2º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS II – TEMA 8 ...iesaricel.org/rafanogal/bachillerato/2bach-mat2-16... · 2.- REGLAS DE L´HÔPITAL Si al calcular → α α∈ α=±∞

2º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS II – TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- CONCEPTO Y CÁLCULO DE DERIVADAS

Concepto de derivada y de función derivada Recordemos que la pendiente de una recta nos indica la mayor o menor inclinación de ésta.

Cuando la gráfica de una función no es una recta y queremos medir la “pendiente de la gráfica” se utiliza la derivada.

Se le llama derivada en el punto x = a de una función f , y se representa por f´(a) al valor del siguiente límite

→

−=

−x a

f(x) f(a)f´(a) lim

x a

f´(a) representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto A(a,f(a)) .

La recta tangente es la recta que pasa por A y la que “más se aproxima” a la gráfica de la función en las proximidades del punto A.

X

Y

rtg

f(a) A

a

f´(a) = pendiente de la recta tangente

Usando la definición podemos deducir:

( )( )( )

Si f tiene un extremo relativo en x a, entonces f´ a 0, pues la recta tangente es horizontal

Si f´ a 0, entonces f es creciente en x a, pues la recta tangente tiene pendiente positiva

Si f´ a 0,

= =

> =

< entonces f es decreciente en x a, pues la recta tangente tiene pendiente negativa=

Se llama función derivada de una función f a la función →

+ −=

h 0

(fx h ) (fx )f (x ) limh

´

Si no existe el límite, se dice que la función no es derivable

Tabla de derivadas

Función constante: (c)´ = 0 . Ejemplo: (6)´ = 0

Función potencia: (xk)´= k . xk – 1, siendo k ∈ R

Ejemplo: (x3)´= 3x2

Casos particulares

(x)´ = 1 (x2)´ = 2x

1x

| =

21

x−

( )/x = 1

2 x

Función exponencial: (ax)´= ax . ln a , siendo a > 0, a ≠1

Ejemplo: (2x)´= 2x . ln 2

Caso particular

(ex)´= ex

Función logaritmo: [loga(x)]´=

1x.lna

siendo a >0, a ≠1

Ejemplo: [log3(x)]´= 1

x.ln3

Caso particular

[ ln(x) ]´= 1x


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Función seno: ( )/senx =cosx

Función arco seno: ( )2

1/arcsenx =1 x−

Función coseno: ( )/cosx = senx- Función arco coseno: ( )2

1/arccosx =1 x

−

−

Función tangente: ( ) 22

/ 1tgx =1+tg x=cos x

Función arco tangente: ( ) 21/arctgx =

1 x+

Reglas de derivación Si f y g son dos funciones derivables, se cumple:

Derivada de la suma y resta

(a.f ± b.g)´ = a . f´ ± b. g´

Ejemplo:

(3x2 + 5x – 4)´ =

= 3.(x2)´+ 5. x´ – (4)´ = 6x + 5

Derivada del producto (f . g)´ = f´ . g + f . g´

Ejemplo:

(x2 . ln x)´= (x2)´. ln x + x2 .(ln x)´=

= 2x ln x + x2 . 1x

= 2x ln x + x

Derivada del cociente

2

f g fgf =g g

| ||

−

Ejemplo:

xex

|

= −x x

2

(e ).x e . (x )

x

| |

=

= −x x

2e .x e .1

x =

−x

2e . (x 1 )

x

Derivada de una función compuesta

Si u es una función, entonces [f(u)]´ = f´(u) . u´ (Esta regla se llama “Regla de la cadena”). Ejemplos

[(x2+1)7]´ 2 1

´ 2

u x

u x

= +=

→ [u7]´= 7u6 . u´ = 7(x2+1)6. 2x = 14x(x2+1)6

[(ln x)2]´ ln

1´

u x

ux

==

→ (u2)´ =2u . u´ = 2.ln x .1

x

+

|

x

1

e 1

1

´

x

x

u e

u e

= +=

→ (1u

)´ = −21

u. u´ = x

x 2

1.e

(e 1)

−

+=

x

x 2

e

(e 1)

−

+

( 2x )´2

´ 2

u x

u

==

→ ( u)´ = u2 u

|

= 22 2x

= 12x

(23x+1)´ 3 1

´ 3

u x

u

= +=

→ (2u)´ = 2u . ln 2 .u´ = 23x+1 . ln 2 . 3

[log3(x2+ x)]´=

2

´ 2 1

u x x

u x

= += +

→ [log3(u)]´=

uu.ln3

|

=22x+1

(x +x ).ln3

Derivada de una función elevada a otra función

[ ] [ ] [ ]ln( ) ( ) ´( ) ´( )( ) ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) . ln ( ) ´( ) ln ( ) ( )

( ) ( )

Tomando Derivando en los dos miembrosg x g x h x f xh x f x h x f x g x f x g x f x g x

h x f x = → = = → = +

[ ] ( )( ) ( ) ( ) ln ( ) ( )

( )

f xh x h x g x f x g x

f x

= +


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Derivadas sucesivas de una función

La derivada segunda de una función f es la derivada de f´(x) y se representa por f´´(x)

Por ejemplo, si f(x) = 6x3 – 5x2, entonces la primera derivada es f’(x) = 18x2 – 10x y la segunda derivada es:

f´´(x) = [f´(x)]´= (18x2 – 10x)´= 36x – 10

Por el mismo procedimiento se pueden calcular f´´´, f(iv , f(v , … f(n → f(n se llama derivada n-sima de f

Derivabilidad de una función Una función f es derivable en un punto x = a si se cumplen las siguientes condiciones:

(C1) f es continua en x = a (C2) Existe f´(a) Las funciones no definidas a trozos son derivables en todos los puntos donde sean continuas.

Las funciones definidas a trozos pueden ser derivables o no serlo. Para estas funciones se usa el siguiente criterio:

Sea f una función definida a trozos, u(x) , si x a

f (x)v(x) , si x a

<=

≥, siendo u, v funciones derivables

Entonces f es derivable en x = a si se cumple:

1) f es continua en x = a 2) x xa alim limu (x) v (x) L

− +→ →= = En tal caso, f´(a) = L

Si una función f es derivable en un punto x = a entonces la gráfica en el punto A( a , f(a) ) no tiene roturas (pues es continua), ni tiene “pico” (pues se puede trazar la recta tangente en A) Si una función es derivable en un punto, es continua en dicho punto. Pero si la función es continua no tiene por qué ser derivable. Por ejemplo, 2)( −= xxf es continua en x = 2, pero no es derivable en x = 2

Ejercicio 1 Dadas 3 2 1++= xx)x(f y ( )( ) 8g x ln x= + , escribir la función g o f y calcular su derivada.

