 1

2 2 2

2 1 2 1 2 1

1 2

,[ , ]

пар

осн

m n pm n p

V x x y y z zd

S l l− − −

= =

74

где 1 2 1 1 1

2 2 2

[ , ] ,i j k

l l m n pm n p

= а 1 2[ , ]l l − это длина векторного произведения 1, 2[ ]l l ,

численно равная площади параллелограмма, построенного на векторах 1l , 2l Пример 8. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми

19 2:

4 3 1x y zl − +

= =−

,

27 2:

2 9 2x y zl + −= =

−.

Направляющий вектор прямой 1l : 1 {4, 3,1},l = − направляющий вектор прямой 2l : 2 { 2,9,2}.l = − Берем точку 0 (9, 2,0)M − на прямой 1l и точку 1(0, 7, 2)M − на прямой 2l .

Тогда 0 1 { 9, 5, 2}.M M = − −

Вычислим объем параллелепипеда, построенного на векторах 1l , 2l и 0 1M M : 4 3 12 9 2 72 54 10 81 40 12 245.9 5 2

парV−

= − = + + + + − =− −

Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах 1l и 2l . Для этого найдем их векторное произведение и вычислим его длину:

1 2[ , ] 4 3 1 ( 6 9) (8 2) (36 6) 15 10 30 .2 9 2

i j kl l i j k i j k= − = − − − + − − = − − +

−

2 2 21 2, ( 15) ( 10) 30 225 100 900 1225 35.оснS l l = = − + − + = + + = =

245 7.35

пар

осн

Vd

S= = =

75

Тема 6. Кривые второго порядка

6.1. Геометрический смысл уравнений

Отметим без доказательства, что уравнение F(x, y) = 0, (6.1)

связывающее координаты x и y, изображает линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, и обратно, любая линия на плоскости изображается уравнением (6.1). Замечание. В частности, может случиться, что уравнение (6.1) между координатами x и y изображает геометрическое место, состоящее из одной или нескольких отдельных точек. Так, например, уравнение:

x 2 + y 2 = 0 определяет точку O (0, 0); уравнению

(x 2 - 9) 2 + (y 2 - 1) 2 = 0 соответствует геометрическое место, состоящее из четырех точек: (3, 1), (3, -1), (-3, 1), (-3, -1). Кроме того, может случиться, что уравнение (6.1) не определяет никакого геометрического места точек. Так, например, уравнение

x 2 + y 2 + 4 = 0 не удовлетворяется ни при каких действительных значениях координат x и y. В этом случае говорят, что уравнению соответствует мнимое место точек.

6.2. Две основные задачи

Из изложенного в 1 и 2 вытекает постановка двух основных задач. I. Дана линия как геометрическое место точек. Составить уравнение

этой линии. II. Дано уравнение, связывающее координаты x и y. Построить линию,

изображаемую этим уравнением.

Мы рассмотрим в дальнейшем соответствующие задачи.

76

6.3. Окружность Окружность с центром в точке C(a, b) и радиуса R изображается

уравнением:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (6.2) Раскрывая скобки, придадим уравнению (6.2) вид:

x 2 + y 2 – 2ax – 2by + (a 2 + b 2 - R 2 ) = 0, (6.2') или

x 2 + y 2 + Ax + By + C= 0, (6.2'') где

A = -2a, B = -2b, C = a 2 + b 2 - R 2 .

Уравнение (6.2'') содержит члены второй и первой степени и свободный член относительно x и y. Такое уравнение называют уравнением второй степени. Итак, окружность изображается уравнением второй степени относительно текущих координат. Но, очевидно, не всякое уравнение второй степени изображает окружность. Действительно, из уравнения (6.2'') видим, что в уравнении окружности коэффициенты при квадратах координат равны, а член с произведением координат (xy) отсутствует. Обратно, если эти два условия [1) равенство коэффициентов при x 2 и y 2 ; 2) отсутствие члена xy] осуществлены, то уравнение изображает окружность, так как оно приводится к виду (6.2') путем деления на коэффициент при x 2 .

Итак, по виду данного уравнения второй степени мы можем решить, изображает ли оно окружность или нет.

Пример 1. Уравнение

036422 =−+−+ yxyx изображает окружность, так как в нем коэффициенты при квадратах координат равны между собой, а член с произведением координат отсутствует. Желая построить эту окружность, мы должны предварительно определить координаты ее центра и величину радиуса. С этой целью данное уравнение мы приведем к виду (6.2). Такое преобразование есть ни что иное, как представление (6.2'') в виде (6.2). Возьмем в данном уравнении члены, содержащие x, т.е. x 2 + 4x, и представим этот двучлен как неполный квадрат разности (x - 2), получим: x 42− x = (x - 2) 2 – 4. Далее возьмем члены, содержащие y, т. е. y 2 + 6y, и представим этот двучлен, как неполный квадрат суммы (y + 3), получим: y 2 + 6y = (y + 3) 2 – 9.

77

y -2 1 2 x -3

(2,-3)

После этого данное уравнение запишется так: (x - 2) 2 – 4 + (y + 3) 2 - 9 – 3 = 0. Перенося свободные члены вправо, будем иметь: (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16. Сравнивая это уравнение с уравнением окружности (6.2), видим, что a = 2, b = - 3, R = 4. Таким образом, центром окружности является точка (2, - 3), и радиус окружности равен 4.

По этим данным мы можем построить окружность (см. рис. 6.1).

6.4. Эллипс

Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых до

двух данных точек есть величина постоянная, равная 2a.

Чтобы составить уравнение эллипса, примем за ось абсцисс прямую, соединяющую две данные точки, а начало координат возьмем в середине между данными точками (рис. 6.2).

Обозначим через 2c расстояние FF' между данными точками. Тогда точки F и F' будут иметь соответственно координаты: (c, 0) и (-c, 0). Обозначая через x и y координаты произвольной точки M эллипса, выразим по формуле расстояния между двумя точками отрезки FM и F'M:

2222 )(',)( ycxMFycxFM ++=+−= . По определению геометрического места точек M имеем:

aMFFM 2' =+ или

.2)()( 2222 aycxycx =++++− Чтобы искомое уравнение эллипса приняло простейший вид, нужно освободиться от радикалов в этом уравнении. Перенося один радикал вправо, получим:

2222 )(2)( ycxaycx ++−=+− . Возводя в квадрат обе части, найдем:

222222222 2)(442 yccxxycxaayccxx ++++++−=++− или

222 )(444 ycxaacx ++−=− . Т. е.

.)( 222 ycxaacx ++=+

рис. 6.1

78

Возводя снова в квадрат, получим:

)2(2 22224222 yccxxaacxaxc +++=++ или

,222222422 yacaxaaxc ++=+ т. е.

).()( 22222222 caayaxca −=+−

Разделив обе части на )( 222 caa − , получим:

.122

2

2

2

=−

+ca

yax (6.3)

Так как c < a, то 22 ca − - положительная величина (ее принято обозначать через 2b ), тогда уравнение эллипса будет иметь вид

,12

2

2

2

=+by

ax (6.4)

где .222 cab −= (6.5)

Исходя из полученного уравнения (6.4), легко исследовать форму эллипса. Так как уравнение (6.4) содержит только квадраты текущих координат, то оно не изменяется, если изменить знаки одной или обеих координат, следовательно, эллипс симметрично расположен относительно осей OX и OY. Определим сначала точки пересечения эллипса с осями координат. Полагая в уравнении (6.4) y = 0, найдем абсциссы точек пересечения

эллипса с осью OX : 12

2

=ax , откуда 22 ax = и x = +a. Эти две точки

пересечения эллипса с осью симметрии OX называются его вершинами, расстояние между ними равно 2a. Полагая в уравнении (6.4) x = 0,

найдем ординаты точек пересечения эллипса с осью OY : 12

2

=by , откуда

22 by = , y = +b. Эти две точки пересечения эллипса со второй осью симметрии OY называют его вершинами, расстояние между ними равно 2b. Если предположить, что a > b, то 2a - длина большой оси симметрии эллипса, 2b – длина малой оси, a и b, следовательно, длины полуосей эллипса. Чтобы исследовать форму эллипса, достаточно считать x и y в уравнении (6.4) положительными, потому что, как было выше замечено, эллипс симметрично расположен относительно осей координат. Из уравнения (6.4) следует, что

,12

2

≤ax

или ax ≤ ,

79

т. е. x может изменяться от 0 до a. С увеличением x от 0 до a, y уменьшается от b до 0. Таким образом, эллипс имеет форму, указанную на рис. 6.2. Точки F и F' называются фокусами эллипса, расстояние между ними равно 2c. Зная фокусы F и F' и длину 2a большой оси, легко построить эллипс: нужно взять нитку длиной 2a, укрепить два ее конца в точках F и F' и, придав ей форму FMF', описать точкой M эллипс (в точке M поместить карандаш). Если a = b, эллипс обращается в окружность радиуса a.

6.5. Гипербола Гипербола есть геометрическое место точек, разность расстояний

которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2a.

Чтобы составить уравнение гиперболы, выберем оси координат так же, как в 6.4. Имеем:

,2)()( 2222 aycxycx =+−−++ где 2c есть расстояние FF' между данными точками, называемыми фокусами гиперболы. Освобождаясь от радикалов, получим, как и в (6.2), уравнение:

.122

2

2

2

=−

+ca

yax

(6.6)

Действительно, перенося первый радикал направо, получим:

.2)()( 2222 aycxycx =+−−++ Это уравнение отличается от соответствующего уравнения эллипса лишь знаком в левой части. Следовательно, различие совершенно исчезает при возведении обеих частей уравнения в квадрат. В данном случае c > a, а потому 22 aс − >0. Полагая

,222 acb −= (6.6') запишем уравнение гиперболы:

F

M(x,y) b

F′ (-c,0) (c,0)

a

рис. 6.2

80

.12

2

2

2

=−by

ax

(6.7)

Оси координат являются двумя осями симметрии, так как x и y входят лишь в квадратах. Определим точки пересечения гиперболы с осями координат. Полагая в уравнении (6.4') y = 0, найдем абсциссы точек пересечения гиперболы с осью

OX: 12

2

=ax , откуда x 2 = a 2 , x = +a. Эти две точки пересечения гиперболы с

осью симметрии OX называются ее вершинами, расстояние между ними равно 2a. Чтобы найти точки пересечения с осью OY, положим в уравнении (6.7) x = 0. Получим для определения ординат этих точек уравнение:

222

2

,1 byby

−==− ,

откуда y = + 12 −±=− bb ,

т.е. ординаты точек пересечения гиперболы с осью OY будут мнимыми числами: это значит, что ось OY не пересекает гиперболы. Ось OX называется действительной осью гиперболы, а ось OY – ее мнимой осью.

xaby ±= .

При исследовании формы гиперболы достаточно рассматривать положительные x и y, потому что кривая симметрично расположена относительно осей координат. Так как из уравнения (6.7) следует,

что 12

2

≥ax , то x может изменяться от a до + ∞. Когда

x увеличивается от a до + ∞, то y тоже увеличивается от 0 до + ∞.

6.6. Парабола Парабола есть геометрическое место точек, равноотстоящих от

данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Чтобы составить уравнение параболы, примем за ось OX прямую, проходящую через данную точку F перпендикулярно к данной прямой, за

c -c

b

-b

a -a

рис. 6.3

81

начало координат возьмем середину O отрезка от точки F до данной прямой, равного p (рис. 6.4). Координаты точки F будут: .0,

2

p

Обозначим через x и y координаты произвольной точки M параболы. Координаты точки K будут: .,

2

− yp

Так как по определению FM = MK, то, применяя формулу расстояния между двумя точками, получим:

.)2

()2

( 222 pxypx +=+−

Возводя обе части в квадрат, найдем:

,22

22

2

+=+

−

pxypx

или

,44

222

22 ppxxyppxx ++=+++

откуда .22 pxy = (6.8)

Чтобы исследовать форму параболы по ее уравнению (6.8), заметим, что x может принимать лишь положительные значения, т.е. все точки параболы лежат справа от оси OY. Каждому значению x соответствуют два значения y, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, т.е. кривая симметрично расположена относительно оси OX. С увеличением x ордината y увеличивается, причем, когда x неограниченно растет, то y тоже неограниченно растет, отсюда, форма кривой имеет вид, данный на рис. 6.4. Парабола имеет одну ось симметрии, один фокус F, одну вершину в точке O. Данная прямая является директрисой параболы.

Замечание. При точном вычерчивании эллипса, гиперболы и параболы нужно иметь на чертеже ряд точек этих кривых. Координаты этих точек мы получим, задавая произвольно их абсциссы и определяя ординаты из уравнения кривой.

Все три рассмотренные типа линий (эллипс, гипербола, парабола) могут быть получены путем пересечения круглого конуса плоскостью, а потому они называются коническими сечениями.

F 0 p/2 -p/2

M(x, y)

− ypK ,

2

рис. 6.4

82

6.7. Построение точек эллипса, гиперболы и параболы при помощи циркуля и линейки

Из уравнения эллипса (6.4) определяем a и b, изображая их отрезками OA

и OB на осях координат (рис. 6.5). Из точки B как центра радиусом, равным a, описываем окружность, которая в пересечении с осью OX даст фокусы эллипса F и F', так как при таком построении соблюдается зависимость:

222 bас −= . Найдя фокус эллипса, делим отрезок 2a произвольно на две части: r и r' = 2a – r и радиусами, равными r и r', описываем две окружности, принимая за их центры фокусы F и F'. Эти окружности пересекутся в двух точках M и M', лежащих на эллипсе, так как сумма расстояний каждой из этих точек до фокусов будет равна 2a. Меняя r, будем получать новые точки эллипса. Аналогично проводится построение точек гиперболы. Определяя из уравнения гиперболы (6.7) a и b, изображаем их отрезками OA и OB на осях координат (рис. 6.6). Из точки O как из центра радиусом, равным r = c = AB, описываем окружность, которая в пересечении с осью OX даст фокусы гиперболы F и F ′. Найдя фокусы гиперболы, описываем из них, как из центров, две окружности радиусов r и r' = 2a + r, где r произвольно. Эти окружности в пересечении дадут точки M и M′ правой ветви гиперболы, так как разность расстояний каждой из этих точек до фокусов будет равна r′ – r = 2a. Меняя r,

M′

M

0

F

K

d

p

y

x

2a

M

a

0 F′ F

M′

В

A′ x

A

y

M′

M

y

x F F′ A

2a A′

0

В c

рис. 6.5 рис. 6.6

рис. 6.7

83

будем получать новые точки правой ветви гиперболы. Изменяя роль фокусов, получим точки левой ветви гиперболы. Перейдем, наконец, к построению точек параболы. Прежде всего, строим фокус и директрису параболы, откладывая по оси OX отрезок OF, равный

2p ,

вправо от O, такой же отрезок OK – влево от O и проводя через точку K прямую, перпендикулярную фокальной оси (рис. 6.7). Параметр p определяется из уравнения параболы. Проводим прямую, перпендикулярную к фокальной оси, на произвольном расстоянии

>

2pdd от директрисы и из

фокуса F, как из центра, описываем окружность радиуса d. Прямая линия и окружность пересекаются в точках M и M', которые принадлежат параболе, так как для каждой из этих точек расстояния до фокуса и директрисы равны между собой.

6.8. Классификация линий второго порядка на плоскости

Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется

уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) имеет вид:

,0222 3323132

22122

11 =+++++ ayaxayaxyaxa (6.9)

где .0222

212

211 ≠++ aaa Группа слагаемых 2

22122

11 2 yaxyaxa ++ называется квадратичной частью уравнения (6.9), группа слагаемых yaxa 2313 22 + − линейной частью, а 33a − свободным членом.

Приведем без доказательства следующую теорему о классификации линий второго порядка на плоскости.

Теорема. Уравнение (6.9), где ,02

222

122

11 ≠++ aaa заданное в прямоугольной декартовой системе координат, определяет одну и только одну из следующих линий (в некоторой прямоугольной системе координат):

1) 0,12

2

2

2

>≥=+ baby

ax (эллипс, а при ba = – окружность);

2) 12

2

2

2

−=+by

ax (мнимый эллипс);

84

3) 02

2

2

2

=+by

ax (пара мнимых пересекающихся прямых);

4) 12

2

2

2

=−by

ax (гипербола);

5) 02

2

2

2

=−by

ax (пара пересекающихся прямых);

6) pxy 22 = , 0>p (парабола); 7) 22 ay = , 0≠a (пара параллельных прямых); 8) 22 ay −= , 0≠a (пара мнимых параллельных прямых); 9) 02 =y (пара совпадающих прямых).

6.9. Приведение уравнения второго порядка на плоскости к

каноническому виду

6.9.1. Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов)

1. Пусть в общем уравнении (6.9) 011 ≠a . Выделим полный квадрат в группе членов, содержащих переменную x :

.222

1311

1211

2

1311

12111312

211

+−

++=++ ay

a

aaay

a

axaxayxaxa

Положим

.1311

12 ayaaxx ++=′ (6.10)

Тогда уравнение (6.9) примет вид .02 3323

222

211 =′+′+′+′ ayayaxa (6.11)

Если 022 ≠′a , то, положив

22

23

aayy′′

+=′ , (6.12)

приводим уравнение (6.11) к уравнению 0,0 221133

222

211 ≠=′′+′+′ aaayaxa , (6.13)

которое является приведенным уравнением I типа. Если в уравнении (6.11) 022 =′a , то

• в случае когда 023 =′a , уравнение (6.11) является приведенным уравнением типа III;

• в случае когда 023 ≠′a , положив 23

33

2aayy′′

+=′ , приводим уравнение

(6.11) к уравнению 0,02 131113

211 ≠=′+′ aayaxa ,

85

которое является приведенным уравнением II типа. 2. Пусть в общем уравнении (6.9) 0,0 2211 ≠= aa . Поступая так же как в

п. 1 (с точностью до названия переменных), освобождаемся от слагаемого xya122 и линейной части (если это возможно) и приводим к приведенным

уравнениям, не изменив знаков инвариантов 32 , KI . 3. Пусть в общем уравнении (6.9) 0,0 2211 == aa . Тогда 012 ≠a . Положив

yxyyxx ′−′=′+′= , , (6.14) сводим этот случай к уже рассмотренным.

Пример 2. Определить вид кривой, координаты центра (если он существует), координаты фокусов, координаты вершин, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис, асимптот для гиперболы и величину параметра p в случае параболы. 1) 041105459 22 =+−++ yxyx . Группируем члены, содержащие переменные x и y:

.041)105()549( 22 =+−++ yyxx Вынося за скобки коэффициенты перед 2x и 2y и выделяя полные квадраты, получим:

45)1(5)3(9,0415)12(581)96(9

22

22

=−++

=+−+−+−++

yxyyxx

или

.19

)1(5

)3( 22

=−

++ yx

Это уравнение определяет эллипс с центром в точке О(-3; 1) (рис. 6.8). Полуоси: .259;3;5 =−=== cba

Фокусы ).1;3(),3;3( 12 −−− FF Так как ab > , то

эксцентриситет bc

=ε , т.е. .32

=ε

Уравнения директрис имеют вид εby ±=−1 , т.е. .

27,

211

3/231 −==⇒±=− yyy

2) 01615464916 22 =−−−− yxyx . Группируем члены, содержащие переменные x и y, выносим за скобки коэффициенты перед 2x , 2y и, выделяя полные квадраты, получаем:

144)3(9)2(16,016181)96(964)44(16

22

22

=+−−

=−+++−−+−

yxyyxx

или

0

A1 O

x

y

B2

y=-7/2

y=11/2

F1

A2

F2

рис. 6.8

86

.116

)3(9

)2( 22

=+

−− yx

Это уравнение определяет гиперболу с центром в точке О(2; -3). Полуоси: .5169;4;3 =+=== cba

Фокусы ).3;3(),3;7( 12 −−− FF Эксцентриситет 35

=ε , тогда уравнения директрис

имеют вид εax ±=− 2 , т.е. .0195,015

3/532 =−=−⇒±=− xxx Асимптоты

определяются уравнениями ),2(3 −±=+ xaby т.е. 01734 =−− yx и .0134 =++ yx

3) .0712164 2 =−−+ yxy Преобразуем данное уравнение следующим образом:

;716)3(4 2 +−=− xyy

).1(4)2/3(;9716)4/9)2/3(2(4

2

2

−−=−

++−=+−

xyxyy

Это уравнение определяет параболу, вершина которой лежит в точке ).23;1(A Ось

симметрии определяется уравнением 23

=y . Ветви параболы располагаются слева от

вершины. Параметр параболы p равен 2. Фокус имеет координаты )2/3;2/1( p− , т.е.

).2/3;0( Директриса определяется уравнением .22/21 =⇒=− xx

6.9.2. Центр линии второго порядка на плоскости

Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по

отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

Точка ),( 00 yxS является центром линии, определяемой уравнением (6.9), в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям:

=++=++

.0,0

23022012

13012011

ayaxaayaxa (6.15)

Обозначим через δ определитель этой системы:

2212

1211

aaaa

=δ .

Величина δ составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (6.9) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.

87

Если 0≠δ , то система (6.15) имеет единственное решение. В этом случае координаты центра определяются формулами:

2212

1211

2322

1312

0

aaaaaaaa

x = ,

2212

1211

1223

1113

0

aaaaaaaa

y = .

Если ),( 00 yxS – центр линии второго порядка, то после переноса начала координат в центр линии, что соответствует следующему преобразованию:

0xx += ξ , 0yy +=η , ее уравнение примет вид

,02 332

22122

11 =′+++ aaaa ηξηξ

где 3302301333 ayaxaa ++=′ . При 0≠δ имеет место также следующая формула:

δ∆

=′33a ,

где

332313

232212

131211

aaaaaaaaa

=∆ .

Определитель ∆ называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.

6.9.3. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии

второго порядка

Уравнение

0222 3323132

22122

11 =+++++ ayaxayaxyaxa , (6.16) определяющее центральную линию второго порядка )0( 2

122211 ≠−= aaaδ , можно привести к простейшему виду

0332

222

11 =′+′+′ aaa ηξ , (6.17) где 011 ≠′a , 022 ≠′a . Преобразуя уравнение (6.16) по формулам

0xx += ξ , 0yy +=η , где 0x , 0y - координаты центра, получим:

02 332

22122

11 =′+++ aaaa ηξηξ ,

88

где 3302301333 ayaxaa ++=′ или δ∆

=′33a .

Если 012 =a , то уравнение (6.16) уже приведено к простейшему виду (6.17) и дальнейшие преобразования не нужны. В противном случае упрощение завершается поворотом осей на угол α :

αηαξηαηαξξ cossin,sincos 00 +=−= ,

где α удовлетворяет условию 2211

1222tgaa

a−

=α . Если 2211 aa = , то α нужно

считать равным 4/π .

Пример 3. Привести уравнение к каноническому виду и определить его тип.

.0131423103 22 =−−−++ yxyxyx Так как

,0163553

≠−==δ

поэтому координаты центра находим по формулам:

27315

0 =−−

=δ

x ,

15731

0 −=−−

=δ

x .

Перенесем центр линии в начало координат, сделав следующие преобразования: .1 , 2 −=+= ηξ yx

Уравнение примет вид: .083 103 22 =−++ ηξηξ

Теперь завершим преобразование поворотом осей на угол :4/πα =

). (22 , )-(

22 vuvu +== ηξ

Получим уравнение гиперболы:

.14

2

=−vu 2

6.9.4. Приведение к простейшему виду параболического уравнения

Пусть уравнение (6.16) является параболическим, т.е. 02

122211 =−= aaaδ . Тогда линия, определяемая уравнением (6.16), либо не имеет центра, либо

89

имеет бесконечно много центров. Упрощение параболического уравнения начинают с поворота координатных осей:

αηαξαηαξ cossin,sincos +=−= yx ,

где 2211

1222tgaa

a−

=α при 2211 aa ≠ и 4πα = при 2211 aa = . В новых координатах

уравнение (6.16) приводится либо к виду 022 332313

211 =+′+′+′ aaaa ηξξ , где 011 ≠′a ,

либо к виду 022 332313

222 =+′+′+′ aaaa ηξη , где 022 ≠′a .

Дальнейшее упрощение достигается путем параллельного переноса повернутых осей.

6.9.5. Классификация линий второго порядка по инвариантам

6.9.5.1. Компактная запись общего уравнения

Положим

.,,23

13

2212

1211

=

=

=

yx

Xaa

baaaa

A

Матрица A называется матрицей квадратичной части. В этих обозначениях уравнение (6.16) может быть записано в более компактной форме

.0,,02 33 ≠==++ AAAaXbAXX TTT Введем новую матрицу

=

=

33332313

232212

131211

abbA

aaaaaaaaa

BT

, (6.18)

где [ ].,, 231323

13

2212

1211 aabaa

baaaa

A T =

=

=

Числа BKAIAtrI === 321 ,, называются инвариантами линии второго

порядка, число 3323

2322

3313

13112 aa

aaaaaa

K += − полуинвариантом.

6.9.5.2. Характеристический многочлен

Характеристическим многочленом матрицы nn

ij RaA ×∈= )( называется функция )(λf , определенная равенством

.||)( IAf λλ −= (6.19)

90

Легко проверить, что:

1. если 2=n , то 012 )()()( aaf +−+−= λλλ , где Atra =1 , ||0 Aa = ; (6.20)

2. если 3=n , то 012

23 )()()()( aaaf +−+−+−= λλλλ , где

Atra =2 , 3332

2322

3331

1311

2221

12111 aa

aaaaaa

aaaa

a ++= , ||0 Aa = . (6.21)

Главным минором называется минор, расположенный в строках и столбцах с одинаковыми номерами. Матрицы nnRBA ×∈, называются подобными, если существует невырожденная матрица Q такая, что

.1BQQA −= (6.22) Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают. Следствие. У подобных матриц второго порядка совпадают следы и определители. У подобных матриц третьего порядка совпадают следы, суммы главных миноров второго порядка и определители.

6.9.5.3. Преобразования общего уравнения

Пусть исходная декартова система координат Oxy соответствует началу O и базису ),( 21 eee = . Переход к новой системе координат yxO ′′′ означает перенос начала в точку ),( 00 yxO ′′′ и преобразование базиса eeQ ′= с матрицей перехода Q . При этом старые координаты TyxX ),(= связаны с новыми

TyxX ),( ′′=′ формулами преобразования координат: 1. TyxaXaX ),(, 00 ′′=′+= , в случае переноса начала; 2. XQX ′= , в случае преобразования базиса.

Теорема. При переходе к новому базису eQe =′ общее уравнение (6.16) преобразуется в уравнение

,02 33 =+′′+′′′ aXbXAX TT (6.23) где ,, bQbAQQA TT =′=′ при этом:

1. знаки инвариантов 32 , KI не изменяются; 2. в случае, когда e и e′ − ортонормированные базисы, инварианты

321 ,, KII и полуинвариант 2K не изменяются. Замечание . Отметим, что при переходе к новому базису свободный член не изменяется.

