§2. 여러 가지 사각형

1. 평행사변형 직사각형

(1) 한 내각이 직각일 때(2) 두 대각선의 길이가 같을 때

2. 평행사변형 마름모

(1) 이웃하는 두 변의 길이가 같을 때(2) 두 대각선이 직교할 때(3) 대각선이 한 내각을 이등분할 때

평행사변형

직사각형

마름모

한 내각이 90

대각선의 길이가 같다

이웃하는 두 변의 길이가 같다

두 대각선이 직교대각선이 한 내각을 이등분

여러 가지 사각형여러 가지 사각형

문제 . 직사각형의 집합을 A, 정사각형의 집합을B, 사다리꼴의 집합을 C, 평행사변형의 집합을 D 라 할 때 , 다음 중 포함관계가 옳은 것은 ?

(1) A B C D (2) A B D C(3) D B A C (4) B A C D(5) B A D C 사다리꼴

평행사변형

직사각형 마름모정사각형

문제 , 오름문제 , 오름

ABCD는 평행사변형이고 M,N은 두 변 AD,BC의 중점일 때 , MPNQ의 넓이가 10cm2 라면 ABCD의 넓이는 얼마인가 ?

ABCD는 평행사변형이고 M,N은 두 변 AD,BC의 중점일 때 , MPNQ의 넓이가 10cm2 라면 ABCD의 넓이는 얼마인가 ?

A

B C

DM

N

PQ

= =

==

문제 , 탐구문제 , 탐구A

B C

D

I

HG

E

F=

=

=

오른쪽 그림의 평행사변형 ABCD에서

CEDCFD,AB2AD 일 때 의 크기를 구하여라 .FGE

직사각형의 두 대각선은 길이가 서로

같고 , 서로 다른 것을 이등분한다 .

직사각형의 두 대각선은 길이가 서로

같고 , 서로 다른 것을 이등분한다 .

직사각형의 성질

=

=

네 내각의 크기가 모두 같다 . 네 내각의 크기가 모두 같다 .

=

=

직사각형의 두 대각선의 길이는 서로 같음을 증명하여라 .

가정 �ABCD 에서 A=B=C=D

결론 DBAC

증명 직사각형은 평행 사변형이므로ABC 와 DCB 에서

,DCAB DCBABC BC 공통 ABC DCB (SAS 합동 )

DBAC 따라서

A

B C

D

┑┑

┑┑

�ABCD 에서 대각선 AC, BD 의 길이가 서로 같고 ,서로 다른 것을 이등분하면 직사각형임을 증명 .

A

B C

D

O

그러므로 �ABCD 는 직사각형이다 .

증명 AOD 와 COB 에서AOD COB 이고

AOD 와 COB 는 이등변 삼각형 DAO = ADO = OBC = OCB 이고 ,

OAB 와 COB 도 마찬가지로 하여

OAD = OBA = OCD = ODC 이다 .

A = B = C = D

문제

. .

. .

= =

==

평행사변형 ABCD 에서 A = 90° 이면 이 평행사변형은 직사각형임을 증명하여라 .

문제문제

증명 A + B = 180°A

B C

D┛ >

>

^ ^ A =90° 이므로 B = 90°

또 A = C, B = D이므로 A = B = C = D =90°

따라서 �ABCD 는 직사각형이다 .

┏

마름모의 성질

마름모의 두 대각선은 서로 수직임을 증명가정 �ABCD 에서 DACDBCAB

BDAC결론

,ADAB

증명 두 대각선 AC 와 BD 의 교점을 O 라 하면OAB 와 OAD 에서

ODOB OA는 공통 ,OAB OAD (SSS 합동 )

AOB =AOD = 90° 즉 BDAC

A

B

C

DO

= == =

_ _

마름모의 두 대각선은 서로다른 것을 수직 이등분한다 . 마름모의 두 대각선은 서로다른 것을 수직 이등분한다 .