Ejercicio 2 Considera la función f: R → R definida por 2

, 0

( ) 1 , 0 1

2, 1

1

xe si x

f x x si x

si xx

− ≤

= − < < ≤+

a) Estudia su continuidad y derivabilidad. b) Determina la función derivada de f. Ejercicio 3 Estudia la derivabilidad de la función f: ℜ → ℜ definida por

, 1 11 | |( )

0, 1 1

xsi x y x

xf x

si x ó x

≠ − ≠ −= = − =

Ejercicio 4 Determina a y b sabiendo que b > 0 y que la función f: ℝ → ℝ definida como

2

cos( ) 2 , 0

( )ln( 1) , 0

1

a x x si x

f x ba x si x

x

+ <=

+ + ≥ +

es derivable.

Practica tú: 1 Halla el punto de la gráfica y = x2 + x + 5, en el cual la recta tangente sea paralela a la recta y = 3x − 8

Sol.: P(1, 7)

2 Halla la derivada de las siguientes funciones: a) ln x

y senx

=

b) ( )( )2lny xsen x= c)

1( ) ln

1

xf x

x

+ = −

d) (3 2)y arctg x= + e) ( )2y tg x= f) 3 3( ) ln

2

xf x

x=

+ g)

2 32x

y−= h) ( )3( ) log 2f x x= + i) 2

( ) (3 )x

g x e sen x=


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( )( )

( )

22 2 2

22x 2 2x

2 3

ln(x)cos 1 ln x

x 2 ln(x sen x) (sen x x cos x) 2 3Sol.: a) y b) y c) f´(x) d) y´ e) y 2 tg x . 1 tg x

x sen xx 1 x 9x 12x 5x

2 3xf ) f (x) g) y x 2 ln 2 h) f (x) i) g (x) e 2 sen(3x) 3 cos(3x)

3x 6x (x 2) ln 10

−

− + = = = = = +− + +

= = = = ++ +

3 Estudia la derivabilidad de la función f: (0, + →∞) R definida por

2

2

3 x, 0 1

( )1

, 14

x si x

f xx

si xx

+ − < ≤= + >

.

Calcula su derivada 2

2

x1, si 0 x 1

3 xSol.: f es derivable en R , f (x)

1 x, si x 1

2x

+

− < ≤

+=− + >

4 Estudiar la derivabilidad de la función ( ) 1f x x x= − en x = 1 Sol.: No es derivable aunque sí es continua

5 Se considera la función derivable f: R → R definida por 1 , 1

2( )

, 1

asi x

xf x

ba si x

x

+ < −= + ≥

Calcula los valores de a y b. 1 1Sol.: a , b

4 2= =

6 Se sabe que la función f: R → R definida por 2

2

bx 1, 1( )

5x 2a, 1

x si xf x

ax si x

− + + ≤=

− + >, es derivable.

Determina los valores de a y b. Sol.: a 2 , b 1= =

7 Considera la función f: R → R la función definida por ( )

3 , 0( )

, 0x ax b

ax b si xf x

si xe +

+ ≤=

<

Determina a y b sabiendo que f es derivable. 1Sol.: a , b 1

3= =

8 Sea la función ( )( )

≥++

<+=

0

0 ln

3 xsibaxx

xsixsenexf

a) Hallar a y b para que sea continua en x = 0. Sol.: a R , b 1∈ =

b) Hallar a y b para que f(x) sea derivable en x = 0. 1Sol.: a , b 1

e= = c) Calcular

−′

2

πf . Sol.: 0

2.- REGLAS DE L´HÔPITAL

Si al calcular → α

α∈ α = ±∞x

f(x)lim , siendo R ó

g(x) llegamos a una indeterminación del tipo

00

ó ∞∞

y existe → αx

f´(x)lim

g (x) entonces:

→ α → α=

x x

f(x) f´(x)lim lim

g(x) g (x)

Ejercicio 5 Sabiendo que ( )

20

cos( ) . 1 cos( )lim

( )x

x a x

sen x

π π→

+ es finito, calcula “a” y el valor del límite.

Ejercicio 6 Sea f: (0, ∞) → R la función definida por ( )( )

2

2

ln, 1

( ) 1

, 1

x xsi x

f x x

a si x

≠

= −

=

a) Sabiendo que f es continua, calcula a b) Estudia la existencia de asíntota horizontal de la gráfica. En caso de que exista, determina su ecuación.


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Practica tú:

9 Calcula: a)0

ln(1 )limx

x sen x

x sen x→

+ −−

b)1

1 1lim

ln( ) 1x x x→

− −

c)0

tglim

senx

arc x x

x x→

−−

d)0

tan( ) ( )lim

( )x

x sen x

x sen x→

−−

e)( )

20lim

x sen x

x

e e

x→

− f)

21

1 2lim

ln( ) 1x x x→

−

−

Sol.: a) ∃ 1pues por la izda es y por la dcha b) c) 2 d) 2 e) 0 f ) 12

−∞ −∞ −

10 Dada la función 1

( )1

x

x

ef x

e

+=

−, para x ≠ 0, determina las asíntotas de su gráfica. Sol.: A.V.:x 0 A.H.:y 1= =

11 Sea f: (1, + →∞) R la función dada por 2

2

(ln )( )

( 1)

x xf x

x=

−. Estudia la existencia de asíntota horizontal para la

gráfica de esta función. En caso de que exista, hállala. Sol.: A.H.:y 0=

12 Sabiendo que 20

ln( 1) ( ) cos(3 )limx

x a sen x x x

x→

+ − + es finito, calcula a y el valor del límite. 1Sol.: a 2 ;

2−=

13 Sabiendo que 0

1lim

21xx

m

xe→

− −

es finito, calcula “m” y el valor del límite. 1Sol.: m 2 ;2

−=

14 Sabiendo que 2

20

1 cos( )lim

( )x

ax bx x

sen x→

+ + − es finito e igual a 1, calcula los valores de a y b. 1Sol.: a , b 0

2= =

15 Halla a y b sabiendo que es continua la función f: R → R definida como 2

x cos( ), 0

( )

, 0

xx ae

si xf x x

b si x

+ −≠

= =

Sol.: a 1 , b 1= =−

3.- ESTUDIO DE LA MONOTONÍA Y EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN.