91

Теорема . При переносе начала координат в точку ),( 00 yxO ′′′ общее уравнение (6.16) преобразуется в уравнение

02 33 =′+′′+′′′ aXbXAX TT , (6.24) где TTT yxaaabAaaaAabb ),(,2, 003333 ′′=++=′+=′ , при этом инварианты 321 ,, KII не изменяются. Теорема. Общее уравнение линии второго порядка, заданное в прямоугольной системе координат, переходом к другой прямоугольной декартовой системе координат приводится к одному из следующих типов уравнений:

1. 002

22

1 =++ ayx λλ , где 021 ≠λλ ; 2. 02 00

22 =+ xbyλ , где 002 ≠bλ ; (6.25)

3. 002

2 =+ cyλ , где 02 ≠λ .

6.9.5.4. Метод вращений

Если 012 ≠a , то поворотом осей можно привести квадратичную часть

уравнения (6.16) к сумме квадратов. Действительно, поворот осей на угол ϕ приводит к новому базису eQe =′ с матрицей перехода

.cossinsincos

−=

ϕϕϕϕ

Q

Очевидно, IQQQQ TT == , т.е. Q − ортогональная матрица. Согласно теореме 2 при переходе к системе координат yxO ′′′ матрица квадратичной части A преобразуется в матрицу

−

−

=′ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

cossinsincos

cossinsincos

2212

1211

aaaa

A ,

при этом ϕϕϕϕϕϕϕϕ 2sin)(

212cossincoscossinsincos 22111222

212

2121112 aaaaaaaa −−=++−−=′ .

Если )2/()(2cot 122211 aaa −=ϕ , то 012 =′a . Таким образом при повороте осей на такой угол ϕ квадратичная часть уравнения преобразуется в сумму квадратов и уравнение (6.16) в новой системе координат будет иметь вид

.022 3323132

222

11 =+′′+′′+′′+′′ ayaxayaxa (6.26) Инварианты 321 ,, KII и полуинвариант 2K останутся прежними.

92

6.9.5.5. Перенос начала Далее будем упрощать уравнение (6.26). Если 011 ≠′a , то

.2211

2132

1111

13

11

213

2

11

1311

11

1321113

211 a

axaaaxx

aax

aaxax

aaxaxaxa

′′

−′′′=

′′

+′=′′=′′

−

′

′′

+′′=

′

′′

+′′=′′+′′

Если 011 ≠′a и 022 ≠′a , то переносом начала

11

13

aaxx′′

+′=′′ , 22

23

aayy′′

+′=′′

уравнение (6.26) преобразуется в уравнение ,0,0 221133

222

211 ≠′′=′+′′′+′′′ aaayaxa

где 22

223

11

213

3333 aa

aaaa

′′

−′′

−=′ , т.е. в уравнение типа 1.

Пусть один из коэффициентов 11a′ и 22a′ равен нулю. Если 011 =′a , 022 ≠′a , то переносом начала

xx ′=′′ , 22

23

aayy′′

+′=′′

уравнение (6.26) преобразуется в уравнение ,0,02 223313

211 ≠′=′+′′′+′′′ aaxaya (6.27)

где 22

223

3333 aaaa′′

−=′ .

Когда 011 ≠′a , 022 =′a , то этот случай сводится к предыдущему переименованием переменных

xyyx ′=′′′=′′ , ,

что соответствует переходу к новому базису с матрицей перехода

=

0110

Q .

Так как Q ортогональная матрица, то числа 2321 ,,, KKII при таком переходе не изменяются. Дальнейшие преобразования уравнения (6.26) сводятся к преобразованию уравнения (6.27). Если в этом уравнении 013 =a , то уравнение (6.27) относится к уравнению типа 3. Если же 013 ≠a , то )2/(22 133313

2113313

211 aaxayaaxaya ′′+′′′+′′′=′+′′+′′′ и переносом

начала yyaaxx ′′=′′′′′+′′=′′′ ,2/ 1333

уравнение (6.27) приводится к уравнению 0,02 132213

222 ≠′′=′′′′+′′′′ aaxaya ,

которое относится к типу 2.

93

Отметим, что все промежуточные и окончательная системы координат оставались прямоугольными, так как преобразования базиса с помощью ортогональной матрицы перехода сохраняют свойство ортонормированности. Итак, переходом к новой прямоугольной системе координат общее уравнение (6.16) приводится к одному из трех указанных типов уравнений. Перейдем к вопросу о единственности. Для этого найдем инварианты 32 , KI для каждого из уравнений (6.25). Имеем для уравнения типа 1

;00

0000

,0

0

0

2

1

2

1

=

=

aBA λ

λ

λλ

для уравнения типа 2

;0000

00,

000

0

2

0

2

=

=

b

bBA λ

λ

для уравнения типа 3

=

=

0

22 00

00000

,0

00

cBA λ

λ.

Следовательно, 1. 02 ≠I для уравнения типа 1; 2. 0,0 32 ≠= KI для уравнения типа 2; 3. 0,0 32 == KI для уравнения типа 3.

Эти условия взаимно исключают друг друга, и так как общее уравнение (6.16) и уравнения (6.25) имеют одинаковые инварианты 32 , KI , то общее уравнение (6.16) приводится только к одному из трех указанных типов уравнений. Уравнения (6.25) называются приведенными уравнениями линии второго порядка. Замечание . Особо отметим, что в прямоугольных координатах коэффициенты 21, λλ приведенных уравнений называются инвариантами линии, так как

221121 , II ==+ λλλλ (6.28) и, следовательно, 21, λλ являются корнями характеристического многочлена матрицы A

0212 =+− II λλ . (6.29)

94

6.9.5.6. Таблица классификации линий второго порядка по инвариантам

Если общее уравнение (6.16) линии второго порядка задано в прямоугольной декартовой системе координат , то каноническое уравнение линии может быть найдено по инвариантам, так как согласно (6.28) и (6.29) коэффициенты 21, λλ приведенных уравнений являются корнями характеристического многочлена матрицы A , при этом если 21 λλ ≤ , то

1

20

1

320

2

30 ,,

IKc

IKb

IKa =−== .

Приведем таблицу классификации: Приведенное уравнение

Номер Каноническое уравнение линии

Название линии Признак линии

0

,0

21

2

322

21

≠

=++

λλ

λλIKyx

1

0

,12

2

2

2

>≥

=+

baby

ax

Эллипс

0,0

31

2

<>

KII

2 12

2

2

2

−=+by

ax Мнимый эллипс

0,0

31

2

>>

KII

3 02

2

2

2

=+by

ax Пара мнимых

пересекающихся прямых

0,0

3

2

=>

KI

4 12

2

2

2

=−by

ax Гипербола

0,0

3

2

≠<

KI

5 02

2

2

2

=−by

ax Пара

пересекающихся прямых

0,0

3

2

=<

KI

0

,02

31

1

321

≠

=−±

KI

xIKyI

6 op

pxy>

= ,22

Парабола 0,0

3

2

≠=

KI

0

,0

1

1

221

≠

=+

IIKyI

7

0,22

≠=

aay Пара

параллельных прямых 0

,0,0

2

3

2

<==

KKI

95

8 0

,22

≠−=

aay Пара мнимых

параллельных прямых 0

,0,0

2

3

2

>==

KKI

9 02 =y Пара совпадающих

прямых 0,0

,0

2

3

2

===

KKI

96

Тема 7. Поверхности второго порядка

В данном разделе будут описаны основные поверхности второго порядка, исследование форм поверхностей такого вида будет производиться методом поперечных сечений плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

7.1. Эллипсоид и гиперболоид Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе

декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

.12

2

2

2

2

2

=++cz

by

ax

(7.1)

Уравнение (7.1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными координатной плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z = h, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями:

=

−=+

.

,1 2

2

2

2

2

2

hzch

by

ax

(7.2)

Отсюда видно, что 1) при условии | h | < c плоскость z = h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями расположенному симметрично относительно плоскостей Oxz и Oyz; 2) величины а* и b* имеют наибольшие значения при h = 0 (тогда а* = а, b* = b); иначе говоря, самый большой эллипс образуется в сечении координатной плоскостью z = 0; 3) при возрастании | h | величины а* и b* убывают;

,1

,1

2

2*

2

2*

chbb

chaa

−=

−=

97

4) при h = c и h = − c величины а* и b* обращаются в нуль, т. е. эллипс, образуемый сечением эллипсоида (7.1) плоскостью z = c или плоскостью z = − c, вырождается в точку; иначе говоря, плоскости z = c и z = − c касаются эллипсоида; 5) при | h | < c уравнения (7.2) определяют мнимый эллипс; это означает, что плоскость z = h при | h | < c не пересекается с данным эллипсоидом. Аналогично исследуются сечения эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz (см. рис. 7.1).

рис. 7.1

Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если они все различны, эллипсоид называется трехосным. Если эллипсоид образован вращением эллипса вокруг его большей оси, он называется вытянутым эллипсоидом вращения; эллипсоид, образованный вращением эллипса вокруг меньшей оси, называется сжатым эллипсоидом вращения. В случае a = b = c эллипсоид является сферой. Рассмотрим уравнение

.12

2

2

2

2

2

−=++cz

by

ax

(7.3)

Левая часть его содержит такое же выражение, что стоит слева в каноническом уравнении эллипсоида. Так как это выражение неотрицательно, а справа в уравнение (7.3) стоит –1, то уравнение (7.3) не определяет никакого действительного образа. Уравнение (7.3) ввиду аналогии с уравнением (7.1) называют уравнением мнимого эллипсоида. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

98

.12

2

2

2

2

2

=−+cz

by

ax

(7.4)

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой декартовой системе координат уравнением

.12

2

2

2

2

2

−=−+cz

by

ax

(7.5)

Уравнения (7.4) и (7.5) называются каноническими уравнениями гиперболоидов. Исследуем однополостный гиперболоид. Рассмотрим сечения его координатными плоскостями Oxz и Oyz. Сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями Мы видим, что оно представляет собой гиперболу, расположенную симметрично относительно координатных осей Ох, Oz и пересекающую ось Ох в точках )0;0;( a и )0;0;( a− . Сечение плоскостью Oyz определяется уравнениями Оно представляет собой гиперболу, расположенную симметрично относительно осей Оу, Oz и пересекающую ось Оу в точках )0;;0( b и

)0;;0( b− . Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z = l, параллельными координатной плоскости Оху. Сечение гиперболоида этой плоскостью определяется уравнениями

.,1 2

2

2

2

2

2

hzch

by

ax

=+=+ (7.6)

Отсюда видно, что 1) любая плоскость z = h пересекает гиперболоид (7.4) по эллипсу с полуосями ,1

,1

2

2*

2

2*

chbb

chaa

+=

+=

.0,12

2

2

2

=−=− xcz

by

.0,12

2

2

2

==− ycz

ax

99

расположенному симметрично относительно плоскостей Oxz и Oyz; 2) величины а* и b* имеют наименьшие значения при h = 0 (тогда aa =* ,

bb =* ); иначе говоря, самых малых размеров эллипс образуется в сечении координатной плоскостью z = 0 (он называется горловым эллипсом однополостного гиперболоида); 3) при бесконечном возрастании |h| величины а* и b* бесконечно возрастают (рис. 7.2). Сопоставляя изложенное, можем заключить, что однополостный гиперболоид имеет вид бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся в обе стороны от горлового эллипса. Однополостный гиперболоид обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии; при данном выборе координатной системы эти плоскости совмещены с плоскостями координат. Величины a, b, c называются полуосями однополостного гиперболоида. Первые две из них (a и b) изображены на рис. 7.2. Чтобы изобразить на чертеже полуось с, нужно было бы построить основной прямоугольник какой-нибудь из гипербол, определяемых сечением однополостного гиперболоида плоскостями Oxz и Oyz.

Заметим, что в случае a = b уравнения (7.6) определяют окружность с центром на оси Oz. Отсюда следует, что при a = b однополостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением гиперболы вокруг одной из осей, а именно той, которая гиперболу не пересекает. Теперь мы исследуем двуполостный гиперболоид. Рассмотрим сечения его координатными плоскостями Oxz и Oyz. Сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями Мы видим, что оно представляет собой гиперболу, расположенную симметрично относительно координатных осей Ох, Oz и пересекающую ось Oz в точках (0; 0; с)

.0,12

2

2

2

=−=− xcz

by

рис. 7.2

100

и (0; 0; − с). Сечение плоскостью Oyz определяется уравнениями Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z = h, а сечение гиперболоида этой плоскостью определяется уравнениями

.,12

2

2

2

2

2

hzch

by

ax

=−=+ (7.7)

Отсюда видно, что 1) при условии | h | > c плоскость z = c пересекает двуполостный гиперболоид по эллипсу с полуосями расположенному симметрично относительно плоскостей Oxz и Oyz;

2) при возрастании | h | величины а* и b* возрастают; 3) если | h | возрастает бесконечно, то а* и b* возрастают также бесконечно; 4) если | h |, убывая, приближается к с, то а* и b* также убывают и приближаются к нулю; при h = c и h = − c имеем: a* = 0, b* = 0; это означает, что эллипс, образуемый сечением плоскостью cz = или плоскостью z = − c, вырождается в точку, иначе говоря, плоскости z = c и z = − c касаются гиперболоида; 5) при | h | < c уравнения (7.7) определяют мнимый эллипс; это означает, что плоскость z = h при | h | < с с данным гиперболоидом не пересекаются (рис. 7.3).

Сопоставляя изложенное, можем заключить, что двуполостный гиперболоид есть поверхность, состоящая из двух отдельных "полостей" (отсюда его

.0,12

2

2

2

=−=− ycz

ax

,1

,1

2

2*

2

2*

−=

−=

chbb

chaa

рис. 7.3

101

название – "двуполостный"); каждая из них имеет вид бесконечной выпуклой чаши. Двуполостный гиперболоид обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии; при данном выборе координатной системы эти плоскости совмещены с плоскостями координат. Величины a, b, c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Заметим, что в случае a = b уравнения (7.7) определяют окружность с центром на оси Oz. Отсюда следует, что при a = b двуполостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением гиперболы вокруг одной из осей, а именно той, которая гиперболу пересекает.

7.2. Конус второго порядка

Поверхность, которая в некоторой системе декартовых координат определяется уравнением вида

,02

2

2

2

2

2

=−+cz

by

ax

(7.8)

называется конусом второго порядка. Особенностью уравнения (7.8) является то, что оно однородно, т. е. если некоторая точка М (отличная от начала координат) лежит на этой поверхности, то все точки прямой, которая проходит через начало координат и точку М, также лежат на этой поверхности. Такая поверхность называется конической, или просто конусом. Прямые, из которых составлен конус, называются его образующими, точка, через которую все они проходят, называется вершиной конуса. Чтобы определить форму конуса второго порядка, воспользуемся методом поперечных сечений. Рассмотрим сечение его какой-нибудь плоскостью, не

проходящей через начало координат (т.е. не проходящей через вершину). Возьмем, например, плоскость z = c. Сечение конуса этой плоскостью определяется уравнениями

=

=+

.

,12

2

2

2

czby

ax

(7.9)

Очевидно, оно представляет собой эллипс с полуосями a, b, расположенный симметрично относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz (рис. 7.4).

рис. 7.4

102

Заметим, что если a = b, то эллипс, определяемый уравнениями (7.9), есть окружность с центром на оси Oz, и, следовательно, конус оказывается круговым. Рассмотрим уравнение

.02

2

2

2

2

2

=++cz

by

ax

(7.10)

Это уравнение определяет единственную действительную точку: x = 0, y = 0, z = 0. Однако ввиду аналогии с уравнением (7.8) его часто называют уравнением мнимого конуса, а ввиду аналогии с уравнением (7.1) – уравнением вырожденного эллипсоида.

7.3. Параболоиды

Существуют две поверхности, которые являются пространственными аналогами парабол на плоскости. Их называют параболоидами (эллиптическими и гиперболическими). Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в

некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

qy

pxz

22

2 += (7.11)

(при положительных p и q). Уравнение (7.11) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида. Исследуем эту поверхность методом сечений. Прежде всего рассмотрим сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz. При у = 0 из уравнения (7.11) имеем уравнение сечения плоскостью Oxz: Мы видим, что оно представляет собой параболу с параметром р, симметричную относительно оси Oz и с вершиной в начале координат. Сечение плоскостью Oyz определяется уравнениями

==0

,22

xqzy

и представляет собой аналогичным образом расположенную параболу с параметром q. Теперь рассмотрим сечение данного параболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей

.22 pzx =

103

определяется уравнением вида z = h, а сечение параболоида этой плоскостью определяется уравнениями

=

=+

.

,222

hz

hqy

px

(7.12)

Отсюда видно, что

1) при h > 0 плоскость z = h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями hpa 2* = , hqb 2* = , расположенному симметрично относительно плоскостей Oxz и Oyz ;

2) при возрастании h величины a* и b* возрастают; 3) если h возрастает бесконечно, то a* и b* возрастают также бесконечно; 4) при h < 0 уравнения (7.12) определяют мнимый эллипс; это означает,

что плоскость z = h при h < 0 с данным параболоидом не пересекаются (рис. 7.5).

Сопоставляя изложенное, можем заключить, что эллиптический параболоид имеет вид бесконечной выпуклой чаши. Он обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии; при данном выборе координатной системы эти плоскости совмещены с координатными плоскостями Oxz и Oyz. Точка, с которой совмещено начало координат, называется вершиной эллиптического параболоида; числа p и q называются

его параметрами. Заметим, что в случае p = q уравнения (7.12) определяют окружность с центром на оси Oz. Отсюда следует, что при p = q эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг ее оси. Поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением вида

qy

pxz

22

2 −= (7.13)

(при положительных p и q), называется гиперболическим параболоидом. Исследуем эту поверхность.

рис. 7.5

104

Рассмотрим сечение гиперболического параболоида плоскостью Oxz. При y = 0 из уравнения (7.13) имеем pzx 22 = ; таким образом, сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями

==

.0,22

ypzx

(7.14)

Мы видим, что оно представляет собой параболу, симметричную относительно оси Oz, с вершиной в начале координат; параметр этой параболы равен p. Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида x = h, а сечение параболоида этой плоскостью определяется уравнениями

=

+−=

.

,222

hxp

hqyz (7.15)

Отсюда видно, что при любом h плоскость x = h пересекает гиперболический параболоид по параболе, расположенной симметрично относительно плоскости Oxz. Все эти параболы, как показывает первое из уравнений (7.15), имеют общий параметр, равный q; вершина каждой из них лежит на линии, которая образуется сечением параболоида плоскостью Oxz, т. е. на параболе, определенной уравнениями (7.14) (рис. 7.6). Заметим, что каждая плоскость y = h пересекает гиперболический параболоид по восходящей параболе, что видно из уравнений

=

−=

,

,222

hyqh

pxz

определяющих такие сечения; одно из этих сечений, а именно, соответствующее значению h = 0, было рассмотрено нами в первую очередь. На рис. 7.6 изображена часть гиперболического параболоида; край изображенной части составлен из двух отрезков восходящих парабол, плоскости которых параллельны плоскости Oxz, и двух отрезков исходящих парабол, плоскости которых рис. 7.6

105

параллельны плоскости Oуz. Рассмотрим, наконец, сечения гиперболического параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oху. Каждая плоскость имеет уравнение z = h, а сечение параболоида этой плоскостью определяется уравнениями

=

=−

.

,222

hz

hqy

px

Отсюда мы видим, что плоскости z = h пересекают гиперболический параболоид по гиперболам, расположенным симметрично относительно плоскостей Oxz и Oyz. Если h > 0, то соответствующая гипербола пересекает плоскость Oxz, если h < 0, – гипербола пересекает плоскость Oyz; при h = 0 гипербола вырождается в пару прямых (на рис. 7.6 изображено одно сечение параболоида плоскостью z = h для случая h > 0). Все изложенное позволяет заключить, что гиперболический параболоид имеет форму седла. Он обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии; при данном выборе координатной системы эти плоскости совмещены с координатными плоскостями Oxz и Oyz. Точка, с которой совмещено начало координат, называется вершиной гиперболического параболоида; числа p и q называются его параметрами.

7.4. Цилиндры второго порядка

В заключение рассмотрим уравнение второй степени, не содержащее

текущие координаты z. Мы можем написать его в виде 0222 22 =+++++ FEyDxCyBxyAx

Заметим теперь, что это уравнение задает на плоскости линии второго порядка. Отсюда заключаем, что сечение рассматриваемого цилиндра плоскостью Oxy есть линия второго порядка. В зависимости от характера этой линии мы имеем цилиндры второго порядка следующих типов. А) Эллиптический цилиндр (рис. 7.7); при помощи надлежащего выбора координатной системы его уравнение может быть приведено к виду

.12

2

2

2

=+by

ax

Если a = b, то цилиндр оказывается круговым.

рис. 7.7

106

Б) Гиперболический цилиндр (рис. 7.8); его уравнение может быть приведено к виду

12

2

2

2

=−by

ax

В) Параболический цилиндр (рис. 7.9); его уравнение может быть приведено к виду

.22 pxy =

рис. 7.8 рис.7.9 Кроме того, возможен случай, когда левая часть уравнения есть произведение двух множителей первой степени. Тогда цилиндр “вырождается “ в пару плоскостей. Наконец, возможно еще, что уравнение совсем не имеет вещественных решений (например, 122 −=+ yx ) и, следовательно, совсем не определяет никакого геометрического образа. Относительно такого уравнения принято говорить, что оно “определяет мнимый цилиндр”.

7.5. Прямолинейные образующие Заметим без доказательства, что на поверхности однополостного гиперболоида (см. рис. 7.10) и гиперболического параболоида (см. рис. 7.11) существуют прямые, целиком заполняющие поверхности. Эти прямые называются прямолинейными образующими.

107

рис. 7.10 рис.7.11

7.6. Классификация поверхностей второго порядка в пространстве

Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат

определяется уравнением второй степени от трех переменных, называется поверхностью второго порядка. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

0222222 321231312

233

222

211 =+++++++++ czbybxbyzaxzaxyazayaxa , (7.16)

где не все коэффициенты ija ( 3,2,1, =ji ) равны нулю, jiij aa = .

Приведем без доказательства следующую теорему о классификации поверхностей второго порядка в пространстве. Теорема. Для любой алгебраической поверхности второго порядка существует прямоугольная декартова система координат Oxyz, в которой уравнение этой поверхности имеет один из следующих видов:

1) 12

2

2

2

2

2

=++cz

by

ax (эллипсоид);

2) 12

2

2

2

2

2

−=++cz

by

ax (мнимый эллипсоид);

3) 02

2

2

2

2

2

=++cz

by

ax (вырожденный эллипсоид);

4) 12

2

2

2

2

2

=−+cz

by

ax (однополостный гиперболоид);

108

5) 12

2

2

2

2

2

−=−+cz

by

ax (двуполостный гиперболоид);

6) 02

2

2

2

2

2

=−+cz

by

ax (конус);

7) zby

ax 22

2

2

2

=+ (эллиптический параболоид);

8) zby

ax 22

2

2

2

=− (гиперболический параболоид);

9) 12

2

2

2

=+by

ax (эллиптический цилиндр);

10) 12

2

2

2

−=+by

ax (мнимый эллиптический цилиндр);

11) 12

2

2

2

=−by

ax (гиперболический цилиндр);

12) 0,22 >= ppxy (параболический цилиндр);

13) 02

2

2

2

=−by

ax (пара пересекающихся плоскостей);

14) 02

2

2

2

=+by

ax (пара мнимых пересекающихся плоскостей);

15) 0,22 >= aay (пара параллельных плоскостей); 16) 0,22 >−= aay (пара мнимых параллельных плоскостей); 17) 02 =y (пара совпадающих плоскостей);

Пример 1. Определить вид поверхности и выполнить ее построение 02 222 =−−− yxazz . a) Приводим уравнение к каноническому виду:

02 22222 =−−−+− yxaaazz , 2222)( ayxaz =−−− ,

1)(2

2

2

2

2

2

=−−−

ay

ax

aaz .

б) Находим сечения поверхности координатными плоскостями и плоскостями, параллельными координатным плоскостям:

=

=−−−

0

1)(2

2

2

2

2

2

xay

ax

aaz

⇒

=

=−−

0

1)(2

2

2

2

xay

aaz

– гипербола

109

=

=−−−

0

1)(2

2

2

2

2

2

yay

ax

aaz

⇒

=

=−−

0

1)(2

2

2

2

yax

aaz

– гипербола

>+=

=−−−

||||,

1)(2

2

2

2

2

2

ahhazay

ax

aaz

⇒

+=

=−−−+

hazay

ax

aaha

1)(

2

2

2

2

2

2

⇒

⇒

+=

=−−

hazay

ax

ah 12

2

2

2

2

2

⇒

+=−=+

hazahyx 2222

– окружность

−=

=−−−

hazay

ax

aaz 1)(

2

2

2

2

2

2

⇒ ⇒

⇒

−=

=−−

hazay

ax

ah 12

2

2

2

2

2

⇒

−=−=+

hazahyx 2222

– окружность

в) уравнение 02 222 =−−− yxazz определяет двуполостный гиперболоид вращения с центром в точке ),0,0( a , ось вращения совпадает с осью 0Z (рис. 7.12).

a + h

a - h

0

a

y

z

x

(z – a)2 – x2 – y2 = a2

рис. 7.12

110

7.7. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду методом Лагранжа (методом выделения полных квадратов)

Предположим, что в уравнении (7.16) 011 ≠a . Выделяем в уравнении

(7.16) группу членов, содержащих переменное x , и дополняем до полного квадрата:

+−+

−

+

−

+

++++=+++

yza

aayza

aazaaz

aay

aay

aa

xabxz

aaxy

aaxaxbxzaxyaxa

211

13122

11

13122

2

11

132

2

11

132

2

11

122

2

11

12

11

1

11

13

11

1221111312

211

22

222222

++

++++=

=

−

+−+−+

yza

aayaax

abxz

aaxy

aaxa

ab

abz

abaz

abay

abay

aba

211

13122

2

11

12

11

1

11

13

11

12211

2

11

1

2

11

12

11

1132

11

1132

11

1122

11

112

2222

2222

=−−−−−

−−

++

++

11

21

11

1132

11

213

11

112

11

1312

2

11

212

2

11

12

11

11322

11

132

11

112

222

22

abz

abaz

aay

abayz

aaa

yaa

abz

abaz

aay

aba

2

1312 111

11 11 11

( , )aa ba x y z F y za a a

= + + + +

,

где 22 2

2 212 13 13 13 112 12 1 1

11 11 11 11 11 11

( , ) 2 2 2a a a a ba a b bF y z y yz y z za a a a a a

= − − − − − − .

Вводим первую новую переменную: 11

1

11

13

11

12'abz

aay

aaxx +++= .

Тогда уравнение (7.16) запишется в виде 2 2 2

11 22 33 23 2 3' ( , ) 2 2 2 0a x F y z a y a z a yz b y b z c+ + + + + + + = или

0''2'2'2''' 32232

332

222

11 =++++++ czbybyzazayaxa , (7.17) где

111

11

212

2222 'aaaa −= ,

11

213

3333 'aaaa −= ,

11

13122323 '

aaaaa −= ,

11

11222 '

ababb −= ,

11

11333 '

ababb −= ,

11

21'

abcc −= .