두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하는 사각형은 마름모임을 증명

문제

증명 A

B

C

D\

\

\

\ O

가정에 의하여ABO ADO

CBO CDO

DACDBCAB 따라서 �ABCD 는 마름모이다 .

평행사변형 ABCD에서 이면 이 평행사변형은 마름모임을 증명

BCAB 문제

증명 □ ABCD는 평행 사변형이므로

A

B C

DADBC,CDAB

그런데 이므로BCAB

ADCDBCAB

따라서 □ ABCD는 마름모이다 .

=

=

문제 ,오름

마름모의 두 대각선은 서로 수직임을 증명하여라 .

O

A

B

C

D

직사각형의 네 변의 중점을연결한 사각형은 어떤 사각형인지를 설명하여라 .

문제 ,탐구

A

B C

D

P

Q

R

S

정사각형정사각형

1) 정의 : 네 변의 길이가 모두 같고 , 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형

2) 성질 : 두 대각선은 길이가 같고 서로 다른 것을 수직이등분한다 .

정사각형의 두 대각선은 길이가 서로 같고 , 서로 다른 것을 수직 이등분한다 .정사각형의 두 대각선은 길이가 서로 같고 , 서로 다른 것을 수직 이등분한다 .

정사각형의 성질

정사각형

직사각형

마름모

네 변의 길이가 같다

네 각의 크기가 같다

사각형에서 두 대각선길이가 같고 서로다른 것을 수직이등분하면 정사각형 됨을 증명

문제문제

가정 ,ODOCOBOA BDAC결론 □ ABCD는 정사각형

증명,COD

BOCAOBAOD

,CDBCABAD

또 AOD,AOB,BOC,COD는 직각이등변삼각형

즉 ADO =DAO =ABO =BAO =BCO =CBO =CDO =DCO =45 A =B =C =D =90 따라서 □ ABCD는 정사각형

A

B C

D

O

== =

=

┓

사다리꼴의 정의

인 사다리꼴 ABCD에서 이면

BC//AD CB DCAB 임을 증명

가정 □ ABCD에서 CB,BC//AD

DCAB

변 AB에 평행하게 를 그으면DEDECB

가정에서 이므로

CB CDEC DEC는 이등변 삼각형이므로□ ABED는 평행 사변형이므로

, 에서DEAB

DCDE

DCAB

결론

증명. ..= ==

>

>A

B C

D

E

양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴을 등변 사다리꼴이라 한다

인 사다리꼴 ABCD에서 이면 두 대각선 AC, DB의 길이는 같다 . 즉 임을 증명

BC//AD CB

DB//AC

증명ABC와 DCB에서

ABC DCB (SAS합동 ) DBAC

CB : 가정

CDAB : 등변사다리꼴의 성질BC는 공통인 변

참고

문제

A

B C

D

문제 , 오름 . 인 사다리꼴 ABCD 의두 대각선 AC, BD 의 교점을 O 라 할 때 , 임을 증명하여라 .

BC//AD

DOCAOB A

B C

D

O

[ 가정 ] �ABCD 에서BC//AD

[ 결론 ] DOCAOB

[ 증명 ]

문제 , 탐구문제 , 탐구

평행사변형 ABCD 에서 대각선 BD 가 B 를이등분하면 �ABCD 는 어떤 사각형이 되는지를 설명하여라 .

A

B C

D

여러 가지 사각형의 집합 사이의 포함 관계

사다리꼴

평행사변형

직사각형정사각형

마름모

여러 가지 사각형의 대각선의 성질여러 가지 사각형의 대각선의 성질

1) 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다 .

2) 직사각형의 두 대각선은 길이가 서로 같고 , 서로 다른 것을 이등분한다 .

3) 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직 이등분한다 .

4) 정사각형의 두 대각선은 길이가 서로 같고 서로 다른 것을 수직 이등분한다 .

문제 , 오름 . 다음 중 두 대각선이 서로 이등분하는 사각형이 아닌 것은 ?