Estudiar la monotonía de una función f es averiguar los intervalos de la recta real donde f es creciente, decreciente o constante. Como la derivada representa la pendiente de la recta tangente:

( )( )( )

Si f´ x 0, en un intervalo, entonces f es creciente en dicho intervalo

Si f´ x 0, en un intervalo, entonces f es decreciente en dicho intervalo

Si f´ x 0, en un intervalo, entonces f es constante en

>

<

= dicho intervalo

Una vez determinada la monotonía se pueden deducir cuales son los extremos relativos (máximos y mínimos relativos) recordando que:

Si la función pasa de ser creciente a decreciente y es continua, entonces hay un máximo relativo

Si la función pasa de ser decreciente a creciente y es continua, entonces hay un mínimo relativo


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Si sólo queremos calcular los extremos relativos de una función f podemos usar el siguiente procedimiento:

1º) Resolvemos la ecuación f´(x) = 0. Si no tuviese solución es porque no hay extremos relativos

2º) En otro caso, sea x0 una solución:

( )( )

= ⇒

< ⇒

> ⇒0 0

0 0

0

Si f´´ x 0 En x se alcanza un mínimo relativo

Si f´´ x 0 En x se alcanza un m

Si f´´(x ) 0 No se puede asegurar si hay o no extremo relati

áximo relativ

vo

o

Ejercicio 7 Dada una función f definida y derivable en un intervalo abierto (a, b) de los números reales, si f es creciente en dicho intervalo, entonces f'(x)>0". ¿Es cierto?. En caso afirmativo, razonar la respuesta y en caso contrario, poner un contraejemplo.

Ejercicio 8 Sea f: [0, 2π] → ℜ la función definida por f(x)= ex(cos x + sen x). (a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (b) Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f.

Ejercicio 9 Sea f: (0,+ ∞) → R la función definida por 2

2ln( )( )

xf x

x=

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 10 Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos de 2

2

1( )

x

xf x e += (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Ejercicio 11 Sabiendo que la gráfica es la de f´(x),

deduce la monotonía y extremos relativos de la función f.

Ejercicio 12 En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de 18 a 50 años, los

ingresos vienen dados por la fórmula −x2 + 70x, mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los

ingresos están determinados por la expresión, 400

30

x

x −.

Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a qué edad se alcanza.

Ejercicio 13 Halla los valores a, b y c sabiendo que la gráfica de la función 2

( )ax b

f xx c

+=

+ tiene una asíntota

vertical en x = 1, una asíntota oblicua de pendiente 2, y un extremo local de abscisa x = 3.

Practica tú:

16 Sea f la función definida por 22

( )( 1)( 2)

xf x

x x=

+ −, para x ≠ –1 y x ≠ 2.

(a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.V.:x 1 ; x 2 A.H.:y 2=− = = (b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

{ } { }Sol.: creciente en ( 4,0) 1 y decreciente en ( , 4) (0, ) 2− − − −∞ − ∞ −∪

(c) Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de f donde ésta corta a Ia asíntota horizontal. Sol.: P( 2, 2)−

17 Sea f la función definida por 4

3

3 1( )

xf x

x

+= para x ≠ 0.

(a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. Sol.: A.V.:x 0 A.O.:y 3= = (b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). { }Sol.: creciente en ( , 1) (1,0) y decreciente en ( 1,1) 0 ; Máx.:P( 1, 4) Mín.:Q(1,4)−∞ − − − − −∪


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18 Sea f: ℜ → ℜ la función definida por f(x)= x2 e–x. (a) Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

24Sol.: Máx.:P(2, ) Mín.:Q(0,0)

e

(b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.H.:y 0=

19 Sea f : R → R la función definida por f(x) = (3x − 2x2)ex. (a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

3 3Sol.: creciente en ( ,1) y decreciente en ( , ) (1, )2 2

− −−∞ ∞∪

(b) Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). 3

2Sol.: Máx.:P Mín.:Q 3(1,e) ( , 9e )2

−− −

20 Sea f la función definida por ( )1

xef x

x=

− para x ≠ 1.

a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.V.:x 1= b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de f. 2Sol.: creciente en (2, ) y decreciente en ( ,2); Mín.:P(2,e )∞ −∞

21 Sea la función f : (0,+∞) → R definida por ln

( )x

f xx

= .

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.V.:x 0 A.H.:y 0= = b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. 1Sol.: creciente en (0, e) y decreciente en (e, ); Máx.:P(e, )

e∞

22 Sea la función f : ℜ → ℜ definida por 2

2

3, 1( )

2 , 1

x si xf x

x si x

+ ≤=

− >.

(a) Calcula, si es posible, las derivadas laterales de f en x = 1. Sol.: f´(1 ) 2 ; f´(1 ) 2− += =− (b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f.

Sol.: creciente en (0, 1) y decreciente en ( ,0) (1, )−∞ ∞∪ 23 Sea f : R → R la función definida por f(x) = x2 − | x |. a) Estudia la derivabilidad de f. { }Sol.: f es derivable en R 0 . No es derivable en x 0, aunque sí es continua− =

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Sol.: creciente en (0, ) y decreciente en ( ,0)∞ −∞

c) Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol.: Mín.:P(0,0)

24 Sea f : R → R la función definida por f(x) = |x2 − 4|. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sol.: creciente en ( 2,0) (2, ) y decreciente en ( , 2) (0,2); Mín.:( 2,0) y (2,0) ; Máx.:(0,4)− ∞ −∞ − −∪ ∪

25 Sabiendo que la gráfica es la de f´(x)

determina la monotonía y las abscisas de los extremos relativos de la función f Sol.: creciente en ( , 3,5) (0; 4,5) y decreciente en ( 3,5 ;0) (4,5 ; ); Mín.:x 0 ; Máx.:x 3,5 , x 4,5−∞ − − ∞ = =− =∪ ∪

26 La gráfica de la función f´(x) es la parábola de vértice (0 , 2) que corta al eje de abscisas en los puntos (−3 , 0) y (3 , 0). A partir de dicha gráfica, estudia la monotonía y extremos de f.