Особые случаи для уравнения (7.16).

1. Пусть в уравнении (7.16) 011 =a и 022 ≠a или 033 ≠a , тогда начнем преобразование с переменной y или z .

2. Пусть в уравнении (7.16) 011 =a , 022 =a и 033 =a . Уравнение в этом случае имеет вид

0222222 321231312 =++++++ czbybxbyzaxzaxya . (7.16')

Если 012 =a , 013 =a и 023 =a , то уравнение (7.16') не является уравнением поверхности второго порядка. Пусть 012 ≠a , тогда сделаем следующую замену:

+=−=

'.',''

yxyyxx

Подставив x и y в (7.16'), получим 02)''(2)''(2)''(2)''(2)'')(''(2 321231312 =++++−+++−++− czbyxbyxbzyxazyxayxyxa .

Задача свелась к уже рассмотренной: 02')(2')(2')(2')(2'2'2 3122113232313

212

212 =++−+++−+++− czbybbxbbzyaazxaayaxa .

Так как 012 ≠a , преобразование Лагранжа начнем с переменной 2'x .

Пусть в уравнении (7.17) 0'22 ≠a . Тогда выделим в нем группу членов, содержащих переменную ,y и дополним до полного квадрата:

=−−−

++

+

+++=++

''

'''2

''

''

'''2

''

''2

''2''2'2'

22

22

22

2232

22

223

2

22

22

22

223

22

22

23

22

2

22

23222223

222

abz

abaz

aa

abz

aba

zaay

abyz

aayaybyzaya

)('''

'''

2

22

2

22

2322 zF

abz

aaya +

++= ,

112

где '

''

''2'')('

22

22

22

2232

22

223

abz

abaz

aazF −−−= .

Вводим вторую новую переменную: ''

'''

22

2

22

23

abz

aayy ++= .

Тогда уравнение (7.17) запишется в виде 0''''2''''' 3

233

222

211 =++++ czbzayaxa , (7.18)

где

'''''

22

223

3333 aaaa −= ,

'''

'''22

22333 a

babb −= ,

'''''

22

22

abcc −= .

Особые случаи для уравнения (7.17).

1. Пусть в уравнении (7.17) 0'22 =a и 0'33 ≠a . Тогда проделаем

аналогичное преобразование относительно z . 2. Пусть в уравнении (7.17) 0'22 =a , 33 ' 0a = , но 23 ' 0a ≠ . Тогда сделаем

преобразование аналогично п. 2 для уравнения (7.16). 3. Пусть в уравнении (7.17) 0'22 =a , 33 ' 0a = и 23 ' 0a = . В этом случае

уравнение (7.17) имеет вид 2

11 2 3' 2 ' 2 ' ' 0a x b y b z c+ + + = . (7.17') 1) Если в уравнении (7.17') 2 ' 0b = и 3 ' 0b = , то в зависимости от

значения c' оно определяет пару параллельных плоскостей (15), пару мнимых параллельных плоскостей (16), пару совпадающих плоскостей (17).

2) Если в уравнении (7.17') 2 ' 0b ≠ или 3 ' 0b ≠ , то сделаем замену

2 3'' ' '

2cy b y b z= − − − . Тогда уравнение (7.17') принимает вид

2

11

1' 2 'x ya

= и определяет параболический цилиндр (12).

Пусть в уравнении (7.18) 0'33 ≠a . Тогда в уравнении (7.18) выделяем группу членов, содержащих третью переменную z , и дополняем до полного квадрата:

=−

++=++

''''

''''

''''2'''''2''

33

23

2

33

32

33

32333

233 a

babz

abzaczbza

''''

''''''

33

23

2

33

333 a

babza −

+= .

113

Вводим третью новую переменную: ''''

'33

3

ab

zz += . Тогда уравнение (7.18)

запишется в виде 0''''''''' 2

332

222

11 =+++ czayaxa , (7.19)

где ''

'''''''

33

23

ab

cc −= .

Далее, в зависимости от коэффициентов уравнения (7.19), приводим его к одному из канонических видов, указанных в таблице классификации относительно переменных 'x , 'y , 'z .

Особые случаи для уравнения (7.18).

1. Пусть в уравнении (7.18) 33 '' 0a = , но 3 '' 0b ≠ . Тогда сделаем замену

3''' ''

2cz b z= − − и уравнение (7.18) примет вид 2 2

11 22' ' ' 2 'a x a y z+ = . В

зависимости от знаков 11a и 22 'a это будет либо эллиптический параболоид (7), либо гиперболический параболоид (8).

2. Пусть в уравнении (7.18) 33 '' 0a = и 3 '' 0b = . В этом случае оно имеет вид

2 211 22' ' ' '' 0a x a y c+ + = . (7.18')

1) Если в уравнении (7.18') '' 0c ≠ , то в зависимости от знаков 11a , 22 'a и c'' оно определяет эллиптический цилиндр (9), мнимый

эллиптический цилиндр (10), гиперболический цилиндр (11). 2) Если в уравнении (7.18') '' 0c = , то в зависимости от знаков 11a и

22 'a оно определяет либо пару пересекающихся плоскостей (13), либо пару мнимых пересекающихся плоскостей (14).

Пример 2. Привести уравнение

018144144842 222 =++−−−−++− zyxyzxzxyzyx (7.20) к каноническому виду методом Лагранжа. В уравнении (7.20) 0111 ≠=a . Выделяем в этом уравнении группу членов, содержащих переменную x , и дополняем до полного квадрата:

49562816164)742(1484 2222 −−++−−−−+=−−+ zyyzzyzyxxxzxyx . Введем новую переменную: 742' −−+= zyxx , тогда уравнение (7.20) запишется в виде

114

031422412156' 222 =−−++−− zyyzzyx . (7.21) Здесь 06'22 ≠−=a . В уравнении (7.21) выделим члены, содержащие переменную ,y и дополним их до полного квадрата: 24246)2(624126 222 +++−−−=++− zzzyyyzy . Вводим вторую новую переменную: ' 2,y y z= − − и уравнение (7.21) запишется в виде

07189'6' 222 =−−−− zzyx . (7.22) В уравнении (7.22) 09''33 ≠−=a . Выделим здесь члены, содержащие переменную z , и дополним их до полного квадрата: 9)1(9189 22 ++−=−− zzz . Вводим третью новую переменную: 1' += zz и уравнение (7.22) запишется в виде

02'9'6' 222 =+−− zyx . (7.23) Приводим уравнение (7.23) к каноническому виду:

19/2

'3/1'

2' 222

=++−zyx .

Это уравнение определяет однополостный гиперболоид.

115

Тема 8. Множества

8.1. Основные понятия о множествах, логическая символика

Множество – есть исходное, начальное (а, следовательно, и неопределяемое) понятие. Можно лишь сказать, что множество есть совокупность объектов. Объекты этой совокупности называются элементами множества. Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если множество состоит из n элементов, то это обозначают следующим образом:

A = {x1, x2, …, xn} = {xk : k = 1, 2 , …, n}. Часто приходится иметь дело с бесконечными множествами. Таковы, например, множества всех натуральных чисел, всех нечетных чисел и т.д. К числу конечных множеств мы будем относить и пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента; число элементов пустого множества есть нуль. Такое множество обозначим символом ∅ . Если элемент x принадлежит множеству A, то пишут x∈A. Запись x A∈ , или x ∉ A означает, что x не есть элемент множества A. Запись A ⊆ B (или B ⊇ A) означает, что каждый элемент множества A является элементом множества B или, другими словами, множество A есть подмножество множества B (или множество B включает в себя множество A).

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов; запись: A = B.

Если A есть подмножество В, причем множество А не совпадает с множеством В, то пишут А ⊂ В или В ⊃ А. Если множество А не является подмножеством В, то пишут А ⊄ В. Знаки ⊂, ⊆, ⊃, ⊇ называются знаками включения.

8.2. Операции над множествами

1. Объединение А ∪ В Множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств, называется объединением множеств А и В.

116

Указанное определение легко распространяется на случай трех и более множеств

( ) ( ){ }BxилиAxxBA ∈∈≡∪ :

Множество А ∪ В заштриховано на диаграмме.

Пример 1. А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {1, 2}, А ∪ В = {1, 2, 3, 4, 5}. Множество А ∪ В по определению не содержит неразличимых элементов и, следовательно, элементы 1 и 2, входящие в множества А и В, входят в А ∪ В один раз.

2. Пересечение A ∩ В Пересечением множеств А и В есть множество элементов, принадлежащих одновременно и А и В.

( ){ AxxBA ∈≡∩ : и ( )}Bx∈ Множество А ∩ В заштриховано на диаграмме.

Пример 2. А {1, 2, 3, 4, 5}; В{1, 2} А ∩ В = {1, 2}.

Два множества А и В называются непересекающимися, если А ∩ В = 0.

3. Разность А \ В Разностью множеств А и В называется совокупность тех элементов А, которые не содержатся в В.

( ) ( ){ }BxAxxBA ∉∧∈≡ :\

Множество А \ В заштриховано на диаграмме.

Пример 3. А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {1, 2} А \ В = {3, 4, 5}.

A B

A B

A B

117

8.3. Взаимно однозначное соответствие и эквивалентность множеств

Если каждому элементу множества А сопоставлен единственный элемент

множества В и при этом соответствии всякий элемент множества В сопоставляется одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие. Множества, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными. Это записывается следующим образом: А∼В. Если два множества эквивалентны, то говорят, что они равномощны, или имеют одну и ту же мощность.

Пусть имеются два множества А и В и пусть а ∈ А, b ∈ В. Совокупность всевозможных упорядоченных пар (a,b) составляет новое множество, называемое прямым произведением А и В. Прямое произведение обозначается A × B.

8.4. Вещественные числа и их изображение на числовой оси

Основным понятием математики являются натуральные числа: N ≡ {1, 2, 3, …, n, …}, которые появились в результате счета предметов. Целые числа: Z ≡ {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Рациональным числом называется число, представимое в виде

отношения двух целых чисел qp

(q ≠ 0; p и q – целые числа). Отметим при

этом, что одно и то же рациональное число представимо в виде

отношения различных целых чисел ...96

64

32

=== .

Множество всех рациональных чисел будем обозначать через Q, тогда

;:{qpxxQ == Zqp ∈, , }0≠q .

В курсе элементарной математики вводились определения операций сложения и умножения рациональных чисел, давалось правило сравнения этих чисел, доказывались простейшие свойства.

118

Поэтому перечислим без доказательства основные правила действий с рациональными числами и их свойства, вытекающие из соответствующих правил и их свойств для целых чисел.

I. Правило сравнения: любые два целых числа a и b связаны одним и

только одним из трех знаков >, <, =, причем если a>b, то b<a. Правило сравнения рациональных чисел формулируется так: два

неотрицательных рациональных числа 1

1

qpa = и

2

2

qpb = связаны тем же

знаком, что и два целых числа p1q2 и p2q1; два неположительных рациональных числа a и b связаны тем же знаком, что и два неотрицательных числа |b| и |a| ; если а – неотрицательное, а b – отрицательное число, то а>b.

Свойства: 1. если а>b и b>с, то a>c (свойство транзитивности знака); 2. если а=b и b=с, то a=c (свойство равенства); II. Правило сложения. Существует правило, посредством которого любым двум рациональным

числам а и b ставится в соответствие определенное рациональное число с, называемое их суммой и обозначаемое символом с = а+b.

Если 1

1

qpa = и

2

2

qpb = , то их сумма определяется формулой

21

1221

2

2

1

1

qqqpqp

qp

qp +

=+ . Операция нахождения суммы называется

сложением. Свойства: 3. a+b=b+a (коммутативность, или переместительное свойство); 4. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность, или сочетательное свойство); 5. ∃ 0 ∈ Q : ∀a ∈ Q a + 0 = a (существование нулевого элемента); 6. ∀a ∈ Q ∃ a′ ∈ Q : a + a′=0 (существование противоположного

элемента для числа а, обозначается )( aa −=′ ). III. Правило умножения. Существует правило, посредством которого любым двум рациональным

числам а и b ставится в соответствие определенное рациональное число с, называемое их произведением и обозначаемое символом с = аb.

119

Если 1

1

nma = и

2

2

nmb = , то их произведение определяется формулой

21

21

2

2

1

1

nnmm

nm

nm

= .

Свойства: 7. ∀ a,b ∈ Q ab= ba (коммутативность); 8. ∀a,b,c ∈ Q : (ab)c = a(bc) (ассоциативность); 9. ∃ 1 ∈ Q : ∀a ∈ Q a∗1=a (существование единичного элемента); 10. 0≠∀a ∧ Qa∈ ∃ 1~:~ =⋅∈ aaQa (существование обратного

элемента для числа а, обозначается aa ~1 =− ). Свойство, связывающее правила сложения и умножения: 11. ∀a,b,c ∈ Q (a+b)c = ac+bc (распределительное свойство умножения

относительно суммы). Свойства, связывающие знак ’ >’ со знаком сложения и умножения: 12. ∀a,b,c ∈ Q : a>b ⇒ a+c > b+c. 13. ∀a,b,c ∈ Q : (a>b)∧(c>0) ⇒ ac>bc.

Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число а, можно число 1 повторить слагаемыми столько раз, что полученная сумма превзойдет а.

Из вышеперечисленных основных свойств рациональных чисел могут быть получены как следствие все другие алгебраические свойства этих чисел, относящиеся как к арифметическим действиям, так и к сочетанию равенств и неравенств. Поставим в соответствие каждой точке М числовой оси некоторое число, выражающее длину отрезка ОМ. Это число считается положительным, если точка М лежит справа от точки О и отрицательным – в противоположном случае. Очевидно, что каждому рациональному числу соответствует на числовой оси единственная точка. Однако, из курса элементарной математики известно, что наряду с соизмеримыми отрезками (отрезками, отношение длин которых выражается рациональным числом) существуют и несоизмеримые отрезки (примером несоизмеримых отрезков могут служить сторона и высота равностороннего

120

треугольника). Это позволяет утверждать, что не все точки числовой оси соответствуют рациональным числам. Естественно, возникает потребность расширить область рациональных чисел.

Рассмотрим множество всевозможных бесконечных десятичных дробей. Числа, представимые этими дробями, будем называть действительными. Множество всех действительных чисел будем обозначать через R. Данное действительное число мы будем считать положительным (отрицательным), если оно представимо в виде положительной (отрицательной) бесконечной десятичной дроби. В состав множества действительных чисел входят и все рациональные числа, ибо все они представимы в виде бесконечных десятичных дробей.

Так, рациональному числу 21

ставится в соответствие бесконечная

десятичная дробь 0,4999…9…, рациональному числу 34

– бесконечная

десятичная дробь 1,333…3… .

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называют иррациональными. На случай произвольных действительных чисел переносятся три правила и все основные свойства рациональных чисел, перечисленные выше. Рассмотрим произвольное множество действительных чисел, которое будем обозначать символом X. Будем предполагать, что множество X содержит хотя бы одно число (непустое множество). Обозначение: X=∅. Множество действительных чисел X называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число М, что каждый элемент х множества удовлетворяет неравенству Mx ≤ )( Mx ≥ .

Множество, равномощное с множеством натуральных чисел, называется счетным. Таким образом, если X счетно, то между множеством Х и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие, или, как говорят, можно занумеровать элементы множества X, понимая под номером каждого элемента x ∈ X соответствующее ему при указанном соответствии натуральное число. Счетные множества являются в некотором смысле простейшими бесконечными множествами. Именно справедлива следующая лемма.

121

Лемма 1. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство. Пусть X – бесконечное множество. Возьмем какой-либо его элемент и обозначим x1. В силу того, что X – бесконечное множество, в нем заведомо имеется хоть один элемент, отличный от элемента x1. Выберем какой-либо из таких элементов и обозначим x2. Пусть в множестве X уже выбраны элементы x1,…,xn. Поскольку X – бесконечное множество, то в нем заведомо есть и другие элементы; выберем какой-либо из оставшихся элементов и обозначим его через nx и т.д. В результате мы получим элементы xn ∈ X, n=1, 2,…, которые образуют счетное подмножество множества X. В качестве упражнения читателю предлагается доказать самостоятельно следующую лемму: Лемма 2. Любое бесконечное подмножество счетного множества счетно. Следующая теорема дает интересный пример счетного множества.

Теорема 1. Рациональные числа образуют счетное множество. Доказательство. Расположим рациональные числа в таблицу следующим способом. В первую строчку поместим все целые числа в порядке возрастания их абсолютной величины и так, что за каждым натуральным числом поставлено ему противоположное: 0, 1, -1, 2, -2, …, n, -n, … , n∈N. Во вторую строчку поместим все несократимые рациональные дроби со знаменателем 2, упорядоченные по их абсолютной величине, причем снова за каждым положительным числом поставим ему противоположное:

1/2, -1/2, 3/2, -3/2, … Вообще, в n-ю строчку поместим все несократимые рациональные дроби со знаменателем n, упорядочив их по абсолютной величине и так, что за каждым положительным следует ему противоположное. В результате получим таблицу с бесконечным числом строк и столбцов:

0 1 -1 2 -2 … 1/2 -1/2 3/2 -3/2 5/2 … 1/3 -1/3 2/3 -2/3 4/3 … ……………………………… 1/n -1/n…………………….. ………………………………

122

Очевидно, что каждое рациональное число попадает на какое-то место в этой таблице. Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме (в кружочках стоят номера соответствующих элементов):

…

…

…

… … … … … … … … …

В результате все рациональные числа оказываются занумерованными, т.е. множество Q рациональных чисел счетно. Важнейший пример несчетных множеств устанавливается следующей теоремой, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 2 (Кантор). Множество действительных чисел несчетно.

123

Тема 9. Линейные пространства

9.1. Определение линейного пространства

Множество E элементов x, y, z, … называется линейным пространством, если в нем определены две операции:

I. Каждым двум элементам x, y ∈ E поставлен в соответствие определенный элемент x+ y ∈ E, называемый их суммой.

II. Каждому элементу x∈E и каждому числу (скаляру) λ поставлен в соответствие определенный элемент λ x ∈E – произведение элемента x на скаляр λ – так, что выполнены следующие свойства (аксиомы) для любых элементов x, y, z ∈E и любых скаляров λ , µ :

1) x + y = y + x; 2) x + ( y + z) = (x + y ) + z; 3) существует элемент 0 ∈ E такой, что x + 0 = x; 4) λ (µ x) = (λ µ ) x; 5) 1· x = x , 0 · x = 0 (слева 0 - скаляр, а справа элемент множества E) ; 6) λ (x + y) = λ x + λ y; 7) (λ µ )x = λ x + µ x.

В качестве числовых множителей (скаляров) λ , µ , … в линейном пространстве берутся вещественные или комплексные числа. В первом случае E называется вещественным (действительным) линейным пространством, во втором – комплексным линейным пространством.

Во всяком линейном пространстве E для всякого элемента x ∈E можно определить противоположный элемент – x , а значит, и операцию вычитания элементов y - x. Положим по определению – x = (–1) x. Тогда, согласно аксиомам 5) и 7),

x + (– x) = 1· x + (–1) · x = 0 · x = 0.

Далее под разностью x - y будем понимать выражение x - y = x + (– y).

Приведем некоторые простые следствия, вытекающие из определения линейного пространства. Нулевой элемент – единственный. Если λ x = µ x , где x≠ 0, то λ = µ . Если λ x = λ y и λ ≠ 0 , то x = y.

124

Подмножество M линейного пространства E называется подпространством, если сумма x+y любых двух элементов x и y из M принадлежит M и произведение λ x любого элемента x из M на число λ принадлежит M.

9.2. Примеры линейных пространств

1) Множество всевозможных векторов (в трехмерном пространстве, на

плоскости или на прямой) образует линейное пространство. 2) Рассмотрим пространство всех многочленов степени, не превышающей

k: x (t) = x 0 + x 1 t + … + x k t k (x 0 , x 1 , …, x k – произвольные вещественные числа, t∈D = (– +∞∞, )). Поскольку произведение многочлена на вещественное число и сумма двух многочленов являются многочленами, мы получаем линейное пространство многочленов.

3) Пространство непрерывных функций C[a, b]. Пусть D =[a, b]. Берем всевозможные непрерывные на [a, b] функции x (t), y(t). Так как x (t)+y (t) непрерывна на [a, b], как сумма непрерывных функций, и λ x(t) также непрерывна, то C[a, b] является линейным пространством. Возможны вещественный и комплексный случаи.

4) Пространство C k [a, b] (k – натуральное число) – пространство k раз непрерывно дифференцируемых функций. Поскольку λ x (t) ∈C k [a, b], если x (t) ∈C k [a, b], и x(t) + y(t) ∈ C k [a, b], если x (t) и y (t) ∈C k [a, b], то C k [a, b] – линейное пространство.

Элементы nxxx ...,, 21 линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют числа nααα ,...,, 21 (действительные или комплексные), хотя бы одно из которых отлично от 0 , такие, что

0...2211 =+++ nn xxx ααα , и линейно независимыми в противном случае, т. е. если равенство 0...2211 =+++ nn xxx ααα выполняется только в случае

nααα === ...21 .

Размерностью линейного пространства называется максимальное число его линейно независимых элементов. Если R – n -мерное линейное пространство (пространство размерности n ), то любая упорядоченная система n линейно независимых элементов этого пространства называется базисом пространства.

125

Пример 1. Проверить, что матрицы с действительными элементами размеров [ ]22× образуют действительное линейное пространство. Найти размерность этого пространства и указать какой-нибудь его базис. Сложение матриц и умножение матрицы на число определяются обычным образом:

,2121

2121

22

22

11

11

++++

=

+

ddccbbaa

dcba

dcba

.

=

dcba

dcba

αααα

α

Легко проверить, что эти операции обладают всеми свойствами, перечисленными в определении линейного пространства. В частности, нулевой элемент — это матрица

0000

, а противоположный элемент для матрицы

dcba

– это матрица

−−−−

dcba

, т.

е. матрицы [ ]22× действительно образуют линейное пространство. Для нахождения размерности и базиса этого пространства рассмотрим матрицы:

.1000

,0100

,0010

,0001

4321

=

=

=

= eeee

Покажем, что эти матрицы линейно независимы. Для этого рассмотрим равенство

044332211 =+++ eeee αααα , где 4,3,2,1, =iiα – действительные числа; 0 – нулевая матрица:

.0000

000

000

000

000

43

21

43

21

=

=

+

+

+

αααα

αααα

Отсюда, ,04321 ==== αααα т. е. матрицы 4321 ,,, eeee линейно независимы. Далее мы используем следующую теорему: если в линейном пространстве существует n линейно независимых элементов, а остальные элементы являются их линейными комбинациями, то пространство n - мерно, а эти n линейно независимых элементов — его базис.

Матрицы 4321 ,,, eeee линейно независимы, и произвольную матрицу

dcba

;

можно представить в виде их линейной комбинации

.0

00000

000

000

4321 decebeaedc

badcba

+++=

+

+

+

=

Значит, наше пространство четырехмерно, и матрицы 4321 ,,, eeee образуют один из его базисов.

126

Пример 2. Доказать, что многочлены 523;234;1 2

32

22

1 ++−=+−=++= xxpxxpxxp образуют базис в линейном пространстве многочленов степени 2≤ (читателю представляется самому проверить, что это действительно линейное пространство) и найти координаты многочлена xp 23= в этом базисе. Из теоремы, приведенной в решении предыдущего примера, следует, что размерность нашего линейного пространства равна 3 (многочлены 2,,1 xx линейно независимы, так как из равенства 02

321 =++ xx ααα , где 0 — многочлен, тождественно равный нулю, тут же следует, что ,0321 === ααα и любой многочлен степени 2≤ является линейной комбинацией этих многочленов). Поэтому, чтобы доказать, что многочлены 321 ,, ppp образуют базис пространства, достаточно проверить, что эти многочлены линейно независимы. Рассмотрим равенство 0332211 =++ ppp ααα , где 0 – многочлен, тождественно равный нулю:

;0)523()234()1( 23

22

21 =++−++−+++ xxxxxx ααα

.0)52()23()34( 3213212

321 =++++−+−+ αααααα axaxa

Отсюда

=++=+−=−+

052023034

321

321

321

αααααα

aaa

.

Вычислим определитель матрицы этой однородной системы линейных уравнений

.0462131

35121

45223

1521231341

≠−=−

−−−

=−−

Это означает, что система имеет только тривиальное решение ,0321 === ααα т. е. многочлены 21 , pp и 3p линейно независимы. Как известно, координаты элемента линейного пространства в некотором базисе – это коэффициенты разложения этого элемента по базису. Пусть: 332211 pppp βββ ++= , т.е. )523()234()1(23 2

32

22

1 ++−++−+++= xxxxxxx βββ или .0)52()2323()34( 321321

2321 =+++−+−+−+ βββββββββ xx

Отсюда

=++=+−=−+

0522323034

321

321

321

βββββββββ

.

Решая эту систему методом Гаусса, имеем ,13,4,1 123 =−=−= βββ , т. е. { }.1,4,13 −−=p

127

Тема 10. Метрические пространства Множество X называется метрическим пространством, если каждой

паре его элементов x и y поставлено в соответствие некоторое неотрицательное действительное число ρ(x,y), удовлетворяющее следующим условиям:

1. ρ(x,y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y (аксиома тождества). 2. ρ(x,y) = ρ(y,x) (аксиома симметрии). 3. ρ(x,y)≤ ρ(x,z) + ρ(y,z) (аксиома треугольника).

10.1. Примеры метрических пространств

1. Числовая прямая. Пусть X = R. Если x, y∈R , то полагаем

.),( yxyx −=ρ

2. Евклидово пространство. Пусть Xn — арифметическое n–мерное пространство, т.е. множество всех упорядоченных систем из действительных чисел. Если x = (ξ1, ξ2,…ξn) и y = (η1,η2,… ηn), то

( ) .),(2

1∑

=

−=n

iiiyx ηξρ

3. Пространство непрерывных функций с равномерной метрикой.

Пусть X — множество непрерывных функций, заданных на отрезке ]1,1[− . Введем метрику, полагая

|)(− )( | =−∈

tytxyxt ]1,1[max),(ρ .

Проверим выполнение аксиом метрики. Очевидно, что ρ (x, y)≥ 0, причем ρ (x, y) = 0 лишь если x(t) = y(t), аксиома симметрии тоже выполняется. Остается проверить аксиому треугольника. Для любого ]1,1[−∈t имеем

|x(t) – z(t)| ≤ | x(t) – y(t)| + | y(t) – z(t)| ≤

≤ |)(− )( | −∈

tytxt ]1,1[max + + |)(− )( |

−∈tzty

t ]1,1[max = ρ (x, y) + ρ (y, z).

128

Поэтому ρ (x, z) = |)(− )( |

−∈tztx

t ]1,1[max ≤ ρ (x, y) + ρ (y, z).