문제 , 오름 . 다음 중 두 대각선이 서로 이등분하는 사각형이 아닌 것은 ?

(1) 등변사다리꼴 (2) 평행사변형(3) 직사각형 (4) 마름모(5) 정사각형

문제 . 탐구 . 다음 사각형 중에서 두 대각선의 길이가 같은 것을 모두 골라라 .

문제 . 탐구 . 다음 사각형 중에서 두 대각선의 길이가 같은 것을 모두 골라라 .

(1) 등변사다리꼴 (2) 평행사변형(3) 직사각형 (4) 마름모(5) 정사각형

평행선과 넓이

직선 l 위의 두 점 A, D에서 m 에 내린 수선의발을 P,Q라하면

DQAP

l

m

A D

B C┓ ┓

일 때 , 밑변이 인 두 삼각형ABC와 DBC의 넓이가 같다 .

m//l BC

p Q

따라서 삼각형 ABC와 DBC는 밑변이 공통높이가 같으므로 그 넓이이가 서로 같다 .

그러므로 ABC = DBC

인 사다리꼴 ABCD의 두 대각선 AC,BD의 교점을 O 라 할 때 . AOB=DOC 임을 증명

BC // AD

BC // AD

AOB = DOC

문제

증명

가정 ABCD에서

결론

두 선분 AD와 BC가 평행하므로 의 높이는 같고 밑변은 공통ABC와 DBC

AOB = DOC,, 에서

DOC = DBC - OBC AOB = ABC - OBC ABC = DBC

A

B C

D

O

문제 , 오름문제 , 오름A

B C

D

오른쪽 그림과 같은�ABCD의 변 BC의연장선 위에 점 E 를잡아 �ABCD=ABE가 되도록 하려면 점E 를 어떻게 정하여야하는가 ?

E

문제 , 탐구 . 오른쪽 그림에서 �ABCD 는 평행 사변형이고

CFDC,CEBC

이고 , AOB 의넓이가 30cm2 일때 다음 중 옳은 것은 ?

2

22

22

cm240BFED)5(

cm30COD)4(cm60ACD)3(

cm90ABFC)2(cm60BCF)1(

�

�

=

=

A

B

F

E

D

O

C

30cm2

연습문제

1.평행사변형 ABCD에서 ADB=35, ACD=55 일 때 , x,y 의 크기를 구하여라 .

A

B C

D

35

55yx

BC//AD 이므로ADB = DBC = 35DAC = ACB = 55

두 대각선 AC와 BD의 교점을 O 라 하면 OBC에서 BOC = 180-(OBC + OCB) = 180-( 35 + 55)= 90, □ABCD는 마름모즉 , ADAB 이므로 ABD는 이등변 삼각형이다 .

x = 35 마찬가지로 y = 55

0

35

55

2. 평행사변형 ABCD에서 B,D 의 이등분선이변 AD,BC와 각각 점 E,F에서 만날 때(1) ABE는 이등변 삼각형이다 .

A

B C

D

F

E

ABE는 이등변삼각형이다 .

(2) BFDE는 평행사변형이다 .DDF 는 의 이등분선이므로 D

2

1EDF

AEBEBF BC//AE 이므로

DB 이므로 AEBB2

1EDF

즉 , 동위각의 크기가 같으므로 ,DF//BE또 , BF//ED 이므로 BFDE는 평행사변형

,EBFABE BBE 는 의 이등분선이므로

3. 직사각형의 각 변의 중점을 차례로 이어서만든 사각형은 마름모임을 증명하여라 .

A

B

C

D

..

..

4. 등변사다리꼴 ABCD의 두 대각선의 교점을O 라 하면 , △OBC는 이등변 삼각형임을 증명하여라 .

4. 등변사다리꼴 ABCD의 두 대각선의 교점을O 라 하면 , △OBC는 이등변 삼각형임을 증명하여라 .

A

B C

D

O