Sol.: creciente en ( 3,3) y decreciente en ( , 3) (3, ); Mín.:x 3 ; Máx.:x 3− −∞ − ∞ =− =∪

27 Se sabe que la función f: R → R definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c tiene un punto de derivada nula en x = 1 que no es extremo relativo y que f(1) = 1. Calcula a, b y c. Sol.: a 3 , b 3 , c 0=− = =


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28 Se sabe que la función f: R → R definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, tiene extremos relativos en (0, 0) y (2, 2). Calcula a, b, c y d. 31Sol.: a , b , c 0 , d 0

2 2−= = = =

29 Halla los extremos relativos de 4

( )( 2)(2 1)

f xx x

=− −

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)

y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

{ } { }15 32 5 5Sol.: Máx.:P( , ) ; creciente en ( , ) y decreciente en ( , ) 224 9 4 4

− −∞ − ∞ −

30 Se sabe que la función f: (–1, + →∞) ℜ ,

2

2

4 3, 1 0

( ), 0

1

x x si x

f x x asi x

x

− + − < <= +

≥+

, es continua en (–1, +∞).

(a) Halla el valor de a. ¿Es f derivable en x = 0? Sol.: a 3 ; No es derivable en x 0= = (b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Sol.: creciente en (1, ) ; decreciente en ( 1, 0)∞ −

31 Sea f: R → R la función derivable definida por a x, 1

( )ln , 1

si x

f x bx si x

x

− ≤= + >

a) Calcula a y b. Sol.: a 3 , b 2= = b) Para a = 3 y b = 2 calcula los extremos absolutos de f en el intervalo [0, e] (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol.: Máx. absol.:P Mín. absol.:Q(0,3) (2, 1 ln 2)+

32 Considera la función f: [0, 4] → R definida por 2 , 0 2

( ), 2 4

x ax b si xf x

cx si x

+ + ≤ ≤= < ≤

(a) Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c. Sol.: a 3 , b 4 , c 1=− = =

(b) Para a = –3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se

alcanzan). 1 23 7Sol.: Máx. absol.:P (0,4) , P (4,4) Mín. absol.:Q( , )

2 4

4.- PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Ejercicio 14 De entre todos los números reales positivos, halla el que sumado con su inverso da suma mínima. Ejercicio 15 De entre todos los rectángulos que tienen uno de sus vértices en el origen de coordenadas, el

opuesto de este vértice en la curva 2

2

2

1

xy

x=

− con x > 1, uno de sus lados situado sobre el semieje positivo de

abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene área mínima. Ejercicio 16 Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de 5 cm de radio, de forma que uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la semicircunferencia. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro posible. Ejercicio 17 Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima.

Ejercicio 18 De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12 800 m2 dividido en 3 parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas). Determina las dimensiones del solar y de cada una de las tres parcelas para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.


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Ejercicio 19 Se dispone de un cartón cuadrado de 50 cm de lado para construir una caja sin tapadera a partir del cartón. Para ello, se corta un cuadrado de x cm de lado en cada una de las esquinas. Halla el valor de x para que el volumen de la caja sea máximo y calcula dicho volumen. Ejercicio 20 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (Recuerda que el volumen del cono es V = (1/3)πr2h).

Practica tú:

33 Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo. Sol.: Los números son 5 y 5

34 De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes

coordenados y un vértice en la recta r de ecuación 12

xy+ = (ver figura), determina el que tiene mayor área

1

2Sol.: El de base 1 y altura

35 Considera el recinto limitado por la curva y = 1/3 x2 y la recta y = 9.

De entre todos los rectángulos situados como el de la figura, determina el que tiene área máxima.

Sol.: Un cuadrado de lado 6 36 En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de

coordenadas y el vértice opuesto en la parábola y = −x2 + 3. Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima. Sol.: Dimensiones: 1 x 2 37 De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 unidades, determina las dimensiones del de área máxima. Sol.: catetos: 50 cada uno 38 De entre todos los rectángulos cuya área mide 16 cm2, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. Sol.: Un cuadrado de lado 4 cm 39 Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máxima.

8 4 3Sol.: base: altura:

3 3

40 Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por centímetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los perímetros de los dos cuadrados tiene que ser 1 metro. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo? Sol.: Cuadrados de lados 15 cm y 10 cm, respectivamente

41 Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea

mínima. 4Sol.: m y m

4 4

ππ+ π+


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42 Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo.

De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco de la de área

máxima. 10 20 10Sol.: radio: m base del rectángulo: m altura del rectángulo: m

4 4 4π+ π+ π+

43 Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 de texto. Los márgenes superior e inferior han de ser de 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. Sol.: Dimensiones: 5 cm x 10 cm 44 Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un rio.

El terreno debe tener 180 000 m2 para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de modo que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al río no necesita vallado? Sol.: Dimensiones: 300 m x 600 m 45 Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. ¿Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que

podemos cercar con 3000 euros? 150Sol.: Dimensiones: 75 m x m

11

46 Se desea construir una caja de base cuadrada con una capacidad de 80 cm3.

Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1 €/cm2 y para la base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

Sol.: Dimensiones: 4 cm x 4 cm x 5 cm 47 Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de 200 cm2. Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea máximo.

10 20Sol.: radio: cm altura: cm

3 3π π

5.- ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL

La recta tangente a la gráfica de una función f en x0 pasa por el punto A(x

0, f(x

0)) y su pendiente es f´(x0

)

La recta normal a la gráfica de una función f en x0 pasa por el punto A(x

0, f(x

0)) y es perpendicular a la recta

tangente. Su pendiente es 0

1

´( )f x

−. r

tg: y = f´(x0).(x – x0) + f(x0) rN

: y = 0

1

´( )f x

− .(x – x0) + f(x0)

Para poder calcular dichas ecuaciones es necesario que existan tanto f(x

0) como f´(x0

). Una vez calculados, sustituimos en la fórmula anterior los valores: " x

0 " , " f(x

0)" y " f´(x0

)" y después reducimos efectuando las operaciones.


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Ejercicio 21 Sea f la función definida por ( )ln( )

xf x

x= para x > 0, x ≠ 1

Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = e. Ejercicio 22 Sea f: R → R la función definida por f(x) = |x2 − 4|. Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = −1.

Ejercicio 23 Sea f: R → R la función definida por f(x) = x3 – 5x2 + 5x + 3 y sea r la recta de ecuación 2x + y = 6. (a) Determina, si es posible, un punto de la gráfica de f en el que la recta tangente sea r. (b) ¿Hay algún punto de la gráfica de f en el que la recta normal a la gráfica sea r? Justifica la respuesta. Ejercicio 24 Sean f: R → R y g: R → R las funciones definidas por f(x) = x2 + ax + b y g(x) = c e–(x + 1). Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto (−1, 2) y tienen en ese punto la misma recta tangente. (a) Calcula los valores de a, b y c. (b) Halla la ecuación de dicha recta tangente.