Множество непрерывных функций с заданной таким образом метрикой называется пространством непрерывных функций и обозначается ]1,1[−C . Последовательность {xn} элементов метрического пространства X называется сходящейся к элементу x этого пространства, если для любого 0>ε найдется номер )(εNN = такой, что для любого n ≥ N имеем

ρ(xn, x)< ε, то есть ρ(xn, x) → 0 при n → ∞. Заметим, что сходимость в n-мерном евклидовом пространстве есть сходимость по координатам. Последовательность {xn} элементов метрического пространства X называется фундаментальной, если для любого ε > 0 найдется номер

)(εNN = такой, что для любых n, m ≥ N имеем ρ(xn, xm)< ε. Если в метрическом пространстве X каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства, то пространство X называется полным метрическим пространством. Примеры полных пространств. 1. n-мерное евклидово пространство Rn . 2. Пространство ]1,1[−C . 3. Пространство ограниченных числовых последовательностей. 4. Пространство сходящихся числовых последовательностей.

Пример пространства, не являющегося полным.

Пространство многочленов, определенных на отрезке [0,1] c метрикой ρ (p, q) = |)(− )( |

∈tqtp

t ]1,0[max .

В метрическом пространстве могут быть введены многие важнейшие понятия, с которыми мы встречались в теории точечных множеств, расположенных на прямой. Так, для множества M ⊂ X точка a∈X называется предельной точкой этого множества, если любая окрестность точки содержит хотя бы одну точку множества M \ a. Множество, полученное присоединением к множеству M всех его предельных точек, называется замыканием множества М и обозначается M . Точка x∈M называется внутренней точкой этого множества, если она принадлежит этому

129

множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Множество M называется замкнутым, если M = M. Множество M называется открытым, если его дополнение X \ M замкнуто. Можно показать, что множество M открыто тогда и только тогда, когда все его точки – внутренние. Множество M называется всюду плотным в X, если M = X.

130

Тема 11. Нормированные пространства

11.1. Определение нормированного пространства

Линейное пространство E называется нормированным пространством, если каждому x ∈E поставлено в соответствие неотрицательное число x (норма x) так, что выполнены следующие три аксиомы:

1) x ≥0; x = 0 в том и только том случае, когда x = 0; 2) xλ = λ · x ; 3) yxyx +≤+ .

Таким образом, норма – это определенная всюду на E функция с неотрицательными значениями и со свойствами 1) – 3). Заметим, что аксиома 1) называется условием невырожденности нормы, аксиома 2) – условием однородности нормы, а аксиома 3) – неравенством треугольника. В случае векторов аксиома 3) означает, что длина стороны в треугольнике не превышает суммы длин двух других его сторон. Как следствие отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или равна разности длин двух других его сторон. Соответствующее неравенство для нормы имеет вид

yxyx −≥− . (11.1)

Докажем это неравенство. По неравенству треугольника имеем yyxyyxx +−≤+−= )( ,

откуда yxyx −≥− ; меняя ролями x и y, получим xyyx −≥− .

Оба последних неравенства в совокупности дают неравенство (11.1).

В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя его элементами по формуле

ρ(x, y) = yx − .

11.2. Примеры нормированных пространств

Пример 1. В вещественном линейном пространстве m - мерных столбцов R m введем норму

131

cx =

2/1

1

2

∑=

m

iiξ .

Аксиомы нормы 1) и 2) проверяются тривиально. Неравенство треугольника (аксиома 3)), известное из курса линейной алгебры, будет доказано позже в более общем случае. Полученное нормированное пространство в линейной алгебре известно как евклидово пространство и обозначается E m (см. тему 12).

Сферой )( 0xrδ с центром в точке 0x радиуса r называется совокупность таких точек rxxx <− 0: . Открытым шаром )( 0xSr с центром в точке 0x радиуса r называется совокупность таких точек rxxx <− 0: . Замкнутым шаром )( 0xSr с центром в точке 0x радиуса r называется совокупность таких точек rxxx ≤− 0: .

Пример 2. Пространство с m . Введем в R m норму

Kx = max | ξ i |.

1≤ i ≤ m Проверим аксиомы нормы. 1) 0≥

Kx - это очевидно. Пусть|| x || = 0, т.е. max |ξ i | = 0; но

1≤ i ≤ m тогда все ξ i = 0 и x = {0} m

i 1= = 0. 2) |λ ξ i | = ⋅λ |ξ i |, откуда вытекает однородность нормы. 3) |ξ i + η i | ≤ |ξ i | + |η i | ≤ ||max||max iiii

ηξ + , т.е. |ξ i + η i | ≤||x || K +||y|| K . Переходя в

этом неравенстве слева к max по i, получим неравенство треугольника.

11.3. Пространство непрерывных функций C[a, b]

Рассмотрим линейное пространство всех непрерывных на [a, b] функций. Норму введем так:

||x|| = max |x (t)|. [a, b]

Аксиомы 1) и 2) нормы проверяются тривиально. Проверим аксиому 3). По свойству модуля для любого ],[ bat ∈ имеем

|x (t) + y (t)| ≤ |x (t)| + |y (t)| ≤ max | x (t)| + max |y (t)|.

132

[a, b] [a, b]

Следовательно, |x (t) + y (t)| ≤ ||x|| + ||y||. Неравенство сохранится, если взять максимум в левой его части. В результате получаем неравенство треугольника для нормы C[a, b]; для полученного нормированного пространства мы сохраним прежнее обозначение.

11.4. Предел последовательности

Рассмотрим в нормированном пространстве E последовательность элементов {x n }. Элемент x 0 ∈E называется пределом последовательности {x n }, если ||x n - x 0 ||→ 0 при n → ∞. Если x 0 есть предел {x n }, то будем писать nn

xx∞→

= lim0 или x n → x 0 при n→ ∞ и говорить, что

последовательность {x n } сходится к x 0 или просто сходится. Назовем окрестностью точки x 0 любой открытый шар S r ( x 0 ).

Задача. Покажите, что если nnxx

∞→= lim0 , то

1) в любой окрестности точки x 0 находятся все члены последовательности {x n }, за исключением, быть может, их конечного числа;

2) предел x 0 единствен; 3) любая подпоследовательность последовательности {x n } сходится к x 0 ; 4) если λ n → λ 0 при n → ∞ , то λ n x n → λ 0 x 0 при n → ∞; 5) если, кроме того, y n → y 0 , n → ∞ (y n ∈ E, y 0 ∈E), то

x n + y n → x 0 + y 0 , n → ∞ . 6) Пользуясь неравенством (11.1) п. 11.1, доказать, что если x n → x, n→ ∞,

то ||x n || → ||x ||, n → ∞ .

Множество M ⊂ E назовем ограниченным, если его можно заключить в некоторый шар. Точнее, M ограничено, если существует такое число С > 0, что для всех x∈M выполняется неравенство ||x|| ≤ С.

133

Тема 12. Евклидовы пространства

Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением, так что выполнены следующие аксиомы:

1) (x, x) ≥0, (x, x) = 0 в том и только в том случае, когда x=0; 2) (x, y) = (y, x); 3) (λ x, y) = λ(x, y); 4) (x + y, z) = (x, z) + (y, z).

Понятие скалярного произведения естественным образом обобщает понятие скалярного произведения векторов. Всякое евклидово пространство можно превратить в нормированное пространство, определив в нем норму по формуле

||x|| = ),( xx . (12.1)

Для проверки аксиомы треугольника – 3-й аксиомы нормы – мы воспользуемся следующим неравенством:

|(x, y)| ≤ ||x|| || y||, (12.2)

известным как неравенство Коши–Буняковского, которое получается из следующих элементарных соображений: согласно первому свойству скалярного произведения для любого вещественного λ имеем

(x - λ y, x - λ y) ≥ 0.

Раскрывая левую часть последнего неравенства, по свойствам скалярного произведения 2), 3) и 4) получим

(x, x) - 2λ (x, y) + λ 2 ( y, y) ≥ 0.

Квадратный трехчлен неотрицателен при любых λ. Отсюда следует, что его дискриминант неположителен:

(x, y) 2 - (x, x) ( y, y) ≤ 0.

Это неравенство равносильно (12.2).

134

Докажем теперь аксиому треугольника. Имеем

||x + y|| 2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + ( y, y) ≤ ≤ ||x|| 2 + 2 ||x|| || y|| +||y|| 2 = (||x|| + || y||) 2 .

Извлекая корень, получим неравенство треугольника.

Пример 1. Евклидово пространство E m . Введем в вещественном линейном пространстве E m скалярное произведение по формуле

(x, y) = ∑=

m

kkk

1.ηξ

Соответствующая норма имеет вид

|| x|| = ∑=

m

kk

1

2.ξ

Неравенство Коши - Буняковского выглядит так:

∑∑∑===

≤m

kk

m

kk

m

kkk

1

2

1

2

1

ηξηξ

и представляет собою в этом виде частный случай неравенства Минковского. Условие ортогональности элементов m

kkx 1)( == ξ и mkky 1)( == η имеет вид

.01

=∑=

m

kkkηξ

Пример 2. Пространство .2l В линейном пространстве вещественных последовательностей

,)( 1∞= kx ξ ∞= 1)( ky η таких, что +∞<∑

∞

=

2

1k

kξ , ∑

∞

=

+∞<1

2

kkη , введем скалярное

произведение по формуле

∑∞

=

=1

.),(k

kkyx ηξ .

Докажите, что ряд ∑∞

=1kkkηζ сходится и что выполнены аксиомы скалярного

произведения. Элементы x и y называются ортогональными, если 0),( =yx . В любом евклидовом пространстве можно найти так называемый ортогональный базис, т. е. базис из попарно ортогональных векторов. Если каждый элемент ортогонального базиса отнормировать, т. е.

135

разделить на его норму iii

i eee

e 1= , то мы получим новый ортогональный

базис, причем норма всех его элементов будет равна 1. Такой базис называется ортонормированным. Если в ортонормированном базисе элементы x и y имеют координаты { }nxxxx ,...,, 21= ,

{ }nyyyy ,...,, 21= , то nn yxyxyxyx +++= ...),( 2211 . Пример 3. Пусть R – четырехмерное евклидово пространство и пусть его элементы 1e и 2e заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе:

{ } { }1,2,1,1,3,1,2,3 21 −=−= ee . Проверить, что эти элементы ортогональны и дополнить их до ортогонального базиса пространства.

03223),( 21 =−+−=ee , т. е. 1e и 2e – ортогональны. Пусть элемент ортогонального базиса { }tzyxe ,,,3 = . Отсюда

=++−==−++=

.02),(,0323),(

23

13

tzyxeetzyxee

Решаем эту систему методом Гаусса:

−

−0312301211

~

−−

−0655001211

Из второго уравнения tzy 655 += . Пусть, например, ,0,1 == tz ( z и t – свободные неизвестные). Тогда 1== zy и из первого уравнения

1212 −=−=−−= tzyx . Итак, { }0,1,1,13 −=e . Пусть теперь элемент ортогонального базиса { }tzyxe ,,,4 = . Отсюда

=++−==++−==−++=

.0),(,02),(

,0323),(

34

24

14

zyxeetzyxee

tzyxee

Эта система имеет следующие решения 3/,15/13,15/8 tztytx −=== ( t - свободное неизвестное). Пусть 15=t . Тогда 5,13,8 −=== zyx . Тогда { }15,5,13,84 −=e . Элементы 4321 ,,, eeee попарно ортогональны, значит, по теореме о линейной независимости ортогональных элементов эти четыре элемента линейно независимы. Так как размерность нашего пространства равна четырем, то 4321 ,,, eeee образуют его базис. Заметим, что задача имеет бесконечное множество решений.

136

Пример 4. Построить ортонормированный базис пространства, представляющего собой линейные комбинации элементов { } { } { }7,8,2,3,3,5,1,1,1,2,2,1 −=−=−= cba , элементы cba ,, заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе. Применим так называемый процесс ортогонализации. Положим

{ }1,2,2,11 −== ae . Будем искать 2e в виде 12 ebe α+= . Коэффициент α подберем так, чтобы:

0),(),( 1112 =+= eebee α ; 0),(),( 111 =+ eeeb α ; =−= ),/(),( 113 eeebα 110/10)1441/()31021( ==+++−−+− .

Отсюда { }2,3,3,212 −=+= ebe . Теперь будем искать 3e в виде 213 eece βα ++= . Коэффициенты α и β подберем так, чтобы 0),( 13 =ee и 0),( 23 =ee :

.0),(),(),(),(,0),(),(),(),(

22122123

11112113

=+=++==+=++=

eeeceeeceeeeeceeecee

ββααβα

Тогда 310/30)1441/()71643(),/(),( 111 −=−=++++++−=−= eeecα ; 126/26)4994/()142466(),/(),( 222 ==+++−−+−=−= eeecβ .

Отсюда { } { } { } { }2,1,1,22,3,3,23,6,6,37,8,2,33 213 −−−=−+−−−+−=+−= eece

Элементы 321 ,, eee образуют ортогональный базис нашего трехмерного пространства. Для получения ортонормированного базиса *

3*2

*1 ,, eee надо эти

элементы пронормировать:

{ }

−=−+++

==101,

102,

102,

1011,2,2,1

14411

1

1*1 e

ee ;

{ }

−=−+++

==262,

263,

263,

2622,3,3,2

49941

2

2*2 e

ee ;

{ }

−−−=−−−+++

==102,

101,

101,

1022,1,1,2

41141

3

3*3 e

ee .

137

Тема 13. Топологические пространства

13.1. Топология

Говорят, что в множестве Х определена топологическая структура, или просто топология, если в Х отмечен класс подмножеств, содержащий вместе с каждым набором множеств их объединение и вместе с каждым конечным набором множеств – их пересечение, пустое множество и само множество Х. Множество, снабженное топологической структурой, называется топологическим пространством, его элементы – точками, а множества отмеченного класса – открытыми множествами.

Примерами топологических структур могут служить тривиальная топология, в которой открыты только пустое множество и множество X, и дискретная топология, в которой открыты все подмножества множества X. Если Х содержит более одного элемента, то имеются и другие топологии. Например, множество X, состоящее из двух элементов а, b, допускает кроме двух ука-занных еще две топологизации: при одной открытыми будут множества {∅ , а, X}, при другой – множества {∅ , b, X}. Таким образом, мы видим, что топология данного множества не единственна. Подмножество топологического пространства называется замкнутым, если его дополнение открыто. Класс замкнутых множеств содержит вместе с каждым набором множеств их пересечение и вместе с каждым конечным набором множеств – их объединение, и для всякого класса подмножеств множества X, обладающего этими свойствами, в Х существует единственная топология, по отношению к которой он является классом всех замкнутых множеств.

Окрестностью точки топологического пространства называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. Окрестностью подмножества топологического пространства называется всякое открытое множество, содержащее это подмножество.

Среди открытых множеств, содержащихся в заданном подмножестве А топологического пространства X, есть наибольшее: это объединение всех таких множеств. Оно называется внутренней частью или внутренностью множества A и обозначается через AInt . Подобным же образом среди всех замкнутых множеств, содержащих A, есть наименьшее: пересечение всех таких множеств. Оно называется замыканием множества A и обозначается через A . Разность A \ AInt может быть представлена как пересечение

138

замкнутых множеств A и Х\ AInt и потому замкнута. Она называется границей множества A и обозначается через A∂ . Заметим, что Х \ AInt =

AX \ и что множества A и Х \ А имеют одну и ту же границу. По отношению к множеству A точки множеств AInt , A , A∂ и X \ A = )\Int( AX называются, соответственно, внутренними точками, точками прикосновения, граничными точками и внешними точками. Более непосредственно они описываются на языке окрестностей. Точка называется внутренней, если она обладает окрестностью, целиком лежащей в A; точкой прикосновения, если всякая ее окрестность пересекается с A; граничной, если всякая ее окрестность пересекается как с A, так и с X \ А; внешней, если она обладает окрестностью, не пересекающейся с A.

Ясно, что множество открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренней частью, т.е. состоит из одних внутренних точек, и замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, т.е. содержит все свои граничные точки. Множество M называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух открытых непересекающихся множеств. Подмножество A топологического пространства X называется плотным в Х или всюду плотным, если A = X. Множество A называется нигде не плотным, если множество X \ A всюду плотно.

Топологическое пространство Х называется сепарабельным, если существует счетное всюду плотное множество XA ⊂ . Семейство B множеств называется базой топологии τ множества Х, если В содержится в τ и для каждой точки Xx ∈ и любой ее окрестности U существует такой элемент BV ∈ , что .UVx ⊂∈

Теорема. Пространство, топология которого обладает счетной базой, сепарабельно.

Доказательство. Выберем по одной точке из каждого элемента базы. Получим в результате некоторое счетное множество А (так как база счетна). Рассмотрим его замыкание A . Дополнение к этому замыканию открыто и не пересекается с А, потому что не содержит никакого элемента нашей базы и, значит, пусто.

139

Последовательность {xn} элементов топологического пространства Х называется сходящейся к элементу Xa ∈ , если для любой окрестности U точки a существует номер N, такой, что Nn ≥∀ имеем )(aUxn ∈ .

13.2. Топология метрических пространств

Шаром с центром Xx ∈0 и радиусом r > 0 в метрическом пространстве Х

называется множество тех Xx∈ , у которых ( ) rxx ≤,0ρ . Если вместо “≤ ” написать “ < ”, то получится определение открытого шара, а если написать “=”, то получится определение сферы. Единичный шар и единичная сфера пространства nR , т.е. шар и сфера с центром (0, ..., 0) и радиусом 1, называются просто п-мерным шаром и (п–1)-мерной сферой и обозначаются через nD и 1−nS . В частности, 0D есть точка, 0S — пара точек, ∅=−1S . Кроме того, мы полагаем ∅=nD при 1−≤n и 0S = ∅ при 2−≤n . Расстоянием между множествами А и В называется число );,(inf

,yx

ByAxρ

∈∈

обозначение: ρ (A, В). В частности, если а – точка, то ρ (a, B) = ),(inf yaBy

ρ∈

.

Диаметром множества A называется число Adiam = )(sup,

x,yAyx

ρ∈

. Множества

конечного диаметра называются ограниченными.

Неравенство треугольника показывает, что если открытый шар с центром 0x

и радиусом r содержит точку 1x , то он содержит открытый шар с центром 1x и радиусом ),( 10 xxr ρ− . Следовательно, в любом метрическом пространстве пересечение двух открытых шаров содержит вместе с каждой точкой неко-торый открытый шар с центром в этой точке. Так как, кроме того, открытые шары покрывают пространство, то тем самым метрическое пространство делается топологическим. Описанная топология называется метрической. В дальнейшем мы без всяких оговорок будем рассматривать метрические пространства как топологические, имея в виду метрическую топологию. В частности, это относится к пространствам ∇ n и l 2 . Топологическое пространство, топология которого является метрической по отношению к некоторой метрике, называется метризуемым. Открытые шары метрического пространства, составляют, очевидно, базу в этой точке. Часть этой базы, составленная из шаров радиусов 1/n (n = 1, 2, …), также является базой.

140

Метрической окрестностью радиуса r > 0 множества А в метрическом пространстве Х называется множество точек х ∈ Х с ρ(A, x) < r. Так как это – объединение открытых шаров радиуса r с центрами в точках множества А, то это – открытое множество, т.е. действительно окрестность множества А.

13.3. Непрерывные отображения

Отображения топологического пространства Х в топологическое

пространство Y называется непрерывным, если прообраз любого открытого подмножества пространства Y является открытым подмножеством пространства Х. Равносильное условие: прообразы замкнутых множеств замкнуты. Непрерывное отображение называется открытым, если образы открытых множеств открыты, и замкнутым, если образы замкнутых множеств замкнуты.

Очевидно, композиция открытых отображений открыта, а композиция замкнутых отображений замкнута. Отображение f : X → Y называется непрерывным в точке х ∈ Х, если для всякой окрестности V точки f (x) существует такая окрестность U точки х, что f(U) ⊂ V. В случае, когда X и Y - метрические пространства, то отображение f : X→Y непрерывно в точке х ∈ Х, если для всякого положительного ε существует такое положительное δ, что образ любой точки х ' ∈ Х, удаленной от х менее, чем на δ, удален от f (x) менее, чем на ε.

Утверждение. Отображение f : X → Y непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке.

Доказательство. Если отображение f непрерывно и V - окрестность точки f (x), то f 1− (V) есть окрестность точки x и f (f 1− (V)) ⊂ V. Если отображение f непрерывно в каждой точке и V - открытое множество в Y, то каждая точка множества f 1− (V) является внутренней, так как обладает окрестностью, отображающейся в V.

Обратимое отображение f, такое что оба отображения f и f –1 непрерывные, называется гомеоморфизм. Если существует гомеоморфизм X Y→ , то говорят, что пространство Y гомеоморфно пространству Х.

141

Пример 1. Открытый шар Int D n гомеоморфен ∇ n . Стандартный гомеоморфизм ∇ n → Int D n определяется формулой

2 arctg( (0, ))/ (0, ), 0,0, 0.

x x x xx

xρ πρ ≠

=a

Пример 2. Куб I n гомеоморфен шару nD , его внутренняя часть Int nI гомеоморфна Int nD , а его граница nI∂ гомеоморфна nD∂ , т.е. 1−nS . Пример 3. Дискретные пространства X и Y гомеоморфны тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное отображение множества X на множество Y. Пример 4. Множество всех вещественных чисел с обычной топологией гомеоморфно интервалу (0,1): гомеоморфизм задается формулой

2 1 ,( 1)xx

x x−−

a (0,1).x ∈

Однако интервал (0,1) не гомеоморфен пространству (0,1) (1,2)∪ , т.к. пространство, гомеоморфное связному пространству, связно. Пример 5. Проколотая (т.е. лишенная одной точки P) сфера nS гомеоморфна nR . Гомеоморфизм R S \ Pn n→ может быть построен как композиция из гомеоморфизма { } { }nn xxxx ,...,,0,..., 11 → пространства nR на подпространство пространства 1R −n и стереографической проекции, этого подпространства на \nS N из точки N.

13.4. Аксиомы отделимости

В этом и двух следующих пунктах формулируются дополнительные

ограничения, часто накладываемые на топологическую структуру и приближающие свойства топологического пространства к привычным свойствам подмножеств пространств nR . Известно более десятка «аксиом отделимости». Нам потребуются следующие четыре:

142

1T . Для любых двух различных точек а, b существует окрестность точки а, не содержащая b. Равносильные формулировки: точка есть замкнутое множество; конечные множества замкнуты.

2T . Любые две различные точки обладают непересекающимися окрестностями.

3T . У любой точки и любого не содержащего ее замкнутого множества есть непересекающиеся окрестности. Равносильная формулировка: любая окрестность любой точки содержит замыкание некоторой окрестности этой точки.

4T . У любых двух непересекающихся замкнутых множеств есть непересекающиеся окрестности. Равносильная формулировка: каждая окрестность замкнутого множества содержит замыкание некоторой окрестности этого множества. Другая равносильная формулировка: для любого конечного набора попарно непересекающихся замкнутых множеств существуют окрестности этих множеств с попарно непересекающимися замыканиями.

Аксиома 1T следует из аксиомы 2T , но не следует, как показывают очевидные примеры, из аксиом 3T и 4T . Пространства, для которых выполнена аксиома 2T , называются хаусдорфовыми; пространства, для которых выполнены аксиомы 1T и 3T , – регулярными, а пространства, для которых выполнены аксиомы 1T и 4T , – нормальными. Из нормальности следует регулярность, из регулярности –хаусдорфовость. Ясно, что подпространство хаусдорфова пространства хаусдорфово, что подпространство регулярного пространства регулярно и что замкнутое подпространство нормального пространства нормально.

13.5. Компактность

Топологическое пространство называется компактным, если всякое его

открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Например, конечное множество, наделенное произвольной топологией, компактно, а бесконечное множество, наделенное дискретной топологией, не компактно. Ясно, что подпространство топологического пространства Х компактно в том и только том случае, если всякое его открытое покрытие в Х содержит конечное подпокрытие.

143

Если А — компактное подмножество 1T -пространства X, то всякое счетное фундаментальное покрытие пространства Х содержит конечное подпокрытие множества А. Образ компактного пространства при непрерывном отображении компактен.

13.6. Гомотопии

Непрерывное отображение YXf →′ : называется гомотопным непрерывному отображению YXf →: , если существует такое непрерывное отображение YIXF →×: , что XxxfxFxfxF ∈== для )(' )1 ,( ),()0 ,( . Всякое такое отображение F называется гомотопией, связывающей f с f ′ . Говорят также, что F есть гомотопия отображения f. Путем в топологическом пространстве X называется непрерывное отображение отрезка I в X. Точки )0(s и )1(s называются началом и концом пути s. Если )0(s = )1(s , то путь s называется замкнутым. Замкнутые пути называются иначе петлями. Топологическое пространство называется связным, если любые две его точки могут быть соединены путем.

13.7. Примеры

Пример 6. Привести пример T1 -пространства, в котором никакое одноточечное подмножество не замкнуто. Пусть N – множество всех целых чисел, }:{ knNnNk ≥∈= для каждого Nk ∈ . Семейство { } { } { : }kF N N k N= ∪ ∅ ∪ ∈ является топологией на N . Пространство

),( FN искомое. Действительно, пусть Nm ∈ , Nn ∈ и nm ≠ . Предположим для определенности, что nm < . Тогда, если FU ∈ и mU ∋ , то nNU m ∋⊃ и потому

][nm ∈ (значит, }{n не замкнуто в ),( FN ). Но nN – окрестность точки n , не содержащая m . Следовательно, ),( FN – T1 -пространство. Пример 7. Пусть X – бесконечное множество и AXXAFk \:{ ⊂= конечно или }A = ∅ . Условимся называть kF конечной топологией на X . Доказать, что

a) kF – топология на X ; b) ),( kFX – T2-пространство;

144

c) если ),( FX – топологическое пространство, удовлетворяющее T1-аксиоме отделимости, то FFk ⊂ ; d) любые два непустых открытых в ),( kFX множества пересекаются; e) каждая точка Xx ∈ является предельной для любого бесконечного множества XA ⊂ ; f) для любого бесконечного подмножества A множества X , XA =][ (иными словами, всякое бесконечное подмножество множества X всюду плотно в X ); g) X компактно и сепарабельно.