Practica tú:

48 Sea f: R → R la función definida por f(x) = (x2 + 3x + 1)e−x. a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.H.:y 0=

b) Halla los puntos de la gráfica de f cuya recta tangente es horizontal. ( ) ( )25Sol.: P 1, , Q 2, ee

− −

c) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. Sol.: y 2x 1= +

49 Determina un punto de la curva de ecuación 2x

y x e−= en el que la pendiente de la recta tangente sea

máxima. Sol.: P(0,0)

50 Sea la función f: (0,+∞) → R definida por f(x) = 1/x + ln(x) (a) Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo [1/e, e]. 1Sol.: Mín.:P(1,1) Máx.: Q( , e 1)

e−

(b) Determina la ecuación de Ia recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = e. 2

e 1 2Sol.: y x

ee

−= +

51 Sea f: R → R la función definida como ( ) ( 1) 3f x x x= + − . Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = −6 y en el punto de abscisa x = 2.

23 6 381 1Sol.: En x 6: rtg: y x 8 , rn: y x ;En x 2: rtg: y x 4 , rn: y 2x 1

6 23 23 2

− −= − = + = − = = + = −

52 Sea la función f: R → R definida por f(x) = ln(x2 + 3x + 3) – x. (a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sol.: decreciente en ( , 1) (0, ) y creciente en ( 1,0); Máx.:(0, ln 3) ; Mín.:( 1, 1)−∞ − ∞ − −∪

(b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = – 2. 1Sol.: y x 3

2= +

53 Dada la parábola y = x2. (a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela a la recta 4x + y + 3 = 0. Sol.: y 4x 4=− − (b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes que pasan por el punto (2, 0). Sol.: y 0 , y 8x 16= = −

54 Sea f: ℜ → ℜ la función definida por f(x) = 2 − x | x| Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. Sol.: y 4x 6=− +

55 Obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 22 3

( )2

xf x

x

+=

− en el punto de abscisa x = 1.

Sol.: y 9x 4= −


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56 Se sabe que la función f: ( →−1, 1) R definida por 2 1

2 , 1 02( )

1 , 0 1

x x c si xf x

x si x

− + − < <= − ≤ <

es derivable en el

intervalo (−1, 1).

(a) Determina el valor de c. Sol.: c 1= (b) Calcula la función derivada f‘. 1

2 1 x

14x , si 1 x 0

2f´(x)

, si 0 x 1Sol.:

− −

− − < <=

≤ <

(c) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta de ecuación y = −x. 31 5

Sol.: y x , y x32 4

=− + =− +

57 Considera la función derivable f : R → R definida por , 0( ) 2

, 0

x xe e

si xf x x

ax b si x

− −<

= + ≥

(a) Calcula a y b. 3Sol.: a , b 14

= =

(b) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = –1. 23e 1

Sol.: y ex2e

−= +

58 Sea la función f: R → R dada por

2

2

( ), 0

( ), 0

1

xe x ax si x

f x bx csi x

x

+ ≤= +

>+

. Calcula las constantes a, b y c sabiendo que

f es derivable y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3. 7Sol.: a 0 , b , c 012

= = =

59 De una función f: [0, 4] → ℜ se sabe que f(1) = 3 y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo

(a) Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 Sol.: y x 2= + (b) Estudia la monotonía y extremos de f. ( ) ( )Sol.: convexa en 0, 1 (3, 4) y cóncava en 1, 3∪

6.- ESTUDIO DE LA CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN. Estudiar la curvatura de una función es averiguar los intervalos de la recta donde es convexa (forma de U) ó cóncava (forma de ⋂). La derivada segunda, f´´(x), nos permite averiguarlo:

( )( )( )

>

<

=

Si f´´ x 0, en un intervalo, entonces f es convexa en dicho intervalo

Si f´´ x 0, en un intervalo, entonces f es cóncava en dicho intervalo

Si f´´ x 0, en un intervalo, entonces f es una línea recta en d

icho intervalo

Una vez determinada la curvatura se puede deducir los puntos de inflexión Los puntos de inflexión son puntos donde la función es continua y pasa de ser convexa a ser cóncava o al revés.


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Si sólo queremos calcular los puntos de inflexión de una función f, podemos usar el siguiente procedimiento:

1º) Resolvemos la ecuación f´´(x) = 0. Si la ecuación no tuviese solución entonces no hay puntos de inflexión.

2º) En otro caso, sea x0 una solución: 0 0

0

´´ (x ) 0 x inf

´´ (x ) 0 inf

Si f En hay un punto de lexión

Si f No se puede asegurar si hay o no punto de lexión

≠ ⇒

= ⇒

Ejercicio 25 Estudia la curvatura y puntos de inflexión de la función 3

2

1, 1( )

4 3, 1

x si xf x

x x si x

− <= − + − ≥

Ejercicio 26 Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f: [0, 2π] → R definida por f(x)= ex(sen x + cos x). Ejercicio 27 Sea f: R → R la función definida por f(x) =ax3 +bx2 +cx + d. Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica: • El punto (0, 1) es un punto de inflexión de la gráfica f • f tiene un mínimo local en el punto de abscisa x = 1 • La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 1 Ejercicio 28 ¿Una función polinómica de grado 2 puede tener dos máximos? ¿Y algún punto de inflexión? Razonar las respuestas.

Practica tú: 60 Sea f: R → R la función definida como f(x) = ex.(x – 2). (a) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) Sol.: Mín.:P(1, e)− (b) Determina, si existen, el punto de inflexión de la gráfica de f. Sol.: Inflex.:I(0, 2)− 61 Considera la función f: R → R definida por f(x) = (x + 1)·(x – 1)·(x – 2). Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f?

( ) ( ) ( )202 2 2Sol.: convexa en , y cóncava en , ; Infl.: I ,3 3 3 27∞ −∞

62 Halla los puntos de inflexión de la gráfica de la función3 1

( )x

f xx

+= . ( )1 2

8 51Sol.:I 1, 4 ; I ,5 5

63 Sea f: R → R la función definida por f(x) = ln (x2 + 1). Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión de abscisa negativa.

Sol.: y x ln 2 1=− + −

64 Sea f: R → R la función definida por f(x) = 2x3 + 12x2 + ax + b. Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la recta y = 2x + 3. Sol.: a 26 , b 19= = 65 Sea f: ℜ → ℜ la función definida por f (x) = x3 + ax2 + bx + 1 (a) Determina a, b ∈ ℜ sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2, 2) y tiene un punto de inflexión de abscisa x = 0. 7Sol.: a 0 , b

2−= =

(b) Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de inflexión.