Докажем e). Любое открытое в X множество U содержит все точки множества X , за исключением, быть может, конечного числа. Значит, U содержит и все точки множества A , кроме, быть может, конечного числа их. Так как A бесконечно, можно заключить, что U содержит бесконечно много точек из A . Сказанное относится, в частности, к любой окрестности точки x . Пример 8. Пусть X – топологическое пространство и A – лежащее в нем множество. Доказать равносильность следующих утверждений:

a) у каждой точки Ax ∈ существует окрестность Ox в X такая, что OxA ∩ замкнуто в Ox ; b) AA \][ – замкнутое множество; c) A является пересечением замкнутого множества с открытым.

a)⇒ c). Зафиксируем для каждой точки Ax ∈ окрестность Ox такую, как в a). Положим }:{ AxOxG ∈∪= , ][AF = и покажем, что FGA ∩= . Очевидно,

FGA ∩⊂ . Пусть FGy ∩∈ . Зафиксируем Ax ∈* , для которого *Oxy ∈ . Так как *Ox – открытое множество, то из ][AFy =∈ следует, что *][ OxAy ∩∈ . Но

***][ OxAOxOxA ∩=∩∩ в силу выбора *Ox . Значит, AOxAy =∩∈ * . c)⇒ a). Пусть UA ∩Φ= , где Φ замкнуто в X , а U открыто в X . Тогда A замкнуто в U в силу определения топологии подпространства. Значит, UOx = удовлетворяет a) для всех Ax ∈ . b)⇒ c). Положим )\]([\ AAXU = . В силу b) множество U открыто. Очевидно,

AAU =∩ ][ . c)⇒ b). Пусть UA ∩Φ= , где Φ замкнуто в X , а открыто U в X . Множество A открыто в Φ . Поэтому )\(][\][ AAAA Φ∩= ΦΦ – замкнутое в Φ множество. Но

][][ AA =Φ , ибо Φ замкнуто в X . Итак, AA \][ замкнуто.

145

Тема 14. Элементы дифференциальной геометрии Пространственной кривой называется образ отрезка в пространстве при

непрерывном отображении. Плоской кривой называется образ отрезка на плоскости при непрерывном отображении.

Пространственную кривую можно задать параметрическими уравнениями

)(txx = , )(tyy = , )(tzz = или векторным уравнением ktzjtyitxr )()()( ++= .

Если мы рассматриваем плоскую кривую, надо положить 0)( ≡tz . Кривая, заданная уравнением )(trr = , называется годографом вектор-функции r . Производная вектор-функции )(tr определяется формулой

tr

dtrdtr

t ∆∆

==→∆ 0

lim)(' ,

может быть вычислена по формуле )}('),('),('{)(' tztytxtr = .

Производная dtrd определяет вектор, направленный по касательной к

годографу вектора r в сторону возрастания параметра t .

Правила дифференцирования вектор-функции

1. dtrd

dtrd

dtrdrrr

dtd 321

321 )( −+=−+ ;

2. 0=dtcd , где c – постоянный вектор;

3. dtdur

dtrduru

dtd

+=)( , где )(tuu = – скалярная функция от t ;

4.

+

=

dtrdr

dtrdrrr

dtd 1

22

121 ,,),( ;

5.

+

= 2

12121 ,,],[ r

dtrd

dtrdrrr

dtd

146

14.1. Вычисление кривизны кривой

Пусть γ – произвольная кривая, A и B – точки на этой кривой, ϕ – угол между касательными кривой в точках A и B , s∆ – расстояние между A и B (рис. 14.1). Кривизной данной кривой в точке A называется предел отношения угла ϕ к расстоянию s∆ при неограниченном приближении точки B к точке A :

sk

s ∆=

→∆

ϕ0

lim .

Кривизна показывает быстроту поворота касательной, т.е. насколько быстро данная кривая меняет направление. Если кривая задана уравнением )(trr = , то кривизна вычисляется по следующей формуле:

3|'||]'','[|

rrrk = . (14.1)

Формулы для вычисления кривизны плоской кривой

1. Кривая задана уравнением )(xfy = . Тогда кривизна вычисляется по формуле

( ) 2/32'1|''|

yyk

+= . (14.2)

2. Кривая задана параметрическими уравнениями )(),( tyytxx == . Тогда кривизна вычисляется по формуле

( ) 2/322

||yx

xyyxk&&

&&&&&&

+−

= , (14.3)

где x& и y& означают производные по t . 3. Кривая задана в полярных координатах уравнением )(θρρ = . Тогда

кривизна вычисляется по формуле

( ) 2/322

22

'|'''2|

ρρρρρρ

+−+

=k , (14.4)

где 'ρ означает производную по θ .

Радиусом кривизны называется величина, обратная кривизне: k

R 1= .

рис. 14.1

147

Замечание. Кривизна окружности – величина постоянная во всех ее точках и равна обратной величине радиуса: rk /1= . Отсюда радиус кривизны равен радиусу самой окружности: rR = .

Пример 1. Найти кривизну кривой 3xy −= в точке с абсциссой

21

=x .

Кривая задана уравнением )(xfy = , поэтому применим формулу (14.2). Найдем

производные: 23' xy −= , xy 6'' −= , 43

21' −=

y , 3

21'' −=

y . Тогда кривизна будет

такой:

( ) 64192

16/91|3|

2/3 =+

−=k .

Пример 2. Найти кривизну циклоиды )cos1(),sin( tayttax −=−= в произвольной точке. Кривая задана параметрическими уравнениями, поэтому нужно применить формулу (14.3). Найдем производные x и y по t :

taytaytaxtax cos,sin,sin),cos1( ===−= &&&&&& . Тогда

( ) tatatak

cos121

)cos1(2|)cos1(|

2/32/32

2

−=

−

−−= .

Пример 3. Найти кривизну винтовой линии taRztaytax 22,sin,cos −=== в произвольной точке. Нужно использовать формулу (14.1). Найдем соответствующую вектор-функцию: },sin,cos{)( 22 taRtatatr −= , ее

производные и их векторное произведение: },cos,sin{)(' 22 aRtatatr −−= , }0,sin,cos{)('' tatatr −−= ,

[ ] kajtaRaitaRatata

aRtatakji

trtr 2222222 cossin0sincos

cossin)(''),(' +−−−=−−

−−= .

Таким образом, кривизна будет равна

232/3222222

422222222

3 )cossin(cos)(sin)(

|'||]'','[|

Ra

RaR

aRtataataRataRa

rrrk ==

−+++−+−

== .

148

14.2. Естественный трехгранник пространственной кривой

Пусть кривая задана уравнением )(trr = . В каждой точке M этой кривой можно задать три взаимно перпендикулярных единичных вектора:

|)('|)('

trtr

dsrdτ == –

– единичный вектор касательной;

|/|/dsτddsτdν = –

– единичный вектор главной нормали, перпендикулярен вектору касательной;

],[ ντβ = – единичный вектор бинормали, перпендикулярен плоскости касательной и главной нормали.

Плоскость, содержащая векторы τ и ν , называется соприкасающейся плоскостью, содержащая векторы β и ν – нормальной плоскостью, содержащая векторы τ и β – спрямляющей плоскостью. Трехгранник с вершиной в точке M , образованный соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостями, называется естественным трехгранником Френе (см. рис. 14.2).

14.3. Вычисление кручения кривой

Пусть γ – произвольная кривая, P и Q – точки на этой кривой, θ – угол между соприкасающимися плоскостями в точках P и Q , s∆ – расстояние между P и Q . Угол между бинормалями в этих точках также будет равен θ (рис. 14.3). Кручением кривой в точке M называется предел отношения

рис. 14.2

рис. 14.3

149

угла θ к расстоянию s∆ при неограниченном приближении точки Q к P :

sθσ

s ∆=

→∆ 0lim .

Кручение характеризует, насколько данная кривая отличается от плоской кривой на участке PQ . Формула для вычисления кручения:

2)](''),('[)(''')('')('

trtrtrtrtrσ = .

Пример 4. Найти кручение кривой tx 6= , 23ty = , 3tz = в точке 1=t . Вектор-функция )(tr имеет вид },3,6{ 32 ttt . Найдем ее производные:

}3,6,6{)(' 2tttr = , }6,6,0{)('' ttr = , }6,0,0{)(''' =tr . Надем смешанное и векторное произведения этих векторов:

216600660366

)('')('')('

2

== ttt

trtrtr ,

Кручение в произвольной точке будет таким:

)44(32

363618216

2422242 ++=

++=

ttttσ .

При 1=t находим 272

=σ .

150

Асташова И.В. Никишкин В.А.

Геометрия и топология

Руководство по изучению курса

Москва 2004

152

Асташова И.В., Никишкин В.А. Геометрия и топология. Руководство по изучению курса / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ). – М.: 2004. – 15с.

Асташова И.В., 2004 Никишкин В.А., 2004 Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), 2004.

153

Содержание

1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе ......................... 154 2. Перечень основных тем и подтем.................................................................. 155

2.1. Тема 1. Векторная алгебра ....................................................................... 155 2.2. Тема 2. Прямая на плоскости................................................................... 156 2.3. Тема 3. Плоскость ..................................................................................... 156 2.4. Тема 4. Прямая в пространстве ............................................................... 157 2.5. Тема 5. Прямая и плоскость в пространстве .......................................... 158 2.6. Тема 6. Кривые второго порядка............................................................ 159 2.7. Тема 7. Поверхности второго порядка .................................................. 160 2.8. Тема 8. Множества................................................................................... 161 2.9. Тема 9. Линейные пространства.............................................................. 162 2.10. Тема 10. Метрические пространства ................................................... 162 2.11. Тема 11. Нормированные пространства .............................................. 163 2.12. Тема 12. Евклидовы пространства ....................................................... 163 2.13. Тема 13. Топологические пространства ............................................... 164 2.14. Тема 14. Элементы дифференциальной геометрии ........................... 165

154

1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе

Цель дисциплины состоит в получении студентами прочных

теоретических знаний и твёрдых практических навыков в области аналитической геометрии и топологии. Такая подготовка необходима для успешного усвоения многих специальных дисциплин.

Задачей дисциплины является изучение ниже перечисленных фундаментальных разделов высшей математики, которое составит основу математических знаний студента наряду с курсом математического анализа. Прочное усвоение современных математических методов позволит будущему специалисту решать в своей повседневной деятельности актуальные задачи практики, понимать написанные на современном научном уровне результаты других исследований и тем самым совершенствовать свои профессиональные навыки.

Изучение дисциплины предусматривает проведение лекционных и практических занятий.

В лекциях излагается содержание тем программы с учётом требований, установленных для специалиста в квалификационной характеристике. Основное внимание уделяется наиболее сложным вопросам курса. Практические занятия проводятся в учебных группах с целью закрепления теоретических основ, излагаемых в лекционном курсе, и получения практических навыков в применении основных понятий и методов аналитической геометрии и топологии. Практические занятия по каждой теме проводятся в соответствии с планом распределения времени. В пособии приводятся теоретические сведения, примеры решения типовых задач по основным разделам векторной алгебры, аналитической геометрии, началам теории линейных, метрических, нормированных, евклидовых и топологических пространств и дифференциальной геометрии. В основу пособия положен курс, читаемый авторами студентам МЭСИ, обучающимся по специальности 351500 (Математическое обеспечение и администрирование информационных систем). Данное пособие может быть использовано для аудиторной и самостоятельной подготовки студентов, а также для проведения домашних и аудиторных контрольных работ. Пособие может оказаться полезным для студентов МЭСИ, обучающихся по другим специальностям, при изучении разделов «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия» в общем курсе «Высшая математика», а его часть, посвященная теории пространств, – студентам, изучающим курс «Функциональный анализ».

155

Необходимый объем знаний, необходимый для изучения дисциплины

Данный курс базируется на школьном курсе математики, так же на курсе линейной алгебры, который может изучаться параллельно. Обеспечивает все математические курсы.

2. Перечень основных тем и подтем

2.1. Тема 1. Векторная алгебра Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их свойства.

Понятия линейной зависимости и независимости. Базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства, геометрический смысл и выражение в декартовой системе координат. Преобразование системы координат. Параллельный перенос и поворот осей координат (л.–3ч., с.–4ч.). Цель изучения – усвоить понятие вектора и уметь совершать операции над векторами.

Изучив тему 1, студент должен: знать:

основные определения, свойства операций с векторами, условия для коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов;

уметь: решать геометрические задачи, связанные с операциями над векторами, применять аппарат векторной алгебры для решения геометрических задач.

При изучении темы 1 необходимо : Читать [1] с.15 – 34. Для самооценки темы 1 выполнить задания 1-6 из Контрольной работы № 1.

ответить на вопросы: как задаются линейные операции над векторами и каковы их свойства, дать определение линейной зависимости и независимости векторов, базиса; что называется скалярным, векторным и смешанным произведением векторов, каковы их свойства и выражение в декартовой системе координат; как записываются формулы параллельного переноса и поворота осей координат.

156

2.2. Тема 2. Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости. Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой. Отклонение и расстояние точки от прямой (л.–2ч., с.–3ч.).

Цель изучения – понять возможность представления геометрических образов в форме уравнений, изучить особенности геометрических образов, соответствующих линейным уравнениям в прямоугольной системе координат; усвоить основные понятия: соответствие линейного уравнения и прямой, угловой коэффициент прямой, различные виды уравнений прямой.

Изучив тему 2, студент должен: знать:

основные виды уравнения прямой (с угловым коэффициентом, в отрезках, нормальное, общего вида) в прямоугольной системе координат и геометрический смысл коэффициентов этих уравнений; способ определения угла между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых;

уметь: решать геометрические задачи, связанные с прямой на плоскости.

При изучении темы 2 необходимо:

Читать [1] с.35 – 44. Для самооценки темы 2 выполнить задания 7, 8 из Контрольной работы № 1.

ответить на вопросы: как записать основные виды уравнения прямой (с угловым коэффициентом, в отрезках, нормальное, общего вида) в прямоугольной системе координат; как определить угол между прямыми; как записать условие параллельности и перпендикулярности прямых.

2.3. Тема 3. Плоскость

Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору и проходящей через данную точку. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельно двум неколлинеарным векторам. Уравнение плоскости,

157

проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Нормальное уравнение плоскости. Отклонение и расстояние точки от плоскости (л.–2ч., с.–2ч.).

Цель изучения – понять возможность представления плоскостей в

форме уравнений, изучить особенности геометрических образов, соответствующих линейным уравнениям в прямоугольной системе координат; усвоить основные понятия: соответствие линейного уравнения и плоскости, нормальный вектор плоскости, различные виды уравнений плоскости;

Изучив тему 3, студент должен: знать:

основные три способа задания плоскости в пространстве (точка и нормальный вектор; точка и два вектора, коллинеарные плоскости и неколлинеарные одной прямой; три точки, не лежащие на одной прямой) и вид уравнения плоскости в каждом случае; особенность нормального уравнения плоскости и его применение для вычисления расстояния от точки до плоскости; способ определения угла между плоскостями;.

уметь: решать геометрические задачи, связанные с плоскостью в пространстве.

При изучении темы 3 необходимо:

Читать [1], с.45 – 60. ответить на вопросы:

как записать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору; проходящей через заданную точку параллельно двум заданным неколлинеарным векторам; проходящей через три точки не лежащие на одной прямой; как записать условия необходимые и достаточные для перпендикулярности, параллельности, совпадения двух плоскостей, как записать формулы для вычисления косинуса угла между плоскостями, расстояния от точки до плоскости.

2.4. Тема 4. Прямая в пространстве Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве.

Прямая как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой). Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду. Задачи на плоскость и прямую в пространстве - сведение к использованию

158

соответствующих условий для векторов нормали и направляющих векторов (л.–2ч., с.–2ч.).

Цель изучения – понять возможность представления прямых в

пространстве в форме уравнений, изучить особенности геометрических образов, соответствующих системам линейных уравнений в прямоугольной системе координат; усвоить основные понятия: направляющий вектор прямой, различные виды уравнений прямой, угол между двумя прямыми.

Изучив тему 4, студент должен: знать:

канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве; способ вычисления расстояния от точки до прямой; способ определения угла между прямыми.

уметь: решать геометрические задачи, связанные с прямой в пространстве.

При изучении темы 4 необходимо:

Читать [1], с.61 –65. ответить на вопросы:

как записать канонические, параметрические уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору; проходящей через две заданные точки; проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной плоскости; как записать условия необходимые и достаточные для перпендикулярности, параллельности, пересечения двух прямых; как записать формулы для вычисления косинуса угла между прямыми.

2.5. Тема 5. Прямая и плоскость в пространстве Пересечение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые. Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве (л.–2ч., с.–2ч.).

Цель изучения – научиться решать задачи о взаимном расположении

прямой и плоскости в пространстве.

159

Изучив тему 5, студент должен: знать:

как находится точка пересечения прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью, как записывается уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, как находится расстояние от точки до прямой в пространстве

уметь: находить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые, уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые; находить расстояние от точки до прямой в пространстве, расстояние между параллельными прямыми в пространстве, расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве.

При изучении темы 5 необходимо:

Читать [1], с.66 – 74. Для самооценки тем 3, 4, 5 выполнить задания № 1–5 Контрольной работы № 2.

ответить на вопросы: как найти точку пересечения прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью; как записать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые, уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые; как находится расстояние от точки до прямой в пространстве, расстояние между параллельными прямыми в пространстве, расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве.

Для контроля знаний по темам 1 – 5 выполнить тесты № 1, 2.

2.6. Тема 6. Кривые второго порядка Эллипс и его каноническое уравнение. Исследование формы эллипса.

Гипербола и её каноническое уравнение. Исследование формы гиперболы. Парабола и её каноническое уравнение. Исследование формы параболы. Классификация кривых второго порядка (л.–4ч., с.–4ч.).

Цель изучения: понять возможность представления геометрических образов в форме уравнений, изучить особенности геометрических образов, соответствующих квадратным уравнениям в прямоугольной системе координат. Усвоить основные понятия: линия, соответствующая уравнению F(x,y)=0 в прямоугольной системе координат; кривые второго порядка, соответствующие уравнениям второго порядка.

160

Изучив тему 6, студент должен: знать:

геометрический смысл уравнений второго порядка, определения, канонические уравнения и геометрические свойства окружности, эллипса, гиперболы, параболы; изменение вида уравнения линии при параллельном переносе и повороте прямоугольной декартовой системы координат;

уметь: решать геометрические задачи, связанные с кривыми второго порядка, приобрести навыки определения формы линии, заданной уравнением в прямоугольной системе координат различными методами.

При изучении темы 6 необходимо:

Читать [1], с.75 – 95. Для самооценки темы 6 выполнить задания № 1-4 Контрольной работы № 3, № 1, 3, 4 Контрольной работы № 4.

ответить на вопросы: как записываются канонические уравнения окружности, эллипса,

гиперболы, параболы; какими методами производится классификация кривых второго порядка.

2.7. Тема 7. Поверхности второго порядка Основные поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды,

параболоиды, цилиндры, вырожденные поверхности. Классификация поверхностей второго порядка. Приведение общего уравнения поверхности к каноническому виду методом Лагранжа (л.–3ч., с.–3ч.).

Цель изучения – понять возможность представления поверхностей в форме уравнений или систем уравнений, изучить особенности геометрических образов, соответствующих квадратным уравнениям в прямоугольной системе координат.

Усвоить основные понятия: поверхность, соответствующая уравнению второго порядка в прямоугольной системе координат.

Изучив тему 7, студент должен: знать:

канонические уравнения и геометрические свойства сферы, эллипсоида, гиперболоида, параболоида; особенность уравнения цилиндрической поверхности;

161

уметь: решать геометрические задачи, связанные c поверхностями второго порядка в пространстве, приобрести навыки определения формы поверхности, заданной уравнением в прямоугольной системах координат; схематически строить поверхность, заданную уравнением второго порядка; приводить общее уравнение поверхности к каноническому виду методом Лагранжа.

При изучении темы 7 необходимо:

Читать [1] с.96 – 114. Для самооценки темы 7 выполнить задание № 5 Контрольной работы № 3, задание № 2 Контрольной работы № 4.

ответить на вопросы: как записать уравнение основных поверхностей второго порядка: эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов, цилиндров, конуса, вырожденных поверхностей; как привести общее уравнение поверхности к каноническому виду.

Для контроля знаний по темам 6 – 7 выполнить тест № 3.

2.8. Тема 8. Множества Понятие множества. Логическая символика. Основные операции над

множествами. Счетность множества. Примеры счётных и несчётных множеств. Системы множеств. Вещественные числа и их изображение на числовой оси (л.–2ч., с.–0ч.).

Цель изучения – усвоить понятие множества, операции над множествами.

Изучив тему 8, студент должен: знать:

примеры множеств, понятие счетности множеств, основные числовые множества;

уметь: совершать основные операции над множествами, приводить примеры счетных и несчетных множеств, доказывать счетность или несчетность множеств.

При изучении темы 8 необходимо:

Читать [1] с.115 – 122.

162

ответить на вопросы: что такое множество, какие основные операции совершаются над множествами, что такое счётное и несчетное множество, как изображаются вещественные числа на числовой оси.

2.9. Тема 9. Линейные пространства Определение линейного пространства. Примеры. Базис линейного

пространства. Разложение элемента линейного пространства по базису (л.–2ч., с.–2ч.).

Изучив тему 9, студент должен: знать:

определение линейного пространства и подпространства, базиса линейного пространства.

уметь: приводить примеры линейных пространств.

При изучении темы 9 необходимо:

Читать [1] с.123 – 126. ответить на вопросы:

является ли данное пространство с заданными операциями сложения и умножения на число линейным, является ли подмножество данного линейного пространства подпространством.

2.10. Тема 10. Метрические пространства Понятие метрического пространства. Примеры. Открытые и замкнутые

множества. Понятие сходимости. Полнота метрического пространства. Примеры полных и неполных метрических пространств (л.–2 ч., с.–2ч.).

Цель изучения – усвоить понятие метрического пространства, понятие полноты метрического пространства.

Изучив тему 10, студент должен: знать:

определение метрического пространства, примеры полных и неполных метрических пространств.

163

уметь: доказывать, что заданная функция двух переменных может задавать метрику в заданном пространстве элементов, доказывать полноту и неполноту различных метрических пространств.

При изучении темы 10 необходимо:

Читать [1] с.127 – 129. ответить на вопросы:

какое пространство называется метрическим, какая функция называется метрикой, какое метрическое пространство называется полным.

2.11. Тема 11. Нормированные пространства Понятие нормы. Определение нормированного пространства.

Примеры. Понятие сходимости (л.–2ч., с.–2ч.). Изучив тему 11, студент должен: знать:

определение понятия нормы, нормированного пространства, понятия сходимости в нормированном пространстве.

уметь: приводить примеры нормированных пространств.

При изучении темы 11 необходимо:

Читать [1] с.130 – 132. ответить на вопросы:

задает ли данная функция двух переменных норму в заданном пространстве, является ли данная последовательность сходящейся в данном нормированном пространстве.

2.12. Тема 12. Евклидовы пространства Определение евклидова пространства. Примеры. Понятие

ортогонального и ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации (л.–2ч., с.–2ч.).

Изучив тему 12, студент знать:

164

определение евклидова пространства, примеры, понятие ортогонального и ортонормированного базиса;

уметь: проверять аксиомы скалярного произведения; приводить примеры евклидовых пространств, процесс ортогонализации;

При изучении темы 12 необходимо:

Читать [1] с.133 – 136. ответить на вопросы:

какое пространство называется евклидовым, что такое скалярное произведение элементов, что такое ортогональный базис.

2.13. Тема 13. Топологические пространства Понятие топологического пространства. Различные способы задания

топологий. Понятие сходимости. Компактность (л.–2ч., с.–2ч.). Изучив тему 13, студент должен: знать:

определение открытого и замкнутого множеств, окрестности точки, топологического пространства, внутренности множества, точки прикосновения; всюду плотного множества, сепарабельного пространства, базы топологии; понятие сходимости в топологическом пространстве, различные способы задания топологии.

уметь: задавать топологии в различных пространствах, в том числе и метрических, давать определение сходимости последовательности в различных топологических пространствах; формулировать аксиомы отделимости.

давать определения следующих понятий: непрерывное отображение, гомеоморфизм, компактность, гомотопия.

При изучении темы 13 необходимо:

Читать [1] с.137 – 144. ответить на вопросы:

какое пространство называется топологическим, какая последовательность называется сходящейся, как задается топология в метрическом пространстве.

Для самооценки тем 9-13 выполнить задания № 1-5 Контрольной

работы № 5.

165

Для контроля знаний по темам 8 – 13 выполнить тесты № 4, 5, 6.

2.14. Тема 14. Элементы дифференциальной геометрии Пространственная кривая. Вектор-функция и ее дифференцирование.

Кривизна кривой. Формулы для вычисления кривизны плоской кривой. Естественный трехгранник пространственной кривой. Кручение кривой и его вычисление (л.–2ч., с.–2ч.).

Изучив тему 14, студент должен: знать:

определения вектор-функции, кривизны и кручения кривой уметь:

вычислять кривизну и кручение кривой При изучении темы 14 необходимо:

Читать [1] с.145 – 149. ответить на вопросы:

как дифференцируется вектор-функция, что такое естественный трехгранник пространственной кривой.

166

Асташова И.В. Никишкин В.А.

Геометрия и топология

Практикум

Москва 2004

168

Асташова И.В. Никишкин В.А. Геометрия и топология. Практикум / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ). – М.: 2004. – 75 с.

Асташова И.В., 2004 Никишкин В.А., 2004 Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), 2004.

169

Содержание Контрольная работа № 1. (темы 1, 2: “Векторная алгебра”, “Уравнения прямой на плоскости”)........................................................................................ 170 Контрольная работа № 2. (Темы 3, 4, 5: “Плоскость”, “Прямая в пространстве”, “Прямая и плоскость в пространстве”) .................................. 190 Контрольная работа № 3. (темы 6, 7: “Кривые второго порядка”, “Поверхности второго порядка”, часть 1) ........................................................ 201 Контрольная работа № 4. (тема 6, 7: “Общая теория кривых и поверхностей второго порядка”, часть 2) ......................................................... 212 Контрольная работа № 5. (Темы 8–13: “Множества”, “Линейные пространства”, “Метрические пространства”, “Нормированные пространства”, “Евклидовы пространства”, “Топологические пространства”)............................................................................................................................... 222

170

Контрольная работа № 1. (темы 1, 2: “Векторная алгебра”, “Уравнения прямой на плоскости”)

Вариант № 1. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r:

{ } { } { } { }2, 4, 7 , 0, 1, 2 , 1, 0, 1 , 1, 2, 4 .= − = = = −x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b?

{ } { } 1 21, 2, 3 , 3, 0, 1 , 2 4 , 3 .= − = − = + = −a b c a b c b a 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC , где ( ) ( ) ( )1, 2, 3 , 0, 1, 2 , 3, 4, 5 .A B C− − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b: ( )2 , 2 ; 1, 2, 6.π∧= + = + = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c? { } { } { }2, 3, 1 , 1, 0, 1 , 2, 2, 2 .= = − − =a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41, 3, 6 , 2, 2, 1 , 1, 0, 1 , 4, 6, 3 .A A A A− − −

7. Дана прямая 0335 =−+ yx . Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами М0 (1,2), параллельной данной прямой. 8. Установить, лежат ли точка М(1; -3) и начало координат по одну или по разные стороны прямой 052 =+− yx .

171

Вариант № 2. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r:

{ } { } { } { }6, 12, 1 , 1, 3, 0 , 2, 1, 1 , 0, 1, 2 .= − = = − = −x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b?