7 2Sol.: rtg: y x 1 , rn: y x 1

2 7

−= + = +

66 Sea f: R → R la función dada por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Halla los coeficientes a, b, c y d sabiendo que f presenta un extremo local en el punto de abscisa x = 0, que (1, 0) es punto de inflexión de la gráfica de f y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es –3.

Sol.: a 1 , b 3 , c 0 , d 2= =− = =


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7.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

Para representar gráficamente una función es conveniente analizar:

1) El dominio de definición

2) Puntos de corte con los ejes: ( )

( ) 0

0, (0)

Los puntos de corte con el eje X son las soluciones de la ecuación f x

El punto de corte con el eje Y es P f

=

3) Simetría: ( ) ( ), ( )

( ) ( ), ( )

Si f x f x entonces f es simétrica respecto del eje Y se dice que f es par

Si f x f x entonces f es simétrica respecto del origen de coordenadas se dice que f es impar

− =

− = −

4) Periodicidad: Si f(x + T) = f(x), entonces la gráfica de f se repite en intervalos de longitud T. Se dice que f es periódica de periodo T

5) La continuidad, las asíntotas verticales y la posición de la gráfica respecto de ellas

6) Las asíntotas horizontales u oblicuas y la posición de la gráfica respecto de ellas

7) La monotonía y los extremos relativos.

8) La curvatura y los puntos de inflexión

Ejercicio 29 Sea f la función definida como 3

2( )

1

xf x

x=

− para x ≠ –1 y x ≠ 1.

(a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f (b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. (c) Con los datos obtenidos esboza la gráfica de f. Ejercicio 30 Sea f: R → R la función definida por f(x) = (x – 1)2.e–x. (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si existen, sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). (c) Esboza la gráfica de f.

Ejercicio 31 Sea f: R → R la función definida por 2

1, 0

1( )

3x 1, 0

si xxf x

x si x

< −= − − ≥

(a) Estudia su continuidad y derivabilidad. (b) Determina sus asíntotas y sus extremos relativos. (c) Esboza la gráfica de f.

Ejercicio 32 Dada la función:x

senxxf

cos2)(

−= definida en el intervalo cerrado y acotado [ ]ππ ,− . Se pide:

a) Calcular los puntos del intervalo dado donde f(x) alcanza sus valores máximo y mínimo absoluto. b) Dibujar la gráfica de f(x) en el intervalo dado.

Practica tú:

67 Sea f: R → R la función definida por 2

5 8( )

1

xf x

x x

+=

+ +

(a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. 8Sol.: P( , 0) , Q(0, 8)

5

−

(b) Halla las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.H.: y 0= (c) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

251 1 1Sol.: decreciente en ( , 3) ( , ) y creciente en ( 3, ); Mín.:( 3, 1) ; Máx.:( , )5 5 5 3

− − −−∞ − ∞ − − −∪


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(d) Esboza la gráfica de f.

68 Sea f la función definida para x ≠ 0 por 2 1

( )x

f xx

+=

(a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.V.: x 0 , A.O.: y x= = (b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

Sol.: creciente en ( , 1) (1, ) y decreciente en ( 1, 1); Mín.:(1, 2) ; Máx.:( 1, 2)−∞ − ∞ − − −∪

(c) Esboza la gráfica de f

69 Sea f : R → R la función definida por 2

2

1( )

1

x xf x

x x

− +=

+ +

(a) Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.H.: y 1= (b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función f . 1Sol.: creciente en ( , 1) (1, ) y decreciente en ( 1, 1); Mín.:(1, ) ; Máx.:( 1, 3)

3−∞ − ∞ − −∪

(c) Esboza la gráfica de f .

70 Sea f: R → R la función definida por f(x) = x + e–x. a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f, así como los extremos relativos o locales de f.

Sol.: creciente en (0, ) y decreciente en ( , 0); Mín.:(0, 1)∞ −∞ b) Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f. Sol.: convexa en R c) Determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.O.: y x (en )= ∞


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d) Esboza la gráfica de f

71 Sea f la función definida para x ≠ por ( )1

xef x

x=

+

(a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.V.: x 1 , A.H.: y 0 (en )=− = −∞ (b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

Sol.: creciente en (0, ) y decreciente en ( , 0)∞ −∞ (c) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. Sol.: cóncava en ( , 1) ; convexa en ( 1, )−∞ − − ∞

(d) Esboza la gráfica de f.


( )x

f x x e−= a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.H.: y 0= b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

( ) ( )1 1Sol.: creciente en ( , 1) (0,1) y decreciente en ( 1, 0) (1, ); Máx.: 1, y 1, ; Mín.:(0, 0)e e

−∞ − − ∞ −∪ ∪

c) Esboza la gráfica de f.

73 Dada la función: ( ) cosf x sen x x= + .

Definida en el intervalo cerrado y acotado [ ]0, 2π . Se pide

a) Calcular los puntos del intervalo dado donde f(x) alcanza sus valores máximo y mínimo absoluto. 5Sol.: Mín. absoluto en x ; Máx. absoluto en x

4 4π π= =

b) Dibujar la gráfica de f(x) en el intervalo dado.


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8.- TEOREMAS EN FUNCIONES DERIVABLES

Teorema de Rolle Sea f: [a, b] → R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) tal que f(a) = f(b).

Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que f’(c) = 0

Interpretación geométrica Si una función verifica las hipótesis del teorema de Rolle, existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) donde la tangente a la curva en ese punto (c, f(c)) es paralela al eje de abscisas.

Ejercicio 33 Determina si las siguientes funciones satisfacen en el intervalo dado, las hipótesis del Teorema de Rolle. En caso afirmativo calcula el valor intermedio “c” que verifica la conclusión del mismo.

a) 32

)( xxf = en el intervalo [–2, 2] b) 22)( xxxf −= en el intervalo [–1, 1]

Ejercicio 34 Comprueba que la función 2

12 2, 12( )

5 ( 2) , 1 4

x si xf x

x si x

− + ≤ <= − − ≤ ≤

cumple las hipótesis del Teorema de

Rolle. Averigua dónde cumple la tesis

Ejercicio 35 Calcula b para que la función f(x) = x3 – 4x +3 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, b]. ¿Dónde se cumple la tesis?

Ejercicio 36 Demuestra que la función ( )xxf cosln)( −= verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el

intervalo

=

3

4,

3

2 ππI y halla el valor de c que predice dicho teorema. Averigua, después si cumple esas

hipótesis en el intervalo

=3

8,

3

2 ππI . Si la respuesta es negativa, ¿puede afirmarse que la derivada no se

anula en ningún punto del interior de dicho intervalo? Razona las respuestas.