{ } { } 1 21, 0, 1 , 2, 3, 5 , 2 , 3 .= = − = + = −a b c a b c a b 3. Найти проекцию вектора AB на вектор AC , где ( ) ( ) ( )0, 3, 6 , 12, 3, 3 , 9, 3, 6 .A B C− − − − − − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b: ( )3 , 2 ; 4, 1, 4.π∧= + = − = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c? { } { } { }3, 2, 1 , 1, 1, 1 , 3, 1, 1 .= = − − = −a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 44, 2, 6 , 2, 3, 0 , 10, 5, 8 , 5, 2, 4 .A A A A− − − − −

7. Дана прямая 0335 =−+ yx . Составить уравнение прямой, перпендикулярной к данной прямой и проходящей через точку М0(2,3). 8. Даны вершины треугольника: А(-10; -13), В(-2; 3) и С(2; 1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.

172

Вариант № 3. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }1, 4, 4 , 2, 1, 1 , 0, 3, 2 , 1, 1, 1 .= − = − = = −x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 22, 4, 1 , 1, 2, 7 , 5 3 , 2 .= − = − = + = −a b c a b c a b 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC , где ( ) ( ) ( )3, 3, 1 , 5, 5, 2 , 4, 1, 1 .A B C− −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )3 , 2 ; 1 5, 1, 2.π∧= − = + = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }1, 5, 2 , 1, 1, 1 , 1, 1, 1 .= = − − =a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 47, 2, 4 , 7, 1, 2 , 3, 3, 1 , 4, 2, 1 .A A A A− − − 7. Дана прямая 0432 =++ yx . Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0 (2; 1) параллельно данной прямой. 8. Привести общее уравнение прямой 01034 =−− yx к нормальному виду.

173

Вариант № 4. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }9, 5, 5 , 4, 1, 1 , 2, 0, 3 , 1, 2, 1 .= − = = − = −x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 21, 2, 3 , 2, 1, 1 , 4 3 , 8 .= − = − − = + = −a b c a b c a b 3. Найти проекцию вектора AB на вектор AC , где ( ) ( ) ( )1, 2, 3 , 3, 4, 6 , 1, 1, 1 .A B C− − − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )3 2 , 5 ; 4, 1 2, 5 6.π∧= − = + = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }1, 1, 3 , 3, 2, 1 , 2, 3, 4 .= − − = =a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 42, 1, 4 , 1, 5, 2 , 7, 3, 2 , 6, 3, 6 .A A A A− − − − − −

7. Дана прямая 0432 =++ yx . Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0 (2; 1) перпендикулярно к данной прямой. 8. Установить, лежат ли точка М(1; -3) и начало координат по одну или по разные стороны прямой 0152410 =++ yx .

174

Вариант № 5. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }5, 5, 5 , 2, 0, 1 , 1, 3, 1 , 0, 4, 1 .= − − = − = − =x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 23, 5, 4 , 5, 9, 7 , 2 , 3 2 .= = = − + = −a b c a b c a b 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC , где ( ) ( ) ( )4, 2, 0 , 1, 2, 4 , 3, 2, 1 .A B C− − − − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )2 , 2 ; 2, 3, 3 4.π∧= − = + = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }3, 3, 1 , 1, 2, 1 , 1, 1, 1 .= = − =a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41, 5, 2 , 6, 0, 3 , 3, 6, 3 , 10, 6, 7 .A A A A− − − − − −

7. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 0532 =+− yx , 0723 =−+ yx и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника. 8. Привести общее уравнение прямой 02 =+x к нормальному виду.

175

Вариант № 6. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }13, 2, 7 , 5, 1, 0 , 2, 1, 3 , 1, 0, 1 .= = = − = −x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 21, 4, 2 , 1, 1, 1 , , 4 2 .= − = − = + = +a b c a b c a b 3. Найти проекцию вектора AB на вектор AC , где ( ) ( ) ( )5, 3, 1 , 5, 2, 0 , 6, 4, 1 .A B C− −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )3 , 2 ; 2, 3, 3.π∧= + = − = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }3, 1, 1 , 2, 1, 0 , 5, 2, 1 .= − = − − = −a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 40, 1, 1 , 2, 3, 5 , 1, 5, 9 , 1, 6, 3 .A A A A− − − − − − − 7. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 02 =− yx , 0152 =+− yx и уравнение одной из его диагоналей 0157 =−+ yx . Найти вершины прямоугольника. 8. Вычислить расстояние d между параллельными прямыми 01043 =−− yx и

0586 =+− yx .

176

Вариант № 7. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }19, 1, 7 , 0, 1, 1 , 2, 0, 1 , 3, 1, 0 .= − − = = − =x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 21, 2, 5 , 3, 1, 0 , 4 2 , 2 .= − = − = − = −a b c a b c b a 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC , где ( ) ( ) ( )3, 7, 5 , 0, 1, 2 , 2, 3, 0 .A B C− − − − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )2 , 3 ; 3, 2, 2.π∧= − = + = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }4, 3, 1 , 1, 2, 1 , 2, 2, 2 .= = − =a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 45, 2, 0 , 2, 5, 0 , 1, 2, 4 , 1, 1, 1 .A A A A −

7. Найти проекцию точки Р( -6; 4) на прямую 0354 =+− yx . 8. Привести общее уравнение прямой 052 =−− yx к нормальному виду.

177

Вариант № 8. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }3, 3, 4 , 1, 0, 2 , 0, 1, 1 , 2, 1, 4 .= − = = = −x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 23, 4, 1 , 2, 1, 1 , 6 3 , 2 .= − = − = − = −a b c a b c b a 3. Найти проекцию вектора AB на вектор AC , где ( ) ( ) ( )2, 4, 6 , 0, 2, 4 , 6, 8, 10 .A B C− − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )4 , ; 7, 2, 4.π∧= + = − = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }4, 3, 1 , 6, 7, 4 , 2, 0, 1 .= = = −a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 42, 1, 2 , 1, 2, 1 , 5, 0, 6 , 10, 9, 7 .A A A A− − − − −

7. Найти точку Q, симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой 0332 =−− yx .

8. Вычислить величину отклонения δ и расстояние d точки А(2; -1) от прямой 01034 =++ yx .

178

Вариант № 9. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }3, 3, 1 , 3, 1, 0 , 1, 2, 1 , 1, 0, 2 .= − = = − = −x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 22, 3, 2 , 1, 0, 5 , 3 9 , 3 .= − − − = = + = − −a b c a b c a b 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC , где ( ) ( ) ( )0, 1, 2 , 3, 1, 2 , 4, 1, 1 .A B C−

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )4 , 3 ; 1, 2, 6.π∧= − = + = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }3, 2, 1 , 1, 3, 7 , 1, 2, 3 .= = − − =a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 42, 0, 4 , 1, 7, 1 , 4, 8, 4 , 1, 4, 6 .A A A A− − − − − −

7. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 0725 =−+ yx , 03625 =−+ yx и уравнение его диагонали 01073 =−+ yx . Составить

уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника. 8. Отклонение точки М от прямых 013125 =−− yx и 01943 =−− yx равны соответственно –3 и –5. Определить координаты точки М.

179

Вариант № 10. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }1, 7, 4 , 1, 2, 1 , 2, 0, 3 , 1, 1, 1 .= − − = − = = −x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 21, 4, 2 , 3, 2, 6 , 2 , 3 6 .= − = − = − = −a b c a b c b a 3. Найти проекцию вектора AB на вектор AC , где ( ) ( ) ( )3, 3, 1 , 1, 5, 2 , 4, 1, 1 .A B C− −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )4 , 2 ; 7, 2, 3.π∧= + = − = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }3, 7, 2 , 2, 0, 1 , 2, 2, 1 .= = − − =a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 414, 4, 5 , 5, 3, 2 , 2, 6, 3 , 2, 2, 1 .A A A A− − − − − − −

7. Составить уравнение прямой, параллельной двум прямым 0632 =−+ yx , 01764 =++ yx и проходящей посередине между ними.

8. Вычислить величину отклонения δ и расстояние d точки А(-2; 3) от прямой 0243 =−− yx .

180

Вариант № 11. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }6, 5, 14 , 1, 1, 4 , 0, 3, 2 , 2, 1, 1 .= − = = − = −x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 25, 0, 1 , 7, 2, 3 , 2 , 3 6 .= − = = − = −a b c a b c b a 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC , где ( ) ( ) ( )2, 1, 1 , 6, 1, 4 , 4, 2, 1 .A B C− − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )3 2 , ; 10, 1, 2.π∧= + = − = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }1, 2, 6 , 1, 0, 1 , 2, 6, 17 .= − = = −a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41, 2, 0 , 3, 0, 3 , 5, 2, 6 , 8, 4, 9 .A A A A− −

7. Даны вершины сторон треугольника А(2; -2), В(3; -5) и С(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А. 8. Вычислить расстояние d между параллельными прямыми 01534 =+− yx и

02568 =+− yx .

181

Вариант № 12. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }6, 1, 7 , 1, 2, 0 , 1, 1, 3 , 1, 0, 4 .= − = − = − =x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 20, 3, 2 , 1, 2, 1 , 5 2 , 3 5 .= − = − = − = +a b c a b c a b 3. Найти проекцию вектора AB на вектор AC , где ( ) ( ) ( )1, 2, 1 , 4, 2, 5 , 8, 2, 2 .A B C− − − − − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )4 , 2 ; 5, 4, 4.π∧= − = + = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }6, 3, 4 , 1, 2, 1 , 2, 1, 2 .= = − − − =a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 42, 1, 2 , 1, 2, 1 , 3, 2, 1 , 4, 2, 5 .A A A A− − −

7. Составить уравнение прямой, параллельной двум прямым 035 =++ yx , 0175 =−+ yx и проходящей посередине между ними.

8. Даны две смежные вершины квадрата А(2; 0) и В(-1; 4). Составить уравнение его сторон.

182

Вариант № 13. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }5, 15, 0 , 1, 0, 5 , 1, 3, 2 , 0, 1, 1 .= = = − = −x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 22, 7, 1 , 3, 5, 2 , 2 3 , 3 2 .= − − = − = + = +a b c a b c a b 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC , где ( ) ( ) ( )6, 2, 3 , 6, 3, 2 , 7, 3, 3 .A B C− − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )2 3 , 2 ; 6, 7, 3.π∧= + = − = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }7, 3, 4 , 1, 2, 1 , 4, 2, 4 .= = − − − =a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41, 1, 2 , 1, 1, 3 , 2, 2, 4 , 1, 0, 2 .A A A A− − − −

7. Составить уравнение прямой, параллельной двум прямым 01153 =−− yx , 025 =−− yx и проходящей посередине между ними.

8. Составить геометрическое место точек, равноудаленных от параллельных прямых 073 =+− yx и 033 =−− yx .

183

Вариант № 14. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }2, 1, 11 , 1, 1, 0 , 0, 1, 2 , 1, 0, 3 .= − = = − =x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 23, 7, 0 , 1, 3, 4 , 4 2 , 2 .= = − = − = −a b c a b c b a 3. Найти проекцию вектора AB на вектор AC , где ( ) ( ) ( )0, 0, 4 , 3, 6, 1 , 5, 10, 1 .A B C− − − − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )3 , 2 ; 3, 4, 3.π∧= − = + = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }2, 3, 2 , 4, 7, 5 , 2, 0, 1 .= = = −a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 42, 3, 1 , 4, 1, 2 , 6, 3, 7 , 7, 5, 3 .A A A A− −

7. Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две точки М1(2; -5) и М2(3; 2). 8. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(2; 3) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.

184

Вариант № 15. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }11, 5, 3 , 1, 0, 2 , 1, 0, 1 , 2, 5, 3 .= − = = − = −x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 21, 2, 1 , 2, 7, 1 , 6 2 , 3 .= − − = − = − = −a b c a b c b a 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC , где ( ) ( ) ( )2, 8, 1 , 4, 6, 0 , 2, 5, 1 .A B C− − − − − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )2 3 , 2 ; 2, 3, 4.π∧= + = − = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }5, 3, 4 , 1, 0, 1 , 4, 2, 4 .= = − − =a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41, 1, 1 , 2, 3, 1 , 3, 2, 1 , 5, 9, 8 .A A A A− − 7. Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две точки М1(5; -3) и М2(-1; 6). 8. Составить геометрическое место точек, равноудаленных от параллельных прямых 0625 =−− yx и 03410 =+− yx .

185

Вариант № 16. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }8, 0, 5 , 2, 0, 1 , 1, 1, 0 , 4, 1, 2 .= = = =x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 27, 9, 2 , 5, 4, 3 , 4 , 4 .= − = = − = −a b c a b c b a 3. Найти проекцию вектора AB на вектор AC , где ( ) ( ) ( )3, 6, 9 , 0, 3, 6 , 9, 12, 15 .A B C− − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )2 3 , 3 ; 4, 1, 6.π∧= − = + = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }3, 10, 5 , 2, 2, 3 , 2, 4, 3 .= = − − − =a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41, 5, 7 , 3, 6, 3 , 2, 7, 3 , 4, 8, 12 .A A A A− − − − −

7. Составить уравнение прямых, проходящих через вершины треугольника А(5; -4), В(-1; 3), С(-3; -2) параллельно противоположным сторонам. 8. Установить, лежат ли точка М(1; -3) и начало координат по одну или по разные стороны прямой 053 =−− yx .

186

Вариант № 17. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }3, 1, 8 , 0, 1, 3 , 1, 2, 1 , 2, 0, 1 .= = = − = −x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 25, 0, 2 , 6, 4, 3 , 5 3 , 6 10 .= − = = − = −a b c a b c b a 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC , где ( ) ( ) ( )0, 2, 4 , 8, 2, 2 , 6, 2, 4 .A B C−

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )5 , 3 ; 1, 2, 3.π∧= + = − = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }2, 4, 3 , 4, 3, 1 , 6, 7, 4 .= − − − = =a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 43, 4, 7 , 1, 5, 4 , 5, 2, 0 , 2, 5, 4 .A A A A− − − − − 7. Даны середины сторон треугольника: М1(2; 1), М2(5; 3) и М3(3; -4). Составить уравнение его сторон. 8. Составить геометрическое место точек, равноудаленных от параллельных прямых 032 =+− yx и 072 =+− yx .

187

Вариант № 18.

1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r : { } { } { } { }8, 1, 2 , 1, 2, 1 , 3, 0, 2 , 1, 1, 1 .= = − = = −x p q r

2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ? { } { } 1 28, 3, 1 , 4, 1, 3 , 2 , 2 4 .= − = = − = −a b c a b c b a

3. Найти проекцию вектора AB на вектор AC , где ( ) ( ) ( )3, 3, 1 , 5, 1, 2 , 4, 1, 1 .A B C− −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )7 2 , 3 ; 1 2, 2, 2.π∧= − = + = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }3, 1, 1 , 1, 0, 1 , 8, 3, 2 .= − = − = −a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41, 2, 3 , 4, 1, 0 , 2, 1, 2 , 3, 4, 5 .A A A A− − − −

7. Составить уравнение прямой, если точка Р(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую. 8. Вычислить величину отклонения δ и расстояние d точки А(1; -2) от прямой 052 =−− yx .

188

Вариант № 19.

1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }9, 8, 3 , 1, 4, 1 , 3, 2, 0 , 1, 1, 2 .= − − − = = − = −x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 23, 1, 6 , 5, 7, 10 , 4 2 , 2 .= − = = − = −a b c a b c b a 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC , где ( ) ( ) ( )4, 3, 0 , 0, 1, 3 , 2, 4, 2 .A B C− − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )6 , ; 3, 4, 4.π∧= − = + = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }4, 2, 2 , 3, 3, 3 , 2, 1, 2 .= = − − − =a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 44, 1, 3 , 2, 1, 0 , 0, 5, 1 , 3, 2, 6 .A A A A− − − − 7. Даны две точки: Р(2; 3) и Q(-1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрезку PQ. 8. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку А(1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв. ед.

189

Вариант № 20. 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r :

{ } { } { } { }5, 9, 13 , 0, 1, 2 , 3, 1, 1 , 4, 1, 0 .= − − = − = − =x p q r 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ?

{ } { } 1 21, 2, 4 , 7, 3, 5 , 6 3 , 2 .= − = = − = −a b c a b c b a 3. Найти проекцию вектора AB на вектор AC , где ( ) ( ) ( )1, 1, 0 , 2, 1, 4 , 8, 1, 1 .A B C− − − − −

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : ( )10 , 3 2 ; 4, 1, 6.π∧= + = − = = =a p q b p q p q p q

5. Компланарны ли векторы a, b и c ? { } { } { }4, 1, 2 , 9, 2, 5 , 1, 1, 1 .= = = −a b c

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 1 2 3 4, , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4A на грань 1 2 3A A A , где

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41, 1, 1 , 2, 0, 3 , 2, 1, 1 , 2, 2, 4 .A A A A− − − − − 7. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами А(3; 2), В(5; -2), С(1; 0). 8. Вычислить расстояние δ между параллельными прямыми 026125 =+− yx и 013125 =−− yx .

190

Контрольная работа № 2. (Темы 3, 4, 5: “Плоскость”, “Прямая в пространстве”, “Прямая и

плоскость в пространстве”)

Вариант № 1.

1. Найти точку, симметричную точке (1, 1, 1) относительно прямой zyx == 2 .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1, 1, 1) параллельно прямым

43

21 −=

−=

zyx и zyx 432 == .

3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки (5, 4, 1), (4, -2, -), (0, 6, 5). 4. Найти расстояние от точки 0M до плоскости, проходящей через точки

1 2 3, , M M M : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 03, 4, 7 , 1, 5, 4 , 5, 2, 0 , 12, 7, 1 .M M M M− − − − − − − 5. Найти угол между плоскостями 3 5 0, 2 5 16 0.x y x y z− + = − + − =

Вариант № 2.

1. Найти проекцию точки P(1, 2, 3) на прямую tx 3= , 75 −= ty , 22 += tz . 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 13 += tx ,

32 += ty , RS = параллельно прямой

=−−+=−+−

052032

zyxzyx .

3. Найти проекцию точки M(1, 1, 1) на прямую, проходящую через точки 1M (2, 5, -3) и 2M (3, -2, 2).

4. Написать канонические уравнения прямой 2 2 0, 2 3 6 0.x y z x y z+ + − = − − + = 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости

2 3 1, 2 3 14 0.1 1 4

x y z x y z− − += = + + − =

− −

191

Вариант № 3.

1. Доказать, что прямые 4

532

21 −

=−+

=− zyx и

+−=+=+=

122273

tztytx

лежат в одной

плоскости и составить ее уравнение. 2. Написать канонические уравнения прямой, образованной пересечением плоскости 03275 =−+− zyx с плоскостью Oyz. 3. Найти проекцию точки P(5, 2, -1) на плоскость 02332 =++− zyx . 4. Найти точку M ′, симметричную точке M относительно прямой:

( ) 1 1,50, 3, 2 , .1 1 1

x y zM − +− − = =

−

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору BC

uuur:

( ) ( ) ( )1, 0, 2 , 2, 1, 3 , 0, 3, 2 .A B C− − −

Вариант № 4.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

tx −= 2 , ty −= 3 , tz 2= и точку (0, 0, 0).

2. Найти точки пересечения прямой

=+−=++

2321

zyxzyx с координатными

плоскостями. 3. Будут ли прямые tx −= 1 , ty += 2 , tz 2= и tx −= 1 , ty 21+= ,

tz −= 4 скрещивающимися, параллельными, совпадающими или пересекающимися в единственной точке? В последнем случае найти точку пересечения. 4. Найти расстояние от точки 0M до плоскости, проходящей через точки

1 2 3, , M M M : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 01, 2, 3 , 4, 1, 0 , 2, 1, 2 , 1, 6, 5 .M M M M− − − − − − 5. Найти угол между плоскостями 3 1 0, 1 0.x y z x z− + − = + − =

192

Вариант № 5.

1. При каком значении D прямая

=−−−=+−+

06223032

zyxDzyx пересекает ось OZ?

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат

перпендикулярно прямой

=++=−+−

020132

zyxzyx .

3. Найти проекцию точки M(5, 2, -1) на плоскость 1=++ zyx . 4. Написать канонические уравнения прямой

3 2 2 0, 3 14 0.x y z x y z− + + = + + + = 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости

1 3 1, 2 5 20 0.3 4 5

x y z x y z+ − += = + − + =

−

Вариант № 6.

1. Составить уравнения прямой, проходящей через т. M (-4, -5, 3) и пересекающей две прямые:

12

23

31

−−

=−+

=+ zyx и

51

31

22

−−

=+

=− zyx .

2. При каких значениях p и q прямая 35

412

−−

=+

=− zyp

x перпендикулярна

плоскости 0123 =++− qzyx .

3. Найти расстояние от точки P(2, 3, -1) до прямой

+=+=+=

134211

tztytx

.

4. Найти точку M ′, симметричную точке M относительно прямой:

( ) 4,5 3 22, 1, 1 , .1 0,5 1

x y zM − + −− = =

−

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору BC

uuur:

( ) ( ) ( )1, 3, 4 , 1, 5, 0 , 2, 6, 1 .A B C− −

193

Вариант № 7.

1. Найти проекцию точки P(2, -1, 3) на прямую tx 3= , 75 −= ty , 22 += tz . 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

13 += tx , 32 += ty , 2−−= tz параллельно прямой

=−−+=−+−

052032

zyxzyx .

3. Найти проекцию точки M(1, 1, 1) на прямую, проходящую через точки 1M (2, 5, -3) и 2M (3, -2, 2).

4. Найти расстояние от точки 0M до плоскости, проходящей через точки

1 2 3, , M M M : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 03, 1, 1 , 9, 1, 2 , 3, 5, 4 , 7, 0, 1 .M M M M− − − − − − −

5. Найти угол между плоскостями 4 5 3 1 0, 4 9 0.x y z x y z− + − = − − + =

Вариант № 8.

1. Найти проекцию точки P(0, 2, -3) на прямую tx 3= , 75 −= ty , 22 += tz . 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

13 += tx , 32 += ty , 2−−= tz параллельно прямой

=−−+=−+−

052032

zyxzyx .

3. Найти проекцию точки M(1, 1, 1) на прямую, проходящую через точки 1M (2, 5, -3) и 2M (3, -2, 2).

4. Написать канонические уравнения прямой 2 4 0, 2 2 8 0.x y z x y z− + − = + − − =

5. Найти точку пересечения прямой и плоскости 1 5 1, 3 7 24 0.

1 4 2x y z x y z− + −

= = − + − =−

194

Вариант № 9.

1. Найти проекцию точки P(1, 1, 1) на прямую tx 3= , 75 −= ty , 22 += tz . 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

13 += tx , 32 += ty , 2−−= tz параллельно прямой

=−−+=−+−

052032

zyxzyx .

3. Найти проекцию точки M(1, 1, 1) на прямую, проходящую через точки 1M (2, 5, -3) и 2M (3, -2, 2).

4. Найти точку M ′, симметричную точке M относительно прямой:

( ) 2 1,5 11, 1, 1 , .1 2 1

x y zM − + −= =

−

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору BC

uuur:

( ) ( ) ( )4, 2, 0 , 1, 1, 5 , 2, 1, 3 .A B C− − − − −

Вариант № 10. 1. Найти проекцию точки P(1, 0, -1) на прямую tx 3= , 75 −= ty , 22 += tz . 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

13 += tx , 32 += ty , 2−−= tz параллельно прямой

=−−+=−+−

052032

zyxzyx .

3. Найти проекцию точки M(1, 1, 1) на прямую, проходящую через точки 1M (2, 5, -3) и 2M (3, -2, 2).

4. Найти расстояние от точки 0M до плоскости, проходящей через точки

1 2 3, , M M M : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 01, 1, 1 , 2, 0, 3 , 2, 1, 1 , 2, 4, 2 .M M M M− − − − 5. Найти угол между плоскостями 3 2 15 0, 5 9 3 1 0.x y z x y z− + + = + − − =

195

Вариант № 11.

1. При каком значении D прямая

=−−−=+−+

06223032

zyxDzyx пересекает ось OZ?

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат

перпендикулярно прямой

=++=−+−

020132

zyxzyx .

3. Найти проекцию точки M(1, 1, 1) на плоскость 1=++ zyx . 4. Написать канонические уравнения прямой

2 0, 2 2 0.x y z x y z+ + − = − − + = 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости

1 3 , 2 4 0.1 0 2

x y z x y z− += = − + =

Вариант № 12.

1. Вычислить расстояние от точки (-1, 1, -2) до плоскости, проходящей через три точки 1M (1, -1, 1), 2M (-2, 1, 3), 3M (4, -5, -2).

2. Написать уравнения прямой

=−++=−++

0144301332

zyzzyx в канонической и

параметрической формах. 3. Даны прямые

21

123 −

==− zyx и

211

21 zyx

=−

=+ . Найти расстояние между

ними и написать уравнение плоскости через них проходящей. 4. Найти точку M ′, симметричную точке M относительно прямой:

( ) 0,5 1,5 1,51, 2, 3 , .0 1 1

x y zM − + −= =

−

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору BC

uuur:

( ) ( ) ( )8, 0, 7 , 3, 2, 4 , 1, 4, 5 .A B C− − −

196

Вариант № 13.

1. Составить уравнение геометрического места точек равноудаленных от двух параллельных плоскостей 0335 =++− zyx и 072610 =++− zyx . 2. Даны координаты вершин треугольника А(1, -2, -4), В(3, 1, -3) и С(5, 1, -7). Составить уравнения высоты, проведенной из вершины В. 3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(1, 2, -3) параллельно прямым

37

31

21 −

=−+

=− zyx и

13

22

35

−+

=−−

=+ zyx .

4. Найти расстояние от точки 0M до плоскости, проходящей через точки

1 2 3, , M M M : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 01, 2, 0 , 1, 1, 2 , 0, 1, 1 , 2, 1, 4 .M M M M− − − 5. Найти угол между плоскостями 6 2 4 17 0, 9 3 6 4 0.x y z x y z+ − + = + − − =

Вариант № 14.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной плоскостям 0132 =−+− zyx и 02 =++ zyx . 2. Найти проекцию точки (2, 3, 1) на плоскость 03 =− yx .

3. Найти расстояние от точки (2, 3, -1) до прямой

=++−=++−

0172230322

zyxzyx .

4. Написать канонические уравнения прямой 2 3 6 0, 3 2 3 0.x y z x y z+ + + = − − + = 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости

5 3 2 , 3 5 12 0.1 1 0

x y z x y z− − −= = + − − =

−

197

Вариант № 15. 1. Составить уравнения плоскостей параллельных плоскости

0322 =−−− zyx и отстоящих от нее на расстояние d = 5.

2. Найти проекцию точки (-1, -2, 3) на прямую 2

31

23

2 −=

−=

+ zyx .

3. Найти уравнения прямой, которая проходит через точку (3, -2, 4) параллельно плоскости 07323 =−−− zyx и пересекает прямую

21

24

32 −

=+

=− zyx .

4. Найти точку M ′, симметричную точке M относительно прямой:

( ) 3,5 1,51, 0, 1 , .2 2 0

x y zM − −− = =

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору BC

uuur:

( ) ( ) ( )7, 5, 1 , 5, 1, 3 , 3, 0, 4 .A B C− − − −

Вариант № 16.