Practica tú:

74 Determina si las siguientes funciones satisfacen en el intervalo dado, las hipótesis del Teorema de Rolle. En caso afirmativo calcula el valor intermedio “c” que verifica la conclusión del mismo. a) 3)( xxxf −= en el intervalo [–1, 1] b) 23)( 2 +−= xxxf en el intervalo [–2, –1]

c) f(x) = x2 – 4x + 11 en [1, 3] d)

≥+

<≤+

=

1 x si 3x nx

1x0 si 12x

)(

2

L

xf en el intervalo [0, e]

1 23 3

Sol.: a) Si; c ; c ; b) No ; c) Sí; c 2 ; d) No3 3

−= = =

75 La función f: [–1, 1] → R 3 2

( )f x x= toma el mismo valor en los extremos del intervalo Encontrar su derivada y comprobar que no se anula nunca. ¿Contradice esto el teorema de Rolle?

Sol.: No, porque no es derivable en ( 1,1) al no ser derivable en x 0− =

76 ¿Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función 2

4)(

2

−−

=x

xxxf en el intervalo [0, 4]?

Razona la respuesta. Sol.: No, porque no es continua (ni derivable) en x 2=


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77 Sea la función f: [0, 4] → R definida por2 , 0 2

( )1, 2 4

x mx n si xf x

px si x

+ + ≤ <= + ≤ ≤

(a) Determina m, n y p sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [0, 4], derivable en el intervalo abierto (0, 4) y que f(0) = f(4). Sol.: m 3, n 5, p 1=− = =

(b) Según el teorema de Rolle, ¿en qué punto del intervalo se anula la derivada de la función? 3Sol.: En c

2=

Teorema del valor medio de Lagrange Sea f: [a, b] → R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que

f cf b f a

b a' ( )

( ) ( )=

−

−

Interpretación geométrica Si una función está en las hipótesis del teorema del valor medio, existe un punto (c, f(c)) de la curva, donde la recta tangente a la curva en dicho punto es paralela a la cuerda de extremos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Ejercicio 37 Se considera la función xexf =)( y los puntos del plano A(0, 1) y B(1, e). Razónese que existe algún punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es paralela a la recta AB y hállese dicho punto

Ejercicio 38 Se considera la función

−≥+

−<+=

2

2 )(

3

2

xsimx

xsinxxxf

a) Determina m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [–4, 2] b) Halla los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema.

Ejercicio 39 Utilizando el teorema del valor medio de Lagrange demostrar que: a) Para cualesquiera números reales a < b, se verifica que sen b sen a b a− ≤ −

b) Para x > 0, ( ) ( )2

arctg 2 arctg

1

xx x

x

− <+

Ejercicio 40 Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables para todo valor de x, que verifican que f(0) = g(0) y que f'(x) > g'(x) para x ≥ 0. ¿Se puede asegurar que f(x) > g(x) para x>0? Razona la respuesta indicando en que resultados de basas.

Practica tú: 78 Determina si las siguientes funciones satisfacen en el intervalo dado, las hipótesis del teorema del valor medio de Lagrange. En caso afirmativo, calcula el valor intermedio “c” que verifica la conclusión del mismo.

a) f(x) = 3x2 en [0, 4] b) f(x) = (x – 2)2(x + 1) en [0, 4]

c) f(x)= 6

3x

− , en [2, 6] d)

23

, 12( )

1, 1

xsi x

f x

si xx

−<

= ≥

en [0, 2]

1 23 21 1

Sol.: a) Sí, c 2 b) Sí, c c) Sí, c 2 3 d) Sí, c , c 23 2

±= = =± = =

79 Calcula a y b para que

≥−+−

<−=

4 10

4 3)(

2 xsibxx

xsiaxxf cumpla las hipótesis del teorema del valor medio

en el intervalo [2, 6]. ¿Dónde cumple la tesis? 9Sol.: a 2 , b 19 ; Valor intermedio: c

2= = =


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ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

1 Calcula la función derivada: a) ( ) 221 2 +−−= xxxy b) ).ln(xexy = c)

xey

x +=

5

d) ( )( )32ln xtgy = e) ( )321ln5

4

1 2

xey x −+=

22 x 2 3 2 3 x 2

3 32 x 3

2x 4x 3 x 1 5(e 1) 6x ln(tg x )(1 tg x ) x e 30xSol.: a) y b) y c) y d) y e) y

x 2tg x 1 2xx 2x 2 2 (e x)

− + + − + += = = = = −−− + +

2 Sea f : ℜ → ℜ la función definida por f(x) = 2 − x | x | .

(a) Esboza la gráfica de f.

(b) Estudia la derivabilidad de f en x = 0. Sol.: Es derivable; f´(0) 0=

****************************

3 Sabiendo que 30

cos( ) ( )limx

x x b sen x

x→

+ es finito, calcula b y el valor del límite. 1Sol.: b 1; el límite vale

3−=−

4 Sabiendo que 20

( )lim

x

x

a sen x x e

x→

− es finito, halla el valor de a y el de dicho límite. Sol.: a 1; el límite vale 1= −

5 Se sabe que 20

( )limx

x sen x

x

α→

− es finito. Determina el valor de α y calcula el límite. 1Sol.: 1; el límite vale

2α=

6 Escribe las ecuaciones de las asíntotas de Ia gráfica de las funciones:

a) ( )1

xef x

x

−

=−

b) 2

2ln( )( )

xf x

x= c)

2

2

1( )

x

xf x e += d) ( )ln( )

xf x

x=

Sol.: a) A.V.: x 1 , A.H.: y 0 (en ) b) A.V.: x 0 , A.H.: y 0 (en ) c) A.H.: y 1 c) A.H.: y 0 (en )= = ∞ = = ∞ = = ∞

7 Sea la función f: [1, e] → R definida por f(x) = x2 – 8ln(x). (a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

Sol.: decreciente en (1, 2) y creciente en (2, e) (b) Calcula los extremos absolutos y relativos de la función f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). ( )Sol.: Máx. absol: 1, 1 ; Mín. relat. y absol:(2, 4 8 ln2)−

8 Sea la función f: R → R definida por f(x) = ex(x2 – x + 1). (a) Calcula lim ( ) lim ( )

x xf x y f x

→ −∞ → ∞ Sol.: 0 e , respectivamente∞

(b) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos. ( )3Sol.: Máx. : 1, ; Mín.:(0, 1)

e−

9 Sea f: (0,+ →∞) R la función definida por 3 1

( )x

f xx

+=

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que alcanzan). 1 1 1Sol.: decreciente en (0, ) y creciente en ( , ); Mín.:( , 2 3)

3 3 3∞


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10 Sea f: R → R la función definida por f(x) = ln (x2 + 1). Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). Sol.: decreciente en ( , 0) y creciente en (0, ); Mín.:(0, 0)−∞ ∞ 11 Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f : [0, 2π] → R definida por

f(x)= ex(sen x + cos x). ( ) ( ) ( )3 3Sol.: creciente en 0, , 2 y decreciente en ,2 2 2 2π π π ππ∪

12 La gráfica de la función derivada, f´, de una función f es una parábola que corta al eje OX en los puntos (– 1, 0) y (3, 0) y tiene su vértice en (1, – 4). Estudia, a partir de ella, la monotonía y extremos de la función f.