1. Найти точки пересечения прямой

−=+−=

+=

tzty

tx

542

26 с плоскостями координат и

ее направляющие косинусы этой прямой. 2. Найти проекцию точки (3, -4, -2) на плоскость, проходящую через прямые

43

16

135

−+

=−

=− zyx и

43

13

132

−+

=−

=− zyx .

3. Найти расстояние между прямыми

=++−=−−+

0101

zyxzyx и

=+−+=−+−01

012zyx

zyx .

4. Найти расстояние от точки 0M до плоскости, проходящей через точки

1 2 3, , M M M : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 01, 0, 2 , 1, 2, 1 , 2, 2, 1 , 5, 9, 1 .M M M M− − − −

5. Найти угол между плоскостями 2 1 0, 2 3 0.x y z x y z− + − = + − + =

198

Вариант № 17. 1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

(2, -5, 3) и параллельной прямой

=++−=−−−032

09332zyx

zyx .

2. Доказать, что прямые 4

532

21 −

=−+

=− zyx и

+−=+=+=

122273

tztytx

лежат в одной

плоскости и составить ее уравнение. 3. Найти точку А симметричную точке В(2, -5, 7) относительно прямой, проходящей через точки 1M (5, 4, 6) и 2M (-2, -17, -8). 4. Написать канонические уравнения прямой 3 6 0, 3 2 0.x y z x y z+ − − = − + = 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости

1 2 3 , 3 5 9 0.3 2 2

x y z x y z+ + −= = + − + =

− −

Вариант № 18.

1. Через прямую

412

35 zyx

=−

=+ провести плоскость, параллельную

плоскости 015 =+−+ zyx . 2. Найти точку Q симметричную точке P(2, -5, 7) относительно прямой, проходящей через точки 1M (5, 4, 6) и 2M (-2, -17, -8). 3. Из точки P(-1, -1, 4) опущен на плоскость перпендикуляр, его основание Q(2, 1, 3). Найти уравнение плоскости. 4. Найти точку M ′, симметричную точке M относительно прямой:

( ) 2 1,5 0,52, 1, 0 , .0 1 1

x y zM − + += =

−

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору BC

uuur:

( ) ( ) ( )3, 5, 2 , 4, 0, 3 , 3, 2, 5 .A B C− − − −

199

Вариант № 19. 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки: А(-6, 1, 0) и В(3, -1, 6) перпендикулярно плоскости 07523 =−+− zyx . 2. Через точки А(-1, 2, 5) и В(0, -6, 8) проведена прямая. Найти точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями. 3. Доказать, что прямые

33

22

11

−−

=+

=−− zyx и

323

11 zyx

=−−

=+ лежат в одной

плоскости и составить уравнение этой плоскости. 4. Найти расстояние от точки 0M до плоскости, проходящей через точки

1 2 3, , M M M : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 01, 2, 3 , 1, 0, 1 , 2, 1, 6 , 3, 2, 9 .M M M M− − − − −

5. Найти угол между плоскостями 3 0, 2 0.y z y z− = + =

Вариант № 20.

1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(1, 2, 3) и перпендикулярной двум прямым:

19

23

17

−−

=−

=− zyx и

31

21

73 −

=−

=−− zyx .

2. Найти точку пересечения прямой 3

611

21 −

=−+

=− zyx с плоскостью XOY.

3. Через прямую:

=+−+=−+−0250134

zyxzyx провести плоскость, перпендикулярную

к плоскости 0352 =−+− zyx . 4. Написать канонические уравнения прямой

5 2 11 0, 1 0.x y z x y z+ + + = − − − = 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости

1 2 1, 2 5 17 0.2 1 1

x y z x y z− − += = − + + =

− −

200

Вариант № 21.

1. Найти уравнение перпендикуляра, общего к двум прямым:

11

13

12 +

=−−

=+ zyx и

34

124 −

==+ zyx .

2. Составить уравнение геометрического места точек равноудаленных от двух параллельных плоскостей 0324 =−−− zyx и 0524 =−−− zyx .

3. Вычислить расстояние от точки P(2, 3, -1) до прямой

=++−=++−

0172230322

zyxzyx .

4. Найти точку M ′, симметричную точке M относительно прямой:

( ) 0,5 1,5 0,52, 3, 0 , .1 1 1

x y zM + + −− − = =

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору BC

uuur:

( ) ( ) ( )1, 1, 8 , 4, 3, 10 , 1, 1, 7 .A B C− − − − −

201

Контрольная работа № 3. (темы 6, 7: “Кривые второго порядка”, “Поверхности второго порядка”,

часть 1)

Вариант № 1.

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между его директрисами равно 32 и ε =

21 .

2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между директрисами равно

532 и ось 05=−x .

3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку А(4; -8). 4. Привести уравнение 0483649 22 =++−+ yxyx к простейшему виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .2422 yxyxz +−+=

202

Вариант № 2. 1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось равна 20, а эксцентриситет ε =

53 .

2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между директрисами равно

38 и эксцентриситет ε =

23 .

3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и ее параметр р=3. 4. Привести уравнение 091216416 22 =−++− yxyx к простейшему виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .35494 22 +−−+= yyxz

203

Вариант № 3. 1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны 5 и 2. 2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между директрисами равно

13222 и расстояние между фокусами

2с = 26. 3. Составить уравнение параболы, которая имеет фокус F (0; -3) и проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Oy . 4. Привести уравнение 09368354 22 =++−+ yxyx к каноническому виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .04981852 22 =+−−++ zyxyx

Вариант № 4.

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно координат, зная, что его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с=8. 2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что ее полуоси

6=a , 18=b (буквой a обозначена полуось гиперболы, расположенная на оси абсцисс. 3. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 1) и В(1; -1), центр которой лежит на прямой 023 =−− yx . 4. Привести уравнение 010810018259 22 =++−+ yxyx к каноническому виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .0112836 222 =++++− yxzyx

204

Вариант № 5. 1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны соответственно 7 и 2. 2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами 2с = 10 и эксцентриситет ε =

35 .

3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и ее параметр р = 0,5. 4. Привести уравнение 01095016254 22 =−−+− yxyx к простейшему виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .1222 −=−+ zyx

Вариант № 6.

1. Составить уравнение эллипса, большая ось которого равна 26 и фокусы F1(-14; 0), F2(14; 0). 2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что уравнения асимптот xy

43

±= и расстояние между директрисами равно 5412 .

3. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки А(1; 1), В(1; -1) и С(2; 0). 4. Привести уравнение 0324816 22 =+++ xyx к простейшему виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .0222222 =−−−++ zyxyx

205

Вариант № 7. 1. Составить уравнение эллипса, малая ось которого равна 2 и фокусы F1(-1; -1), F2(1; 1). 2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что уравнения асимптот xy

34

±= и расстояние между фокусами 2с = 20.

3. Составить уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат и прямая 02043 =+− yx является касательной к окружности. 4. Привести уравнение 02619094 22 =−−− yyx к каноническому виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .020642 =−++ yzz

Вариант № 8.

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8. 2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что уравнения асимптот xy

512

±= и расстояние между вершинами равно 48.

3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Oy и ее параметр р =

41 .

4. Привести уравнение 0494 22 =−+ xyx к каноническому виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .222 zzy −=+

206

Вариант № 9. 1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с=4. 2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что ось 162 =a и эксцентриситет ε =

45 .

3. Составить уравнение окружности, если точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров окружности. 4. Привести уравнение 017262 =−−− yxy к каноническому виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .091664 22 =++−+ yxyx

Вариант № 10.

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с=10. 2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между директрисами равно

717 и эксцентриситет ε =

57 .

3. Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых: 052 =−+ yx , 0152 =++ yx , причем одной из них – в точке А(2; 1). 4. Привести уравнение 051244 2 =−−− yxx к простейшему виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .042 =−+ xy

207

Вариант № 11. 1. Составить уравнение эллипса, зная, что его фокусы F1(1; 3), F2(3; 1) и расстояние между директрисами равно 212 . 2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что уравнения асимптот xy

34

±= и расстояние между директрисами равно 526 .

3. Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7; 0) и уравнение директрисы 07 =−x . 4. Привести уравнение 020204525 22 =++−+− yxyxyx к каноническому виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .024 222 =−+ zyx

Вариант № 12.

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно координат, зная, что его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16. 2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны точки М1(6; -1) и М2(-8; 2 2 ) гиперболы. 3. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2; -1) и директриса

01 =−− yx . 4. Привести уравнение 04312204 2 =+−+ yxx к простейшему виду путем параллельного переноса осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно старых и новых осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .093 222 =−+ xyz

208

Вариант № 13. 1. Составить уравнение эллипса, зная, что его фокусы F1 (-2;

23 ), F2(2;

32

− ) и

эксцентриситет ε = 22 .

2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами 62 =c и эксцентриситет ε =

23 .

3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси Oy и ее параметр р = 3. 4. Привести уравнение 02962032 22 =++++ yxyx к простейшему виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .09936946 222 =−+++− zzyxx

Вариант № 14.

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13. 2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны точка М1(-5; 3) гиперболы и эксцентриситет ε = 2 . 3. Составить уравнения окружностей, которые, имея центры на прямой

0354 =−− yx , касаются прямых 01032 =−− yx , 0523 =+− yx . 4. Привести уравнение 09183095 22 =++−+ yxyx к простейшему виду путем параллельного переноса осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно старых и новых осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .0742442 222 =+++++− zzyyxx

209

Вариант № 15. 1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между его фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ε =

53 .

2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами 102 =c и ось 82 =b . 3. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки: М1(-1; 5), М2(-2; -2), М3(5; 5). 4. Привести уравнение 0784 2 =+−− xyx к простейшему виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .014422 222 =+++++ zyyxx

Вариант № 16.

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что его малая ось равна 10, а эксцентриситет ε =

1312 .

2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны точка М1( 2

9 ; -1)

гиперболы и уравнения асимптот xy34

±= .

3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси Ox и проходит через точку А(9; 6). 4. Привести уравнение 01991864916 22 =+−−− yxyx к простейшему виду путем параллельного переноса осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно старых и новых осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .0253216641836169 222 =+−+−++ zyxzyx

210

Вариант № 17. 1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, что его малая ось равна 16, а эксцентриситет ε =

53 .

2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны уравнения асимптот

516

±=y .

3. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса 01 =+y .

4. Привести уравнение 03212834 22 =−+−+ yxyx к простейшему виду путем параллельного переноса осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно старых и новых осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: 0842 222 =+++− zyyxx .

Вариант № 18.

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами 2с = 24 и эксцентриситет ε =

1312 .

2. Составить уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы F1(-10; 2), F2(16; 2). 3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси Ox и проходит через точку А(-1; 3). 4. Привести уравнение 0151834 22 =+++ yyx к простейшему виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .0442222 =−−−++ yxzyx

211

Вариант № 19. 1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между его директрисами равно

3210 и эксцентриситет

43

=ε .

2. Составить уравнение гиперболы, зная ее фокусы F1(3; 4), F2(-3; -4) и расстояние между директрисами 3,6. 3. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(7; 2) и директриса

05 =−x . 4. Привести уравнение 02262032 22 =+++− yxyx к простейшему виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .048248 222 =−+− zyx

Вариант № 20.

1. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε =

32 ,

фокус F(2; 1) и уравнение соответствующей директрисы 05 =−x . 2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что ее оси

102 =a и 82 =b . 3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку А(1; 1). 4. Привести уравнение 022201457 22 =+−−− yxyx к простейшему виду путем параллельного переноса осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно старых и новых осей координат. 5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: .0657254163694 222 =−−−−+− zyxzyx

212

Контрольная работа № 4. (тема 6, 7: “Общая теория кривых и поверхностей второго порядка”,

часть 2)

Вариант № 1.

1. Определить вид кривой 036422 22 =+−−+− yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности

07101412841224 222 =+−+++−++ yxzxyzxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 012444 22 =+−++− yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 02234 22 =−++− yxyxyx методом инвариантов.

Вариант № 2.

1. Определить вид кривой 04222 22 =−++++ yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности 03612612995 222 =−+−−++ zxzxxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 0526323 22 =−−+++ yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 022 =−−−− yxyxyx методом инвариантов.

213

Вариант № 3. 1. Определить вид кривой 02332 22 =++−− yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности

0444242225 222 =+−−+−−++ zyzxyzxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 053240447 22 =+−−++ yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 07269 22 =−++− xyxyx методом инвариантов.

Вариант № 4.

1. Определить вид кривой 03642 22 =+−−+− yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности 0108462 222 =+−−++− yxzxyzzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 02234 22 =−++− yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 053240447 22 =+−−++ yxyxyx методом инвариантов.

214

Вариант № 5. 1. Определить вид кривой 0444323 22 =−+++− yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности

051248126494 222 =−+−++−−++ zyxzxyzxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 036422 22 =+−−−− yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 03642 22 =+−−+− yxyxyx методом инвариантов.

Вариант № 6.

1. Определить вид кривой 0512496 22 =−++++ yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности 09612454 222 =−+−+++ yxxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 01022562 22 =−+−+− yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 0423 2 =+− xyx методом инвариантов.

215

Вариант № 7. 1. Определить вид кривой 068542 22 =+−+− xyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности 08842423 22 =−−−−++ zxzxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 014129 22 =−+− yxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 037 =−xy методом инвариантов.

Вариант № 8.

1. Определить вид кривой 036432 22 =+−−−− yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности

02263010925 222 =−−+−−++ yxzxyzxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 025201044 22 =+−++− yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 01022562 22 =−+−+− yxyxyx методом инвариантов.

216

Вариант № 9. 1. Определить вид кривой 07269 22 =−++− xyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности 0442222 222 =−−−+++ zyxxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 0423 2 =+− xyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 068542 22 =+−+− xyxyx методом инвариантов.

Вариант № 10.

1. Определить вид кривой 0435 22 =++− yxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности 023232 =+++++ yxzxyzxyy приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 022 =−−−− yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 0512496 22 =−++++ yxyxyx методом инвариантов.

217

Вариант № 11. 1. Определить вид кривой 036422 22 =+−−−− yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности 03618409149 222 =−+−−− zxyzzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 0444323 22 =−+++− yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 014129 22 =−+− yxyx методом инвариантов.

Вариант № 12.

1. Определить вид кривой 025201044 22 =+−++− yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности

061712852432 22 =++−−−++− zyxzxyzxyzx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 036432 22 =+−−−− yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 0526323 22 =−−+++ yxyxyx методом инвариантов.

218

Вариант № 13. 1. Определить вид кривой 0423 2 =+− xyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности 010267235 22 =+−−−++− zyxyzxyzx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 037 =−xy к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 025201044 22 =+−++− yxyxyx методом инвариантов.

Вариант № 14.

1. Определить вид кривой 01022562 22 =−+−+− yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности 04224242 222 =−−+−−++ yxyzxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 0512496 22 =−++++ yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 01266 22 =−++++ yxyxyx методом инвариантов.

219

Вариант № 15. 1. Определить вид кривой 014129 22 =−+− yxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности 06848283 222 =++−++++ zxyzxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 068542 22 =+−+− xyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 036432 22 =+−−−− yxyxyx методом инвариантов.

Вариант № 16.

1. Определить вид кривой 022 =−−−− yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности 018484626 222 =+−−+++− zyxzxzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 0435 22 =++− yxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 04222 22 =−++++ yxyxyx методом инвариантов.

220

Вариант № 17. 1. Определить вид кривой 053240447 22 =+−−++ yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности

016144144842 222 =++−−−−++− zyxyzzxxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 02332 22 =++−− yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 012444 22 =+−++− yxyxyx методом инвариантов.

Вариант № 18.

1. Определить вид кривой 02234 22 =−++− yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности

01412842265 222 =+−+−−+−++ zyxyzzxxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 03642 22 =+−−+− yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 036422 22 =+−−+− yxyxyx методом инвариантов.

221

Вариант № 19. 1. Определить вид кривой 012444 22 =+−++− yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности

02746444654 222 =−++++−++ zyxyzxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 036422 22 =+−−+− yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 036422 22 =+−−−− yxyxyx методом инвариантов.

Вариант № 20.

1. Определить вид кривой 0526323 22 =−−+++ yxyxyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 2. Определить вид поверхности

012102242252 222 =−−−++−−++ zyxyzzxxyzyx приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. 3. Привести уравнение 04222 22 =−++++ yxyxyx к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 02332 22 =++−− yxyxyx методом инвариантов.

222

Контрольная работа № 5. (Темы 8–13: “Множества”, “Линейные пространства”, “Метрические

пространства”, “Нормированные пространства”, “Евклидовы пространства”, “Топологические пространства”)

Вариант № 1. 1. Что означает сходимость последовательности в пространстве mE

столбцов )(,)( 1 Rxxx kmkk ∈= = с нормой

2/1

1

2||

= ∑

=

m

kkxx ? Убедиться, что

выполняются аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно. 2. Будет ли метрическим пространством множество всех действительных чисел, если расстояние между x и y определить так: ||),( yxyx −=ρ ? 3. Образуют ли подпространство векторного пространства векторы плоскости с началом О , концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в точке О . 4. Рассмотрим метрическое пространство 3R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых кубов является базой этой топологии. 5. Даны векторы neee ,...,, 11 и x , которые заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы neee ,...,, 11 сами образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе.

).14,9,6();3,2,1();2,1,1();1,1,1( 321 ==== xeee

223

Вариант № 2. 1. Что означает сходимость последовательности в пространстве ],[ baC непрерывных на ],[ ba функций с нормой |)(|max

],[txx

bat∈= ? Убедиться, что

выполняются аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно. 2. Доказать, что множество М(Е) всех ограниченных функций на множестве Е образует метрическое пространство, если за расстояние между функциями ϕ и ψ принять число |)()(|sup),( tt

Etψϕψϕρ −=

∈.

3. Образуют ли подпространство векторного пространства векторы плоскости с началом О , концы которых лежат на данной прямой. 4. Рассмотрим метрическое пространство 3R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых множеств, ограниченных эллипсоидами, является базой этой топологии. 5. Даны векторы neee ,...,, 11 и x , которые заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы neee ,...,, 11 сами образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе.

).7,2,6();1,1,1();5,2,3();3,1,2( 321 −=−=−=−= xeee

224

Вариант № 3. 1. Что означает сходимость последовательности в пространстве mc столбцов )(,)( 1 Rxxx k

mkk ∈= = с нормой ||max

1 kmkxx

≤≤= ? Убедиться, что

выполняются аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно. 2. Доказать, что замыкание каждого множества замкнуто. 3. Образуют ли подпространство векторного пространства векторы плоскости с началом О , концы которых не лежат на данной прямой. 4. Рассмотрим метрическое пространство 3R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых параллелепипедов является базой этой топологии. 5. Даны векторы neee ,...,, 11 и x , которые заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы neee ,...,, 11 сами образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе.

);4,1,2,1();1,0,3,2();2,1,2,1( 321 =−=−−= eee ).2,1,14,7();0,1,3,1(4 −=−= xe

225

Вариант № 4.

1. Что означает сходимость последовательности в пространстве ],[ baC k к раз непрерывно дифференцированных на ],[ ba функций с нормой

|)(|max )(

],[1

txx i

bat

k

i ∈=∑= ? Убедиться, что выполняются аксиомы нормы, т.е.

норма определена корректно. 2. Доказать, что граница каждого множества замкнута. 3. Образуют ли подпространство векторного пространства векторы координатной плоскости, концы которых лежат в первой четверти. 4. Рассмотрим метрическое пространство 2R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых квадратов является базой этой топологии. 5. Даны векторы neee ,...,, 11 и x , которые заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы neee ,...,, 11 сами образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе.

).1,7,3();6,1,1();1,2,5();4,1,3( 321 =−=== xeee

226

Вариант № 5.

1. Что означает сходимость последовательности в пространстве ml

столбцов )(,)( 1 Rxxx kmkk ∈= = с нормой

= ∑

=

m

kkxx

1|| ? Убедиться, что

выполняются аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно. 2. Доказать, что внутренность любого множества есть открытое множество. 3. Образуют ли подпространство векторного пространства векторы пространства nR , координаты которых – целые числа. 4. Рассмотрим метрическое пространство 2R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых множеств, ограниченных эллипсами, является базой этой топологии. 5. Даны векторы neee ,...,, 11 и x , которые заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы neee ,...,, 11 сами образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе.

);4,5,2,2();4,5,3,2();3,3,0,1( 321 =−−−−== eee ).1,1,2,1();4,4,3,2(4 =−−−−= xe

227

Вариант № 6.

1. Что означает сходимость последовательности в пространстве ],[ baM непрерывных на ],[ ba функций с нормой |)(|sup

],[txx

bat∈= ? Убедиться, что

выполняются аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно. 2. Пусть Х – множество всех точек окружности С; примем в качестве расстояния между точками YyXx ∈∈ , длину кратчайшей дуги окружности С, соединяющей х и y. Удовлетворяет ли это расстояние аксиомам метрики? 3. Образуют ли подпространство векторного пространства решения данной системы линейных уравнений? 4. Рассмотрим метрическое пространство 2R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых прямоугольников является базой этой топологии. 5. Даны векторы neee ,...,, 11 и x , которые заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы neee ,...,, 11 сами образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе.

);1,1,1,1();1,1,1,1();1,1,1,1( 321 −−=−−== eee ).1,1,2,1();1,1,1,1(4 =−−= xe

228

Вариант № 7.

1. Что означает сходимость последовательности в пространстве

)1( >pl mp столбцов )(,)( 1 Rxxx k

mkk ∈= = с нормой

pm

k

pkxx

/1

1

||

= ∑

=

? Убедиться,

что выполняются аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно. 2. Является ли метрическим пространством множество всех действительных чисел, если под расстоянием между x и y понимать

)(sin 2 yx − ? 3. Образуют ли подпространство пространства последовательностей все последовательности вещественных чисел, имеющие предел. 4. Рассмотрим метрическое пространство 3R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых множеств, ограниченных эллипсоидами вращения, является базой этой топологии. 5. Даны векторы neee ,...,, 11 и x , которые заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы neee ,...,, 11 сами образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе.

);0,0,1,1();1,3,1,2();1,0,1,1( 321 === eee ).1,0,0,0();1,1,1,0(4 =−−= xe

229

Вариант № 8.

1. Что означает сходимость последовательности в пространстве K непрерывных на вещественной прямой финитных функций (равных нулю вне некоторого интервала, своего для каждой функции) с нормой

|)(|max txxt

= ? Убедиться, что выполняются аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно. 2. Будет ли метрическим пространством семейство всех непустых подмножеств метрического пространства Х, если расстояние между множествами XFXE ⊂⊂ , определить равенством ),(inf),(

,yxFE

FyExρρ

∈∈= ?

3. Образуют ли подпространство векторного пространства все последовательности вещественных чисел, имеющие предел a . 4. Рассмотрим метрическое пространство 3R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых кубов с центрами, имеющими рациональные координаты, является базой этой топологии. 5. Даны векторы neee ,...,, 11 и x , которые заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы neee ,...,, 11 сами образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе.

);1,0,0,1();0,1,0,1();0,0,1,1( 321 === eee ).0,1,1,0();1,1,1,1(4 == xe

230

Вариант № 9.

1. Что означает сходимость последовательности в пространстве 1l последовательностей )(,...),,( 21 Rxxxx k ∈= , удовлетворяющих условию

∑∞

=

∞<1

||k

kx , с нормой ∑∞

=

=1

||k

kxx ? Убедиться, что выполняются аксиомы

нормы, т.е. норма определена корректно. 2. Показать, что ||),(1 yxarctgyx −=ρ является метрикой в множестве всех чисел. Эквивалентна ли она метрике ||),( yxyx −=ρ ? Является ли полным пространством числовая прямая с метрикой 1ρ ? 3. Образуют ли подпространство пространства многочленов все многочлены четной степени с коэффициентами из поля F ? 4. Рассмотрим метрическое пространство 3R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых множеств, ограниченных эллипсоидами, с центрами, имеющими рациональные координаты, является базой этой топологии. 5. Даны векторы neee ,...,, 11 и x , которые заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы neee ,...,, 11 сами образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе.

);2,1,1,2();2,2,1,0();1,0,1,2( 321 −=== eee ).0,1,2,1();2,1,3,1(4 −== xe

231

Вариант № 10. 1. Что означает сходимость последовательности в пространстве ],[ baLp

непрерывных на ],[ ba функций с нормой ∞<≤

= ∫ pdttxx

pb

a

p 1,|)(|/1

?

Убедиться, что выполняются аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно. 2. Пусть Х – множество всех пар чисел (a,b). Для любых двух его элементов

),(),,( 2211 baybax положим: 212

2123 ||||),( bbaayx −+−=ρ . Доказать, что это

метрика. 3. Образуют ли подпространство векторного пространства векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты? 4. Рассмотрим метрическое пространство 3R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых параллелепипедов с центрами, имеющими рациональные координаты, является базой этой топологии. 5. Даны векторы neee ,...,, 11 и x , которые заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы neee ,...,, 11 сами образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе.

);0,1,1,1();0,0,1,1();0,0,0,1( 321 === eee ).4,3,2,1();1,1,1,1(4 == xe

232

Вариант № 11.

1. Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций принять за норму элемента x(t)

|)('|max|)(|],[

txaxbat∈

+ ?

2. Пусть Х – множество всех пар чисел (a,b). Для любых двух его элементов ),( 11 bax , ),( 22 bay положим: |}||,max{|),( 12121 bbaayx −−=ρ . Доказать, что это

метрика. 3. Образуют ли подпространство векторного пространства векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю? 4. Рассмотрим метрическое пространство 2R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых квадратов с центрами, имеющими рациональные координаты, является базой этой топологии. 5. Найти нормированный вектор, ортогональный к векторам

).3,1,1,2();1,1,1,1();1,1,1,1( 321 =−−== fff

233

Вариант № 12. 1. Что означает сходимость последовательности в пространстве 2l последовательностей )(,...),,( 21 Rxxxx k ∈= , удовлетворяющих условию

∑∞

=

∞<1

2||k

kx , с нормой 2/1

1

2||

= ∑

∞

=kkxx ? Убедиться, что выполняются

аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно. 2. Пусть Х – множество всех пар чисел (a,b). Для любых двух его элементов

),(),,( 2211 baybax положим: ||||),( 12122 bbaayx −+−=ρ . Доказать, что это метрика. 3. Образуют ли подпространство векторного пространства векторы вида

,...),,,( βαβα ? 4. Рассмотрим метрическое пространство 2R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых множеств, ограниченных эллипсами с центрами, имеющими рациональные координаты, является базой этой топологии. 5. Построить ортонормированный базис пространства 4E , приняв за два вектора этого базиса векторы

).3/5,2/1,3/1,3/1();2/1,2/1,2/1,2/1( 21 −== ff

234

Вариант № 13.

1. Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций принять за норму элемента x(t)

],[||"|||)('||)(| baCxaxax ++ ? 2. Доказать, что множество всех непрерывных функций на [a,b] образует метрическое пространство С’[a,b], если за расстояние между )(xϕ и )(xψ

принять число ∫ −=b

a

dxxx .|)()(|),( ψϕψϕρ Эквивалентны ли метрики

пространства С[a,b] и C’[a,b]? 3. Образуют ли подпространство пространства матриц

)(M n F симметрические матрицы порядка n ? 4. Рассмотрим метрическое пространство 2R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых прямоугольников с центрами, имеющими рациональные координаты, является базой этой топологии. 5. Найти ортогональный базис пространства, порожденного векторами

).0,1,1,3();1,1,1,4();3,1,2,1( 321 === fff

235

Вариант № 14.

1. Что означает сходимость последовательности в пространстве )1( >pl p последовательностей )(,...),,( 21 Rxxxx k ∈= , удовлетворяющих условию

∑∞

=

∞<1

||k

pkx , с нормой

p

k

pkxx

/1

1||

= ∑

∞

=

? Убедиться, что выполняются

аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно. 2. Покажите, что функция ]max[),( ii yxyxd −= определяет метрику на множестве наборов из n вещественных чисел. 3. Образуют ли подпространство пространства матриц

)(M n F невырожденные матрицы порядка n ? 4. Рассмотрим метрическое пространство 3R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых множеств, ограниченных эллипсоидами вращения с центрами, имеющими рациональные координаты, является базой этой топологии. 5. Найти два вектора, ортогональные между собой и ортогональные векторам

).2,0,1,1,2();2,1,0,0,1();1,2,1,1,1( 321 −=−== fff

236

Вариант № 15.

1. Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций принять за норму элемента x(t)

],[||"|||)('||)(| baCxbxax ++ ? 2. Покажите, что функция |)()(|max),(

10tytxyxd

t−=

≤≤ определяет метрику на

множестве X всех непрерывных вещественных функций на замкнутом интервале [0,1]. 3. Образуют ли подпространство пространства матриц )(M n F вырожденные матрицы порядка n ? 4. Рассмотрим метрическое пространство 3R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых кубов с центрами, имеющими иррациональные координаты, является базой этой топологии. 5. Найти два ортогональных и нормированных решения системы уравнений

=−−+=+−−

.02,03

4321

4321

xxxxxxxx

237

Вариант № 16.

1. Что означает сходимость последовательности в пространстве m ограниченных последовательностей )(,...),,( 21 Rxxxx k ∈= с нормой

||sup kk

xx = ? Убедиться, что выполняются аксиомы нормы, т.е. норма

определена корректно. 2. Покажите, что функция 1),( =yxd при yx ≠ , 0),( =xxd определяет метрику на произвольном множестве X. 3. Образуют ли подпространство пространства матриц )(M n F матрицы порядка n со следом, равным нулю? 4. Рассмотрим метрическое пространство 3R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых множеств, ограниченных эллипсоидами, с центрами, имеющими иррациональные координаты, является базой этой топологии. 5. Проверить, что векторы )4,2,3,2();3,2,2,1( 21 −=−−= ff ортогональны и дополнить их до ортогонального базиса.

238

Вариант № 17.

1. Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций принять за норму элемента x(t)

|)(|max],[

txbat∈

?

2. Дано пространство C[-1, 1] непрерывных на [-1, 1] функций с нормой |)(|max

]1,1[txx

t −∈= . Образует ли множество четных функций подпространство в

пространстве С[-1, 1]? 3. Пусть SR - пространство всех функций, определенных на множестве S и принимающих вещественные значения. Образуют ли подпространство пространства SR функции sRxf ∈)( , принимающие значение a в данной точке Ss∈ ? 4. Рассмотрим метрическое пространство 3R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых параллелепипедов с центрами, имеющими иррациональные координаты, является базой этой топологии. 5. Проверить, что векторы )3,3,2,1();2,1,1,1( 21 −== ff ортогональны и дополнить их до ортогонального базиса.

239

Вариант № 18.

1. Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций принять за норму элемента x(t)

|)('|max],[

txbat∈

?

2. Дано пространство C[-1, 1] непрерывных на [-1, 1] функций с нормой |)(|max

]1,1[txx

t −∈= . Образует ли множество многочленов подпространство в

пространстве С[-1, 1] ? 3. Пусть SR - пространство всех функций, определенных на множестве S и принимающих вещественные значения. Образуют ли подпространство пространства SR функции sRxf ∈)( , обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества S ? 4. Рассмотрим метрическое пространство 2R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых квадратов с центрами, имеющими иррациональные координаты, является базой этой топологии. 5. Найти векторы, дополняющие векторы )3/2,3/1,3/2(1 =f и )3/2,3/2,3/1(2 −=f до ортонормированного базиса.

240

Вариант № 19.

1. Что означает сходимость последовательности в пространстве 0c стремящихся к нулю последовательностей )(,...),,( 21 Rxxxx k ∈= с нормой

||max kkxx = ? Убедиться, что выполняются аксиомы нормы, т.е. норма

определена корректно. 2. Дано пространство C[-1, 1] непрерывных на [-1, 1] функций с нормой

|)(|max]1,1[

txxt −∈

= . Образует ли множество непрерывно дифференцируемых

функций подпространство в пространстве С[-1, 1]? 3. Пусть SR - пространство всех функций, определенных на множестве S и принимающих вещественные значения. Образуют ли подпространство пространства SR функции sRxf ∈)( , имеющие предел a при ∞→x (при

RS = )? 4. Рассмотрим метрическое пространство 2R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых множеств, ограниченных эллипсами с центрами, имеющими иррациональные координаты, является базой этой топологии. 5. Найти векторы, дополняющие векторы )2/1,2/1,2/1,2/1(1=f и )2/1,2/1,2/1,2/1(2 −−=f до ортонормированного базиса.

241

Вариант № 20.

1. Что означает сходимость последовательности в пространстве l стремящихся к нулю последовательностей )(,...),,( 21 Rxxxx k ∈= с нормой

||sup kk

xx = ? Убедиться, что выполняются аксиомы нормы, т.е. норма

определена корректно. 2. Дано пространство C[-1, 1] непрерывных на [-1, 1] функций с нормой

|)(|max]1,1[

txxt −∈

= . Образует ли множество многочленов степени ≤ k под-

пространство в пространстве С[-1, 1]? 3. Пусть ∞R - пространство бесконечных последовательностей с действительными элементами. Образуют ли подпространство в

∞R последовательности, в которых все элементы отличны от 1? 4. Рассмотрим метрическое пространство 2R и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых прямоугольников с центрами, имеющими иррациональные координаты, является базой этой топологии. 5. Проверить ортогональность векторов )3,1,2,1(1 −=f и )1,3,1,2(2 −=f в евклидовом пространстве и дополнить их до ортогонального базиса.

242

Асташова И.В. Никишкин В.А.

Геометрия и топология

Тесты

Москва 2004

244

Асташова И.В. Никишкин В.А. Геометрия и топология. Тесты / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ). – М.: 2004. – 22 с.

Асташова И.В., 2004 Никишкин В.А., 2004 Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), 2004.

245

Содержание

Тест 1 (векторная алгебра) ................................................................................. 246 Тест 2 (аналитическая геометрия, часть 1)....................................................... 249 Тест 3 (аналитическая геометрия, часть 2)....................................................... 256 Тест 4 (Топология, часть 1 – Метрические пространства) ............................. 261 Тест 5 (Топология, часть 2 – Линейные пространства)................................... 262 Тест 6 (Топология, часть 3 – Нормированные пространства) ........................ 263

246

Тест 1 (векторная алгебра)

Вариант 1

1. Суммой векторов а={4,-2} и b={2,3} является вектор: а) {6,-1}; б) {6,1}; в) {2,-5}. 2. Скалярное произведение векторов а={3,-1,5} и b={2,1,-6} равно: а) –25; б) 5; в) 6i-j-30k. 3. Векторное произведение векторов а={1,-1,2} и b={0,1,3} равно: а) –5i+3j+k; б) 5; в) –5i-3j+k; 4. Векторы а={1,3,10} и b={0.5, 1.5, 5} являются а) коллинеарными; б) перпендикулярными; в) пересекающимися под углом, не равным 900. 5. Площадь параллелограмма, построенного на векторах а={1,2,2} и b={3,1,0}, равна: а) 65 ; б) 5; в) 1. 6. Векторы a=i, b=j и c=i+k: а) образуют правую тройку векторов; б) не образуют правой тройки векторов; 7. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a={1,0,1}, b={2,-1,4} и c={0,1,2} равен: а) -4; б) 2; в) 4. 8. Векторы a={2,3,1}, b={-1,0,-1} и c={2,2,2} в трехмерном пространстве: а) образуют базис; б) не образуют базис. 9. Разложение вектора p={-2,4,7} по базису e1={0,1,2},e2={1,0,1},e3={-1,2,4} имеет вид: а) e1 - 2 e2 + e3. б) -e1 + e2 + 3 e3. в) 2 e1 - e2 + e3.

247

Вариант 2 1. Суммой векторов а={1,3} и b={4,-7} является вектор: а) {-5,-4}; б) {-5, 4}; в) {5,-4}. 2. Скалярное произведение векторов а={1,3,4} и b={2,8,-6} равно: а) 2; б) 2i+24j-24k; в) 4. 3. Векторное произведение векторов а={0,1,-4} и b={3,-2,5} равно: а) -22; б) –3i-12j-3k; в) 3i-12j+k; 4. Векторы а={1,5,-8} и b={-1, 5, 3} являются а) коллинеарными; б) перпендикулярными; в) пересекающимися под углом, не равным 900. 5. Площадь параллелограмма, построенного на векторах а={2,-1,5} и b={3,0,4}, равна: а) 74; б) 74 ; в) 35 . 6. Векторы a=i, b=j+k и c=-k: а) образуют правую тройку векторов; б) не образуют правой тройки векторов; 7. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a={2,1,3}, b={4,0,1} и c={0,-1,5} равен: а) 30 ; б) 30; в) -30. 8. Векторы a={-1,-1,-1}, b={-1,0, 1} и c={3,3,3} в трехмерном пространстве: а) образуют базис; б) не образуют базис. 9. Разложение вектора p={6,12,-1} по базису e1={1,3,0}, e2={2,-1,1},e3={0,-1,2} имеет вид: а) 4e1 + e2 - e3. б) e1 + 4 e2 + e3. в) - e1 + e2 + 4 e3.

248

Вариант 3 1. Суммой векторов а={-2, 8} и b={4,3} является вектор: а) {2,11}; б) {-2, 11}; в) {11,-2}. 2. Скалярное произведение векторов а={0,2,7} и b={1,-6,3} равно: а) i-12j+21k; б) 9; в) -3. 3. Векторное произведение векторов а={1,2,3} и b={7,4,-3} равно: а) 6; б) 8i+6j; в) {-18,24,-10}; 4. Векторы а={1,2,4} и b={0, 3, -5} являются а) коллинеарными; б) перпендикулярными; в) пересекающимися под углом, не равным 900. 5. Площадь параллелограмма, построенного на векторах а={1,0,-4} и b={3,2,-5}, равна: а) 107; б) 107 ; в) 117 . 6. Векторы a=i+j, b=j+k и c=-k: а) образуют правую тройку векторов; б) не образуют правой тройки векторов; 7. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a={1,0,-1}, b={2,1,3} и c={0,-1,1} равен: а) -6; б) 6; в) 36. 8. Векторы a={2,-1,3}, b={-1,2, 0} и c={1,1,3} в трехмерном пространстве: а) образуют базис; б) не образуют базис. 9. Разложение вектора p={1,-4, 4} по базису e1={2,1,-1}, e2={0,3,2},e3={1,-1,1} имеет вид: а) 3 e1 + e3. б) -e1 + 3 e3. в) e1 – 3 e2.

249

Тест 2 (аналитическая геометрия, часть 1)

Вариант 1

1. Уравнение прямой

32 += xy называется: а) каноническим уравнением прямой; б) уравнением прямой, проходящей через две точки; в) уравнением прямой «в отрезках»; г) нормальным уравнением прямой; д) уравнение прямой с угловым коэффициентом. 2. Точки М1(0,-1) и М2(3,1) лежат от прямой

062 =−+ yx а) по одну сторону; б) по разные стороны. 3. Следующие уравнения

=−+−=+++

0530132

zyxzyx

являются уравнениями: а) плоскости; б) каноническими уравнениями прямой; в) параметрическими уравнениями прямой; г) прямой как линии пересечения плоскостей. 4. Нормальный вектор плоскости

023 =−+ zyx имеет следующие координаты: а) {-3, 2, -1}; б) {-1, 2, 3}; в) {3,2,-1}. 5. Плоскости, задаваемые уравнениями

0132 =−−+ zyx , 053 =+++ zyx , являются: а) параллельными; б) перпендикулярными; в) пересекающимися под острым углом. 6. Расстояние от точки M(3, 1, -1) до плоскости

04520422 =−−+ zyx равно: а) 3/2; б) 2/3; в) 45.

250

7. Направляющий вектор прямой

63

12

51

−+

=−−

=− zyx

имеет следующие координаты: а) {1, 2, -3}; б) {4, -3, -3}; в) {-5, 2, -18}; г) {5, -1, -6}. 8. Прямые, задаваемые уравнениями

43

12 +=−

=− zyx , 2

36

12

4 −=

+=

− zyx ,

являются: а) пересекающимися; б) скрещивающимися.

Вариант 2

1. Уравнение прямой 052 =+− yx

называется: а) каноническим уравнением прямой; б) общим уравнением прямой; в) уравнением прямой «в отрезках»; г) нормальным уравнением прямой; д) уравнение прямой с угловым коэффициентом. 2. Точки М1(1,5) и М2(3,-7) лежат от прямой

010 =+− yx а) по одну сторону; б) по разные стороны. 3. Следующие уравнения

13

51

42

−+

=+

=− zyx

являются уравнениями: а) плоскости; б) каноническими уравнениями прямой; в) параметрическими уравнениями прямой; г) прямой как линии пересечения плоскостей. 4. Нормальный вектор плоскости

0712 =+++− zyx имеет следующие координаты: а) {6, 19, 8}; б) {-1, 12, 1};

251

в) {-1,12,7}. 5. Плоскости, задаваемые уравнениями

0132 =+−+ zyx , 05242 =+−− zyx , являются: а) параллельными; б) перпендикулярными; в) пересекающимися под острым углом. 6. Расстояние от точки M(4, 3, -2) до плоскости

0153 =++− zyx равно: а) 0; б) 1; в) 8. 7. Направляющий вектор прямой

41

05

23

−+

=−

=+ zyx

имеет следующие координаты: а) {-3, 5, -1}; б) {0, 1, 0}; в) {3,-5, 1}; г) {2, 0, -4}. 8. Прямые, задаваемые уравнениями

45

17

21 −

=−

=− zyx ,

121

36 zyx

=−+

=− ,

являются: а) пересекающимися; б) скрещивающимися.

Вариант 3

1. Уравнение прямой

54

1+−=

− yx

называется: а) каноническим уравнением прямой; б) общим уравнением прямой; в) уравнением прямой «в отрезках»; г) нормальным уравнением прямой; д) уравнение прямой с угловым коэффициентом. 2. Точки М1(5, 3) и М2(-6, 2) лежат от прямой

02113 =−+− yx а) по одну сторону; б) по разные стороны.

252

3. Следующие уравнения

+=+−=+=

53132

tztytx

являются уравнениями: а) плоскости; б) каноническими уравнениями прямой; в) параметрическими уравнениями прямой; г) прямой как линии пересечения плоскостей. 4. Нормальный вектор плоскости

038 =+−− zyx имеет следующие координаты: а) {-3, 2, -1}; б) {-1, -8, 3}; в) {3,2,-1}. 5. Плоскости, задаваемые уравнениями

05 =−−+ zyx , 05 =+++ zyx , являются: а) параллельными; б) перпендикулярными; в) пересекающимися под острым углом. 6. Расстояние от точки M(2, 0, -1/2) до плоскости

017244 =++− zyx равно: а) 17; б) 4;

в) 173

.

7. Направляющий вектор прямой

85

34

7−

=−+

=zyx

имеет следующие координаты: а) {0, -4, 5}; б) {7, -3, 8}; в) {1,1, 1}; г) {-7, 3, 0}. 8. Прямые, задаваемые уравнениями

=+−=−+

032014

yxzx

,

=−+=+−+082

043zy

zyx,

являются: а) пересекающимися; б) скрещивающимися.

253

Вариант 4

1. Уравнение прямой

164=−

yx

называется: а) каноническим уравнением прямой; б) общим уравнением прямой; в) уравнением прямой «в отрезках»; г) нормальным уравнением прямой; д) уравнение прямой с угловым коэффициентом. 2. Точки М1(4,-2) и М2(8,7) лежат от прямой

01364 =−+− yx а) по одну сторону; б) по разные стороны. 3. Следующее уравнение

0)5(4)2(3)1(2 =++−+− zyx задает: а) плоскость; б) прямую; в) прямую как линию пересечения плоскостей. 4. Нормальный вектор плоскости

04135 =++−− zyx имеет следующие координаты: а) {-5, -1, 13}; б) {-1, 3, 17}; в) {-9,-5,11}. 5. Плоскости, задаваемые уравнениями

0125 =−−+− zyx , 074102 =−+− zyx , являются: а) параллельными; б) перпендикулярными; в) пересекающимися под острым углом. 6. Расстояние от точки M(0, 0, 0) до плоскости

019061015 =−+− zyx равно: а) -190; б) 190; в) 10. 7. Направляющий вектор прямой

53

023

−+

==− zyx

254

имеет следующие координаты: а) {3, 0, -3}; б) {1, -1, 1}; в) {2, 0, -5}; г) {-2, 0, -5}. 8. Прямые, задаваемые уравнениями

132

49 zyx

=−+

=− ,

22

97

2−

=+

=−

zyx ,

являются: а) пересекающимися; б) скрещивающимися.

Вариант 5

1. Уравнение прямой

056

53

54

=−−− yx

называется: а) каноническим уравнением прямой; б) общим уравнением прямой; в) уравнением прямой «в отрезках»; г) нормальным уравнением прямой; д) уравнение прямой с угловым коэффициентом. 2. Точки М1(3,2) и М2(4,0) лежат от прямой

0975 =−+− yx а) по одну сторону; б) по разные стороны. 3. Следующие уравнения

=++−=−+−

05320123

zyxzyx

являются уравнениями: а) плоскости; б) каноническими уравнениями прямой; в) параметрическими уравнениями прямой; г) прямой как линии пересечения плоскостей. 4. Нормальный вектор плоскости

0427 =+− zyx имеет следующие координаты: а) {7, -2,0}; б) {7, -2, 4}; в) {3,2,0}. 5. Плоскости, задаваемые уравнениями

255

0158 =−−+ zyx , 0553 =+++ zyx , являются: а) параллельными; б) перпендикулярными; в) пересекающимися под острым углом. 6. Расстояние от точки M(0, 7.5, 0) до плоскости

04510211 =−−− zyx равно: а) 4; б) -45; в) 45. 7. Направляющий вектор прямой

3117

34 zyx

=+

=−

имеет следующие координаты: а) {3, 1, 3}; б) {4, -7, 0}; в) {3, -11, 3}; г) {0, -7, 4}. 8. Прямые, задаваемые уравнениями

23

36

43 −

=−−

=+ zyx ,

37

31

84 +

=−+

=− zyx ,

являются: а) пересекающимися; б) скрещивающимися.

256

Тест 3 (аналитическая геометрия, часть 2)

Вариант 1 1. Уравнение

14

22 =+

yx

на плоскости описывает следующую кривую второго порядка: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу; г) окружность. 2. Уравнение

062 22 =−−+ yyxx на плоскости описывает следующую кривую второго порядка: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу; г) окружность. 3. Уравнение

011064 222 =+−+−+− zzyyxx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) эллипсоид; б) однополостный гиперболоид; в) двуполостный гиперболоид; г) эллиптический параболоид; д) гиперболический параболоид. 4. Уравнение

0246 22 =+−+− zzxx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) конус; б) параболический цилиндр; в) эллиптический цилиндр; г) гиперболический цилиндр. 5. Уравнение

0)2()1( 222 =+−+− zyx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) пара параллельных плоскостей; б) пара пересекающихся плоскостей; в) точку; г) мнимый эллиптический цилиндр; д) мнимый эллипсоид;

е) прямую.

257

Вариант 2 1. Уравнение

194

22

=−yx

на плоскости описывает следующую кривую второго порядка: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу; г) окружность. 2. Уравнение

0264 22 =+++− yyxx на плоскости описывает следующую кривую второго порядка: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу; г) окружность. 3. Уравнение

0510444 222 =+−++−− zzyyxx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) эллипсоид; б) однополостный гиперболоид; в) двуполостный гиперболоид; г) эллиптический параболоид; д) гиперболический параболоид. 4. Уравнение

02442 2 =++− zxx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) конус; б) параболический цилиндр; в) эллиптический цилиндр; г) гиперболический цилиндр. 5. Уравнение

0)1()4( 22 =++− yx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) пара параллельных плоскостей; б) пара пересекающихся плоскостей; в) точку; г) мнимый эллиптический цилиндр; д) мнимый эллипсоид;

е) прямую.

258

Вариант 3 1. Уравнение

04

22

=+yx

на плоскости описывает следующую кривую второго порядка: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу; г) окружность. 2. Уравнение

0362 22 =+−+− yyxx на плоскости описывает следующую кривую второго порядка: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу; г) окружность. 3. Уравнение

011064 222 =+−−−−−− zzyyxx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) эллипсоид; б) однополостный гиперболоид; в) двуполостный гиперболоид; г) эллиптический параболоид; д) гиперболический параболоид. 4. Уравнение

2 24 2 6 24 0x x y y− − + + = в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) конус; б) параболический цилиндр; в) эллиптический цилиндр; г) гиперболический цилиндр. 5. Уравнение

0)2()3( 22 =+−− yx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) пара параллельных плоскостей; б) пара пересекающихся плоскостей; в) точку; г) мнимый эллиптический цилиндр; д) мнимый эллипсоид;

е) прямую.

259

Вариант 4 1. Уравнение

185

22

=−yx

на плоскости описывает следующую кривую второго порядка: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу; г) окружность. 2. Уравнение

03622 =+−− yxx на плоскости описывает следующую кривую второго порядка: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу; г) окружность. 3. Уравнение

0110610 22 =+−++− zyyxx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) эллипсоид; б) однополостный гиперболоид; в) двуполостный гиперболоид; г) эллиптический параболоид; д) гиперболический параболоид. 4. Уравнение

024102 22 =−+−− yyxx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) конус; б) параболический цилиндр; в) эллиптический цилиндр; г) гиперболический цилиндр. 5. Уравнение

01)12()3( 22 =+−+− yx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) пара параллельных плоскостей; б) пара пересекающихся плоскостей; в) точку; г) мнимый эллиптический цилиндр; д) мнимый эллипсоид;

е) прямую.

260

Вариант 5 1. Уравнение

04

2 =−yx

на плоскости описывает следующую кривую второго порядка: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу; г) окружность. 2. Уравнение

062164 22 =−++ yyxx на плоскости описывает следующую кривую второго порядка: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу; г) окружность. 3. Уравнение

01201642 22 =++−+− zyyxx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) эллипсоид; б) однополостный гиперболоид; в) двуполостный гиперболоид; г) эллиптический параболоид; д) гиперболический параболоид. 4. Уравнение

0)1()2()1( 222 =−−−+− zyx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) конус; б) параболический цилиндр; в) эллиптический цилиндр; г) гиперболический цилиндр. 5. Уравнение

05)2()1( 222 =++−+− zyx в пространстве описывает следующую поверхность второго порядка: а) пара параллельных плоскостей; б) пара пересекающихся плоскостей; в) точку; г) мнимый эллиптический цилиндр; д) мнимый эллипсоид;

е) прямую.

261

Тест 4 (Топология, часть 1 – Метрические пространства)

1. Пусть задаются непрерывные функции x(t), y(t), z(t),… на [0,1]. Какое из ρ(x,y)

будет удовлетворять всем аксиомам метрики: а) ρ(x,y)= |x(t) – y(t)|² б) ρ(x,y)= max| x(t) – y(t)| в) ρ(x,y)= | x(t) – y(t)|

г) ρ(x,y)= ∫ (x(t) – y(t))²dx

2. Пусть последовательность задана формулой общего члена

а) fn = (1+1/n)n; б) fn = 1/2n; в) fn = n

какая из них фундаментальная?

3. Рассматривается счётное множество счётных множеств как единое множество. Будет ли оно:

а) счётно; б) несчётно?

4. В E³ - трёхмерном евклидовом пространстве рассматривается какая-то плоскость,

например, x + y + 2z = 1 как некоторое подмножество 3M E⊂ . Будет ли это множество а) всюду плотно в E³? б) нигде не плотно в E³? в) ни то, ни другое?

5. На оси OX (-∞<x<+∞ ) как её подпространство (подмножество) рассматривается

множество M=∑∞

=11

Ti Ti = [2 i , 2 i + 1]∑∞

=1Ш

Будет ли M а) всюду плотно в E¹={x∈ (-∞ , +∞ )}? б) нигде не плотно в E¹? в) ни то, ни другое?

262

Тест 5 (Топология, часть 2 – Линейные пространства) Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма двух любых элементов a + b и произведение любого элемента а на число α:

α а. 1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых целые

числа: а) да; б) нет.

2. Множество всех векторов, лежащих на одной оси:

а) да; б) нет.

3. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов x, y, z:

а) да; б) нет.

4. Множество всех векторов трехмерного пространства, где a + b=[a, b], αа: а) да; б) нет.

5. Множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке [0,1]: а) да; б) нет.

6. Множество всех нечетных функций, заданных на отрезке [-1,1]:

а) да; б) нет.

7. Множество многочленов второй степени от x:

а) да; б) нет.

8. Множество столбцов из n элементов:

а) да; б) нет.

9. Множество многочленов степени не больше 3 от одной переменной:

а) да; б) нет.

10. Множество всех диагональных матриц:

а) да; б) нет.

11. Множество всех квадратных матриц: а) да; б) нет.

12. Множество действительных чисел: а) да; б) нет.

263

Тест 6 (Топология, часть 3 – Нормированные пространства)

Задано пространство непрерывных на отрезке [a,b] функций (его называют С[a,b]) {x(t)}, t∈[a,b]. Будет ли выражение

1. |х| = sup|x(t)| t∈[a,b]

нормой в этом пространстве а) да; б) нет.

2. |х| = ∫в

а|x(t)|dt

а) да; б) нет.

3. Сколькими способами можно вводить норму для некоторого пространства

а) одним; б) многими.

4. Задано пространство C[-1,1] непрерывных на отрезке [-1,1] функций {x(t)},

t∈[a,b]. С нормой |х| = sup|x(t)|.

t∈[a,b] Образует ли множество многочленов степени меньшей или равной k

подпространство в пространстве C[-1,1]: а) да;

б) нет.

5. В конечномерном нормированном пространстве каждое ограниченное замкнутое множество:

а) компактно; б) не компактно;

в) не обязательно компактно.