Sol.: decreciente en ( 1,3) y creciente en ( , 1) (3, ); Mín.:x 3 ; Máx.:x 1− −∞ − ∞ = =−∪

*****************************

13 Sea f: [1,+∞) → R la función definida como f(x) = x – 1 . Determina el punto P de la gráfica de f que se encuentra a menor distancia del punto A(2,0).

¿Cuál es la distancia? ( ) 23 1Sol.: P , ; La dis tancia es2 2 2

14 Determina los puntos de la parábola de ecuación y = 5 − x2 que están más próximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de las coordenadas.

1 2

3 2 1 3 2 1 19Sol.: P , , P , ; La distancia es

2 2 2 2 2

−

15 Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área

máxima. ¿Cuál es esa área máxima? 25 2 25Sol.: Cada uno de los catetos mide m y el área máxima es m

2 4

16 De todos los triángulos cuya base y altura suman 20 cm, ¿qué base tiene el de área máxima? Sol.: 10 cm 17 De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. Sol.: Un cuadrado de lado 2 cm

18 Un alambre de 100 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos

con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima. 800 900Sol.: m y m

17 17

19 Se quiere construir un depósito en forma de prisma de base cuadrada sin tapadera que tenga una capacidad de 500 m3. ¿Qué dimensiones ha de tener el depósito para que su superficie sea mínima?

Sol.: base: cuadrado de lado 10 m ; altura: 5 m 20 Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de la caja más el perímetro de la base sumen 60 cm. Determina sus dimensiones para que contenga el mayor volumen posible.

Sol.: base: cuadrado de lado 10 cm ; altura: 20 cm 21 Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcción se utilice la menor cantidad posible de hojalata.

331

Sol.: radio: dm altura: dm2 4

ππ

22 Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m2. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo.

3 6Sol.: radio: m altura: m

π ππ π

************************************* 23 Considera la función f: R → R definida por f(x) = (x + 1)(x – 1)(x – 2). Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

x 1Sol.: rtg: y 2 2x , rn: y

2

−= − =


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24 Sea f: (0, +∞) → R la función definida por f(x) = ln(x2+3x). (a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x − 2y +1 = 0. Sol.: P(3, ln 18) (b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.

1Sol.: rtg: y (x 3) ln 18 , rn: y 2(x 3) ln 18

2= − + =− − +

25 Sea f: (0,+ →∞) ℜ la función definida por f(x)= x2 ln(x) (a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se

obtienen y valores que se alcanzan). 1 1 1 1Sol.: decreciente en 0, y creciente en , ; Mín.: ,e e e 2e

−∞

(b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x e= . 3e

Sol.: rtg: y 2 e x2

= −

26 Sea la función continua f: R → R definida por 2

2

x , 0

( ) 1, 0

x

k si x

f x esi x

x

+ ≤= −

>

(a) Calcula el valor de k. Sol.: k 1= (b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1.

Sol.: rtg: y e 1= −


2

3 , 2( )

x 4, 2

ax x si xf x

x b si x

+ ≤=

− − >:

(a) Halla a y b sabiendo que f es derivable en R. 71Sol.: a b3 3

−= =

(b) Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3. 11 3x 13

Sol.: rtg: y x 13 , rn: y3 11

− −= − =

***************************************** 28 Sea f: R → R definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c. a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1/2 y que la recta tangente en el punto de abscisa x = 0 tenga de ecuación y = 5 – 6x. 3Sol.: a b 6 c 5

2−= =− =

b) Para a = 3, b = –9 y c = 8, calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan). ( )17Sol.: Máx. 1, ; Mín.:(2, 5)

2− −

29 Sea f: R → R la función definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Determina a, b, c sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto de abscisa x = 1 y un punto de inflexión en (−1, 5).

Sol.: a 3 b 9 c 6= =− =−

30 Sea f: R → R la función definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Se sabe que un punto de inflexión de la gráfica de f tiene abscisa x = 1 y que f tiene un mínimo relativo en x = 2 de valor −9. Calcula a, b y c. Sol.: a 3 b 0 c 5=− = =−

31 Sea f: ℜ → ℜ la función definida por f(x) = (x − 3)ex. (a) Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). 2Sol.: Mín.:(2, e )− (b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión. Sol.: y ex e=− −

32 De la función f: R → R definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe que tiene un máximo en x = −1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa x = −2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9. 31Sol.: a b c 0 d 1

2 4= = = =

33 Se sabe que la función f: ℜ → ℜ definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d es tal que f(0) = 4 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1, 2). Conociendo además que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, calcula a, b, c y d. Sol.: a 1 b 3 c 0 d 4= =− = =


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34 Determina el valor de las constantes c y d sabiendo que la función f: ℜ → ℜ , f(x) = x3 + 3x2 + cx + d tiene como recta tangente en su punto de inflexión a la recta y = 3x + 4. Sol.: c 6 d 5= =

35 Se sabe que la función f : [0, 5] → R definida por2

x bx , 0 2( )

4 1, 2 5

a si xf x

x si x

+ ≤ <= − + − ≤ ≤

es derivable en el

intervalo (0, 5). (a) Calcula las constantes a y b. 7Sol.: a b 12

−= =

(b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. 1Sol.: y x 4

2= −

**************************************** 36 Determina los elementos que estimes necesarios y haz la gráfica de las siguientes funciones:

a) 2

9 3( )

2

xf x

x x

−=

− b)

2( )

1

xf x

x=

+ c)

2

2

3( )

4

xf x

x

+=

− d)

4 3( )

xf x

x

+= e) f(x) = (x + 3).e–x

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